2017届徐汇区高三数学一模(含答案)

上海市徐汇区2017届高三一模数学试卷

2016.12.21

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 25

lim

1

n n n →∞-=+

2. 已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点(1,3)M ，则 其焦点到准线的距离为

3. 若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫ ⎪

⎝⎭，解为2

1

x y =⎧⎨=⎩，则a b += 4. 若复数z

满足：i z i ⋅=（i 是虚数单位），则||z =

5. 在6

22()x x

+

的二项展开式中第四项的系数是 （结果用数值表示） 6. 在长方体1111ABCD A B C D -中，若1AB BC ==

，1AA =1BD 与1CC 所成角的大小为

7. 若函数22,0

(),0

x

x f x x m x ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩的值域为(,1]-∞，则实数m 的取值范围是

8. 如图，在△ABC 中，若3AB AC ==，1

cos 2

BAC ∠=，2DC BD =，则

AD BC ⋅=

9. 定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，2()lg(33)f x x x =-+，则()f x 在R 上 的零点个数为 个

10. 将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内，其中 2辆卡车必须停在A 与B 的位置，那么不同的停车位置安排共有 种（结果用数值 表示）

11. 已知数列{}n a 是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为n S ，设2n

n n

S b n =

⋅ *()n N ∈，若数列{}n b 是递减数列，则实数m 的取值范围是

12. 若使集合2

{|(6)(4)0,}A x kx k x x Z =--->∈中的元素个数最少，则实数k 的取值 范围是

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “4

x k π

π=+

()k Z ∈”是“tan 1x =”的（ ）条件

A. 充分不必要

B. 必要不充分

C. 充分必要

D. 既不充分也不必要

14. 若1-（i 是虚数单位）是关于x 的方程2

0x bx c ++=的一个复数根，则（ ）

A. 2b =，3c =

B. 2b =，1c =-

C. 2b =-，1c =-

D. 2b =-，3c = 15. 已知函数f (x )为R 上的单调函数，f -1(x )是它的反函数，点A (-1,3)和点B (1,1)均在

函数

f (x )的图像上，则不等式1|(2)|1x f -<的解集为（ ）

A. (1,1)-

B. (1,3)

C. 2(0,log 3)

D. 2(1,log 3)

16. 如图，两个椭圆

2

21259y x +=、2

2

1259

y x

+=内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线 C 上的任意一点，给出下列三个判断：

（1）P 到1(4,0)F -、2(4,0)F 、1(0,4)E -、

2(0,4)E 四点的距离之和为定值

（2）曲线C 关于直线y x =、y x =-均对称 （3）曲线C 所围区域面积必小于36 上述判断中正确命题的个数为（ ）

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 已知PA ⊥平面ABC ，AC AB ⊥，2AP BC ==，30CBA ︒

∠=，D 是AB 的中点； （1）求PD 与平面PAC 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）求△PDB 绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体的体积；（结果保留π）

18. 已知函数2sin ()1

x x

f x x -=；

（1）当[0,

]2

x π

∈时，求()f x 的值域；

（2）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2

A

f =，4a =，5b c +=， 求△ABC 的面积；

19. 某创业团队拟生产A 、B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比 （如图1），B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）； （注：利润与投资额的单位均为万元） （1）分别将A 、B 两种产品的利润

f (x )、

g (x )表示为投资额x 的函数；

（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A 、B 两种产品生产，问：当B 产品 的投资额为多少万元时，生产A 、B 两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？

20. 如图，双曲线2

2:13

x y Γ-=的左、右焦点1F 、2F ，过2F 作直线l 交y 轴于点Q ； （1）当直线l 平行于Γ的一条渐近线时，求点1F 到直线l 的距离；

（2）当直线l 的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P ，满足110F P FQ ⋅=？，若存在， 求点P 的坐标，若不存在，说明理由；

（3）若直线l 与Γ交于不同两点A 、B ，且Γ上存在一点M ，满足40OA OB OM ++= （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程；

21. 正数数列{}n a 、{}n b 满足：11a b ≥，且对一切2k ≥，k N *

∈，k a 是1k a -与1k b -的等

差中项，k b 是1k a -与1k b -的等比中项； （1）若22a =，21b =，求1a 、1b 的值；

（2）求证：{}n a 是等差数列的充要条件是n a 为常数数列；

（3）记||n n n c a b =-，当2n ≥，n N *

∈，指出2n c c +

+与1c 的大小关系并说明理由；