模拟退火算法的教程
matlab模拟退火算法
matlab模拟退火算法Matlab模拟退火算法一、什么是模拟退火算法？模拟退火算法（Simulated Annealing，SA）是一种全局优化算法，可以用于求解复杂的优化问题。
它最初是由Metropolis等人在1953年提出的，后来由Kirkpatrick等人在1983年正式命名并发扬光大。
模拟退火算法的思想来源于固体物理学中的“退火”过程，即将高温下的固体材料慢慢冷却至室温，使其内部结构逐渐趋于平衡状态。
二、模拟退火算法原理模拟退火算法是一种基于随机搜索的优化方法。
它通过引入一个“温度”参数来控制搜索过程中的随机性和跳出局部极值。
具体来说，模拟退火算法包含以下三个主要步骤：1.初始化：设定初始状态和初始温度。
2.迭代搜索：在当前状态附近进行随机搜索，并以一定概率接受劣解。
3.降温策略：逐步降低温度，并调整接受劣解的概率。
其中，在迭代搜索阶段，我们需要定义一个能量函数（目标函数），用来评价每个状态的优劣程度。
在搜索过程中，我们随机生成一个新状态，并计算其能量差（ΔE）与当前状态的能量差（E）。
如果ΔE<0，则接受新状态；否则以一定概率接受劣解，概率与ΔE和当前温度有关。
三、Matlab实现模拟退火算法在Matlab中，我们可以通过编写程序来实现模拟退火算法。
下面是一个简单的例子，用来求解函数f(x)=x^2的最小值：1.定义能量函数：function E = energy(x)E = x^2;2.初始化参数：x0 = 10; % 初始状态T0 = 100; % 初始温度alpha = 0.99; % 降温系数kmax = 1000; % 最大迭代次数3.迭代搜索：x = x0;T = T0;for k=1:kmax% 随机生成新状态xn = x + randn(1);% 计算能量差dE = energy(xn) - energy(x); % 接受劣解的概率p = exp(-dE/T);if dE<0 || rand()<px = xn;end% 降温策略T = alpha*T;end4.输出结果：fprintf('最小值：%f\n', energy(x)); fprintf('最优解：%f\n', x);通过运行上述程序，我们可以得到最小值为0，最优解为0。
模拟退火算法步骤
模拟退火算法步骤
模拟退火算法是一种常用的优化算法，其步骤如下：
1. 初始化温度T，初始解x0，迭代次数n，以及降温系数α。
2. 在当前温度T下，随机生成一个新解x1，计算目标函数的差值Δf=f(x1)-f(x0)。
3. 如果Δf<0，说明新解x1更优，直接接受新解。
4. 如果Δf>0，以一定概率接受新解，概率值为exp(-Δf/T)。
这里的exp是自然指数函数。
5. 重复步骤2~4，直到迭代次数n达到要求。
6. 降温，即将温度T乘以降温系数α，降低温度可以控制接受劣解的概率。
降温后回到步骤2。
模拟退火算法是一种基于概率的搜索算法，其思想源于物理学中的固体退火过程，通过温度的控制，可以在全局范围内搜索最优解。
同时，模拟退火算法具有自适应性，可以适应不同的问题和数据集。
- 1 -。
模拟退火算法原理
模拟退火算法原理模拟退火算法是一种基于统计力学原理的全局优化算法，它模拟了固体物质退火过程中的原子热运动，通过不断降低系统能量来寻找全局最优解。
该算法最初由Kirkpatrick等人于1983年提出，被广泛应用于组合优化、神经网络训练、图像处理等领域。
模拟退火算法的原理基于一个基本的思想，在搜索过程中允许一定概率接受劣解，以避免陷入局部最优解。
其核心思想是通过随机扰动和接受概率来逐渐减小系统能量，从而逼近全局最优解。
算法流程如下：1. 初始化温度T和初始解x；2. 在当前温度下，对当前解进行随机扰动，得到新解x'；3. 计算新解的能量差ΔE=E(x')-E(x)；4. 若ΔE<0，则接受新解x'作为当前解；5. 若ΔE>0，则以一定概率P=exp(-ΔE/T)接受新解x'；6. 降低温度T，重复步骤2-5，直至满足停止条件。
在模拟退火算法中，温度T起着至关重要的作用。
初始时，温度较高，接受劣解的概率较大，有利于跳出局部最优解；随着迭代次数的增加，温度逐渐降低，接受劣解的概率减小，最终收敛到全局最优解。
模拟退火算法的关键参数包括初始温度、降温速度、停止条件等。
这些参数的选择对算法的性能和收敛速度有着重要影响，需要根据具体问题进行调整。
总的来说，模拟退火算法通过模拟物质退火过程，以一定概率接受劣解的方式，避免了陷入局部最优解，能够有效地寻找全局最优解。
它在解决组合优化、参数优化等问题上表现出了很好的性能，成为了一种重要的全局优化算法。
通过对模拟退火算法原理的深入理解，我们可以更好地应用该算法解决实际问题，同时也可以为算法的改进和优化提供理论基础。
希望本文的介绍能够对大家有所帮助。
《模拟退火算》课件
模拟退火算法的优缺点分析
1 优点
能够全局搜索，不容易陷入局部最优解。
2 缺点
运行时间较长，需要合理选择参数和策略。
模拟退火算法的改进
1 多种调节参数方法
通过改变各个参数的值来优化算法的性能。
2 算法复杂度分析
对模拟退火算法的复杂度进行分析，提出改进措施。
结语
算法总结
通过学习模拟退火算法，我们可以更好地应对各种优化问题。
《模拟退火算法》PPT课 件
欢迎大家参加今天的课程！本课程将介绍模拟退火算法的概念、原理、应用 以及优缺点分析。让我们一起探索这个优秀的优化算法吧！
概述
模拟退火算法（SA）是一种优化算法，其灵感来源于固体退火原理。通过模 拟固体物质的退火过程，以一定的概率接受差解，从而在搜索空间中寻找到 全局最优解。
模拟退火算法的实现步骤
1
初始化
设置初始状态和温度。
2
生成新解
通过随机移动改变当前解。
3
判断新解是否接受
根据能量差和概率判断是否接受新解。
4
更新状态
根据降温策略和接受准则更新状态，循环迭代直到满足停止条件。
模拟退火算法的优化
1 降温策略
选择合适的降温方式，平 衡全局搜索和局部搜索的 能力。
2 解的表示方法
3 种子的选择
选择适当的解的表示方法， 提高搜索效率。
合理选择初始化的种子解， 减少搜索空间。
模拟退火算法的应用
旅行商问题
通过模拟退火算法解决旅行 商问题，寻找最短路径。
图像匹配问题
利用模拟退火算法进行图像 匹配，实现图像识别和辨识。
近似最优化问题
应用于一些实际生活中的近 似最优化问题，如资源分配 等。
模拟退火算法详解
车间调度问题求解
总结词
模拟退火算法在车间调度问题求解中具有较好的应用 效果，能够提高生产效率。
详细描述
车间调度问题是一个复杂的优化问题，旨在合理安排生 产任务和资源分配，以提高生产效率。模拟退火算法通 过随机搜索和接受不良解的概率，能够找到较为满意的 调度方案。在车间调度问题中，模拟退火算法可以与其 他启发式方法结合使用，以获得更好的性能。此外，模 拟退火算法还可以应用于其他生产调度问题，如作业车 间调度、装配线平衡等。
旅行商问题求解
总结词
模拟退火算法在旅行商问题求解中具有较好的性能， 能够找到高质量的解。
详细描述
旅行商问题是一个NP难问题，旨在寻找一条旅行路线 ，使得一个旅行商能够访问一系列城市并返回到起始 城市，且总旅行距离最短，同时满足每个城市恰好经 过一次。模拟退火算法通过随机搜索和接受不良解的 概率，能够探索更广阔的解空间，从而找到高质量的 解。在旅行商问题中，模拟退火算法可以与其他启发 式方法结合使用，以获得更好的性能。
迭代更新
重复产生新解、计算能量差和降低温度的 过程，直到满足终止条件。
终止条件
达到最大迭代次数
当达到预设的最大迭代次数时，算法终止。
温度低于阈值
当温度低于一个预设的阈值时，算法终止。
解的质量满足要求
当当前解的质量满足预设的要求或与最优解 的差距在可接受范围内时，算法终止。
03
模拟退火算法参数设置
温度衰减率
总结词
温度衰减率是模拟退火算法中温度变化的速率，它决定了算法的收敛速度和全局搜索能 力。
详细描述
温度衰减率决定了算法在迭代过程中温度下降的速度。较小的衰减率可以使算法在迭代 过程中有更多的时间来探索解空间，但可能会导致算法收敛速度较慢；而较大的衰减率 则可以使算法更快地收敛到最优解，但可能会牺牲一些全局搜索能力。因此，选择合适
《模拟退火算法》课件
03
可能陷入局部最优 解
在某些情况下，模拟退火算法可 能无法跳出局部最优解，导致无 法找到全局最优解。
未来研究的方向和挑战
要点一
算法改进
针对模拟退火算法的缺陷，研究改进算法以提高其性能和 适用性。
要点二
并行化与分布式实现
研究如何利用并行计算和分布式技术加速模拟退火算法的 执行。
未来研究的方向和挑战
总结词
优化分类和聚类
详细描述
模拟退火算法在机器学习中用于优化分类和聚类算法的性能，通过优化参数和搜索空间 ，提高分类和聚类的准确性和稳定性。
06
总结与展望
Chapter
模拟退火算法的优势与局限性
全局优化
模拟退火算法在搜索过程中能够跳出局部最 优解，寻找全局最优解。
适用范围广
模拟退火算法适用于解决连续和离散优化问 题，尤其在处理大规模、复杂问题时表现出 色。
模拟退火算法的优势与局限性
• 灵活性高：算法参数可根据具体 问题进行调整，以适应不同场景 的需求。
模拟退火算法的优势与局限性
01
计算量大
模拟退火算法需要大量的计算资 源，尤其在问题规模较大时更为 明显。
02
参数设置困难
算法参数如初始温度、降温速率 等对算法性能影响较大，但合理 设置这些参数较为困难。
算法的参数敏感性分析
初始温度
模拟退火算法的初始温度对算法的性能有很大影响。初始温度过高可能导致算法陷入局部最优解，而初始温度过低则 可能导致算法收敛速度过慢。因此，需要根据问题特性和需求合理设置初始温度。
冷却率
冷却率决定了算法在退火过程中的温度下降速度。冷却率过高可能导致算法在最优解附近“振荡”，而冷却率过低则 可能导致算法收敛速度过慢。因此，需要根据问题特性和需求合理设置冷却率。
(优选)模拟退火算法第一节课件
Z(T )kBT 2
E
(r
)
sD
E
(
s ) exp
Z(T )
E(s) kBT
(2.3)
当 rmin 是 D中具有最低能量的状态时，得
PE E(rmin ) 0单调下降的．又有
PE
E(rmin )
1 exp( Z(T )
E(rmin )) kBT
Pr
1D T
O (b) 在非能量最低状态
从上面的讨论得到，在温度很低时，能量越低的 状态的概率值越高，在极限状况，只有能量最低的 点概率不为０．即有
1. 系统在 T 平衡时，系统状态的概率分布趋于(2.1)
式，
PE E(r) 1 exp( E(r))
Z(T )
kBT
1
2.
PE
E(r )
D0
T 00
先研究由(2.1)确定的函数随 T 变化的趋势．选 定两个能量 E1< E2，在同一个温度 T ，有
P(E
E1 )
P(E
E2 )
1 Z (T
exp( )
E1 kBT
)[1
exp(
E2 E1 kBT
)]
因为 exp( E2 E1 ) 1 , T 0 kBT
所以 P(E E1) P(E E2 ) 0 T 0 （2.2）
Pr
1 D0
1D
O
T
(a) 在能量最低状态
对于非能量最小的状态，由(2.2)和分子在能量最小状 态的概率是单调减小的事实，在温度较高时，分子在
这些状态的概率在
1 D
附近，依赖于状态的不同，
可能超过 1 D ; 由(2.3)和(2.4)可知存在一个温度t，
模拟退化算法
模拟退化算法一、引言模拟退火算法是一种基于概率的全局优化算法，它模拟了物质在高温下退火冷却的过程，通过不断降温来达到寻找全局最优解的目的。
模拟退火算法的应用范围非常广泛，包括图像处理、机器学习、组合优化等领域。
本文将介绍模拟退火算法的基本原理、优缺点以及应用实例。
二、模拟退火算法的基本原理模拟退火算法是一种基于概率的全局优化算法，它通过模拟物质在高温下退火冷却的过程来寻找全局最优解。
算法的基本流程如下：1. 初始化温度T和初始解x；2. 在当前温度下，随机生成一个新解x'；3. 计算新解x'的目标函数值f(x')和当前解x的目标函数值f(x)；4. 如果f(x')<f(x)，则接受新解x'；5. 如果f(x')>f(x)，则以一定概率接受新解x'，概率为exp(-(f(x')-f(x))/T)；6. 降低温度T，重复步骤2-5，直到温度降至最低。
三、模拟退火算法的优缺点模拟退火算法具有以下优点：1. 全局搜索能力强：模拟退火算法能够在全局范围内搜索最优解，避免了局部最优解的陷阱；2. 可以处理非线性问题：模拟退火算法可以处理非线性问题，如组合优化问题、图像处理问题等；3. 算法简单易实现：模拟退火算法的算法流程简单，易于实现。
但是，模拟退火算法也存在以下缺点：1. 算法收敛速度慢：模拟退火算法需要不断降温才能达到全局最优解，因此算法收敛速度较慢；2. 参数设置困难：模拟退火算法需要设置初始温度、降温速度等参数，参数设置不当会影响算法的效果；3. 算法结果不稳定：模拟退火算法的结果受到随机因素的影响，因此算法结果不稳定。
四、模拟退火算法的应用实例模拟退火算法在实际应用中具有广泛的应用，以下是几个应用实例：1. 组合优化问题：模拟退火算法可以用于解决组合优化问题，如旅行商问题、背包问题等；2. 图像处理问题：模拟退火算法可以用于图像处理问题，如图像分割、图像去噪等；3. 机器学习问题：模拟退火算法可以用于机器学习问题，如神经网络训练、参数优化等。
用MATLAB实现模拟退火算法 ppt课件
end end
用MATLAB实现模拟退火算法
一、0-1背包问题
例：
假设有12件物品，质量分别为2磅、5磅、18磅、3磅、2磅、5磅、 10磅、4磅、11磅、7磅、14磅、6磅，价值分别为5元、10元、13元、 4元、3元、11元、13元、10元、8元、16元、7元、4元，包的最大允 许质量是46磅
tmplist1; %u、v之间的城市移到w后面 end
用MATLAB实现模拟退火算法
一、算法设计步骤
用MATLAB实现模拟退火算法
一、算法设计步骤
% 计算目标函数即内能
E_new = 0; for i = 1 : (amount-1)
E_new = E_new + ... dist_matrix(sol_new(i),sol_new(i+1));
N 结束，输出当
Y
前解
扰动次数
Y
>10000
N
接受新解作为 当前解
N
Y 计算概率与[0,1)随机
数之间的差值
Y
差值大于0
N
扰动：
随机产生 0~1的数
数>0.5
Y
N
二变换法
三变换法
用MATLAB实现模拟退火算法
一、算法设计步骤
用MATLAB实现模拟退火算法
一、算法设计步骤用MBiblioteka TLAB实现模拟退火算法end
%从第一个城市到最后一个城市的距离
E_new = E_new + ... dist_matrix(sol_new(amount),sol_new(1));
用MATLAB实现模拟退火算法
模拟退火算法
options = saoptimset('PlotFcns',{@saplotbestf,@saplottemperature, @saplotf,@saplotstopping}); simulannealbnd(@dejong5fcn,x0,lb,ub,options);
options = saoptimset('InitialTemperature',[300 50]);
模拟退火算法的数学模型：马尔可夫链（可达 性，渐近不依赖起点，分布稳定性，收敛到最 优解） 如果温度下降十分缓慢，而在每个温度都有足 够多次的状态转移，使之在每一个温度下达到 热平衡，则全局最优解将以概率1被找到。因 此可以说模拟退火算法能找到全局最优解。
模拟退火算法实现的技术问题
1）解的形式和邻域结构 •解的表现形式直接决定于邻域的构造
模拟退火算法对TSP的应用1）加ຫໍສະໝຸດ 数据表1 29个城市的坐标
城市序 号 X坐标 Y坐标 城市序 号 X坐标 Y坐标 1 1150.0 1760.0 11 840.0 550.0 21 830.0 1770.0 2 630.0 1660.0 12 1170.0 2300.0 22 490.0 500.0 3 40.0 2090.0 13 970.0 1340.0 23 1840.0 1240.0 4 750.0 1100.0 14 510.0 700.0 24 1260. 0 1500. 0 5 750.0 2030.0 15 750.0 900.0 25 1280.0 790.0 6 1030.0 2070.0 16 1280.0 1200.0 26 490.0 2130.0 7 1650.0 650.0 17 230.0 590.0 27 1460.0 1420.0 8 1490.0 1630.0 18 460.0 860.0 28 1260.0 1910.0 9 790.0 2260.0 19 1040.0 950.0 29 360.0 1980.0 10 710.0 1310.0 20 590.0 1390.0
模拟退火算法的教程
5 模拟退火算法的具体步骤
影响优化结果的主要因素
给定初温t=t0，随机产生初始状态s=s0，令k=0； Repeat Repeat
产生新状态sj=Genete(s)；
if min{1,exp[-(C(sj)-C(s))/tk]}>=randrom[0,1] s=sj; Until 抽样稳定准则满足；
根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为 exp(-ΔE/(kT))，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k 为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能 E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组 合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开 始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍 弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得 近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随 机搜索过程。 退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制 参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止 条件S。
6 模拟退火算法关键参数和操作的设计
外循环终止准则
常用方法
（1）设臵终止温度的阈值；
（2）设臵外循环迭代次数； （3）算法搜索到的最优值连续若干步保持不变； （4）概率分析方法。
7 模拟退火算法的改进
模拟退火算法的优缺点
模拟退火算法的优点
质量高；
初值鲁棒性强； 简单、通用、易实现。
模拟退火算法的缺点 由于要求较高的初始温度、较慢的降温速率、较低 的终止温度，以及各温度下足够多次的抽样，因此 优化过程较长。
p=exp[-(Ej-Ei)/kBT]
手把手教会你模拟退火算法
⼿把⼿教会你模拟退⽕算法 今天终于⽤模拟退⽕过了⼀道题：CodeVS: P1344。
有 N ( <=20 ) 台 PC 放在机房内，现在要求由你选定⼀台 PC，⽤共 N-1 条⽹线从这台机器开始⼀台接⼀台地依次连接他们，最后接到哪个以及连接的顺序也是由你选定的，为了节省材料，⽹线都拉直。
求最少需要⼀次性购买多长的⽹线。
（说⽩了，就是找出 N 的⼀个排列 P1 P2 P3 ..PN 然后 P1 -> P2 -> P3 -> ... -> PN 找出 |P1P2|+|P2P3|+...+|PN-1PN| 长度的最⼩值) 这种问题被称为最优组合问题。
传统的动态规划算法O(n22n)在n = 20的情况下空间、时间、精度都不能满⾜了。
这时应该使⽤⽐较另类的算法。
随机化算法在n⽐较⼩的最优化问题表现较好，我们尝试使⽤随机化算法。
1 #include<cstdio>2 #include<cstdlib>3 #include<ctime>4 #include<cmath>5 #include<algorithm>67const int maxn = 21;8double x[maxn], y[maxn];9double dist[maxn][maxn];10int path[maxn];11int n;12double path_dist(){13double ans = 0;14for(int i = 1; i < n; i++) {15 ans += dist[path[i - 1]][path[i]];16 }17return ans;18 }19int main(){20 srand(19260817U); // 使⽤确定的种⼦初始化随机函数是不错的选择21 scanf("%d", &n);22for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%lf%lf", x + i, y + i);23for(int i = 0; i < n; i++) for(int j = i + 1; j < n; j++) dist[i][j] = dist[j][i] = hypot(x[i] - x[j], y[i] - y[j]);2425for(int i = 0; i < n; i++) path[i] = i; // 获取初始排列26double ans = path_dist(); // 初始答案27int T = 30000000 / n; // 单次计算的复杂度是O(n)，这⾥的30000000是试出来的28while(T--){29 std::random_shuffle(path, path + n); // 随机打乱排列30 ans = std::min(ans, path_dist()); // 更新最⼩值31 }32 printf("%.2lf", ans);33 } 可惜的是，这个算法只能拿50分。
模拟退火算法
模拟退⽕算法⼀、模拟退⽕ 模拟物理的⾦属退⽕，使某⼀个状态慢慢趋于稳定，与爬⼭算法相类似的⼀类求解近似解的问题。
⼆、算法⾥的公式 若迭代出的解⼀定优于当前解，则当前解被覆盖。
⽽当迭代的解不优于当前解得时候，我们⽤⼀个概率去接受它。
e^df/kT k为常数，编程中常常设置为1 T为温度 e为指数函数 df为负数，因为如果概率要保证0<e^df/kT < 1,那么df必定要为负数 T下降的系数为0.993-0.998三、代码模板1 #include "bits/stdc++.h"2using namespace std;3double n;4const double eps = 1e-14;5double T = 20000;6double dT = 0.985;7double k = 1;8double dx,dy;9double x,y;10double func(double z)11 {12return fabs(z * z - n);13 }14void SA()15 {16 srand(time(NULL));17 x = 0;18 y = func(x);19while(T > eps){20//随机偏移量21 dx = x + (rand() * 2 - RAND_MAX) * T;22while(dx < 0)23 dx = x + (rand() * 2 - RAND_MAX) * T;24 dy = func(dx);25if(dy < y)26 x = dx,y = dy;27//⼀定概率去接收⽬前较⼩的答案28else if(exp((y - dy) / (k * T)) * RAND_MAX > rand())29 x = dx,y = dy;30 T *= dT;31 }32 }33int main()34 {35 cin >> n;36 SA();37 cout << fixed << setprecision(14) << x;38return0;39 }。
模拟退火算法超详细教程，请收好！
模拟退⽕算法超详细教程，请收好！预计读完 5 分钟今天，⼩编将带⼤家学习⼀个经典算法——模拟退⽕算法。
前排提醒，本⽂全程⼲货，建议收藏。
以下为本⽂框架：⼀、什么是模拟退⽕算法？模拟退⽕算法（simulated annealing，SA）来源于固体退⽕原理，是⼀种基于概率的算法。
算法思想为：先从⼀个较⾼的初始温度出发，逐渐降低温度，直到温度降低到满⾜热平衡条件为⽌。
在每个温度下，进⾏n轮搜索，每轮搜索时对旧解添加随机扰动⽣成新解，并按⼀定规则接受新解。
打个⽐⽅：有⼀只兔⼦在⼭上，要去⼭脚下，但它喝醉了。
于是它就胡乱瞎蹦跶，有可能直接蹦跶到⼭脚下，有可能蹦跶到更⾼的另⼀座⼭，也可能跳到某个⼭⾕⾥。
等它醒酒后，它就慢慢地往低处⾛。
这就是模拟退⽕。
为更好理解模拟退⽕算法的具体步骤，我们来举个栗⼦。
假设初始温度为1000℃，温度衰减系数α = 0.98，热平衡条件为温度⼩于T℃。
模拟退⽕算法本质是双层循环，外层循环（上图左侧彩⾊模块）控制温度由⾼向低变化，温度计算公式，为取值在[0, 1]上的温度衰减系数，如0.95；内层循环（上图右侧⿊⾊模块）中，温度固定，对旧解添加随机扰动得到新解，并按⼀定规则接受新解。
内层循环的迭代次数称为马尔科夫链长度，如上图中的马尔科夫链的长度为1000.⼆、模拟退⽕算法有什么优点？模拟退⽕算法的优点在于：不管函数形式多复杂，模拟退⽕算法更有可能找到全局最优解。
举个栗⼦：寻找⽬标函数f = x + 10 sin(3x) + cos(x) 在[0, 9]范围内的最⼩值。
从函数图像可以看到，该函数在[0, 9]范围内有多个“坑”，也就是局部最⼩值，全局最⼩值位于[1, 2]范围上的“坑”内。
如果⽤梯度下降法来求解全局最⼩值，若学习率设置得不合理很容易掉进某个坑内出不来，⽐如这样↓⽽模拟退⽕算法相对来说不会那么容易陷⼊局部最优解。
我们把模拟退⽕算法求出的解看成是⼀个红⾊的⼩球，可以看到，随着温度的下降，这个⼩球⼀直反复横跳；直到温度较低时，这个⼩球才在最⼩值附近稳定下来。
模拟退火算法
在机器学习中的应用
总结词
模拟退火算法在机器学习中用于优化神经网 络结构和超参数调整。
详细描述
在机器学习中，神经网络结构和超参数的选 择对于模型性能至关重要。模拟退火算法可 以用于优化神经网络的结构，如神经元的数 量、层数等，以及调整超参数，如学习率、 正则化参数等。通过模拟退火算法，可以找 到一组最优的神经网络结构和超参数配置，
自适应调整策略
研究自适应调整策略，根据搜索过程 动态调整参数，以更好地适应问题变 化。
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局部搜索
在生成初始解之后，可以对初始解进行局部搜索，以改进其质量。局部搜索可以通过迭代更新当前解 的邻域来寻找更好的解。这种方法可以帮助模拟退火算法更快地收敛到全局最优解。
05
模拟退火算法应用实例
在旅行商问题中的应用
要点一
总结词
模拟退火算法在旅行商问题中表现出色，能够有效求解大 规模问题。
要点二
初始温度
初始温度的选择对算法的搜索效果有重要影响。初始温度太高可能导致算法陷入局部最优 解，而初始温度太低则可能使算法搜索不到全局最优解。通常，初始温度应根据问题的特 性进行设定。
最小温度
最小温度是算法终止时的温度，其选择同样重要。如果最小温度设置得太高，算法可能无 法收敛；如果设置得太低，则可能无法跳出局部最优解。最小温度通常根据问题的复杂度 和算法的迭代次数来设定。
模拟退火算法的相似性
通过模拟物理退火过程，模拟退火算法在搜索解空间时能够跳出局部最优解，寻找全局最优解。
Metropolis准则
Metropolis准则定义
对于当前解的任何小扰动，如果扰动后的解能量低于当前解，则接受该扰动；否则以一 定概率接受该扰动。
模拟退火法(SA)
SA算法简介 算法简介
• 假设在搜寻最佳解的过程中 – 令i 代表在时间k 的现有解， 其成本为C(i) – 下一个搜寻到的解，其成 本为C(j) – ∆ E= C(j) - C(i)为两个解之 间的成本差，如图所示
SA算法简介 算法简介
–当j的成本大于i时，SA会根据一几率決定是否 要接受j来取代i成为时间k+1的新解 –因此当搜寻到的新解比现有解之成本大时，会 有一个几率值来决定是否接受新解。 –SA 基本上是以Metrolopis 接受法则为基础， 再配合退火程序，由温度逐渐的降低来修整是 否接受成本较差新解的几率，当温度越低时， 几率值也跟著降低
Metropolis准则 准则
• Metropolis等在1953年提出了重要性采样法，即 以概率接受新状态。 • 在温度t,由当前状态i产生新状态j，二者的能量分 别是Ei和Ej，若Ej<Ei,则接受新状态j为当前状态。 • 否则，若概率pr =exp[-(Ej-Ei)／kt] >random(0,1),则仍接受新状态j为当前状态，若 不成立则保留状态i为当前状态，其中k为 Boltzmann常数。（有些概念中没有这个k参数）
SA的运作流程 的运作流程
• 包含了四个基本要素
–成本函数(Cost Function)：用来横量某一系统 状态下之能量函数。 –退火程序(Annealing Process)：退火程序中包 含的参数有初始温度、降温机制、冷却率和终止 温度。
• 在退火的过程中，在温度高的時候，虽然是较差的目 标值，但有可能被接受当成目前的目标值，但随着温 度慢慢的降低，接受较差目标值的几率逐渐降低。
模拟退火算法简介
• 1982年，Kirkpatrick等将退火思想引入组合优化的领域， 提出了一种求解大规模组合优化问题，特别是NP完全组 合优化问题的有效近似解的算法——模拟退火算法 （simulated annealing algorithm），简称为SA。 • 模拟退火算法是在某一初温下，伴随温度参数的不断下降， 结合概率突跳特性在解空间中随机寻找目标函数的全局最 优解，在局部优解处能概率性地跳出并最终趋于全局最优。 • 基于Metropolis接受准则的优化过程，可避免搜索过程陷 于局部极小，并最终趋于问题的全局最优解。
模拟退火算法
开始
产生 i S k 0,Tk T0
设定 nTk n 0
产生 j N i n n 1 计算 f f j f i
f 0 N
exp f Tk U 0,1
N
n nTk N
Y k k 1，降温 Tk
N
Tk T f Y
停止
内循环
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四.计算举例 （1）
➢ 问题旳提出
Tk
Ei与 E j 旳小差别带来Pi Tk 和 Pj Tk 旳巨大差别
例如： Ei=90，E j =100，
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二.退火过程和Bolzman方程（6）
➢ 当 Tk =100时
90
Pi Tk
Pj Tk
Ck
e
100
Ck
100
e 100
u
0.406 Ck
0.367 Ck
0.406 0.367
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二.退火过程和Bolzman方程（7）
➢ 当 Tk =1时
Pi Tk Pj Tk 8.194 1040 Ck 3.72 1044 Ck 20000 此时 n
Pi Tk Pi Tk
i 1
结论: Tk 0 时，以概率1趋于最小能量状态
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三.SA旳算法构造及环节（1）
➢ SA旳模拟要求 ➢ 初始温度足够高 ➢ 降温过程足够慢 ➢ 终止温度足够低
四.计算举例 （4）
⑴ ① j 1324 ② j 43 21 ③ j 4 231
f j 98 f j 119 f j 132
f 20
ef Tk 0.8106 0.7414 ef Tk 0.8781 0.3991
i j i j i j
注释：
➢ ①无条件转移；
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3模拟退火算法的原理
❖ 根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为 exp(-ΔE/(kT))，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k 为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能 E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组 合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开 始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍 弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得 近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随 机搜索过程。
kB 0为Boltzmann常数。Z (T )为概率分布的标准化因子：
Z
(T
)
sD
exp
E(s) kBT
2物理退火过程的数学表示 在同一个温度T，选定两个能量E1<E2，有
P{E
E1}
P{E
E2}
1 Z (T )
exp
E1 kBT
1 exp
E2 E1 kBT
可知： >0
<1
（1）在同一个温度，分子停留在能量小状态的概率
1 模拟退火算法的思想
❖ 缓慢降温（退火，annealing）时，可达到最低能 量状态，较为柔韧；但如果快速降温（淬火， quenching），会导致不是最低能态的非晶形，较 硬易断。
❖ 大自然知道慢工出细活： 缓缓降温，使得物体分子在每一温度时，能够有足 够时间找到安顿位置，则逐渐地，到最后可得到最 低能态，系统最稳定。
❖ 组合优化与物理退火的相似性比较
组合优化问题
金属物体
解 最优解 设定初温 Metropolis抽样过程 控制参数的下降 目标函数
粒子状态 能量最低的状态
熔解过程 等温过程
冷却 能量
从某一初始温度开始，伴随温度的不断下降，结合 概率突跳特性在解空间中随机寻找全局最优解
2模拟退火算法的原理
❖ 根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为 exp(-ΔE/(kT))，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k 为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能 E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组 合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开 始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍 弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得 近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随 机搜索过程。
若在温度T，当前状态i → 新状态j 若Ej<Ei，则接受 j 为当前状态； 否则，若概率 p=exp[-(Ej-Ei)/kBT] 大于[0,1)区间的随机数， 则仍接受状态 j 为当前状态；若不成立则保留状态 i 为当前
状态。
1
p
2物理退火过程的数学表示
❖ Metropolis准则（1953）——以概率接受新状态 p=exp[-(Ej-Ei)/kBT] 在高温下，可接受与当前状态能量差较大的新状态； 在低温下，只接受与当前状态能量差较小的新状态。
模拟退火算法
Simulated Annealing Algorithm
信息与计算科学
卿铭
1 模拟退火算法的思想
模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至 充分高，再让其徐徐冷却；加温时，固体内部粒子 随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子 渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温 时达到某种稳定状态，基态，内能减为最小。
2物理退火过程的数学表示 ❖ Metropolis准则（1953）——以概率接受新状态
固体在恒定温度下达到热平衡的过程可以用Monte Carlo 方法（计算机随机模拟方法）加以模拟，虽然该方法简单， 但必须大量采样才能得到比较精确的结果，计算量很大受新状态
全局最优解，即在局部最优解能概率性地跳出并最终趋于全 局最优。 ❖模拟退火算法是通过赋予搜索过程一种时变且最 终趋于零的概率突跳性，从而可有效避免陷入局部 极小并最终趋于全局最优的串行结构的优化算法。
❖模拟退火算法是一种通用的优化算法，理论上算 法具有概率的全局优化性能,目前已在工程中得到了 广泛应用。
2物理退火过程的数学表示
能量最低状态
非能量最低状态
若|D|为状态空间D中状态的个数，D0是具有最低能
量的状态集合：
当温度很高时，每个状态概率基本相同，接近平均
值1/|D|；
状态空间存在超过两个不同能量时，具有最低能量
状态的概率超出平均值1/|D| ；
当温度趋于0时，分子停留在最低能量状态的概率 趋于1。
大于停留在能量大状态的概率
（2）温度越高，不同能量状态对应的概率相差越小；
温度足够高时，各状态对应概率基本相同。
（3）随着温度的下降，能量最低状态对应概率越来
越大；温度趋于0时，其状态趋于1
模拟退火算法基本思想：在一定温度下，搜索从一个状态
随机地变化到另一个状态；随着温度的不断下降直到最低温度， 搜索过程以概率1停留在最优解
❖ 退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制 参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止 条件S。
2物理退火过程的数学表示
在温度T，分子停留在状态r满足Boltzmann概率分布
P{E
E(r)}
1 Z (T )
exp
E(r) kBT
E表示分子能量的一个随机变量，E(r)表示状态r的能量，
1 模拟退火算法的思想
❖ 物理退火过程
加温过程——增强粒子的热运动，消除系统原先可能存在 的非均匀态； 等温过程——对于与环境换热而温度不变的封闭系统，系 统状态的自发变化总是朝自由能减少的方向进行，当自由 能达到最小时，系统达到平衡态； 冷却过程——使粒子热运动减弱并渐趋有序，系统能量逐 渐下降，从而得到低能的晶体结构。
模拟退火算法(Simulated Annealing，SA)最早的思想是由N.
Metropolis等人于1953年提出。1983 年,S. Kirkpatrick 等 成功地将退火思想引入到组合优化领域。它是基于MonteCarlo迭代求解策略的一种随机寻优算法，其出发点是基于
物理中固体物质的退火过程与一般组合优化问题之间的相似 性。模拟退火算法从某一较高初温出发，伴随温度参数的不 断下降,结合概率突跳特性在解空间中随机寻找目标函数的