2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二(上)期末数学试卷解析
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2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二(上)期末数学试卷一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)
1.(5分)(2012•江苏模拟)命题p:∀x∈R,x2+1>0的否定是.
2.(5分)(2013•南通三模)设复数z满足(3+4i)z+5=0(i是虚数单位),则复数z的模为.
3.(5分)(2014秋•启东市校级期末)“直线l∥平面α”是“直线l⊄平面α”成立的
条件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个).
4.(5分)(2014秋•启东市校级期末)抛物线y=ax2的焦点坐标为.5.(5分)(2013秋•仪征市期末)函数y=+2lnx的单调减区间为.
6.(5分)(2014•镇江一模)已知双曲线﹣=1的离心率为,则实数m的值
为.
7.(5分)(2012•陕西)观察下列不等式:
,
,
…
照此规律,第五个不等式为.
8.(5分)(2014秋•启东市校级期末)若“任意x∈R,不等式|x﹣1|﹣|x+1|>a”为假命题,则实数a的取值范围为.
9.(5分)(2013秋•金台区期末)以直线3x﹣4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为.
10.(5分)(2014秋•启东市校级期末)在Rt△ABC中,AC⊥BC,AC=a,BC=b,则△ABC 的外接圆半径r=;类比到空间,若三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两
互相垂直,且长度分别为a、b、c,则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径R=.11.(5分)(2014秋•启东市校级期末)若直线l与曲线C满足下列两个条件:(ⅰ)直线l 在点P(x0,y0)处与曲线C相切;(ⅱ)曲线C在点P附近位于直线l的两侧,则称直线l 在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是.
①直线l:x=﹣1在点P(﹣1,0)处“切过”曲线C:y=(x+1)2;
②直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3;
③直线l:y=x﹣1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=lnx;
④直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sinx;
⑤直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tanx.
12.(5分)(2010•绍兴县校级模拟)若曲线C:x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内,则a的取值范围为.
13.(5分)(2014秋•启东市校级期末)已知命题:“若数列{a n}为等差数列,且a m=a,a n=b (m<n,m,n∈N*),则a m+n=”.现已知数列{b n}(b n>0,n∈N*)为等比数列,
且b m=a,b n=b(m<n,m,n∈N*),若类比上述结论,则可得到b m+n=.14.(5分)(2014秋•启东市校级期末)假设实数m,n满足m2+n2=1,且f(x)=ax+msinx+ncosx 的图象上存在两条切线互相垂直,则实数a的取值构成的集合为.
二、解答题:(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)15.(14分)(2010•淳安县校级模拟)已知p:|1﹣|≤2,q:x2﹣2x+1﹣m2≤0(m>0).若
“非p”是“非q”的必要而不充分条件,求实数m的取值范围.
16.(14分)(2014秋•启东市校级期末)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,BC∥AD且2BC=AD,∠PBC=90°,∠PBA≠90°.
(1)求证:平面PBC⊥平面PAB;
(2)若平面PAB∩平面PCD=l,求证:直线l不平行于平面ABCD.(用反证法证明)
17.(14分)(2014秋•启东市校级期末)圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心O2(2,1).
(1)若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程;
(2)若圆O2与圆O1交于A、B两点,且|AB|=2.求圆O2的方程.
18.(16分)(2008•天心区校级模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象在点p(1,0)处(即p为切点)的切线与直线3x+y=0平行.
(1)求常数a、b的值;
(2)求函数f(x)在区间[0,t](t>0)上的最小值和最大值.
19.(16分)(2013•眉山二模)设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆,(a>b>0)上的两点,已知向量=(,),=(,),且,若椭圆的离心率,
短轴长为2,O为坐标原点:
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c),(c为半焦距),求直线AB的斜率k的值;(Ⅲ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
20.(16分)(2010•广东模拟)已知函数f(x)=lnx+﹣kx(k为常数)
(1)试讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)存在极值,求f(x)的零点个数.
四、(附加题)试卷
21.(2014秋•启东市校级期末)(1)求函数f(x)=cos2(ax+b)的导函数;
(2)证明:若函数f(x)可导且为周期函数,则f′(x)也为周期函数.
22.(2014秋•启东市校级期末)设M、N为抛物线C:y=x2上的两个动点,过M、N分别作抛物线C的切线l1、l2,与x轴分别交于A、B两点,且l1与l2相交于点P,若AB=1,求点P的轨迹方程.
23.(2014秋•启东市校级期末)如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,.
(1)求点A到平面MBC的距离;
(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.
24.(2014秋•启东市校级期末)当x∈(1,+∞)时,用数学归纳法证明:∀n∈N*,e x﹣1>
.(n!=1•2•3•…•(n﹣1)n)