川大学理论力学第11章第一课时

于是
δW M zd
力系在有限转动中的功为
F
O1
R
Ft
r
O
W12
2 1
M
z
d
Mz C
W12 M z ( 2 1)
10
（4）平面运动刚体上力系的功
δW FR drC M Cd
其中FR 为力系的主矢量，MC为力系对质心C的主矩。
11
3．质点系内力的功
A
FA FB
δW FA drA FB drB
时杆系静止，求铰链C与地面相碰时
的速度v。
A
dT δW
从质点运动的位置1到位置2积分上式得
v2 v1
d
1 2
mv
2
W12
1 2
mv22
1 2
mv12
W12
或
T2 T1 W12
其中
W12
M2 F dr
M1
上式为质点动能定理的积分形式，即在任一路程中 质点动能的变化，等于作用在质点上的力在同一路 程上所作的功。
32
2．质点系动能定理
1 2
mr 2
u r
2
3 4
mu 2
B 2u
u
TAB
1 2
m(2u)2
2mu 2
C
A
O
T
TC
TAB
11 mu2 4
28
例5. 己知m、u, α = 45°, 杆重不计,均质圆盘沿斜 面纯滚,试求系统的动能。
u
m CO m u u
α
T 3 mu 2 2
29
课后作业：
11.2、11.5、11.6、11.7
T
1 2
J z 2
T
1 2
mvC2
21
4．平面运动刚体的动能
T
1 2
J C 2
根据转动惯量的平行轴定 理有
J C J C md 2
代入上式得
vi Mi
vC C
d
C'
T
1 2
JC 2
1 2
(JC
md 2 ) 2
1 2
J C 2
1 2
md 2 2
而 d vC ，因此
T
1 2
mvC2
1 2
JC 2
效应,它包含力和路程两个因素。
M'
M
dr
在一无限小位移中
力所做的功称为元功， 以W表示。
δW F dr
F
Fcosθ ds Ftds
因 F Fxi Fy j Fzk dr dxi dyj dzk
W可写成直角坐标形式
δW Fxdx Fydy Fzdz
4
δW F dr
M' M2
30
11.3 动能定理
1．质点动能定理
牛顿第二定律给出 两边点乘 d r
m dv F dt m dv dr F dr dt
mv dv F dr
d 1 mv2 δW 或 dT δW 2
上式称为质点动能定理的微分形式，即质点动能的 微小变化等于作用于质点上的力的元功。
31
d 1 mv2 δW 2
A
D
解：杆AB作平面运动，点D是速 度瞬心，质心速度
vC
CD
l vB
2 l sin
vB
2 sin
vA C
vC
T
1 2
mvC2
1 2
J C 2
B vB
1 2
m
vB 2sin 600
2
1 2
ml 2 12
l
vB sin 600
2
动能也可用下法求得
2 9
mvB2
T
1 2
J
D
解：滑块由位置A至位置B所上 升的 高度为
h
tg
6 450
6 tg 60 0
sin 300
C
力F作用点移动的距离为
s 6 6 sin 450 sin 600
所以，重力与拉力F所作的总功
W Fs mgh
20
6 sin45 0
6 sin60 0
2
9.8
6 tg450
6 tg600
6.29J
欢 迎 光 临
理论力学
1
第 11 章 动能定理
质系动能定理建立了质点系动能的变 化率与作用于质点系上的力所作的功之间 的关系，从而揭示了机械运动和其它形式 运动能量传递和转化的规律。
2
本章主要内容
11.1 力的功 11.2 质点系和刚体的动能 11.3 动能定理
3
11.1 力的功
1．功的概念
力的功表示力在一段路程上对物体作用的累积
C
JO
1 3
ml 2
2 5
mr 2
m(l
r)2
m 20l 2 21r2 30lr 15
T
1 2
JO 2
m 30
20l 2 21r 2 30lr
2
26
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
从质点系运动的位置1到位置2积分上式得
T2 T1 W e W i
上式为质点系动能定理的积分形式,即在任一路程中， 质点系动能的变化，等于作用在质点系上的所有外 力和内力在同一路程中所作功之和。
动能定理也可表达为
dT δWF δWN
δWN 0
dT δWF
T2 T1 WF
FA drA FA drB FA d(rA rB )
因 rA rB rBA BA
rA
FA
rB
FB
O
B
所以 δW FAd(BA)
上式说明，当质系内质点间的距离可变化时，内 力的元功之和不为零。
如两质点之间的距离不变，例如刚体上或刚性杆
联结的两点，则内力的元功之和为零，因此刚体内力 的功之和恒等于零。
上式表明，平面运动刚体的动能等于跟随质心平动的
动能与绕通过质心的转轴转动的动能之和。 22
R C
(a)
O
R C
(b)
R
Cv
O
(c)
(a):
T
1 2
J C 2
1 1 mR2 2
22
1 mR2 2
4
(b):
T
1 2
JO 2
1 2
1 2
mR 2
mR2
2
3 4
mR2 2
(c):
T
1 2
JO 2
1 2
1 2
mR 2
mR 2
v R
2
3 4
mv 2
23
O
A
(d)
T
1 2
JO 2
1 1 ml 2 2
23
1 ml 2 2
6
O
A
(e)
T
1 2
JO 2
1 1 ml sin 2 2
23
1 ml 2 2 sin 2
6
24
源自文库
例2 均质杆AB靠在光滑墙面上，已知杆的质量为m，杆长l。图 示瞬时B点的速度为vB， =60°。设地面光滑。求此时杆的动能。
由于弹簧的变形量是正值，因此取正号，即
δmax
mg k
1 k
m2 g2 2kmgh
36
例2、链条长l，质量m，展开放在
光滑的桌面上，如图所示。开始时链 条静止，并有长度为a的一段下垂。求 链条离开桌面时的速度。
解：将链条分为两段考虑，下垂段
重力作功为
W1
a l
mg
(l
a)
桌面段重力作功为
由动能定理得
W2
l
l
a
mg
l
a 2
1 2
mv 2
0
W1
W2
a l
mg
(l
a)
l
l
a
mg
l
a 2
解得
v g (l 2 a 2 )
l
37
例3、两均质杆AC和BC的质量均
C
为m，长均为l，在点C由铰链相连接，
放在光滑水平面上，如图所示。由
于A和B端的滑动，杆系在其铅直面
内落下。点C的初始高度为h。开始
12
4．理想约束
约束力的元功之和等于零的约束称为理想约束， 即W=0。常见的理想约束有:
（1）光滑固定面和辊轴约束
其约束力垂直于作用点的位移，约束力不做功。
（2）光滑铰链或轴承约束
由于约束力的方向恒与位移的方向垂直，所 以约束力的功为零。
13
（3）刚性连接的约束
这种约束和刚体的内力一样，其元功之和 恒等于零。如图所示。
由此可得
mzC mi zi
W12 (mzC1 mzC2 )g mg (zC1 zC2 )
即质点系重力的功等于质点系的总重量与其重心 高度差之乘积,重心降低为正,重心升高为负。
重力的功与路径无关,仅取决于重心的始末位置。
8
（2）弹性力的功
设弹簧刚性系数为k，弹簧变形为,则弹力为
弹性力的功为
18
11.2 质点系和刚体的动能
1. 质点系的动能
设质点系由n个质点组成，任一质点Mi 在某瞬 时的动能为
Ti
1 2
mi vi2
质点系内所有质点在某瞬时动能的算术和称为
该瞬时质点系的动能，即
T
1mv 2 2
动能是描述质点系运动强度的一个物理量。动能
的单位与功的单位相同。
19
2．平动刚体的动能
当刚体平动时，刚体上各点速度相同，于是平动 刚体的动能为
对于质点系中任一质点有
d
1 2
mi vi2
δWie
δWii
n个方程相加，则得
i 1,2, n
d
1 2
mv 2
δW
e
δW
i
或
dT δW e δW i
上式为质点系动能定理的微分形式,即质系动能的 微小变化，等于作用于质系上所有外力和内力的 元功之和。
33
dT δW e δW i
W
M2 M1
FR
dr
( M 2
M1
Fi ) dr
M2 M1
Fi
dr
Wi
即作用于质点的合力在某一段路程上所作的功等于 各分力在同一段路程上所作功的代数和。
6
2．常见力的功 （1）重力的功
重力在直角坐 标轴上的投影为
Fx 0, Fy 0, Fz mg
重力的功为
x
z M1 z1
mg M2
如图示，绳索两端
的约束力大小相等，即
又因
F1 F2
F1 1
A dr1
F2
dr2
B 2
dr1 cos1 dr2 cos2
因此不可伸长的绳索的约束力元功之和等于零，即
δW F1 dr F2 dr F1dr1 cos1 F2dr2 cos2 0
16
例1 用跨过滑轮的绳子牵引质量为2kg的滑块A沿倾角为30 的光滑槽运动。设绳子拉力F =20N。计算滑块由位置A至位置B时， 重力与拉力F所作的总功。
1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
例4. 己知长l的杆和半径为r的均质圆盘质量均为m, 均质圆盘沿水平面纯滚,质心速度为u，试求图示位 置时系统的动能。
TC
1 mu 2 2
1 2
δW F1 dr1 F2 dr2 0
dr2
F2 B
F1
A dr1
14
（4）联结两个刚体的铰
dr
F
O
F'
A B
如图所示，两个刚体相互间的约束力，大小相等、方
向相反，即 F' = F，两力在点的微小位移上的元功之和等
于零，即
W F dr F dr 0
15
（5）柔性而不可伸长的绳索约束
z2
y
W12
M2 M1
(
Fx
d
x
Fy
d
y
Fz
d
z)
z2 z1
mgd
z
mg ( z1
z2
)
mgh
重力的功仅与质点运动起止位置的高度差有关， 而与运动轨迹无关。
7
对于质点系，所有质点重力做功之和为
W12 mi g(zi1 zi2 ) mi zi1 mi zi2 g
由质心坐标公式，有
2
1 2
JC
m CD 2
2
1 1 2 12
ml 2
m
l 2
2
l
v sin
B
60
0
2
2 9
mv
2 B
25
Oω
例3. 质量为m的均质杆与相 同质量的均质小球固结, 以角 速度ω绕轴O转动,如图示。已 知杆长为l,小球半径为r, 求组合 体的动能 (小球对直径轴的转
动惯量为2mr2/5 )。
35
例1、质量为m的物块，自高 度h处自由落下，落到有弹簧支承
的板上，如图所示。弹簧的刚性 系数为k，不计弹簧和板的质量。 求弹簧的最大变形。
解：物块落在板上后继续向
下运动，当速度等于零时，弹簧
被压缩到最大变形。应用动能定
理，有
0
mg (h
max
)
1 2
k
2 max
解得
δmax
mg k
1 k
m2 g2 2kmgh
T
1mv2 1 v2 22
m
1 2
mvC2
20
z 3．定轴转动刚体的动能
当刚体绕固定轴转动时，
ω
如图示，其上任一点的速度
为
vi ri
于是绕定轴转动刚体的动能
为
T
12mivi2
vi ri
1 2
mi
ri2
2
12
2
mi ri 2
mi ri2 J z 为刚体对z轴的转动惯量，所以得
M
dr
δW Fxdx Fydy Fzdz
力在有限路程上的
M1
F
功为力在此路程上元功
的定积分。
W12
M2 F dr
M1
s2 F cos ds
s1
s2 s1
Ft ds
或
W12
M2 M1
(
Fxdx
Fy
dy
Fzdz)
功的单位为焦耳(J),1J=1N·m=1kg ·m²/s²。
5
合力的功：设作用于质点的合力 FR = ∑Fi, 则合 力的功
F k
W
2 F d
1
2 1
k d
k 2
(12
22 )
弹性力在有限路程上的功只决定于弹簧在起始 及终了位置的变形量，而与质点的运动路径无关。
9
（3）定轴转动刚体上作用力的功 z
作用于定轴转动刚体上的力 系的元功为
δW F dr
Ft ds Ft Rd
而
Ft R mz (F ) M z
34
dT δW T2 T1 W
质点系的动能定理在应用中的注意事项:
(1) 方程的右边为代数和,求和时应注意符号;
(2) 方程的右边应包含作用于系统的所有力的功, 既包括外力的功,也包括内力的功;
(3) 注意微分形式与积分形式的区别: 对于微分形 式, 应首先求出任意位置系统动能的一般表达 式,然后再微分求出dT ; 对于积分形式必须首 先明确系统的始末位置, 然后再分别求出始末 位置的系统动能T1和T2。