高二数学数学归纳法课件 新课标 人教版
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(k 1)(k 2)(2k 3) 6 (k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1] 6
即当n=k+1时等式也成立。
根据（1） 和（2），可知等式对任何都成立。
思考？证明 1 3 5 (2n 3) (2n 1) n 2 ( n N ) 证明：(1) 当 n 1 ，左边 = 1，右边 = 12 1 ，
1 思考：你认为证明数列的通过公式是 an n
这个猜
想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米 诺骨牌游戏解决这个问题吗？
多米骨牌游戏 的原理 （1）第一块骨牌 倒下。 （2）若第k块倒下 时，则相邻的第 k+1块也倒下。 根据（1）和 （2），
1 这个猜想的证明方法 an n
（1）当n=1时猜想成立。
2
所以等式成立。 综合（1）和（2）等式对一切正整数n均成立。 上述证明过程是否正确？如果不正确错在那？
点评：是错误的，这是因为n=k+1时的等式是有待于得用归纳假设和已知条件 加以证明，不能直接将n=k+1代入要求证的等式。 用数学归纳法证明题有两个步骤，第一步是验证，验证n取每一个允许取 值的正整数时，等式成立；第二步先假设n=k时成立，进而推证当n=k+1时，等 式成立，在推证过程中一定要利用好归纳假设。
1 k ak+1= ak = 1 1 ak 1 k 即n=k+1时猜想也成立。
1 ak ， k
1 = k 1
1 想都成立，即数列的通项公式是 an n
根据（1）和（2），可知对任意的正整数 n,猜
。
3.数学归纳法的原理。 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下 列步骤进行： （1）（归纳奠基） 证明当n取第一个值n0时命题成立； （2）（归纳递推） 假设n=k(k n0,kN*)时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始 的所有正整数n都成立。 上述证明方法叫做数学归纳法。用框图表示就是：
2.3数学归纳法（1）
黄流中学 Baidu Nhomakorabea丽红
一、创设情景，提示课题。
an 对于数列{an},已知a1=1, an 1 1 a (n=1,2, …),通过对 n
1 n=1,2,3,4前4项的归纳，已经猜想出其通项公式为an n .但是，这个猜想是否正确需要证明。
问题：如何验证这个猜想？ 是不是从n=5开始一个个往 下验证？ 分析：当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验 证起来会很麻烦。 特别是证明n取所有正整数都成立的 命题时，逐一验证是不可能的。 因此，从n=5开始逐个 往下的想法价值不大。我们需要另辟蹊径，寻求一种 方法： 通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立。 这种方法是我们今天要学习一种特殊的证明方法------数 学归纳法，它主要用于研究与正整数有关的数学问题。
二、研探新知 1。多米诺骨牌蕴含的原理分析 大家知道多米诺骨牌游戏吗？ 这是一种码放骨牌的游戏， 码放时保证任意相邻的两骨牌，若前一块骨牌倒下，则 一定导致后一块骨牌也倒下。 只要推倒第一块骨 牌， 由于第一块骨牌倒下,就可导致第二块骨牌倒下； 而第 二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌下 ……最后，不 论有多少块骨牌，都能全部倒下 思考 ：这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的 条件是什么？
6
k (k 1)(2k 1) 1 2 k , 6
2 2 2
1 2 k (k 1)
2 2 2
2
k (k 1)(2k 1) 2 (k 1) 6 2 k (k 1)(2k 1) 6(k 1) 6 2 (k 1)(2k 7 k 6) 6
可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌 就都能倒下：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块 倒下。（当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下） 思考：你认为条件（2）的作用是什么？
可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系： 当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。 2、用多米诺骨牌原理解决数学问题
（2）若当n=k时猜想成立， 1 即 ak ，则当n=k+1时猜想 k 1 也成立，即 ak 1 。
k 1
根据（1）和（2），可 可知不论有多少块骨牌， 知对任意的正整数n，猜 想 都成立。 都能全部倒下。
1 证明：（1）当n=1时，a1=1= 1
那么，
,猜想成立。
（2）假设 当n=k时猜想成立，即
等式成立。 （2）假设当n=k时成立，即：
1 3 5 (2k 3) (2k 1) k 2 当n=k+1时，代入 1 3 5 (2n 3) (2n 1) n 得：
2
1 3 5 (2k 1) (2k 1) ( k 1) ,
验证n=n0 时命 题成立。
若n=k(k n)时命题成 立，证明n=k+1时命题也成立
归纳递推
归纳奠基
命题对从n0开始所有的 正整数 n都成立 注意：（1）这两步步骤缺一不可，只完成步骤（1）而缺少步 骤（2），就作出判断可能得出不正确的结论。因为单靠步
骤（1），无法递推下去，即n 取n0以后的数时命题是否正 确，我们无法判定。 同样，只有步骤（2）而缺少步（1），
也可能得出不正确的结论。 缺少步骤（1）这个基础，假设就失去 了成立的前提，步骤（2）也就没有意义了。 三、例题讲解 n(n 1)(2n 1) 2 2 2 例1 用数学归纳证明 1 2 n ( n N )* 6 分析：用归纳法证明关键在第二步：假设当n=k时等式成立，即 k (k 1)(2k 1) 2 2 2 证明当n=k+1时等式也成立，即 1 2 k ， 6 12 22 (k 1) 2 (k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1] 。 6 2 证明：(1)当n 1时,左边=1 1, 右边 1 (1 1) (2 1 1) 1, 等式成立。 （2）假设当n=k时等式成立，即 那么，
即当n=k+1时等式也成立。
根据（1） 和（2），可知等式对任何都成立。
思考？证明 1 3 5 (2n 3) (2n 1) n 2 ( n N ) 证明：(1) 当 n 1 ，左边 = 1，右边 = 12 1 ，
1 思考：你认为证明数列的通过公式是 an n
这个猜
想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米 诺骨牌游戏解决这个问题吗？
多米骨牌游戏 的原理 （1）第一块骨牌 倒下。 （2）若第k块倒下 时，则相邻的第 k+1块也倒下。 根据（1）和 （2），
1 这个猜想的证明方法 an n
（1）当n=1时猜想成立。
2
所以等式成立。 综合（1）和（2）等式对一切正整数n均成立。 上述证明过程是否正确？如果不正确错在那？
点评：是错误的，这是因为n=k+1时的等式是有待于得用归纳假设和已知条件 加以证明，不能直接将n=k+1代入要求证的等式。 用数学归纳法证明题有两个步骤，第一步是验证，验证n取每一个允许取 值的正整数时，等式成立；第二步先假设n=k时成立，进而推证当n=k+1时，等 式成立，在推证过程中一定要利用好归纳假设。
1 k ak+1= ak = 1 1 ak 1 k 即n=k+1时猜想也成立。
1 ak ， k
1 = k 1
1 想都成立，即数列的通项公式是 an n
根据（1）和（2），可知对任意的正整数 n,猜
。
3.数学归纳法的原理。 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下 列步骤进行： （1）（归纳奠基） 证明当n取第一个值n0时命题成立； （2）（归纳递推） 假设n=k(k n0,kN*)时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始 的所有正整数n都成立。 上述证明方法叫做数学归纳法。用框图表示就是：
2.3数学归纳法（1）
黄流中学 Baidu Nhomakorabea丽红
一、创设情景，提示课题。
an 对于数列{an},已知a1=1, an 1 1 a (n=1,2, …),通过对 n
1 n=1,2,3,4前4项的归纳，已经猜想出其通项公式为an n .但是，这个猜想是否正确需要证明。
问题：如何验证这个猜想？ 是不是从n=5开始一个个往 下验证？ 分析：当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验 证起来会很麻烦。 特别是证明n取所有正整数都成立的 命题时，逐一验证是不可能的。 因此，从n=5开始逐个 往下的想法价值不大。我们需要另辟蹊径，寻求一种 方法： 通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立。 这种方法是我们今天要学习一种特殊的证明方法------数 学归纳法，它主要用于研究与正整数有关的数学问题。
二、研探新知 1。多米诺骨牌蕴含的原理分析 大家知道多米诺骨牌游戏吗？ 这是一种码放骨牌的游戏， 码放时保证任意相邻的两骨牌，若前一块骨牌倒下，则 一定导致后一块骨牌也倒下。 只要推倒第一块骨 牌， 由于第一块骨牌倒下,就可导致第二块骨牌倒下； 而第 二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌下 ……最后，不 论有多少块骨牌，都能全部倒下 思考 ：这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的 条件是什么？
6
k (k 1)(2k 1) 1 2 k , 6
2 2 2
1 2 k (k 1)
2 2 2
2
k (k 1)(2k 1) 2 (k 1) 6 2 k (k 1)(2k 1) 6(k 1) 6 2 (k 1)(2k 7 k 6) 6
可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌 就都能倒下：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块 倒下。（当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下） 思考：你认为条件（2）的作用是什么？
可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系： 当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。 2、用多米诺骨牌原理解决数学问题
（2）若当n=k时猜想成立， 1 即 ak ，则当n=k+1时猜想 k 1 也成立，即 ak 1 。
k 1
根据（1）和（2），可 可知不论有多少块骨牌， 知对任意的正整数n，猜 想 都成立。 都能全部倒下。
1 证明：（1）当n=1时，a1=1= 1
那么，
,猜想成立。
（2）假设 当n=k时猜想成立，即
等式成立。 （2）假设当n=k时成立，即：
1 3 5 (2k 3) (2k 1) k 2 当n=k+1时，代入 1 3 5 (2n 3) (2n 1) n 得：
2
1 3 5 (2k 1) (2k 1) ( k 1) ,
验证n=n0 时命 题成立。
若n=k(k n)时命题成 立，证明n=k+1时命题也成立
归纳递推
归纳奠基
命题对从n0开始所有的 正整数 n都成立 注意：（1）这两步步骤缺一不可，只完成步骤（1）而缺少步 骤（2），就作出判断可能得出不正确的结论。因为单靠步
骤（1），无法递推下去，即n 取n0以后的数时命题是否正 确，我们无法判定。 同样，只有步骤（2）而缺少步（1），
也可能得出不正确的结论。 缺少步骤（1）这个基础，假设就失去 了成立的前提，步骤（2）也就没有意义了。 三、例题讲解 n(n 1)(2n 1) 2 2 2 例1 用数学归纳证明 1 2 n ( n N )* 6 分析：用归纳法证明关键在第二步：假设当n=k时等式成立，即 k (k 1)(2k 1) 2 2 2 证明当n=k+1时等式也成立，即 1 2 k ， 6 12 22 (k 1) 2 (k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1] 。 6 2 证明：(1)当n 1时,左边=1 1, 右边 1 (1 1) (2 1 1) 1, 等式成立。 （2）假设当n=k时等式成立，即 那么，