袁晖坪线性代数教材习题答案提示

第一章 行列式与Cramer 法则

第一章知识清单 1.行列式定义：

()

()()

121211*********

21

212

1,n n n n

n i i i j j j n i j i j i j i j

n n nn

a a a a a a a a a a a a ττ∆

+=-∑

说明1）()()()12

1

,

n n

n k

i k

k i i

i t k t i

τ===

=∑∑ ()k k k t i i i ：在左边比打的数的个数.

说明2）：行列式中每行均由不同行不同列的元素之积构成

2.计算方法

基本方法： 1）化为三角式；2）降阶法：10

n

i k jk k D

i j a A i j

==⎧=⎨

≠⎩∑

常用方法： 利用定义或性质，拆解法，升阶法，递推法。 特殊行列式：上三角式，对角式，范德蒙行列式。

3.行列式性质（5条）

行列等同；两行互换值相反；数乘行列式；行列式加法；第三种初等行变换不改变行列式的值。

4.克莱姆法则

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=++=++=++n

n nn n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 221122222212111212111 .n A x b =即： 解：12,,

,

T

n D D D

x D D

D ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，.n D A = 推论：0.n n A x o A =⇔=有非零解

基本作业建议 A 组：1，4，6（1），7（1），8, 10(1)； B 组：一 （1），（6）；二（3），（4）

一（A ）4（1）：列标：54243，表明第四列有两元素：否; (2): ()

()()

24531452131ττ+-.

一（A ）5：

()

()

()()()

()

()()23412143123412342132341411,a a a a a a a a ττ--.

一（A ）6(5)：32

1

42

2

222222223234

21

21

21

21

21212121

044444444222269696969

6

6

6

6

,,i r r r r r r i a b c d a b c d a b c d a b c d D a b c d a b c d ---=++++++++===

====

=++++++++

一（A ）7(1)，(2)：同6（3），见课件例1.15—1.18。四种方法：

1

1123,,,n

i

i i c r r i n

D D =-=∑=========提公因式方法一：上三角式；

1

23,,,i r r i n

D -=====方法二：箭形行列式

12312

3

1231231

2

3

10

n n n n n a a a a a b a a a a a b a a a a a b a a

D

a a

a b

------===

--加边

方法三： 1231,2,311000100010001

n i r r i n

a a a a

b b b b

+=------=====

--

()123

2312323

1

23231

2

3

2

3

000

n

n

n n n n n n a a a a c a a a a a c a a a c a a a a a c a a a c a a a a a c

a a a c

D ------=-=拆解

方法四：略.