初中数学二次函数经典测试题及答案

∴此时符合假设条件，故本选项符合题意；
C．假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确
由甲乙的结论可得
解得：
∴
当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；
D．假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确
由甲、丙的结论可得二次函数解析式为
当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意．
5．如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，动点 ， 同时从点 出发，点 以 的速度沿折线 运动到点 ，点 以 的速度沿 运动到点 ，设 ， 同时出发 时， 的面积为 ，则 与 的函数图象大致是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分三种情况求出y与t的函数关系式.当0≤t≤2.5时：P点由B到A；当2.5≤t≤4时，即P点在AD上时；当4≤t≤6时，即P点从D到C时.即可得出正确选项．
∴A(2，c-4)，B(0，c)，
∵将抛物线 绕原点旋转 得到抛物线 ，点 的对应点分别为 ，
∴ ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，解得： ．
故选D．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键．
【分析】
本题应分两段进行解答,①点P在AB上运动，点Q在BC上运动；②点P在AB上运动，点Q在CD上运动，依次得出S与t的关系式，即可判断得出答案．
【详解】
解：当点P在AB上运动，点Q在BC上运动时，
此时，
，函数图象为抛物线；
当点P在AB上运动，点Q在BC上运动时，
此时， ， 底边AP上的高保持不变
C．当函数在x＜ 时，y随x的增大而减小
D．当﹣1＜m＜n＜0时，m+n＜
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可．
【详解】
解：∵函数经过点M(﹣1，2)和点N(1，﹣2)，
∴a﹣b+c＝2，a+b+c＝﹣2，
∴a+c＝0，b＝﹣2，
∴A正确；
∵c＝﹣a，b＝﹣2，
∴y＝ax2﹣2x﹣a，
【详解】
解：作AE⊥BC于E，根据已知可得，
AB2=42+（6-3）2，
解得，AB=5cm．
下面分三种情况讨论:
当0≤t≤2.5时：P点由B到A， ,y是t的二次函数.最大面积= 5 cm2;
当2.5≤t≤4时，即P点在AD上时， , y是t的一次函数且最大值= ;
当4≤t≤6时，即P点从D到C时， y是t的二次函数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数中的x与y的部分对应值表，可以求得a、b、c的值然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断．
【详解】
解：根据二次函数的x与y的部分对应值可知：
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
联立以上方程： ，
解得： ，
∴ ；
A、 ，故本选项正确；
B、方程 可化为 ，
∴m+n＜ ；
∴D正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
11．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；
∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，
∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，
故符合y与t的函数图象是B．
故选：B．
【点睛】
此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式，然后进行判断.
6．二次函数 为常数，且 )中的 与 的部分对应值如表：
···
···
···
···
下列结论错误的是()
A． B． 是关于 的方程 的一个根；
C．当 时， 的值随 值的增大而减小；D．当 时，
【解析】
【分析】
设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．
【详解】
解：设原数为m，则新数为 ，
设新数与原数的差为y
则 ，
易得，当m＝0时，y＝源自文库，则A错误
∵
当 时，y有最大值．则B错误，D正确．
当y＝21时， ＝21
解得 ＝30， ＝70，则C错误．
故答案选：D．
【点睛】
本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝－x2−2x＋3，将一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，再由﹣2＜x＜3确定y的取值范围即可求解.
【详解】
解：∵y＝－x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝－1，
∴b＝−2，
∴y＝－x2−2x＋3，
初中数学二次函数经典测试题及答案
一、选择题
1．四位同学在研究函数 （ 是常数）时，甲发现当 时，函数有最小值；乙发现 是方程 的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当 时， ，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
【解析】
【分析】
利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论．
首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解．
【详解】
∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2
∴抛物线的对称轴是：x=- = ；
∴a、b异号，且b=-a；
∵当x=0时y=c=-2
∴c
∴abc 0，故①正确；
∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t
∴ 和3是关于 的方程 的两个根；故②正确；
9．如图，在边长为4的正方形 中，动点 从 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿 向 点运动，同时动点 从 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿 方向运动，当 运动到 点时， 点同时停止运动．设 点运动的时间为t秒， 的面积为 ，则表示 与 之间的函数关系的图象大致是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
即正确的有3个，
故选B．
考点：二次函数图象与系数的关系
12．二次函数 （ 是常数， ）的自变量 与函数值 的部分对应值如下表：
…
0
1
2
…
…
…
且当 时，与其对应的函数值 ．有下列结论：① ；② 和3是关于 的方程 的两个根；③ ．其中，正确结论的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：A．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确
由乙、丁同学的结论可得
解得：
∴二次函数的解析式为：
∴当x= 时，y的最小值为 ，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；
B．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确
由甲、丙的结论可得二次函数解析式为
当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0
∴4a+c＞2b，∴②错误；
∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∵b=2a，
∴3b，2c＜0，∴③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴y=a﹣b+c的值最大，
即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，
∴am2+bm+b＜a，
即m（am+b）+b＜a，∴④正确；
，函数图象为一次函数；
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出 与 之间的函数关系是解此题的关键．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)经过点M(﹣1，2)和点N(1，﹣2)，则下列说法错误的是()
A．a+c＝0
B．无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点，且函数图象截x轴所得的线段长度必大于2
4．已知抛物线 ，其顶点为 ，与 轴交于点 ，将抛物线 绕原点旋转 得到抛物线 ，点 的对应点分别为 ，若四边形 为矩形，则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出A(2，c-4)，B(0，c)， ，结合矩形的性质，列出关于c的方程，即可求解．
【详解】
∵抛物线 ，其顶点为 ，与 轴交于点 ，
∴一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根可以看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，
∵当x＝−1时，y＝4；当x＝3时，y＝－12，
∴函数y＝－x2−2x＋3在﹣2＜x＜3的范围内－12＜y≤4，
∴－12＜t≤4，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键．
故选B．
【点睛】
此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b、c的值是解决此题的关键．
2．抛物线y＝ x2+bx+3的对称轴为直线x＝ 1．若关于x的一元二次方程 x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A． 12＜t≤3B． 12＜t＜4C． 12＜t≤4D． 12＜t＜3
【详解】
①根据抛物线开口方向得到 ，根据对称轴 得到 ，根据抛物线与 轴的交点在 轴下方得到 ，所以 ，故①正确.
② 时，由图像可知此时 ，即 ，故②正确.
③由对称轴 ，可得 ，所以 错误，故③错误；
④当 时，由图像可知此时 ，即 ，将③中 变形为 ，代入可得 ，故④正确.
故答案选D.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。
将 代入得： ，
∴ 是关于 的方程 的一个根,故本选项正确；
C、 化为顶点式得： ，
∵ ，则抛物线的开口向下，
∴当 时， 的值随 值的增大而减小；当 时， 的值随 值的增大而增大；故本选项错误；
D、不等式 可化为 ，令 ，
由二次函数的图象可得：当 时， ，故本选项正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．
8．如图是二次函数 的图象，有下面四个结论： ； ； ； ，其中正确的结论是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线开口方向得到 ，根据对称轴 得到 ，根据抛物线与 轴的交点在 轴下方得到 ，所以 ； 时，由图像可知此时 ，所以 ；由对称轴 ，可得 ；当 时，由图像可知此时 ，即 ，将 代入可得 .
3．二次函数 的图象如图所示，下列结论① ，② ，③ ，④ ．其中正确的是（）
A．①④B．②④C．②③D．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
①抛物线与x轴由两个交点，则 ，即 ，所以①正确；②由二次函数图象可知， ， ， ，所以 ，故②错误；
③对称轴：直线 ， ，所以 ， ，故③错误；
④对称轴为直线 ，抛物线与x轴一个交点 ，则抛物线与x轴另一个交点 ，当 时， ，故④正确．
∴△＝4+4a2＞0，
∴无论a为何值，函数图象与x轴必有两个交点，
∵x1+x2＝ ，x1x2＝﹣1，
∴|x1﹣x2|＝2 ＞2，
∴B正确；
二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)的对称轴x＝﹣ ＝ ，
当a＞0时，不能判定x＜ 时，y随x的增大而减小；
∴C错误；
∵﹣1＜m＜n＜0，a＞0，
∴m+n＜0， ＞0，
∵b=-a，c=-2
∴二次函数解析式：
∵当 时，与其对应的函数值 ．
∴ ，∴a ；
∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n，
∴m=n=2a-2，
∴m+n=4a-4 ；故③错误
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量 与函数值 的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．
7．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ）
A．原数与对应新数的差不可能等于零
B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大
C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30
D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大
【答案】D
【详解】
解：①∵抛物线与x轴由两个交点，
∴ ，
即 ，
所以①正确；
②由二次函数图象可知，
， ， ，
∴ ，
故②错误；
③∵对称轴：直线 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
， ，
∴ ，
故③错误；
④∵对称轴为直线 ，抛物线与x轴一个交点 ，
∴抛物线与x轴另一个交点 ，
当 时， ，
故④正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．