数学分析 重要知识小结(考研复习用)

数学分析2重要知识小结（考研及复习）

第八章 不定积分

1、基本公式

(1)),1(11-≠++=

+⎰αααα

c x dx x (2)⎰+=c x dx x

ln 1

， (3)⎰+=,ln c a

a dx a x

x

(4)⎰+=,c e dx e x x (5)⎰+=,sin 1

cos c x xdx αα

α (6),cos 1

sin c x dx x +-

=⎰αα

α

(7),tan cos 12c x dx x +=⎰

(8),cot sin 1

2c x dx x

+-=⎰ (9)⎰+=,sec tan sec c x xdx x (10) ⎰+-=,csc cot csc c x xdx x (11)⎰+=-,arcsin 12

c x x dx (12)

⎰

+=-,arcsin

2

2c a

x

x a dx (13)

⎰+=+,arctan 12c x x dx

(14) ⎰+=+,arctan 2

2c a

x

x a dx

(15)⎰++=,tan sec ln sec c x x xdx (16)⎰+-=,cot csc ln csc c x x xdx (17)

,ln 222

2c a x x a x dx +±+=±⎰

(18)

⎰++-=-,ln 2122c a x a

x a a x dx

(19) ⎰+-=c x x xdx )1(ln ln 。

注：应会用前面的公式及方法推出公式(13)-(19)。 2、积分法

(1) 公式法:直接用上面的公式及函数和与差的积分等于积分的和与差这一性质。 (2) 第一换元法（是将一个关于x 的函数换为一个变量） 若⎰⎰=))(())(()(x d x g dx x f ϕϕ，而⎰+=c u G du u g )()(，则 ⎰+=.))(()(c x G dx x f ϕ

看到应想到：),(sin cos x d xdx = ),

(cos sin x d xdx -=),(tan cos 2x d x

dx

= ),(cot sin 2x d x dx =- )1(2

x d x

dx =-，)(12

1x d n dx x n =-。

(3)第二换元法（将变量x 换为一个函数） 令)(t x ϕ=，若,)()())((c t F dt t t f +='⎰ϕϕ则

⎰

+=-.)]([)(1c x F dx x f ϕ

① 遇22x a -，令t a x sin =，t a x a cos 22=- ② 遇22x a +，令t a x tan =，t

a x a cos 22=

+

③ 遇22a x -，令t a x sec =，t a a x tan 22=-。 ④ 遇含有,m x n

x 的式子，n m ,的最小公倍数为k ，令k t x =。

(4)分部积分

设)(x G 为)(x g 的一个原函数，则

⎰⎰'-=dx x G x f x G x f dx x g x f )()()()()()(。

形如

⎰,arctan xdx ⎰xdx arcsin ，⎰xdx x k

ln ，,dx e x x

k ⎰dx e x x

βα⎰

cos ，dx e

x x

βα⎰sin 的积分必须用分部积分。

注意：能用第一换元或分部积分就不用第二换元。

(5)三角有理式的积分

①xdx x m n sin cos ⎰：“有奇换元一，无奇就降幂”。 降幂公式：)2cos 1(21cos 2x x +=

，)2cos 1(2

1

sin 2x x -=。 ②万能替换2tan x t =，此时,11cos 22t t x +-= ,12sin 2t t x += 2

12t

dt

dx += (6) 有理函数及简单无理函数的积分

遇c bx ax ++2或

c

bx ax ++21

，应先进行配方：

a b ac a b x a c bx ax 44)2(222

-++=++，令u a

b

x =+2，消掉一次项。

对a

b a

c au c bx ax 442

2

2

-+=++，根据情况利用三角换元进行计算。

第九章 定积分

1、定积分定义

定义：设)(x f 是定义在],[b a 上的一个函数，J 是一个确定的实数，若对于任意的0>ε，存在0>δ，对于],[b a 的任意分法T 以及其上选取的点集}{i ξ,只要

,δ

εξ<-∆∑=n

i i

i

J x

f 1

)(,

称函数)(x f 在],[b a 上可积，J 称为)(x f 在],[b a 上的定积分，记为 ⎰

b

a

dx x f )(

2定积分计算

牛顿莱布尼兹公式：设)(x F 为)(x f 的一个原函数，则

).()()(a F b F dx x f b

a

-=⎰

给出一个定积分，怎样计算呢？就看在不定积分中用什么方法。 但应注意：在第二换元积分中，新变量，用新限。

3定积分性质

(1)⎰⎰=b

a

b

a

dx x f k dx x kf )()(，

(2)⎰⎰⎰±=±b

a

b a

b a

dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([,

(3)dx x f dx x f dx x f b

c

c a

b a

⎰⎰⎰+=)()()(,