概率模型习题
人工智能基础(习题卷68)
人工智能基础(习题卷68)第1部分：单项选择题，共50题，每题只有一个正确答案,多选或少选均不得分。
1.[单选题]逻辑回归模型是解决什么问题的模型？A)分类问题B)聚类问题C)回归问题答案:A解析:2.[单选题]1997 年5月，闻名的“人机大战”，最终运算机以比的总比分将世界国际象棋棋王卡斯鲍罗夫击败，这台运算机被称为()A)深蓝B)深思C)IBMD)蓝天答案:A解析:3.[单选题]下列哪项不属于知识图谱的分布式表示方法（）A)word2vecB)TransDC)TransHD)TransE答案:A解析:word2vec属于文字的向量表示。
4.[单选题]numpy中向量转成矩阵使用A)reshapeB)revalC)arangeD)random答案:A解析:5.[单选题]下列对《国务院关于印发新一代人工智能发展规划的通知》中关于到2030年人工智能发展战略目标，表述错误的是（）。
A)人工智能理论、技术与应用达到世界领先水平B)成为世界主要人工智能创新中心C)人工智能产业成为新的重要经济增长点D)智能经济、智能社会取得明显成效答案:C解析:C)JP聚类是基于SNN相似度的概念。
D)JP聚类的基本时间复杂度为O(m)。
答案:D解析:7.[单选题]编码器的分辨率越高，定位精度( )。
A)越差B)越高C)不受影响D)弹性越强答案:B解析:8.[单选题]变气隙型位移传感器的自感 L 与气隙厚度的关系是( )。
A)非线性关系B)线性关系C)对称关系D)互补关系答案:A解析:9.[单选题]词袋模型是最早的以词语为基本处理单元的文本向量化方法．以下哪个选项不是词袋模型的A)基于分布假设B)存在语义鸿沟C)维度灾难D)无法保留次序信息答案:C解析:10.[单选题]如果聚类分割后的点云中存在小于或大于目标点云的点数量，则是因为( )。
A)感兴趣区域设置B)聚类分割存在误分割点云C)聚类分割的点云D)匹配模板答案:B解析:11.[单选题]当在卷积神经网络中加入池化层（poolinglayer）时，变换的不变性会被保留。
概率统计练习1
概率论与数理统计练习（一）注意：以下是可能用到的分位点以及标准正态分布的分布函数值：1. A 、B 、C 是三个随机事件，且A 与B 相互独立，A 与C 互不相容。
已知P( A ) = 0.2，P( B ) = 0.6，P( B | C ) = 0.5，P( BC ) = 0.4。
请计算以下事件的概率：P(A ) = ， P( AB ) = ， P( AC ) = ，P( C ) = ， P( A+B ) = ， P( C | B ) = 。
2. 假设有某种彩票叫“10选2”，每周一期。
其规则是从1到10的10个自然数中不重复地任意选2个数组成一注，每注1元。
如果所选的2个数与本期出奖的结果（也是从1到10中不重复选出的2个自然数）完全相同，则中奖，奖额为40元。
则购买一注彩票能中奖的概率是 。
引进随机变量X ，如果买1注彩票中奖了则令X 等于1，否则令X 等于0，那么X 服从 分布，X 的数学期望等于 。
3. 已知某对夫妇有三个小孩，但不知道他们的具体性别。
设他们有Y 个儿子，如果生男孩的概率为0.5，则Y 服从 分布。
这对夫妇恰好有一个儿子的概率是 。
他们的孩子的男女性别比例最可能是 。
4. 假设东莞市公安机关每天接到的110报警电话次数可以用泊松(Poisson)分布)100(π来描述。
则东莞市公安机关在某一天没有接到一个110报警电话的概率为 。
东莞市公安机关平均每天接到的110报警电话次数为 次。
5. 指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。
设某款电器的寿命（单位：小时）的密度函数为⎩⎨⎧>=-其它,00 ,001.0)(001.0t e t f t则这种电器没有用到500小时就坏掉的概率为 ，这种电器的平均寿命为 小时。
6. 根据世界卫生组织的数据，全球新生婴儿的平均身长为50厘米，身长的标准差估计为2.5厘米。
设新生婴儿的身长服从正态分布，则全球范围内大约有 %新生婴儿身长超过53厘米，有 %新生婴儿身长不足48厘米，身长在49厘米到51厘米之间的新生婴儿大约占 %。
入门级数学建模练习题
入门级数学建模练习题2. 假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书馆借出书。
再设图书馆平均一周收回借出书的1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？3. 一人早上6：00从山脚A上山，晚18：00到山顶B；第二天，早6：00从B下山，晚18：00到A。
问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？4. 如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？5. 兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家中的狗一直在二人之间来回奔跑。
已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。
分析半小时后，狗在何处？6. 甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面，并事先约定先到者在那等待10分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。
用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？7. 设有n个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至少存在两人他们认识的人一样多。
8. 一角度为60度的圆锥形漏斗装着10端小孔的面积为0.59. 假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜坡，计算这种情下的刹车距离。
如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。
包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。
为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。
:顶=1：a:b，选坐v>0,而设语雨速L,v≤x vv+1),v>x.解：由于教授每天借一本书，即一周借七本书，而图书馆平均每周收回书的1/10，设教授已借出书的册数是时间t的函数小x的函数，则它应满足其中初始条件表示开始时教授借出数的册数为0。
解该线性问题得X=70[1-e?t]由于当∞时，其极限值为70,故在充分长的时间内，一位普通教授大约已借出70本书。
3.解：我们从山脚A点为始点记路程，设从A到B路程函数为f,即t时刻走的距离为f;同样设从B点到A点的路程为函数g。
厦门理工概率论课件信号与系统复习练习题(12级)
一、选择题1、f （5-2t ）是如下运算的结果（ C ）。
A ．f （-2t ）右移5 B ．f （-2t ）左移5C ．f （-2t ）右移25D ．f （-2t ）左移252．已知f （t ）的频带宽度为Δω，则f （2t-4）的频带宽度为（ A ）。
A ． 2Δω B ． /2 C ． 2（Δω-4） D ． 2（Δω-2）3．已知信号f （t ）的频带宽度为Δω，则f （3t-2）的频带宽度为（ A ）。
A ．3Δω B ．Δω/3 C ．（Δω-2）/3 D ．（Δω-6）/6 4．连续周期信号f （t ）的频谱F(j )的特点是（ D ）。
A ．周期、连续频谱 B ．周期、离散频谱 C ．连续、非周期频谱 D ．离散、非周期频谱5．信号f （t ）=Sa （100t ），其最低取样频率fs 为（ A ）。
A ． 100/ B ． 200/ C ．/100 D ．/2006．系统函数H （s ）与激励信号X （s ）之间（ B ）。
A ．是反比关系；B ．无关系；C ．线性关系；D ．不确定。
7．线性时不变系统输出中的自由响应的形式由（ A ）决定。
A ．系统函数极点的位置； B ．激励信号的形式； C ．系统起始状态； D ．以上均不对。
8．线性时不变系统输出中的自由响应的形式由（ A ）决定。
A ．系统的结构参数； B ．系统激励信号的形式； C ．系统起始状态； D ．以上均不对。
9．信号⎪⎭⎫ ⎝⎛+=34cos 3)(πt t x 的周期是（ C ）。
（A ）π2 （B ）π （C ）2π （D ）π210. 设f(t)=0，t<3，则信号f(1-t)+ f(2-t)为0的t 值是（ C ）。
（A ）t>-2或 t>-1 （B ）t=1和t=2 （C ）t>-1 （D ）t>-2 11. 设f(t)=0，t<3，则信号f(1-t)× f(2-t) 为0的t 值是（ D ）。
《经济数学》第2版习题答案完整版人大版
())1(32.150.1450),50(25.05015.0500,15.0.13100),100(541001000,.1230)3(3120)2(360)1.(111000,200908001001000800),800(90801008000,100.10,.939539.8.7.62,ln ,,.5sin ,,.4222)5.0(,2)0(,2)3(.3)111(1)(.2),1()1,)(2(]1,00,1-)[1.(1222122212≥+-=≤--==⎩⎨⎧>-+⨯≤≤=⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤≤⋅==-=-=⎪⎩⎪⎨⎧>⨯+⨯≤<-+⨯≤≤=≤≤+==========-==++=+∞⋃--∞⋃-x x x y x xy y x x x x y x x a a x x a P Q Q Q R P Q Q Q Q Q Q R bq a q c c c x w w v v u u y x v v u e y f f f xx x f u 略偶函数（）1、1191.016万元.2、561.256元.3、约2884年.4、7.18%.5、631.934元.6、收益的现值是61.977万元，租赁设备的方案更好.7、美国、中国、日本的年均增长率分别为6.83%，15.85%，12.65%.8、（1）14；（2）0；（3）13；（4）12；（5）2.9、（1）0；（2）0；（3）0；（4）极限不存在.10、（1）-16；（2）32；（3）0；（4）13；(5) 2x；.11、（1）w；（2）14；（3）2；（4）8；(5)12e；(6) e；(7) 2e；(8)53e.12、（1）0；（2）1；（3）0；（4）1.习题三答案1(1) 26sec x x - (2) 2ln 22x x + (3) 2732x x +(4) 2661x x -+ (5) 2cot csc sec tan x x x x x -+ (6) 1[ln ln 5]xe x x ++ (7)22(1)x + (8) 1cos 1x - (9) 222sec (1tan )xx - (10) 32(1) 2614(1)x x - (2)(3) 210x e -- (4) 22sec tan x x (5) 222sin 2cos 2cos sin x x x x x -- (6) 2(cos35sin 3)xe x x --(7) 1ln ln ln x x x (8) 13cot x x + (9) 243(21)x x + (10) 2 3(1) (62)x dx + (2) 322[2(3)(2)3(3)(2)]x x x x dx +-++- (3) 2(ln 2ln )x x dx + (4) (sin 2cos sin )x x x x dx -+(5) 33224(1)x dx x -+ (6) 2sin ln(12)12x dx x+-+ 4(1) (100)2200C =元 (100)22C =元/吨；(2) (100)9.5C '=元 5 (10)125C =， (10)5C '= 6 ()C Q'=， 25R ()(1)Q Q '=+， 25()(1)L Q Q '=+ 7 5060050pp η=- 1(1)111η=<； (6)1η=； (8)2η= 8(1) 214x- (2) 214x e - (3) 2sin cos x x x -- (4) 2cos te t --9(1) yy x - (2) x y x ye y x e++--10(1) 3(1)2t + (2) 2211t t +-11(1) (,)23x f x y x y '=+；(,)32y f x y x y '=+ (2) (,)2sin 2x f x y x y '=；2(,)2cos2y f x y x y '=百件。
条件概率练习题
条件概率练习题问题一某电子商务平台调查了2000名用户对于两种不同颜色的产品的满意度。
结果显示，用户对绿色产品的满意度为80%，对蓝色产品的满意度为75%。
此外，调查还发现，用户中有30%的人购买绿色产品，70%的人购买蓝色产品。
请你回答以下问题：1. 如果一个用户购买了蓝色产品，那么他对产品满意的概率是多少？2. 如果一个用户对产品满意，那么他购买的是蓝色产品的概率是多少？问题二某公司对其销售人员进行了培训，以提高销售业绩。
根据培训后的数据统计，已知一个销售人员达到预定销售目标的概率为80%，未达到预定销售目标的概率为20%。
另外，对于已达到预定销售目标的销售人员，他们接受过培训的概率为90%；对于未达到预定销售目标的销售人员，他们也接受过培训的概率为50%。
请你回答以下问题：1. 已知一个销售人员接受过培训，他达到预定销售目标的概率是多少？2. 已知一个销售人员未达到预定销售目标，他接受过培训的概率是多少？问题三某城市统计数据显示，约有10%的人是患有特定疾病的。
医生发现，在患有该疾病的人中，约有95%的人会出现某种症状。
而在没有患有该疾病的人中，约有5%的人也会出现该症状。
现在有一个人出现了这种症状，请你回答以下问题：1. 这个人患有上述特定疾病的概率是多少？2. 已知这个人患有上述特定疾病，他出现该症状的概率是多少？解答问题一1. 根据题意可得，购买蓝色产品的用户对产品满意的概率为75%。
<!-- 计算 -->购买蓝色产品并对产品满意的人数为 70% * 75% = 52.5%购买蓝色产品的总人数为 70%因此，如果一个用户购买了蓝色产品，他对产品满意的概率为52.5% / 70% ≈ 75%2. 已知用户对产品满意，购买蓝色产品的概率为？<!-- 计算 -->购买蓝色产品并对产品满意的人数为 52.5%总对产品满意的人数为（购买绿色产品并对产品满意的人数 +购买蓝色产品并对产品满意的人数）总对产品满意的人数为 30% * 80% + 70% * 75% = 67.5%因此，如果一个用户对产品满意，他购买的是蓝色产品的概率为52.5% / 67.5% ≈ 78%问题二1. 已知销售人员接受过培训，他达到预定销售目标的概率为？<!-- 计算 -->接受过培训的人达到预定销售目标的人数为 90% * 80% = 72%接受过培训的人总人数为 90%因此，已知一个销售人员接受过培训，他达到预定销售目标的概率为72% / 90% ≈ 80%2. 已知销售人员未达到预定销售目标，他接受过培训的概率为？<!-- 计算 -->未达到预定销售目标的人接受过培训的人数为 50% * 20% = 10% 未达到预定销售目标的人总人数为 20%因此，已知一个销售人员未达到预定销售目标，他接受过培训的概率为 10% / 20% = 50%问题三1. 这个人患有上述特定疾病的概率为？<!-- 计算 -->患有特定疾病并出现症状的人数为 10% * 95% = 9.5%出现症状的人数为（患有特定疾病并出现症状的人数 + 没有患有特定疾病但出现症状的人数）出现症状的人数为 10% * 95% + 90% * 5% = 9.5% + 4.5% = 14% 因此，这个人患有上述特定疾病的概率为9.5% / 14% ≈ 67.9%2. 已知这个人患有上述特定疾病，他出现该症状的概率为？<!-- 计算 -->患有特定疾病并出现症状的人数为 9.5%患有特定疾病的人数为（患有特定疾病并出现症状的人数 + 没有患有特定疾病但出现症状的人数）患有特定疾病的人数为 10%因此，已知这个人患有上述特定疾病，他出现该症状的概率为9.5% / 10% = 95%。
概率教材习题解
概率统计第一章教材习题选解习题1-21．已知B A ⊂，()4.0=A P ，()6.0=B P .求：（1）()A P ，()B P ；（2）()AB P ；（3）()B A P +；（4）()B A P ；（5）()B A P ⋅，()A B P .解：（1）()()6.01=-=A P A P ，()()4.01=-=B P B P ；（2）()()4.0====⊂A P AB P B A ；（3）()()6.0====+⊂B P B A P B A ；（4）()()()()()()2.0=-=-=-=A P B P AB P B P A B P B A P ；（5）()()()()4.011=-=+-=+=⋅B P B A P B A P B A P ，()()()0=-=AB P A P A B P .2．设B A ,是两事件，且()6.0=A P ，()7.0=B P .问分别在什么条件下，()AB P 取得最大值和最小值？最大值和最小值各为多少？解：因为()()()()B A P B P A P AB P +-+=，所以要使()AB P 最大，只要()B A P +最小；要使()AB P 最小，只要()B A P +最大. 而()B A A +⊆，()B A B +⊆，则()()B A P A P +≤，()()B A P B P +≤.于是B A ⊃或A B ⊃.又因为()()A P B P <，则B A ⊃不合题意.故，当A B ⊃时，()()()()()()()()6.0==-+=+-+=A P B P B P A P B A P B P A P AB P 最大；当Ω=+B A 时，()B A P +最大，()()()()3.0=+-+=B A P B P A P AB P 最小.3．已知B A ,是二事件，且()5.0=A P ， ()7.0=B P ，()8.0=+B A P .试求()A B P -与()B A P -. 解：因为()()()()4.0=+-+=B A P B P A P AB P ，所以()()()3.0=-=-AB P B P A B P , ()()()1.0=-=-AB P A P B A P .4．已知()()41==B P A P ，()21=C P ，()81=AB P ，()()0==CA P BC P .试求C B A ,,中有一个发生的概率. 解：()()()()()()()()ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=++因为()()()0==CA B P CA P ABC P ，而ABC AC ⊇，所以()()0=≥ABC P AC P ，即()0=AC P . 故，()()()()()()()()ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=++()()()()()87=-++=++AB P C P B P A P C B A P . 5．书架上有一部五卷册的文集，求各册自左至右或自右至左排成自然顺序的概率. 解：设A 表示“一部五卷册的文集，各册自左至右或自右至左排成自然顺序”，则()601!5!2==A P . 6．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有一件次品的概率.解：设A 表示“任取3件产品，求其中恰有一件次品”，则()3929935024515==C C C A P . 7．n 个朋友随机地围绕圆桌就座，求其中两人一定坐在一起（即座位相邻）的概率.解：首先必须搞清楚，这是一个环状排列问题.这种排列是无首尾之分的，而我们所熟悉的是线状排列问题.环状排列一种，相当于线状排列n 种.设A 表示“n 个朋友随机地围绕圆桌就座，其中甲，乙两人一定坐在一起”，则按线状排列时，首先考虑将甲，乙两人排在一起，有!2种排法，然后把这两人视为一个元素，再与其它的()1-n 的元素作全排列，共有()!1!2-n 种，而对应的环状排列有()()1!1!2--n n 种，于是()()()12!1!1!2-=--=n n n n n A P . 8．某油漆公司发出17桶油漆，其中白油漆10桶，黑油漆4桶，红油漆3桶，在搬运过程中所有的标签脱落，交货人随机地将这些油漆发给顾客，问一个订货为4桶白油漆，3桶黑油漆和2桶红油漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？解：设A 表示“能按所订颜色如数得到订货”，则()24312529172334410==C C C C A P . 9．设有N 件产品，其中M 件次品，今从中任取n 件，（1）求其中恰有()()n M k k ,m in ≤件次品的概率；（2）求其中至少有两件次品的概率.解：（1）设A 为“从N 件产品中任取n 件，其中恰有()()n M k k ,m in ≤件次品”，则()n Nk n M N k M C C C A P --=. （2）设B 为“从N 件产品中任取n 件，其中至少有两件次品”，则考虑逆事件的概率有：()()B P B P -=1，其中：B 表示“从N 件产品中任取n 件，其中次品件数不多于两件”.于是，()()n N n M N M n M N M C C C C C B P B P 11011---+-=-=. 10．将一枚骰子重复地掷n 次，试求掷出的最大点数为5的概率.解：设k A “n 次投掷中恰有k 次掷出5点，且其他各次小于5点”，则所求概率为：()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++--0222112164616461646161n n n n n n n n n C C C A A A P ΛΛ. 点评：本题不管是直接计算还是从对立事件着手都是困难的，但利用减法公式是简洁的. 设A “最大点数为5”，B “最大点数不超过5”，C “最大点数不超过4”，则B C ⊂，且C B A -=，于是()()()()n nn n n n n C P B P C B P A P 6456465-=-=-=-=. 11．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率.解：设甲乙两船到达的时刻为y x ,，则(){}240;240,≤≤≤≤=Ωy x y x .(){}y x x y y x A +≥+≥=21,或.显然，()11521013=A P . 点评：若甲船先到，则乙船必须晚到一小时x y +≥1；若乙船先到，则甲船必须晚两小时到达y x +≥2.12．（91数1-3）随机地向半圆a x ax y (202-<<为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，试求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率.解：.1212cos 20402πθπθπ+===⎰⎰a D rdr d a S S P 半圆 点评：此题求面积时可用定积分或二重积分.习题1-31．已知()3.0=A P ，()4.0=B P ，()5.0=B A P ，求条件概率()B A B P +. 解：()()()()()()()()()()()()B A P B P A P AB P B A P B P A P B B P AB P B A P B B AB P B A B P --+=-++=++=+1 因为()()()()5.0=-=-=AB P A P B A P B A P ，所以()()()B A P A P AB P -=. 故，()B A B P +()()()()()()()()()4111=--+-=--+=B A P B P A P B A P A P B A P B P A P AB P . 2．已知()5.0=A P ，()6.0=B P ，()8.0=A B P ，求()AB P 及()B A P ⋅.解：()()()4.0==A B P A P AB P ； ()()()()()()3.011=+--=+-=+=⋅AB P B P A P B A P B A P B A P . 3．某种动物由出生活到20岁的概率为8.0，活到25岁的概率为4.0，这种动物已经活到20岁，再活到25岁的概率是多少？解：设A “这种动物由出生活到20岁”，B “这种动物由出生活到25岁”，则A B ⊂， 故所求概率为：()()()()()218.04.0====A PB P A P AB P A B P .4．掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（分别用条件概率的定义计算和条件概率的含义（即用缩减后的样本空间）计算）.解法（一）：设A 表示“两颗骰子的点数之和为7”，B 表示“其中有一颗为1点”，则所求概率为：()()()31666222===A P AB P A B P . 解法（二）：考虑缩减后的样本空间（即两颗骰子的点数之和为7）：()()()()()(){}4,3,5,2,6,1,3,4,2,5,1,6=Ω，()(){}6,1,1,6=A ，故()31=A P . 点评：缩减后的样本空间只含有6个基本事件，而原样本空间含有36个基本事件.5．某人有一笔资金，他投入基金的概率为58.0，购买股票的概率为28.0，两项同时都投资的概率为19.0，（1）已知他已经投入基金，再购买股票的概率是多少？（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？解：设A “投入基金”，B “购买股票”，则()58.0=A P ，()28.0=B P ，()19.0=AB P ，于是，已知他已经投入基金，再购买股票的概率是：()()()581958.019.0===A P AB P A B P . 已知他已购买股票，再投入基金的概率是：()()()281928.019.0===B P AB P B A P . 6．袋中有r 只红球，t 只白球，每次从袋中任取一只球，观察颜色后放回，并再放入a 只与取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率（此题为波利亚模型，它是一个包含了许多重要的随机现象的模型，请读者思考一下，什么样的现象可以归结于这一模型）.解：设()4,3,2,1=i A i 表示“第i 次取到红球”，则所求概率为：()4321A A A A P ⋅⋅⋅()()()()()()a t r a t r a t r t r a t a r rt 32+++++++++=. 7．已知10只产品中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样.求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只正品，一只次品. 解：设21,A A 分别表示“第1，2次取的是正品”，则（1）()()()45289710812121=⋅==A A P A P A A P . （2）()()()4519110212121=⋅==⋅A A P A P A A P . （3）()()()()()()()12112121212121A A P A P A A P A P A A P A A P A A A A P +=+=+45169810292108=⋅+⋅=. 8．已知()3.0=A P ，()5.0=B P ，()15.0=AB P ，验证()()B P A B P =，()()B P A B P =，()()A P B A P =，()()A P B A P =. 证明：()()()()B P A P AB P A B P ===5.0；()()()()()()()()A P AB P B P A P A B P A P A B P A B P --=--==11 ()B P ==-=5.07.015.05.0.同理可证其他. 9．第一个盒子中有5只红球，4只白球；第二个盒子中有4只红球，5只白球.先从第一个盒子中任取2只球放入第二个盒子中去，然后从第二个盒子中任取一球，求取到白球的概率.解：设1B “从第一只盒子中取得2 只红球”，2B “从第一只盒子中取得2 只白球”，3B “从第一只盒子中取得一只红球，一只白球”，A “从第二只盒子中取到一只白球”. 由全概率公式得：()()()9953116951176111518531=⨯+⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P . 10．某产品主要由三个厂家供货. 甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数的%15，%80，%5.其次品率分别为02.0，01.0，03.0. 试计算：（1）从这批产品中任取一件是合格品的概率；（2）已知从这批产品中随机地取出的一件是不合格品，问这件产品由哪家生产的可能性大？解：设1B ，2B ，3B 分别表示“任取一件产品是甲，乙，丙厂生产的”，A 表示“从这批产品中任取一件是合格品”则()()()0125.003.005.001.08.002.015.031=⨯+⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P .11．将两信息分别编码为X 和Y 后传送出去，接收站接收时，X 被误收作Y 的概率为02.0，而Y 被误收作X 的概率为01.0.信息X 与信息Y 传送的频繁程度之比为1:2.若接收站收到的信息是X ，问原发信息也是X 的概率是多少？解：设A “发出信号X ”，B “收到信号X ”，则由Bayes 公式可知：()()()()()()()19719601.03198.03298.032=⨯+⨯⨯=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P . 12．设有两箱同类零件，第一箱内装有50件，其中10件是一等品；第二箱内装有30件，其中18件是一等品，现从两箱中任选一箱，然后从该箱中依次随机地取出两个零件（取出的零件不放回），试求：（1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.解：设21,A A 分别表示“第一，二次取得一等品”，21,B B 分别表示“取到第一箱，第二箱中的零件”.（1）由全概率公式得：()()()4.02130182*********=⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P . （2）由全概率公式得：4856.0=.习题1-41．设()7.0=A P ，()8.0=B P ，()8.0=A B P .问事件A 与B 是否相互独立？解：因为()()()56.0==A B P A P AB P ，而()()56.0=B P A P ，即()()()B P A P AB P =，所以事件A 与B 是相互独立的.2．设C B A ,,是三个互相独立的随机事件，且()10<<C P ，问AC 与C 是否相互独立？ 解：因为()()()()()()01>-==+⋅=+=⋅C P C P C C A P C A C P C AC P ， ()()()[]()()()[]()C P C P A P C P AC P C P AC P C B A -=====-=11,,独立，所以当()0=A P 时，()()()()C P C P AC P C AC P ==⋅，故AC 与C 是相互独立的.否则，AC 与C 是不相互独立的. 点评：因为C AC ⊂，所以C AC ⊃，从而()()C P C AC P =⋅.3．已知()a A P =，()3.0=B P ，()7.0=+B A P .（1）若事件A 与B 互不相容，求a ；（2）若事件A 与B 相互独立，求a .解：（1）若事件A 与B 互不相容，则()()()()A B P B P A P B A P -+=+ ()()()()()()()()()AB P A P AB P B P B P A P A B P B P A P +-=+-+-=--+=11，因为A 与B 互不相容，所以()0=AB P ，从而()()3.0117.0=⇒-=-==+a a A P B A P .（2）若事件A 与B 相互独立，则()()()()A B P B P A P B A P -+=+ ()()()B P A P A P +-=1，从而()()()()a a B P A P A P B A P 3.0117.0+-=+-==+，故73=a . 4．设A 与B 相互独立，且()α=A P ，()β=B P ，求下列事件的概率：（1）()B A P +；（2）()B A P +；（3）()B A P +. 解：（1）()αββα-+=-+=+)()()()(B P A P B P A P B A P ；（2）()()()B A P B P A P B A P -+=+)(，当A 与B 相互独立时，A 与B 也是独立的，则 αββ+-=1；（3）()()()()()αβ-=-=-==+111B P A P AB P AB P B A P . 5．已知事件A 与B 相互独立，且()91=⋅B A P ，()()B A P B A P =，求()A P ，()B P . 解：()()()()()()()()AB P B P AB P A P A B P B A P B A P B A P -=-⇔-=-⇔= ()()B P A P =⇔，从而有()()B P A P =. 当事件A 与B 相互独立时，事件A 与B 也独立，则()()()9191=⇔=⋅B P A P B A P ，于是()()31==B P A P ，()()32==B P A P .6．三个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为51，31，41，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率为多少？解：设C B A ,,分别表示“甲，乙，丙能独立地译出此密码”，则()()()()()()4332541111⨯⨯-=-=⋅⋅-=++-=++C P B P A P C B A P C B A P C B A P 53=.7．对同一目标进行三次独立射击，第一次、第二次、第三次射击的命中率分别是7.0,5.0,4.0，求：（1）在这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率；（2）在这三次射击中，至少有一次命中目标的概率.解：设C B A ,,分别表示“第一，二，三次射击时命中目标”.（1）()()()()()()()()()()C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A C B A C B A P ++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（2）()()()()()()C P B P A P C B A P C B A P C B A P -=⋅⋅-=++-=++11191.03.05.06.01=⨯⨯-=.8．一个元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性，设4个独立工作的元件4,3,2,1，求这一系统的可靠性.解：设i A 表示“第i 个元件可靠”)4,3,2,1(=i ，则所求概率为：()()()413214321A A A A A P A A A A P +=+ ()()()432141321432141321p p p p p p p p p A A A A P A A P A A A P -+=-+=.9．设第一只盒子中装有3只兰球，2只绿球，2只白球；第二个盒子中装有2只兰球，3只绿球，4只白球，独立地分别在两个盒子中各取一只球.（1）求至少有一只兰球的概率；（2）求有一只兰球，一只白球的概率；（3）已知至少有一只兰球，求有一只兰球一只白球的概率.解：设111,,C B A 分别表示“从第一只盒子中取出的球为兰，绿，白色的”，设222,,C B A 分别表示“从第二只盒子中取出的球为兰，绿，白色的”.（1）()()()()()959774111121212121=⨯-=-=⋅-=+-=+A P A P A A P A A P A A P ;（2）()()()()()()()212121212121A P C P C P A P A C P C A P A C C A P +=+=+631692729473=⨯+⨯=. （3）()()()()()21212121212121A A P A A A C C A P A A A C C A P +++=++，因为()()212121A A A C C A +⊂+，所以()()()()2121212121A C C A P A A A C C A P +=++.故，()()()()()()()3121212121212121212121=++=+++=++A A P A C C A P A A P A A A C C A P A A A C C A P .10．（先下手为强）甲、乙两人射击水平相当，于是约定比赛规则：双方对同一目标轮流射击，若一方失利，另一方可以继续射击，直到有人命中目标为止.命中一方为该轮的获胜者.你以为先射击者是否一定沾光？为什么？解：设i A 表示“第i 次射击时命中目标”()Λ,2,1=i ，B 表示“甲获胜”，假设由甲先发第一枪，又设甲，乙两人每次射击时的命中率为p ，未命中的概率为q ，则1=+q p .qq p +=-=1112，于是乙获胜的概率为：()()q qB P B P +=-=11.因为10<<q ，故()()B P B P >.即，先下手为强.第一章总习题1．填空题（1）假设B A ,是两个随机事件，且B A AB ⋅=，则()=+B A ，()=AB ；解：()()Ω=+⇔+=+++⇔B A B A B B A A .Φ=Φ⋅=⇔⋅⋅=⇔⋅=A AB B B A ABB B A AB .（2）假设B A ,是任意两个事件，则()()()()[]()=++++B A B A B A B A P .解：()()()()[]()()()()[]B A B A B A B A P B A B A B A B A P ++++=++++()()[]()0=Φ=++=P B B A B B A P .2．选择题（1）设8.0)(=A P ，7.0)(=B P ，()8.0=B A P ，则下列结论正确的是().（A ）事件A 与事件B 相互独立；（B ）事件A 与事件B 互逆； （C ）A B ⊃；（D ）())()(B P A P B A P +=+.解：因为()56.0)()(==B A P B P AB P ，而56.0)()(=B P A P ，即)()()(B P A P AB P =，所以事件A 与事件B 相互独立，选（A ）.（2）设B A ,为两个互逆的事件，且0)(>A P ，0)(>B P ，则下列结论正确的是().（A ）()0>A B P ；（B ）())(A P B A P =；（C ）()0=B A P ；（D ）)()()(B P A P AB P =. 解：因为B A ,为两个互逆的事件，所以当事件B 发生时，事件A 是不会以生的，故()0=B A P .选（C ）.（3）设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，()()1=+B A P B A P ，则下列结论正确的是().（A ）事件A 与事件B 互不相容；（B ）事件A 与事件B 互逆；（C ）事件A 与事件B 不互相独立；（D ）事件A 与事件B 互相独立.解：因为()()()()()()()()()()1111=-++⇔=⋅+⇔=+B P BA PB P AB P BP B A P B P AB P B A P B A P )()()(B P A P AB P =，所以事件A 与事件B 互相独立.选（D ）.3．从五双不同的鞋子中任取四只，求取得的四只鞋子中至少有两只配成一双的概率.解：此题考虑逆事件求解比较方便，即取得的四只鞋子中不能配成一双.设A 表示“取得的四只鞋子中至少有两只配成一双”，则()4101212124511)(C C C C C A P A P -=-= 2113=. 4．（找次品问题）盒中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只进行测试，直到4只次品晶体管都找到为止，求第4次品晶体管在第五次测试中被发现的概率.解：设i A 表示“第i 次找到次品晶体管”()5,4,3,2,1=i ，则所求概率为：1052617283941064=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯⨯=.5．（讨论奖金分配的公平性问题）在一次羽毛球比赛中，设立奖金1000元.比赛规定：谁先胜三盘，谁获得全部奖金.设甲、乙两人的球技相当，现已打了三盘，甲2胜1负.由于特殊原因必须中止比赛.问这1000元应如何分配才算公平?解：应以预期获胜的概率为权重来分配这笔奖金，于是求出甲、乙两人获胜的预期概率即可.比赛采取的应是五局三胜制，比赛已打三盘，甲胜两盘，甲若再胜一盘即可获胜. 甲获胜的预期概率为：()()()()43212121544544=⨯+=+=+A P A P A P A A A P . 于是，甲应分得1000元奖金中的750100043=⨯元，乙分得250元.6．4张卡片标着1到4，面朝下放在桌子上，一个自称有透视能力的人将用他超感觉的能力说出卡片上的号码.如果他是冒者而只能随机地猜一下，他至少猜中一个的概率p 是多少？解：由古典概型下概率的定义可知：85!41!40444342414=-=+++=C C C C C p . 7．甲从10,8,6,4,2中任取一个数，乙从9,7,5,3,1中任取一个数，求甲取得的数大于乙取得的数的概率.解：设i A 表示“甲取的数为()10,8,6,4,2=i i ”，k B 表示“乙取的数为()9,7,5,3,1=k k ”，则所求概率为：由于甲、乙取数是相互独立的，则由独立性的性质可知：()()()k i k i B P A P B A P =，且()51=i A P ，()51=k B P ，()9,7,5,3,1;10,8,6,4,2==k i . 以上概率为：5315251=⨯. 8．从数字9,,,3,2,1Λ中可重复地任取n 次，每次取一个数，求n 次所取数的乘积能被10整除的概率.解：n 次取得的数的乘积能被10整除，相当于取得的n 个数中至少有一个是偶数，另一个是5.设A 表示“所取的数是5”，B 表示“所取的数中至少有一个是偶数”，则所求概率为：nnn n 94581-+-=.9．向正方形区域(){}1,1,≤≤=Ωy x y x 中随机地投一个点，如果()y x ,是所投点M 的坐标，试求：（1）02=++y xt t 有两个实根的概率；（2）方程02=++y xt t 有两个正实根的概率.解：（1）设A 表示“02=++y xt t 有两个实根”，02=++y xt t 有两个实根的充要条件是 042≥-y x ， 即(){}04,2≥-=y x y x A .故()24134242102=+=⎰dx x A P .⎝⎛x（2）设B 表示“方程02=++y xt t 有两个正实根”，则方程02=++y xt t 有两个正实根的条件是：042≥-y x ，0>-x ，0>y ，即(){}0,0,04,2><≥-=y x y x y x B .故()48144012==⎰-dx x B P . 10．将四个球任意地放到四个盒子中去，每个盒子中容纳球的个数不限，如果已知前两个球放在不同的盒子中，试求有一个盒子中恰好放有三个球的概率.解：设A 表示“前两个球放在不同的盒子中”，B 表示“有一个盒子中恰好有两个球”，则所求概率为：()()()8114141224121224===C C C C C C C A P AB P A B P .11．设M 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件.（1）在所取的两件产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率；（2）在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是合格品的概率.解：设i A 表示“取出的两件产品中有i 件合格品”，则()22Mi mi m M i C C C A P --=()2,1,0=i . （1）()()()()()()12112222010010100100---=-=+=++=+--m M m C CC C C A A P A P A A P A A A P A A A P MmM M mm M . 或()()()()()()()()()10010010100100A P A P A P A A P A P A A P A A A P A A A P +=+=++=+121211220220---=+=---m M m C C C C C C C C C Mmm M M m m M M mm M . （2）()()()()()()()()1221121211211-+=+=++=+m M mA P A P A P A P A P A A A P A A A P .12．口袋中有20个球，其中两个是红球，现从袋中取球三次，每次取一个，取后不放回，求第三次才取到红球的概率.解：设i A 表示“第i 次取得红球()3,2,1=i ”，则所求概率为：()()()()089.011812119117120118213121321=⨯⨯=⋅=⋅⋅C C C C C C A A A P A A P A P A A A P .13．12个乒乓球全是新的，每次比赛时取出3个用完后放回去.（1）求第三次比赛时取到的三个球都是新球的概率；（2）问在第三次取到的三个球都是新球的条件下，第二次取到几个新球的概率最大？解：设事件i i i C B A ,,分别表示第一、二、三次比赛时取到i 个新球()3,2,1,0=i .（1）由全概率公式，()()()∑==333i i i B C P B P C P .其中：()()3,2,1,0312339==-i C C C B P i i i ，()()3,2,1,0312393==-i C C B C P i i . 故()()()146.03312393123393033≈⋅==∑∑=--=i ii i i i i C C C C C B C P B P C P .（2）容易求得，()70568430=C B P ，()7056151231=C B P ，()7056378032=C B P ，()7056168033=C B P . 故在第三次取到的三个球都是新球的条件下，第二次取到两个新球的概率最大.14．（有关经济的忠告）美国总统常常从经济顾问委员会寻求各种建议.假设有三种不同经济理论的顾问C B A ,,，总统正在考虑采取一项关于工资和价格控制的新政策，并关注这项政策对失业率的影响，每位顾问就这种影响给总统一个个人预测，预测是以失业率将减少、保持不变或上升的概率来给出的，见下表.用字母C B A ,,分别表示顾问C B A ,,的经济理论是正确的事件，根据以往总统与这些顾问一起工作的经验，总统已经形成了关于每位顾问正确的经济理论可能的一个估计，分别为：()61=A P ，()31=B P ，()21=C P .假设总统采取了所提出的新政策，一年后，失业率上升了，总统应如何调整他对其经济顾问的理论的正确的估计？解：设I 表示“失业率上升”，则()()()()()()()C I P C P B I P B P P A I P A P I P ++=3.02.0212.0318.061=⨯+⨯+⨯=.由Bayes 公式得：()()()()943.08.061=⨯==I P A I P A P I A P ， ()()()()923.02.031=⨯==I P B I P B P I B P ，()()()()933.02.021=⨯==I P C I P C P I C P .总统调整他对其经济顾问的理论的正确的估计为：()94=I A P ，()92=I B P ，()93=I C P . 15．设一枚深水炸弹击沉一艘潜水艇的概率为31，击伤的概率为21，击不中的概率为61，并设击伤两次会导致潜水艇下沉，求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.（提示：先求出击不沉的概率.）解：设A 表示“施放4枚深水炸弹击沉潜水艇”，则()()43344613121616111-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C A P A P .16．设有五个独立工作的元件,5,4,3,2,1（称为桥式系统），试求出该系统的可靠性. 解：设i A 表示“第i 个元件可靠()5,4,3,2,1=i ”，则所求概率为：()()()54325432154321543225224p p p p A A A A A P A A A A A P A A A A P +-+=-+-.17．（下赌注问题）17世纪未，法国的De Mere 爵士与人打赌，在“一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”的情况下他赢了钱，可是在“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的情况下却输了钱，从概率论的角度解释这是为什么？5解：应分别求出“一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”和“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的概率，比较这两个概率的大小即可作出解释.设A “一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”，B “两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”；再设i A “第i 次抛掷时出现六点()4,3,2,1=i ”，k B “第k 次抛掷时出现双六点”，则()()()()518.0651144321≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A P A P A P A P . 此概率大于5.0，故赢钱的可能性大.()()()491.0363511242421≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=B P B P B P Λ.此概率小于5.0，故赢钱的可能性小.请注意，在“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的情形中，当抛掷次数25>n 时，这时的概率大于5.0，且抛掷次数超过25次越多越有利，这是因为136351lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n . 18．要验收一批100件的乐器，验收方案如下：自该乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如果3件中至少有一件被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收.设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为95.0，而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为01.0，如果已知这100件乐器中恰好有4件音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？解：设i H 表示“随机取出的三件乐器中有i 件音色不纯()3,2,1,0=i ”，A 表示“这批乐器被接收”，则()31003960C C H P =，()3100296131C C C H P =，()3100196242C C C H P =，()3100343C C H P =，()()3099.0=H A P ，()()05.099.021⨯=H A P ，()()2205.099.0⨯=H A P ，()()3305.0=H A P . 于是，由全概率公式得：()()()6829.030==∑=i i i H A P H P A P .。
二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳与练习
二项分布？还是超几何分布二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析．例 1 袋中有 8 个白球、 2 个黑球，从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球．求：（ 1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（ 2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（ 1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1， 2， 3．又由于每次取到黑球的概率均为1， 3 次取球可以看成 3 次独立重复试验，则1，．550312∴ P(X 0) C301464 ；P(X 1)C311448 ；551255512521P(X 3) C33130P(X 2) C321412 ；4 1 ．5512555125因此， X 的分布列为X0123P6448121 125125125125（2）不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0， 1，2，且有：P(Y 0)C20C837；P(Y1)C21C827；P(Y2)C22C81 1 ．C10315C10315C10315因此， Y 的分布列为Y012771P151515例 2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40 件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495] ， (495,500] ，,, ，(510,515] ，由此得到样本的频率分布直方图，如图4（ 1）根据频率分布直方图，求重量超过505 克的产品数量 ,（ 2）在上述抽取的40 件产品中任取 2 件，设 Y 为重量超过505 克的产品数量，求Y 的分布列；（ 3）从该流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产品的重量超过505克的概率。
17.解 : (1)重量超过 505克的产品数量是 :40 (0.055+0.01 5)=40 0.3=12.(2)Y 的分布列为 :Y 0 1 2PC 282 C 281 C 121C 122C 402C 402C 402(3)设所取的 5件产品中 , 重量超过 505克的产品件数为随机变量 Y, 则Y B(5, 3),102 3 2 7 33087 从而 P(Y=2)=C 5( 10 )( 10 ) =10000 .即恰有 2件产品的重量超过 505克的概率为3087.10000超几何分布与二项分布特点(A) 判断一个随机变量是否服从超几何分布 , 关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征 :一个总体 ( 共有 N 个) 内含有两种不同的事物 A(M 个) 、 B(N M 个) , 任取 n 个 , 其中恰有 X 个A . 符合该条件的即可断定是超几何分布C M k C N nk M, 按照超几何分布的分布列 P( X k)C N n（ k 0,1,2, , m ）进行处理就可以了 . (B) 二项分布必须同时满足以下两个条件: ①在一次试验中试验结果只有A 与 A 这两个 , 且事件 A 发生的概率为 p , 事件 A 发生的概率为 1 p ；②试验可以独立重复地进行 , 即每次重复做一次试验 , 事件 A 发生的概率都是同一常数 p , 事件 A 发生的概率为 1 p .辨析：通过 2 个例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．例 1 与例 2 中的 EX=EY=0.6 注意▲ 超几何分布和二项分布都是离散型分布超几何分布和二项分布的判断方法（ 1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （ 2）超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）（ 3）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。
古扎拉蒂《计量经济学基础》复习笔记和课后习题详解(定性响应回归模型)【圣才出品】
第15章定性响应回归模型15.1 复习笔记考点一：定性响应模型的性质★★定性响应模型是指模型中的回归子是一个二值或二分变量的模型，通常被称为概率模型。
回归子也可以是多分响应变量或多类型响应变量。
将二值响应变量建立成概率模型的方法包括线性概率模型（LPM）、logit模型、probit模型和tobit模型。
考点二：线性概率模型（LPM）★★★★1．LPM的定义以下述回归模型为例说明：Y i＝β1＋β2X i＋u i。
其中X表示家庭收入；Y＝1，则表示该家庭拥有住房；Y＝0，则该家庭不拥有住房。
该模型被称为线性概率模型，因为Y i在给定X i下的条件期望E（Y i|X i）可解释为在给定X i下事件（家庭拥有住房）发生的条件概率，即Pr（Y i＝1|X i）。
2．LPM的特征令P i表示“Y i＝1”（即事件发生）的概率，而1－P i表示“Y i＝0”（即事件不发生）的概率，则变量Y i服从贝努利概率分布。
根据期望的定义，有：E（Y i）＝0（1－P i）＋1P i＝P i。
此外有：E（Y i|X i）＝β1＋β2X i ＝P i，即模型的条件期望事实上可以解释为Y i的条件概率。
该模型的约束条件为：0≤E（Y i|X i）≤1。
3．LPM的问题（1）干扰项u i的非正态性若把方程写成：u i＝Y i－β1－β2X i，u i的概率分布见表15-1。
表15-1 u i的概率分布可见u i服从贝努利分布而不是正态分布。
虽然干扰项不满足正态性假定，但OLS的点估计值仍具有无偏性。
此外在大样本下，OLS估计量一般都趋于正态分布，因此LPM的统计推断仍可用正态性假定下的OLS程序。
（2）干扰项的异方差性即使LPM中的干扰项满足零均值和无序列相关性假定，但也不能说它具有同方差性。
对于贝努利分布，理论上的均值和方差分别为P和P（1－P），可见方差是均值的函数，而均值的取值依赖于X的值，因此LPM中的干扰项具有异方差性。
数据模型决策分析习题
数据模型决策分析习题习题11.1抛掷一枚硬币三次。
实验的结果序列分别为正面“H”和反面“ T”。
(a)这个实验的所有可能的结果是什么？(b)结果是“ HHT”的概率是多少？(c)最初抛投的两次正面朝上的事件概率是多少？(d)在三次抛投过程中，出现两次同面朝上的事件概率是多少？1.2抛二颗骰子，考虑出现的点数之和，(a写出样本空间；(b)写出所有基本事件；(c)记Ai 表示出现i 点(i=1,…,12),求P(A2),P(A4),P(A7)1.3假设一年级有100名MBA学生。
所有这些学生，其中20名有两年工作经历，30名有三年工作经历，15名有四年工作经历，其他35名有五年或五年以上的工作经历。
假设随机抽取1名一年级MBA学生。
(a)这名学生至少有四年工作经历的概率是多少？(b)假设我们知道这名学生至少有三年工作经历，这名学生至少有四年工作经历的条件概率是多少？1.4在美国有55万人感染HIV病毒。
所有这些人中，27.5万人是吸毒者，其余的人是非吸毒者。
美国总人口为2.5亿。
在美国有1000万人吸毒。
HIV 感染的标准血液测试并不总是准确的。
某人感染HIV，检测HIV为肯定的概率是0.99。
某人没有感染HIV，检测HIV为否定的概率也是0.99。
回答下列问题，清晰地说明你需要做出的任何假设。
(a假设随机选择一个人进行HIV标准血液测试，测试结果是肯定的，这个人感染HIV 的概率是多少？你的答案令人吃惊吗？(b)假设随机选择一个吸毒者进行HIV标准血液测试，测试结果是肯定的，这个人感染HIV的概率是多少？习题22.1表2.1中说明了一个特定类型的微波炉每星期的销售数量的概率分布。
(a)每星期销售的微波炉的数量在1和3之间的概率是多少？(b)计算每星期销售微波炉的数量的均值、方差以及标准离差。
表2.1每星期销售微波炉的概率分布销售数量概率幷P i00.0510.0720.2230.2940.2550.122.2在一个小型造船厂每月制造的木制航海船的数目是- 」个随机变量，它服从表2.2中所给的概率分布。
随机模拟方法及习题
随机模拟方法在用传统方法难以解决的问题中，某些问题含有不确定的随机因素，分析起来通常比确定性的问题困难。
有的模型难做定量分析，得不到解析的结果或者是有解析结果，但计算代价太大以至不能使用，在这种情况下，可以考虑随机模拟的方法即Monte Carlo 方法。
该方法是一类以概率统计理论为指导的非常重要的数值计算方法，也是一种用于解决数值问题的基于计算机的统计抽样方法。
目前，随机模拟方法已广泛应用于诸如生物信息学、统计物理学、计算机科学、材料科学、金融学和经济学等领域。
基本知识基本思想为了求解物理、数学、工程技术以及生产管理等方面的问题，首先建立一个概率或者随机过程，使它的参数等于问题的解；然后通过对模型或过程的观察或者抽样实验来计算所求参数的统计特征，最后给出所求解的近似值。
而解的精确度可用估计值的标准误差来表示。
随机模拟方法是一种独具风格的数值计算方法，其优点大致有如下三方面：（A ）方法的程序结构简单；（B ）算法的概率性和问题的维数无关；（C ）方法的适应强。
随机数和伪随机数用Monte Carlo 方法模拟某过程的时候，需要产生各种概率分布的随机变量。
最基本、最简单、最重要的随机变量是在[0,1]上均匀分布的随机变量。
为了方便，通常把[0,1]上均匀分布随机变量的抽样值称为随机数，其他分布随机变量的抽样都可以借助于随机数来实现，因此，随机数是随机抽样的基本工具。
在计算机上用数学的方法产生随机数是目前广泛使用的方法，它的特点是占用内存少、产生速度快、又便于重复产生，比如说平方取中法、移位指令加法、同余法等等。
然而这种随机数是根据确定的递推公式求得的，存在着周期现象，初值确定后所有随机的数便被唯一确定下来，不满足真正随机数的要求，所以通常称数学方法产生的随机数为伪随机数。
在实际应用中，只要这些伪随机数序列通过一系列的统计检验，还是可以把它当称“真正”的随机数来使用。
产生随机数的命令在Matlab 软件中，可以直接产生满足各种分布的随机数，相关命令如下：(1)产生m n 阶[,]a b 均匀分布(,)U a b 的随机数矩阵：unifrnd (a,b,m, n)；产生一个[,]a b 均匀分布的随机数：unifrnd (a,b)；(2)产生m n ⨯阶[0,1]均匀分布的随机数矩阵：rand (m, n)； 产生一个[0,1]均匀分布的随机数：rand ；(3) 产生m n ⨯阶均值为μ，方差为2σ的正态分布的随机数矩阵：normrnd (,μσ,m,n)；(4) 产生m n ⨯阶期望值为μ的指数分布的随机数矩阵：exprnd(μ,m,n)若连续型随机变量X 的概率密度函数为0()00xe xf x x λλ-⎧≥=⎨<⎩,其中0λ>为常数，则称X 服从参数为λ的指数分布。
机器学习与人工智能(支持向量机与决策树)习题与答案
1.我们要用概率模型对数据和标签进行学习，需要数据/标签对服从某种概率分布，称为（）。
正确答案：数据生成分布2.在决策树学习中将已生成的树进行简化的过程称为（）。
正确答案：剪枝二、判断题1.支持向量分类器的判断规则只由训练观测的一部分（支持向量）确定。
正确答案：√2.支持向量机通过使用核函数来扩大特征空间。
正确答案：√3.支持向量机可看作是一类简单、直观的最大间隔分类器的推广。
正确答案：√4.支持向量是最靠近决策表面的数据点。
正确答案：√5.树的内部结点用特征作标签，树枝用是否符合特征来标签。
正确答案：√6.过拟合发生在模型太过偏向训练数据时，对于决策树可以采用修剪的方法阻止过拟合。
正确答案：√7.对于实值特征，可以用比较测试将数据划分为两部分，或者选择范围过滤。
正确答案：√8.决策树的节点有两种类型：内部节点和叶节点。
内部节点表示一个特征或属性，叶节点表示一个类。
9.过拟合发生在模型太过偏向训练数据时。
正确答案：√10.决策树的修剪可以采用正则化的方法。
正确答案：√三、单选题1.怎样理解非完美分类的超平面分类器？( )A.允许小部分训练观测被误分。
B.允许大部分训练观测被误分。
C.两种说法都对。
D.两种说法都不对。
正确答案：A2.SVM算法的性能取决于( )。
A.核函数的选择B.核函数的参数C.软间隔参数CD.以上都是正确答案：D3.SVM算法的最小时间复杂度是O(n*n)。
基于这一点，（）规格的数据集并不适用于该算法。
A.大数据集B.小数据集C.中数据集D.不受数据集大小的影响正确答案：A4.假定现在有一个四分类问题，你要用One-vs-all策略训练一个SVM的模型，你需要训练几个SVM模型？（）A.1B.2C.3D.4正确答案：D5.在构建决策树时，需要计算每个用来划分数据特征的得分，选择分数最高的特征，以下可以作为得分的是？（）A.熵B.基尼系数C.训练误差D.以上都是正确答案：D6.在决策树学习过程中，哪些情况可能会导致问题数据（特征相同但是标签不同）？( )A.数据错误B.数据有噪音C.现有的特征不足以区分或决策D.以上都是正确答案：D7.在构建决策树时，以下属于处理有多个值的特征的方法的是( )。
数学建模习题及答案
第一部分课后习题1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。
学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）2.1节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。
你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。
将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。
用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。
比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。
试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。
解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析建立模型，再用数据确定参数4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应多大（如图）。
若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。
如果管道是其他形状呢。
5.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
一元线性回归模型习题及答案
一元线性回归模型习题及答案一元线性回归模型一、单项选择题1、变量之间的关系可以分成两大类__________。
aa函数关系与相关关系b线性相关关系和非线性相关关系c正相关关系和负相关关系d简单相关关系和复杂相关关系2、相关关系是指__________。
da变量间的非单一制关系b变量间的因果关系c变量间的函数关系d变量间不确定性的依存关系3、进行相关分析时的两个变量__________。
aa都就是随机变量b都不是随机变量c一个就是随机变量，一个不是随机变量d随机的或非随机都可以4、则表示x和y之间真实线性关系的就是__________。
cxbe(y)x???ayt01tt01tcyt??0??1xt?utdyt??0??1xt具有有效性就是指__________。
b5、参数?的估计量??)=0bvar(??)为最轻avar(??－?)＝0d(??－?)为最轻c(??则表示重回值，则__________。
x?e，以??则表示估算标准误差，y6、对于yi??01iib）?＝0时，（yi－ya?0i＝2ii??）?＝0时，（b?＝0?y－y?）?＝0时，（c?为最小?y－y?）?＝0时，（d?为最小?y－yii2iix+e，则普通最小二乘法确定的??的公式中，错误7、设样本回归模型为yi=?i01ii的是__________。
dx?xy-y?x?x?n?xy-?x?y?b?＝n?x-??x?xy-nxy??c?＝x-nx?n?xy-?x?y?d?＝?＝a?1ii2iiii122iiii1i22iiiii??则表示估算标准误差，x+e，8、对于yi=?以?r则表示相关系数，则存有__________。
01iid12x＝0时，r=1a??＝0时，r=-1b??＝0时，r=0c??＝0时，r=1或r=-1d??＝356?1.5x，9、产量（x，台）与单位产品成本（y，元/台）之间的回归方程为y这表明__________。
古典概率模型习题
3.2.1 古典概型（第一课时）[自我认知]:1.在所有的两位数(10-99)中,任取一个数,则这个数能被2或3整除的概率是 ( )A.13B.23C.12D.562.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙两人下成和棋的概率为( )A. 60%B. 30%C. 10%D. 50%3.根据多年气象统计资料,某地6月1日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.20,则该日晴天的概率为( )A. 0.65B. 0.55C. 0.35D. 0.754.某射手射击一次,命中的环数可能为0,1,2,…10共11种,设事件A：“命中环数大于8”,事件B：“命中环数大于5”,事件C：“命中环数小于4”,事件D：“命中环数小于6”,由事件A、B、C、D中,互斥事件有 ( )A. 1对B. 2对C. 3对D.4对5.产品中有正品4件,次品3件,从中任取2件,其中事件：①恰有一件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全都是次品；③至少有1件正品和至少有一件次品；④至少有1件次品和全是正品.4组中互斥事件的组数是 ( )A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组6.某人在打靶中连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( )A.至多有一次中靶B. 两次都中靶C.两次都不中靶D.只有一次中靶7.对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A=﹛两次都击中﹜,B=﹛两次都没击中﹜,C=﹛恰有一次击中﹜,D=﹛至少有一次击中﹜,其中彼此互斥的事_____________________,互为对立事件的是__________________。
8.从甲口袋中摸出1个白球的概率是12,从乙口袋中摸出一个白球的概率是13,那么从两个口袋中各摸1个球,2个球都不是白球的概率是___________。
9.袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球,从中任取一球,摸出红球、白球的概率各是0.40和0.35,那么黑球共有______________个[课后练习]10．在下列试验中,哪些试验给出的随机事件是等可能的？①投掷一枚均匀的硬币,“出现正面”与“出现反面”。
由一道课本习题引发的对两种概率模型的比较性思考
由一道课本习题引发的对两种概率模型的比较性思考246740 安徽省枞阳县会宫中学 付朝华 朱贤良E-mail:zxl.ah@引例 （人教A 版高中数学教材必修3习题）若P （A U B ）=P （A ）+P （B ）=1，则事件A 与事件B 的关系是（ ）（A ）互斥不对立 （B ）对立不互斥 （C ）互斥且对立 （D ）以上答案都不对本题容易错选答案（C ）.辨析 古典概型与几何概型作为两种不同的概率模型，两者有相同点（都要求试验结果出现的等可能性），更有区别.以本题为例，在古典概型中，由P （A U B ）=P （A ）+P （B ）可知事件A 与B 必互斥，再由两者概率和为1得两者对立，因而易选择（C ）；而在几何概型中，满足P （A U B ）=P （A ）+P （B ）=1的两事件不一定互斥，更不一定是对立的.比如：某公共汽车站每隔5分钟有一辆车到达，乘客到汽车站的时刻是任意的，令A={乘客等待的时间不超过3分钟}，B={乘客等待的时间不少于3分钟}，则P （A U B ）=P （A ）+P （B ）=15253=+，但事件A 、B 不互斥，不对立，答案选（D ）.综上，正确答案应该是（D ）.思考 古典概型与几何概型都属于等可能概型，这是两种概型的共同之处，那么它们的不同之处又表现在哪？在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况，于是产生了几何概型.由此产生了古典概型与几何概型最重要最根本的区别：古典概型中每一次试验可能产生的结果是有限的，几何概型中每一次试验可能产生的结果是无限的.正是基于两者的这个根本区别，就有了两者的诸多不同：（1）两者的定义或者说概率计算公式不同：古典概型中，P （A ）=nm (其中 n 是试验的基本事件总数，m 是事件A 所包含的基体事件数)，这里采用基本事件数来计算概率；而在几何概型 中，则采用几何度量来计算，P （A ）=)()(ΩμμA （其中)(A μ表示区域A 的几何度量，)(Ωμ表示基本事件空间Ω的几何度量，这里的几何度量包括区域长度、面积或体积）.（2）古典概型中，随机事件A 的概率满足0＜P （A ）＜1；而在几何概型中，随机事件A 的概率满足0≤ P （A ）≤1.如下例：例 向平面内投一质点，该质点落在平面内任一点都是等可能的.事件A 表示“质点恰好落在平面内的O 点处”，事件B 表示“质点落在两面内除O 外的其它处” .这是一个典型的几何概型，两随机事件的概率依次为P （A ）=0、P （B ）=1.（3）古典概型中，概率为0的事件必是不可能事件，概率为1的事件必为必然事件；而在几何概型中，未必如此.如上例的几何概型中，虽然事件A 、B 的概率分别为0和1，但它们并不是不可能事件或必然事件，两事件均为随机事件.（4）古典概型中，满足P（A B）= P（A）+P（B）的两事件必互斥；而在几何概型中，结论不一定成立.总结与启示古典概型与几何概型是两种不同的等可能概型，这既是定义概率的两种不同方式，更是求解事件概率的两种不同方式。
魏宗舒版《概率论与数理统计教程》第三版_课后习题
三、回归方程和回归系数的显著性检验
1 . 回归方程的显著性检验
检验多元线性回归方程是否显著，就是检验y与x1，x2，…，xp， 中的某些自变量之间是否有较密切的线性关系。检验假设为
H0:β1=β2=…=βp=0
SR为回归平方和 S R ( yˆi y)2
i
Se为剩余平方和 Se ( yi yˆi ) 2
有效的回归方程。就要检验xj对y的影响是否显著。统计假设为
H0 j : βj=0，1≤j≤p
当假设H0成立时，统计量
Fj
Se
b2j /(n
/ c jj p 1)
服从自由度(1, n-p-1)的F的分布。
若Fj＞F，则拒绝假设H0，认为xj是重要的，应保留在回归 方程中；若Fj≤F ，则认为变量xj可以从回归方程中剔除。
不难证明，当一元线性回归的基本假定成立时，统计量
t
y0 yˆ0
~ t(n 2)
S 1 1 (x0 x )2
n
S xx
其中，S Se /(n 2) 为σ的估计。
因此，得到的置信度为1-α的预报区间为
yˆ 0
t
2
S
1
1 n
(x0 x)2 S xx
实际上，对任何一组数据都可 以用上述方法配一条直线。因此， 必须判断y与x 是否真的存在线性 相关关系。
二、回归问题的统计检验
欲检验假设 H0: β1= 0
总平方和 Syy ( yi y)2
回归平方和 SR i ( yˆi y)2 b1Sxy
i
剩余平方和 Se ( yi yˆi )2
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范萌萌
mmfan@
2018.7.14
随机模型
确定性因素和随机性因素
随机因素可以忽略 随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现 随机因素影响必须考虑 概率模型 统计模型 确定性模型
随机性模型 马氏链模型
习题1
习题1
习题2
习题2
习题3
习题3
习题3
• 解：
习题4
（2004年国际数模竞赛A题）指纹是唯一的吗？ 人们普遍相信一种说法：在世界上曾经生活过的任何两个人， 他们的指纹，都是不相同的。要求建立一个模型，分析评估一 下，这种说法，成立的可能性有多大。
习题4
• 解：
习题4
• 解：
习题4
• 解：
习题4
习题5
习题5
习题5
习题3
习题3
中奖等级 一等奖 奖金额
奖金额在高 70% 奖项奖中所 占的比例
二等奖 三等奖 15% 15%
四等奖 300
五等奖 六等奖 20 5
习题3
习题3
中奖等级 奖金额
一等奖 2476100
二等奖 132650
三等奖 5895.5
习题3
• 解： 得到这一结果是必然的，因为，投注者每购买一注彩票付出的 金额为2元，按照规定，返回给彩民的奖金总数为彩票销售总 额的50%，所以平均每注彩票的奖金额显然应该就是 2元*50%=1元 对各种彩票设置方案，都可以用上述方法求出各项奖的中奖概 率和奖金额，在此基础上，便可进一步考虑彩票设置方案的 合理性，对彩民的吸引力，设计出“更好”的方案来。