数学(理)知识清单-专题12 空间的平行与垂直(原卷+解析版)

专练

1．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的()

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：

①若α∥β，α∥γ，则β∥γ

②若α⊥β，m∥α，则m⊥β

③若m⊥α，m∥β，则α⊥β

④若m∥n，n?α，则m∥α

其中正确命题的序号是()

A．①③B．①④

C．②③D．②④

3．如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是()

A．AP⊥PB，AP⊥PC

B．AP⊥PB，BC⊥PB

C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC

D．AP⊥平面PBC

4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；

②若m∥α，m∥β，则α∥β；

③若m∥n，m∥β，则n∥β；

④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β.

其中真命题的个数为()

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6.如图所示，直线PA 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长．其中正确的是(

)

A ．①②

B ．①②③

C ．①

D ．②③

7．已知平面α及直线a ，b ，则下列说法正确的是(

)

A ．若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行

B ．若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直

C ．若直线a ，b 平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行

D ．若直线a ，b 垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直

8．三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AB ，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，则BM 与AN 所成角的余弦值为(

)

A.110

B.35

C.710

D.45

9．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是(

)

10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()

A．平面ABD⊥平面ABC

B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC

D．平面ADC⊥平面ABC

11．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是()

A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n

B．若m⊥α，n⊥m，则n∥α

C．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n

D．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β

12.如图，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BCD

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE

13．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m?α，n∥α，则m∥n；

②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；

③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；

④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题的个数是()

A ．0

B ．1

C ．3

D ．3

14.如图，在空间四边形ABCD 中，点M ∈AB ，点N ∈AD ，若AM MB ＝AN

ND

，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是________．

15．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1D 1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．(填序号)

①AC ⊥BE ；②B 1E ∥平面ABCD ；

③三棱锥E -ABC 的体积为定值；④直线B 1E ⊥直线BC 1.

16．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A -BCD ，则在三棱锥A -BCD 中，下列命题正确的命题序号是________．

①平面ABD ⊥平面ABC ②平面ADC ⊥平面BDC ③平面ABC ⊥平面BDC

④平面ADC ⊥平面ABC

17．如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝AN

ND ，则直线MN 与平面BDC 的位置关

系是________．

18．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件：

①a ∥γ，b ?β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ?γ.如果命题“α∩β＝a ，b ?γ，且________，则a ∥b ”为真命题，

则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．

19．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：

①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.

其中正确命题的个数是________．

20．在矩形ABCD中，AB

①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；

②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；

③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．

其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)

21．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，AD ＝23，∠ACD＝60°，E为CD的中点．

(1)求证：BC∥平面PAE；

(2)求点A到平面PCD的距离．

22．如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，∠DAB＝60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA＝1，AD＝AB＝QD＝2.

(1)求证：平面PAB⊥平面QBC；

(2)求该组合体QPABCD的体积．

23．已知等腰梯形ABCD (如图1所示)，其中AB ∥CD ，E ，F 分别为AB 和CD 的中点，且AB ＝EF ＝2，CD ＝6，M 为BC 中点．现将梯形ABCD 沿着EF 所在直线折起，使平面EFCB ⊥平面EFDA (如图2所示)，N 是线段CD 上一动点，且CN ＝1

2

ND .

(1)求证：MN ∥平面EFDA ；(2)求三棱锥A －MNF 的体积．

24．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝2，E 是侧棱PA 上的中点．

(1)求证：PC ∥平面BDE ；(2)求四棱锥P -ABCD 的体积．

25．如图1，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A -BCF ，其中BC ＝

22

.

(1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；

(3)当AD ＝2

3

时，求三棱锥F -DEG 的体积V F -DEG .

26．如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，∠BAC ＝30°，AC ⊥BM ，且BM 交AC 于点M ，EA ⊥

平面ABC ，CF ∥AE ，AE ＝3，AC ＝4，CF ＝1.

(1)证明：BF ⊥EM ；(2)求三棱锥B -EFM 的体积．

27．如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，AM ＝2.

(1)求证：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)求三棱锥P -MAC 的体积．

29．如图，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝BC ＝2a ，AC ＝23a ，E 是PA 的中点．

(1)求证：平面BED ⊥平面PAC ；(2)求点E 到平面PBC 的距离．

30．如图，已知四棱锥S -ABCD ，底面梯形ABCD 中，AD ∥BC ，平面SAB ⊥平面ABCD ，△SAB 是等边三角形，已知AC ＝2AB ＝4，BC ＝2AD ＝2CD ＝25，M 是SD 上任意一点，SM ―→＝m MD ―→

，且m >0.

(1)求证：平面SAB ⊥平面MAC ；

(2)试确定m 的值，使三棱锥S -ABC 的体积为三棱锥S -MAC 体积的3倍．

31．如图，在三棱柱ABC -DEF 中，侧面ABED 是边长为2的菱形，且∠ABE ＝π3，BC ＝21

2

.点F 在平

面ABED 内的正投影为G ，且点G 在AE 上，FG ＝3，点M 在线段CF 上，且CM ＝1

4

CF .

(1)证明：直线GM ∥平面DEF ；(2)求三棱锥M -DEF 的体积．

32.如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F (E 与A 、D 不重合)分别在棱AD 、BD 上，且EF ⊥AD .

求证：(1)EF ∥平面ABC ；(2)AD ⊥AC .

33.如图所示，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．

求证：(1)AF ∥平面BCE ；(2)平面BCE ⊥平面CDE .

34．如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，得到如图2所示的几何体．

(1)求证：AB ⊥平面ADC ；

(2)若AD ＝1，AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角的正切值为6，求点B 到平面ADE 的距离．

高考押题专练

1．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的()

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】若E，F，G，H四点不共面，则直线EF和GH肯定不相交，但直线EF和GH不相交，E，F，G，H四点可以共面，例如EF∥GH.故选B.

【答案】B

2．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：

①若α∥β，α∥γ，则β∥γ

②若α⊥β，m∥α，则m⊥β

③若m⊥α，m∥β，则α⊥β

④若m∥n，n?α，则m∥α

其中正确命题的序号是()

A．①③B．①④

C．②③D．②④

【解析】对于①，因为平行于同一个平面的两个平面相互平行，所以①正确；对于②，当直线m位于平面β内，且平行于平面α，β的交线时，满足条件，但显然此时m与平面β不垂直，因此②不正确；对于③，在平面β内取直线n平行于m，则由m⊥α，m∥n，得n⊥α，又n?β，因此有α⊥β，③正确；对于④，直线m可能位于平面α内，显然此时m与平面α不平行，因此④不正确．综上所述，正确命题的序号是①③，选A.

【答案】A

3．如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是()

A．AP⊥PB，AP⊥PC

B．AP⊥PB，BC⊥PB

C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC

D．AP⊥平面PBC

【解析】A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.

【答案】B

4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；

②若m∥α，m∥β，则α∥β；

③若m∥n，m∥β，则n∥β；

④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β.

其中真命题的个数为()

A．1B．2

C．3D．4

【解析】对于①，由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于②，平面α与β可能平行或相交，故②错误；对于③，直线n可能平行于平面β，也可能在平面β内，故③错误；对于④，由两平面平行的判定定理易得平面α与β平行，故④错误．综上所述，正确命题的个数为1，故选A.

【答案】A

6.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是()

A．①②B．①②③

C．①D．②③

【解析】对于①，∵PA⊥平面ABC，

∴PA⊥BC.

∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，

又∵PA∩AC＝A，

∴BC⊥平面PAC，

又PC?平面PAC，∴BC⊥PC.

对于②，∵点M为线段PB的中点，

∴OM∥PA，

∵PA?平面PAC，OM?平面PAC，

∴OM∥平面PAC.

对于③，由①知BC⊥平面PAC，

∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．

【答案】B

7．已知平面α及直线a，b，则下列说法正确的是()

A．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行

B．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直

C．若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行

D．若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直

【解析】对于A，若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行、相交、异面，故A错；对于B，若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线可能垂直，如图，直角三角形ACB的直角顶点C 在平面α内，边AC、BC可以与平面α都成30°角，故B错；

C显然错误；

对于D，假设直线a，b与平面α都垂直，则

直线a，b平行，与已知矛盾，则假设不成立，

故D正确，故选D.

【答案】D

8．三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，M，N分别是A1B1，

A 1C 1的中点，则BM 与AN 所成角的余弦值为(

)

A.110

B.35

C.710

D.45

【解析】取BC 的中点O ，连接NO ，AO ，MN ，因为B 1C 1綊BC ，OB ＝12BC ，所以OB ∥B 1C 1，OB ＝1

2B 1C 1，

因为M ，N 分别为A 1B 1，A 1C 1的中点，所以MN ∥B 1C 1，MN ＝1

2B 1C 1，所以MN 綊OB ，所以四边形MNOB

是平行四边形，所以NO ∥MB ，所以∠ANO 或其补角即为BM 与AN 所成角，不妨设AB ＝2，则有AO ＝3，ON ＝BM ＝5，AN ＝5，在△ANO 中，由余弦定理可得cos ∠ANO ＝AN 2＋ON 2－AO 22AN ·ON ＝5＋5－32×5×5＝710.故选

C.

【答案】C

9．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是(

)

【解析】

如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则PQ ∥AB ，QR ∥CD .

设AB ＝BD ＝CD ＝1，则AC ＝3，

x 3＝PQ 1，即PQ ＝x 3

，又QR 1＝BQ

BC ＝3－x 3，所以QR ＝

3－x

3

，

所以PR ＝

3

3

2x 2－23x ＋3，所以f (x )＝362x 2－23x ＋3，其图象是关于直线x ＝3

2

对称的曲线，排除B 、C 、D ，故选A.【答案】A

10．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A －BCD .则在三棱锥A －BCD 中，下列命题正确的是(

)

A ．平面ABD ⊥平面ABC

B ．平面AD

C ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDC

D ．平面ADC ⊥平面ABC

【解析】∵在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，∴BD ⊥CD .又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB .又AD ⊥AB ，AD ∩CD ＝D ，∴AB ⊥平面ADC ，又AB ?平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ADC ，故选D.

【答案】D

11．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是()

A ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n

B ．若m ⊥α，n ⊥m ，则n ∥α

C ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n

D ．若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β

【解析】对于A ，m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n 或m 、n 异面，故A 错误；对于B ，若m ⊥α，n ⊥m ，则n

∥α或n?α，故B错误；对于C，若n⊥β，α⊥β，则n∥α或n?α，又m⊥α，所以m⊥n，故C正确；对于D，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m可能与β相交，也可能与β平行，也可能在β内，故D错误．【答案】C

12.如图，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BCD

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE

【解析】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.

【答案】C

13．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m?α，n∥α，则m∥n；

②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；

③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；

④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.

其中真命题的个数是()

A．0B．1

C．3D．3

【解析】①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m?β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误．

【答案】B

14.如图，在空间四边形ABCD中，点M∈AB，点N∈AD，若AM

MB＝AN

ND，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．

【解析】由AM MB ＝AN

ND ，得MN ∥BD .

而BD ?平面BDC ，MN ?平面BDC ，所以MN ∥平面BDC .【答案】平行

15．正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1D 1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．(填序号)

①AC ⊥BE ；②B 1E ∥平面ABCD ；

③三棱锥EABC 的体积为定值；④直线B 1E ⊥直线BC 1.

【解析】因AC ⊥平面BDD 1B 1，故①正确；因为B 1D 1∥平面ABCD ，故②正确；记正方体的体积为V ，则V EABC ＝1

6

V ，为定值，故③正确；B 1E 与BC 1不垂直，故④错误．

【答案】①②③

16．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥ABCD ，则在三棱锥ABCD 中，下列命题正确的命题序号是________．

①平面ABD ⊥平面ABC ②平面ADC ⊥平面BDC ③平面ABC ⊥平面BDC

④平面ADC ⊥平面ABC

【解析】因为在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，所以BD ⊥CD ，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，CD ?平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又AB ?平面ABD ，则CD ⊥AB ，又AD ⊥AB ，AD ∩CD ＝D ，

所以AB ⊥平面ADC ，又AB ?平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ADC .

【答案】④

17．如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝AN

ND ，则直线MN 与平面BDC 的位置关

系是________．

【解析】由AM MB ＝AN

ND ，得MN ∥BD .

而BD ?平面BDC ，MN ?平面BDC ，所以MN ∥平面BDC .【答案】平行

18．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件：

①a ∥γ，b ?β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ?γ.如果命题“α∩β＝a ，b ?γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．

【解析】由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ?γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.

【答案】①或③

19．已知P 为△ABC 所在平面外一点，且PA ，PB ，PC 两两垂直，则下列命题：①PA ⊥BC ；②PB ⊥AC ；③PC ⊥AB ；④AB ⊥BC .其中正确命题的个数是________．

【解析】如图所示，∵PA ⊥PC ，PA ⊥PB ，PC ∩PB ＝P ，∴PA ⊥平面PBC .又∵BC ?平面PBC ，∴PA ⊥BC .

同理PB ⊥AC ，PC ⊥AB ，但AB 不一定垂直于BC .【答案】3

20．在矩形ABCD 中，AB

①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直；②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直；③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．

其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)

【解析】如图，若AC ⊥BD ，已知CF ⊥BD ，AC ∩CF ＝C ，那么BD ⊥平面ACF ，则BD ⊥AF ，这与平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，所以①不正确；当点A 在平面BCD 内的射影落在线段BC 上时，AB ⊥CD ，所以存在某个位置使AB ⊥CD ；所以②成立；若AD ⊥BC ，已知BC ⊥CD ，CD ∩AD ＝D ，所以BC ⊥平面ACD ，所以BC ⊥AC ，那么AB >BC ，这与已知矛盾，所以③不正确．

【答案】②

21．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，AD ＝23，∠ACD ＝60°，E 为CD 的中点．

(1)求证：BC ∥平面PAE ；(2)求点A 到平面PCD 的距离．

【解析】(1)证明：∵AB ＝3，BC ＝1，∠ABC ＝90°，∴AC ＝2，∠BCA ＝60°.

在△ACD 中，∵AD ＝23，AC ＝2，∠ACD ＝60°，∴AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos ∠ACD ，∴CD ＝4，∴AC 2＋AD 2＝CD 2，∴△ACD 是直角三角形，又E 为CD 中点，∴AE ＝1

2

CD ＝CE ，

∵∠ACD ＝60°，∴△ACE 为等边三角形，∴∠CAE ＝60°＝∠BCA ，∴BC ∥AE ，

又AE ?平面PAE ，BC ?平面PAE ，∴BC ∥平面PAE .

(2)设点A 到平面PCD 的距离为d ，根据题意可得，PC ＝22，PD ＝CD ＝4，∴S △PCD ＝27，∵V P －ACD ＝V A －PCD ，∴13·S △ACD ·PA ＝1

3·S △PCD ·d ，∴13×12×2×23×2＝1

3

×27d ，∴d ＝2217

，

∴点A 到平面PCD 的距离为

221

7

.22．如图所示的几何体QPABCD 为一简单组合体，在底面ABCD 中，∠DAB ＝60°，AD ⊥DC ，AB ⊥BC ，QD ⊥平面ABCD ，PA ∥QD ，PA ＝1，AD ＝AB ＝QD ＝2.

(1)求证：平面PAB ⊥平面QBC ；(2)求该组合体QPABCD 的体积．

【解析】(1)证明：因为QD ⊥平面ABCD ，PA ∥QD ，所以PA ⊥平面ABCD .又BC ?平面ABCD ，所以PA ⊥BC ，因为AB ⊥BC ，且AB ∩PA ＝A ，所以BC ⊥平面PAB ，又BC ?平面QBC ，所以平面PAB ⊥平面QBC .(2)平面QDB 将几何体分成四棱锥B －PADQ 和三棱锥Q －BDC 两部分，过B 作BO ⊥AD ，因为PA ⊥平面ABCD ，BO ?平面ABCD ，所以PA ⊥BO ，又AD ⊥OB ，PA ∩AD ＝A ，

所以BO ⊥平面PADQ ，即BO 为四棱锥B －APQD 的高，

因为BO ＝3，S 四边形P ADQ ＝3，所以V B －P ADQ ＝1

3·BO ·S 四边形P ADQ ＝3，

因为QD ⊥平面ABCD ，且QD ＝2，

又△BCD 为顶角等于120°的等腰三角形，BD ＝2，S △BDC ＝3

3

，所以V Q －BDC ＝13·S △BDC ·QD ＝23

9

，

所以组合体QPABCD 的体积为3＋

239＝113

9

.23．已知等腰梯形ABCD (如图1所示)，其中AB ∥CD ，E ，F 分别为AB 和CD 的中点，且AB ＝EF ＝2，CD ＝6，M 为BC 中点．现将梯形ABCD 沿着EF 所在直线折起，使平面EFCB ⊥平面EFDA (如图2所示)，N 是线段CD 上一动点，且CN ＝1

2

ND .

(1)求证：MN ∥平面EFDA ；(2)求三棱锥A －MNF 的体积．

【解析】(1)证明：过点M 作MP ⊥EF 于点P ，过点N 作NQ ⊥FD 于点Q ，连接PQ .由题知，平面EFCB ⊥平面EFDA ，

又MP ⊥EF ，平面EFCB ∩平面EFDA ＝EF ，∴MP ⊥平面EFDA .

又EF ⊥CF ，EF ⊥DF ，CF ∩DF ＝F ，∴EF ⊥平面CFD .

又NQ ?平面CFD ，∴NQ ⊥EF .又NQ ⊥FD ，EF ∩FD ＝F ，∴NQ ⊥平面EFDA ，∴MP ∥NQ .

又CN ＝12ND ，∴NQ ＝23CF ＝2

3

×3＝2，