离散数学复习PPT

• （a）A=(0,1),B=(0,2)
• (b) A=N,B=N N
• (c) A=R,B=(0, )
• (d) A=[0,1),B=(0.25,0.5]
• 证、（3 a）f(x)=2x,x A. • (b)
2
N={ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
f((m,n))=m+(m+n+1)(m+n)/2 （一一映射）
012 3
• （c）A=R,B=(0, ) • 解.
• f: A B(一一变换)，所以
• （d）A=[0,1),
• 解.
•
A
直线AB的方程：
•
B 所以
0x
1
• 6.证明所有整数集是可数的. • 解. •
• N可数，故Z也可数.
(一一变换) (一一对应)
• 7.证明有理数集是可数的
• 证、（1）把非零的有理数a写成既约分数的形式
• 这与
相矛盾.故有A=B.
• 第4题证法类同第3题.
• 练习题1-4
• 2.证明a) 集合[0,1]是无限集
• （b）自然数集合是无限集
• 证明a) 1
•
z
[0,1] [0, ) )所以集合[0,1]是无限集
0 x1 y
• （b）解：设
•
显然
，
•
，所以自然数集合是无限集.
• 5、证明下列每组集合A与B有相同的基数.
• 一、重要概念 • 1.关系的定义 • 2.关系的表示方法：关系图、关系矩阵. • 3.复合关系 • 4.逆关系 • 二、关系的性质（5种） • 三、关系的闭包运算
• 四、最重要内容 • 1、次序关系（拟序，全序，极大（小）元素，最大（小）元素，哈
斯图、supB, infB） • 2、等价关系（等价类，商集）
则（y,x） R,故R对称的
（3）
，如果x-y能被5整除，且y-z能被5整除，则x-z也能被5整
除，即如果（x,y） R且（y,z） R,则（x,z） R,故R是传递的.
综上R是等价关系.Z/R={{5n/n属于Z } {5n+1/n属于Z } } {5n+2/n属于Z } } {5n+3/n属于Z } } {5n+4/n属于Z } }
14.设集合G=Q-{1},其中Q是有理数集，定义G上的二元运算*为
，试证（G,o)是群.
证明.“o”是封闭的且满足结合律，（G，o）是半群，e=0,
,所以（G,o）是群.
15.设S={0,1,2,3,}, 为模4的乘法，即
x y=(xy)mod4.
问（S, ）构成什么代数系统（半群，独异点，群）？为什么？
• 证明.
,
练习题3-1
,在S上定义一个二元运算 ，使得对S中 ，证明二元运算是可结合的.
• 可结合的.
• 7.设（R, o）是一个代数系统，R是实数集合，“o”是R上一个二元运 算，使得对于任意的a , b都有
•
a o b=a +b+
• 证明.（R , o）是独异点，且单位元素是0.
• 证.
• 故有
•又 即单位元素为0.
，R是可结合的，（R , o）是独异点. ,即b(1+a)=0,由于a的任意性，所以b=0,
• 9.设(S,o)由表3-4给出：
• （1）证明（S，o）是循环独异点，并求单位元素.
• （2）把每个元素表示成元素的幂.
• (3) 列出所有幂等元素.
•
oa b c d
•
aa b c d
练习题2-1 6、设 和 是集合A={a,b,c,d}上的关系，这里
求.
,
,,
解.
={（b,a）,(b,a),(b,d)}
={(d,a)}
={(b,b),(c,b),(a,c)}
={(c,c),(d,d)}
8、设A={1,2,3,4,5}，R={(1,2),(3,4),(2,2)},S={(4,2),(2,5),(3,1),(1,3)}
1
5
3
2
4
6. 设A为恰有n个元素的有限集. （1）共有多少个A上的不相同的自反关系？ （2）共有多少个A上的不相同的反自反关系？ （3）共有多少个A上的不相同的对称关系？ （4）共有多少个A上的不相同的非对称关系？ （5）共有多少个A上的不相同的既是对称又是非对称关系？ 解（1）
（2）
（3）
（4）
•
bb c d a
•
cc d a b
•
dda b b
• 解.（1）验证满足结合律略
• 单位元素e=a,
, 生成元素是b
所以（S，o）是循环独异点
(3) 幂等元素是a,(aoa=a)
练习题3-2
• 2.试证下面四个矩阵对于乘法成群
•
•
,
解.(1)显然满足封闭性，是可结合的
(2) 单位元素e=
(3) 每个元素均可逆，且每个元素的逆元是本身.
{c,d,e}的上界和下界，上确界和下确界分别是：c,a;无；c;无
{a,c,b}的上界和下界，上确界和下确界分别是：a;d;a;d.
练习题2-5
1、设Z为整数集，
，
证明：R是等价关系且求Z/R.
证：1） ,x-x能被5整除，所以（x,x） R,故R是自反的
（2）
,如果x-y能被5整除,则y-x也能被5整除，即如果（x,y） R
求
解.(略)
练习题2-2
2、3、5
练习题2-3
2、5
练习题2-4
2、图2-24中给出了偏序集合（A,R）的哈斯图，这里A={a,b,c,d,e}
(1)下列关系式哪个是真？
a
aRb,dRa,cRe,bRe,aRa,bRc,dRe.
b
c
（2）把哈斯图改为有向图
d
e
（3）求出A的最大元素及最小元素，
图2-24
M=C-D,即
,
,因为B,D可数，
,且
•
,则
,即
•
(
)
• 22.试明：（0,1）~（-1,1）
• 证明 作矩形ADBC,如图所示，直线AB 的斜率K=2,
•
1y D A
0 x1 x
-1 B C
• 即直线AB的方程y=2x+1,
. 即f:
,显然这是一个一一变
换故（0,1）~（-1,1）.
第二章 关系（习题课）
，
集合中删除所有m和
，因S是 的无限子集（定理4：可数集的无穷子集仍为一可数集）， 所以S是可数的.
•
,即
• 因为g是双射，故 是可数的，由因为
•
• 是可数的
• 8.设
• 证明
• 证:设
，则C是不可数的.
•故
.B一定不可数，因为A可数，假设B可数，则C
可数。这是矛盾的，所以B不可数，故
• 复习题一

证明（G,o）是一个变换群. 证明.
, 是变换的合成.
（1）满足封闭性 ，合成满足结合律.（2）单位元素e= (3) , , 逆元是本身. 与 互为逆元. 所以（G,o）是变换群.
11.设（G,o）是6阶循环群，找出（G,o）的一切生成元素，再找出（G,o）
的所有子群
解.设
，
生成元素是a或 .
子群是 ：
12.设 a,b是 群（G,o）的元素，a的周期为2，b的周期为3，且ab=ba,则ab 的周期为6.
证明.设ab的周期为k, 即
，则有
故2能整除k,3能整除k,k就是2与3的最小公倍数，依周期的定义，k=6.
（5）
• 17.画出下列集合上的整除关系的哈斯图.
• （1）A={1,2,3,4,6,8,12,24}
• （2）
• 解.（1）
24
（2）
8
12
4
6
2
3
1
12
9
6
13
3
8 4 10 25 1
14 7 11
27.设正整数的序偶集合A,在A上定义的二元关系R如下：
,当且仅当
,证明R是一个等价关系.
证.（1）
• 练习题1-2 • 2.设A= •求 • 解.
, A+ B
•
•
A + B=
• 6、应用集合的运算证明
• （2）A-(B-C)=
• 解，
•
故
• 9、（a）已知
•
(b) 已知
•
( c) 已知 A +++ B=A +++ C是否必须B=C
• 解、（a)不一定 ，当A=E时，不论B与C是什么集合，等式恒成立.
• 自然数集N与 中元素的下标可构成双射f
•即 •
•故
为可数的.
• 当不考虑
时，
• 由Th1-4.4知， 为可数的
• 21、如果A是不可数的无穷集，B是A的可数子集，则A-B A
• 证明.设C=A-B,则C不是有限集。因为
若C是有限集，B是可数集
所以A为可数集，与题设矛盾，由Th1-4.3知C必含有可数子集D，设
• 18.如果两个集合 是可数的，则
也是可数的.
解.设
构造从
到 的变换如下：
故
可数.
19.有限集A和可数集B的笛卡尔乘积 是可数的.
解.因A是有限集，则 是可数集，由18题知：
是可数的.
但是
,且
是无限集，由Th1-4.4知， 为可数的.
• 20.若A,B是可数集，且
，则
•
时，