投资学债券期限结构
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第十二章 债券投资的理论
一、债券投资的理论
债券的期限结构理论：期限与利率水平 的关系
久期理论：含义、计算方法及在债券投 资管理中的运用
债券的风险规避理论：控制或规避债券 投资风险的主要方式
二、利率期限结构
利率的期限结构 (term structure of interest rates)
反映了债券的期限长度与利率水平的关 系。
十一、Байду номын сангаас券免疫管理举例
假定一保险公司发行1万元投资保单，期限5年，利率 8%，每年计息一次，利息再投资，到期一次还本付息， 到期需支付本息额为10000(1.08)5=14693.28元。 保险公司为确保到期有足够的收入支付本息，将保单 收入投资于面值为10000元、期限为6年、年息为8%的 息票式债券。如果未来5年，利率始终为8%，保险公司 将每年获得的利息再投资，它的债券投资5年可恰好获 得本息14693.28元。
八、利率的久期分析（6）
–息票式债券的久期计算 [(1+y)/y]-[(1+y)+T(c-y)]/{c[(1+y)T-1]+y}
C=息票利率，T=支付次数，y=债券收益。 例如，C=4%,T=40,20年期债券有40支付期，y=2.5%， 那么债券的久期应该为
(1.025/0.025)-[1.025+40(0.02-0.025)]/[0.02(1.025401)+0.025]=26.94半年=13.410 年
十一、债券免疫管理（2）
债券久期的调整
– 如果利率上升，利息再投资的收益会增加，债券价格会下降；如果 利率下降，利息再投资的收益会减少，债券价格会上升。应根据不 同的市场利率水平，确定资产组合合适的久期。
十一、久期匹配的现值比较
如果保险公司选择了合适久期的投资，就可以在方向 不定的利率波动时确保支付时有足够的收益累积额。 如果利率为8%，保险公司的保单收益为10000元，购买 的债券价格也是10000元；如果利率降为7%，保单的现 值为10476.11元(14693.28/1.075=10476.11)，债券组 合的现值为10476.65元(6次800元利息的现值再加上6 年后10000元本金的现值)；如果利率降为9%，保单的 现值为9549.62元，债券组合的现值为9551.41元。 从现值的比较可以看出，无论利率是下降还是上升， 债券的现值都比保单的现值略高，都足以满足支付的 要求。它进一步说明了进行久期匹配策略，可以确保 资产与负债对于利率波动的反应是相等的。
三、零息票式债券远期利率（8）
套利活动会确保两个方案的全部本息额是相等的。这 样，我们可以推算出第三年的短期利率r3。因为有 1152.01=1092.03(1+r3)， r3 = 0.0549≈5.5% 这与假定一样，将这个推导一般化，有 1000(1+y3)3=1000(1+y2)2(1+r3)， 所以有 1+rn=(1+yn)n/(1+yn-1)n-1 如果我们将远期利率定义为fn，就有 1+fn=(1+yn)n/(1+yn-1)n-1， 经整理有 (1+yn)n=(1+yn-1)n-1(1+fn) 远期利率与未来实际短期利率不一定相等。只有在利 率确定的条件下，远期利率才一定等于未来短期利率。
r2大于远期利率f2。 –即：远期利率是否等于未来期望的短期利率取决于
投资者对利率风险的承受情况，也取决于他们对债 券期限长短的偏好。
六、债券期限结构理论（1）
期限结构理论是指说明长短期债券利率水平的关系的 理论 。
（1）预期假定(expectations hypothesis)理论 ： –预期理论是最简单的期限结构理论。这一理论认为
远期利率等于市场整体对未来短期利率的预期。
（2）流动偏好理论(liquidity preference theory) ： –投资者有不同的期限偏好，有些偏好短期债券，有
些偏好长期债券。要求远期利率与期望的未来短期 利率之间有一个溢价。
六、债券期限结构理论（2）
（3）市场分割理论(market segmentation theory)： –长、短期债券的投资者是分开的，因此它们的市场
投资基金难以像投资股票指数样本公司那样投资债 券指数的样本债券
– 包含在债券指数中的许多债券在市场中很少交易
– 债券的期限一旦低于一年就会离开指数，新发行的 债券又不断地进入指数，使投资者希望保持一个与 指数相同结构的债券资产组合变得十分困难
十、债券指数投资（2）
债券指数投资的方式（分层抽样法 ）： –首先将债券分类，计算每一类债券占全部债券的比
久期的计算 ：
–wt=[CFt/(1+y)t]/债券价格 –D=Σt×wt
八、利率的久期分析（2）
久期的计算举例：
八、利率的久期分析（3）
久期的性质 –零息票债券的久期等于它的到期时间。
–当债券的到期日不变时，债券的久期随着息票利率 的降低而延长。
–当息票利率不变时，债券的久期通常随债券到期时 间的增长而增长。
期可以更好地避免利率变动的风险，这种技术称作 免疫技术。 资产净值免疫： –银行与储蓄机构的资产和负债之间明显存在期限不 匹配的情况，如果作到资产的久期与负债的久期相 一致，就可以消除银行存贷期限不一致所带来的利 率变动风险。 目标日期免疫： –各种投资基金考虑更多的是要确保未来支付日资产 的价值，以保证向投资者支付。基金运用久期技术 的目的是保证基金未来的价值不受利率变动风险的 影响。
重，然后就可以根据这个比重来分配购买债券的资 金。获得的债券资产组合是一个近似债券指数的资 产组合。
业绩的检验： –检查实际投资组合与指数之间的轨迹差(tracking
error)的绝对值，即观察或分析每月的投资资产组 合的业绩与指数业绩之差。
十一、债券免疫管理（1）
免疫(immunization)： –利用债券久期的知识，通过调整债券资产组合的久
三、零息票式债券远期利率（5）
期限一年债券当天的价格为961.54元，一年后的本息 为1000元。投资收入有1000元—961.54元=38.46元， 回报率为38.46元/961.54元=4%。 二年期债券价格为915.75元，明年的利率将升至5%， 明年债券剩一年就到期，明年它的价格应为1000元 /1.05=952.38元。 从当天起开始持有一年的回报率为(952.39元-915.75 元)/915.75元=4%。 同样，三年期债券价格为868.01元，一年后的价格为 1000元/(1.05)(1.055)=902.73元，其回报率为 (902.73元—868.01元)/868.01元=0.04。
三、零息票式债券远期利率（1）
一般短期利率指期限为1年及1年以内的货币市场利率，这里是广 义的概念 ：凡是给定期限的利率就称作短期利率
一年期债券折现值公式 ：PV＝1/[(1+r1)(1+r2)…(1+rn)]
三、零息票式债券远期利率（1）
到期收益率 ：PV=Par/(1+yn)n
根据公式，两年后到期的一年期债券的到期收益率为
偏好长期投资的利率决定： –如果我们假定投资者偏好长期投资，愿意持有长期
债券，那么，他可能会要求有一更高的短期利率或 有一短期利率的风险溢价才愿意持有短期债券。
五、不确定条件下的远期利率（2）
结论： –如果投资者偏好短期投资，就要求远期利率f2大于
期望的短期利率r2； –如果投资者偏好长期投资，则要求期望的短期利率
三、零息票式债券远期利率（6）
远期利率： –运用债券当前价格和到期收益率推导出的未来年度
的短期利率就是远期利率(forward rates)。
三、零息票式债券远期利率（7）
要推导第三年的短期利率： 假定准备投资1000元，现在有两种投资方案，一是投 资3年期债券，一是先投资2年期债券，然后再将到期 获得的本息投资1年期债券。 第一方案，三年期零息票债券的到期收益率为4.83%， 投资1000元，投资3年，到期一共可以获得本息为 1000(1.0483)3=1152.01元。 第二方案，1000元先投资于两年期的零息票债券，由 于二年期零息票债券的到期收益率为4.50%，因此，两 年后得到的本息共为1000(1.045)2=1092.03元；然后 用1092.03元再购买1年期的零息票债券，一年后可以 得到本息1092.03(1+r3)。
–其他因素不变，债券的到期收益率较低时，息票债 券的久期较长。
八、利率的久期分析（5）
久期的性质图示
八、利率的久期分析（6）
常用久期的计算公式 –无限期限债券的久期计算：
(1+y)/y
–当收益率为10%时，每年支付100元的无限 期限债券的久期等于1.10/0.10=11年。
–如果收益率为4%，久期就为1.04/0.04=26 年
即期利率(spot rate)： – 零息票债券的到期收益率也可以称作即期利率，即期利率是
可以得到当前债券价格的折现利率，它十分接近于债券生命 期的平均回报率 。 即期利率与短期利率的关系 ：
三、零息票式债券远期利率（4）
持有期回报率： –持有期回报率是指投资者在相同时段分别持有每一
种债券，各自会给投资者带来的回报率。相同时段 的所有债券的回报率是一样的。
十一、债券免疫管理举例
如果保险公司投资债券后的各年利率或7%，或9%，5年后情况为
十一、债券免疫管理举例
从表中我们可以看到，如果利率发生了变化，投资的 最终收益会受影响， 这一影响来自两个方面：如果是利率下降，利息再投 资的收益减少，但证券的出售价格会上升；如果是利 率上升，利息再投资的收益会增加，但证券的出售价 格会减少。 当利率降为7%时，利息再投资的收益一共减少了92.69 元(4693.28-4600.59=92.69)，但债券价格增加了 93.46元，两相抵消，总收益还稍有增加。 当利率升为9%时，利息再投资的收益增加了94.48元 (4787.76-4693.28=94.48)，债券价格减少了91.74元， 两相抵消，总收益仍然增加了2.74元。
八、利率的久期分析（6）
–稳定年金的久期计算 [(1+y)/y]- T/[(1+y)T- 1]
这里，T为支付的次数，y是每个支付期的年金收益率。
例如，收益率为4%的10年期年金的久期为
(1.04/0.04)-[10/(1.04 10-1)]=26-[10/0.48] =26-20.83=5.17 年。
八、利率的久期分析（6）
息票式债券的久期(初始债券的年到期收益率为8%)
九、债券投资的管理
债券投资可以分为消极型管理和积极型管理两 种。
消极管理：
–债券指数基金 –利率的免疫管理
积极管理：
–通过选择优质债券进行投资 –运用各种套期保值工具
十、债券指数投资（1）
债券指数投资的特点 – 每个指数所包含的债券数量太多，各类投资机构或
是分割的，长短期债券各有自己独立的均衡价格。 利率的期限结构是由不同期限市场的均衡利率决定 的。
八、利率的久期分析（1）
久期(duration)的定义：
–根据债券的每次息票利息或本金支付时间的加权平 均来计算的期限是债券的久期。也就是说，债券久 期是债券本息支付的所有现金流的到期期限的一个 加权平均。它的主要用途是说明息票式债券的期限。
五、不确定条件下的远期利率（1）
短期资金投资长期债券的风险： –如果投资于债券，又没有持有到期，投资者无法确
定以后出售时的价格，因此无法事先知道自己的投 资收益率。 流动溢价(liquidity premium)： –远期利率大于预期短期利率，超过的部分就是未来 利率不确定所带来风险所要求的溢价。
八、利率的久期分析（6）
–息票式债券的久期简化计算 [(1+y)/y][1-1/(1+y)T]
假定T=40,C=4%，每半年付一次利息，该债券的久期为
[(1+0.025)/0.025][1-1/(1+y)T]=25.73半年=12.87年。
这和上例的区别是上例的债券价格低于面值出售，而 本例的债券价格就是面值。
915.75=1000/(1+y2)2 Y可以看做即期利率。
y2=4.50%
三、零息票式债券远期利率（2）
收益率曲线(yield curve) : 收益率曲线是不同到期时间的一年期债券的到期收益 与到期时间的关系的曲线。 也可以理解为：不同期限的即期利率与期限的曲线。
三、零息票式债券远期利率（3）
一、债券投资的理论
债券的期限结构理论：期限与利率水平 的关系
久期理论：含义、计算方法及在债券投 资管理中的运用
债券的风险规避理论：控制或规避债券 投资风险的主要方式
二、利率期限结构
利率的期限结构 (term structure of interest rates)
反映了债券的期限长度与利率水平的关 系。
十一、Байду номын сангаас券免疫管理举例
假定一保险公司发行1万元投资保单，期限5年，利率 8%，每年计息一次，利息再投资，到期一次还本付息， 到期需支付本息额为10000(1.08)5=14693.28元。 保险公司为确保到期有足够的收入支付本息，将保单 收入投资于面值为10000元、期限为6年、年息为8%的 息票式债券。如果未来5年，利率始终为8%，保险公司 将每年获得的利息再投资，它的债券投资5年可恰好获 得本息14693.28元。
八、利率的久期分析（6）
–息票式债券的久期计算 [(1+y)/y]-[(1+y)+T(c-y)]/{c[(1+y)T-1]+y}
C=息票利率，T=支付次数，y=债券收益。 例如，C=4%,T=40,20年期债券有40支付期，y=2.5%， 那么债券的久期应该为
(1.025/0.025)-[1.025+40(0.02-0.025)]/[0.02(1.025401)+0.025]=26.94半年=13.410 年
十一、债券免疫管理（2）
债券久期的调整
– 如果利率上升，利息再投资的收益会增加，债券价格会下降；如果 利率下降，利息再投资的收益会减少，债券价格会上升。应根据不 同的市场利率水平，确定资产组合合适的久期。
十一、久期匹配的现值比较
如果保险公司选择了合适久期的投资，就可以在方向 不定的利率波动时确保支付时有足够的收益累积额。 如果利率为8%，保险公司的保单收益为10000元，购买 的债券价格也是10000元；如果利率降为7%，保单的现 值为10476.11元(14693.28/1.075=10476.11)，债券组 合的现值为10476.65元(6次800元利息的现值再加上6 年后10000元本金的现值)；如果利率降为9%，保单的 现值为9549.62元，债券组合的现值为9551.41元。 从现值的比较可以看出，无论利率是下降还是上升， 债券的现值都比保单的现值略高，都足以满足支付的 要求。它进一步说明了进行久期匹配策略，可以确保 资产与负债对于利率波动的反应是相等的。
三、零息票式债券远期利率（8）
套利活动会确保两个方案的全部本息额是相等的。这 样，我们可以推算出第三年的短期利率r3。因为有 1152.01=1092.03(1+r3)， r3 = 0.0549≈5.5% 这与假定一样，将这个推导一般化，有 1000(1+y3)3=1000(1+y2)2(1+r3)， 所以有 1+rn=(1+yn)n/(1+yn-1)n-1 如果我们将远期利率定义为fn，就有 1+fn=(1+yn)n/(1+yn-1)n-1， 经整理有 (1+yn)n=(1+yn-1)n-1(1+fn) 远期利率与未来实际短期利率不一定相等。只有在利 率确定的条件下，远期利率才一定等于未来短期利率。
r2大于远期利率f2。 –即：远期利率是否等于未来期望的短期利率取决于
投资者对利率风险的承受情况，也取决于他们对债 券期限长短的偏好。
六、债券期限结构理论（1）
期限结构理论是指说明长短期债券利率水平的关系的 理论 。
（1）预期假定(expectations hypothesis)理论 ： –预期理论是最简单的期限结构理论。这一理论认为
远期利率等于市场整体对未来短期利率的预期。
（2）流动偏好理论(liquidity preference theory) ： –投资者有不同的期限偏好，有些偏好短期债券，有
些偏好长期债券。要求远期利率与期望的未来短期 利率之间有一个溢价。
六、债券期限结构理论（2）
（3）市场分割理论(market segmentation theory)： –长、短期债券的投资者是分开的，因此它们的市场
投资基金难以像投资股票指数样本公司那样投资债 券指数的样本债券
– 包含在债券指数中的许多债券在市场中很少交易
– 债券的期限一旦低于一年就会离开指数，新发行的 债券又不断地进入指数，使投资者希望保持一个与 指数相同结构的债券资产组合变得十分困难
十、债券指数投资（2）
债券指数投资的方式（分层抽样法 ）： –首先将债券分类，计算每一类债券占全部债券的比
久期的计算 ：
–wt=[CFt/(1+y)t]/债券价格 –D=Σt×wt
八、利率的久期分析（2）
久期的计算举例：
八、利率的久期分析（3）
久期的性质 –零息票债券的久期等于它的到期时间。
–当债券的到期日不变时，债券的久期随着息票利率 的降低而延长。
–当息票利率不变时，债券的久期通常随债券到期时 间的增长而增长。
期可以更好地避免利率变动的风险，这种技术称作 免疫技术。 资产净值免疫： –银行与储蓄机构的资产和负债之间明显存在期限不 匹配的情况，如果作到资产的久期与负债的久期相 一致，就可以消除银行存贷期限不一致所带来的利 率变动风险。 目标日期免疫： –各种投资基金考虑更多的是要确保未来支付日资产 的价值，以保证向投资者支付。基金运用久期技术 的目的是保证基金未来的价值不受利率变动风险的 影响。
重，然后就可以根据这个比重来分配购买债券的资 金。获得的债券资产组合是一个近似债券指数的资 产组合。
业绩的检验： –检查实际投资组合与指数之间的轨迹差(tracking
error)的绝对值，即观察或分析每月的投资资产组 合的业绩与指数业绩之差。
十一、债券免疫管理（1）
免疫(immunization)： –利用债券久期的知识，通过调整债券资产组合的久
三、零息票式债券远期利率（5）
期限一年债券当天的价格为961.54元，一年后的本息 为1000元。投资收入有1000元—961.54元=38.46元， 回报率为38.46元/961.54元=4%。 二年期债券价格为915.75元，明年的利率将升至5%， 明年债券剩一年就到期，明年它的价格应为1000元 /1.05=952.38元。 从当天起开始持有一年的回报率为(952.39元-915.75 元)/915.75元=4%。 同样，三年期债券价格为868.01元，一年后的价格为 1000元/(1.05)(1.055)=902.73元，其回报率为 (902.73元—868.01元)/868.01元=0.04。
三、零息票式债券远期利率（1）
一般短期利率指期限为1年及1年以内的货币市场利率，这里是广 义的概念 ：凡是给定期限的利率就称作短期利率
一年期债券折现值公式 ：PV＝1/[(1+r1)(1+r2)…(1+rn)]
三、零息票式债券远期利率（1）
到期收益率 ：PV=Par/(1+yn)n
根据公式，两年后到期的一年期债券的到期收益率为
偏好长期投资的利率决定： –如果我们假定投资者偏好长期投资，愿意持有长期
债券，那么，他可能会要求有一更高的短期利率或 有一短期利率的风险溢价才愿意持有短期债券。
五、不确定条件下的远期利率（2）
结论： –如果投资者偏好短期投资，就要求远期利率f2大于
期望的短期利率r2； –如果投资者偏好长期投资，则要求期望的短期利率
三、零息票式债券远期利率（6）
远期利率： –运用债券当前价格和到期收益率推导出的未来年度
的短期利率就是远期利率(forward rates)。
三、零息票式债券远期利率（7）
要推导第三年的短期利率： 假定准备投资1000元，现在有两种投资方案，一是投 资3年期债券，一是先投资2年期债券，然后再将到期 获得的本息投资1年期债券。 第一方案，三年期零息票债券的到期收益率为4.83%， 投资1000元，投资3年，到期一共可以获得本息为 1000(1.0483)3=1152.01元。 第二方案，1000元先投资于两年期的零息票债券，由 于二年期零息票债券的到期收益率为4.50%，因此，两 年后得到的本息共为1000(1.045)2=1092.03元；然后 用1092.03元再购买1年期的零息票债券，一年后可以 得到本息1092.03(1+r3)。
–其他因素不变，债券的到期收益率较低时，息票债 券的久期较长。
八、利率的久期分析（5）
久期的性质图示
八、利率的久期分析（6）
常用久期的计算公式 –无限期限债券的久期计算：
(1+y)/y
–当收益率为10%时，每年支付100元的无限 期限债券的久期等于1.10/0.10=11年。
–如果收益率为4%，久期就为1.04/0.04=26 年
即期利率(spot rate)： – 零息票债券的到期收益率也可以称作即期利率，即期利率是
可以得到当前债券价格的折现利率，它十分接近于债券生命 期的平均回报率 。 即期利率与短期利率的关系 ：
三、零息票式债券远期利率（4）
持有期回报率： –持有期回报率是指投资者在相同时段分别持有每一
种债券，各自会给投资者带来的回报率。相同时段 的所有债券的回报率是一样的。
十一、债券免疫管理举例
如果保险公司投资债券后的各年利率或7%，或9%，5年后情况为
十一、债券免疫管理举例
从表中我们可以看到，如果利率发生了变化，投资的 最终收益会受影响， 这一影响来自两个方面：如果是利率下降，利息再投 资的收益减少，但证券的出售价格会上升；如果是利 率上升，利息再投资的收益会增加，但证券的出售价 格会减少。 当利率降为7%时，利息再投资的收益一共减少了92.69 元(4693.28-4600.59=92.69)，但债券价格增加了 93.46元，两相抵消，总收益还稍有增加。 当利率升为9%时，利息再投资的收益增加了94.48元 (4787.76-4693.28=94.48)，债券价格减少了91.74元， 两相抵消，总收益仍然增加了2.74元。
八、利率的久期分析（6）
–稳定年金的久期计算 [(1+y)/y]- T/[(1+y)T- 1]
这里，T为支付的次数，y是每个支付期的年金收益率。
例如，收益率为4%的10年期年金的久期为
(1.04/0.04)-[10/(1.04 10-1)]=26-[10/0.48] =26-20.83=5.17 年。
八、利率的久期分析（6）
息票式债券的久期(初始债券的年到期收益率为8%)
九、债券投资的管理
债券投资可以分为消极型管理和积极型管理两 种。
消极管理：
–债券指数基金 –利率的免疫管理
积极管理：
–通过选择优质债券进行投资 –运用各种套期保值工具
十、债券指数投资（1）
债券指数投资的特点 – 每个指数所包含的债券数量太多，各类投资机构或
是分割的，长短期债券各有自己独立的均衡价格。 利率的期限结构是由不同期限市场的均衡利率决定 的。
八、利率的久期分析（1）
久期(duration)的定义：
–根据债券的每次息票利息或本金支付时间的加权平 均来计算的期限是债券的久期。也就是说，债券久 期是债券本息支付的所有现金流的到期期限的一个 加权平均。它的主要用途是说明息票式债券的期限。
五、不确定条件下的远期利率（1）
短期资金投资长期债券的风险： –如果投资于债券，又没有持有到期，投资者无法确
定以后出售时的价格，因此无法事先知道自己的投 资收益率。 流动溢价(liquidity premium)： –远期利率大于预期短期利率，超过的部分就是未来 利率不确定所带来风险所要求的溢价。
八、利率的久期分析（6）
–息票式债券的久期简化计算 [(1+y)/y][1-1/(1+y)T]
假定T=40,C=4%，每半年付一次利息，该债券的久期为
[(1+0.025)/0.025][1-1/(1+y)T]=25.73半年=12.87年。
这和上例的区别是上例的债券价格低于面值出售，而 本例的债券价格就是面值。
915.75=1000/(1+y2)2 Y可以看做即期利率。
y2=4.50%
三、零息票式债券远期利率（2）
收益率曲线(yield curve) : 收益率曲线是不同到期时间的一年期债券的到期收益 与到期时间的关系的曲线。 也可以理解为：不同期限的即期利率与期限的曲线。
三、零息票式债券远期利率（3）