高二数学数学归纳法课件 新课标 人教版
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最新人教版高中数学选修2.3《数学归纳法》ppt课件
时结论也正确． “用上假设，递推才真”
递推依据
注 意：
1、一定要用到归纳假设； 2、看清从k到k＋1中间的变化。
课堂小结
重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。
课后作业
P95练习：1，2.
an an1 1 an
n N
写出: a2 , a3 , a4 , 并归纳出这个数列的通项公式
课题引入
1、数列{an},已知a1
a n 1 =1， an 1 an
n N
写出: a2 , a3 , a4 , 并归纳出这个数列的通项公式
a1 1
a2 an 1 n 1 2 a3 1 3 a4 1 4
[答案] D
[ 解析 ] 1 1 当 n ＝ k 时，等式左边＝ ＋ ＋ … ＋ 1· 2 2· 3
1 k(k＋1) 1 1 1 当 n＝k＋1 时，等式左边＝1· 2＋2· 3＋…＋k(k＋1)＋ 1 (k＋1)(k＋2) 1 两者比较需添加的项为 . (k＋1)(k＋2) 故应选 D.
1 127 1 1 3．用数学归纳法证明不等式 1＋ ＋ ＋…＋ n－1> 成 2 4 64 2 立时，起始值 n 至少应取为 A．7 C．9
练习 2．用数学归纳法证明
1 1 1 1 ＋ ＋ ＋…＋ 1· 2 2· 3 3· 4 n(n＋1)
n ＝ (n∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要增 n ＋1 添的项是 1 A. k(k＋1) B. 1 1 ＋ k(k＋1) (k＋1)(k＋2) ( )
1 C. k(k＋2) 1 D. (k＋1)(k＋2)
骨牌倒下 第1张骨牌倒下 假设第k张骨牌倒下 保证第k+1张倒下
高中数学 2.3数学归纳法 新人教A版选修2-2
2．3 数学归纳法
ppt课件
研题型 学方 法
ppt课件
题型一 用数学归纳法证明等式
用数学归纳法证明 1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝12n(3n－1)(n∈N*)． 分析：按数学归纳法的解题步骤进行证明，要清楚等式两边的结构， 特别当 n＝1 时，等式两边分别是什么？当 n＝k 到 n＝k＋1 等式两 边发生了什么变化，这是解题的关键．
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题型三 用数学归纳法证明整除问 题
求证：an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈N*)能被 a2＋a＋1 整除． 分析：对于多项式 A，B，如果 A＝BC，C 也是多项式，那么 A 能被 B 整除． 证明：(1)当 n＝1 时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．
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＝21(3k2＋5k＋2) ＝21(k＋1)(3k＋2) ＝21(k＋1)[3(k＋1)－1]． 即 n＝k＋1 时等式也成立． 综上，由(1)与(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立．
ppt课件
规律方法：用数学归纳法证明与自然数有关的一些 等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的结 构规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的 取值是否有关系．由“n＝k”到“n＝k＋1”时， 等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
根据(1)和(2)，可知等式对任何 n∈N*都成立．
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题型二 用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明：1＋12＋31＋…＋2n－1 1<n(n∈N*，n>1)． 分析：利用数学归纳法，n＝k 到 n＝k＋1 时增加的项有21k＋2k＋1 1
＋…＋2k＋11－1. 证明：(1)当 n＝2 时，左边＝1＋21＋13，右边＝2，左边<右边，不等 式成立．
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研题型 学方 法
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题型一 用数学归纳法证明等式
用数学归纳法证明 1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝12n(3n－1)(n∈N*)． 分析：按数学归纳法的解题步骤进行证明，要清楚等式两边的结构， 特别当 n＝1 时，等式两边分别是什么？当 n＝k 到 n＝k＋1 等式两 边发生了什么变化，这是解题的关键．
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题型三 用数学归纳法证明整除问 题
求证：an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈N*)能被 a2＋a＋1 整除． 分析：对于多项式 A，B，如果 A＝BC，C 也是多项式，那么 A 能被 B 整除． 证明：(1)当 n＝1 时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．
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＝21(3k2＋5k＋2) ＝21(k＋1)(3k＋2) ＝21(k＋1)[3(k＋1)－1]． 即 n＝k＋1 时等式也成立． 综上，由(1)与(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立．
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规律方法：用数学归纳法证明与自然数有关的一些 等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的结 构规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的 取值是否有关系．由“n＝k”到“n＝k＋1”时， 等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
根据(1)和(2)，可知等式对任何 n∈N*都成立．
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题型二 用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明：1＋12＋31＋…＋2n－1 1<n(n∈N*，n>1)． 分析：利用数学归纳法，n＝k 到 n＝k＋1 时增加的项有21k＋2k＋1 1
＋…＋2k＋11－1. 证明：(1)当 n＝2 时，左边＝1＋21＋13，右边＝2，左边<右边，不等 式成立．
4.4数学归纳法说课课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
设计 意图
利用视频的生动形象特点，使学生总结出这两个条件；通过反例的展 示让学生明白两个条件缺一不可；体会信息技术给数学研究带来的便 捷，提升了学生观察和分析能力，培养了数学抽象的核心素养。
教学过程分析
3.深入研究，获取新知
突破难点 （1）和（3）
问题 5
问题2中的猜想和多米诺骨牌游戏具有相似性吗？你能类比这个游戏 来解决这个问题吗？
教学过程分析
5.布置作业
基础巩固 课本4.4.练习1、2。 素质提升 课本习题3。 拓广探索 查找阅读与数学归纳法相
关的文献，并和同学分享。
设计意图
1. 巩固本节课学习的知识和方法。 2. 让学生经历一个完整的“观察
-归纳-猜想-证明”的过程， 加强思维的探索性。 3. 了解数学归纳法的发展历程， 拓宽学生的视野，培养数学兴 趣。
掌握数学归纳法解决问题 的基本步骤，会用数学归 纳法证明简单的问题，培 养学生分析解决问题的能 力。
策略 采用“情境分析和类比探索”的思想来达成目标
目标分析——教学重点
重 点 （1）运用数学归纳法解决严谨的数学证明; （2）了解数学归纳法原理。
策 略 通过“问题诱导和类比迁移”突出重点
目标分析——教学难点
特殊数列
数学归纳 法（选学）
概念
表示
一次函数 等差数列
类比
等比数列 指数函数 基本原理 简单应用
数列是一种特殊的函数
表格 图像 通项公式 递推公式
概念
表示
通项公式
前n项和公式
应用
设计意图
让学生从整体上掌 握本单元知识的脉 络，加强学生的观 察-归纳-猜想-证明 的探索性思维，为 后面的学习奠定基 础。
数学归纳法一优质课件新课标人教A版选修2
数学归纳法一优质课件新课标人教A版选修2一、教学内容本节课我们将学习《数学归纳法》，该内容属于新课标人教A版选修2的第三章第三节。
详细内容包括数学归纳法的原理、应用以及数学归纳法在解决数学问题中的重要作用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的定义，掌握其基本步骤和原理。
2. 学会运用数学归纳法证明数学命题，提高逻辑推理能力。
3. 能够运用数学归纳法解决实际问题，增强数学应用意识。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的运用，特别是递推关系的建立。
教学重点：数学归纳法的原理及其证明步骤。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示数学家运用数学归纳法解决问题的实际案例，激发学生兴趣。
2. 知识讲解：1) 简要介绍数学归纳法的定义及作用。
2) 详细讲解数学归纳法的两个基本步骤：基础步骤和归纳步骤。
3) 通过例题讲解，展示数学归纳法的运用过程。
3. 随堂练习：1) 让学生独立完成基础题，巩固数学归纳法的运用。
2) 分组讨论较难题，引导学生建立递推关系，解决问题。
2) 拓展数学归纳法在解决其他类型问题中的应用。
六、板书设计1. 板书数学归纳法2. 主要内容：1) 数学归纳法的定义及作用2) 数学归纳法的两个基本步骤3) 例题及解答步骤4) 课后作业七、作业设计1. 作业题目：1) 证明：1+3+5++(2n1)=n^22) 证明：1^3+2^3+3^3++n^3=(1+2++n)^22. 答案：1) 略2) 略八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对于数学归纳法的理解和运用程度，调整教学方法，提高教学效果。
2. 拓展延伸：1) 探索数学归纳法在其他数学分支中的应用。
2) 引导学生关注数学归纳法在实际问题中的应用，提高数学素养。
重点和难点解析1. 教学难点与重点的确定。
2. 教学过程中的例题讲解和随堂练习设计。
3. 板书设计中的内容布局和逻辑性。
(新课程)高中数学《2.3.1数学归纳法》课件3 新人教A版选修2-2
时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、
定理等加以证明
三、典例分析：例1．用数学归纳法证明：
如果{an}是一个等差数列，公差是d，那 么an=a1+(n－1)d对一切n∈N+都成立。
证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1, 等式是成立的；
（2）假设当n=k时，等式成立，即
ak=a1+(k－1)d， 那么ak+1=ak+d=[a1+(k－1)d]+d=a1+kd， 这就是说，当n=k+1时，等式也成立，
数学归纳法
学习目标：
掌握数学归纳法的定义。 掌握数学归纳法的基本思想。 掌握数学归纳法的基本步骤。
重点：
数学归纳法的基本思想的理解。
难点：
利用数学归纳法证明。
课时：
一课时。
对于某类事物，由它的一些特殊事 例或其全部可能情况，归纳出一般 结论的推理方法，叫归纳法。
｛ 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
=k2+[2(k+1)－1]=k2+2k+1=(k+1)2. 这就是说，当n=k+1时，等式也成立， 由（1）和（2）可以断定，等式对任何 n∈N+都成立。
例3．用数学归纳法证明：
1 4 2 7 310 n(3n 1) n(n 1)2
证明：（1）当n=1时，左边=4，右边=4， 因为左边=右边，所以等式是成立的；
于是（*）式对一切正整数n成立。
再如:用数学归纳法证明
12 + 22 + 32 + + n2 = n(n +1)(2n +1) 6
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可.
高中数学2.3数学归纳法课件新人教A版选修2_2
(3)正确寻求递推关系. 我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的,如何寻求 递推关系呢? ①在第一步验证时,不妨多计算几项,并争取正确写出来,这样对 发现递推关系是有帮助的. ②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律,观察n 处在哪个位置. ③在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中 的最后一项.除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚.
2������+1 2������+2 1 1 D. ������������ + 2������+2 − 2������+1
Sk=
答案:C
2.数学归纳法的框图表示
1.如何理解数学归纳法? 剖析:数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法, 证明分两步,其中第一步是命题成立的基础,称为“归纳奠基”;第二 步解决的是延续性问题,又称“归纳递推”.运用数学归纳法证明有关 命题应注意以下几点: (1)两个步骤缺一不可. (2)在第一步中,n的初始值不一定从1开始,也不一定只取一个数 (有时需取n=n0,n0+1等),证明时应视具体情况而定. (3)在第二步中,证明当n=k+1命题成立时,必须使用假设,否则就 会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系,造成推理无效. (4)证明当n=k+1命题成立时,要明确求证的目标形式,一般要凑出 假设里给出的形式,以便使用假设,然后再去凑出当n=k+1时的结论, 这样就能有效减少论证的盲目性.
题型一
题型二
题型三
题型四
用数学归纳法证明等式
【例 1】 用数学归纳法证明 11 4
1-
1 9
1-
1 16
· …· 1-
【新教材】高中数学课件之数学归纳法
【新教材】高中数学课件之数学归纳法一、教学内容本节课选自新教材高中数学选修22第四章“数列的极限”中的第2节“数学归纳法”。
具体内容包括数学归纳法的概念、原理及证明步骤，并通过对数列的性质进行归纳推理，探讨数学归纳法在数列问题中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念、原理及证明步骤，掌握数学归纳法的基本运用。
2. 能够运用数学归纳法证明简单的数学命题，提高逻辑推理能力。
3. 了解数学归纳法在数列问题中的应用，培养解决问题的策略。
三、教学难点与重点重点：数学归纳法的概念、原理及证明步骤。
难点：运用数学归纳法证明数学命题，特别是归纳假设的运用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、笔记本、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过一个简单的实际问题，引导学生思考：如何证明一个与自然数有关的命题对所有自然数都成立？2. 基本概念与原理讲解（10分钟）介绍数学归纳法的概念、原理，解释归纳假设和归纳步骤。
3. 例题讲解（15分钟）选取一道典型的数学归纳法证明题目，详细讲解解题思路和步骤。
4. 随堂练习（10分钟）给出两道练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 小组讨论与分享（5分钟）学生分组讨论，分享解题心得，互相学习。
对本节课的主要内容进行回顾，强调数学归纳法的关键步骤。
七、作业设计1. 作业题目：（1）运用数学归纳法证明：1+2+3++n = n(n+1)/2（2）已知数列{an}，其中a1=1，an+1=2an+1，证明：对于任意自然数n，都有an=2^n1。
2. 答案：（1）证明过程略。
（2）证明过程略。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的概念和原理掌握情况，以及对例题的解答情况。
2. 拓展延伸：引导学生思考数学归纳法在数学以外的领域中的应用，如计算机科学、经济学等。
重点和难点解析1. 数学归纳法的基本概念和原理的理解。
高中数学人教版高二必修《归纳法》教育教学课件
①很少单独命制大题，往往作为解答题中某一小问的形式出现，重在体现它的工具性作用。且常与数列结合去考查， 有时还与函数、导数、不等式等内容相关联，以体现“在知识交汇处设计试题”的命题原则。 ②试题特别注重加强对不完全归纳法的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，初步形成“观察— 归纳—猜想—证明”的思维模式，希望引起大家足够的重视。 ③高考对数学归纳法主要是‘隐形’考查，也就是说这种方法在题目中往往是“藏而不露”，不明着说要用“数归 法”，也就是可用“数归法”，也可用其他方法来解决（当然能找到其他解决方法的话）。
注 意：
1、一定要用到归纳假设； 2、看清从k到k＋1中间的变化。
一、证明中需要注意的问题 (1)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.
例1:欲用数学归纳法证明2n>n2, 试问n的第一个取值应是多少?
答:对n=1,2,3,…,逐一尝试, 可知初始值为n=5.
例2.下面是某同学用数学归纳法证明命题
有几项？
f (k 1) 是什么,它比 f (k) 多出了多少，是首要问题。
小结:
1.与正整数有关的数学命题可以考虑用数学归纳法证明,但注 意不要滥用. 并非任何与正整数有关的命题都可以用它来证明。 如果命题没有“递推”关系，数学归纳法将会失去其效力。 2.掌握数学归纳法的实质与步骤 3. 数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一起的, 如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等.
数学归纳法
人
教
版
高
中
选
修
二
数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: （1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确 【归纳奠基】 （2）假设n=k(k≥n0,n∈N*)时结论正确，证明n=k+1时结论也正确【归纳递推】 （3）由（1）、（2）得出结论
注 意：
1、一定要用到归纳假设； 2、看清从k到k＋1中间的变化。
一、证明中需要注意的问题 (1)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.
例1:欲用数学归纳法证明2n>n2, 试问n的第一个取值应是多少?
答:对n=1,2,3,…,逐一尝试, 可知初始值为n=5.
例2.下面是某同学用数学归纳法证明命题
有几项？
f (k 1) 是什么,它比 f (k) 多出了多少，是首要问题。
小结:
1.与正整数有关的数学命题可以考虑用数学归纳法证明,但注 意不要滥用. 并非任何与正整数有关的命题都可以用它来证明。 如果命题没有“递推”关系，数学归纳法将会失去其效力。 2.掌握数学归纳法的实质与步骤 3. 数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一起的, 如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等.
数学归纳法
人
教
版
高
中
选
修
二
数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: （1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确 【归纳奠基】 （2）假设n=k(k≥n0,n∈N*)时结论正确，证明n=k+1时结论也正确【归纳递推】 （3）由（1）、（2）得出结论
4.1数学归纳法课件人教新课标2
[例 3] 平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任 何三条不共点，求证：这 n 条直线把平面分割成12(n2＋n＋2) 个区域．
[思路点拨] 用数学归纳法进行证明，关键是考虑：k 条直线将平面分成的部分数与 k＋1 条直线将平面分成的部 分数之间的关系，利用该关系可以实施从假设到 n＝k＋1 时 的证明．
3．用数学归纳法证明：(3n＋1)7n－1(n∈N＋)能被9整除． 证明：①当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除命题成立． ②假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除， 当n＝k＋1时， [(3k＋3)＋1]·7k＋1－1＝[3k＋1＋3]·7·7k－1＝ 7·(3k＋1)·7k－1＋21·7k ＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋6·7k＋21·7k ＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k，
＝(k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k)＋2k1＋1－2k1＋2 ＝(k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1)＋(k＋1 1－2k1＋2) ＝k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1＋2k1＋2＝右边， 所以，n＝k＋1 时等式成立． 由①②知，等式对任意 n∈N＋都成立．
[例2] 求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除． [思路点拨] 本题是与正整数有关的命题，直接分解出 因式(x＋y)有困难，故可考虑用数学归纳法证明． [证明] (1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整 除． (2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除， 那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2 ＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k
＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2) ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除． 由(1)(2)可知，对任意正整数n命题均成立．
人教版数学高二《数学归纳法》精品课件
-1-
证明：①当 n＝1 时，b21＝9＝4×1＋5，即存在 p＝1， 使 a1＝b12；
②假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，存在正整数 p，使 ap＝bk2，即 4p＋5＝9k 成立．当 n＝k＋1 时，b2k＋1＝(3k＋1)2 ＝9×9k＝9(4p＋5)＝36p＋45＝4(9p＋10)＋5，即存在 9p ＋10∈N*，使得 a9p＋10＝b2k＋1，所以当 n＝k＋1 时，存在 正实数 p∈N*，使 ap＝b2k＋1.由①②可得，对任意 n∈N*， 一定存在正整数 p，使 ap＝bn2.
• 由(1)(2)可知，这n-个1- 圆把平面分成n2－n
• 例3 对于一切n∈N*，求证：f(n)＝(2n ＋7)·3n＋9都能被36整除．
• [分析] 这是一个与正整数n有关的命题， 可以尝试用数学归纳法证明．
-1-
• [证明] (1)当n＝1时，f(1)＝(2×1＋ 7)×3＋9＝36，能被36整除．
-1-
＝(－1)k·(k＋1)－k＋22k＋2 ＝(－1)k·(k＋1)2(k＋2). 即 n＝k＋1 时结论也成立． 由(1)(2)可知，对一切正整数 n 都有此结论成立.
-1-
• 例2 平面内有n(n≥2)条直线，其中任何 两条不平行，任何三条不共点．
• 证明：n条直线交点的个数f(n)等于
• 由以上可以猜测，当n∈N*时sinnx＋cosnx ＝(－1)n.
• [点拨] 本题属归纳推理，它的正确与否 可通过数学归纳法来说明．
-1-
• 练 1 用数学归纳法证明： • 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n
－1·
-1-
[证明] (1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝(－1)1－ 1×1×2 2＝1，结论成立．
证明：①当 n＝1 时，b21＝9＝4×1＋5，即存在 p＝1， 使 a1＝b12；
②假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，存在正整数 p，使 ap＝bk2，即 4p＋5＝9k 成立．当 n＝k＋1 时，b2k＋1＝(3k＋1)2 ＝9×9k＝9(4p＋5)＝36p＋45＝4(9p＋10)＋5，即存在 9p ＋10∈N*，使得 a9p＋10＝b2k＋1，所以当 n＝k＋1 时，存在 正实数 p∈N*，使 ap＝b2k＋1.由①②可得，对任意 n∈N*， 一定存在正整数 p，使 ap＝bn2.
• 由(1)(2)可知，这n-个1- 圆把平面分成n2－n
• 例3 对于一切n∈N*，求证：f(n)＝(2n ＋7)·3n＋9都能被36整除．
• [分析] 这是一个与正整数n有关的命题， 可以尝试用数学归纳法证明．
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• [证明] (1)当n＝1时，f(1)＝(2×1＋ 7)×3＋9＝36，能被36整除．
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＝(－1)k·(k＋1)－k＋22k＋2 ＝(－1)k·(k＋1)2(k＋2). 即 n＝k＋1 时结论也成立． 由(1)(2)可知，对一切正整数 n 都有此结论成立.
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• 例2 平面内有n(n≥2)条直线，其中任何 两条不平行，任何三条不共点．
• 证明：n条直线交点的个数f(n)等于
• 由以上可以猜测，当n∈N*时sinnx＋cosnx ＝(－1)n.
• [点拨] 本题属归纳推理，它的正确与否 可通过数学归纳法来说明．
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• 练 1 用数学归纳法证明： • 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n
－1·
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[证明] (1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝(－1)1－ 1×1×2 2＝1，结论成立．
高中数学：2.3《数学归纳法》课件(新人教A版选修2-2)
利用到假设
根据(1)和 都成立. 根据 和(2),可知等式对任何 n ∈ N 都成立 可知等式对任何 错误原因：由证明 错误原因：由证明n=k+1等式成立 等式成立 没有用到n=k命题成立的归纳假设 命题成立的归纳假设 时没有用到 命题成立的
思考
1 1 1 1 , ， 已知数列 , , · · ·， n－ 2)(3 n + 1) (3 − 1× 4 4 × 7 7 ×10
(2)(归纳递推) (2)(归纳递推)是递推的依据 归纳递推 n＝ k时 命题成立．作为必用的条件运用， 命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、 利用假设及已知的定义 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、 定理等加以证明
求证: n+1)(n+2)…(n+n)=2 (2n例、求证:(n+1)(n+2) (n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1) (2n
请问： 请问： 步中“ n=k+1时 的证明可否改换为： 第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+ +(2k-1)+[2(k+1)1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1) +(2k1+3+5+ +(2k +(2k = （k +1)[1+ (2k +1)] = (k+1)2 ?为什么？ 为什么？
证明： n=1时 左边=1+1=2 右边=2 1=2 左边=右边， =1+1=2， 1=2， 证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等 式成立。 式成立。 时有： ② 假设当n=k((k∈N ）时有： 假设当 (k+1)(k+2)…(k+k) (k+k)= (2n-1), (k+1)(k+2) (k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1), n=k+1时 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3) =(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2) 左边=(k+2)(k+3) (k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3) (k+k) （2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k) k+1)(k+2)(k+3) (k+k)•
2.3数学归纳法课件人教新课标1
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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2．3 数学归纳法
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”
时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析： 边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3. 答案： C
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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第二章 推理与证明
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用数学归纳法证明等式或不等式
用
数
学
归
纳
法
证
明
：
1 2×4
＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋
…
＋
2n×12n＋2＝4nn＋1. [思路点拨]
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2．证明 1＋12＋13＋14＋…＋2n－1 1>n2(n∈N*)，假设 n＝k 时
第二章 推理与证明
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2．3 数学归纳法
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第二章 推理与证明
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第二章 推理与证明
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第二章 推理与证明
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1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”
时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析： 边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3. 答案： C
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第二章 推理与证明
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第二章 推理与证明
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用数学归纳法证明等式或不等式
用
数
学
归
纳
法
证
明
：
1 2×4
＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋
…
＋
2n×12n＋2＝4nn＋1. [思路点拨]
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2．证明 1＋12＋13＋14＋…＋2n－1 1>n2(n∈N*)，假设 n＝k 时
高中数学 2.3数学归纳法课件 新人教A版选修22
证
明
：
1 1×3
＋
1 3×5
＋
…
＋
1 2n－12n＋1
＝
2nn＋1.(n∈N*)
第二十页，共50页。
[分析] 第一步验证 n 取第一个正整数 1 时等式成立，第
二步假定 n＝k(k∈N*)时命题成立，即
1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＝2k＋k 1成立，并以此作
为
条
件
来
推
证
等
式
1 1×3
当n＝k＋1时命题也成立．
第九页，共50页。
2．应用数学归纳法时特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与___正__整__数__n_有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 其中，第一步是递推的基_础__(_jī_c_h_ǔ)_，验证n＝n0时结论成立 (chénglì)的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等；第 二依步据是(y递ījù推) 的_______，证明n＝k＋1时命题也成立(chénglì)的过 程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． 另外，归纳假设中要保证n从第一个数n0开始，即假设n＝ k(k≥n0)时 结论成立 (chénglì)， 括号内限制条件改为k>n0就错 了．
第二十三页，共50页。
[方法规律总结] 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n 取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1 等式两端增加(zēngjiā)了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k ＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝 n＝k＋1证明目标的表达式变形．
当
n＝k＋1
时
，
等
式
人教版高中数学选择性必修2《数学归纳法》PPT课件
典例分析
例4 设为正实数，为大于1的正整数，若数列, + , ( + ) , … ，
+ − ， … 的前项和为 ，试比较 与的大小，并用数学归纳
法证明你的结论.
>
证明: (1)当 =2时， 不等式显然成立.
∗
(2)假设当 = ( ∈ 且>1时,不等式成立,即 >
的推理，证明n取所有正整数
都成立？
情景引入
我们先从多米诺骨牌游戏说起.码放
骨牌时,要保证任意相邻的两块骨牌,若
前一块骨牌倒下,则一定导致后块骨牌倒
下.这样,只要推倒第1块骨牌,就可导致
第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下,就可
导致第3块骨牌倒下；…….总之,不论有
多少块骨牌,都能全部倒下.
探究新知
思考1：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
高中数学
选择性必修第二册
RJ
RJA
4.4*数学归纳法
情景引入
我是
一毛
我是
二毛
我是
三毛
我不是
四毛！我
猜：
是小明！
四毛！
我是
谁？
不完全归纳： 从一类对象中的部分对象都具有某种性质推出
这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法
探究新知
问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是糖？
把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法.
n＝k＋1
推出“当__________时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整
数n都成立．
这种证明方法称为数学归纳法．
思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?
数学归纳法(高二数学精品课件)
思考:已知 a1 1 且 an1 2an 1(n N * ) ，求通项公式 an .
我们运用不完全归纳法得出猜想: an 2n 1 ,怎么 严格论证呢?尝试用多米诺骨牌游戏的原理证明猜想.
多米骨牌游戏的原理
⑴第一块骨牌倒下.
尝试证明猜想 an 2n 1 的方法
⑴当 n 1 时猜想成立.
注意:运用数学归纳法证题,以上两步缺一不可.
用数学归纳法证明
注意：递推基础不可少，
1＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝ n2 n归纳N假 设要用到，
证明：（1）当n=1时，左边＝1，右边＝1结，论等写式明成莫立忘。掉。
（2）假设当n＝k时，等式成立，即 （假设）
证 明
1＋3＋5＋‥＋（2k－1）＝ k2 那么当n=k+1时
事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3 左边≠右边，等式不成立
因此，用数学归纳法证明命 题的两个步骤，缺一不可。第一
步是递推的基础，第二步是递
推的依据。缺了第一步递推失
去基础；缺了第二步，递推失去 依据，因此无法递推下去。
例 题 2： n 2
2n
n
N ,n
5.
用数学归纳法证明。
那么
12 22 32 k 2 (k 1)2 k (k 1)(2k 1) (k 1)2
6 k (k 1)(2k 1) 6(k 1)2
6 (k 1)(2k 2 7k 6)
6 (k 1)(k 2)(2k 3)
= 24 1
a5 2a4 1 215 1 31 …… …
= 25 1
猜想出 an 2n 1(n N *)
人教A选修2-211-12学年高二数学：2.3 数学归纳法 课件(人教A版选修2-2)
用数学归纳法证明：凸 n 边形的对角线的条数为：f(n)＝ 1 n(n－3) (n≥3)． 2
[证明] 命题成立． 1 假设 n＝k(k≥3)时，命题成立，即 f(k)＝ k(k－3)， 2 则当 n＝k＋1 时， k 边形由原来的 k 个顶点变为 k 凸 ＋1 个顶点，对角线条数增加 k－1 条． ∵三角形没有对角线，∴n＝3 时，f(3)＝0，
1 (1)当 n＝1 时，f(1)＝1＋ ，原不等式成立． 2 (2)设 n＝k(k∈N*)时，原不等式成立． k 1 1 1 1 即 1＋ ≤1＋ ＋ ＋„＋ k≤ ＋k 成立 2 2 3 2 2
当 n＝k＋1 时， 1 1 1 f(k＋1)＝f(k)＋ k ＋ k ＋„＋ k＋1 2 ＋1 2 ＋2 2 k 1 1 1 ≥1＋2＋ k ＋ ＋„＋ k＋1 2 ＋1 2k＋2 2 k 1 1 1 >1＋2＋ k＋1＋ k＋1＋„＋ k＋1 2 2 2 k＋1 k 1 ＝1＋2＋2＝1＋ 2 1 1 1 f(k＋1)＝f(k)＋ k ＋ k ＋„＋ k＋1 2 ＋1 2 ＋2 2
∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1) 又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1 ∴(x＋y)能整除(x2k＋1＋y2k＋1) 由(1)、(2)可知当n为正奇数时，xn ＋yn 能 被x＋y整除.
[例4] 平面内有n个圆，其中每两个圆都 交于两点，且无三个及以上的圆交于一点， 求证：这n个圆将平面分成n2－n＋2(n∈N*) 个区域． [分析] 本题关键是弄清第k＋1个圆与前k 个圆的交点个数，以及这些交点又将第k ＋1个圆分成了多少段弧，每一段弧又是 怎样影响平面区域的划分的．
1 1 1 1 ＝ ＋ ＋„＋ ＋ . k＋2 k＋3 2k＋1 2k＋2 即当 n＝k＋1 时，等式也成立． 综合(1)、(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立.
数学归纳法(教学课件)-高二数学同步备课系列(人教A版2019选择性必修第二册)
k(a1 2
ak
)
,
则当n
k
1时,
Sk 1
Sk
ak 1
k(a1 ak ) 2
ak 1
k[a1
a1
2
(k
1)d ]
a1
kd
2(k
1)a1
2
k(k
1)d
(k 1)[a1 (a1 kd )] (k 1)(a1 ak1 ) .
2
2
这表明, 当n k 1时, 等式也成立.
2. 用数学归纳法证明：首项为a1, 公比为q的等比数列的通项公式是
由①②可知,
等差数列的前n项和公式是Sn
n(a1 2
an )
.
第(2)题的错误是第二步推理利用了“倒序相加法”, 而没有证明命题 “若P(k)为真, 则P(k 1)也为真(k ≥ n0 )”, 所以该证法不是用数学归纳
法的证明. 注：第二步正确的证明方法如下：
假设当n
k(k
N* )时,
等式成立, 即Sk
(1) (归纳奠基) 证明当n n0 (n0 N* )时, 命题成立; (2) (归纳递推) 以“当n k(k N*, k ≥ n0 )时, 命题成立”为条件推出 “当n k 1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法 称为数学归纳法(mathematical induction)．
即当n k 1时, 猜想也成立.
这样, 对于猜想“an 1”,由n 1成立, 就有n 2成立; 由n 2成立, 就 有n 3成立; . 所以, 对于任意正整数n, 猜想都成立,即数列{an }的通 项公式是an 1 (n N* ).
环节三：抽象概括，形成概念
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等式成立。 （2）假设当n=k时成立，即：
1 3 5 (2k 3) (2k 1) k 2 当n=k+1时，代入 1 3 5 (2n 3) (2n 1) n 得：
2
1 3 5 (2k 1) (2k 1) ( k 1) ,
可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌 就都能倒下：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块 倒下。（当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下） 思考：你认为条件（2）的作用是什么？
可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系： 当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。 2、用多米诺骨牌原理解决数学问题
验证n=n0 时命 题成立。
若n=k(k n)时命题成 立，证明n=k+1时命题也成立
归纳递推
归纳奠基
命题对从n0开始所有的 正整数 n都成立 注意：（1）这两步步骤缺一不可，只完成步骤（1）而缺少步 骤（2），就作出判断可能得出不正确的结论。因为单靠步
骤（1），无法递推下去，即n 取n0以后的数时命题是否正 确，我们无法判定。 同样，只有步骤（2）而缺少步（1），
二、研探新知 1。多米诺骨牌蕴含的原理分析 大家知道多米诺骨牌游戏吗？ 这是一种码放骨牌的游戏， 码放时保证任意相邻的两骨牌，若前一块骨牌倒下，则 一定导致后一块骨牌也倒下。 只要推倒第一块骨 牌， 由于第一块骨牌倒下,就可导致第二块骨牌倒下； 而第 二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌下 ……最后，不 论有多少块骨牌，都能全部倒下 思考 ：这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的 条件是什么？
1 思考：你认为证明数列的通过公式是 an n
这个猜
想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米 诺骨牌游戏解决这个问题吗？
多米骨牌游戏 的原理 （1）第一块骨牌 倒下。 （2）若第k块倒下 时，则相邻的第 k+1块也倒下。 根据（1）和 （2），
1 这个猜想的证明方法 an n
（1）当n=1时猜想成立。
(k 1)(k 2)(2k 3) 6 (k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1] 6
即当n=k+1时等式也成立。
根据（1） 和（2），可知等式对任何都成立。
思考？证明 1 3 5 (2n 3) (2n 1) n 2 ( n N ) 证明：(1) 当 n 1 ，左边 = 1，右边 = 12 1 ，
（2）若当n=k时猜想成立， 1 即 ak ，则当n=k+1时猜想 k 1 也成立，即 ak 1 。
k 1
根据（1）和（2），可 可知不论有多少块骨牌， 知对任意的正整数n，猜 想 都成立。 都能全部倒下。
1 证明：（1）当n=1时，a1=1= 1
那么，
,猜想成立。
（2）假设 当n=k时猜想成立，即
也可能得出不正确的结论。 缺少步骤（1）这个基础，假设就失去 了成立的前提，步骤（2）也就没有意义了。 三、例题讲解 n(n 1)(2n 1) 2 2 2 例1 用数学归纳证明 1 2 n ( n N )* 6 分析：用归纳法证明关键在第二步：假设当n=k时等式成立，即 k (k 1)(2k 1) 2 2 2 证明当n=k+1时等式也成立，即 1 2 k ， 6 12 22 (k 1) 2 (k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1] 。 6 2 证明：(1)当n 1时,左边=1 1, 右边 1 (1 1) (2 1 1) 1, 等式成立。 （2）假设当n=k时等式成立，即 那么，
2
所以等式成立。 综合（1）和（2）等式对一切正整数n均成立。 上述证明过程是否正确？如果不正确错在那？
点评：是错误的，这是因为n=k+1时的等式是有待于得用归纳假设和已知条件 加以证明，不能直接将n=k+1代入要求证的等式。 用数学归纳法证明题有两个步骤，第一步是验证，验证n取每一个允许取 值的正整数时，等式成立；第二步先假设n=k时成立，进而推证当n=k+1时，等 式成立，在推证过程中一定要利用好归纳假设。
1 k ak+1= ak = 1 1 ak 1 k 即n=k+1时猜想也成立。
1 ak ， k
项公式是 an n
根据（1）和（2），可知对任意的正整数 n,猜
。
3.数学归纳法的原理。 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下 列步骤进行： （1）（归纳奠基） 证明当n取第一个值n0时命题成立； （2）（归纳递推） 假设n=k(k n0,kN*)时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始 的所有正整数n都成立。 上述证明方法叫做数学归纳法。用框图表示就是：
2.3数学归纳法（1）
黄流中学 邢丽红
一、创设情景，提示课题。
an 对于数列{an},已知a1=1, an 1 1 a (n=1,2, …),通过对 n
1 n=1,2,3,4前4项的归纳，已经猜想出其通项公式为an n .但是，这个猜想是否正确需要证明。
问题：如何验证这个猜想？ 是不是从n=5开始一个个往 下验证？ 分析：当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验 证起来会很麻烦。 特别是证明n取所有正整数都成立的 命题时，逐一验证是不可能的。 因此，从n=5开始逐个 往下的想法价值不大。我们需要另辟蹊径，寻求一种 方法： 通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立。 这种方法是我们今天要学习一种特殊的证明方法------数 学归纳法，它主要用于研究与正整数有关的数学问题。
6
k (k 1)(2k 1) 1 2 k , 6
2 2 2
1 2 k (k 1)
2 2 2
2
k (k 1)(2k 1) 2 (k 1) 6 2 k (k 1)(2k 1) 6(k 1) 6 2 (k 1)(2k 7 k 6) 6
1 3 5 (2k 3) (2k 1) k 2 当n=k+1时，代入 1 3 5 (2n 3) (2n 1) n 得：
2
1 3 5 (2k 1) (2k 1) ( k 1) ,
可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌 就都能倒下：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块 倒下。（当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下） 思考：你认为条件（2）的作用是什么？
可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系： 当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。 2、用多米诺骨牌原理解决数学问题
验证n=n0 时命 题成立。
若n=k(k n)时命题成 立，证明n=k+1时命题也成立
归纳递推
归纳奠基
命题对从n0开始所有的 正整数 n都成立 注意：（1）这两步步骤缺一不可，只完成步骤（1）而缺少步 骤（2），就作出判断可能得出不正确的结论。因为单靠步
骤（1），无法递推下去，即n 取n0以后的数时命题是否正 确，我们无法判定。 同样，只有步骤（2）而缺少步（1），
二、研探新知 1。多米诺骨牌蕴含的原理分析 大家知道多米诺骨牌游戏吗？ 这是一种码放骨牌的游戏， 码放时保证任意相邻的两骨牌，若前一块骨牌倒下，则 一定导致后一块骨牌也倒下。 只要推倒第一块骨 牌， 由于第一块骨牌倒下,就可导致第二块骨牌倒下； 而第 二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌下 ……最后，不 论有多少块骨牌，都能全部倒下 思考 ：这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的 条件是什么？
1 思考：你认为证明数列的通过公式是 an n
这个猜
想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米 诺骨牌游戏解决这个问题吗？
多米骨牌游戏 的原理 （1）第一块骨牌 倒下。 （2）若第k块倒下 时，则相邻的第 k+1块也倒下。 根据（1）和 （2），
1 这个猜想的证明方法 an n
（1）当n=1时猜想成立。
(k 1)(k 2)(2k 3) 6 (k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1] 6
即当n=k+1时等式也成立。
根据（1） 和（2），可知等式对任何都成立。
思考？证明 1 3 5 (2n 3) (2n 1) n 2 ( n N ) 证明：(1) 当 n 1 ，左边 = 1，右边 = 12 1 ，
（2）若当n=k时猜想成立， 1 即 ak ，则当n=k+1时猜想 k 1 也成立，即 ak 1 。
k 1
根据（1）和（2），可 可知不论有多少块骨牌， 知对任意的正整数n，猜 想 都成立。 都能全部倒下。
1 证明：（1）当n=1时，a1=1= 1
那么，
,猜想成立。
（2）假设 当n=k时猜想成立，即
也可能得出不正确的结论。 缺少步骤（1）这个基础，假设就失去 了成立的前提，步骤（2）也就没有意义了。 三、例题讲解 n(n 1)(2n 1) 2 2 2 例1 用数学归纳证明 1 2 n ( n N )* 6 分析：用归纳法证明关键在第二步：假设当n=k时等式成立，即 k (k 1)(2k 1) 2 2 2 证明当n=k+1时等式也成立，即 1 2 k ， 6 12 22 (k 1) 2 (k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1] 。 6 2 证明：(1)当n 1时,左边=1 1, 右边 1 (1 1) (2 1 1) 1, 等式成立。 （2）假设当n=k时等式成立，即 那么，
2
所以等式成立。 综合（1）和（2）等式对一切正整数n均成立。 上述证明过程是否正确？如果不正确错在那？
点评：是错误的，这是因为n=k+1时的等式是有待于得用归纳假设和已知条件 加以证明，不能直接将n=k+1代入要求证的等式。 用数学归纳法证明题有两个步骤，第一步是验证，验证n取每一个允许取 值的正整数时，等式成立；第二步先假设n=k时成立，进而推证当n=k+1时，等 式成立，在推证过程中一定要利用好归纳假设。
1 k ak+1= ak = 1 1 ak 1 k 即n=k+1时猜想也成立。
1 ak ， k
项公式是 an n
根据（1）和（2），可知对任意的正整数 n,猜
。
3.数学归纳法的原理。 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下 列步骤进行： （1）（归纳奠基） 证明当n取第一个值n0时命题成立； （2）（归纳递推） 假设n=k(k n0,kN*)时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始 的所有正整数n都成立。 上述证明方法叫做数学归纳法。用框图表示就是：
2.3数学归纳法（1）
黄流中学 邢丽红
一、创设情景，提示课题。
an 对于数列{an},已知a1=1, an 1 1 a (n=1,2, …),通过对 n
1 n=1,2,3,4前4项的归纳，已经猜想出其通项公式为an n .但是，这个猜想是否正确需要证明。
问题：如何验证这个猜想？ 是不是从n=5开始一个个往 下验证？ 分析：当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验 证起来会很麻烦。 特别是证明n取所有正整数都成立的 命题时，逐一验证是不可能的。 因此，从n=5开始逐个 往下的想法价值不大。我们需要另辟蹊径，寻求一种 方法： 通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立。 这种方法是我们今天要学习一种特殊的证明方法------数 学归纳法，它主要用于研究与正整数有关的数学问题。
6
k (k 1)(2k 1) 1 2 k , 6
2 2 2
1 2 k (k 1)
2 2 2
2
k (k 1)(2k 1) 2 (k 1) 6 2 k (k 1)(2k 1) 6(k 1) 6 2 (k 1)(2k 7 k 6) 6