高三上数学文科联考测试题(含答案)
2022-2023学年新高考基地学校高三上学期12月第三次大联考 文科数学试题(含答案) 解析版
2023届新高考基地学校高三第三次大联考文科数学试题一、单选题1．已知复数i z =，则1z zz z +=⋅+（ ） A ．1i 2B．C ．i - D． 【答案】B【分析】若i z a b =+，则2z z a +=，222z z z a b ⋅==+.【详解】i z =，则(i)+(i)=z z +=-(i)(i)3z z ⋅==，故1z z z z +==⋅+. 故选：B.2．已知集合{}20A x x =-，集合{}0,1,2,3B =，集合{}11C x x =-<<，则()A B C =（ ） A ．(]1,1- B ．(]{}1,12-⋃ C ．(]1,2- D ．{}0【答案】B【分析】求出集合A ，然后根据交集、并集的定义求解即可．【详解】{2}A xx =∣，所以{0,1,2}A B ⋂=，所以()(1,1]{2}A B C ⋂⋃=-⋃． 故选：B ．3．已知数列{}n a ，{}n b 均为公差不为0的等差数列，且满足32a b =，64a b =，则4132a ab b -=-（ ） A ．2 B ．1C ．32D ．3【答案】A【分析】根据等差数列性质：()m n a a m n d -=-，运算求解. 【详解】设数列{}n a ，{}n b 的公差分别为12,d d ∵32a b =，64a b =，则6432a b a b =-- ∴1232d d =，则41123222322a a d d b b d d -===- 故选：A.4．函数()()22241x x x x f x -+=-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】判断函数的奇偶性，再确定0x >时函数值的正负，利用排除法得正确结论．【详解】定义域是{|0}x x ≠，222(2)2(2)()()4114x x x xx x x x f x f x ---+-+-===---，函数为奇函数，排除A ，0x >时，410->x ，20x >，2221722()024x x x x x -+=-+=-+>，所以()0f x >，排除CD ．故选：B ．5．若x ，y 满足约束条件37,321,321,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩则z ＝y －3x 的最大值为（ ）A ．4311-B ．32-C ．－1D ．3111-【答案】C【分析】根据约束条件画出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最值.【详解】根据约束条件画出可行域（如图），联立3713212x y x x y y +≥=⎧⎧⇒⎨⎨-≥-=⎩⎩，故(1,2)A ，当直线=3y x z +经过点(1,2)A 时，z 最大，此时1z =- ， 故选：C6．记n S 为各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，378S =，312a =，则5a =（ ）A ．14B ．18C ．1D ．2【答案】D【分析】根据题意求出数列的首项和公比，即可根据通项公式求得答案.【详解】由{}n a 为各项均为正数的等比数列，且378S =，312a =,设数列公比为0q > ,可得211178a a q a q ++= ，且2112a q =，则1138a a q +=，解得112,8q a == ，故451228a =⨯= ,故选：D.7．在ABC 中，点F 为AB 的中点，2,AE EC BE =与CF 交于点P ，且满足BP BE λ=，则λ的值为（ ）A ．35B ．47C ．34D ．23【答案】C【分析】把AP 用,AF AC 表示，然后由,,F P C 三点共线定理得出结论． 【详解】由题意()(1)AP AB BP AB BE AB AE AB AB AEλλλ=+=+=+-=-+22(1)2(22)33AF AC AF AC λλλλ=-⋅+⋅=-+，因为,,F P C 三点共线，所以22213λλ-+=，解得34λ=．故选：C ．8．《天才引导的过程——数学中的伟大定理》的作者威廉·邓纳姆曾写道：“如果你想要做加法你需要0，如果你想要做乘法你需要1，如果你想要做微积分你需要e ，如果你想要做几何你需要π，如果你想要做复分析你需要i ，这是数学的梦之队，他们都在这个方程里”.这里指的方程就是：()i e e cos isin x y x y y +=+，令0x =，πy =，则i πe 1=-，令0x =，πy n ，则i πe cos πisin πn n n =+，若数列{}n a 满足i πe n n a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的个数是（ ）①{}n a 是等比数列 ②22n n a a = ③211S = ④2n n a a +=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据题意可知1,1n n a n ⎧=⎨-⎩为偶数，为奇数，进而即可根据所给式子逐一判断.【详解】i π1,e cos πisin π=cos π=1n n n a n n n n ⎧==+⎨-⎩为偶数，为奇数，故{}n a 是公比为1-的等比数列，A 正确，2222=1=1n n n n a a a a ，，∴=，B 正确，2111S a ==-，故C 错误，由{}n a 的定义可知2n n a a +=，故D 正确， 故选：C9．已知点O 为ABC 的外心，2340,OA OB OC ABC ++=的外接圆的半径为1，则OA 与OB 的夹角的正弦值为（ ）A B ．14C ．14-D 【答案】A【分析】由已知可得：234OA OB OC +=-，两边同时平方利用数量积运算和已知条件1OA OB OC ===，即可得出结果；【详解】2340OA OB OC ++=，∴234OA OB OC +=-， ∴222164912OC OA OB OA OB =++⋅，又1OA OB OC ===，164912cos ,OA OB ∴=++，∴1cos ,4OA OB =， 而[],0,πOA OB ∈，故sin ,415OA OB =故选：A10．已知函数()32f x x x =-，若过点()2,A a 能作三条直线与()f x 的图像相切，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]4,4- B ．[)4,+∞ C ．(),4-∞ D ．()4,4-【答案】D【分析】根据已知条件有三条直线相切，得两函数图像有三个交点，利用函数的单调性即可得到a 的取值范围.【详解】由已知：()32f x x x =-，故()232f x x '=-，设切点为()3,2m m m -所以切线斜率为2=32k m -，切线方程为()()()32232y m m m x m --=--,将A 点坐标代入切线方程可得()()()322322a m m m m --=--化简可得 ()()32322322=264a m m m m m m =-----+-即函数()g x a =与函数32264y m m =-+-有三个不同的交点. 故2612y m m '=-+，当(),0m -∞时，0'<y ，函数y 单调递减 当()0,2m 时，0'>y ，函数y 单调递增 当()2,m +∞时，0'<y ，函数y 单调递减 且0m =时，4y =-,，且2m =时，4y = 所以a 的取值范围为()4,4a ∈- 故选：D11．设2021202220231ln ,,e 20222022a b c -===，则（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．a b c <<【答案】D【分析】构造两个函数()ln(1)f x x x =-+，01x <<，与1()e x g x x -=-，01x <<，利用导数确定单调性后可得．【详解】设()ln(1)f x x x =-+，01x <<，则1()1011xf x x x'=-=>++，所以()f x 在(0,1)上单调递增，()(0)0f x f >=，ln(1)x x >+，1012022<<，所以112023ln(1)ln 202220222022>+=， 设1()e x g x x -=-，01x <<，则1()e 10x g x -'=-<，()g x 在(0,1)上递减， ()(1)0g x g >=，1ex x ->，1120221e2022->，即202120221e 2022->， 所以c b a >>． 故选：D ．12．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，若()1y f x =+的最小正周期为2，则下列说法一定正确的是（ ）A ．()()11f x f x +=-+B ．1是()f x 的一个周期C ．()()110f f =-=D ．13122f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【分析】由函数(1)y f x =+与()y f x =的关系得其最小正周期，判断B ，利用周期性与奇偶性求得(1)f -和(1)f 判断C ，假若A 成立，结合周期性得出函数为偶函数，从而判断A ，利用周期性与奇偶性得出1()2f 与3()2f 的关系判断D ．【详解】(1)y f x =+的最小正周期是2，则()y f x =的最小正周期是2，B 错； ∴(1)(1)f f -=-又(1)(1)f f -=，∴(1)(1)0f f =-=，C 正确；若()()11f x f x +=-+，又(1)(1)f x f x +=-，则(1)(1)f x f x -=-+，令1x t -=，则有()()f t f t =-，因此()f x 是偶函数，与题意不符，A 错；311()()()222f f f =-=-，∴31()()022f f +=，D 错． 故选：C ．二、填空题13．若向量,a b 满足2,21,b a b a =+=与a b +垂直，则a =__________．【分析】由向量垂直得22a b a a ⋅=-=-，然后由已知模等式21a b +=平方后可得． 【详解】a 与a b +垂直，则2()0a a b a a b ⋅+=+⋅=，22a b a a ⋅=-=-， 22222(2)441a b a b a a b b +=+=+⋅+=，即2224421a a -+⨯=，5a =，14．若πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度得到cos 2y x =的图象，则ϕ的值可以是______．（写出满足条件的一个值即可）【答案】π6（答案不唯一，满足ππ,N 6k k ϕ=+∈均可）【分析】根据图象平移得平移后的函数，从而可得π22π,Z 3k k ϕ-+=∈，再根据0ϕ>，取合适的一个ϕ的值即可.【详解】解：πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>后得到的函数为()ππcos 2cos 22cos 233y x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭则π22π,Z 3k k ϕ-+=∈，解得ππ,Z 6k k ϕ=-∈，又0ϕ> 所以ϕ的值可以是当0k =时，π6ϕ=. 故答案为：π6（答案不唯一，满足ππ,N 6k k ϕ=+∈均可）15．已知点P （m ，n ）是函数()11f x x =-图象上的点，当1m >时，2m ＋n 的最小值为______．【答案】2【分析】根据基本不等式即可求解最小值. 【详解】P （m ，n ）是函数()11f x x =-图象上的点，所以1111n mm n，因为1m >，所以0n >，所以122=212222m n nn nn，当且仅当n =故2m n +的最小值为2.故答案为：216．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若113tan tan sin B C bc A +=⋅，且()1sin sin 2C B A -=，则22c b -=__________． 【答案】32【分析】已知条件113tan tan sin B C bc A+=⋅，利用切化弦，两角和的正弦公式，正弦定理化简可得23a =，已知条件()1sin sin 2C B A -=，利用和差角的正弦公式和正弦定理，解得43cos ab C =，最后用余弦定理解得22c b -. 【详解】ABC 中，1cos tan sin B B B =，1cos tan sin CC C=，sin cos cos sin sin()sin(π)sin C B C B C B A A +=+=-=，由正弦定理有sin sin A B ba=，sin sin c A a C =， 由113tan tan sin B C bc A +=⋅，得cos cos 3sin sin sin B C B C bc A +=⋅， 有sin cos cos sin 3sin sin sin C B C B B C bc A +=⋅，即sin 3sin sin sin A B C bc A=⋅，3sin sin a b C ba C=，得23a =， 由()1sin sin 2C B A -=，可得2sin cos 2cos sin sin cos cos sin C B C B C B C B -=+，即sin cos 3cos sin C B C B =，代入sin cos cos sin 3sin sin sin C B C B B C bc A+=⋅，得4cos 33sin sin sin C C bc A ab C ==⋅，∴43cos ab C =， 由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-22332c b =+-，得2232c b -=，故答案为：32三、解答题17．已知公比的绝对值大于1的等比数列{}n a 中的前三项恰为32,2,3,8--中的三个数，n S 为数列(){}21nn a +的前n 项和．(1)求n a ； (2)求n S ．【答案】(1)()2112nn n a -=-⋅； (2)()2110714122525nn n S n ++=-⋅⋅-.【分析】（1）根据题意确定前三项，结合等比数列通项公式可得结果； （2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）根据题意可知，1232,8,32a a a =-==-， 所以公比214a q a ==-，所以()()()112112412n n n n n a a q ---==--=-⋅； （2）由（1）知，()2112nn n a -=-⋅，()()()21212112n n nn b n a n -=+=+-⋅⋅，所以()()135213*********nn n n S -=-⨯+⨯-⨯+-⋅+⋅+， 所以()()51213732527214122n n n n S ++=⨯-⨯+⨯+-⋅+⋅+-，所以()()()1135212153222222122112nn n n n S n +-+=-⨯+⨯-⨯++-⋅-+⋅-⋅，()()()12116142112614n n n n -+⎡⎤--⎣⎦=++⋅-⋅-+ ()()()212121412211255n nn n n ++=⋅-⋅++⋅-⋅- ()21107141255nn n ++=-⋅⋅-， 所以()2110714122525nn n S n ++=-⋅⋅-. 18．已知()()22662,2cos ,cos sin ,sin ,3,422a b c θθθθ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭． (1)若a 与c 的夹角为钝角,()0,θπ∈,求cos θ的取值范围；(2)若函数()1f a b θ=⋅-在[]0,m θ∈上有10个零点,求m 的取值范围． 【答案】(1)1,⎛⎛-⋃ ⎝⎭⎝⎭(2)5921124ππ≤<m【分析】(1)根据a 与c 的夹角为钝角,可得a 与c 数量积小于零,且a 与c 不共线,化简求出cos θ范围即可.(2)根据()1f a b θ=⋅-的解析式及[]0,m θ∈进行换元,转化为2sin 1,=-y t 在,233ππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦t m 上有10个零点的问题,画图像进行分析,求出m的取值范围.【详解】（1）解:由题知,a 与c 的夹角为钝角,所以0a c ⋅<且a 与c 不共线,则有()()2,2cos 3,48cos 0,cos θθθ⋅=⋅-=-<a c 且6cos 0,cos θθ≠≠因为()0,θπ∈,故222232cos 1,,338θ⎛⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, （2）由题知,()2213cos 3sin 2cos sin 12sin(2)13πθθθθθθ=⋅-=-+-=+-f a b ,令2,,2333πππθ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦t t m , 则()f θ在[]0,m θ∈上有10个零点,即2sin 1,=-y t 在,233ππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦t m 上有10个零点,画出2sin 1=-y t 的图像如下所示故只需61652636πππ≤+<m ,解得5921124ππ≤<m , 故5921124ππ≤<m . 19．已知数列{}n a 满足11,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-⎩为奇数时为偶数时，11a =(1)若数列{}n b 为数列{}n a 的奇数项组成的数列，{}n c 为数列{}n a 的偶数项组成的数列，求出123,,c c c ，并证明：数列{}n b 为等差数列； (2)求数列{}n a 的前10项和． 【答案】(1)答案见解析； (2)105S =-．【分析】（1）由已知递推关系求出数列{}n a 前几项，易得123,,c c c ，利用已知递推关系得出21n a +与21n a -的关系即得1n b +与n b 的关系，从而证明{}n b 是等差数列； （2）用分组求和法求10S ．【详解】（1）由定义，11a =，22a =，30a =，41a =，51a =-，60a =，72a =-，81a =-，93a =-，102a =-，所以12c =，21c =，30c =，1212212121211n n n n n n b a a a a b ++--==-=+-=-=-，所以11n n b b ，所以{}n b 是等差数列，公差为1-；（2）由（1）1n n c b =+，111b a ==，1255451(1)52b b b ⨯+++=⨯+⨯-=-， 10125125()()S b b b c c c =+++++++1252()52(5)55b b b =++++=⨯-+=-．20．如图，ABC 中，点D 为边BC 上一点，且满足AD CD AB BC =．(1)证明：sin sin BAC DAC ∠∠=；(2)若2,1,7AB AC BC ===ABD △的面积．【答案】(1)证明见解析；3【分析】（1）利用正弦定理，结合已知条件进行证明.（2）结合第（1）问的结论，利用余弦定理、三角形的面积公式求解.【详解】（1）因为AD CD AB BC =，所以BC CD AB AD =， 在ABC 中，由正弦定理有：sin sin BAC C BC AB ∠=， 在ACD 中，由正弦定理有：sin sin DAC C DC AD ∠=， 所以sin sin sin sin BC CD AB A BAC C C CD DA ==∠=∠， 所以sin sin ∠=∠BAC DAC ，而BAC DAC ∠≠∠，所以πBAC DAC ∠+∠=，所以sin sin BAC DAC ∠∠=.（2）因为2,1,7AB AC BC ===ABC 中，由余弦定理有：222222171cos 22212AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===-⋅⨯⨯， 因为BAC ∠是三角形的内角，所以2π3BAC ∠=， 由（1）有：πBAC DAC ∠+∠=，所以π3DAC ∠=， 所以AD 是BAC ∠的角平分线，所以21BD AB DC AC ==，所以BD CD ==，又AD CD AB BC =，所以23AD =，所以112sin 2223ABD S AB AD BAD =⋅⋅∠=⨯⨯=. 21．已知函数()()2e 24x f x x a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦有两个极值点()1212,x x x x <．(1)若120x x <<，求a 的取值范围；(2)当4a 时，求()()12f x f x ⋅的最大值．【答案】(1)a >(2)4e -．【分析】（1）求出导函数()f x '，由()0f x '=有两个不等正根（转化为一元二次方程有两个不等正根）可得参数范围；（2）由（1）得出极值点12,x x 满足12x x a +=，122x x =，计算12()()f x f x 化为a 的函数，然后引入新函数，利用导数求得其最大值．【详解】（1）2()e (2)x f x x ax '=-+，由题意220x ax -+=有两个不等的正根，所以21212Δ80020a x x a x x ⎧=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得a >（2）由（1）知12x x a +=，122x x =，1222121122()()e [(2)4]e [(2)4]x x f x f x x a x x a x =-++⋅-++12e [x x +=22222121212121212(2)16(2)()4()4(2)()]x x a x x a x x x x x x a x x +++-++++-++ 22e [42(2)162(2)4(4)4(2)a a a a a a a =+++-++--+]4e (3)a a =--，设()e (3),4x g x x x =--≥，则()e (2)x g x x '=--，4x ≥时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以4()(4)e g x g ≤=-，从而412()()e f x f x ≤-，所以12()()f x f x 的最大值是4e -．【点睛】思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值点问题，求与极值点有关的最值．解题关键是理解极值点的定义，第一小问极值点的存在性转化为一元二次方程有两个不等的正根，由此可得参数范围，第二小问求二元函数的最值，关键是利用极值点与参数a 的关系把二元函数转化为一元函数，从而再利用导数求最值．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为5cos 2sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数）． (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线2C 的极坐标方程与1C 的普通方程；(2)若A B ， 分别为曲线1C ，曲线2C 上的动点，求AB 的最小值．【答案】(1)1C 的普通方程为21,(0)y x x =-≥，曲线2C 的极坐标方程为210cos 4sin 280ρθθ-++=.(2)1.【分析】（1）根据消参法可求得1C 的普通方程，利用直角坐标与极坐标的转化公式可求得曲线2C 的极坐标方程；（2）设1),0A t t -≥，求得其与点(5,2)P -距离的表达式，利用导数求得其最小值，结合几何意义即可求得AB 的最小值．【详解】（1）由题意曲线1C 的参数方程为1x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）。
2021年高三上学期联考数学(文)试题 含答案
2021年高三上学期联考数学（文）试题含答案一、选择题（5×10=50分）1. 若数列｛a n｝的前n项和为S n＝kq n－k(k≠0)，则这个数列的特征是( )(A)等比数列(B)等差数列(C)等比或等差数列 (D)非等差数列2. 已知，则的值为(A) (B) (C) (D)3. 数在点处的切线方程为（）(A) (B) (C) (D)4. 设是等差数列的前项和，若，则＝( )(A)1 (B)－1 (C)2 D.5.若变量满足约束条件，则的最大值为(A) (B) (C) (D)6. 在A B C中，a，B，c分别是角A，B，C的对边，若，B=A．45°或135° (B)45° (C)135°(D) 以上答案都不对7. 已知等比数列的前三项依次为，，，则（）(A) (B) (C) (D)8. 设是正实数，以下不等式恒成立的序号为（）① ，② ，③ ，④(A) ②③ (B) ①④(C) ②④ (D) ①③9. 若曲线处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为9，则a=(A)16 (B)8 (C)32 (D)6410. 已知向量()()ABC,cos30120cos的形状为,120,sin45sin︒∆=︒,=则︒︒(A)直角三角形(B)等腰三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形二、填空题（5×5=25分）11. 在等比数列中，为其前项和，已知，，则此数列的公比为.12. 若数列满足，，则它的通项．到．其中正确命题的序号是_______(把你认为正确的都填上)15. 设G 是△ABC 的重心，若∠A =120°，,则的最小值= ．三、解答题（4×12+13+14=75分）16. 中，分别为内角的对边且，2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（1）求的大小；（2）若，试判断的形状．17. （12分）在中，已知．（1）求证：tanB=3tanA （2）若求A 的值．18．（12分）已知,)sin ,cos sin (),cos 32,cos sin (x x x b x x x a ωωωωωω+-=--=设函数f (x )=的图像关于 对称,其中，为常数,且∈ （1）求函数f (x )的最小正周期T ； （2）函数过求函数在上取值范围。
陕西省商洛市山阳中学等校2023届高三上学期第一次联考文科数学试题
例如当
x
=
1 5
，
y
=
1 10
时，
lg
(
x
-
y)
=
lg
æ çè
1 5
-
1 10
ö ÷ø
=
lg 1 10
=
-1
<
0
，故选项
D
不正确.
故选：C. 5．B
【分析】根据正余弦函数的取值范围，分别求解 sina
=（
）
A． -2
B．0
C． 4 5
D．
-
14 3
10．已知
a
，
b
，
c
都是正实数，且
a
+
b
+
c
=
2
，则当
2 2
+ -
b c
+
b b
+ +
a c
取得最小值时，
ab
的最大值为（ ）
A．
1 2
B．1
C．2
D．3
11．已知函数 f ( x) = 1+ lnx ， g ( x) = ex ，若 f ( x1 ) = g ( x2 ) 成立，则 x1 - x2 的最小值为
{ } 15．设集合 A = 0,1, a2 ，若 a -1Î A ，则实数 a = ______．
16．已知a ， b 满足(1+ tana )(1- tanb ) = 2 ，则 b -a = ______．
陕西省西安市高三(上)期末联考数学试卷(文科)【含答案】
陕西省西安市高三（上）期末联考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x＜4}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．（﹣3，4）D．（﹣3，3）2．（5分）设复数z满足z（2+i）＝5，则在复平面内对应的点在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限3．（5分）命题“任意x＞0，+≥1”的否定是（）A．存在x≤0，+≥1B．存在x＞0，+＜1C．任意x＞0，+＜1D．任意x≤0，+≥14．（5分）总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是（）78166572080263140702436997280198 32049234493582003623486969387481．A．08B．07C．02D．015．（5分）若直线2ax﹣by+2＝0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0截得弦长为4，则+的最小值是（）A．9B．4C．D．6．（5分）若函数f（x）＝满足：∀x1，x2∈R，且x1≠x2都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[2，3）C．（2，3）D．（1，3）7．（5分）一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的全面积与球的表面积之比为（）A．2：1B．4：3C．3：2D．1：18．（5分）数列{a n}满足a1＝1，对任意n∈N*都有a n+1＝a n+n+1，则＝（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）＝ln（x﹣）的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）若向量＝（1，﹣1），|＝||，•＝﹣1，则向量与﹣夹角为（）A．B．C．D．11．（5分）执行如图的程序框图，则输出的S是（）A．36B．45C．﹣36D．﹣4512．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f′（x）＜1，则不等式f（1g2x）＜1g2x的解集为（）A．B．C．D．（10，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将正确答案填写在答题纸相应位置.）13．（5分）若{a n}是等比数列，且公比q＝4，a1+a2+a3＝21，则a n＝．14．（5分）已知实数x、y满足条件则x﹣3y的最大值为．15．（5分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，b＝2，△ABC的面积等于，则△ABC外接圆的面积为．16．（5分）双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2（|F1F2|＝2c），以坐标原点O为圆心，以c为半径作圆A，圆A与双曲线C的一个交点为P，若三角形F1PF2的面积为a2，则C的离心率为．三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（一）必考题：共60分.17．（12分）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期T和单调递增区间；（2）若x∈[0，π]，且关于x的函数g（x）＝2f2（x）﹣2f（x）﹣2a﹣1的最小值为，求a的值．18．（12分）某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，已知得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）估计本次竞赛学生成绩的中位数；（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．19．（12分）在如图所示的多面体中，面ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形．（1）求证：AE∥平面BFC（2）若AD⊥DE，AD＝DE＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，求三棱锥F﹣AEC的体积．20．（12分）设O为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线l：y ＝kx+m（m＞0）与C交于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P（0，1），，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．21．（12分）已知函数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式恒成立，求实数m 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为轴的坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P（﹣1，0），直线l和曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）＝|3x﹣1|+|3x+k|，g（x）＝x+4．（Ⅰ）当k＝﹣3时，求不等式f（x）≥4的解集；（Ⅱ）设k ＞﹣1，且当x ∈[﹣，）时，都有f （x ）≤g （x ），求k 的取值范围．参考答案解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x＜4}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．（﹣3，4）D．（﹣3，3）【分析】用列举法写出集合A，再根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A＝{x∈N|x＜4}＝{0，1，2，3}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，则A∩B＝{0，1，2}．故选：B．【点评】本题考查了交集的运算问题，是基础题．2．（5分）设复数z满足z（2+i）＝5，则在复平面内对应的点在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数的几何意义进行判断即可．【解答】解：由z（2+i）＝5得z＝＝＝＝2﹣i，则＝2+i，对应点的坐标为（2，1），位于第一象限，故选：D．【点评】本题主要考查复数的几何意义，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．比较基础．3．（5分）命题“任意x＞0，+≥1”的否定是（）A．存在x≤0，+≥1B．存在x＞0，+＜1C．任意x＞0，+＜1D．任意x≤0，+≥1【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意x＞0，+≥1”的否定是：存在x＞0，+＜1．故选：B．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．（5分）总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是（）78166572080263140702436997280198 32049234493582003623486969387481．A．08B．07C．02D．01【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01，．其中第二个和第四个都是02，重复．可知对应的数值为08，02，14，07，01，则第5个个体的编号为01．故选：D．【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）若直线2ax﹣by+2＝0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0截得弦长为4，则+的最小值是（）A．9B．4C．D．【分析】求出圆心和半径，由圆心到直线的距离等于零可得直线过圆心，即a+b＝1；再利用基本不等式求得+的最小值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0，即圆（x+1）2+（y﹣2）2＝4，它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆；设弦心距为d，由题意可得22+d2＝4，求得d＝0，可得直线经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2＝0，即a+b＝1，再由a＞0，b＞0，可得+＝（+）（a+b）＝5++≥5+2＝9，当且仅当＝时取等号，∴+的最小值是9．故选：A．【点评】本题考查了直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式和基本不等式的应用问题，是中档题．6．（5分）若函数f（x）＝满足：∀x1，x2∈R，且x1≠x2都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[2，3）C．（2，3）D．（1，3）【分析】根据：∀x1，x2∈R，且x1≠x2都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，可知函数f（x）在R上单调递增，进而得到相关不等式，求出解集即可【解答】解：根据题意可知函数f（x）在R上单调递增，则有解得2≤a＜3，故选：B．【点评】本题考查根据函数单调性求参数的取值范围，属于基础题．7．（5分）一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的全面积与球的表面积之比为（）A．2：1B．4：3C．3：2D．1：1【分析】圆柱及球的表面积分别求出，即可求出表面积之比．【解答】解：设球的半径为r，则由题意S＝2πr2+2πr•2r＝6πr2，S球＝4πr2，圆柱所以圆柱的全面积与球的表面积之比为3：2，故选：C．【点评】考查圆柱及球的公式的应用，属于基础题．8．（5分）数列{a n}满足a1＝1，对任意n∈N*都有a n+1＝a n+n+1，则＝（）A．B．C．D．【分析】由题意可得n≥2时，a n﹣a n﹣1＝n，再由数列的恒等式：a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n），运用等差数列的求和公式，可得a n，求得＝＝2（﹣），由数列的裂项相消﹣a n﹣1求和，化简计算可得所求和．【解答】解：数列{a n}满足a1＝1，对任意n∈N*都有a n+1＝a n+n+1，即有n≥2时，a n﹣a n﹣1＝n，可得a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）＝1+2+3+…+n＝n（n+1），＝＝2（﹣），则＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝2（1﹣）＝．故选：B．【点评】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．9．（5分）函数f（x）＝ln（x﹣）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的性质，结合函数图象特点即可得到结论．【解答】解：由x﹣＞0得，﹣1＜x＜0或x＞1，即函数的定义域为{x|﹣1＜x＜0或x＞1}，故A，D错误．当x＞1时，y＝x﹣为增函数，∴f（x）＝ln（x﹣）也为增函数，∴排除C，故选：B．【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数的性质是解决本题的关键．10．（5分）若向量＝（1，﹣1），|＝||，•＝﹣1，则向量与﹣夹角为（）A．B．C．D．【分析】可求得，从而，这样由便可得到，从而得出，可作△AOB，从而可以得出，而，而和的夹角容易得出，即得出与的夹角．【解答】解：根据条件，；∴＝2cos∠AOB＝﹣1；∴；∴，如图，作△AOB，，OA＝OB，则：，；∴和夹角为；即向量与夹角为．故选：D．【点评】考查根据向量的坐标求向量的长度，向量数量积的计算公式，以及向量减法的几何意义，清楚向量夹角的概念．11．（5分）执行如图的程序框图，则输出的S是（）A．36B．45C．﹣36D．﹣45【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝﹣12+22﹣32+…﹣72+82的值，由于S＝﹣12+22﹣32+…﹣72+82＝（22﹣12）+（42﹣32）+（62﹣52）+（82﹣72）＝3+7+11+15＝36．故选：A．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f′（x）＜1，则不等式f（1g2x）＜1g2x的解集为（）A．B．C．D．（10，+∞）【分析】构造函数g（x）＝f（x）﹣x，判断函数的单调性，结合函数的单调性进行求解即可．【解答】解：构造函数g（x）＝f（x）﹣x，则函数的导数g′（x）＝f′（x）﹣1，∵f′（x）＜1，∴g′（x）＜0，即函数g（x）单调递减，∵g（1）＝f（1）﹣1＝0，∴若g（x）＜0，即g（x）＜g（1），则x＞1，则不等式f（1g2x）＜1g2x等价为f（1g2x）﹣1g2x＜0，即g（1g2x）＜0，则1g2x＞1，则lgx＞1或lgx＜﹣1，解得x＞10或0＜x＜，故不等式的解集为，故选：B．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将正确答案填写在答题纸相应位置.）13．（5分）若{a n}是等比数列，且公比q＝4，a1+a2+a3＝21，则a n＝4n﹣1．【分析】根据等比数列的通项公式先求出首项，即可求出【解答】解：{a n}是等比数列，且公比q＝4，a1+a2+a3＝21，则a1+4a1+16a1＝21，解得a1＝1，∴a n＝4n﹣1，故答案为：4n﹣1【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式公式，考查了整体运算思想，属基础题．14．（5分）已知实数x、y满足条件则x﹣3y的最大值为﹣1．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝x﹣3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，验证知在点A（2，1）时，x﹣3y取得最大值﹣1，故填﹣1．【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15．（5分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，b＝2，△ABC的面积等于，则△ABC外接圆的面积为4π．【分析】由•sin＝2，解得c．利用余弦定理可得a，再利用正弦定理可得R，进而得出结论．【解答】解：由•sin＝2，解得c＝4．∴a2＝22+42﹣2×2×4cos＝12．解得a＝2．∴2R＝＝4，解得R＝2．∴△ABC外接圆的面积为4π．故答案为：4π．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2（|F1F2|＝2c），以坐标原点O为圆心，以c为半径作圆A，圆A与双曲线C的一个交点为P，若三角形F1PF2的面积为a2，则C的离心率为．【分析】不妨设P为右支上一点，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，运用双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，结合勾股定理和三角形的面积公式，可得a，c的关系式，可得所求离心率．【解答】解：不妨设P为右支上一点，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义可得m﹣n＝2a，由题意可得△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝90°，可得m2+n2＝4c2，且mn＝a2，由（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝4c2﹣4a2＝4a2，即为c＝a，可得e＝＝，故答案为：．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的性质，以及化简运算能力，属于中档题．三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（一）必考题：共60分.17．（12分）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期T和单调递增区间；（2）若x∈[0，π]，且关于x的函数g（x）＝2f2（x）﹣2f（x）﹣2a﹣1的最小值为，求a的值．【分析】（1）结合正弦函数的性质对已知函数进行化简即可求解故函数的周期及单调递增区间．（2）利用换元法，然后结合二次函数的性质即可求解a．【解答】解：（1）∵，＝＝，k∈z，故函数的周期T＝2π，单调递增区间为[2k]，k∈z，（2）∵x∈[0，π]，∴f（x）∈[0，1]，∵g（x）＝2f2（x）﹣2f（x）﹣2a﹣1，令t＝f（x），则0≤t≤1，∴y＝2t2﹣2t﹣（2a+1）开口向上，对称轴为，∴，∴a＝﹣1．【点评】本题主要考查了正弦函数的性质及换元法求解函数的值域，二次函数的性质的应用是求解（2）的关键．18．（12分）某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，已知得分在[50，60），[90，100]的频数分别为8，2．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）估计本次竞赛学生成绩的中位数；（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．【分析】（1）由题意先求出样本容量，由此能求出n和频率分布直方图中的x，y的值．（2）设本次竞赛学生成绩的中位数为m，由频率分布直方图列出方程，能求出本次竞赛学生成绩的中位数．（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，分数在[90，100]内的学生有2人，由此利用列举法能求出所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由题意可知，样本容量n＝＝50，…（2分），x＝0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040＝0.030．…（4分）（2）设本次竞赛学生成绩的中位数为m，则[0.016+0.03]×10+（m﹣70）×0.040＝0.5，解得m＝71，∴本次竞赛学生成绩的中位数为71．…（8分）（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．…（10分）其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．…（12分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．（12分）在如图所示的多面体中，面ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形．（1）求证：AE∥平面BFC（2）若AD⊥DE，AD＝DE＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，求三棱锥F﹣AEC的体积．【分析】（1）推导出AD∥BC，从而AD∥平面BCF，推导出DE∥BF，从而DE∥平面BCF，进而平面ADE∥平面BCF，由此能证明AE∥平面BCF．＝V C﹣AEF＝2V O﹣AEF＝2V A﹣OEF，由此（2）设AC∩BD＝O，则O为AC中点，连结OE，OF，则V F﹣ABC能求出三棱锥F﹣AEC的体积．【解答】证明：（1）∵面ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AD⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴AD∥平面BCF，∵四边形BDEF是矩形，∴DE∥BF，∵DE⊄平面BCF，BF⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF，∵AD∩DE＝D，AD⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，∴平面ADE∥平面BCF，∵AE⊂平面ADE，∴AE∥平面BCF．解：（2）设AC∩BD＝O，则O为AC中点，连结OE，OF，＝V C﹣AEF＝2V O﹣AEF＝2V A﹣OEF，则V F﹣ABC在△ABD中，∠BAD＝60°，AD＝1，AB＝2，由余弦定理得BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD，∴BD＝，∴AB2＝AD2+BD2，∴AD⊥BD，∵DE⊥AD，BD∩DE＝D，BD⊂平面BDEF，DE⊂平面BDEF，∴AD⊥平面BDEF，故AD为A到平面BDEF的距离，＝＝，∵DE＝1，∴S△OEF＝＝，∴V A﹣OEF＝2V A﹣OEF＝．∴三棱锥F﹣AEC的体积V F﹣AEC【点评】本题考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归转化思想、函数与方程思想，数形结合思想，是中档题．20．（12分）设O为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线l：y ＝kx+m（m＞0）与C交于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P（0，1），，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．【分析】（1）利用椭圆的基本性质，求出即可；（2）联立解方程组，用韦达定理和数量积公式，求出m，得到定点坐标．【解答】解：（1）设椭圆的右焦点为F1，则OM为△AFF1的中位线，所以，所以，因为，所以，所以，所以椭圆C的方程为：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y整理得：（1+5k2）x2+10mkx+5m2﹣25＝0，所以△＞0，，所以，＝，因为，所以（x1，y1﹣1）⋅（x2，y2﹣1）＝x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1＝﹣4，所以，整理得：3m2﹣m﹣10＝0，解得：m＝2或（舍去），所以直线l过定点（0，2）．【点评】考查了求椭圆的标准方程，直线与椭圆的定点问题，与向量的数量积相结合，中档题．21．（12分）已知函数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）求导后，分a≤0及a＞0两种情况讨论即可；（2）原问题等价于，令，则h′（x）＜0在[1，2]上恒成立，即m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，由此得解．【解答】解：（1）依题意可知：函数f（x）的定义域为（0，+∞），，当a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，由f′（x）＞0得；由f′（x）＜0得；综上可得，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在上单调递减；在上单调递增．（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2），所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，设g（x）＝x3﹣ax，则m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g′（x）＝3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max＝g（2）＝8﹣2a≤12（当且仅当a＝﹣2时等号成立）所以m≥12．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及逻辑推理能力，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为轴的坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P（﹣1，0），直线l和曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．【分析】（1）消去参数α可得曲线C的普通方程；根据互化公式可得直线l的直角坐标方程；（2）根据参数t的几何意义可得．【解答】解：（1）由消去参数α，得+＝1，即曲线C的普通方程为：+＝1，由ρsin（θ﹣）＝，得ρsinθ﹣ρcosθ＝1，化为直角坐标方程为：x﹣y+1＝0．（2）由（1）知，点P（﹣1，0）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），即（t为参数），代入+＝1并化简得2t2﹣﹣8＝0，△＞0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，得t1+t2＝，t1t2＝﹣1，所以|PA|+|PB|＝|t1|+|t2|＝|t1﹣t2|＝＝，所以|PA|+|PB|＝．【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）＝|3x﹣1|+|3x+k|，g（x）＝x+4．（Ⅰ）当k＝﹣3时，求不等式f（x）≥4的解集；（Ⅱ）设k＞﹣1，且当x∈[﹣，）时，都有f（x）≤g（x），求k的取值范围．【分析】（I）将k＝﹣3代入，根据零点分段法去掉绝对值，分别解不等式取交集；（II）根据x的范围对f（x）去掉绝对值，参变分离转化为求函数的最值问题，列出关于k的不等式，解出范围即可．【解答】解：（I）当k＝﹣3时，f（x）＝，故不等式f（x）≥4可化为：或或，解得：，∴所求解集为：．（II）当x∈[﹣，）时，由k＞﹣1有：3x﹣1＜0，3x+k≥0∴f（x）＝1+k，不等式f（x）≤g（x）可变形为：1+k≤x+4，故k≤x+3对恒成立，即，解得，而k＞﹣1，故．∴k的取值范围是：．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及与绝对值不等式有关的恒成立问题，属于中档题．。
2023年高三5月大联考(全国乙卷)文科数学试题及参考答案
2023届高三5月大联考（全国乙卷）文理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，设复数21,z z 对应的点分别为()()1,12021-Z Z ，，，则=21z z （）A .2B .3C .2D .12.已知集合()(){}012<+-=x x x M ，{}30≤≤=x x N ，则=N M （）A .[)20，B .[]30，C .(]31，-D .(]32，3.《“健康中国2030”规划纲要》提出，将康时促进人的全面发展的必然要求，是经济社会发展的基础条件.实现国民健康长寿，是国家富强、民族振兴的重要标志.也是全国各族人民的共同愿望.为普及健康知识，某公益组织为某社区居民组织了一场健康知识公益讲座，讲座后居民要填写健康知识问卷（百分制），为了解讲座效果，随机抽取了10为居民的问卷，并统计得分情况如下表所示：则下列说法错误的是（）A .该10位居民的问卷得分的极差为30B .该10位居民的问卷得分的中位数为94C .该10位居民的问卷得分的中位数小于平均数D .该社区居民的问卷得分不低于90分的概率估计值大于0.24.已知2.0log 1.0=a ，a b lg =，ac 2=，则c b a ,,的大小关系为（）A .c b a <<B .b c a <<C .a c b <<D .ca b <<5.从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为152，“两个球都是白球”的概率为31，则“两个球颜色不同”的概率为（）A .154B .157C .158D .1511答题居民序号12345678910得分728365768890659095766.若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（）A.94B .98C .115D .11107.若函数()()⎩⎨⎧≥++<++=0,1ln 0,122x a x x ax ax x f 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A .()()∞+∞-，，10 B .()1,0C .()1，∞-D .()∞+，08.若平面向量b a ,满足b a 2=，且b a22+与b 垂直，则b a ,的夹角为（）A .43πB .32πC .3πD .4π9.已知椭圆E ：()012222>>=+b a b y a x 的左顶点为A ，上顶点为B ，左、右焦点分别为21,F F ，延长2BF 交椭圆E 于点P .若点A 到直线2BF 的距离为3216，21F PF ∆的周长为16，则椭圆E 的标准方程为（）A .1162522=+y xB .1323622=+y xC .1484922=+y x D .16410022=+y x 10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n n n a S S S -=+++1232，7264=-a a ，344=S ，则2023是数列{}n a 的（）A .第566项B .第574项C .第666项D .第674项11.已知函数()()ϕω+=x x f cos 2()00<<->ϕπω，，()30=f ，且()x f 在[]π,0上有且只有三个极值点，则下列说法错误的个数是（）①存在ω值，使得函数()x f 在[]π,0上有两个极小值点；②ω的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛619613，；③函数()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛50π，上单调递增；④若Z ∈ω，则函数()x f 图象的一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛092π.A .4B .3C .2D .112.在正三棱锥ABC P -中，E D ,分别为侧棱PC PB ,的中点，若BE AD ⊥，且7=AD ，则正三棱锥ABC P -外接球的表面积为（）A .π435B .π572C .π7108D .π9152二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线xxy ln =在1=x 处的切线方程为.14.已知公比小于0的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12232+==S a a ，，=1a .15.在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，︒=∠120ADC ，121AA AD =，E 是棱1AA 的中点，O 为底面菱形ABCD 的中心，则异面直线EO 和AD 所成角的余弦值为.16.已知双曲线C ：()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，M 是双曲线C右支上一点，记21F MF ∆的垂心为G ，内心为I .若GI F F 1221=，则双曲线C 的离心率为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）2023年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.如图是该地120家中小微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图：（1）确定a 的值，并估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数）；（2）按专项贷款金额进行分层抽样，从这120家中小微企业中随机抽取20甲.记专项贷款金额在[200,300]内应抽取的中小微企业数为m .①求m 的值.②从这m 家中小微企业中随机抽取3家，这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250）内的概率.18.（12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且ABC ∆的面积为3，12222=-+c b a .（1)求C ；（2）若33cos cos -=B A ,求c .19.（12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90BAC ，2211===AA AC AB ，141AA AE =，D 为棱1CC 的中点，F 为棱BC 的中点.（1）求证：⊥BE 平面C AB 1；（2）求三棱锥DEF B -的体积.20.（12分）已知函数()()01ln >+=a ax xx f .（1）当21e a =时，求()x f 的单调区间；（2）若函数()axx f y 1+=有两个不同的零点，求a 的取值范围.21.（12分）已知抛物线C ：()022>=p px y ，M 是其准线与x 轴的交点，过点M 的直线l 与抛物线C 交于B A ,两点，当点A 的坐标为()0,4y 时，有BA MB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）设点A 关于x 轴的对称点为点P ，证明：直线BP 过定点，并求出该定点坐标.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+==ααsin 21cos t y t x （t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 22πθρ.（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点P 的直角坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛210，，若直线l 与曲线C 交于N M ,两点，求PN PM -的最大值.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知c b a ,,都是正实数..（1）若1=ac ，求证：()()b c b b a 4≥++；（2）若1112121=++++cb a ，求c b a ++的最小值.参考答案一、选择题1.C解析：由题意，知i z 21=，i z -=12，∴i i i z z +-=-=11221，∴221=z z .2.A 解析：∵集合{}21<<-=x x M ，{}30≤≤=x x N ，∴[)20，=N M .3.B解析：将这10为居民的问卷得分按照从小到大的顺序排列为65,65,72,76,76,83,88,90,90,95，∴极差为95-65=30，故A 正确；中位数为5.7928376=+，故B 错误；平均数为()5.798095909088837676726565101>=+++++++++⨯，故C 正确；由题表及样本估计总体，知该社区居民问卷得分不低于90分的概率估计值为2.03.0103>=，故D 正确.4.D解析：∵x y 1.0log =在()∞+，0上单调递减，∴1.0log 2.0log 1log 1.01.01.0<<，即10<<a .∵x y lg =在()∞+，0上单调递增，∴1lg lg <a ，即0<b .∵xy 2=在R 上单调递增，∴022>a，即1>c .综上，得c a b <<.5.C解析：设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则()()31152==B P A P ，且B A C =.∵C B A ,,两两互斥，∴()()()()()[]158311521111=--=+-=-=-=B P A P B A P C P C P .6.A解析：初始值20==n S ，.第一次执行循环体：43113111212=⨯=⨯=-=n S a ，，，否；第二次执行循环体：6531311531=⨯+⨯=⨯=n S a ，，，否；第三次执行循环体：8751531311751=⨯+⨯+⨯=⨯=n S a ，，，否；第四次执行循环体：10971751531311971=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=n S a ，，，是，输出S .∵9491717151513131121971751531311=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯+⨯+⨯+⨯=S ，∴输出S 的值为94.7.A 解析：①当0=a 时，()()⎩⎨⎧≥+<=0,1ln 0,1x x x x f ，则()x f 只有一个零点0，不符合题意；②当0<a 时，作出函数()x f 的大致图象，如图1，()x f 在()0，∞-和[)∞+，0上各有一个零点，符合题意；③当0>a 时，作出函数()x f 的大致图象，如图2，()x f 在[)∞+，0上没有零点.若()x f 在()0，∞-上有两个零点，则符合题意，此时必须满足()011<-=-a f ，解得1>a .综上，得0<a 或1>a ，故选A.8.B 解析：∵b a 22+与b 垂直，∴()022=⋅+b b a ，化简得222b b a -=⋅.设b a ,的夹角为θ，则21cos -=⋅⋅=ba b a θ.∵[]πθ，0∈，∴32πθ=.9.B解析：由题意，得()()()0,,00,2c F b B a A ，，-，则直线2BF 的方程为0=-+bc cy bx ，∴点A 到直线2BF 的距离()321622=+=+--=c a a bc b bc abd ①.由21F PF ∆的周长为16，得16222121=+=++c a F F PF PF ，即8=+c a ②联立①②解得a b 322=③∵222c a b -=，∴a c 31=④.联立②④，解得26==c a ，，∴24=b ，故椭圆E 额标准方程为1323622=+y x .10.D 解析：由n n n n a S S S -=+++1232，得()n n n n n a S S S S --=-+++1122，即122++=+n n n a a a ，∴数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，则由7264=-a a 和344=S 得⎩⎨⎧=+=+1732711d a d a ，解得⎩⎨⎧==341d a ，∴()13314+=⨯-+=n n a n .由202313=+n ，得674=n .11.B 解析：∵()30=f ，∴23cos =ϕ.∵0<<-ϕπ，∴6πϕ-=.当[]π,0∈x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-6,66πωπππωx ，∵()x f 在[]π,0上有且只有三个极值点，∴ππωππ362<-≤得619613<≤ω，∴根据图象可以判断，()x f 在[]π,0上有两个极大值点，一个极小值点，∴①错误，②错误；当⎪⎭⎫⎝⎛∈5,0πx 时，6566ππωπωππ-<-≤-，显然065>-ππω，不符合题意∴③错误；由Z ∈ω得3=ω，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=63cos 2πx x f ，令Z k k x ∈+=-，263πππ，得Z k k x ∈+=，923ππ，当0=k 时，92π=x ，∴④正确.故选B.12.C 解析：如图，∵ABC P -为正三棱锥，P AC PBC P AB ∆≅∆≅∆，7==BE AD .取线段PE 的中点F ，连接AF DF ,，∵D 为PB 的中点，∴BE DF ∥，BE DF 21=.∵BE AD ⊥，∴DF AD ⊥.在ADF Rt ∆中，72==DF AD ，由勾股定理，得235=AF .设x P A APB ==∠，θ.在P AD ∆中，由余弦定理的推论，得222745212741cos x xx x x -=⋅-+=θ①同理，在P AF ∆中，由余弦定理的推论，得222235817412435161cos x xx x x -=⋅-+=θ②.联立①②，解得32=x ，32cos =θ.在P AB ∆中，由余弦定理，得()()832323223232cos 222222=⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=APB PB P A PB P A AB ，∴22=AB .取ABC ∆的中心1O ，连接11AO PO ，，则⊥1PO 平面ABC ，三棱锥ABC P -的外接球球心O 在1PO 上，连接OA ，设外接球半径为R .在1P AO Rt ∆中，R OA =，36232231=⨯=AB AO ，∴()321236232222121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=AO P A PO ，∴R R PO OO -=-=321211，∴21212AO OO AO +=，即2223623212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=R R ，解得7213=R ，∴所求外接球的表面积为ππ710842=R .二、填空题13.01=--y x 解析：2ln 1xxy -='，当1=x 时，1='y .又当1=x 时，0=y ，∴曲线xxy ln =在1=x 处的切线方程为1-=x y ，即01=--y x .14.4-解析：设等比数列{}n a 的公比为()0<q q ，将22=a 代入123+=S a ，得1222++=qq ，∴02322=--q q ，解得21-=q 或2=q （舍去），∴41-=a .15.1473解析：如图，连接C D C A AC 11，，，∵O 为AC 的中点，E 是棱1AA 的中点，∴C A OE 1∥.∵11D A AD ∥，∴C A D 11∠或其补角为异面直线EO 与AD 所成的角.不妨设1=AD ，则211111=====DD AA CD AD D A ，.在ADC ∆中，由余弦定理得：32111211120cos 22222=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+=︒⋅-+=DC AD DC AD AC .∵1111D C B A ABCD -为直四棱柱，∴⊥1AA 平面ABCD .又⊂DC AC ,平面ABCD ，∴DC AA AC AA ⊥⊥11，.∵11AA DD ∥，∴DC DD ⊥1，∴()732222211=+=+=AC AA C A ，512222211=+=+=DC DD C D 在C D A 11∆中，由余弦定理的推论得：14737125712cos 111212121111=⨯⨯-+=⋅-+=∠C A D A C D C A D A C A D .16.2解析：如图，连接MI GM ，并延长，与21F F 分别交于点D O ,.设双曲线C 的焦距为c 2.由题意得c GI 61=.∵21F F GI ∥，且G 为重心，则32=ODGI ，∴4c OD =.∵I 为21F MF ∆的内心，∴MD 为21MF F ∠的平分线，∴35212121===∆∆DF D F S S MF MF MDF D MF ，∴2135MF MF =.又a MF MF 221=-，∴a MF a MF 3521==，.设21F MF ∆的内切圆半径为r ，则M 到x 轴的距离为r 3，∵r F F S F MF 3212121⋅⋅=∆，()r F F MF MF S F MF ⋅++⋅=∆21212121，∴2121213F F MF MF F F ++=，∴a c 2=，∴双曲线C 的离心率2==ace .三、解答题（一）必考题17.解：（1）由频率分布直方图，得()150001.0006.02003.0002.0=⨯++++a ，解得004.0=a .设中位数为t ，专项贷款金额在[0,150)内的频率为0.45，在[150,200)内的频率为0.3，∴中位数t 在[150,200)内，∴()05.0006.0150=⨯-t ，解得158≈t ，∴估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数为158万元.（2）①由题意，得抽取比例为6112020=，专项贷款金额在[200,300]内的中小微企业有()30001.0004.050120=+⨯⨯家，∴应抽取56130=⨯家，∴5=m .②在抽取5家中小微企业中，专项贷款金额在[200,250)内的有4545=⨯家，记为D C B A ，，，，专项贷款金额在[250,300]内的有1515=⨯家，记为E .从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为CDE BDE BCE BCD ADE ACE ACD ABE ABD ABC ,,,,,,,,,，共10种，其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250)内的情况为BCD ACD ABD ABC ,,,，共4种，∴所求概率52104==P .18.解：（1）∵ABC ∆的面积为3，∴3sin 21=C ab ，即32sin =C ab ①由余弦定理的推论，得abc b a C 2cos 222-+=.∵12222=-+c b a ，∴6cos =C ab ②.易知2π≠C ，①÷②，得33tan =C .∵()π，0∈C ，∴6π=C .（2）∵6π=C ，∴23cos =C ，即()23cos =+-B A ，∴23sin sin cos cos -=-B A B A .又33cos cos -=B A ，∴63sin sin =B A .由正弦定理得c CcB b A a 2sin sin sin ===，∴B c b A c a sin 2sin 2==，.由（1），知32sin =C ab ，∴34=ab ，∴34sin sin 42=B A c ，即23sin sin cB A =，∴6332=c ，解得6=c .19.解：（1）∵11112141BB AA AA AC AB AA AE ====，，，∴12121BB AB AB AE ==，，∴1BB ABAB AE =.∵111C B A ABC -为直三棱柱，∴侧面11A ABB 为矩形，∴︒=∠=∠9011ABB AB A ，∴1~BAB AEB ∆∆，∴AEB BAB ∠=∠1.又︒=∠+∠90AEB EBA ，∴︒=+∠901BAB EBA ，∴1AB BE ⊥.∵⊥1AA 平面ABC ，⊂AC 平面ABC ，∴AC AA ⊥1.又⊂=⊥11AA A AB AA AB AC ，， 平面11A ABB ，∴⊥AC 平面11A ABB ，∵⊂BE 平面11A ABB ，∴BE AC ⊥.∵⊂=11AB A AC AB ， 平面C AB 1，⊂AC 平面C AB 1，∴⊥BE 平面C AB 1.（2）连接AF ，∵⊄111AA BB AA ，∥平面11B BCC ，⊂1BB 平面11B BCC ，∴∥1AA 平面11B BCC ，∴三棱锥DEF B -的体积CD S V V V V ABF ABF D BDF A BDF E DEF B ⋅====∆----31.∵︒=∠==902BAC AC AB ，，F 为BC 的中点，∴BC AF BC ⊥=，22，∴2==BF AF ，∴1222121=⨯⨯=⋅⋅=∆AF BF S ABF ，∴三棱锥DEF B -的体积32213131=⨯⨯=⋅=∆-CD S V ABF DEF B .20.解：（1）由题意，知()x f 的定义域为()∞+，0，当21e a =时，()()()222222ln 1ln e x x e x e x f e x x e x f +⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-='+=，.令()x e x x g 2ln 1+-=，则()0122<--='xe x x g ，∴()x g 在()∞+，0上单调递减.∵()02=eg ，∴当()2,0e x ∈时，()0>x g ，从而()0>'x f ；当()+∞∈,2e x 时，()0<x g ，从而()0<'xf ，∴()x f 的单调递增区间为()2,0e ，单调递减区间为()+∞,2e.（2）函数()ax x f y 1+=有两个不同的零点等价于()01=+axx f 有两个不同的解，等价于()011ln =++x ax 有两个不同的解.令()()11ln ++=x ax x h ，()+∞∈,0x ，则()()2ln +='x a x h .由()0='x h ，得21ex =.又0>a ，∴当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0e x 时，()0<'x h ；当⎪⎭⎫⎝⎛+∞∈,12e x 时，()0>'x h ，∴()x h 在⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0e 上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,12e 上单调递增，∴()22min 11e a e h x h -=⎪⎭⎫⎝⎛=.①当012≥-ea 即20e a ≤<时，()x h 至多有一个零点，不符合题意；②当012<-e a 即2e a >时，012<⎪⎭⎫ ⎝⎛e h ，()011>+=a h .由单调性和函数零点存在定理，知()x h 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,12e 上有且只有一个零点.∵2e a >，∴22111e a a <<，且a aa a h ln 2112-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛.令()x x x ln 21-+=ϕ，则()xx x 2-='ϕ，∴当()+∞∈,2x 时，()0>'x ϕ，∴()x ϕ在()∞+，2上单调递增.∵22>>e a ，∴()()04ln 32>-=>ϕϕa ，∴012>⎪⎭⎫⎝⎛a h .由单调性和函数零点存在定理，知()x h 在⎪⎭⎫⎝⎛21,0e 上有且只有一个零点.∴当2e a >时，()x h 有两个不同的零点，即()axx f y 1+=有两个不同的零点，符合题意.综上，a 的取值范围是()+∞,2e .21.解：（1）设()B B y x B ,，由BA MB =得B 诶线段MA 的中点.∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p M ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=02242y y p x B B ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2420y y p x B B ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,420y p B ，把⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,420y p B 代入px y 22=中，得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛422220p p y ，把()0,4y A 代入px y 22=中，得p y 820=，∴p p p 2422=⎪⎭⎫⎝⎛-.又0>p ，∴4=p ，∴抛物线C 的方程为x y 82=.（2）由题意，知直线l 的斜率存在且不为0，∵()02，-M ，∴可设直线l 的方程为2-=my x .设()()2211,,y x B y x A ，，则点()11,y x P -.由⎩⎨⎧=-=xy my x 822消去x 得01682=+-my y ，∴0>∆，根据根与系数的关系得1682121==+y y m y y ，.直线BP 的斜率12212212121288y y y y y y x x y y k -=-+=-+=，直线BP 的方程为()21228x x y y y y --=-，∴()()()221222122122128181********y y y y y y y x y y y y y y x ++--=+---=()28112+-=y y y ，即直线BP 的方程可表示为()28112+-=y y y x .∴直线BP 过定点，且定点坐标为()02，.（二）选考题22.解：（1）∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 22πθρ，∴θθρcos 2sin 2+=，即θρθρρcos 2sin 22+=.又θρcos =x ，θρsin =y ，222ρ=+y x ，∴曲线C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x .（2）依题意，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得：()043cos 2sin 2=-+-t t αα.设点N M ,所对应的参数分别为21,t t ，则43cos 2sin 2121-=+=+t t t t ，αα.∵点P 的直角坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛210，，∴1t PM =，2t PN =.∵021<t t ，∴2121t t t t PN PM +=-=-()ϕααα+=+=sin 5cos 2sin ，其中552sin 55cos ==ϕϕ，.由()03cos 2sin 2>++=∆αα，得R ∈α，∴当()1sin ±=+ϕα时，PN PM -最大，且最大值为5.23.解：（1）∵c b a ,,都是正实数，∴02>≥+ab b a ，02>≥+bc c b ，∴()()bc ab c b b a 22⋅≥++，当且仅当1===c b a 时，等号成立，即()()ac b c b b a 4≥++.又∵1=ac ，∴()()b c b b a 4≥++.（2）∵1112121=++++c b a ，∴12212422=++++cb a .由柯西不等式，得()()[]()22122212142221242++≥⎪⎭⎫⎝⎛++++++++c b a c b a ，即()22215222+≥+++c b a ，即222+≥++c b a ，当且仅当()c b a 21222=+=+，即222222+===c b a ，，时等号成立，∴c b a ++的最小值为222+.。
河南省豫南九校2022-2023学年高三上学期第二次联考文科数学试题
豫南九校2022-2023学年上期第二次联考高三数学（文）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的娃名、准考证号．考场号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}22610A x x =∈<+≤N ，{}04B x x =<<，则A B ⋂=（）A ．{}1,2,3B ．{}0,2,3C ．{}1,2D ．{}2,32．已知i 为虚数单位，则43i1i -=+（）A ．17i 22+B ．17i22-C ．53i 22+D ．53i 22-3．已知“24x x >”是“2x m <”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为（）A ．()2,2-B ．[]2,2-C ．()(),22,⋃-∞-+∞D ．(][),22,-∞-⋃+∞4．已知圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，若6cos 4BOC ∠=，则OA OC ⋅= （）A ．BC ．D 5．已知函数()1xf x ax x =++，若()02f '=，则()2f =（）A ．83B ．2C ．53D ．36．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b ==，且12CA CB ⋅=- ，则c =（）A ．2B ．C D7．已知sin18m ︒=，则cos 2424︒+︒=（）A ．242m-B ．224m-C ．4D ．4-8．已知{}n a 为等差数列，公差为黄金分割比512（约等于0.618），前n 项和为n S ，则()2106842a a S S -+-=（）A 1-B 1+C ．16D ．49．2022年8月26日，河南平顶山抽干湖水成功抓捕了两只鳄雀鳝，这一话题迅速冲上热搜榜．与此同吋，关于外来物种泛滥的有害性受到了热议．为了研究某池塘里某种植物生长面积S （单位：m 2）与时间t （单位：月）之间的关系，通过观察建立了函数模型()tS t ka =（t ∈Z ，0k >，0a >且1a ≠）．已知第一个月该植物的生长面积为1m 2，第3个月该植物的生长面积为4m 2，则该植物的生长面积达到100m 2，至少要经过（）A ．6个月B ．8个月C ．9个月D ．11个月10．已知()e xf x x =，过1,02P ⎛⎫⎪⎝⎭作曲线()y f x =的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（）A ．3e2B ．23e C ．2e D11．已知函数()()sin 034f x A x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，若4T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 的图象向左平移2π个单位长度，得到奇函数()g x 的图象，则2f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．2-B ．2C ．D 12．已知数列{}n a 的通项公式为()2(1)n n a n n =--，前n 项和为n S ，则满足212023n S +≤-的最小正整数n 的值为（）A ．28B ．30C ．31D ．32二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知点()1,2A ，()2,3B -，则与AB垂直的单位向量的坐标为______．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若945S =，且8996a a +=，则123a a +=______．15．已知函数()2sin f x x =的导函数为()f x '，()()()g x f x f x =+'，则函数()g x 图象的对称中心为______．16．已知函数()231sin 3e 12xf x x π⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()f x 在[],ππ-上的最大值与最小值之和为______．三、解答题，本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知复数z 的共轭复数为z ，()()2i 3i zm m -=+∈R （其中i 为虚数单位）．（1）若6z z +=，求z ；（2）若3z z ⋅<，求m 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知命题p ：()21,02,0x a x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪+≤⎩的最小值为1-，命题q ：x ∀∈R ，2420x x a -+≥恒成立．（1）若p ⌝为真，求实数a 的取值范围；（2）若()p q ∧⌝为真，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且sin cos a B A =．（1）若2c b =，求证：ABC △为直角三角形；（2）若ABC △的面积为6a =，求ABC △的周长．20．（本小题满分12分）已知向量()cos ,sin a x x =，()cos ,cos sin b x x x =- ，向量b 在a 上的投影记为()f x ．（1）若()a ab ⊥-，求()f x 的值；（2）若()2f x =，求b ．21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n s a =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()()1122n n n n a b a a ++=+⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）若()10nn c n a =-，数列{}n c 的前n 项和为n A ，求n A 的最大值．22．（本小题满分12分）已知函数()()2ln exf x x k k =+∈R ．（1）若1x =是()f x 的一个极值点，求()f x 的极值；（2）设()ln e x x h x =的极大值为()0h x ，且()f x 有零点，求证：02e x kx ≥-．豫南九校2022-2023学年上期第二次联考高三数学（文）参考答案123456789101112CBDAADBCBCAD1．【答案】C【解析】由题意，得{}{}220,1,2A x x =∈-<≤=N ，又{}04B x x =<<，故{}1,2A B ⋂=．故选C ．2．【答案】B【解析】()()()()43i 1i 43i 17i 17i 1i 1i 1i 222----===-++-．故选B ．3．【答案】D【解析】由24x x >，得04x <<，由题意，得24m≥，即(][),22,m ∈-∞-⋃+∞．故选D ．4．【答案】A【解析】由cos 4BOC ∠=，得cos 4AOC ∠=-，故6224OA OC ⎛⎫⋅=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭．故选A ．5．【答案】A 【解析】由()1x f x ax x =++，得()()211f x a x +'=+，故()012f a ='+=，故1a =，故()1x f x x x =++，故()282233f =+=．故选A ．6．【答案】D【解析】由12CA CB ⋅=- ，得1cos 2ab C =-．又22a b ==，故1cos 4C =-，由余弦定理，得22212cos 4122164c a bab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故c =D ．7．【答案】B 【解析】()1cos 24242cos 24sin 242cos 60242cos3622⎛⎫︒+︒=⨯︒+︒=︒-︒=︒ ⎪ ⎪⎝⎭()()222212sin 1821224m m =⨯-︒=⨯-=-．故选B ．8．【答案】C 【解析】设{}n a 的公差为d ，则d 是方程210x x +-=的一个解，则21d d +=，故()()()2221068424161616a a S S d d d d -+-=+=+=．故选C ．9．【答案】B【解析】由题意，得()()31134S ka S ka ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得122k a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故()11222t t S t -=⨯=．令()12100t S t -=>，结合t ∈Z ，解得8t ≥，即该植物的生长面积达到100m 2时，至少要经过8个月．故选B ．10．【答案】C 【解析】由()e x f x x =，得()()1e x f x x +'=，设切点坐标为()000,e x x x ，则切线方程为()()00000e 1e x x y x x x x -=+-，把点1,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入并整理，得()000112x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，解得01x =或012x =-（舍去），故切线斜率为()12e f '=．故选C ．11．【答案】A 【解析】∵2T πω=，∴3sin 44T f A π⎛⎫==⎪⎝⎭2A =，∴()2sin 24g x x ππω⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∵()g x 为奇函数，∴()00g =，即()24k k ωπππ+=∈Z ，∴()122k k ω=-∈Z ．又03ω<<，∴32ω=，∴()32sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴2sin 222f ππ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选A ．12．【答案】D 【解析】由题意，得()()()()222222212143221n S n n +⎡⎤=-+-++---⎣⎦ ()()22112345221n n n ⎡⎤+--+-+-+⋅⋅⋅+-+⎣⎦()()()()()()()221124334221212(21)21n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯++-⨯++⋅⋅⋅+---+-+--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()2222121234221121122n n n n n n n n n +=++++⋅⋅⋅+-+++=+++=-+，由212023n S +≤-，得()222023n n -+≤-，即220232n n +≥，结合*n ∈N ，解得32n ≥，故n 的最小值为32．故选D ．13．【答案】10310,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10310,1010⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】由题意，得()3,1AB =- ．设与AB 垂直的向量为(),a x y =，由0AB a ⋅= ，得30x y -+=，即3y x =，当a的坐标是()1,3时，可得与AB 垂直的单位向量为a a ± ，即10310,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10310,1010⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：10310,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10310,1010⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．14．【答案】182【解析】因为945S =，所以()19599452a a a +==，解得55a =．又8951296a a a a +=+=，所以1291a =，所以123122182a a a +==．故答案为：182．15．【答案】(),04k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z【解析】由()2sin f x x =，得()2cos f x x ='，故()2sin 2cos 4g x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令()4x k k ππ+=∈Z ，得()4x k k ππ=-+∈Z ．故答案为：(),04k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ．16．【答案】-6【解析】由题意，得()2321sin 31cos 3e 12e 1xx f x x x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=---⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，把()f x 的图象向上平移3个单位长度，可得函数()21cos e 1x g x x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭的图象．当[],x ππ∈-时，()()()221cos 1cos e 1e 1x x g x x x g x -⎛⎫⎫-=---=-=- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，即()g x 为奇函数，在[],ππ-上的最大值与最小值之和为0，故()f x 在[],ππ-上的最大值与最小值之和为6-．故答案为：6-．17．【解析】由()2i 3i z m -=+，得()()()()3i 2i 3i 236i 2i 2i 2i 55m m m m z +++-+===+--+．（2分）∴236i 55m m z -+=-．（3分）（1）由6z z +=，得23265m -⨯=，解得9m =，∴33i z =+，故z ==．（6分）（2）由3z z ⋅<，得22236355m m -+⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（8分）即26m<，解得m <<∴m 的取值范围是(．（10分）18．（1）对于命题p ，当0x >时，()12f x x a a x=++≥+，当且仅当1x =时取等号，故当0x >时，()f x 的最小值为2a +．（2分）当0x ≤时，()()22211f x x x x =+=+-，当1x =-时，()f x 的最小值为1-．（4分）由()f x 的最小值为1-，得21a +≥-，即3a ≥-．即若命题p 为真，则3a ≥-．（5分）故若命题p ⌝为真，则3a <-，即实数a 的取值范围是(),3-∞-．（6分）（2）对于命题q ，由x ∀∈R ，2420xx a -+≥，得Δ1680a =-≤，解得2a ≥．即若命题q 为真，则2a ≥．（9分）故若q ⌝为真，则2a <．由()p q ∧⌝为真，得32a -≤<，即实数a 的取值范围为[)3,2-．（12分）19．【解析】由sin cos a B A =及正弦定理，得sin sin cos A B B A =，又sin 0B >，故tan A =()0,A π∈，故3A π=．（3分）（1）因为2c b =，所以结合余弦定理，得22222222cos 423a b c bc A b b b b =+-=+-=，所以22224ab bc +==，所以ABC △是以C 为直角的直角三角形．（6分）（2）由ABC △的面积为1sin 2bc A =8bc =，（8分）由6a =，结合余弦定理，得()()222222cos 32436a b c bc A b c bc b c =+-=+-=+-=，所以b c +=（11分）故ABC △的周长为6．（12分）20．【解析】（1）由题意，得()a b f x a b a⋅==⋅，由()a ab ⊥-，得()0a a b ⋅-=，（2分）即20a a b -⋅= ，21a b a ⋅== ，∴()1f x =．（4分）（2）由（1），得()()2215cos sin cos sin sin 2cos 2sin 222f x a b x x x x x x x ϕ=⋅=+-=+=+ （其中25sin 5ϕ=，5cos 5ϕ=）．（6分）令()()55sin 222f x x ϕ=+=，得()sin 21x ϕ+=，∴()222x k k πϕπ+=+∈Z ，（8分）∴()222x k k ππϕ=+-∈Z ，（8分）∴sin 2sin 2cos 25x k ππϕϕ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭，cos 2cos 2sin 25x k ππϕϕ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭．（10分）∴b ===．（12分）21．【解析】（1）由22n n S a =-，得1122S a =，得12a =，当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=，（2分）∴{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴{}n a 的通项公式为2n n a =．（4分）（2）由（1），得()()111211222222222n n n n n n b +++⎛⎫==- ⎪+++⋅+⎝⎭，（5分）∴11111111124661010182222n n n T +⎛⎫=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪++⎝⎭111112422221n n+⎛⎫=⨯-=- ⎪++⎝⎭．（7分）（3）∵()()10102n nn c n a n =-=-⋅，∴当9n ≤时，0n c >；当10n =时，0n c =；当11n ≥时，0n c <．∴当9n =或10时，n A 取得最大值，且910A A =．（9分）239992827212A =⨯+⨯+⨯++⨯ ．①∴234109292827212A =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯．②②-①，得()923910941218222218202612A ⨯-=-+++⋅⋅⋅++=-=-，∴n A 的最大值为2026．（12分）22．【解析】（1）解法一：由()2ln e x f x x k =+，得()()2e 0xf x k x x=+>'，由1x =是()f x 的一个极值点，得()10f '=，即2e 0k +=，即2ek =-．（2分）此时，()12ln 2ex f x x -=-，()()1121e 22e x x x f x x x---=-='，设()()11e 0x g x x x -=->，则()()11e 0x g x x -'=-+<，即()g x 在()0,+∞上单调递减．（3分）又()10g=，所以当()0,1x ∈时，()0g x >，即()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x <，即()0f x '<．所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 有极大值()12f =-，无极小值．（5分）解法二：由()2ln e x f x x k =+，得()()2e 0xf x k x x=+>'，由1x =是()f x 的一个极值点，得()10f '=，即2e 0k +=，即2ek =-．（2分）此时，()12ln 2e x f x x -=-，()122e x f x x-=-'，显然()f x '是减函数，又()10f '=，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<．所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 有极大值()12f =-，无极小值．（5分）（2）由()ln e x x h x =，得()()1ln 1ln 0e ex x xx x x h x x x --==>'．（6分）设()1ln x x x ϕ=-，则()ln 1x x ϕ'=--．令()0x ϕ'=，得1ex =．当10e x <<时，()0x ϕ'>，当1e x >时，()0x ϕ'<，故()x ϕ在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()x ϕ的极大值为1110e e ϕ⎛⎫=+>⎪⎝⎭．（8分）当10ex <<时，()0x ϕ>．又()110ϕ=>，()212ln 20ϕ=-<，故()x ϕ存在唯一的零点0x ，且()01,2x ∈．由()0001ln 0x x x ϕ=-=，得001ln x x =．（10分）当()00,x x ∈时，()0x ϕ>，即()0h >，当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ<，即()0h x '<，即()hx 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减．故()hx 的极大值为()00000ln 1e e x x x h x x ==，（11分）令()0f x =，得2ln e 0x x k +=，即1ln 2e x xk -=．由()f x 有零点，得00112e x k x -≤，即02e x kx ≥-．（12分）。
2022-2023学年江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学(文)试卷含答案
高三数学考试（文科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2280A x x x =--<，{}4,2,1,1,2,4B =---，则A B = （）A ．{}1,1,2-B ．{}2,1,1,2,4--C ．{}2,1,1--D ．{}4,2,1,1,2---2．已知复数z 满足i 212i z +=+，则z =（）A ．2i--B ．2i-+C ．2i-D ．2i+3．要得到2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向右平移6π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度4．函数()2cos 31xx f x x =+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．若α是第二象限角，且5sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．3-B ．3C ．13-D ．136．某数学兴趣小组的学生为了了解会议用水的饮用情况，对某单位的某次会议所用矿泉水饮用情况进行调查，会议前每人发一瓶500ml 的矿泉水，会议后了解到所发的矿泉水饮用情况主要有四种：A ．全部喝完；B ．喝剩约13；C ．喝剩约一半；D ．其他情况．该数学兴趣小组的学生将收集到的数据进行整理，并绘制成所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，本次调查中会议所发矿泉水全部喝完的人数是（）A ．40B ．30C ．22D ．147．在四棱雉P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，PA AB =，2PH HC = ，E ，F 分别是棱CD ，PA 的中点，则异面直线BH 与EF 所成角的余弦值是（）A ．13B ．33C ．63D ．2238．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()2,0A 的直线l 与抛物线C 交于，P ，Q 两点，则4PF QF +的最小值是（）A ．8B ．10C ．13D ．159．当光线入射玻璃时，表现有反射、吸收和透射三种性质．光线透过玻璃的性质，称为“透射”，以透光率表示．已知某玻璃的透光率为90%（即光线强度减弱10%）．若光线强度要减弱到原来的125以下，则至少要通过这样的玻璃的数量是（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.477≈）A ．30块B ．31块C ．32块D ．33块10．已知()f x 是定义在()(),00,-∞+∞ 上的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，当0x >时，()()20xf x f x '+>．若()20f =，则不等式()30x f x >的解集是（）A ．()(),20,2-∞-B ．()(),22,-∞-+∞ C ．()()2,02,-+∞ D ．()()2,00,2- 11．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体1111ABCD A B C D -的上底面1111A B C D 绕着其中心旋转45︒得到如图2所示的十面体ABCD EFGH -．已知2AB AD ==，AE =，则十面体ABCD EFGH -外接球的球心到平面ABE 的距离是（）A ．(51248π-B ．364312+C ．(81248π+D ．(81212π+12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x --=-，()()23g x f x ++=．若()f x 的图象关于直线1x =对称，且()33f =-，则()221k g k ==∑（）A ．80B ．86C ．90D ．96二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知向量(),2AB m = ，()1,3AC = ，()4,2BD =--，若B ，C ，D 三点共线，则m =________．14．已知实数x ，y 满足约束条件230301x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y =-的最大值为________．15．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos 14B =，且ABC △的周长和面积分别是10和215b =________．16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线交双曲线C 的右支于点P ，切点为M ．若13PM MF = ，则双曲线C 的离心率为________．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足310a =，2a ，4a ，7a 成等比数列．（1）求{}n a 的前n 项和n S ；（2）记26n n b S =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀，大小与颜色相同的，且每个小球上标有1，2，3，4，5，6这6个数字中的一个，每个号都有若干个乒乓球．抽奖顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用x 表示取出的小球上的数字，当5x ≥时，该顾客积分为3分，当35x ≤<时，该顾客积分为2分，当3x <时，该顾客积分为1分．以下是用电脑模拟的抽芕，得到的30组数据如下：131163341241253126316121225345（1）以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖1次，积分为3分和2分的概率：（2）某顾客抽奖3次，求该顾客至多有1次的积分大于1的概率．19．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，D ，E 分别是棱BC ，1BB 的中点．（1）证明：平面1AC D ⊥平面1A CE ．（2）求点1C 到平面1A CE 的距离．20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率是22，点()0,2M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）已知()0,1P ，直线():0l y kx m k =+≠与椭圆C 交于A ，B 两点，若直线AP ，BP 的斜率之和为0，试问PAB △的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数()xf x e ax =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若4a ≥，证明：对于任意[)1,x ∈+∞，()2323f x x ax >-+恒成立．（参考数据：ln10 2.3≈）（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 22sin x y αα=-+=+⎧⎨⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos 2sin 40ρθρθ-+=．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）已知()4,0P -，设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为Q ，求PQ 的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()31f x x =-+．（1）求不等式()82f x x ≤-+的解集；（2）若对任意的0x >，关于x 的不等式()f x ax ≥恒成立，求a 的取值范围．高三数学考试参考答案（文科）1．A 【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养．由题意可得{}24A x x =-<<，则{}1,1,2A B =- ．2．D 【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养．设(),z a bi a b =+∈R ，则()2212a bi i ai b i ++=+-=+，即221a b =⎧⎨-=⎩，解得2a =，1b =，故2z i =+．3．C【解析】本题考查三角函数的图象，考查数学运算的核心素养．因为2sin 22sin 23126y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度．4．B【解析】本题考查函数的图象，考查数学抽象的核心素养．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，则排除A ，D ；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，则排除C ．故选B ．5．D【解析】本题考查三角恒等变换，考查函数与方程的数学思想．因为α是第二象限角，且sin 5α=，所以cos 5α=-，所以1tan 2α=-，故11tan 112tan $141tan 312πααα-++⎛⎫+=== ⎪-⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭．6．C【解析】本题考查统计图表，考查数据分析的核心素养．由题中统计图可知参加这次会议的总人数为4040%100÷=，则所发矿泉水喝剩约一半的人数为10030%30⨯=，故会议所发矿泉水全部喝完的人数为1004030822---=．7．A 【解析】本题考查异面直线所成角，考查直观想象的核心素养．如图，分别取PB ，PH 的中点M ，N ，连接MF ，CM ，MN ．易证四边形CEFM 是平行四边形，则CM EF ∥，CM EF =．因为M ，N 分别是PB ，PH 的中点，所以MN BH ∥，则CMN ∠是异面直线BH 与EF 所成的角（或补角）．设6AB =，则CM EF ==，12PM PB ==，2CN PN ==，MN ==，故1cos 3CMN ==∠．8．C 【解析】本题考查抛物线的性质，考查数学运算的核心素养．设直线:2l x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立224x my y x=+=⎧⎨⎩，整理得2480y my --=，则128y y =-，故()21212416y y x x ==．因为11PF x =+，21QF x =+，所以122244454513PF QF x x x x +=++=++≥，当且仅当21x =时，等号成立．9．B【解析】本题考查指数、对数的运算，考查数学建模的核心素养．设原来的光线强度为()0a a >，则要想通过n 块这样的玻璃之后的光线强度()190%25na a ⨯<，即0.1925n <，即1lg 0.9lg25n <，即()21lg 22lg522033042lg312lg3..1247.071n ----+⨯>==≈--⨯-，故至少要通过31块这样的玻璃，才能使光线强度减弱到原来的125以下．10．B【解析】本题考查导数的运用，考查化归与转化的数学思想．设()()2g x x f x =，则()()()22g x xf x x f x ''=+．当0x >时，因为()()20xf x f x '+>，所以()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增．因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()()22g x x f x x f x g x -=--=-=-，则()g x 是奇函数．()30x f x >，即()0xg x >．因为()20f =，所以()()220g g -=-=，则()0xg x >等价于()00x g x ⎧>>⎪⎨⎪⎩或()00x g x ⎧<<⎪⎨⎪⎩，解得2x <-或2x >．11．B 【解析】本题考查多面体的外接球，考查直观想象的核心素养．由题中数据可知)221114A E =+=-，则11AA ==+．因为十面体ABCD EFGH -是由长方体1111ABCD A B C D -的上底面1111A B C D 绕着其中心旋转45︒得到的，所以长方体1111ABCD A B C D -的外接球就是十面体ABCD EFGH -的外接球．设十面体ABCD EFGH -外接球的半径为R ，则211224R +=．因为AE BE ==，2AB =，所以42sin7BAE =∠=．设ABE △外接圆的半径为r ，则22492sin 24BAE BE r ⎛⎫==⎪∠ ⎝⎭，则该十面体ABCD EFGH -外接球的球心到平面ABE的距离是364312=．12．C【解析】本题考查函数的基本性质，考查逻辑推理的核心素养．因为()y f x =的图象关于直线1x =对称，所以()()2f x f x =-，所以()()2f x f x +=-．因为()()25f x g x --=-．所以()()225f x g x ---=-，所以()()5f x g x ---=-．因为()()23g x f x ++=，所以()()3g x f x +-=，所以()()8g x g x +-=，则()g x 的图象关于点()0,4对称，且()04g =．因为()()25f x g x --=-，所以()()25f x g x --+=-，所以()()28g x g x ++=，所以()()248g x g x +++=，则()()4g x g x =+，即()g x 的周期为4．因为()33f =-，且()()23g x f x ++=，所以()16g =．因为()()28g x g x ++=，所以()32g =．因为()04g =，所以()24g =，则()()()()()()()22151234125161090k g k g g g g g g ==+++++=⨯+=⎡⎤⎣⎦∑．13．1-【解析】本题考查平面向量，考查数学运算的核心素养．由题意可得()1,1BC AC AB m =-=-．因为B ，C ，D 三点共线，所以BC BD ∥，所以()2140m --+=，解得1m =-．14．4【解析】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想．画出可行域（图略），当直线z x y =-经过()1,5A --时，z 取得最大值，最大值为4．15．3【解析】本题考查余弦定理，考查数学运算的核心素养．因为cos 14B =，所以sin 154B =，所以1158sin 2a ac B c ==16ac =．因为10a b c ++=，所以10a c b +=-，所以222210020a c ac b b ++=-+，所以2226820a c b b +-=-．由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即2228b a c =+-，所以2228a c b +-=，则68208b -=，解得3b =．16．53【解析】本题考查双曲线的性质，考查数形结合的数学思想．如图，取1PF 的中点N ，连接ON ．由题意可知1OM NF ⊥，OM a =，1OF c =．则1MF b =，ON c =．因为13PM MF =，所以14PF b =．因为O ，N 分别是线段11F F ，1PF 的中点，所以222PF ON c ==．由双曲线的定义可知12422PF PF b c a -=-=，即2b a c =+，即22242b a ac c =++．因为222b c a =-，所以223250c ac a --=，即23250e e --=，解得53e =．17．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意可得()()()1211121036a d a d a d a d +=+=++⎧⎪⎨⎪⎩，即121210330a d d a d +=-=⎧⎨⎩，2分因为0d ≠，所以16a =，2d =，4分则()21152n n n dS na n n -=+=+．6分（2）由（1）可知22211265623n n b S n n n n ⎛⎫===- ⎪+++++⎝⎭，9分则1211111111234455623n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，10分故11223339n n T n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭．12分评分细则：（1）第一问中，也可以将2a ，4a ，7a 用3a 和d 表示，从而求出d ，再根据前n 项和公式求出n S ；（2）第二问中，求出2233n T n =-+，不扣分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．18．解：（1）由题意可知某顾客抽奖1次，积分为3分的频率是61305=，则估计某顾客抽奖1次，积分为3分的概率为15．2分某顾客抽奖1次，积分为2分的频率是933010=，则估计某顾客抽奖1次，积分为2分的概率为310．4分（2）由（1）可知某顾客抽奖1次，积分为1分的概率是12，则某顾客抽奖1次，所得积分是1分和所得积分大于1分是等可能事件．6分设某顾客抽奖1次，积分为1分，记为A ，积分大于1分，记为a ，则某顾客抽奖2次，每次所得积分的情况为aaa ，aaA ，aAA ，aAa ，AAa ，AAA ，AaA ，Aaa ，共8种，8分其中符合条件的情况有aAA ，AAa ，AAA ，AaA ，共4种，10分故所求概率4182P ==．12分评分细则：（1）第一问中，直接求出概率，不予扣分；（2）第二问中，也可以先求出有2次和3次的积分大于1的概率，再由对立事件的概率计算公式求出该顾客至多有1次的积分大于1的概率；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．19．（1）证明：由正三棱柱的性质，易证1BCE D CC △≌△，则1BCE D CC ∠∠=，因为1190CC C D DC ∠∠+=︒，所以190C BCE C D ∠=∠+︒，即1CE C D ⊥．1分因为AB AC =，D 是棱BC 的中点，所以AD BC ⊥．由正三棱柱的定义可知1CC ⊥平面ABC ，则1CC AD ⊥．2分因为BC ，1CC ⊂平面11BCC B ，且1BC C CC = ，所以AD ⊥平面11BCC B ．3分因为CE ⊂平面11BCC B ，所以AD CE ⊥．4分因为AD ，1C D ⊂平面1AC D ，且1AD D C D = ，所以CE ⊥平面1AC D ．5分因为CE ⊂平面1A CE ，所以平面1AC D ⊥平面1A CE ．6分（2）解：连接1EC ．因为12AA AB ==，所以1E CC △的面积112222S =⨯⨯=．由正三棱柱的性质可知1AA ∥平面11BCC B ，则点1A 到平面11BCC B 的距离为AD ．因为ABC △是边长为2的等边三角形，所以AD =故三棱锥11A CC E -的体积11233V =⨯=．8分因为12AA AB ==，E 是1BB的中点，所以1A E CE ==，1A E =，则1E A C △的面积212S =⨯=设点1C 到平面1A CE 的距离是d ，则三棱锥11C A CE -的体积21633V d ==．10分因为12V V =，所以62333d =，解得d =12分评分细则：（1）第一问中，证出1CE D C ⊥，得1分，证出AD ⊥平面11BCC B ，得2分；（2）第二问中，也可以记1CE F C D = ，连接1A F ，过1C 作1A F 的垂线，垂足为H ，则1C F 是点1C 到平面1A CE 的距离；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．20．解：（1）由题意可得222222c a b c a b ===-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得28a =，24b =．3分故椭圆C 的标准方程为22184x y +=．4分（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22184y kx mx y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，整理得()222214280k x kmx m +++-=，则122421kmx x k +=-+，21222821m x x k -=+．5分设直线AP ，BP 的斜率分别是1k ，2k ，()()()121212121221212122121111124kx x m x x km m y y kx m kx m k k k x x x x x x m +-+---+-+-+=+=+=--．因为120k k +=，所以()221204km m k m --=-，解得4m =，7分则12AB x =-=，8分因为点P到直线l的距离d=，所以PAB△的面积2112221S AB dk===+．9分设t=，则2223k t=+，从而2626232442St t=≤=+，当且仅当24t=，即2234k-=，即272k=时，等号成立．11分经验证当272k=时，直线l与椭圆C有两个交点，则PAB△的面积存在最大值322．12分评分细则：（1）第一问中，求出b的值得1分，求出a的值得2分；（2）第二问中，没有检验直线l与椭圆C的位置关系，扣1分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．21．（1）解：由题意可得()xf x e a'=-．1分当0a≤时，()0f x'>，则()f x在R上单调递增；2分当0a>时，由()0f x'>，得lnx a>，由()0f x'<，得lnx a<，则()f x在()ln,a-∞上单调递减，在()ln,a+∞上单调递增．4分综上，当0a≤时，()f x在R上单调递增；当0a>时，()f x在()ln,a-∞上单调递减，在()ln,a+∞上单调递增．5分（2）证明:因为4a≥，且1x≥，所以4ax x≥，则要证()2323f x x ax>-+对于任意[)1,x∈+∞恒成立，即证233x e x ax>-+对于任意[)1,x∈+∞恒成立，即证2343x e x x>-+对于任意[)1,x∈+∞恒成立，即证23431xx xe-+<对一切[)1,x∈+∞恒成立．7分设()2343xx xg xe-+=，则()()()23713107x xx xx xg xe e----+-'==．8分当71,3x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x'>，当7,3x⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x'<，则()g x在71,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减．9分故()213777max33773437101000333g x g e e e ⎛⎫⨯-⨯+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．10分因为ln1023.≈，所以ln100067.9≈<，即71000e <，所以710001e<，则()max 1g x <．11分故23431xx x e-+<对一切[)1,x ∈+∞恒成立，即()2323f x x ax >-+对一切[)1,x ∈+∞恒成立．12分评分细则：（1）第一问中，正确求导得1分，判断出0a ≤的单调性，得1分，判断出0a >的单调性，得2分；（2）第二问中，构造出函数()g x 得1分，直接得出()137max 10001g x e ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，扣1分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．22．解：（1）由12cos 22sin x y αα=-+=+⎧⎨⎩，（α为参数），得()()22124x y ++-=，故曲线C 的普通方程为()()22124x y ++-=．3分由cos 2sin 40ρθρθ-+=，得240x y -+=，故直线l 的直角坐标方程为240x y -+=．5分（2）由题意可知点P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为254555x y =-+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，（t 为参数），6分将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，整理得25450t -+=．7分设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t，则125t t +=，8分故128525t t PQ +==．10分评分细则:（1）第一问中，曲线C 的普通方程写成222410x y x y ++-+=，不予扣分；（2）第二问中，也可以由点到直线的距离公式求出圆心C 到直线l 的距离d ，再由两点之间的距离公式求出CP 的值，最后根据勾股定理求出PQ 的值；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．23．解：（1）()82f x x ≤-+，即3182x x -+≤-+，等价于23182x x x <--++≤++⎧⎨⎩或232831x x x --++≤-≤-≤⎧⎨⎩或33182x x x >-+≤--⎧⎨⎩，3分解得34x -≤≤，即不等式()82f x x ≤-+的解集是[]3,4-．5分（2）当03x <<时，()f x ax ≥恒成立等价于()31a x x --+≥恒成立，6分则41a x ≤-在()0,3上恒成立，故13a ≤；7分当3x ≥时，()f x ax ≥恒成立等价于31x ax -+≥恒成立，8分则21a x ≤-在[)3,+∞上恒成立，故13a ≤．9分综上，a 的取值范围是1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．10分评分细则：（1）第一问中，也可以按2x <-，23x -≤≤和3x >这三种情况分别求出x 的取值范围，再求它们的并集，即不等式的解集，只要计算正确，不予扣分：（2）第二问中，最后结果没有写成集合或区间的形式，扣1分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．。
2023年江西省5市重点中学高考数学联考试卷(文科)+答案解析(附后)
2023年江西省5市重点中学高考数学联考试卷（文科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 若复数z满足，则( )A. B. C. 5 D. 173. 函数，则( )A. B. C. 1 D. 24. 已知双曲线C：的一条渐近线的斜率为2，焦距为，则( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知向量，，且，则向量的夹角是( )A. B. C. D.6.在直三棱柱中，是等边三角形，，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线BE与DF所成角的余弦值是( )A. B. C. D.7. 某校举行校园歌手大赛，5名参赛选手的得分分别是9，，，x，已知这5名参赛选手的得分的平均数为9，方差为，则( )A. B. C. D.8. 设函数的导函数为，若在其定义域内存在，使得，则称为“有源”函数.已知是“有源”函数，则a的取值范围是( )A. B. C. D.9. 如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现用红色和蓝色给这4个三角形区域涂色，每个区域只涂一种颜色，则相邻的区域所涂颜色不同的概率是( )A. B. C. D.10. 已知函数，则( )A. 的最小正周期是B. 在上单调递增C. 的图象关于点对称D. 在上的值域是11. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，则的取值范围是( )A. B. C. D.12. 已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为______ .13. 已知是第二象限角，且，则______ .14. 已知是定义在上的减函数，且的图象关于点对称，则关于x的不等式的解集为______ .15. 已知抛物线：的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线，，且直线，分别与抛物线C交于A，B和D，E，则四边形ADBE面积的最小值是______ .16. 国际足联世界杯，简称“世界杯”，是由全世界国家级别球队参与，象征足球界最高荣誉，并具有最大知名度和影响力的足球赛事年卡塔尔世界杯共有32支球参加比赛，共有64场比赛.某社区随机调查了街道内男、女球迷各200名，统计了他们观看世界杯球赛直播的场次，得到下面的列联表：求a的值，并完成列联表；少于32场比赛不少于32场比赛总计男球迷女球迷a总计若一名球迷观看世界杯球赛直播的场次不少于32场比赛，则称该球迷为“资深球迷”，请判断能否有的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关.参考公式：，其中参考数据：17. 已知正项数列的前n项和满足求的通项公式；设，数列的前n项和为，证明：18. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是直角梯形，，，，，，E是棱PB的中点.证明：平面ABCD；若F是棱AB的中点，，求点C到平面DEF的距离.19. 已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，E的离心率为，斜率为k的直线l过E的左焦点，且直线l与椭圆E相交于A，B两点.若，，求椭圆E的标准方程；若，，，求k的值.20. 已知函数当时，求曲线在处的切线方程；若对任意的，恒成立，求a的取值范围.21. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值.22. 已知函数求的最小值；若，不等式恒成立，求a的取值范围.答案和解析1.【答案】A【解析】解：，，故选：解不等式求得集合B，由交集定义可求得结果．本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：，，故选：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由，得，则故选：根据函数解析式，先求出，进而可求．本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：双曲线C：的渐近线方程为，由题意可得，即有，又，，故选：求出双曲线的渐近线方程，可得，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程，考查运算能力，属基础题．5.【答案】D【解析】解：，，，又，故选：由可求得，根据向量夹角公式可求得结果．本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：取等边的AC边的中点O，连接OB，则，过O作的平行线，则以O为原点，分别以OB、OC、Oz为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设等边的边长为2，则根据题意可得：，，，，，，，，异面直线BE与DF所成角的余弦值为，故选：取等边的AC边的中点O，以O为原点建立空间直角坐标系，运用异面直线所成角的计算公式即可得结果．本题考查向量法求解异面直线所成角问题，向量夹角公式的应用，属中档题．7.【答案】D【解析】解：因为平均数为，所以，因为方差为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以故选：先由平均数和方差分别得到和的值，再整体代入计算的值即可．本题主要考查了数据的数字特征，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：，，由“有源”函数定义知，存在，使得，即有解，记，所以a的取值范围是函数的值域，则，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，所以，所以，即a的取值范围是故选：根据“有源”函数概念，转化为函数有解问题，利用导函数求出函数值域即可得到参数a的范围．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：将四块三角形区域编号如下，由题意可得总的涂色方法有种，若相邻的区域所涂颜色不同，即12同色，34同色，故符合条件的涂色方法有2种，故所求概率故选：根据古典概型概率的计算公式即可求解．本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：，对于A，的最小正周期，A错误；对于B，当时，，此时单调递减，在上单调递增，B正确；对于C，令，解得，此时，的图象关于点对称，C错误；对于D，当时，，则，在上的值域为，D错误．故选：利用两角和与差的余弦公式、二倍角和辅助角公式化简，再根据正弦型函数的图象与性质判断各选项即可．本题主要考查了三角函数的恒等变换和三角函数的图象和性质，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：，，由正弦定理得：，即，，或，解得或舍去，又为锐角三角形，则，，解得，，又，，，，即的取值范围故选：由正弦定理边化角可得，由为锐角三角形可得，运用降次公式及辅助角公式将问题转化为求三角函数在上的值域．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．12.【答案】9【解析】解：由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，当取得最大值时，在y轴截距最大，由图形可知：当过点A时，在y轴截距最大，由得，即，故答案为：由约束条件作出可行域，将问题转化为在y轴截距最大值的求解，采用数形结合的方式可求得结果．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．13.【答案】【解析】解：是第二象限角，，，，故答案为：利用同角三角函数关系和二倍角正弦公式可直接求得结果．本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：设函数，因为的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，故是定义在上的奇函数．因为是定义在上的增函数，所以也是定义在上的增函数．由，得，即，即，则，解得，即不等式的解集为故答案为：构造函数，利用其单调性奇偶性解不等式即可．本题考查函数的性质，奇偶性，单调性，属于中档题．15.【答案】128【解析】解：不妨设直线的倾斜角为，，则直线的倾斜角为，对，设A到准线的距离为d，则根据抛物线的定义可得：，，同理可得，，同理可得，四边形ADBE面积为：，，当时，四边形ADBE面积取得最小值为，故答案为：根据抛物线的倾斜角的弦长公式，函数思想，即可求解．本题考查抛物线的倾斜角的弦长公式的应用，函数思想，属中档题．16.【答案】解：由题意可得，解得列联表如下：少于32场比赛不少于32场比赛总计男球迷100100200女球迷12080200总计220180400，因为，所以有的把握认为该社区的一名球迷是否为“资深球迷”与性别有关．【解析】根据男、女球迷各200名，把表格填完整；直接代入公式计算即可．本题考查独立性检验，属于基础题．17.【答案】解：因为①，所以②，由②-①得，，即，因为，所以又由解得，故数列为等差数列，公差故；证明：因为，所以所以【解析】由，两式相减得，再由得，然后求出，说明数列为等差数列，进而求得通项公式；由先求出，然后利用裂项求和求出即可证明．本题主要考查等差数列的定义、通项公式、裂项相消法在数列求和中的应用、不等式的放缩等基础知识，属于中档题．18.【答案】解：证明：连接BD，，，，又，，为棱PB中点，，又，，PC，平面PBC，平面PBC，又平面PBC，；在直角梯形ABCD中，取CD中点M，连接BM，，，又，，，四边形ABMD为正方形，，，，又，，，，BD，平面PBD，平面PBD，平面PBD，；，，，，又，BC，平面ABCD，平面，，，，由知：平面ABCD，，则点E到平面ABCD的距离，；，，，，F分别为棱PB，AB中点，，，，，，，，，由余弦定理得：，则，，设点C到平面DEF的距离为，，解得：，即点C到平面DEF的距离为【解析】由线面垂直判定可证得平面PBC，进而得到；利用勾股定理和线面垂直的判定得到平面PBD，从而得到；利用勾股定理可证得，由此可得结论；设点C到平面DEF的距离为，利用等体积转换的方式，由，结合棱锥体积公式可构造方程求得结果．本题考查线面垂直的判定以及点到平面的距离求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：由，，可得，，椭圆E的方程化为：直线l的方程为，联立，化为，解得，；，，解得，椭圆E的标准方程为设，，直线l的方程为，，，，，，解得，，联立，化为，，，，又，解得，，，【解析】由，，可得，，椭圆E的方程化为：直线l的方程为，联立化为，解得点A，B坐标，利用两点之间的距离公式即可得出a，b，c，可得椭圆E的标准方程．设，，直线l的方程为，根据，，，及其椭圆的定义可得，，直线l的方程与椭圆方程联立化为，利用根与系数的关系即可得出m，本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相似三角形的性质、一元二次方程的根与系数的关系、转化方法、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：当时，，所以，所以，，所以所求切线方程为，即对任意的，恒成立，等价于对任意的，恒成立．①当时，显然成立．②当时，不等式等价于设，所以设，则当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．因为，所以，又因为在中，，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即a的取值范围为【解析】根据切点处导函数值等于切线斜率，运用点斜式求切线方程即可；分，，两种情况解决，当时，参数分离得，设，得，设，求导讨论单调性，得在上单调递减，在上单调递增，即可解决．本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：，①②得，根据极坐标方程与直角坐标方程关系可知直线l的直角坐标方程为：；由可知点过直线l，故直线l的参数方程可写为为参数，代入曲线C的普通方程得，由韦达定理可知：，，所以【解析】曲线C的参数方程通过平方消元得到普通方程；通过极坐标方程与直角坐标方程关系得到直线l的直角坐标方程；由题可知点P过直线l，利用直线的参数方程中参数与定点位置关系即可列式计算．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．22.【答案】解：当时，，当时，，当时，，综上，，由此可知由可知，解得，当时，欲使不等式恒成立，则，即，解得，即a的取值范围是值；本题主要考查不等式恒成立问题，函数最值的求法，绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．。
2021年高三上学期联考数学(文)试题 Word版含答案
2021年高三上学期联考数学（文）试题 Word版含答案一、选择题(本题共12小题,每题5分,共60分)1、设全集，集合，则集合=（）A. B. C. D.2.下列命题中正确的个数是（）①命题“任意”的否定是“任意；②命题“若，则”的逆否命题是真命题；③若命题为真，命题为真，则命题且为真；④命题”若，则”的否命题是“若，则”.A.个B.个C.个D. 4个3. 如右图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，所表示的数是( )A.2B.4C.6D.84.若复数满足，(3-4i)z=5，则的虚部为( )A． B．C． D．5.某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为 ( )A. B.C. D.6.，且，则的最小值是（）.A． 24 B． 16 C． 8D． 47.已知是等比数列，，，则（）A． B． C．或 D．以上都不对8．已知函数f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，则（）A．f(3)＜f(－2)＜f(1) B．f(1)＜f(－2)＜f(3) C．f(－2)＜f(1)＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜f(－2)9．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用22列联表进行独立性检验，经计算K 2=7．069，则所得到的统计学结论为：有多大把握认为“学生性别与支持该活动有关系”是（ ） 附：A. 0．1％B. 1％C. 99％D. 99．9％10. ，函数图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则值等于 （ ） A.B.C.D. -11.函数，下列结论不正确．．．的是( ) A. 此函数为偶函数 B. 此函数是周期函数 C ．此函数既有最大值也有最小值D ．方程的解为12.在中，已知，，若点在斜边 上，且，则的值为( )A ．48B ．24C ．12D ．6 二、填空题（本题共4小题,每题5分,共20分）13.设曲线 在点(2 ,1 )处的切线与直线垂直，则 ． 14．已知a =（1，2），b =（0，1），c =（一2，k ），若（a+2b ）⊥c ，则k=15.已知a ＞0，x ，y 满足约束条件，若z=2x+y 的最小值为0，则a= ．16.已知数列满足，则的最小值为 ．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知的三内角所对的边的长分别为.设向量，，且. （1）求； （2）若，求的面积．18．（本小题满分12分）函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，该图象与y 轴交于点F （0，1），与x 轴交于B ，C 两点，M 为图象的最高点，且△MBC 的面积为． （1）求函数f （x ）的解析式及单调增区间；ACDB（2）若f（a﹣）=，求cos2（a﹣）的值．19.（本小题满分12分）已知数列是公差大于零的等差数列，数列为等比数列，且.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列前项和．20.（本小题满分12分）某高三年级从甲（文）乙（理）两个年级组各选出7名学生参加高校自主招生数学选拔考试，他们取得的成绩（满分：100分）的茎叶图如图所示，其中甲组学生的平均分是85分，乙组学生成绩的中位数是83分.（1）求和的值；（2）从成绩在90分以上的学生中随机取两名学生，求甲组至少有一名学生的概率。
高三数学上学期联考试题文含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校怀远一中蒙城一中一中涡阳一中2021届高三上学期“五校〞联考数学〔文〕试卷第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.集合，假设，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】A.....................所以，所以，应选A.2.假设，那么〕A. B. C. D.【答案】A【解析】假设，那么 A.3.是公差为的等差数列，为的前项和，假设，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，根据等差数列的性质，可得，又数列的公差为，所以，应选C．4.以下四个条件：①；②；③；④，能推出成立的有〔〕A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】①中，因为，所以，因此①能推出成立；②中，因为，所以，所以，所以，因此②正确的；③中，因为，所以，所以③不正确的；④中，因为，所以，所以③正确的；应选C.5.函数，那么以下结论正确的选项是〔〕A.是奇函数B.是增函数C.是周期函数D.的值域为【答案】D所以；当，所以，所以，所以函数的值域，应选D.6.在中，,那么边上的高等于〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】在中，由于余弦定理得，又因为，代入可得，整理得，所以，又由正弦定理得，作，所以，应选A.7.非零向量满足，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】因为在方向上的投影与在方向上的投影相等，设这两个向量的夹角为，那么，又由且，所以，应选B.8.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，那么以下说法正确的选项是〔〕A.是奇函数B.的周期为C.的图象关于直线对称D.的图象关于点的对称【答案】C【解析】将函数的图象向左平移个单位，得到函数，结合余弦函数的图象，可得此时函数的图象关于直线对称，应选C.9.非零向量满足，向量的夹角为，且，那么向量与的夹角为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以与的夹角为，应选B．10.正项等比数列满足，假设存在两项使得，那么的最小值为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】因为正项等比数列满足，所以，即，解得，因为存在两项使得，所以，整理，得，所以，所以，当且仅当时，即等号成立，应选B.11.在关于的不等式的解集中至多包含个整数，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】因为关于的不等式可化为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，要使得解集中至多包含个整数，那么且，所以实数的取值范围是，应选D.点睛：此题主要考察了不等式解集中整数解的存在性问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解，元素与集合的关系等知识点的综合应用，试题比较根底，属于根底题，同时着重考察了分类讨论思想的应用，解答中正确求解不等式的解集是解答的关键.12.定义在上的函数是它的导函数，那么恒有成立，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意，设，那么，又由当时，恒有成立，那么，那么函数在上为增函数，又因为，所以，即，即，应选B.点睛：此题主要考察了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到导数的公式的逆用，利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性比较函数值的大小等知识点的运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中根据题意构造新函数，利用新函数的单调性比较大小是解答的关键.第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕13.变量满足约束条件，那么的最小值是__________．【答案】【解析】由，得，作出不等式组对应的平面区域，如下列图，平移直线，由图象可知，当直线经过原点时，函数获得最小值，此时14.对于数列，定义数列为数列的“倍差数列〞，假设的“倍差数列〞的通项公式为，那么数列的前项和__________．【答案】【解析】由题意得，可得，且，那么，所以数列表示首项为，公差的等差数列，所以，所以，那么，两式相减可得，解得.15.函数在上单调递增，那么实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意，可得，假设在递增，那么在恒成立，那么在恒成立，令，，那么，令，解得，令，解得，所以在递增，在递增，故，故，所以实数的取值范围是.点睛：此题主要考察了恒成立的求解问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值的综合应用，同时考察了利用别离参数求解恒成立问题的方法，着重考察了转化与化归思想，以及学生的推理与运算才能.16.在中，点在线段的延长线上，且，点在线段上〔与点不重合〕，假设，那么的取值范围是__________．【答案】【解析】因为，因为，点在线段上，所以，因为，所以.点睛：此题主要考察了平面向量的根本定理的应用，试题比较根底，属于根底题，这种题目可以出如今解答题中，也可单独出现，主要表示向量时，一般从向量的起点出发，绕着图形的边到达终点，正确作出表示是解答的关键，着重考察了学生的推理与运算才能.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17.函数.〔1〕求的最小正周期及单调递增区间；〔2〕假设在区间上的最大值与最小值的和为，求的值.【答案】〔1〕，.〔2〕.解析】〔1〕，所以最小正周期，由，得，故函数的单调递增区间是.〔2〕因为，所以，所以，因为函数在上的最大值与最小值的和为，所以.【解析】试题分析：〔1〕化简，从而可求的最小正周期及单调递减区间.〔2〕由，得出，从而可求在区间上的值域，即可求解实数的值.试题解析：〔1〕，所以最小正周期，由，得，故函数的单调递增区间是.〔2〕因为，所以，所以，因为函数在上的最大值与最小值的和为，所以.18.的内角的对边分别为向量与平行.〔1〕求；〔2〕假设，求的面积.【答案】〔1〕.〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕利用向量平行，列出方程，利用正弦定理，化简求解即可；〔2〕利用余弦定理求出,然后利用三角形的面积公式求解即可.试题解析：〔1〕因为，所以，由正弦定理，得，又，从而，由于，所以.〔2〕由余弦定理，得，而，得，即，因为，所以，故的面积为.19.是等差数列的前项和，且.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕设数列的前项和，求.【答案】(1).〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕设等差数列的公差为，由，利用等差数列的通项公式及其前项和公式，即可求得通项公式；〔2〕利用“裂项求和〞，即可求出数列的和.试题解析：设等差数列的首项为，公差为，因为，所以，得，所以数列的通项公式为.〔2〕因为，，所以，所以，所以.20.二次函数与的图象有唯一的公一共点.〔1〕求的值；〔2〕设，假设在上是单调函数，求的范围，并指出是单调递增函数还是单调递减函数.【答案】〔1〕.〔2〕时，在上为减函数.【解析】试题分析：〔1〕由，列出方程组化简得，再由且，根据，得的值，进而得出的值；〔2〕由题意得转化为在上恒有或者成立，再根据二次函数的性质，即可求解实数的取值范围.试题解析：〔1〕由得，化简得，且，即有唯一解，所以，得，所以.〔2〕，那么，假设在上为单调函数，那么在上恒有或者成立，因为的图象是开口向下的抛物线，所以，解得，即时，在上为减函数.21.等比数列的所有项均为正数，首项，且成等差数列.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕记，数列的前项和，假设，务实数的值.【答案】〔1〕.〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕设数列的公比为，解得，即可求解数列的通项公式.〔2〕由〔1〕知，，又因为，所以，进求解的值.试题解析：〔1〕设数列的公比为，由条件可知成等差数列，所以，解得或者，因为，所以，所以数列的通项公式为.〔2〕由〔1〕知，，因为，所以，所以，所以.点睛：此题主要考察了等比数列的通项公式和数列中和的关系的应用，其中解答中涉及到等比数列中根本量的运算，以及数列和的关系求解数列的通项等知识点综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中注意数列和的关系的应用是解答的关键.22.定义在上的函数同时满足以下条件：①在上是减函数，在上是增函数；②是偶函数；③在处的切线与直线垂直.〔1〕取函数的解析式；〔2〕设，假设存在实数，使，务实数的取值范围.【答案】〔1〕.〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕根据在上是减函数，在上增函数，得，根据是偶数可求出，最后根据在处的切线与直线垂直，建立关系式即可求解函数的解析式；〔2〕分类参数，令，那么，再设，得到，进而得到函数的单调性和最值，即可求解实数的取值范围.因为，所以，即在上递减，试题解析：〔1〕，因为在上是减函数，在上增函数，所以，由是偶函数得，又在处的切线与直线垂直，所以.解得，即.〔2〕由的存在实数，使，即存在，使，设，那么，设，那么，因为，所以，即在上递减，于是，即，即，所以在上递减，所以，故的取值范围为.点睛：此题主要考察了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用到导数求解函数的极值与最值，同时考察了不等式的恒成立问题的求解，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中利用别离参数，构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键.。
2024届高三10月大联考(全国乙卷)文科数学含答案解析
2024届高三10月大联考（全国乙卷）文科数学一、单选题(共36 分)1已知集合A={x∈Z∣x2+1<5},B={−1,1,3}则A∪B中元素的个数为（）A3B4C5D6【答案】B【分析】化简集合A即可求出A∪B中元素的个数【详解】由题意因为A={x∈Z∣x2+1<5}={x∈Z∣x2<4}={−1,0,1},B={−1,1,3}所以A∪B={−1,0,1,3}有4个元素故选：B2已知命题p:∃x0≥0,√x0>x02则命题p的否定为（）A∃x0<0,√x0≤x02B∀x≥0,√x<x2C∀x<0,√x>x2D∀x≥0,√x≤x2【答案】D【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解【详解】解：因为命题p:∃x0≥0,√x0>x02是特称命题所以其否定为全称命题即“∀x≥0,√x≤x2”故选：D3若不等式x2−5ax+1<0的解集为(1a,a)则a=（）A−12B12C−14D14【答案】A 【分析】根据给定的解集结合一元二次方程根与系数的关系求解即得 【详解】由不等式x 2−5ax +1<0的解集为(1a ,a)得1a ,a 是方程x 2−5ax +1=0的两个根且1a <a 于是a +1a =5a 解得a =±12由a >1a 得−1<a <0或a >1因此a =−12且当a =−12时(−5a)2−4>0所以a =−12 故选：A4若函数f (x )={e x −x,x ≤3lnx −2,x >3则f(f (e 2))=（ ）A −1B −2 C1 D ln2−2【答案】C 【分析】先计算出f (e 2)=0进而求出f(f (e 2))=f (0)=1 【详解】因为e 2>3所以f (e 2)=lne 2−2=0所以f(f (e 2))=f (0)=e 0−0=1 故选：C5已知p:1<a <53,q:log a 43>2(a >0且a ≠1)则p 是q 的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】对于q ：利用对数函数单调性解得1<a <2√33再根据包含关系结合充分、必要条件分析判断 【详解】对于q ：因为log a 43>2=log a a 2（a >0且a ≠1）当0<a <1时y =log a x 在定义域内单调递减则a 2>43无解； 当a >1时y =log a x 在定义域内单调递增则a 2<43可得1<a <2√33；综上所述：不等式log a 43>2的解集为(1,2√33) 又因为(1,2√33)是(1,53)的真子集所以p 是q 的必要不充分条件 故选：B6函数f (x )=x 2log 42+x2−x 的大致图象是（ ）A B C D【答案】D 【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断 【详解】方法一：因为2+x2−x >0即(x +2)⋅(x −2)<0所以−2<x <2 所以函数f (x )=x 2log 42+x2−x 的定义域为(−2,2)关于原点对称又f (−x )=(−x)2log 42−x 2+x =−f (x )所以函数f (x )是奇函数其图象关于原点对称 故排除B,C ；当x ∈(0,2)时2+x2−x >1即log 42+x2−x >0因此f (x )>0故排除A 故选D方法二：由方法一知函数f (x )是奇函数其图象关于原点对称故排除B,C ； 又f (1)=12log 23>0所以排除A 故选：D7白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓经过长期研究一种全生物可降解塑料（简称PBAT ）逐渐被应用于超市购物袋､外卖包装盒等产品研究表明在微生物的作用下PBAT 最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然当其分解率（分解率=已分解质量总质量×100%）超过60%时就会成为对环境无害的物质为研究总质量为100g 的PBAT 的已分解质量y （单位：g ）与时间x （单位：月）之间的关系某研究所人员每隔1个月测量1次PBAT 的已分解质量对通过实验获取的数据做计算处理研究得出已分解质量y 与时间x 的函数关系式为y =100−e 4.6−0.1x 据此研究结果可以推测总质量为100g 的PBAT 被分解为对环境无害的物质的时间至少为（ ）（参考数据：ln40≈3.7） A8个月 B9个月 C10个月 D11个月【答案】C 【分析】根据题意令y =100−e 4.6−0.1x >60求解即可 【详解】令y =100−e 4.6−0.1x >60得0.1x >4.6−ln40≈0.9解得x >9故至少需要10个月总质量为100g 的PBAT 才会被分解为对环境无害的物质 故选：C8已知α,β∈(0,π2),α>β且cosα(cosα−cosβ)+sinα(sinα−sinβ)=15,sinαcosβ=710则sin (α+β)=（ ） A 45 B 35C 25D 310【答案】A 【分析】利用两角和与差的正弦公式和余弦公式化简即可 【详解】因为cosα(cosα−cosβ)+sinα(sinα−sinβ)=15cos 2α−cosαcosβ+sin 2α−sinαsinβ=15即1−cos (α−β)=15所以cos (α−β)=45因为α,β∈(0,π2),α>β所以0<α−β<π2所以sin (α−β)=35即sinαcosβ−cosαsinβ=35又sinαcosβ=710所以cosαsinβ=110所以sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=710+110=45 故选：A9已知O 是△ABC 所在平面内一点若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,x,y 均为正数则xy 的最小值为（ ） A 12 B 49C1D 43【答案】B 【分析】由题设O 是△ABC 的重心应用向量加法、数乘几何意义可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13y AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 根据MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得13x +13y =1最后应用基本不等式求xy 最小值注意等号成立条件 【详解】因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 所以点O 是△ABC 的重心 所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) 因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1yAN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 综上AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13y AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 因为MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以M,O,N 三点共线则13x +13y =1即1x +1y =3 因为x,y 均为正数所以1x +1y ≥2√1xy 则√1xy ≤32所以xy ≥49（当且仅当1x =1y =32即x =y =23时取等号） 所以xy 的最小值为49 故选：B10若函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示则下列说法正确的个数为（ ）①ω=2；②φ=−π6；③f (x )在(π2,5π6)上单调递减；④f (−π2)=√3 A1B2C3D4【答案】C 【分析】由图像经过的特殊点(5π12,2)和(π6,0)逐项判断即可 【详解】由题图得A =2最小正周期T =4×(5π12−π6)=π 又T =2πω=π所以ω=2故①正确；f (x )=2sin (2x +φ)又f (x )的图象过点(5π12,2) 所以2×5π12+φ=2kπ+π2,k ∈Z 所以φ=2kπ−π3,k ∈Z又|φ|<π2所以φ=−π3故②错误； f (x )=2sin (2x −π3)令t =2x −π3当π2<x <5π6时2π3<t <4π3函数y =sint 在(2π3,4π3)上单调递减故③正确；f (−π2)=2sin (−π−π3)=√3故④正确 故选：C11已知函数f (x )是偶函数当x >0时f (x )=|log 2x |−1则不等式x−1f (−x )−2f (x )≥0的解集是（ ） A (−12,0)∪(0,12) B (−2,−1]∪[1,2)C (−2,−12)∪(0,12) D (−∞,−2)∪(−12,0)∪(0,12)∪[1,2)【答案】D 【分析】根据已知画出y =f (x )的图象并将不等式化为{f(x)(x −1)≤0f(x)≠0数形结合求不等式解集【详解】根据题意作偶函数y =f (x )的图象如下图示由f(−x)=f(x)不等式可化为x−1−f(x)≥0则{f(x)(x−1)≤0f(x)≠0所以{x−1≥0f(x)<0或{x−1≤0f(x)>0由图知：1≤x<2或0<x<12或−12<x<0或x<−2所以不等式解集为(−∞,−2)∪(−12,0)∪(0,12)∪[1,2)故选：D12已知函数f(x)=a x+a−x+cosx+x2(a>1)则f(√2),f(−e1e),f(π1π)的大小关系为（）A f(π1π)<f(−e 1e)<f(√2)B f(√2)<f(π1π)<f(−e1e)C f(π1π)<f(√2)<f(−e1e)D f(−e1e)<f(π1π)<f(√2)【答案】B【分析】根据函数的奇偶性只需要考虑x>0时的情况利用导数求解函数单调性构造函数φ(x)=2x−sinx,g(x)=lnxx即可由导数求解单调性利用函数单调性即可比较大小【详解】易知f(x)=a x+a−x+cosx+x2(a>1)是偶函数f′(x)=(a x−a−x)lna+2x−sinx当x>0时因为a>1所以lna>0,a x−a−x>0令φ(x)=2x−sinx,x>0则φ′(x)=2−cosx>0所以φ(x)单调递增所以φ(x)>φ(0)=0所以f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增构造函数g(x)=lnxx 则g′(x)=1−lnxx2令g′(x)>0得0<x<e令g′(x)<0得x>e所以g(x)在区间(0,e)上单调递增在区间(e,+∞)上单调递减又ln22=ln44所以g(4)<g(π)<g(e)所以ln22=ln44<lnππ<lnee所以212<π1π<e1e所以f(√2)<f(π1π)<f(e 1e)=f(−e1e)即f(√2)<f(π1π)<f(−e1e)故选:B【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤:(1)作差或变形；(2)构造新的函数ℎ(x)；(3)利用导数研究ℎ(x)的单调性或最值；(4)根据单调性及最值得到所证不等式．二、填空题(共12 分)13已知向量a=(1,−2)b⃗=(2,λ)若a⊥b⃗则实数λ的值为___________【答案】1【分析】根据向量垂直的坐标表示由题中条件列出方程即可求出结果【详解】因为向量a=(1,−2)b⃗=(2,λ)若a⊥b⃗则a⋅b⃗=2−2λ=0解得λ=1故答案为：114请写出一个满足对任意的x1,x2∈(0,+∞)；都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)的函数__________【答案】f(x)=x−12（答案不唯一）【分析】取幂函数f(x)=x−12验证得到答案【详解】任意定义域为(0,+∞)的幂函数均可例如f(x)=x−12f(x1x2)=(x1x2)−12,f(x1)f(x2)=x1−12⋅x2−12=(x1x2)−12即f(x1x2)=f(x1)f(x2)成立故答案为：f(x)=x−12（答案不唯一）15《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作书中有一道测量山上松树高度的题目受此题启发小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度如图把塔底与塔顶分别看作点CDCD 与地面垂直小李先在地面上选取点AB （点A,B 在建筑物的同一侧且点A,B,C,D 位于同一个平面内）测得AB =20√3m 在点A 处测得点C,D 的仰角分别为30∘,67∘在点B 处测得点D 的仰角为33.5∘则塔高CD 为__________m （参考数据：sin37∘≈35）【答案】24 【分析】在△ACD 中求出AD =20√3∠CAD =37∘,∠ACD =120∘利用正弦定理求解即可 【详解】如图延长DC 与BA 的延长线交于点E 则∠DAE =67∘,∠CAE =30∘,∠DBA =33.5∘所以∠ADB =67∘−33.5∘=33.5∘,∠CAE =90∘−30∘=60∘ 所以AD =AB =20√3在△ACD 中∠CAD =67∘−30∘=37∘,∠ACD =180∘−60∘=120∘ 由正弦定理得CD =ADsin37∘sin120∘≈20√3×35√32=24（m ）故答案为：2416已知函数f (x )=(x +a )lnx −2x 在定义域上单调递增则实数a 的取值范围为______ 【答案】[1,+∞) 【分析】把原函数在区间上单调递增问题转化为a ≥x −xlnx 在(0,+∞)上恒成立构造函数g (x )=x −xlnx(x>0)利用导数求解函数的最值即可求解【详解】f(x)=(x+a)lnx−2x的定义域为(0,+∞)由f(x)=(x+a)lnx−2x在定义域上单调递增得f′(x)=lnx+ax−1≥0在(0,+∞)上恒成立即a≥x−xlnx在(0,+∞)上恒成立设g(x)=x−xlnx(x>0)所以只需a≥g(x)max又g′(x)=−lnx当0<x<1时g′(x)>0当x>1时g′(x)<0所以g(x)在(0,1)上单调递增在(1,+∞)上单调递减所以g(x)max=g(1)=1所以a≥1所以实数a的取值范围为[1,+∞)故答案为：[1,+∞)【点睛】方法点睛：已知函数在区间上单调递增（递减）求参数范围解决这类问题的一般方法是：利用导数转化为不等式恒成立问题然后参变分离根据分离后的式子结构构造函数利用导数求解函数最值即可解决三、问答题(共12 分)已知向量a=(sinx+cosx,1),b⃗=(2cosx,−1)函数f(x)=a⋅b⃗将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象17 求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；18 解方程g(x)=0【答案】17 T=π单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8],k∈Z18 {x|x=kπ2+π24,k∈Z}【分析】（1）利用向量数量积求出f(x)利用正弦函数的周期性与单调性即可求得f(x)的最小正周期和单调递增区间（2）先求出g(x)表达式根据正弦函数零点取值得到g(x)=0的解集【17题详解】由已知得f(x)=a⋅b⃗=2cosx(sinx+cosx)−1=sin2x +cos2x=√2sin (2x +π4)所以函数f (x )的最小正周期T =2πω=2π2=π由2kπ−π2≤2x +π4≤2kπ+π2,k ∈Z 解得kπ−3π8≤x ≤kπ+π8,k ∈Z所以函数f (x )的单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8],k ∈Z【18题详解】将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )=√2sin [2(x −π6)+π4]=√2sin (2x −π12)的图象令g (x )=√2sin (2x −π12)=0得2x −π12=kπ,k ∈Z 解得x =kπ2+π24,k ∈Z所以方程g (x )=0的解集为{x |x =kπ2+π24,k ∈Z }如图在平行四边形ABCD 中AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 令AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗19用a ,b ⃗ 表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； 20若AB =AM =2且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =10求cos⟨a ,b⃗ ⟩ 【答案】19 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a )BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −43a CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a −23b⃗ 20√3468【分析】（1）利用平面向量的四则运算法则求解即可； （2）利用平面向量数量积的公式和运算律求解即可 【19题详解】因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 且ABCD 是平行四边形 所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a ) 所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a )−a =13b ⃗ −43a所以CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −43a −(b ⃗ −a )=−13a −23b ⃗ 【20题详解】方法一：由（1）知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(b ⃗ −a ),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −43a又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =10,AB =AM =2所以b ⃗ ⋅(13b ⃗ −43a )=10,|13(b ⃗ −a )|=2,|a |=2即b ⃗ 2−4a ⋅b ⃗ =30,b ⃗ 2+a 2−2a ⋅b ⃗ =36 解得a ⋅b⃗ =1,|b ⃗ |=√34 所以cos⟨a ,b ⃗ ⟩=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=√3468方法二：因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM =2所以AD =BC =6因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =10所以−22+23×6×2×cos∠ABC +13×62=10 解得cos∠ABC =14所以a ⋅b ⃗ =(−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−2×6×14+22=1又|a |=2,|b ⃗ |=√(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√34所以cos⟨a ,b ⃗ ⟩=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=√3468四、应用题(共 6 分)某公园池塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系如下表所示：现有以下三种函数模型可供选择：①y =kt +b ②y =p ⋅a t +q ③y =m ⋅log a t +n 其中k,b,p,q,m,n,a 均为常数a >0且a ≠121 直接选出你认为最符合题意的函数模型并求出y 关于t 的函数解析式；22 若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到15m 2,31m 2,211m 2所经过的时间分别为t 1,t 2,t 3写出一种t 1,t 2,t 3满足的等量关系式并说明理由【答案】21 模型②y=2t+122 t1+t2=t3+1理由见解析【分析】（1）根据表格数据选择函数模型然后求解析式；（2）根据指数幂运算公式计算【21题详解】应选择函数模型②y=p⋅a t+q依题意得{p×a1+q=3p×a2+q=5 p×a3+q=9解得{p=1 a=2 q=1所以y关于t的函数解析式为y=2t+1【22题详解】t1+t2=t3+1理由：依题意得2t1+1=152t2+1=312t3+1=211所以2t1=142t2=302t3=210所以2t1⋅2t2=420所以2t1⋅2t2=2t1+t2=420=2×2t3=2t3+1所以t1+t2=t3+1五、问答题(共12 分)在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且__________在①√3a =1−cosCsinA；②sinAbc−sinCab=sinA−sinBac两个条件中任选一个填入上面横线处并解决下列问题注：若选择不同的条件分别解答则按第一个解答计分23 求C；24 若△ABC外接圆的半径为2√3,△ABC的面积为√3求△ABC的周长【答案】23 C=π324 4√3+6【分析】(1)选①先利用正弦定理化边为角再利用和差角公式结合角的取值范围即得选②先用正弦定理化边为角再有余弦定理和角的范围即得(2)由正弦定理和外接圆半径求出c再利用余弦定理即可求出答案【23题详解】若选①：由√3a =1−cosCsinA及正弦定理得sinCsinA=√3sinA(1−cosC)∵sinA≠0,∴sinC+√3cosC=√3∴sin(C+π3)=√32又0<C<π,∴π3<C+π3<4π3∴C+π3=2π3,∴C=π3若选②：由sinAbc −sinCab=sinA−sinBac得asinA−csinC=bsinA−bsinB由正弦定理得a2+b2−c2=ab由余弦定理得cosC=a 2+b2−c22ab=ab2ab=12因为C∈(0,π)所以C=π3【24题详解】设△ABC外接圆的半径为R由正弦定理得c=2RsinC=2×2√3×sinπ3=6又S△ABC=12absinC=12ab×√32=√3所以ab=4由c2=a2+b2−2abcosC=(a+b)2−2ab−2ab×12可得36=(a+b)2−12解得a+b=4√3所以△ABC的周长为a+b+c=4√3+6已知函数f(x)=e x−ax2+x−125 当a=1时求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；26 若f(x)=0有两个不等的实根求实数a的取值范围【答案】25 (e−1)x−y=026 (−∞,0)∪{e2+14}【分析】（1）求导得到f(1)=e−1,f′(1)=e−1,进而求出切线方程；（2）f(0)=0故只需当x≠0时f(x)=0有且仅有一个实根参变分离转化为两函数只有1个交点求导得到g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的单调性画出其图象数形结合得到参数的取值范围【25题详解】当a=1时f(x)=e x−x2+x−1,f′(x)=e x−2x+1f(1)=e−1,f′(1)=e−1,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y−(e−1)=(e−1)(x−1)即(e−1)x−y=0【26题详解】显然f(0)=0要使方程f(x)=0有两个不等的实根只需当x≠0时f(x)=0有且仅有一个实根当x≠0时由方程f(x)=0得a=e x+x−1 x2令g(x)=e x+x−1x2(x≠0)则直线y=a与g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的图象有且仅有一个交点g′(x)=(e x+1)x2−2x(e x+x−1)x4=(x−2)(e x−1)x3又当x<0时g′(x)<0,g(x)单调递减当0<x<2时g′(x)<0,g(x)单调递减当x>2时g′(x)>0,g(x)单调递增所以当x=2时g(x)取得极小值g(2)=e 2+1 4又当x<0时e x<1所以e x+x−1<0即g(x)<0当x>0时e x>1,e x+x−1>0即g(x)>0所以作出g(x)的大致图象如图所示由图象知要使直线y=a与g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的图象有且仅有一个交点只需a<0或a=e 2+1 4综上若f(x)=0有两个不等的实根则a的取值范围为(−∞,0)∪{e 2+1 4}六、其它(共6 分)已知函数f(x)=x−alnx−4,a∈R27 讨论函数f(x)的单调性；28 当a=1时令F(x)=(x−2)e x−f(x)若x=x0为F(x)的极大值点证明：0<F(x0)<1【答案】27 答案见解析；28 证明见解析【分析】（1）对参数a分类讨论根据不同情况下导函数函数值的正负即可判断单调性；（2）利用导数判断F(x)的单调性求得x0的范围满足的条件以及F(x0)根据x0的范围夹逼F(x0)的范围即可【27题详解】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1−ax =x−ax①当a≤0时f′(x)>0函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；②当a>0时由f′(x)>0得x>a由f′(x)<0得0<x<a所以函数f(x)在(a,+∞)上单调递增在(0,a)上单调递减综上当a≤0时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时函数f(x)在(a,+∞)上单调递增在(0,a)上单调递减【28题详解】当a=1时F(x)=(x−2)e x−x+lnx+4,F′(x)=(x−1)e x−1+1x =(x−1)(e x−1x)设g(x)=e x−1x 则g′(x)=e x+1x2当x>0时g′(x)>0所以g(x)在(0,+∞)上单调递增又g(12)=√e−2<0,g(1)=e−1>0所以存在x1∈(12,1)使得g(x1)=0且当x∈(0,x1),g(x)<0,x∈(x1,+∞),g(x)>0；又当x∈(0,1),y=x−1<0;x∈(1,+∞),y=x−1>0；故当x∈(0,x1)F′(x)>0；当x∈(x1,1)F′(x)<0；当x∈(1,+∞)F′(x)>0所以F(x)在(0,x1)上单调递增在(x1,1)上单调递减在(1,+∞)上单调递增所以当x=x1时F(x)取得极大值故x0=x1且e x0−1x0=0所以e x0=1x0,lnx0=−x0F(x0)=(x0−2)e x0−x0+lnx0+4=x0−2x0−x0−x0+4=5−2(x0+1x0)又y=x+1x 在(12,1)单调递减所以0<F(x0)<1【点睛】关键点点睛：本题考察含参函数单调性的讨论以及导数中的隐零点问题；处理问题的关键是能够准确分析F(x)的单调性以及求得隐零点的范围以及满足的条件属综合中档题。
2024-2025学年高三一轮复习联考(三)_全国卷文数(含答案)
2024届高三一轮复习联考（三）全国卷文科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，考试时间为120分钟，满分150分一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}212,1A xx B x x =<<=∣∣，则A B ⋃=（）A.[)1,2-B.(),2∞-C.[)1,3- D.[]1,2-2.命题2:,220p x R x x ∀∈+-<的否定p ⌝为（）A.2000,220x R x x ∃∈+->B.2,220x R x x ∀∈+-C.2,220x R x x ∀∈+->D.2000,220x R x x ∃∈+-3.3.已知复数2(1i)z =+（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（）A.2B.2- C.2iD.2i-4.若函数()222,0,log ,0,x x x f x x x ⎧-=⎨>⎩则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦（）A.2- B.2 C.3- D.35.已知1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.14-B.14C.12-D.126.函数()21x xe ef x x --=+在[]3,3-上的大致图象为（）A.B.C. D.7.函数2sin cos21y x x=-+的最小值是（）A.3-B.1-C.32- D.12-8.已知数列{}n a的前n项和22nS n n m=-++，且对任意*1,0n nn N a a+∈-<，则实数m 的取值范为是（）A.()2,∞-+ B.(),2∞--C.()2,∞+ D.(),2∞-9.已知等比数列()*a满足4221,m nq a a a≠=，（其中,*m n N∈），则91m n+的最小值为（）A.6 B.16 C.32 D.210.已知函数()cos3f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，若()f x在[]0,a上的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数a的取值范为（）A.40,3π⎛⎤⎥⎝⎦B.24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2,3π∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ D.25,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.设4sin1,3sin2,2sin3a b c===，则（）A.a b c<< B.c b a<<C.c a b<< D.a c b<<12.已矨,,A B C均在球O的球面上运动，且满足3AOBπ∠=，若三棱锥O ABC-体积的最大值为6，则球O的体积为（）A.12πB.48πC.D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()(1,,a k b==，若a b⊥，则k=__________.14.已知{}n a是各项不全为零的等差数列，前n项和是n S，且2024S S=，若()2626nS S m=≠，则正整数m=__________.15.设,m n为不重合的直线，,,αβγ为不重合的平面，下列是αβ∥成立的充分条件的有（）（只填序号）.①,m a m β⊂∥②,,m n n m αβ⊂⊥⊥③,αγβγ⊥⊥④,m m αβ⊥⊥16.已知函数()14sin ,01,2,1,x x x f x x x π-<⎧=⎨+>⎩若关于x 的方程()()()2[]210f x m f x m --+-=恰有5个不同的实数解，则实数m 的取值集合为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.（12分）已知数列{}n a 满足12122,log log 1n n a a a +==+，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求(){}32nn a -的前n 项和nS.18.（12分）已知ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,,,cos cos 2cos 4a b c C a A c C b B π=+=.（1）求tan A ；（2）若c =，求ABC 的面积.19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，O 是BC 的中点，PB PC ==，22PD BC AB ===.（1）求证：平而PBC ⊥平面ABCD ；（2）求点A 到平面PCD 的距离.20.（12分）已知数列()n a 满足()21112122222326n n n n n a a a a n -+-++++=-⋅+ .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列n b 的前n 项和T .21.（12分）已知函数()ln x af x ex x -=-+.（1）当1a =时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程，（2）当0a 时，证明，()2f x x >+.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系，xOy 中，直线l的参数方程为2,21,2x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+.（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 经过伸缩变换,2,x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'得到曲线C '，若直线l 与曲线C '有公共点，试求a 的取值范围.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()22(0)f x x x t t =++->，若函数()f x 的最小值为5.（1）求t 的值；（2）若,,a b c 均为正实数，且2a b c t ++=，求1412a b c++的最小值.2024届高三一轮复习联考（三）全国卷文科数学参考答案及评分意见1.A【解析】由21x ，即()()110x x -+，解得11x -，所以{}11B xx =-∣，所以{12}A B xx ⋃=-<∣.故选A .2.D 【解析】2,220x x x ∀∈+-<R 的否定为：2000,220x x x ∃∈+-R ，故选D.3.A 【解析】2(1i)2i z =+=，即复数z 的虚部为2，故选A .4.D【解析】()()()222(2)228,8log 83f f -=--⨯-===，故选D.5.C 【解析】因为1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2211cos 2cos 2cos 22sin 11366622ππππααπαα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故选C.6.A 【解析】()()2e e 1x xf x f x x ---==-+，所以函数()y f x =是奇函数，排除B 选项，又()22e e 215f --=>，排除C ，D 选项，故选A.7.D 【解析】由题意，函数22sin cos212sin 2sin y x x x x =-+=+，令[]sin 1,1t x =∈-，可得221122222y t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，当12t =-，即1sin 2x =-时，函数取得最小值，最小值为12-.故选D.8.A【解析】因为10n n a a +-<，所以数列{}n a 为递减数列，当2n 时，()2212(1)2123n n n a S S n n m n n m n -⎡⎤=-=-++---+-+=-+⎣⎦，故可知当2n 时，{}n a 单调递减，故{}n a 为递减数列，只需满足21a a <，即112m m-+⇒-.故选A .9.D【解析】由等比数列的性质，可得()911911918,10102888m n m n m n m n m n n m ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当6,2m n ==时，等号成立，因此，91m n +的最小值为2.故选D.10.B 【解析】()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合图象，()f x 的值域是11,,0,2333x a x a πππ⎡⎤-++⎢⎣⎦，于是533a πππ+，解得2433aππ，所以实数a 的取值范围为24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选B.11.B 【解析】设()()2sin cos sin ,x x x xf x f x x x -=='，令()()cos sin ,sing x x x x g x x x =-'=-，当()0,x π∈时，()0g x '<，故()g x 在()0,π上递减，()()()00,0g x g f x <=∴<'，故()sin xf x x=在()0,π上递减，023π<<< .()()sin3sin232,,2sin33sin232f f ∴<<<，故c b <，()()()sin 2012,sin1,sin22sin1,3sin232sin14sin12ππππππ-<<-<<<-<-<-，故b a <，故c b a <<，故选B.12.C 【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时231133632212O ABC C AOB V V R R --==⨯⨯⨯==，故3R =O 的体积为343R V π==，故选C.13.3-【解析】0a b a b ⊥⇔⋅=，所以()(1,10,3k k ⋅=+==-.14.18【解析】设等差数列{}n a 的首项和公差分别为1,a d ，则2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以n S 可看成关于n 的二次函数，由二次函数的对称性及202426,m S S S S ==，可得20242622m++=，解得18m =.15.④【解析】根据线面的位置关系易知，①②③中面α和面β可能相交也可能平行，④：若m α⊥且m β⊥，根据面面平行的判定可知垂直于同一直线的两平面互相平行，故④正确.16.()3,1--【解析】作出函数()f x 的大致图象，如图所示，令()t f x =，则()()()2[]210f x m f x m --+-=可化为()()()221110t m t m t m t --+-=-+-=，则11t =或21t m =-，则关于x 的方程()()()2[]210f x m f x m --+-=恰有5个不同的实数解等价于()t f x =的图象与直线12,t t t t ==的交点个数之和为5个，由图可得函数()t f x =的图象与直线1t t =的交点个数为2，所以()t f x =的图象与直线2t t =的交点个数为3个，即此时214m <-<，解得31m -<<-.17.【解析】（1）在数列{}n a 中，已知12122log log log 1n n n na a a a ++-==，所以12n na a +=，.即{}n a 是首项为12a =，公比为2的等比数列，所以()1*222n n n a n -=⨯=∈N .（2）由()()32322nn n a n -=-⨯，故()()231124272352322n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，所以()()23412124272352322nn n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，则()23123222322n n n S n +⎡⎤-=+⨯+++--⨯⎣⎦，()()()11212433221053212n n n n n ++-=-+⨯--⨯=-+-⋅-，故()110352n n S n +=+-⋅.18.【解析】（1）解法一：由题，cos cos 2cos a A c C b B +=，由正弦定理得，sin2sin cos sin cos B A A C C =+，.3,,sin2sin 2sin 2cos2422C A B C B A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=++==-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1cos2sin cos 2A A A -=+，221sin cos sin cos 2A A A A --=22tan 1tan 1tan 12A A A --=+，化简得2tan 2tan 30A A --=，解得tan 3A =或tan 1A =-（舍去）.解法二：由题，cos cos 2cos a A c C b B +=，由正弦定理得，2sin2sin2sin2B A C =+，即()()()()2sin2sin sin B A C A C A C A C ⎡⎤⎡⎤=++-++--⎣⎦⎣⎦，即()()sin2sin cos B A C A C =+-，又A B C π++=，故()sin sin A C B +=，所以()2sin cos sin cos B B B A C =-，又0B π<<，故sin 0B ≠，所以()2cos cos B A C =-，又A B C π++=，故()cos cos B A C =-+，化简得sin sin 3cos cos A C A C =，因此tan tan 3A C =且tan 1C =，所以tan 3A =.（2）由（1）知tan 3A =，因此()tan tan tan tan 21tan tan A CB AC A C+=-+=-=-，.所以sin 10A =，sin 5B =2sin 2C =，因为,6sin sin a c a A C==，.所以1125sin 612225ABC S ac B ==⨯⨯= .19.【解析】（1）因为,PB PC O =是BC 的中点，所以PO BC ⊥，在直角POC 中，1PC OC ==，所以PO =，在矩形ABCD 中，1,2AB BC ==，所以DO =，又因为2PD =，所以在POD 中，222PD PO OD =+，即PO OD ⊥.而,,BC OD O BC OD ⋂=⊂平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，而PO ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .'（2）由（1）平面PBC ⊥平面ABCD ，且DC BC ⊥，所以DC ⊥平面PBC ，所以DC PC ⊥，即PCD 是直角三角形，因为1PC CD ==，所以13122PDC S =⨯=，又知11212ACD S =⨯⨯= ，PO ⊥平面ABCD ，设点A 到平面PCD 的距离为d ，则A PCD P ACD V V --=，即1133PCD ACD S d S PO ⨯⨯=⨯⨯ ，即1311323d ⨯⨯=⨯⨯所以263d =，所以点A 到平面PCD 的距离为3..20.【解析】（1）由题当1n =时，()111223262a +=-⋅+=，即11a =.()21112122222326n n n n n a a a a n -+-++++=-⋅+ ①当2n 时，()211212222526n n n a a a n --+++=-⋅+ ②.①-②得()()()1223262526212nn n n n a n n n +=-⋅+--⋅-=-⋅，所以21n a n =-..（2）由（1）知，212221n an n n b a n -=+=+-，则()()()()3521212325221n n T n -=++++++++- ()()3521222213521n n -=+++++++++-⋅()()212214121232..1423nn n n n +⨯-+-+-=+=-21.【解析】（1）当1a =时，()()111e ln ,e 1x xf x x x f x x--=-+=-+'，所以()()12,11f f '==，.则切线方程为()211y x -=⨯-，.即10x y -+=曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为10x y -+=.（2）证明：要证()2f x x >+，即证e ln 2x a x -->，设()eln ,0x aF x x x -=->，即证()2F x >，当0a 时，()()1e 1e ln ,ex a x ax ax F x x F x x x----=-=-='在()0,∞+上为增函数，且()e1x ah x x -=-中，()()0100e 110,1e 1e 10a a h h --=⨯-=-=-->.故()0F x '=在()0,∞+上有唯一实数根0x ，且()00,1x ∈..当()00,x x ∈时，()0F x '<，当()0,x x ∞∈+时，()0F x '>，从而当0x x =时，()F x 取得最小值.由()00F x '=，得001ex ax -=，故()()000001eln 2x aF x F x x x a a x -=-=+->.综上，当0a 时，()2F x >即()2f x x >+.22.【解析】（1）由题2,21,2x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t得直线:20l x a -=，.22413sin ρθ=+，即2224cos 4sin ρθθ=+，即曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）由,2,x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'得2,,x x y y =⎧⎨=''⎩又2214x y +=，所以()()22214x y +'='，即'2'21x y +=，所以曲线C '的方程是221x y +=，.由1d =得11a -.所以a 的取值范围是[]1,1-.23.【解析】（1）()222f x x x t x x t x t =++-=++-+-，()2222y x x tx x t t t =++-+--=+=+，当2x t -时等号成立，.⋅又知当x t =时，x t -取得最小值，所以当x t =时，()f x 有最小值，此时()min ()25f x f t t ==+=，所以3t =..（2）由（1）知，23a b c ++=，()22141114111162(121)232333a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++=++= ⎪⎝⎭，当且仅当333,,824a b c ===时取等号，所以1412a b c ++的最小值为163.。
高三联考数学文科试卷答案
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(2)的值为：A. 1B. 3C. 5D. 7答案：C2. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 15，S10 = 50，则该数列的公差d 为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C3. 下列函数中，定义域为全体实数的是：A. f(x) = 1/xB. f(x) = √(x+1)C. f(x) = |x|D. f(x) = x^2答案：D4. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则复数z的实部为：A. 0B. 1C. -1D. 不确定答案：A5. 下列命题中，正确的是：A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则|a| > |b|C. 若a > b，则a/b > b/aD. 若a > b，则a + c > b + c答案：D6. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x，则f'(x)的值为：A. 3x^2 - 6x + 4B. 3x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 6xD. 3x^2 - 6x - 4答案：A7. 下列数列中，不是等比数列的是：A. 2, 4, 8, 16, 32B. 1, 2, 4, 8, 16C. 1, -2, 4, -8, 16D. 1, 3, 9, 27, 81答案：C8. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项a10的值为：A. 27B. 29C. 31D. 33答案：D9. 下列函数中，图像关于y轴对称的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = x答案：C10. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得极值，则a、b、c的关系为：A. a+b+c=0B. a+b=0C. a+c=0D. 2a+b=0答案：D二、填空题（每小题5分，共50分）11. 若等差数列{an}的首项为3，公差为2，则第n项an的表达式为______。
2024届高三上学期10月大联考(全国乙卷)文科数学试题及答案
绝密★启用前2024届高三10月大联考（全国乙卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}215,1,1,3A x x B =∈+<=-Z∣，则A B ⋃中元素的个数为（）A.3B.4C.5D.62.已知命题200:p x x ∃≥>，则命题p 的否定为（）A.200x x ∃<≤ B.2x x ∀≥<C.2x x ∀<> D.2x x ∀≥≤3.若不等式2510x ax -+<的解集为1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭，则a =（）A.12-B.12C.14-D.144.若函数()e ,3ln 2,3x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()()2ef f =（）A.-1B.-2C.1D.ln22-5.已知54:1,:log 2(033a p a q a <<>>且1)a ≠，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.函数()242log 2xf x x x+=-的大致图象是（）A. B.C. D.7.白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓，经过长期研究，一种全生物可降解塑料（简称PBAT ）逐渐被应用于超市购物袋､外卖包装盒等产品.研究表明，在微生物的作用下，PBAT 最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然，当其分解率（100%=⨯已分解质量分解率总质量）超过60%时，就会成为对环境无害的物质.为研究总质量为100g 的PBAT 的已分解质量y （单位：g ）与时间x （单位：月）之间的关系，某研究所人员每隔1个月测量1次PBAT 的已分解质量，对通过实验获取的数据做计算处理，研究得出已分解质量y 与时间x 的函数关系式为 4.60.1100e x y -=-.据此研究结果可以推测，总质量为100g 的PBAT 被分解为对环境无害的物质的时间至少为（）（参考数据：ln40 3.7≈）A.8个月B.9个月C.10个月D.11个月8.已知,0,,2παβαβ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭，且()()17cos cos cos sin sin sin ,sin cos 510ααβααβαβ-+-==，则()sin αβ+=（）A.45B.35 C.25D.3109.已知O 是ABC 所在平面内一点，若0,,,,,OA OB OC AM xAB AN y AC MO ON x y λ++====均为正数，则xy 的最小值为（）A.12B.49C.1D.4310.若函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭∣的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数为（）①2ω=；②6πϕ=-；③()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；④32f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.A.1B.2C.3D.411.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()2log 1f x x =-，则不等式()()102x f x f x -≥--的解集是（）A.11,00,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.][()2,11,2--⋃C.112,0,22⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.()[)11,2,00,1,222∞⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.已知函数()2cos (1)xxf x a ax x a -=+++>，则11e 2,e ,ff fππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小关系为（）A.11e e 2f f f ππ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.B.11e 2e ff f ππ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.11e2e f ff ππ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.11e e 2f f f ππ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()1,2,2,a b x =-= ，若a b ⊥ ，则实数x =__________.14.请写出一个满足对任意的()12,0,x x ∞∈+；都有()()()1212f x x f x f x =的函数__________.15.《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.如图，把塔底与塔顶分别看作点C ，D ，CD 与地面垂直，小李先在地面上选取点A ，B （点,A B 在建筑物的同一侧，且点,,,A B C D 位于同一个平面内），测得AB =，在点A 处测得点,C D 的仰角分别为30,67 ，在点B 处测得点D 的仰角为33.5 ，则塔高CD 为__________m .（参考数据：3sin375≈）16.已知函数()()ln 2f x x a x x =+-在定义域上单调递增，则实数a 的取值范围为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知向量()()sin cos ,1,2cos ,1a x x b x =+=- ，函数()f x a b =⋅，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）解方程()0g x =.18.（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，13AM AD = ，令,AB a AC b ==.（1）用,a b表示,,AM BM CM ；（2）若2AB AM ==，且10AC BM ⋅= ，求cos ,a b.19.（12分）某公园池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系如下表所示：时间/t 月1234浮萍的面积2/m y 35917现有以下三种函数模型可供选择：①y kt b =+，②t y p a q =⋅+，③log a y m t n =⋅+，其中,,,,,,k b p q m n a 均为常数，0a >且1a ≠.（1）直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出y 关于t 的函数解析式；（2）若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到22215m ,31m ,211m 所经过的时间分别为123,,t t t ，写出一种123,,t t t 满足的等量关系式，并说明理由.20.（12分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且__________.1cossin C A -=；②sin sin sin sin A C A Bbc ab ac --=两个条件中任选一个，填入上面横线处，并解决下列问题.（1）求C ；（2）若ABC 外接圆的半径为ABC 的面积为ABC 的周长.注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.21.（12分）已知函数()2e 1xf x ax x =-+-.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若()0f x =有两个不等的实根，求实数a 的取值范围.22.（12分）已知函数()ln 4,f x x a x a =--∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，令()()()2e xF x x f x =--，若0x x =为()F x 的极大值点，证明：()001F x <<.2024届高三10月大联考（全国乙卷）文科数学•全解全析及评分标准一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B 【解析】因为{}{}221541,0,1,1,1,3A x x x x B =∈+<=∈<=-=-ZZ ∣∣，所以{}1,0,1,3A B ⋃=-，有4个元素，故选B.2.D 【解析】根据特称命题的否定为全称命题，知命题“200x x ∃≥>”的否定是“2x x ∀≥”，故选D.3.A 【解析】因为不等式2510x ax -+<的解集为1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以15a a a +=，解得12a =±.又1a a >，所以1a >或0a <，所以12a =-（12a =不满足题意，舍去），当12a =-时，2(5)40a -->，故选A.4.C 【解析】因为2e 3>，所以()22e lne20f =-=，所以()()()2e 0e01f f f ==-=，故选C.5.B 【解析】对于q ，若4log 23a>，则24log log 3a a a >.当01a <<时，243a >，无解.当1a >时，243a <，得2313a <<，即不等式4log 23a >的解集为1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.因为1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⫋51,3⎛⎫⎪⎝⎭，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B.6.D【解析】方法一：由题意，知函数()242log 2xf x x x+=-的定义域为()2,2-，关于原点对称，且()()242()log 2xf x x f x x --=-=-+，所以函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C ；当()0,2x ∈时，212x x +>-，即42log 02xx +>-，因此()0f x >，故排除A.故选D.方法二：由方法一，知函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C ；又()211log 302f =>，所以排除A.故选D.7.C 【解析】令 4.60.1100e 60x y -=->，得0.1 4.6ln400.9x >-≈，解得9x >，故至少需要10个月，总质量为100g 的PBAT 才会被分解为对环境无害的物质.故选C.8.A【解析】因为()()1cos cos cos sin sin sin 5ααβααβ-+-=，所以()11cos 5αβ--=，所以()4cos 5αβ-=.因为,0,,2παβαβ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭，所以02παβ<-<，所以()3sin 5αβ-=，所以3sin cos cos sin 5αβαβ-=.又7sin cos 10αβ=，所以1cos sin 10αβ=，所以()714sin sin cos cos sin 10105αβαβαβ+=+=+=.故选A.9.B 【解析】因为0OA OB OC ++=，所以点O 是ABC 的重心，所以()()211323AO AB AC AB AC =⨯+=+ .因为,AM xAB AN y AC ==，所以11,AB AM AC AN x y == ，所以1133AO AM AN x y=+ .因为MO ON λ=，所以,,M O N 三点共线，所以11133x y +=，即113x y+=.因为,x y 均为正数，所以11x y +≥32≤，所以49xy ≥1132x y ==，即23x y ==时取等号），所以xy 的最小值为49.故选B.10.C 【解析】由题图，得2A =，最小正周期54126T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭.又2T ππω==，所以2ω=，故①正确；()()2sin 2f x x ϕ=+，又()f x 的图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，所以522122k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，所以2,3k k πϕπ=-∈Z .又2πϕ<，所以3πϕ=-，故②错误；()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令23t x π=-，当526x ππ<<时，2433t ππ<<，函数sin y t =在24,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故③正确；2sin23f πππ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选C.11.D【解析】根据题意，作出函数()y f x =的图象，如图所示.因为函数()y f x =是偶函数，所以()()f x f x -=.由()()102x f x f x -≥--，得()10x f x -≥-，所以()10x f x -≤，所以()()()100f x x f x ⎧-≤⎪⎨≠⎪⎩，所以()100x f x -≥⎧⎨<⎩或()100x f x -≤⎧⎨>⎩，观察图象，得12x ≤<或102x <<或102x -<<或2x <-，故选D.12.B 【解析】易知()2cos (1)xxf x a ax x a -=+++>是偶函数，()()ln 2sin x x f x a a a x x -=-+-'，当0x >时，因为1a >，所以ln 0,0x x a a a ->->.令()2sin ,0x x x x ϕ=->，则()2cos 0x x ϕ=->'，所以()x ϕ单调递增，所以()()00x ϕϕ>=，所以()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增.构造函数()ln xg x x=，则()21ln xg x x-='.令()0g x '>，得0e x <<，令()0g x '<，得e x >，所以()g x 在区间()0,e 上单调递增，在区间()e,∞+上单调递减.又ln2ln424=，所以()()()4e g g g π<<，所以ln2ln4ln lne24e ππ=<<，所以111e22e ππ<<，所以111e ee e ff f f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即11ee f f f ππ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B .二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1【解析】因为a b ⊥ ，所以()1220x ⨯+-=，解得1x =.故填1.14.()12f x x-=（答案不唯一）【解析】任意定义域为()0,∞+的幂函数均可，例如()12f x x-=，()()()()()111122221212121212,f x x x x f x f x x x x x ----==⋅=，即()()()1212f x x f x f x =成立.故可填()12f x x-=.15.24【解析】如图，延长DC 与BA 的延长线交于点E ，则67,30,33.5DAE CAE DBA ∠∠∠=== ，所以33.5ADB ∠= ，所以AD AB ==在ACD 中，37,120CAD ACD ∠∠==，由正弦定理，得3sin37524sin120AD CD =≈=.故填24.16.[)1,∞+【解析】()()ln 2f x x a x x =+-的定义域为()0,∞+，由()()ln 2f x x a x x =+-在定义域上单调递增，得()ln 10af x x x=+-≥'在()0,∞+上恒成立，即ln a x x x ≥-在()0,∞+上恒成立.设()ln (0)g x x x x x =->，所以只需()max (),ln a g x g x x -'≥=，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以()max ()11g x g ==，所以1a ≥，所以实数a 的取值范围为[)1,∞+.故填[)1,∞+.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）【解析】（1）由已知，得()f x a b =⋅()2cos sin cos 1x x x =+-sin 2cos 2x x=+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期222T πππω===.由222242k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ，解得3,88k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为3,,88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()226412g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象.令()2012g x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得2,12x k k ππ-=∈Z ，解得,224k x k ππ=+∈Z ，所以方程()0g x =的解集为,224k x x k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣.18.（12分）【解析】（1）因为,AB a AC b ==，所以BC AC AB b a =-=-，所以()11,33AM BC b a ==-所以()114333BM AM AB b a a b a =-=--=- ，所以()14123333CM BM BC b b a a b =-=---=-- .（2）方法一：由（1）知()114,333AM b a BM =-=-.又,10,2AC b AC BM AB AM =⋅===，所以()14110,2,2333b b a b a a ⎛⎫⋅-=-== ⎪⎝⎭，即222430,236b a b b a a b -⋅=+-⋅=，解得1,a b b ⋅==所以34cos ,68a b a b a b⋅〈〉==.方法二：因为1,23AM AD AM ==，所以6AD =，所以6BC =.因为()22121333AC BM BC BA BA BC BA BA BC BC ⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅+ ⎪⎝⎭，且10AC BM ⋅= ，所以2221262cos 61033ABC ∠-+⨯⨯⨯+=，解得1cos 4ABC ∠=，所以()()22126214a b BA BC BA BA BC BA ⋅=-⋅-=-⋅+=-⨯⨯= .又2,a b ===，所以cos ,68a b a b a b⋅〈〉==.19.（12分）【解析】（1）应选择函数模型②t y p a q =⋅+.依题意，得12335,9p a q p a q p a q ⎧⨯+=⎪⨯+=⎨⎪⨯+=⎩解得12,1p a q =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以y 关于t 的函数解析式为21t y =+.（2）1231t t t +=+.理由：依题意，得3122115,2131,21211t t t +=+=+=，所以312214,230,2210t t t ===，所以1222420,t t ⋅=所以3312121222420222t t t t t t ++⋅===⨯=，所以1231t t t +=+.20.（12分）【解析】（11cossin C A -=及正弦定理，得()sin sin 1cos C A A C =-.sin 0,sin A C C ≠∴+= ，sin 32C π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭.又40,333C C ππππ<<∴<+<，2,333C C πππ∴+=∴=.若选②：由sin sin sin sin A C A B bc ab ac --=，得sin sin sin sin a A c C b A b B -=-.由正弦定理，得222a b c ab +-=.由余弦定理，得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===.因为()0,C π∈，所以3C π=.（2）设ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理，得2sin 2sin63c R C π==⨯=.又113sin 222ABC S ab C ab ==⨯= ，所以4ab =.由222212cos ()222c a b ab C a b ab ab =+-=+--⨯，可得236()12a b =+-，解得a b +=，所以ABC 的周长为6a b c ++=.21.（12分）【解析】（1）当1a =时，()()2e 1,e 21x xf x x x f x x =-+-'=-+，()()1e 1,1e 1,f f =-=-'所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()()()e 1e 11y x --=--，即()e 10x y --=.（2）显然()00f =，要使方程()0f x =有两个不等的实根，只需当0x ≠时，()0f x =有且仅有一个实根，当0x ≠时，由方程()0f x =，得2e 1x x a x+-=.令()()2e 10x x g x x x +-=≠，则直线y a =与()()2e 10x x g x x x +-=≠的图象有且仅有一个交点.()()()()()243e 12e 12e1x x x x x x x g x x x +-+---=='.又当0x <时，()()0,g x g x '<单调递减，当02x <<时，()()0,g x g x '<单调递减，当2x >时，()()0,g x g x '>单调递增，所以当2x =时，()g x 取得极小值()2e 124g +=，又当0x <时，e 1x <，所以e 10x x +-<，即()0g x <，当0x >时，e 1,e 10x x x >+->，即()0g x >，所以作出()g x 的大致图象如图所示.由图象，知要使直线y a =与()()2e 10x x g x x x +-=≠的图象有且仅有一个交点，只需0a <或2e 14a +=.综上，若()0f x =有两个不等的实根，则a 的取值范围为()2e 1,04∞⎧⎫+-⋃⎨⎬⎩⎭.22.（12分）【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()0,,1a x a f x x x∞-+=-='，①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；②当0a >时，由()0f x '>，得x a >，由()0f x '<，得0x a <<，所以，函数()f x 在(),a ∞+上单调递增，在()0,a 上单调递减.综上，当0a ≤时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，函数()f x 在(),a ∞+上单调递增，在()0,a 上单调递减.（2）当1a =时，()()()()()112e ln 4,1e 11e x x x F x x x x F x x x x x ⎛⎫=--++=--+=-- ⎪⎝⎭'，设()1e x g x x =-，则()21e x g x x =+'，当0x >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，又()120,1e 102g g ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，所以当00x x <<时，()0F x '>，当01x x <<时，()0F x '<，当1x >时，()0F x '>，所以()F x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以当0x x =时，()F x 取得极大值，且001e 0xx -=，所以00001e ,ln x x x x ==-，()()00000000000212e ln 4452x x F x x x x x x x x x ⎛⎫-=--++=--+=-+ ⎪⎝⎭.因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()001F x <<.。
2023届陕西省安康市高三上学期第一次质量联考(一模)文科数学试题(含答案)
绝密★启用前安康市2023届高三年级第一次质量联考试卷数学（文科）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．。
4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 为虚数单位，复数z 满足2i 1(1i)z +=-，则||z =（ ）A ．2BC ．D ．2．记集合{||2}M x x =>，{N x y ==∣，则M N =（ ）A ．{}2|x x <-B ．{}2|x x >C ．2|}0{x x ≤<D ．2{|}2x x -<≤3．若4sin()5πα+=-，则cos(2)πα-=（ ） A ．35 B ．35- C ．725 D ．725-4．函数25()1x f x x -=+的图象在点()(0)0f ，处的切线方程为（ ）A ．750x y ++=B ．750x y +-=C ．750x y --=D ．750x y -+= 5．设c ∈R ，则a b >成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．22ac bc > B ．c ca b< C ．22a c b c ++> D ．2c a b ->- 6．设函数()2tan (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x 的一个最小正周期是（ ） A ．2π B ．13π C ．213π D ．27π7．南京市地铁S8号线经扩建后于2022年国庆当天正式运行，从起点站长江大桥北站到终点站金牛湖站总行程大约为51.3千米，小张是陕西来南京游玩的一名旅客，从起点站开始，他利用手机上的里程表测出前两站的距离大约为2千米，以后每经过一站里程约增加0.1千米，据此他测算出本条地铁线路的站点（含起始站与终点站）数一共有（ ）A ．18B ．19C ．21D ．228．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若8cos 17A =，3cos 5B =，且ABC 外接圆的周长为10π，则ABC 的周长为（ ）A ．20B ．36017C ．27D ．440179．已知O 是ABC 内一点，230OA OB mOC ++=，若AOB 与ABC 的面积之比为47，则实数m 的值为（ ） A ．103-B ．103C ．203-D ．20310．定义在R 上的函数()f x 满足对任意的x 恒有(2)()1f x f x ++…，1(1)()2f x f x ++…，且(2)2f -=，则()2024f 的值为（ ）A ．2026B ．1015C ．1014D ．101311．若函数2()e 3xf x k x =-+有三个零点，则k 的取值范围为（ ） A ．360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．362e,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．(2e,0)- D ．36,e ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭12．设等比数列{}n a 满足1212a a +=，1324a a -=-，记m b 为{}n a 中在区间()(0,]m m *∈N中的项的个数，则数列{}m b 的前50项和50S =（ ）A ．109B ．111C ．114D ．116二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020年高三上学期新课标大联考(一)数学(文)试题 含答案
2019-2020年高三上学期新课标大联考（一）数学（文）试题 含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合，，则集合A ．B ．C ．D ．2、设全集，函数的定义域为M ，则为A ．B ．C ．D ．3、下列函数中，在其定义域内为偶函数且有最小值的是A ．B ．C ．D ．4、设1122113(),(),ln()23a b c π===，则 A ． B ． C ． D ．5、下面四个结论：①奇函数的图象一定过坐标原点；②偶函数的图象一定和x 轴有交点；③偶函数的图象的对称轴只有1条；④既是奇函数又是偶函数的函数只有一个，其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46、函数的图象大致是7、“”是“”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件8、在中，如果cos(2)2sin sin 0B C A B ++<，那么是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形9、已知函数2sin()(0)y wx ϕϕπ=+<<为偶函数，其图象与直线的两个交点的横坐标分别为，若的最小值为，则该函数的一个单调递增区间可以是A ．B ．C ．D ．10、函数()24sin 1()2f x x x x x R π=-+∈零点的个数为A ．1B ．2C ．3D ．411、已知函数，且对于不等于的任何实数，满足，则实数的值为A ．-3B ．-2C ．2D ．312、已知定义在R 上的函数的值域是，并且函数，则方程的解的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
.13、已知2sin()2sin 1622παα++=-，则的值为 14、已知是实数，函数，若，则曲线在点处的切线方程为15、刘老师带甲乙丙丁四名学生取西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师项四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”结果，四名学生中有两人说对了，则中四名学生中 两人说对了。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广东省六所名校届高三第三次联考数学（文科） 1218命题：深圳实验学校高中部 高三数学备课组本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 参考公式：锥体体积Sh V 31=（其中S 是底面积，h 是高）．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图1，正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线1BD 与D A 1 所成的角等于A ．︒30B ．︒45C ．︒60D ．︒902．要得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=42cos x y 的图象，只要将函数x y 2sin =的图象A ．向左平移8π个单位B ．向右平移8π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位3．设],[b a X =，],[d c Y =都是闭区间，则“直积”},|),{(Y y X x y x Y X ∈∈=⨯表示直角坐标平面上的A ．一条线段B ．两条线段C ．四条线段D ．包含内部及边界的矩形区域 4．设4324641)(x x x x x f +-+-=，则导函数)('x f 等于A ．3)1(4x -B ．3)1(4x +-C ．3)1(4x +D ．3)1(4x --5．设0>a ，1≠a ，若函数)21(≤≤=x a y x 的最大值比最小值大2a，则实数a 的值是 A ．2或21 B ．21或23 C ．23或32 D ．32或26．公差不为零的等差数列}{n a 中，2a ，3a ，6a 成等比数列，则其公比q 为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．已知向量y x b a ,,,满足1||||==b a ，0=⋅b a ，且⎩⎨⎧-=+-=yx b yx a 2，则|y ||x |+等于A ．32+B ．52+C ．53+D ．78．如果二次方程02)1(22=-++-a x a x 有一个根比1大，另一个根比1-小，则实数a 的取值范围是A ．（3-，1）B ．（2-，0）C ．（1-，0）D ．（0，2） 9．若偶函数)(x f 在]0,(-∞内单调递减，则不等式)(lg )1(x f f <-的解集是BCDA 1B 1C 1D 1A 1图A ．)10,0(B ．)10,101(C ．),101(∞+ D ．),10()101,0(∞+ 10．已知点),(y x 所在的可行域如图2所示．若要使目标函数y ax z +=取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为A ．4B ．41C ．35D ．53二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上．（一）必做题（11～13）11．若△ABC 的三个内角满足C C B B A 222sin sin sin sin sin ++=，则A ∠等于 ． 12．据研究，甲、乙两个磁盘受到病毒感染，感染的量y （单位：比特数）与时间x （单位：秒）的函数关系式分别是x e y =甲和2x y =乙．显然，当1≥x 时，甲磁盘受到的病毒感染增长率比乙磁盘受到的病毒感染增长率大．试根据上述事实提炼一个不等式是 ． 13．给出下列四个命题：①设∈21,x x R ，则11>x 且12>x 的充要条件是221>+x x 且121>x x ； ②任意的锐角三角形ABC 中，有B A cos sin >成立； ③平面上n 个圆最多将平面分成4422+-n n 个部分； ④空间中直角在一个平面上的正投影可以是钝角．其中真命题的序号是 （要求写出所有真命题的序号）． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）圆锥曲线θρcos 11-=的准线的极坐标方程是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是圆O 的直径，弦AD和BC 相交于点P ，且︒=∠120APB ，则AB CD等于 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）设有同频率的两个正弦电流)3100sin(31ππ+=t I ，)6100sin(2ππ-=t I ，把它们合成后，得到电流21I I I +=．（1）求电流I 的最小正周期T 和频率f ；（2）设0≥t ，求电流I 的最大值和最小值，并指出I 第一次达到最大值和最小值时的t 值．2图O 3图17．（本小题满分12分）如图4，正三棱柱111C B A ABC -中，11==AB AA ，P 、Q 分别是侧棱1BB 、1CC 上的三等分点，131BB BP =，C C Q C 1131=．（1）证明：平面⊥APQ 平面C C AA 11； （2）求四面体APQ A 1的体积．18．（本小题满分14分）已知函数)(x f 满足C x x f x x f +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2332')(（其中⎪⎭⎫⎝⎛32'f 为)(x f 在点32=x 处的导数，C 为常数）．（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根，求常数C ．19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和)1(23-=n n a S ，+∈N n ． （1）求}{n a 的通项公式；（2）若对于任意的+∈N n ，有14+≥⋅n a k n 成立，求实数k 的取值范围．20．（本小题满分14分）如图5，G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．（1）设λ=，将用λ、OP 、OQ 表示；BCA1A 1C 1B P Q4图（2）设OA x OP =，y =，证明：yx 11+是定值．21．（本小题满分14分）已知函数]1)1()1lg[()(22+++-=x a x a x f ．设命题p ：“)(x f 的定义域为R ”；命题q ：“)(x f 的值域为R ”． （1）若命题p 为真，求实数a 的取值范围； （2）若命题q 为真，求实数a 的取值范围； （3）问：p ⌝是q 的什么条件？请说明理由．数学（文科）参考答案及评分标准 20091218命题：深圳实验学校高中部 高三数学备课组本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上．（一）必做题（11～13）11． 120° ． 12．xe x 2>． 13． ②④ ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）OABP QMG5图14．1cos -=θρ． 15．21．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）设有同频率的两个正弦电流)3100sin(31ππ+=t I ，)6100sin(2ππ-=t I ，把它们合成后，得到电流21I I I +=．（1）求电流I 的最小正周期T 和频率f ；（2）设0≥t ，求电流I 的最大值和最小值，并指出I 第一次达到最大值和最小值时的t 值． 解：（1）（法1）∵21I I I +=)3100sin(3ππ+=t )6100sin(ππ-+t)100cos 23100sin 21(3t t ππ+=)100cos 21100sin 23(t t ππ-+ …2分t t ππ100cos 100sin 3+=)6100sin(2ππ+=t ，…………………………………………………4分∴电流I 的最小正周期5011002==ππT ，频率501==Tf ． ………………………………………6分 （法2）∵21I I I +=)3100sin(3ππ+=t )6100sin(ππ-+t)3100sin(3ππ+=t ]2)3100sin[(πππ-++t)3100sin(3ππ+=t )3100cos(ππ+-t …………………………2分 )6100sin(2ππ+=t ……………………………………………4分∴电流I 的最小正周期5011002==ππT ，频率501==Tf ．………………………………………6分 （2）由（1）当ππππk t 226100+=+，即300150+=k t ，N ∈k 时，2max =I ； 当π+π=π+πk t 2236100，即75150+=k t ，N ∈k 时，2min -=I ．…9分而0≥t ，∴I 第一次达到最大值时，3001=t ；I 第一次达到最小值时，751=t ．…………………………12分17．（本小题满分12分）如图4，正三棱柱111C B A ABC -中，11==AB AA ，P 、Q 分别是侧棱1BB 、1CC 上的三等分点，131BB BP =，C C Q C 1131=．（1）证明：平面⊥APQ 平面C C AA 11； （2）求四面体APQ A 1的体积．证明：（1）连结AQ ，取AC 中点D ，AQ 中点E ，连结BD 、DE 、EP ．由正三棱柱的性质，平面⊥ABC 平面C C AA 11，……………2分 而AC BD ⊥，⊂BD 平面ABC ， 平面 ABC 平面AC C C AA =11，∴⊥BD 平面C C AA 11．………………………………………………4分又由（1）知，BP CQ DE ==//21//，∴四边形BDEP 是平行四边形，从而BD PE //．∴⊥PE 平面C C AA 11． ………………………………………………8分 而⊂PE 平面APQ ，∴平面⊥APQ 平面C C AA 11．………………10分 （2）由（1）知PE 为三棱锥AQ A P 1-底面AQ A 1上的高，23==BD PE ．………………………………………………………12分 又△AQ A 1的面积21211=⨯=AC A A S ，∴三棱锥AQ A P 1-的体积123232131=⨯⨯=V ，即四面体APQ A 1的体积为123．………………14分 18．（本小题满分14分）已知函数)(x f 满足C x x f x x f +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2332')(（其中⎪⎭⎫⎝⎛32'f 为)(x f 在点32=x 处的导数，C 为常数）．（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根，求常数C ．解：（1）由C x x f x x f +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2332')(，得132'23)('2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x f x x f ．取32=x ，得13232'232332'2-⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ，解之，得132'-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，∴C x x x x f +--=23)(． ……………………………………………………………4分从而()1313123)('2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=x x x x x f ，列表如下：BCA1A 1C 1B PQ4图BCA1A 1C 1B P QDE∴)(x f 的单调递增区间是)3,(--∞和),1(∞+；)(x f 的单调递减区间是)1,31(-．………………8分 （2）由（1）知，C C f x f +=+⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=27531313131)]([23极大值；C C f x f +-=+--==1111)1()]([23极小值．…………………………………10分∴方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根，等价于0)]([=极大值x f 或0)]([=极小值x f ． ………12分∴常数275-=C 或1=C ．…………………………………14分19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和)1(23-=n n a S ，+∈N n ． （1）求}{n a 的通项公式；（2）若对于任意的+∈N n ，有14+≥⋅n a k n 成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）因为)1(23-=n n a S ，+∈N n ，所以)1(2311-=++n n a S ． 两式相减，得)(2311n n n n a a S S -=-++，即)(2311n n n a a a -=++，∴n n a a 31=+，+∈N n ．……………………………………………………………4分又)1(2311-=a S ，即)1(2311-=a a ，所以31=a ． ∴}{n a 是首项为3，公比为3的等比数列．从而}{n a 的通项公式是n n a 3=，+∈N n ．………………………………………7分（2）由（1）知，对于任意的+∈N n ，有14+≥⋅n a k n 成立，等价于n n k 314+≥对任意的+∈N n 成立，等价于max314⎪⎭⎫⎝⎛+≥nn k ．………………10分 而1312281)14(35431431)1(41<+--=++=++++n n n n n n n n ，+∈N n ， ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n 314是单调递减数列．……………………………………………12分 ∴3531143141max=+⨯=⎪⎭⎫⎝⎛+n n ，实数k 的取值范围是),35[∞+．……………………14分20．（本小题满分14分）如图5，G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．（1）设λ=，将用λ、、表示；（2）设OA x OP =，y =，证明：y x 11+是定值．解：（1）)(-+=+=+=λλλλ+-=)1(．…………………………………………4分（2）一方面，由（1），得y x λλλλ+-=+-=)1()1(； ① …………6分 另一方面，∵G 是△OAB 的重心，∴3131)(213232+=+⨯==． ② ………………………8分 而OA 、OB 不共线，∴由①、②，得⎪⎩⎪⎨⎧==-.31,31)1(y x λλ ……………………………10分解之，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.31,331λλyx，∴311=+y x （定值）． …………………………14分21．（本小题满分14分）已知函数]1)1()1lg[()(22+++-=x a x a x f ．设命题p ：“)(x f 的定义域为R ”；命题q ：“)(x f 的值域为R ”． （1）若命题p 为真，求实数a 的取值范围； （2）若命题q 为真，求实数a 的取值范围； （3）问：p ⌝是q 的什么条件？请说明理由．解：（1）命题p 为真，即)(x f 的定义域是R ，等价于01)1()1(22>+++-x a x a 恒成立，…2分等价于1-=a 或⎩⎨⎧<--+=>-.0)1(4)1(Δ,01222a a a …………………………………4分 解之，得1-≤a 或35>a ． ∴实数a 的取值范围为-∞(，35(]1 -，)∞+．……………………………6分 （2）命题q 为真，即)(x f 的值域是R ，OA PQMG5图等价于1)1()1(22+++-=x a x a u 的值域),0(∞+⊇， ……………8分等价于1=a 或⎩⎨⎧≥--+=>-.0)1(4)1(Δ,01222a a a ………………………………10分 解之，得351≤≤a ． ∴实数a 的取值范围为1[，]35．…………………………………………12分 （3）由（1）（2），知p ⌝：]35,1(-∈a ；q ：]35,1[∈a ．而]35,1[]35,1(≠⊃-，∴p ⌝是q 的必要而不充分的条件．……………………14分。