实数和平面直角坐标系
平面直角坐标系
平面直角坐标系简介平面直角坐标系是数学中一种常见的坐标系，用于描述平面上的点的位置。
它由两条相互垂直且共同交于原点的直线构成，分别称为x轴和y轴。
通过x、y轴上的数值，可以确定平面上的每一个点的坐标。
坐标轴平面直角坐标系由两个垂直的坐标轴组成，分别是x轴和y轴。
x轴是从左到右水平延伸的直线，y轴是从下到上垂直延伸的直线。
两轴交于原点O，原点是坐标系的起点，它的坐标为(0, 0)。
坐标轴上的点的坐标是由数值决定的，正方向上的数值代表右移或上移，负方向上的数值代表左移或下移。
x轴上的正方向可以取右移，y轴上的正方向可以取上移。
在平面上的点的位置是通过坐标值的组合来表示的。
坐标值在平面直角坐标系中，每个点的位置都有唯一的坐标值来确定。
一个坐标值由两个实数(x, y)组成，x表示该点在x轴上的位置，y表示该点在y轴上的位置。
坐标值的顺序可以是(x, y)或者y，x。
根据坐标轴和原点的位置，可以将坐标值分为四个象限。
第一象限的点具有正的x和y值，第二象限的点具有负的x值和正的y值，第三象限的点具有负的x 和y值，第四象限的点具有正的x和负的y值。
坐标变换平面直角坐标系除了可以用来表示点的位置外，还可以进行坐标变换。
坐标变换包括平移、旋转、缩放和倾斜等操作，这些操作可以改变坐标轴的位置和方向，从而达到变换坐标的目的。
平移是将整个坐标系在平面上沿着一个方向移动一定的距离。
例如，将坐标系向右平移3个单位，则所有点的x坐标都会增加3个单位。
类似地，将坐标系向上平移2个单位，则所有点的y坐标都会增加2个单位。
旋转是将整个坐标系绕原点或者其他点旋转一定的角度。
例如，将坐标系逆时针旋转90度，则x轴会变为新的y轴，y轴会变为新的-x轴。
通过旋转，可以改变坐标系中点的位置。
缩放是将整个坐标系沿着x轴和y轴的方向分别进行比例缩放。
例如，对x轴进行2倍缩放，则所有点的x坐标都会乘以2，从而使整个坐标系在x轴方向拉长。
类似地，对y轴进行2倍缩放，则所有点的y坐标都会乘以2，从而在y轴方向拉长。
1.1平面直角坐标系 (共31张PPT)
问题一：从点的轨迹角度分析点P应该在什么样的曲线上？ 问题二：请你在图中建立适当的坐标系，并说明你所建立 坐标系的依据是什么？ 问题三：根据你所建立的坐标系，求出点P的坐标
问题四：在该坐标系中，说出点P在信息中心点的什么位置？
Office组件之word2007
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西 、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时 间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为 340m/s， 各相关点均在同一平面上）
E
因此，BE与CF互相垂直.
O (A)
F
B
x
数学运用
Office组件之word2007
例3. 某地区原计划经过B地沿着东北方向修建一条 高速公路，但在A村北偏西300方向距A村500m处 ，发现一古代文物遗址W。经过初步勘察，文物管 理部门将遗址W周围200m范围划为禁区，已知B 地位于A村的正西方向1km 处，试问：修建高速公 y y 路和计划需要修改吗？ C 解决问题的关键： 确定遗址W与高速公路BC的 相对位置.
W
500
0 0 B 45 1000 60 A x O O
Office组件之word2007
课堂小结
平面直角坐标系建系时，根据几何特点选 择适当的直角坐标系。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为 坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐 标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上 。
y
B
P o
C Ax
Office组件之word2007
解： 以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系. 设A、B、C分别是西、东、北观测点， 则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020)
实数的知识点
实数的知识点实数是数学中一个基础概念，是指包括有理数和无理数的所有数的集合。
在数学中，实数的研究是非常重要的，它涉及数学的各个领域，如数论、代数、几何、微积分等。
本文将介绍实数的基本概念、性质及其在数学中的应用。
一、实数的基本概念实数是指包含有理数和无理数的所有数的集合，用R来表示。
其中有理数是可以表示为两个整数之比的数，无理数则不能表示成这种形式，如常见的$\pi$和$\sqrt{2}$。
实数集合R包括正实数、负实数、0等数。
其中正实数是大于0的实数，负实数是小于0的实数，0是同时是正数和负数的唯一实数。
二、实数的性质实数集合R具有如下性质：1. 实数具有传递性，即如果a>b，b>c，则有a>c。
2. 实数有可加性，即对于任意的实数a、b，有a+b=b+a。
3. 实数有可乘性，即对于任意的实数a、b，有ab=ba。
4. 实数有结合律和分配律，即对于任意的实数a、b、c，有a+(b+c)=(a+b)+c和a(b+c)=ab+ac。
5. 实数有数乘的结合律和分配律，即对于任意的实数a、b、c，有a(bc)=(ab)c和(a+b)c=ac+bc。
6. 实数有数乘的交换律，即对于任意的实数a、b，有ab=ba。
7. 实数有倒数和相反数，即对于任意的非零实数a，有a x1/a=1和-a是相反数。
8. 实数有加法逆元，即对于任意的实数a，有a+(-a)=0。
9. 实数有乘法逆元，即对于任意的非零实数a，有a x 1/a=1。
三、实数的应用实数在数学中的应用十分广泛，下面我们分别从代数、几何和微积分等方面来介绍它的应用。
1. 代数在代数中，实数用于求解多项式方程。
对于一元多项式$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$，其中$a_i(i=0,1,...,n)$是实数，其解为实数或虚数。
在求解实数根时，可以用有理根定理求得多项式的整数根和分数根，然后利用余式定理计算余下的一元多项式，再用求根公式求解即可。
青岛版八年级数学下册《有序实数对与坐标平面上的点的关系》课件
在数轴上,如何确定一个点的位置呢?
例如:
A
-3 -2
-1
0
1
2
B
3
4
A点记作-2,B点记作3.也就是说,
在直线上一般用一个数据就可以表示一个点的位置。
y
在平面内，两条互相垂直且有
公共原点的数轴组成平面直角坐标
系，如图所示。
5
4
3
2
1
O 1 2 3 4 5 6
水平方向的数轴称为x轴或横轴，垂直方向的数
们分别用直角坐标系中的点表示出来吗？你是怎样表示的？
(3)如果P是直角坐标系中任意一点，怎样写出这个点的坐标呢？
这个点的横、纵坐标都是实数吗？
(4)通过上面的讨论，你认为有序实数对与直角坐标系中的点应
当具有什么关系？
一、有序实数对与直角坐标系中的点的关系
把有序有理数对扩充到有序实数对后，每一
个有序实数对都可以用直角坐标系中唯一的一个
长为2，由勾股定理，得
DB= 2 − 2 = 22 − 12 = 3。
所以，点B的坐标为(-1， 3)。
例2 在直角坐标系中，已知点A( 2， 3)。
(1)分别作出与点A关于y轴成轴对称的点B，关于x
轴成轴对称的点D，并写出它们的坐标;
(2)如果A,B,D是矩形的三个顶点，写出第四个顶
点C的坐标；
(2)依次连接A，B，C，D，E，F，A，得到什么图形？
(3)在平面直角坐标系中，点与实数对之间有何关系？
y
B
C
【解】(1)如图所示。
(2)轴对称图形。
1
(3)在平面直角坐标系中， A
点来表示.反之，直角坐标系中的每一个点都表示
平面直角坐标系
平面直角坐标系 有序数对 定义：有顺序的两个数 与 组成的数对叫做有序数对，记作 ．a b (a ,b ) 利用有序数对，可以准确地表示出平面内一个点的位置． 特殊直线 平行于坐标轴的直线 1.与横轴平行的直线：点表示法 ， 为任意实数， 是不为0的常数（即直线 ）；2.与纵轴平行的直线：点表示法 ， 为任意实数， 是不为0的常数（即直线 ）．(x ,m )x m y =m (n ,y )y n x =n 角平分线 1.一、三象限角平分线：点表示法 为任意实数，且 ；2.二、四象限角平分线：点表示法 为任意实数，且 ．(x ,y )，x ,y x=y (x ,y )，x ,y x =−y 注： ①平行于 轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数；②平行于 轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数．x y 距离 点到轴的距离： 点 到 轴的距离是 ，到 轴的距离是 ． P (m ,n )x ∣n ∣y ∣m ∣ 点到水平直线、竖直直线的距离: 1.点 到直线 （ 为常数）的距离为 ，注：当 时，就是点到横轴（ 轴）的距离为 ；2.点 到直线 （ 为常数）的距离为 ，注：当 时，就是点到纵轴（ 轴）的距离为 ．(a ,b )y =m m ∣b −m ∣m =0x ∣b ∣(a ,b )x =n n ∣a −n ∣n =0y ∣a ∣同一水平直线、竖直直线上的点到点的距离: 在直线 上，点 , ，则 ；在直线 上，点 , ，则．y =m A (a ,m )B (b ,m )AB =∣a −b ∣x =n C (n ,c )D (n ,d )CD =∣c −d ∣ 平面直角坐标系定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
注：数轴有三个要素——原点、正方向和单位长度．我们规定水平的数轴叫做横轴，取向右为正方向；另一数轴叫纵轴，取向上为正方向． 点的坐标：点的坐标是一对有序数对，横坐标写在纵坐标前面，中间用“ , ”隔开，再用小括号括起来． 如图，由点 分别向 轴和 轴作垂线，垂足 在 轴上的坐标是 ，垂足 在 轴上的坐标是 ，则点 的坐标为 ．P x y A x a B y b P (a ,b )象限和轴： 横轴（ 轴）上的点 的坐标满足： ；纵轴（ 轴）上的点 的坐标满足： ；第一象限内的点 的坐标满足： ；第二象限内的点 的坐标满足： ；第三象限内的点 的坐标满足： ；第四象限内的点 的坐标满足： ；x (x ,y )y =0y (x ,y )x =0(x ,y ){x >0y >0(x ,y ){x <0y >0(x ,y ){x <0y <0(x ,y ){x >0y <0。
(完整版)平面直角坐标系知识点归纳
X平面直角坐标系知识点归纳1、在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系;2、坐标平面上的任意一点 P 的坐标，都和惟一的一对有序实数对（a,b ）一一对应；其中，a 为横坐标，b 为纵坐标坐标；3、 x 轴上的点，纵坐标等于 0; y 轴上的点，横坐标等于 0； 坐标轴上的点 不属于任何象限;4、 四个象限的点的坐标具有如下特征：小结：（1 ）点P （ x, y ）所在的象限 —►横、纵坐标X 、y 的取值的正负性;（2 ）点P （ X, y ）所在的数轴 —*■横、纵坐标X 、y 中必有一数为零；5、 在平面直角坐标系中，已知点p （a,b ），则（1） 点P 到X 轴的距离为b ；（ 2 ）点P 到y 轴的距离为（3） 点P 到原点o 的距离为PO = .a 2 b 26、 平行直线上的点的坐标特征：a ）在与x 轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等;b ）在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等;d bJ_____ P(a,b) 1____________ 1-3 -2 -1 0 -1-2 -31a X点A 、B 的纵坐标都等于m ；象限 横坐标X 纵坐标y 第一象限 正 正 第二象限 负 正 第三象限负 负 第四象限正负b YC点C、D的横坐标都等于n ；，nD 'XX7、对称点的坐标特征:8、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征:a)若点P ( m,n )在第一、三象限的角平分线上，则 b)若点P ( m,n )在第二、四象限的角平分线上，贝Um基本练习：练习 仁在平面直角坐标系中，已知点 P ( m 5,m2 )在x 轴上，贝U P 点坐标为 _________2练习2 :在平面直角坐标系中，点P ( m 2, 4 ) 一定在 _____________ 象限；2练习3 :已知点P ( a 1, a 9)在x 轴的负半轴上，则 P 点坐标为___________________ ;练习4 :已知X 轴上一点A (3 , 0) , y 轴上一点B ( 0 , b ),且AB=5，则b 的值为 ______________ ; 练习5 :点M (2 , - 3)关于x 轴的对称点N 的坐标为 _______________ ;关于y 轴的对称点P的坐标为 ________ ;关于原点的对称点 Q 的坐标为 ___________ 。
平面直角坐标系知识点
十、平面直角坐标系与一次函数；10.1平面直角坐标系；1.有序实数对；有顺序的两个数a、b组成的数对叫做有序数对，记作；2、平面直角坐标系的含义及有关概念；（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组；3、平面直角坐标系的意义；（1）建立平面直角坐标系后，平面上的任意一点都可；（3）可灵活运用多种方式确定点的位置，并在同一坐；4.点的坐标的概念；如图2，十、平面直角坐标系与一次函数10.1平面直角坐标系1.有序实数对有顺序的两个数a、b组成的数对叫做有序数对，记作（a,b）.注意（a,b）中的a, b的顺序不能改变。
2、平面直角坐标系的含义及有关概念（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，平面直角坐标系也简称直角坐标系。
通常，两条数轴分别位于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫X轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，X轴和y轴统称坐标轴，两条数轴的交点O称为直角坐标系的原点。
（2）如图1，对于平面内任意一点P，过点P分别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X轴、Y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序实数对（a,b）叫做点P的坐标。
3、平面直角坐标系的意义（1）建立平面直角坐标系后，平面上的任意一点都可以用一对有序实数对（即坐标）来表示，且任一有序实数对都表示平面内唯一确定的点，所以点的坐标是属性结合的桥梁，为解决几何、代数问题提供了便利，且直角坐标内的点与有序实数对是一一对应的关系。
（2）建立直角坐标系后，可以由点的坐标确定点的位置，也可由点的位置写出点的坐标，由已知点的位置求出未知点的位置。
（3）可灵活运用多种方式确定点的位置，并在同一坐标系中，感受图形变化后点的坐标的变化和坐标变化后的变化。
4.点的坐标的概念如图2，点A是平面直角坐标系内的一点，由点A向x轴做垂线，垂足在x轴上的坐标是2，在Y轴上的坐标是-4，合起来A的坐标记作（2，-4）。
初中数学平面直角坐标系基础
平面直角坐标系基础一、平面直角坐标系1．有序实数对有顺序的两个数a 与b 组成的实数对，叫做有序实数对，记作()a b ，． 注意：当a b ≠时，()a b ，和()b a ，是不同的两个有序实数对． 2．平面直角坐标系在平面内有两条公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫做横轴或x 轴，取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫做纵轴或y 轴，取向上的方向为正方向，两数轴的交点叫做坐标原点；x 轴和y 轴统称为坐标轴；建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面．3．象限x 轴和y 轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫做第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．注意：（1）两条坐标轴不属于任何一个象限．（2）如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义时，要在表示横轴，纵轴的字母后附上单位． 4．点的坐标对于坐标平面内的一点A ，过点A 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足在x 轴、y 轴上对应的数a 、b 分别叫做点A 的横坐标和纵坐标，有序实数对()a b ，叫做点A 的坐标，记作A ()a b ，． 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．注意：横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．二、坐标平面内特殊点的坐标特征1．各象限内点的坐标特征点()P x y ，在第一象限⇔00x y >>，； 点()P x y ，在第二象限⇔00x y <>，； 点()P x y ，在第三象限⇔00x y <<，； 点()P x y ，在第四象限⇔00x y ><，．2．坐标轴上点的坐标特征点()P x y ，在x 轴上⇔0y =，x 为任意实数； 点()P x y ，在y 轴上⇔0x =，y 为任意实数； 点()P x y ，即在x 轴上，又在y 轴上⇔00x y ==，，即点P 的坐标为()00，．3．两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征点()P x y ，在第一、三象限夹角的角平分线上⇔x y =；点()P x y ，在第二、四象限夹角的角平分线上⇔0x y +=．4．平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征平行于x 轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数； 平行于y 轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数．5．坐标平面内对称点的坐标特征点()P a b ，关于x 轴的对称点是()P a b '-，，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． 点()P a b ，关于y 轴的对称点是()P a b '-，，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 点()P a b ，关于坐标原点的对称点是()P a b '--，，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 点()P a b ，关于点()Q m n ，的对称点是()22M m a n b --，．三、用坐标表示地理位置1． 直角坐标系法先确定原点，然后画出x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，再确定它的横坐标及纵坐标．点的坐标可以又横坐标和纵坐标唯一地确定．2． 方位角法从一定点出发，测量出被测点到定点的距离，及相对于定点的距离及相对于定点所处的方位角．点的位置有距离和方位角唯一地确定．四、中点坐标公式已知坐标系中两点()()1122A a b B a b ，，，.则A 、B 的中点C 坐标为121222a a b b ++⎛⎫⎪⎝⎭，设点()C x y ，,则12a x a x -=-即()2a b ，12x a a x -=-,所以122a a x +=.同理求出122b by +=例题精讲一、 点的位置的确定1、 平面直角坐标系【例1】 电影票上“6排3号”,记作()6,3,则8排6号记作_________ 【答案】（8,6）【例2】 已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，2AC =，3AB =，若点A 在坐标原点，点B 在x 轴上．（1）在平面直角坐标系中画出三角形ABC ；（2）求点B ，C 的坐标．【答案】（1）如图，则11AB C △，21AB C △，22AB C △，12AB C △为所求．（2）11AB C △：()13,0B ，()10,2C ；21AB C △：()23,0B -，()10,2C ；22AB C △：()23,0B -，()20,2C -；12AB C △：()13,0B ，()20,2C -【例3】 在平面直角坐标系内，已知点(122)A k k --，在第三象限，且k 为整数，求k 的值．【答案】∵点(122)A k k --，在第三象限，∴120k -<，20k -<，解得：122k <<，又∵k 为整数，1k =【例4】 某市有A B C D 、、、四个大型超市，分别位于一条东西走向的平安大路两侧，如图6所示，请建立适当的直角坐标系，并写出四个超市相应的坐标．【答案】平安大道所在的直线所在的直线为x 轴，过D 点垂直于平安大道所在的直线为y 轴建立直角坐标系，(10,4)A 、(6,4)B -、(2,2.5)C -、(03)D -，【例5】 王霞和爸爸、妈妈到人民公园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示．可是她忘记了在图中标出原点和x 轴、y 轴．只知道游乐园D 的坐标为(22)-，，你能帮她求出其他各景点的坐标？【答案】00F （，），()()()04322133A B C E ---，，，，（，），，【例6】如图表示赵明同学家所在社区的主要服务办公网点．点O表示赵明同学家，点A 表示存车处，点B表示副食店．点C表示健身中心，点D表示商场，点E表示医院，点F表示邮电局，点H 表示银行，点L表示派出所，点G表示幼儿园．(1)请以赵明同学家为坐标原点，建立平面直角坐标系，并用坐标分别表示社区的主要服务网点的位置．(图中的1个单位表示50m)(2)利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程是①建立______选择一个____________为原点，确定x轴、y轴的____________；②根据具体问题确定适当的______在坐标轴上标出____________；③在坐标平面内画出这些点，写出各点的______和各个地点的______．【答案】(1)A(－150，50)，B(150，200)，C(－250，300)，D(450，－400)，E(500，－100)，F(350，400)，G(－100，－300)，H(300，－250)，L(－150，－500)．(2)略．【例7】温州一位老人制作的仿真郑和宝船尺寸如图，已知在某一直角坐标系中点A坐标为（9，0），请你直接在图中画出该坐标系，并写出其余5点的坐标．【答案】解：坐标系如图所示：各点的坐标为：(52)F-，，，(52)C-，，(90)B，，(52)D-，，(52)E--2、极坐标【例8】 如图，根据指令（S,A ）(说明：S 0，单位：厘米；0oA 180O )，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离S ，若机器人站在M 处. （1）给机器人下了一个指令（2，60O ），机器人移到了B 点，请你画出机器人从M 到B 的运动路径；（2）若机器人从M 运动到了C 点，20O CMA ∠=,则给机器人下了一个什么指令.【答案】(1)略 （2）（3，20o -）二、 点的坐标特征【例9】 （1）已知点()23P x x +，在x 轴上，则点()223Q x x -++，的坐标为_____________．（2）已知点()23P x x +，在y 轴上，则点()223Q x x -++，的坐标为_____________． （3）已知点()23P x x +，在坐标轴上，则点()223Q x x -++，的坐标为_____________．【答案】（1）3x =-，()5-3Q ，（2）0x =，()23Q ，（3）Q 点坐标为()53-，或()23，【例10】 给出下列四个命题，其中真命题的个数为( )．①.坐标平面内的点可以用有序数对来表示；②.若a ＞0，b 不大于0，则P (－a ，b )在第三象限内； ③.x 轴上的点，其纵坐标都为0；④.当m ≠0时，点P (m 2，－m )在第四象限内． A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【例11】 点P 2b ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第二象限，点Q ()2a b ，在第（ ）象限A 一B 二C 三D 四 【答案】D【例12】 如图是传说中的一个藏宝岛图,藏宝人生前用直角坐标系的方法画了这幅图,现今的寻宝人没有原来的地图,但知道在该图上有两次大石头()()2182A B ，，，,而藏宝地的坐标是（6,6）,试设法在地图上找到藏宝地点．【答案】⑴任取1个单位长度（如1厘米），以1个单位长为直角边作直角DEF∆,使6DE=个单位，EF=个单位；⑵连结AB，以F为圆心，AB长为半径，在射线FD上截取FG=AB；⑶过点G作GH⊥FE，垂足为点H；⑷分别以A、B为圆心，GH，FH的长为半径画弧，在AB的下侧得到点C．⑸延长BC至点P，使CP=BC．⑹过P作OX⊥BP，则OX就是X轴所在直线．⑺如图，在射线PO上截取PO=4PB，则O就是坐标原点；⑻过点O作直线OY⊥OX⑼以BC的长为单位长度，射线AC的方向为X 轴正方向，射线CB的方向为y轴正方向,建立直角坐标系，即可找到（6,6）的藏宝地点．FHGED【例13】已知()32A-，、()32B--，、()32C-，为长方形的三个顶点，⑴建立平面直角坐标系，在坐标系内描出A、B、C三点；⑵能根据这三个点的坐标描出第四个顶点D，并写出它的坐标吗？⑶描点后并进一步判断点A、B、C、D分别在哪一象限？⑷观察A、B两点，它们的坐标有何特点，位置有何特点？B与C呢？A与C呢？⑸直线AB、直线BC有何特征，你能用符号语言表达直线AB、直线BC上任一点的坐标吗？⑹求出线段AB、BC的长度，并求出长方形ABCD的面积．【答案】⑴略⑵()32D，⑶A：第二象限；B：第三象限；C：第四象限；D：第一象限⑷A、B坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，位置特点：关于x轴对称．B、C坐标特点：纵坐标相同，横坐标互为相反数，位置特点：关于y轴对称．A、C坐标特点：横、纵坐标均互为相反数，位置特点：关于原点对称．⑸直线AB y∥轴，直线BC x∥轴，直线AB上任一点可表示为()3y-，，直线BC上任一点可表示为()2x-，⑹4AB=，6BC=，24ABCDS=长方形．【例14】长方形ABCD，长6宽4，建立适当的直角坐标系，使其中B点的坐标（-3，-2），并利用这个直角坐标系表示其余顶点的坐标．【答案】因为(32)B --，，且6BC =，BC x ∥轴，所以(32)C -，，同理(32)D ，，(32)A -，．【例15】 x 取不同的值时，点(11)P x x -+，的位置不同，讨论当点P 在不同象限或不同坐标轴上时，x 的取值范围；并说明点P 不可能在哪一个象限．【答案】(1)当1x =-时，点P 在x 轴的负半轴上；(2)当1x =时，点P 在y 轴的正半轴上； (3)当1x >时，点P 在第一象限； (4)当－1＜x ＜1时，点P 在第二象限； (5)当x ＜－1时，点P 在第三象限； (6)点P 不可能在第四象限【例16】 试分别指出坐标平面内以下各直线上各点的横坐标、纵坐标的特征以及与两条坐标轴的位置关系．(1)在图1中，过A (－2，3)、B (4，3)两点作直线AB ，则直线AB 上的任意一点P (a ，b )的横坐标可以取______，纵坐标是______．直线AB 与y 轴______，垂足的坐标是______；直线AB 与x 轴______，AB 与x 轴的距离是______.图1(2)在图1中，过A (－2，3)、C (－2，－3)两点作直线AC ，则直线AC 上的任意一点Q (c ，d )的横坐标是______，纵坐标可以是______．直线AC 与x 轴______，垂足的坐标是______；直线AC 与y 轴______，AC 与y 轴的距离是______． (3)在图2中，过原点O 和点E (4，4)两点作直线OE ，我们发现，直线OE 上的任意一点P (x ，y )的横坐标与纵坐标______，并且直线OE ______∠xOy ．图2【答案】(1)任意实数，3；垂直，(0，3)，平行，3．(2)－2，任意实数；垂直，(－2，0)，平行，2． (3)相等，平分．三、 坐标与距离【例17】 已知点()1,34m m --到x 轴、y 轴的距离相等，则该点坐标为 ． 【答案】11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭．【例18】 已知：如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(100)A ，，(04)C ，，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动．当ODP △是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为________．CPBD O A xy【解析】 此题难度稍大，充分考查学生对图的阅读能力、分情况讨论能力及空间想像能力．可以发现当ODP △ 为腰长是5的等腰三角形时，有3种情况：第一种，5OD OP ==，第二种，锐角三角形5OD PD ==，第三种，钝角三角形5OD PD ==，可分别求得P 的坐标为(34)，，(24)，或(84)，．【答案】(34)，，(24)，或(84)，[备注：如果是人教版的学生，没有学习勾股定理，此题可不讲]【例19】 在A 市北300km 处有B 市，以A 市为原点，东西方向的直线为x 轴，南北方向的直线为y 轴，并以50km 为1个单位建立平面直角坐标系．根据气象台预报，今年7号台风中心位置现在C (10，6)处，并以40千米/时的速度自东向西移动，台风影响范围半径为200km ，问经几小时后，B 市将受到台风影响?并画出示意图．【答案】50×6÷40＝7.5(小时)．所以经过7.5小时后，B市将受到台风的影响．(注：图中的单位1表示50km)【例20】如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“将”位于点(12)，，则“炮”位-，，“象”位于(32)-于点( )．A.(13)-，-， D.(22)-， C.(12)， B.(21)【答案】B【例21】在平面直角坐标系中，对于平面内任一点()，，，如=-f m n m nm n，，规定以下两种变换①()()，，，如(21)(21)，，．=--g=--，，；②()()g m n m n(21)(21)f=-按照以上变换有：4g f-，等于（），，，，那么[(32)]=-=-f g f-[(34)](3)(34)A.(32)---， D.(32)，-， C.(32)， B.(32)【答案】A【点评】本题考查了一种新型的运算法则，考查了学生的阅读理解能力，此类题的难点是判断先进行哪个运算，关键是明白两种运算改变了哪个坐标的符号．【例22】有一长方形住宅小区长400m，宽300m，以长方形的对角线的交点为原点，过原点和较长边平行的直线为x轴，和较短边平行的直线为y轴，并取50m为1个单位．住宅小区内和附近有5处违章建筑，它们分别是A(3，3．5)，B(－2，2)，C(0，3．5)，D(－3，2)，E(－4，4)．在坐标系中标出这些违章建筑位置，并说明哪些在小区内，哪些不在小区内．【答案】在小区内的违章建筑有B 、D ；不在小区内的违章建筑有A 、E 、C四、关于中点坐标【例23】 如图，已知长方形ABCD 的边长3AB =，6BC =，求A 、B 两点的中点坐标及A 、D 两点的中点坐标．yxD CBA【答案】略【例24】 已知点(23)A ，，点C 为点A 与点B 的中点，(3.55)C ，，求点B 的坐标. 【答案】（5,7）课后作业1. 直角梯形ABCD 在直角坐标系中的位置如图，若5AD =，A 点坐标为(27)-，，则D 点坐标是（ ）y xODC BAA.(22)，B.(212)，C.(37)，D.(77)，【答案】C2. 点(1)P m m --，在第三象限，则m 的取值范围是______． 【答案】01m <<3. 在平面直角坐标系中，对于平面内的任意一点()P a b ，规定以下三种变换：（1）()()f a b a b =-，，，如(13)(13)f =-，，；（2）()()g a b b a =，，，如(13)(31)g =，，；（3）()()h a b a b =--，，，如(13)(13)h =--，，．按以上变换规律，求{[(53)]}g f h -，的值．【答案】（3，5）．4. 第二象限内的点()P x y ，满足9x =，24y =，则点P 的坐标是_________【答案】∵点()P x y ，在第二象限，∴0x <，0y >，又∵9x =，24y =，∴9x =-，2y =∴点P 的坐标是(92)-，．。
初二数学上学期期中知识点总结及对应例题
初二数学上学期期中知识点总结一次函数 正比例函数初二数学上学期期中复习例题例1、如图，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8，BC ＝10，求EC 的长。
例2、如图所示，△DEF 中，DE ＝17，EF ＝30，EF 边上的中线DG ＝8，试说明△DEF 是等腰三角形。
例3、下列各式中，正确的是（ ）A.2(3)3-=- B. 233-C.2(3)±±3 D. 233± 例4、已知 321x -与32y 3-互为相反数（y≠0），求yx21+的值。
例5、 ① 计算：()().212120142013+⋅- ② 比较大小：6-65-例6、在△ABC 中，AB ＝25，AC ＝30，BC 边上的高AD 为24，试求第三边BC 的长例7、求81的平方根和算术平方根。
例8、计算：(例9、如果点A（2m，3－n）在第二象限，那么点B（m－1，n－4）在第几象限？如果点M（3a＋1，4－a）在第四象限，那么a的取值范围是怎样的？例10、若点A（a，b）在第三象限的角平分线上，且它到x轴和y轴的距离之和为4，求点A的坐标。
例11、填空1. 若点A（n，2）与B（－3，m）关于原点对称，则n－m=2、已知点P（a，b），如果ab＝0，那么点P在3、点P（a，b）既在x轴上，也在y轴上，则a＝____；b＝__________．4、若点A（m，n），B（p，q）两点关于原点对称，则m、p关系为__________；n、q关系为________．5、点A在x轴上，位于原点的右侧，距离坐标原点5个单位长度，则此点的坐标为_______；点B在y轴上，位于原点下方，距离坐标原点5个单位长度，则此点的坐标为__________；点C在y轴左侧，在x轴下方，距离每个坐标轴都是5个单位长度，则此点的坐标为________．6、已知点P的坐标（x，x－1），则点A一定不在第________象限．7、在平面直角坐标系中，点P的横坐标是－3，且点P到x轴的距离为5，则点P的坐标为8、在直角坐标系中有点A在原点O北偏东30°方向上，且距离原点6个单位长度，则点A的坐标为_____________。
平面直角坐标系知识点归纳
平面直角坐标系知识点归纳1、在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；2、坐标平面上的任意一点P 的坐标，都和惟一的一对 有序实数对（b a ,）一一对应；其中，a 为横坐标，b 为纵坐标坐标；3、x 轴上的点，纵坐标等于0；y坐标轴上的点不属于任何象限；4、四个象限的点的坐标具有如下特征：5、在平面直角坐标系中，已知点P ),(b a ，则（1）点P 到x 轴的距离为b ； （26、平行直线上的点的坐标特征： a) 在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；点A 、B 的纵坐标都等于m ；b) 在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等； 点C 、D 的横坐标都等于n ；7、对称点的坐标特征：a) 点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数； b) 点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数； c) 点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数；关于x 轴对称 关于原点对称 8、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：a) 若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等；XXXXX-b) 若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；基础练习1、在平面直角坐标系中，已知点P （2,5-+m m ）在x 轴上，则P 点坐标为_________2、在平面直角坐标系中，点P （4,22-+m ）一定在_________象限；3、已知点P （)9,12--a a 在x 轴的负半轴上，则P 点坐标为_________； 4、点M （2，－3）关于x 轴的对称点N 的坐标为_______________； 关于y 轴的对称点P 的坐标为_______________；关于原点的对称点Q 的坐标为_____________。
北师大版八年级数学上册：3.2《平面直角坐标系》说课稿
北师大版八年级数学上册：3.2《平面直角坐标系》说课稿一. 教材分析《平面直角坐标系》是北师大版八年级数学上册第三章第二节的内容。
本节课的主要内容是让学生掌握平面直角坐标系的建立、坐标轴的特点、坐标的表示方法以及坐标轴上的点的坐标特点。
教材通过生动的实例和丰富的练习，使学生能够理解并熟练运用平面直角坐标系解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、一次函数和二次函数等基础知识。
他们对数学图形有一定的认识，但平面直角坐标系的概念和应用可能较为抽象。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过观察、操作和思考，理解和掌握平面直角坐标系的相关知识。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平面直角坐标系的建立、坐标轴的特点、坐标的表示方法，以及坐标轴上的点的坐标特点。
2.过程与方法目标：通过观察、操作和思考，培养学生运用平面直角坐标系解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：平面直角坐标系的建立，坐标轴的特点，坐标的表示方法。
2.教学难点：坐标轴上的点的坐标特点，以及运用平面直角坐标系解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法和探究式教学法。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型和几何画板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考如何用数学方法表示物体的位置。
2.探究平面直角坐标系：让学生观察和分析实际问题，引导学生发现平面直角坐标系的建立和特点。
3.学习坐标表示方法：讲解坐标的表示方法，让学生通过实际操作，掌握坐标轴上的点的坐标特点。
4.应用与拓展：让学生运用平面直角坐标系解决实际问题，培养学生的应用能力。
5.总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生思考如何更好地运用平面直角坐标系。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出重点。
平面直角坐标系、实数、相交平行线复习213-8-7
22 可，无理数的个数是（ 、 3 、 3 343 、 3.1416 、 0.3 7
）
教学过程
A 、1 个 B、 2 个 C、 3 个 D、 4 个 5、与数轴上的点建立一一对应的是（ ） A、全体有理数 B、全体无理数 C、 全体实数 D、全体整数 6、如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（ ） A、0 B、正实数 C、0 和 1 D 、1 7、下列说法错误的是（ ） A、 3 是 3 的平方根之一 C、3 的平方根就是 3 的算术平方根 8、下列说法不正确的是（ ） ． B、 3 是 3 的算术平方根 D、 3 的平方是 3
学海无涯，翰林作舟
教师姓名 学 阶 科 段 张华 数学 第（ ）周 学生姓名 年 级 陈婉君 七年级 维护期：□ 填写时间 教材版本 上课时间 课时计划 2013-8-6 人教版
2013-8-7 AM10：00-12：00 第（ 11 ）次课 共（ ）次课
观察期：□
课题名称 教学目标 教学重点 难 点
2
a b, ab
在第二象限，那么点 N a, b 在第＿＿＿象限． ．
7、若点 M 2m 1,3 m 关于 y 轴的对称点 M′在第二象限，则 m 的取值范围是
8、在平面直角坐标系中，A，B，C 三点的坐标分别为（0，0） ， （0，-5） ， （-2，-2） ，•以这三点为 平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在第_______象限． 9、在平面直角坐标系中，以点 P 1,2 为圆心，1 为半径的圆必与 x 轴有 10、如果点 M（3a-9,1-a）是第三象限的整数点，则 M 的坐标为__________； 11、已知点 M a 3,4 a 在 y 轴上，则点 M 的坐标为＿＿＿＿＿． 12、若点 P（a，b）在第三象限，则点 P （－a，－b＋1）在第 象限。 四．解答题 1、在平面直角坐标系内，已知点（1-2a，a-2）在第三象限的角平分线上，求 a 的值及点的坐标？
实数 平面直角坐标系 S版
)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧(0,1,2,3)(1,2,3)12()(,)23()12(,)23⎧⎧⎨⎪---⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪--⎪⎪⎩⎩ 自然数整数负整数有理数整数有限小数无限循环小数正分数分数小数负分数⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数实数一、知识概念1.算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，记作a 。
0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a≥0时,a 才有算术平方根。
2.平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a ，即x 2=a ，那么数x 就叫做a 的平方根。
3.正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。
4.正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
5.数a 的相反数是-a ，一个正实数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是06.根式运算))0,0(0,0>≥=≥≥=⨯b a baba b a ab b a 7.实数的分类二、考点1．规定：一个数的平方等于﹣1，记作i 2＝﹣1，于是可知i 3＝i 2×i ＝（﹣1）×i ，i 4＝（i 2）2＝（﹣1）2＝1……，按照这样的规律，i 2019等于（）A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i2．若|a |＝4， t ，且a +b ＜0，则a ﹣b 的值是（）A ．1，7B ．﹣1，7C ．1，﹣7D ．﹣1，﹣73．如果t tt 1.333，t tt 2.872，那么tt ⺁约等于（）A ．28.72B ．0.2872C ．13.33D ．0.13334．如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别是a、6、c．已知AB＝8，a+c＝0，且c是关于x的方程mx﹣4x+16＝0的一个解，则m的值为（）A．﹣4B．2C．4D．65．估计2 t 2的值介于下列哪两个整数之间（）A．2和3B．3和4C．4和5D．5和66．16的算术平方根是（）A．4B．﹣4C．±4D．87．如图，正方形的周长为8个单位．在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表示﹣3的点重合，再将数轴按顺时方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2019的点与正方形上的数字对应的是（）A．0B．2C．4D．68．下列说法错误的有（）个①互为相反数的数的立方根也互为相反数；② 不是整式；③算术平方根等于它本身的数只有零；④实数和数轴上的点一一对应；⑤任何两数相加，和不小于任何一个加数．A．1B．2C．3D．49．在 ，3.1415926，（π﹣2）0，﹣3，t t， ，0这些数中，无理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个10．设 t t h h t h h t t h h t t h ．其中a，b，c，d是正实数，且满足a+b+c+d＝1．则p满足（）A．p＞5B．p＜5C．p＜2D．p＜311．t h（ ）2＝．12．元宵联欢晚会上，魔术师刘谦表演了一个魔术，用几个小正方形拼成一个大的正方形，现有四个小正方形的面积分别为a、b、c、d，且这四个小正方形能拼成一个大的正方形，则这个大的正方形的边长为．13．已知甲数是 的平方根，乙数是t t 的立方根，则甲、乙两个数的积是．14．（t 1.733）2的算术平方根是．15．若|a| ，则 t 的相反数是．16．若一个数a的相反数等于它本身，则tt t t h h t t ．17．求出下列各数的相反数，在数轴上表示下列各数以及它们的相反数，并用“＜”连接：，t ，0，t ．18．如果一个正数a的两个平方根分别是x+2和3﹣2x，求：（1）x和这个正数a的值；（2）22﹣a的立方根．19．（1）计算： t h t 䁑h（2）求x的值：（x﹣5）3＝﹣8（3） h t h t⺁t t h（4）|7 |﹣| |20．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是 t的整数部分．（1）求a，b，c的值；（2）求3a﹣b+c的平方根．21．已知A h h h h t是m+n+3的算术平方根，B h h h是m+2n的立方根，求B﹣A的值．22．阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵22＜7＜32，即2＜ ＜3，∴ 的整数部分为2，小数部分为 2．请解答：（1） ⺁的整数部分是，小数部分是．（2）如果t的小数部分为a，t 的整数部分为b，求a+b t的值；（3）已知：x是3h t的整数部分，y是其小数部分，请直接写出x﹣y的值的相反数．23．如图是一块正方形纸片．（1）如图1，若正方形纸片的面积为1dm2，则此正方形的对角线AC的长为dm．（2）如图2，若正方形的面积为16cm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为12cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，他能裁出吗？请说明理由？24．如图，正方形ABCD 的边AB 在数轴上，数轴上点A 表示的数为﹣1，正方形ABCD 的面积为16．（1）数轴上点B 表示的数为；且BF（2）将正方形ABCD 沿数轴水平移动，移动后的正方形记为A ′B ′C ′D ′，移动后的正方形A ′B ′C ′D ′与原正方形ABCD 重叠部分的面积为S ．①当S ＝4时，画出图形，并求出数轴上点A ′表示的数；②设正方形ABCD 的移动速度为每秒2个单位长度，点E 为线段AA ′的中点，点F 在线段BB ′上，䁑BB ′．经过t 秒后，点E ，F 所表示的数互为相反数，直接写出t 的值．25．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：操作一：（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：①t 表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A 、B 两点之间距离为8（A 在B 的左侧），且A 、B 两点经折叠后重合，则A 、B 两点表示的数分别是；操作三：（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是．平面直角坐标系一、知识框架二、知识概念1.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b）2.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
初中数学第七章平面直角坐标系课程详细标准
第七章平面直角坐标系课程详细标准一、新课程标准对本章的要求1、坐标与图形位置（1）结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置.（2）理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标.（3）在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置（参见例66）.（4）会写出矩形的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形.（5）在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置（参见例67）.2．坐标与图形运动（1）在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系.（2）在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系.（3）在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化.（4）在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一个边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的.二、教学参考书对本章的要求伟大的法国数学家笛卡儿（Descarts，1596—1650）创立了直角坐标系，用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点.他进而创立了解析几何学，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来.他的这一天才创见，为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域.正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了.”平面直角坐标系架起了数与形之间的桥梁；提前安排平面直角坐标系是本套教科书体系安排上的一个特点.原教科书有关平面直角坐标系的内容只有2课时，放在初中三年级“函数”一章，作为学习函数的基础知识来安排.这套教科书将“平面直角坐标系”单独设章，7课时，放在7年级下学期学习，目的是让学生尽早接触平面直角坐标系这个数学工具，尽早感受数形结合的思想.（一）本章学习目标如下.1.通过实例认识有序数对，感受它在确定点的位置中的作用.2.认识平面直角坐标系，了解点与坐标的对应关系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标（横、纵坐标为整数）描出点的位置，能由点的位置写出点的坐标（横纵坐标为整数）.3.能在方格纸中建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置，体会平面直角坐标系在解决实际问题中的作用.4.在同一平面直角坐标系中，能用坐标表示平移变换；通过研究平移与坐标的关系，使学生看到平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，感受代数问题与几何问题的相互转换.5.结合实例，了解可以用不同的方式确定物体的位置.（二）本章知识结构框图（三）内容安排本章的主要内容包括平面直角坐标系的有关概念和点与坐标（横、纵坐标均为整数）的对应关系，以及用坐标表示地理位置和用坐标表示平移等内容.教科书首先从实际中需要确定物体的位置（如从确定电影院中座位的位置以及确定教室中学生座位的位置出发，引出有序数对的概念，指出利用有序数对可以确定物体的位置，由此联想到是否可以用有序数对表示平面内点的位置的问题，结合数轴上确定点的位置的方法，引出平面直角坐标系，学习平面直角坐标系的有关概念，如横轴、纵轴、原点、坐标、象限，建立点与坐标（横、纵坐标整数）的对应关系等.对于坐标方法的简单应用，本章主要学习平面直角坐标系在确定地理位置和表示平移变换中的应用.用坐标表示地理位置体现了坐标系在实际生活中的应用.本章在安排这部分内容时，首先设置一个观察栏目，让学生观察地图上是怎样利用坐标表示一个地点的地理位置的，从中得到启发，来学习建立坐标系，确定一个地点的地理位置的方法.接下去教科书设置了一个探究栏目，要求学生画出一幅地图，标出学校和三位同学家的位置.要用平面直角坐标系表示地理位置，就要考虑如何建立坐标系的问题，首先是确定原点和坐标轴的正方向，教科书选用了以学校为原点，向东为x轴正方向，向北为y 轴正方向建立坐标系，并确定一定的比例尺，根据三位同学家的位置情况，在坐标系中标出这些地点的位置，并归纳给出绘制平面示意图的一般过程.用坐标表示平移，从数的角度刻画了第5章平移的内容，本章主要研究点（或图形）的平移（上、下、左、右平移）引起的点（或图形顶点）坐标的变化，以及点（或图形顶点）坐标的变化引起的点（或图形）的平移.教科书首先设置一个探究栏目，分析在平面直角坐标系中，将一个已知点向右（或向左）平移某个单位长度得到一个新点，这个点的坐标与平移前的点的坐标有什么关系，同样如果将这个点分别向上（或向下）平移某个单位长度得到新的点，这个点与平移前点的坐标又有什么关系；通过分析平移前后点的坐标的变化，发现坐标的变化规律，比如将一个点向右平移某个单位长度，平移后得到的点的坐标是纵坐标不变，横坐标加上这个单位长度.对于图形的平移引起的图形顶点坐标的变化，教科书是在练习中给出的，让学生自己完成.从这个练习的安排上可以看出，本套教科书对于练习有一种新的考虑，就是练习不全是对正文内容的复习和巩固，有些练习是正文的一部分，是正文内容的延伸和拓展.接下去教科书讨论了一个三角形顶点坐标的某种规律性变化引起的三角形的平移.比如，将三角形三个顶点的横坐标都减去某个正数，纵坐标不变，得到三个新的点，连接这三个点，得到一个新的三角形，这个新三角形与原来的三角形在大小、形状和位置上有什么关系等，通过探究发现这两个三角形大小形状完全相同，只是位置不同──实际上是对三角形进行平移，在此基础上教科书归纳给出了有关的规律.（四）课时安排本章教学时间约需7课时，具体分配如下（仅供参考）：6.1 平面直角坐标系（3课时）6.2 坐标方法的简单应用（3课时）数学活动小结（1课时）（五）编写本章时考虑的问题（一）注意加强知识间的相互联系平面直角坐标系是以数轴为基础的，两者之间存在着密切的联系：平面直角坐标系是由两条相互垂直、原点重合的数轴构成的，坐标平面内点的坐标是根据数轴上点的坐标定义的，平面内点与坐标的对应关系类似于数轴上点与坐标的对应关系.本章编写时注意突出了平面直角坐标系与数轴的联系.对于平面直角坐标系的引入，教科书首先从学生熟悉的数轴出发，给出点在数轴上的坐标的定义，建立点与坐标的对应关系，在此基础上，教科书类比数轴，探讨了在平面内确定点的位置的方法，引出平面直角坐标系，给出平面直角坐标系的有关概念.这样通过加强平面直角坐标系与数轴的联系，可以帮助学生更好地理解点与坐标的对应关系，顺利地实现由一维到二维的过渡.（二）突出数形结合的思想，体现平面直角坐标系的作用无论是在数学还是在其他领域，平面直角坐标系都有着非常广泛的应用.由于平面直角坐标系的引入，架起了数与形之间的桥梁，使得我们可以用几何的方法研究代数问题，又可以用代数的方法研究几何问题.对于平面直角坐标系的这种桥梁作用，本套教科书给予了充分重视：本章中，编写了利用坐标的方法研究平移的内容，从数的角度刻画平移变换，这就是用代数的方法研究几何问题，体现了平面直角坐标系在数学中的作用.通过对本章的学习，让学生看到平面直角坐标系的引入，加强了数与形之间的联系，它是解决数学问题的一个强有力的工具.用坐标表示地理位置体现了坐标系在实际生活中的应用.用经纬度表示地球上一个地点的地理位置，用极坐标表示区域内地点的位置，用平面直角坐标表示区域内地点的位置，等等，实际上都是利用了有序数对与点的对应关系，是坐标与点一一对应思想的表现.教科书突出了这种对应关系，利用这种对应关系研究了如何建立坐标系用坐标表示地理位置的问题，使学生体会到坐标思想在解决实际问题中的作用.（三）注重学生的认知规律本章编写时，改变了原教科书从数学的角度引出坐标系的做法，而是将本章内容的编写仅仅围绕着确定物体的位置展开，从实际生活中确定物体的位置出发引出坐标系，也就是从实际需要引出坐标系这个数学问题，然后展开对坐标系的研究，认识坐标系的有关概念和建立坐标系的方法，最后再利用坐标系解决生活中确定地理位置的问题，让学生经历由实际问题抽象出数学问题，再通过对数学问题的研究解决实际问题的过程，也就是经历“实践──理论──实践”的认识过程.（四）内容编写生动活泼本章编写时，注意结合本章内容的特点，将枯燥的数学问题赋予了有趣的实际背景，使内容更符合学生的年龄特点，激发学生学习数学的兴趣.例如，教科书习题6.2的第1题“三架飞机P、Q、R 保持编队飞行，分别写出它们的坐标.30秒后，飞机P 飞到P′位置，飞机Q、R 飞到了什么位置？分别写出这三架飞机新位置的坐标”，这个问题实际上是一个三角形平移的问题.再比如，让学生画出本学校的平面示意图，用坐标表示动画制作过程中小鸭子的位置变化，用坐标表示某地古树名木的位置等.从数学上讲这些都是关于点与坐标对应关系的问题，本章编写时注意给这些数学问题加上一个有趣的背景，增加了学生学习本章内容的兴趣.（六）对本章教学的建议（一）密切联系实际本章内容的编写仅仅围绕着确定物体的位置这一问题.教科书首先从建国50周年庆典中的背景图案、确定电影院中座位的位置以及确定教室中学生座位的位置等实际出发，引出有序数对，进而引入平面直角坐标系.通过对坐标系的研究，认识坐标系的有关概念和建立坐标系的方法，然后再利用坐标系解决生活中确定地理位置的问题（如确定同学家的位置等），让学生经历由实际问题抽象出数学问题，再通过对数学问题的研究解决实际问题的过程.这样的一种处理，不是从数学角度引入平面直角坐标系，而是密切联系生活实际，从实际的需要出发学习直角坐标系.教学中可以结合学生的实际情况，利用学生周围熟悉的素材学习本章内容，让学生充分感受平面直角坐标系在解决实际问题中的作用.（二）准确把握教学要求对于某些重要的概念和方法，本套教科书采用了螺旋上升的编排方式.例如，对于平移变换，教科书首先在上一章“相交线与平行线”中安排了一节“平移”，探讨得出“对应点的连线平行且相等”等平移变换的基本性质；在本章又安排了一小节“用坐标表示平移”的内容，用坐标刻画了平移变换，从数的角度进一步认识平移变换.对平移变换以后还要继续学习，例如在本册书第10章“实数”进一步安排了在实数范围内研究平移的内容，在八年级下册“四边形”一章中，将对“对应点的连线平行且相等”这条平移变换的基本性质进行论证，为后续学习利用平移变换探索几何性质以及综合运用几种变换（平移、旋转、轴对称、相似等）进行图案设计等打下基础.对于平面直角坐标系，本章只要求学生会在方格纸中建立直角坐标系，能根据坐标描出点的位置，能由点的位置写出点的坐标，其中点的坐标都是整数，这实际研究了点与有序整数对的对应关系.在第10章“实数”中将把点的坐标扩展到实数范围，并建立点与有序实数对的一一对应关系，为后续学习函数的图象、函数与方程和不等式的关系等问题打下基础.因此，教学中要注意内容安排的这个特点，准确把握本章对于平移变换和平面直角坐标系的教学要求，以一个动态的、发展的观点看待教学要求.（三）注意留给学生思考的空间本章编写时，注意结合本章内容特点，利用一些“探究”“思考”“归纳”等栏目，给学生留出了较大的思考空间.例如，在6.2.2小节中，教科书首先设置一个“探究”栏目，让学生探究将几个已知坐标的点上、下、左、右平移后得到新的点，各对应点之间的坐标有怎样的变化规律，接下去就设置一个“归纳”栏目，栏目中留有空白，让学生写出平移过程中对应点的坐标的变化规律.这实际上让学生经历了一个由特殊到一般的归纳过程.对于这个规律的获得，教科书仅用了两个栏目，篇幅很少，而给学生留出了较大的探索空间.因此，教学中，要注意留给学生足够的时间，使学生充分活动起来，通过探究发现并总结规律.对于这些规律，不要让学生死记硬背，而要让学生在坐标系中，结合图形的变换理解这些结论.三、具体知识点及详细标准【知识点1】有序数对（一）定义我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）.（二）学习目标1、理解有序数对的意义.2、能用有序数对表示实际生活中物体的位置3、经历用有序数对表示位置的过程，体验数、符号是描述世界的重要手段，体验数形结合思想（三）重点难点教学重点：利用有序数对准确地表示出一个点的位置教学难点：有序数对中有序的理解（四）基本题型【题型1】根据所给信息确定位置（★）如右下图，红马的位置是（2，1），你能表示出红帅、红车、红炮的位置吗？【题型2】有序数对的应用（★）1、如果将一张“12排10号”的电影票记为（12，10），那么（10，12）的电影票表示的位置是，“6排25号”简单记为2、下列数据不能确定物体位置的是（）（★）A、希望路25号B、北偏东30°C、东经118°北纬40°D、西南方向50米处【知识点2】平面直角坐标系（一）定义：用平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系. 水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标的交点为平面直角坐标系的原点.（注意：在一般情况下，两条坐标轴所取的单位长度是一致的.）（二）学习目标1、掌握平面直角坐标系的有关概念；了解点的坐标的意义2、根据点的位置写出点的坐标，能建立平面直角坐标系，并根据坐标找点；3、通过建立平面直角坐标系的过程，进一步渗透数形结合的思想（三）重点难点教学重点：平面直角坐标系和点的坐标教学难点：在平面直角坐标系中根据点的位置写出点的坐标，由坐标描出点（四）基本题型【题型1】平面直角坐标系概念（★）下列语句不正确的是（）A平面直角坐标系中，两条互相垂直的数轴的垂足是原点B平面直角坐标系所在的平面叫做坐标平面C坐标平面上的点与有序数对一一对应D凡是两条互相垂直的直线都能组成平面直角坐标系【题型2】根据点的位置写出坐标（★）请你在图中标出点A、B、C、D、E 、F在直角坐标系中的坐标.【题型3】根据点的坐标作图（★）在平面直角坐标系中描出下列各点，并用线段顺次连接起来（-9,0）（-9,3）（-10,3）（-6,5）（-2,3）（-3,3）（-3,0）（-9,0）【知识点3】平面直角坐标系中的特殊点的特点与规律（一）（二）学习目标1、掌握各象限内点的坐标符号的特点.2、了解关于坐标轴对称的点的坐标特点，及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特点3、经历探索点的位置与坐标之间的关系的过程，发展学生有条理、清晰的阐述自己的观点的能力（三）重点难点教学重点：平面直角坐标系中的特殊点的特点与规律教学难点：探索特殊点与坐标之间的关系（四）基本题型【题型1】由点的坐标确定点的位置1、点M(-2,3)在第象限,则点N(-2,-3)在____象限.，点P(2, -3) 在____象限，点Q(2, 3) 在____象限.（★）2、如果a－b＜0,且ab＜0,那么点(a，b)在( )（★★）A、第一象限B、第二象限C、第三象限,D、第四象限.3、如果xy＜0，那么点P（x，y）在（）（★★）(A) 第二象限 (B) 第四象限 (C) 第四象限或第二象限 (D) 第一象限或第三象限4、点P位于y轴左方，距离y轴3个单位长度，位于x轴的上方，距离x轴4个单位长度，则点P的坐标是（★★）【题型2】由点的位置确定点的坐标如图所示，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“将”位于点（1，-2），“象”位于点（3,-2），则“炮”位于点 . （★）炮将象【题型3】根据点到坐标轴的距离求点的坐标P(x,y)到x轴的距离是y，到y轴的距离是x1、点A(-2,-1)与x轴的距离是________，与y轴的距离是________.（★）2、如果点A到y轴的距离是4，到x轴的距离是3，则M的坐标为 .（★★）【题型4】坐标轴上的点的坐标特征点在x轴上，坐标为（x,0）在x轴的负半轴上时，x<0, 在x轴的正半轴上时，x>0 点在y轴上，坐标为（0,y）在y轴的负半轴上时，y<0, 在y轴的正半轴上时，y>01、点P（a-1，2a-9）在x轴负半轴上，则P点坐标是.（★）2、点A(3,a)在x轴上,点B(b,4)在y轴上,则a=______,b=______.（★）3、如果点A（m，n）的坐标满足mn=0，则点A在（）（★★）A. 原点上B. x轴上C. y轴上D. 坐标轴上【题型5】平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同.1、已知长方形ABCD中，AB=5，BC=3，并且AB∥x轴，若点A的坐标为（－2，4），求点C的坐标.（★★）2、已知点A（m，-2），点B（3，m-1），且直线AB∥x轴，则m的值为.（★★）3、平行于x轴的直线上的点的纵坐标一定（）（★★）A．大于0 B．小于0 C．相等D．互为相反数4、已知:A(1,2),B(x,y),AB∥x轴,且B到y轴距离为2,则点B的坐标是.（★★）【题型6 】关于坐标轴对称的点的坐标特征关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数1、已知A(－3，5)，则该点关于x轴对称的点的坐标为_________；关于y轴对的点的坐标为____________；关于原点对称的点的坐标为___________；关于直线x=2对称的点的坐标为____________.（★）2、若点A(m,-2),B(1,n)关于原点对称,则m= ,n= .（★）【题型7】象限角平分线上的点的坐标特征第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同(即在y=x直线上)；坐标点（x，y）xy>0第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反(即在y= -x直线上)；坐标点（x，y）xy<01、若点(a ,2)在第二象限,且在两坐标轴的夹角平分线上,则a= .（★）2、已知点P（x2-3，1）在一、三象限夹角平分线上，则x= .（★）【题型8】根据点的坐标特征求点的坐标1、在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（0，0），（0，-5），（-2，-2），以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在第_______象限．（★★）2、直角坐标系中，一长方形的宽与长分别是6，8，对角线的交点在原点，两组对边分别与坐标轴平行，求它各顶点的坐标.（★）3、已知三点A （0，4），B （—3，0），C （3，0），现以A 、B 、C 为顶点画平行四边形，请根据A 、B 、C 三点的坐标，写出第四个顶点D 的坐标.（★★）【题型9】 利用平面直角坐标系解决创新问题（★★）若1a +（b+2）2=0，则点M （a ，b ）关于y 轴的对称点的坐标为_______．【题型10】 平面直角坐标系中的面积计算（★★）已知四边形ABCD 各顶点的坐标分别是A （0，0），B （3，6），C （14，8），D （16，0），求四边形ABCD 的面积.【题型11】探究平面直角坐标系中点的变化规律1、如图，在平面直角坐标系上有点A （1，0），点A 第一次跳动至点A 1（-1，1），第四次向右跳动5个单位至点A 4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A 第100次跳动至点A 100的坐标是 ．（★★★）2、如图所示，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…顶点依次用A 1，A 2，A 3，A 4…表示，则顶点A 55的坐标为( ). （★★★）A．(13，13)B．(-13，-13)C．(14，14)D．(-14，-14)【知识点3】用坐标表示地理位置（一）用坐标和方位角表示位置（二）学习目标1、通过学生的动手探究得出实际问题中建立平面直角坐标系的基本方法，并能结合具体情境运用坐标描述地理位置.2、通过体会平面直角坐标系在解决实际问题中的作用，加深学生对数学重要性的认识，激发学生学习数学的热情.3、通过生生交流合作，师生交流探讨，培养学生与他人合作的良好品质.（三）重点难点教学重点：根据具体情境建立平面直角坐标系，用坐标描述地理位置教学难点：根据具体情境建立适当的平面直角坐标系（四）基本题型【题型1】用平面直角坐标系表示地理位置（★）根据以下条件建立平面直角坐标系，标出文化广场、一小、实验中学、实验小学的位置，并写出坐标.一小：从文化广场向北走400米，再向东走200米实验中学：从文化广场向西走600米，再向北走300米，再向西走100米实验小学：从文化广场向南走100米，再向东走100米【题型2】用方位角和距离表示物体的位置（★）1、下面说法中，不能确定位置的是（）A 甲在乙南偏西40°方向20m处B甲在乙北偏东30°方向10m处C甲在乙南正西方20m处 D 甲距乙50m2、广场在学校北偏西30°，则学校在广场________【知识点4】用坐标表示平移（一）平移1、定义：把一个图形整体沿着某一方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移.2、平移规律：上加下减，右加左减3、平移后图形的位置改变，形状和大小不变；新图形和原图形对应点的连线平行且相等.（二）学习目标1、掌握点的坐标变化与点和图形平移的关系；会根据的点的坐标的变化，来判定点的移动过程2、经历探索点坐标变化与点和图形平移的关系，发展学生的形象思维能力和数形结合意识（三）重点难点教学重点：掌握坐标变化与点和图形平移的关系 教学难点：探索坐标变化与点和图形平移的关系（四）基本题型【题型1】 知平移求坐标（★）1、将点A （-4，2）向上平移3个单位长度得到的点B 的坐标是（ ） A. （-1，2） B. （-1，5） C. （-4，-1） D. （-4，5）2、已知三角形三个顶点的坐标分别是A （—2，3）B （—4，—1）C （2，0），现将三个顶点先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是_________________【题型2】 由坐标定平移（★）已知△ABC,A(-3,2),B(1,1),C(-1,-2),现将△ABC 平移,使点A 到点(1,-2) 的位置上,则 点B,C 的坐标分别为______,________.【题型3】 平移作图（★★）如图，①写出△ABC 各顶点坐标②△111C B A 是由△ABC 向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的，请在图中画出△111C B A ③求出△ABC 的面积。
初一平面直角坐标系所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
初一平面直角坐标系所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习（含答案解析）知识点：1、对应关系：平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应。
2、平面内两条互相垂直、原点重合组成的数轴组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向;竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上为正方向;两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴,y轴作垂线，垂足分别在x轴,y轴上，对应的数a，b分别叫点P的横坐标和纵坐标.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。
坐标轴上的点不在任何一个象限内3、三大规律（1）平移规律：点的平移规律左右平移→纵坐标不变，横坐标左减右加;上下平移→横坐标不变,纵坐标上加下减。
图形的平移规律找特殊点（2)对称规律关于x轴对称→横坐标不变,纵坐标互为相反数；关于y轴对称→横坐标互为相反数,纵坐标不变；关于原点对称→横纵坐标都互为相反数.常考题：一．选择题（共15小题）1．点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为(）A．（﹣4,3）B．(﹣3，﹣4） C．（﹣3，4）D．（3，﹣4)2．如图，小手盖住的点的坐标可能为（）A．（5，2) B．（﹣6,3）C．（﹣4，﹣6) D．（3，﹣4）3．如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2,3），棋子“马"的坐标为（1，3)，则棋子“炮”的坐标为（)A．(3，2）B．（3，1） C．(2,2）D．（﹣2，2）4．在平面直角坐标系中，点（﹣1，m2+1)一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．线段CD是由线段AB平移得到的．点A(﹣1，4）的对应点为C（4，7),则点B(﹣4，﹣1)的对应点D的坐标为（）A．（2，9） B．（5，3） C．（1,2）D．（﹣9，﹣4）6．如图,A，B的坐标为（2，0）,（0，1）,若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（)A．2 B．3 C．4 D．57．点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位,再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（)A．（﹣3，0）B．（﹣1，6）C．（﹣3,﹣6）D．（﹣1，0）8．如果点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，P点坐标为(）A．（0,2) B．（2,0）C．（4，0） D．（0，﹣4）9．课间操时，小华、小军、小刚的位置如图1，小华对小刚说，如果我的位置用（0，0）表示,小军的位置用（2,1）表示,那么你的位置可以表示成()A．（5,4) B．(4，5）C．（3，4） D．（4，3）10．在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度,再向上平移3个单位长度后与点B（﹣3，2）重合,则点A的坐标是（）A．(2,5）B．（﹣8，5) C．(﹣8，﹣1) D．（2，﹣1）11．在平面直角坐标系中,若点P(m﹣3，m+1）在第二象限，则m的取值范围为（）A．﹣1＜m＜3 B．m＞3 C．m＜﹣1 D．m＞﹣112．若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限13．在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发,第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位,第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位,当走完第100步时,棋子所处位置的坐标是(）A．(66，34）B．（67,33) C．（100，33）D．（99,34）14．小明的家，学校和书店依次坐落在一条南北方向的大街上,学校在家南边20米，书店在家北边100米，小明从家出来向北走了50米,又向北走了﹣70米，此时,小明的位置在（）A．家B．学校C．书店D．不在上述地方15．如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录．根据图中两人的对话纪录，若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家,则此走法为何？（)A．向北直走700公尺，再向西直走100公尺B．向北直走100公尺，再向东直走700公尺C．向北直走300公尺,再向西直走400公尺D．向北直走400公尺，再向东直走300公尺二．填空题（共10小题）16．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n),规定以下两种变换：（1）f（m,n)=（m，﹣n）,如f（2，1）=（2，﹣1）；（2）g（m,n）=(﹣m，﹣n），如g （2，1）=（﹣2，﹣1)按照以上变换有：f[g（3，4）]=f（﹣3，﹣4)=（﹣3,4)，那么g［f（﹣3，2）］=．17．已知点M（3，﹣2)，将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是．18．如图，把“QQ"笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是(﹣2，3),嘴唇C点的坐标为（﹣1，1)，则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是．19．若第二象限内的点P（x，y)满足|x｜=3，y2=25，则点P的坐标是．20．如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为（﹣7,﹣4），白棋④的坐标为（﹣6，﹣8）,那么黑棋①的坐标应该是．21．如图,将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点"的纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的,那么点A的对应点A′的坐标是．22．如图，这是台州市地图的一部分,分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1km，甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A 处的位置．则椒江区B处的坐标是．23．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发,按向上，向右,向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1(0，1）,A2（1，1），A3（1,0），A4(2，0)，…那么点A4n+1（n为自然数)的坐标为（用n表示）．24．一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟,它从原点运动到（0，1）,然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1,1）→(1,0）→…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是．25．如图,在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→"方向排列,如（1，0），（2，0）,(2，1），（3,2），（3,1），（3，0)(4，0）根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为．三．解答题（共15小题）26．如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上,其中，C点坐标为（1，2）．（1）写出点A、B的坐标：A（，）、B(，)（2)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′,则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′（，)、B′(，）、C′（，）．(3）△ABC的面积为．27．王霞和爸爸、妈妈到人民公园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图,如图所示．可是她忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道游乐园D的坐标为（2,﹣2），你能帮她求出其他各景点的坐标吗?28．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+3)，从B到A记为:A→B（﹣1,﹣3），其中第一个数表示左右方向,第二个数表示上下方向，那么图中（1）A→C（，），B→D(，），C→（+1，）；（2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D,请计算该甲虫走过的路程；（3)若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+1,﹣1），（﹣2,+3)，(﹣1,﹣2），请在图中标出P的位置．29．如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(0，0)、B（9，0）、C（7,5)、D（2，7)．求四边形ABCD的面积．30．小明的爷爷退休生活可丰富了!下表是他某日的活动安排．和平广场位于爷爷家东400米，老年大学位于爷爷家西600米．从爷爷家到和平路小学需先向南走300米,再向西走400米．早晨6：00﹣7：00与奶奶一起到和平广场锻炼上午9:00﹣11：00与奶奶一起上老年大学下午4：30﹣5:30到和平路小学讲校史（1)请依据图示中给定的单位长度,在图中标出和平广场A、老年大学B与和平路小学的位置;（2）求爷爷家到和平路小学的直线距离．31．已知点A（﹣1，﹣2)，点B（1，4）（1)试建立相应的平面直角坐标系;（2）描出线段AB的中点C,并写出其坐标；（3）将线段AB沿水平方向向右平移3个单位长度得到线段A1B1,写出线段A1B1两个端点及线段中点C1的坐标．32．在平面直角坐标系中，点M的坐标为（a,﹣2a）．（1）当a=﹣1时，点M在坐标系的第象限；(直接填写答案）（2)将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N，当点N在第三象限时，求a的取值范围．33．已知:A（0，1），B（2，0）,C（4，3）(1)求△ABC的面积；（2)设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．34．如图，在下面直角坐标系中,已知A（0，a），B（b，0)，C(b,c)三点，其中a、b、c满足关系式|a﹣2｜+（b﹣3）2=0，（c﹣4）2≤0（1)求a、b、c的值;（2）如果在第二象限内有一点P（m,），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；(3)在(2）的条件下,是否存在点P,使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等?若存在，求出点P的坐标,若不存在，请说明理由．35．如图，已知A（﹣2，3)、B（4,3)、C（﹣1，﹣3）（1）求点C到x轴的距离;(2）求△ABC的面积;（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时,请直接写出点P的坐标．36．有趣玩一玩:中国象棋中的马颇有骑士风度,自古有“马踏八方”之说,如图,按中国象棋中“马"的行棋规则，图中的马下一步有A、B、C、D、E、F、G、H八种不同选择，它的走法就象一步从“日"字形长方形的对角线的一个端点到另一个端点,不能多也不能少．要将图中的马走到指定的位置P处，即从（四，6）走到（六，4),现提供一种走法:（四,6)→（六,5）→（四，4）→(五，2）→（六,4)（1）下面是提供的另一走法，请你填上其中所缺的一步:（四，6）→(五，8）→(七，7）→→(六，4）(2)请你再给出另一种走法(只要与前面的两种走法不完全相同即可，步数不限），你的走法是:．你还能再写出一种走法吗．37．如图，在直角坐标系中，四边形ABCD 各个顶点的坐标分别是A （﹣2，﹣3)、B （5，﹣2)、C （2,4）、D （﹣2，2)，求这个四边形的面积．38．如图，在平面直角坐标系中，点A,B 的坐标分别为（﹣1，0）,（3,0），现同时将点A,B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC,BD ．(1）求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积S 四边形ABDC ；（2）在y 轴上是否存在一点P ，连接PA,PB ，使S △PAB =S 四边形ABDC ？若存在这样一点，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．39．如图，长方形OABC 中，O 为平面直角坐标系的原点,A 点的坐标为(4，0），C 点的坐标为（0，6），点B 在第一象限内，点P 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O ﹣A ﹣B ﹣C ﹣O 的路线移动（即:沿着长方形移动一周)．（1）写出点B 的坐标（ ）．（2）当点P 移动了4秒时，描出此时P 点的位置，并求出点P 的坐标．（3）在移动过程中，当点P 到x 轴距离为5个单位长度时，求点P 移动的时间．40．先阅读下列一段文字,在回答后面的问题．已知在平面内两点P1（x1，y1)、P2（x2，y2），其两点间的距离公式,同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1｜或｜y2﹣y1｜．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8）,试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5,点B的纵坐标为﹣1,试求A、B两点间的距离．（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6)、B（﹣3，2）、C(3，2），你能判定此三角形的形状吗?说明理由．初一平面直角坐标系所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习（含答案解析）参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2007•舟山）点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为（)A．（﹣4,3) B．（﹣3,﹣4）C．（﹣3,4) D．（3，﹣4）【分析】先根据P在第二象限内判断出点P横纵坐标的符号，再根据点到坐标轴距离的意义即可求出点P的坐标．【解答】解：∵点P在第二象限内，∴点的横坐标＜0，纵坐标＞0，又∵P到x轴的距离是4，即纵坐标是4，到y轴的距离是3，横坐标是﹣3，∴点P的坐标为（﹣3，4）．故选：C．【点评】解答此题的关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的坐标符号，及点的坐标的几何意义．2．（2007•长春）如图,小手盖住的点的坐标可能为（）A．(5,2）B．（﹣6，3）C．(﹣4，﹣6） D．（3，﹣4)【分析】根据题意，小手盖住的点在第四象限，结合第四象限点的坐标特点,分析选项可得答案．【解答】解:根据图示，小手盖住的点在第四象限,第四象限的点坐标特点是:横正纵负；分析选项可得只有D符合．故选D．【点评】解决本题解决的关键是记住各象限内点的坐标的符号，进而对号入座，四个象限的符号特点分别是:第一象限（+,+);第二象限（﹣,+）;第三象限（﹣，﹣)；第四象限（+，﹣)．3．（2007•盐城）如图，已知棋子“车"的坐标为（﹣2，3),棋子“马”的坐标为(1，3），则棋子“炮”的坐标为（)A．（3，2） B．（3，1） C．（2,2）D．（﹣2,2）【分析】根据已知两点的坐标确定符合条件的平面直角坐标系，然后确定其它点的坐标．【解答】解：由棋子“车”的坐标为（﹣2，3）、棋子“马”的坐标为（1，3）可知，平面直角坐标系的原点为底边正中间的点,以底边为x轴,向右为正方向，以左右正中间的线为y轴，向上为正方向；根据得出的坐标系可知,棋子“炮”的坐标为（3，2）．故选：A．【点评】此题考查了点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力，解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．4．（2002•江西)在平面直角坐标系中，点（﹣1，m2+1）一定在（)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．【解答】解：因为点（﹣1,m2+1），横坐标＜0，纵坐标m2+1一定大于0，所以满足点在第二象限的条件．故选B．【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣,﹣);第四象限（+，﹣）．5．（2017春•潮阳区期末)线段CD是由线段AB平移得到的．点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为()A．（2，9) B．（5，3） C．（1，2） D．（﹣9，﹣4）【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：平移中,对应点的对应坐标的差相等,设D的坐标为（x，y）；根据题意:有4﹣（﹣1）=x﹣（﹣4)；7﹣4=y﹣（﹣1）,解可得:x=1，y=2；故D的坐标为（1,2）．故选:C．【点评】本题考查点坐标的平移变换，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变．平移中，对应点的对应坐标的差相等．6．(2016•菏泽)如图，A，B的坐标为（2,0），(0，1)，若将线段AB平移至A1B1，则a+b 的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：由B点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得B点向上平移了1个单位，由A点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得A点向右平移了1个单位，由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位,所以点A、B均按此规律平移,由此可得a=0+1=1，b=0+1=1,故a+b=2．故选：A．【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是:横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．7．（2015•安顺）点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（）A．(﹣3，0）B．（﹣1，6）C．（﹣3，﹣6）D．（﹣1，0）【分析】根据平移时，坐标的变化规律“上加下减，左减右加”进行计算．【解答】解：根据题意,得点P（﹣2,﹣3）向左平移1个单位,再向上平移3个单位，所得点的横坐标是﹣2﹣1=﹣3，纵坐标是﹣3+3=0，即新点的坐标为（﹣3，0）．故选A．【点评】此题考查了平移时，点的坐标变化规律:横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．8．（2013秋•平川区期末）如果点P(m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，P点坐标为（）A．（0，2） B．（2,0) C．(4，0）D．(0,﹣4）【分析】因为点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上,那么其纵坐标是0，即m+1=0，m=﹣1，进而可求得点P的横纵坐标．【解答】解：∵点P（m+3,m+1)在直角坐标系的x轴上，∴m+1=0，∴m=﹣1，把m=﹣1代入横坐标得：m+3=2．则P点坐标为（2，0）．故选B．【点评】本题主要考查了点在x轴上时纵坐标为0的特点，比较简单．9．（2017春•和县期末）课间操时，小华、小军、小刚的位置如图1，小华对小刚说，如果我的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，那么你的位置可以表示成（)A．(5，4）B．（4,5）C．（3，4） D．（4，3）【分析】根据已知两点的坐标确定平面直角坐标系，然后确定其它各点的坐标．【解答】解：如果小华的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，如图所示就是以小华为原点的平面直角坐标系的第一象限，所以小刚的位置为（4，3）．故选D．【点评】本题利用平面直角坐标系表示点的位置，是学数学在生活中用的例子．10．（2015•钦州）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B(﹣3，2）重合，则点A的坐标是（）A．（2,5) B．（﹣8，5）C．（﹣8,﹣1) D．（2，﹣1）【分析】逆向思考，把点（﹣3，2）先向右平移5个单位,再向下平移3个单位后可得到A点坐标．【解答】解：在坐标系中,点(﹣3，2）先向右平移5个单位得（2，2），再把(2，2）向下平移3个单位后的坐标为(2，﹣1)，则A点的坐标为（2,﹣1）．故选:D．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移:在平面直角坐标系内,把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．11．（2008•菏泽）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣3，m+1)在第二象限，则m的取值范围为(）A．﹣1＜m＜3 B．m＞3 C．m＜﹣1 D．m＞﹣1【分析】根据点P（m﹣3，m+1)在第二象限及第二象限内点的符号特点，可得一个关于m的不等式组，解之即可得m的取值范围．【解答】解:∵点P(m﹣3，m+1)在第二象限，∴可得到，解得m的取值范围为﹣1＜m＜3．故选A．【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号以及不等式组的解法，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+，+)；第二象限（﹣，+）；第三象限(﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．12．（2015•威海）若点A(a+1，b﹣2)在第二象限,则点B（﹣a，b+1）在(）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据第二象限内的点的横坐标小于零,纵坐标大于零，可得关于a、b的不等式，再根据不等式的性质，可得B点的坐标符号．【解答】解：由A（a+1，b﹣2)在第二象限，得a+1＜0，b﹣2＞0．解得a＜﹣1,b＞2．由不等式的性质,得﹣a＞1,b+1＞3，点B（﹣a,b+1)在第一象限,故选：A．【点评】本题考查了点的坐标，利用第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零得出不等式，又利用不等式的性质得出B点的坐标符号是解题关键．13．（2014•株洲)在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发,第1步向右走1个单位,第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推,第n步的走法是：当n能被3整除时,则向上走1个单位;当n被3除，余数为1时,则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位,当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）A．（66，34）B．(67，33) C．（100，33）D．（99，34）【分析】根据走法，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位,向上1个单位，用100除以3,然后根据商和余数的情况确定出所处位置的横坐标与纵坐标即可．【解答】解：由题意得,每3步为一个循环组依次循环,且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，∵100÷3=33余1,∴走完第100步，为第34个循环组的第1步，所处位置的横坐标为33×3+1=100，纵坐标为33×1=33，∴棋子所处位置的坐标是（100，33）．故选：C．【点评】本题考查了坐标确定位置，点的坐标位置的规律变化，读懂题目信息并理解每3步为一个循环组依次循环是解题的关键．14．（2009秋•杭州期末）小明的家，学校和书店依次坐落在一条南北方向的大街上，学校在家南边20米,书店在家北边100米，小明从家出来向北走了50米，又向北走了﹣70米，此时，小明的位置在（）A．家B．学校C．书店D．不在上述地方【分析】以家为坐标原点建立坐标系，根据题意即可确定小明的位置．【解答】解：根据题意：小明从家出来向北走了50米，又向北走了﹣70米，即向南走了20米，而学校在家南边20米．故此时，小明的位置在学校．故选B．【点评】本题考查了类比点的坐标及学生的解决实际问题的能力和阅读理解能力,画出平面示意图能直观地得到答案．15．（2014•台湾)如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录．根据图中两人的对话纪录,若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家，则此走法为何？(）A．向北直走700公尺,再向西直走100公尺B．向北直走100公尺，再向东直走700公尺C．向北直走300公尺,再向西直走400公尺D．向北直走400公尺,再向东直走300公尺【分析】根据题意先画出图形,可得出AE=400，AB=CD=300，再得出DE=100，即可得出邮局出发走到小杰家的路径为：向北直走AB+AE=700，再向西直走DE=100公尺．【解答】解：依题意，OA=OC=400=AE,AB=CD=300，DE=400﹣300=100，所以邮局出发走到小杰家的路径为,向北直走AB+AE=700，再向西直走DE=100公尺．故选:A．【点评】本题考查了坐标确定位置，根据题意画出图形是解题的关键．二．填空题（共10小题）16．（2014•黔西南州)在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n)，规定以下两种变换：（1）f（m，n）=（m，﹣n），如f（2，1）=（2，﹣1）；（2）g(m，n)=(﹣m,﹣n），如g (2，1)=(﹣2,﹣1)按照以上变换有：f[g（3，4）]=f（﹣3，﹣4）=(﹣3,4），那么g［f（﹣3，2）］=（3，2）．【分析】由题意应先进行f方式的运算，再进行g方式的运算,注意运算顺序及坐标的符号变化．【解答】解：∵f（﹣3,2）=（﹣3，﹣2)，∴g［f（﹣3，2）］=g（﹣3，﹣2）=（3,2)，故答案为:(3，2）．【点评】本题考查了一种新型的运算法则,考查了学生的阅读理解能力，此类题的难点是判断先进行哪个运算，关键是明白两种运算改变了哪个坐标的符号．17．(2013•天水）已知点M（3,﹣2）,将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是（﹣1，1)．【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是:横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【解答】解:原来点的横坐标是3，纵坐标是﹣2，向左平移4个单位，再向上平移3个单位得到新点的横坐标是3﹣4=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1．则点N的坐标是（﹣1，1）．故答案填:（﹣1，1)．【点评】解题关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点,平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．18．（2013•绵阳）如图,把“QQ”笑脸放在直角坐标系中,已知左眼A的坐标是（﹣2，3）,嘴唇C点的坐标为（﹣1,1),则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是(3，3)．【分析】先确定右眼B的坐标,然后根据向右平移几个单位，这个点的横坐标加上几个单位，纵坐标不变，由此可得出答案．【解答】解：∵左眼A的坐标是（﹣2，3），嘴唇C点的坐标为（﹣1,1），∴右眼的坐标为（0，3）,向右平移3个单位后右眼B的坐标为(3，3）．故答案为：（3，3）．【点评】本题考查了平移变换的知识，注意左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变．19．（2015•广元）若第二象限内的点P(x，y)满足|x｜=3，y2=25，则点P的坐标是（﹣3,5)．【分析】根据绝对值的意义和平方根得到x=±5,y=±2,再根据第二象限的点的坐标特点得到x＜0，y＞0，于是x=﹣5，y=2，然后可直接写出P点坐标．【解答】解：∵｜x｜=3，y2=25，∴x=±3，y=±5，∵第二象限内的点P（x，y）,∴x＜0,y＞0，∴x=﹣3，y=5，∴点P的坐标为（﹣3，5），故答案为：（﹣3，5）．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是:第一象限(+，+）；第二象限(﹣，+）;第三象限(﹣，﹣）;第四象限(+，﹣）．20．(2005•杭州)如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为（﹣7，﹣4），白棋④的坐标为(﹣6，﹣8），那么黑棋①的坐标应该是（﹣3，﹣7）．【分析】根据已知两点的坐标建立坐标系,然后确定其它点的坐标．【解答】解：由白棋②的坐标为(﹣7,﹣4），白棋④的坐标为（﹣6，﹣8）得出：棋盘的y轴是右侧第一条线，横坐标从右向左依次为﹣1，﹣2,﹣3，…;纵坐标是以上边第一条线为﹣1，向下依次为﹣2，﹣3,﹣4，…．∴黑棋①的坐标应该是（﹣3，﹣7)．故答案为：(﹣3,﹣7）．【点评】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．根据已知条件建立坐标系是关键，或者直接利用坐标系中的移动法则右加左减,上加下减来确定坐标．21．（2015•青岛)如图，将平面直角坐标系中“鱼"的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的，那么点A的对应点A′的坐标是(2，3）．【分析】先写出点A的坐标为（6，3），横坐标保持不变,纵坐标分别变为原来的，即可判断出答案．【解答】解：点A变化前的坐标为(6,3)，将横坐标保持不变,纵坐标分别变为原来的,则点A的对应点的坐标是（2,3),故答案为(2，3）．【点评】此题考查了坐标与图形性质的知识,根据图形得到点A的坐标是解答本题的关键．22．（2015•台州）如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y 轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1km,甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A处的位置．则椒江区B处的坐标是(10,8）．【分析】根据A点坐标,可建立平面直角坐标系,根据直角三角形的性质，可得AC的长，根据勾股定理，BC的长．【解答】解：如图：连接AB，作BC⊥x轴于C点，由题意,得AB=16,∠ABC=30°,AC=8，BC=8．OC=OA+AC=10，B（10，8）．【点评】本题考查了坐标确定位置，利用A点坐标建立平面直角坐标系是解题关键，利用了直角三角形的性质：30°的角所对的直角边是斜边的一半．23．（2013•聊城）如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位,得到点A1（0，1)，A2（1，1)，A3（1,0)，A4（2，0)，…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为（2n，1）（用n表示）．的坐标，然后根据变化规律写【分析】根据图形分别求出n=1、2、3时对应的点A4n+1出即可．【解答】解：由图可知，n=1时，4×1+1=5,点A5（2，1）,。
第1讲 第1节平面直角坐标系
P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简 伸缩变换 ． 称__________
3．三角函数的伸缩变换 由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图 象，方法一(先平移后伸缩)： 向左φ>0或向右φ<0 y＝sin(x＋φ) y ＝ sin x 的图象 ―――――→ ________________ 平移|φ|个单位长度 1 横坐标变为原来的 倍 ω y＝sin(ωx＋φ) 的图象 ―――――→ _________________ 的图象 纵坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 ――→ y＝Asin(ωx＋φ)的图象． 横坐标不变
[思路点拨]
(1)建立适当坐标系；
(2)用坐标和方程表示出|PM|＝ 2|PN|； (3)代入坐标，求出(x，y)关系式．
• [解题过程] 如下图，以直线O1O2为x轴，线 段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐 标系，则两圆心的坐标分别为O1(－2,0)， O2(2,0)．
[变式训练]
2.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应 后的图形，
x′＝2x 的图形经过伸缩变换 y′＝4y
(1)2x＋4y＝a； (2)x2＋y2＝r2(r≠0)．
解析：
1 x＝2x′ x ′ ＝ 2 x (1)由伸缩变换 ，得到 y′＝4y y＝1y′ 4
第一 讲
坐标系
•第一节 平面直角坐标系
• 某村庄P处有一堆肥料，现要把这堆肥料沿 道路PA或PB送到成矩形的一块田地ABCD中 去，已知PA＝100米，PB＝150米，BC＝60 米，∠APB＝60°. • 能否在田中确定一条界线，使位于界线左侧 的点沿道路PA送肥料较近，而右侧的点沿PB 送肥料较近？
平面直角坐标系
平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y 轴或纵坐标轴，x 轴或y 轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y )之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点为P ，填表：2.设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)y ′＝μy (μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．1．两个定点的距离为4，点M 到这两个定点的距离的平方和为16，则点M 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选A.设两定点分别为A ，B ，以过A ，B 两点的直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2，0)，B (2，0)，设动点M (x ，y )， 则由|MA |2＋|MB |2＝16，可得(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，化简得轨迹方程x 2＋y 2＝4.故选A.2．将正弦曲线y ＝sin x 的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的13，所得曲线方程为( )A ．y ＝sin 3xB ．y ＝3sin xC ．y ＝sin 13xD ．y ＝13sin x解析：选A.伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝y ，变形得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝y ′，代入y ＝sin x . 得y ′＝sin 3x ′，即所求曲线方程为y ＝sin 3x .故选A.3．在平面直角坐标系中，方程3x －2y ＋1＝0所对应的直线经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝2y 后得到的直线方程为( )A ．3x －4y ＋1＝0B ．3x ＋y －1＝0C ．9x －y ＋1＝0D ．x －4y ＋1＝0解析：选C.由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝2y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝12y ′，代入方程3x －2y ＋1＝0，得9x ′－y ′＋1＝0.故经过伸缩变换后得到的直线方程为9x －y ＋1＝0.4．在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝13cos 2x 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后变换为____________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′.代入曲线y ＝13cos 2x ，得y ′＝cos x ′，即y ＝cos x . 答案：y ＝cos x用坐标法解决平面几何问题1.已知▱ABCD ，求证：AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)．[证明] 如图所示，以点A 为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xAy ，则A (0，0)．设B (a ，0)，C (b ，c )． 因为AD →＝BC →＝(b －a ，c )， 所以D (b －a ，c )． 所以AB 2＝a 2，AD 2＝(b －a )2＋c 2， AC 2＝b 2＋c 2， BD 2＝(b －2a )2＋c 2.因为AC 2＋BD 2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab ＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )， 而AB 2＋AD 2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab . 所以AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)．建立适当的平面直角坐标系的常用方法(1)如果图形有对称中心，选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，选对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上；(4)如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线方程为标准方程．已知矩形ABCD ，对于矩形所在的平面内任意一点M ，求证：AM 2＋CM 2＝BM2＋DM 2.证明：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A (0，0)．设B (a ，0)，C (a ，b )，D (0，b )，M (x ，y )， 则AM 2＋CM 2＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2＝2(x 2＋y 2)＋(a 2＋b 2)－2(ax ＋by )，BM 2＋DM 2＝(x －a )2＋y 2＋x 2＋(y －b )2＝2(x 2＋y 2)＋(a 2＋b 2)－2(ax ＋by )， 所以AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2.求轨迹方程问题2.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，647为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8，0)．观测点A (4，0)，B (6，0)．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，航天器离观测点A ，B 分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？[解] (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647，因为点D (8，0)在抛物线上，所以a ＝－17. 所以曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )，根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1，①y ＝－17x 2＋647 ②得4y 2－7y －36＝0. y ＝4或y ＝－94(舍去)，所以y ＝4.得x ＝6或x ＝－6(舍去)．所以C 点的坐标为(6，4)，|AC |＝25，|BC |＝4，所以当航天器离观测点A，B的距离分别为25，4时，应向航天器发出变轨指令．(1)求轨迹方程的一般步骤(2)求轨迹方程应注意的问题选择适当的坐标系，建系不同求得的轨迹方程也不同，坐标系的选取应以求解过程的计算量最小，求出的轨迹方程最简单为目标．在求解过程中不仅要从约束条件中的等量关系求出轨迹方程，同时还要关注约束条件中的不等关系并转化成x，y的取值范围在方程后面加以注明．如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|＝2|PN|，试建立适当的平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．解：以O1O2的中点O为坐标原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0)，设P(x，y)．由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2.因为两圆的半径均为1，所以|PO1|2－12＝2(|PO2|2－12)．则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33，所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．平面直角坐标系中的伸缩变换及其应用3.在平面直角坐标系下，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得到的点A ′的坐标；(2)点B 经过φ变换得到B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12，求点B 的坐标；(3)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得的直线l ′的方程；(4)求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ变换后得到的曲线C ′的焦点坐标．[解] (1)设A ′点的坐标为(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y .由于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2， 所以x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，所以A ′(1，－1)即为所求． (2)设B 点坐标为(x ，y )，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′， 由于B ′⎝⎛⎭⎪⎫－3，12，所以x ＝13×(－3)＝－1，y ＝2×12＝1，所以B (－1，1)即为所求．(3)设直线l 上任意一点为P (x ，y )，经过变换后的点为P ′(x ′，y ′)， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′，即y ′＝x ′，所以y ＝x 即为所求直线l ′的方程． (4)设双曲线C 上任意一点为P (x ，y )， 经过变换后的点为P ′(x ′，y ′)， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入方程x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，即x ′29－y ′216＝1，所以曲线C ′的方程为x 29－y 216＝1，可见仍为双曲线，所以焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)即为所求．(1)伸缩变换前后的关系已知平面直角坐标系中的伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，则点的坐标与曲线的方程的关系如下：关系类型变换前 变换后 点P(x ，y )(λx ，μy )函数曲线Cy ＝f (x )y ′＝μf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λx ′方程曲线Cf (x ，y )＝0 f⎝ ⎛⎭⎪⎫1λx ′，1μy ′＝0(2)①已知变换前的曲线方程及伸缩变换求变换后的曲线方程；求解方法为代点转移法． ②已知变换后的曲线方程及伸缩变换求变换前的曲线方程，求解方法为代点转移法． ③已知变换前后的曲线方程求伸缩变换；求解方法为待定系数法．1.给出以下四个命题，其中不正确的一个是( )A ．点M (3，5)经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝5x5y ′＝3y ，变换后得到点M ′的坐标为(5，3)B ．函数y ＝2(x －1)2＋2经过平移变换φ1：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －1y ′＝y －2后再进行伸缩变换φ2：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x y ′＝18y最后得到的函数解析式为y ＝x 2C ．若曲线C 经过伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y 变换后得到的曲线方程为x 2－y 2＝1，则曲线C的方程是4x 2－9y 2＝1D ．椭圆x 216＋y 29＝1经过伸缩变换φ后得到的图形仍为椭圆，并且焦点一定还在x 轴上解析：选D.对于A ：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5代入⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝5x 5y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5y ′＝3，故M ′(5，3)，正确；对于B ：y ＝2(x －1)2＋2经φ1变换后得到y ＝2x 2，再将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝8y ′代入得8y ′＝8x ′2即y ′＝x ′2，因此最后所得函数解析式为y ＝x2正确；对于C ：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y 代入x ′2－y ′2＝1得4x 2－9y2＝1，故变换前方程为4x 2－9y 2＝1也正确；对于D ：设伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)y ′＝μy (μ>0)，则当λ＝4，μ＝3时变换后的图形是圆x 2＋y 2＝1，当λ＝4，μ＝1时变换后的图形为椭圆x 2＋y 29＝1，此时焦点在y 轴，故D 不正确．2．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 2＋y 2＝1变成曲线x ′29＋y ′24＝1.解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0y ′＝μy ，μ＞0，代入方程x ′29＋y ′24＝1，得λ2x 29＋μ2y 24＝1.与x 2＋y 2＝1比较，将其变形为λ29x 2＋μ24y 2＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y，即将圆x 2＋y 2＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得椭圆x ′29＋y ′24＝1.平移变换与伸缩变换的综合应用4.将正弦曲线y ＝sin x ，先进行平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －π3y ′＝y －1得到曲线C 1，再将C 1进行伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3y得到曲线C 2，求曲线C 2的函数解析式． [解] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －π3y ′＝y －1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋π3y ＝y ′＋1， 代入y ＝sin x 得y ′＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ′＋π3，故曲线C 1是y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝13y ′代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－1得 13y ′＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ′＋π3－1，即曲线C 2的函数解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3.解决平移变换与伸缩变换应注意的问题(1)在三角函数图象变换中，左右平移和上下平移合在一起就是一个平移变换，反过来一个平移变换也可以分解成一个左右平移和一个上下平移．同样周期变换和振幅变换合在一起就是一个伸缩变换，反过来一个伸缩变换也可以分解成一个周期变换和一个振幅变换．(2)对坐标平面内一条曲线进行变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移所得曲线一般情况下是不同的．1.分别求伸缩变换φ1和平移变换φ2，使函数y ＝2cos (πx －3)＋2经过伸缩变换φ1变为y ＝cos(x －3)＋1，再经过平移变换φ2变为y ＝cos x .解：设φ1：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0代入y ′＝cos(x ′－3)＋1得μy ＝cos(λx －3)＋1，即y ＝1μcos(λx －3)＋1μ，又y ＝2cos (πx －3)＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝πμ＝12，即φ1：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝πx y ′＝12y ，设φ2：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋hy ′＝y ＋k 代入y ′＝cos x ′得y ＋k ＝cos(x ＋h )．即y ＝cos(x ＋h )－k ，又y ＝cos(x －3)＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧h ＝－3k ＝－1即φ2：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －3y ′＝y －1. 2．将曲线y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3按照φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0变换为曲线y ′＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π3，求曲线y ＝cos 4x 在φ变换后的曲线的最小正周期及最大值．解：由φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，得φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1λx ′，λ>0，y ＝1μy ′，μ>0，将曲线y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3按照φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0变换为曲线的方程为y ′＝3μsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2λx ′＋π3，由题意，得3μ＝1，2λ＝1，故λ＝2，μ＝13.则曲线y ＝cos 4x 在φ变换后的曲线的方程为y ′＝13cos 2x ′，所以变换后的曲线的最小正周期为π，最大值为13.1．对数轴的理解(1)数轴上的点组成的点集与实数集之间建立了一一对应关系．(2)数轴是最简单的坐标系，也可以认为是一维坐标系，它的三要素是：①原点；②正方向；③单位长度．(3)在数轴上确定点的位置，只需用它对应的实数即可，即每一个实数都能在数轴上唯一确定一个点．2．对平面直角坐标系的理解(1)建立了平面直角坐标系之后，坐标平面内的所有点组成的点集与有序数对(x ，y )组成的集合{(x ，y )|x ∈R，y ∈R}之间就建立了一一对应关系，因此我们可以把坐标平面内所有点组成的点集直接写成{(x ，y )|x ∈R，y ∈R}．(2)平面直角坐标系，也可以认为是二维直角坐标系，它的三要素是：①两数轴互相垂直且有公共原点；②x 轴(横轴)水平放置方向向右，y 轴(纵轴)竖直放置方向向上；③两轴上取相同的单位长度．(3)要确定平面直角坐标系内的一点，需要一个有序实数对(x ，y )．对于平面内的一点P ，如图1，过点P 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足在x 轴，y 轴上对应的数x ，y 分别叫做点P 的横坐标，纵坐标，有序实数对(x ，y )叫做点P 的坐标，点P (x ，y )在各个象限内的符号如图2所示．3．对平面直角坐标系中的伸缩变换的理解 (1)变换中的系数均为正数．(2)在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下对坐标进行伸缩变换．(3)设平面直角坐标系中，变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0y ′＝μy ，μ>0将点P (x ，y ) 变换到点P ′(x ′，y ′)．当λ>1时，为横向伸长变换；当0<λ<1时，为横向缩短变换； 当μ>1时，为纵向伸长变换；当0<μ<1时，为纵向缩短变换．(4)在进行伸缩变换时，要注意点的对应性，即分清新、旧坐标，P ′(x ′，y ′)是坐标变换后的点的坐标，P (x ，y )是坐标变换前的点的坐标．在具体解题时，用x ′，y ′表示出x ，y ，然后代入坐标变换前的方程，可得坐标变换后的方程．(5)由函数y ＝f (x )的图象到函数y ＝Af (ax )(a >0，A >0)的图象，其变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1a x (a >0)，y ′＝Ay (A >0)，其中(x ，y )是变换前点的坐标，(x ′，y ′)是变换后点的坐标． (6)在平面直角坐标系中，经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线、双曲线伸缩后仍为双曲线、抛物线伸缩后仍为抛物线，而圆伸缩后可能是椭圆或圆．4．结合由y ＝sin x 变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的过程理解伸缩变换 (1)周期变换就是⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ωxy ′＝y 的一个伸缩变换，它把y ＝sin x 的图象变换成y ＝sin ωx 的图象．(2)振幅变换就是⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝xy ′＝Ay 的一个伸缩变换，它把y ＝sin x 的图象变换成y ＝A sin x的图象．(3)将y ＝sin x 的图象经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ωxy ′＝Ay后得到y ＝A sin ωx 的图象． (4)将y ＝sin x 的图象经过平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋φy ′＝y ＋B 后就得到y ＝sin(x ＋φ)＋B 的图象．(5)将y ＝sin x的图象先进行平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋φy ′＝y ＋B 再进行伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ωx y ′＝Ay后就得到y ＝A sin(ωx ＋φ)＋AB 的图象．1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )A ．椭圆B ．比原来大的圆C ．比原来小的圆D ．双曲线 解析：选D.由伸缩变换的意义可得．2．点(1，2)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后的点的坐标是( )A ．(4，－3)B ．(－2，3)C ．(2，－3)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23解析：选D.把(1，2)代入⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12，y ′＝23.3．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后，曲线方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，代入y ＝cos x ，得13y ′＝cos 12x ′，即y ＝3cos 12x . 答案：y ＝3cos x24．求满足由椭圆4x 2＋9y 2＝36变成圆x ′2＋y ′2＝1的伸缩变换．解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1.又4x 2＋9y 2＝36可化为436x 2＋936y 2＝1，即19x 2＋14y 2＝1. 与λ2x 2＋μ2y 2＝1比较，得λ2＝19，μ2＝14，又因为λ>0，μ>0，所以λ＝13，μ＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ，即将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标缩为原来的13，纵坐标缩为原来的12，即可得到圆x ′2＋y ′2＝1.[A 基础达标]1．若△ABC 三个顶点的坐标分别是A (1，2)，B (2，3)，C (3，1)，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 解析：选A.|AB |＝(2－1)2＋(3－2)2＝2， |BC |＝(3－2)2＋(1－3)2＝5， |AC |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，|BC |＝|AC |≠|AB |，△ABC 为等腰三角形．选A.2．将点P (－2，2)变换为P ′(－6，1)的伸缩变换公式为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13xy ′＝2yB ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12yD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y解析：选C.设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx y ′＝μy ，则⎩⎪⎨⎪⎧－6＝λ×(－2)1＝μ×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3μ＝12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y .3．动点P 到直线x ＋y －4＝0的距离等于它到点M (2，2)的距离，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选A.因为点M (2，2)在直线x ＋y －4＝0上，故动点P 的轨迹是过点M 且垂直于直线x ＋y －4＝0的直线，选A.4．如何由正弦曲线y ＝sin x 经伸缩变换得到y ＝12sin 12x 的图象( )A ．将横坐标缩为原来的12，纵坐标也缩为原来的12B ．将横坐标缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍C ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍D ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩为原来的12解析：选D.设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx y ′＝μy 代入y ′＝12sin 12x ′得μy ＝12sin λ2x ，即y ＝12μsin λ2x ，与y ＝sin x 比较知⎩⎪⎨⎪⎧12μ＝1λ2＝1即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2μ＝12，因为λ>1是伸长，0<μ<1是缩短． 所以应选D.5．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝2，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋36y 2＝1 B ．9x 2＋100y 2＝1 C ．10x ＋24y ＝1 D.225x 2＋89y 2＝1解析：选A.将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 代入2x ′2＋8y ′2＝2中得50x 2＋72y 2＝2，即25x 2＋36y 2＝1.6．△ABC 中，已知B (－2，0)，C (2，0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程为____________．解析：因为△ABC 的周长为10，所以|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4， 即有|AB |＋|AC |＝6>4.所以A 点轨迹为椭圆除去B 、C 两点，且2a ＝6，2c ＝4.所以a ＝3，c ＝2，b 2＝5.所以A 点的轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．答案：x 29＋y 25＝1(y ≠0)7．在平面直角坐标系中，方程x －2y ＋1＝0所对应的直线经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y 后得到的直线方程为________．解析：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′，代入方程x －2y ＋1＝0，得6x ′－2y ′＋3＝0.故经过伸缩变换后得到的直线方程为6x －2y ＋3＝0. 答案：6x －2y ＋3＝08．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6按φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y变换后得到的曲线在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3上的值域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝2y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′y ＝12y ′，代入y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6得12y ′＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π6，即y ＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，因为－π3<x <π3，所以－π6<x ＋π6<π2. 所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6>－33， 所以所求值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，＋∞9．如图，在以点O 为圆心，|AB |＝4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB ＝30°，曲线C 是满足||MA |－|MB ||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程．解：如图，以O 点为原点，AB ，OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2，0)，B (2，0)，D (0，2)，P (3，1)，依题意得||MA |－|MB ||＝|PA |－|PB |＝(2＋3)2＋12－(2－3)2＋12＝22<|AB |＝4. 所以曲线C 是以原点为中心，A ，B 为焦点的双曲线． 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c ＝2，2a ＝22， 所以a 2＝2，b 2＝c 2－a 2＝2. 所以曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.10．将椭圆(x －2)29＋(y －1)24＝1变换成圆x 2＋y 2＝1，写出变换过程．解：令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ′＝y －1代入(x －2)29＋(y －1)24＝1得x ′29＋y ′24＝1，所以椭圆(x －2)29＋(y －1)24＝1经过平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ′＝y －1后得到椭圆x 29＋y 24＝1，再令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 3y ′＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝2y ′，代入x 29＋y 24＝1，得x ′2＋y ′2＝1.所以椭圆(x －2)29＋(y －1)24＝1经过平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ′＝y －1，再经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x3y ′＝y 2后就得到圆x 2＋y 2＝1.[B 能力提升]11．已知四边形ABCD 的顶点坐标分别为A (－1，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (－1，1)，四边形ABCD 在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝y (a ＞0)的作用下变成正方形，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.12 D ．23解析：选C.把点A (－1，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (－1，1)代入⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝y 得经过变换后的点的坐标是A ′(－a ，0)，B ′(a ，0)，C ′(a ，1)，D ′(－a ，1)，由|A ′B ′|＝|A ′D ′|且a ＞0，得2a ＝1，即a ＝12.故选C.12．将圆x 2＋y 2＝4按φ：⎩⎪⎨⎪⎧2x ′＝5x ，y ′＝2y变换后得到曲线的离心率等于________．解析：将圆x2＋y 2＝4按φ：⎩⎪⎨⎪⎧2x ′＝5x ，y ′＝2y 变换后得到曲线方程为x ′225＋y ′216＝1，故a 2＝25，b 2＝16，c ＝a 2－b 2＝3，离心率e ＝c a ＝35.答案：3513．已知正三角形ABC 的边长为a ，在平面内求一点P ，使|PA |2＋|PB |2＋|PC |2的值最小，并求出此最小值．解：以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0. 设P (x ，y )，则|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝3x2＋3y 2－3ay ＋5a 24＝3x 2＋3⎝⎛⎭⎪⎫y －36a 2＋a 2≥a 2，当且仅当x ＝0，y ＝36a 时，等号成立．所以所求的最小值为a 2，此时P 点的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，36a ， 即为正三角形ABC 的重心．14．(选做题)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．(1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左，右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．解：(1)因为e ＝33， 所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝13，所以b 2a 2＝23.又圆x 2＋y 2＝b 2与直线y ＝x ＋2相切， 所以b ＝21＋1＝ 2.所以b 2＝2，a 2＝3. 因此，a ＝3，b ＝ 2.(2)由(1)知F 1，F 2两点的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，由题意可设P (1，t )． 那么线段PF 1的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，t 2.设M (x ，y )，由于MN →＝⎝⎛⎭⎪⎫－x ，t 2－y ，PF 1→＝(－2，－t )，则⎩⎪⎨⎪⎧MN →·PF 1→＝2x ＋t ⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 2＝0，y ＝t ，消去t 得所求轨迹方程为y 2＝－4x ，曲线类型为抛物线．。
15.1(2)平面直角坐标系解析
-2
D
Q
-3
-4
-5
S
14
作业:
1.书:P125 、1,2,3 2.练习册15.1（1） 3.堂堂练
15
考 考 你 ？
已知直角坐标系内一矩形的宽与 长分别为6、 8,对角线的交点在原 点,两组对边分别与坐标轴平行,求 它的各顶点的坐标.
16
15.1（2）平面直角坐标系
17
复习巩固
1、在平面内,两条___互__相__垂__直_且__有__公__共__原__点的数轴组成平 面直角坐标系，
对应。
2
1
- 3- 2- 10123 -1
-2
18
-3
1、在电影票上“6排3号”与“3排6号”中的 “6”的含义有什么不同？
2、如果将“8排3号”简记作（8,3），那么 “3排8号”如何表示？（5，6）表示什么含义？
19
复习巩固
4、如果点P的横坐标为a,纵坐标为b，则点P
可以表示为___(a_,_b_)___.
（－,－）
·D ( -4,- 3 )
· -2
E
（+,－）
( 1,- 2 )
-3
· -4 G （0,-4）
11
所有x轴上的点,坐标的特点是:纵 坐标均为0，可记作（x,0）。 所有y轴上的点，坐标的特点是： 横坐标均为0，可记作（0,y）。
12
本节课你学到了什么?
13
P（4,6）和 P（6,4）是表示同一点吗?
三、有序实数对与坐标平面内的点的对应关系
1、 对于坐标平 面内的任意一点, 都可以找到一个 有序实数对( x,y) 和它对应.
Y
5
N（3，5）4Biblioteka F3P2C
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实数和平面直角坐标系例1、已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于( )A ．－1B ． 0C ．1D ．2练习：13b +＝0成立，则a b ＝____．02()230b -=，则a b的平方根是____．03．（天津）若x 、y 为实数，且20x +=，则2009x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－204．已知x 1x π-的值是( )A ．11π-B ．11π+C ．11π-D ．无法确定例2、若a 、b 都为有理效，且满足1a b -=+a ＋b 的平方根．练习：已知m 、n 2）m ＋(3－n ＋7＝0求m 、n ．例3、若a −2的整数部分，b −1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值．练习：1、若3a ，3b ，则a ＋b 的值为____．2a ，小数部分为b a ）·b ＝____．3、下列各组数中，互为相反数的是( )A ．－9与81的平方根B ．4与C ．4D ．3例4、如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1B 关于点A 的对称点C ，则点C 所表示的数为( )A ．－2B ．－1C ．－2D ．l练习：1、点A B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A 左边，则A 、B 之间的距离为____．2、如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P ．点P 表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P ′，那么点P ′所表示的数是____．3、已知2a −1的平方根是±3，3a ＋b −1的算术平方根是4，求a ＋b ＋1的立方根．例4、在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)练习：01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)例5、若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限练习：01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞202．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．例6、已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．例7、P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．练习：01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．例8、如图，四边形ACBD是平行四边形，且AD∥x轴，说明，A、D两点的___________坐标相等，请你依据图形写出A、B、C、D四点的坐标分别是_________、_________、____________、____________．练习：1、已知：A(0，4)，B(－3，0)，C(3，0)要画出平行四边形ABCD，请根据A、B、C三点的坐标，写出第四个顶点D的坐标，你的答案是唯一的吗？2、已知：A(0，4)，B(0，－1)，在坐标平面内求作一点，使△ABC的面积为5，请写出点C的坐标规律．例9、平面直角坐标系，已知点A(－3，－2)，B(0，3)，C(－3，2)，求△ABC的面积．练习：01．在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(―3，―1)，B(1，3)，C(2，－3)，△ABC的面积．02．如图，已知A(－4，0)，B(－2，2)，C,0，－1)，D(1，0)，求四边形ABDC的面积．03．已知：A(－3，0)，B(3，0)，C(－2，2)，若D点在y轴上，且点A、B、C、D四点所组成的四边形的面积为15，求D点的坐标．例10、如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变成△OA3B3．已知：A(1，2)，A1(2，2)，A2(4，2)，A3(8，2)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)观察每次变换前后的三角形有何变化？找出规律，按此规律再将三角形△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是____________，B4的坐标是_____________；(2)若按(1)题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到三角形△OA n B n，推测A n的坐标是_____________，B n的坐标是_____________．练习：如图，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(－1，1)，A4(－1，－1)，A5(2，－1)…则点A2010的坐标为_______________．作业：01．若点A(－2，n)在x轴上，则点B(n－1，n＋1)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限02．若点M(a＋2，3－2a)在y轴上，则点M的坐标是( )A．(－2，7) B．(0，3) C．(0，7) D．(7，0)03．如果点A(a，b)，则点B(－a＋1，3b－5)关于原点的对称点是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限04．下列数据不能确定物体位置的是( )A．六楼6号B．北偏西400C．文昌大道10号D．北纬260，东经135005．在坐标平面内有一点P(a，b)，若ab＝0，则P点的位置是( )A．原点B．x轴上C．y轴上D．坐标轴上06．已知点P(a，b)到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，且|a－b |＝b－a，则点P的坐标是_______________．07．已知平面直角坐标系内两点M(5，a)，N(b，－2)，①若直线MN∥x轴，则a＝______，b＝__________；②若直线MN∥y轴，则a＝___________，b＝_________．08．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2010次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2010的位置，则P2010的横坐标x2010＝___________•09．按下列规律排列的一列数对，(2，1)，(5，4)，(8，7) …，则第七个数对中的两个数之和是______________•10．如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（）A．(2，3) B．(2，－3) C．(－2，3) D．(－2，－3)11．点P位于x轴的下方，距y轴3个单位长度，距x轴4个单位长度，则点P的坐标是____________．12．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对(n，m)表示第n排，从左到右第m 个数，则表示实数25的有序数对是______________．13．已知点A(－5，0)，B(3，0)，(1)在y轴上找一点C，使之满足S△ABC＝16，求点C的坐标；(2)在平面直角坐标系内找一点C，使之满足S△ABC＝16的点C有多少个？这样的点有什么规律．14．若y轴正方向是北，小芳家的坐标为(1，2)，小李家的坐标为(－2，－1)，则小芳家的_______方向．15．如图在平面直角坐标系中A(0，1)，B(2，0)，C(2，1.5)(1)求△ABC的面积；(2)如果在第二象限内有一点P(a，12)，试用含a的式子表示四边形ABOP的面积；(3)在(2)的条件下，是否存在一点P，使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图所示，在直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形，其边长为4，有一动点P，自O点出发，以2个单位长度／秒得速度自O→A→B→C→O运动，问何时S△ＰBC＝4？并求此时P点的坐标．01．如果点M(a＋b，ab)在第二象限，那么点N(a，b)在第_____________象限．02．若点A(6－5a，2a－1)．(1)点A在第二象限，求a的取值范围；(2)当a为实数时，点A能否在第三象限，试说明理由；(3)点A能否在坐标原点处？为什么？03．点P{－12，－[ －|1－12| ]}关于y轴对称点的坐标是_____________．04．已知点Ａ(2a＋3b，－2)与点B(8，3a＋2b)关于x轴对称，那么a＋b＝__________．05．已知ａ＜０，那么点Ｐ(－a2－2，2－a)关于原点对称的点在第________象限．06．已知点P1(a－1，5)在第一、三象限角平分线上，点P2(2，b－8)在第二、四象限角平分线上，则(－a ＋b)2010＝___________．07．无论x为何实数值，点P(x＋1，x－1)都不在第_________象限•08．已知点P的坐标为(2－a，3b＋6)，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为_________．09．若点P(x，y)在第二象限，且|x－1|＝2，|y＋3|＝5，则P点的坐标是__________．10．若点A(2x－3，b－x)在坐标轴夹角的平分线上，且在第二象限，则点A的坐标是__________．11．已知线段AB平行于y轴，若点A的坐标为(－2，3)，且AB＝4，则点B的坐标是__________．12．已知A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，求B点的坐标．13．如图，B(2，4)，点D从O→C→B运动，速度为1单位长度／秒．(1)当D在OC上运动时，直线BD能否将长方形ABCD的面积分为1:2两部分，若能，求点D的坐标，若不能，请说明理由；(2)当点D运动到CB上时，经过多长时间△ABD的面积等于14矩形ABCO的面积？并求此时D点的坐标．14．已知：A(a－35，2b＋23)，以A点为原点建立平面直角坐标系．(1)试确定a、b的值；(2)若点B(2a－75，2b＋2m)，且AB所在直线为第二、四象限夹角的平分线，求m的值．。