数字信号处理 第04章 正交变换
数字信号处理第4章快速傅里叶变换FFT
X 6(k)
x6 (l)WNkl/ 4 DFT [x6(l)]
i0
x5 (l ) x6 (l )
x2 x2
(2l (2l
)
1)
,
l
0,1, N
/
4
1
(4.2.11)
课件
12
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
x(0 )
N/4点 X3(0 )
x(4 )
DFT X3(1 )
e N
j 2 m
e N
WNm
(4.2.2)
其对称性表现为
WNm WNN m 或者 [WNN m ] WNm
m N
WN 2
WNm
课件
4
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理 FFT 算 法 基 本 上 分 为 两 大 类 : 时 域 抽 取 法
课件
21
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
x(0 )
N/4点
X(0 )
x(1 )
DFT
X(4 )
x(2 )
W
0 N
N/4点
X(2 )
x(3 )
W
2 N
DFT
X(6 )
x(4 )
W
0 N
N/4点
X(1 )
x(5 )
W
1 N
DFT
X(5 )
x(6 )
W
2 N
W
0 N
N/4点
X(3 )
x(7 )
W
3 N
W
X
(k
N 2
)
函数正交变换与离散傅里叶变换_图文_图文
满足定常映射条件
2.2离散系统和连续系统的等效性
给出几个正交展开的实例,并且判断是否符合定常映射条件 即连续系统离散化时,通常利用的方法是采样(也是正交展开的一种), 还可以利用符合定常映射条件的展开方法。 例2:时限函数对复指数函数序列的展开
DFT变换长度选择的原则
(1)若已知信号的最高频率 ;
,为防止混叠,选采样频率
(2)根据频率分辩率 ,确定所需DFT的长度
(3) 和N确定以后,即可确定相应所需要的模拟信号的时间
长度,。
2.3离散傅里叶变换及性质
DFT变换长度选择的原则
在变换时尽量截取信号的完整周期,否则会引入新的频率 成分。并不是截取的信号越长越好
1、 为序列 在离散频率点
上的频谱值。
2、 相当于频谱
在
范围内实施了等间隔采
样,采样间隔为
离散傅立叶反变换(IDFT)
2.3离散傅里叶变换及性质
据DFT和IDFT的定义知:
∴有限长序列的DFT是 的周期序列,周期为N; IDFT所求得的 也变成了一个周期为N的周期序列, 即通过IDFT将原 进行了周期延拓。
若对傅立叶变换频域0~2π取样,点数N> 信号长度L,信号才能恢复
2.3离散傅里叶变换及性质
DFT的定义
在
上从0开始等间隔的取N个点,相应的
(k=0,…,N-1),则上式变为:
定义 式
其中 为序列 在离散频率点
上的频谱值。
2.3离散傅里叶变换及性质
DFT的意义
有限长序列 的离散傅立叶变换(简称DFT)的意义:
f(t)对规范正交逼近基底的正交展开收敛于原f(t)
数字信号处理-正交变换
的根
必有: j 0, j 1, N 1,
再由:
0 N
将
0 N j 0, j 1, N 1,
代入
正是DCT变 换矩阵!
经化简
结论:当 1 时,对Markov-1过程做
K—L变换的正交矩阵正是DCT变换的变换矩 阵,也即:此时的DCT近似K—L变换。因为 DCT有快速算法,另外, Markov-1过程可作 为一大类信号(语音、图象)的数学模型,因 此 DCT在图象、语音压缩中起到了关键性的 作用,成为国际上许多标准(如 JPEG, MPEG) 的重要工具。 下图是 N 8, 0.95 时 K—L变换矩阵、 DCT 变换矩阵、DST 变换矩阵的行向量。
x
的表
示必然存在信息冗余,且对偶向量不唯一。
i 可能构成一个“标架(Frame)”;
3. 如果
i 是完备的,且是线性无关的,
则它构成 X 中的一组基向量,这时其对偶 向量存在且唯一,即存在前述的双正交关系; 这时的基称为 Riesz 基。
4. 如果
则
ˆi i
i 1,2,, N
Cx (i, j ) Cx ( j, i)
K—L 变换的思路: 寻找正交矩阵 A ,做变换 y Ax , 使 y 的协方差阵 C y 为对角阵。
这样
y [ y(0), y(1),, y( N 1)]
T
如 何 实 现
之间彻底去除了相关性。
步骤:
1. 由 求 的特征值
2. 求
的 N 个特征向量
C x E ( x x )( x x )T c0,1 c0,0 c1,0 c1,1 cN 1,0 cN 1,1 c0, N 1 c1, N 1 cN 1, N 1
宽带无线通信 第四章 正交频分复用(ofdm)
e j 2pkft , g k (t ) 0,
t [TG , Ts ] t [T G, Ts ]
总的OFDM块持续时间为T= TG + Ts
国家重点实验室
数学描述
每个子载波都能独立的用复调制符号Sn,k 进行调制, 下标n代表时间,k代表OFDM块中的子载波编号。 这样,在符号持续时间T内,形成的第n个OFDM 块信号如下: 1 N 1 sn (t ) S n ,k g k (t nT ) (3) N k 0 包含所有OFDM块的全部连续时间信号为:
gk , g Sn,k
* l
g k (t )gl* (t )dt TS k ,l
0
Ts
(6) (7)
其中
N * sn (t ), g k (t nT ) TS * gk (t ) 是 gk(t) 的共轭.
国家重点实验室
IFFT实现
1 sn (t ) N
S
k 0
N 1
t [0, Ts ] t [0, Ts ]
(1)
国家重点实验室
载波间的干扰
国家重点实验室载波间的干扰源自国家重点实验室数学描述
因为系统带宽B被分为N个窄带子信道,在相同 系统带宽的情况下,OFDM块的持续时间Ts 是单 载波传输系统符号周期的N倍。将子载波信号gk(t) 进行扩展一个长度为TG的周期前缀(称为保护间 隔)后,形成如下信号:
f0
fN-1
国家重点实验室
多用户OFDM(OFDMA)
• 不同的子载波分配给不同的用户;
-载波分配为正交或者准正交
f0
fN-1
• 每个用户在各个子载波的衰落相互独立; • 自适应的资源分配保证给予每个用户最好的子载 波并最佳的适应这些信道; • 当多个用户分配了相同的子信道时,采用多天线 系统可以降低干扰。
数字图像处理 第三讲 正交变换
正交变换
6、二维卷积定理
f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G (u, v) f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G (u, v)
7、相关定理
f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G * (u, v) f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G (u, v)
二维离散傅立叶变换对可表示为:
ux vy f ( x, y) exp j 2 N x 0 y 0 u, v 0,1,2,, N 1 1 F (u, v) N
N 1 N 1
ux vy F (u, v) exp j 2 N u 0 v 0 x, y 0,1,2,, N 1 1 f ( x, y ) N
x 0 y 0
N 1 N 1
ux vy f ( x, y) exp j 2 N exp j 2 mx ny x 0 y 0 当m,n为整数时, j 2 mx ny 为单位值 exp
N 1 N 1
正交变换
8、平均值 二维离散函数的平均值定义为:
1 f ( x, y ) 2 N
f ( x, y)
x 0 y 1
N 1 N 1
将u=0,v=0代入二维离散傅立叶变换式中有:
1 F 0,0 2 N
f ( x, y) f ( x, y)
x 0 y 1
N 1 N 1
u mN x v nN y f ( x, y ) exp j 2 N
F (u mN , v nN ) F (u , v)
《数字信号处理》第四章 相关分析
对函数两边同时作傅立叶变换有:
F
r12( )
r12 (
)e j2f
d
x1
(t
)
x2
(t
)dtej2f d
x1
(t
)
x2
(t
)ej2f d dt
第二节 相关函数的性质
这是由于:
① r(τ)完全由它的能量谱或功率谱P(f )来决定; ② P(f ) =∣X(f )∣2
具有相同的振幅谱而不同相位谱的信号,可以 有相同的自相关函数。
第一节 相关
相关函数r(τ)存在的条件是:
信号x1(t)和x2(t)是绝对可积函数。
即:
x12
(t)dt
,
或
x(t)dt
x 2 2
(t)dt
与自相关函数相对应,如果参与相关的两个信号是
不同的信号,则其相关函数称为互相关函数。
第一节 相关
t
min
xe2 (t)
x
2
(t
)dt
1
x(t
)
y(t
)dt
2
x
2
(t
)dt
y2 (t)dt
若令
xy
x(t) y(t)dt
x2 (t)dt y2 (t)dt
则相对误差可表示为
min
1
(t
)dt
数字信号处理教学课件-第四章 快速傅立叶变换
用分解的方法得到X (k)需要: 复乘:32+4 = 36次 复加:24+8 = 32次
2020/4/17
N点DFT的一次时域抽取分解图(N=8)
x(0)
X1(0)
x(2)
4点 X1(1)
x(4)
DFT X1(2)
2020/4/17
第二节 改善DFT运算效率的基本途径
1、利用DFT运算的系数
W
kn N
的固有对称性和周期
性,改善DFT的运算效率。
1)对称性
2)周期性
3)可约性
2020/4/17
WNnk的特性
WNnk
j2nk
e N
对 称 性 ( W N n k ) * W N n k W N ( N n ) k W N n ( N k )
2020/4/17
以DFT为例:
N 1
X (k ) D[x F (n ) T ] x (n )W N nk0 k N 1
n 0
计算机运算时(编程实现):
k 0 X ( 0 ) x ( 0 ) W N 0 0 x ( 1 ) W N 1 0 x ( N 1 ) W N ( N 1 ) 0
X(4)~X(7),由X(k+N/2)给出
N=8点的直接DFT的计算量为: 复乘:N2次 = 64次 复加:N(N-1)次 = 8×7=56次
X(k)X1(k)W N kX2(k)
k0,,N/21
X(kN/2)X1(k)W N kX2(k)
得到X1(k)和X2(k)需要: 复乘:(N/2)2+ (N/2)2次 = 32次 复加:N/2(N/2-1)+N/2(N/2-1) =12+12 =24次
04_正交变换1
反变换核
刘定生 中科院对地观测与数字地球科学中心
21
图像的频域变换——理论基础 变换核的可分离性
au ,v ( x, y ) au ( x)bv ( y ) a (u , x)b(v, y )
其中{au(x), u=0,1,…,N-1}, {bv(y), v=0,1,…,N-1} 为一维完备正交基向量的集合。用矩阵表示:
f (x) a nu n (x) n0
可有:
t0 T
t0
2 f ( x ) f ( x ) d x
则称函数U 集合是完备的。
第四章 图像处理中的正交变换
刘定生 中科院对地观测与数字地球科学中心
13
图像的频域变换——理论基础
正交函数集合完备性的物理意义
任何数量的奇函数累加仍为奇函数 任何数量的偶函数累加仍为偶函数
数字图像处理与分析
第四章 图像处理中的正交变换
刘定生 中科院对地观测与数字地球科学中心
2011年春季学期
1
数字图像处理与分析
图像的频域变换
图像频域变换的意义 频域变换的理论基础
线性系统、卷积与相关 正交变换及其特征 离散图像的正交变换
傅立叶变换定义与特征 傅里叶变换的应用 离散余弦变换,沃尔什变换——哈达玛变换,哈尔变 换,霍特林变换(主成分变换),小波变换
y ( x, y ) f h
离散二维卷积
f (i, j )h( x i, y j )didj
y ( x, y ) f h f (i, j )h( x i, y j )
i j
第四章 图像处理中的正交变换
数字信号处理PPT 第4章离散傅立叶变换(DFT)及应用
①运算特点相乘累加。 ②序列特点:有限长x(n),n=0,1,…N-1,X(k)称为DFT,长度也为N。
−j 2π N N −1 ⎧ + nk ⎪ X (k ) = ∑ x(n)W N , k = 0,1,2,...N − 1 ⎧ X (k ) = DFT [ x(n)] ⎪ n =0 ⇒⎨ or ⎨ N −1 ⎩ x(n) = IDFT [ X (k )] ⎪ x ( n) = 1 − ∑ X (k )WN nk , n = 0,1,2,...N − 1 ⎪ N k =0 ⎩
0
Xo(k)
N-1
k
两个定理:
0
N-1
k
⎧ xep (n) = 0.5[ x(n) + x * ( N − n)] ⎪ 共轭对称和共轭反对称性 如果x(n) = xep (n) + xop (n), 其中⎨ * ⎪ xop (n) = 0.5[ x(n) − x ( N − n)] ⎩ ⎧ X R (k ) = DFT [ xep (n)] = 0.5[ X (k ) + X * (k )] ⎪ 那么X (k ) = X R (k ) + jX I (k ), 其中⎨ * ⎪ jX I (k ) = DFT [ xop (n)] = 0.5[ X (k ) − X (k )] ⎩
m =0 N −1
x1(n)
3
0
2
1
1 1
0 1
n
x2(n)
1
0
1
1
n
⎯ x ⎯⎯ ⎯ x 特点:x1 (n)、x 2 (n) ⎯⎯ ⎯ → ~1 (n)、~2 (n) ⎯周期卷积 → 截主周期 ~ (n) * ~ (n) ⎯⎯ ⎯ → ~ (n) * ~ (n) R (n) ⎯ x x x x
数字信号处理课件--第四章1快速傅里叶变换.
理解按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理、 运算流图、所需计算量和算法特点
理解按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理、 运算流图、所需计算量和算法特点
理解IFFT算法
课件
1
第四章 快速傅里叶变换
FFT: Fast Fourier Transform 1965年,Cooley, Tukey 《机器计算傅里叶级数的一种算法》
n0
n0
n为偶数 n为奇数
N / 21
N / 21
x 2r
W 2rk N
x 2r 1 WN2r1k
r0
r0
N /21
x1 r
WN2
rk
WNk
N / 21
x2
r
W 2 rk N
r0
r0
N / 21
N / 21
复数乘法:
mF
N 2
L
N 2
log2
N
复数加法: aF NL N log2 N
比较DFT
mF (DFT ) N 2 2N
mF (FFT )
N 2
log2
N
log2 N
课件
17
3、算法特点
1)原位计算
X
m
(k
)
Xm( j)
X m1(k ) X m1(k )
X m1( X m1(
j)WNr j)WNr
m表示第m级迭代,k,j表示数据所在的行数
课件
18
2)倒位序
n0 n1 n2 00 0
1 10
1 10 0
第四章正交变换1
对图像的旋转变换和傅里叶变换的顺序是可交换的
第四章 正交变换
14
傅里叶变换(离散)
8. 卷积定理:空域中的卷积等价于频域中的相乘
9. 相关定理:空域中f ( x, y) 与 g ( x, y ) 的相等等价于频域中 F (u, v) 的共轭与 G (u, v) 相乘 自相关:
互相关:
第四章 正交变换
n0
快速傅里叶变换(FFT)
令
W e
j
2 N
,W 1 e
x ( n )W
j
2 N
,
傅里叶变换对表示为:
1 x (n) N
N 1 n0
X ( m)
N 1 n0
mn
X ( m)W mn
第四章 正交变换
21
傅里叶变换(离散)
快速傅里叶变换(FFT)
将 X (m) x(n)W mn 展开可得到如下算式:
第四章 正交变换
33
傅里叶变换(离散)
(2) 对偶节点的计算
如: x1 ( 0) 和 x1 ( 4 ) 就是一对对偶节点,因为它们均来源于 x(0)和x(4)。对偶节点的计算也就是求出在每次迭代中对 偶节点的间隔或者节距。由流程图可见,第一次迭代的 N N 节距为 ,第二次迭代的节距为 4 ,第三次迭代的节距 N 2 为 3 等等。由以上分析可得到如下对偶节点的计算方法。
这种算法的蝶式流程图如下(a)和(b)所示 ,其中图(a)输入
为顺序的,运算结果是乱序的;图(b)输入为乱序的,运算结 果是顺序的。
第四章 正交变换 26
傅里叶变换(离散)
第四章 正交变换
27
傅里叶变换(离散)
第四章 正交变换
北京邮电大学《数字信号处理》习题及答案
习 题1. 给定 f(t) = rect(t+2) + rect(t-2), 画出下列函数的图形。
(a) f(t)(b) g(t) = f(t-1) (c) h(t) = f(t)u(t) (d) f(t/2)2. 设 f(t) 是某一函数,a, t 0, T 为实常数,证明:(a))()()()(000t t t t f a at t f -=-δδ(b))()(1)()(000a t a f a at t f t t t -=-δδ(c))()()()(00nT t nT f TTt comb t f t tt n --+=-∑∞-∞=δ3.(a) 如 f(t) F(Ω),证明:eeetjty j tj t f dy y F F Ω-∞∞--Ω-Ω-==*Ω⎰)(2)()()(π(b) 用 (a ) 的结果,证明频域卷积定理)()(21)()(2121Ω*Ω↔F Ffft t π4. 求下图中 f(t) 脉冲的傅氏变换。
5. (a) )()()(a H H -Ω=Ω*Ωδ(b) )()()(0Ω+Ω=Ω+Ω*Ω∑∑∞-∞=∞-∞=n H n H n n δ6. 设eta t f -=)(,证明脉冲序列)()(nT t nT f n -∑∞-∞=δ的傅氏变换等于aTaT aT e T e e 22cos 211---+Ω--7.(a) 证明T n n n jnT eπδ2),(1000=ΩΩ+Ω=Ω∑∑∞-∞=∞-∞=Ω-(b) 若f(t) F(Ω),证明)()(0Ω+Ω=∑∑∞-∞=∞-∞=Ω-n F nT f Tn n jnT e习 题1. 下列系统中,y(n) 表示输出,x(n) 表示输入,试确定输入输出关系是否线性?是否非移变?(a) y(n) = 2x(n) +3(b) y(n) = x 2(n)(c) ∑-∞==nm m x n y )()(2. 确定下列系统是否因果的?是否稳定的? (a) y(n) = g(n) x(n), g(n) 有界(b) ∑-==nk n k x n y 0)()( n>n 0 (c) y(n) = x(n-n 0)(d) x(n) = a nu(n), h(n) = u(n)(e) x(n) = a n u(n), h(n) = (1/2) nu(n)3. x(n) 为输入序列, h(n) 为系统的单位取样响应序列,确定输出序列 y(n), (a) 如图 p 2.1 (a) 所示 (b) 如图 p 2.1 (b) 所示 (c) 如图 p 2.1 (c) 所示⎪⎩⎪⎨⎧=0)(a n n h⎪⎩⎪⎨⎧=-0)(0βn n x n 的卷积 y(n) = x(n) * h(n)5. 讨论具有下列单位取样响应的线性时域离散非移变系统。
数字信号处理ppt课件
l 1,2,, p
将方程组写成矩阵方式 〔Yule-Walker方程〕
rxx(0) rxx(1)
rxx(1) rxx(0)
rxx(p) rxx(p1)
a1p1E[|e(n0)|2]mi
n
rxx(p) rxx(p1) rxx(0) app
0
后向预测:
p
y (n ) s ˆ(n p ) x ˆ(n p ) a p kx [n (p k)] k 1
bkzk
k0 p akzk
(1kz1)
k1 p
(1kz1)
满足
k0
k1
P x(xz)w 2H (z)H (z 1)
2 w
0
式中,ak, bk都是实数,a0=b0=1, 且|αk|<1, |βk|<1。
Z变换
rxx(m)
Z反变换
谱分解
Pxx(z)
H(z)
P xx(z)w 2H (z)H (z1)
w(n)
H(z)
x(n)
ARMA模型 MA模型
q
H ( z)
B(z) A(z)
1 1
i1 p
bi zi ai zi
i1
H(z)B(z)
Pxx() w2
B(ej) 2 A(e j )
Pxx()w 2 B(ej)2
AR模型
H (z) 1 A(z)
2
Pxx() w2
1 A(ej)
➢滤波器阶数: ➢ 对于IIR滤波器或者AR模型、ARMA模型,阶数是指p的大 小,假设用差分方程表示,那么p就是差分方程的阶数。 ➢对于FIR滤波器或者MA模型的阶数,那么是指q的大小,或 者说是它的长度减1。
k 1
k 0
正交(FFT)变换图像处理
X [0] X [1] X [2] X [3] X [4] X [5] X [6] X [7]
x[2] x[4] x[6] x[6] x[1] x[1]
x[3] x[5] x[5] x[3] x[7] x[7]
W80
1
W X12[1] W8 4
X21[0]
W
0 8
X21[1] 1
W81 X2[1]
0 0 W4 8 21 1
FFT的算法原理
FFT 不是一种新的变换,它只是DFT的一种改进算法。 它分析了DFT中重复的计算量,并尽最大的可能使之减 少,从而达到快速计算的目的。 把时间序列 x(n)按照 n 的奇偶进行分组计算的 FFT 算法又称为按时间分组的 FFT 算法。而如果将频率序 列 X(m)按照 m 的奇偶进行分组而进行计算的算法, 则称为按照频率分组的 FFT 算法。 将时域序列逐次分解为一组子序列,利用旋转因子 WPN 的特性,由子序列的 DFT 来实现整 个序列的 DFT,从 而提高 DFT 的运算效率,也就实现了快速傅立叶变换。 设输入序列长度为 N=2M(M 为正整数),将该序列的频 域的输出序列 X(k)(也是 M 点序 列),按其频域顺序 的奇偶分解为越来越短的子序列,称为基2按频率抽取 的FFT算法。也称为 Sander-Tukey 算法。 FFT蝶式流程图算法
利用傅里叶变换等正交变换算法进行 图像处理
正交变换(1/3)
数字图像处理的方法主要分为两大类: 一个是空间域处理(或称空域法); 一个是频域法(或称变换域法)。 在频域法处理中最为关键的预处理便是变换处理。 这种变换一般是线性变换,其基本线性运算式 是严格可逆的,并且满足一定的正交条件,因 此,也将其称作酉变换。目前,在图像处理技 术中正交变换被广泛地运用于图像特征提取、 图像压缩、图像增强、图像复原、图像识别以 及图像编码等处理中。 所谓正交变换如下所述:
数字图像处理 第四章 图像的正交变换
cos sin
F (, ) 2 f (r, )e j 2 rcos( ) rdrd 00
将图像旋转 θ 角度时
F(, 0)
0
2 f (r, )e2 j rcos[( 0 )]rdrd
0
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
原图
原图的频谱
将原图旋转
旋转 θ 后图像的频谱
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
- j 2 ( u0 x v0 y )
DFT ( f (x, y) e M N )
f (x, y) e M N e
MN
x0 y0
M 1 N 1
j 2 ( (u u0)x (v v0 ) y )
f (x, y) e
M
N
x0 y0
F (u u0 , v v0 )
当
u0
M 2
, v0
4.1.1 傅里叶变换的定义
原始图像
图像的傅立叶频谱
如果频谱图的亮点在中心区域比较集中,说明图像含有较多的低频分量; 如果频率图的亮点在边缘部分比较集中,则说明图像含有较多的高频分量。
4.1.1 傅里叶变换的定义
图像的幅度谱
图像的相位谱
4.1.1 傅里叶变换的定义
人为加入噪声后的图像
人为加入噪声后图像的频谱
(五)、尺度变换性 给定标量 a,则有下式成立:
af x, y aF u,v
图像尺度上的变化不影响图像的频谱分布。
4.1.2
(a)原始图像
(b)将原始图像放大1.5倍后的图像
(c)原始图像频谱
(d)将原始图像放大1.5倍后图像的频谱
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
(六)、离散卷积定理
数字信号处理课件--第四章1快速傅里叶变换-PPT精品文档
运算流图、所需计算量和算法特点 运算流图、所需计算量和算法特点
理解IFFT算法
理解按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理、
理解按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理、
课件
1
第四章 快速傅里叶变换
FFT: Fast Fourier Transform
1965年,Cooley, Tukey 《机器计算傅里叶级数的一种算法》
课件
实数乘法 4
实数加法 2 2 2N+2 (N – 1)=2 (2N – 1) 2N (2N – 1)
4
W的 特 性
n k N
nk W N e
j
2 nk N
对 称 性 ( W ) W W W nN nk Nk nk W N W N W N W N
n k ( N n ) k n ( N k ) 周 期 性 W W W N N N
k X ( k ) X ( k ) W k ) N 2 5 N /2X 6( k 0,1 ,..., 1 N 4 k X ( k ) X ( k ) W X ( k ) 2 5 N /2 6 4
课件 8
再利用周期性求X(k)的后半部分
Xk , Xk 是 以 N / 2 为 周 期 的 1 2 N Xk Xk 1 1 2
N k 2 N
N X k Xk 2 2 2
N / 2 k k 又 W WW W N N N
n k m n k n k n k /m 可 约 性 WW W W N m N N Nm /
2 j m nk mN
n k * n k ( N n ) k n ( N k ) N N N N
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给定:
x(n), n = 1, 2, , N
DST
定义: X s (k) =
∑ 2 N
nkπ
x(n) sin( )
N +1 n=1
N +1
k = 1, 2, , N
反变换: x(n) =
∑ 2
N +1
N k =1
X
s
(k
)
sin(
nkπ )
N +1
n = 1, 2, , N
y = Ax 3. 反变换: x = A−1 y = AT y
不需要求逆,特别有利于硬件实现
性质2:展开系数是信号在基向量上的
准确投影 ϕ2
α2
α3
ϕ3
x
α1
ϕ1
非正交基的情况下,“基向量”称为“标架 (Frame)”, 这时,展开系数不是准确投影。
性质3:正交变换保证变换前后信号的能量不变,
此性质又称为“保范(数)变换”。
2N
DCT 反变换
一阶马尔可夫过程(Markov-1):语音和图象处 理中常用的数学模型。一个随机信号 ,若其 pdf满足如下关系
p[ X (tn+1) ≤ xn+1 X (tn ) = xn , X ( tn−1) = xn−1, , X ( t0 ) = x0 ]
= p[ X (tn+1) ≤ xn+1 X (tn ) = xn ], X (tn ) X (n)
即为正交变换,或保范(数)变换
AN×N 实际上是正交矩阵, AT = A−1
(二)、正交变换的性质:
性质1:正交变换的基向量即是其对偶基
向量,因此: 1. 若正变换存在,那么反变换一定存 在,且变换是唯一的;
2. 正交变换在计算上最为简单。如果 是离散信号,且 N 是有限值,那么 变换只是简单的矩阵与向量运算:
N
∑ x = αnϕn n =1
α 1 , α 2 ,......, α N 是分解系数
信号的离散表示
如何 求出 分解 系数
如何求分解系数 ?
Step1: 设想另有一组向量 ϕ 1 , ϕ 2 ,......, ϕ N
满足:< ϕi ,ϕ j
>=
1 0
i= j i≠ j
ϕˆ1
ϕˆ2
双正交关系( biorthogonality)
从而达到数据压缩的目的。
K—L 变换:
¾ 去除相关性最彻底,因此,在此意义上是最佳 的正交变换;
¾变换的正交矩阵 A 是由要变换的信号的协方差
矩阵 Cx 的特征向量所组成,因此,该变换严重 地依赖于待变换的信号。信号发生变化时,要重 新求变换矩阵。特征值和特征向量的计算是相当 费时的,因此,K—L变换没有快速算法。这就 限制了K—L变换的实际应用。
讲座2 : 关于图象压缩及国际标准 4.6 Hilbert 变换 4.7 关于窄带信号
讲座3: 关于调制与解调
4.1 正交变换
一、信号的分解
概概念念::
设空间 X 是由N维空间一组向量 ϕ1,ϕ2 ,......,ϕ N 所张成,即
X = span{ϕ1,ϕ2 ,......,ϕ N }
任一 x ∈ X ,都可作如下分解:
则称 X (t) 为一阶马尔可夫过程。该式的含意 是: 已知过程在现在时刻的状态,那么,下一 个时刻的状态只和现在的状态有关,而和过 去的状态无关。
令 ρ 是Markov-1 随机序列相邻两元素之间的相
关系数,则该序列的协方差矩阵有如下关系:
[Rx ]i, j = ρ i− j , i, j = 0,1, , N −1, ρ < 1
∑ || x ||2= x(n)x*(n) =< x, x > n ∑ = |αn |2 =||α ||2 n
此性质实际上是 Parseval’s 定理, 即信号变换前后能量保持不变。 注意,只有正交变换才有此性质。
性质4:信号正交分解具有最小平方近似性质。
N
∑ x = αnϕ∗n =<αn,ϕn > n=1
sin(8π / 9) sin(16π / 9)
sin(8π / 9) sin(16π / 9)
sin(64π / 9)
可以证明,DST在一定条件下也是对K—L
Sk,n =
2 sin( nkπ )
N +1 N +1
n, k = 1, 2, , N
变换 矩阵
si , s j
=
1 0
i= i≠
j j
DST也是 正交变换
Xs = SN x, x = ST N Xs
sin(π / 9) sin(2π / 9)
S8 =
2 sin(2π / 9)
9
sin(4π / 9)
的“对偶基”。如果:ϕi =ϕˆi 则称
ϕ1,ϕ 2, ,ϕ N
为一组正交基。
二、信号的正交变换
(一)正交变换的定义: 给定数据向量:
x = [x(0), x(1), , x(N −1)]T
A 及算子 N×N ,作变换 y = Ax ,若:
〈 Ax, Ax〉 = 〈 x, x〉 = 〈 y, y〉
N −1
ε = ∑ λi
最小
i = m +1
注意:对正交变换 y = Ax
y 不是时域序列,而是 x 的变换系数,
如 DFT 的 X (k) 。正交变换后,信号的能 量一般集中在少数的变换系数上,所以可以 舍去绝大部分系数,这并不明显损失信号的
能量。由剩下的少量系数,如 y ,通过反
变换 xˆ = A−1 y 可以很好的恢复出原信号。
{ } 协方差阵:Cx = E ( x − µx )( x − µx )T
体现了信 号各元素 之间的相 互关系
c00 c01
=
c10
c11
cN −10 cN −11
c0 N −1
c1N −1
cN −1 N −1
Cx (i, j) = Cx ( j, i)
K—L 变换的思路:
L变换的正交矩阵正是DCT变换的变换矩阵, 也即:此时的DCT近似K—L变换。因为DCT 有快速算法,另外, Markov-1过程可作为一 大类信号(语音、图象)的数学模型,因此 DCT在图象、语音压缩中起到了关键性的作用, 成为国际上许多标准(如 JPEG, MPEG)的重 要工具。
下图: N = 8, ρ = 0.95 时 K—L变换矩阵、
[ A]i, j
=
N
2
+ λj
1/ 2
sin
ω
j
(i +1) −
(N +1) 2
+
(
j
+1) π
2
i, j = 0,1, , N −1
λj,ω j
λj
=
1−
2ρ
1− ρ2 cos(ω j )
+
ρ2
是 Rx 的 特征值
ω j 是方程
tan(
Nω
性质5:正交变换的系数具有去除相关和集
中能量的性质。
给定一个实对称矩阵 C ,一定可
以找到一个正交阵 A ,使得:
λ0
ACA−1
=
ACAT
=
λ1
λN
−1
数据压缩的理论基础。后面即将讨论。
正交变换的实例:
¾ FS,FT, DTFT, DFS, DFT ¾ DCT,DST, DHT
)
=
−
(1
cos(ω)
− −
ρ 2 ) sin(ω) 2ρ + ρ 2 cos(ω
)
ρ →1
ρ →1
tan(Nω) → 0
的根
有: ω j = jπ / N , j = 0,1, , N −1
由: 必有:
λ j = (1− ρ 2 ) (1− 2ρ cos(ω j ) + ρ 2 )
λ j = 0, j = 1, N −1,
1
ρ
Rx
=
ρ
2
ρ
N
−1
ρ
ρ2
1
ρ
ρ
1
ρ N−2
ρ N −3
ρ N −1
ρ
N
−2
ρ
N
−3 源自 1 A 按值及K—特L征变向换量的,思以路形,成现变需换要的求正交R矩x 阵的特征。
但对Markov-1 过程,协方差阵 的特征R向x 量可以解析的给出,因此正交变换的矩阵也 可解析的得到:
4.3 离散余弦变换(DCT)
给定: x(n), n = 0,1, , N −1
∑ 定义:
X c (0) =
1
N −1
x(n)
N n=0
Xc (k) =
∑ 2 N −1
(2n +1)kπ
x(n) cos
N n=0
2N
k = 1, 2, , N −1
Ck,n =
2
(2n +1)kπ
N gk cos 2N
n, k = 0,1, , N −1
g0 = 1 2; gk = 1 for k ≠ 0
DCT的 定义
DCT的 核函数
1
1
1
2[cos π
C8 =
1
8
16