离散数学期末试卷11
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A. (∀x)(F(x) ∧ (∃y)(G(y) ∧ H(x, y))) B. (∀x)(∃y)(F(x) → (G(y) → H(x, y))) C. (∀x)(F(x) → (∃y)(G(y) ∧ H(x, y))) D. (∀x)(F(x) → (∃y)(G(y) → H(x, y)))
3.表达式 ∀ x(P(x，y)∨Q(z))∧ ∃ y(R(x,y) → ∀ zQ(z))中 ∀ x 的辖域是（ A. P(x,y) B. P(x,y)∨Q(z) C. R(x,y) D. P(x,y)∧R(x,y)
8.下列是命题公式 p ∧ (q ∨ ¬r) 的成真指派的是（） A. B. C. D. 110，111，100 110，101，011 所有指派 无
9.下列命题中，不正确的是（ ） A. {φ } ∈ {φ , {φ }} B. {φ } ∈ {φ , {{φ}}} C. {φ } ⊆ {φ , {φ }} D. φ ⊆ {φ , {φ }} 10．设集合 X={0，1，2，3}，R 是 X 上的二元关系，R={<0，0>，<0，2>，<1，2>，<1， 3>，<2，0>，<2，1>，<3，3>}，则 R 的关系矩阵 MR 是（ ）
华中师范大学
2004-2005 学年度 第一学期 《离散数学》期末考试试卷
试卷类型 A
姓名 题号 题分 得分 一 20 二 20
课程编号 AAAAA （考试时间：120 分钟）
学号 三 10 代课教师 四 10 五 40 分数 总分 核分人 复查人
一、单项选择题 每小题 2 分，共 20 分。 （在每小题的四 个备选答案中有一个正确的答案，将正确答案的序号写在 题干的括号内） 1.下列语句中不是命题的是…………（ ） A. 暮春三月，江南草长。 B. 小王现在在宿舍。 C. 请勿践踏草地！ D. 雪是黑色的。 得分 评卷人 复查人 2.令 F(x):x 是金属，G(y)：y 是液体，H(x，y)：x 可以溶解在 y 中，则命题“任何金属可溶 解在某种液体中”可符号化为……（ ）
26.（10 分）设代数系统<A,*>, 其中 A = {a, b, c, d}, * 如乘法表 1 定义。问*是否是 满足交换律，A 是否有幺元，指出哪些元素是可逆的，并给出它们的逆元。 * a b c d a a b c d b b c d a c c d a b d d a b c
（表 1） 答案：满足可交换律 a 是幺元，a,b,c,d 均是可逆的，其逆元分别是 a,d,c,b
23.（5 分）请用文氏图表示集合 ( A ⊕ B ) － C
（图 1）
答案 24.（5 分）设 R 的关系图如图 2 所示，试给出 t(R)的关系图。 （用关系图来表示）
（图 2）
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得分
评卷人
复查人
五、综合题 （每题 10 分，共 40 分）
25.（10 分）40 个学生中有 18 人爱好音乐，22 人爱好美术，15 人爱好体育，11 人爱好 音乐和美术，10 人爱好音乐和体育，8 人爱好美术和体育，但有 10 人这三种爱好都没有。试 求这三种爱好都有的学生的人数。 （要求画出文氏图） 答案 4
B. 若 R 和 S 是对称的，则 R o S 是反对称的 C. 若 R 和 S 是反对称的，则 R o S 是反对称的 D. 若 R 和 S 是传递的，则 R U S 是传递的 6.设 A={a,b,c}，则下列是集合 A 的划分的是（） A. {{b,c},{c}} B. {{a,b},{a,c}} C. {{a,b},c} D. {{a,b},{b,c}} 7.在个体域 D={a,b}中，与公式 (∃x)A(x) 等价又不含量词的公式是 （） A. B. C. D. A(a)ΛA(b) A(a)→A(b) A(a)νA(b) A(b)→A(a)
1 1 A． 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 B． 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 C． 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 D． 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0
1 0 17. 设 A={1，2，3，4}，R 为 A 上的关系，且关系矩阵为：MR＝ 1 0 1 0 0 1 1 0 ，则 R 的关系 0 1 0 0 1 1
图为 18. 集合Ａ＝｛a，b，c｝上的恒等关系ＩＡ＝ 19. 谓词公式 (∀x)(∃y )( P( x, y ) ∨ R( y )) → Q ( y ) ，则其约束变元是 是 。 20. 设 R 是 A 上的二元关系，则 r(R)= ，s(R)= 。 ，自由变元 。
）
4.设 A 是非空集合，P(A)是 A 的幂集， I 是集合交运算，则代数系统 〈 P( A),I〉 的幺元是 A. P(A) B. φ C. A D. {φ} 5.若 R 和 S 是集合 A 上的两个关系，则下述结论正确的是（） A. 若 R 和 S 是自反的，则 R I S 是自反的
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得分
评卷人
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二、填空题 （每空 2 分，共 20 分）
11.设 B={0,a,φ}，则 B 的幂集 P(B)=____ 。 12.设 p: 天下雨，q: 天刮风，r: 我去书店，则命题“如果天不下雨并且不刮风，我就去 书店”的符号化形式为_______________。
第 2 页 共 6 页
13. 设 F(x): x 是人，G(x): x 用右手写字，命题“有的人并不用右手写字”在一阶逻辑中 符号化的形式为_______________。 。 14. 公式 (∃xA( x)) ∨ (∃xB( x)) 的前束范式为 15. 给定集合 A 上的关系 R，若 R 是 ， ，则称 R 是 A 上的相容关系。 16. 在代数系统<N, *>中，*表示求两个数的最小公倍数的运算。则 4*6＝ 。
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评卷人
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三、证明题 每题 5 分，共 10 分。
21.（5 分） 证明等式成立( P→Q )→Q ⇔ PⅤQ
− 22.（5 分） 证明：对任意的关系 R1 和 R2，都有 ( R1 U R 2 ) −1 = R1−1 U R 2 1 .
第 3 页 共 6 页
得分
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四、画图题 每题 5 分，共 10 分
第 5 页 共 6 页
27.(10 分)符号化以下命题，并给出构造推理证明。 每个科学工作者都是刻苦钻研的， 每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将 获得成功；某人是科学工作者，并且是聪明的，所以某人在他的事业中将获得成功。
28.（10 分）试写出集合 S={1，2，3，4，5，6}在偏序关系“整除”下的关系表达式并画出 其哈斯图，并且 （1） 写出{1，2，3，4，5，6}的极大元，极小元，最大元和最小元； （2） 分别写出{2，3，6}及{2，3，5}的上界，下界，上确界和下确界。
3.表达式 ∀ x(P(x，y)∨Q(z))∧ ∃ y(R(x,y) → ∀ zQ(z))中 ∀ x 的辖域是（ A. P(x,y) B. P(x,y)∨Q(z) C. R(x,y) D. P(x,y)∧R(x,y)
8.下列是命题公式 p ∧ (q ∨ ¬r) 的成真指派的是（） A. B. C. D. 110，111，100 110，101，011 所有指派 无
9.下列命题中，不正确的是（ ） A. {φ } ∈ {φ , {φ }} B. {φ } ∈ {φ , {{φ}}} C. {φ } ⊆ {φ , {φ }} D. φ ⊆ {φ , {φ }} 10．设集合 X={0，1，2，3}，R 是 X 上的二元关系，R={<0，0>，<0，2>，<1，2>，<1， 3>，<2，0>，<2，1>，<3，3>}，则 R 的关系矩阵 MR 是（ ）
华中师范大学
2004-2005 学年度 第一学期 《离散数学》期末考试试卷
试卷类型 A
姓名 题号 题分 得分 一 20 二 20
课程编号 AAAAA （考试时间：120 分钟）
学号 三 10 代课教师 四 10 五 40 分数 总分 核分人 复查人
一、单项选择题 每小题 2 分，共 20 分。 （在每小题的四 个备选答案中有一个正确的答案，将正确答案的序号写在 题干的括号内） 1.下列语句中不是命题的是…………（ ） A. 暮春三月，江南草长。 B. 小王现在在宿舍。 C. 请勿践踏草地！ D. 雪是黑色的。 得分 评卷人 复查人 2.令 F(x):x 是金属，G(y)：y 是液体，H(x，y)：x 可以溶解在 y 中，则命题“任何金属可溶 解在某种液体中”可符号化为……（ ）
26.（10 分）设代数系统<A,*>, 其中 A = {a, b, c, d}, * 如乘法表 1 定义。问*是否是 满足交换律，A 是否有幺元，指出哪些元素是可逆的，并给出它们的逆元。 * a b c d a a b c d b b c d a c c d a b d d a b c
（表 1） 答案：满足可交换律 a 是幺元，a,b,c,d 均是可逆的，其逆元分别是 a,d,c,b
23.（5 分）请用文氏图表示集合 ( A ⊕ B ) － C
（图 1）
答案 24.（5 分）设 R 的关系图如图 2 所示，试给出 t(R)的关系图。 （用关系图来表示）
（图 2）
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复查人
五、综合题 （每题 10 分，共 40 分）
25.（10 分）40 个学生中有 18 人爱好音乐，22 人爱好美术，15 人爱好体育，11 人爱好 音乐和美术，10 人爱好音乐和体育，8 人爱好美术和体育，但有 10 人这三种爱好都没有。试 求这三种爱好都有的学生的人数。 （要求画出文氏图） 答案 4
B. 若 R 和 S 是对称的，则 R o S 是反对称的 C. 若 R 和 S 是反对称的，则 R o S 是反对称的 D. 若 R 和 S 是传递的，则 R U S 是传递的 6.设 A={a,b,c}，则下列是集合 A 的划分的是（） A. {{b,c},{c}} B. {{a,b},{a,c}} C. {{a,b},c} D. {{a,b},{b,c}} 7.在个体域 D={a,b}中，与公式 (∃x)A(x) 等价又不含量词的公式是 （） A. B. C. D. A(a)ΛA(b) A(a)→A(b) A(a)νA(b) A(b)→A(a)
1 1 A． 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 B． 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 C． 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 D． 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0
1 0 17. 设 A={1，2，3，4}，R 为 A 上的关系，且关系矩阵为：MR＝ 1 0 1 0 0 1 1 0 ，则 R 的关系 0 1 0 0 1 1
图为 18. 集合Ａ＝｛a，b，c｝上的恒等关系ＩＡ＝ 19. 谓词公式 (∀x)(∃y )( P( x, y ) ∨ R( y )) → Q ( y ) ，则其约束变元是 是 。 20. 设 R 是 A 上的二元关系，则 r(R)= ，s(R)= 。 ，自由变元 。
）
4.设 A 是非空集合，P(A)是 A 的幂集， I 是集合交运算，则代数系统 〈 P( A),I〉 的幺元是 A. P(A) B. φ C. A D. {φ} 5.若 R 和 S 是集合 A 上的两个关系，则下述结论正确的是（） A. 若 R 和 S 是自反的，则 R I S 是自反的
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二、填空题 （每空 2 分，共 20 分）
11.设 B={0,a,φ}，则 B 的幂集 P(B)=____ 。 12.设 p: 天下雨，q: 天刮风，r: 我去书店，则命题“如果天不下雨并且不刮风，我就去 书店”的符号化形式为_______________。
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13. 设 F(x): x 是人，G(x): x 用右手写字，命题“有的人并不用右手写字”在一阶逻辑中 符号化的形式为_______________。 。 14. 公式 (∃xA( x)) ∨ (∃xB( x)) 的前束范式为 15. 给定集合 A 上的关系 R，若 R 是 ， ，则称 R 是 A 上的相容关系。 16. 在代数系统<N, *>中，*表示求两个数的最小公倍数的运算。则 4*6＝ 。
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评卷人
复查人
三、证明题 每题 5 分，共 10 分。
21.（5 分） 证明等式成立( P→Q )→Q ⇔ PⅤQ
− 22.（5 分） 证明：对任意的关系 R1 和 R2，都有 ( R1 U R 2 ) −1 = R1−1 U R 2 1 .
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四、画图题 每题 5 分，共 10 分
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27.(10 分)符号化以下命题，并给出构造推理证明。 每个科学工作者都是刻苦钻研的， 每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将 获得成功；某人是科学工作者，并且是聪明的，所以某人在他的事业中将获得成功。
28.（10 分）试写出集合 S={1，2，3，4，5，6}在偏序关系“整除”下的关系表达式并画出 其哈斯图，并且 （1） 写出{1，2，3，4，5，6}的极大元，极小元，最大元和最小元； （2） 分别写出{2，3，6}及{2，3，5}的上界，下界，上确界和下确界。