数学分析 重要知识小结(考研复习用)
考研数学必备知识点总结
考研数学必备知识点总结一、数学分析1. 极限与连续2. 导数与微分3. 微分方程4. 积分5. 级数极限与连续是数学分析中最基础的概念之一。
在数学中，极限是指当自变量趋于某一数值时，函数的值趋于某一确定的值的过程。
而连续则是指在一定的区间内，函数在任意一点都有定义，并且在该点的极限等于该点的函数值。
导数与微分则是描述函数变化率的概念。
导数是函数在某一点的变化率，而微分则是用微分形式来表示函数的变化。
微分方程则是描述函数及其导数之间关系的方程，是数学分析的一个重要分支。
积分是对函数在一定区间内的求和过程。
而级数则是无穷多项的和，是一种特殊的积分形式。
二、线性代数1. 矩阵与行列式2. 线性方程组3. 线性空间与线性变换4. 特征值与特征向量5. 正交性与对称性线性代数是研究向量空间和线性映射的代数结构的一个分支。
矩阵与行列式是线性代数中最重要的概念之一，矩阵是一种数学工具，可以用来表示线性映射。
而行列式则是对矩阵的一种特殊运算，可以用来描述线性映射对向量空间的扭曲程度。
线性方程组是研究线性代数中的一类重要问题，是矩阵和向量的组合。
线性空间与线性变换是描述向量空间和线性映射的概念，是线性代数的核心概念。
特征值与特征向量是描述线性映射变换性质的重要概念。
正交性与对称性则是描述向量空间内向量之间的关系的重要概念。
三、概率论与数理统计1. 随机事件与概率2. 随机变量与概率分布3. 大数定律与中心极限定理4. 参数估计与假设检验5. 相关与回归分析概率论与数理统计是数学中重要的应用分支，研究随机现象的规律和性质。
随机事件与概率是描述随机现象与其概率发生的概念，是概率论的基础。
随机变量与概率分布则是描述随机现象的数学模型，是概率论与数理统计的核心概念。
大数定律与中心极限定理是描述随机现象大量重复实验的规律。
参数估计与假设检验是描述推断统计中统计量的性质和推断的方法。
相关与回归分析是描述随机变量之间关系的重要概念。
考研数学分析重要考点归纳
考研数学分析重要考点归纳1.1考点归纳一、数列极限1．定义设{an}是一个数列，，对∀ε＞0，∃正整数N，当时，有，则称{an}收敛于a，则a称为数列的极限，记作．（1）无穷小数列：；（2）无穷大数列：；（3）发散数列：若极限不存在，则称为发散数列；（4）收敛⇔的任何子列都收敛．2．性质（1）唯一性收敛数列{an}只有一个极限．（2）有界性若{an}收敛，则∃正数M，对∀n∈N*有．（3）保号性若（或＜0）则对或（），∃正数N，当n＞N时有an＞a′（或an＜a′）．（4）保不等式性收敛数列{an}与{bn}．若∃正数N0，当n＞N0时有a n≤bn，则（5）夹逼性设{an}，{bn}都收敛于a，{cn}满足：∃正数N0，当n＞N0时有则{cn}收敛，且3．四则运算4．单调有界定理单调且有界的数列一定存在极限．5．柯西收敛准则{an}收敛⇔对∀ε＞0，∃正整数N，当n，m＞N时有二、函数1．函数三要素定义域值域对应法则2．性质（1）有界性若∃正数M，对∀x∈D有则称f在D上有界．（2）单调性①单调递增对∀x1，x2∈D．当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）；②单调递减对∀x1，x2∈D．当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）．（3）奇偶性D关于原点对称①奇函数f（－x）＝－f（x），图像关于原点对称；②偶函数f（－x）＝f（x），图像关于y轴对称．（4）周期性若∃T＞0，对一切x∈D，x＋T∈D，有f（x＋T）＝f（x），称T为函数f的周期，T的最小值称为最小正周期．3．分类（1）复合函数形如y＝f（g（x）），u＝g（x）的函数称为复合函数，对于每一个x，经过中间变量u，都得到唯一确定的y值，其中u＝g（x）的值域不能超过y＝f（u）的定义域．（2）反函数设函数f：D→f（D）是单射，则它存在逆映射，称此映射为函数f的反函数．注：互为反函数的两个函数的图像关于直线y＝x对称．三、函数极限1．概念（1）函数f在点x0的极限f定义在U°（x0；δ'）上，A为定数．对∀ε＞0，若∃正数δ（＜δ'），当0＜|x －x0|＜δ时有|f（x）－A|＜ε，则称函数f在点x0的极限为A，记作（2）函数f在x趋于∞时的极限f定义在[a，＋∞）上，A为定数．对∀ε＞0，若∃正数N（≥a），使得当x＞N 时有则称函数f在x趋于∞时的极限为A，记作（3）左极限f定义在[x0，x0＋η）上，A为定数．对∀给定的ε＞0，总∃δ＞0，当时，有则称A为f在点x0的左极限，记为（4）右极限f定义在（x0－η，x0]上，A为定数．对∀给定的ε＞0，总∃δ＞0，当时，有就称A为f在点x0的右极限，记为（5）．2．性质（1）唯一性；（2）有界性；（3）保号性；（4）保不等式性；（5）夹逼性．注：函数极限性质同数列极限性质类似．3．归结原则f定义在上，存在⇔对任何含于且以x0为极限的数列，都存在且相等．4．单调有界定理f为定义在上的单调有界函数，则右极限存在．5．柯西准则f定义在上，存在⇔∀ε＞0，∃正数，使得对，有6．两个重要极限7．无穷小量与无穷大量（1）无穷小①时的无穷小，得；②时的无穷小，得．（2）无穷小的性质若f（x）为无穷小量，g（x）为有界量，则它们的积f（x）g（x）也为无穷小量．（3）无穷大f（x）定义在U0（x0）上．对∀给定的正数M，总∃正数（或正数X），只要（或|x|＞X），总有|f（x）|＞M，则称f为当或（）时的无穷大．8．相关无穷小的定义（1）高、低阶无穷小若，则称x→x0时f为g的高阶无穷小量（或称g为f的低阶无穷小量），记作（2）同阶无穷小f和g定义U0（x0）上，若∃正数K和L，满足则称f与g为当x→x0时的同阶无穷小量．（3）等价无穷小若，则称f与g是当x→x0时的等价无穷小量,记作注：常用的等价无穷小9．渐近线设曲线y＝f（x）（1）斜渐近线y＝kx＋b（2）垂直渐近线若（或者左、右极限趋于无穷），则垂直渐近线为．（3）水平渐近线若（或者），则水平渐近线为ｙ＝ｂ．四、函数的连续性1．概念（1）连续的定义f（x）定义在U（x0）上，若则f在点x0连续．2．性质（1）有界性；（2）保号性；（3）四则运算．3．间断点（1）定义函数f（x）在点x0处不连续，则称点x0为函数f（x）的不连续点或间断点．如果x0是函数f（x）的间断点，但左极限及右极限都存在，则x0称为函数f（x）的第一类间断点．不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．（2）类型①第一类间断点a．可去间断点在间断点处函数左右极限相等．b．跳跃间断点在间断点处函数左右极限不相等．②第二类间断点a．无穷间断点在间断点处函数极限为无穷大（无穷小）．b．振荡间断点在间断点处函数值在一个区间变化．4．定理（1）最值定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上有最大值与最小值．（2）有界性定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上有界．（3）介值性定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，f（x）可以取介于最大值和最小值之间的任何值．（4）根的存在定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，且f（a）·f（b）＜0，则在（a，b）内至少有一点ξ，使得．5．一致连续（1）定义f定义在区间I上，如果对于∀给定的正数ε，总∃正数δ，使得对于区间I上的任意两点x1、x2，当时，有则称f在I上一致连续．（2）一致连续与连续的关系如果f（x）在区间I上一致连续，则f（x）在I上一定连续；当f（x）在区间I 上连续，f（x）在区间I上不一定一致连续．（3）一致连续性定理f为闭区间[a，b]上的连续函数，则f在[a，b]上一致连续．。
数学分析的重要知识点总结
数学分析的重要知识点总结数学分析是研究数学连续性和变化的基础学科，它提供了许多有关函数、极限、导数、积分和级数等方面的重要概念和工具。
在本文中，我们将总结数学分析中的一些重要知识点，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、函数与极限函数是数学分析的基本概念之一。
函数描述了两个变量之间的关系，并将输入映射到输出。
函数可以是连续的、可微分的或可积分的，它在各种科学和工程领域中都有广泛的应用。
极限是函数连续性和变化的关键概念。
在数学中，极限描述了函数在某个点或无穷远处的趋势。
根据函数的定义域和值域，我们可以讨论函数在某个点的左极限、右极限和无穷极限。
二、导数与微分导数是函数变化率的量度。
对于一个函数，它在某一点的导数表示了函数在该点的变化速率。
导数的概念和性质对于研究函数的变化特性和优化问题至关重要。
微分是导数的应用。
通过微分，我们可以研究函数的最值、曲线的凹凸性和曲率等性质。
微分学在科学和工程领域中广泛应用，如物理学中的运动学和力学、经济学中的边际分析等。
三、积分与积分应用积分是导数的逆运算，它描述了函数在一定区间上的累积效应。
积分在计算图形面积、求解微分方程和描述物理量等方面具有重要应用。
不定积分是对函数的原函数进行定义，可以计算出函数的一个特定形式。
定积分是对函数在一定区间上的累积效应进行计算。
定积分在求解曲线下面积、计算变量期望和求解微分方程初始条件等问题中发挥着重要作用。
四、级数与收敛性级数是由一系列项组成的无穷和。
级数的和可以是有限的或无限的。
通过研究级数的收敛性，我们可以确定级数是否趋于一个有限的极限值。
收敛性是级数是否趋于一个固定值的性质。
根据级数的项的大小和符号，我们可以使用各种测试方法来判断级数的收敛性，如比值测试、根值测试和积分测试等。
通过学习数学分析的重要知识点，我们可以更好地理解和应用这些概念。
数学分析对于数学的发展和各个领域的应用都具有深远的影响，它为我们解决问题提供了强有力的工具和方法。
研究生数学分析基础知识点归纳总结
研究生数学分析基础知识点归纳总结数学分析是研究实数、函数、极限、导数、积分等数学概念和运算规则的基础学科。
作为研究生的基础课程之一，熟悉数学分析的基础知识点对于进一步深化数学研究和解决实际问题具有重要意义。
本文将对研究生数学分析的基础知识点进行归纳总结。
一、实数与数列实数是数学中最基本的概念之一，它包括有理数和无理数。
有理数可以表示为两个整数的比值，无理数则不能表示为有理数的比值。
数列是按照一定规律排列的数的集合。
常见的数列有等差数列和等比数列。
等差数列中，每个数与它的前一个数之差是一个常数，称为公差；等比数列中，每个数与它的前一个数之比是一个常数，称为公比。
二、函数与极限函数是描述两个变量之间关系的一种工具。
在数学分析中，我们常常研究的是实值函数，即定义域和值域都是实数集合。
极限是研究函数在某一点附近趋于无穷时的性质。
我们通常用函数在该点附近取值的情况来描述这种趋势。
常见的极限包括左极限、右极限和无穷极限。
三、导数与微分导数是描述函数变化率的重要概念。
它刻画了函数在某一点附近的局部性质。
导数的定义是函数在该点的极限，可以通过求导数来研究函数的变化情况。
微分是导数的一个应用，它描述了函数在某一点的线性逼近。
微分可以用来求解优化问题、近似计算等。
四、积分与函数的面积积分是对函数进行求和的过程，它可以用来求解曲线下面积、函数的平均值等。
积分的定义是将函数分成无穷小的小区间，然后对每个小区间的值进行求和并取极限。
函数的面积是积分的一个重要应用。
通过计算函数与坐标轴之间的面积，我们可以得到函数在一段区间上的积分值，进而研究函数的性质。
五、级数与收敛性级数是由无穷多个数相加而成的表达式。
级数的部分和是指级数的前n个数相加的结果。
级数的收敛性是研究级数求和是否存在有限结果的性质。
当级数的部分和趋于某个有限值时，我们称该级数收敛；当级数的部分和不趋于有限值时，我们称该级数发散。
六、泰勒展开与函数逼近泰勒展开是将函数表示为一系列无穷次多项式相加的形式。
有关考研数学的知识点总结
有关考研数学的知识点总结一、数学分析数学分析是考研数学中非常重要的一部分，其中包括实数、极限、连续、导数与微分、不定积分、定积分、微分方程等内容。
1. 实数实数包括有理数和无理数，所有有理数都可以表示为分数形式，而无理数则不可以。
2. 极限极限是数学分析中非常重要的一个概念，它是函数逼近的概念，通常用符号lim表示。
极限有左极限、右极限和无穷极限等不同形式。
3. 连续连续是函数的一个非常重要的性质，连续函数在一定范围内有非常好的性质，例如连续函数的介值定理等。
4. 导数与微分导数是函数变化率的表示，微分则是函数在某点附近的线性近似。
导数和微分在数学分析中有非常重要的应用。
5. 不定积分不定积分是求导的逆运算，通常用积分符号∫表示。
不定积分需要考生掌握一些积分的常见法则和方法。
6. 定积分定积分是区间上函数值的累积和，通常用积分符号∫表示。
定积分在数学分析和物理等领域有非常广泛的应用。
7. 微分方程微分方程描述了变化的规律，它在物理、工程、生物等领域有非常重要的应用。
微分方程是考研数学中比较难的一部分，考生需要掌握一些基本的解微分方程的方法。
二、高等代数高等代数是考研数学中另一个非常重要的一部分，其中包括线性代数和群论两个部分。
1. 线性代数线性代数是研究向量空间和线性变换的一门数学学科，其中包括向量、矩阵、行列式、特征值和特征向量、正交、对称矩阵等内容。
2. 群论群论是研究代数结构的一门数学学科，其中包括群的基本概念、子群、正规子群、同态映射、同构等内容。
三、概率论与数理统计概率论与数理统计是考研数学中的另一个非常重要的一部分，其中包括概率的基本概念、离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量的函数的概率分布、大数定律和中心极限定理、参数估计和假设检验等内容。
总的来说，考研数学的知识点非常丰富，需要考生有扎实的数学基础才能顺利通过考试。
希望考生能够认真复习，掌握好这些知识点，顺利通过考研数学。
考研数学数学分析重要定理总结
考研数学数学分析重要定理总结一、导数与微分导数和微分是数学分析中非常重要的概念，在求解函数的极限、切线方程、最值等方面具有广泛的应用。
以下是一些常见的导数和微分的重要定理：1. 函数可导与函数连续的关系：若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处连续。
2. 可导函数的四则运算法则：若f(x)和g(x)在点x=a处可导，则(1) (f+g)(a) = f(a) + g(a)(2) (f-g)(a) = f(a) - g(a)(3) (f·g)(a) = f(a)·g(a)(4) (f/g)(a) = [f(a)/g(a)] (g(a)≠0)3. 反函数的导数：若函数y=f(x)在区间I上连续、可导，并且在某点x=a处导数不为零，则它的反函数x=g(y)在区间f(I)上也是连续、可导的，并且在对应点y=f(a)处的导数为1/f'(a)。
4. 高阶导数公式：若函数y=f(x)的导数f'(x)存在，则可以继续求导，得到f''(x)、f'''(x)等高阶导数。
5. 麦克劳林级数与泰勒级数：若函数f(x)在点x=a处的各阶导数存在，则f(x)可以展开成麦克劳林级数或泰勒级数：f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)^2/2! f''(a)+...二、积分与定积分积分和定积分是数学分析中研究函数面积、曲线长度、物理量等的重要工具。
以下是一些常见的积分和定积分的重要定理：1. 积分的线性性质：设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积，则对于任意常数α、β，有(1) ∫[a,b] (αf(x)+βg(x))dx = α∫[a,b] f(x)dx + β∫[a,b] g(x)dx2. 牛顿-莱布尼兹公式：若函数F(x)是f(x)的一个原函数，则对于区间[a,b]上的积分，有∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)3. 积分换元法：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数g(t)在区间[α,β]上可导且g'(t)连续，并且f(g(t))·g'(t)连续，则有∫[a,b] f(g(t))g'(t)dt = ∫[α,β] f(x)dx4. 定积分的性质：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分∫[a,b] f(x)dx存在，并且具有以下性质：(1) ∫[a,b] f(x)dx = -∫[b,a] f(x)dx(2) 若函数f(x)在区间[a,b]上非负，则∫[a,b] f(x)dx ≥ 0(3) 若函数f(x)在区间[a,b]上非负且不恒为零，则∫[a,b] f(x)dx > 0三、级数与收敛性级数是数学分析中研究无穷和的重要概念，对于理解数列、函数等的性质和应用具有重要意义。
考研数学分析重点知识点总结
考研数学分析重点知识点总结数学分析是考研数学中非常重要的一门学科，它涉及到微积分、级数、极限等概念。
对于考生来说，掌握数学分析的重点知识点是提高成绩的关键。
本文将从微积分、级数、极限三个方面总结考研数学分析的重点知识点。
一、微积分微积分是数学分析的基础，也是考研数学分析中的重点内容。
在微积分部分，考生需要掌握以下几个重点知识点：1. 导数与微分：掌握导数和微分的定义和性质，熟练运用导数的几何意义和微分的物理意义来解决相关问题。
2. 高阶导数与高阶微分：理解高阶导数和高阶微分的定义和概念，能够求解高阶导数和高阶微分的相关问题。
3. 隐函数与参数方程：了解隐函数和参数方程的定义及其求导法则，能够应用隐函数与参数方程求导解题。
4. 极值与最值：熟悉极值与最值的判定条件和求解方法，能够应用极值与最值的知识解决相关问题。
5. 泰勒展开：理解泰勒展开的概念和应用条件，能够应用泰勒展开解决近似计算和误差估计的问题。
二、级数级数也是考研数学分析中的重点考点，它包括数列、数列极限和级数等概念。
在级数部分，考生需要掌握以下几个重点知识点：1. 数列极限与函数极限的关系：了解数列极限与函数极限的关系，能够利用数列极限与函数极限之间的关系解决相关问题。
2. 收敛级数与发散级数：能够判断级数的收敛性和发散性，熟悉判别法和判定条件。
3. 常见级数的性质与求和：掌握常见级数的性质与求和公式，如等比级数、调和级数等。
4. 级数收敛的判别法：熟悉级数收敛的判别法，如比较判别法、积分判别法等，能够灵活运用判别法解决问题。
三、极限极限是数学分析中的基础概念，也是考研数学分析的重点内容。
在极限部分，考生需要掌握以下几个重点知识点：1. 数列极限的定义与性质：了解数列极限的定义和性质，熟悉极限的四则运算规则。
2. 函数极限的定义与求解：掌握函数极限的定义和求解方法，理解函数极限与数列极限之间的关系。
3. 极限存在性的判定：熟悉极限存在性的判定法则，如夹逼定理、单调有界原理等。
山东省考研数学复习资料数学分析重要定理总结
山东省考研数学复习资料数学分析重要定理总结数学分析是数学的基础学科之一，对于考研数学的复习来说，数学分析的重要性不言而喻。
在准备考研数学分析时，我们需要熟练掌握各种定理和公式，才能在考试中高效解题。
本文将对山东省考研数学分析的重要定理进行总结，供考生参考。
一、极限与连续1. 函数极限定义：对于函数$f(x)$，当$x$无限接近于某一值$a$时，如果$f(x)$的值无限接近于某一常数$A$，则称函数$f(x)$在$x=a$处的极限为$A$，记作$\lim_{x\to a} f(x) = A$。
2. 极限的四则运算法则：设$\lim_{x\to a} f(x) = A$，$\lim_{x\to a} g(x) = B$，则有：a) $\lim_{x\to a} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$b) $\lim_{x\to a} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$c) $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$（其中$B \neq 0$）3.连续函数的性质：若函数$f(x)$在$x=a$处连续，则有：a) $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$b) 连续函数的和、差、积、商仍为连续函数二、导数与微分1. 导数的定义：设函数$f(x)$在$x_0$处有定义，当$x$无限接近于$x_0$时，若极限$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$存在，则称此极限为函数$f(x)$在$x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$。
2. 常用导数公式：a) $(x^n)' = nx^{n-1}$（其中$n$为正整数）b) $(e^x)' = e^x$c) $(\ln x)' = \frac{1}{x}$3. 高阶导数与隐函数导数：a) 函数$f(x)$的二阶导数：$f''(x) = (f'(x))'$b) 隐函数导数：对于方程$F(x,y)=0$，若存在导数$\frac{dy}{dx}$，则称$\frac{dy}{dx}$为隐函数导数。
考研数学分析知识点梳理
考研数学分析知识点梳理数学分析是考研数学中的重要部分，也是许多考研学子最困惑的内容之一。
为了帮助大家更好地掌握数学分析的知识点，以下将对常见的数学分析知识点进行梳理。
本文按照数学分析的章节内容和考研的重点来划分，希望能帮助大家在备考中有所收获。
一、极限与连续1.数列极限数列极限是数学分析的基础，通过数列极限我们可以理解数学分析的许多概念。
例如极限的定义、数列极限的性质、夹逼准则、单调有界原理等。
2.函数极限函数极限是数学分析中的核心概念，包括无穷小量与无穷大量、函数极限的定义与性质、极限的四则运算法则等。
3.连续性连续性是数学分析中的重要概念，涉及到函数的连续性定义、连续函数的性质、间断点的分类、闭区间上连续函数的性质等。
4.一致连续性一致连续性是连续性的进一步推广，常用的证明方法有柯西收敛性和一致收敛性。
二、导数与微分1.导数的定义导数的定义是函数微分学的基础，涉及到导数的定义、可导与连续的关系、可导函数的性质等。
2.常见函数的导数常见函数的导数是考研数学中的重点，包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
3.高阶导数与导数的应用高阶导数是导数的进一步推广，可以使用高阶导数求函数的极值、凹凸性、拐点等。
4.隐函数与参数方程隐函数与参数方程是函数的另一种表达形式，在求导过程中要注意相应的求导法则。
三、积分与微积分基本定理1.定积分定积分是微积分中的重要概念，包括定积分的定义、性质与运算法则、牛顿-莱布尼茨公式等。
2.不定积分不定积分是定积分的逆运算，包括不定积分的定义、性质与运算法则，常用的积分方法有换元积分法、分部积分法等。
3.微积分基本定理微积分基本定理将导数与积分联系起来，包括第一、第二微积分基本定理，以及与定积分相关的一些公式和性质。
四、级数1.数项级数数项级数是级数的基础，包括级数的定义、收敛与发散的判定、级数性质等。
2.幂级数幂级数是数学分析中的重要内容，包括幂级数的收敛半径、收敛区间、求和等。
数学分析中的重要知识点总结
数学分析中的重要知识点总结数学分析是数学的一个重要分支，它研究的是数学中的极限、连续、微积分等基本概念和方法。
在数学分析的学习过程中，有一些重要的知识点需要我们掌握和理解。
本文将对数学分析中的一些重要知识点进行总结和概述。
一、极限的概念和性质极限是数学分析中最基本的概念之一，它描述了函数在某一点附近的变化趋势。
在学习极限的过程中，我们需要了解极限的定义、极限的性质以及一些常见函数的极限计算方法。
同时，我们还需要掌握一些重要的极限定理，如夹逼定理、无穷小量的性质等。
二、连续函数的性质连续函数是数学分析中非常重要的概念，它描述了函数在整个定义域内的连续性。
在学习连续函数的性质时，我们需要了解连续函数的定义、连续函数的运算性质以及一些重要的连续函数的定理，如介值定理、零点定理等。
三、导数和微分的概念和性质导数和微分是微积分中的核心概念，它们描述了函数的变化率和函数在某一点的局部线性逼近。
在学习导数和微分的概念和性质时，我们需要了解导数和微分的定义、导数和微分的基本运算法则以及一些常见函数的导数和微分计算方法。
同时，我们还需要掌握一些重要的导数和微分的定理，如拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
四、积分的概念和性质积分是微积分中的另一个核心概念，它描述了函数在一定区间上的累积效应。
在学习积分的概念和性质时，我们需要了解积分的定义、积分的基本运算法则以及一些常见函数的积分计算方法。
同时，我们还需要掌握一些重要的积分的定理，如牛顿-莱布尼茨公式、分部积分法等。
五、级数的概念和性质级数是数学分析中的一个重要概念，它描述了无穷多个数的和的性质。
在学习级数的概念和性质时，我们需要了解级数的定义、级数的收敛性判别法则以及一些常见级数的求和方法。
同时，我们还需要掌握一些重要的级数的定理，如比较判别法、绝对收敛性的性质等。
综上所述，数学分析中的重要知识点包括极限、连续函数、导数和微分、积分以及级数等。
掌握这些知识点对于深入理解数学分析的原理和方法具有重要意义。
山东省考研数学复习资料数学分析重点知识点
山东省考研数学复习资料数学分析重点知识点数学分析作为数学学科的基础课程，在山东省考研数学复习中占据着重要的地位。
既是考研数学的重难点，也是考察学生数学基础和思维能力的关键内容。
为了帮助考生更好地备考，本文将介绍山东省考研数学复习资料数学分析的重点知识点。
一、极限和连续1. 极限的定义和性质极限是数学分析的基础概念之一，理解和掌握极限的定义是十分重要的。
极限的定义可以简单概括为：当自变量趋于某个值时，函数的取值趋于确定的值。
掌握极限的性质，如四则运算法则、极限的局部有界性等，对于求解极限的过程中具有重要的指导作用。
2. 连续的定义和性质连续是函数分析中的重要概念，连续函数具有很多良好的性质。
连续函数的定义可以简单概括为：函数在某一点处的函数值等于该点的极限值。
除了掌握连续函数的定义外，还需要了解连续函数的局部性质、奇偶性质以及连续函数的运算性质等。
二、导数和微分1. 导数的定义和性质导数是函数分析中的重要概念，理解和掌握导数的定义对于求解函数的变化率和最值等问题非常重要。
导数的定义可以简单概括为：函数在某一点处的变化率，即函数在该点处的切线的斜率。
此外，还需要掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等性质。
2. 微分的概念和应用微分是导数的一种应用，通过微分可以求得函数的近似值和局部变化率。
了解微分的概念以及微分的计算方法和应用场景，对于解决实际问题中的最优化、线性化和切线逼近等问题十分重要。
三、函数积分1. 不定积分和定积分的概念不定积分和定积分是函数积分中的重点内容。
不定积分是定义函数的反函数，定积分是计算函数所围面积或函数在某一区间的积累量。
理解和掌握不定积分和定积分的概念对于求解函数的原函数和计算函数的面积具有重要的作用。
2. 基本积分公式和常用积分法熟练掌握基本积分公式，如常见函数的不定积分公式和定积分公式，对于解题过程中的积分运算有很大的帮助。
此外，需要了解常用积分方法，如分部积分法、换元积分法以及有理函数的积分法等，以便更加方便地解决具体积分问题。
考研数分知识点总结
考研数分知识点总结一、数列与数学归纳法1. 有限数列与无限数列2. 等差数列与等比数列3. 数列的通项公式与前n项和公式4. 数列的求和公式5. 数学归纳法的基本思想与定理证明二、极限与连续1. 极限的定义与性质2. 极限存在的判定方法3. 极限的运算法则4. 无穷大与无穷小5. 函数的极限与连续性6. 连续函数的性质与运算法则7. 间断点及其分类三、导数与微分1. 导数的定义与几何意义2. 导数的性质与运算法则3. 高阶导数4. 隐函数与参数方程的导数5. 微分的定义与运算法则6. 泰勒公式与泰勒展开式四、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与性质2. 不定积分的运算法则3. 牛顿-莱布尼茨公式4. 定积分的定义与性质5. 定积分的几何应用6. 定积分的计算方法五、微分方程1. 微分方程的基本概念2. 微分方程的分类3. 微分方程的解法与初值问题4. 一阶线性微分方程5. 可分离变量的微分方程6. 齐次微分方程7. 非齐次线性微分方程六、多元函数微分学1. 多元函数的极限与连续性2. 偏导数与全微分3. 多元函数的微分法4. 多元函数的极值与最值5. 多元函数的泰勒公式6. 隐函数与参数方程的高阶导数7. 多元函数积分的计算方法七、级数1. 级数的概念与性质2. 级数收敛的判定方法3. 正项级数的审敛法4. 幂级数的收敛半径5. 幂级数的性质与收敛域6. 幂级数展开式与幂级数解析函数以上就是考研数学分析的基本知识点总结。
希朼对大家有所帮助。
考研数学数学分析重点整理
考研数学数学分析重点整理数学分析是考研数学科目中的一大重点，它是数学学科的基础和核心。
掌握好数学分析的基本概念和方法对考研数学的学习至关重要。
本文将对考研数学分析的重点进行整理，帮助考生更好地备战考试。
一、极限与连续在数学分析中，极限与连续是最基础的概念之一。
极限是函数、数列或数集逼近某个值的概念，而连续是函数在定义域内无间断的性质。
在考研数学中，常见的极限和连续的相关考点包括：1. 极限的定义与性质：数列极限、函数极限的定义及相关性质，如唯一性、有界性等。
2. 极限的计算：通过基本极限公式和运算规律求解各种极限。
3. 连续函数的判定和性质：如闭区间上的连续函数一定达到上确界和下确界，连续函数的四则运算性质等。
二、一元函数的导数与微分一元函数的导数是数学分析中的重要内容之一，它是研究函数局部变化率和函数性质的有效工具。
微分是导数的一个近似变化量。
在考研数学中，常见的导数与微分的考点包括：1. 导数的定义与性质：函数导数的定义、导数存在的条件、导数的性质，如可导必连续等。
2. 基本导数公式与运算规律：常见函数的导数公式、复合函数求导法则、反函数求导等。
3. 高阶导数与高阶微分：函数的高阶导数及其计算方法，高阶微分的定义与性质。
三、积分与定积分积分是数学分析中的另一重要概念，它是函数的反导数，研究函数的整体性质和定积分。
在考研数学中，常见的积分与定积分的考点包括：1. 定积分的定义与性质：定积分的定义、存在条件，定积分的性质，如可加性、线性性质等。
2. 基本积分公式与运算规律：常见函数的积分公式、换元积分法则、分部积分法等。
3. 定积分的应用：利用定积分求解曲线下面积、弧长、体积等几何问题。
四、级数与幂级数级数是数学分析中的重要理论，它是由一列数相加而成的无穷级数。
幂级数是级数中每一项都是一个幂函数。
在考研数学中，常见的级数与幂级数的考点包括：1. 收敛与发散的判定：级数收敛和发散的判定方法，如比值判别法、根值判别法等。
数学分析知识点总结
数学分析知识点总结数学分析是数学的一个重要分支，它研究实数域上的函数、极限、连续性、可导性、积分等基本概念和性质。
本文将对数学分析的一些重要知识点进行总结，帮助读者加深对数学分析的理解。
一、实数和实函数1.实数的定义和性质：实数是指具有无理数和有理数两类的数字，它们共同构成了实数域。
实数具有有序性和完备性两个重要性质。
2.函数的概念：函数是一种映射关系，它将自变量的值映射到因变量的值上。
函数可以通过函数关系式、函数图像和函数表达式等方式表示。
3.实函数的性质：实函数可以分为奇函数和偶函数。
奇函数关于原点对称，即f(-x)=-f(x)；偶函数关于y轴对称，即f(-x)=f(x)。
另外，实函数可以是周期函数、有界函数、单调函数、非负函数等。
二、极限和连续性1. 极限的概念：函数f(x)在x趋于无穷大或无穷小时的极限表示为lim(x→∞)f(x)=L或lim(x→a)f(x)=L。
其中，无穷大极限表示函数在x趋向于∞或-∞时的极限，而有限极限表示函数在x趋向于其中一点a 时的极限。
2. 极限的性质：极限具有唯一性、有界性、局部性和四则运算的性质。
也就是说，如果lim(x→a)f(x)=L，那么L是唯一确定的，并且lim(x→a)c= c、lim(x→a)(c*f(x)) = c*lim(x→a)f(x)等。
3. 连续性的概念：函数f(x)在其中一点a处连续，表示为f(a)=lim(x→a)f(x)。
也就是说，在这一点上，函数的值等于极限。
4.连续性的性质：连续函数具有限制相容性、四则运算的连续性、复合函数的连续性等性质。
另外，闭区间上的连续函数是有界的，且在闭区间上存在最大值和最小值。
三、可导性和微分1. 可导性的概念：函数f(x)在其中一点a处可导，表示为f'(a)=lim(x→a)(f(x)-f(a))/(x-a)。
也就是说，在这一点上，函数在图像上具有一条切线。
(完整)数学分析2重要知识小结(考研复习用)
数学分析2重要知识小结（考研及复习）第八章 不定积分1、基本公式（1）),1(11-≠++=+⎰ααααc x dx x （2)⎰+=c x dx x ln 1, （3）⎰+=,ln c aa dx a xx(4)⎰+=,c e dx e x x （5)⎰+=,sin 1cos c x xdx ααα （6）,cos 1sin c x dx x +-=⎰ααα（7）,tan cos 12c x dx x +=⎰（8),cot sin 12c x dx x+-=⎰ （9)⎰+=,sec tan sec c x xdx x （10） ⎰+-=,csc cot csc c x xdx x （11）⎰+=-,arcsin 12c x x dx (12) ⎰+=-,arcsin 22c a xx a dx（13) ⎰+=+,arctan 12c x x dx （14） ⎰+=+,arctan 22c a xxa dx（15)⎰++=,tan sec ln sec c x x xdx (16)⎰+-=,cot csc ln csc c x x xdx （17) ,ln 2222c a x x a x dx +±+=±⎰(18） ⎰++-=-,ln 2122c a x ax a ax dx (19) ⎰+-=c x x xdx )1(ln ln .注：应会用前面的公式及方法推出公式(13）-(19）. 2、积分法（1) 公式法：直接用上面的公式及函数和与差的积分等于积分的和与差这一性质。
（2) 第一换元法(是将一个关于x 的函数换为一个变量） 若⎰⎰=))(())(()(x d x g dx x f ϕϕ,而⎰+=c u G du u g )()(，则 ⎰+=.))(()(c x G dx x f ϕ看到应想到：),(sin cos x d xdx = ),(cos sin x d xdx -=),(tan cos 2x d xdx= ),(cot sin 2x d x dx =-)1(2x d xdx =-，)(121x d n dx x n =-。
考研数学知识点总结
考研数学知识点总结一、数学分析。
1. 极限与连续。
数列极限、函数极限、无穷小量、无穷大量、函数连续性等概念及相关定理。
2. 导数与微分。
函数的导数与微分、高阶导数、隐函数与参数方程求导、微分中值定理、泰勒公式等内容。
3. 微分方程。
常微分方程的解法、一阶线性微分方程、高阶线性微分方程、常系数齐次线性微分方程等。
4. 不定积分。
不定积分的概念、基本积分法、换元积分法、分部积分法、有理函数积分、三角函数积分等。
5. 定积分。
定积分的概念、定积分的性质、定积分的计算、变限积分、定积分的应用等内容。
二、线性代数。
1. 行列式。
行列式的概念、性质、行列式的计算、克拉默法则、行列式的应用等。
2. 矩阵与向量。
矩阵的概念、矩阵的运算、矩阵的秩、矩阵的逆、向量的线性相关性、向量空间等内容。
3. 线性方程组。
线性方程组的概念、线性方程组的解法、矩阵求解线性方程组、线性方程组的应用等。
4. 特征值与特征向量。
矩阵的特征值与特征向量、特征值与特征向量的性质、对角化、二次型等内容。
5. 线性空间。
线性空间的概念、线性子空间、线性变换、线性空间的基与维数、线性空间的同构等。
三、概率论与数理统计。
1. 随机事件与概率。
随机事件的概念、概率的基本性质、古典概型、条件概率、独立性等内容。
2. 随机变量及其分布。
随机变量的概念、离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量的分布函数、常见分布等。
3. 多维随机变量及联合分布。
多维随机变量的概念、联合分布函数、边缘分布、条件分布、独立性等内容。
4. 数理统计。
统计量、抽样分布、参数估计、假设检验、方差分析、相关分析等内容。
5. 随机过程。
随机过程的概念、马尔可夫链、泊松过程、布朗运动等内容。
以上是考研数学知识点的总结，希望对大家复习备考有所帮助。
祝各位考生取得理想的成绩！。
数学分析知识点总结
数学分析知识点总结数学分析是数学专业的重要基础课程，它为后续的许多数学课程提供了必要的理论基础和方法。
以下是对数学分析中的一些重要知识点的总结。
一、函数函数是数学分析中的核心概念之一。
函数可以理解为一种对应关系，对于给定的自变量的值，通过某种规则确定唯一的因变量的值。
1、函数的定义设 X 和 Y 是两个非空数集，如果对于 X 中的每一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在 Y 中都有唯一确定的数 y 与之对应，那么就称f 是定义在 X 上的函数，记作 y ＝ f(x)，x ∈ X。
2、函数的性质（1）单调性：如果对于定义域内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁、x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂)（或 f(x₁) ＞f(x₂)），那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数（或减函数）。
（2）奇偶性：如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)＝ f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数；如果都有 f(x) ＝ f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
（3）周期性：对于函数 y ＝ f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋ T) ＝ f(x)都成立，那么就把函数 y ＝ f(x)叫做周期函数，周期为 T。
3、反函数设函数 y ＝ f(x)，其定义域为 D，值域为 R。
如果对于 R 中的每一个 y 值，在 D 中都有唯一确定的 x 值与之对应，那么就可以得到一个新的函数 x ＝φ(y)，称其为函数 y ＝ f(x)的反函数。
二、极限极限是数学分析中用于描述函数在某个过程中的变化趋势的重要概念。
1、数列的极限对于数列｛an}，如果存在一个常数 A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，不等式｜an A|＜ε 都成立，那么就称常数 A 是数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞）an ＝ A。
湖北省考研数学专业复习资料数学分析重点知识点总结
湖北省考研数学专业复习资料数学分析重点知识点总结数学分析是数学学科的重要分支，也是湖北省考研数学专业的必修课程之一。
在考研复习过程中，理解和掌握数学分析的重点知识点至关重要。
本文将对湖北省考研数学专业数学分析重点知识点进行总结，以供考生参考。
一、数列与级数1. 数列数列是按照一定规律排列的数的集合。
常见的数列有等差数列、等比数列等。
在数学分析中，需要掌握数列的概念、性质以及相关的收敛定理。
2. 级数级数是由数列的部分和所组成的无穷级数。
在数学分析中，需要了解级数的收敛性判定方法，如比较判别法、积分判别法等，并能够应用于实际问题的计算和证明中。
二、函数与极限1. 函数的极限函数的极限是研究函数在某一点或某一方向上的趋势。
理解函数的极限定义、性质以及相关的计算方法是数学分析的基础。
2. 无穷小量与无穷大量无穷小量是指函数在某一点附近取得的极小值，而无穷大量则是指函数在某一点附近趋近无穷大。
掌握无穷小量与无穷大量的定义、性质以及相关的运算规则十分重要。
三、连续与一致连续1. 连续性连续性是指函数在某一点的极限与函数在该点的值相等，理解连续函数的定义、性质以及连续函数的运算规则是数学分析的核心内容。
2. 一致连续性一致连续性是指函数在定义域上任意两点的函数值之差都可以任意小。
了解一致连续函数的定义和相关定理，并能够应用于实际问题的证明和计算中。
四、导数与微分1. 导数导数是研究函数变化率的工具，掌握导数的定义、性质以及相关的计算方法是数学分析的核心内容。
2. 微分微分是导数的基本应用，了解微分的定义、性质以及微分的相关计算方法，并能够应用于实际问题的计算和证明中。
五、定积分与不定积分1. 定积分定积分是研究函数在一定区间上的累积效应，了解定积分的定义、性质以及相关的计算方法和应用场景是数学分析的基本内容。
2. 不定积分不定积分是定积分的逆运算，掌握不定积分的定义、性质以及常见函数的不定积分公式，并能够熟练地进行不定积分计算是数学分析的关键。
数学考研数学分析重点梳理
数学考研数学分析重点梳理一、数列与极限1. 数列的概念与性质数列的定义、数列的极限、数列的有界性等2. 数列极限的判定方法夹逼准则、单调有界准则、卡氏准则等3. 无穷级数无穷级数的概念、收敛性与发散性、常见级数等4. 函数的极限函数的概念、函数极限的定义、函数极限的性质等二、连续函数与一元函数微分学1. 连续函数与间断点连续函数的概念、间断点的分类、连续函数的性质等2. 闭区间上连续函数的性质零点存在性、介值定理、最值定理等3. 一元函数微分学的基本概念导数的定义、函数的可导性、导数的几何意义等4. 导数的计算和应用导数的四则运算法则、高阶导数、隐函数求导、极值问题等三、多元函数微分学1. 多元函数及其图像多元函数的定义、多元函数的图像、多元函数的性质等2. 偏导数与全微分偏导数的定义和计算、全微分的定义、全微分的计算等3. 多元函数的连续性与偏导数存在性多元函数的连续性、混合偏导数的存在性、 Schwarz 定理等4. 多元函数的极值与条件极值二元函数的极值、拉格朗日乘子法、约束条件的处理等四、一元函数积分学1. 不定积分不定积分的定义、基本积分表、换元积分法等2. 定积分定积分的定义、定积分的性质、常用积分公式等3. 定积分的计算方法牛顿－莱布尼茨公式、分部积分法、曲线长度与旋转体体积等4. 应用问题平面向量的应用、物理问题与几何问题等五、多元函数积分学1. 二重积分二重积分的定义、二重积分的计算方法、极坐标下的二重积分等2. 二重积分的应用质量、质心、转动惯量、面积等应用问题3. 三重积分三重积分的定义、三重积分的计算方法、球坐标下的三重积分等4. 三重积分的应用质量、质心、转动惯量、体积等应用问题以上便是数学考研数学分析的重点梳理，希望对你的学习有所帮助。
通过对这些重点知识的掌握和学习，相信你能够顺利应对数学分析的考试。
加油！。
上海市考研数学四十五复习资料数学分析(统考)重点知识点总结与实例分析
上海市考研数学四十五复习资料数学分析（统考）重点知识点总结与实例分析数学是考研数学分析（统考）中的一门重要科目，对于准备参加上海市考研的同学来说，掌握数学分析的重点知识点是非常关键的。
因此，本文将对上海市考研数学四十五复习资料中的数学分析（统考）重点知识点进行总结，并提供一些实例分析，帮助同学们更好地复习备考。
一、极限与连续1. 极限的定义与性质在数学分析中，极限是一个非常重要的概念，它是数学分析建立起来的基础。
极限的定义与性质包括数列的极限、函数的极限以及极限的运算性质等。
理解并掌握这些知识点，对于解决各种数学分析问题是至关重要的。
2. 连续函数与间断点在数学分析的复习中，连续函数与间断点是一个重要的考点。
了解函数的连续性及其间断点的分类与判定方法，能够帮助同学们更好地理解函数的性质及其在问题中的应用。
实例分析：求函数$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$在$x = 1$处是否连续。
解：首先，我们直接代入$x = 1$，可以得到：$f(1) = \frac{1^2 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0}$。
这是一个不能确定的结果，表示函数在$x = 1$处的极限不存在。
然后，我们观察函数在$x = 1$附近的取值，即$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$。
当$x$趋近于1时，$f(x)$趋近于2。
因此，函数$f(x)$在$x = 1$处的左极限和右极限都为2。
综上所述，函数在$x = 1$处的左极限和右极限存在且相等，但函数在$x = 1$处的极限不存在，因此，函数$f(x)$在$x = 1$处不连续。
二、微分与导数1. 导数的定义与性质导数是微分学中的一个重要概念，它描述了函数在某个点上的变化率。
导数的定义与性质包括函数的可导性、导函数的计算与运算法则等。
掌握这些知识点，对于解决微分学相关问题非常有帮助。
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数学分析2重要知识小结（考研及复习）第八章 不定积分1、基本公式(1)),1(11-≠++=+⎰ααααc x dx x (2)⎰+=c x dx xln 1， (3)⎰+=,ln c aa dx a xx(4)⎰+=,c e dx e x x (5)⎰+=,sin 1cos c x xdx ααα (6),cos 1sin c x dx x +-=⎰ααα(7),tan cos 12c x dx x +=⎰(8),cot sin 12c x dx x+-=⎰ (9)⎰+=,sec tan sec c x xdx x (10) ⎰+-=,csc cot csc c x xdx x (11)⎰+=-,arcsin 12c x x dx (12)⎰+=-,arcsin22c axx a dx (13)⎰+=+,arctan 12c x x dx(14) ⎰+=+,arctan 22c axx a dx(15)⎰++=,tan sec ln sec c x x xdx (16)⎰+-=,cot csc ln csc c x x xdx (17),ln 2222c a x x a x dx +±+=±⎰(18)⎰++-=-,ln 2122c a x ax a a x dx(19) ⎰+-=c x x xdx )1(ln ln 。
注：应会用前面的公式及方法推出公式(13)-(19)。
2、积分法(1) 公式法:直接用上面的公式及函数和与差的积分等于积分的和与差这一性质。
(2) 第一换元法（是将一个关于x 的函数换为一个变量） 若⎰⎰=))(())(()(x d x g dx x f ϕϕ，而⎰+=c u G du u g )()(，则 ⎰+=.))(()(c x G dx x f ϕ看到应想到：),(sin cos x d xdx = ),(cos sin x d xdx -=),(tan cos 2x d xdx= ),(cot sin 2x d x dx =- )1(2x d xdx =-，)(121x d n dx x n =-。
(3)第二换元法（将变量x 换为一个函数） 令)(t x ϕ=，若,)()())((c t F dt t t f +='⎰ϕϕ则⎰+=-.)]([)(1c x F dx x f ϕ① 遇22x a -，令t a x sin =，t a x a cos 22=- ② 遇22x a +，令t a x tan =，ta x a cos 22=+③ 遇22a x -，令t a x sec =，t a a x tan 22=-。
④ 遇含有,m x nx 的式子，n m ,的最小公倍数为k ，令k t x =。
(4)分部积分设)(x G 为)(x g 的一个原函数，则⎰⎰'-=dx x G x f x G x f dx x g x f )()()()()()(。
形如⎰,arctan xdx ⎰xdx arcsin ，⎰xdx x kln ，,dx e x xk ⎰dx e x xβα⎰cos ，dx ex xβα⎰sin 的积分必须用分部积分。
注意：能用第一换元或分部积分就不用第二换元。
(5)三角有理式的积分①xdx x m n sin cos ⎰：“有奇换元一，无奇就降幂”。
降幂公式：)2cos 1(21cos 2x x +=，)2cos 1(21sin 2x x -=。
②万能替换2tan x t =，此时,11cos 22t t x +-= ,12sin 2t t x += 212tdtdx += (6) 有理函数及简单无理函数的积分遇c bx ax ++2或cbx ax ++21，应先进行配方：a b ac a b x a c bx ax 44)2(222-++=++，令u abx =+2，消掉一次项。
对ab ac au c bx ax 44222-+=++，根据情况利用三角换元进行计算。
第九章 定积分1、定积分定义定义：设)(x f 是定义在],[b a 上的一个函数，J 是一个确定的实数，若对于任意的0>ε，存在0>δ，对于],[b a 的任意分法T 以及其上选取的点集}{i ξ,只要,δ<T 就有εξ<-∆∑=ni iiJ xf 1)(,称函数)(x f 在],[b a 上可积，J 称为)(x f 在],[b a 上的定积分，记为 ⎰badx x f )(2定积分计算牛顿莱布尼兹公式：设)(x F 为)(x f 的一个原函数，则).()()(a F b F dx x f ba-=⎰给出一个定积分，怎样计算呢？就看在不定积分中用什么方法。
但应注意：在第二换元积分中，新变量，用新限。
3定积分性质(1)⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()(，(2)⎰⎰⎰±=±bab ab adx x g dx x f dx x g x f )()()]()([,(3)dx x f dx x f dx x f bcc ab a⎰⎰⎰+=)()()(,(4))()()(b a dx x f dx x f ba ba<≤⎰⎰,(5)),()(x g x f ≤⎰⎰≤babadx x g dx x f )()(. (6)积分第一中值定理若)(x f 在],[b a 上连续，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ。
(7) 推广的积分第一中值定理若)(x f 在],[b a 上连续，)(x g 在],[b a 上可积且不变号，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得.)()()()(dx x g f dx x g x f baba⎰⎰=ξ4、变限积分(1)若)(x f 连续，则①),())((x f dx t f xa='⎰ ②),())((x f dx t f bx-='⎰③).())(()())(())(()()(x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='⎰几个重要积分结果：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=--=-==⎰⎰.2,2!!!)!1(12,!!!)!1(cos sin 2020k n n n k n n n dx x dx x nn πππ（2）⎰⎰=2020)(cos )(sin ππdx x f dx x f（3）设)(x f 是以T 为周期的周期函数，则对于任意实数a ，有⎰⎰+=TTa adx x f dx x f 0)()(（4）若)(x f 为奇函数，则⎰-=aa dx x f 0)(。
（5）若)(x f 为偶函数，则⎰⎰-=aaadx x f dx x f 0)(2)(第十章 定积分应用1、平面区域面积 ①在直角坐标系下设区域由),(),(x g y x f y ==b a b x a x <==,,所围成 ⎰-=BA dx x g x f S )()(。
②曲线用参数方程表示设区域由βα≤≤==t t y y t x x ),(),(，)(αx x =，)(βx x =，x 轴所围成。
⎰'=βα.)()(dt t x t y S③ 曲线用极坐标表示设区域由)(θr r =，,αθ=βθ=，βα<所围成。
⎰=βαθθd r S )(212。
2、截面积已知的体的体积(1) 设体在直线l 上的投影区域为],[b a ，而过],[b a 上每一点做直线l 的垂面去截体，所得截面积为)(x A ，则该体的体积为 ⎰=ba dx x A V )((2)旋转体的体积由b x a x f y ≤≤=),(绕x 轴旋转一周后所得体的体积。
dx x f V ba ⎰=)(2π若曲线为参数方程：βα≤≤==t t y y t x x ),(),(绕x 轴旋转一周后所得体的体积 dt t x t y V ⎰'=βαπ)()(23、平面曲线的弧长(1)设曲线方程为：βα≤≤==t t y y t x x ),(),(，则弧长为 dt t y t x s ⎰'+'=βα22)]([)]([。
(2)设曲线方程为：b x a x f y ≤≤=),( dx x f s b a⎰'+=2)]([1(3)设曲线方程为：)(θr r =，βθα<< θθθβαd r r s ⎰'+=22)]([)]([4、旋转体的侧面积(1)旋转体是由曲线b x a x f y ≤≤=),(绕x 轴旋转一周所得dx x f x f S ba ⎰+=)(1)(22π(2) 旋转体是由曲线βα≤≤==t t y y t x x ),(),(绕x 轴旋转一周所得 dt t y t x t y S ba ⎰'+'=22)]([)]([)(2π5、物理中的应用(1)液体静压力 (2)引力 (3)做功 注意书中的题和练习题。
第十一章 反常积分1、无穷积分 (1)无穷积分的定义 若⎰+∞→uau dx x f )(lim存在，称此极限值为)(x f 在),[+∞a 上的无穷积分，记作⎰+∞adx x f )(若极限不存在，称此积分发散。
(2)无穷积分收敛的判别法定理1 无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛的充要条件为：对于任意的0>ε，存在0>M ，对于任意的M u u >''',，有ε<⎰'''u u dx x f )(。
①非负函数的无穷积分收敛判别法定理2 对于非负函数)(),(x g x f ，若在任意区间],[u a 上可积，且)()(x g x f ≤。
则 (i) 若⎰+∞a dx x g )(收敛，则⎰+∞a dx x f )(收敛。
(ii)若⎰+∞adx x f )(发散，则⎰+∞adx x f )(发散。
定理3 若)(x f 为非负函数，在任意区间],[u a 上可积，且 λ=+∞→)(lim x f x p x ， 则有(i) 当+∞<≤λ0，1>p 时，⎰+∞adx x f )(收敛，(ii)当1,0≤+∞≤<p λ时，⎰+∞adx x f )(发散。
②一般无穷积分的收敛判别法 定理4 绝对收敛必收敛。
定理5(阿贝尔判别法)若 (i) ⎰+∞adx x f )(收敛, (ii) )(x g 在),[+∞a 单调有界，则⎰+∞adx x g x f )()(收敛。
定理6(狄利克雷判别法)若(i) ⎰=ua dx x f u F )()(有界, (ii) )(x g 在),[+∞a 单调趋向于零，则⎰+∞adx x g x f )()(收敛。