2017届徐汇区高三数学一模(含答案)
徐汇区2017届高三一模数学卷答案及官方评分标准
参考答案一、填空题 (共54分，第1题至第6题每小题4分；第7题至第12题每小题5分)1.2 2.92 3.2 4.2 5.160 6.4π7.01m <≤8.32−9.410.4032011.01m ≤<12.[]3,2−−二、选择题 (共20分，每小题5分)13.C 14.D 15.C 16.C、解答题17、解 1 ∵⊥PA 平面ABC ，AB PA ⊥，又∵AB AC ⊥，⊥∴AB 平面PAC ，所 DPA ∠就是PD 平面PAC 所成的角.………4分在PAD Rt ∆中，23,2==AD PA ，………………………………………6分所 43arctan =∠DPA ，即PD 平面PAC 所成的角的大小为43arctan.………………………8分 2 PDB ∆绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体，是 AB 为底面半径、AP 为高的圆锥中挖去一个 AD为底面半径、AP 为高的小圆锥.………10分所 体 πππ23223(312)3(3122=⋅⋅−⋅⋅=V .……………14分.18、解 1 由条件得 21cos 21()sin cos sin 222x f x x x x x +=+⋅=+，即1()cos 2sin 22f x x x =++………2分sin(2)3x π=++，………3分因为[0,]2x π∈，所 sin(2[3x π+∈因 ()sin(23f x x π=++1]+………6分2 由(2Af =，化简得sin(3A π+=因为(0,)A π∈，所 4(,)333A πππ+∈，所 233A ππ+=，即3A π=.………8分由余弦定理得 2216b c bc +−=，所 2()316b c bc +−=，又5b c +=，解得3bc =，………12分所 1sin 2ABC S bc A ∆==.………14分19、解 1 1()(0)4f x x x =≥.……3分，()0)g x x =≥.………6分 2 设B 产品的投资额为x 万元，则A 产品的投资额为 10x − 万元，创业团队获得的利润为y 万元，则1()(10)(10)(010)4y g x f x x x =+−=+−≤≤.………10分t =，()1002545412≤≤++−=t t t y ，即21565((04216y t t =−−+≤≤，当52t =，即 6.25x =时，y 取得最大值4.0625………13分答 当B 产品的投资额为6.25万元时，创业团队获得的最大利润为4.0625万元.……14分20、解 1 易得1(2,0)F −，2(2,0)F ，Γ的渐近线方程为y x =，由对 性，妨设:2) l y x =−,即20x −−=，------------------2分所 ，1(2,0)F −到l 的距离2d ==.-----------------------------4分 2 当直线l 的斜率为1时，l 的方程为2y x =−，------------------------5分因 ，(0,2)Q −，-----------------------------6分又1(2,0)F −，故1(2,2)F Q =−，设Γ右支 的点P 的坐标为(,),(0)x y x >，则1(2,)F P x y =+ ，由110F P F Q ⋅= ，得2(2)20x y +−=，-----------------------8分又2213x y −=，联立消去y 得2212150x x ++=，由根 系数的关系知， 方程无 根，因 ，在双曲线Γ的右支 存在点P ，满足110F P F Q ⋅=.--------------------10分 3 设1122(,),(,) A x y B x y ，则1212(,)44x x y y M −−−−，----------------11分由M 点在曲线 ，故212212(4()134x x y y −−−−−=(*)设:(2)l y k x =−联立l Γ的方程，得2222(13)121230k x k x k −+−−=---------------------------12分由于l Γ交于 同两点，所 ，k ≠.所 ，21221213k x x k −+=−，因 ，12121224(2)(2)()413k y y k x k x k x x k k−+=−+−=+−=−.------------14分从而(*)即为22222124()3()481313k k k k−−−=−−，解得k =.即直线l的方程为20x ±−=.-------------------------------------------16分21、解 1由条件得1122a b +==，令，即1a=2+，1b=2.----------4分 2 充分性 当{}n a 为常数数列时，{}n a 是公差为零的等差数列 --------------5分必要性 当{}n a 为等差数列时，1120m m m a a a −++−=对任意2,*m m N ≥∈恒成立，----------------------------------------------------------------------6分而112m m ma a a −++−=1m a −+1211()()m m m m a b a b −−+−+=121()m m m a b b −+−=1111(22m m m a b b −−−++−，0>0=，即11m m a b −−=，-------------9分从而1111122m m m m m m a b a a a a −−−−−++===对2,*m m N ≥∈恒成立,所 {}n a 为常数列.------------------------------------------------------------------------10分3 因为任意*,2n N n ∈≥，112n n n n a b a b −−+=≥=，--------------12分又已知11a b ≥，所 n n n c a b =−.从而11n n a b ++−=111((2)()2222n n n n n n n n n a b a b a b b a b +=+−≤+−=−，即112n n c c +≤，----------------------------------------------------------------------------------14分则n c ≤121n c −≤2212n c −≤…≤1112n c −，----------------------------------------------16分所 2n c c ++⋯≤112c +⋯+1112n c −=11(12n −−1c <1c .-------------------18分。
届徐汇区高三数学一模
上海市徐汇区 2017 届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共 12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分，共 54 分）1. lim2n 5nn 12. 已知抛物线 C 的极点在平面直角坐标系原点，焦点在 x 轴上，若 C 经过点 M (1,3) ，则其焦点到准线的距离为3. 若线性方程组的增广矩阵为a 0 2 ，解为x 21 b y，则 a b14. 若复数 z 知足： i z 3 i （ i 是虚数单位） ，则 | z |5. 在 ( x22 ) 6的二项睁开式中第四项的系数是（结果用数值表示）x6. 在长方体 ABCD A 1 B 1C 1 D 1 中，若 AB BC 1， AA 12 ，则异面直线 BD 1 与 CC 1所成角的大小为7.2x , x的值域为 (,1] ，则实数 m 的取值范围是若函数 f (x)x 2 m,x 0uuur uuur8. 如图，在△ ABC 中，若 AB AC 3， cos BAC 1 ， DC 2BD ，则uuur uuur2AD BC9. 定义在 R 上的偶函数 yf (x) ，当 x0 时， f ( x) lg( x 23x 3) ，则 f ( x) 在 R 上的零点个数为 个10. 将 6 辆不一样的小汽车和 2 辆不一样的卡车驶入如下图的10 个车位中的某 8 个内，此中2 辆卡车一定停在 A 与 B 的地点，那么不一样的泊车地点安排共有 种（结果用数值表示）11. 已知数列 { a n } 是首项为 1，公差为 2m 的等差数列，前 n 项和为 S n ，设 b nS nn 2nN * ) ，若数列 {b n } 是递减数列，则实数( n m 的取值范围是12. 若使会合 A { x | ( kx k 26)( x 4)0, x Z} 中的元素个数最少，则实数k 的取值范围是二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. “ xk( k Z ) ”是“ tan x 1 ”的（）条件4A. 充足不用要B. 必需不充足C. 充足必需D.既不充足也不用要14. 若 12i （ i 是虚数单位）是对于 x 的方程 x 2 bx c0 的一个复数根，则（）A. b 2 ， c 3B.b 2 ，c 1C.b2 ， c 1D.b 2 ，c 315. 已知函数 f ( x) 为 R 上的单一函数， f - 1 (x) 是它的反函数， 点 A(- 1,3) 和点 B(1,1)均在函数 f (x)的图像上，则不等式 | f1(2 x ) | 1 的解集为（）A. (1,1)B.(1,3) C.(0,log 2 3)D.(1,log 2 3)2y2y 2216. 如图，两个椭圆x1 、 x 1内部重叠地区的界限记为曲线 C ，P 是曲线2525 99C 上的随意一点，给出以下三个判断：（1） P 到 F 1 ( 4,0) 、 F 2 (4,0) 、 E 1 (0, 4) 、E 2 (0, 4) 四点的距离之和为定值（2）曲线 C 对于直线y x 、 yx 均对称（3）曲线 C 所围地区面积必小于36上述判断中正确命题的个数为（）A.0 个B.1 个C.2个D.3个三 . 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 已知 PA 平面 ABC ， AC AB ，AP BC 2， CBA 30 ，D 是 AB 的中点；（1）求 PD 与平面 PAC 所成角的大小； （结果用反三角函数值表示）（2）求△ PDB 绕直线 PA 旋转一周所组成的旋转体的体积；（结果保存 ）18. 已知函数 3 cos 2 xsin x f ( x)；cos x1（1）当 x [0, ] 时，求 f ( x) 的值域；2（2）已知△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为a,b,c ，若 f ( A)3 ， a 4， b c5 ，2求△ ABC 的面积；19. 某创业团队拟生产A 、B 两种产品，依据市场展望，A 产品的收益与投资额成正比（如图1），B 产品的收益与投资额的算术平方根成正比（如图2）；（注：收益与投资额的单位均为万元）（1）分别将A 、B 两种产品的收益 f ( x)、 g(x)表示为投资额x 的函数；（2）该团队已筹集到10 万元资本，并打算所有投入A 、B 两种产品生产，问：当B 产品的投资额为多少万元时，生产A 、B 两种产品能获取最大收益，最大收益为多少？20. 如图，双曲线: x 2y 2 1的左、右焦点 F 1 、 F 2 ，过 F 2 作直线 l 交 y 轴于点 Q ；3（1）当直线 l 平行于的一条渐近线时，求点F 1 到直线 l 的距离；（2）当直线 l 的斜率为 1 时，在uuur uuur0 ？，若存在，的右支上能否存在点 P ，知足 F P FQ11求点 P 的坐标，若不存在，说明原因；uuur uuur uuuur r（3）若直线 l 与 交于不一样两点 A 、B ，且上存在一点 M ，知足 OA OB 4OM 0（此中 O 为坐标原点），求直线 l 的方程；21.正数数列{ a n}、{b n}知足：a1b1，且对全部k 2，k N，a k是a k 1与b k 1的等差中项， b k是 a k 1与 b k 1的等比中项；（1）若a2 2 ， b2 1，求 a1、 b1的值；（2）求证：{ a n}是等差数列的充要条件是a n为常数数列；（3）记c n | a n b n |，当n 2， n N ，指出 c2 L c n与 c1的大小关系并说明原因；参照答案一.填空题1. 22.92 4. 2 5. 160 6. 7.3.2 4m 18.3 4 10.40320 11.[0,1)12.[3,2]9.2二. 选择题13. C 14. D 15. C 16. C三. 解答题17. （ 1） arctan3；（2）3 ；4218. （ 1） [0,3 2] ；（2） 33 ；2 419.（1）f ( x) 1 x ， g( x)5 x ；44（2）对 A 投资万元，对 B 投资万元，可获取最大收益65万元；1620. （ 1） 2 ；（ 2）不存在；（3） x 2 y 2 ；21. （ 1） a 1 2 3 ， b 1 2 3 ；（ 2）略；（ 3） c 2 L c n c 1；。
07.2017年上海高三数学一模分类汇编：解析几何
2（2017徐汇一模）. 已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点(1,3)M ，则其焦点到准线的距离为4（2017青浦一模）. 等轴双曲线222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，且||AB =，则该双曲线的实轴长等于4（2017崇明一模）. 抛物线2y x =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为4（2017宝山一模）. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5（2017普陀一模）. 设k R ∈，2212y x k k -=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是6（2017浦东一模）. 已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6， 则b =6（2017金山一模）. 点(1,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 6（2017奉贤一模）. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆2215x y +=的右焦点重合，则p =7（2017虹口一模）. 若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线距离为线焦距等于8（2017普陀一模）. 已知圆222:220C x y kx y k ++++=（k R ∈）和定点(1,1)P -，若过P 可以作两条直线与圆C 相切，则k 的取值范围是9（2017浦东一模）. 过双曲线222:14x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交 双曲线C 的两条渐近线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为9（2017金山一模）. 方程22242340x y tx ty t +--+-=（t 为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是 （结果化为普通方程）9（2017杨浦一模）. 已知直线l 经过点(且方向向量为(2,1)-，则原点O 到直线l 的距离为10（2017松江一模）. 设(,)P x y 是曲线1C =上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ， 则12||||PF PF +的最大值为10（2017闵行一模）. 已知x 、y 满足曲线方程2212x y +=，则22x y +的取值范围是10（2017杨浦一模）. 若双曲线的一条渐近线为20x y +=，且双曲线与抛物线2y x =的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为11（2017虹口一模）. 点(20,40)M ，抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，若对于 抛物线上的任意点P ，||||PM PF +的最小值为41，则p 的值等于11（2017杨浦一模）.平面直角坐标系中，给出点(1,0)A 、(4,0)B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得||2||PA PB =，则实数m 的取值范围是12（2017虹口一模）. 当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||32|x y a x y +++--的取 值与x 、y 均无关，则实数a 的取值范围是12（2017金山一模）. 曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数2k （0k >）的点的轨迹，下列四个结论：① 曲线C 过点(1,1)-；② 曲线C 关于点(1,1)-成中心对称；③ 若点P 在曲线C 上，点A 、B 分别在直线1l 、2l 上，则||||PA PB +不小于2k ；④ 设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1:1l x =-，点(1,1)-及直线2:1l y =对称的点分别为1P 、2P 、3P ，则四边形0123P PP P 的面积为定值24k ；其中，所有正确结论的序号是13（2017奉贤一模）. 对于常数m 、n ，“0mn <”是“方程221mx ny +=表示的曲线 是双曲线”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14（2017静安一模）. 已知椭圆1C ，抛物线2C 焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 顶点均 为原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则1C 的左焦点到2C 的准线之 间的距离为（ ）A.1 B. 1 C. 1 D. 215（2017崇明一模）. 如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A.221255x y += B. 2213010x y += C.2213616x y += D. 2214525x y +=16（2017杨浦一模）. 若直线1x ya b+=通过点(cos ,sin )P θθ，则下列不等式正确的是（ ） A. 221a b +≤ B. 221a b +≥ C. 22111a b +≤ D. 22111a b+≥16（2017闵行一模）. 曲线1:sin C y x =，曲线22221:()2C x y r r ++-=（0r >），它们交点的个数（ ）A. 恒为偶数B. 恒为奇数C. 不超过2017D. 可超过201716（2017徐汇一模）. 如图，两个椭圆221259y x +=、221259y x+=内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列三个判断：（1）P 到1(4,0)F -、2(4,0)F 、1(0,4)E -、2(0,4)E 四点的距离之和为定值（2）曲线C 关于直线y x =、y x =-均对称 （3）曲线C 所围区域面积必小于36 上述判断中正确命题的个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个17（20172017静安一模）. 设双曲线22:123x y C -=，1F 、2F 为其左右两个焦点； （1）设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求1OM F M ⋅的取值范围； （2）若动点P 与双曲线C 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值 为19-，求动点P 的轨迹方程； 18（2017普陀一模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，且12||6F F =，12arccos 9PF F ∠=，12PF F ∆的面积为（1）求椭圆Γ的方程；（2）若M 是椭圆上的动点，求||MQ 的最大值， 并求出||MQ 取得最大值时M 的坐标；18（2017宝山一模）. 已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-；（1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||AB =试求直线l 的倾斜角；18（2017杨浦一模）. 如图所示，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段，点A 、B 在1l 上，且位于M 点的两侧，C 在2l 上，AM BM NM CN ===； （1）求证：异面直线AC 与BN 垂直；（2）若四面体ABCN 的体积9ABCN V =，求异面直线1l 、2l 之间的距离；19（2017青浦一模）. 如图，1F 、2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点，且焦距为AB 平行于x 轴，且11||||4F A F B +=； （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 是椭圆C 上异于点A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，若2MF 、2NF 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅是定值；19（2017浦东一模）. 已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的一条直线交椭圆于P 、Q 两点，若△12PF F 的周长为4+，且长轴长与短轴长； （1）求椭圆C 的方程；（2）若12||||F P F Q PQ +=，求直线PQ 的方程；19（2017金山一模）. 已知椭圆C 以原点为中心，左焦点F 的坐标是(1,0)-，长轴长是短倍，直线l 与椭圆C 交于点A 与B ，且A 、B 都在x 轴上方，满足180OFA OFB ︒∠+∠=； （1）求椭圆C 的标准方程；（2）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若 存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由；19（2017崇明一模）. 已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ︒∠=；（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅的值；19（2017杨浦一模）. 如图所示，椭圆22:14x C y +=，左右焦点分别记作1F 、2F ，过1F 、2F 分别作直线1l 、2l 交椭圆于AB 、CD ，且1l ∥2l ；（1）当直线1l 的斜率1k 与直线BC 的斜率2k 都存在时，求证：12k k ⋅为定值； （2）求四边形ABCD 面积的最大值；20（2017闵行一模）. 如图，椭圆2214y x +=的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线Γ以A 、B 为顶点，焦距为P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与椭圆相交于另一点Q ，线段AQ 中点为M ，记直线AP 的斜率为k ，O 为坐标原点； （1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M 的纵坐标M y 的取值范围；（3）是否存在定直线l ，使得直线BP 与直线OM 关于直线l 对称？若存在，求直线l 方程，若不存在，请说明理由；20（2017奉贤一模）. 过双曲线2214y x -=的右支上的一点P 作一直线l 与两渐近线交于A 、B 两点，其中P 是AB 的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P 坐标为0(,2)x 时，求直线l 的方程； （3）求证：||||OA OB ⋅是一个定值；20（2017虹口一模）. 椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点(4,3)P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ；（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值； （3）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定 值，如果不是，求出12k k +的取值范围；20（2017松江一模）. 已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒，直线l 交双曲线于A 、B 两点；（1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均 存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎 样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由；20（2017徐汇一模）. 如图，双曲线22:13x y Γ-=的左、右焦点1F 、2F ，过2F 作直线l 交y 轴于点Q ；（1）当直线l 平行于Γ的一条渐近线时，求点1F 到直线l 的距离；（2）当直线l 的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P ，满足110F P FQ ⋅=？，若存在， 求点P 的坐标，若不存在，说明理由；（3）若直线l 与Γ交于不同两点A 、B ，且Γ上存在一点M ，满足40OA OB OM ++= （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程；。
2017高考上海各区数学一模(含答案)
上海市宝山区2017届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 23lim1n n n →∞+=+2. 设全集U R =，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =≥，则U AC B =3. 不等式102x x +<+的解集为 4. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5. 设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =6. 若函数cos sin sin cos x xy x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为7. 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为 8. 已知向量(1,2)a =，(0,3)b =，则b 在a 的方向上的投影为9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面 积为10. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生 均有的概率为 （结果用最简分数表示）11. 设常数0a >，若9()a x x+的二项展开式中5x 的系数为144，则a =12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ， 那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型 标准数列的个数为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设a R ∈，则“1a =”是“复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人， 为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120 人，则该样本中的高二学生人数为（ ）A. 80B. 96C. 108D. 110 15. 设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且1()5P M =，1()4P N =，则9()20P M N =； （2）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （3）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （4）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （5）若1()2P M =，1()3P N =，5()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416. 在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之 间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次 函数，三点(2,(2)2)f --+、(0,(0)2)f +、(2,(2)2)f +均位于“04⊕型带状区域”，如 果点(,1)t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数|()|y f t =的最大值为（ ） A. 72 B. 3 C. 52D. 2三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为934，侧面积为36；（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求异面直线1AC 与AB 所成的角的大小；18. 已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-； （1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||6AB =， 试求直线l 的倾斜角；19. 设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）； （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小 正整数n 的值；20. 设函数()lg()f x x m =+（m R ∈）； （1）当2m =时，解不等式1()1f x >； （2）若(0)1f =，且1()()2x f x λ=+在闭区间[2,3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数()f x 的图像过点(98,2)，且不等式[cos(2)]lg2n f x <对任意n N ∈均成立， 求实数x 的取值集合；21. 设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{|,}A B a b a A b B +=+∈∈； （1）已知{0,1,2}A =，{1,3}B =-，试用列举法表示A B +；（2）设123a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果 12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，122{,,}993B =---，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的 某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*N 的基底集”，问：是否存在一个整数集 合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由；上海市宝山区2017届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 23lim1n n n →∞+=+2. 设全集U R =，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =≥，则U AC B =3. 不等式102x x +<+的解集为 4. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5. 设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =6. 若函数cos sin sin cos x xy x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为7. 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为 8. 已知向量(1,2)a =，(0,3)b =，则b 在a 的方向上的投影为9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面 积为10. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生 均有的概率为 （结果用最简分数表示）11. 设常数0a >，若9()a x x+的二项展开式中5x 的系数为144，则a =12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ， 那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型 标准数列的个数为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设a R ∈，则“1a =”是“复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人， 为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120 人，则该样本中的高二学生人数为（ ）A. 80B. 96C. 108D. 110 15. 设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且1()5P M =，1()4P N =，则9()20P M N =； （2）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （3）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （4）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （5）若1()2P M =，1()3P N =，5()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416. 在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之 间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次 函数，三点(2,(2)2)f --+、(0,(0)2)f +、(2,(2)2)f +均位于“04⊕型带状区域”，如 果点(,1)t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数|()|y f t =的最大值为（ ） A. 72 B. 3 C. 52D. 2三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为934，侧面积为36；（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求异面直线1AC 与AB 所成的角的大小；18. 已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-； （1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||6AB =， 试求直线l 的倾斜角；19. 设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）； （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小 正整数n 的值；20. 设函数()lg()f x x m =+（m R ∈）； （1）当2m =时，解不等式1()1f x >； （2）若(0)1f =，且1()()2x f x λ=+在闭区间[2,3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数()f x 的图像过点(98,2)，且不等式[cos(2)]lg2n f x <对任意n N ∈均成立， 求实数x 的取值集合；21. 设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{|,}A B a b a A b B +=+∈∈； （1）已知{0,1,2}A =，{1,3}B =-，试用列举法表示A B +；（2）设123a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果 12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，122{,,}993B =---，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的 某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*N 的基底集”，问：是否存在一个整数集 合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由；上海市崇明县2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 复数(2)i i +的虚部为 2. 设函数2log ,0()4,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则((1))f f -=3. 已知{||1|2,}M x x x R =-≤∈，1{|0,}2xP x x R x -=≥∈+，则M P =4. 抛物线2y x =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为5. 已知无穷数列{}n a 满足112n n a a +=*()n N ∈，且21a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和， 则lim n n S →∞=6. 已知,x y R +∈，且21x y +=，则xy 的最大值为7. 已知圆锥的母线10l =，母线与旋转轴的夹角30α︒=，则圆锥的表面积为8. 若21(2)nx x+*()n N ∈的二项展开式中的第9项是常数项，则n =9. 已知,A B 分别是函数()2sin f x x ω=(0)ω>在y 轴右侧图像上的第一个最高点和第一 个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是10. 将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同 一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是11. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数，已知函数：①2y x =；②2sin y x =；③1xy π=-；④cos()3y x π=+；其中为一阶格点函数的序号为 （注：把你认为正确的序号都填上）12. 已知AB 为单位圆O 的一条弦，P 为单位圆O 上的点，若()||f AP AB λλ=-()R λ∈ 的最小值为m ，当点P 在单位圆上运动时，m 的最大值为43，则线段AB 长度为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A. tan y x =B. 3xy = C. 13y x = D. lg ||y x =14. 设,a b R ∈，则“21a b ab +>⎧⎨>⎩”是“1a >且1b >”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 15. 如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满 足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A.221255x y += B. 2213010x y += C.2213616x y += D. 2214525x y += 16. 实数a 、b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2a b+、ab 按一定顺序构成的数列（ ） A. 可能是等差数列，也可能是等比数列 B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列 C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列 D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，12BB =，求： （1）异面直线11B C 与1AC 所成角的大小； （2）四棱锥111A B BCC -的体积；18. 在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E 正北55海 里处有一个雷达观测站A ，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与 点A 相距402海里的位置B 处，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+ （其中26sin 26θ=，090θ︒︒<<）且与点A 相距1013海里的位置C 处； （1）求该船的行驶速度；（单位：海里/小时）（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断 它是否会进入警戒水域，并说明理由；19. 已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ︒∠=；（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅的值；20. 设12()2x x a f x b+-+=+，,a b 为实常数；（1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数； （2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；（3）当()f x 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x 、c ， 都有2()33f x c c <-+成立？若存在，试找出所有这样的D ；若不存在，说明理由；21. 已知数列{}n a 、{}n b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和； （1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =，求证：数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，并写出{}n a 通项公式； （3）在（2）的条件下，设nn na cb =，求证：数列{}nc 中的任意一项总可以表示成该数列 其他两项之积；参考答案一. 填空题1. 22. 2-3. [1,1]-4.34 5. 4 6. 187. 75π 8. 12 9. 833 10. 96 11. ②③ 12. 423二. 选择题13. C 14. B 15. C 16. D三. 解答题 17.（1）5arccos10；（2）33；18.（1）155；（2）357d =<，会进入警戒水域；19.（1）2212y x -=；（2）29；20.（1）(1)(1)f f -≠-；（2）12a b =⎧⎨=⎩，12a b =-⎧⎨=-⎩；（3）当121()22x x f x +-+=+，D R =；当121()22x x f x +--=-，(0,)D =+∞，25(,log ]7D =-∞；21.（1）12n b =；（2）1n a n =+；（3）略；上海市金山区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若集合2{|20}M x x x =-<，{|||1}N x x =>，则MN =2. 若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =3. 如果5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值是 4. 函数cos sin ()sin cos x xf x x x=的最小正周期是5. 函数()2x f x m =+的反函数为1()y f x -=，且1()y f x -=的图像过点(5,2)Q ，那么m =6. 点(1,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 7. 如果实数x 、y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值是8. 从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课 代表，共有 种不同的选法（结果用数值表示） 9. 方程22242340x y tx ty t +--+-=（t 为参数）所表示 的圆的圆心轨迹方程是 （结果化为普通方程） 10. 若n a 是(2)nx +（*n N ∈，2n ≥，x R ∈）展开式中2x 项的二项式系数，则23111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+= 11. 设数列{}n a 是集合{|33,stx x s t =+<且,}s t N ∈中所有的数从小到大排列成的数列， 即14a =，210a =，312a =，428a =，530a =，636a =，，将数列{}n a 中各项按 照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则15a 的值为12. 曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数2k （0k >）的点的轨迹，下列四个结论：① 曲线C 过点(1,1)-；② 曲线C 关于点(1,1)-成中心对称； ③ 若点P 在曲线C 上，点A 、B 分别在直线1l 、2l 上，则||||PA PB +不小于2k ；④ 设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1:1l x =-，点(1,1)-及直线2:1l y =对称的点分别为1P 、2P 、3P ，则四边形0123P PP P 的面积为定值24k ； 其中，所有正确结论的序号是41012283036⋅⋅⋅二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 给定空间中的直线l 与平面α，则“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于平面α上 无数条直线”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分也不必要 14. 已知x 、y R ∈，且0x y >>，则（ ） A.110x y-> B. 11()()022x y -<C. 22log log 0x y +>D. sin sin 0x y -> 15. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A. 283π-B. 83π- C. 82π- D. 23π16. 已知函数2(43)30()log (1)10a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）A. 2(0,]3B. 23[,]34C. 123[,]{}334D. 123[,){}334三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PB 、PD 与 平面ABCD 所成的角依次是4π和1arctan 2，2AP =，E 、F 依次是PB 、PC 的中点；（1）求异面直线EC 与PD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）求三棱锥P AFD -的体积；18. 已知△ABC 中，1AC =，23ABC π∠=，设BAC x ∠=，记()f x AB BC =⋅； （1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）试写出函数()f x 的单调递增区间，并求方程1()6f x =的解；19. 已知椭圆C 以原点为中心，左焦点F 的坐标是(1,0)-，长轴长是短轴长的2倍，直 线l 与椭圆C 交于点A 与B ，且A 、B 都在x 轴上方，满足180OFA OFB ︒∠+∠=； （1）求椭圆C 的标准方程；（2）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若 存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由；20. 已知函数2()21g x ax ax b =-++(0)a >在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1， 记()(||)f x g x =，x R ∈； （1）求实数a 、b 的值；（2）若不等式222()()log 2log 3f x g x k k +≥--对任意x R ∈恒成立，求实数k 的范围； （3）对于定义在[,]p q 上的函数()m x ，设0x p =，n x q =，用任意i x (1,2,,1)i n =⋅⋅⋅- 将[,]p q 划分成n 个小区间，其中11i i i x x x -+<<，若存在一个常数0M >，使得不等式01121|()()||()()||()()|n n m x m x m x m x m x m x M --+-+⋅⋅⋅+-≤恒成立，则称函数()m x为在[,]p q 上的有界变差函数，试证明函数()f x 是在[1,3]上的有界变差函数，并求出M 的最小值；21. 数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有(1)2n n n S +=； （1）试证明数列{}n b 是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个(1)i i b -*()i N ∈后，得到一个新数列{}n c ，求数列{}n c 中所有项的和； （3）如果存在*n N ∈，使不等式11820(1)()(1)n n n n n b n b b b λ++++≤+≤+成立，若存在， 求实数λ的范围，若不存在，请说明理由；参考答案一. 填空题1. (1,2)2. 12i -3. 512-4. π5. 16. 557. 4 8. 48 9. 20x y -= 10. 2 11. 324 12. ②③④二. 选择题13. A 14. B 15. A 16. C三. 解答题 17.（1）310arccos 10；（2）43；18.（1）2211()sin sin()sin(2)33366f x x x x ππ=+=+-，(0,)3x π∈； （2）递增区间(0,]6π，6x π=；19.（1）2212x y +=；（2）(2,0)-； 20.（1）0b =，1a =；（2）1[,8]2；（3）min 4M =；21.（1）n b n =；（2）201822033134+；（3）不存在；上海市虹口区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,4,6,8}A =，{|2,}B x x k k A ==∈，则A B =2. 已知21zi i=+-，则复数z 的虚部为 3. 设函数()sin cos f x x x =-，且()1f a =，则sin 2a =4. 已知二元一次方程111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是111113-⎛⎫⎪⎝⎭，则此方程组的解是5. 数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是它前n 项和，则2lim n n nSa →∞=6. 已知角A 是ABC ∆的内角，则“1cos 2A =”是“3sin 2A =”的 条件（填“充 分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）7. 若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线距离为22，则该双曲线焦距等于8. 若正项等比数列{}n a 满足：354a a +=，则4a 的最大值为 9. 一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平 面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于10. 设函数61()211x x f x x x ⎧≥=⎨--≤-⎩，则当1x ≤-时，则[()]f f x 表达式的展开式中含2x 项的系数是11. 点(20,40)M ，抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，若对于抛物线上的任意点P ，||||PM PF +的最小值为41，则p 的值等于12. 当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||32|x y a x y +++--的取值与x 、y 均无关， 则实数a 的取值范围是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 在空间，α表示平面，m 、n 表示二条直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 若m ∥α，m 、n 不平行，则n 与α不平行 B. 若m ∥α，m 、n 不垂直，则n 与α不垂直 C. 若m α⊥，m 、n 不平行，则n 与α不垂直 D. 若m α⊥，m 、n 不垂直，则n 与α不平行14. 已知函数()sin(2)3f x x π=+在区间[0,]a （其中0a >）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. 02a π<≤B. 012a π<≤C. 12a k ππ=+，*k N ∈ D. 2212k a k πππ<≤+，k N ∈15. 如图，在圆C 中，点A 、B 在圆上，则AB AC ⋅的值（ ）A. 只与圆C 的半径有关B. 既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关C. 只与弦AB 的长度有关D. 是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值16. 定义(){}f x x =（其中{}x 表示不小于x 的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}3=，{4}4=，以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ）①(2)2()f x f x =；② 若12()()f x f x =，则121x x -<；③ 任意1x 、2x R ∈，1212()()()f x x f x f x +≤+；④1()()(2)2f x f x f x ++=； A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在正三棱锥P ABC -中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4； （1）求证：PA BC ⊥；（2）求此三棱锥的全面积和体积；18. 如图，我海蓝船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其北偏东30° 方向与它相距20海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海蓝船正东18海里处； （1）求此时该外国船只与D 岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行，为了将该船拦截在 离D 岛12海里的E 处（E 在B 的正南方向），不让其进入D 岛12海里内的海域，试确定 海蓝船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）；19. 已知二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[0,)+∞； （1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在2[,)a+∞的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出()f x 在[1,)+∞上的最小值()g a ，并求()g a 的值域；20. 椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点(4,3)P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ；（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值； （3）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定 值，如果不是，求出12k k +的取值范围；21. 已知函数()2|2||1|f x x x =+-+，无穷数列{}n a 的首项1a a =； （1）若()n a f n =（*n N ∈），写出数列{}n a 的通项公式；（2）若1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），要使数列{}n a 是等差数列，求首项a 取值范围； （3）如果1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），求出数列{}n a 的前n 项和n S ；参考答案一. 填空题1. {2,4,8}2. 13. 04. 21x y =⎧⎨=⎩ 5. 146. 充分非必要7. 68. 29. 43 10. 6011. 22或42 12. [5,)+∞二. 选择题13. A 14. B 15. C 16. C三. 解答题17.（1）略；（2）9793S =+，63V =； 18.（1）291；（2）东偏北41.8︒， 6.4v =海里/小时； 19.（1）非奇非偶函数；（2）单调递增；（3）当02a <<，()0g a =；当2a ≥，4()4g a a a=+-；值域[0,)+∞； 20.（1）22143x y +=；（2）12；（3）2；21.（1）3n a n =+；（2）{3}[1,)a ∈--+∞；（3）当2a ≤-，3(1)(2)(1)(3)2n n n S a n a --=+---+；当21a -<≤-，3(1)(2)(1)(35)2n n n S a n a --=+-++；当1a >-，3(1)2n n n S na -=+；上海市闵行区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 方程lg(34)1x +=的解x = 2. 若关于x 的不等式0x ax b->-（,a b R ∈）的解集为(,1)(4,)-∞+∞，则a b += 3. 已知数列{}n a 的前n 项和为21n n S =-，则此数列的通项公式为4. 函数()1f x x =+的反函数是5. 6(12)x +展开式中3x 项的系数为 （用数字作答）6. 如图，已知正方形1111ABCD A BC D -，12AA =，E 为 棱1CC 的中点，则三棱锥1D ADE -的体积为 7. 从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排， 则其中含有“a ”的共有 种排法（用数字作答）8. 集合{|cos(cos )0,[0,]}x x x ππ=∈= （用列举法表示） 9. 如图，已知半径为1的扇形AOB ，60AOB ∠=︒，P 为弧AB 上的一个动点，则OP AB ⋅取值范围是 10. 已知x 、y 满足曲线方程2212x y+=，则22x y +的 取值范围是11. 已知两个不相等的非零向量a 和b ，向量组1234(,,,)x x x x 和1234(,,,)y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，记11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅，那么S 的所有可能取值中的最 小值是 （用向量a 、b 表示）12. 已知无穷数列{}n a ，11a =，22a =，对任意*n N ∈，有2n n a a +=，数列{}n b 满足 1n n n b b a +-=（*n N ∈），若数列2{}nnb a 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满 足要求的1b 的值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 若a 、b 为实数，则“1a <”是“11a>”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 14. 若a 为实数，(2)(2)4ai a i i +-=-（i 是虚数单位），则a =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 215. 函数2()||f x x a =-在区间[1,1]-上的最大值是a ，那么实数a 的取值范围是（ ） A. [0,)+∞ B. 1[,1]2 C. 1[,)2+∞ D. [1,)+∞16. 曲线1:sin C y x =，曲线22221:()2C x y r r ++-=（0r >），它们交点的个数（ ）A. 恒为偶数B. 恒为奇数C. 不超过2017D. 可超过2017三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 中点，现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上一点，且90BOC ∠=︒， （1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的大小； （用反三角函数表示）18. 已知(23,1)m =，2(cos ,sin )2An A =，A 、B 、C 是ABC ∆的内角； （1）当2A π=时，求||n 的值；（2）若23C π=，||3AB =，当m n ⋅取最大值时，求A 的大小及边BC 的长；19. 如图所示，沿河有A 、B 两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河 里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污 水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送）， 依据经验公式，建厂的费用为0.7()25f m m=⋅（万元），m 表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）() 3.2g x x =（万元），x 表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A 和城镇B 的污水流量分别为13m =、25m =，A 、B 两城镇连接污水处理 厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排 入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A 和城镇B 单独建厂，共需多少总费用？ （2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A 到拟建厂 的距离为x 千米，求联合建厂的总费用y 与x 的函数关系 式，并求y 的取值范围；20. 如图，椭圆2214y x +=的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线Γ以A 、B 为顶点，焦距 为25，点P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与椭圆相交于另一点Q ，线段AQ 的中点为M ，记直线AP 的斜率为k ，O 为坐标原点； （1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M 的纵坐标M y 的取值范围； （3）是否存在定直线l ，使得直线BP 与直线OM 关于直线l 对称？若存在，求直线l 方程，若不存在，请说明理由；21. 在平面直角坐标系上，有一点列01231,,,,,,n n P P P P P P -⋅⋅⋅，设点k P 的坐标(,)k k x y （k N ∈，k n ≤），其中k x 、k y Z ∈，记1k k k x x x -∆=-，1k k k y y y -∆=-，且满足 ||||2k k x y ∆⋅∆=（*k N ∈，k n ≤）； （1）已知点0(0,1)P ，点1P 满足110y x ∆>∆>，求1P 的坐标；（2）已知点0(0,1)P ，1k x ∆=（*k N ∈，k n ≤），且{}k y （k N ∈，k n ≤）是递增数列， 点n P 在直线:38l y x =-上，求n ；（3）若点0P 的坐标为(0,0)，2016100y =，求0122016x x x x +++⋅⋅⋅+的最大值；上海市松江区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =2. 已知a 、b R ∈，i 是虚数单位，若2a i bi +=-，则2()a bi +=3. 已知函数()1x f x a =-的图像经过(1,1)点，则1(3)f -=4. 不等式|1|0x x ->的解集为5. 已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，则函数()f x a b =⋅的最小正周期为6. 里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道，在由2名中国运动员和6 名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 7. 按下图所示的程序框图运算：若输入17x =，则输出的x 值是8. 设230123(1)n n n x a a x a x a x a x +=++++⋅⋅⋅+，若2313a a =，则n = 9. 已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么 这个圆锥的侧面积是 2cm10. 设(,)P x y 是曲线22:1259x y C +=上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ，则12||||PF PF +的最大值为11. 已知函数243,13()28,3xx x x f x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()F x f x kx =-在其定义域内有3个零点，则实数k ∈12. 已知数列{}n a 满足11a =，23a =，若1||2n n n a a +-=*()n N ∈，且21{}n a -是递增数 列，2{}n a 是递减数列，则212lim n n na a -→∞=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知a 、b R ∈，则“0ab >”是“2b aa b+>”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在截面1A DB 上，则线段AP 的最小值为（ ） A.13 B. 12 C. 33 D. 2215. 若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭满足：11a 、12a 、21a 、22{0,1}a ∈，且111221220a a a a =，则这样的互不相等的矩阵共有（ ）A. 2个B. 6个C. 8个D. 10个 16. 解不等式11()022xx -+>时，可构造函数1()()2x f x x =-，由()f x 在x R ∈是减函数 及()(1)f x f >，可得1x <，用类似的方法可求得不等式263arcsin arcsin 0x x x x +++> 的解集为（ ）A. (0,1]B. (1,1)-C. (1,1]-D. (1,0)-三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==，E 是棱PC 的中点； （1）求证：PC BD ⊥；（2）求直线BE 与PA 所成角的余弦值；18. 已知函数21()21x xa f x ⋅-=+（a 为实数）； （1）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的1x ≥，都有1()3f x ≤≤，求a 的取值范围；19. 松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”， 兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高，如图，记O 点为塔基、P 点为塔尖、 点P 在地面上的射影为点H ，在塔身OP 射影所在直线上选点A ，使仰角45HAP ︒∠=， 过O 点与OA 成120︒的地面上选B 点，使仰角45HBP ︒∠=（点A 、B 、O 都在同一水平 面上），此时测得27OAB ︒∠=，A 与B 之间距离为33.6米，试求：（1）塔高；（即线段PH 的长，精确到0.1米） （2）塔的倾斜度；（即OPH ∠的大小，精确到0.1︒）20. 已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒，直线l 交双曲线于A 、B 两点；（1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均 存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎 样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由；21. 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称为“H 型数列”；（1）若数列{}n a 为“H 型数列”，且113a m =-，21a m=，34a =，求实数m 的范围； （2）是否存在首项为1的等差数列{}n a 为“H 型数列”，其前n 项和n S 满足2n S n n <+*()n N ∈？若存在，请求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“H 型数列”； 若23n n b a =，n c =5(1)2n n a n -+⋅，当数列{}n b 不是“H 型数列”时， 试判断数列{}n c 是否为“H 型数列”，并说明理由；参考答案一. 填空题1. {1}2. 34i -3. 24. (0,1)(1,)+∞5. π6.147. 143 8. 11 9. 17π 10. 10 11. 3(0,)312. 12-二. 选择题13. B 14. C 15. D 16. A三. 解答题 17.（1）略；（2）33； 18.（1）1a =-，偶函数；1a =，奇函数；a R ∈且1a ≠±，非奇非偶函数； （2）[2,3]；19.（1）18.9米；（2）6.9°；20.（1）2213y x -=；（2）3；（3）(1,0)-； 21.（1）1(,0)(,)2-∞+∞；（2）不存在；（3）132n n a -=⋅时，{}n c 不是“H 型数列”；14n n a -=时，{}n c 是“H 型数列”；上海市浦东新区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知U R =，集合{|421}A x x x =-≥+，则U C A =2. 三阶行列式351236724---中元素5-的代数余子式的值为 3. 8(1)2x -的二项展开式中含2x 项的系数是4. 已知一个球的表面积为16π，则它的体积为5. 一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球，这些球的质地和形状一样，从中 任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是6. 已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6，则b =7. 若复数(1)(2)ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a =8. 函数()(3sin cos )(3cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期为9. 过双曲线222:14x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为10. 若关于x 的不等式1|2|02xx m --<在区间[0,1]内恒 成立，则实数m 的范围11. 如图，在正方形ABCD 中，2AB =，M 、N 分别是 边BC 、CD 上的两个动点，且2MN =，则AM AN ⋅的取值范围是12. 已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有*()f n N ∈，且(())3f f n n =恒成立，则(2017)(1999)f f -=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（ ） A. cos(2)3y x π=+ B. cos(2)6y x π=+C. cos(2)3y x π=-D. cos(2)6y x π=-14. 已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，则()y f x =-与1()y f x -=-图像（ ） A. 关于y 轴对称 B. 关于原点对称 C. 关于直线0x y +=对称 D. 关于直线0x y -=对称 15. 设{}n a 是等差数列，下列命题中正确的是（ ）A. 若120a a +>，则230a a +>B. 若130a a +<，则120a a +<C. 若120a a <<，则213a a a >D. 若10a <，则2123()()0a a a a --> 16. 元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元， 而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A 元， 购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是（ ）A. A B >B. A B <C. A B =D. A 、B 的大小关系不确定三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在长方体1111ABCD A BC D -中（如图），11AD AA ==，2AB =，点E 是棱AB 中点； （1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角 形的四面体成为鳖臑，试问四面体1DCDE 是 否为鳖臑？并说明理由；18. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ； （1）若3B π=，7b =，△ABC 的面积332S =，求a c +的值； （2）若22cos ()C BA BC AB AC c ⋅+⋅=，求角C ；。
上海市徐汇区2017年高三一模数学试题Word版含答案
上海市徐汇区2017届高三一模数学试卷2016.12.21一.填空题(本大题共 12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)2n1. Iimj n 12. 已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在 x 轴上，若C 经过点M(1,3)，则 其焦点到准线的距离为勺0 2】，解为片2，则a 心<0 1 b 丿 [y=14.若复数z 满足：i n =、,3 • i ( I 是虚数单位)，则|z|二2 65. 在(X 2)的二项展开式中第四项的系数是 _______________ (结果用数值表示)X6. 在长方体ABCD —ABQ 1D 1中，若AB=BC=1，AA =J 2，则异面直线BD 1与CC 1 所成角的大小为 _________「2X , x 兰07. 若函数f(x)=《的值域为(皿,1],则实数m 的取值范围是 ____________-x^m, x >01 ■—8.如图，在△ ABC 中，若 AB =AC =3，cos BAC 二一，DC =2BD ，贝V2AD BC 二 _________ 9.定义在R 上的偶函数y 二f(x)，当x_0时，f (x) =lg(x 2-3x • 3)，则f (x)在R 上的零点个数为 _________个10.将6辆不同的小汽车和 2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内，其中2辆卡车必须停在 A 与B 的位置，那么不同的停车位置安排共有 ____________ 种(结果用数值 表示)(n ・N *)，若数列｛b n ｝是递减数列，则实数 m 的取值范围是 __________3.若线性方程组的增广矩阵为AIf11.已知数列｛a n ｝是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为S n ，设b n =S n nn 2。
【上海中学】2017年高考模拟数学试卷(一)-答案
上海中学2017年高考模拟数学试卷（一）答 案一、填空题 1．0 2．0 3．5 4．4 5．()(24)a a a a ---，，6．837．1924 8．129．11()0)({}-∞-+∞，，10．11．24 12．8.413．cos cos (2||||OB OC AB B AC COP AB AC l +=++ 二、选择题 14-17．DDAB 三、解答题18．解：（1）∵222cos π()cos ()11sin(2)26x f x x x x x x =-∈∈=+-=-+R R ，w w w w w w ．由于它的最小正周期为π，故2ππw=，∴1w =．故π1sin(2(6))f x x -+=．（2）∵]π[0x ∈，， ∴ππ13π2[]6x +∈，．列表如下：如图：19．解：（1）设i z a b =+（a ，b R ∈且0b ≠）则i z a b =-∵||21510|z z +=+∴|()|2152i (+10)i|a b a b ++-∴2275a b +==∴||z =（2）设i z c b =+（c ，b ∈R 且0b ≠）假设存在实数a 使z aa z+∈R 则有2222()R z a c ac b ab a z a c b a c b +=++-∈++ ∴220b ab a c b-=+ ∵0b ≠∴a =由（1=∴a =±20．解：（1）11B C C A ⊥证明如下： 在平面1BA 内，过1B 作1B D AB ⊥于D ， ∵1BA ABC ⊥侧面平面，∴1B D ABC ⊥平面，1B BA ∠是1BB 与平面ABC 所成的角，∴1π2ππ33B BA ∠=-=，连接1BC ， ∵11BB CC 是菱形，∴11BC B C ⊥，1CD A B ⊥平面，1B D AB ⊥， ∴1B C AB ⊥， ∴11B C ABC ⊥平面， ∴11B C C A ⊥．（2）解：由题意及图，11111222423B ACC A B A AC A ABC V V V ---===⨯答：四棱锥11B ACC A -的体积为221．解：（1）210110%0.(1)2.8y n n n n n =+++∈N *， （2）由20.2 1.810 1.1%n n n p +≤⨯，得0.2 1.8%10 1.1nn p +≥⨯， 令0.2 1.810 1.1n nn a +=⨯，由11n n nn a a a a +-≥⎧⎨≥⎩，得12n ≤≤， ∴122%11p a a ≥==， ∴20011p ≥． 22．解：（1）∵当2b =，4m =-时，()()f x g x ≥恒成立，∴2225804||28()30x x x c x x x x x ⎧-+-≥⎪≥=⎨---<⎪⎩，---，，由二次函数的性质得74c ≥-．（2）2()||32x b x --=-，即2(||)1b x x -=+有四个不同的解，∴2()(1)0xb x x =+≥﹣有两个不同解以及2()(1)0x b x x +=+<也有两个不同解， 由根的分布得1b ≥且514b <<， ∴514b <<． 23．解：（1）22222220000001()201ax by aby a x x ax x a by ax x b y ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩即220020ax ax x ax -+= ∴222200440a x a x ∆=-= ∴l 与椭圆C 相切．（2）逆命题：若直线l ：001ax x by y +=与椭圆C 相交，则点00()N x y ，在椭圆C 的外部．是真命题．联立方程得222220000210()aby a x x ax x by ++=﹣﹣ 则22222000044()0(1)a x a by ax by =+>△﹣﹣ ∴22242220000000ax by b y ax abx y -+-+> ∴22001by ax +>∴00()N x y ，在椭圆C 的外部．（3）同理可得此时l 与椭圆相离，设11()M x y ，，()A x y ，则101110111x x x y y y l l l l +⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩代入椭圆C ：221ax by +=，利用M 在l 上，即01011ax x by y +=，整理得12222001112()10ax by ax by l +-++-= 同理得关于2l 的方程，类似．即1l 、2l 是222200211(0)1ax by ax by l +-++-=的两根 ∴120+=λλ．上海中学2017年高考模拟数学试卷（一）解 析一、填空题1．【考点】3Q ：函数的周期性；3L ：函数奇偶性的性质．【分析】根据()f x 是奇函数可得()()f x f x -=-，又根据()f x 是以2为周期的周期函数得()()2f x f x +=，取1x =-可求出()1f 的值．【解答】解：∵()f x 是以2为周期的周期函数， ∴1(1)()f f =-， 又函数()f x 是奇函数， ∴()(111)()f f f -=-=， ∴()(0)11f f =-= 故答案为：02．【考点】A2：复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成复数的代数标准形式，根据实部和虚部互为相反数，得到实部和虚部和为0，得到结果． 【解答】解：∵1(1)(1)1(1)111(1)(1)222bi bi i b b i b b i i i i ++-++-+-===+++-， ∵实部和虚部互为相反数，∴11022b b +-+=， ∴202b =，∴0b =， 故答案为：03．【考点】DC ：二项式定理的应用．【分析】由题意可得(122)Tr Cnr x r rCnrxr +==分别令3r =，1r =可得含3x ，x 项的系数，从而可求 【解答】解：由题意可得二项展开式的通项，(122)Tr Cnr x r rCnrxr +== 令3r =可得含3x 项的系数为：38Cn ，令1r =可得含x 项的系数为12Cn ∴31882Cn Cn =⨯ ∴5n = 故答案为：54．【考点】7C ：简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，设2z x y =+，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距，只需求出直线2z x y =+，过可行域内的点2(1)A ，时的最小值，从而得到z 最小值即可．【解答】解：设变量x 、y 满足约束条件126x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，在坐标系中画出可行域三角形，A （1，2），（4，2），C （1，5）， 则目标函数2z x y =+的最小值为4． 故答案为：4．5．【考点】R2：绝对值不等式．【分析】把不等式转化为0||3x a a <+<-，利用绝对值不等式的几何意义，即可求出不等式的解集． 【解答】解：因为0a <，则关于x 的不等式3||1ax a>+，所以不等式0||3x a a <+<-， 根据绝对值不等式的几何意义：数轴上的点到a -的距离大于0并且小于3a -， 可知不等式的解集为：()()24a a a a -⋃--，，． 故答案为：()()24a a a a -⋃--，，． 6．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义可知12||10||PF PF +=，根据椭圆方程求得焦距，利用内切圆的性质把三角形PF 1F 2分成三个三角形分别求出面积，再利用面积相等建立等式求得P 点纵坐标． 【解答】解：根据椭圆的定义可知12||10||PF PF +=，12||6F F =， 令内切圆圆心为O则1212121212|||1(2|||)PF F POF POF OF F PF r PF r S S S S F F r =++++=△△△△=1212||||11(||)28PF PF F F +⋅=+=又∵12121||23PF F F F yP yP S ⋅==△． 所以38yp =，83yp =．故答案为83．7．【考点】8E ：数列的求和；6F ：极限及其运算．【分析】先分奇数与偶数分别求前n 项和记为S n ，再求它们的极限．【解答】解：当2n k =时，221111[1()][1()]9924111149nnSn --=+-- 当21n k =+时，1221111[1()][1()]9924111149nn Sn +--=+-- ∴lim21193824n n S −−→∞=+=故答案为1924． 8．【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】把城市A 被选中的情况和城市A 未被选中的情况都找出来，即可得到城市A 被选中的概率． 【解答】解：从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A 被选中的情况有：ACE ACF ACG ACH ADF ADG ADH AEG AEH AFH 、、、、、、、、、，共10种．则城市A 未被选中的情况有：BDF BDG BDH BEG BEH BFH CEG CEH CFH DFH 、、、、、、、、、，共10种．故城市A 被选中的概率为：101=10+102， 故答案为：12． 9．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】据题意设1y 22y kx =-+，画出函数1y k 的取值范围．【解答】解：根据题意设1y 22y kx =-+， 当0k =时，方程只有一个解0x =，满足题意； 当0k ≠时，根据题意画出图象，如图所示：根据图象可知，当1k ->或1k -<-时，直线2y kx =-+与y = 综上，满足题意k 的取值范围为0k =或1k >或1k <-． 故答案为：11()0)({}-∞-⋃+∞⋃，，．10．【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角；93：向量的模；HP ：正弦定理．【分析】由题意可得：|||AC BC =，设△ABC 三边分别为2，a ，三角形面积为S ，根据海仑公式得：22422162416(12128)S a a a =-+-=--+，再结合二次函数的性质求出答案即可．【解答】解：由题意可得：|||AC BC =，设△ABC 三边分别为2，a ，三角形面积为S ，所以设22a p +=所以根据海仑公式得：S = 所以22422162416(12128)S a a a =-+-=--+，当212a =时，即当a =ABC 的面积有最大值，并且最大值为故答案为11．【考点】L3：棱锥的结构特征；L2：棱柱的结构特征．【分析】先把判断几何体的形状，把展开图沿虚线折叠，得到一个四棱锥，求出体积，再计算棱长为12的正方体的体积，让正方体的体积除以四棱锥的体积，结果是几，就需要几个四棱锥．【解答】解：把该几何体沿图中虚线将其折叠，使P Q R S ，，，四点重合，所得几何体为下图中的四棱锥， 且底面四边形ABCD 为边长是6的正方形，侧棱PD ABCD ⊥平面，6PD =∴1666723P ABCD V =⨯⨯⨯=四棱锥﹣∵棱长为12的正方体体积为1212121728⨯⨯= ∵17282472=， ∴需要24个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体． 故答案为2412．【考点】4R ：反函数．【分析】根据题意画出图形，如图，设()A x ax ，，函数(1)y ax a =>和它的反函数的图象与函数1y x=的图象关于直线0x y -=对称，得出点A 到直线y x =的距离为AB 的一半，利用点到直线的距离公式及()A x ax ，在函数1y x=的图象上得到18.4a =≈即可． 【解答】解：根据题意画出图形，如图， 设()A x ax ，，∵函数(1)y ax a =>和它的反函数的图象与函数1y x=的图象关于直线0x y -=对称，∴||AB =，⇒点A 到直线y x =，x=⇒2ax x =﹣，① 又()A x ax ，在函数1y x=的图象上，⇒1ax x =，②由①②得：12x x -=⇒1x x=，∴11)2-=，⇒18.4a =≈ 故答案为：8.4．13．【考点】F3：类比推理；LL ：空间图形的公理． 【分析】由题意可得：cos cos (0||||AB B AC C BC AB AC l ⋅+=，即BC 与cos cos (||||AB B AC CAB AC l +垂直，设D 为BC的中点，则2OB OCOD +=，可得cos cos (||||AB B AC C DP AB AC +=λ，即可得到0BC DP ⋅=，进而得到点P 在BC 的垂直平分线上，即可得到答案． 【解答】解：由题意可得：cos cos (||||0||||AB B AC CBC BC BC AB AC l ⋅+=-+=∴BC 与cos cos (||||AB B AC CAB AC l +垂直 设D 为BC 的中点，则2OB OCOD +=， 所以cos cos (2||||OB OC AB B AC COP AB AC l +=++， 所以cos cos (||||AB B AC C DP AB AC l +=，因为BC 与cos cos (||||AB B AC CAB AC l +垂直所以0BC DP ⋅=， 又∵点D 为BC 的中点，∴点P 在BC 的垂直平分线上，即P 的轨迹会通过△ABC 的外心． 故答案为：cos cos (2||||OB OC AB B AC COP AB AC l +=++． 二．选择题14．【考点】H5：正弦函数的单调性；HA ：余弦函数的单调性．【分析】可把A B C D ，，，四个选项中的值分别代入题设中进行验证，只有D 项的符合题意．【解答】解：cos2y x =在区间π[0]2，上是减函数，πsin )6π([0]3y x =+，上单调增，在ππ[]32，上单调减，故排除A ．πsin )4π([0]4y x =+，在π[0]4，单调增，在ππ[]42，上单调减，故排除B ．πsin )3π([0]6y x =+，在π[0]6，单调增，在ππ[]62，上单调减，故排除C ．(πsin )2y x =+在区间π[0]2，上也是减函数，故选D ．15．【考点】HP ：正弦定理．【分析】根据正弦定理分别求得AC 和AB ，最后三边相加整理即可得到答案． 【解答】解：根据正弦定理sin sin BC ACA B =，sin sin(120)BC AB A B =-∴sin sin BC AC B B A ==，sin(120)s 3cos in B A CB B AB B =-= ∴△ABC的周长为π3cos 36sin 3)6(B B B B ++=++故选D ．16．【考点】IH ：直线的一般式方程与直线的性质．【分析】先根据点M 、N 在直线上，则点坐标适合直线方程，通过消元法可求得a 与c 的关系，从而可判定点)(1P c a ，，1()Q b c，和l 的关系，选出正确选项．【解答】解：∵点)(1M a b ，和)(1N b c ，都在直线l ：1x y +=上∴11a b +=，11b c += 则11b a =-即1111a c+=-化简得11c a +=∴点)(1P c a ，在直线l 上而11b c +=则1()Q b c，在直线l 上故选A ．17．【考点】8H ：数列递推式；8E ：数列的求和．【分析】1223111n n n a a a a a a na a ++⋯++=+，①；12231()11212n n n n n a a a a a a a a n a a ++⋯+++++=++，②；①-②，得11()12112n n n n a a na a n a a -++=+++﹣，1214n n n n a a +++-=，同理，得114n n n na a ++-=，整理，得12211n n n a a a ++=+，1{}an是等差数列． 由此能求出1297111...a a a ++． 【解答】解：1223111n n n a a a a a a na a ++⋯++=+，①12231()11212n n n n n a a a a a a a a n a a ++⋯+++++=++，②①-②，得11()12112n n n n a a na a n a a -++=+++﹣，∴1214n n n na a +++-=， 同理，得114n n n na a ++-=， ∴12111n n n n n n n n a a a a ++++--=-， 整理，得12211n n n a a a ++=+， ∴1{}an 是等差数列． ∵114a =，215a =，∴等差数列1{}an 的首项是114a =，公差2111541d a a =-=-=，14(1)13nn n a =+-⨯=+． ∴12971119796 (974150442)a a a ⨯++=⨯+⨯=． 故选B ．18．【考点】HK ：由(n )si y A x w j =+的部分图象确定其解析式．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数π1sin(2())6f x x w =-+，再由它的周期等于π求出1w =，故π1sin(2(6))f x x =-+．（2）由]π[0x ∈，，可得ππ13π2[]666x +∈，，列表作图即得所求． 19．【考点】A8：复数求模．【分析】（1）设z a bi =+(a ，b R ∈且0b ≠)则z a bi =-代入条件||21510|z z +=+然后根据复数的运||z 的值（2）对于此种题型可假设存在实数a 使z aR a z+∈根据复数的运算法则设（z c bi =+（c ，b R ∈且0b ≠））可得2222()z a c ac b ab R a z a c b a c b +=++-∈++即220b ab a c b -=+再结合0b ≠和（1）的结论即可求解．20．【考点】MI ：直线与平面所成的角；LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）判断知，B 1C 与C 1A 垂直，可在平面BA 1内，过B 1作1B D AB ⊥于D ，证明11B C ABC ⊥平面，再由线面垂直的定义得出线线垂直；（2）由图形知，111122B ACC A B A AC A ABC V V V ---==，变换棱锥的底与高后，求出它的体积即可； 21．【考点】8B ：数列的应用．【分析】（1）210110%0.2( 1.8)N *y n n n n n =+++∈， （2）由20.2 1.8101.1%n n n n p +≤⋅，得0.2 1.8%10 1.1nn p +≥⨯，令0.2 1.810 1.1nn n a +=⨯，由此能求出p 的最小值． 22．【考点】3R ：函数恒成立问题．【分析】（1）将2b =，4m =-代入函数解析式，根据()()f x g x ≥恒成立将c 分离出来，研究不等式另一侧函数的最大值即可求出c 的取值范围；（2）将3c =-，2m =-代入函数解析式得2()||1x b x =+﹣有四个不同的解，然后转化成2()(1)0x b x x =+≥﹣有两个不同解以及2()(1)0x b x x +=+<也有两个不同解，最后根据根的分布建立关系式，求出b 的取值范围．23．【考点】KG ：直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）22222220000001()201ax by aby a x x ax x a by ax x b y ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩，由根的差别式能得到l 与椭圆C 相切．（2）逆命题：若直线l ：001ax x by y +=与椭圆C 相交，则点)00(N x y ，在椭圆C 的外部．是真命题．联立方程得222220000210()aby a x x ax x by ++=﹣﹣．由22222000044()0(1)a x a by ax by =+>△﹣﹣，能求出00()N x y ，在椭圆C 的外部．（3）此时l 与椭圆相离，设11()M x y ，，()A x y ，则101110111x x x y y y l l l l +⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩代入椭圆C ：221ax by +=，利用M 在l上，得222220011111()0ax by ax by l +-++-=．由此能求出120l l +=．。
上海市各区2017届高三一模数学试卷
1 x P x ≥ 0, x R ， x 1 ≤ 2, x R ， 则 M ∩P 等于 x 2
．
．
4．抛物线 y x 2 上一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标为 5．已知无穷数列 {an } 满足 an 1
18.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 6 分，第(2)小题满分 8 分. 在一个特定时段内，以点 D 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域．点 D 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A． 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 且与 点 A 相距 40 2 海里的位置 B 处， 经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45 （其
你认为正确论断的序号都填上）
（注：把
12．已知 AB 为单位圆 O 的一条弦，P 为单位圆 O 上的点．若 f ( ) AP AB ( R) 的
最小值为 m ，当点 P 在单位圆上运动时， m 的最大值为 为 ．
4 ，则线段 AB 的长度 3
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）
x 1 0 的解集为 x2 x 5cos 4. 椭圆 （ 为参数）的焦距为 y 4sin
3. 不等式 5. 设复数 z 满足 z 2 z 3 i （ i 为虚数单位） ，则 z 6. 若函数 y
cos x sin x
sin x cos x
n
求实数 x 的取值集合；
21. 设集合 A 、 B 均为实数集 R 的子集，记： A B {a b | a A, b B} ； （1）已知 A {0,1, 2} ， B {1,3} ，试用列举法表示 A B ；
2017年上海高三数学一模中档题
7. 抛掷一枚均匀的骰子（刻有1、2、3、4、5、6）三次，得到的数字依次记作a 、b 、c ， 则a bi +（i 为虚数单位）是方程220x x c -+=的根的概率是8. 设常数0a >，9(x+展开式中6x 的系数为4，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=9. 已知直线l 经过点(且方向向量为(2,1)-，则原点O 到直线l 的距离为10. 若双曲线的一条渐近线为20x y +=，且双曲线与抛物线2y x =的准线仅有一个公共 点，则此双曲线的标准方程为11.平面直角坐标系中，给出点(1,0)A 、(4,0)B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得 ||2||PA PB =，则实数m 的取值范围是15. 一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为5200、5300、5500、6100、6500、 6600，另两位员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（ ）A. 5800B. 6000C. 6200D. 64007. 若函数22,0(),0x x f x x m x ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩的值域为(,1]-∞，则实数m 的取值范围是 8. 如图，在△ABC 中，若3AB AC ==，1cos 2BAC ∠=，2DC BD =uuu r uu u r ，则AD BC ⋅=uuu r uu u r9. 定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，2()lg(33)f x x x =-+，则()f x 在R 上的零点个数为 个10. 将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内，其中2辆卡车必须停在A 与B 的位置，那么不同的停车位置安排共有 种（结果用数值表示）11. 已知数列{}n a 是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为n S ，设2n n n S b n =⋅ *()n N ∈，若数列{}n b 是递减数列，则实数m 的取值范围是18. 已知函数23sin ()cos 1x x f x x -=； （1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()32Af =4a =，5b c +=，求△ABC 的面积；上海市长宁、嘉定区2017届高三一模数学试卷8. 若数列{}n a 23n n =+（*n N ∈），则 1221lim ()231n n a a a n n →∞++⋅⋅⋅+=+ 9. 如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，5AD =，7AC =，3DC =，则AB 的长为10. 有以下命题：① 若函数()f x 既是奇函数又是偶函数，则()f x 的值域为{0}；② 若函数()f x 是偶函数，则(||)()f x f x =；③ 若函数()f x 在其定义域内不是单调函数，则()f x 不存在反函数；④ 若函数()f x 存在反函数1()f x -，且1()f x -与()f x 不完全相同，则()f x 与1()f x -图 像的公共点必在直线y x =上；其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）17. 如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，AD 与平面BCD 所成的角为30°，且2AB BC ==；（1）求三棱锥A BCD -的体积；（2）设M 为BD 的中点，求异面直线AD 与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；8. 已知圆222:220C x y kx y k ++++=（k R ∈）和定点(1,1)P -，若过P 可以作两条直 线与圆C 相切，则k 的取值范围是9. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒， 1AB BC ==，若1A C 与平面11B BCC 所成的角为6π， 则三棱锥1A ABC -的体积为 10. 掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d ，则{2,1,0,1,2}d ∈--出现的概率的最大值 为 （结果用最简分数表示）15. 设l αβ--是直二面角，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且a 、b 与l 均不垂 直，则（ ）A. a 与b 可能垂直，但不可能平行B. a 与b 可能垂直，也可能平行C. a 与b 不可能垂直，但可能平行D. a 与b 不可能垂直，也不可能平行18. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，且12||6F F =，12PF F ∠=12PF F ∆的面积为（1）求椭圆Γ的方程；（2）若M 是椭圆上的动点，求||MQ 的最大值，并求出||MQ 取得最大值时M 的坐标；8. 若21(2)n x x +*()n N ∈的二项展开式中的第9项是常数项，则n = 9. 已知,A B 分别是函数()2sin f x x ω=(0)ω>在y 轴右侧图像上的第一个最高点和第一 个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是10. 将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同 一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是15. 如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满 足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A. 221255x y +=B. 2213010x y += C. 2213616x y += D. 2214525x y += 18. 在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E 正北55海 里处有一个雷达观测站A ，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距B 处，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+（其中sin 26θ=，090θ︒︒<<）且与点A 相距海里的位置C 处； （1）求该船的行驶速度；（单位：海里/小时）（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由；9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面 积为10. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生 均有的概率为 （结果用最简分数表示）11. 设常数0a >，若9()a x x +的二项展开式中5x 的系数为144，则a =15. 设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题： （1）若M 、N 为互斥事件，且1()5P M =，1()4P N =，则9()20P M N =U ； （2）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （3）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （4）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （5）若1()2P M =，1()3P N =，5()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； 其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 417. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为4，侧面积为36； （1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求异面直线1A C 与AB 所成的角的大小；上海市松江区2017届高三一模数学试卷8. 设230123(1)n n n x a a x a x a x a x +=++++⋅⋅⋅+，若2313a a =，则n = 9. 已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么 这个圆锥的侧面积是 2cm10. 设(,)P x y是曲线1C =上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ，则12||||PF PF + 的最大值为15. 若矩阵11122122a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足：11a 、12a 、21a 、22{0,1}a ∈， 且111221220a a a a =，则这样的互不相等的矩阵共有（ ） A. 2个 B. 6个 C. 8个 D. 10个18. 已知函数21()21x x a f x ⋅-=+（a 为实数）； （1）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的1x ≥，都有1()3f x ≤≤，求a 的取值范围；8. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积为9. 已知互异复数0mn ≠，集合22{,}{,}m n m n =，则 m n +=10. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈，0n S >恒成立，则 公比q 的取值范围是15. 已知函数22sin ,0()cos(),0x x x f x x x x α⎧+≥⎪=⎨-++<⎪⎩([0,2))απ∈是奇函数，则α=（ ） A. 0 B. 2π C. π D. 32π 18. 已知函数22()log (2)x x f x a a =+-(0)a >，且(1)2f =；（1）求a 和()f x 的单调区间；（2）(1)()2f x f x +->；8. 已知数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列，则实数b 的取值范围是9. 将边长为10的正三角形ABC ，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△A B C '''， 则△A B C '''中最短边的边长为 （精确到0.01）10. 已知点A 是圆22:4O x y +=上的一个定点，点B 是圆O 上的一个动点，若满足 ||||AO BO AO BO +=-uuu r uu u r uuu r uu u r ，则AO AB ⋅=uuu r uu u r14. 已知空间两条直线m 、n ，两个平面α、β，给出下面四个命题：①m ∥n ，m n αα⊥⇒⊥；②α∥β，m α，n β⇒m ∥n ；③m ∥n ，m ∥αn ⇒∥α；④α∥β，m ∥n ，m α⊥n β⇒⊥；其中正确的序号是（ ）A. ①④B. ②③C. ①②④D. ①③④17. 如图所示，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周 上不与A 、B 重合的一个点；（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点C 是弧AB 的中点时，求异面直线1A C 与AB 的所成 角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比；上海市浦东新区2017届高三一模数学试卷9. 过双曲线222:14x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为10. 若关于x 的不等式1|2|02x x m --<在区间[0,1]内恒成立，则实数m 的范围14. 已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，则()y f x =-与1()y f x -=-图像（） A. 关于y 轴对称 B. 关于原点对称C. 关于直线0x y +=对称D. 关于直线0x y -=对称15. 设{}n a 是等差数列，下列命题中正确的是（ ）A. 若120a a +>，则230a a +>B. 若130a a +<，则120a a +<C. 若120a a <<，则2a >D. 若10a <，则2123()()0a a a a --> 18. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ；（1）若3B π=，b =，△ABC 的面积2S =，求a c +的值；（2）若22cos ()C BA BC AB AC c ⋅+⋅=u u r u u u r u u u r u u u r ，求角C ；上海市闵行区2017届高三一模数学试卷7. 从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a ”的共有 种排法（用数字作答）8. 集合{|cos(cos )0,[0,]}x x x ππ=∈= （用列举法表示）9. 如图，已知半径为1的扇形AOB ，60AOB ∠=︒，P为弧»AB 上的一个动点，则OP AB ⋅uu u r uu u r 取值范围是10. 已知x 、y 满足曲线方程2212x y +=，则22x y +的 取值范围是17. 如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 中点，现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上一点，且90BOC ∠=︒，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的大小；（用反三角函数表示）上海市虹口区2017届高三一模数学试卷8. 若正项等比数列{}n a 满足：354a a +=，则4a 的最大值为9. 一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于10. 设函数61()211x x f x x x ⎧≥=⎨--≤-⎩，则当1x ≤-时，则[()]f f x 表达式的展开式中含2x 项的系数是13. 在空间，α表示平面，m 、n 表示二条直线，则下列命题中错误的是（ ）A. 若m ∥α，m 、n 不平行，则n 与α不平行B. 若m ∥α，m 、n 不垂直，则n 与α不垂直C. 若m α⊥，m 、n 不平行，则n 与α不垂直D. 若m α⊥，m 、n 不垂直，则n 与α不平行15. 如图，在圆C 中，点A 、B 在圆上，则AB AC ⋅u u u r u u u r 的值（ ）A. 只与圆C 的半径有关B. 既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关C. 只与弦AB 的长度有关D. 是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值18. 如图，我海蓝船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其北偏东30° 方向与它相距20海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海蓝船正东18海里处；（1）求此时该外国船只与D 岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行，为了将该船拦截在 离D 岛12海里的E 处（E 在B 的正南方向），不让其进入D 岛12海里内的海域，试确定 海蓝船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）；7. 根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫克的行为属 于饮酒驾驶，假设饮酒后，血液中的酒精含量为0p 毫克/100毫克，经过x 个小时，酒精含量降为p 毫克/100毫克，且满足关系式0rx p p e =⋅（r 为常数）若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫克，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫克，则此人饮酒后需经过 小时方可驾车8. 已知奇函数()f x 是定义在R 上的增函数，数列{}n x 是一个公差为2的等差数列，满足 78()()0f x f x +=，则2017x 的值为9. 直角三角形ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，点M 是三角形ABC 外接圆上任意一点，则AB AM ⋅u u u r u u u u r 的最大值为13. 某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加， 那么不同的发言顺序有（ ）A. 336种B. 320种C. 192种D. 144种17. 设双曲线22:123x y C -=，1F 、2F 为其左右两个焦点； （1）设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求1OM F M ⋅uuu r uuu u r 的取值范围；（2）若动点P 与双曲线C 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值 为19-，求动点P 的轨迹方程；7. 如果实数x 、y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值是8. 从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课 代表，共有 种不同的选法（结果用数值表示）9. 方程22242340x y tx ty t +--+-=（t 为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是 （结果化为普通方程）10. 若n a 是(2)n x +（*n N ∈，2n ≥，x R ∈）展开式中2x 项的二项式系数，则23111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+=15. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A. 283π-B. 83π- C. 82π- D. 23π17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PB 、PD 与 平面ABCD 所成的角依次是4π和1arctan 2，2AP =，E 、F 依次是PB 、PC 的中点； （1）求异面直线EC 与PD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求三棱锥P AFD -的体积；。
上海市徐汇区数学高考一模卷(含答案)
上海徐汇区数学高考一模一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 25lim1n n n →∞-=+2. 已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点(1,3)M ，则其焦点到准线的距离为3. 若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解为21x y =⎧⎨=⎩，则a b += 4. 若复数z 满足：3i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则||z =5. 在622()x x +的二项展开式中第四项的系数是 （结果用数值表示） 6. 在长方体1111ABCD A B C D -中，若1AB BC ==，12AA =，则异面直线1BD 与1CC 所成角的大小为7. 若函数22,0(),0x x f x x m x ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩的值域为(,1]-∞，则实数m 的取值范围是8. 如图，在△ABC 中，若3AB AC ==，1cos 2BAC ∠=，2DC BD =u u ur u u u r ，则AD BC ⋅=u u u r u u u r9. 定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，2()lg(33)f x x x =-+， 则()f x 在R 上的零点个数为 个10. 将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内，其中2辆卡车必须停在A 与B 的位置，那么不同的停车位置安排共有 种（结果用数值表示）11. 已知数列{}n a 是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为n S ，设2n n nS b n =⋅*()n N ∈，若数列{}n b 是递减数列，则实数m 的取值范围是12. 若使集合2{|(6)(4)0,}A x kx k x x Z =--->∈中的元素个数最少，则实数k 的取值范围是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “4x k ππ=+()k Z ∈”是“tan 1x =”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要14. 若1-（i 是虚数单位）是关于x 的方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A. 2b =，3c =B. 2b =，1c =-C. 2b =-，1c =-D. 2b =-，3c =15. 已知函数f (x )为R 上的单调函数，f -1(x )是它的反函数，点A (-1,3)和点B (1,1)均在函数f (x )的图像上，则不等式1|(2)|1x f -<的解集为（ ）A. (1,1)-B. (1,3)C. 2(0,log 3)D. 2(1,log 3)16. 如图，两个椭圆221259y x +=、221259y x+=内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列三个判断：（1）P 到1(4,0)F -、2(4,0)F 、1(0,4)E -、2(0,4)E 四点的距离之和为定值 （2）曲线C 关于直线y x =、y x =-均对称 （3）曲线C 所围区域面积必小于36 上述判断中正确命题的个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知PA ⊥平面ABC ，AC AB ⊥，2AP BC ==，30CBA ︒∠=，D 是AB 的中点； （1）求PD 与平面PAC 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求△PDB 绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体的体积；（结果保留π）18. 已知函数2sin ()1x xf x x -=；（1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2Af =，4a =，5b c +=，求△ABC 的面积；19. 某创业团队拟生产A 、B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比（如图1），B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）； （注：利润与投资额的单位均为万元） （1）分别将A 、B 两种产品的利润f (x )、g (x )表示为投资额x 的函数；（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A 、B 两种产品生产，问：当B 产品的投资额为多少万元时，生产A 、B 两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？20. 如图，双曲线22:13x y Γ-=的左、右焦点1F 、2F ，过2F 作直线l 交y 轴于点Q ； （1）当直线l 平行于Γ的一条渐近线时，求点1F 到直线l 的距离；（2）当直线l 的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P ，满足110F P FQ ⋅=u u u r u u u r？，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由；（3）若直线l 与Γ交于不同两点A 、B ，且Γ上存在一点M ，满足40OA OB OM ++=u u u r u u u r u u u u r r （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程；21. 正数数列{}n a 、{}n b 满足：11a b ≥，且对一切2k ≥，k N *∈，k a 是1k a -与1k b -的等差中项，k b 是1k a -与1k b -的等比中项； （1）若22a =，21b =，求1a 、1b 的值；（2）求证：{}n a 是等差数列的充要条件是n a 为常数数列；（3）记||n n n c a b =-，当2n ≥，n N *∈，指出2n c c ++L 与1c 的大小关系并说明理由；参考答案一. 填空题 1. 2 2.92 3. 2 4. 2 5. 160 6. 4π7. 01m <≤8. 32- 9. 4 10. 40320 11. [0,1) 12. [3,2]--二. 选择题13. C 14. D 15. C 16. C三. 解答题17.（1）arctan （2）32π；18.（1）；（219.（1）1()(0)4f x x x =≥，()0)g x x =≥；（2）对A 投资3.75万元，对B 投资6.25万元，可获得最大利润6516万元；20.（1）2；（2）不存在；（3）20x ±-=；21.（1）12a =12b =（2）证明略；（3）21n c c c ++<L ，理由略；。
2017届上海市徐汇区数学中考一模卷(含答案)(带参考答案)
2016学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学 试卷2017.1一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1．如果23x y =，那么下列格式中正确的是（ ）A ．23x y = B ．3xx y =- C ．53x y y += D ．25x x y =+ 2．如果一斜坡的坡比是1:2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（ ）A ．125B ．512 C ．513D ．12133．如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是()221y x =-，那么原抛物线的表达式是（ ）A ．()2232y x =--B ．()2232y x =-+C ．()2212y x =+-D ．()2212y x =++4．在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，连结DE ，那么下列条件中不能判断ADE 和ABC 相似的是（ ）A ．//DE BCB ．AED B ∠=∠C ．AE ABAD AC= D ．AE ACDE BC= 5．一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60︒，那么此时飞机与监测点的距离是 （ ）A ．6000米B ．C ．米D ．米 6．已知二次函数2243y x x =-+-，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．0x ≥C ．1x ≥-D ．2x ≥-二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知线段9a =，4c =，如果线段b 是a 、c 的比例中项，那么b =____________． 8．点C 是线段AB 延长线上的点，已知AB a =，CB b =，那么AC =____________． 9．如图1，////AB CD EF ，如果2AC =， 5.5AE =，3DF =，那么BD =____________．102，那么它们的周长比是____________．11．如果点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP >），那么请你写出一个关于线段AP 、BP 、AB 之间的数量关系的等式，你的结论是：____________．12．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ，如果4CD =，3BD =，那么A ∠的正弦值是_______． 13．正方形ABCD 的边长为3，点E 在边CD 的延长线上，联结BE 交边AD 于F ，如果1DE =，那么AF =________．14．已知抛物线24y ax ax =-与x 轴交于点A 、B ，顶点C 的纵坐标是-2，那么a =____________．15．如图2，矩形ABCD 的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果:3:4AB BC =，那么AB 的长是____________．16．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC 、BD 相交于O ，如果BOC 、ACD 的面积分别是9和4，那么梯形ABCD 的面积是____________．17．在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，5AC =，3BC =，CD 是ACB ∠的平分线，将ABC 沿直线CD 翻折，点A 落在点E 处，那么AE 的长是____________．18．如图3，在ABCD 中，:2:3AB BC =，点E 、F 分别在边CD 、BC 上，点E 是边CD 的中点，2CF BF =，120A ∠=︒，过点A 分别作AP BE ⊥、AQ DF ⊥，垂足分别为P 、Q ，那么APAQ的值是____________．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：tan 452sin 60cot 30cot 45cos301︒︒-︒-︒+︒-．20．（本题共2小题，每题5分，满分10分）将抛物线244y x x =-+沿y 轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x 轴正半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．求：（1）点B 、C 、D 坐标； （2）BCD 的面积．图1图2 图321．（本题共2小题，每题5分，满分10分）如图4，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，4AB =，3AD =，AB AC ⊥，AC 平分DCB ∠，过点D 作//DE AB ，分别交AC 、BC 于F 、E ，设AB a =，BC b =． 求：（1）向量DC （用向量a 、b 表示）； （2）tan B 的值．22．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）如图5，一艘海轮位于小岛C 的南偏东60︒方向、距离小岛120海里的A 处，该海轮从A 处沿正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C 北偏东45︒方向的B 处．（1）求该海轮从A 处到B 处的航行过程中与小岛C 之间的最短距离（结果保留根号）；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B 处沿BC 方向行驶，求它从B 处到达小岛C 的航行时间（结果精确到0．1小时）．1.41≈1.73≈）．图4图523．（本题共2小题．第（1）小题4分，第（2）小题8分，满分12分）如图6，已知ABC 中，点D 在边BC 上，DAB B ∠=∠，点E 在边AC 上，满足AE CD AD CE ⋅=⋅． （1）求证：//DE AB ；（2）如果点F 是DE 延长线上一点，且BD 是DF 和AB 的比例中项，联结AF ． 求证：DF AF =．24．（本题共3小题，每题4分，满分12分）如图7，已知抛物线23y x bx =-++与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB OC =，点D 是抛物线的顶点，直线AC 和BD 交于点E ． （1）求点D 的坐标；（2）联结CD 、 BC ，求DBC ∠的余切值；（3）设点M 在线段CA 延长线上，如果EBM 和ABC 相似，求点M 的坐标．25．（本题满分14分）图6图7如图8，已知ABC 中，3AB AC ==，2BC =，点D 是边AB 上的动点，过点D 作//DE BC ，交边AC 于点E ，点Q 是线段DE 上的点，且2QE DQ =，联结BQ 并延长，交边AC 于点P .设BD x =，AP y =. （1）求y 关于x 的函数解析式及定义域；（4分） （2）当PEQ 是等腰三角形时，求BD 的长；（4分）（3）联结CQ ，当CQB ∠和CBD ∠互补时，求x 的值.（6分）图8备用图参考答案： 1-6,BDCDCA7，6 8，a b - 9，127 102 11，PB AP AP AB = ,答案不唯一 12，3513，94 14，12 15 16，16 17， 1819，3- 20，(1)()()5,0,0,5,-B C D -（2，9）(2)1521,(1)12DC a b =+ (2)tan ABC ∠=22,,7.3（2）小时 23,(1)证明略，（2）证明略24，（1）()223,1,4y x x D =-++ (2)3 (3)63(,)55M --25,(1)()930323x y x x -=<<+ (2) 1219 或65(3)2473。
2017年上海市徐汇区高考数学一模试卷含详解
2017年上海市徐汇区高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题4分，满分54分）1．（4分）=．2．（4分）已知抛物线C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x轴上，若C经过点M（1，3），则其焦点到准线的距离为．3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=．4．（4分）若复数z满足：i•z=+i（i是虚数单位），则|z|=．5．（4分）在（x+）6的二项展开式中第四项的系数是．（结果用数值表示）6．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB=BC=1，AA1=，则异面直线BD1与CC1所成角的大小为．7．（5分）若函数f（x）=的值域为（﹣∞，1]，则实数m的取值范围是．8．（5分）如图，在△ABC中，若AB=AC=3，cos∠BAC=，=2，则=．9．（5分）定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=lg（x2﹣3x+3），则f（x）在R上的零点个数为个．10．（5分）将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内，其中2辆卡车必须停在A与B的位置，那么不同的停车位置安排共有种？（结果用数值表示）11．（5分）已知数列{a n}是首项为1，公差为2m的等差数列，前n项和为S n，设b n=（n∈N*），若数列{b n}是递减数列，则实数m的取值范围是．12．（5分）若使集合A={x|（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）＞0，x∈Z}中的元素个数最少，则实数k的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）“x=kπ+（k∈Z）“是“tanx=1”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．（5分）若1﹣i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3B．b=2，c=﹣1C．b=﹣2，c=﹣1D．b=﹣2，c=3 15．（5分）已知函数f（x）为R上的单调函数，f﹣1（x）是它的反函数，点A（﹣1，3）和点B（1，1）均在函数f（x）的图象上，则不等式|f﹣1（2x）|＜1的解集为（）A．（﹣1，1）B．（1，3）C．（0，log23）D．（1，log23）16．（5分）如图，两个椭圆+=1，+=1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上任意一点，给出下列三个判断：①P到F1（﹣4，0）、F2（4，0）、E1（0，﹣4）、E2（0，4）四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y=x、y=﹣x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36．上述判断中正确命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D是AB的中点．（1）求PD与平面PAC所成的角的大小；（2）求△PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积．18．（14分）已知函数f（x）=．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，a=4，b+c=5，求△ABC的面积．19．（14分）某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）．（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A、B两种产品的利润f（x）、g（x）表示为投资额x的函数；（2）该团队已筹到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？20．（16分）如图，双曲线Γ：﹣y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交y轴于点Q．（1）当直线l平行于Γ的一条渐近线时，求点F1到直线l的距离；（2）当直线l的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P，满足=0？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若直线l与Γ交于不同两点A、B，且Γ上存在一点M，满足++4=（其中O为坐标原点），求直线l的方程．21．（18分）正整数列{a n}，{b n}满足：a1≥b1，且对一切k≥2，k∈N*，a k是a k﹣1与b k﹣1的等差中项，b k是a k﹣1与b k﹣1的等比中项．（1）若a2=2，b2=1，求a1，b1的值；（2）求证：{a n}是等差数列的充要条件是{a n}为常数数列；（3）记c n=|a n﹣b n|，当n≥2（n∈N*）时，指出c2+…+c n与c1的大小关系并说明理由．2017年上海市徐汇区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题4分，满分54分）1．（4分）=2．【考点】8J：数列的极限．【专题】3A：极限思想；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】分式分子、分母同除以n，运用常见数列的极限为0，计算即可得到所求值．【解答】解：===2．故答案为：2．【点评】本题考查数列极限的求法，注意运用常见数列的极限公式，考查运算能力，属于基础题．2．（4分）已知抛物线C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x轴上，若C经过点M（1，3），则其焦点到准线的距离为．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】34：方程思想；43：待定系数法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可知：设抛物线的方程：y2=2px，将M（1，3）代入9=2p，解得：p=，求得抛物线方程，则焦点到准线的距离d=p=9．【解答】解：由题意可知：由焦点在x轴上，若C经过点M（1，3），则图象经过第一象限，∴设抛物线的方程：y2=2px，将M（1，3）代入9=2p，解得：p=，∴抛物线的标准方程为：y2=9x，由焦点到准线的距离d=p=，故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线方程的应用，属于基础题．3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=2．【考点】OC：几种特殊的矩阵变换．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5R：矩阵和变换．【分析】根据增广矩阵的定义得到是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知是方程组的解，即，则a+b=1+1=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．4．（4分）若复数z满足：i•z=+i（i是虚数单位），则|z|=2．【考点】A8：复数的模．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5N：数系的扩充和复数．【分析】求出z，根据复数求模公式求出z的模即可．【解答】解：由iz=+i，得z==1﹣i，故|z|==2，故答案为：2．【点评】本题考查了复数求模公式，复数的化简，是一道基础题．5．（4分）在（x+）6的二项展开式中第四项的系数是160．（结果用数值表示）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5P：二项式定理．【分析】利用二项式定义的通项公式求解．【解答】解：在（x+）6的二项展开式中第四项：=8C x﹣3=160x﹣3．∴在（x+）6的二项展开式中第四项的系数是160．故答案为：160．【点评】本题考查二项展开式中第四项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项式定理的性质的合理运用．6．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB=BC=1，AA1=，则异面直线BD1与CC1所成角的大小为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5G：空间角．【分析】根据条件画出图形，并连接D1B1，可以判断出∠B1BD1为异面直线BD1与CC1所成的角，从而在Rt△BB1D1中可求出cos∠B1BD1，进而便可得出∠B1BD1的大小．【解答】解：如图，连接D1B1；∵CC1∥BB1；∴BD1与CC1所成角等于BD1与BB1所成角；∴∠B1BD1为异面直线BD1与CC1所成角；∴在Rt△BB1D1中，cos∠B1BD1=；∴异面直线BD1与CC1所成角的大小为．故答案为：．【点评】考查异面直线及异面直线所成角的概念，三角函数的定义，已知三角函数值求角．7．（5分）若函数f（x）=的值域为（﹣∞，1]，则实数m的取值范围是（0，1] ．【考点】34：函数的值域；3H：函数的最值及其几何意义；5B：分段函数的应用．【专题】11：计算题；33：函数思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的最值以及二次函数的性质求出f（x）的值域（﹣∞，1]，从而判断出a的范围即可．【解答】解：x≤0时：f（x）=2x∈（0，1]．x＞0时，f（x）=﹣x2+m，函数的对称轴x=0，f（x）在（﹣∞，0）递增，∴f（x）=﹣x2+m＜m，函数f（x）=的值域为（﹣∞，1]，故0＜m≤1，故答案为：（0，1]．【点评】本题考查了分段函数问题，考查二次函数以及对数函数的性质，是一道中档题．8．（5分）如图，在△ABC中，若AB=AC=3，cos∠BAC=，=2，则=．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】由条件可先得出，且，从而带入进行数量积的运算即可求出该数量积的值．【解答】解：根据条件：===；∴===．故答案为：．【点评】考查向量加法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，向量数量积的运算及计算公式．9．（5分）定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=lg（x2﹣3x+3），则f（x）在R上的零点个数为4个．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】11：计算题；33：函数思想；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】利用函数是偶函数求出xx≥0时，函数的零点个数，即可得到结果．【解答】解：当x≥0时，f（x）=lg（x2﹣3x+3），函数的零点由：lg（x2﹣3x+3）=0，即x2﹣3x+3=1，解得x=1或x=2．因为函数是定义在R上的偶函数y=f（x），所以函数的零点个数为：4个．故答案为：4．【点评】本题考查函数的零点的个数的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．10．（5分）将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内，其中2辆卡车必须停在A与B的位置，那么不同的停车位置安排共有40320种？（结果用数值表示）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】12：应用题；34：方程思想；4G：演绎法；5O：排列组合．【分析】根据将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内，其中2辆卡车必须停在A与B的位置，利用排列知识可得结论．【解答】解：由题意，不同的停车位置安排共有A22A86=40320种．故答案为40320．【点评】本题考查排列知识的运用，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）已知数列{a n}是首项为1，公差为2m的等差数列，前n项和为S n，设b n=（n∈N*），若数列{b n}是递减数列，则实数m的取值范围是[0，1）．【考点】8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．【分析】利用求和公式可得S n=n+×2m．可得b n==，由数列{b n}是递减数列，可得b n+1＜b n，即可得出．【解答】解：S n=n+×2m=mn2+（1﹣m）n．∴b n==，∵数列{b n}是递减数列，＜b n，∴＜，∴b n+1化为：m（n﹣2）+1＞0，对于∀n∈N*都成立．n=1时，m＜1；n=2时，m∈R；n＞2时，m，解得m≥0．综上可得：m∈[0，1）．故答案为：[0，1）．【点评】本题考查了等差数列的求和公式、不等式的解法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）若使集合A={x|（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）＞0，x∈Z}中的元素个数最少，则实数k的取值范围是[﹣3，﹣2] ．【考点】12：元素与集合关系的判断．【专题】32：分类讨论；4O：定义法；5J：集合．【分析】化简集合A，对k讨论即可．求解x的范围，可得答案．【解答】解：集合A={x|（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）＞0，x∈Z}，∵方程（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）=0，解得：，x2=4，∴（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）＞0，x∈Z当k=0时，A=（﹣∞，4）；当k＞0时，4＜k+，A=（﹣∞，4）∪（k+，+∞）；当k＜0时，k+＜4，A=（k+，4）．∴当k≥0时，集合A的元素的个数无限；当k＜0时，k+＜4，A=（k+，4）．集合A的元素的个数有限，令函数g（k）=k+，（k＜0）则有：g（k）≤﹣2，∵题意要求x∈Z，故得：k+≥﹣5，且k+＜﹣4，解得：﹣3≤k≤﹣2故答案为：[﹣3，﹣2]．【点评】本题考查的是集合元素的分布以及运算问题，方程的思想以及问题转化的思想在题目当中的应用．此题属于集运算与方程、不等式于一体的综合问题，值得同学们认真反思和归纳．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）“x=kπ+（k∈Z）“是“tanx=1”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据三角函数，充分必要条件的定义判断．【解答】解：∵tanx=1，∴x=kπ+（k∈Z）∵x=kπ+（k∈Z）则tanx=1，∴根据充分必要条件定义可判断：“x=kπ+（k∈Z）“是“tanx=1”成立的充分必要条件故选：C．【点评】本题考察了充分必要条件的定义，属于容易题．14．（5分）若1﹣i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3B．b=2，c=﹣1C．b=﹣2，c=﹣1D．b=﹣2，c=3【考点】&S：实系数多项式虚根成对定理．【专题】11：计算题；33：函数思想；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵1﹣i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，∴1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，∴，解得b=﹣2，c=3．故选：D．【点评】本题考查了实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系，属于基础题．15．（5分）已知函数f（x）为R上的单调函数，f﹣1（x）是它的反函数，点A（﹣1，3）和点B（1，1）均在函数f（x）的图象上，则不等式|f﹣1（2x）|＜1的解集为（）A．（﹣1，1）B．（1，3）C．（0，log23）D．（1，log23）【考点】4R：反函数．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；51：函数的性质及应用．【分析】由已知结合互为反函数的两个函数图象间的关系可得f﹣1（3）=﹣1，f﹣1（1）=1，再由|f﹣1（2x）|＜1，得﹣1＜f﹣1（2x）＜1，即f﹣1（3）＜f﹣1（2x）＜f﹣1（1），再由函数的单调性转化为指数不等式求解．【解答】解：∵点A（﹣1，3）和点B（1，1）在图象上，∴f（﹣1）=3，f（1）=1，又f﹣1（x）是f（x）的反函数，∴f﹣1（3）=﹣1，f﹣1（1）=1，由|f﹣1（2x）|＜1，得﹣1＜f﹣1（2x）＜1，即f﹣1（3）＜f﹣1（2x）＜f﹣1（1），函数f（x）为R的减函数，∴f﹣1（x）是定义域上的减函数，则1＜2x＜3，解得：0＜x＜log23．∴不等式|f﹣1（2x）|＜1的解集为（0，log23）．故选：C．【点评】本题考查函数单调性的性质，考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，体现了数学转化思想方法，是基础题．16．（5分）如图，两个椭圆+=1，+=1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上任意一点，给出下列三个判断：①P到F1（﹣4，0）、F2（4，0）、E1（0，﹣4）、E2（0，4）四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y=x、y=﹣x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36．上述判断中正确命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】2K：命题的真假判断与应用；K4：椭圆的性质．【专题】38：对应思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】①，若点P在椭圆+=1上，P到F1（﹣4，0）、F2（4，0）两点的距离之和为定值、到E1（0，﹣4）、E2（0，4）两点的距离之和不为定值；②，两个椭圆+=1，+=1关于直线y=x、y=﹣x均对称，曲线C关于直线y=x、y=﹣x均对称；③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部．【解答】解：对于①，若点P在椭圆+=1上，P到F1（﹣4，0）、F2（4，0）两点的距离之和为定值、到E1（0，﹣4）、E2（0，4）两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆+=1，+=1关于直线y=x、y=﹣x均对称，曲线C关于直线y=x、y=﹣x均对称，故正确；对于③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确．故选：C．【点评】本题考查了椭圆的定义及对称性，属于基础题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D是AB的中点．（1）求PD与平面PAC所成的角的大小；（2）求△PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题．【分析】（1）先判断∠DPA就是PD与平面PAC所成的角，再在Rt△PAD中，即可求得结论；（2）△PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体，是以AB为底面半径、AP为高的圆锥中挖去一个以AD为底面半径、AP为高的小圆锥，从而可求体积．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，又∵AC⊥AB，PA∩AC=A∴AB⊥平面PAC，∴∠DPA就是PD与平面PAC所成的角．…（2分）在Rt△PAD中，PA=2，AD=，…（4分）∴tan∠DPA=∴∠DPA=arctan，…（5分）即PD与平面PAC所成的角的大小为arctan．…（6分）（2）△PDB绕直线PA旋转一周所构成的旋转体，是以AB为底面半径、AP为高的圆锥中挖去一个以AD为底面半径、AP为高的小圆锥，∴﹣=．…（12分）．【点评】本题考查线面角，考查几何体的体积，确定线面角，明确几何体的形状是解题的关键．18．（14分）已知函数f（x）=．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，a=4，b+c=5，求△ABC的面积．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质；58：解三角形；5R：矩阵和变换．【分析】（1）由已知利用行列式的计算，三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式f（x）=sin（2x+）+，结合范围2x+∈[，]，利用正弦函数的性质即可得解值域．（2）由已知可求sin（A+）=，结合范围A+∈（，），可得A=，由余弦定理解得：bc=3，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分，第1小题满分为6分，第2小题满分为8分）解：（1）∵f（x）==cos2x+sinxcosx=sin（2x+）+，∵x∈[0，]，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，可得：f（x）=sin（2x+）+∈[0，1+]．（2）∵f（）=sin（A+）+=，可得：sin（A+）=，∵A∈（0，π），A+∈（，），可得：A+=，解得：A=．∵a=4，b+c=5，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：16=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=25﹣3bc，解得：bc=3，∴S=bcsinA=3×=．△ABC【点评】本题主要考查了行列式的计算，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14分）某创业团队拟生产A、B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比（如图1），B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）．（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A、B两种产品的利润f（x）、g（x）表示为投资额x的函数；（2）该团队已筹到10万元资金，并打算全部投入A、B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A、B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】15：综合题；33：函数思想；4G：演绎法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由A产品的利润与投资额成正比，B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；（2）由（1）的结论，我们设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为10﹣x万元．这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．【解答】解：（1）f（x）=k1x，g（x）=k2，f（1）=0.25=k1，g（4）=2k2=2.5，∴f（x）=0.25x（x≥0），g（x）=1.25（x≥0），（2）设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为10﹣x万元．y=f（10﹣x）+g（x）=0.25（10﹣x）+1.25（0≤x≤10），令t=，则y=﹣0.25t2+1.25t+2.5，所以当t=2.5，即x=6.25万元时，收益最大，y max=万元．【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．20．（16分）如图，双曲线Γ：﹣y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交y轴于点Q．（1）当直线l平行于Γ的一条渐近线时，求点F1到直线l的距离；（2）当直线l的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P，满足=0？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若直线l与Γ交于不同两点A、B，且Γ上存在一点M，满足++4=（其中O为坐标原点），求直线l的方程．【考点】KM：直线与双曲线的综合．【专题】31：数形结合；47：判别式法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由双曲线Γ：﹣y2=1，焦点在x轴上，a=，b=1，c==2，则令k=，直线l的方程为：y=（x﹣2），即x﹣y﹣2=0，则点F1到直线l的距离为d==2；（2）直线l的方程为y=x﹣2，点Q（0，﹣2），假设在Γ的右支上存在点P（x0，y0），则x0＞0，=0，代入求得y0=x0+2，代入双曲线方程求得2+12x0+15=0，由△＜0，所以不存在点P在右支上；（3）设直线l的方程为y=kx+b，联立方程组，由韦达定理则=（x3，y3），=﹣（+），M为双曲线上一点，即x32﹣3y32=3，则x1x2﹣3y1y2=21①由x1x2﹣3y1y2=x1x2﹣3（x1+b）（x2+b），=﹣2x1x2﹣3b（x1+x2）﹣3b2=﹣2•﹣3b•﹣3b2=21，即可求得k与b的值，求得直线l的方程；方法二：设直线l的方程为y=my+2，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得M点坐标，代入双曲线的方程，即可求得m的值．【解答】解：（1）双曲线Γ：﹣y2=1，焦点在x轴上，a=，b=1，c==2，则双曲线左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），过F2作直线l，设直线l的斜率为k，l交y轴于点Q．当直线l平行于Γ的一条渐近线时，不妨令k=，则直线l的方程为：y=（x﹣2），即x﹣y﹣2=0，则点F1到直线l的距离为d==2；（2）当直线l的斜率为1时，直线l的方程为y=x﹣2，则点Q（0，﹣2）；假设在Γ的右支上存在点P（x0，y0），则x0＞0；∵=0，∴（x0+2）（0+2）+（y0﹣0）（﹣2﹣0）=0，整理得y0=x0+2，与双曲线方程﹣=1联立，消去y0，得2+12x0+15=0，△=24＞0，方程有实根，解得：x=＜，所以不存在点P在右支上；（3）当k=0时，直线l的方程x=2，则A（2，），B（2，﹣），由=﹣（+），∴M（1，0），则M不椭圆上，显然不存在，当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=kx+b，联立方程组，消去y，得（1﹣3k2）x2﹣6kbx﹣3b2﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1•x2=，设=（x3，y3），++4=，=﹣（+），即，又M为双曲线上一点，即x32﹣3y32=3，由（x1+x2）2﹣3（y1+y2）2=48，化简得：（x12﹣3y12）+（x22﹣3y22）+2（x1x2﹣3y1y2）=48，又A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，所以x12﹣3y12=3，x22﹣3y22=3，∴x1x2﹣3y1y2=21，由直线l过椭圆的右焦点F（2，0），则k=﹣，①而x1x2﹣3y1y2=x1x2﹣3（kx1+b）（kx2+b），=x1x2﹣3k2x1x2﹣3kb（x1+x2）﹣3b2=﹣2•﹣3b•﹣3b2=21，②由①②解得：，或，∴直线l的方程x=±y+2．方法二：设直线l的方程为x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），整理得：（m2﹣3）y2+4my+1=0，则y1+y2=﹣，y1•y2=，x1+x2=m（y1+y2）+4=﹣，x1•x2=（my1+2）（my2+2）=m2y1•y2+2m（y1+y2）+4=﹣，+=﹣4，则（x1+x2，y1+y2）=﹣4，∴，求得：x0=，y0=，由M在椭圆方程，代入，求得m2=2，解得：m=±，直线l的方程x=±y+2．【点评】本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查直线与双曲线的交点与△的关系，考查计算能力，属于难题．21．（18分）正整数列{a n}，{b n}满足：a1≥b1，且对一切k≥2，k∈N*，a k是a k﹣1与b k﹣1的等差中项，b k是a k﹣1与b k﹣1的等比中项．（1）若a2=2，b2=1，求a1，b1的值；（2）求证：{a n}是等差数列的充要条件是{a n}为常数数列；（3）记c n=|a n﹣b n|，当n≥2（n∈N*）时，指出c2+…+c n与c1的大小关系并说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）正整数列{a n}，{b n}满足：a1≥b1，且对一切k≥2，k∈N*，a k是a k﹣1与b k﹣1的等差中项，b k是a k﹣1与b k﹣1的等比中项．可得2a k=a k﹣1+b k﹣1，b k2=a k﹣1b k﹣1，对k取值即可得出．（2）{a n}是等差数列，2a k=a k﹣1+b k﹣1，2a k=a k﹣1+a k+1，可得b k﹣1=a k+1，b k=a k+2，b k2=a k﹣1b k﹣1，a k+22=a k﹣1a k+1，k=2时，a42=a1a3，（a1+3d）2=a1（a1+2d），可得d=0．即可证明．（3）对一切k≥2，k∈N*，a k是a k﹣1与b k﹣1的等差中项，b k是a k﹣1与b k﹣1的等比中项．2a n=a n﹣1+b n﹣1，b n2=a n﹣1b n﹣1，利用基本不等式的性质可得a n===b n，c n=|a n﹣b n|=a n﹣b n．可得a n+1﹣b n+1=﹣=≤（a n+b n﹣2b n）=，即．利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）正整数列{a n}，{b n}满足：a1≥b1，且对一切k≥2，k∈N*，a k是a k﹣1与b k﹣1的等差中项，b k是a k﹣1与b k﹣1的等比中项．∴2a k=a k﹣1+b k﹣1，b k2=a k﹣1b k﹣1，a2=2，b2=1，可得4=a1+b1，1=a1b1，解得a1=2+，b1=2﹣．（2）证明：{a n}是等差数列，2a k=a k﹣1+b k﹣1，2a k=a k﹣1+a k+1，可得b k﹣1=a k+1，则b k=a k+2，∵b k2=a k﹣1b k﹣1，∴a k+22=a k﹣1a k+1，k=2时，a42=a1a3，（a1+3d）2=a1（a1+2d），6a1d+9d2=2a1d，即d（4a1+9d）=0，正整数列{a n}，可知d≥0，4a1+9d＞0，∴d=0．∴数列{a n}为常数数列．反之也成立．{a n}是等差数列的充要条件是{a n}为常数数列．（3）对一切k≥2，k∈N*，a k是a k﹣1与b k﹣1的等差中项，b k是a k﹣1与b k﹣1的等比中项．2a n=a n﹣1+b n﹣1，b n2=a n﹣1b n﹣1，∴a n===b n，又已知a1≥b1，∴c n=|a n﹣b n|=a n﹣b n．∴a n+1﹣b n+1=﹣=≤（a n+b n﹣2b n）=，即．∴≤…≤，∴c2+…+c n≤+…+=≤c1．∴当n≥2（n∈N*）时，c2+…+c n≤c1．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、基本不等式的性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
【上海中学年】2017学年高考模拟数学年试题(一)答案
上海中学2017年高考模拟数学试卷（一）一、填空题1．定义在R 上的奇函数()f x 以2为周期，则(1)f =________．2．如果复数1i 1ib ++(b ∈R )的实部和虚部互为相反数，则b 等于________． 3．若12x n +()展开式中含3x 项的系数等于含x 项系数的8倍，则正整数n =________．4．(文)若126x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为________．5．已知0a <，则关于x 的不等式31a x a>+的解集为________． 6．点P 是椭圆2212516x y +=上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，且12PF F △的内切圆半径为1，当P 在第一象限内时，P 点的纵坐标为________．7．数列{}n a 满足：1213nn nn a n ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，为奇数，为偶数.，它的前n 项和记为n S ，则lim n n S →∞=________． 8．某市为加强城市圈的建设，计划对周边如图所示的A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 八个中小城市进行综合规划治理，第一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A 被选中的概率为________．92kx -仅有一个实数根，则k 的取值范围是________．10．在ABC △中，已知||2AB =，22||1||2BC CA =，则ABC △面积的最大值为________． 11．如图为一几何体的展开图，其中ABCD 是边长为6的正方形，6SD PD ==，CR SC =，AQ AP =，点S ，D ，A ，Q 及P ，D ，C ，R 共线，沿图中虚线将它们折叠，使P ，Q ，R ，S 四点重合，则需要________个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．12．若函数(1)y ax a =>和它的反函数的图象与函数1y x=的图象分别交于点A 、B ，若||AB =则a 约等于________（精确到0.1）．13．老师告诉学生小明说，“若O 为ABC △所在平面上的任意一点，且有等式c o s C c o s B ()||||AB AC OP OA AB AC =++，则P 点的轨迹必过ABC △的垂心”，小明进一步思考何时P 点的轨迹会通过ABC △的外心，得到的条件等式应为OP =________．（用O ，A ，B ，C 四个点所构成的向量和角A ，B ，C 的三角函数以及表示）二、选择题14．若函数cos2y x =与函数()sin y x =+在区间π[0]2，上的单调性相同，则的一个值是（ ） A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π215．△ABC 中，π3A =，3BC =，则△ABC 的周长为（ ）A ．π)33B ++ B ．π)36B ++C ．π6sin()33B ++ D ．π6sin()36B ++ 16．若点1(,)M a b和1(,)N b c 都在直线l ：1x y +=上，则点1(,)P c a ，1()Q b c ，和l 的关系是（ ） A ．P 和Q 都在l 上 B ．P 和Q 都不在l 上 C ．P 在l 上，Q 不在l 上 D ．P 不在l 上，Q 在l 上 17．数列{}n a 满足：114a =，215a =，且1223111n n n a a a a a a na a ++⋯++=+对任何的正整数n 都成立，则1297111...a a a +++的值为（） A ．5 032B ．5 044C ．5 048D ．5 050三、解答题 18．已知函数2cos cos 3()()2f x x x x x =-+∈∈R R ，的最小正周期为π，且当π6x =时，函数有最小值．（1）求()f x 的解析式；（2）作出()f x 在[0,π]范围内的大致图象．19．设虚数z 满足|215|10|z z +=+．（1）计算||z 的值；（2）是否存在实数a ，使z a a z+∈R ？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 20．如图所示，已知斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各棱长均为2，侧棱与底面所成角为π3，且侧面ABB 1A 1垂直于底面．（1）判断B 1C 与C 1A 是否垂直，并证明你的结论；（2）求四棱锥B ﹣ACC 1A 1的体积．21．在新的劳动合同法出台后，某公司实行了年薪制工资结构改革．该公司从2008年起，每人的工资由三个项目构成，并按下表规定实施：如果该公司今年有5位职工，计划从明年起每年新招5名职工．（1）若今年算第一年，将第n 年该公司付给职工工资总额y (万元)表示成年限n 的函数；（2）若公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和总不会超过基础工资总额的p %，求p 的最小值．22．已知函数||2()()f x x b c =+-，函数()g x x m =+．（1）当2b =，4m =-时，()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围；（2）当3c =-，2m =-时，方程()()f x g x =有四个不同的解，求实数b 的取值范围．23．若给定椭圆C ：221ax by +=（0a >，0b >，a b ≠）和点00()N x y ，，则称直线l ：001ax x by y +=为椭圆C 的“伴随直线”．（1）若00()N x y ，在椭圆C 上，判断椭圆C 与它的“伴随直线”的位置关系）当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；（2）命题：“若点00()N x y ，在椭圆C 的外部，则直线l 与椭圆C 必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；（3）若00()N x y ，在椭圆C 的内部，过N 点任意作一条直线，交椭圆C 于A 、B ，交l 于M 点（异于A 、B ），设1MA AN =，2MB BN =，问12+是否为定值？说明理由．。
2017年上海高三数学一模基础题
一. 填空题1. 若“a b >”，则“33a b >”是 命题（填：真、假）2. 已知(,0]A =-∞，(,)B a =+∞，若A B R =U ，则a 的取值范围是3. 294z z i +=+（i 为虚数单位），则||z =4. 若△ABC 中，4a b +=，30C ︒∠=，则△ABC 面积的最大值是5. 若函数2()log 1x a f x x -=+的反函数的图像过点(2,3)-，则a = 6. 若半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60︒，则该 截面的面积是二. 选择题13. 若a r 与b c -r r 都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅r r r r ”是“()a b c ⊥-r r r ”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要14. 行列式147258369中，元素7的代数余子式的值为（ ）A. 15-B. 3-C. 3D. 12一. 填空题 1. 25lim 1n n n →∞-=+ 2. 已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点(1,3)M ，则 其焦点到准线的距离为3. 若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫⎪⎝⎭，解为21x y =⎧⎨=⎩，则a b +=4. 若复数z 满足：i z i ⋅=（i 是虚数单位），则||z = 5. 在622()x x +的二项展开式中第四项的系数是 （结果用数值表示）6. 在长方体1111ABCD A B C D -中，若1AB BC ==，1AA ，则异面直线1BD 与1CC 所成角的大小为二. 选择题13. “4x k ππ=+()k Z ∈”是“tan 1x =”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要14. 若1（i 是虚数单位）是关于x 的方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A. 2b =，3c =B. 2b =，1c =-C. 2b =-，1c =-D. 2b =-，3c =三. 解答题17. 已知PA ⊥平面ABC ，AC AB ⊥，2AP BC ==，30CBA ︒∠=，D 是AB 的中点；（1）求PD 与平面PAC 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求△PDB 绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体的体积；（结果保留π）上海市长宁、嘉定区2017届高三一模数学试卷一. 填空题1. 设集合{||2|1,}A x x x R =-<∈，集合B Z =，则A B =I2. 函数sin()3y x πω=-（0ω>）的最小正周期是π，则ω=3. 设i 为虚数单位，在复平面上，复数23(2)i -对应的点到原点的距离为 4. 若函数2()log (1)f x x a =++的反函数的图像经过点(4,1)，则实数a =5. 已知(3)n a b +展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n =6. 甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的 选法有 种；7. 若圆锥的侧面展开图是半径为2cm ，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为 3cm二. 选择题13. “2x <”是“24x <”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 若无穷等差数列{}n a 的首项10a <，公差0d >，{}n a 的前n 项和为n S ，则以下结论 中一定正确的是（ ）A. n S 单调递增B. n S 单调递减C. n S 有最小值D. n S 有最大值三. 解答题18. 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且28sin2cos 272B C A +-=； （1）求角A 的大小；（2）若a =3b c +=，求b 和c 的值；一. 填空题1. 若集合2{|,}A x y x y R ==∈，{|sin ,}B y y x x R ==∈，则A B =I2. 若22ππα-<<，3sin 5α=，则cot 2α= 3. 函数2()1log f x x =+（1x ≥）的反函数1()f x -=4. 若550125(1)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则125a a a ++⋅⋅⋅+=5. 设k R ∈，2212y x k k -=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是 6. 设m R ∈，若23()(1)1f x m x mx =+++是偶函数，则()f x 的单调递增区间是7. 方程22log (95)2log (32)x x -=+-的解x = 二. 选择题13. 若0a b <<，则下列不等关系中，不能成立的是（ ）A. 11a b> B. 11a b a >- C. 1133a b < D. 22a b > 14. 设无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S ，则“11a q +=”是 “lim 1n n S →∞=”成立的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要三. 解答题17. 已知a R ∈，函数1()||f x a x =+； （1）当1a =时，解不等式()2f x x ≤；（2）若关于x 的方程()20f x x -=在区间[2,1]--上有解，求实数a 的取值范围；一. 填空题1. 复数(2)i i +的虚部为2. 设函数2log ,0()4,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则((1))f f -= 3. 已知{||1|2,}M x x x R =-≤∈，1{|0,}2x P x x R x -=≥∈+，则M P =I 4. 抛物线2y x =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为5. 已知无穷数列{}n a 满足112n n a a +=*()n N ∈，且21a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和， 则lim n n S →∞= 6. 已知,x y R +∈，且21x y +=，则xy 的最大值为7. 已知圆锥的母线10l =，母线与旋转轴的夹角30α︒=，则圆锥的表面积为二. 选择题13. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A. tan y x =B. 3x y =C. 13y x =D. lg ||y x =14. 设,a b R ∈，则“21a b ab +>⎧⎨>⎩”是“1a >且1b >”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要三. 解答题17. 在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，12BB =，求：（1）异面直线11B C 与1A C 所成角的大小；（2）四棱锥111A B BCC -的体积；一. 填空题 1. 23lim 1n n n →∞+=+ 2. 设全集U R =，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =≥，则U A C B =I3. 不等式102x x +<+的解集为 4. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为 5. 设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =6. 若函数cos sin sin cos x xy x x =的最小正周期为a π，则实数a 的值为7. 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为8. 已知向量(1,2)a =r ，(0,3)b =r ，则b r 在a r 的方向上的投影为二. 选择题13. 设a R ∈，则“1a =”是“复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人， 为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120 人，则该样本中的高二学生人数为（ ）A. 80B. 96C. 108D. 110三. 解答题18. 已知椭圆C 的长轴长为(2,0)-；（1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||AB =试求直线l 的倾斜角；一. 填空题1. 设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =I2. 已知a 、b R ∈，i 是虚数单位，若2a i bi +=-，则2()a bi +=3. 已知函数()1x f x a =-的图像经过(1,1)点，则1(3)f-=4. 不等式|1|0x x ->的解集为5. 已知(sin ,cos )a x x =r ，(sin ,sin )b x x =r ，则函数()f x a b =⋅r r 的最小正周期为6. 里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道，在由2名中国运动员和6 名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为二. 选择题13. 已知a 、b R ∈，则“0ab >”是“2b a a b+>”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在截面1A DB 上，则线段AP 的最小值为（ ）A.13 B. 12C. D. 2三. 解答题17. 如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==，E 是棱PC 的中点；（1）求证：PC BD ⊥；（2）求直线BE 与PA 所成角的余弦值；一. 填空题1. 已知集合{2,1}A =--，{1,2,3}B =-，则A B =I2. 已知复数z 满足(1)2z i -=，其中i 是虚数单位，则z =3. 方程lg(3)lg 1x x -+=的解x =4. 已知()log a f x x =(0,1)a a >≠，且1(1)2f --=，则1()f x -=5. 若对任意正实数x ，不等式21x a ≤+恒成立，则实数a 的最小值为6. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆2215x y +=的右焦点重合，则p = 7. 中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为二. 选择题13. 对于常数m 、n ，“0mn <”是“方程221mx ny +=表示的曲线是双曲线”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 若方程()20f x -=在(,0)-∞内有解，则()y f x =的图像可能是（ ）A. B. C. D.三. 解答题 17. 已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M 是母线PA 的中点，AB 是底面圆的直 径，点C 是弧AB 的中点；（1）求三棱锥P ACO -的体积；（2）求异面直线MC 与PO 所成的角；一. 填空题1. 已知复数2z i =+（i 为虚数单位），则2z =2. 已知集合1{|216}2x A x =≤<，22{|log (9)}B x y x ==-，则A B =I 3. 在二项式62()x x +的展开式中，常数项是4. 等轴双曲线222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，且||AB = 则该双曲线的实轴长等于5. 若由矩阵2222a x a a y a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭表示x 、y 的二元一次方程组无解，则实数a = 7. 若圆锥侧面积为20π，且母线与底面所成角为4arccos 5，则该圆锥的体积为 二. 选择题13. 已知()sin3f x x π=，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，现从集合A 中任取两个不同元素s 、t ， 则使得()()0f s f t ⋅=的可能情况为（ ） A. 12种 B. 13种 C. 14种 D. 15种三. 解答题18. 已知函数22()cos ()4f x x x π=+-（x R ∈）； （1）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值；（2）在ABC ∆中，若A B <，且1()()2f A f B ==，求BC AB 的值；上海市浦东新区2017届高三一模数学试卷一. 填空题1. 已知U R =，集合{|421}A x x x =-≥+，则U C A =2. 三阶行列式351236724---中元素5-的代数余子式的值为 3. 8(1)2x -的二项展开式中含2x 项的系数是4. 已知一个球的表面积为16π，则它的体积为5. 一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球，这些球的质地和形状一样，从中 任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是6. 已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6，则b =7. 若复数(1)(2)ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a =8.函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期为二. 选择题 13. 将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（ ） A. cos(2)3y x π=+ B. cos(2)6y x π=+ C. cos(2)3y x π=- D. cos(2)6y x π=- 三. 解答题17. 在长方体1111ABCD A B C D -中（如图），11AD AA ==，2AB =，点E 是棱AB 中点；（1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体成为鳖臑，试问四面体1D CDE 是否为鳖臑？并说明理由；上海市闵行区2017届高三一模数学试卷一. 填空题1. 方程lg(34)1x +=的解x =2. 若关于x 的不等式0x a x b->-（,a b R ∈）的解集为(,1)(4,)-∞+∞U ，则a b += 3. 已知数列{}n a 的前n 项和为21n n S =-，则此数列的通项公式为4. 函数()1f x =的反函数是 5. 6(12)x +展开式中3x 项的系数为 （用数字作答）6. 如图，已知正方形1111ABCD A B C D -，12AA =，E 为棱1CC 的中点，则三棱锥1D ADE -的体积为二. 选择题13. 若a 、b 为实数，则“1a <”是“11a>”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要14. 若a 为实数，(2)(2)4ai a i i +-=-（i 是虚数单位），则a =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2三. 解答题18. 已知m =u r ，2(cos ,sin )2A n A =r ，A 、B 、C 是ABC ∆的内角； （1）当2A π=时，求||n r 的值； （2）若23C π=，||3AB =，当m n ⋅u u r r 取最大值时，求A 的大小及边BC 的长；上海市虹口区2017届高三一模数学试卷一. 填空题1. 已知集合{1,2,4,6,8}A =，{|2,}B x x k k A ==∈，则A B =I2. 已知21z i i=+-，则复数z 的虚部为 3. 设函数()sin cos f x x x =-，且()1f a =，则sin 2a =4. 已知二元一次方程111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是111113-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则此方程组的解是 5. 数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是它前n 项和，则2lim nn n S a →∞= 6. 已知角A 是ABC ∆的内角，则“1cos 2A =”是“sin A =”的 条件（填“充 分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）7. 若双曲线2221y x b -=的一个焦点到其渐近线距离为，则该双曲线焦距等于 二. 选择题14. 已知函数()sin(2)3f x x π=+在区间[0,]a （其中0a >）上单调递增，则实数a 的取值 范围是（ ）A. 02a π<≤ B. 012a π<≤ C. 12a k ππ=+，*k N ∈ D. 2212k a k πππ<≤+，k N ∈三. 解答题 17. 在正三棱锥P ABC -中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4；（1）求证：PA BC ⊥；（2）求此三棱锥的全面积和体积；一. 填空题1. “0x <”是“x a <”的充分非必要条件，则a 的取值范围是2. 函数2()13sin ()4f x x π=-+的最小正周期为3. 若复数z 为纯虚数，且满足(2)i z a i -=+（i 为虚数单位），则实数a 的值为4. 二项式251()x x +的展开式中，x 的系数为5. 用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为 立方米6. 已知α为锐角，且3cos()45πα+=，则sin α= 二. 选择题11. 若空间三条直线a 、b 、c 满足a b ⊥，b c ⊥，则直线a 与c （ ）A. 一定平行B. 一定相交C. 一定是异面直线D. 平行、相交、是异面直线都有可能 12. 在无穷等比数列{}n a 中，121lim()2n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=，则1a 的取值范围是（ ） A. 1(0,)2 B. 1(,1)2 C. (0,1) D. 11(0,)(,1)22U 三. 解答题16. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，AB a =，12AA a =，E 、F 分别是棱AD 、CD 的中点；（1）求异面直线1BC 与EF 所成角的大小；（2）求四面体1CA EF 的体积；一. 填空题1. 若集合2{|20}M x x x =-<，{|||1}N x x =>，则M N =I2. 若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =3. 如果5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值是 4. 函数cos sin ()sin cos x xf x x x=的最小正周期是 5. 函数()2x f x m =+的反函数为1()y f x -=，且1()y f x -=的图像过点(5,2)Q ，那么m =6. 点(1,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 二. 选择题13. 给定空间中的直线l 与平面α，则“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于平面α上 无数条直线”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分也不必要14. 已知x 、y R ∈，且0x y >>，则（ ）A. 110x y ->B. 11()()022x y -< C. 22log log 0x y +> D. sin sin 0x y ->三. 解答题18. 已知△ABC 中，1AC =，23ABC π∠=，设BAC x ∠=，记()f x AB BC =⋅u u u r u u u r ； （1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）试写出函数()f x 的单调递增区间，并求方程1()6f x =的解；。
2017徐汇区中考数学一模试题及详解
2017年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．如果2x=3y，那么下列各式中正确的是（）A． =B． =3 C． = D． =2．如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（）A．B．C．D．3．如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2（x ﹣1）2，那么原抛物线的表达式是（）A．y=2（x﹣3）2﹣2 B．y=2（x﹣3）2+2 C．y=2（x+1）2﹣2 D．y=2（x+1）2+24．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（）A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC5．一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是（）A．6000米B．1000米C．2000米D．3000米6．已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b= ．8．点C是线段AB延长线的点，已知=， =，那么= ．9．如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．10．如果两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是．11．如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式，你的结论是：．12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是．13．正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，如果DE=1，那么AF= ．14．已知抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a= ．15．如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB的长是．16．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，如果△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是．17．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD翻折，点A落在点E处，那么AE的长是．18．如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值为．三、解答题：（本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．20．将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．21．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=， =．求：（1）向量（用向量、表示）；（2）tanB的值．22．如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根号）；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据： =1.41， =1.73）23．如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．（1）求证：DE∥AB；（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．24．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）联结CD、BC，求∠DBC余切值；（3）设点M在线段CA延长线，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．25．如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．2017年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．如果2x=3y，那么下列各式中正确的是（）A． =B． =3 C． = D． =【考点】比例的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的是哪个即可．【解答】解：∵2x=3y，∴=，∴选项A不正确；∵2x=3y，∴=，∴==3，∴选项B正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴选项C不正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴∴选项D不正确．故选：B．【点评】此题主要考查了比例的性质和应用，要熟练掌握．2．如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（）A．B．C．D．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据坡比=坡角的正切值，设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，由勾股定理求出斜边，进而可求出斜坡坡角的余弦值．【解答】解：如图所示：由题意，得：tanα=i==，设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，则斜边==13x，则cosα==．故选D．【点评】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键．3．如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2（x ﹣1）2，那么原抛物线的表达式是（）A．y=2（x﹣3）2﹣2 B．y=2（x﹣3）2+2 C．y=2（x+1）2﹣2 D．y=2（x+1）2+2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案．【解答】解：一条抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式为y=2（x﹣1）2，抛物线的表达式为y=2（x﹣1）2，左移2个单位，下移2个单位得原函数解析式y=2（x+1）2﹣2，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（）A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC【考点】相似三角形的判定．【分析】根据题意画出图形，再由相似三角形的判定定理进行解答即可．【解答】解：如图，A、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故本选项错误；B、∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；C、∵AE：AD=AB：AC，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；D、AE：DE=AC：BC不能使△ADE和△ABC相似，故本选项正确．故选D．【点评】此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．5．一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是（）A．6000米B．1000米C．2000米D．3000米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意可构造直角三角形，利用所给角的正弦函数即可求解．【解答】解：如图所示：由题意得，∠CAB=60°，BC=3000米，在Rt△ABC中，∵sin∠A=，∴AC===2000米．故选C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是借助俯角构造直角三角形，并结合三角函数解直角三角形．6．已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2【考点】二次函数的性质．【分析】把抛物线化为顶点式可求得开口方向及对称轴，再利用增减性可得到关于x的不等式，可求得答案．【解答】解：∵y=﹣2x2+4x﹣3=﹣2（x﹣1）2﹣1，∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，∴当x≥1时，y随x的增大而减小，故选A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k 中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b= 6 ．【考点】比例线段．【分析】根据比例中项的定义，若b 是a ，c 的比例中项，即b 2=ac ．即可求解．【解答】解：若b 是a 、c 的比例中项，即b 2=ac ．则b===6． 故答案为：6．【点评】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．8．点C 是线段AB 延长线的点，已知=， =，那么= ﹣ ． 【考点】*平面向量．【分析】根据向量、的方向相反进行解答．【解答】解：如图，向量、的方向相反，且=， =，所以=+=﹣．故答案是：﹣．【点评】本题考查了平面向量，注意向量既有大小，又有方向．9．如图，AB ∥CD ∥EF ，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵AC=2，AE=5.5，∴CE=3.5，AB ∥CD ∥EF ，∴，∴BD=，故答案为：．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．10．如果两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是：2 ．【考点】相似三角形的性质．【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线比是：2，∴它们的周长比为：2．故答案为：：2．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比是解答此题的关键．11．如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式，你的结论是：AP2=BP•AB ．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割的概念解答即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴AP2=BP•AB，故答案为：AP2=BP•AB．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．12．在Rt△ABC中，∠A CB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】求出∠A=∠BCD，根据锐角三角函数的定义求出tan∠BCD即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠A=∠BCD，∴tanA=tan∠BCD==，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，则sinA=，cosA=，tanA=．13．正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，如果DE=1，那么AF=．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】由四边形ABCD为正方形即可得出∠A=∠ADC=90°、AB∥CD，根据平行线的性质以及邻补角即可得出∠EDF=∠A、∠ABF=∠DEF，从而得出△ABF∽△DEF，再根据相似三角形的性质即可得出==3，结合AF+DF=AD=3即可求出AF的长度，此题得解．【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠ADC=90°，AB∥CD，∴∠EDF=180°﹣∠ADC=90°=∠A，∠ABF=∠DEF，∴△ABF∽△DEF，∴==3，∵AF+DF=AD=3，∴AF=AD=．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、平行线的性质以及邻补角，通过两组相等的角证出△ABF∽△DEF是解题的关键．14．已知抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a= ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】首先利用配方法确定函数的顶点坐标，根据顶点C的纵坐标是﹣2，即可列方程求得a的值．【解答】解：y=ax2﹣4ax=a（x2﹣4x+4）﹣4a=a（x﹣2）2﹣4a，则顶点坐标是（2，﹣4a），则﹣4a=﹣2，解得a=．故答案是：．【点评】本题考查了配方法确定函数的顶点坐标，正确进行配方是关键．15．如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB的长是．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；矩形的性质．【分析】作辅助线，构建相似三角形，证明△ABE∽△BCF，列比例式求BE的长，利用勾股定理可以求AB的长．【解答】解：过A作AE⊥BM于E，过C作CF⊥BM于F，则CF=1，AE=2，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CB E=90°，∴∠BAE=∠CBE，∴△ABE∽△BCF，∴，∴，∴BE=，在Rt△ABE中，AB==，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、两平行线的距离以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．16．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，如果△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是16 ．【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【分析】如图，设△AOD的面积为x，则△ODC的面积为4﹣x．由AD∥BC，推出△AOD∽△COB，可得=（）2，因为=，得到=（）2，解方程即可．【解答】解：如图，设△AOD的面积为x，则△ODC的面积为4﹣x．∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴=（）2，∵=，∴=（）2，解得x=1或16（舍弃），∵S△ABD=S△ADC=1，∴S△AOB=S△DOC=3，∴梯形ABCD的面积=1+3+3+9=16，故答案为16．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、梯形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．17．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD翻折，点A落在点E处，那么AE的长是2．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【分析】由勾股定理求AB=4，再根据旋转的性持和角平分线可知：点A的对应点E在直线CB上，BE=2，利用勾股定理可求AE的长．【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，∴将△ABC沿直线CD翻折，点A的对应点E在直线CB上，∵∠ABC=90°，AC=5，BC=3，∴AB=4，由旋转得：EC=AC=5，∴BE=5﹣3=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE===2，故答案为：2．【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理，明确折叠前后的两个角相等，两边相等；在图形中确定直角三角形，如果知道了一个直角三角形的两条边，可以利用勾股定理求第三边．18．如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值为．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．根据•AP•BE=•DF•AQ，利用勾股定理求出BE、DF即可解决问题．【解答】解：如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD=120°，∴S△ABE=S△ADF=S平行四边形ABCD，在Rt△CDH中，∵∠H=90°，CD=AB=2a，∠DCH=60°，∴CH=a，DH=a，在Rt△DFH中，DF===2a，在Rt△ECG中，∵CE=a，∴CG=a，GE=a，在Rt△BEG中，BE===a，∴•AP•BE=•DF•AQ，∴==，故答案为．【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法求线段的长，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．三、解答题：（本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】首先根据特殊角的三角函数进行代入，然后再根据绝对值的性质计算绝对值，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=2×﹣|1|+，=+1+，=﹣2﹣3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．20．将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．【分析】（1）首先求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式，利用配方法求得D 的坐标，令y=0求得C的横坐标，令y=0，解方程求得B的横坐标；（2）过D作DA⊥y轴于点A，然后根据S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC求解．【解答】解：（1）抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是y=x2﹣4x+4﹣9，即y=x2﹣4x﹣5．y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，则D的坐标是（2，﹣9）．在y=x2﹣4x﹣5中令x=0，则y=﹣5，则C的坐标是（0，﹣5），令y=0，则x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或5，则B的坐标是（5，0）；（2）过D作DA⊥y轴于点A．则S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC=（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．【点评】本题考查了配方法确定二次函数的顶点坐标，以及函数与x轴、y轴的交点的求法，正确求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是关键．21．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=， =．求：（1）向量（用向量、表示）；（2）tanB的值．【考点】*平面向量；梯形；解直角三角形．【分析】（1）首先证明四边形ABED是平行四边形，推出DE=AB，推出==， ==，=+．（2）由△DFC∽△BAC，推出==，求出BC，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，根据AC===2，由tanB=，即可解决问题．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴AC平分∠DCB，∴∠DCA=∠ACB，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC，∵DE∥AB，AB⊥AC，∴DE⊥AC，∴AF=CF，∴BE=CE，∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，∴==， ==，∴=+．（2）∵∠DCF=∠ACB，∠DFC=∠BAC=90°，∴△DFC∽△BAC，∴==，∵CD=AD=3，∴BC=6，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，∴AC===2，∴tanB===．【点评】本题考查平面向量、梯形、解直角三角形、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于基础题．22．如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根号）；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据： =1.41， =1.73）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】（1）首先过点C作CD⊥AB于D，构建直角△ACD，通过解该直角三角形得到CD的长度即可；（2）通过解直角△BCD来求BC的长度．【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意，得∠ACD=30°．在直角△ACD中，∠ADC=90°，∴cos∠ACD=，∴CD=AC•cos30°=120×=60（海里）；（2）在直角△BCD中，∠BDC=90°，∠DCA=45°，∴cos∠BCD=，∴BC===60≈60×2.44=146.4（海里），∴146.4÷20=7.32≈7.3（小时）．答：（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离是60海里；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间约为7.3小时．【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意将方向角问题转化为解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．23．如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．（1）求证：DE∥AB；（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据已知条件得到，根据等腰三角形的判定定理得到AD=BD，等量代换即可得到结论；（2）由BD是DF和AB的比例中项，得到BD2=DF•AB，等量代换得到AD2=DF•AB，推出=，根据相似三角形的性质得到==1，于是得到结论．【解答】证明：（1）∵AE•CD=AD•CE，∴，∵∠DAB=∠B，∴AD=BD，∴，∴DE∥AB；（2）∵BD是DF和AB的比例中项，∴BD2=DF•AB，∵AD=BD，∴AD2=DF•AB，∴=，∵DE∥AB，∴∠ADF=∠BAD，∴△ADF∽△DBA，∴==1，∴DF=AF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）联结CD、BC，求∠DBC余切值；（3）设点M在线段CA延长线，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据题意求出点C的坐标、点B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据二次函数的性质求出顶点坐标；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠DCB=90°，根据余切的定义计算即可；（3）运用待定系数法求出直线CA的解析式，设点M的坐标为（x，3x+3），根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠BME，根据等腰三角形的性质得到BM=BC，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵已知抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，∴点C的坐标为：（0，3），∵OB=OC，∴点B的坐标为：（3，0），∴﹣9+3b+3=0，解得，b=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）如图1，作DH⊥y轴于H，则CH=DH=1，∴∠HCD=∠HDC=45°，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠DCB=90°，∴cot∠DBC===3；（3）﹣x2+2x+3=0，解得，x1=﹣1，x2=3，∴点A的坐标为：（﹣1，0），∴=，又=，∴=，∴Rt△AOC∽Rt△DCB，∴∠ACO=∠DBC，∵∠ACB=∠ACO+45°=∠DBC+∠E，∴∠E=45°，∵△EBM和△ABC相似，∠E=∠ABC=45°，∴∠ACB=∠BME，∴BM=BC，设直线CA的解析式为：y=kx+b，则，解得，，则直线CA的解析式为：y=3x+3，设点M的坐标为（x，3x+3），则（x﹣3）2+（3x+3）2=18，解得，x1=0（舍去），x2=﹣，x2=﹣时，y=﹣，∴点M的坐标为（﹣，﹣）．【点评】本题考查的是二次函数的综合运用、相似三角形的判定和性质，掌握二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．25．如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．【考点】三角形综合题；等腰梯形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】（1）过点D作DF∥AC，交BP于F，根据平行线分线段成比例定理，可得EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，进而根据DF∥AC，求得y=，定义域为：0＜x＜3；（2）当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，分三种情况讨论：①当PB=BC时，②当PC=BC=2时，③当PC=PB时，分别求得BD的长即可；（3）先根据已知条件判定四边形BCED是等腰梯形，判定△BDQ∽△QEC，得出=，即2DQ2=x2，再根据DE∥BC，得出=，即=，求得x的值即可．【解答】解：（1）如图所示，过点D作DF∥AC，交BP于F，则根据QE=2DQ，可得==，又∵DE∥BC，∴==1，∴EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，∵DF∥AC，∴=，即=，∴y=，定义域为：0＜x＜3；（2）∵DE∥BC，∴△PEQ∽△PBC，∴当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，①当PB=BC时，△ABC∽△BPC，∴BC2=CP•AC，即4=3（3﹣y），解得y=，∴=，解得x==BD；②当PC=BC=2时，AP=y=1，∴=1，解得x==BD；③当PC=PB时，点P与点A重合，不合题意；（3）∵DE∥BC，∴∠BDQ+∠CBD=180°，又∵∠CQB和∠CBD互补，∴∠CQB+∠CBD=180°，∴∠CQB=∠BDQ，∵BD=CE，∴四边形BCED是等腰梯形，∴∠BDE=∠CED，∴∠CQB=∠CED，又∵∠DQB+∠CQB=∠ECQ+∠CED，∴∠DQB=∠ECQ，∴△BDQ∽△QEC，∴=，即2DQ2=x2，∴DQ=，DE=，∵DE∥BC，∴=，即=，解得x=．【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例进行求解．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．。
17徐汇2016届高三一模数学卷(文理、附答案)
上海市徐汇区2016届高三一模数学试卷2016.01一. 填空题（本大题共14题，每题4分，共56分）1. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的标准方程是 ；2. 方程2log (35)2x-=的解是 ；3. 设3n n a -=*()n N ∈，则数列{}n a 的各项和为 ；4.（文）函数()sin(2)4f x x π=-()x R ∈的单调递增区间是 ；（理）函数2cos 3sin cos y x x x =+的最小值为 ；5. 若函数()f x 的图像与对数函数4log y x =的图像关于直线0x y +=对称，则()f x 的解 析式为()f x = ；6. 若函数2()|4|f x x x a =--的零点个数为4，则实数a 的取值范围为 ；7. 若,x y R +∈，且191x y+=，则x y +的最小值是 ； 8. 若三条直线30ax y ++=，20x y ++=和210x y -+=相交于一点，（文）则行列式111a 的值为 ；（理）则行列式13112211a-的值为 ；9.（文）在△ABC 中，2BC =，3AB =，则角C 的取值范围是 ；（理）32(21)(34)x x x +++展开后各项系数的和等于 ； 10. 已知四面体ABCD 的外接球球心O 在棱CD 上，3AB =，2CD =，则A 、B 两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是 ； 11.（文）同9（理）；（理）函数2()1f x x =-定义域为D ，值域为{1,0,1}-，则这样的集合D 最多有 个； 12.（文）函数2()1f x x =-定义域为D ，值域为{0,1}，这样的集合D 最多有 个； （理）正四面体的四个面上分别写有数字0、1、2、3，把两个这样的四面体抛在桌面上， 则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为 ； 13.（文）同12（理）；（理）设1x 、2x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，212x x 是实数，则24816321111112222221()()()()()x x x x x x S x x x x x x =++++++= ；14.（文）同13（理）；（理）已知O 是锐角△ABC 的外心，1tan 2A =，若cos cos 2sin sin B CAB AC m AO C B⋅+⋅=⋅， 则实数m = ；二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）15. 已知向量a 与b 不平行，且||||0a b =≠，则下列结论中正确的是（ ） A. 向量a b +与a b -垂直 B. 向量a b -与a 垂直 C. 向量a b +与a 垂直 D. 向量a b +与a b -平行 16. 设,a b 为实数，则“01ab <<”是“1b a<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件17. 设,x y 均是实数，i 是虚数单位，复数(2)(52)x y x y i -+--的实部大于0，虚部不小 于0，则复数z x yi =+在复平面上的点集用阴影表示为下图中的（ ）A. B. C. D.18. 设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当122x x a +=时，恒有1()f x2()2f x b +=，则称点(,)a b 为函数()y f x =图像的对称中心；研究()sin 3f x x x π=+-的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到123()()()201620162016f f f +++ 40304031...()()20162016f f ++的值为（ ） A. 4031- B. 4031 C. 8062- D. 8062三. 解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）19. 在三棱锥S ABC -中，SA AB ⊥，SA AC ⊥，AC BC ⊥且2AC =，13BC =，29SB =；求证：SC BC⊥并求三棱锥的体积S ABC V -；20.（文）已知函数2()sin 2sin 2cos 2f x x x x =-；（1）化简函数()f x 的表达式，并求函数()f x 的最小正周期； （2）若点00(,)A x y 是()y f x =图像的对称中心，且0[0,]2x π∈，求点A 的坐标；（理）已知实数x 满足2421111()()()03339x x x ----+≤且22()log log22x xf x =⋅；（1）求实数x 的取值范围；（2）求()f x 的最大值和最小值，并求此时x 的值；21.（文）已知实数x 满足2411033903x x ---⋅+≤且22()log log22x xf x =⋅； （1）求实数x 的取值范围；（2）求()f x 的最大值和最小值，并求此时x 的值；（理）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题；某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A 、B 及CD 的中点P 处，30AB km =，15BC km =，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A 、B 等距离的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO 、BO 、PO ；设BAO x ∠=弧度，排污管道的总长度为ykm（1）将y 表示为x 的函数：（2）试确定O 点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数； （精确到0.01km ）22.（文）数列{}n a 满足15a =，且123111112...n na a a a a -++++=*(2,)n n N ≥∈； （1）求2a 、3a 、4a ； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）令112nn na b a =-，求数列{}n b 的最大值与最小值；（理）给定数列{}n a ，记数列前i 项12,,...,i a a a 中的最大项为i A ，即12max{,,...,}i i A a a a =；该数列后n i -项12,,...,i i n a a a ++中的最小项为i B ，即12min{,,...,}i i i n B a a a ++=；i i i d A B =-(1,2,3,...,1)i n =-；（1）对于数列：3、4、7、1，求出相应的1d 、2d 、3d ；（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意*n N ∈，有21(1)33n n S a n λλ-=-++，其 中λ为实数，0λ>且13λ≠，1λ≠； ① 设23(1)n n b a λ=+-，证明数列{}n b 是等比数列；② 若数列{}n a 对应的i d 满足1i i d d +>对任意的正整数1,2,3,...,2i n =-恒成立，求实数λ的取值范围；23.（文）某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t (025)t <≤；曲线BC 是抛物线250y ax =-+(0)a >的一部分，CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 半径，假定拟建体育馆高50OB =米；（1）若20t =，149a =，求CD 、AD 的长度； （2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围；（3）若125a =，求AD 的最大值；（理）已知直线1l 、2l 与曲线22:1W mx ny +=(0,0)m n >>分别相交于点A 、B 和C 、D ，我们将四边形ABCD 称为曲线W 的内接四边形；（1）若直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1W x y +=分成长度相等的四段弧，求22a b +的值；（2）若直线1:210l y x =-，2:210l y x =+与圆22:4W x y +=分别交于点A 、B 和C 、D ，求证：四边形ABCD 为正方形；（3）求证：椭圆22:12x W y +=的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积；。
2017年上海市徐汇区中考数学一模试卷
2017年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．（4分）如果2x=3y （x 、y 均不为0），那么下列各式中正确的是（ ）A ．x y =23B ．x x−y =3C ．x +y y =53D ．x x +y =252．（4分）如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（ ）A ．125B ．512C ．513D ．12133．（4分）如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2（x ﹣1）2，那么原抛物线的表达式是（ ）A ．y=2（x ﹣3）2﹣2B ．y=2（x ﹣3）2+2C ．y=2（x +1）2﹣2D ．y=2（x +1）2+24．（4分）在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，联结DE ，那么下列条件中不能判断△ADE 和△ABC 相似的是（ ）A ．DE ∥BCB ．∠AED=∠BC ．AE ：AD=AB ：ACD ．AE ：DE=AC ：BC5．（4分）一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是（ ）A ．6000米B ．1000 3米C ．2000 3米D ．3000 3米6．（4分）已知二次函数y=﹣2x 2+4x ﹣3，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥0C ．x ≥﹣1D ．x ≥﹣2二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知线段a=9，c=4，如果线段b 是a 、c 的比例中项，那么b= ．8．（4分）点C 是线段AB 延长线的点，已知AB →=a →，CB →=b →，那么AC →= ．9．（4分）如图，AB ∥CD ∥EF ，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．10．（4分）如果两个相似三角形的对应中线比是3：2，那么它们的周长比是．11．（4分）如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式，你的结论是：．12．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是．13．（4分）正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，如果DE=1，那么AF=．14．（4分）已知抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a=．15．（4分）如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB的长是．16．（4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，如果△BOC、△ACD 的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是．17．（4分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD翻折，点A落在点E处，那么AE的长是．18．（4分）如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么APAQ的值为．三、解答题：（本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．（10分）计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+tan 45°cos 30°−1．20．（10分）将抛物线y=x 2﹣4x +4沿y 轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x 轴正半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．求：（1）点B 、C 、D 坐标；（2）△BCD 的面积．21．（10分）如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=4，AD=3，AB ⊥AC ，AC 平分∠DCB ，过点DE ∥AB ，分别交AC 、BC 于F 、E ，设AB →=a →，BC →=b →．求：（1）向量DC →（用向量a →、b →表示）；（2）tanB 的值．22．（10分）如图，一艘海轮位于小岛C 的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A 处，该海轮从A 处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C 北偏东45°方向的B 处．（1）求该海轮从A 处到B 处的航行过程中与小岛C 之间的最短距离（记过保留根号）；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B 处沿BC 方向行驶，求它从B 处到达小岛C 的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据： 2=1.41， 3=1.73）23．（12分）如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC 上，满足AE•CD=AD•CE．（1）求证：DE∥AB；（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．24．（12分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）联结CD、BC，求∠DBC余切值；（3）设点M在线段CA延长线，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．25．（14分）如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．2017年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．（4分）（2017•徐汇区一模）如果2x=3y （x 、y 均不为0），那么下列各式中正确的是（ ）A ．x y =23B ．x x−y =3C ．x +y y =53D ．x x +y =25【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的是哪个即可．【解答】解：∵2x=3y ，∴x y =32， ∴选项A 不正确；∵2x=3y ，∴x y =32， ∴x x−y =33−2=3， ∴选项B 正确；∵2x=3y ，∴x y =32， ∴x +y y =3+22=52， ∴选项C 不正确；∵2x=3y ，∴x y =32， ∴x x +y =33+2=35，∴∴选项D 不正确．故选：B ．【点评】此题主要考查了比例的性质和应用，要熟练掌握．2．（4分）（2017•徐汇区一模）如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（ ）A ．125B ．512C ．513D ．1213【分析】根据坡比=坡角的正切值，设竖直直角边为5x ，水平直角边为12x ，由勾股定理求出斜边，进而可求出斜坡坡角的余弦值．【解答】解：如图所示：由题意，得：tanα=i=12.4=512， 设竖直直角边为5x ，水平直角边为12x ，则斜边= 25x 2+144x 2=13x ，则cosα=12x 13x =1213． 故选D ．【点评】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键．3．（4分）（2017•徐汇区一模）如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2（x ﹣1）2，那么原抛物线的表达式是（ ）A ．y=2（x ﹣3）2﹣2B ．y=2（x ﹣3）2+2C ．y=2（x +1）2﹣2D ．y=2（x +1）2+2【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案．【解答】解：一条抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式为y=2（x﹣1）2，抛物线的表达式为y=2（x﹣1）2，左移2个单位，下移2个单位得原函数解析式y=2（x+1）2﹣2，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．4．（4分）（2017•徐汇区一模）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（）A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC【分析】根据题意画出图形，再由相似三角形的判定定理进行解答即可．【解答】解：如图，A、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故本选项错误；B、∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；C、∵AE：AD=AB：AC，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；D、AE：DE=AC：BC不能使△ADE和△ABC相似，故本选项正确．故选D．【点评】此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．5．（4分）（2017•徐汇区一模）一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是（）A．6000米B．10003米C．20003米D．30003米【分析】根据题意可构造直角三角形，利用所给角的正弦函数即可求解．【解答】解：如图所示：由题意得，∠CAB=60°，BC=3000米，在Rt△ABC中，∵sin∠A=BC AC，∴AC=BCsinA =32=20003米．故选C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是借助俯角构造直角三角形，并结合三角函数解直角三角形．6．（4分）（2017•徐汇区一模）已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2【分析】把抛物线化为顶点式可求得开口方向及对称轴，再利用增减性可得到关于x的不等式，可求得答案．【解答】解：∵y=﹣2x2+4x﹣3=﹣2（x﹣1）2﹣1，∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，∴当x≥1时，y随x的增大而减小，故选A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2017•徐汇区一模）已知线段a=9，c=4，如果线段b 是a 、c 的比例中项，那么b= 6 ．【分析】根据比例中项的定义，若b 是a ，c 的比例中项，即b 2=ac ．即可求解．【解答】解：若b 是a 、c 的比例中项，即b 2=ac ．则b= ac = 9×4=6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．8．（4分）（2017•徐汇区一模）点C 是线段AB 延长线的点，已知AB →=a →，CB →=b →，那么AC →= a →﹣b → ．【分析】根据向量AB →、CB →的方向相反进行解答．【解答】解：如图，向量AB →、CB →的方向相反，且AB →=a →，CB →=b →，所以AC →=AB →+BC →=a →﹣b →．故答案是：a →﹣b →．【点评】本题考查了平面向量，注意向量既有大小，又有方向．9．（4分）（2017•徐汇区一模）如图，AB ∥CD ∥EF ，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= 127 ．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵AC=2，AE=5.5，∴CE=3.5， AB ∥CD ∥EF ，∴AC CE =BD DF， ∴BD=127，故答案为：127．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．10．（4分）（2017•徐汇区一模）如果两个相似三角形的对应中线比是 3：2，那么它们的周长比是 3：2 ．【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线比是 3：2， ∴它们的周长比为 3：2． 故答案为： 3：2．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比是解答此题的关键．11．（4分）（2017•徐汇区一模）如果点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞BP ），那么请你写出一个关于线段AP 、BP 、AB 之间的数量关系的等式，你的结论是： AP 2=BP•AB ．【分析】根据黄金分割的概念解答即可． 【解答】解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点， ∴AP 2=BP•AB ，故答案为：AP 2=BP•AB ．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割．12．（4分）（2017•徐汇区一模）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，如果CD=4，BD=3，那么∠A 的正弦值是34．【分析】求出∠A=∠BCD ，根据锐角三角函数的定义求出tan ∠BCD 即可．【解答】解：∵CD ⊥AB ， ∴∠CDB=90°， ∵∠ACB=90°，∴∠A +∠B=90°，∠BCD +∠B=90°， ∴∠A=∠BCD ，∴tanA=tan ∠BCD=BD CD =34，故答案为：34．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，则sinA=BC AB，cosA=AC AB，tanA=BC AC．13．（4分）（2017•徐汇区一模）正方形ABCD 的边长为3，点E 在边CD 的延长线上，连接BE 交边AD 于F ，如果DE=1，那么AF=94 ．【分析】由四边形ABCD 为正方形即可得出∠A=∠ADC=90°、AB ∥CD ，根据平行线的性质以及邻补角即可得出∠EDF=∠A 、∠ABF=∠DEF ，从而得出△ABF ∽△DEF ，再根据相似三角形的性质即可得出AF DF =ABDE=3，结合AF +DF=AD=3即可求出AF 的长度，此题得解．【解答】解：依照题意画出图形，如图所示． ∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠A=∠ADC=90°，AB ∥CD ，∴∠EDF=180°﹣∠ADC=90°=∠A ，∠ABF=∠DEF ， ∴△ABF ∽△DEF ，∴AF DF =ABDE=3，∵AF +DF=AD=3，∴AF=34AD=94．故答案为：94．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、平行线的性质以及邻补角，通过两组相等的角证出△ABF ∽△DEF 是解题的关键．14．（4分）（2017•徐汇区一模）已知抛物线y=ax 2﹣4ax 与x 轴交于点A 、B ，顶点C 的纵坐标是﹣2，那么a=12．【分析】首先利用配方法确定函数的顶点坐标，根据顶点C 的纵坐标是﹣2，即可列方程求得a 的值．【解答】解：y=ax 2﹣4ax=a （x 2﹣4x +4）﹣4a=a （x ﹣2）2﹣4a ， 则顶点坐标是（2，﹣4a ）， 则﹣4a=﹣2， 解得a=12．故答案是：12．【点评】本题考查了配方法确定函数的顶点坐标，正确进行配方是关键．15．（4分）（2017•徐汇区一模）如图，矩形ABCD 的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果AB ：BC=3：4，那么AB的长是 734．【分析】作辅助线，构建相似三角形，证明△ABE ∽△BCF ，列比例式求BE 的长，利用勾股定理可以求AB 的长．【解答】解：过A 作AE ⊥BM 于E ，过C 作CF ⊥BM 于F ，则CF=1，AE=2， ∴∠AEB=∠BFC=90°， ∴∠ABE +∠BAE=90°， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴∠ABE +∠CBE=90°， ∴∠BAE=∠CBE ， ∴△ABE ∽△BCF ，∴AB BC =BE CF ， ∴34=BE 1， ∴BE=34，在Rt △ABE 中，AB= 22+(34)2=734， 故答案为： 734．【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、两平行线的距离以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．16．（4分）（2017•徐汇区一模）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于O ，如果△BOC 、△ACD 的面积分别是9和4，那么梯形ABCD 的面积是 16 ． 【分析】如图，设△AOD 的面积为x ，则△ODC 的面积为4﹣x ．由AD ∥BC ，推出△AOD ∽△COB ，可得S △AOD S △BOC =（AO OC ）2，因为S △AOD S △ODC =OA OC ，得到x 9=（x4−x ）2，解方程即可．【解答】解：如图，设△AOD 的面积为x ，则△ODC 的面积为4﹣x ．∵AD ∥BC ，∴△AOD ∽△COB ，∴S △AOD S △BOC =（AO OC ）2， ∵S △AOD S △ODC =OA OC ， ∴x 9=（x 4−x ）2， 解得x=1或16（舍弃）， ∵S △ABD =S △ADC =1， ∴S △AOB =S △DOC =3，∴梯形ABCD 的面积=1+3+3+9=16， 故答案为16．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、梯形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．17．（4分）（2017•徐汇区一模）在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD 是∠ACB 的平分线，将△ABC 沿直线CD 翻折，点A 落在点E 处，那么AE 的长是 2 5 ．【分析】由勾股定理求AB=4，再根据旋转的性持和角平分线可知：点A 的对应点E 在直线CB 上，BE=2，利用勾股定理可求AE 的长． 【解答】解：∵CD 是∠ACB 的平分线，∴将△ABC沿直线CD翻折，点A的对应点E在直线CB上，∵∠ABC=90°，AC=5，BC=3，∴AB=4，由旋转得：EC=AC=5，∴BE=5﹣3=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=AB2+BE2=42+22=25，故答案为：25．【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理，明确折叠前后的两个角相等，两边相等；在图形中确定直角三角形，如果知道了一个直角三角形的两条边，可以利用勾股定理求第三边．18．（4分）（2017•徐汇区一模）如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么APAQ的值为23913．【分析】如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．根据12•AP•BE=12•DF•AQ，利用勾股定理求出BE、DF即可解决问题．【解答】解：如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∠BAD=∠BCD=120°，∴S △ABE =S △ADF =12S 平行四边形ABCD ，在Rt △CDH 中，∵∠H=90°，CD=AB=2a ，∠DCH=60°， ∴CH=a ，DH= 3a ，在Rt △DFH 中，DF= FH 2+DH 2= (3a )2+( 3a )2=2 3a ， 在Rt △ECG 中，∵CE=a ，∴CG=12a ，GE= 32a ，在Rt △BEG 中，BE= BG 2+EG 2= (72a )+(32a )= 13a ，∴12•AP•BE=12•DF•AQ ， ∴AP AQ = 3 13=2 3913， 故答案为2 3913．【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法求线段的长，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．三、解答题：（本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．（10分）（2017•徐汇区一模）计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+tan 45°cos 30°−1．【分析】首先根据特殊角的三角函数进行代入，然后再根据绝对值的性质计算绝对值，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=2× 32﹣| 3−1|+ 3−1，= 3− 3+1+3−2，=﹣2 3﹣3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．20．（10分）（2017•徐汇区一模）将抛物线y=x 2﹣4x +4沿y 轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x 轴正半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．求：（1）点B 、C 、D 坐标；（2）△BCD 的面积．【分析】（1）首先求得抛物线y=x 2﹣4x +4沿y 轴向下平移9个单位后解析式，利用配方法求得D 的坐标，令y=0求得C 的横坐标，令y=0，解方程求得B 的横坐标；（2）过D 作DA ⊥y 轴于点A ，然后根据S △BCD =S 梯形AOBD ﹣S △BOC ﹣S △ADC 求解． 【解答】解：（1）抛物线y=x 2﹣4x +4沿y 轴向下平移9个单位后解析式是y=x 2﹣4x +4﹣9，即y=x 2﹣4x ﹣5． y=x 2﹣4x ﹣5=（x ﹣2）2﹣9， 则D 的坐标是（2，﹣9）．在y=x 2﹣4x ﹣5中令x=0，则y=﹣5， 则C 的坐标是（0，﹣5）， 令y=0，则x 2﹣4x ﹣5=0， 解得x=﹣1或5， 则B 的坐标是（5，0）； （2）过D 作DA ⊥y 轴于点A ．则S △BCD =S 梯形AOBD ﹣S △BOC ﹣S △ADC =12（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点评】本题考查了配方法确定二次函数的顶点坐标，以及函数与x 轴、y 轴的交点的求法，正确求得抛物线y=x 2﹣4x +4沿y 轴向下平移9个单位后解析式是关键．21．（10分）（2017•徐汇区一模）如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=4，AD=3，AB ⊥AC ，AC 平分∠DCB ，过点DE ∥AB ，分别交AC 、BC 于F 、E ，设AB →=a →，BC →=b →．求： （1）向量DC →（用向量a →、b →表示）； （2）tanB 的值．【分析】（1）首先证明四边形ABED 是平行四边形，推出DE=AB ，推出DE →=AB →=a →，EC →=12BC →=12b →，DC →=a →+12b →．（2）由△DFC ∽△BAC ，推出DC BC =CF CA =12，求出BC ，在Rt △BAC 中，∠BAC=90°，根据AC= BC 2−AB 2= 62−42=2 5，由tanB=ACBC，即可解决问题．【解答】解：∵AD ∥BC ， ∴∠DAC=∠ACB ， ∴AC 平分∠DCB ， ∴∠DCA=∠ACB ， ∴∠DAC=∠DCA ， ∴AD=DC ，∵DE ∥AB ，AB ⊥AC ， ∴DE ⊥AC ， ∴AF=CF ， ∴BE=CE ，∵AD ∥BC ，DE ∥AB ，∴四边形ABED 是平行四边形，∴DE=AB ，∴DE →=AB →=a →，EC →=12BC →=12b →，∴DC →=a →+12b →．（2）∵∠DCF=∠ACB ，∠DFC=∠BAC=90°， ∴△DFC ∽△BAC ，∴DC BC =CF CA =12， ∵CD=AD=3，∴BC=6， 在Rt △BAC 中，∠BAC=90°， ∴AC= BC 2−AB 2= 62−42=2 5，∴tanB=AC BC =2 54= 52．【点评】本题考查平面向量、梯形、解直角三角形、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于基础题．22．（10分）（2017•徐汇区一模）如图，一艘海轮位于小岛C 的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A 处，该海轮从A 处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C 北偏东45°方向的B 处．（1）求该海轮从A 处到B 处的航行过程中与小岛C 之间的最短距离（记过保留根号）；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B 处沿BC 方向行驶，求它从B 处到达小岛C 的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据： 2=1.41， 3=1.73）【分析】（1）首先过点C 作CD ⊥AB 于D ，构建直角△ACD ，通过解该直角三角形得到CD 的长度即可；（2）通过解直角△BCD来求BC的长度．【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意，得∠ACD=30°．在直角△ACD中，∠ADC=90°，∴cos∠ACD=AD AC，∴CD=AC•cos30°=120×32=603（海里）；（2）在直角△BCD中，∠BDC=90°，∠DCA=45°，∴cos∠BCD=CD BC，∴BC=CDcos=32=606≈60×2.44=146.4（海里），∴146.4÷20=7.32≈7.3（小时）．答：（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离是603海里；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间约为7.3小时．【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意将方向角问题转化为解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．23．（12分）（2017•徐汇区一模）如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．（1）求证：DE∥AB；（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．【分析】（1）根据已知条件得到AE CE =AD CD ，根据等腰三角形的判定定理得到AD=BD ，等量代换即可得到结论； （2）由BD 是DF 和AB 的比例中项，得到BD 2=DF•AB ，等量代换得到AD 2=DF•AB ，推出AD DF =AB AD ，根据相似三角形的性质得到AF DF =AD BD=1，于是得到结论． 【解答】证明：（1）∵AE•CD=AD•CE ，∴AE CE =AD CD， ∵∠DAB=∠B ，∴AD=BD ，∴AE CE =BD CD， ∴DE ∥AB ；（2）∵BD 是DF 和AB 的比例中项，∴BD 2=DF•AB ，∵AD=BD ，∴AD 2=DF•AB ，∴AD DF =AB AD， ∵DE ∥AB ，∴∠ADF=∠BAD ，∴△ADF ∽△DBA ，∴AF DF =AD BD=1， ∴DF=AF ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．（12分）（2017•徐汇区一模）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）联结CD、BC，求∠DBC余切值；（3）设点M在线段CA延长线，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．【分析】（1）根据题意求出点C的坐标、点B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据二次函数的性质求出顶点坐标；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠DCB=90°，根据余切的定义计算即可；（3）运用待定系数法求出直线CA的解析式，设点M的坐标为（x，3x+3），根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠BME，根据等腰三角形的性质得到BM=BC，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵已知抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，∴点C的坐标为：（0，3），∵OB=OC，∴点B的坐标为：（3，0），∴﹣9+3b+3=0，解得，b=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）如图1，作DH⊥y轴于H，则CH=DH=1，∴∠HCD=∠HDC=45°，∵OB=OC ，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠DCB=90°，∴cot ∠DBC=BC DC = 2 2=3； （3）﹣x 2+2x +3=0，解得，x 1=﹣1，x 2=3，∴点A 的坐标为：（﹣1，0），∴OA OC =13，又DC BC =13， ∴OA OC =DC BC， ∴Rt △AOC ∽Rt △DCB ，∴∠ACO=∠DBC ，∵∠ACB=∠ACO +45°=∠DBC +∠E ，∴∠E=45°，∵△EBM 和△ABC 相似，∠E=∠ABC=45°，∴∠ACB=∠BME ，∴BM=BC ，设直线CA 的解析式为：y=kx +b ，则 −k +b =0b =3， 解得， k =−3b =3， 则直线CA 的解析式为：y=3x +3，设点M 的坐标为（x ，3x +3），则（x ﹣3）2+（3x +3）2=18，解得，x 1=0（舍去），x 2=﹣65， x 2=﹣65时，y=﹣35， ∴点M 的坐标为（﹣65，﹣35）．【点评】本题考查的是二次函数的综合运用、相似三角形的判定和性质，掌握二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．25．（14分）（2017•徐汇区一模）如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D 是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．【分析】（1）过点D作DF∥AC，交BP于F，根据平行线分线段成比例定理，可得EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=3−x−y2，进而根据DF∥AC，求得y=9−3x2x+3，定义域为：0＜x＜3；（2）当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，分三种情况讨论：①当PB=BC 时，②当PC=BC=2时，③当PC=PB 时，分别求得BD 的长即可；（3）先根据已知条件判定四边形BCED 是等腰梯形，判定△BDQ ∽△QEC ，得出BD QE =DQ EC ，即2DQ 2=x 2，再根据DE ∥BC ，得出DE BC =AD AB ，即2 2=3−x 3，求得x 的值即可．【解答】解：（1）如图所示，过点D 作DF ∥AC ，交BP 于F ，则根据QE=2DQ ，可得DF PE =DQ QE =12， 又∵DE ∥BC ， ∴EC BD =AC AB=1， ∴EC=BD=x ，PE=3﹣x ﹣y ，DF=3−x−y2，∵DF ∥AC ， ∴DF AP =BD AB ，即3−x−y 2y =x 3， ∴y=9−3x 2x +3，定义域为：0＜x ＜3；（2）∵DE ∥BC ，∴△PEQ ∽△PBC ，∴当△PEQ 为等腰三角形时，△PBC 也为等腰三角形，①当PB=BC 时，△ABC ∽△BPC ，∴BC 2=CP•AC ，即4=3（3﹣y ），解得y=53， ∴9−3x 2x +3=53， 解得x=1219=BD ； ②当PC=BC=2时，AP=y=1，∴9−3x2x +3=1， 解得x=65=BD ； ③当PC=PB 时，点P 与点A 重合，不合题意；（3）∵DE ∥BC ，∴∠BDQ +∠CBD=180°，又∵∠CQB 和∠CBD 互补，∴∠CQB +∠CBD=180°，∴∠CQB=∠BDQ ，∵BD=CE ，∴四边形BCED 是等腰梯形，∴∠BDE=∠CED ，∴∠CQB=∠CED ，又∵∠DQB +∠CQB=∠ECQ +∠CED ，∴∠DQB=∠ECQ ，∴△BDQ ∽△QEC ，∴BD QE =DQ EC，即2DQ 2=x 2， ∴DQ= 2，DE= 2， ∵DE ∥BC ，∴DE BC =AD AB ，即2 2=3−x 3， 解得x=54 2−2473．【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例进行求解．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．参与本试卷答题和审题的老师有：放飞梦想；wd1899；nhx600；ZJX；zhjh；Ldt；HJJ；王学峰；CJX；知足长乐；zjx111；曹先生；tcm123；弯弯的小河；gbl210；szl（排名不分先后）菁优网2017年3月14日。
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上海市徐汇区2017届高三一模数学试卷
2016.12.21
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 25
lim
1
n n n →∞-=+
2. 已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点(1,3)M ，则 其焦点到准线的距离为
3. 若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫ ⎪
⎝⎭，解为2
1
x y =⎧⎨=⎩，则a b += 4. 若复数z
满足：i z i ⋅=（i 是虚数单位），则||z =
5. 在6
22()x x
+
的二项展开式中第四项的系数是 （结果用数值表示） 6. 在长方体1111ABCD A B C D -中，若1AB BC ==
，1AA =1BD 与1CC 所成角的大小为
7. 若函数22,0
(),0
x
x f x x m x ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩的值域为(,1]-∞，则实数m 的取值范围是
8. 如图，在△ABC 中，若3AB AC ==，1
cos 2
BAC ∠=，2DC BD =，则
AD BC ⋅=
9. 定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，2()lg(33)f x x x =-+，则()f x 在R 上 的零点个数为 个
10. 将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内，其中 2辆卡车必须停在A 与B 的位置，那么不同的停车位置安排共有 种（结果用数值 表示）
11. 已知数列{}n a 是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为n S ，设2n
n n
S b n =
⋅ *()n N ∈，若数列{}n b 是递减数列，则实数m 的取值范围是
12. 若使集合2
{|(6)(4)0,}A x kx k x x Z =--->∈中的元素个数最少，则实数k 的取值 范围是
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “4
x k π
π=+
()k Z ∈”是“tan 1x =”的（ ）条件
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充分必要
D. 既不充分也不必要
14. 若1-（i 是虚数单位）是关于x 的方程2
0x bx c ++=的一个复数根，则（ ）
A. 2b =，3c =
B. 2b =，1c =-
C. 2b =-，1c =-
D. 2b =-，3c = 15. 已知函数f (x )为R 上的单调函数，f -1(x )是它的反函数，点A (-1,3)和点B (1,1)均在
函数
f (x )的图像上，则不等式1|(2)|1x f -<的解集为（ ）
A. (1,1)-
B. (1,3)
C. 2(0,log 3)
D. 2(1,log 3)
16. 如图，两个椭圆
2
21259y x +=、2
2
1259
y x
+=内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线 C 上的任意一点，给出下列三个判断：
（1）P 到1(4,0)F -、2(4,0)F 、1(0,4)E -、
2(0,4)E 四点的距离之和为定值
（2）曲线C 关于直线y x =、y x =-均对称 （3）曲线C 所围区域面积必小于36 上述判断中正确命题的个数为（ ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 已知PA ⊥平面ABC ，AC AB ⊥，2AP BC ==，30CBA ︒
∠=，D 是AB 的中点； （1）求PD 与平面PAC 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）求△PDB 绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体的体积；（结果保留π）
18. 已知函数2sin ()1
x x
f x x -=；
（1）当[0,
]2
x π
∈时，求()f x 的值域；
（2）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2
A
f =，4a =，5b c +=， 求△ABC 的面积；
19. 某创业团队拟生产A 、B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比 （如图1），B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）； （注：利润与投资额的单位均为万元） （1）分别将A 、B 两种产品的利润
f (x )、
g (x )表示为投资额x 的函数；
（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A 、B 两种产品生产，问：当B 产品 的投资额为多少万元时，生产A 、B 两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？
20. 如图，双曲线2
2:13
x y Γ-=的左、右焦点1F 、2F ，过2F 作直线l 交y 轴于点Q ； （1）当直线l 平行于Γ的一条渐近线时，求点1F 到直线l 的距离；
（2）当直线l 的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P ，满足110F P FQ ⋅=？，若存在， 求点P 的坐标，若不存在，说明理由；
（3）若直线l 与Γ交于不同两点A 、B ，且Γ上存在一点M ，满足40OA OB OM ++= （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程；
21. 正数数列{}n a 、{}n b 满足：11a b ≥，且对一切2k ≥，k N *
∈，k a 是1k a -与1k b -的等
差中项，k b 是1k a -与1k b -的等比中项； （1）若22a =，21b =，求1a 、1b 的值；
（2）求证：{}n a 是等差数列的充要条件是n a 为常数数列；
（3）记||n n n c a b =-，当2n ≥，n N *
∈，指出2n c c +
+与1c 的大小关系并说明理由；
参考答案
一. 填空题 1. 2 2. 92 3. 2 4. 2 5. 160 6. 4
π
7. 01m <≤ 8. 3
2
- 9. 4 10. 40320 11. [0,1) 12. [3,2]--
二. 选择题
13. C 14. D 15. C 16. C
三. 解答题
17.（1）arctan （2）32
π；
18.（1）；（2；
19.（1）1()4f x x =，()g x =
（2）对A 投资3.75万元，对B 投资6.25万元，可获得最大利润65
16
万元；
20.（1）2；（2）不存在；（3）2x =+；
21.（1）12a =12b =（2）略；（3）21n c c c ++<；。