上海普陀区2013届高三数学第三次质量调研习题文

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上海市高三考前调研数学试题 Word版含答案

上海市2013—2014学年度高三年级学业质量调研数学试卷考生注意：本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.函数)2(log 1)(2-=x x f 的定义域为2.若直线052=+-y x 与直线062=-+my x 互相垂直，则实数=m3.复数z 满足iiz 1=i +1，则i z 31-+= 4.一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为 5.在ABC ∆中，若5=b ，4π=∠B ，2tan =A ，则=a6.已知圆O ：522=+y x ，直线l ：)20(1sin cos πθθθ<<=+y x ，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k =7.设等差数列{}n a 的公差2=d ，前n 项的和为n S ，则nn n S n a 22lim-∞→= 8.已知F 是抛物线42y x =的焦点，B A ,是抛物线上两点，线段AB 的中点为)2,2(M ，则ABF ∆的面积为9.某工厂生产10个产品，其中有2个次品，从中任取3个产品进行检测，则3个产品中至多有1个次品的概率为10.如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第．．1．层．），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有___________层11.函数)6sin()(πω+=x A x f ()0>ω的图象与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数x A x g ωsin )(=的图象，只要．．将)(x f 的图象向右平移个单位12.设))(2()(,1R x x k x f k ∈-=>，在平面直角坐标系中，函数)(x f y =的图象与x 轴交于点A ，它的反函数)(1x fy -=的图象与y 轴交于点B ，并且两函数图象相交于点P ，已知四边形OAPB 面积为6，则k 的值为13.设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使()()122f x f x C +=（C 为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的均值为C.下列五个函数：①x y sin 4= ②3x y = ③x y lg = ④xy 2= ⑤12-=x y ，则满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号14.若等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}nS n为等差数列，且通项为1(1)2n S da n n =+-⋅．类似地，若各项均为正数的等比数列{}nb 的首项为1b ，公比为q ，前n 项的积为n T ，则数列为等比数列,通项为_____________二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15.下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“存在,R x ∈使得210x x ++<”的否定是：“对任意,R x ∈ 均有210x x ++<”． D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．16.已知函数f （x ）=sin （2x πϕ+）的部分图象如图所示，点B ，C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于D ，E 两点，则（BD BE +）·BC 的值为A ．14 B ．12C ．1D ．2 17.如图，偶函数)(x f 的图象形如字母M ，奇函数)(x g 的图象形如字母N ，若方程：(())0,f f x =(())0,f g x =0))((,0))((==x f g x g g 的实数根的个数分别为a 、b 、c 、d ，则d c b a +++=A ．27B ．30C ．33D ．3618.已知[)x 表示大于x 的最小整数，例如[)[)34, 1.31=-=-．下列命题:①函数[)()f x x x =-的值域是(]0,1；②若{}n a 是等差数列，则[){}n a 也是等差数列；③若{}na 是等比数列，则[){}na 也是等比数列；④若()1,2014x ∈，则方程[)12x x -=有2013个根. 其中正确的是A.②④B.③④C.①③D.①④三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． (1)将圆心角为0120，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积 (2)在ABC ∆中，满足：AB AC ⊥,||AB 夹角的余弦值20．（本题满分14分）本题共有2已知A B 、分别在射线CM CN 、运动，23MCN ∠=π，在ABC ∆中，角所对的边分别是a 、b 、c ．（1）若a 、b 、c c 的值；（2）若c =ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值．)21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分．已知函数2||)(+=x x x f （1）判断函数f (x )在区间(0, +∞)上的单调性，并加以证明；（2）如果关于x 的方程f (x ) = kx 2有四个不同的实数解，求实数k 的取值范围．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分,第（3）小题满分6分在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-1, 0)、B (1, 0), 动点C 满足条件：△ABC 的周长为 2＋2 2.记动点C 的轨迹为曲线W . (1)求W 的方程；(2)经过点（0, 2）且斜率为k 的直线l 与曲线W 有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围（3）已知点M （2，0），N （0, 1），在(2)的条件下，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与MN 共线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分7分设各项均为非负数的数列{}n a 的为前n 项和n n S na λ=（1a ≠2a ，λ∈R ）．（1）求实数λ的值；（2）求数列{}n a 的通项公式（用2n a ,表示）．（3）证明：当2m l p +=（m l p ∈*N ,, ）时，2m l p S S S ⋅≤一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.()),3(3,2+∞⋃2. 13. 54. π145. 1026. 47. 38. 2 911.12π12.3 13. (2)(3)(5) 14.211-=n n q a T二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分. 15.D 16.C 17. B 18D. 三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． (1)设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的半径为r ，则21203,3360l l ππ==；232,13r r ππ⨯==； 24,S S S rl r πππ=+=+=侧面表面积底面2111333V S h π==⨯⨯⨯= (2)设向量2AB AC +与向量2AB AC +的夹角为θ(2)(2)cos |2||2|AB AC AB AC AB AC AB AC θ+⋅+=+⋅+，令||||AB AC a ==，224cos 5θ==20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．（1）a 、b 、c 成等差，且公差为2，∴4a c =-、2b c =-. 又23MCN ∠=π，1cos 2C =-， ∴222122a b c ab +-=-， ∴()()()()2224212422c c c c c -+--=---，恒等变形得 29140c c -+=，解得7c =或2c =.又4c >，∴7c =.（2）在ABC∆中，s i n s i n si nA CBC A B A BC B ACA C==∠∠∠，∴22sin sin sin 33ACBC ===ππθ⎛⎫-θ ⎪⎝⎭，2sin AC =θ，2sin 3BC π⎛⎫=-θ ⎪⎝⎭.∴ABC ∆的周长()f θAC BC AB =++2sin 2sin 3π⎛⎫=θ+-θ+ ⎪⎝⎭12sin cos 22⎡⎤=θ+θ+⎢⎥⎣⎦2sin 3π⎛⎫=θ+ ⎪⎝⎭又0,3π⎛⎫θ∈ ⎪⎝⎭，∴2333πππθ<+<,∴当32ππθ+=即6πθ=时，()f θ取得最大值2． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分．(1) 2||)(+=x x x f ,2)(,0+=>∴x xx f x 时当221+-=x()+∞+=,022在x y 上是减函数 ),0()(+∞∴在x f 上是增函数(2)原方程即：22||kx x x =+ )(* ①0=x 恒为方程)(*的一个解．②当20-≠<x x 且时方程)(*有解，则012,222=++=+-kx kx kx x x当0=k 时，方程0122=++kx kx 无解；当0≠k 时，时或即10,0442≥<≥-=∆k k k k ，方程0122=++kx kx 有解．设方程0122=++kx kx 的两个根分别是,,21x x 则kx x x x 1,22121=⋅-=+．当1>k 时，方程0122=++kx kx 有两个不等的负根；当1=k 时，方程0122=++kx kx 有两个相等的负根；当0<k 时，方程0122=++kx kx 有一个负根③当0>x 时，方程)(*有解，则012,222=-+=+kx kx kx x x当0=k 时，方程0122=++kx kx 无解；当0≠k 时，时或即01,0442>-≤≥+=∆k k k k ，方程0122=-+kx kx 有解．设方程0122=-+kx kx 的两个根分别是43,x x243-=+∴x x ，kx x 143-= ∴当0>k 时，方程0122=-+kx kx 有一个正根，当1-≤k 时，方程0122=-+kx kx 没有正根综上可得，当),1(+∞∈k 时，方程2)(kx x f =有四个不同的实数解22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分,第（3）小题满分6分 (1) 设C （x , y ）,∵ 2AC BC AB +=+＋2AB =, ∴ 2AC BC +=>,∴ 由定义知，动点C 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为22的椭圆除去与x 轴的两个交点.∴ =1a c . ∴ 2221b a c =-=∴ W : 2212x y += (0)y ≠.(2) 设直线l 的方程为y kx =22(12x kx +=.整理，得221()102k x +++=. ①因为直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于222184()4202k k k ∆=-+=->，解得k <k >∴ 满足条件的k 的取值范围为 2,(,)22k ∈-∞-+∞（（3）设P （x 1,y 1）,Q (x 2,y 2),则OP OQ +＝（x 1+x 2，y 1+y 2),由①得12x x += ②又1212()y y k x x +=++ ③因为M ，(0, 1)N ，所以(MN =.所以OP OQ +与MN 共线等价于1212)x x y y ++.将②③代入上式，解得k = 所以不存在常数k ，使得向量OP OQ +与MN 共线.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分7分（1）当1n =时，11a a λ=，所以1λ=或10a =，若1λ=，则n n S na =，取2n =得1222a a a +=，即12a a =，这与1a ≠2a 矛盾；所以10a =，取2n =得1222a a a λ+=，又1a ≠2a ，故20a ≠，所以12λ=，（2）记12n n S na =①，则111(1)2n n S n a --=- ()2n ≥②，①-②得111(1)22n n n a na n a -=-- ()2n ≥，又数列{}n a 各项均为非负数，且10a =，所以112nn a n a n --=-()3n ≥，则354234123411222n n a a aa n a a a a n --⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯-，即()21n a a n =-()3n ≥，当1n =或2n =时，()21n a a n =-也适合，所以()21n a a n =-；（3）因为()21n a a n =-，所以2(1)2n n n S a -=()20a ≠，又2m l p +=（m l p ∈*N ,, ）则[]{}2222(1)(1)(1)4pm n a S S S p p m m l l -=----[]{}222(1)(1)(1)4a p p m m l l =----()2222(1)(1)422a m l m l ml m l ⎧⎫⎡⎤⎪⎪++=----⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭(222(1)(1)4a ml ml m l ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦≥（当且仅当m l =时等号成立）(222(1)(1)4a ml ml m l ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦= )2221(1)(1)4a mlm l ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦=()224a ml m l ⎡+-⎣= 0≥（当且仅当m l =时等号成立）所以2m l p S S S ⋅≤.。

上海市普陀区高考数学三模试卷文(含解析)

上海市普陀区2015届高考数学三模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1．（4分）复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是．2．（4分）已知幂函数y=f（x）图象过点（2，），则该幂函数的值域是．3．（4分）设向量，，则向量在向量方向上的投影为．4．（4分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞0的解集为．5．（4分）若二元一次线性方程组无解，则实数a的值是．6．（4分）若0≤x≤，则函数y=cos（x﹣）sin（x+）的最大值是．7．（4分）已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是cm2．8．（4分）已知（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x4的系数是﹣35，则m=；a1+a2+a3+…+a7=．9．（4分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的一个方向向量为（1，），则|PF|=．10．（4分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且的面积等于．11．（4分）函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，f（﹣1）=1，且对任意实数x都有xf（x+1）=（x+1）f（x），则f（0）+f（1）+f（2）+…+f的值是．12．（4分）若矩阵的元素为随机从1、2、4、8中选取的4个不同数值，则对应的行列式的值为正数的概率为．13．（4分）设x，y满足约束条件：若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则的最小值为．14．（4分）已知集合A n={a1，a2，…，a n），a j=0或1，j=1，2，…，n（n≥2）}，对于U，V∈A n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数，若给定U∈A6，则所有的d（U，V）和为．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）“a+b＞0”是“任意的x∈[0，1]，ax+b＞0恒成立”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）若•+||2=0，则△ABC为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形17．（5分）函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．6 B．5 C．4 D．318．（5分）已知x、y均为实数，记max{x，y}=，min{x，y}=．若i表示虚数单位，且a=x1+y1i，b=x2+y2i，x1，y1，x2，y2∈R，则（）A．min{|a+b|，|a﹣b|}≤min{|a|，|b|} B．max{|a+b|，|a﹣b|}≤max{|a|，|b|} C．min{|a+b|2，|a﹣b|2}≥|a|2+|b|2D．max{|a+b|2，|a﹣b|2}≥{|a|2+|b|2三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的零点，并求反函数f﹣1（x）；（2）设g（x）=2log2，若不等式f﹣1（x）≤g（x）在区间[，]上恒成立，求实数k的范围．20．（14分）如图，已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F．（1）求证：A1C⊥平面BDE；（2）求三棱锥C﹣BDE的体积．21．（14分）如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道（直角△EFG，E是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口E是AB的中点，F，G分别落在AD，BC上，且AB=20m，AD=10m，设∠GEB=θ．（1）试将污水管道的长度l表示成θ的函数，并写出定义域；（2）当管道长度l为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度．22．（16分）对于给定数列{c n}，如果存在实常数p，q，使得c n+1=pc n+q（p≠0）对于任意的n∈N*都成立，我们称这个数列{c n}是“M类数列”．（1）若a n=2n，b n=3.2n，n∈N*，判断数列{a n}，{b n}是否为“M类数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}是“M类数列”，则数列{a n+a n+1}、{a n•a n+1}是否一定是“M类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{a n}满足：a1=1，a n+a n+1=3.2n（n∈N*），设数列{a n}的前n项和为S n，求S n的表达式，并判断{a n}是否是“M类数列”．23．（18分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．记λ=，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（1）设直线l：y=kx（k＞0），若S1=3S2，证明：B，C是线段AD的四等分点；（2）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（3）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．上海市普陀区2015届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1．（4分）复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是﹣1﹣i．考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则和共轭复数的定义即可得出．解答：解：z=i（i+1）=﹣1+i的共轭复数是﹣1﹣i．故答案为：﹣1﹣i．点评：本题考查了复数的运算法则和共轭复数的定义，属于基础题．2．（4分）已知幂函数y=f（x）图象过点（2，），则该幂函数的值域是[0，+∞）．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：设f（x）=xα，把点（2，）代入解出即可．解答：解：设f（x）=xα，∵幂函数y=f（x）图象过点（2，），∴，解得α=．∴f（x）=，∵x≥0，∴y≥0．∴该幂函数的值域是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．点评：本题考查了幂函数的定义及其性质，属于基础题．3．（4分）设向量，，则向量在向量方向上的投影为﹣1．考点：向量的投影．专题：平面向量及应用．分析：根据投影的定义，应用公式向量在向量方向上的投影为||cos＜，＞=求解．解答：解：向量，，根据投影的定义可得：向量在向量方向上的投影为||cos＜，＞===﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．4．（4分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x ＜1}．考点：函数的图象与图象变化．分析：要求函数f（x）＞0的解集，我们可以先求出x＞0时，﹣log2x＞0的解集，再求出x≤0时，1﹣x2＞0的解集，然后求出它们的交集即可得到结论．解答：解：∵f（x）＞0，且f（x）=，∴当x＞0时，﹣log2x＞0，即log2x＜0，∴0＜x＜1，当x≤0时，1﹣x2＞0，即x2﹣1＜0，∴﹣1＜x≤0，因此﹣1＜x＜1．故答案为{x|﹣1＜x＜1}点评：分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．5．（4分）若二元一次线性方程组无解，则实数a的值是﹣2．考点：线性方程组解的存在性，唯一性．专题：矩阵和变换．分析：通过题意可知，只需系数行列式=0即可，计算即得结论．解答：解：由题可知，只需系数行列式=0即可，即=4﹣a2=0，∴a=±2，而当a=2时，二元一次方程组有无数组解，∴a=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题考查系数行列式的应用，注意解题方法的积累，属于基础题．6．（4分）若0≤x≤，则函数y=cos（x﹣）sin（x+）的最大值是．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用x的范围和正弦函数的图象和性质求得函数的最大值．解答：解：y=sinx（sinx•+cosx）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x﹣）+，∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤，∴y max=+=，故答案为：．点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图形与性质．解题过程中注意运算的细心和公式的熟练运用．7．（4分）已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是πcm2．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知求出圆锥的母线长，代入圆锥的侧面积公式，可得答案．解答：解：由题意可知球的体积为：×13=cm3，圆锥的体积为：×π×12×h=hcm3，因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，所以=h，所以h=4cm，圆锥的母线：l==cm．故圆锥的侧面积S=πrl=πcm2，故答案为：π点评：本题考查球的体积与圆锥的体积公式的应用，考查计算能力．8．（4分）已知（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x4的系数是﹣35，则m=1；a1+a2+a3+…+a7=1．考点：二项式定理．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的指数等于4，求出r的值，根据x4的系数是﹣35，即可求得m的值．求出a0的值，再把x=1和m=1代入二项式及其展开式，可得a1+a2+a3+…+a7的值．解答：解：二项展开式的通项为T r+1= x7﹣r（﹣m）r，令7﹣r=4，可得r=3．故（﹣m）3=﹣35，解得m=1．故常数项为（﹣1）7=﹣1=a0，∴（1﹣1）7=a0+a1+a2+…+a7=0，∴a1+a2+a3+…+a7=﹣a0=1，故答案为 1； 1．点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．9．（4分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的一个方向向量为（1，），则|PF|=4．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．由直线EF的一个方向向量为（1，），可得k l，进而得到直线EF的方程为：y=（x﹣1），与抛物线方程联立，可得解得y E．由于PE⊥l于E，可得y P=y E，代入抛物线的方程可解得x P．再利用|PF|=|PE|=x P+1即可得出．解答：解：由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．∵直线EF的一个方向向量为（1，），∴k l=．∴直线EF的方程为：y=（x﹣1），联立，解得y=﹣2．∴E（﹣1，﹣2）．∵PE⊥l于E，∴y P=2，代入抛物线的方程可得12=4x p，解得x P=3．∴|PF|=|PE|=x P+1=4．故答案为：4．点评：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．10．（4分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且的面积等于48．考点：双曲线的应用．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的性质求得|PF1|，作PF1边上的高AF2则可知AF1的长度，进而利用勾股定理求得AF2，则△PF1F2的面积可得．解答：解：∵双曲线中a=3，b=4，c=5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0）∵|PF2|=|F1F2|，∴|PF1|=2a+|PF2|=6+10=16作PF1边上的高AF2，则AF1=8，∴∴△PF1F2的面积为S=故答案为：48．点评：此题重点考查双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；由题意准确画出图象，利用数形结合，注意到三角形的特殊性．11．（4分）函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，f（﹣1）=1，且对任意实数x都有xf（x+1）=（x+1）f（x），则f（0）+f（1）+f（2）+…+f的值是2031120．考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：从xf（x+1）=（1+x）f（x）结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得．解答：解：∵xf（x+1）=（x+1）f（x），∴当x=0时f（0）=0，∵f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数且f（﹣1）=1，∴f（1）=f（﹣1）=1．∵xf（x+1）=（x+1）f（x），∴当x=1时f（2）=2，当x=2时f（3）=3，当x=3时f（4）=4，…当x=2014时f=2015则f（0）+f（1）+f（2）+…+f=0+1+2+3+4+5+…+2015=2031120∴故答案为：2031120点评：本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律．12．（4分）若矩阵的元素为随机从1、2、4、8中选取的4个不同数值，则对应的行列式的值为正数的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；二阶矩阵．专题：概率与统计．分析：先求出总得事件个数，即把4个数全排列即可，再根据对应的行列式的值为正数得到即ad＞bc，由4×8＞2×1，8×2＞4×1，即可求出满足的种数，根据概率公式计算即可．解答：解：矩阵的元素为随机从1、2、4、8中选取的4个不同数值，共有A44=24种，∵=ad﹣bc＞，即ad＞bc，由4×8＞2×1，8×2＞4×1，∴对应的行列式有2A22A22=8种，故对应的行列式的值为正数的概率为P==，故答案为：．点评：本题考查行列式运算法则，古典概率的概率，排列组合等问题，属于中档题．13．（4分）设x，y满足约束条件：若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则的最小值为3+2．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求则的最小值．解答：解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得，∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，4），此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，即2a+4b=2，∴a+2b=1，=+=（+）×1=（+）×（a+2b）=1+2++≥3+2=3+2，当且仅当=，即a=b时取等号．故最小值为3+2，故答案为：3+2．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．14．（4分）已知集合A n={a1，a2，…，a n），a j=0或1，j=1，2，…，n（n≥2）}，对于U，V∈A n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数，若给定U∈A6，则所有的d（U，V）和为192．考点：元素与集合关系的判断．专题：推理和证明．分析：易知A n中共有2n个元素，分别记为v k（k=1，2，3，…，2n，v=（b1，b2，b3，…b n）b i=0的v k共有2n﹣1个，b i=1的v k共有2n﹣1个然后求和即可得到d（U，V）和与n的关系式，将n=6代入即可得到答案．．解答：解：易知A n中共有2n个元素，分别记为v k（k=1，2，3，…，2n），V=（b1，b2，b3，…，b n）∵b i=0的v k共有2n﹣1个，b i=1的v k共有2n﹣1个．∴d（U，V）=2n﹣1（|a1﹣0|+|a1﹣1|+|a2﹣0|+a2﹣1|+|a3﹣0|+|a3﹣1|+…+|a n﹣0|+|a n﹣1|）=n×2n﹣1∴d（U，V）=n×2n﹣1．故答案为：n×2n﹣1当n=6时，n×2n﹣1=192，故答案为：192点评：此题是个难题．本题是综合考查集合推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点．题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于S n的，其实S n中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1，第二个定义d（U，V）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）“a+b＞0”是“任意的x∈[0，1]，ax+b＞0恒成立”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若任意的x∈[0，1]，ax+b＞0恒成立”，则设f（x）=ax+b，则满足，即a+b＞0，b＞0，则“a+b＞0”是“任意的x∈[0，1]，ax+b＞0恒成立”的必要不充分条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数关系是解决本题的关键．16．（5分）若•+||2=0，则△ABC为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：依题意，可求得c=acosB，再利用正弦定理可得sinC=sinAcosB，即sin（A+B）=sinAcosB，利用两角和的正弦将等号左端展开，可求得cosA=0，从而可得答案．解答：解：∵•+||2=0，∴accos（π﹣B）+c2=0，即c2=accosB，∴c=acosB，由正弦定理==2R得：sinC=sinAcosB，∵△ABC中，C=π﹣（A+B），∴sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB，∴cosAsinB=0，又sinB≠0，∴cosA=0，A∈（0，π），∴A=．故选：B．点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与诱导公式及两角和的正弦的综合应用，属于中档题．17．（5分）函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数的性质对称函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣cosπx（﹣2≤x≤4）的图象关于x=1对称，画出图象判断交点个数，利用对称性整体求解即可．解答：解：∵y=ln|x|是偶函数，对称轴x=0，∴函数y=ln|x﹣1|的图象的对称轴x=1，∵函数y=﹣cosπx，∴对称轴x=k，k∈z，∴函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣cosπx（﹣2≤x≤4）的图象关于x=1对称，由图知，两个函数图象恰有6个交点，其横坐标分别为x1，x2，x3，与x1′，x2′，x3′，可知：x1+x1′=2，x2=2，x3=2，∴所有交点的横坐标之和等于6故选：A．点评：本题他考查对数函数与余弦函数的图象与性质，着重考查作图与分析、解决问题的能力，作图是难点，分析结论是关键，属于难题18．（5分）已知x、y均为实数，记max{x，y}=，min{x，y}=．若i表示虚数单位，且a=x1+y1i，b=x2+y2i，x1，y1，x2，y2∈R，则（）A．min{|a+b|，|a﹣b|}≤min{|a|，|b|} B．max{|a+b|，|a﹣b|}≤max{|a|，|b|} C．min{|a+b|2，|a﹣b|2}≥|a|2+|b|2D．max{|a+b|2，|a﹣b|2}≥{|a|2+|b|2考点：复数求模；复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：通过转化为向量加法与减法的几何意义，结合题目中的取最大与最小值，对选项中的问题进行分析判断，对错误选项进行排除即可．解答：解：∵a=x1+y1i，b=x2+y2i，x1，y1，x2，y2∈R，∴可记=（x1，y1），=（x2，y2），则||=|a|，||=|b|，∴|±|2=||2+||2±2||•||，∴max{|a+b|2，|a﹣b|2}≥|a|2+|b|2成立，D正确；对于A，当⊥时，易知不等式不成立，C不正确；对于B，当=且均不为零向量时，易知不等式不成立，B不正确；对于C，当=且均不为零向量时，易知不等式不成立，C不正确；故选：D．点评：本题考查复数的几何意义的应用问题，解题时应排除法，对错误选项进行举反例说明，注意解题方法的积累，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的零点，并求反函数f﹣1（x）；（2）设g（x）=2log2，若不等式f﹣1（x）≤g（x）在区间[，]上恒成立，求实数k的范围．考点：反函数；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由函数f（x）==0，由，解得x即可得出．由y=，解得x=，把x与y互换，即可得出反函数．（2）k＞0，由不等式f﹣1（x）≤g（x）得到k2≤（1﹣x）（1+x）=1﹣x2，再利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：（1）由函数f（x）==0，∴，解得x=0．∴函数f（x）的零点是x=0．由y=，解得，x=，把x与y互换，可得f﹣1（x）=，x∈（﹣1，1）．（2）∵k＞0，∴≤=，得到k2≤（1﹣x）（1+x）=1﹣x2，∵x∈[，]，当时，右边最小值为，解得．∴实数k的范围是．点评：本题考查了反函数的求法、二次函数的单调性、指数函数与对数函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）如图，已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F．（1）求证：A1C⊥平面BDE；（2）求三棱锥C﹣BDE的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）先证明：BD⊥A1C，BE⊥A1C，再证明A1C⊥平面BDE；（2）利用V C﹣BDE=V E﹣BDC，求三棱锥C﹣BDE的体积．解答：（1）证明：因为BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1=A，所以BD⊥平面A1AC，所以BD⊥A1C；（3分）又因为BE⊥B1C，BE⊥A1B1，B1C∩A1B1=B1，所以BE⊥平面A1B1C，所以BE⊥A1C；因为BD∩BE=B所以A1C⊥平面BDE．（6分）（2）解：由题意CE=1，（8分）所以V C﹣BDE=V E﹣BDC==（14分）点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥C﹣BDE的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道（直角△EFG，E是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口E是AB的中点，F，G分别落在AD，BC上，且AB=20m，AD=10m，设∠GEB=θ．（1）试将污水管道的长度l表示成θ的函数，并写出定义域；（2）当管道长度l为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度．考点：三角函数的最值．专题：解三角形．分析：（1）根据题意分别表示出EG，EF，FG，进而表示出l的表达式．（2）设sinθ+cosθ把l转化为关于t的方程，利用单调性确定最大值．解答：（1）因为EG=，EF=，FG=，l=10（++），θ∈[，]．（2）l=•10设t=sinθ+cosθ=sin（θ+）∈[，]，l=•10=，为减函数，∴当θ=或时，有最大值20（+1），答：当θ=或时，污水净化效果最好，l最大值20（+1）m．点评：本题主要考查了三角形问题的实际应用．解题的重要的地方是建立数学模型，把实际问题转化为数学问题来解决．22．（16分）对于给定数列{c n}，如果存在实常数p，q，使得c n+1=pc n+q（p≠0）对于任意的n∈N*都成立，我们称这个数列{c n}是“M类数列”．（1）若a n=2n，b n=3.2n，n∈N*，判断数列{a n}，{b n}是否为“M类数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}是“M类数列”，则数列{a n+a n+1}、{a n•a n+1}是否一定是“M类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{a n}满足：a1=1，a n+a n+1=3.2n（n∈N*），设数列{a n}的前n项和为S n，求S n的表达式，并判断{a n}是否是“M类数列”．考点：数列的应用．专题：证明题；等差数列与等比数列．分析：（1）运用 M类数列定义判断，（2）{a n}是“M类数列”，得出a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，求解a n+1+a n+2，a n+1a n+2的式子，结合定义判断即可（3）整体运用a n+a n+1=3.2n（n∈N*），分类得出：当n为偶数时，S n=3（2+23+…+2n﹣1）=2n+1﹣2，n为奇数时，S n=1+3（22+24+…+2n﹣1）=2n+1﹣3，化简即可得出S n，再运用反证法证明即可．解答：解：（1）因为a n+1=a n+2，p=1，q=2是“M类数列”，b n+1=2b n，p=2，q=0是“M类数列”．（2）因为{a n}是“M类数列”，所以a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，所以a n+1+a n+2=p（a n+1+a n+2）+2q，因此，{a n+a n+1}是“M类数列”．因为{a n}是“M类数列”，所以a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，所以a n+1a n+2=p2（a n a n+1）+pq（a n+a n+1）+q2，当q=0时，是“M类数列”；当q≠0时，不是“M类数列”；（3）当n为偶数时，S n=3（2+23+…+2n﹣1）=2n+1﹣2，当n为奇数时，S n=1+3（22+24+…+2n﹣1）=2n+1﹣3，所以S n=．当n为偶数时a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣2﹣（2n﹣3）=2n+1，当n为奇数时，a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣3﹣（2n﹣2）=2n﹣1（n≥3），所以a n=假设{a n}是“M类数列”，当n为偶数时，a n+1=2n+1﹣1=pa n+q=p（2n+1）+qp=2，q=﹣3，当n为奇数时，a n+1=2n+1+1=pa n+q=p（2n﹣1）+q，p=2，q=3，得出矛盾，所以{a n}不是“M类数列”．点评：本题题意很新颖，解决问题紧扣定义即可，注意分类讨论，整体求解，属于难题，运算量较大．23．（18分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．记λ=，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（1）设直线l：y=kx（k＞0），若S1=3S2，证明：B，C是线段AD的四等分点；（2）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（3）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据椭圆的对称性，结合S1=3S2，又因为M，N到直线l的距离相等，证出即可；（2）由n+m=λ（m﹣n），得到λ2﹣2λ﹣1=0，解出即可；（3）分别设出椭圆C1，C2和l的方程，得到（λ﹣1）x A=（λ+1）x B，通过讨论λ的范围，从而求出结论．解答：（1）证明：因为S1=3S2，又因为M，N到直线l的距离相等，所以|BD|=3|BA|，由椭圆的对称性，得到|DC|=|BA|，|CO|=|OB|，所以|BC|=2|BA|⇒|BO|=|BA|，即B是OA中点，同理，C是OD中点，B，C是AD的四分点，得证．（2）解：因为S1=λS2，所以n+m=λ（m﹣n），∴λ==，∴λ2﹣2λ﹣1=0，解得：λ=+1（小于1的根舍去）．（3）解：设椭圆C1：+=1（a＞m），C2：+=1，直线l：y=kx（k≠0），由⇒x2=，即：=，同理可得：=，又∵△BDM和△ABN的高相等，∴===，若存在非零实数k使得S1=λS2，则有（λ﹣1）x A=（λ+1）x B，即：=，解得：k2=，∴当λ＞1+时，k2＞0，存在这样的直线l；当1＜λ≤1+时，λ2≤0，不存在这样的直线．点评：本题考察了含有参数的直线和椭圆的综合问题，第三问设出椭圆C1，C2和l的方程，得到（λ﹣1）x A=（λ+1）x B是解答本题的关键．。

普陀区高三质量调研数学试卷标准答案及解答参考(交流)

因此，对于任意的正整数 m 、 n ，都有
| bn bm |
an1 1
1 1 an 1
an 1
2 an
所以
1 an1
1

1 an 1

1
，
n

N*
；故

1 an 1
是等差数列.
由此可得， 1 1 (n 1) (1) n ， an 1 a1 1
所以 an
1
1 n

n 1， n
n N*
12. (1) A 3 ; (2) A A11/ N ^ 2 ； (错一个即不得分)
4
13. a 0 且 a b 0；（该结论的等价形式都对）； 14. 4 2 2, 4 2 2 .
二、选择题（每题 4 分，满分 16 分）：
题号
15
16
答案
C
B
17
理 18；文：18
2
O
E
B
C
第 20 题图
因此， tan CDE 15 . 即异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为 arctan 15 ．
3
3
解法二：以 OC 为 x 轴， OB 为 y 轴， OA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
则 O(0，0，0) ， A(0，0，2 3) ， C(2，0，0) ， D(0，1，3) ，
故从点 C 出发在圆锥体表面运动到点 D 的最短距离为 2 5 2 2 .
21. （本题满分 16 分，其中第 1 小题 6 分，第 2 小题 10 分.）
解：（1）依题意得，车队通过隧道的时间 t 关于车队行进速度 v 的函数解析式为：

上海市普陀区高三数学第三次模拟调研考试试题文(含解析)

上海市普陀区2015届高三数学第三次模拟调研考试试题文（含解析）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1.设复数(1)z i i =+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z =_________. 【答案】i --1考点：复数的运算及共轭复数的概念.2.已知幂函数)(x f y =图像过点（，则该幂函数的值域是_____________. 【答案】[0,)+∞ 【解析】试题分析：设幂函数的解析式为αx y =因为幂函数)(x f y =图像过点（，所以21,22=∴=αα，所以该幂函数的解析式为0≥=x y . 考点：幂函数的定义及值域.3.设向量(1,2)a =-，(3,4)b =，则向量a 在向量b 上的投影为 . 【答案】-1考点：向量的投影.4.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=)0(1)0(log )(22x x x x x f ，则不等式0)(>x f 的解集为_________.【答案】(1,1)-考点：解不等式. 5.若二元一次线性方程组346x ay ax y +=⎧⎨+=⎩无解，则实数a 的值是__________.【答案】-2 【解析】试题分析：二元一次线性方程组346x ay ax y +=⎧⎨+=⎩无解，则直线x+ay=3与ax+4y=6平行，则6341≠=a a 解得2-=a . 考点：二元一次方程组的解法. 6.若02x π≤≤，则函数cos()sin()26y x x ππ=-+的最大值是___________.考点：求最大值.7.已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是 2cm ．【解析】试题分析：球的半径是1cm ，则它的体积ππ341343=⨯=V ,设圆锥的高为h ，由题意h 213134⨯=ππ，解得4=h ，则圆锥的母线长为,174122=+=l 所以圆锥的侧面积是=rl π.考点：求圆锥的侧面积.8.已知7270127()x m a a x a x a x -=++++，其中435a =-，m R ∈，则01237a a a a a +++++= ．【答案】0考点：二项式定理的应用.9.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点P 作PE l ⊥于E ，若直线EF的一个方向向量为，则||PF =______．【答案】4 【解析】试题分析：P 是抛物线上一点，所以可设点P 的坐标为),4(2y y ，则),1(y E -，又因为F )0,1(，所以),,2(y -=直线EF 的一个方向向量为，所以32,32-==-y y ，所以)32,3(-p ，所以),32,2(-=所以4)32()2(||22=+-=PF ，所以||PF =4.考点：求线段的长度.10.已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于___________.【答案】48考点：求三角形的面积.11.函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数(1)1f -=，，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则(0)(1)(2)(2015)f f f f ++++的值是___ __.【答案】2031120 【解析】试题分析：因为(1)(1)()xf x x f x +=+，所以)(1)1(,0,0)0(x f xx x f x f +=+≠=，由题意=)1(f (1)1f -=，所以n n f f f f f =====)(,3)2(23)3(,2)1(2)2( ，20311202)20150(201620153210)2015()2()1()0(=+=+++++=++++ f f f f .考点：抽象函数.12.若矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的元素为随机从1、2、4、8中选取的4个不同数值，则对应的行列式a b c d 的值为正数的概率为__________. 【答案】13考点：行列式与概率.13.设,x y 满足约束条件：32020,0,0x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥≥⎩若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则a bab+的最小值为 .【答案】【解析】试题分析：画出32020,0,0x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥≥⎩的可行域易得A(0，0),B(23，0),C(2,4),易得直线a zy x b b=-+(0,0)a b >>过点C 时目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，即24b 2a +=，11112()(2)33a b a b a b ab a b a b b a +=+=++=++≥+,当且仅当212a b a b b a +=⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，所以答案为考点：线性规划.14.已知集合=n A ｛()0|,,,21=j n a a a a 或1，12,(2)}j n n =≥，，，，对于,n U V A ∈，(,)d U V 表示U 和V 中相对应的元素不同的个数，若给定n U A ∈，则所有的(,)d U V 和为__________. 【答案】12n n -【解析】试题分析：由题意可得集合=n A ｛()0|,,,21=j n a a a a 或1，12,(2)}j n n =≥，，，中，共有2n个元素，记为123(1,2.3,4,,2),V (b ,,,)n k n V k b b b ==，b 0i =的k V 共有12n -个，b 1i =的k V 共有12n -个，111122(,)2(|0||1||0||1||0||1|)n 2n n n n d U V a a a a a a --∴=-+-+-+-++-+-=⨯.故答案为1n 2n -⨯.考点：推理与证明.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. “0a b +>”是“任意的[]0,1x ∈，0ax b +>恒成立”的……………………………（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C考点：充分必要条件的判断.16.若0||2=+⋅，则ABC ∆为………………………………………………（） A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】B 【解析】试题分析：由题意0||2=+⋅，可得()0AB BC AB AB AB BC AB AB AC ⋅+⋅=⋅+=⋅=，所以00,,90AB AC AB AC BAC ⋅=∴⊥∴∠=,所以ABC ∆为直角三角形 .考点：三角形形状的判断.17.函数ln |1|y x =-的图像与函数cos (24)y x x π=--≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于……………………………………………………………………………………（） A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】A【解析】试题分析：函数ln |1|y x =-的图像关于直线x=1对称，函数cos (24)y x x π=--≤≤的图像也关于直线x=1对称，画出图像，两图像共有6个交点，关于直线x=1对称，所以它们的交点的横坐标之和等于6. 考点：对数函数与余弦函数的图象与性质.18.已知x 、y 均为实数，记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩.若i 表示虚数单位，且11a x y i =+，22,b x y i =+1122,,,x y x y R ∈，则…………（） A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤ B.max{||,||}max{||,||}a b a b a b +-≤ C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222max{||||}||||a b a b a b +-≥+，【答案】D考点：复数的几何意义.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知函数21()21x x f x -=+.（1）求函数()f x 的零点，并求反函数1()f x -；（2）设21()2log x g x k +=，若不等式1()()f x g x -≤在区间12[,]23上恒成立，求实数k 的范围.【答案】（1）0，121()log 1x f x x -+=-(11)x ∈-，,（2）0k <≤【解析】试题分析：(1)函数的零点即求当y=0时，x 的值；反函数的实质是x 与y 的互换；(2)对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1）()()max x f a x f a ≥⇔≥恒成立，（2）()()min x f a x f a ≤⇔≤恒成立试题解析：（1）函数()f x 的零点是0x =，（2分）反函数121()log 1xf x x-+=-，(11)x ∈-，,（6分），考点：零点，反函数恒成立问题.20.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，已知正四棱柱ABCD A B C D １１１１－中，底面边长2AB =，侧棱1BB 的长为4，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1CC 于点E ，交1B C 于点F .（1）求证：1AC ⊥平面BDE ；（2）求三棱锥C BDE -的体积.【答案】（1）答案见解析（2）23【解析】试题分析：（1）证明线线垂直一般要通过证明线面垂直，线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.(2) 在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.试题解析：（1）连接AC,因为正四棱柱所以 11BD AC BD BD AA AC AA A⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭=平面11A AC BD AC ⇒⊥；（3分）同理可得1111111BE B C BE BE A B B CA B B ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭=平面111A B C BE AC ⇒⊥；又因为BDBE B =所以1AC ⊥平面BDE . （6分）（2）容易得到1CE =，（8分）所以112122323C BDE E BDC V V --==⨯⨯⨯⨯=.（14分）考点：线线垂直及三棱锥的体积.21.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（直角EFG ∆，E 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口E 是AB 的中点，,F G 分别落在,AD BC上，且20,AB m AD ==,设GEB θ∠=.（1）试将污水管道的长度l 表示成θ的函数，并写出定义域；（2）当管道长度l 为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度.D AF【答案】（1）11110(+),[,]sin cos sin cos 63l ππθθθθθ=+∈；（2）max 1)m l =试题解析：（1）因为101010,,F cos sin sin cos EG EF G θθθθ===，（3分） 11110(+),[,]sin cos sin cos 63l ππθθθθθ=+∈ （6分）（2）1sin cos 10sin cos l θθθθ++=，令sin cos )4t πθθθ=+=+∈，（8分）所以201l t =-在上减，（10分）所以当6πθ=或3π时，max 1)l = （13分）答：当6πθ=或3π时，max 1)m l =.（14分）考点：利用三角函数解应用题.22.（本题满分16分）本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.对于给定数列{}n c ，如果存在实常数,p q ，使得1(0)n n c pc q p +=+≠对于任意的*n N ∈都成立，我们称这个数列{}n c 是“M 类数列”.（1）若*2,32,n n n a n b n N ==⋅∈，判断数列{},{}n n a b 是否为“M 类数列”,并说明理由；（2）若数列{}n a 是“M 类数列”，则数列1{}n n a a ++、1{}n n a a +⋅是否一定是“M 类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{}n a 满足：*111,32()n n n a a a n N +=+=⋅∈，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的表达式，并判断{}n a 是否是“M 类数列”.【答案】（1）是；（2）112(2,)23(21,n n n n k k Z S n k k Z ++⎧=∈⎪=⎨-=-∈⎪⎩-2，，），不是【解析】试题分析：(1)对于数列的新定义，一定要明确满足什么条件是M 类数列，然后解析判断，（2）由*111,32()n n n a a a n N +=+=⋅∈如何求n S ，分n 为偶数与n 为奇数两种情况，注意把1n n a a ++看做整体对待，进行求和，由n S 进一步求出n a ，在根据新定义判断{}n a 是否是“M 类数列”.试题解析：（1）因为12n n a a +=+，12p q ==，是“M 类数列”，（2分）12n n b b +=，20p q ==，是“M 类数列”（4分）.（2）因为{}n a 是“M 类数列”，所以1n n a pa q +=+，2+1n n a pa q +=+，所以121+()2n n n n a a p a a q +++=++，因此，1{}n n a a ++是“M 类数列”.（7分）因为{}n a 是“M 类数列”，所以1n n a pa q +=+，2+1n n a pa q +=+，所以221211()()n n n n n n a a p a a pq a a q ++++=+++，当0q =时，是“M 类数列”；（9分）当0q ≠时，不是“M 类数列”；（10分）假设{}n a 是“M 类数列”，当n 为偶数时，1121(21)2,3n n n n a pa q p q p q ++=-=+=++⇒==-，当n 为奇数时，1121(21)2,3n n n n a pa q p q p q ++=+=+=-+⇒==，得出矛盾，所以{}n a 不是“M 类数列”.（16分）考点：数列的新定义.23.（本题满分18分）本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2n ()m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A 、B 、C 、D .记m nλ=,BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S . （1）当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值；；（2）设直线:(0)l y kx k =>，若123S S =，证明：,B C 是线段AD 的四等分点（3）当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.【答案】(1)1λ=+;(2)证明见解析；（3）当1λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;当11λ<≤+时,20k ≤,不存在这样的直线l .【解析】试题分析：（1）解决有关椭圆问题时，注意椭圆的对称性得应用；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式∆：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.（3）设椭圆()22122:1x y C a m a m +=>,22222:1x y C a n+=,直线l :(0)y kx k =≠22221y kx x y a m =⎧⎪⎨+=⎪⎩222222a m x m a k ⇒=+ 即222222A a m x m a k =+ （12分）同理可得,222222B a nx n a k =+又BDM ∆和ABN ∆的高相等12B D B AA B A BS x x x x BD S AB x x x x -+∴===--若存在非零实数k 使得12S S λ=,则有()()11A B x x λλ-=+,即()()222222222211n a k n a k λλλλ-+=++,解得()()2322224211n k a λλλλ=--+ （16分） ∴当1λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;当11λ<≤+时,20k ≤,不存在这样的直线l . （18分）考点：椭圆的综合问题.。

【数学】上海市浦东新区2013届高三下学期三模考试(文)

浦东新区2013年高三综合练习（三模）数学试卷（文科）一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．函数()2x x x f -=的定义域为 .2．如果sin α=，α为第三象限角，则3sin()2πα+= ． 3．设等差数列{}n a 的前n 项之和n S 满足10520S S -=，那么 8a = ． 4．设复数i z 511+=，i m z +=32，i n z z 821+=+),(R n m ∈，则=21z z __________. 5．正方体-ABCD 1111D C B A 中，Q P N M ,,,分别是棱BC A D D C C B ,,,111111的中点，则异面直线MN 与PQ 所成的角等于__________.6．在△ABC 中，C B A 、、的对边分别是c b a ,,，且B b cos 是A c C a cos ,cos 的等差中项，则角B = .7．若①9≤≤b a ,②9>+b a ,则同时满足①②的正整数b a ,有组.8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高3米后，拱桥内水面的宽度为_________米．9．如图为某几何体的三视图，则其侧面积为 2cm ．10．已知数列}{n a 中,11=a ,)1 *,(271>∈=--n n a a n n nN ，则当n a 取得最小值时n 的值是．11．设正四面体ABCD 的棱长为a ，P 是棱AB 上的任意一点，且P到面BCD ACD ,的距离分别为21,d d ，则=+21d d .12．定义在R 上的函数)(x f 同时满足性质：①对任何R x ∈，均有33)]([)(x f x f =成立；②对任何R x x ∈21,，当且仅当21x x =时，有)()(21x f x f =.则)1()0()1(f f f ++-的值为 .13．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式:2213=+ 23135=++ 241357=+++3235=+ 337911=++ 3413151719=+++根据上述分解规律,则2513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73,则m 的值为 .14．定义：对于各项均为整数的数列{}n a ，如果i a i +(i =1，2，3，…)为完全平方数，则称数列{}n a 具有“P 性质”；不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在数列{}n b 与{}n a 不是同一数列，且{}n b 满足下面两个条件：（1）123,,,...,n b b b b 是123,,,...,n a a a a 的一个排列；（2）数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”．给出下面三个数列： ①数列{}n a 的前n 项和2(1)3n n S n =-； ②数列}{n b ：1，2，3，4，5； ③数列}{n c ：1，2，3，4，5，6.具有“P 性质”的为；具有“变换P 性质”的为 .二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．非零向量,，m =||，n =||，若向量21λλ+=，则||的最大值为（）A ．n m 21λλ+B ．n m ||||21λλ+C ．||21n m λλ+D ．以上均不对 16．已知数列}{n a 的通项公式为*1()(1)n a n N n n =∈+,其前n 项和910n S =,则双曲线2211x y n n-=+的渐近线方程为（）A ．3y x =±B ．4y x =±C ．10y x =±D ．3y x =±17．已知ABC △中，AC =2BC =，则角A 的取值范围是（）A ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭. B ．0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. C ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭18．在平面斜坐标系xoy 中045=∠xoy ,点P 的斜坐标定义为:“若2010e y e x OP +=(其中21,e e 分别为与斜坐标系的x 轴,y 轴同方向的单位向量),则点P 的坐标为),(00y x ”.若),0,1(),0,1(21F F -且动点),(y x M 满足MF MF =,则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为（）A B C D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）已知函数()sin f x m x x = ()0m >的最大值为2．（1）求函数()f x 在[]0π，上的值域；（2）已知ABC ∆外接圆半径3=R，ππ()()sin 44f A f B A B -+-=，角A ，B 所对的边分别是a ，b ，求ba 11+的值．20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）设1>a ，函数)(x f 的图像与函数2|2|24--⋅--=x x a a y 的图像关于点)2,1(A 对称．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若关于x 的方程m x f =)(有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围．21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图1，OA ，OB 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段CD 和曲线段EF 分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要，拟过栈桥CD 上某点M 分别修建与OA ，OB 平行的栈桥MG 、MK ，且以MG 、MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK .建立如图2所示的直角坐标系，测得线段CD 的方程是220(020)x y x +=≤≤，曲线段EF 的方程是200(540)xy x =≤≤，设点M 的坐标为(,)s t ，记z s t =⋅.（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）（1）求z 的取值范围；（2）试写出三角形观光平台MGK 面积MGK S ∆关于z 的函数解析式，并求出该面积的最小值22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点)2，椭圆C 左右焦点分别为21,F F ，上顶点为E ，21F EF ∆为等边三角形.定义椭圆C 上的点00(,)M x y 的“伴随点”为00(,)x y N a b. （1）求椭圆C 的方程；（2）求MON ∠tan 的最大值；（3）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,若点A 、B 的“伴随点”分别是P 、Q ,且以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .椭圆C 的右顶点为D ，试探究ΔOAB 的面积与ΔODE 的面积的大小关系,并证明.23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分）已知数列{}n a ，{}n b 满足：()1*n n n b a a n N +=-∈．（1）若11,n a b n ==，求数列{}n a 的通项公式；（2）若()112n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==．① 记()611n n c a n -=≥，求证：数列{}n c 为等差数列；② 若数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项1a 应满足的条件．数学试卷（文科）参考答案及评分细则一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．]1,0[； 2．13； 3．4； 4．i 1812+-； 5．060； 6．3π； 7．25； 8．8； 9．4π； 10．6或7； 11．a 36； 12．0 ； 13．9； 14．①、②二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．B ； 16．C ； 17．C ； 18．D ．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）解：（1）由题意，()f x．………………………2分而0m >，于是m =π()2sin()4f x x =+．…………………………………4分()f x 在]4,0[π上递增．在ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减，所以函数()f x 在[]0π，上的值域为]2,2[-；…………………………………5分（2）化简ππ()()sin 44f A f B A B -+-=得s i ns i n 6s i n s i n A B A B +=．……………………………………………………7分由正弦定理，得()2R a b +=，……………………………………………9分因为△ABC 的外接圆半径为3=R．a b +．…………………………11分所以211=+ba …………………………………………………………………12分 20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）设点),(y x P 是函数)(x f 图像上任意一点，P 关于点A 对称的点为),(y x P '''，则12='+x x ，22='+y y ，于是x x -='2，y y -='4，………………2分因为),(y x P '''在函数)(x g 的图像上，所以2|2|24-'-'⋅--='x x a a y ，…4分即x x a ay --⋅--=-244||，x x a a y -⋅+=2||，所以xx a a x f -⋅+=2)(||．……………………………………………………6分（2）令t a x=，因为1>a ，0>x ，所以1>t ，所以方程m x f =)(可化为m tt =+2，…………………………………………8分即关于t 的方程022=+-mt t 有大于1的相异两实数解．作2)(2+-=mt t t h ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>08120)1(2m m h ，………………………………………12分解得322<<m ；所以m 的取值范围是)3,22(．………………………14分21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，得(,)M s t 在线段CD ：220(020)x y x +=≤≤上，即220s t +=，又因为过点M 要分别修建与OA 、OB 平行的栈桥MG 、MK ，所以510s ≤≤；.…………………………………………………………………2分.211(10)(10)50,51022z s t s s s s =⋅=-=--+≤≤；………………………4分所以z 的取值范围是75502z ≤≤..………………………………………………6分（2）由题意，得200200(,),(,)K s G t s t ，..…………………………………………8分所以11200200140000()()(400)222MGK S MG MK s t st t s st∆=⋅⋅=--=+- 则14000075(400),,5022MGK S z z z ∆⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦，..……………………………10分因为函数140000(400)2MGK S z z ∆=+-在75,502z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，..………12分所以当50z =时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米. ..………14分22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）解：（1）由已知22222331412a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得224,3a b == ,方程为22143x y +=.·······················4分（2）当000=y x 时，显然0tan =∠MON ，由椭圆对称性，只研究0,000>>y x 即可，设k x y k OM ==（>k ），于是32k k ON =···························································5分 =-≤+-=+-=∠32232233232132tan k kk kk MON （当且仅当232=k 时取等号）··············································································8分（3）设1122(,),(,)A x y B x y ,则12,22x x P Q ⎛⎛⎝⎝; 1)当直线l 的斜率存在时,设方程为y kx m =+,由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得: 222(34)84(3)0k x kmx m +++-=；有22122212248(34)08344(3)34k m km x x k m x x k ⎧⎪∆=+->⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩①···································································10分由以PQ 为直径的圆经过坐标原点O 可得: 1212340x x y y +=；整理得: 221212(34)4()40k x x mk x x m ++++= ② 将①式代入②式得:22342k m +=, ································································· 12分048,0,043222>=∆>∴>+m m k又点O 到直线y kx m =+的距离d =2222222221223414334143433411m m kk m kk m k k x x k AB ⋅+=+⋅+=+-++=-+=所以12OAS A ∆==·············································································14分2) 当直线l 的斜率不存在时,设方程为(22)x m m =-<<联立椭圆方程得: 223(4)4m y -=；代入1212340x x y y +=得223(4)304m m --=； 552±=m ,5152±=y 3212121=-==∆y y m d AB S OAB综上: OAB ∆又ODE ∆的面积也为,所以二者相等. ·························································16分23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分）解：（1）当2n ≥时，有()()()21213211121122n n n n n na a a a a a a a ab b b --=+-+-++-=++++=-+．又11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是2122n n na =-+．…………4分（2）①因为对任意的*n N ∈，有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====，所以，1656161661626364111221722n n n n n n n n n n c c a a b b b b b b ++--++++-=-=+++++=+++++=，所以，数列{}n c 为等差数列．……………………………………………………8分 ②设()6*n n i c a n N +=∈（其中i 为常数且{}1,2,3,4,5,6i ∈，所以，1666661626364657n n n i n i n i n i n i n i n i n i c c a a b b b b b b +++++++++++++++-=-=+++++=，即数列{}6n i a +均为以7为公差的等差数列．…………………………………… 10分设()677767766666666i i k i ik i k a i a i a a k f k i i k i k i k+++--+====+++++．（其中6,0,n k i k i =+≥为{}1,2,3,4,5,6中一个常数）当76i a i =时，对任意的6n k i =+，有76n a n =；……………………………… 12分当76i a i ≠时，()()()17776666166616i i k k i a i a i f f a i k i k i k i k i +---⎛⎫-=-=- ⎪++++++⎡⎤⎝⎭⎣⎦．（Ⅰ）若76i a i >，则对任意的k N ∈有1k k f f +<，所以数列66k i a k i +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递减数列；（Ⅱ）若76i a i <，则对任意的k N ∈有1k k f f +>，所以数列66k i a k i +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递增数列．综上所述，集合74111174111,,,,63236263236B ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．当1a B ∈时，数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中必有某数重复出现无数次；当1a B ∉时，数列()61,2,3,4,5,66k i a i k i +⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．………………………………………………………………………………… 18分。

上海市2013届高三数学上学期联合调研考试试题文新人教A版

同济大学、第二附属中学2012—2013学年高三联合调研考试数学试题（文科）一、填空题：本大题有14小题，每小题4分，共56分1、不等式112x <的解集是 (,0)-∞⋃(2,)+∞ 2、若3sin()25πθ+=，则cos 2θ=_________.725-3、已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，则圆锥的侧面展开图的圆心角度数为23π4、已知向量()1,1=a ，()2,m =b ，若+=⋅a b a b ，则实数m = 35、函数y =2,0,0x x x x <⎧⎨≥⎩ 的反函数是y =,0,0x x x x <⎧⎪≥6、方程||1222xx -=的解为 2log (21) 7、若由命题A: “22031x x ”能推出命题B: “x a >”，则a 的取值范围是________2a ≤-8、已知z ∈C ，且i =z 23i z -++（i 为虚数单位），则2iz+= 2i + 9、已知A B 、依次是双曲线22:13y E x -=的左、右焦点，C 是双曲线E 右支上的一点，则在ABC ∆中，sin sin sin A B C-= ．12-10、某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的世博宣传广告，则最后播放的是世博宣传广告，且2个世博宣传广告不连续播放的方法有种．（用数字作答） 3611、顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD A B C D ''''-中，12AB AA '==，A 、C 两点间的球面距离为____________.2π 12、执行如图的程序框图，若0.8p =，则输出的n = .4密封线内不要题答13、已知不相等的实数m 、n 分别满足：2201020110m m -+=和2201020110n n -+=，则11m n +=2010201114、已知集合{}23225|5|,A x x x x ax x R =++-≤∈，{}213120B x x x =-+≤，若A B φ≠．则实数a 的取值范围为 10a ≥二、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 15、“41=a ”是“对任意的正数,x 均有1≥+xa x ”的（ A ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件16、设0>x ，若10)1(x -展开式的第三项为20，则()nn xx x +++∞→ 2lim 的值是…（ B ）A ．21 B ．2 C ．1 D ．32 17、若椭圆12222=+by a x 与双曲线122=-y x 有相同的焦点，且过抛物线x y 82=的焦点，则该椭圆的方程是（ A ）A ．12422=+y x B ．1322=+y x C ．14222=+y x D ．1322=+y x 18、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，)(x f 单调递增，若021<+x x ，，则)()(21x f x f +的值（ C ）A ．恒为正值 C ．恒等于零 C ．恒为负值 D ．无法确定正负三、解答题：（本大题共有5道题，满分78分），解答下列各题必须写出必要的步骤． 19、（本题满分12分）在ΔABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，已知tan c =c =ABC的面积为ABC S ∆=，求a+b 的值。

【2013上海普陀二模】上海市普陀区2013届高三下学期二模数学(文)试题

普陀区2012学年第二学期高三文科数学质量调研考生注意： 2013.41.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数)1(log 2-=x y 的定义域为 . 2. 若53sin =θ且02sin <θ，则θtan = . 3. 若点)2,4(在幂函数)(x f 的图像上，则函数)(x f 的反函数)(1x f -= .4. 若i a z 21+=，i z +=12（i 表示虚数单位），且21z z 为纯虚数，则实数=a . 5. 若5522105)12(x a x a x a a x ++++=+ ，则=++-++25312420)()(a a a a a a . 6. 若函数1)(2++=ax x x f 是偶函数，则函数||)(x x f y =的最小值为 . 7. 若双曲线C :22221x y a b-=的焦距为10，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的方程为 .8. 若某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，则至少选出2名男生的概率为 .9. 若实数,x y 满足不等式组0220x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 .10. 若三条直线03=++y ax ,02=++y x 和012=+-y x 相交于一点，则行列式11221131-a 的值为 . 11. △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若3π=A ，c b 2=，则C = .12. 若圆C 的半径为3，单位向量e 所在的直线与圆相切于定点A ，点B 是圆上的动点，则e AB ⋅ 的最大值为13. 已知函数⎩⎨⎧<≥=0,10,2)(x x x f x ，若)2()1(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是 .14. 若,i j a 表示n n ⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n a n ,853543211111 中第i 行、第j 列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为n ,,3,2,1 ，且1,11,,i j i j i j a a a +++=+（i 、1,,3,2,1-=n j ）,则=∞→2,3limn a n n .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 若集合},4|{2R y x y x A ∈==，1{|0}2xB x x-=≥+，则A B =………………（）A . [0,1].B .(2,1]-.C . (2,)-+∞.D . [1,)+∞.16. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ，则1S :2S =…………………………………………………………( )A . 1:1.B . 2：1.C . 3:2.D . 4:1.17. 若R a ∈，则“关于x 的方程012=++ax x 无实根”是“i a a z )1()12(-+-=（其中i 表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的…………………………（）A .充分非必要条件.B .必要非充分条件.C .充要条件.D .既非充分又非必要条件.18.如图，△ABC 是边长为1的正三角形，点P 在△ABC 所在的平面内，且++22||||PB PA a PC =2||（a 为常数）.下列结论中，正确的是……………………………………………（）A .当10<<a 时，满足条件的点P 有且只有一个. C第18题B .当1=a 时，满足条件的点P 有三个.C .当1>a 时，满足条件的点P 有无数个.D .当a 为任意正实数时，满足条件的点P 是有限个.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知函数)cos()(ϕω+=x A x f （0>A ,0>ω,02<<-ϕπ）的图像与y 轴的交点为)1,0(，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若锐角θ满足31cos =θ，求)2(θf 的值.20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1B B 、DC 的中点. （1）求三棱锥1E FCC -的体积.（2）求异面直线1D F 与1A E 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.21.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.第19题A 1D已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，xx g a-=11log )(，记)()(2)(x g x f x F +=（1）求函数)(x F 的定义域D 及其零点；（2）若关于x 的方程0)(=-m x F 在区间)1,0[内有解，求实数m 的取值范围.、22. （本题满分16分）本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，方向向量为),1(k d =的直线l 经过椭圆191822=+y x 的右焦点F ，与椭圆相交于A 、B 两点（1）若点A 在x 轴的上方，且||||OF OA =，求直线l 的方程；（2）若1=k ，)0,6(P ，求△PAB 的面积；（3）当k （R k ∈且0≠k ）变化时，试求一点)0,(0x C ，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0.23.（本题满分18分）本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于任意的*N n ∈，若数列}{n a 同时满足下列两个条件，则称数列}{n a 具有“性质m ”：①122++<+n n n a a a ； ②存在实数M ,使得M a n ≤成立. （1）数列}{n a 、}{n b 中，n a n =、6sin 2πn b n =（5,4,3,2,1=n ），判断}{n a 、}{n b 是否具有“性质m ”；（2）若各项为正数的等比数列}{n c 的前n 项和为n S ，且413=c ，473=S ，求证：数列}{n S 具有“性质m ”；（3）数列}{n d 的通项公式nn n n t d 21)23(+-⋅=（*N n ∈）.对于任意]100,3[∈n 且*N n ∈，数列}{n d 具有“性质m ”，求实数t 的取值范围.普陀区2012学年第二学期高三文科数学质量调研试题答案一.填空题1.}1|{>x x2.43- 3.=-)(1x f 2x （0≥x ）4. 2- 5.243- 6.2 7.152022=-y x8.549.6 10.0 11. 6π12.3 13.121-<<-a 14.21二.选择题三.解答题19.[解]（1）由题意可得2=A ……………………………………………………………1分π22=T 即π4=T ，21=ω……………………………………………… 3分 )21cos(2)(ϕ+=x x f ，1)0(=f由21cos =ϕ且02<<-ϕπ，得3πϕ-= ………………………………5分函数)321cos(2)(π-=x x f …… …………………………………………6分（2）由于1cos 3θ=且θ为锐角，所以322sin =θ…… ………………………8分 )2(θf )3sin sin 3cos(cos 2)3cos(2πθπθπθ+=-=……………………10分)233222131(2⨯+⨯⋅=3621+=……………12分 20.[解]（1）=-1FCC E V 1ECC F V -…………………………1分由题意得⊥FC 平面1ECC 且1=FC …………………………3分 222211=⨯⨯=∆ECC S …………………………5分 1ECC F V -322131311=⨯⨯=⨯⨯=∆FC S ECC =-1FCC E V 32…………………………6分 ACD1A1B1C1DEF第20题BG（2）取AB 的中点为G ，连接G A 1,GE由于F D G A 11//,所以直线G A 1与E A 1所成的锐角或直角即为异面直线E A 1与F D 1所成的角……9分在GE A 1∆中，51=G A ,2=GE ,51=E A由余弦定理得，54552255cos 1=⨯⨯-+=∠E GA 0>……12分所以54arccos1=∠E GA 即异面直线E A 1与F D 1所成的角的大小为54arccos …………14分21. 解：（1）)()(2)(x g x f x F +=xx a a -++=11log )1(log 2（0>a 且1≠a ） ⎩⎨⎧>->+0101x x ，解得11<<-x ，所以函数)(x F 的定义域为)1,1(-……2分令)(x F 0=，则011log )1(log 2=-++xx a a …（*） ……3分方程变为)1(log )1(log 2x x a a -=+x x -=+1)1(2，即032=+x x ……………………5分解得01=x ，32-=x ，经检验3-=x 是（*）的增根，所以方程（*）的解为0=x 即函数)(x F 的零点为0.……6分（2）xx m aa -++=11log )1(log 2（10<≤x ） =)4141(log 112log 2--+-=-++xx x x x a a ……8分4141--+-=xx a m ，设]1,0(1∈=-t x ……9分函数tt y 4+=在区间]1,0(上是减函数……………………11分当1=t 时，此时1=x ，5min =y ，所以1≥m a ………………12分 ①若1>a ，则0≥m ，方程有解…………………………13分 ②若10<<a ，则0≤m ，方程有解.…………………………14分22.【解】（1）由题意182=a ，92=b 得3=c ，所以)0,3(F ………………………………1分||||OF OA =且点A 在x 轴的上方，得)3,0(A ………………………………2分1-=k ，)1,1(-=d ……………………………………3分直线l ：113--=-y x ，即直线l 的方程为03=-+y x …………………………4分（2）设),(11y x A 、),(22y x B ，当1=k 时，直线l ：3-=x y …………5分将直线与椭圆方程联立⎪⎩⎪⎨⎧-==+3191822x y y x ，……………………7分消去x 得，0322=-+y y ，解得31-=y ，12=y ……………………9分4||21=-y y ，所以64321||||2121=⨯⨯=-⨯⨯=∆y y PF S PAB ……10分（3）假设存在这样的点)0,(0x C ，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0,由题意得，直线l ：)3(-=x k y （0≠k ）⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(191822x k y y x ，消去y 得，0)1(1812)21(2222=-+-+k x k x k ……12分 0>∆恒成立，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+=+2221222121)1(182112k k x x k k x x ……13分011x x y k AD -=，022x x y k BD -=……14分+-=+011x x y k k BD AD 022x x y -0))(())(3())(3()3()3(0201012021022011=----+--=--+--=x x x x x x x k x x x k x x x k x x x k所以06))(3(2021021=+++-kx x x x k x kx ……15分0621)3(1221)1(36020322=+++-+-kx kx k k k k 解得60=x ，所以存在一点)0,6(，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0.…16分 23.解：（1）在数列}{n a 中，取1=n ，则23122a a a ==+，不满足条件①，所以数列}{n a 不具有“m 性质”；……2分在数列}{n b 中，11=b ，32=b ，23=b ，34=b ，15=b ，则2312323b b b =<=+，3422432b b b =<=+，4532323b b b =<=+，所以满足条件①；26sin 2≤=πn b n （5,4,3,2,1=n ）满足条件②，所以数列}{n b 具有“性质m ”。

66330450_普陀区理科数学第三次质量调研模

普陀区高三理科数学第三次质量调研试题（理科）2013.5 一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若复数011b i i-+是纯虚数（i 是虚数单位，b R ∈），则b =________.2．已知函数()arccos (11)f x x x =-≤≤，则12()3fπ-=_________. 3．过抛物线24y x =的焦点，方向向量为的直线方程是__________. 4．函数sin()4y x π=-的图像的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半，则得到的函数解析式是______.5．若由“x a >”能推出“2x x >”，则实数a 的取值范围是_________.6．若圆锥的侧面展开图是半径为1的一个半圆，则圆锥的母线与底面半径的夹角为________.7．若210111(1)(1)(1)(2,)n n n n n x x x a a x a x a x n n N --+++++++=++++≥∈ ，则=-1n a .8．在极坐标系中，点(2,)3P π到曲线:cos()13C πρθ-=的距离的最小值为_________. 9．如图给出的是计算111124620++++ 的值的一个流程图，其中判断框内的横线上应填入的条件是 .10．若x 是1，2，x ，3，5这五个数据的中位数，且1，4，x ，y -这四个数据的平均数是1，则1y x-的最小值是________. 11．把一颗骰子掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，记方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩解的个数为随机变量ξ，则ξ的数学期望______.E ξ=12．在△ABC 中，若BC=2，1AB AC ⋅=，则△ABC 面积的最大值是________． 13．如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，焦距为2c ，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB △是等边三角形，设双曲线渐近线的斜率为k ，则=2k .14．设函数()y f x =的定义域为D .若存在正数T ，使得对于任意x D ∈都有()()f x T f x +>，则称()y f x =为D 上的上升周期函数，T 为此函数的一个上升周期. 若定义域为R 的函数()f x 为奇函数，当0x ≥时，22()||f x x a a =--，且4为函数()f x 的最小上升周期（所有上升周期中最小的），则实数a 的取值范围__________. 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. ,2k k Z παπ≠+∈“”是“实系数一元二次方程22sin 10x x α++=有虚根”的……（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分条件又非必要条件 16. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim1n n nS S +→+∞=, 则公比q 的取值范围是…（）（A ）01q << （B ）01q <≤ （C ）1q >（D ）1q ≥17. 若直线y x b =+与曲线y =b 的取值范围是……（）（A ）[1-1- （B）[1- （C）[0,1- （D）[12]--18. 若函数ln(),[,0)()tan ,[0,)(,]221,2x x f x x x x πππππ⎧⎪-∈-⎪⎪=∈⎨⎪⎪=⎪⎩ ，则(())1y f f x =-的零点的个数是……（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 设函数1()42(01)x x f x a x +=-++≤≤的最大值为m ，最小值为n ，其中0,a a R ≠∈.（1）求,m n 的值（用含有a 的代数式表示）；（2）已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，且终边经过点(1,)P m n -，求cos()3πβ+的值.20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60．（1）求四棱锥P －ABCD 的体积；（2）若E 是PB 的中点，求平面DEA 与平面DEB 所成二面角的正弦值.21.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6000元的电脑.商店规定，购买时先支付货款的31，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为0.5%．（1）到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？（2）每月的还款额为多少元（结果精确到0.01）？22. （本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在数列{}n a 中，已知12,a a 且满足：21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数，*n N ∈），则称数列{}n a 为二阶线性递推数列.定义方程2x px q =+为数列{}n a 的特征方程，方程的根称为特征根.这时数列{}n a 的通项公式n a 均可用特征根求得：当方程2x px q =+有两不相同实根α、β时，数列通项可以写成12n n n a c c αβ=+，（其中12,c c 是待定系数）.（1）当*12213,5,32()n n n a a a a a n N ++===-∈时，根据上述结论，求数列{}n a 的通项公式；（2）当*12211,1,+()n n n a a a a a n N ++===∈时，在{}n a 中是否存在连续的三项满足： *212()k k k a a a k N ++=-∈？若存在，求出所有k 的值；若不存在，说明理由；（3）在（2）问的条件下，记1212=+++n n n n n nS a C a C a C ，求{}n S 的通项公式；并证明：{}n S 也是一个二阶线性递推数列.23.（本题满分18分）本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，过椭圆C 右焦点的直线l 斜率为k ，与椭圆C 交于,A B 两点，若向量OA OB +与向量(3,1)-平行，（1）求ba的值（结果用含有k 的代数式表示）；（2）若直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，求12k k 的值（结果用k 表示）；（3）若P 为椭圆上的一点，且OP OA OB μλ=+，是否存在实数k 使得22λμ+为常数，若存在求出实数k ，若不存在，请说明理由.P AC DO E。

上海市普陀区高三数学第三次模拟调研考试试题文(含解析)-人教版高三全册数学试题

上海市普陀区2015届高三数学第三次模拟调研考试试题文（含解析）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1.设复数(1)z i i =+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z =_________. 【答案】i --1考点：复数的运算及共轭复数的概念.2.已知幂函数)(x f y =图像过点2,2（），则该幂函数的值域是_____________.【答案】[0,)+∞ 【解析】试题分析：设幂函数的解析式为αx y =因为幂函数)(x f y =图像过点2,2（），所以21,22=∴=αα，所以该幂函数的解析式为0≥=x y . 考点：幂函数的定义及值域.3.设向量(1,2)a =-，(3,4)b =，则向量a 在向量b 上的投影为 . 【答案】-1考点：向量的投影.4.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=)0(1)0(log )(22x x x x x f ，则不等式0)(>x f 的解集为_________.【答案】(1,1)-考点：解不等式. 5.若二元一次线性方程组346x ay ax y +=⎧⎨+=⎩无解，则实数a 的值是__________.【答案】-2 【解析】试题分析：二元一次线性方程组346x ay ax y +=⎧⎨+=⎩无解，则直线x+ay=3与ax+4y=6平行，则6341≠=a a 解得2-=a . 考点：二元一次方程组的解法. 6.若02x π≤≤，则函数cos()sin()26y x x ππ=-+的最大值是___________. 【答案】234+考点：求最大值.7.已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是 2cm ．【答案】17π 【解析】试题分析：球的半径是1cm ，则它的体积ππ341343=⨯=V ,设圆锥的高为h ，由题意h 213134⨯=ππ，解得4=h ，则圆锥的母线长为,174122=+=l 所以圆锥的侧面积是=rl π17π.考点：求圆锥的侧面积.8.已知7270127()x m a a x a x a x -=++++，其中435a =-，m R ∈，则01237a a a a a +++++= ．【答案】0考点：二项式定理的应用.9.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点P 作PE l ⊥于E ，若直线EF 的一个方向向量为3)，则||PF =______．【答案】4 【解析】试题分析：P 是抛物线上一点，所以可设点P 的坐标为),4(2y y ，则),1(y E -，又因为F )0,1(，所以),,2(y EF -=直线EF 的一个方向向量为3)，所以32,32-==-y y ，所以)32,3(-p ，所以),32,2(-=PF 所以4)32()2(||22=+-=PF ，所以||PF =4.考点：求线段的长度.10.已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于___________.【答案】48考点：求三角形的面积.11.函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数(1)1f -=，，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则(0)(1)(2)(2015)f f f f ++++的值是___ __.【答案】2031120 【解析】试题分析：因为(1)(1)()xf x x f x +=+，所以)(1)1(,0,0)0(x f xx x f x f +=+≠=，由题意=)1(f (1)1f -=，所以n n f f f f f =====)(,3)2(23)3(,2)1(2)2( ，20311202)20150(201620153210)2015()2()1()0(=+=+++++=++++ f f f f .考点：抽象函数. 12.若矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的元素为随机从1、2、4、8中选取的4个不同数值，则对应的行列式a b c d 的值为正数的概率为__________. 【答案】13考点：行列式与概率.13.设,x y 满足约束条件：32020,0,0x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥≥⎩若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则a bab+的最小值为 . 【答案】23+2 【解析】试题分析：画出32020,0,0x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥≥⎩的可行域易得A(0，0),B(23，0),C(2,4),易得直线a zy x b b=-+(0,0)a b >>过点C 时目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，即24b 2a +=，11112()(2)3322a b a b a b ab a b a b b a +=+=++=++≥+当且仅当212a b a b b a+=⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，所以答案为23+2考点：线性规划.14.已知集合=n A ｛()0|,,,21=j n a a a a 或1，12,(2)}j n n =≥，，，，对于,n U V A ∈，(,)d U V 表示U 和V 中相对应的元素不同的个数，若给定n U A ∈，则所有的(,)d U V 和为__________. 【答案】12n n -【解析】试题分析：由题意可得集合=n A ｛()0|,,,21=j n a a a a 或1，12,(2)}j n n =≥，，，中，共有2n 个元素，记为123(1,2.3,4,,2),V (b ,,,)n k n V k b b b ==，b 0i =的k V 共有12n -个，b 1i =的k V 共有12n -个，111122(,)2(|0||1||0||1||0||1|)n 2n n n n d U V a a a a a a --∴=-+-+-+-++-+-=⨯.故答案为1n 2n -⨯. 考点：推理与证明.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. “0a b +>”是“任意的[]0,1x ∈，0ax b +>恒成立”的……………………………（） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C考点：充分必要条件的判断.16.若0||2=+⋅AB BC AB ，则ABC ∆为………………………………………………（） A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】B 【解析】试题分析：由题意0||2=+⋅AB BC AB ，可得()0AB BC AB AB AB BC AB AB AC ⋅+⋅=⋅+=⋅=，所以00,,90AB AC AB AC BAC ⋅=∴⊥∴∠=,所以ABC ∆为直角三角形 .考点：三角形形状的判断.17.函数ln |1|y x =-的图像与函数cos (24)y x x π=--≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于……………………………………………………………………………………（） A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】A 【解析】试题分析：函数ln |1|y x =-的图像关于直线x=1对称，函数cos (24)y x x π=--≤≤的图像也关于直线x=1对称，画出图像，两图像共有6个交点，关于直线x=1对称，所以它们的交点的横坐标之和等于6. 考点：对数函数与余弦函数的图象与性质.18.已知x 、y 均为实数，记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y ≥⎧=⎨<⎩.若i 表示虚数单位，且11a x y i =+，22,b x y i =+1122,,,x y x y R ∈，则…………（） A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤ B.max{||,||}max{||,||}a b a b a b +-≤C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222max{||||}||||a b a b a b +-≥+，【答案】D考点：复数的几何意义.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知函数21()21x x f x -=+.（1）求函数()f x 的零点，并求反函数1()f x -；（2）设21()2log x g x k +=，若不等式1()()f x g x -≤在区间12[,]23上恒成立，求实数k 的范围.【答案】（1）0，121()log 1xf x x-+=-(11)x ∈-，,（2）50k <≤ 【解析】试题分析：(1)函数的零点即求当y=0时，x 的值；反函数的实质是x 与y 的互换；(2)对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1）()()max x f a x f a ≥⇔≥恒成立，（2）()()min x f a x f a ≤⇔≤恒成立试题解析：（1）函数()f x 的零点是0x =，（2分）反函数121()log 1xf x x-+=-，(11)x ∈-，,（6分），考点：零点，反函数恒成立问题.20.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知正四棱柱ABCD A B C D １１１１－中，底面边长2AB =，侧棱1BB 的长为4，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1CC 于点E ，交1B C 于点F .（1）求证：1A C ⊥平面BDE ；（2）求三棱锥C BDE -的体积.【答案】（1）答案见解析（2）23【解析】试题分析：（1）证明线线垂直一般要通过证明线面垂直，线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.(2) 在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.试题解析：（1）连接AC,因为正四棱柱所以 11BD AC BD BD AA AC AA A⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭=平面11A AC BD AC ⇒⊥；（3分）同理可得1111111BE B C BE BE A B B CA B B ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭=平面111A B C BE AC ⇒⊥；又因为BD BE B = 所以1A C ⊥平面BDE . （6分）（2）容易得到1CE =，（8分）所以112122323C BDE E BDC V V --==⨯⨯⨯⨯=.（14分）考点：线线垂直及三棱锥的体积.21.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（直角EFG ∆，E 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口E 是AB 的中点，,F G 分别落在,AD BC 上，且20,103AB m AD m ==,设GEB θ∠=.（1）试将污水管道的长度l 表示成θ的函数，并写出定义域；（2）当管道长度l 为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度.D ACBGFE【答案】（1）11110(+),[,]sin cos sin cos 63l ππθθθθθ=+∈；（2）max 20(31)m l =+ 试题解析：（1）因为101010,,F cos sin sin cos EG EF G θθθθ===，（3分） 11110(+),[,]sin cos sin cos 63l ππθθθθθ=+∈ （6分）（2）1sin cos 10sin cos l θθθθ++=，令sin cos )4t πθθθ=+=+∈，（8分）所以201l t =-在12上减，（10分）所以当6πθ=或3π时，max 1)l = （13分）答：当6πθ=或3π时，max 1)m l =.（14分）考点：利用三角函数解应用题.22.（本题满分16分）本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.对于给定数列{}n c ，如果存在实常数,p q ，使得1(0)n n c pc q p +=+≠对于任意的*n N ∈都成立，我们称这个数列{}n c 是“M 类数列”.（1）若*2,32,n n n a n b n N ==⋅∈，判断数列{},{}n n a b 是否为“M 类数列”,并说明理由；（2）若数列{}n a 是“M 类数列”，则数列1{}n n a a ++、1{}n n a a +⋅是否一定是“M 类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{}n a 满足：*111,32()n n n a a a n N +=+=⋅∈，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求nS 的表达式，并判断{}n a 是否是“M 类数列”.【答案】（1）是；（2）112(2,)23(21,n n n n k k Z S n k k Z ++⎧=∈⎪=⎨-=-∈⎪⎩-2，，），不是【解析】试题分析：(1)对于数列的新定义，一定要明确满足什么条件是M 类数列，然后解析判断，（2）由*111,32()n n n a a a n N +=+=⋅∈如何求n S ，分n 为偶数与n 为奇数两种情况，注意把1n n a a ++看做整体对待，进行求和，由n S 进一步求出n a ，在根据新定义判断{}n a 是否是“M 类数列”.试题解析：（1）因为12n n a a +=+，12p q ==，是“M 类数列”，（2分）12n n b b +=，20p q ==，是“M 类数列”（4分）.（2）因为{}n a 是“M 类数列”，所以1n n a pa q +=+，2+1n n a pa q +=+，所以121+()2n n n n a a p a a q +++=++，因此，1{}n n a a ++是“M 类数列”.（7分）因为{}n a 是“M 类数列”，所以1n n a pa q +=+，2+1n n a pa q +=+，所以221211()()n n n n n n a a p a a pq a a q ++++=+++，当0q =时，是“M 类数列”；（9分）当0q ≠时，不是“M 类数列”；（10分）假设{}n a 是“M 类数列”，当n 为偶数时，1121(21)2,3n n n n a pa q p q p q ++=-=+=++⇒==-，当n 为奇数时，1121(21)2,3n n n n a pa q p q p q ++=+=+=-+⇒==，得出矛盾，所以{}n a 不是“M 类数列”.（16分）考点：数列的新定义.23.（本题满分18分）本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2n ()m n >,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A 、B 、C 、D .记m n λ=,BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S . （1）当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值；；（2）设直线:(0)l y kx k =>，若123S S =，证明：,B C 是线段AD 的四等分点（3）当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.【答案】(1)21λ=+;(2)证明见解析；（3）当12λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;当112λ<≤+时,20k ≤,不存在这样的直线l .【解析】试题分析：（1）解决有关椭圆问题时，注意椭圆的对称性得应用；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式∆：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.（3）设椭圆()22122:1x y C a m a m +=>,22222:1x y C a n+=,直线l :(0)y kx k =≠ 22221y kx x y a m=⎧⎪⎨+=⎪⎩222222a m x m a k ⇒=+ 即222222A a m x m a k =+ （12分）同理可得,222222B a n x n a k =+又BDM ∆和ABN ∆的高相等12B D B A A B A BS x x x x BD S AB x x x x -+∴===-- 若存在非零实数k 使得12S S λ=,则有()()11A B x x λλ-=+,即()()222222222211n a k n a k λλλλ-+=++,解得()()2322224211n k a λλλλ=--+ （16分） ∴当1λ>+时,20k >,存在这样的直线l ;当11λ<≤时,20k ≤,不存在这样的直线l . （18分）考点：椭圆的综合问题.。

2013学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷 .doc

2013学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 若集合}02|{2>-=x x x A ，}2|1||{<+=x x B ，则=B A .2. 设1e 、2e 是平面内两个不平行的向量，若21e e a +=与21e e m b -=平行，则实数=m .3. 在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2=a ，32=c ，3π=C ，则=b .4. 在nx )3(-的展开式中，若第3项的系数为27，则=n .5. 若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→n n d lim .6. 函数)1(log )(2-=x x f )21(≤<x 的反函数=-)(1x f.7. 已知椭圆13422=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，若经过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则△2ABF 的周长等于 .8. 数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a . 9. 若函数x x x f 1)(+=，则不等式25)(2<≤x f 的解集为 .10．【文科】如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ，若异面直线A A 1与C B 1 所成的角的大小为21arctan，则正四棱柱1111D C B A ABCD -的侧面积为 . 【理科】如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ，若直线C B 1与底面ABCD 所成的角的大小为2arctan ，则正四棱柱1111D C B A ABCD -的侧面积为 . 11. 【文科】在数列}{n a 中，21=a ，341+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前n 项和=n S .第10题【理科】数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2c o s1πn n a n +=（*N n ∈），则=2014S .12. 已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，若43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有种.13. 【文科】若函数2cos1)(xx x f ⋅+=π，则=+++)100()2()1(f f f .【理科】正三角形ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点D 是线段BC 的中点，过D 作球O 的截面，则截面面积的最小值为 .14.已知函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有且仅有两个解，则实数a 的取值范围是 .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.若)(x f 和)(x g 都是定义在R 上的函数，则“)(x f 与)(x g 同是奇函数或偶函数”是“)()(x g x f ⋅是偶函数”的………………………………………………………………（）)(A 充分非必要条件. )(B 必要非充分条件. )(C 充要条件. )(D 既非充分又非必要条件16. 若a 和b 均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是……………………………（）)(A ||2||ab b a ≥+. )(B 2≥+baa b . )(C 4)11)((≥++ba b a . )(D 222)2(2b a b a +≥+. 17.将函数)(x f y =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为x y 2sin 2=，则函数)(x f 的表达式可以是………………………………………（）第13题)(A x sin 2. )(B x cos 2. )(C x 2sin . )(D x 2cos .18. 若i A (n i ,,3,2,1 =)是AOB ∆所在的平面内的点，且OB OA OB OA i ⋅=⋅. 给出下列说法：①||||||||21OA OA OA OA n ==== ； ②||i OA 的最小值一定是||OB ； ③点A 、i A 在一条直线上；④向量及i 在向量的方向上的投影必相等.其中正确的个数是…………………………………………………………………………（）)(A 1个. )(B 2个. )(C 3个. )(D 4个.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 已知点)0,2(P ，点Q 在曲线C :x y 22=上.（1）若点Q 在第一象限内，且2||=PQ ，求点Q 的坐标；（2）求||PQ 的最小值.20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数x x x x f cos sin 322cos )(+=（1）【文科】求函数)(x f 的值域，并写出函数)(x f 的单调递增区间；【理科】求函数)(x f 的最大值，并指出取到最大值时对应的x 的值；（2）若60πθ<<，且34)(=θf ，计算θ2cos 的值. 21.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径310=r 毫米,滴管内液体忽略不计.第18题（1）如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？（2）在条件(1)下,设输液开始后x （单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为h （单位：厘米），已知当0=x 时，13=h .试将h 表示为x 的函数.（注:3310001mm cm =）22. （本题满分16分）本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分.已知数列{}n a 中，13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2nn a -是等比数列，并求数列{}na 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.3.（本题满分18分）本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.定义在()0,+∞上的函数()f x ，如果对任意()0,x ∈+∞，恒有()()f kx kf x =（2k ≥，*k N ∈）成立，则称()f x 为k 阶缩放函数.（1）已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(]1,2x ∈时，()121log f x x =+，求(f 的值；（2）【文科】已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(]1,2x ∈时，()f x =函数()y f x x =-在)8,1(上无零点；【理科】已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(]1,2x ∈时，()f x =函数()y f x x =-在()1,+∞上无零点；（3）已知函数()f x 为k 阶缩放函数，且当(]1,x k ∈时，()f x 的取值范围是[)0,1，求()f x 在(10,n k+⎤⎦（n N ∈）上的取值范围.2013学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷评分标准一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. )0,3(-； 2.1-； 3. 4；4.3； 5.1； 6. =-)(1x f )0(21≤+x x （不标明定义域不给分）；7. 8； 8.32； 9.)2,21( 10．32； 11.【文科】 14--n n （*N n ∈）；【理科】1006； 12.31； 13.【文科】150；【理科】49π； 14.2<a ；二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 【解】设),(y x Q （0,0>>y x ）,x y 22=（1）由已知条件得2)2(||22=+-=y x PQ …………………………2分将x y 22=代入上式，并变形得，022=-x x ，解得0=x （舍去）或2=x ……………4分当2=x 时，2±=y只有2,2==y x 满足条件，所以点Q 的坐标为)2,2(………………6分（2）||PQ 22)2(y x +-=其中x y 22=…………………………7分422)2(||222+-=+-=x x x x PQ 3)1(2+-=x （0≥x ）…………10分当1=x 时，3||min =PQ ……………………………………12分（不指出0≥x ，扣1分）20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 【解】（1）)62sin(22sin 32cos )(π+=+=x x x x f ………………2分【文科】由于2)62sin(22≤+≤-πx ，所以函数)(x f 的值域为]2,2[-………4分由πππππk x k 22)6222+≤+≤+-得ππππk x k +≤≤+-63所以函数)(x f 的单调的增区间为]6,3[ππππ+-k k ，Z k ∈………6分（文科不写Z k ∈，不扣分；不写区间，扣1分）【理科】由20π≤≤x 得，67626πππ≤+≤x ………4分所以当262ππ=+x 时，2)(max =x f ，此时6π=x ………6分（2）由（1）得，34)62sin(2)(=+=πθθf ，即32)62sin(=+πθ……………8分其中2626ππθπ<+<得0)62cos(>+πθ………………10分所以35)62cos(=+πθ……………11分 ]6)62cos[(2cos ππθθ-+=………………13分 621521322335+=⨯+⨯=………………14分 21. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分. 【解】（1）设每分钟滴下k （*N k ∈）滴，………………1分则瓶内液体的体积πππ1563294221=⋅⋅+⋅⋅=V 3cm ………………3分k 滴球状液体的体积75340103432ππk mm k k V ==⋅⋅⋅=3cm ………………5分所以15675156⨯=ππk ，解得75=k ，故每分钟应滴下75滴。

上海市普陀区2013届高三上学期一模考试数学理试题

2012学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷考生注意：2013.11.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 不等式1|2|≤-x 的解为 . 【答案】[1,3]【Ks5U 解析】由1|2|≤-x 得121x -≤-≤，即13x ≤≤，所以不等式的解集为[1,3]。

2. 函数x x y 2cos 2sin +=的最小正周期=T . 【答案】π【Ks5U 解析】sin 2cos 2sin(2)4y x x x π=++,所以2ω=，即函数的最小周期为222T πππω===。

3. 若集合}156|{>+=x x A ，集合1{-=B ,0,1,2,}3，则A B = .【答案】}0,1{-【Ks5U 解析】由615x >+得5065x x +>⎧⎨>+⎩，即056x <+<，所以51x -<<，即{|51}A x x =-<<，所以{1,0}AB =-。

4.【理科】如图，正方体1111D C B A ABCD -中，直线1BD 与平面11B BCC 所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】22arctan【Ks5U 解析】连结1BC ,则1BC 是1BD 在平面11B BCC 上的射影，所以11D BC ∠为直线1BD 与平面11B BCC 所成的角，所以设正方体的边长为1，则1BC ，所以11111tan 2D C D BC BC ===，所以11D BC∠arctan 2=。

5. 【理科】若函数3()log f x a x =-的图像经过点)1,1(，则=--)8(1f .【答案】93【Ks5U 解析】因为函数()f x 过点)1,1(，所以3(1)l o g 11f a =-=，即1a =，即3()1l o g f x x =-，由3()1l o g 8f x x =-=-得，3log 9x =，即93x =，所以19(8)3f--=。