高等数学讲义课件3-4函数性态研究

f(x) 不存在
0
极
极
f (x)
大
值
小 值
极 大 值 f(0)0， 极 小 值 f(4)6316 5 5 25
定理2(第二充分条件)设 f ( x)在 x0处具有二阶导数, 且 f '( x0 ) 0, f ''( x0 ) 0, 那么 (1)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在 x0处取得极大值; (2)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在 x0处取得极小值. 证 (1 ) f(x 0 ) lx i0f m (x 0 x x ) f(x 0 ) 0,
3.4 函数性态的研究
(一) 单调性和极值 (二) 凸凹性和拐点
（一）、单调性的判别法
y
yf(x) B
A
yA yf(x) B
oa
bx
f(x)0
oa
bx
f(x)0
定 理 1 、 设 函 数 y f ( x ) 在 [ a , b ] 上 连 续 ， 在 ( a , b ) 内 可 导 ，
（ 1 ） 如 果 在 ( a ,b ) 内 f( x ) 0 ， 那 么
(x200) 50
x
1200 100
(x200)6210x0
R(x)(x200)6210x0
R (x) 6210 x0 (x200) 10 10
极大f(值 1)10, 极小值 f(3)2.2
例 2 ： 求 函 数 f(x ) (x 2 )3x 2 的 极 值
解 : f'(x)3x22x25x4 33x 33x
即 ， x 0 为 f( x ) 的 不 可 导 点 ， x 4 为 f( x ) 的 驻 点 。 5
x (, 0) 0 (0, 4 / 5) 4 / 5 (4/5,)
ym ax1cos2
最值的求法
闭区间[a,b]上的连续函数可以取到最值 要么是极值，要么是端点值。
实际问题最值求法:
(1)建立目标函数; 1.求驻点和不可导点;
(2)求最值:
2.求函数值；
3.求最值
注 意 ： 确 定 内 有 最 值 时 ， 目 标 函 数 只 有 唯 一 驻 点 ，
则 该 点 的 函 数 值 即 为 所 求 的 最 值 ．
例 3.已 知 参 数 方 程 xy 1 t scionstt(0t2)
确 定 的 函 数 yy(x)， 求 函 数 y(x)的 极 值 。
解.
yx'
sint ， 1cost
令
y
' x
0，即 sint0 t
yx''
1 (1cost)2
，当t时，yx''
10， 4
故 ， 当 t 时 ， 函 数 y ( x ) 达 到 极 大 值 ，
例5、某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月1200元时，公寓会全部租出去．当租金每 月增加100元时，就有一套公寓租不出去，而租出 去的房子每月需花费200元的整修维护费．试问房 租定为多少可获得最大收入？
解 设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
x
1200 100
套，
每月总收入为
R(x)
函 数 y f( x ) 在 [ a ,b ] 上 单 调 增 加 ； ( 2 ) 如 果 在 ( a ,b ) 内 f( x ) 0 ， 那 么
函 数 y f( x ) 在 [ a ,b ] 上 单 调 减 少 .
（ 二 ） 极 值 ， 极 值 点 ， 最 值 ， 最 值 点
费 马 定 理 ： 设 函 数 yf(x)在 点 x0处 可 导 ， 若 x0是 函 数 的 极 值 点 ， 则 f'(x)0
驻 点 ： 一 阶 导 数 f'( x 0 ) 0 的 点 x 0
极值点与驻点之间的关系？ y x 3 y | x |
连续函数的极值点可能是哪些点？
可导的驻点，不可导的点
求极值的步骤:
( 1 ) 求 函 数 的 不 可 导 点 和 驻 点 （ f ( x ) 0 的 点 ） ；
( 2 ) 判 断 驻 点 和 不 可 导 点 是 不 是 极 值 点 ；
故 由 保 号 性 ： f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 与 x 异 号 ，
当x0时，有 f( x 0 x ) f( x 0 ) 0,
当x0时，有 f( x 0 x ) f( x 0 ) 0,
所 以 ， 函 数 f( x ) 在 x 0 处 取 得 极 大 值 ． 同理可证(2).
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0; 而 x ( x0, x0 )有 f '( x) 0，
则 f ( x)在 x0处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0 , x0 )时,
f '( x)符号相同,则 f ( x)在 x0处无极值.
应用举例
例4 求函y数 2x33x212x14的[在 3,4] 上的最大值 . 与最小值
解 f ( x ) 6 ( x 2 ) x ( 1 )
解方 f(x) 程 0 ,得x 1 2 ,x 21 .
计算 f(3)23;
f(2)34;
f(1)7 ;
f(4)142;
比较得 最大 f(4)值 14 ， 最 2 小 f(1值 )7.
高等数学课件3-4函数 性态研究
精品
五个常用函数的麦克劳林公式
ln (1 x ) x x 2 x 3 ( 1 )nx n 1 o (x n 1 )
23
n 1
( 1 x ) m 1 m x m ( m 1 )( m n 1 )x n o ( x n ) n !
Cm nm(m1)n!(mn1)
例1 求出 f(x ) 函 x 3 3 x 数 2 9 x 5 的.极 解 f(x ) 3 x 2 6 x 9 3 (x 1 )x ( 3 ) 令f(x)0，得x 驻 1 1 ,x 2 点 3 . 列表讨论
x ( ,1) 1
f(x) 0
极
f Biblioteka Baidux)
大
值
(1,3) 3
0
极
小 值
(3,)
(3) 求极值.
定理2(极值的第一充分条件)
0
设 函 数 f( x ) 在 x 0 处 连 续 ， 在 x 0 某 去 心 邻 域 U ( x 0 ,) 可 导
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0; x ( x0, x0 ),有 f '( x) 0，
则 f ( x)在 x0 处取得极大值.