离散数学复习PPT

M=C-D,即
,
,因为B,D可数，
,且
•
,则
,即
•
(
)
• 22.试明：（0,1）~（-1,1）
• 证明 作矩形ADBC,如图所示，直线AB 的斜率K=2,
•
1y D A
0 x1 x
-1 B C
• 即直线AB的方程y=2x+1,
. 即f:
,显然这是一个一一变
换故（0,1）~（-1,1）.
第二章 关系（习题课）
8. 设a,b是群（S，o）中的两个元素，如果
• 试证: aob=boa
• 证.因为
，由消去律得boa=aob.
9. 设（G，o）是群，若对于任意的 （Abel）群.
，则（G,o）是可换
证.
所以（G,o）是可换（Abel）群.
10.设
.
证.设a的周期为n,即
，
的周期为m,即
，
由（1）、（2）知n=m
第三章代数系统（习题课）
• 1.理解群的定义.（Abel群、循环群） • 2.掌握群的性质. • 3.会求群的子群. • 4.会求循环群的生成元素及其它的子群. • 5.会求群的每个元素的周期(阶). • 6.理解两个群同构与同态的概念及其判别 • 7.会求同态核.
• 6.设 是一个半群， 的任意元素x和y,都有
•
bb c d a
•
cc d a b
•
dda b b
• 解.（1）验证满足结合律略
• 单位元素e=a,
, 生成元素是b
所以（S，o）是循环独异点
(3) 幂等元素是a,(aoa=a)
练习题3-2
• 2.试证下面四个矩阵对于乘法成群
•
•
,
解.(1)显然满足封闭性，是可结合的
(2) 单位元素e=
(3) 每个元素均可逆，且每个元素的逆元是本身.
则（y,x） R,故R对称的
（3）
，如果x-y能被5整除，且y-z能被5整除，则x-z也能被5整
除，即如果（x,y） R且（y,z） R,则（x,z） R,故R是传递的.
综上R是等价关系.Z/R={{5n/n属于Z } {5n+1/n属于Z } } {5n+2/n属于Z } } {5n+3/n属于Z } } {5n+4/n属于Z } }
• 练习题1-2 • 2.设A= •求 • 解.
, A+ B
•
•
A + B=
• 6、应用集合的运算证明
• （2）A-(B-C)=
• 解，
•
故
• 9、（a）已知
•
(b) 已知
•
( c) 已知 A +++ B=A +++ C是否必须B=C
• 解、（a)不一定 ，当A=E时，不论B与C是什么集合，等式恒成立.
离散数学：部分习题及其习题课
⊕
第一章：集合论
• 1.了解集合的概念. • 2.掌握集合的运算，特别是对称差运算A+ B= • 3.理解幂集与笛卡尔集的概念，会求一个集合的幂集. • 4.了解集合基数与可数集的的概念. • 5.重要公式：
•
在集合运算和化简时经常使用.
• 6.熟练掌握集合的运算律.
• 习题
解：独异点
x y=(xy)mod4 S(封闭的).
,(x y ) z=x (y z ),(可结合的)
单位元素 ：e=1，所以（S， ）是独异点.
2 3=（2 3）mod4=2 1,即2和3没有逆元素.
故它不是群.
16.设(G,o)是24阶循环群，求出它的所有子群.
解.
子群是：
练习题3-3 1.设S=R-{0,1},R是实数集，在S上定义6个变换如下：
{c,d,e}的上界和下界，上确界和下确界分别是：c,a;无；c;无
{a,c,b}的上界和下界，上确界和下确界分别是：a;d;a;d.
练习题2-5
1、设Z为整数集，
，
证明：R是等价关系且求Z/R.
证：1） ,x-x能被5整除，所以（x,x） R,故R是自反的
（2）
,如果x-y能被5整除,则y-x也能被5整除，即如果（x,y） R
1
5
3
2
4
6. 设A为恰有n个元素的有限集. （1）共有多少个A上的不相同的自反关系？ （2）共有多少个A上的不相同的反自反关系？ （3）共有多少个A上的不相同的对称关系？ （4）共有多少个A上的不相同的非对称关系？ （5）共有多少个A上的不相同的既是对称又是非对称关系？ 解（1）
（2）
（3）
（4）
•又 即单位元素为0.
，R是可结合的，（R , o）是独异点. ,即b(1+a)=0,由于a的任意性，所以b=0,
• 9.设(S,o)由表3-4给出：
• （1）证明（S，o）是循环独异点，并求单位元素.
• （2）把每个元素表示成元素的幂.
• (3) 列出所有幂等元素.
•
oa b c d
•
aa b c d
• 一、重要概念 • 1.关系的定义 • 2.关系的表示方法：关系图、关系矩阵. • 3.复合关系 • 4.逆关系 • 二、关系的性质（5种） • 三、关系的闭包运算
• 四、最重要内容 • 1、次序关系（拟序，全序，极大（小）元素，最大（小）元素，哈
斯图、supB, infB） • 2、等价关系（等价类，商集）
• 这与
相矛盾.故有A=B.
• 第4题证法类同第3题.
• 练习题1-4
• 2.证明a) 集合[0,1]是无限集
• （b）自然数集合是无限集
• 证明a) 1
•
z
[0,1] [0, ) )所以集合[0,1]是无限集
0 x1 y
• （b）解：设
•
显然
，
•
，所以自然数集合是无限集.
• 5、证明下列每组集合A与B有相同的基数.
• 18.如果两个集合 是可数的，则
也是可数的.
解.设
构造从
到 的变换如下：
故
可数.
19.有限集A和可数集B的笛卡尔乘积 是可数的.
解.因A是有限集，则 是可数集，由18题知：
是可数的.
但是
,且
是无限集，由Th1-4.4知， 为可数的.
• 20.若A,B是可数集，且
，则
•
时，
仍然可数.
• 证.
，
可数。由此推出当不考虑
•把
称作a的模，现规定0的模为1，模为n的有理数的个数是有
限的.于是把一切有理数按模递增编组，其模相同的编在同一组里，最
后再依次把这些有理数逐个编号，但重复者除去不计，这样每一个有
理数得到一个确定的号码，因而建立了有理数集与自然数集之间的一
一对应.
• （2）由第5题的（b）知， 是可数的，在
n不是互质的序偶（m,n）得集合
练习题2-1 6、设 和 是集合A={a,b,c,d}上的关系，这里
求.
,
,,
解.
={（b,a）,(b,a),(b,d)}
={(d,a)}
={(b,b),(c,b),(a,c)}
={(c,c),(d,d)}
8、设A={1,2,3,4,5}，R={(1,2),(3,4),(2,2)},S={(4,2),(2,5),(3,1),(1,3)}
，所以R是自反的.
（2）若
，显然有
，故R是对称的.
（3）若
，且
，即xv=yu,ut=vs , xt=ys
则有
，故R是传递的.
综上所述，R是等价关系.
13.设A是n个元素的集合，证明A上有 个二元关系.
证.
故
10.设R为非空有限集合A上的关系，则 多少个元素1？
的关系矩阵
中最多能有
解.设
,故
最多有 个1.
• 证明.
,
练习题3-1
,在S上定义一个二元运算 ，使得对S中 ，证明二元运算是可结合的.
• 可结合的.
• 7.设（R, o）是一个代数系统，R是实数集合，“o”是R上一个二元运 算，使得对于任意的a , b都有
•
a o b=a +b+
• 证明.（R , o）是独异点，且单位元素是0.
• 证.
• 故有
（2）设H是群（G,o）有限子集，且H中的元素在乘法“o”下周期为 有限，还有“o”在H上封闭，则（H,o）是（G,o）的子群.
证.（1） 群.
（封闭的），显然是可结合的，所以（H,o）是半
，这是方程
在H中有解
. 故（H,o）是群.
（2）设元素a的周期为n,即 是（G,o）的子群
，，
，所以
，故（H,o）
，
集合中删除所有m和
，因S是 的无限子集（定理4：可数集的无穷子集仍为一可数集）， 所以S是可数的.
•
,即
• 因为g是双射，故 是可数的，由因为
•
• 是可数的
• 8.设
• 证明
• 证:设
，则C是不可数的.
•故
.B一定不可数，因为A可数，假设B可数，则C
可数。这是矛盾的，所以B不可数，故
• 复习题一
（5）
• 17.画出下列集合上的整除关系的哈斯图.
• （1）A={1,2,3,4,6,8,12,24}
• （2）
• 解.（1）
24
（2）
8
12
4
6
2
3
1
12
9
6
13
3
8 4 10 25 1
14 7 11
27.设正整数的序偶集合A,在A上定义的二元关系R如下：
,当且仅当
,证明R是一个等价关系.
证.（1）
012 3
• （c）A=R,B=(0, ) • 解.
• f: A B(一一变换)，所以
• （d）A=[0,1),
• 解.
•
A
直线AB的方程：
•
B 所以
0x
1
• 6.证明所有整数集是可数的. • 解. •
• N可数，故Z也可数.
(一一变换) (一一对应)
• 7.证明有理数集是可数的
• 证、（1）把非零的有理数a写成既约分数的形式
•
（b）不一定 ，当A=ф时，不论B与C是什么集合，等式恒成立.
•
(c) 成立，
A ⊕B
•
⊕C
•
同理可证
，故 B=C.
• 练习题1-3
• 1.设A={a,b},求
• 解.
• 5.设 A=ф,求 • 解.
• 3.证明：若
,则A=B
• 证明、（反证法）
• 假设
,则
,必有（x,x） A A,而（x,x） B B.
• 自然数集N与 中元素的下标可构成双射f
•即 •
•故
为可数的.
• 当不考虑
时，
• 由Th1-4.4知， 为可数的
• 21、如果A是不可数的无穷集，B是A的可数子集，则A-B A
• 证明.设C=A-B,则C不是有限集。因为
若C是有限集，B是可数集
所以A为可数集，与题设矛盾，由Th1-4.3知C必含有可数子集D，设
14.设集合G=Q-{1},其中Q是有理数集，定义G上的二元运算*为
，试证（G,o)是群.
证明.“o”是封闭的且满足结合律，（G，o）是半群，e=0,
,所以（G,o）是群.
15.设S={0,1,2,3,}, 为模4的乘法，即
x y=(ຫໍສະໝຸດ Baiduy)mod4.
问（S, ）构成什么代数系统（半群，独异点，群）？为什么？
求
解.(略)
练习题2-2
2、3、5
练习题2-3
2、5
练习题2-4
2、图2-24中给出了偏序集合（A,R）的哈斯图，这里A={a,b,c,d,e}
(1)下列关系式哪个是真？
a
aRb,dRa,cRe,bRe,aRa,bRc,dRe.
b
c
（2）把哈斯图改为有向图
d
e
（3）求出A的最大元素及最小元素，
图2-24
11.设（G,o）是6阶循环群，找出（G,o）的一切生成元素，再找出（G,o）
的所有子群
解.设
，
生成元素是a或 .
子群是 ：
12.设 a,b是 群（G,o）的元素，a的周期为2，b的周期为3，且ab=ba,则ab 的周期为6.
证明.设ab的周期为k, 即
，则有
故2能整除k,3能整除k,k就是2与3的最小公倍数，依周期的定义，k=6.
（4）求出A的极大元素及极小元素.
（5）求出子集{b,c,d},{c,d,e},{a,c,b}的上界和下界，上确界和下确界.
解.（1）真 dRa,aRa.(2)略
（3） A的最大元素：a;A的最小元素:无.
（4） A的极大元素：a; A的极小元素:d,e.
(5) {b,c,d}的上界和下界，上确界和下确界分别是：a；d；a；d.
• （a）A=(0,1),B=(0,2)
• (b) A=N,B=N N
• (c) A=R,B=(0, )
• (d) A=[0,1),B=(0.25,0.5]
• 证、（3 a）f(x)=2x,x A. • (b)
2
N={ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
f((m,n))=m+(m+n+1)(m+n)/2 （一一映射）
所以是群.
3.有单位元素且适合消去律的有限半群一定是群.
证明.设(S,o) 有单位元素e的半群，
,当 时，
,当
时，同理存在逆元.故（S,O）是群
5.G=(a+bi a,b z,i是虚数单位)，证明（G,+）是一个群.
证明.1)显然满足结合律.
2）e=0=0+0i(单位元素)
3)
故（G，+）是群.
7.（1）如果H是群（G，o）的有限子集，并且对任意的a,b H,则（H，o） 是（G,o）的子群.
证明（G,o）是一个变换群. 证明.
, 是变换的合成.
（1）满足封闭性 ，合成满足结合律.（2）单位元素e= (3) , , 逆元是本身. 与 互为逆元. 所以（G,o）是变换群.
2.给定集合A={1,2,3,4,5}找出A上的等价关系R，此关系R能产生划分{{1,2}， {3}，{4,5}}，并画出关系图，写出关系矩阵.
解.R={1,2} {1,2} {3} {3} {4,5} {4,5}
={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)}.