一轮复习学案圆的方程复习学案
[配套K12]2019版高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 8.3 圆的方程学案 文
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8．3 圆的方程[知识梳理] 1．圆的方程标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0) 2．点与圆的位置关系平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系： 设d 为点M (x 0，y 0)与圆心(a ，b )的距离(1)d >r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔M 在圆外；(2)d ＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上；(3)d <r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔M 在圆内．[诊断自测] 1．概念思辨(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．( )(3)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )(4)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF ＞0.( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A2P 120例3)过点C (－1,1)和D (1,3)，圆心在x 轴上的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝10 B ．x 2＋(y ＋2)2＝10 C ．(x ＋2)2＋y 2＝10 D ．(x －2)2＋y 2＝10答案 D解析 依据题意知圆心为CD 的垂直平分线与x 轴的交点．由已知可得CD 的垂直平分线的方程为x ＋y －2＝0，即圆心为(2,0)，所以半径为(2＋1)2＋1＝10，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10.故选D.(2)(必修A2P 124A 组T 1)动圆x 2＋y 2－6mx －2(m －1)y ＋10m 2－2m －24＝0的圆心的轨迹方程是________．答案 x －3y －3＝0解析 圆的方程可化为(x －3m )2＋[y －(m －1)]2＝25.不论m 取何实数，方程都表示圆. 设动圆圆心为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3m ，y 0＝m －1，消去参变量m ，得x 0－3y 0－3＝0，即动圆圆心的轨迹方程为x －3y －3＝0.3．小题热身(1)(2018·西城区期末)圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( )A ．2 B.22C ．1 D. 2答案 D解析 已知圆的圆心是(1，－2)，到直线x －y ＝1的距离是|1＋2－1|12＋12＝22＝ 2.故选D.(2)求圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程． 解 设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上， 所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )． 又该圆经过A ，B 两点，所以|CA |＝|CB |，即(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2，解得a ＝－2，所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10. 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.题型1 求圆的方程典例 根据下列条件求圆的方程．(1)半径为5且与x 轴交于A (2,0)，B (10,0)两点；(2)圆心在直线4x ＋y ＝0上，且与直线l ：x ＋y －1＝0切于点P (3，－2)；(3)已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，求该圆的方程． (1)(3)用待定系数法；(2)用直接法．解 (1)设圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝25， 如图，∵|AB |＝10－2＝8， ∴|AD |＝4.∵|AC |＝5，∴|CD |＝3. ∴a ＝6，b ＝±3.∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y －3)2＝25或(x －6)2＋(y ＋3)2＝25.(2)过P (3，－2)与直线l ：x ＋y －1＝0垂直的直线方程为x －y －5＝0，与4x ＋y ＝0联立解得圆心坐标为(1，－4)，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. (3)设圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意⎩⎪⎨⎪⎧r ＝|2b |，|a －2b |5＝55，2r 2－a 2＝2.解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，r ＝2或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－1，r ＝ 2.∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2. 方法技巧求圆的方程的两种方法1．直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．见典例(2)． 2．待定系数法(1)若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值．见典例(1)(3)．(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．冲关针对训练(2017·甘肃模拟)已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且A (2a,2)，B (－4，a )，C (2a ＋2,2)，则△ABC 的外接圆的方程是( )A ．x 2＋(y －3)2＝5 B ．x 2＋(y ＋3)2＝5 C ．(x －3)2＋y 2＝5 D ．(x ＋3)2＋y 2＝5答案 D解析 由题意，2a ＝－4，∴a ＝－2，∴圆的半径为|BC |2＝(－4＋2)2＋(－2－2)22＝5，圆心为(－3,0)，∴圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝5.故选D.题型2 与圆有关的最值问题角度1 与圆几何性质有关的最值问题(多维探究)典例 (2018·抚顺模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则y x的最大值为________，最小值为________．求k ＝y －0x －0的最值转化为直线y ＝kx 与圆相切． 答案3 － 3解析 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx . 如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.[结论探究1] 若本例中条件不变，求y －x 的最大值与最小值．解 y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.[结论探究2] 若本例中条件不变，求x 2＋y 2的最大值与最小值．解 如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 角度2 建立函数关系求最值典例已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m,0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4∠APB ＝90°，点P 在以AB 为直径的圆上，求m的最大值转化为求半径|OP |的最大值．答案 B解析根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝ 32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.故选B.方法技巧求解与圆有关的最值问题的方法1．借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；见角度1典例． (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题；见结论探究1.(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．见结论探究2.2．建立函数关系式求最值根据题中条件列出关于所求目标式子的函数关系式，再根据函数知识、基本不等式求最值．冲关针对训练1．(2018·福建师大附中联考)已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么PA →·PB →的最小值为( )A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2答案 D解析 设|PO |＝t ，向量PA →与PB →的夹角为θ，则|PA →|＝|PB →|＝ t 2－1，sin θ2＝1t ，cos θ＝1－2sin2θ2＝1－2t 2，∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|cos θ＝(t 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2t 2(t ＞1)，∴PA →·PB →＝t 2＋2t2－3(t ＞1)，利用基本不等式可得PA →·PB →的最小值为22－3，当且仅当t ＝42时，取等号．故选D.2．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17答案 A解析 圆C 1，C 2的图象如图所示．设P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理，|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，连接C ′1C 2，与x 轴交于点P ，连接PC 1，可知|PC 1|＋|PC 2|的最小值为|C ′1C 2|，则|PM |＋|PN |的最小值为52－4.故选A.题型3 与圆有关的轨迹问题典例(2014·全国卷Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．由圆的性质可知：CM ⊥MP ，由直接法可解得(1)．解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165，故△POM 的面积为165.方法技巧与圆有关的轨迹问题的4种求法求与圆有关的轨迹问题时，题目的设问有两种常见形式，作答也应不同．若求轨迹方程，则把方程求出化简即可；若求轨迹，则必须根据轨迹方程，指出轨迹是什么曲线．冲关针对训练1．(2017·南平一模)平面内动点P 到两点A 、B 距离之比为常数λ(λ>0，λ≠1)，则动点P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A (－2,0)，B (2,0)，λ＝12，则此阿波尼斯圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－12x ＋4＝0 B ．x 2＋y 2＋12x ＋4＝0 C ．x 2＋y 2－203x ＋4＝0D ．x 2＋y 2＋203x ＋4＝0答案 D解析 由题意，设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2(x －2)2＋y 2＝12， 化简可得x 2＋y 2＋203x ＋4＝0，故选D.2．已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )． 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 题型4 与圆有关的对称问题典例已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1圆与圆关于直线对称问题转化为圆心关于直线对称问题．答案 B解析 圆C 1的圆心坐标为(－1,1)，半径为1，设圆C 2的圆心坐标为(a ，b )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以圆C 2的圆心坐标为(2，－2)，又两圆的半径相等，故圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.故选B.方法技巧 1．圆的轴对称性圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称(1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称(1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置．见典例． (2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．冲关针对训练1．(2018·锦州期末)若曲线x 2＋y 2＋a 2x ＋(1－a 2)y －4＝0关于直线y ＝x 对称的曲线仍是其本身，则实数a 为( )A.12或－12B.22或－22C.12或－22 D ．－12或22答案 B解析 曲线x 2＋y 2＋a 2x ＋(1－a 2)y －4＝0，即曲线⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1－a 222＝2a 4－2a 2＋174，∵曲线x 2＋y 2＋a 2x ＋(1－a 2)y －4＝0关于直线y ＝x 对称的曲线仍是其本身，故曲线的中心⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 22，－1－a 22在直线y ＝x 上，故有－a 22＝－1－a 22，求得a ＝22或a ＝－22，故选B. 2．已知圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x ＋6y ＋14＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x －y －3＝0答案 D解析 解法一：圆心分别为(0,0)，(3，－3)，其中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32应在直线l 上，经检验答案为D.解法二：两圆方程相减得x －y －3＝0，即为l 的方程．故选D.1.(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．2答案 A解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.故选A.2．(2018·山东青岛一模)已知两点A (0，－3)，B (4,0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 的面积的最小值为( )A ．6 B.112 C ．8 D.212答案 B解析 x 2＋y 2－2y ＝0可化为x 2＋(y －1)2＝1，则圆C 为以(0,1)为圆心，1为半径的圆．如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，连接BP ，AP ，这时△ABP 的面积最小，直线AB的方程为x 4＋y －3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离d ＝165，又AB ＝32＋42＝5，∴△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫165－1＝112.故选B.3．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254解析 由已知可得该圆经过椭圆的三个顶点A (4,0)，B (0，2)，C (0，－2)，易知线段AB 的垂直平分线的方程为2x －y －3＝0.令y ＝0，得x ＝32，所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，0，则半径r ＝4－32＝52.故该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.4．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． 解 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4.又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB ，故坐标原点O 在圆M 上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4，故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )， 圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4，所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10， 圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854， 圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·豫北名校联考)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 答案 D解析 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.2．(2017·湖南长沙二模)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2答案 A解析 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1，故选A.3．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0答案 B解析 设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |， ∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5. ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.故选B.4．(2018·山西运城模拟)已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝0答案 D解析 直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D.5．(2018·唐山期末)若当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝( )A.3π4B.π4C.3π2D.5π4答案 A解析 将圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0化成标准方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－3k 24， ∵半径r 满足r 2＝1－3k 24，当圆取得最大面积时，k ＝0，半径r ＝1.因此直线y ＝(k －1)x ＋2即y ＝－x ＋2.得直线的倾斜角α满足tan α＝－1， ∵直线的倾斜角α∈[0，π)，∴α＝3π4.故选A.6．若方程 16－x 2－x －m ＝0有实数解，则实数m 的取值范围( ) A ．－42≤m ≤4 2 B ．－4≤m ≤4 2C ．－4≤m ≤4D ．4≤m ≤4 2答案 B解析 由题意知方程16－x 2＝x ＋m 有实数解，分别作出y ＝16－x 2与y ＝x ＋m 的图象，如图，若两图象有交点，需－4≤m ≤4 2.故选B.7．(2017·广东七校联考)圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，则1a ＋3b的最小值是( )A ．2 3 B.203 C ．4 D.163答案 D解析 由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，∵圆x 2＋y2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)．∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎪⎫10＋23a b ·3b a ＝163，当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b 时取等号，故选D.8．(2018·唐山一中调研)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1答案 A解析设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.故选A.9．(2017·山东菏泽一模)已知在圆M ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215答案 D解析 圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心M (2，－1)，半径r ＝5，最长弦为圆的直径，∴AC ＝2 5.∵BD 为最短弦，∴AC 与BD 垂直，易求得ME ＝2，∴BD ＝2BE ＝25－2＝2 3.S四边形ABCD＝S △ABD ＋S △BDC ＝12BD ·EA ＋12BD ·EC ＝12BD ·(EA ＋EC )＝12BD ·AC ＝12×23×25＝215.故选D.10．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，则x ＋y 的最大值与最小值是( )A ．6＋22，6－2 2B ．6＋2，6－ 2C ．4＋22，4－2 2D ．4＋2，4－ 2答案 A解析 设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝4相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆的半径2，可得|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.故选A.二、填空题11．(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．答案 (x －2)2＋y 2＝9解析 因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.12．(2017·广东七校联考)一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为________．答案 (x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9 解析 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )， 又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.13．(2017·金牛期末)已知a ∈R ，若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则此圆心坐标是________．答案 (－2，－4)解析 ∵方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆， ∴a 2＝a ＋2≠0，解得a ＝－1或a ＝2，当a ＝－1时，方程化为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5； 当a ＝2时，方程化为x 2＋y 2＋x ＋2y ＋2.5＝0， 此时D 2＋E 2－4F <0，方程不表示圆， 所以圆心坐标为(－2，－4)．14．(2018·河北邯郸模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝8，点A (2,0)，动点M 在圆上，则∠OMA 的最大值为________．答案π4解析 设|MA |＝a ，因为|OM |＝22，|OA |＝2，由余弦定理知cos ∠OMA ＝|OM |2＋|MA |2－|OA |22|OM ||MA |＝(22)2＋a 2－222×22a＝142⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋a≥142×24a·a ＝22，当且仅当a ＝2时等号成立，∴∠OMA ≤π4，即∠OMA 的最大值为π4. 三、解答题15．(2018·洛阳统考)已知圆S 经过点A (7,8)和点B (8,7)，圆心S 在直线2x －y －4＝0上．(1)求圆S 的方程；(2)若直线x ＋y －m ＝0与圆S 相交于C ，D 两点，若∠COD 为钝角(O 为坐标原点)，求实数m 的取值范围．解 (1)线段AB 的中垂线方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4＝0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，所以圆S 的圆心为S (4,4)，圆S 的半径为|SA |＝5，故圆S 的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝25.(2)由x ＋y －m ＝0变形得y ＝－x ＋m ，代入圆S 的方程，消去y 并整理得2x 2－2mx ＋m 2－8m ＋7＝0.令Δ＝(－2m )2－8(m 2－8m ＋7)>0，得 8－52<m <8＋5 2.设C ，D 的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－8m ＋72.依题意，得OC →·OD →<0，即x 1x 2＋(－x 1＋m )(－x 2＋m )<0，即m 2－8m ＋7<0，解得1<m <7. 故实数m 的取值范围是{m |8－52<m <8＋52}∩{m |1<m <7}＝{m |1<m <7}．16．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且y 轴被圆截得的弦长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B 且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0. 设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32，即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43， 知r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，② 由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4. 当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意， 当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意．故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13. (2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)，A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)．由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0， ∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0， 化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，(x －1)2＋y 2＝13，得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122，代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0， ∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意， ∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.。
2020江苏高考数学一轮复习学案：第43课__圆的方程 含解析
第43课 圆 的 方 程1. 掌握圆的标准方程和圆的一般方程，理解方程中各字母参数的实际意义.2. 能根据已知条件合理选择圆的方程的形式，并运用待定系数法求出圆的方程. 注重数形结合的思想方法，并灵活运用平面几何的知识解决有关圆的问题.3. 会进行圆的标准方程与一般方程的互相转化，熟练掌握配方法的应用.1. 阅读：必修2第107～110页.2. 解悟：①圆的标准方程和一般方程的结构有什么特征？其中各参数有怎样的含义？②方程2＋y 2＋D ＋Ey ＋F ＝0表示圆需要什么条件？③圆的标准方程和一般方程如何转化？3. 践习：在教材空白处，完成必修2第111页练习第3、4、5题.基础诊断1. 若方程a 22＋(a ＋2)y 2＋2a ＋a ＝0表示圆，则实数a 的值为 －1 ；若方程2＋y 2＋4m －2y ＋5m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围为 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14∪(1，＋∞) . 解析：若方程a 22＋(a ＋2)y 2＋2a ＋a ＝0表示圆，则⎩⎨⎧a 2＝a ＋2≠0，⎝ ⎛⎭⎪⎫2a a ＋22－4a a ＋2>0，解得a ＝－1.若2＋y 2＋4m －2y ＋5m ＝0表示圆，则4m 2－5m ＋1>0，解得m<14或m>1. 2. 已知A ，B 两点的坐标分别为(0，4)，(4，6)，则以AB 为直径的圆的标准方程为 (－2)2＋(y －5)2＝5 .解析：由题意得，圆心即AB 的中点(2，5)，半径为12AB ＝12（0－4）2＋（4－6）2＝5，故以AB 为直径的圆的方程为(－2)2＋(y －5)2＝5.3. 已知圆过点(1，2)，圆心在y 轴上，半径为1，则该圆的方程为 2＋(y －2)2＝1 Ｗ.解析：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知（0－1）2＋（b －2）2＝1，得b ＝2，故圆的方程为2＋(y －2)2＝1.4. 如果点P(1，1)在圆(－a)2＋(y －a)2＝4的内部，那么实数a 解析：由题意得(1－a)2＋(1－a)2<4，解得1－2<a<1＋ 2.范例导航考向❶ 确定圆的方程例1 分别求满足下列条件的圆的方程：(1) 已知圆过两点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3－y －2＝0上；(2) 经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)；(3) 已知圆C ：2＋y 2＋4－12y ＋39＝0，直线l ：3－4y ＋5＝0，求圆C 关于直线l 对称的圆的方程. 解析：(1) 设所求圆的圆心C(a ，b)，因为CA ＝CB ＝r ，点C 在直线3－y －2＝0上，所以⎩⎨⎧（a －3）2＋（b －1）2＝（a ＋1）2＋（b －3）2，3a －b －2＝0， 解得a ＝2，b ＝4，r ＝10.故所求圆的方程为(－2)2＋(y －4)2＝10.(2) 设所求圆的方程为2＋y 2＋D ＋Ey ＋F ＝0，因为该圆经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)，分别代入，得⎩⎨⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得⎩⎨⎧D ＝－7，E ＝－3，F ＝2，故所求圆的方程为2＋y 2－7－3y ＋2＝0.(3) 由已知得，圆C 的圆心为C(－2，6)，半径为1.设圆D 与圆C 关于直线l 对称，设D(a ，b)，则有⎩⎪⎨⎪⎧3·a －22－4·b ＋62＋5＝0，b －6a ＋2＝－43，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－2， 故所求圆的方程为(－4)2＋(y ＋2)2＝1.圆经过点A(2，－3)和B(－2，－5).(1) 若圆的面积最小，求圆C 的方程；(2) 若圆心在直线－2y －3＝0上，求圆的方程.解析：(1) 要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径，圆心C(0，－4)，半径r ＝12AB ＝5，所以圆C 的方程为2＋(y ＋4)2＝5.(2) 因为AB ＝12，AB 的中点为(0，－4)， 所以AB 中垂线方程为2＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2，所以圆心为(－1，－2)，则半径r ＝10，所以所求的圆的方程为(＋1)2＋(y ＋2)2＝10.考向❷ 含参的圆的方程问题例2 已知圆C 的方程2＋y 2－2a ＋2y ＋a ＋1＝0.(1) 若圆C 上任意点A 关于直线l ：＋2y －5＝0的对称点也在圆上，求实数a 的值；(2) 求圆心C 到直线a ＋y －a 2＝0距离的取值范围.解析：(1) 将圆C 的方程配方得(－a)2＋(y ＋1)2＝a 2－a.由题意知圆心C(a ，－1)在直线l ：＋2y －5＝0上，即a －2－5＝0，所以a ＝7.(2) 由圆方程可知， a 2－a ＞0，解得a ＞1或a ＜0.由方程得圆心C (a ，－1)到直线a ＋y －a 2＝0的距离d ＝|a 2－1－a 2|a 2＋1＝1a 2＋1. 因为a ＞1或a ＜0，所以a 2＋1＞1，所以0＜d ＜1，所以所求距离的取值范围为(0，1).已知圆C 经过不同的三点P(m ，0)，Q(2，0)，R(0，1)，且CP 的斜率为－1.(1) 求圆C 的方程；(2) 过原点O 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，且l 1交圆C 于E ，F 两点，l 2交圆C 于G ，H 两点，求四边形EGFH 面积的最大值.解析：(1) 设圆C 的方程为2＋y 2＋D ＋Ey ＋F ＝0，则点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2. 因为圆C 经过不同的三点P(m ，0)，Q(2，0)，R(0，1)，且CP 的斜率为－1，所以⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，－D 2＝2＋m 2，－E 2－0－D 2－m＝－1，解得⎩⎨⎧D ＝1，E ＝5，F ＝－6，m ＝－3，故圆C 的方程为2＋y 2＋＋5y －6＝0.(2) 由(1)得圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－52，R ＝52，设圆心C 到直线l 1，l 2的距离分别为d 1，d 2， 则d 21＋d 22＝OC 2＝132. 又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫EF 22＋d 21＝R 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫GH 22＋d 22＝R 2， 两式相加，得EF 2＋GH 2＝74≥2EF ·GH ，当且仅当EF ＝GH ＝37时取等号，所以S 四边形EGFH ＝12EF ·GH ≤372，即四边形EGFH 面积最大为372. 【备用题】 已知点(，y)在圆(－2)2＋(y ＋3)2＝1上.求：(1) ＋y 的最大值和最小值；(2) y x的最大值和最小值； (3) 2＋y 2的取值范围.答案：(1) ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1.(2) y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233. (3) 2＋y 2的取值范围是[14－213，14＋213].自测反馈 1. 当m ＝ 2 时，方程m 2＋my 2－4(m －1)＋4y ＝0表示的圆的面积最小.解析：因为m 2＋my 2－4(m －1)＋4y ＝0，化为标准方程为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2（m －1）m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2m 2＝4（m －1）2＋4m 2，所以R 2＝4（m 2－2m ＋2）m 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2－2m ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1m －122＋2，当1m －12＝0，即m ＝2时，R 2取最小值，此时圆的面积最小.2. 已知点P(2，1)在圆C ：2＋y 2＋a －2y ＋b ＝0上，P 关于直线＋y －1＝0对称的点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为 (0，1) ，半径为 2 .解析：由题意知圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，1在直线＋y －1＝0上，所以－a 2＋1－1＝0，得a ＝0，所以圆心C(0，1)，半径r ＝（2－0）2＋（1－1）2＝2.3. 已知圆C 的方程为(－a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)，下列结论正确的是 ①②③ Ｗ.(填序号)①当a 2＋b 2＝r 2时，圆C 必过原点；②当a ＝r 时，圆C 与y 轴相切；③当b ＝r 时，圆C 与轴相切；④当b<r 时，圆C 与轴相交.解析：①②③正确；当b<r 时，圆心到轴的距离为|b|，只有当|b|<r 时，圆与轴相交，而b<r 不能保证|b|<r ，故④错.4. 已知圆C ：2＋(y ＋4)2＝4，点A(－2，0)，B(2，0)，P(，y)是圆C 上的任意一点，则PA 2＋PB 2的取值范围为 [16，80] Ｗ.解析：PA 2＋PB 2＝(＋2)2＋y 2＋(－2)2＋y 2＝2(2＋y 2)＋8.又因为P(，y)是圆C 上的任意一点，设2＋y 2＝r 2，则r ∈[OC －2，OC ＋2]，即r ∈[2，6]，所以2＋y 2∈[4，36]，所以PA 2＋PB 2∈[16，80].1. 熟练掌握圆的标准方程和圆的一般方程，熟练掌握由圆的标准方程和一般方程求圆心和半径.2. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆，同样用代数方法(方程)研究圆时，确定一个圆需要三个独立的条件，反映在圆的标准方程中，有三个参数a ，b ，r ；反映在圆的一般方程中也有三个参数D ，E ，F.在求圆的方程时要根据具体条件选择适当的形式通过待定系数法解方程(组)得到.3. 你还有哪些体悟，写下;：。
高三第一轮复习圆的方程及求法
圆的方程及求法【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 主干知识归纳1．圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 2．圆的方程：方法规律总结1．待定系数法求圆的方程(1) 若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；(2) 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值． 2．几何法求圆的方程：利用圆的有关几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”、“半径， 弦心距，弦长的一半构成直角三角形”等．3．求与圆有关的轨迹问题的四种方法【指点迷津】【类型一】确定圆的方程【例1】：求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的方程 【解析】： 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意列出方程组()()⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-=+013211222222b a r b a r b a ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧=-==534r b a ,∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. 答案：(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.【例2】：已知圆心为C 的圆经过点A (0，－6)，B (1，－5)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆的标准方程．【解析】：法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2.由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-+-+=+--0205)5(106)6(222E D F E D F E ,消去F 得⎩⎨⎧ D ＋E －10＝0D －E －2＝0，解得⎩⎨⎧D ＝6E ＝4，代入求得F ＝－12，所以圆的方程为x 2＋y 2＋6x ＋4y －12＝0，标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 法二：因为A (0，－6)，B (1，－5)，所以线段AB 的中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－112，直线AB 的斜率k AB ＝1)6(5----＝1，因此线段AB 的垂直平分线l 的方程是y ＋112＝－⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋y ＋5＝0.圆心C 的坐标是方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＋5＝0x －y ＋1＝0的解，解得⎩⎨⎧x ＝－3y ＝－2，所以圆心C 的坐标是(－3，－2)．圆的半径长r ＝|AC |＝22)26()30(+-++＝5，所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 答案：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.【类型二】与圆有关的轨迹问题【例1】：已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．【解析】：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON (图略)，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 答案：(1) (x －1)2＋y 2＝1. (2) x 2＋y 2－x －y －1＝0.【例2】：已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 中点M 的轨迹方程．【解析】：(1)设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1. 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1， 所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．(2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32(x ≠3且x ≠1)，y ＝y 0＋02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)上运动，将x 0，y 0代入该方程得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．答案：(1) x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．(2) (x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．例3．(2010·山东烟台调研)若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C (－a ，a )的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为( )A ．y 2－4x ＋4y ＋8＝0B ．y 2＋2x －2y ＋2＝0C ．y 2＋4x －4y ＋8＝0D ．y 2－2x －y －1＝0【解析】：由圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y ＝x －1上，故可得a ＝2，即点C (－2,2)，所以过点C (－2,2)且与y 轴相切的圆P 的圆心的轨迹方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝x 2，整理即得y 2＋4x －4y ＋8＝0. 答案：C.【同步训练】【一级目标】基础巩固组一、选择题1. 已知两点A (9，4)和B (3，6)，则以AB 为直径的圆的方程为( )A ．(x －6)2＋(y －5)2＝10B ．(x ＋6)2＋(y ＋5)2＝10C ．(x －5)2＋(y －6)2＝10D ．(x ＋5)2＋(y ＋6)2＝10【解析】：线段AB 的中点坐标(6，5)为圆心坐标，半径=21|AB|=10答案：A.2. (2014·四川成都外国语学校)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1【解析】：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案：B.3. 若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)【解析】：曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a ＞2. 答案：D.4. 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a ＜－2或a ＞32B ．－32 ＜a ＜0C ．－2＜a ＜0D ．－2＜a ＜32【解析】：方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0转化为(x +2a )2＋(y ＋a )2＝－43a 2－a ＋1，所以若方程表示圆，则有－43a 2－a ＋1＞0，∴3a 2＋4a －4＜0，∴－2＜a ＜32 .答案：D.5. 已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( )A ．⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43B ．⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13【解析】：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43. 答案：C. 二、填空题6. 经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为________． 【解析】：由⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1. 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝1.7. 已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________． 【解析】： ∵圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，∴其圆心为(－1,2)，且5－a ＞0，即a ＜5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4＜1. 答案：(－∞，1).8. 圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，则圆的方程为______________． 【解析】：所求圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，故线段AB 的垂直平分线x ＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x －3y －1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得为(2,1)，进一步可求得半径为2，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝2. 三、解答题9. 已知圆的方程是x 2＋y 2＋2(m －1)x －4my ＋5m 2－2m －8＝0， (1)求此圆的圆心与半径；(2)求证：不论m 为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆． 【解析】：(1)配方得：(x ＋m －1)2＋(y －2m )2＝9∴圆心为(1－m,2m )，半径r ＝3.(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且⎩⎨⎧x ＝1－my ＝2m ，∴2x ＋y ＝2.∴不论m 为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x ＋y －2＝0上，且为等圆．答案：(1) 圆心为(1－m,2m )，半径r ＝3. (2) 圆心在直线2x ＋y －2＝0上，且为等圆．10. (2010·辽宁抚顺调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．【解析】：(1)设AP 中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． ∵P 点在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.答案：(1) (x －1)2＋y 2＝1. (2) x 2＋y 2－x －y －1＝0.【二级目标】能力提升题组一、选择题1. 已知二元二次方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4F ＞0，是方程表示圆的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解析】：取A ＝C ＝4，D ＝2，E ＝2，F ＝1时，满足⎩⎨⎧A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4F ＞0，但是4x 2＋4y 2＋2x ＋2y ＋1＝0不表示圆；方程13x 2＋13y 2＋x ＋y ＋1＝0表示圆，其中A ＝13，C ＝13，D ＝1，E ＝1，F ＝1，但不满足D 2＋E 2－4F ＞0.综上可知，选D ． 答案：D.2. (2010·浙江宁波调研)若直线l ：ax ＋by ＋4＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，则ab 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D.14【解析】：由题意知，圆C 的圆心坐标为(－4，－1)．又直线l 始终平分圆C ，所以直线l 必过圆心，故4＝4a ＋b ≥24ab ，故ab ≤1. 答案：C. 二、填空题3. (2009·扬州调研)若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________．【解析】：∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )， ∴ab ＋ab ＝1， ∴ab ＝12，又OA ＝a 2＋b 2，∴以O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积：S ＝π·OA 2＝(a 2＋b 2)π≥2ab ·π＝π， ∴面积的最小值为π.答案：π.【高考链接】1. （2016年浙江省文科第10题）已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a +2)y 2+4x+8y +5a ＝0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 【解析】：由题可得a 2=a +2，解得a =－1或a =2当a =－1时，方程为x 2＋y 2+4x+8y －5＝0表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5 当a =2时，方程不表示圆 答案：(－2，－4)，5.2. （2009年上海第题）点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1【解析】：设中点M 的坐标为(x ，y )，与之对应的圆上动点Q 的坐标为(x 0，y 0)，显然M 与Q 的对应关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋42，y ＝y 0＋(－2)2，同时Q 满足在圆x 2＋y 2＝4上，即x 20＋y 20＝4；利用M 与Q 的对应关系将x 、y 代入，得中点M 的轨迹方程为：(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案：A.3. （2015年湖北省第16题）如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________； （Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.【解析】:试题分析：设点C 的坐标为00(,)x y ，则由圆C 与x 轴相切于点(1,0)T 知，点C 的横坐标为1， 即01x =，半径0r y =.又因为2AB =，所以222011y +=，即0y r =，所以圆C 的标准方程为22(1)(2x y -+=，令0x =得：1)B .设圆C 在点B处的切线方程为1)kx y -=，则圆心C到其距离为：d ==，解之得1k =.即圆C 在点B 处的切线方程为x 1)y =+，于是令0y =可得x 1=，即圆C 在点B 处的切线在x轴上的截距为1--故应填22(1)(2x y -+=和1--答案：（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）1--。
江苏省盐城市时杨中学高三数学一轮复习导学案：圆的方程 缺答案
44《圆的方程》导学案编制：张发军审核：周根武批准:备注【学习目标】1、在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程;2、掌握圆的标准方程和一般方程的表达式，并能进行简单的应用；3、解决圆的方程的有关综合题。
【问题情境】一、知识回顾：二、预习练习：1、若方程0(2)222=2aa表示圆,则实数a的xyax+++a+值为。
2、以直线0-y+x夹在两坐标轴间的线段为3=412直径的圆的方程是。
3、过点)1,1(),1,1(-x上的+yA，且圆心在直线0-B2=-圆的方程是 。
4、直线)0,0(022>>=+-b a by ax 始终平分圆4)2()1(22=-++y x 的面积，则ab 的最大值为 。
5、若过点)2,1(总可以作两条直线与圆0152222=-++++k y kx y x 相切，则实数k 的取值范围是 。
【我的疑问】第1页共4页【自主探究】例1一个圆与y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上,且在直线x y =上截得的弦长为72,求此圆的方程。
例2求通过直线042:=++y x l 及圆0142:22=+-++y x y xC 的交点，并且有最小面积的圆的方程.例3在平面直角坐标系xOy 中，已知圆0321222=+-+x y x 的圆心为Q ，过点)2,0(P 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点B A ,。
（1）求k 的取值范围； （2）是否存在常数k ，使得向量OB OA +与PQ 共线?如果存在，求k 的值;如果不存在，请说明理由。
备 注第2页共4页【课堂检测】1、过点)1,0(),0,1(),0,0(B A O 三点的圆的方程是____________。
2、方程052422=+-++m y mx y x表示圆的充要条件是__________。
3、经过点)1,1(-C 和)3,1(D ，圆心在x 轴上的圆的标准方程为_________。
4、设b a ,是方程0cos tan 2=-+θθxx的两个不相等的实数根,那么过点),(2a a A 和),(2b b B 的直线与圆122=+y x 的位置关系是。
高考数学一轮复习圆的方程
F＝0，
16＋4D＋F＝0， 2－D＋E＋F＝0，
D＝－4，
解得E＝－6， F＝0，
易得 D2＋E2－4F>0，所以过这
三点的圆的方程为 x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13.
若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点， 设过这三点的圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，分别将三点
第二节
圆与方程
第二节 圆与方程
1.回顾确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 3.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 4.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
必备知识·系统归纳 先整体系统知识，再分课时研究题点考法
Ⅰ.主干知识的再认再现
圆心到直线 l 的距离为 2 ＝ 2<2，所以直线 l 与圆相交．又圆 心不在直线 l 上，所以直线不过圆心．故选 D. 答案：D
4．(人教 A 版选择性必修①P98·T3 改编)直线 y＝ 3x 被圆 C：x2＋y2－2x
＝0 截得的线段长为
()
A．2
B. 3
C．1
D. 2
解析：圆 C：x2＋y2－2x＝0 的圆心为(1,0)，半径为 1，圆心到直线 y ＝ 3x 的距离为 d＝ |3＋3| 1＝ 23，弦长为 2· 1－ 232＝1，故选 C.
16＋4D＋F＝0，
可 得 2－D＋E＋F＝0， 20＋4D＋2E＋F＝0，
D＝－156， 解 得 E＝－2，
F＝－156，
易得 D2＋E2－
4F>0，所以过这三点的圆的方程为 x2＋y2－156x－2y－156＝0，即x－852 ＋(y－1)2＝12659.
2024届新高考一轮复习人教A版 第八章 第3节 圆的方程 课件(31张)
A.1
B.2
C.-4
D.8
解析:由 x2+y2+x+4y-m=0 得(x+)2+(y+2)2=m+4+,所以 m+4+=,
所以 m=-4.
3.(选择性必修第一册P85T1改编)与圆(x-1)2+y2=4同圆心且经过点P(-2,4)的
圆的标准方程为( D )
A.(x-1)2+y2=17
第3节
圆的方程
[课程标准要求]
1.掌握圆的标准方程的特征,能根据所给条件求圆的标准方程.
2.掌握圆的一般方程,能对圆的一般方程与标准方程进行互化,了解二元二次
方程表示圆的条件.
1.圆的定义与方程
定义
标准方程
平面上到 定点 的距离等于 定长 的点的集合叫做圆
2
2
圆心为 (a,b)
2
(x-a) +(y-b) =r (r>0)
.
.
.
1.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
2.同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数.
1.(选择性必修第一册P85T2改编)已知圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=16,下列
= ,
+ - = ,
故所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.故选 C.
法二(几何法)
由
= ,
+ - =
圆心一定在 AB 的中垂线上,A#43;(y-1)2=4.故选 C.
高一数学---圆的方程复习学案
一、选择题：1、点(11)，在圆22()()4x a y a -++=的内部，则a 的取值范围是（ ）Ａ．11a -<< Ｂ．01a << Ｃ．1a <-或1a > Ｄ．1a =±2、若22(1)20x y x y λλλ++-++=表示圆，则λ的取值范围是（ ） Ａ．(0)+，∞Ｂ．114⎡⎤⎢⎥⎣⎦， Ｃ．1(1)()5+- ，∞∞， Ｄ．R3、直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ ）A 22B 4C 24D 2 4、设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（）A 1±B 21±C ．33±D 3±5、直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆E O F （O 是原点）的面积为（ ） Ａ．23 Ｂ．43 Ｃ．52 Ｄ．5566.已知点(1,1)A -和圆2(7)4C x y +-=2：(-5)，一束光线从点A 经x 轴反射到圆周C 的最短路程是( )A.226-B.8C.64D.107．从点P (m ，3)向圆C ：(x +2)2+(y +2)2=1引切线，则切线长的最小值是（ ）（A ）26 （B ）5 （C （D ）4+28.曲线y =与直线(1)2y k x =-+有两个交点时，实数k 的取值范围是( )A.43≤k ＞1 B.314k ≤＜ C.43≥K ≥1 D.1≥k ＜43二、填空题：9、圆心在直线2x +y ＝0上，且与直线x +y －1＝0切于点（2，－1）的圆的方程是10、若圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦长为32，则a =________.11、已知圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0且这个圆经过点A（6，1），求该圆的方程.12、如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（-2，0），直角顶点，顶点C在x 轴上，点P为线段OA的中点．（1）求BC边所在直线方程；（2）M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；13、如果一个圆与圆x2+y2－2x=0外切，并与直线x相切于点M（3），求这个圆的方程.一、选择题：1.已知点A （1，-1），B （-1，1），则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A.222yx+= B.22yx+=C.221yx+= D.224yx+=2.方程224250x y m yx ++-+=表示圆的条件是（ ）A.114m << B.m>1 C. 14m <D.m<13.过点M （3，2）作22:4240O x y yx++-+= 的切线方程是（ ）A.y=2B.5x-12y+9=0C.12x-5y-26=0D.y=2或5x-12y+9=04.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（ ） A. 224(3)(1)x y +=-+ B. 224(3)(1)x y +=+- C.224(1)(1)x y +=-- D.224(1)(1)x y +=++5.自点A(-1,4)作圆221(2)(3)x y +=--的切线，则切线长为（ ）A.B.3C.D.56设两圆都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离=( )A ．4B ．C ．8D ．7、圆02422=++-+c y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB=120°， 则实数c 等于（ ）A.1B.－11C.9D.11 8.过点（2，1）的直线中，被圆22240x y yx +-+=截得的弦为最长的直线方程为（ ）A.3x-y-5=0B.x+3y-5=0C.3x-y-1=0D.3x+y-5=0二、填空题：9.已知直线:40l x y -+=与圆22:2(1)(1)C x y +=--，则C 上各点到l 的距离的最小值为 。
47东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-圆的方程B
圆的方程(学案)B一、知识梳理 1.圆的方程（1）圆的标准方程 圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*） 将（*）式配方得（x +2D ）2+（y +2E ）2=4422F E D -+.当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－2D ，－2E），半径r =21FE D 422-+的圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程.说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：（A x 2+B y 2+Cxy+Dx +Ey +F =0） a.x 2、y 2项系数相等且不为零. b.没有xy 项.（2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2E ），当D 2+E 2－4F ＜0时，方程（*）不表示任何图形.（3）据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. （3）圆的参数方程（4-4选讲内容） ①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ，y =r sin θ ②圆心在O 1（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ，y =b +r sin θ 说明：在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.2.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件若上述二元二次方程表示圆，则有A =C ≠0，B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分.在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +AF=0， 仅当（A D ）2+（A E ）2－4·AF＞0，即D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆. （θ为参数）. ① （θ为参数）. ②故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2－4AF ＞0. 二、题型探究[题型探究一]圆的标准方程1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是A.－1<t <71 B.－1<t <21 C.－71<t <1 D .1<t <2 2.点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是A.｜a ｜＜1B.a ＜131C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜131 3.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点B.当a =r 时，圆与y 轴相切C.当b =r 时，圆与x 轴相切 D .当b <r 时，圆与x 轴相交4.（2005年北京海淀区期末练习）将圆x 2+y 2=1按向量a 平移得到圆（x +1）2+（y －2）2=1，则a 的坐标为____________.5.已知P （1，2）为圆x 2+y 2=9内一定点，过P 作两条互相垂直的任意弦交圆于点B 、C ，则BC 中点M 的轨迹方程为____________. [题型探究二]圆的方程的应用：【例1】 （2003年春季北京）设A （－c ，0）、B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹.【例2】 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程.【例3】 已知⊙O 的半径为3，直线l 与⊙O 相切，一动圆与l 相切，并与⊙O 相交的公共弦恰为⊙O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程.三、方法提升：1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a 、b 、r 或D 、E 、F ）的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a 、b 、r （或D 、E 、F ）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值.2.求圆的方程的一般步骤：（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；（2）根据所给条件，列出关于D 、E 、F 或a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出D 、E 、F 或a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程.3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题. 四、反思感悟1.在二元二次方程中x 2和y 2的系数相等并且没有x 、y 项只是表示圆的必要条件而不是充分条件.2.如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程.如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.3.在一般方程中，当D 2+E 2－4F =0时，方程表示一个点（－2D ，－2E），当D 2+E 2－4F <0时，无轨迹.4.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简单化.5.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用，应熟练掌握. 五、课时作业：1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则A.D +E =0B. B.D +F =0C.E +F =0D. D +E +F =02.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条 D .4条3.（2005年黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________.4.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的 距离的最小值为____________.5.（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足OP ·=0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.6.已知实数x 、y 满足x 2+y 2+2x －23y =0，求x +y 的最小值.培养能力7.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2－4x +1=0.求（1）xy的最大值和最小值； （2）y －x 的最小值；（3）x 2+y 2的最大值和最小值.8.（文）求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.（理）已知动圆M ：x 2+y 2－2mx －2ny +m 2－1=0与圆N ：x 2+y 2+2x +2y －2=0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周.（1）求动圆M 的圆心的轨迹方程； （2）求半径最小时圆M 的方程.探究创新9.（2013年黄冈市调研考试题）如图，在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy =60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP =x e 1+y e 2（其中e 1、e 2分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量），则P 点斜坐标为（x ，y ）.（1）若P 点斜坐标为（2，－2），求P 到O 的距离|PO |； （2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程.拓展题例10、 圆x 2+y 2=1内有一定点A （21，0），圆上有两点P 、Q ，若∠P AQ =90°，求过点P 和Q 的两条切线的交点M 的轨迹方程.11、如图，过原点的动直线交圆x2+（y－1）2=1于点Q，在直线OQ上取点P，使P 到直线y=2的距离等于|PQ|，求动直线绕原点转一周时P点的轨迹方程.。
2019届高考理科数学一轮复习学案：第48讲 圆的方程
考向 3 距离型最值问题
4 (1)[2017·嘉兴一中联考] 已知圆 C:(x-2)2+(y+m-4)2=1,当 m 变化时,圆 C 上的点与原
点 O 的最短距离是
.
(2)若 P 是圆 C:(x+3)2+(y-3)2=1 上任一点,则点 P 到直线 y=kx-1 距离的最大值为 ( )
A.4 B.6
C.3 -1 D.2
[总结反思] 求解形如|PM|+|PN|且与圆 C 有关的折线段的最值问题(其中 M,N 均为动点)的基 本思路:(1)“动化定”,把与圆上的点的距离,转化为与圆心的距离;(2)“曲化直”,即将折 线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决. 强化演练
1.【考向 1】设实数 x,y 满足(x+2)2+y2=3,那么 的取值范围是 ( )
(3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程. (4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式列方程.
式题 (1)[2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考] 自圆 C:(x-3)2+(y+4)2=4 外一点 P(x,y) 引该圆的一条切线,切点为 Q,切线的长度等于点 P 到原点 O 的距离,则点 P 的轨迹方程为
A.x2+y2=1
B.x2+y2=1
C.x2+y2=1
D.y=
(2)点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是 ( ) A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1 [总结反思] 与圆有关的轨迹问题的四种常用求解方法: (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:根据圆、直线等的定义列方程.
2025高考数学一轮复习-2.1.2-圆的一般方程【课件】
[跟进训练] 2．已知圆 C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线 x＋y－1＝0 上，且圆心在第二象限，半径长为 2，求圆的一般方程． [解] 圆心 C－D2 ，－E2， ∵圆心在直线 x＋y－1＝0 上， ∴－D2 －E2－1＝0， 即 D＋E＝－2.①
又∵半径长 r＝ D2＋2E2－12＝ 2， ∴D2＋E2＝20.② 由①②可得DE＝＝－2，4 或ED＝＝2－. 4， 又∵圆心在第二象限，∴－D2 ＜0，即 D＞0. 则DE＝＝－2，4. 故圆的一般方程为 x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
＋Ey0＋F>0．
()
[解析] (1)正确．圆的方程都能写成一个二元二次方程． (2)正确．圆的一般方程和标准方程是可以互化的． (3)错误．当 a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即－2<a<23时才表示圆． (4) 正 确 ． 因 为 点 M(x0 ， y0) 在 圆 外 ， 所 以 x0＋D2 2 ＋ y0＋E2 2 >D2＋E42－4F，即 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0. [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
方程
条件
图形
D2＋E2－4F＜0
不表示任何图形
x2＋y2＋ Dx＋Ey＋
F＝0
D2＋E2－4F＝0 D2＋E2－4F＞0
表示一个点－D2 ，－E2
表
示
以
－D2 ，－E2
为
圆
心
，
以
1 2
D2＋E2－4F为半径的圆
么？
方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的条件是什
[提示] A＝C≠0，B＝0 且 D2＋E2－4F＞0.
(2)圆心坐标和半径． [解] (2)将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 写成标准方程为(x ＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m，1)，半径 r＝ 1－5m.
2014届高三数学一轮复习导学案：圆的方程
4
5
5、若圆： x2 y 2 4x ay 3 0 上任意一点关于直线 x y 1 0 的对称 点都在圆 C 上，则 a _____ . 三：课堂研讨 例 1.根据下列条件分别求圆的方程。 ⑴Δ ABC 顶点的坐标是 A（4，3） ，B（5，2） ，C（1，0） ，求它的外接圆方程。 ⑵由 y x, x 2 和 y 0 围成的三角形内切圆方程。 ⑶经过两圆 x 2 y 2 4, x 2 y 2 4x 4 y 4 0 的交点，且关于直线 x 2 y 1 0 对称的圆的方程。
对称， 它截 x 轴所得弦长为
3.M（3，0）为圆 x 2 y 2 8x 2 y 10 0 内一点，过 M 点最长的弦的在 直线方程为 ，以 M 为中点的弦所在直线方程为 . .
4.圆 ( x 3) 2 ( y 2) 2 1 上点到 x 轴、 y 轴距离之和的最大值为
课题：圆的方程
班级
姓名： 备 注
一：学习目标 了解确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程，能根据 问题的条件选择恰当的形式求圆的方程。 二：课前预习
（ 1，-2） 1.⑴圆以 为圆心且与直线 x y 6 相切的圆的方程是____________.
⑵过点 (2, 2) ，圆心是 C (3, 0) 的圆的方程为_________________. ⑶经过点 A(1,1), B(1,3) ，圆心在 x 轴上的圆的方程是_______________. 2. 若方程 a 2 x 2 (a 2) y 2 2ax a 0 表示圆，则 a = 为 ， 半径为 ， 它关于点 ，圆心坐标 。
例 2.设圆 C 满足：⑴截 y 轴所得弦长为 2； ⑵被 x 轴分成的两段弧长之比为 3：1；
高三一轮复习圆的方程 (修复的)
8．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为__________．
9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
C．x－y＝0D．x＋3y－4＝0
4．从圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为()
A.B.C.D．0
5．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有()
A．1条B．2条C．3条D．4条
6．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是______________．
例1 根据下列条件，求圆的方程：
(1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；
(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．
(1)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
题型四直线与圆的位置关系
例4 已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.
(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．
高三数学一轮复习 9-3圆的方程学案
8、已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ＝90°,求线段PQ中点的轨迹方程．
四．知识梳理，归纳总结
授课时间
年 月 日
第 周
星期
编号
课题
圆的方程
课型
复习
学习目标
探索并掌握圆的标准方程和一般方程
理解并应用圆的方程求解的方法和点的轨迹方程的求法
学习重点
掌握确定圆的几何要素, 掌握圆的标准方程和圆的一般方程,
学习难点
围绕圆的几何性质进行合理转化,运用方程思想列出关于参数： (或 )得到方程组,进而求出圆的方程
导学设计
一.学情调查，情景导入
1、圆的定义是；
2、圆的标准方程是，圆心坐标，半径=__，
3、圆的一般方程是,圆心坐标，半径=，
4、点 在圆 内的条件是，在圆外的条件是，在圆上的条件是。
5、方程 表示的轨迹，①当时，方程表示是圆；②当时，方程表示是点；③当____时，方程不表示任何图形。
二.问题展示，合作探究
1、求圆的方程的方法
2、求点的轨迹方程的方法
五、预习指导，新课链接
掌握直线与圆、圆与圆的位置关系，及其判定方法。完成下节学案
探究一:圆的方程的求解
例1：已知圆心在直线 上，并且经过点 ，求此圆的方程。
变式训练：已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，1），B（6，－3），
C（－3，0），求△ABC外接圆的方程
探究二：点的轨迹方程求解
例2、已知定点A（4,0），P点是圆 上的一动点，Q点是AP的中点，求点Q的轨迹方程
高二小高考后数学一轮复习学案圆的方程
48 圆的方程一、基础训练1．圆22(2)(3)16x y -++=的圆心坐标为 ，半径为 ．圆22240x y x y +-+=的圆心坐标为 ，半径为 ．2．若曲线222610x y x y ++-+=上相异的两点,P Q 关于直线40kx y +-=对称，则k 的值为 ．3．动圆2222220x y x k k +--+-=的半径的取值范围是 ．4．过点(1,1)A -，(1,1)B -，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是 ．5．以直线34120x y -+=夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程是 ．6．关于曲线220x y ++-=对称性的判断：○1关于直线y =○2关于直线y x =-成轴对称；○3关于点(成中心对称；○4关于点(成中心对称． 其中正确的是 ．（写出所有正确判断的序号）7．若圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=（,a b R ∈）对称，则ab 的取值范围是 ．8．圆22(1)(3)1x y -+-=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是 ．二、例题精讲例1．已知圆C 和直线6100x y --=相切于点(4,1)-，且经过点(9,6)，求圆C 的方程．例2．一圆经过(3,2)A -，(2,1)B 两点，求分别满足下列条件的圆的方程．（1）圆心在直线230x y --=上；（2）在两坐标轴上的四个截距之和为2．例3．求过直线240x y ++=和圆222410x y x y ++-+=的交点，且面积最小的圆的方程．例4．在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数2()2f x x x b =++（x R ∈）的图像与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．（1）求实数b 的取值范围；（2）求圆C 的方程；（3）问圆C 是否经过定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．三、巩固练习1．方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的充要条件是 ．2．经过点(1,1)C -和(1,3)D ，圆心在x 轴上的圆的标准方程为 ．3．若PQ 是圆O ：229x y +=的弦，PQ 的中点是(1,2)M ，则直线PQ 的方程是 ．4．方程22x y x y +=+表示封闭的曲线所围成图形的面积是 ．四、要点回顾1．“选形式，求参数”是确定圆方程的基本方法．圆心是圆的定为条件，半径是圆的定形条件．方程220x y Dx Ey F ++++=只有当2240D E F +->时才表示圆，用配方法可化为圆的标准方程．2．求圆的方程有两种方法：○1代数法，即用“待定系数法”求圆的一般方程．○2几何法，通过圆的性质，直线与圆的关系求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．圆的方程作业1．把圆的方程()()()()32240x x y y -++-+=化为圆的标准方程是 ．2．圆()2225x y ++=关于原点()0,0对称的圆的方程为 ．3．已知两点(1,0)A -，(0,2)B ，点P 是圆()2211x y -+=上任意一点，则PAB ∆面积最大值是 ．4．圆心在直线20x y +=上，且与直线10x y +-=相切于点(2,1)-的圆的方程是 ．5．方程1x -=表示的曲线是 ．6．经过点(2,4)P -，且以两圆2260x y x +-=和224x y +=的公共弦为一条弦的圆的方程是 ．7．如图是某拱桥的一孔示意图，该圆拱跨度20AB =m ，拱高4OP =m ，在建造时每隔4m 需用一根支柱支撑，求支柱22A P 的长度．（精确到0.01m ）8．试判断四点(1,2)A ，(0,1)B ，(1,6)C -，(4,3)D 是否在同一圆上．9．如图，平面直角坐标系xOy 中，AOB ∆和COD ∆为两等腰直角三角形，(2,0)A -，(,0)C a （0a >）．设AOB ∆和COD ∆的外接圆圆心分别为,M N ．（1）若圆M 与直线CD 相切，求直线CD 的方程；（2）是否存在这样的圆N ，使得圆N上有且只有三个点到直线AB 此时圆N 的标准方程；若不存在，请说明理由．10．已知(,)P t t ，t R ∈，点M 是圆1O ：()22114x y +-=上的动点，点N 是圆2O ：()22124x y -+=上的动点，求PN PM -的最大值．。
高考数学一轮复习 圆的标准方程、圆的一般式方程2
2008高考数学一轮复习圆的标准方程、圆的一般式方程【复习目标】1.掌握圆的标准方程和一般方程；2.能判断点和圆的位置关系；会由圆的方程和直线方程讨论圆与直线的位置相关性质，会由圆的方程讨论两圆的位置关系；3.会求圆的切线方程。
【重点难点】建立数形结合的概念，(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法求一般方程，掌握直线和圆的位置关系的讨论以及圆的相关性质，掌握用代数方法研究几何问题的方法并解决相应的具体问题。
【知识结构】【基础知识】【课前预习】1.写出下列各圆的方程：（1）圆心在原点，半径是3；（2）圆心在点(3，b)；（3）经过点P(5，1)，圆心在点O(8，-3)．（4）圆心在x 轴上且过点O(-1，1)和D(1，3)的圆的方程 （5）求以O(1，3)为圆心，且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程 2. x 2+y 2-x+y+F=0表示一个圆，则实数F 的取值范围是3. 经过圆C ：x 2+y 2 =1上一点（1,2）的切线方程4.过原点与x 轴、y 轴的交点分别是（a,0）、(0，b)（ab ≠0）的圆的方程为5. “a=b ”是“直线y=x+2与圆(x-a)2+(y-b)2=2”相切的 （ ） (A) 充分不必要条件 (B)必要不充分条件 （C ）充分必要条件 (D) 既不充分又不必要条件6.设直线l 过点（-2，0），且与圆相切，则l 的斜率是 （ ）(A) ±1 (B) ±12（C (D) 【例题分析】【例1】求以C(-1，2)为圆心，且和直线l:2x-3y-5=0相切的圆的方程．【例2】当M(x 0，y 0)在(x-a)2+(y-b)2=r 2上时，求过M(x 0，y 0)，圆的切线方程。
【例3】经过点A(3，2)、圆心在直线y=2x 上且和直线y=2x+5相切的圆的方程【例4】(1) 已知直线x-y+b=0与圆x 2+y 2=8相切，求b 的值．（2）求圆心在x 轴上且过点O(-1，1)和D(1，3)的圆的方程．（3） 点M 在圆(x-5)2+(y-3)2=9上，则M 点到直线3x+4y-2=0的最短距离为 ( )A ．9B ．8C ．5D ．2（4）圆0104422=---+y x y x 上的点到直x +y －14=0的距离的最大值与最小值的差是（ ）A ．36B ．18C ．62D ．52【例5】(1)圆的弦AB的中点为P（3，1），求直线AB的方程．(2) 求过点M（2，x2+y2=4相切的直线方程.（3）求过点M（-3，1）且与圆x2+y2-4x-8y+18=0相切的直线方程.【例6】求与x轴相切于电（2，0）且在y轴上截取的弦长是4的圆的方程.【例7】（1）已知定点A（0，0）和圆x2+y2=1上的动点，求线段的中点的轨迹方程.（2）已知定点A（1，1）和圆（x-2）2+（y+1）2=4上的动点，求线段的中点的轨迹方程.【例8】求满足下列条件的圆的方程：（1）求过点M（4，-1）且与已知圆C：x2+y2+2x-6y+5=0相切于点B（1，2）的圆的方程．（2）求圆C：x2+y2-2y-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程．（3）求与直线x+y-2=0和圆C：x2+y2—12x-12y-54=0都相切的半径最小的圆的方程．【例9】圆M的圆心在直线l1：x-y-1=0上，且和直线l2:4x+3y+14=0相切，又截直线l3:3x+4y+10=0所得的弦长为6，求圆M的方程.【例10】如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得.PM 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.[分析]：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：ＰＭ＝NPN 2,即 ＰＭ２＝２ＰＮ２，结合图形由勾股定理转化为：)1(212221-=-PO PO ,设P(x,y)由距离公式写出代数关系式,化简整理得出所求轨迹方程.[解析]:以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O 1（-2，0），O 2（2，0），由已知：ＰＭ＝PN 2,即ＰＭ２＝２ＰＮ２，因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212221-=-PO PO ，设P （x,y ）则（x+2）2+y 2-1=2[(x-2)2+y 2-1]， 即33)6(22=+-y x综上所述，所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ） [评析]:本题命题意图是考查解析几何中求轨迹方程的方法,考查建立坐标系,数形结合数学思想方法,勾股定理,两点间距离公式等相关知识点,及分析推理、计算化简技能、技巧等。
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圆的方程教学目标：1.掌握圆的标准方程和一般方程；2.理解圆的一般方程与标准方程的联系；会熟练地互化。
3.会根据条件准确的求圆的方程教学重点：利用圆的方程解决一些问题教学难点：能准确的利用圆的方程解决问题知识梳理：1. 关于圆的知识：平面内到的距离等于的点的集合．．．．称为圆。
我们把定点称为，定长称为。
确定了圆的位置, 确定了圆的大小。
在平面直角坐标系中，已知：圆心为)aA, 半径长为r，圆上的任意一点)(b,xM应该满(y,MA=足的关系式？r2.圆的标准方程是__________________________，其中圆心________，半径为_____。
题型一：由圆的的标准方程写出圆心和半径：练习：⑴根据条件写圆的方程：①圆心)1,2(-，半径为2②圆心)3,0(，半径为3③圆心)0,0(，半径为r（2）：由圆的标准方程写出下列圆的圆心坐标和半径。
12圆心坐标 半径6)1()4(22=-+-y x __________ __________4)4()1(22=++-y x __________ __________9)2(22=++y x ___________ ___________8)3(22=-+y x __________ __________222)3(-=+y x __________ __________222)(a y a x =+- ___________ ___________总结： 特别地，当)0,0(),(=b a 时，圆的方程变为___________题型二：由圆心和半径写出圆的的标准方程：(1) 圆心在)1,2(A ，半径长为4； __________________________(2) 圆心在)4,3(-A ，半径长为5； __________________________(3) 圆心在)2,3(--A ，半径长为5； __________________________(4)已知 )3,6(),9,4(21P P ，求以线段21P P 为直径的圆的方程 例1已知圆心在)4,3(--C ，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点)0,1(1-P 、)1,1(2-P 、)4,3(3-P 和圆的位置关系。
例1. 判断下列各点是否在以)3,2(-A 为圆心，半径为5的圆上？3 (1) )7,5(1-M (2) )1,2(2--M (3) )1,3(3-M分析：点在圆上，则点的坐标满足圆的方程；反之，点的坐标满足圆的方程，则点在圆上。
归纳规律：坐标平面内的点),(000y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有哪些？ ① 点在圆上⇔______________________② 点在圆内⇔______________________③ 点在圆外⇔______________________例2.已知ABC ∆的三个顶点)1,5(A 、)3,7(-B 、)8,2(-C ，求它的外接圆方程。
例3.求圆心在直线01=+-y x ，且经过)1,1(A 和)2,2(-B 的圆的标准方程。
课后练习1.圆22:(2)(1)3C x y -++=的圆心坐标是( )A.(2,1)B.(2,1)-C.(2,1)-D.(2,1)--2. 圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝143.若点(1,1)P 为圆22(3)9x y -+=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( )A.230x y +-=B.210x y -+=C.230x y +-=D.210x y --=4.方程y =( )A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆5.已知BC 是圆x 2＋y 2＝25的动弦，且|BC|=6，则BC 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝4B ．x 2＋y 2＝9C ．x 2＋y 2＝16D ．x ＋y ＝46.若圆C 与圆22(2)(1)1x y ++-=关于原点对称，则圆C 的标准方程为 .7.求过点(11),(1,1)A B --，,且圆心C 在直线20x y +-=上的圆的标准方程8.求圆心在直线270x y --=上且与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --的圆的标准方程9. 圆C 的圆心在x 轴上，并且过点)1,1(-A 和)3,1(B ，求圆C 的方程。
10.点)22(-，-P 和圆422=+y x 的位置关系是（ ）A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上都不对11.若)1,1(在圆4)()(22=-++a y a x 的内部，则实数a 的取值范围是____________。
512.求以点)3,1(C 为圆心，且与直线0743=--y x 相切的圆的方程。
一轮复习-------圆的一般方程复习初中学习的内容：圆的标准方程常用的几何性质:①弦的垂直平分线必过_________；②圆内任意两条弦的垂直平分线的交点一定是________；③圆心与切点的连线长是____________；④圆心与切点的连线必与切线___________。
一、知识点梳理：圆的一般方程：思考：①方程4)2()1(22=++-y x 表示什么图形？②方程014222=++-+y x y x 表示什么图形？③方程022=++++F Ey Dx y x 一定是圆吗？064222=++-+y x y x 呢？【总结】⑴二元一次方程022=++++F Ey Dx y x ，配方得____________________________， ①0422>-+F E D 时，该方程表示________________，②0422=-+F E D 时，该方程表示________________，③0422<-+F E D 时，该方程表示________________，⑵圆的一般方程______________________________________________其中圆心_____________，半径为_________________6例1.判断下列二元一次方程是否表示圆的方程？如果是，求出圆心和半径。
⑴ 044822=+++y x y x - ⑵0822=-+y y x⑶0111244422=++-+y x y x例2. 求过三点)0,0(A 、)1,1(B 、)2,4(C 的圆的方程。
二、课后练习：1. 圆22410x y x +--=的圆心和半径分别为 （ ）.A ．(2,0),5B ．(0,2)-, 5C ．(0,2), 5D ．(2,2) ,52. 若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则有（ ）.A ．2m ≤ B. 2m < C ．12m < D ．12m ≤ 3.若直线l 平分圆5)2()1(22=-+-y x 且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是_________。
4.将圆014222=+--+y x y x 平分的直线是（ ）7A.01=-+y xB.03=++y xC.01=+-y xD.03=--y x5. 求过点M(-1,1) ，且圆心与已知圆C ：036422=-+-+y x y x 相同的圆的方程6.求 圆22450x y x +--=的点到直线34200x y -+=的距离的最大值.7.已知圆过)2,3(),4,1(-B A ，且圆心到直线AB 的距离为10.求这个圆的方程。
三、课后作业（一）1.方程022=+++m y x y x -表示圆，则m 的取值范围____________。
2.将圆014222=+--+y x y x 平分的直线是（ ）A.01=-+y xB.03=++y xC.01=+-y xD.03=--y x3.已知圆0322=++++Ey Dx y x ，圆心在直线01=-+y x 上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的方程。
84. 经过点M (2，1)，并且与圆2268240x y x y +--+=相切的直线方程是 .5．直线20x y +=被曲线2262150x y x y +---=所截得的弦长等于__________．6．如果实数, x y 满足等式22(2)3x y -+=，那么yx 的最大值是________．7．圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离最大值是（ ）.A ．2 B．1 C．12+ D．1+8．圆2240x y x +-=在点(1,P 处的切线方程为（ ）.A．20x +-= B．40x +-= C．40x -+= D．20x -+=9. 过点A (2，1)的直线交圆x 2+y 2-2x +4y = 0与B 、C 两点，当|BC |最大时，直线BC 的方程是（）. A ．350x y --= B ． 370x y +-= C ．350x y +-= D ．350x y -+=910. 已知圆C ：x 2+y 2-2x +4y +1=0，那么与圆C 有相同的圆心，且经过点(-2，2)的圆的方程是（ ）.A ．22(1)(2)5x y -++=B ． 22(1)(2)25x y -++= C ．22(1)(2)5x y ++-= D ． 22(1)(2)25x y ++-=课后作业（二）1.求圆心在)3,8(-C ，且经过点)1,5(--M 的圆的方程。
2.已知三点)2,3(A 、)3,5(-B 、)3,1(-C ，以)12(-，P 为圆心作一个圆，使C B A 、、三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程。
3.已知)9,4(1P 、)3,6(2P ，求以21P P 为直径的圆的方程。
104.求圆心在y 轴，半径为1，且过点)2,1(-的圆的方程。
5.求过)0,4(A 、)3,0(B 、)0,0(O 的圆的方程。
6.求圆心在x 轴上，且过点)2,5(A 、)2,3(-B 的圆的方程。
7.已知圆C 的圆心在直线012=--y x 上，并且经过原点和点)1,2(A ，求圆C 的标准方程。
8.若直线l 平分圆5)2()1(22=-+-y x 且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是_________。
119.求与x 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线0=-y x 截得的弦长为72的圆的方程。
10.求圆034222=++-+y x y x 的圆心到直线1=-y x 的距离。
11.设B A 、为直线x y =与圆122=+y x 的两个交点，求AB12.已知一圆过)2,4(-P 、)3,1(-Q 两点，且在y 轴上截得的线段长为34，求圆的方程。