数学(理)知识清单-专题12 空间的平行与垂直(原卷+解析版)

专练1．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β③若m⊥α，m∥β，则α⊥β④若m∥n，n⊂α，则m∥α其中正确命题的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④3．如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是()A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β.其中真命题的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．46.如图所示，直线PA 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长．其中正确的是()A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③7．已知平面α及直线a ，b ，则下列说法正确的是()A ．若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行B ．若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直C ．若直线a ，b 平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行D ．若直线a ，b 垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直8．三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AB ，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，则BM 与AN 所成角的余弦值为()A.110 B.35C.710D.459．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是()10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC11．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是()A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若m⊥α，n⊥m，则n∥αC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β12.如图，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE13．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题的个数是()A ．0B ．1C ．3D ．314.如图，在空间四边形ABCD 中，点M ∈AB ，点N ∈AD ，若AM MB ＝AN ND ，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是________．15．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1D 1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．(填序号)①AC ⊥BE ；②B 1E ∥平面ABCD ；③三棱锥E ­ABC 的体积为定值；④直线B 1E ⊥直线BC 1.16．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A ­BCD ，则在三棱锥A ­BCD 中，下列命题正确的命题序号是________．①平面ABD ⊥平面ABC②平面ADC ⊥平面BDC ③平面ABC ⊥平面BDC ④平面ADC ⊥平面ABC17．如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝AN ND，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是________．18．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．19．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确命题的个数是________．20．在矩形ABCD中，AB<BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)21．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，AD ＝23，∠ACD＝60°，E为CD的中点．(1)求证：BC∥平面PAE；(2)求点A到平面PCD的距离．22．如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，∠DAB＝60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA＝1，AD＝AB＝QD＝2.(1)求证：平面PAB⊥平面QBC；(2)求该组合体QPABCD的体积．23．已知等腰梯形ABCD (如图1所示)，其中AB ∥CD ，E ，F 分别为AB 和CD 的中点，且AB ＝EF ＝2，CD ＝6，M 为BC 中点．现将梯形ABCD 沿着EF 所在直线折起，使平面EFCB ⊥平面EFDA (如图2所示)，N 是线段CD 上一动点，且CN ＝12ND .(1)求证：MN ∥平面EFDA ；(2)求三棱锥A －MNF 的体积．24．如图，四棱锥P ­ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝2，E 是侧棱PA 上的中点．(1)求证：PC ∥平面BDE ；(2)求四棱锥P ­ABCD 的体积．25．如图1，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A ­BCF ，其中BC ＝22.(1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F ­DEG 的体积V F ­DEG .26．如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，∠BAC ＝30°，AC ⊥BM ，且BM 交AC 于点M ，EA ⊥平面ABC ，CF ∥AE ，AE ＝3，AC ＝4，CF ＝1.(1)证明：BF ⊥EM ；(2)求三棱锥B ­EFM 的体积．27．如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，AM ＝2.(1)求证：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)求三棱锥P ­MAC 的体积．29．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝BC ＝2a ，AC ＝23a ，E 是PA 的中点．(1)求证：平面BED ⊥平面PAC ；(2)求点E 到平面PBC 的距离．30．如图，已知四棱锥S ­ABCD ，底面梯形ABCD 中，AD ∥BC ，平面SAB ⊥平面ABCD ，△SAB 是等边三角形，已知AC ＝2AB ＝4，BC ＝2AD ＝2CD ＝25，M 是SD 上任意一点，SM ―→＝m MD ―→，且m >0.(1)求证：平面SAB ⊥平面MAC ；(2)试确定m 的值，使三棱锥S ­ABC 的体积为三棱锥S ­MAC 体积的3倍．31．如图，在三棱柱ABC ­DEF 中，侧面ABED 是边长为2的菱形，且∠ABE ＝π3，BC ＝212.点F 在平面ABED 内的正投影为G ，且点G 在AE 上，FG ＝3，点M 在线段CF 上，且CM ＝14CF .(1)证明：直线GM ∥平面DEF ；(2)求三棱锥M ­DEF 的体积．32.如图，在三棱锥A ­BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F (E 与A 、D 不重合)分别在棱AD 、BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ；(2)AD ⊥AC .33.如图所示，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：(1)AF ∥平面BCE ；(2)平面BCE ⊥平面CDE .34．如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，得到如图2所示的几何体．(1)求证：AB ⊥平面ADC ；(2)若AD ＝1，AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角的正切值为6，求点B 到平面ADE 的距离．高考押题专练1．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若E，F，G，H四点不共面，则直线EF和GH肯定不相交，但直线EF和GH不相交，E，F，G，H四点可以共面，例如EF∥GH.故选B.【答案】B2．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ②若α⊥β，m∥α，则m⊥β③若m⊥α，m∥β，则α⊥β④若m∥n，n⊂α，则m∥α其中正确命题的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④【解析】对于①，因为平行于同一个平面的两个平面相互平行，所以①正确；对于②，当直线m位于平面β内，且平行于平面α，β的交线时，满足条件，但显然此时m与平面β不垂直，因此②不正确；对于③，在平面β内取直线n平行于m，则由m⊥α，m∥n，得n⊥α，又n⊂β，因此有α⊥β，③正确；对于④，直线m可能位于平面α内，显然此时m与平面α不平行，因此④不正确．综上所述，正确命题的序号是①③，选A.【答案】A3．如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是()A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC【解析】A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.【答案】B4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥n，m∥β，则n∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β.其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4【解析】对于①，由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于②，平面α与β可能平行或相交，故②错误；对于③，直线n可能平行于平面β，也可能在平面β内，故③错误；对于④，由两平面平行的判定定理易得平面α与β平行，故④错误．综上所述，正确命题的个数为1，故选A.【答案】A6.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是()A．①②B．①②③C．①D．②③【解析】对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC.对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC.对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．【答案】B7．已知平面α及直线a，b，则下列说法正确的是()A．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行B．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直C．若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行D．若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直【解析】对于A，若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行、相交、异面，故A错；对于B，若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线可能垂直，如图，直角三角形ACB的直角顶点C 在平面α内，边AC、BC可以与平面α都成30°角，故B错；C显然错误；对于D，假设直线a，b与平面α都垂直，则直线a，b平行，与已知矛盾，则假设不成立，故D正确，故选D.【答案】D8．三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，M，N分别是A1B1，A 1C 1的中点，则BM 与AN 所成角的余弦值为()A.110 B.35C.710D.45【解析】取BC 的中点O ，连接NO ，AO ，MN ，因为B 1C 1綊BC ，OB ＝12BC ，所以OB ∥B 1C 1，OB ＝12B 1C 1，因为M ，N 分别为A 1B 1，A 1C 1的中点，所以MN ∥B 1C 1，MN ＝12B 1C 1，所以MN 綊OB ，所以四边形MNOB 是平行四边形，所以NO ∥MB ，所以∠ANO 或其补角即为BM 与AN 所成角，不妨设AB ＝2，则有AO ＝3，ON ＝BM ＝5，AN ＝5，在△ANO 中，由余弦定理可得cos ∠ANO ＝AN 2＋ON 2－AO 22AN ·ON ＝5＋5－32×5×5＝710.故选C.【答案】C9．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是()【解析】如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则PQ ∥AB ，QR ∥CD .设AB ＝BD ＝CD ＝1，则AC ＝3，x 3＝PQ 1，即PQ ＝x 3，又QR 1＝BQ BC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x 3，所以PR ＝332x 2－23x ＋3，所以f (x )＝362x 2－23x ＋3，其图象是关于直线x ＝32对称的曲线，排除B 、C 、D ，故选A.【答案】A10．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A －BCD .则在三棱锥A －BCD 中，下列命题正确的是()A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC【解析】∵在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，∴BD ⊥CD .又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB .又AD ⊥AB ，AD ∩CD ＝D ，∴AB ⊥平面ADC ，又AB ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ADC ，故选D.【答案】D11．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是()A ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊥m ，则n ∥αC ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥nD ．若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β【解析】对于A ，m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n 或m 、n 异面，故A 错误；对于B ，若m ⊥α，n ⊥m ，则n∥α或n⊂α，故B错误；对于C，若n⊥β，α⊥β，则n∥α或n⊂α，又m⊥α，所以m⊥n，故C正确；对于D，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m可能与β相交，也可能与β平行，也可能在β内，故D错误．【答案】C12.如图，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE【解析】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.【答案】C13．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题的个数是()A．0B．1C．3D．3【解析】①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误．【答案】B14.如图，在空间四边形ABCD中，点M∈AB，点N∈AD，若AMMB＝ANND，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．【解析】由AM MB ＝AN ND，得MN ∥BD .而BD ⊂平面BDC ，MN ⊄平面BDC ，所以MN ∥平面BDC .【答案】平行15．正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1D 1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．(填序号)①AC ⊥BE ；②B 1E ∥平面ABCD ；③三棱锥EABC 的体积为定值；④直线B 1E ⊥直线BC 1.【解析】因AC ⊥平面BDD 1B 1，故①正确；因为B 1D 1∥平面ABCD ，故②正确；记正方体的体积为V ，则V EABC ＝16V ，为定值，故③正确；B 1E 与BC 1不垂直，故④错误．【答案】①②③16．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥ABCD ，则在三棱锥ABCD 中，下列命题正确的命题序号是________．①平面ABD ⊥平面ABC②平面ADC ⊥平面BDC ③平面ABC ⊥平面BDC ④平面ADC ⊥平面ABC【解析】因为在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，所以BD ⊥CD ，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又AB ⊂平面ABD ，则CD ⊥AB ，又AD ⊥AB ，AD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面ADC ，又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ADC .【答案】④17．如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝AN ND，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是________．【解析】由AM MB ＝AN ND，得MN ∥BD .而BD ⊂平面BDC ，MN ⊄平面BDC ，所以MN ∥平面BDC .【答案】平行18．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．【解析】由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.【答案】①或③19．已知P 为△ABC 所在平面外一点，且PA ，PB ，PC 两两垂直，则下列命题：①PA ⊥BC ；②PB ⊥AC ；③PC ⊥AB ；④AB ⊥BC .其中正确命题的个数是________．【解析】如图所示，∵PA ⊥PC ，PA ⊥PB ，PC ∩PB ＝P ，∴PA ⊥平面PBC .又∵BC ⊂平面PBC ，∴PA ⊥BC .同理PB ⊥AC ，PC ⊥AB ，但AB 不一定垂直于BC .【答案】320．在矩形ABCD 中，AB <BC ，现将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直；②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直；③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)【解析】如图，若AC ⊥BD ，已知CF ⊥BD ，AC ∩CF ＝C ，那么BD ⊥平面ACF ，则BD ⊥AF ，这与平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，所以①不正确；当点A 在平面BCD 内的射影落在线段BC 上时，AB ⊥CD ，所以存在某个位置使AB ⊥CD ；所以②成立；若AD ⊥BC ，已知BC ⊥CD ，CD ∩AD ＝D ，所以BC ⊥平面ACD ，所以BC ⊥AC ，那么AB >BC ，这与已知矛盾，所以③不正确．【答案】②21．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，AD ＝23，∠ACD ＝60°，E 为CD 的中点．(1)求证：BC ∥平面PAE ；(2)求点A 到平面PCD 的距离．【解析】(1)证明：∵AB ＝3，BC ＝1，∠ABC ＝90°，∴AC ＝2，∠BCA ＝60°.在△ACD 中，∵AD ＝23，AC ＝2，∠ACD ＝60°，∴AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos ∠ACD ，∴CD ＝4，∴AC 2＋AD 2＝CD 2，∴△ACD 是直角三角形，又E 为CD 中点，∴AE ＝12CD ＝CE ，∵∠ACD ＝60°，∴△ACE 为等边三角形，∴∠CAE ＝60°＝∠BCA ，∴BC ∥AE ，又AE ⊂平面PAE ，BC ⊄平面PAE ，∴BC ∥平面PAE .(2)设点A 到平面PCD 的距离为d ，根据题意可得，PC ＝22，PD ＝CD ＝4，∴S △PCD ＝27，∵V P －ACD ＝V A －PCD ，∴13·S △ACD ·PA ＝13·S △PCD ·d ，∴13×12×2×23×2＝13×27d ，∴d ＝2217，∴点A 到平面PCD 的距离为2217.22．如图所示的几何体QPABCD 为一简单组合体，在底面ABCD 中，∠DAB ＝60°，AD ⊥DC ，AB ⊥BC ，QD ⊥平面ABCD ，PA ∥QD ，PA ＝1，AD ＝AB ＝QD ＝2.(1)求证：平面PAB ⊥平面QBC ；(2)求该组合体QPABCD 的体积．【解析】(1)证明：因为QD ⊥平面ABCD ，PA ∥QD ，所以PA ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BC ，因为AB ⊥BC ，且AB ∩PA ＝A ，所以BC ⊥平面PAB ，又BC ⊂平面QBC ，所以平面PAB ⊥平面QBC .(2)平面QDB 将几何体分成四棱锥B －PADQ 和三棱锥Q －BDC 两部分，过B 作BO ⊥AD ，因为PA ⊥平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BO ，又AD ⊥OB ，PA ∩AD ＝A ，所以BO ⊥平面PADQ ，即BO 为四棱锥B －APQD 的高，因为BO ＝3，S 四边形P ADQ ＝3，所以V B －P ADQ ＝13·BO ·S 四边形P ADQ ＝3，因为QD ⊥平面ABCD ，且QD ＝2，又△BCD 为顶角等于120°的等腰三角形，BD ＝2，S △BDC ＝33，所以V Q －BDC ＝13·S △BDC ·QD ＝239，所以组合体QPABCD 的体积为3＋239＝1139.23．已知等腰梯形ABCD (如图1所示)，其中AB ∥CD ，E ，F 分别为AB 和CD 的中点，且AB ＝EF ＝2，CD ＝6，M 为BC 中点．现将梯形ABCD 沿着EF 所在直线折起，使平面EFCB ⊥平面EFDA (如图2所示)，N 是线段CD 上一动点，且CN ＝12ND .(1)求证：MN ∥平面EFDA ；(2)求三棱锥A －MNF 的体积．【解析】(1)证明：过点M 作MP ⊥EF 于点P ，过点N 作NQ ⊥FD 于点Q ，连接PQ .由题知，平面EFCB ⊥平面EFDA ，又MP ⊥EF ，平面EFCB ∩平面EFDA ＝EF ，∴MP ⊥平面EFDA .又EF ⊥CF ，EF ⊥DF ，CF ∩DF ＝F ，∴EF ⊥平面CFD .又NQ ⊂平面CFD ，∴NQ ⊥EF .又NQ ⊥FD ，EF ∩FD ＝F ，∴NQ ⊥平面EFDA ，∴MP ∥NQ .又CN ＝12ND ，∴NQ ＝23CF ＝23×3＝2，且MP ＝12(BE ＋CF )＝12×(1＋3)＝2，∴MP 綊NQ ，∴四边形MNQP 为平行四边形．∴MN ∥PQ .又∵MN ⊄平面EFDA ，PQ ⊂平面EFDA ，∴MN ∥平面EFDA .(2)法一：延长DA ，CB 相交于一点H ，则H ∈CB ，H ∈DA .又∵CB ⊂平面FEBC ，DA ⊂平面FEAD .∴H ∈平面FEBC ，H ∈平面FEAD ，即H ∈平面FEBC ∩平面FEAD ＝EF ，∴DA ，FE ，CB 交于一点H ，且HE ＝12EF ＝1.V 三棱锥F －CDH ＝V 三棱锥C －HFD ＝13·S △HFD ·CF ＝92，又由平面几何知识得S △AMN S △CDH ＝29，则V 三棱锥F －AMN V 三棱锥F －CDH ＝29，∴V 三棱锥A －MNF ＝V 三棱锥F －AMN ＝29·V 三棱锥F －CDH ＝29×921.法二：V 三棱台BEA －CDF ＝13×EF ×(S △BEA ＋S △BEA ·S △CDF ＋S △CDF )＝13×2×＋12×92＋＝133，V 四棱锥A －BEFM ＝13×AE ×S 四边形BEFM ＝56，V 三棱锥N －ADF ＝13×2×S △ADF ＝2，V 三棱锥N －CFM ＝13×1×S △CFM ＝12，V 三棱锥A －MNF ＝V 三棱台BEA －CDF －V 三棱锥N －CFM －V 四棱锥A －BEFM －V 三棱锥N －ADF ＝133－12－56－2＝1.24．如图，四棱锥P ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝2，E 是侧棱P A 上的中点．(1)求证：PC ∥平面BDE ；(2)求四棱锥PABCD 的体积．(1)证明：连接AC 交BD 于点O ，连接OE ，如图：因为四边形ABCD 是正方形，所以O 是AC 的中点．又E 是PA 的中点，所以PC ∥OE .因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以PC ∥平面BDE .(2)【解析】因为PA ⊥平面ABCD ，所以V P ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PA ＝13×12×2＝23，所以四棱锥P ABCD 的体积为23.25．如图1，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥ABCF ，其中BC ＝22.(1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥FDEG 的体积V FDEG .(1)证明：在等边△ABC 中，AD ＝AE ，在折叠后的图形中，仍有AD ＝AE ，AB ＝AC ，因此AD AB ＝AEAC，从而DE ∥BC .因为DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，所以DE ∥平面BCF .(2)证明：在折叠前的图形中，因为△ABC 为等边三角形，BF ＝CF ，所以AF ⊥BC ，则在折叠后的图形中，AF ⊥BF ，AF ⊥CF ，又BF ＝CF ＝12，BC ＝22.所以BC 2＝BF 2＋CF 2，所以BF ⊥CF .又BF ∩AF ＝F ，BF ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以CF ⊥平面ABF .(3)【解析】由(1)知，平面DEG ∥平面BCF ，由(2)知AF ⊥BF ，AF ⊥CF ，又BF ∩CF ＝F ，所以AF ⊥平面BCF ，所以AF ⊥平面DEG ，即GF ⊥平面DEG .在折叠前的图形中，AB ＝1，BF ＝CF ＝12，AF ＝32.由AD ＝23知AD AB ＝23，又DG ∥BF ，所以DG BF ＝AG AF ＝AD AB ＝23，所以DG ＝EG ＝23×12＝13，AG ＝23×32＝33，所以FG ＝AF －AG ＝36，故V 三棱锥FDEG ＝V 三棱锥EDFG ＝13×12DG ·FG ·GE ＝16××36＝3324.26．如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，∠BAC ＝30°，AC ⊥BM ，且BM 交AC 于点M ，EA ⊥平面ABC ，CF ∥AE ，AE ＝3，AC ＝4，CF ＝1.(1)证明：BF⊥EM；(2)求三棱锥BEFM的体积．【解析】(1)证明：∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥BM，又BM⊥AC，AC∩EA＝A，∴BM⊥平面ACFE，∴BM⊥EM.①∵CF∥AE，∴CF⊥平面ABC，∴CF⊥AC，∴FM＝MC2＋FC2＝2，又EM＝AE2＋AM2＝32，EF＝42＋22＝25，∴FM2＋EM2＝EF2，∴EM⊥FM.②由①②并结合FM∩BM＝M，得EM⊥平面BMF，∴EM⊥BF.(2)由(1)知EM⊥平面BMF，∴V BEFM＝V EBMF＝13×S△BMF×EM＝13×12×2×3×32＝3.27．如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB ＝120°，AB⊥PC，AM＝2.(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(2)求三棱锥PMAC的体积．【解析】(1)证明：由∠PCB＝90°得PC⊥CB.又AB⊥PC，AB∩CB＝B，所以PC⊥平面ABC.又PC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.(2)在平面PCBM内，过点M作MN⊥BC交BC于点N，连接AN，则CN＝PM＝1，又PM ∥BC ，所以四边形PMNC 为平行四边形，所以PC ∥MN 且PC ＝MN ，由(1)得PC ⊥平面ABC ，所以MN ⊥平面ABC ，在△ACN 中，AN 2＝AC 2＋CN 2－2AC ·CN cos 120°＝3，即AN ＝ 3.又AM ＝2，所以在Rt △AMN 中，MN ＝1，所以PC ＝MN ＝1.在平面ABC 内，过点A 作AH ⊥BC 交BC 的延长线于点H ，则AH ⊥平面PMC ，因为AC ＝CN ＝1，∠ACB ＝120°，所以∠ANC ＝30°.所以在Rt △AHN 中，AH ＝12AN ＝32，而S △PMC ＝12×1×1＝12，所以V PMAC ＝V APMC ＝13×S △PMC ×AH ＝13×12×32＝312.29．如图，在四棱锥P ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝BC ＝2a ，AC ＝23a ，E 是PA 的中点．(1)求证：平面BED ⊥平面PAC ；(2)求点E 到平面PBC 的距离．【解析】(1)证明：在平行四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∴四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC .∵PC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PC ⊥BD .又PC ∩AC ＝C ，∴BD ⊥平面PAC ，∵BD ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面PAC .(2)设AC 交BD 于点O ，连接OE ，如图．在△PCA 中，易知O 为AC 的中点，又E 为PA 的中点，∴EO ∥PC .∵PC ⊂平面PBC ，EO ⊄平面PBC ，∴EO ∥平面PBC .∴点O 到平面PBC 的距离就是点E 到平面PBC 的距离．∵PC ⊥平面ABCD ，PC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABCD ，且两平面的交线为BC .在平面ABCD 内过点O 作OH ⊥BC 于点H ，则OH ⊥平面PBC .在Rt △BOC 中，BC ＝2a ，OC ＝12AC ＝3a ，∴OB ＝a .由S △BOC ＝12OC ·OB ＝12BC ·OH ，得OH ＝OB ·OC BC ＝a ·3a 2a ＝32a .∴点E 到平面PBC 的距离为32a .30．如图，已知四棱锥S ABCD ，底面梯形ABCD 中，AD ∥BC ，平面SAB ⊥平面ABCD ，△SAB 是等边三角形，已知AC ＝2AB ＝4，BC ＝2AD ＝2CD ＝25，M 是SD 上任意一点，＝m ，且m >0.(1)求证：平面SAB ⊥平面MAC ；(2)试确定m 的值，使三棱锥S ABC 的体积为三棱锥SMAC 体积的3倍．【解析】(1)证明：在△ABC 中，由于AB ＝2，AC ＝4，BC ＝25，∴AB 2＋AC 2＝BC 2，故AB ⊥AC .又平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB ∩平面ABCD ＝AB ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面SAB ，又AC ⊂平面MAC ，故平面SAB ⊥平面MAC .(2)V S MAC ＝V M SAC ＝m m ＋1V D SAC ＝m m ＋1S ACD ，∴V S _x001F_ABC V S _x001F_MAC ＝m ＋1m ·V S _x001F_ABC V S _x001F_ACD ＝m ＋1m ·S △ABC S △ACD ＝m ＋1m·2＝3，∴m ＝2，即当m ＝2时，三棱锥S ABC 的体积为三棱锥S MAC 体积的3倍．31．如图，在三棱柱ABCDEF 中，侧面ABED 是边长为2的菱形，且∠ABE ＝π3，BC ＝212.点F 在平面ABED 内的正投影为G ，且点G 在AE 上，FG ＝3，点M 在线段CF 上，且CM ＝14CF .(1)证明：直线GM ∥平面DEF ；(2)求三棱锥MDEF 的体积．【解析】(1)证明：∵点F 在平面ABED 内的正投影为G ，∴FG ⊥平面ABED ，∴FG ⊥GE ，又BC ＝212＝EF ，FG ＝3，∴GE ＝32.∵四边形ABED 是边长为2的菱形，且∠ABE ＝π3，∴AE ＝2，∴AG ＝12.如图，过点G 作GH ∥AD 交DE 于点H ，连接FH .则GH AD ＝GE AE ，∴GH ＝32，由CM ＝14CF 得MF ＝32＝GH .∵GH ∥AD ∥MF ，∴四边形GHFM 为平行四边形，∴GM ∥FH .又GM ⊄平面DEF ，FH ⊂平面DEF ，∴GM ∥平面DEF .(2)由(1)知GM ∥平面DEF ，连接GD ，则有V M DEF ＝V G DEF .又V G DEF ＝V F DEG ＝13FG ·S △DEG ＝13FG ·34S △DAE＝34，∴V M DEF ＝34.32.如图，在三棱锥ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F (E 与A 、D 不重合)分别在棱AD 、BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明：(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD且BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又因为AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.33.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD 的中点．求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.证明：(1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.因为F为CD的中点，所以GF ∥DE 且GF ＝12DE .因为AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，所以AB ∥DE ，所以GF ∥AB .又因为AB ＝12DE ，所以GF ＝AB .所以四边形GFAB 为平行四边形，则AF ∥BG .因为AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，所以AF ∥平面BCE .(2)因为△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点，所以AF ⊥CD .因为DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，所以DE ⊥AF .又CD ∩DE ＝D ，所以AF ⊥平面CDE .因为BG ∥AF ，所以BG ⊥平面CDE .又因为BG ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE .34．如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，得到如图2所示的几何体．(1)求证：AB ⊥平面ADC ；(2)若AD ＝1，AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角的正切值为6，求点B 到平面ADE 的距离．【解析】(1)证明：因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，又DC ⊥BD ，DC ⊂平面BCD ，所以DC ⊥平面ABD .因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB .又因为折叠前后均有AD ⊥AB ，且DC ∩AD ＝D ，所以AB ⊥平面ADC .(2)由(1)知DC ⊥平面ABD ，所以AC 在平面ABD 内的正投影为AD ，即∠CAD 为AC 与其在平面ABD 内的正投影所成的角．依题意知tan ∠CAD ＝DCAD ＝6，因为AD ＝1，所以DC ＝ 6.设AB ＝x (x ＞0)，则BD ＝x 2＋1，易知△ABD ∽△DCB ，所以AB AD ＝DC BD，即x1＝6x 2＋1，解得x ＝2，故AB ＝2，BD ＝3，BC ＝3.由于AB ⊥平面ADC ，所以AB ⊥AC ，又E 为BC 的中点，所以由平面几何知识得AE ＝BC 2＝32，同理DE ＝BC 2＝32，所以S △ADE ＝12×1×＝22.因为DC ⊥平面ABD ，所以V A ­BCD ＝13CD ·S △ABD ＝33.设点B 到平面ADE 的距离为d ，则13d ·S △ADE ＝V B ­ADE ＝V A ­BDE ＝12V A ­BCD ＝36，所以d ＝62，即点B 到平面ADE 的距离为62.。