高等数学讲义课件3-4函数性态研究
合集下载
函数性态研究2011
因 为 f ( x) 0(0 x 1) 且 f ( x) 0( x 1), 所 以x 1是 极大 值 点， 而x 1是f ( x)在 (0, )上 唯一 的 可能 的 极值 点， 所 以x 1 是 最大 值 点， 所 以最 大值 为 f (1) 1
e
例 7 证明:当
p
1
时
， 2
1
令f ( x) 0，解得驻点x 0,3,5
f ( x) 10x(2 x 2 12x 15)
f (0) 0, f (3) 90 0, f (5) 250 0
因此 x 3 为极大点，极大值为 f (3) 108； x 5 为极小点，极小值为 f (5) 0。
而在x 0的某空心邻域内，f ( x) 0，因此 x 0不是极值点。
1. 首先，由闭区间上连续函数的性质知：
设f ( x)在a, b 上连续，则f ( x) 在 a, b
上 的 最 大 值 ， 最 小 值 一定 存 在 。
其次，如果f ( x)在 a, b内某点取得“最值”,
则x0必是 f 的极值点，从而 x0一定是 f 的 驻点或导数不存在的点。另外，f 的“最值” 也可能在区间的端点a, b取得.这样就可用如下
综上可知，方程 f ( x) 0， 即 x a sin x 1(0 a 1) 在( , )内有且仅有一个实根。
4.2 函数的极值
定义4.2： 设函数 f : I R, x0 I , 若 0, 使得
o
x N ( x0 , ) I , 恒有f ( x) f ( x0 )( f ( x0 )),
4 在 实 际 问 题 中 根 据 问 题的 实 际 意 义 可 以 判 定 可 导 函 数f ( x) 确 有 最 值 ， 且 一 定 在 定 义 区 间 内 部 取得 ， 则 唯 一 的 驻 点 x0 必是 f ( x)的最值点。
e
例 7 证明:当
p
1
时
， 2
1
令f ( x) 0，解得驻点x 0,3,5
f ( x) 10x(2 x 2 12x 15)
f (0) 0, f (3) 90 0, f (5) 250 0
因此 x 3 为极大点，极大值为 f (3) 108； x 5 为极小点，极小值为 f (5) 0。
而在x 0的某空心邻域内，f ( x) 0，因此 x 0不是极值点。
1. 首先，由闭区间上连续函数的性质知：
设f ( x)在a, b 上连续，则f ( x) 在 a, b
上 的 最 大 值 ， 最 小 值 一定 存 在 。
其次，如果f ( x)在 a, b内某点取得“最值”,
则x0必是 f 的极值点，从而 x0一定是 f 的 驻点或导数不存在的点。另外，f 的“最值” 也可能在区间的端点a, b取得.这样就可用如下
综上可知，方程 f ( x) 0， 即 x a sin x 1(0 a 1) 在( , )内有且仅有一个实根。
4.2 函数的极值
定义4.2： 设函数 f : I R, x0 I , 若 0, 使得
o
x N ( x0 , ) I , 恒有f ( x) f ( x0 )( f ( x0 )),
4 在 实 际 问 题 中 根 据 问 题的 实 际 意 义 可 以 判 定 可 导 函 数f ( x) 确 有 最 值 ， 且 一 定 在 定 义 区 间 内 部 取得 ， 则 唯 一 的 驻 点 x0 必是 f ( x)的最值点。
函数性态的研究(最值、凹凸性和渐近线).ppt
若 f ( x) C[a , b] ，且在 (a , b) 内有唯一极值点 x0 ， 则 f ( x0 ) 为极大值时，即为 f ( x ) 在 [a, b] 的最大值；
f ( x0 ) 为极小值时，即为 f ( x ) 在 [a, b] 的最小值．
例 7 建造一个具有已知容积 V 的无底有盖的圆柱形煤气柜．
EXE. 求函数 y sinx cosx 在 [0, 2 ] 上的极值．
三、最值
(1) 最值存在： 若 f C[a , b] ，则在 [a, b] 上 f 取得最大值和最小值．
（充分非必要）
(2) 何处取得最值：
极值点处 可能最值 端点处
(3)
驻点 f 不存在的点 （应是f 的连续点）
补充作业 (1)
ae 2 x cos x, x 0, 可导，求 a, b ． f ( x ) sin(bx ) x, x 0 x
x 3e tx x (2) 求 f ( x ) tlim 的间断点，并指出类型． tx e sin x
(3)
x 1 , L( x ) ln x 1,
如何判定：
驻点 极值点处 f 不存在的点 （应是f 的连续点） 可能最值 端点处
(3) 如何判定： 若 f ( x) C ，则
只要比较 f 在驻点、 f 不存在的点、端点处的值，
最大者为最大值，最小者为最小值．
两个结论：
两个结论：
(1) 若 f ( x) C[a , b] ，且在 (a, b) 内有唯一极值点 x0 ，
p p x (1 x ) 1 ， 0 x 1． p 1
例 9 讨论方程 x ke x （k 为正常数）有几个根．
高数数学必修一《3.4函数的应用(一)》教学课件
课堂小结 1.解决具体函数模型问题时，要有建模意识，求解函数解析式时要 综合应用图形、待定系数法等． 2．解决函数模型应用题时，一要注意自变量的取值范围；二要检验 所得结果是否符合实际问题的要求．
(1)求年利润y(万元)关于年产量x(百件)的函数关系式；
(2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？
题后师说
应用分段函数时的三个关注点
跟踪训练3 某厂生产某种零件，每个零件的成本为30元，出厂单价 定为52元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时， 每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出 厂单价不能低于41元．
答案：B
2．某机器总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，
若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为
()
A．30
B．40
Cபைடு நூலகம்50
D．60
答案：C
解析：设安排生产x台，则获得利润f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500. 故当x＝50台时，获利润最大．故选C.
题型 1 一次函数模型的应用 例1 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同 的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每 月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示．
(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式； (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．
在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？ (3)在超市对该种商品投入不超过10 000元的情况下，使得一周销售
利润达到8 000元，销售单价应定为多少？
函数性态的研究(最值、凹凸性与渐近线).ppt
驻点
可能最值
极值点处 端点处
f 不存在的点
（应是f 的连续点）
(3) 如何判定：
驻点
可能最值
极值点处 端点处
f
不存在的点
（应是f 的连续点）
(3) 如何判定： 若 f (x)C ，则
只要比较 f 在驻点、 f 不存在的点、端点处的值， 最大者为最大值，最小者为最小值．
两个结论：
两个结论：
(1) 若 f (x)C[a, b] ，且在 (a, b) 内有唯一极值点 x0 ，
(6)
f
二阶连续可导， y sin
f ( x2 ) ，
求d2y ．
dx 2
推广到一般情况： 设 f ( x) 在 x0 处有 n 阶导数， f ( x0 ) f (x0 ) f (n1)(x0 ) 0 ，且 f (n)( x0 ) 0 ．则
10 n为奇数时，点 x0 为非极值点； 20 n为偶数时，
“ f ( x) 0 ”为 f ( x) 0 ”，则为严格凹函数． 反之未必成立，即 Thm 7 及注仅是充分条件，非必要．
例 9 证： ( x y)lnx y xlnx ylny , x, y0且 x y ；
2
Proof. 设 f ( x) xlnx ， x0 ，（Step1 找准函数， ）
Def. 2 设 f ( x) C[a, b] ．对 x 1 , x2 (a, b) ，
及 0 1 ，若总有
f ( x1 (1 )x2) f (x1) (1 ) f (x2) (a, b) 内的凸函数； f ( x1 (1 )x2) f (x1) (1 ) f (x2) (a, b) 内的凹函数．
补充作业 (1)
ae2x cos x, x 0,
函数性态的研究(精)
10
f ( x2 ) f ( x1 ) 或 f ( x2 ) ( x1 x2 ) x2 x1 f ( x2 ) f ( x1 ) 从而当 x2 x1 , f ( x2 ) f ( x1 ), x2 x1
这表明 f ( x )在 I 上单调增 , 于是
(3) 得证.
第二章
§6 函数性态的研究 (2)
0.1 0.05 -1 -0.5 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25
1
0.5
1
1.5
四、函数的凹凸性(concavity)
凸函数的第一几何特征
以下凸函数为例，如图，
( x1 , f ( x1 ))
B( x2 , f ( x2 ))
x
A
x1
定义 1 (凸函数的分析定义)
若 x1 , x2 I , 及 [0， 1]，恒有
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
则称f ( x )在I上是下凸函数 (或凸函数 )。
对下凸第一几何特征可简述为： 曲线在相应点间弦的下方。
4
凸函数的第二几何特征
下凸的光滑函数上任一点的切线在曲
线的下方，且 f 是单调增加的。
见下一页图示
5
6
定理 5 (凸性的判定法一, P.155.定理6.5)
设 f ( x )在I上可微, 则下列命题等价:
( 1 ) f ( x )在 I上是下凸函数 ;
(2) x1 , x2 I ,
0
Байду номын сангаас
利用: x0 x1 (1 ) x2
高等数学课件3-4函数性态研究
应用举例
例4 求函数 y 2 x 3 3 x 2 12 x 14 的在 [ 3 , 4 ]
上的最大值与最小值 .
解 f ( x ) 6 ( x 2 )( x 1 )
解方程 f ( x ) 0 , 得
x1 2, x 2 1.
f ( 2 ) 34 ; f ( 4 ) 142 ;
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
b
x
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
y 0
定理1：如果f ( x)在[a, b]上连续， , b)内 (a 二阶可导，且f ( x) 0(或f ( x) 0), 则f ( x)在[ a，b]上是下凸（上凸）的。
个别点二阶导数等于0，不影响函数的凸凹性
f (x)
极 大 值
4 6
极 小 值
3
极 大 值 f (0 ) 0， 极 小 值 f ( ) 5 5
16 25
定理2(第二充分条件)设 f ( x ) 在 x0 处具有二阶导数,
且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 , 那么
' ''
(1)当 f ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在 x0 处取得极大值;
f(
x1 x 2 2
)
f ( x1 ) f ( x 2 ) 2
成立，
则 称 函 数 f ( x )在 I 上 的 图 像 是 下 凸 的 ；
若 x1 , x 2 I , 恒 有 : f (
函数性态的研究(单调, 极值)上传版
10 若 f ( x0 ) 0 ， 则 f ( x0 ) 为极大值； 20 若 f ( x0 ) 0 ，则 f ( x0 ) 为极小值．
可推广到一般情况：
推广到一般情况： 设 f ( x) 在 x0 处有 n 阶导数， f ( x0 ) f ( x0 ) L f ( (n1) x0 ) 0 ，且 f (n) ( x0 ) 0 ．则
Corol. 2 若 f ( x) 仅在 (a , b 内) 的孤立点 x0 处不可导或 f ( x0 ) 0 ，在 (a, b) 内的其它点处 f ( x) 的符号保持不变． 则 f ( x) 在 (a, b) 内严格单调．
例 1 讨论 f ( x) x3 6x2 9x 3 的单调性． 解：10 函数 f ( x) 的定义域为 (, ) ．
f ( x)0.
oa
bx
曲线 y f ( x)下降时
f (x)0.
Thm 1 (一般单调的充要条件) 设函数 f ( x) 在区间 I 可导，则
(1) f ( x) 在区间I 单增 对 xI ，都有 f ( x)0 ．
(2) f ( x) 在区间I 单减 对 xI ，都有 f ( x) 0 ．
若 f ( x0 ) 存在，且 x0 为极值点， 则必有 f ( x0 ) 0 （驻点）．
Note：(1) Thm 2 不充分， 如 f ( x) x3 ， x 0为驻点，但 x0 不是极值点．
(2) f ( x) 可能在 f ( x) 不存在的点处取得极值． 例 y x 在 x 0处取得极小值， 但 y | x |在 x0 处不可导．
2
例 3 求函数 f ( x)( x1) x 3 的极值点和极值．
解：10 定义域 D( f ) (, ) ；
可推广到一般情况：
推广到一般情况： 设 f ( x) 在 x0 处有 n 阶导数， f ( x0 ) f ( x0 ) L f ( (n1) x0 ) 0 ，且 f (n) ( x0 ) 0 ．则
Corol. 2 若 f ( x) 仅在 (a , b 内) 的孤立点 x0 处不可导或 f ( x0 ) 0 ，在 (a, b) 内的其它点处 f ( x) 的符号保持不变． 则 f ( x) 在 (a, b) 内严格单调．
例 1 讨论 f ( x) x3 6x2 9x 3 的单调性． 解：10 函数 f ( x) 的定义域为 (, ) ．
f ( x)0.
oa
bx
曲线 y f ( x)下降时
f (x)0.
Thm 1 (一般单调的充要条件) 设函数 f ( x) 在区间 I 可导，则
(1) f ( x) 在区间I 单增 对 xI ，都有 f ( x)0 ．
(2) f ( x) 在区间I 单减 对 xI ，都有 f ( x) 0 ．
若 f ( x0 ) 存在，且 x0 为极值点， 则必有 f ( x0 ) 0 （驻点）．
Note：(1) Thm 2 不充分， 如 f ( x) x3 ， x 0为驻点，但 x0 不是极值点．
(2) f ( x) 可能在 f ( x) 不存在的点处取得极值． 例 y x 在 x 0处取得极小值， 但 y | x |在 x0 处不可导．
2
例 3 求函数 f ( x)( x1) x 3 的极值点和极值．
解：10 定义域 D( f ) (, ) ；
3-4_7 导数在研究函数几何性态中的应用
解方程f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2.
当 x 1时， f ( x ) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时，
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
10 . f ( x ) 0, 则 f ( x )在 [a , b]上递增; 若对 x (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ , b), 有 0 返回 2 . f ( x ) 0, 则 f ( x )在 [a , b]上递减 .
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
y x3 , 例如,
y 3 x 2 0,
返回
例5 判断曲线 y ( x 1)3 x 5 的凹性, 并求其拐点.
解 定义域为 (-, )
10 4 x 1 y 9 3 x
2 8 5 5 3 而 y x 3 x 3 3
1 令y 0 x 4
1 4 1 4
当x 0 时, y 不存在. 列表如下 :
返回
曲线拐点的求法
f ( x ) 0 的点和 f ( x )不存在的点，是拐点横坐标的 可疑点。 如果在 x 0 的左右两侧邻近 f ( x )变号，则 x 0 , f ( x 0 ) 是曲线的拐点； 如果在x 0 的左右两侧邻近, f ( x )不变号, 则 x 0 , f ( x 0 ) 不是拐点。
导数与函数几何性态的关系
y
3.4 函数的单调性
y f ( x)
A
B
曲线的凹凸与拐点
3.5 函数的极值
o
f ( x ) 0
f ( x)
a
b
当 x 1时， f ( x ) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时，
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2,)上单调增加；
10 . f ( x ) 0, 则 f ( x )在 [a , b]上递增; 若对 x (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ , b), 有 0 返回 2 . f ( x ) 0, 则 f ( x )在 [a , b]上递减 .
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
y x3 , 例如,
y 3 x 2 0,
返回
例5 判断曲线 y ( x 1)3 x 5 的凹性, 并求其拐点.
解 定义域为 (-, )
10 4 x 1 y 9 3 x
2 8 5 5 3 而 y x 3 x 3 3
1 令y 0 x 4
1 4 1 4
当x 0 时, y 不存在. 列表如下 :
返回
曲线拐点的求法
f ( x ) 0 的点和 f ( x )不存在的点，是拐点横坐标的 可疑点。 如果在 x 0 的左右两侧邻近 f ( x )变号，则 x 0 , f ( x 0 ) 是曲线的拐点； 如果在x 0 的左右两侧邻近, f ( x )不变号, 则 x 0 , f ( x 0 ) 不是拐点。
导数与函数几何性态的关系
y
3.4 函数的单调性
y f ( x)
A
B
曲线的凹凸与拐点
3.5 函数的极值
o
f ( x ) 0
f ( x)
a
b
高等数学教学课件3.4 17页PPT文档
256 (m min).
225
科学出版社
例9. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,
其速率为 14m 0 mi,n当气球高度为 500 m 时, 观察员
视线的仰角增加率是多少?
解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,
则
tan h ，
500
两边对 t 求导，得
h
( 1 )
即
y cos(xy) .
1cos(xy)
再将 (1) 式两端对 x 求导, 得
y s in (x y )(1 y )2cos(xy)y.
于是 y sin(xy) (1y)2. cos(xy)1
将 y 代入, 得
yco s s i( n x (x y) y )1 (1 1 co c s o (s x (x y)y))2[cossi(nx(xy)y)1]3
在
x
=
0
处的导数
dy dx
x
0
.
解: 方程两边对 x 求导
eyyxyy0
y
ey
y，x
(ey x0)
因x=0时y=1,
故
y
|x0
1 e
科学出版社
例2.
求椭圆
x2 16
y2 9
1
在点
(2,23
3)处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 2 y y 0 89
dt
dx dy
dx d t dt dy
dx dt
1 dy
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
函数性态的研究【高等数学PPT课件】
则
在区间I 上有二阶导数
在 I 内图形是凹的 ; 在 I 内图形是凸的 .
例1. 判断曲线
的凹凸性.
y
解: y 4x3,
故曲线
在
ox
上是向上凹的.
说明:
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 .
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:
x x
x x( x 1)
lim[2( x 2)(x 3) 2x] x x( x 1)
lim 2( x 2)( x 3) 2x( x 1) 4,
x
x1
y 2x 4 是曲线的一条斜渐近线.
f ( x) 2( x 2)( x 3) 的两条渐近线如图 x1
凹
故该曲线在
( ,0)
及
(
2 3
,
)
上向上凹,
在(0,
2 3
)
上
向上凸
,
点
(
0
,
1
)
及
(
2 3
,
11 27
)
均为拐点.
五、函数图形的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
和高各取多少时用料最省？
解: 设底半径为r ,高为h,面积为 S.则
V r2h
2r 2 2V r
S
4r
2V r2
令
V r 3
2
药学高数9(函数性态的研究)
f ( x0 )=0 存在。因此无法判定。
例2-42 用第二充分条件求函数 f (x)=x3 - 3x2 - 9x + 5 的极值。
解 函数的定义域为（-，+）
f (x)=3x2 - 6x –9=3( x2 - 2x –3 )=3( x-3 )( x+1 ) 当 f (x)=0 时，得驻点 x1= -1 , x2=3
别，用第一充分条件。
当 x(- , -1) 时， f (x)<0 ；
当 x(-1 , 0) 时，f (x)<0 , f (x) 的符号没有改变，所
以 f (x) 在点 x1=-1 处没有极值。 类似地讨论可知， f (x) 在点 x3=1 处也没有极值。18
注意：导数不存在的点，也可能是函数的极值点。
解 f (x)=6x(x2 - 1)2 令 f (x)=0 ，
求得驻点 x1= -1 , x2=0 , x3=1
-1
又 f (x)=6(x2 - 1)(5x2 - 1) , f (0)=6 > 0
o1 x
所以 f (x) 在 x=0 处取得极小值，极小值为 f (0)=0 。
由于f (-1)= f (1)=0 ，因此用第二充分条件无法判
10
使导数为零的点（即方程 f (ble point)。
注意：可导函数的极值点必定是它的驻点，但函数 的驻点不一定是极值点。
例如 f (x)=x3 的导数 f (x)=3x2 , f (0)=0，因此 x=0
是这个函数的驻点，但是 x=0 显然不是该函数的极值 点。
极大值、极小值统称为极值(extreme value)，使函 数取得极值的点 x0 称为极值点(extreme point)。
例2-42 用第二充分条件求函数 f (x)=x3 - 3x2 - 9x + 5 的极值。
解 函数的定义域为（-，+）
f (x)=3x2 - 6x –9=3( x2 - 2x –3 )=3( x-3 )( x+1 ) 当 f (x)=0 时，得驻点 x1= -1 , x2=3
别，用第一充分条件。
当 x(- , -1) 时， f (x)<0 ；
当 x(-1 , 0) 时，f (x)<0 , f (x) 的符号没有改变，所
以 f (x) 在点 x1=-1 处没有极值。 类似地讨论可知， f (x) 在点 x3=1 处也没有极值。18
注意：导数不存在的点，也可能是函数的极值点。
解 f (x)=6x(x2 - 1)2 令 f (x)=0 ，
求得驻点 x1= -1 , x2=0 , x3=1
-1
又 f (x)=6(x2 - 1)(5x2 - 1) , f (0)=6 > 0
o1 x
所以 f (x) 在 x=0 处取得极小值，极小值为 f (0)=0 。
由于f (-1)= f (1)=0 ，因此用第二充分条件无法判
10
使导数为零的点（即方程 f (ble point)。
注意：可导函数的极值点必定是它的驻点，但函数 的驻点不一定是极值点。
例如 f (x)=x3 的导数 f (x)=3x2 , f (0)=0，因此 x=0
是这个函数的驻点，但是 x=0 显然不是该函数的极值 点。
极大值、极小值统称为极值(extreme value)，使函 数取得极值的点 x0 称为极值点(extreme point)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
故 由 保 号 性 ： f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 与 x 异 号 ，
当x0时，有 f( x 0 x ) f( x 0 ) 0,
当x0时，有 f( x 0 x ) f( x 0 ) 0,
所 以 ， 函 数 f( x ) 在 x 0 处 取 得 极 大 值 ． 同理可证(2).
例5、某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月1200元时，公寓会全部租出去．当租金每 月增加100元时，就有一套公寓租不出去，而租出 去的房子每月需花费200元的整修维护费．试问房 租定为多少可获得最大收入？
解 设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
x
1200 100
套，
每月总收入为f(3)2.2
例 2 ： 求 函 数 f(x ) (x 2 )3x 2 的 极 值
解 : f'(x)3x22x25x4 33x 33x
即 ， x 0 为 f( x ) 的 不 可 导 点 ， x 4 为 f( x ) 的 驻 点 。 5
x (, 0) 0 (0, 4 / 5) 4 / 5 (4/5,)
函 数 y f( x ) 在 [ a ,b ] 上 单 调 增 加 ； ( 2 ) 如 果 在 ( a ,b ) 内 f( x ) 0 ， 那 么
函 数 y f( x ) 在 [ a ,b ] 上 单 调 减 少 .
（ 二 ） 极 值 ， 极 值 点 ， 最 值 ， 最 值 点
费 马 定 理 ： 设 函 数 yf(x)在 点 x0处 可 导 ， 若 x0是 函 数 的 极 值 点 ， 则 f'(x)0
f(x) 不存在
0
极
极
f (x)
大
值
小 值
极 大 值 f(0)0， 极 小 值 f(4)6316 5 5 25
定理2(第二充分条件)设 f ( x)在 x0处具有二阶导数, 且 f '( x0 ) 0, f ''( x0 ) 0, 那么 (1)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在 x0处取得极大值; (2)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在 x0处取得极小值. 证 (1 ) f(x 0 ) lx i0f m (x 0 x x ) f(x 0 ) 0,
3.4 函数性态的研究
(一) 单调性和极值 (二) 凸凹性和拐点
（一）、单调性的判别法
y
yf(x) B
A
yA yf(x) B
oa
bx
f(x)0
oa
bx
f(x)0
定 理 1 、 设 函 数 y f ( x ) 在 [ a , b ] 上 连 续 ， 在 ( a , b ) 内 可 导 ，
（ 1 ） 如 果 在 ( a ,b ) 内 f( x ) 0 ， 那 么
例1 求出 f(x ) 函 x 3 3 x 数 2 9 x 5 的.极 解 f(x ) 3 x 2 6 x 9 3 (x 1 )x ( 3 ) 令f(x)0，得x 驻 1 1 ,x 2 点 3 . 列表讨论
x ( ,1) 1
f(x) 0
极
f (x)
大
值
(1,3) 3
0
极
小 值
(3,)
例 3.已 知 参 数 方 程 xy 1 t scionstt(0t2)
确 定 的 函 数 yy(x)， 求 函 数 y(x)的 极 值 。
解.
yx'
sint ， 1cost
令
y
' x
0，即 sint0 t
yx''
1 (1cost)2
，当t时，yx''
10， 4
故 ， 当 t 时 ， 函 数 y ( x ) 达 到 极 大 值 ，
应用举例
例4 求函y数 2x33x212x14的[在 3,4] 上的最大值 . 与最小值
解 f ( x ) 6 ( x 2 ) x ( 1 )
解方 f(x) 程 0 ,得x 1 2 ,x 21 .
计算 f(3)23;
f(2)34;
f(1)7 ;
f(4)142;
比较得 最大 f(4)值 14 ， 最 2 小 f(1值 )7.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0; 而 x ( x0, x0 )有 f '( x) 0，
则 f ( x)在 x0处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0 , x0 )时,
f '( x)符号相同,则 f ( x)在 x0处无极值.
(x200) 50
x
1200 100
(x200)6210x0
R(x)(x200)6210x0
R (x) 6210 x0 (x200) 10 10
ym ax1cos2
最值的求法
闭区间[a,b]上的连续函数可以取到最值 要么是极值，要么是端点值。
实际问题最值求法:
(1)建立目标函数; 1.求驻点和不可导点;
(2)求最值:
2.求函数值；
3.求最值
注 意 ： 确 定 内 有 最 值 时 ， 目 标 函 数 只 有 唯 一 驻 点 ，
则 该 点 的 函 数 值 即 为 所 求 的 最 值 ．
高等数学课件3-4函数 性态研究
精品
五个常用函数的麦克劳林公式
ln (1 x ) x x 2 x 3 ( 1 )nx n 1 o (x n 1 )
23
n 1
( 1 x ) m 1 m x m ( m 1 )( m n 1 )x n o ( x n ) n !
Cm nm(m1)n!(mn1)
驻 点 ： 一 阶 导 数 f'( x 0 ) 0 的 点 x 0
极值点与驻点之间的关系？ y x 3 y | x |
连续函数的极值点可能是哪些点？
可导的驻点，不可导的点
求极值的步骤:
( 1 ) 求 函 数 的 不 可 导 点 和 驻 点 （ f ( x ) 0 的 点 ） ；
( 2 ) 判 断 驻 点 和 不 可 导 点 是 不 是 极 值 点 ；
(3) 求极值.
定理2(极值的第一充分条件)
0
设 函 数 f( x ) 在 x 0 处 连 续 ， 在 x 0 某 去 心 邻 域 U ( x 0 ,) 可 导
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0; x ( x0, x0 ),有 f '( x) 0，
则 f ( x)在 x0 处取得极大值.
当x0时，有 f( x 0 x ) f( x 0 ) 0,
当x0时，有 f( x 0 x ) f( x 0 ) 0,
所 以 ， 函 数 f( x ) 在 x 0 处 取 得 极 大 值 ． 同理可证(2).
例5、某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月1200元时，公寓会全部租出去．当租金每 月增加100元时，就有一套公寓租不出去，而租出 去的房子每月需花费200元的整修维护费．试问房 租定为多少可获得最大收入？
解 设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
x
1200 100
套，
每月总收入为f(3)2.2
例 2 ： 求 函 数 f(x ) (x 2 )3x 2 的 极 值
解 : f'(x)3x22x25x4 33x 33x
即 ， x 0 为 f( x ) 的 不 可 导 点 ， x 4 为 f( x ) 的 驻 点 。 5
x (, 0) 0 (0, 4 / 5) 4 / 5 (4/5,)
函 数 y f( x ) 在 [ a ,b ] 上 单 调 增 加 ； ( 2 ) 如 果 在 ( a ,b ) 内 f( x ) 0 ， 那 么
函 数 y f( x ) 在 [ a ,b ] 上 单 调 减 少 .
（ 二 ） 极 值 ， 极 值 点 ， 最 值 ， 最 值 点
费 马 定 理 ： 设 函 数 yf(x)在 点 x0处 可 导 ， 若 x0是 函 数 的 极 值 点 ， 则 f'(x)0
f(x) 不存在
0
极
极
f (x)
大
值
小 值
极 大 值 f(0)0， 极 小 值 f(4)6316 5 5 25
定理2(第二充分条件)设 f ( x)在 x0处具有二阶导数, 且 f '( x0 ) 0, f ''( x0 ) 0, 那么 (1)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在 x0处取得极大值; (2)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在 x0处取得极小值. 证 (1 ) f(x 0 ) lx i0f m (x 0 x x ) f(x 0 ) 0,
3.4 函数性态的研究
(一) 单调性和极值 (二) 凸凹性和拐点
（一）、单调性的判别法
y
yf(x) B
A
yA yf(x) B
oa
bx
f(x)0
oa
bx
f(x)0
定 理 1 、 设 函 数 y f ( x ) 在 [ a , b ] 上 连 续 ， 在 ( a , b ) 内 可 导 ，
（ 1 ） 如 果 在 ( a ,b ) 内 f( x ) 0 ， 那 么
例1 求出 f(x ) 函 x 3 3 x 数 2 9 x 5 的.极 解 f(x ) 3 x 2 6 x 9 3 (x 1 )x ( 3 ) 令f(x)0，得x 驻 1 1 ,x 2 点 3 . 列表讨论
x ( ,1) 1
f(x) 0
极
f (x)
大
值
(1,3) 3
0
极
小 值
(3,)
例 3.已 知 参 数 方 程 xy 1 t scionstt(0t2)
确 定 的 函 数 yy(x)， 求 函 数 y(x)的 极 值 。
解.
yx'
sint ， 1cost
令
y
' x
0，即 sint0 t
yx''
1 (1cost)2
，当t时，yx''
10， 4
故 ， 当 t 时 ， 函 数 y ( x ) 达 到 极 大 值 ，
应用举例
例4 求函y数 2x33x212x14的[在 3,4] 上的最大值 . 与最小值
解 f ( x ) 6 ( x 2 ) x ( 1 )
解方 f(x) 程 0 ,得x 1 2 ,x 21 .
计算 f(3)23;
f(2)34;
f(1)7 ;
f(4)142;
比较得 最大 f(4)值 14 ， 最 2 小 f(1值 )7.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0; 而 x ( x0, x0 )有 f '( x) 0，
则 f ( x)在 x0处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0 , x0 )时,
f '( x)符号相同,则 f ( x)在 x0处无极值.
(x200) 50
x
1200 100
(x200)6210x0
R(x)(x200)6210x0
R (x) 6210 x0 (x200) 10 10
ym ax1cos2
最值的求法
闭区间[a,b]上的连续函数可以取到最值 要么是极值，要么是端点值。
实际问题最值求法:
(1)建立目标函数; 1.求驻点和不可导点;
(2)求最值:
2.求函数值；
3.求最值
注 意 ： 确 定 内 有 最 值 时 ， 目 标 函 数 只 有 唯 一 驻 点 ，
则 该 点 的 函 数 值 即 为 所 求 的 最 值 ．
高等数学课件3-4函数 性态研究
精品
五个常用函数的麦克劳林公式
ln (1 x ) x x 2 x 3 ( 1 )nx n 1 o (x n 1 )
23
n 1
( 1 x ) m 1 m x m ( m 1 )( m n 1 )x n o ( x n ) n !
Cm nm(m1)n!(mn1)
驻 点 ： 一 阶 导 数 f'( x 0 ) 0 的 点 x 0
极值点与驻点之间的关系？ y x 3 y | x |
连续函数的极值点可能是哪些点？
可导的驻点，不可导的点
求极值的步骤:
( 1 ) 求 函 数 的 不 可 导 点 和 驻 点 （ f ( x ) 0 的 点 ） ；
( 2 ) 判 断 驻 点 和 不 可 导 点 是 不 是 极 值 点 ；
(3) 求极值.
定理2(极值的第一充分条件)
0
设 函 数 f( x ) 在 x 0 处 连 续 ， 在 x 0 某 去 心 邻 域 U ( x 0 ,) 可 导
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0; x ( x0, x0 ),有 f '( x) 0，
则 f ( x)在 x0 处取得极大值.