高三上数学文科联考测试题(含答案)

广东省六所名校届高三第三次联考

数学（文科） 1218

命题：深圳实验学校高中部 高三数学备课组

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 参考公式：锥体体积Sh V 3

1

=（其中S 是底面积，h 是高）．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1．如图1，正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线1BD 与D A 1 所成的角等于

A ．︒30

B ．︒45

C ．︒60

D ．︒90

2．要得到函数⎪⎭⎫ ⎝

⎛

π-=42cos x y 的图象，只要将函数x y 2sin =的图象

A ．向左平移8π个单位

B ．向右平移8π

个单位

C ．向左平移4π个单位

D ．向右平移4

π

个单位

3．设],[b a X =，],[d c Y =都是闭区间，则“直积”},|),{(Y y X x y x Y X ∈∈=⨯表示直

角坐标平面上的

A ．一条线段

B ．两条线段

C ．四条线段

D ．包含内部及边界的矩形区域 4．设4324641)(x x x x x f +-+-=，则导函数)('x f 等于

A ．3)1(4x -

B ．3)1(4x +-

C ．3)1(4x +

D ．3)1(4x --

5．设0>a ，1≠a ，若函数)21(≤≤=x a y x 的最大值比最小值大

2

a

，则实数a 的值是 A ．2或21 B ．21或23 C ．23或32 D ．3

2

或2

6．公差不为零的等差数列}{n a 中，2a ，3a ，6a 成等比数列，则其公比q 为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

7．已知向量y x b a ,,,满足1||||==b a ，0=⋅b a ，且⎩⎨⎧-=+-=y

x b y

x a 2，则|y ||x |+等于

A ．32+

B ．52+

C ．53+

D ．7

8．如果二次方程02)1(22=-++-a x a x 有一个根比1大，另一个根比1-小，则实数a 的取值范围是

A ．（3-，1）

B ．（2-，0）

C ．（1-，0）

D ．（0，2） 9．若偶函数)(x f 在]0,(-∞内单调递减，则不等式)(lg )1(x f f <-的解集是

B

C

D

A 1

B 1

C 1

D 1

A 1

图

A ．)10,0(

B ．)10,101(

C ．),10

1(∞+ D ．),10()101

,0(∞+ 10．已知点),(y x 所在的可行域如图2所示．若要使目标函数

y ax z +=取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为

A ．4

B ．41

C ．35

D ．5

3

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中

横线上．

（一）必做题（11～13）

11．若△ABC 的三个内角满足C C B B A 222sin sin sin sin sin ++=，则A ∠等于 ． 12．据研究，甲、乙两个磁盘受到病毒感染，感染的量y （单位：比特数）与时间x （单位：

秒）的函数关系式分别是x e y =甲和2x y =乙．

显然，当1≥x 时，甲磁盘受到的病毒感染增长率比乙磁盘受到的病毒感染增长率大．试根据上述事实提炼一个不等式是 ． 13．给出下列四个命题：

①设∈21,x x R ，则11>x 且12>x 的充要条件是221>+x x 且121>x x ； ②任意的锐角三角形ABC 中，有B A cos sin >成立； ③平面上n 个圆最多将平面分成4422+-n n 个部分； ④空间中直角在一个平面上的正投影可以是钝角．

其中真命题的序号是 （要求写出所有真命题的序号）． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）圆锥曲线θ

ρcos 11

-=

的准线的极坐标方程是 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是圆O 的直径，弦AD

和BC 相交于点P ，且︒=∠120APB ，则AB CD

等于 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

设有同频率的两个正弦电流)3100sin(31π

π+=t I ，)6

100sin(2π

π-=t I ，

把它们合成后，得到电流21I I I +=．

（1）求电流I 的最小正周期T 和频率f ；

（2）设0≥t ，求电流I 的最大值和最小值，并指出I 第一次达到最大值和最小值时的t 值．

2

图O 3

图

17．（本小题满分12分）

如图4，正三棱柱111C B A ABC -中，11==AB AA ，P 、Q 分别是侧棱1BB 、1CC 上的三等分点，13

1BB BP =

，C C Q C 1131

=．

（1）证明：平面⊥APQ 平面C C AA 11； （2）求四面体APQ A 1的体积．

18．（本小题满分14分）

已知函数)(x f 满足C x x f x x f +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2332')(（其中⎪⎭

⎫

⎝⎛32'f 为)(x f 在点32=x 处的导

数，C 为常数）．

（1）求函数)(x f 的单调区间；

（2）若方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根，求常数C ．

19．（本小题满分14分）

已知数列}{n a 的前n 项和)1(2

3

-=n n a S ，+∈N n ． （1）求}{n a 的通项公式；

（2）若对于任意的+∈N n ，有14+≥⋅n a k n 成立，求实数k 的取值范围．

20．（本小题满分14分）

如图5，G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．

（1）设λ=，将用λ、OP 、OQ 表示；

B

C

A

1

A 1

C 1

B P Q

4

图