2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二(上)期末数学试卷解析
2014-2015年江苏省南通市启东中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）设复数z满足i（z﹣4）＝3+2i（i是虚数单位），则z的虚部为．2．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为．3．（5分）命题“∃x∈[0，3]，使x2﹣2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3＝0被圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4截得的弦长为．5．（5分）函数y＝xlnx的单调减区间为．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b是曲线y＝lnx的切线，则实数b的值是．7．（5分）已知双曲线C：＝1（a，b＞0）的焦距是10，点P（3，4）在C的渐近线上，则双曲线C的标准方程是．8．（5分）设函数f（x）＝x2﹣lnx．则零点个数为个．9．（5分）过椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为．10．（5分）已知A（x1，y l），B（x2，y2）是圆O：x2+y2＝2上两点，且∠AOB ＝120°，则x1x2+y1y2＝．11．（5分）设a＞0，函数，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为．12．（5分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0，设点A（0，a）（a＞0），若圆C上存在点M，使MA＝MO，则a的取值范围．13．（5分）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）＝cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣|x﹣3|．若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c＝．14．（5分）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1、F2在x轴上，A1，A2为左右顶点，焦距为2，左准线l与x轴的交点为M，|MA2|：|A1F1|＝6：1．若点P在直线l上运动，且离心率e＜，则tan∠F1PF2的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足2＜x≤3．（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．16．（14分）如图是一个半圆形湖面景点的示意图，已知AB为直径，且AB＝2km，O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB，现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧，C 到D是线段CD，设∠AOC＝xrad，观光路线总长为ykm．（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）求观光路线总长的最大值．17．（14分）已知圆C过点p（1，1），且与圆M：（x+2）2+（y+2）2＝r2（r＞0）关于直线x+y+2＝0对称．（1）求圆C的方程．（2）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线P A和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，求证：直线OP与直线AB平行．18．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x，a∈R．（1）若a＝2，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，其焦点与椭圆上最近点的距离为2﹣．（1）求椭圆的方程；（2）若A，B分别是椭圆的左右顶点，动点M满足•＝0，且MA交椭圆于点P．①求•的值；②设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ过定点．20．（16分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝mx+n．（1）设h（x）＝f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x＝0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n＝0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）＝+，且n＝4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．附加题：矩阵与变换21．已知矩阵M＝，N＝，且MN＝．（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．极坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的方程为+y2＝1，试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．空间立体几何23．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC＝，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？（2）设AF＝1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．曲线与方程24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l 过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）设复数z满足i（z﹣4）＝3+2i（i是虚数单位），则z的虚部为﹣3．【解答】解：∵i（z﹣4）＝3+2i（i是虚数单位），∴z＝+4＝+4＝6﹣3i，其虚部为﹣3．故答案为：﹣3．2．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为32．【解答】解：模拟执行程序，可得a＝1，b＝2不满足条件a＞31，a＝2不满足条件a＞31，a＝4不满足条件a＞31，a＝8不满足条件a＞31，a＝16不满足条件a＞31，a＝32满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32．故答案为：32．3．（5分）命题“∃x∈[0，3]，使x2﹣2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为（1，+∞）．．【解答】解：∵命题“∃x∈[0，3]时，满足不等式x2﹣2x+m≤0是假命题，∴命题“∀x∈[0，3]时，满足不等式x2﹣2x+m＞0”是真命题，∴m＞﹣x2+2x在[0，3]上恒成立，令f（x）＝﹣x2+2x，x∈[0，3]，∴f（x）max＝f（1）＝1，∴m＞1．故答案为：（1，+∞）．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3＝0被圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4截得的弦长为．【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4的圆心为C（2，﹣1），半径r＝2，∵点C到直线直线x+2y﹣3＝0的距离d＝＝，∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3＝0被圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4截得的弦长为2＝2＝故答案为：．5．（5分）函数y＝xlnx的单调减区间为（0，）．【解答】解：y′＝1+lnx，令，又因为函数y＝xlnx的定义域为（0，+∞）所以函数y＝xlnx的单调减区间为故答案为：6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b是曲线y＝lnx的切线，则实数b的值是﹣1．【解答】解：设切点为（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∵直线y＝x+b是曲线y＝lnx的切线，∴＝1，即x0＝1，∴lnx0＝ln1＝0，把切点（1，0）代入y＝x+b，得0＝1+b，即b＝﹣1．故答案为：﹣1．7．（5分）已知双曲线C：＝1（a，b＞0）的焦距是10，点P（3，4）在C的渐近线上，则双曲线C的标准方程是＝1．【解答】解：∵双曲线C：＝1（a，b＞0）的焦距是10，点P（3，4）在C的渐近线上，∴，解得a＝9，b＝16，∴双曲线C的方程为：＝1．故答案为：＝1．8．（5分）设函数f（x）＝x2﹣lnx．则零点个数为0个．【解答】解：函数f（x）＝x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x﹣＝；故x∈（0，）时，f′（x）＜0；x∈（，+∞）时，f′（x）＞0；故f（x）≥f（）＝﹣ln＞0；故函数f（x）＝x2﹣lnx没有零点；故答案为：0．9．（5分）过椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2＝60°，∴＝，即2ac＝b2＝（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣＝0，∴e＝或e＝﹣（舍去）．故答案为：．10．（5分）已知A（x1，y l），B（x2，y2）是圆O：x2+y2＝2上两点，且∠AOB ＝120°，则x1x2+y1y2＝﹣1．【解答】解：由题意，x1x2+y1y2＝∵A（x1，y l），B（x2，y2）是圆O：x2+y2＝2上两点，且∠AOB＝120°，∴＝＝＝﹣1故答案为：﹣1．11．（5分）设a＞0，函数，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为[e﹣2，+∞）．【解答】解：求导函数，可得g′（x）＝1﹣，x∈[1，e]，g′（x）≥0，∴g（x）max＝g（e）＝e﹣1，令f'（x）＝0，∵a＞0，x＝±当0＜a＜1，f（x）在[1，e]上单调增，∴f（x）min＝f（1）＝1+a≥e﹣1，∴a≥e﹣2；当1≤a≤e2，f（x）在[1，]上单调减，f（x）在[，e]上单调增，∴f（x）min＝f（）＝≥e﹣1 恒成立；当a＞e2时f（x）在[1，e]上单调减，∴f（x）min＝f（e）＝e+≥e﹣1 恒成立综上a≥e﹣2故答案为：[e﹣2，+∞）12．（5分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0，设点A（0，a）（a＞0），若圆C上存在点M，使MA＝MO，则a的取值范围≤a≤4+．【解答】解：圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0，即圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝2，表示以C（﹣1，2）为圆心、半径等于的圆．设M（x0，y0），则由MA＝MO，A（0，a），O（0，0），可得（x0﹣0）2+（y0﹣a）2＝2（x02+y02），即3x02+3y02+2ay0﹣a2＝0，即x02+（y0+a）2 ＝2a2．则M在以（0，﹣a）为圆心，r＝a为半径的圆上．又点M在圆C上，则这两个圆有交点，即圆心之间的距离d满足：|r﹣|≤d ≤r+，即|a﹣|≤≤a+，即，求得≤a≤4+，故答案为：．13．（5分）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）＝cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣|x﹣3|．若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c＝1或2．【解答】解：∵当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣|x﹣3|．当1≤x＜2时，2≤2x＜4，则，此时当x＝时，函数取极大值当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣|x﹣3|；此时当x＝3时，函数取极大值1当4＜x≤8时，2＜≤4，则，此时当x＝6时，函数取极大值c∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点共线，∴解得c＝1或2．故答案：1或214．（5分）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1、F2在x轴上，A1，A2为左右顶点，焦距为2，左准线l与x轴的交点为M，|MA2|：|A1F1|＝6：1．若点P在直线l上运动，且离心率e＜，则tan∠F1PF2的最大值为．【解答】解：由焦距为2，则c＝1，左准线l与x轴的交点为M，|MA2|：|A1F1|＝6：1，则6（a﹣c）＝a+，代入c＝1，解得，a＝2或3，由于离心率e＜，则a＞2c＝2，则a＝3．则l：x＝﹣9，设P（﹣9，y），（y＞0），则MF1|＝8，|MF2|＝10，则tan∠F1PF2＝tan（∠F2PM﹣∠F1PM）＝＝＝≤＝．当且仅当y＝即y＝4时，取得最大值．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分．.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足2＜x≤3．（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）p：由原不等式得，（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a ＜x＜3a；当a＝1时，得到1＜x＜3；q：实数x满足2＜x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是：（2，3）；（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；∴，解得1≤a≤2；∴实数a的取值范围是[1，2]．16．（14分）如图是一个半圆形湖面景点的示意图，已知AB为直径，且AB＝2km，O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB，现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧，C 到D是线段CD，设∠AOC＝xrad，观光路线总长为ykm．（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）求观光路线总长的最大值．【解答】解：（1）由题意得，y＝1•x+1•sin（﹣x）×2＝x+2sin（﹣x），（0＜x＜）；函数的定义域为{x|0＜x＜}；（2）y′＝1﹣2cos（﹣x），令y′＝0解得，x＝，故当x＝时，观光路线总长最大，最大值为+2×＝+（km）．17．（14分）已知圆C过点p（1，1），且与圆M：（x+2）2+（y+2）2＝r2（r＞0）关于直线x+y+2＝0对称．（1）求圆C的方程．（2）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线P A和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，求证：直线OP与直线AB平行．【解答】解：（1）由题意可得点C和点M（﹣2，﹣2）关于直线x+y+2＝0对称，且圆C和圆M的半径相等，都等于r．设C（m，n），由•（﹣1）＝﹣1，且++2＝0，求得，故原C的方程为x2+y2＝r2．再把点P（1，1）代入圆C的方程，求得r＝，故圆的方程为x2+y2＝2．（2）证明：过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线P A和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，则得直线OP和AB平行，理由如下：由题意知，直线P A和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设P A：y﹣1＝k（x﹣1），PB：y﹣1＝﹣k（x﹣1）．由，得（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+（1﹣k）2﹣2＝0，因为P的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得x A＝．同理，所以x B＝．由于AB的斜率k AB＝＝＝＝1＝k OP（OP的斜率），所以，直线AB和OP一定平行．18．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x，a∈R．（1）若a＝2，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值．【解答】解：（1）若a＝2，则f（x）＝lnx﹣x2+x，x＞0，f′（x）＝﹣2x+1＝，f′（x）＜0可得2x2﹣x﹣1＞0，又x＞0，解得x＞1，即有f（x）的减区间为（1，+∞）；（2）f（x）≤ax﹣1恒成立，可得lnx﹣ax2+x≤ax﹣1恒成立，等价为a≥在x＞0恒成立．令g（x）＝，只需a≥g（x）max，g′（x）＝，令g′（x）＝0，可得﹣x﹣lnx＝0，设h（x）＝﹣x﹣lnx，h′（x）＝﹣﹣＜0，h（x）在（0，+∞）递减，设h（x）＝0的根为x0，当x∈（0，x0），g′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）在x∈（0，x0）递增，在x∈（x0，+∞）递减，即有g（x）max＝g（x0）＝＝＝，由h（）＝ln2﹣＞0，h（1）＝﹣＜0，则＜x0＜1，此时1＜＜2，即g（x）max∈（1，2），即a≥2，则有整数a的最小值为2．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，其焦点与椭圆上最近点的距离为2﹣．（1）求椭圆的方程；（2）若A，B分别是椭圆的左右顶点，动点M满足•＝0，且MA交椭圆于点P．①求•的值；②设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ过定点．【解答】（1）解：由已知可得，解得．∴b2＝a2﹣c2＝2，则椭圆方程为；（2）①解：由•＝0，得MB⊥AB，可设M（2，t），P（x0，y0）．直线MA：，代入，得．由，得，从而，∴•＝；②证明：依题意，，由MQ⊥PB，得，则MQ的方程为：y﹣t＝（x﹣2），即y＝，∴直线MQ过原点O（0，0）．20．（16分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝mx+n．（1）设h（x）＝f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x＝0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n＝0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）＝+，且n＝4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．【解答】解：（1）①h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e x﹣mx﹣n．则h（0）＝1﹣n，函数的导数h′（x）＝e x﹣m，则h′（0）＝1﹣m，则函数在x＝0处的切线方程为y﹣（1﹣n）＝（1﹣m）x，∵切线过点（1，0），∴﹣（1﹣n）＝1﹣m，即m+n＝2．②当n＝0时，h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e x﹣mx．若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，即e x﹣mx＝0在（﹣1，+∞）上无解，若x＝0，则方程无解，满足条件，若x≠0，则方程等价为m＝，设g（x）＝，则函数的导数g′（x）＝，若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）＝﹣e ﹣1，若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x＝1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）＝e，综上g（x）≥e或g（x）＜﹣e﹣1，若方程m＝无解，则﹣e﹣1≤m＜e．（2）∵n＝4m（m＞0），∴函数r（x）＝+＝+＝+，则函数的导数r′（x）＝﹣+＝，设h（x）＝16e x﹣（x+4）2，则h′（x）＝16e x﹣2（x+4）＝16e x﹣2x﹣8，[h′（x）]′＝16e x﹣2，当x≥0时，[h′（x）]′＝16e x﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）＝16﹣8＝8＞0，即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）＝16﹣16＝0，即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，故r（x）≥r（0）＝，故当x≥0时，r（x）≥1成立．附加题：矩阵与变换21．已知矩阵M＝，N＝，且MN＝．（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题设得，解得；（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y＝3x上的两（0，0），（1，3），由＝，＝得点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（﹣2，2），从而直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y＝﹣x．极坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的方程为+y2＝1，试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．【解答】解：根据直线l的参数方程为（t为参数），得其普通方程为：x+2y＝4，设P（2cosθ，sinθ），∴P到l的距离为d＝＝≥＝，当且仅当sin（θ+）＝1，即θ＝2kπ+时等号成立．此时，sinθ＝cosθ＝，∴P（，）．空间立体几何23．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC＝，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？（2）设AF＝1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥面ABC，∠ABC＝．以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．因为AC＝2，∠ABC＝90°，所以AB＝BC＝，从而B（0，0，0），A，C，B1（0，0，3），A1，C1，D，所以，设AF＝x，则F（，0，x），.，所以．要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F．由＝2+x（x﹣3）＝0，得x＝1或x＝2，故当AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF．（5分）（2）由（1）知平面ABC的法向量为n1＝（0，0，1）．设平面B1CF的法向量为n＝（x，y，z），则由得令z＝1得，所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．曲线与方程24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l 过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【解答】解：（1）由题设知，，即，所以抛物线的方程为y2＝x；（2）因为函数的导函数为，设A（x0，y0），则直线MA的方程为，因为点M（0，﹣2）在直线MA上，所以﹣2﹣y0＝﹣•（﹣x0）．联立，解得A（16，﹣4），所以直线OA的方程为．设直线BC方程为y＝kx﹣2，由，得k2x2﹣（4k+1）x+4＝0，所以．由，得．所以，故的为定值2．。
江苏省启东中学2015届高三上学期第一次月考数学(理)试题含解析
江苏省启东中学2014-2015学年度第一学期第一次月考高三数学（理）试卷【试卷综析】本试卷是高三文科理试卷，考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.以基础知识和基本能力为载体突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.试题重点考查：集合、命题，函数模型不等式、复数、向量、导数函数的应用、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形等，是一份非常好的试卷。
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．． 位置上．．．． 【题文】1．已知全集}7,5,3,1{},5,4,2{},7,6,5,4,3,2,1{===B A U ，则=⋂)(B C A U ▲ ．【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】{2，4，5} ∵全集U={1，2，3，4，5，6.7}，B={1，3，5，7}， ∴∁U B={2，4，6}，又A={2，4，5}，则A ∩（∁U B ）={2，4，5}．故答案为：{2，4，5} 【思路点拨】找出全集U 中不属于B 的元素，确定出B 的补集，找出A 与B 补集的公共元素，即可确定出所求的集合．【题文】2．若命题“R x ∈∃，有02≤--m mx x ”是假命题，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【知识点】命题及其关系A2 【答案解析】[-4，0] ∵命题“∃x ∈R ，有x 2-mx-m ＜0”是假命题，⇔“∀x ∈R ，有x 2-mx-m ≥0”是真命题．令f （x ）=x 2-mx-m ，则必有△=m 2-4m ≤0，解得-4≤m ≤0． 故答案为：[-4，0]．【思路点拨】令f （x ）=x 2-mx-m ，利用“∃x ∈R ，有x 2-mx-m ＜0”是假命题⇔△=m 2-4m ≤0，解出即可．【题文】3．已知βα,的终边在第一象限，则“βα>”是“βαsin sin >”的 ▲ 条件．【知识点】充分条件、必要条件A2故答案为：既不必要也不充分条件． 【思路点拨】根据三件函数的定义和关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【题文】4.已知)(x f 的定义域是]4,0[，则)1()1(-++x f x f 的定义域为 ▲ ．【知识点】函数及其表示B1【答案解析】[1，3] ∵f （x ）的定义域是[0，4]，∴f （x+1）+f （x-1）的定义域为不等式组014014x x ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩的解集，解得：1≤x ≤3． 故答案为：[1，3]． 【思路点拨】由题意可列不等式组014014x x ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，解之即可．【题文】5.已知角α终边上一点P 的坐标是)3cos 2,3sin 2(-，则=αsin ▲ ．【知识点】角的概念及任意角的三角函数C1∴|OP|= 【题文】6.已知曲线33:x x y S -=及点)2,2(P ，则过点P 可向曲线S 引切线，其切线共有▲ 条.【知识点】导数的应用B12【答案解析】3 ∵y=3x-x 3，∴y'=f'（x ）=3-3x 2，∵P （2，2）不在曲线S 上， ∴设切点为M （a ，b ），则b=3a-a 3，f'（a ）=3-3a 2则切线方程为y-（3a-a 3）=（3-3a 2）（x-a ），∵P （2，2）在切线上，∴2-（3a-a 3）=（3-3a 2）（2-a ），即2a 3-6a 2+4=0， ∴a 3-3a 2+2=0，即a 3-a 2-2a 2+2=0，∴（a-1）（a 2-2a-2）=0，解得a=1或a=1±∴切线的条数为3条，故答案为3． 【思路点拨】求函数的导数，设切点为M （a ，b ），利用导数的几何意义，求切线方程，利用点P （2，2）在切线上，求出切线条数即可．【题文】7.化简：=-----++)3sin()3cos()23sin()2cos()tan(αππαπααπαπ ▲ ．【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2【答案解析】=-----++)3sin()3cos()23sin()2cos()tan(αππαπααπαπtan cos cos (cos )sin ∂∂∂-∂∂=-1 【思路点拨】利用三角函数诱导公式同角三角函数基本关系。
精品解析【全国百强校首发】江苏省启东中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题解析(解析版)
f (14) 17 ；记 f1(n) f (n) ， f2 (n) f ( f1(n)) ，…， fk 1(n) f ( fk (n)) ， k N * ，
则 f2016 (8)
.
【答案】 8
考点：归纳推理，周期数列．
14.
设点
A1 ，
A2 分别
为椭圆
C
：
x2 a2
y2 b2 1(a
b
0) 的左右顶点，若在椭圆
．
1 2i
【答案】 i
考点：复数的运算． 3. 女子国际象棋世界冠军中国江苏选手侯逸凡与某计算机进行人机对抗赛，若侯逸凡
获胜的概率为 0. 65，人机和棋的概率为 0.25 ，那么侯逸凡不输的概率为 ________．
【答案】 0.9 【解析】
试题分析：“侯逸凡不输”包含“侯逸凡获胜”与“人机和棋”两个互斥事件，因此
1 所以 k1＞－ 2.
8k1 (2 k1－ 1)
又 x1＋ x2＝
3＋ 4k21
16k21－16k1－ 8
， x1x2＝
3＋
4
k
2 1
，
因为 P→A·→PB＝ P→M2，
考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．
【名师点睛】直线 l 与圆锥曲线相交于两点 A, B 时，一般都设 A( x1, y1), B( x2 , y2) ，直 线方程为 y kx b ，把直线方程代入圆锥曲线方程得 x 的一元二次方程，由韦达定理
C上
存在异于点 A1， A2 的点 P ，使得 PO PA2 ，其中 O 为坐标原点，则椭圆 C 的离心率
的取值范围是
.
【答案】 (
2 ,1)
2
【解析】
2015年7月01日江苏省南通中学2014～2015学年度高二下学期期末考试文科数学试题及参考答案解析
(第3题图)江苏省南通中学2014—2015学年度第二学期期末考试高二文科数学试题一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分。
不需要写出解答过程,请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合A ＝{1,3,9},B ＝{1,5,9},则A ⋂B ＝ ▲ . {}9,1 2.已知复数z 满足i z i 51)1(+-=+,则=z ▲ .i 32+3.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域,将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图.根据图形推断,该时段时速不超过50km/h 的汽车辆数为 ▲ . 234.口袋中有形状和大小完全相同的四个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中随机抽取两个球,则取出的两个球的编号之和大于5的概率为 ▲ .315.执行下边的程序框图,若输入的N 是3,则输出p 的值是 ▲ . 136.“21<<x ”是“2<x ”成立的 ▲ （填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）条件. 充分不必要7.我们知道,以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比是1:4,类比该命题得,以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原正四面体的体积之比为 ▲ .1:278.设实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥-30402x y x y x ,则u ＝x y 的取值范围是 ▲ . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,319.曲线x x y +=ln 3在点(1,1)处的切线方程为 ▲ . 34-=x y10.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在区间)0,(-∞上单调递减,则不等式)4()3(2f x x f <-的解集为 ▲ . ()4,1-11.若,1()3,1ax f x x x a x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩是R 上的单调减函数,则实数a 的取值范围为 ▲ .[12,＋∞)12.若0,0>>b a ,且函数224)(23+--=bx ax x x f 在x ＝1处有极值,则ab 的最大值为 ▲ . 9 13.已知x y +∈R ,,满足411x y-=,不等式()2230x y a a -+-≥恒成立,则实数a 的取值范围是 ▲ . 解：x y +∈R ,,()414551y x x y x y x y xy y ⎛⎫⎛⎫∴-=--=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤, 当且仅当441 1.y xx y x y⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即21.x y =⎧⎨=⎩，解得1x y -≤.令t x y =-,则1t ≤,不等式2230t a a ⋅+-≥在(1]t ∈-∞，时恒成立.当0a ≥时,显然不成立；当0a <时,2230ta a +-≥恒成立,即()2min230t a a ⋅+-≥,所以2230a a +-≥,解得32a -≤,则实数a 的取值范围是32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，-.14.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>++-≤-=0,340,)2()(22x x x x e x x x f x,k x f x g 3)()(-=,若函数)(x g 恰有两个不同的零点,则实数k 的取值范围为 ▲ .⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-23222,0)37,1(e 二、解答题：本大题共6小题,共90分。
江苏省南通市启东中学高二数学下学期第二次质检试卷 文(含解析)
2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次质检数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知集合M={x|x＜1}，N={x|lg（2x+1）＞0}，则M∩N=．2．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为．3．执行如图的流程图，得到的结果是．4．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概率为．5．函数y=sinα（sinα﹣cosα）（α∈）的最大值为．6．设，则a，b，c按从小到大顺序排列依次为．7．已知函数若f（f（0））=4a，则实数a= ．8．函数y=2x+log2x﹣6的零点所在的区间是（，），则正整数k的值为．9．已知△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，那么•= ．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanA=7tanB，=3，则c= ．11．已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是．12．已知函数f（x）=3sin（ωx﹣）（ω＞0）和g（x）=3cos（2x+φ）的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f（x）的取值范围是．13．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）= ．14．已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0，满足a≥0且b≥0．（1）若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a=1，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．16．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足B=2A．（1）若，求cosC的值；（2）若b2=2ac，求cosA的值．17．已知函数f（x）=﹣x2+（a+4）x+2+b，log2f（1）=3，且g（x）=f（x）﹣2x为偶函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间）的最大值为．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：利用倍角公式、两角和差公式可得：函数y=+，由于α∈，可得∈，因此取得最小值﹣1，y取得最大值．解答：解：函数y=sinα（sinα﹣cosα）==﹣sin2α=+，∵α∈，∴∈，∴∈，∴当2=﹣，即α=时，取得最小值﹣1，y取得最大值．故答案为：．点评：本题考查了倍角公式、两角和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．设，则a，b，c按从小到大顺序排列依次为b＜c＜a ．考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数幂和对数的性质进行判断范围即可．解答：解：50.5＞1，0＜0.75＜1，log0.32＜0，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴b＜c＜a，故答案为：b＜c＜a点评：本题主要考查指数幂和对数值的大小比较，比较基础．7．已知函数若f（f（0））=4a，则实数a= 2 ．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题．分析：给出的是分段函数，根据所给变量的范围确定选用具体的解析式，从而得方程，故可解．解答：解：由题意，f（0）=20+1=2，∴f（2）=4+2a=4a，∴a=2故答案为2．点评：本题的考点是函数与方程的综合运用，主要考查分段函数的定义，考查求函数值，有一定的综合性8．函数y=2x+log2x﹣6的零点所在的区间是（，），则正整数k的值为 4 ．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数零点的判定定理，即可求得结论解答：解：∵函数f（x）=log2x+2x﹣6，∴f′（x）=2+＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）单调递增，∵f（）=﹣4＜0，f（3）=log23＞0，∴f（）•f（3）＜0，且函数f（x）=log2x+2x﹣6在区间（，3）上是连续的，故函数f（x）=log2x+2x﹣6的零点所在的区间为（，3），∴，解得：3＜k＜5，∴k=4，故答案为：4．点评：本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．9．已知△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，那么•= 3 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知画出图形，得到各向量的关系，求出等边三角形的边长，利用数量积公式解答．解答：解：由已知得到如图因为△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，所以EF∥CD，并且EF=，所以BE=，AC=2，所以AD=，•=||||cosD===3；故答案为：3．点评：本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积公式的运用，属于基础题．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanA=7tanB，=3，则c= 4 ．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：，利用tanA=7tanB求得sinAcosB与cosAsinB的关系式，进而利用正弦定理和余弦定理转化成边的问题，化简求得a，b和c的关系式，然后根据已知条件可直接求得c．解答：解：∵tanA=7tanB，∴=7•．∴sinAcosB=7sinBcosA，∴a•=7•b•，整理得8a2﹣8b2=6c2，①∵=3，②①②联立求得c=4，故答案为：4点评：本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化．11．已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是，则f（x）的取值范围是．考点：余弦函数的对称性；正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：根据这两个函数的周期相同，求出ω值，即得函数f（x）的解析式，根据x∈，求出3sin（ωx﹣）的范围．解答：解：由题意得，这两个函数的周期相同，∴，∴ω=2．函数f（x）=3sin（ωx﹣）=3sin（2x﹣）．∵x∈，∴﹣≤2x﹣≤，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，﹣≤3sin（ωx﹣）≤3，故f（x）的取值范围是，故答案为．点评：本题考查正弦函数、余弦函数的对称性，求正弦函数的值域，判断这两个函数的周期相同是解题的突破口．13．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）= 338 ．考点：函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：由已知可得f（1）=1，f（2）=2，f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，根据函数的周期性可得：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）=335×+f（1）+f（2），代入可得答案．解答：解：∵当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，∵当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，又∵f（x+6）=f（x）．故f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，又∵2012=335×6+2，故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）=335×+f（1）+f（2）=335+1+2=338，故答案为：338点评：本题考查的知识点是函数的周期性，数列求和，按周期分组求和是解答的关键．14．已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是a＜4 ．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，易得满足条件；当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则函数f（x）=，不为单调函数，即﹣1+a＞2a﹣5，综合讨论结果可得答案．解答：解：当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知：存在x1，x2∈（﹣∞，1]且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则﹣1+a＞2a﹣5，解得：a＜4，∴2≤a＜4，综上所述：实数a的取值范围是a＜4，故答案为：a＜4点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分段函数的图象和性质，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0，满足a≥0且b≥0．（1）若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a=1，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．考点：几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）是古典概型，可以列举出所有的满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果．（2）是几何概型，求出方程有实根的等价条件，利用几何概型的概率公式进行求解．解答：解：（1）设若a是从0、1、2三个数中任取的一个数，b是从0、1两个数中任取的一个数，则有3×2=6种结果，事件A为“方程a2+2ax+b2=0有实根”．若方程x2+2ax+b2=0有实根，则判别式△=4a2﹣4b2≥0，即a2﹣b2≥0，∵a≥0且b≥0．∴等价为a≥b．包含基本事件共5个：（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．∴事件A发生的概率为P=．（2）若a=1，则方程x2+2ax+b2=0有实根，则判别式△=4﹣4b2≥0，即b2≤1，解得﹣1≤b≤1，∵0≤b≤3，∴0≤b≤1，则对应的概率P=．点评：本题主要考查概率的计算，要求熟练古典概型和几何概型的概率的计算，考查学生的运算和推理能力．16．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足B=2A．（1）若，求cosC的值；（2）若b2=2ac，求cosA的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用二倍角公式及正弦定理可得b=2acosA，又，从而解得cosA=，可解得B，C的值，即可得解cosC的值．（2）由（1）可得：b=2acosA，又b2=2ac，即可解得cosA=，利用余弦定理可求b2+c2=a2，由勾股定理可求A，从而得解．解答：解：（1）∵B=2A．∴sinB=sin2A=2sinAcosA，∵，sinA＞0，∴可得b=2acosA，又，∴=2cosA，解得cosA=，A=，B=，C=∴cosC=0．（2）由（1）可得：b=2acosA，又b2=2ac，∴解得：cosA==．整理可得：b2+c2=a2，故由勾股定理可得：A=，cosA=0．点评：本题主要考查了二倍角公式、三角形内角和定理及正弦定理、勾股定理的应用，属于基本知识的考查．17．已知函数f（x）=﹣x2+（a+4）x+2+b，log2f（1）=3，且g（x）=f（x）﹣2x为偶函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间﹣=﹣=．由题设可得，（1+x1）＞0，（1+x2）＞0，2（x2﹣x1）＞0，∴＞0，即t（x1）＞t（x2），故函数t（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数．根据复合函数的单调性可得f（x）=lgt（x）=log2在定义域（﹣1，1）上是减函数．（2）∵函数f（x）=2﹣3log2x，g（x）=log2x．∴函数==1﹣log2x+|1﹣2log2x|=，故M（x）在（0，]上为减函数，在（，+∞）上为增函数，故当x=时，M（x）取最小值．点评：本题主要考查函数的奇偶性的定义和判断方法，函数的单调性的判断和证明，复合函数的单调性，属于中档题．19．如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（0＜2θ＜π），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．（1）求半径较大的花坛⊙P的半径（用θ表示）；（2）求半径较小的花坛⊙Q的半径的最大值．考点：三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）设⊙P切OA于M，⊙Q切OA于N，记⊙P、⊙Q的半径分别为r P、r Q．可得|OP|=80﹣r P，由此求得r P的解析式．（2）由|PQ|=r P+r Q，求得r Q=（0＜θ＜）．令t=1+sinθ∈（1，2），求得r Q=80（﹣1﹣+），再利用二次函数的性质求得它的最大值．解答：解：（1）设⊙P切OA于M，连PM，⊙Q切OA于N，连QN，记⊙P、⊙Q的半径分别为r P、r Q．∵⊙P与⊙O内切，∴|OP|=80﹣r P，∴+r P=80，∴r P=（0＜θ＜）．（2）∵|PQ|=r P+r Q∴|OP|﹣|OQ|=﹣=r P+r Q，∴r Q=（0＜θ＜）．令t=1+sinθ∈（1，2），∴r Q=80•=80（﹣1﹣+），令m=∈（，1），r Q=80（﹣2m2+3m﹣1），∴m=时，有最大值10．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，求三角函数的最值，属于基础题．20．定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）试求f（0）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；（3）设A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＞f（1）}，若A∩B=∅，试确定a的取值范围．（4）试举出一个满足条件的函数f（x）．考点：抽象函数及其应用；交集及其运算；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（1）在恒等式中，令m=1，n=0，代入即可得到f（0）的值；（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，利用恒等式将f（x2）﹣f（x1）变形，再利用当x＞0时，0＜f（x）＜1，确定f（x2）﹣f（x1）的符号，利用函数单调性的定义，即可证明函数的单调性；（3）利用恒等式，将f（x2）•f（y2）＞f（1）等价转化为x2+y2＜1，将转化为ax﹣y+=0，从而将A∩B=∅问题转化为直线与圆面没有公共点问题，利用直线到圆心的距离大于半径，列出不等关系，求解即可求得a的取值范围；（4）根据题设的条件从所学的基本初等函数中，判断选择一个函数即可．解答：解：（1）∵对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），∴令m=1，n=0，则有f（1）=f（1）f（0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0，∴f（0）=1；（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，∵对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），∴令m+n=x2，m=x1，则有f（x2）=f（x1）f（x2﹣x1），∴f（x2）﹣f（x1）=f（x1）f（x2﹣x1）﹣f（x1）=f（x1），∵x2﹣x1＞0，∴1＞f（x2﹣x1）＞0，为确定f（x2）﹣f（x1）的正负，只需考虑f（x1）的正负即可，∵f（m+n）=f（m）•f（n），∴令m=x，n=﹣x，则f（x）•f（﹣x）=1，∵x＞0时，0＜f（x）＜1，∴当x＜0时，，又f（0）=1，综上可知，对于任意x1∈R，均有f（x1）＞0，∴f（x2）﹣f（x1）=f（x1）＜0，∴f（x2）＜f（x1），∴函数f（x）在R上单调递减；（3）∵对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），∴f（x2）•f（y2）=f（x2+y2），∴不等式f（x2）•f（y2）＞f（1），即f（x2+y2）＞f（1），∵函数f（x）在R上单调递减，∴x2+y2＜1，∴A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＞f（1）}表示圆面x2+y2＜1内的点，∵f（ax﹣y+）=1，且f（0）=1，∴，即，∴表示直线ax﹣y+=0上的点，∵A∩B=∅，∴直线与圆面x2+y2＜1无公共点，∴圆心（0，0）到直线ax﹣y+=0的距离为d=，解得﹣1≤a≤1，∴a的取值范围为﹣1≤a≤1；（4）．点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．属于函数知识的综合应用．属于中档题．。
高二数学-南通市启东中学2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试卷
2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（上）第一次月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．命题p：∀x∈R，方程x3+x+1=0的否定是．2．已知椭圆=1上一点P到一个焦点的距离为8，则点P到另一焦点的距离是．3．命题“若α是锐角，则sinα＞0”的否命题是．4．【文科】若双曲线的渐近线方程为y=±3x，一个焦点是，则双曲线的方程是．5．以点（1，2）为圆心，与直线4x+3y﹣35=0相切的圆的方程是．6．设F1、F2是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于．7．若圆锥曲线=1的焦距为2，则k= ．8．已知动圆M与圆C1：（x+3）2+y2=9外切且与圆C2：（x﹣3）2+y2=1内切，则动圆圆心M的轨迹方程是．9．椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线L交C于A，B 两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为．10．将一个半径为R的蓝球放在地面上，被阳光斜照留下的影子是椭圆．若阳光与地面成60°角，则椭圆的离心率为．11．若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相切，则实数ab的最大值与最小值之差为．12．已知命题p：≤﹣1，命题q：x2﹣x＜a2﹣a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是．13．已知⊙O：x2+y2=4的两条弦AB，CD互相垂直，且交于点M（1，），则AB+CD的最大值为．14．已知直线y=kx+3与曲线x2+y2﹣2xcosα+2（1+sinα）（1﹣y）=0有且只有一个公共点，则实数k的值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．16．（已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a}，B={x|4x2+12x﹣7≤0}，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．17．（已知实数x，y满足（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．（1）求k=的最大值；（2）若x+y+m≥0恒成立，求实数m的范围．18．已知点P（4，4），圆C：（x﹣m）2+y2=5（m＜3）与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1，F2分别是椭圆的左右焦点，直线PF1与圆C相切．（1）求m的值；（2）求椭圆E的方程．19．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣12=0和点A（3，0），直线l过点A与圆交于P，Q两点．（1）若以PQ为直径的圆的面积最大，求直线l的方程；（2）若以PQ为直径的圆过原点，求直线l的方程．20．如图，已知椭圆E1：=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A，A'，圆E2：x2+y2=a2，过椭圆的左顶点A作斜率为k1直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于B、C．（1）证明：k BA•k BA′=﹣；（2）若k1=1时，B恰好为线段AC的中点，且a=3，试求椭圆的方程；（3）设D为圆E2上不同于A的一点，直线AD的斜率为k2，当时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．命题p：∀x∈R，方程x3+x+1=0的否定是∃x∈R，方程x3+x+1≠0 ．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，方程x3+x+1=0的否定是：∃x∈R，方程x3+x+1≠0．故答案为：∃x∈R，方程x3+x+1≠0．点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．2．已知椭圆=1上一点P到一个焦点的距离为8，则点P到另一焦点的距离是12 ．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆方程找出a的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，把a的值代入即可求出常数的值得到P到两焦点的距离之和，由P到一个焦点的距离为8，求出P到另一焦点的距离即可．解答：解：由椭圆=1，得a=10，则2a=20，且点P到椭圆一焦点的距离为8，由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣8=20﹣8=12．故答案为：12．点评：此题考查学生掌握椭圆的定义及简单的性质，是一道中档题．3．命题“若α是锐角，则sinα＞0”的否命题是若α不是锐角，则 sinα≤0 ．考点：四种命题间的逆否关系．专题：探究型．分析：根据否命题与原命题之间的关系求解即可．解答：解：根据否命题的定义可知，命题“若α是锐角，则sinα＞0”的否命题是：若α不是锐角，则 sinα≤0．故答案为：若α不是锐角，则 sinα≤0．点评：本题主要考查四种命题之间的关系，比较基础．4．【文科】若双曲线的渐近线方程为y=±3x，一个焦点是，则双曲线的方程是．考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意，设双曲线方程为（a＞0，b＞0），根据双曲线的渐近线方程为y=±3x，一个焦点是，列出方程组，求出a，b，即可得出双曲线的方程．解答：解：由题意，设双曲线方程为（a＞0，b＞0），∵双曲线的渐近线方程为y=±3x，一个焦点是，∴，∴a=3，b=1，∴双曲线的方程是．故答案为：．点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．5．以点（1，2）为圆心，与直线4x+3y﹣35=0相切的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2=25 ．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：先求圆心到直线4x+3y﹣35=0的距离，再求出半径，即可由圆的标准方程求得圆的方程．解答：解：以点（1，2）为圆心，与直线4x+3y﹣35=0相切，圆心到直线的距离等于半径，即：所求圆的标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25点评：本题考查圆的标准方程，直线与圆相切，是基础题．6．设F1、F2是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于24 ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先由双曲线的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出△PF1F2的面积．解答：解：双曲线的两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，由3|PF1|=4|PF2|，设|PF2|=x，则|PF1|=x，由双曲线的性质知x﹣x=2，解得x=6．∴|PF1|=8，|PF2|=6，∵|F1F2|=10，∴∠F1PF2=90°，∴△PF1F2的面积=×8×6=24．故答案为：24．点评：本题考查双曲线的性质和应用，考查三角形面积的计算，属于基础题．7．若圆锥曲线=1的焦距为2，则k= 2或4 ．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先把圆锥曲线进行分类（1）圆锥曲线是焦点在x轴上的椭圆（2）圆锥曲线是焦点在y轴上的椭（3）圆锥曲线是焦点在x轴上的双曲线（4）圆锥曲线是焦点在y轴上的双曲线，通过讨论求的结果．解答：解：圆锥曲线=1（1）圆锥曲线是焦点在x轴上的椭圆时，5﹣k＞k﹣1解得：k＜3令a2=5﹣k，b2=k﹣1 焦距为2即c2=25﹣k=k﹣1+2解得k=2（2）圆锥曲线是焦点在y轴上的椭圆时，5﹣k＜k﹣1解得：k＞3令a2=k﹣1，b2=5﹣k 焦距为2即c2=2k﹣1=5﹣k+2解得：k=4（3）圆锥曲线是焦点在x轴上的双曲线时，即k＜1令a2=5﹣k，b2=1﹣k焦距为2即c2=25﹣k+1﹣k=2解得：k=3（舍去）（4）圆锥曲线是焦点在y轴上的双曲线时即k＞5令a2=k﹣1，b2=k﹣5焦距为2即c2=2k﹣1+k﹣5=2解得k=4（舍去）故答案为：2或4点评：本题考查的知识点：圆锥曲线的讨论问题：椭圆方程的两种形式，双曲线方程的两种形式，通过运算求结果．8．已知动圆M与圆C1：（x+3）2+y2=9外切且与圆C2：（x﹣3）2+y2=1内切，则动圆圆心M的轨迹方程是﹣=1（x≥2）．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：找出两圆圆心坐标与半径，设设动圆圆心M（x，y），半径为r，根据动圆M与圆C1外切且与圆C2内切，即可确定出M轨迹方程．解答：解：由圆C1：（x+3）2+y2=9，圆心C1（﹣3，0），半径r1=3，圆C2：（x﹣3）2+y2=1，圆心C2（3，0），r2=1，设动圆圆心M（x，y），半径为r，根据题意得：，整理得：|MC1|﹣|MC2|=4，则动点M轨迹为双曲线，a=2，b=，c=3，其方程为﹣=1（x≥2）．故答案为：﹣=1（x≥2）点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及动点轨迹方程，熟练掌握双曲线定义是解本题的关键．9．椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线L交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：根据椭圆的定义证出△ABF2的周长为4a=16，得出a=4，结合离心率为解出b值，即可得到所求椭圆C的方程．解答：解：设椭圆的方程为（a＞b＞0）∵离心率为，∴，得…①又∵过F1的直线L交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，∴根据椭圆的定义，得|AB|+|AF2|+|BF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=16由此得到a=4，代入①得b=．可得椭圆C的方程为故答案为：点评：本题给出满足条件的椭圆，求椭圆的方程．着重考查了椭圆的定义与标准方程、简单几何性质等知识，属于基础题．10．将一个半径为R的蓝球放在地面上，被阳光斜照留下的影子是椭圆．若阳光与地面成60°角，则椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先要弄懂椭圆产生的原理，根据原理来解决三角形的边角关系，利用离心率公式求的结果．解答：解：如图由于太阳光线是平行光线，得到的图形为：AB代表椭圆长轴的长，椭圆的短轴不变化，AC 为球的直径2R则：利用直角三角形的边角关系求得：AB=，即a=，b=R利用椭圆中a2=b2+c2解得c=则：e=故答案为：点评：本题考查的知识点：椭圆产生的原理，a、b、c的关系式，求椭圆的离心率．11．若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相切，则实数ab的最大值与最小值之差为 1 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：先用原点到直线的距离等于半径，得到a、b的关系，再用基本不等式确定ab的范围，即可求得实数ab的最大值与最小值之差．解答：解：∵直线ax+by=1与圆x2+y2=1相切，∴a2+b2=1，∵a2+b2≥2|ab|∴2|ab|≤1，∴﹣≤ab≤，∴实数ab的最大值与最小值之差为1．故答案为：1．点评：本题考查直线与圆的位置关系，基本不等式，此式a2+b2≥2|ab|是易出错点，属于中档题．12．已知命题p：≤﹣1，命题q：x2﹣x＜a2﹣a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：命题p：≤﹣1，转化为一元二次不等式，解得﹣3≤x＜1．由于¬q的一个充分不必要条件是¬p，可得p是q充分不必要条件，及命题q：x2﹣x＜a2﹣a，可得a2﹣a＞（x2﹣x）max，x∈[﹣3，1）．再利用二次函数的单调性即可解出．解答：解：命题p：≤﹣1，化为，即（x﹣1）（x+3）≤0，且x﹣1≠0，解得﹣3≤x＜1；∵¬q的一个充分不必要条件是¬p，∴p是q充分不必要条件．∵命题q：x2﹣x＜a2﹣a，∴a2﹣a＞（x2﹣x）max，x∈[﹣3，1）．令f（x）=x2﹣x=≤f（﹣3）=12，∴a2﹣a＞12，解得a＞4或a＜﹣3．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．点评：本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的单调性、简易逻辑的判定，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．已知⊙O：x2+y2=4的两条弦AB，CD互相垂直，且交于点M（1，），则AB+CD的最大值为2．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由于直线AB、CD均过M点，故可以考虑设两个直线的方程为点斜式方程，但由于点斜式方程不能表示斜率不存在的情况，故要先讨论斜率不存在和斜率为0的情况，然后利用弦长公式，及基本不等式进行求解．解答：解：当AB的斜率为0或不存在时，可求得AB+CD=2（）当AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y﹣=k（x﹣1），直线CD的方程为y﹣=﹣（x﹣1），由弦长公式可得：AB2=4•，CD2=，∴AB2+CD2=20∴（AB+CD）2=AB2+CD2+2AB×CD≤2（AB2+CD2）=40故AB+CD≤2，即AB+CD的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线方程的应用，基本不等式的应用，点到直线的距离公式，考查转化思想与计算能力．14．已知直线y=kx+3与曲线x2+y2﹣2xcosα+2（1+sinα）（1﹣y）=0有且只有一个公共点，则实数k的值为．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：先确定x2+（y﹣1）2=1，再利用直线y=kx+3与曲线x2+y2﹣2xcosα+2（1+sinα）（1﹣y）=0有且只有一个公共点，可得=1，即可求出实数k的值．解答：解：曲线x2+y2﹣2xcosα+2（1+sinα）（1﹣y）=0可化为（x﹣cosα）2+（y﹣1﹣sinα）2=0，∴x=cosα，y=1+sinα，∴x2+（y﹣1）2=1∵直线y=kx+3与曲线x2+y2﹣2xcosα+2（1+sinα）（1﹣y）=0有且只有一个公共点，∴=1，∴k=．故答案为：．点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：综合题；简易逻辑．分析：由题意，p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”，转化为a≥（e x）max即可，求出参数的范围，q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，说明方程有根，转化为△=16﹣4a≥0，解出参数的范围，由于“p ∧q”是假命题包括的情况较多，故先求其为真命题的范围，再求解，较简单解答：解：命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”，即a≥（e x）max即可，即a≥e命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，即△=16﹣4a≥0成立，即a≤4若命题“p∧q”是真命题，则有e≤a≤4，故“p∧q”是假命题时a的范围是＜e或a＞4点评：本题考查复合命题真假，函数最值特称命题等知识，综合性较强，解答时要注意将命题“p∧q”是假命题，转化为求使得p∧q为真命题时参数范围的补集，这是正难则反技巧的运用16．（已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a}，B={x|4x2+12x﹣7≤0}，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：集合；简易逻辑．分析：求集合A，B的等价条件，根据必要条件的定义建立条件关系即可得到结论．解答：解：B={x|4x2+12x﹣7≤0}={x|（2x+7）（2x﹣1）≤0}={x|﹣}，∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件，∴B⊆A，即，则，解得a≥，即实数a的取值范围是[，+∞）．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据集合关系是解决本题的关键．17．（已知实数x，y满足（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．（1）求k=的最大值；（2）若x+y+m≥0恒成立，求实数m的范围．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）利用圆心到直线的距离d==1，求出k，即可得出k=的最大值；（2）x+y+m≥0，即要﹣m小于等于x+y恒成立，即﹣m小于等于x+y的最小值，由x与y 满足的关系式为圆心为（2，1），半径为1的圆，可设x=2+cosα，y=1+sinα，代入x+y，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域可得出x+y 的最小值，即可得到实数c的取值范围．解答：解：（1）k=即kx﹣y﹣1=0，由圆心到直线的距离d==1，可得k=，∴k=的最大值为；（2）∵实数x，y满足（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，∴设x=2+cosα，y=1+sinα，则x+y=2+cosα+1+sinα=sin（α+）+3，∵﹣1≤sin（α+）≤1，∴sin（α+）+3的最小值为3﹣，根据题意得：﹣m≤3﹣，即m≥﹣3．点评：本题考查斜率的意义，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．18．已知点P（4，4），圆C：（x﹣m）2+y2=5（m＜3）与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1，F2分别是椭圆的左右焦点，直线PF1与圆C相切．（1）求m的值；（2）求椭圆E的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）把点A坐标代入圆C方程及m＜3即可求得m值；（2）直线PF1的斜率为k，代入点斜式可得直线PF1的方程，根据直线PF1与圆C相切得关于k的方程，解出k，然后按k值进行讨论，求出直线PF1与x轴交点横坐标可得c值，由椭圆定义可得a，进而求出b；解答：解：（1）点A（3，1）代入圆C方程，得（3﹣m）2+1=5，∵m＜3，∴m=1，；（2）设直线PF1的斜率为k，则PF1：y=k（x﹣4）+4，即kx﹣y﹣4k+4=0，因为直线PF1与圆C相切，所以=，解得k=，或k=．当k=时，直线PF1与x轴交点横坐标为，不合题意，舍去．当k=时，直线PF1与x轴交点横坐标为﹣4，所以c=4，F1（﹣4，0），F2（4，0），所以2a=+=6，a=3，a2=18，b2=2，所以椭圆E的方程为．点评：本题考查圆的方程、椭圆方程、直线方程及其位置关系，考查学生分析解决问题的能力．19．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣12=0和点A（3，0），直线l过点A与圆交于P，Q两点．（1）若以PQ为直径的圆的面积最大，求直线l的方程；（2）若以PQ为直径的圆过原点，求直线l的方程．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）以PQ为直径的圆的面积最大，则直线l过圆心，即可求直线l的方程；（2）若以PQ为直径的圆过原点，利用圆系方程，即可求直线l的方程．解答：解：（1）圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣12=0可化为圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=17，圆心为（1，2），∵以PQ为直径的圆的面积最大，∴直线l过点（1，2），∵直线l过A（3，0），∴直线l的方程为x+y﹣3=0；（2）设直线l的方程为y=k（x﹣3），以PQ为直径的圆的方程为x2+y2﹣2x﹣4y﹣12+λ（kx ﹣y﹣3k）=0（0，0）代入圆，整理可得﹣12﹣3λk=0，①圆心坐标为（1﹣，2+），代入y=k（x﹣3），可得2+=k（1﹣﹣3），②由①②可得λ=﹣1，k=4，∴直线l的方程为y=4（x﹣3）．点评：本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查圆系方程，正确运用圆系方程，减少计算量．20．如图，已知椭圆E1：=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A，A'，圆E2：x2+y2=a2，过椭圆的左顶点A作斜率为k1直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于B、C．（1）证明：k BA•k BA′=﹣；（2）若k1=1时，B恰好为线段AC的中点，且a=3，试求椭圆的方程；（3）设D为圆E2上不同于A的一点，直线AD的斜率为k2，当时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设点B的坐标满足椭圆方程，表示出k BA、，求出乘积即可；（2）当k1=1时，点C在y轴上，由中点坐标公式得出点B的坐标，代入椭圆的方程得到a，b的关系，求出椭圆的方程；（3）直线BD过定点（a，0），设P点（a，0），B，证明k AD•k PB=﹣1，得PD⊥AD，即三点P，B，D共线，得出BD过定点P（a，0）．解答：解：（1）设点B（x0，y0），则+=1，∴=（1﹣）b2=；=，=，∴k∴k•===﹣；（2）当k1=1时，点C在y轴上，且C（0，a），∴点B（﹣，）；又∵点B在椭圆上，∴+=1，化简得a2=3b2，又∵a=3，∴b2=3；∴椭圆的方程为+=1；（3）直线BD过定点（a，0），证明如下：设P（a，0），B（x0，y0），则+=1（a＞b＞0）；∴k AD•k PB=•k1•k PB=••=•=•（﹣）=﹣1，∴PB⊥AD；又PD⊥AD，∴三点P，B，D共线，即直线BD过定点P（a，0）．点评：本题考查了椭圆与圆的有关性质、定理的应用问题，也考查了直线与圆、直线与椭圆的应用问题，考查了分析问题和解决问题的能力以及推理能力运算能力，是综合题．。
2014春江苏南通高二数学期末复习一含答案苏教版
12014春江苏南通高二数学期末复习一（含答案苏教版）一、填空题 1．若x∈A，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M ＝11,0,,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．2．命题“若a b >，则22ac bc >（,a b ∈R ）”否命题的真假性为 （从“真”、“假”中选填一个）．3．若22(4)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是__ ___ ． 4．在平面中，△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比AEC BECSACSBC=.将这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于E ，则类比的结论为A CDEB CDEV V --＝________．5．已知函数()x x x x e e f x e e ---=+，若1()2f a =-，则()f a -= .6．函数22log (1)y x x =-+-的定义域为___________． 7．函数f(x)＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上不单调，则实数a 的取值范围是______． 8．已知函数f(x)=为奇函数，则f()= 。
9．方程x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的一根大于2，一根小于2，那么实数m 的取值范围是__________．10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()3f x x x =--，则不等式(1)4f x x ->-+的解集是 ．11．设函数()f x 满足：2132()()f x f x x -=，则函数()f x 在区间1[,1]2上的最小值为． 12．设是定义在R 上且周期为2的函数，在区间上，其中．若，则的值为 ．13．设函数()32()f x x bx cx x =++∈R ，若()()()g x f x f x '=-是奇函数，则b +c 的2值为14．已知函数2()()ln f x ax x x x =+-在[1,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ;二、解答题15．设p ：函数(1)1y a x =-+在(,)x ∈-∞+∞内单调递减；q ：曲线21y x ax =++与x 轴交于不同的两点．（1）若p 为真且q 为真，求a 的取值范围；（2）若p 与q 中一个为真一个为假，求a 的取值范围．16．已知复数213(3)2z a i a =+-+，22(31)z a i =++（a R ∈，i 是虚数单位）． （1）若复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限，求实数a 的取值范围；（2）若虚数1z 是实系数一元二次方程260x x m -+=的根，求实数m 值．317．已知函数错误！未找到引用源。
【精品】江苏省南通市启东高二上册期末数学试卷(有答案)
江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则的虚部是．2．（5分）命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入的值为．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是．5．（5分）抛物线2=4y的焦点到准线的距离为．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为．7．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为．8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．10．（5分）已知命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”；命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”，若命题“p ∧q”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）在平面直角坐标系Oy中，直线m﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆32+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值．13．（5分）已知圆和两点，（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知为复数，+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数和||；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．16．（14分）已知命题p：∀∈R，t2++t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃∈[2，16]，tlog2+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t的取值范围．17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求的值．18．（16分）已知圆O：2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥轴，且点B在轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．24．（10分）在平面直角坐标系Oy中，直线l：=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与轴的交点为N．求证：向量与共线．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则的虚部是﹣．【解答】解：复数=﹣=﹣=﹣﹣i，则的虚部=﹣．故答案为：．2．（5分）命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是∀∈R，2﹣2＞0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是：∀∈R，2﹣2＞0．故答案为：∀∈R，2﹣2＞0．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入的值为﹣1．【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f（）=的值，当≥0时，y=2+1=1，解得=﹣1，不合题意，舍去；当＜0时，y=2﹣2=1，解得=±1，应取=﹣1；综上，的值为﹣1．故答案为：﹣1．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是0.1．【解答】解：数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为：=×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为：S2=×[（4.8﹣5.2）2+（4.9﹣5.2）2+（5.2﹣5.2）2+（5.5﹣5.2）2+（5.6﹣5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．5．（5分）抛物线2=4y的焦点到准线的距离为2．【解答】解：抛物线2=4y的焦点到准线的距离为：p=2．故答案为：2．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为18．【解答】解：设从高二年级学生中抽出人，由题意得=，解得=18，故答案为：187．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）．【解答】解：观察下列各式9﹣1=32﹣12=8=4×（1+1），16﹣4=42﹣22=12=4×（1+2），25﹣9=52﹣32=16=4×（1+3），36﹣16=62﹣42=20=4×（1+4），，…，分析等式两边数的变化规律，我们可以推断（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）故答案为：（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，椭圆+=1的焦点为（±4，0），又由双曲线与椭圆有共同焦点，则双曲线的焦点在轴上，且c=4，设其方程为﹣=1，又由双曲线的离心率e=2，即e==2，则a=2，b2=c2﹣a2=16﹣4=12，则双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．【解答】解：将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和不小于9包含的基本事件有：（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共有10个，∴出现向上的点数之和不小于9的概率：p=．故答案为：．10．（5分）已知命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”；命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”，若命题“p ∧q”是真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2，或a=1．【解答】解：若命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”为真；则1﹣a≥0，解得：a≤1，若命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”为真，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得：a≤﹣2，或a≥1，若命题“p∧q”是真命题，则a≤﹣2，或a=1，故答案为：a≤﹣2，或a=111．（5分）在平面直角坐标系Oy中，直线m﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．【解答】解：直线m﹣y﹣3m﹣2=0过定点I（3，﹣2），圆（﹣2）2+（y+1）2=4的圆心坐标C（2，﹣1），半径为r=2．如图，∵|CI|=，∴直线m﹣y﹣3m﹣2=0被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．故答案为：．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆32+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值5．【解答】解：由椭圆32+4y2﹣12=0作出椭圆如图，由a2=4，b2=3，得c2=1，c=1，∴=，由椭圆的第二定义可得，椭圆上的点到左焦点的距离|PF1|与到左准线的距离的比值为e=，∴2|PF1|为椭圆上的点到左准线的距离，过A作AB⊥左准线l与B，交椭圆于P，则P点为使|PA|+2|PF1|最小的点，最小值为A到l的距离，等于1+=1+4=5．故答案为：5．13．（5分）已知圆和两点，（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是{m|} ．【解答】解：如图，当D（0，3m）时，∠ADB=60°，故满足条件的点P必在以A、B、D三点所确定的圆周上，∴该圆圆心为M（0，m），要使圆C上存在点P，由两圆必有交点，即|r M﹣r C|≤|MC|≤|r M+r C|，如图，∴|r M﹣r C|2≤|MC|2≤|r M+r C|2，∴（2m﹣2）2≤（3）2+（m﹣5）2≤（2m+2）2，由m＞0，解得2．故答案为：{m|}．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围（，1）．【解答】解：设P（0，y0），M（M，y M），∵，∴=（0+c，y0）=（M+c，y M）∴M（0﹣c，y0），=（0﹣c，y0），∵PO⊥F2M，=（0，y0）∴（0﹣c）0+y02=0即02+y02=2c0，联立方程得：，消去y0得：c202﹣2a2c0+a2（a2﹣c2）=0，解得：0=或0=，∵﹣a＜0＜a，∴0=∈（0，a），∴0＜a2﹣ac＜ac解得：e＞，综上，椭圆离心率e的取值范围为（，1）．故答案为：（，1）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知为复数，+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数和||；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设=a+bi（a，b∈R），则+2i=a+（b+2）i，由+2i为实数，得b+2=0，则b=﹣2．由=为实数，得，则a=4，∴=4﹣2i，则；（2）由=4+3m+（m2﹣4）i在第四象限，得，解得．16．（14分）已知命题p：∀∈R，t2++t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃∈[2，16]，tlog2+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵∀∈R，t2++t≤0，∴t＜0且△=1﹣4t2≤0，解得∴p为真命题时，．…（6分）（2）∃∈[2，16]，tlog2+1≥0⇒∃∈[2，16]，有解．又∈[2，16]时，，∴t≥﹣1．…（8分）∵p∨q为真命题且p∧q为假命题时，∴p真q假或p假q真，当p假q真，有解得；当p真q假，有解得t＜﹣1；∴p∨q为真命题且p∧q为假命题时，t＜﹣1或．…（14分）17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求的值．【解答】解：（1）∵方程为+=1表示椭圆，则，解得∈（1，5）∪（5，9）…（6分）（未去5扣2分）（2）①当9﹣＞﹣1时，依题意可知a=，b=，∴c=，∵=，∴，∴=2；②当9﹣＜﹣1时，依题意可知b=，a=，∴c=，∵=，∴，∴=8；∴的值为2或8．（一种情况（4分）共8分）18．（16分）已知圆O：2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）设点P（，y），2+y2=4，，，因为，所以（﹣a）2+（y﹣2）2=λ2[（﹣m）2+（y﹣1）2]，化简得2a+4y﹣a2﹣8=λ2（2m+2y﹣m2﹣5），因为P为圆O上任意一点，所以，又m＞0，λ＞0，解得，所以常数．…（8分）（2）设M（0，y0），M是线段NE的中点，N（20﹣2，2y0﹣t），又M，N在圆C上，即关于，y的方程组有解，化简得有解，即直线n：8+4ty﹣t2﹣7=0与圆C：2+y2=1有交点，则，化简得：t4﹣2t2﹣15≤0，解得．…（16分）19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．【解答】解：（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a 1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、，使得，…5分则h2=22，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则2=2t2，所以也为偶数，则h、有公约数2，这与h、互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数．…10分（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，且分别为第n、m、p项且n、m、p互不相等，…11分设公差为d，显然d≠0，则，消去d得，，…13分由n、m、p都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项．…16分．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥轴，且点B在轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．【解答】解：（1）由椭圆C：，得a2=16，b2=12，∴，则F（﹣2，0），由BF⊥轴，不妨设B（﹣2，﹣3），∵A（﹣4，0），∴直线AB：y=﹣（+4），又左准线l：=﹣8，∴P（﹣8，6），又=λ1，∴，得，由=λ2，得，得，又，∴，∵，由系数相等得，得；（2）证明：设点C（1，y1），D（2，y2），Q（0，y0），由=λ1，得（1+2，y1+3）=λ1（0﹣1，y0﹣y1），得，，代入椭圆方程：，得：，显然λ1≠0，∴，同理得：，又由（1），∴，整理得：0+y0+2=0，即点Q在定直线﹣y+2=0上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．【解答】解：（1）由=，∴2﹣2a=﹣4⇒a=3．（2）由（1）知M=，则矩阵M的特征多项式为令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为﹣1与4．当λ=﹣1时，∴矩阵M的属于特征值﹣1的一个特征向量为；当λ=4时，∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系．（1分）∵∴，∴ρsinθ+ρcosθ=1．（2分）∴该直线的直角坐标方程为：+y﹣1=0．（3分）（Ⅱ）圆M的普通方程为：2+（y+2）2=4（4分）圆心M（0，﹣2）到直线+y﹣1=0的距离．（5分）所以圆M上的点到直线的距离的最小值为．（7分）23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，∵G，I是中点，∴GI∥BD，GI=BD．∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=BD．∴EF∥GI，EF=GI，∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI，∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，∴EG∥平面ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣y，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），F（0，0，2），设平面CEF的法向量为=（，y，），则，取=（，0，1）∵OC⊥平面OEF，∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），∵|cos＜，＞|=∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．∴a=﹣，b=0，c=，∴=（﹣，，），∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．24．（10分）在平面直角坐标系Oy中，直线l：=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与轴的交点为N．求证：向量与共线．【解答】解：（1）设P（0，y0），则S（﹣1，y0），∴=（0，y0）•（4，﹣y0）=4=0，∴．∴曲线C：y2=4．证明：（2）设Q（1，y1），则，y2=4，p=2，焦点F（1，0），N（﹣1，0），∵PQ过F，∴01=﹣=1，，∴，，∴=，=，∴=（）=（），=（1+1，y1）=（），假设=成立，∴，解得，∴，∴向量与共线．。
江苏省南通市启东中学2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试卷 含解析
2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二（上)第一次月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分,共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．已知命题p:∀x∈R，sinx≤1，则¬p为．2．抛物线y=4x2的焦点坐标是．3．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的命题．4．椭圆+y2=1的离心率是．5．双曲线﹣y2=1的渐近线方程为．6．抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是．7．过椭圆的右焦点的直线交椭圆于A,B两点,则弦AB的最小值为．8．已知l,m表示两条不同的直线，m是平面α内的任意一条直线，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的条件．9．过点M（1，1）且与椭圆+=1交于A，B两点，则被点M平分的弦所在的直线方程为．10．椭圆+=1的离心率为，则k=．11．若双曲线的渐近线方程为y=±3x，它的一个焦点是，则双曲线的方程是．12．已知动圆圆心在抛物线y2=4x上，且动圆恒与直线x=﹣1相切，则此动圆必过定点．13．设F是椭圆+=1的右焦点，点,M是椭圆上一动点，则当取最小值时，M点坐标为．14．在抛物线y2=4x上有两动点A，B，满足AB=3,则线段AB中点M的横坐标的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）,若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．16．设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅,命题q：函数f（x）=lg［ax2+(a﹣2）x+］的定义域为R,若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假,求实数a的取值范围．17．已知过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1,y1）和B（x2,y2）(x1＜x2）两点，且｜AB|=9,（1）求该抛物线的方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若,求λ的值．18．已知数列｛a n}满足a n+a n+1=2n+1（n∈N＊），求证:数列｛a n}为等差数列的充要条件是a1=1．19．已知中心在原点的焦点在坐标轴上的椭圆过点M，N；求（1)离心率e；（2）椭圆上是否存在P（x，y）到定点A（a，0）（0＜a＜3）距离的最小值为1？若存在求a及P坐标，若不存在，说明理由．20．已知平面直角坐标系xOy中，已知椭圆=1（a＞0，b＞0）的右顶点和上顶点分别为A，B，椭圆的离心率为,且过点(1，)．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l与该椭圆交于点P,Q两点，直线BQ,AP的斜率互为相反数．①求证:直线l的斜率为定值；②若点P在第一象限,设△ABP与△ABQ的面积分别为S1，S2，求的最大值．2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二(上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为∃x∈R，sinx＞1．【考点】命题的否定．【分析】根据命题p：∀x∈R,sinx≤1是全称命题，其否定为特称命题,将“任意的”改为“存在"，“≤“改为“＞"可得答案．【解答】解：∵命题p：∀x∈R，sinx≤1是全称命题∴¬p：∃x∈R，sinx＞1故答案为:∃x∈R,sinx＞1．【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题．这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．2．抛物线y=4x2的焦点坐标是．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先化简为标准方程，进而可得到p的值，即可确定答案．【解答】解：由题意可知∴p=∴焦点坐标为故答案为【点评】本题主要考查抛物线的性质．属基础题．3．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s,则s是p的逆命题t的否命题．【考点】四种命题．【专题】简易逻辑．【分析】设命题p为：若m,则n．根据已知写出命题r，s，t,结合四种命题的定义，可得答案．【解答】解：设命题p为：若m，则n．那么命题r：若￢m，则￢n，命题s：若￢n,则￢m．命题t:若n,则m．根据命题的关系，s是t的否命题．故答案为：否【点评】本题考查的知识点是四种命题，要注意命题的否定,命题的否命题是不同的概念,切莫混淆．4．椭圆+y2=1的离心率是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的标准方程可求得a与c,从而可求得e的值．【解答】解：把椭圆+y2=1的标准方程,得到a=，b=1，则c==1，所以椭圆的离心率e==,故答案为：【点评】此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法,灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是一道基础题．5．双曲线﹣y2=1的渐近线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线﹣y2=1的渐近线方程为﹣y2=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线﹣y2=1，∴双曲线﹣y2=1的渐近线方程为﹣y2=0，即．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1"为“0”即可求出渐近线方程．6．抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是4．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据抛物线的方程求出p的值，即可得到答案．【解答】解：由y2=2px=8x,知p=4,而焦点到准线的距离就是p．故答案为：4．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题．7．过椭圆的右焦点的直线交椭圆于A，B两点，则弦AB的最小值为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】分类讨论；分类法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由于直线l过右焦点，则当l的斜率不存在时，AB即为通径长，当斜率存在时，设直线l：y=k(x﹣1),联立椭圆方程,求出交点，运用两点距离，再化简整理,求出AB的范围,即可得到最小值．【解答】解：椭圆，则a=，b=1，c=1，由于直线l过右焦点（1,0)，则当l的斜率不存在时,令x=1，则y=±,可得|AB|=;当斜率存在时,设直线l：y=k（x﹣1），代入椭圆方程得,（1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，即有x1+x2=，x1x2=，即有|AB｜=｜x1﹣x2|=•=•（1+）＞．则最小值为，故答案为：．【点评】本题考查椭圆方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力,属于中档题．8．已知l，m表示两条不同的直线，m是平面α内的任意一条直线，则“l⊥m"是“l⊥α”成立的充要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据线面垂直的性质和定义即可得到结论．【解答】解：根据线面垂直的定义可知，∵m是平面α内的任意一条直线，∴当l⊥m时,l⊥α成立,∴若l⊥α，则根据线面垂直的性质可知，l⊥m成立,即“l⊥m”是“l⊥α"成立的充要条件，故答案为：充要【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的定义，利用线面垂直的定义是解决本题的关键．9．过点M（1,1)且与椭圆+=1交于A，B两点，则被点M平分的弦所在的直线方程为x+4y﹣5=0．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；作差法;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设过M点的直线与椭圆两交点的坐标,分别代入椭圆方程，得到两个关系式,分别记作①和②，①﹣②后化简得到一个关系式,然后根据M为弦AB的中点，由中点坐标公式，表示出直线AB方程的斜率,把化简得到的关系式变形,将A和B两点的横纵坐标之和代入即可求出斜率的值，然后由点M的坐标和求出的斜率写出直线AB的方程即可．【解答】解：设过点M的直线与椭圆相交于两点,A(x1,y1)，B（x2，y2)，则有+=1①，+=1②,①﹣②式可得：+=0，又点M为弦AB的中点，且M（1，1)，由+＜1，可得M在椭圆内,∴x1+x2=2，y1+y2=2，即得k AB==﹣，∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y﹣1=﹣（x﹣1），即x+4y﹣5=0．故答案为：x+4y﹣5=0．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系及中点弦问题的求解策略，关键在于对“设而不求法”的掌握．10．椭圆+=1的离心率为，则k=﹣或21．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】分类讨论，利用离心率公式,即可求得结论．【解答】解：由题意=或=,解得k=﹣或k=21．故答案为：﹣或21．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，比较基础．11．若双曲线的渐近线方程为y=±3x,它的一个焦点是,则双曲线的方程是．【考点】双曲线的标准方程；双曲线的定义．【专题】计算题．【分析】设双曲线的方程是，又它的一个焦点是，故λ+9λ=10由此可知λ=1,代入可得答案．【解答】解：因为双曲线的渐近线方程为y=±3x，则设双曲线的方程是，又它的一个焦点是故λ+9λ=10∴λ=1,故答案为：【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．12．已知动圆圆心在抛物线y2=4x上，且动圆恒与直线x=﹣1相切,则此动圆必过定点(1，0）．【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．【专题】计算题．【分析】首先由抛物线的方程可得直线x=﹣1即为抛物线的准线方程，再结合抛物线的定义得到动圆一定过抛物线的焦点，进而得到答案．【解答】解：设动圆的圆心到直线x=﹣1的距离为r，因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线方程为x=﹣1，所以动圆圆心到直线x=﹣1的距离与到焦点（1，0）的距离相等，所以点（1，0）一定在动圆上,即动圆必过定点(1,0)．故答案为：（1,0)．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的定义，以及抛物线的有关性质与圆的定义,此题属于基础题．13．设F是椭圆+=1的右焦点，点，M是椭圆上一动点,则当取最小值时，M点坐标为（，1)．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先利用椭圆的第二定义把关系式进行转化，再利用椭圆的方程求出离心率及准线方程，利用三点共线求的最小值及对应的M的坐标．【解答】解:由椭圆的第二定义:=e，d代表M到右准线的距离，用｜MP｜=d,即有d=，由椭圆的方程：+=1，得a=，b=，c=1，e==,右准线方程为：x=7,｜MF｜=ed=，=（|MA|+｜MF｜）=（|MA|+d），即当M、P、A三点共线时，|MA｜+d取得最小值，此时令y=1,可得x==,即有M（，1）．故答案为:（，1）．【点评】本题考查的知识点:椭圆的第二定义，椭圆的离心率，准线方程，以及三点共线问题,属于中档题．14．在抛物线y2=4x上有两动点A，B，满足AB=3，则线段AB中点M的横坐标的最小值为．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用x M=（x A+x B）=（x A++x B+）﹣=（|FA|+｜FB｜）﹣，即可得出结论．【解答】解：由题意，x M=(x A+x B）=（x A++x B+）﹣=（|FA｜+｜FB|）﹣．∵｜FA｜+｜FB|≥｜AB|=3，∴x M≥﹣1=，当A,F，B三点共线时,取得最小值．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．二、解答题：本大题共6小题,共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知p:｜1﹣｜≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0)，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件；绝对值不等式的解法．【专题】规律型．【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值范围．【解答】解:由｜|=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6,∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10,由x2+2x+1﹣m2≤0得［x+（1﹣m）］[x+(1+m）］≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0）,∴q:1﹣m≤x≤1+m,(m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件,∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取,∴，解得m≥9．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,将￢p是￢q的必要不充分条件转化为q 是p的必要不充分条件是解决本题的关键．16．设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅,命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q"为假，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】先根据指数函数的单调性,对数函数的定义域，以及一元二次不等式解的情况和判别式△的关系求出命题p，q下的a的取值范围,再根据p∨q为真，p∧q为假得到p，q一真一假,所以分别求出p真q假，p假q真时的a的取值范围并求并集即可．【解答】解：命题p：｜x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；命题q：不等式的解集为R，∴,解得；若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；p真q假时，,解得a≥8；p假q真时，,解得；∴实数a的取值范围为：．【点评】考查指数函数的单调性，空集的概念，对数函数的定义域，一元二次不等式的解的情况和判别式△的关系，以及p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系．17．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点,斜率为的直线交抛物线于A（x1,y1）和B（x2，y2）（x1＜x2）两点,且|AB|=9，（1）求该抛物线的方程；(2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．【考点】抛物线的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】(1）直线AB的方程与y2=2px联立，有4x2﹣5px+p2=0，从而x1+x2=，再由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9，求得p，则抛物线方程可得．（2)由p=4,4x2﹣5px+p2=0求得A（1，﹣2），B（4,4）．再求得设的坐标,最后代入抛物线方程即可解得λ．【解答】解：（1）直线AB的方程是y=2（x﹣)，与y2=2px联立,有4x2﹣5px+p2=0，∴x1+x2=由抛物线定义得：｜AB|=x1+x2+p=9∴p=4,∴抛物线方程是y2=8x．（2）由p=4,4x2﹣5px+p2=0得：x2﹣5x+4=0，∴x1=1,x2=4，y1=﹣2，y2=4，从而A（1，﹣2），B（4，4）．设=（x3,y3)=（1，﹣2）+λ（4,4）=（4λ+1,4λ﹣2）又[2(2λ﹣1）］2=8（4λ+1），解得：λ=0，或λ=2．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．直线与圆锥曲线的综合问题．考查了基本的分析问题的能力和基础的运算能力．18．已知数列｛a n}满足a n+a n+1=2n+1(n∈N*）,求证：数列{a n}为等差数列的充要条件是a1=1．【考点】等差关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列的定义以及充要条件的定义进行证明即可．【解答】解：充分性：∵a n+a n+1=2n+1，∴a n+a n+1=n+1+n，即a n+1﹣（n+1）=﹣(a n﹣n）,若a1=1，则a2﹣(1+1）=﹣（a1﹣1）=0,∴a2=2，以此类推得到a n=n，此时｛a n}为等差数列．必要性：∵a n+a n+1=2n+1，∴a n+2+a n+1=2n+3，两式相减得a n+2﹣a n=2，若数列｛a n｝为等差数列，则a n+2﹣a n=2d，即2d=2，∴d=1．则a n+a n+1=2a n+1=2n+1，∴a n=n，即a1=1成立．综上数列｛a n}为等差数列的充要条件是a1=1．【点评】本题主要考查等差数列的定义以及充要条件的应用,考查学生的推理能力．19．已知中心在原点的焦点在坐标轴上的椭圆过点M，N;求（1）离心率e；（2）椭圆上是否存在P（x，y）到定点A(a，0）（0＜a＜3)距离的最小值为1?若存在求a 及P坐标，若不存在,说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的应用．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】(1)设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，且m≠n）,由椭圆过M,N两点，求出m,n得到椭圆的方程，即得离心率；(2）设存在点P（x，y）满足条件，根据椭圆的方程，列出目标式|AP|2，求出满足条件的最值即可．【解答】解：（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0，且m≠n）,∵椭圆过M，N两点,∴,解得，∴椭圆的方程为+=1，∴离心率为e===；（2）设存在点P（x，y）满足题设条件，由椭圆方程为+=1，得y2=4（1﹣）；∴｜AP|2=（x﹣a）2+y2=（x﹣a）2+4（1﹣）=（x﹣a）2+4﹣a2（|x｜≤3），当|a|≤3，即0＜a≤时，｜AP｜2的最小值为4﹣a2；令4﹣a2=1，解得a=±∉(0，］;∴a＞3，即＜a＜3，此时当x=3时，|AP｜2的最小值为(3﹣a）2；令（3﹣a）2=1，解得a=2，此时点P的坐标是(3,0）;∴当a=2时，存在这样的点P满足条件，且P点的坐标是(3，0）．【点评】本题考查了椭圆与直线的位置关系的应用问题,也考查了求最值问题，解题时应注意灵活运用公式解答问题,是中档题．20．已知平面直角坐标系xOy中,已知椭圆=1（a＞0，b＞0）的右顶点和上顶点分别为A，B，椭圆的离心率为，且过点（1，)．（1）求椭圆的标准方程；（2)如图，若直线l与该椭圆交于点P,Q两点，直线BQ,AP的斜率互为相反数．①求证：直线l的斜率为定值;②若点P在第一象限，设△ABP与△ABQ的面积分别为S1,S2，求的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）通过将点(1，)代入椭圆方程，结合离心率为计算即得结论；（2）通过(1）可知A(2，0）、B(0,1）．①通过设直线AP的方程为x=my+2、直线BQ的方程为x=﹣my+m,分别与椭圆方程联立，计算可知P(，﹣）、Q（,），利用斜率计算公式计算即可；②通过(1）可知直线AB的方程为x+2y ﹣2=0，｜AB｜=，通过①可知P（,﹣）、Q(,）,利用点P在第一象限可知﹣2＜m＜0,分别计算出点P、Q到直线AB的距离,利用三角形面积公式计算、结合基本不等式化简即得结论．【解答】（1)解：依题意,，化简得：，解得：，∴椭圆的标准方程为：；（2)由（1)可知，A(2,0),B(0,1），直线BQ,AP的斜率均存在且不为0．①证明:设直线AP的方程为：x=my+2，则直线BQ的方程为：x=﹣my+m，联立，消去x整理得：（4+m2)y2+4my=0，∴P（，﹣），联立,消去x整理得：（4+m2）y2﹣2m2y+m2﹣4=0，∴Q（，），∴直线l的斜率为==；②解：由（1）可知直线AB的方程为：x+2y﹣2=0,｜AB|==，由①可知：P（,﹣），Q（，）,∵点P在第一象限，∴＜﹣，即﹣2＜m＜0，∴点P到直线AB的距离d P==﹣，点Q到直线AB的距离d Q==,∴===［（m﹣4)++10］，∵（4﹣m)+≥2=4,当且仅当4﹣m=即m=4﹣2时取等号，∴(m﹣4）+≤﹣4，∴的最大值为(10﹣4)=5﹣2．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。
2014-2015年江苏省南通市启东中学高二(上)期末数学试卷及答案
2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题p：∀x∈R，x2+1＞0的否定是．2．（5分）设复数z满足（3+4i）z+5=0（i是虚数单位），则复数z的模为．3．（5分）“直线l∥平面α”是“直线l⊄平面α”成立的条件（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个）．4．（5分）抛物线y=ax2的焦点坐标为．5．（5分）函数y=+2lnx的单调减区间为．6．（5分）已知双曲线﹣=1的离心率为，则实数m的值为．7．（5分）观察下列不等式：①1+＜；②1++＜；③1+++＜；…照此规律，第五个不等式为．8．（5分）若“任意x∈R，不等式|x﹣1|﹣|x+1|＞a”为假命题，则实数a的取值范围为．9．（5分）以直线3x﹣4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为．10．（5分）在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=a，BC=b，则△ABC的外接圆半径r=；类比到空间，若三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径R=．11．（5分）若直线l与曲线C满足下列两个条件：（ⅰ）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ⅱ）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的是．①直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2；②直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3；③直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx；④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx；⑤直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx．12．（5分）若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为．13．（5分）已知命题：“若数列{a n}为等差数列，且a m=a，a n=b（m＜n，m，n=”．现已知数列{b n}（b n＞0，n∈N*）为等比数列，∈N*），则a m+n且b m=a，b n=b（m＜n，m，n∈N*），若类比上述结论，则可得到b m+n=．14．（5分）假设实数m，n满足m2+n2=1，且f（x）=ax+msinx+ncosx的图象上存在两条切线互相垂直，则实数a的取值构成的集合为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥AD且2BC=AD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；（2）若平面PAB∩平面PCD=l，求证：直线l不平行于平面ABCD．（用反证法证明）17．（14分）圆O1的方程为x2+（y+1）2=4，圆O2的圆心O2（2，1）．（1）若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；（2）若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|=2．求圆O2的方程．18．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点p（1，0）处（即p为切点）的切线与直线3x+y=0平行．（1）求常数a、b的值；（2）求函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最小值和最大值．19．（16分）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点：（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k 的值；（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=lnx+﹣kx（k为常数）（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在极值，求f（x）的零点个数．四、（附加题）试卷21．（1）求函数f（x）=cos2（ax+b）的导函数；（2）证明：若函数f（x）可导且为周期函数，则f′（x）也为周期函数．22．设M、N为抛物线C：y=x2上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线l1、l2，与x轴分别交于A、B两点，且l1与l2相交于点P，若AB=1，求点P 的轨迹方程．23．如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB ⊥平面BCD，．（1）求点A到平面MBC的距离；（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．24．当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：∀n∈N*，e x﹣1＞．（n!=1•2•3•…•（n﹣1）n）2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题p：∀x∈R，x2+1＞0的否定是∃x∈R，x2+1≤0．【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，由规则写出否定命题即可【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2+1＞0”∴命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+1≤0”故答案为：∃x∈R，x2+1≤0．2．（5分）设复数z满足（3+4i）z+5=0（i是虚数单位），则复数z的模为1．【分析】直接移项已知方程，两边求模，化简即可．【解答】解：因为复数z满足（3+4i）z+5=0，所以（3+4i）z=﹣5，两边求模可得：|（3+4i）||z|=5，所以|z|=1．故答案为：1．3．（5分）“直线l∥平面α”是“直线l⊄平面α”成立的充分不必要条件（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个）．【分析】根据线面平行的定义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若直线l∥平面α，则直线l⊄平面α成立，若直线l⊄平面α，则直线l∥平面α或l与平面α相交，故“直线l∥平面α”是“直线l⊄平面α”成立的充分不必要条件，故答案为：充分不必要4．（5分）抛物线y=ax2的焦点坐标为（0，）．【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标．【解答】解：当a＞0时，整理抛物线方程得x2=y，即p=，由抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为（0，），所求焦点坐标为（0，）．当a＜0时，同样可得．故答案为：（0，）．5．（5分）函数y=+2lnx的单调减区间为（0，] ．【分析】先利用导数运算公式计算函数的导函数y′，再解不等式y′＜0，即可解得函数的单调递减区间【解答】解：∵=（x＞0）由y′＞0，得x＞，由y′＜0，得0＜x＜，∴函数的单调减区间为（0，]故答案为（0，]6．（5分）已知双曲线﹣=1的离心率为，则实数m的值为4．【分析】利用双曲线﹣=1的离心率为，可得，即可求出实数m 的值．【解答】解：∵双曲线﹣=1的离心率为，∴，∴m=4．故答案为：4．7．（5分）观察下列不等式：①1+＜；②1++＜；③1+++＜；…照此规律，第五个不等式为1+++++＜．【分析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式，再令n=5，即可得出第五个不等式【解答】解：由已知中的不等式1+，1++，…得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，故可以归纳出第n个不等式是1+…+＜，（n≥2），所以第五个不等式为1+++++＜故答案为：1+++++＜8．（5分）若“任意x∈R，不等式|x﹣1|﹣|x+1|＞a”为假命题，则实数a的取值范围为[﹣2，+∞）．【分析】利用已知判断出否命题为真命题，构造函数，利用绝对值的几何意义求出函数的最小值，令最小值不大于a，即可得到a的范围．【解答】解：由于“任意x∈R，不等式|x﹣1|﹣|x+1|＞a”为假命题，则命题“存在x∈R，不等式|x﹣1|﹣|x+1|≤a”为真命题．令y=|x﹣1|﹣|x+1|，y表示数轴上的点x到数﹣1及1的距离之差，所以y的最小值为﹣2，∴a≥﹣2．故答案为：[﹣2，+∞）．9．（5分）以直线3x﹣4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为（x+2）2+（y﹣）2=．【分析】根据直线3x﹣4y+12=0方程求出它与x轴、y轴交点A、B的坐标，从而得到AB中点为C（﹣2，），即为所求圆的圆心．再用两点的距离公式，算出半径r=|AB|=，最后根据圆的标准方程列式即可得到所求圆的方程．【解答】解：∵对直线3x﹣4y+12=0令x=0，得y=3；令y=0，得x=﹣4∴直线3x﹣4y+12=0交x轴于A（﹣4，0），交y轴于B（0，3）∵所求的圆以AB为直径∴该圆以AB中点C为圆心，半径长为|AB|∵AB中点C坐标为（，），即C（﹣2，）|AB|==∴圆C的方程为（x+2）2+（y﹣）2=，即（x+2）2+（y﹣）2=故答案为：（x+2）2+（y﹣）2=10．（5分）在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=a，BC=b，则△ABC的外接圆半径r=；类比到空间，若三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径R=．【分析】直角三角形外接圆半径为斜边长的一半，由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，将三棱锥补成一个长方体，其外接球的半径R为长方体对角线长的一半．【解答】解：若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c，可补成一个长方体，体对角线长为，∵体对角线就是外接球的直径，∴棱锥的外接球半径R=．故答案为：．11．（5分）若直线l与曲线C满足下列两个条件：（ⅰ）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ⅱ）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的是②④⑤．①直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2；②直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3；③直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx；④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx；⑤直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx．【分析】分别求出每一个命题中曲线C的导数，得到曲线在点P处的导数值，求出曲线在点P处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii），则正确的选项可求．【解答】解：对于①，由y=（x+1）2，得y′=2（x+1），则y′|x==0，﹣1而直线l：x=﹣1的斜率不存在，在点P（﹣1，0）处不与曲线C相切，故①错误；对于②，由y=x3，得y′=3x2，则y′|x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，故②正确；对于③，由y=lnx，得y′=，则y′|x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x﹣1，由g（x）=x﹣1﹣lnx，得g′（x）=1﹣，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x ∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．则g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．即y=x﹣1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，故③错误；对于④，由y=sinx，得y′=cosx，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，又x∈（﹣，0）时x＜sinx，x∈（0，）时x＞sinx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，故④正确；对于⑤，y=tanx的导数为y′=sec2x，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，又x∈（﹣，0）时x＞tanx，x∈（0，）时x＜tanx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，故⑤正确．故答案为：②④⑤．12．（5分）若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为（2，+∞）．【分析】由已知中曲线C的方程x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0，我们易求出圆的标准方程，进而确定圆的圆心为（﹣a，2a），圆的半径为2，然后根据曲线C：x2+y2+2ax ﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，易构造出关于a的不等式组，解不等式组，即可得到a的取值范围．【解答】解：由已知圆的方程为x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0则圆的标准方程为：（x+a）2+（y﹣2a）2=4故圆的圆心为（﹣a，2a），圆的半径为2若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，则a＞0，且|﹣a|＞2解得a＞2故a的取值范围为（2，+∞）故答案为：（2，+∞）13．（5分）已知命题：“若数列{a n}为等差数列，且a m=a，a n=b（m＜n，m，n=”．现已知数列{b n}（b n＞0，n∈N*）为等比数列，∈N*），则a m+n且b m=a，b n=b（m＜n，m，n∈N*），若类比上述结论，则可得到b m+n=．【分析】首先根据等差数列和等比数列的性质进行类比，等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的，等差数列中的可以类比等比数列中的，很快就能得到答案．【解答】解：等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的b n和a m，等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的，等差数列中的可以类比等比数列中的．故b m=，+n故答案为14．（5分）假设实数m，n满足m2+n2=1，且f（x）=ax+msinx+ncosx的图象上存在两条切线互相垂直，则实数a的取值构成的集合为{0} ．【分析】先利用辅助角公式和m2+n2=1将函数f（x）化简为f（x）=ax+sin（x+φ），求出f′（x），根据f（x）的图象上存在两条切线垂直，不妨设在x=b与x=c处的切线互相垂直，则由导数的几何意义，分别求出两条切线的斜率k1=f′（b）=a+cos（b+φ），k2=f′（c）=a+cos（c+φ），则[a+cos（b+φ）][a+cos（c+φ）]=﹣1，化简为关于a的一元二次方程要有实数根，从而得到△≥0，再利用三角函数的有界性，即可得到cos（b+φ）=1，cos（c+φ）=﹣1或者cos（b+φ）=﹣1，cos（c+φ）=1，代入到[a+cos（b+φ）][a+cos（c+φ）]=﹣1，即可求出a=0．【解答】解：∵f（x）=ax+msinx+ncosx∴f（x）=ax+sin（x+φ），∵m2+n2=1，∴f（x）=ax+sin（x+φ），∴f′（x）=a+cos（x+φ），∵f（x）=ax+msinx+ncosx的图象上存在两条切线垂直，设在x=b与x=c处的切线互相垂直，则k1=f′（b）=a+cos（b+φ），k2=f′（c）=a+cos（c+φ），∴k1•k2=﹣1，即[a+cos（b+φ）][a+cos（c+φ）]=﹣1，∴关于a的二次方程a2+[cos（b+φ）+cos（c+φ）]a+cos（b+φ）cos（c+φ）+1=0有实数根，∴△=[cos（b+φ）+cos（c+φ）]2﹣4×[cos（b+φ）cos（c+φ）+1]=[cos（b+φ）﹣cos（c+φ）]2﹣4≥0，又∵﹣2≤cos（b+φ）﹣cos（c+φ）≤2，∴[cos（b+φ）﹣cos（c+φ）]2≤4，即[cos（b+φ）﹣cos（c+φ）]2﹣4≤0，∴[cos（b+φ）﹣cos（c+φ）]2﹣4=0∴cos（b+φ）=1，cos（c+φ）=﹣1或者cos（b+φ）=﹣1，cos（c+φ）=1，∵[a+cos（b+φ）][a+cos（c+φ）]=﹣1，∴a2﹣1=﹣1，∴a=0，故答案为：{0}．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】思路一：“按题索骥”﹣﹣解不等式，求否命题，再根据充要条件的集合表示进行求解；思路二：本题也可以根据四种命题间的关系进行等价转换，然后再根据充要条件的集合表示进行求解．【解答】解：解法一：由p：|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴“非p”：A={x|x＞10或x＜﹣2}、（3分）由q：x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴“非q”：B={x|x＞1+m或x＜1﹣m，m＞0=（6分）由“非p”是“非q”的必要而不充分条件可知：B⊆A.解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．（12分）解法二：由“非p”是“非q”的必要而不充分条件．即“非q”⇒“非p”，但“非p”“非q”，可以等价转换为它的逆否命题：“p⇒q，但q p”．即p是q的充分而不必要条件．由|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴p={x|﹣2≤x≤10}由x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴q={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}由p是q的充分而不必要条件可知：p⊆q⇔解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥AD且2BC=AD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；（2）若平面PAB∩平面PCD=l，求证：直线l不平行于平面ABCD．（用反证法证明）（1）自P作PH⊥AB于H，由平面PAB⊥平面ABCD，可得PH⊥平面ABCD．于【分析】是BC⊥PH．又BC⊥PB，可得BC⊥平面PAB，即可证明平面PBC⊥平面PAB；（2）利用反证法，证明AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形，得到矛盾即可得到结论．【解答】（1）证明：自P作PH⊥AB于H，因为平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，PH⊂平面PAB，所以PH⊥平面ABCD．因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PH．因为∠PBC=90°，所以BC⊥PB，而∠PBA≠90°，于是点H与B不重合，即PB∩PH=P．因为PB，PH⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．因为BC⊂平面PBC，故平面PBC⊥平面PAB；（2）不平行，反证法：假设直线l平行于平面ABCD，由于l⊂平面PCD，且平面PCD∩平面ABCD=CD，∴l∥CD，同理可得l∥AB，即AB∥CD，∵BC∥AD，∴四边形ABCD为梯形，则AD=BC，与2BC=AD矛盾，故假设不成立，即直线l不平行于平面ABCD．17．（14分）圆O1的方程为x2+（y+1）2=4，圆O2的圆心O2（2，1）．（1）若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；（2）若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|=2．求圆O2的方程．【分析】（1）通过圆心距对于半径和，求出圆的半径，即可求出圆的方程．（2）利用圆心距与写出的故选求出，圆到直线的距离，然后求出所求圆的半径，即可求出圆的方程．【解答】解：（1）圆O1的方程为x2+（y+1）2=4，圆心坐标（0，﹣1），半径为：2，圆O2的圆心O2（2，1）．圆心距为：=2，圆O2与圆O1外切，所求圆的半径为：2，圆O2的方程（x﹣2）2+（y﹣1）2=12﹣8，（2）圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|=2．所以圆O1交到AB的距离为：=，当圆O2到AB的距离为：，圆O2的半径为：=2．圆O2的方程：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．当圆O2到AB的距离为：3，圆O2的半径为：=．圆O2的方程：（x﹣2）2+（y﹣1）2=20．综上：圆O2的方程：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4或（x﹣2）2+（y﹣1）2=20．18．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点p（1，0）处（即p为切点）的切线与直线3x+y=0平行．（1）求常数a、b的值；（2）求函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最小值和最大值．【分析】（1）由题目条件知，点P（1，0）为切点，且函数在改点处的导数值为切线的斜率，从而建立关于a，b的方程，可求得a，b的值；（2）由（1）确定了函数及其导数的解析式，解不等式f'（x）＞0与f'（x）＜0，可求出函数的单调区间，讨论t与区间（0，2]的位置关系，根据函数的单调性分别求出函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最小值和最大值．【解答】解：（1）f'（x）=3x2+2ax，因为函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点p（1，0）处（即p为切点）的切线与直线3x+y=0平行，所以f'（1）=3+2a=﹣3，∴a=﹣3．又f（1）=a+b+1=0∴b=2．综上：a=﹣3，b=2（2）由（1）知，f（x）=x3﹣3x2+2，f'（x）=3x2﹣6x．令f'（x）＞0得：x＜0或x＞2，f'（x）＜0得：0＜x＜2∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（2，+∞），单调递减区间为（0，2）．又f（0）=2，f（3）=2∴当0＜t≤2时，f（x）的最大值为f（0）=2，最小值为f（t）=t3﹣3t2+2；当2＜t≤3时，f（x）的最大值为f（0）=2，最小值为f（2）=﹣2；当t＞3时，f（x）的最大值为f（t）=t3﹣3t2+2，最小值为f（2）=﹣2 19．（16分）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点：（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据题意可求得b，进而根据离心率求得a和c，则椭圆的方程可得．（Ⅱ）设出直线AB的方程，与椭圆方程联立消去y，表示出x1+x2和x1x2，利用建立方程求得k．（Ⅲ）先看当直线的斜率不存在时，可推断出x1=x2，y1=﹣y2，根据=0求得x1和y1的关系式，代入椭圆的方程求得|x1|和|y1|求得三角形的面积；再看当直线斜率存在时，设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用=0求得2b2﹣k2=4，最后利用弦长公式和三角形面积公式求得答案．【解答】解：（Ⅰ）2b=2．b=1，e=椭圆的方程为（Ⅱ）由题意，设AB的方程为y=kx+由已知=0得：=，解得k=±（Ⅲ）（1）当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=﹣y2，由=0，则又A（x1，y1）在椭圆上，所以S=所以三角形的面积为定值（2）当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+b得到x1+x2=代入整理得：2b2﹣k2=4=所以三角形的面积为定值20．（16分）已知函数f（x）=lnx+﹣kx（k为常数）（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在极值，求f（x）的零点个数．【分析】（1）先求出f′（x）=，而方程x2﹣kx+1=0的判别式△=k2﹣4，再讨论（i）当﹣2＜k＜2时（ii）当k=±2时，（iii）当k＜﹣2或k＞2时的情况，从而求出函数的单调区间；（x）=f（x1）=＜0，当x∈（0，（2）由（1）知当k＞2时，得f极大值x2]时，f（x）≤f（x1）＜0，即f（x）在（0，x2]无零点，当x∈（x2，+∞）时，f（x）是增函数，故f（x）在（x2，+∞）至多有一个零点，另一方面，f （x）在（x2，2k）至少有一个零点，进而当f（x）存在极值时，f（x）有且只有一个零点．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=，方程x2﹣kx+1=0的判别式△=k2﹣4，（i）当﹣2＜k＜2时，△＜0，在f（x）的定义域内f′（x）＞0，f（x）是增函数；（ii）当k=±2时，△=0，若k=﹣2，f′（x）=＞0，f（x）是增函数若k=2，f′（x）=，那么x∈（0，1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，且f（x）在x=1处连续，所以f（x）是增函数；（iii）当k＜﹣2或k＞2时，△＞0，方程x2﹣kx+1=0有两不等实根x1=，x2=，当k＜﹣2时，x1＜x2＜0，当x＞0时，x2﹣kx+1＞0恒成立，即f′（x）＞0，f（x）是增函数当k＞2时，x2＞x1＞0，此时f（x）的单调性如下表：综上：当k≤2时，f（x）在（0，+∞）是增函数当k＞2时，f（x）在（0，），（，+∞）是增函数，在（，）是减函数；（2）由（1）知当k＞2时，f（x）有极值∵x1==＜＜1，∴lnx1＜0，（x）=f（x1）=＜0，且f极大值∵f（x）在（0，x1）是增函数，在（x1，x2）是减函数，∴当x∈（0，x2]时，f（x）≤f（x1）＜0，即f（x）在（0，x2]无零点，当x∈（x2，+∞）时，f（x）是增函数，故f（x）在（x2，+∞）至多有一个零点，另一方面，∵f（2k）=ln（2k）＞0，f（x2）＜0，则f（x2）f（2k）＜0，由零点定理：f（x）在（x2，2k）至少有一个零点，∴f（x）在（x2，+∞）有且只有一个零点综上所述，当f（x）存在极值时，f（x）有且只有一个零点．四、（附加题）试卷21．（1）求函数f（x）=cos2（ax+b）的导函数；（2）证明：若函数f（x）可导且为周期函数，则f′（x）也为周期函数．【分析】（1）利用倍角公式降幂，然后利用基本初等函数的导数公式及简单的复合函数的导数得答案；（2）函数f（x）可导且为周期函数，则存在a≠0，使得f（x+a）=f（x），两边对x求导数即可证明f′（x）也为周期函数．【解答】（1）解：由f（x）=cos2（ax+b）=，得=﹣asin（2ax+2b）；（2）证明：函数f（x）可导且为周期函数，则存在a≠0，使得f（x+a）=f（x），两边对x求导得f'（x+a）=f'（x），∴以f'（x）是以a为周期的周期函数．22．设M、N为抛物线C：y=x2上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线l1、l2，与x轴分别交于A、B两点，且l1与l2相交于点P，若AB=1，求点P 的轨迹方程．【分析】设P（x，y），M（x1，x12），N（x2，x22），由导数求得两直线的斜率，用点斜式求得l1 的方程，同理求得l2的方程，由此建立x，y 的方程．【解答】解：设P（x，y），M（x1，x12），N（x2，x22），由y=x2，得y′=2x，∴=2x1，∴l1 的方程为y﹣x12=2x1（x﹣x1），即y=2x1x﹣x12①，同理，l2的方程为y=2x2x﹣x22②，令y=0，可求出A（，0），B（，0）．∵|AB|=1，∴|x1﹣x2|=2，即|x1+x2|2﹣4x1x2 =4，由①，②，得，y=x1x2，故点P（，x1x2）．∴点P的轨迹方程为：y=x2﹣1，23．如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB ⊥平面BCD，．（1）求点A到平面MBC的距离；（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．【分析】（1）取CD的中点，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD ⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，故MO∥AB，A，B，O，M共面，延长AM，BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，由此能求出点A到平面MBC的距离．（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线，由（1）知，O是BE的中点，则BCED 是菱形，作BF⊥EC于F，连接AF，∠AFB是二面角A﹣EC﹣B的平面角，由此能求出平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）取CD的中点，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，∴MO∥AB，A，B，O，M共面，延长AM，BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，OB=MO=，MO∥AB，MO∥面ABC，M，O到平面ABC的距离相等，作OH⊥BC于H，连接MH，则MH⊥BC，∴OH=OC•sin60°=，MH=，∵V A=V M﹣ABC，﹣MBC∴d=．（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线，由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形，作BF⊥EC于F，连接AF，∠AFB是二面角A﹣EC﹣B的平面角，设为θ，∵∠BCE=120°，∴∠BCF=60°，BF=BC•sin60°=，tanθ=，sinθ=，所以平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值为．24．当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：∀n∈N*，e x﹣1＞．（n!=1•2•3•…•（n﹣1）n）【分析】构造函数g n（x）=e x﹣1﹣，当n=1时，只需证明g1（x）=e x﹣1﹣x＞0（利用导数法易证）；当x∈（1，+∞）时，假设n=k时不等式成立，即g k（x）=e x﹣1﹣＞0，去证明当n=k+1时，不等式也成立，从而证得结论成立即可．【解答】证明：设g n（x）=e x﹣1﹣，当n=1时，只需证明g1（x）=e x﹣1﹣x＞0，当x∈（1，+∞）时，g1′（x）=e x﹣1﹣1＞0，所以g1（x）=e x﹣1﹣x在（1，+∞）上是增函数，∴g1（x）＞g1（1）=e0﹣1=0，即e x﹣1＞x；当x∈（1，+∞）时，假设n=k时不等式成立，即g k（x）=e x﹣1﹣＞0，当n=k+1时，因为g k′（x）=e x﹣1﹣=e x﹣1﹣＞0，+1（x）在（1，+∞）上也是增函数．所以g k+1所以g（x）＞g k（1）=e0﹣=1﹣＞0，+1即当n=k+1时，不等式成立．由归纳原理，知当x∈（1，+∞）时，∀n∈N*，e x﹣1﹣．。
南通市启东市2015-2016学年高二下期末数学试卷含答案解析(初中数学试卷)
2015-2016 学年江苏省南通市启东市高二(下)期末数学试卷I 卷一、填空题(共14 小题，每小题5 分，满分70 分)1 已知集合P={1, 2, 3, 4}, Q={0, 3, 4, 5}，则P Q Q= ____________ .2•函数f (x) =+的定义域为_________ .3.用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本，将480名学生随机地编号为1 -480 •按编号顺序平均分为20个组(1〜24号，25〜48号，…，457〜480号)，若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3,则第4组抽取的号码为__________4•如图所示的流程图，输入的a=2017 , b=2016，则输出的b= __________ .5•在一个盒子中有分别标有数字 1 , 2, 3, 3, 4的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率是 ____________ •6•某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩, 并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图 (如图), 则成绩在[300, 350)内的学生人数共有_______________ •7•如图所示，该伪代码运行的结果为___________ •&已知函数f (x) =| lgx| ,若存在互不相等的实数a, b，使f ( a) =f (b)，则ab= ________ 9. ___________________________________________________________________若函数f (x) =x3- a/+1在x= - 4处取得极大值，则实数a的值为_____________________________ •10. ___________________________________________ 已知函数f (x)=，贝U f (log23+2016) = ______________________________________________ .11 •若不等式x2- 2ax- b2+12< 0恰有一解，则ab的最大值为 ___________ •12.在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f ( x) =lnx (x> 1)的图象上的动点，该图象在P处的切线I交x轴于点M ,过点P作I的垂线交x轴于点N,设线段MN的中点的横坐标为t,则t的最大值是______________________________ .13．已知函数f( x) =,若函数y=f( f( x))- k 有3 个不同的零点,则实数k 的取值范围是14. 设函数f (x) =lnx + , m€ R，若对任意X2>x1> 0, f(x2)- f(x1)v x2 - x1 恒成立，则实数m 的取值范围是_________二、解答题(共 6 小题,满分90分)15. 设关于x的不等式(x+2) (a- x) > 0 ( a€ R)的解集为M ,不等式x2- 2x -3W 0的解集为N，且M A N=[ - 1, 2](1)求实数 a 的值；(2)若在集合M U N中任取一个实数x,求x € M Q N”的概率.16. 函数f (x) = (a、b、c€ Z)是奇函数，且f (1) =2 , f (2)v 3(1 )求a、b、 c 的值；(2)当x v 0时，求函数f (x)的单调区间.17•启东市某中学传媒班有30名男同学，20名女同学，在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本组成课外兴趣小组.(1)求该传媒班某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；(2)经过一个月的学习、讨论,决定在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验,方法是先从小组里选出 1 名同学做实验, 该同学做完后, 再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；(3)实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为68，70，71，72，74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪次做实验的同学的实验更稳定？并说明理由．218．已知a 为实数，函数f(x)=(x +1)(x+a)(1)若函数f (X)在R上存在极值，求实数a的取值范围；(2 )若f (1) =0，求函数f (x)在区间［-1,］上的最大值和最小值；(3)若函数f (x)在区间［-1,］上不具有单调性，求实数a的取值范围.219．已知二次函数f( x) =ax +bx+c．(1 )若f (- 1) =0，试判断函数f (x)的零点个数；(2)是否存在实数a, b, c,使得f (x)同时满足以下条件：①对？ x € R, f (x - 2) =f (- x);②对？ x € R, O W f (x)- x<( x- 1) 2?如果存在，求出a, b, c的值，如果不存在，请说明理由．x 3 220．已知函数f(x) =(x- 1) e - ax - x +1(a€ R)．(1 )当a=0时，求f (x)的单调区间；(2 )若在区间［0, +R)上关于x的不等式f (x)> 0恒成立，求实数a的取值范围.II 卷21. 已知矩阵A 将点( 1, 0)变换为( 2, 3),且属于特征值3 的一个特征向量是,求矩阵A.22. 已知曲线C的极坐标方程是p=2sin 0,直线I的参数方程是(t为参数).设直线I与x 轴的交点是M，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值.23. 某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行 4 次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核，若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过，且他直到参加第二次考核才合格的概率为.(1)求小李第一次参加考核就合格的概率p1；(2)求小李参加考核的次数X 的分布列和数学期望E( X).24. 已知函数f(x) =In (2x+a) - 4x2- 2x 在x=0 处取得极值.(1)求实数a的值，并讨论f (x)的单调性；(2)证明：对任意的正整数n,不等式2+++・・+ >In (n+1)都成立.2015-2016 学年江苏省南通市启东市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析I 卷一、填空题（共14 小题，每小题5 分，满分70 分）1 已知集合P={1, 2, 3, 4}, Q={0, 3, 4, 5}，则P Q Q={3, 4}.【考点】交集及其运算．【分析】根据交集的定义,进行计算即可.【解答】解：集合P={1, 2, 3, 4} , Q={0, 3, 4, 5}, 所以P A Q={3, 4}.故答案为：{3, 4} .2.函数f （x）=+的定义域为[-3, 1].【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质得到关于x 的不等式组,求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：-3< X W 1,故答案为：[-3, 1].3.用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本，将480名学生随机地编号为1 - 480.按编号顺序平均分为20个组（1〜24号，25〜48号，…，457〜480号），若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3,则第 4 组抽取的号码为75．【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔进行求解即可．【解答】解：用系统抽样的方法从480 名学生中抽取容量为20 的样本．则样本间隔为480十20=24 ,若第 1 组用抽签的方法确定抽出的号码为3,则第4组抽取的号码为3+24 X 3=75 ,故答案为：754•如图所示的流程图，输入的a=2017 , b=2016，则输出的b=2017 .考点】程序框图.分析】模拟执行程序,根据赋值语句的功能依次计算a, b 的值即可得解.解答】解：模拟程序的运行,可得a=2017, b=2016, a=2017+2016=4033 b=4033 - 2016=2017 输出a 的值为4033, b 的值为2017. 故答案为：2017.5．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，3，4的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出在取到的卡片上的数字之和为偶数包含的基本事件个数，由此能求出在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率．【解答】解：在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，3，4的5张卡片，现从中一次取出 2 张卡片，基本事件总数n==10 ，在取到的卡片上的数字之和为偶数包含的基本事件个数m==4 ，•••在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率p= •故答案为：．6．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图 (如图)，则成绩在[ 300，350)内的学生人数共有300．【考点】频率分布直方图．【分析】结合图形，求出成绩在[ 300，350)内的学生人数的频率，即可求出成绩在[ 300，350)内的学生人数．【解答】解：根据题意，成绩在[ 300，350)内的学生人数的频率为1 -( 0.001+0.001+0.004+0.005+0.003)X 50=1 - 0.7=0.3,•••成绩在[300, 350)内的学生人数为：1000 X 0.3=300 ;故答案为：300 •7•如图所示，该伪代码运行的结果为9 • 【考点】伪代码．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S, i的值，当S=25时不满足条件S W 20, 退出循环,输出i 的值为9．【解答】解：模拟执行程序,可得i=1 , S=1满足条件S w 20,执行循环体，i=3 , S=4满足条件S< 20,执行循环体，i=5 , S=9 满足条件S w 20,执行循环体, i=7, S=16 满足条件S w 20,执行循环体, i=9, S=25此时，不满足条件S w 20,退出循环，输出i的值为9•故答案为：9 •8已知函数f (x) =|lgx|，若存在互不相等的实数a, b，使f ( a) =f ( b),贝U ab=1.【考点】对数函数的图象与性质.【分析】若互不相等的实数a, b，使f (a) =f (b)，则1ga=- lgb，结合对数的运算性质, 可得答案. 【解答】解：•••函数f (x) =| lgx| ,若互不相等的实数a, b，使f (a) =f (b),则1ga= - lgb ,即lga+lgb=lg （ab）=0，••• ab=1,故答案为：19.若函数f (x) =x3- ax2+1在x= - 4处取得极大值，则实数a的值为-2.【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出a的值即可.【解答】解：f' (x) =x2- 2ax=x (x- 2a),令f'(x) =0，解得；x=0 或x=2a,32若函数f(x) =x3- ax2+1 在x=- 4处取得极大值，则2a=- 4，解得：a=- 2，故答案为：- 2.10.已知函数f(x) =，则f(log23+2016) =.【考点】函数的值.【分析】利用分段函数及对数、指数性质及运算法则求解.【解答】解：•••函数f (x)=,• f(log23+2016) =f(log23- 1 ) ===.故答案为：.11•若不等式x2- 2ax- b2+12w 0恰有一解，则ab的最大值为6.【考点】一元二次不等式的解法.22【分析】根据题意厶=0，得出a +b =4，利用基本不等式ab w即可求出ab的最大值.【解答】解：不等式x2- 2ax - b2+12 w 0恰有一解，所以△ =4a2- 4 (- b2+12) =4a2+4b2- 48=0 ,即a2+b2=12；所以ab w =6，当且仅当a=b= 土时，="成立；即ab 的最大值为6.故答案为：6.12. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f ( x) =lnx (x> 1)的图象上的动点，该图象在P处的切线I交x轴于点M ,过点P作I的垂线交x轴于点N,设线段MN的中点的横坐标为t,则t的最大值是. 【考点】利用导数研究函数的极值；对数函数的图象与性质.【分析】由题意设点P的坐标为(m, Inm)；从而写出直线方程，从而得到M (m - mlnm , 0), N (m+, 0)；从而求得t= (2m+- ml nm) (m > 1 )；再由导数求最值即可【解答】解：设点P的坐标为(m, Inm);f'( m) =；则切线I 的方程为y- Inm=(x- m)；I 的垂线的方程为y- Inm=- m(x- m)；令y=0 解得,M(m- mInm , 0), N( m+, 0)；故t= ( 2m+- mInm )( m> 1 )；t =;故t= (2m+ - mlnm )先增后减, 故最大值为(2e+ - e)=;故答案为：13. 已知函数f (x)=，若函数y=f (f (x)) - k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是-2w k v- 1.【考点】函数零点的判定定理.【分析】作出函数y=f (f (x))的图象，即可确定实数k的取值范围.【解答】解：由题意，x<- 1, f (x) =1 - x2w 0, f (f (x)) =1 -( 1 - x2) 2;2 2—1 v x< 0, f (x) =1 —x > 0, f ( f (x)) = —2+x ；2x> 0, f (x) = - x - 1 v 0, f ( f (x) ) =1 -( - x - 1).函数y=f (f (x))的图象如图所示，•••函数y=f (f (x))- k有3个不同的零点，2< k v- 1.故答案为：-2< k v- 1.14. 设函数f (x) =lnx + , m€ R，若对任意X2>X1> 0, f (X2)- f (X1)v X2 - X1 恒成立，则实数m 的取值范围是［,+R).【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】问题转化为函数g (x) =f (x) - x=lnx + - x在(0, +s)递减，即m》x - x2在(0, +8)恒成立，求出m的范围即可.【解答】解：若对任意X2> X1> 0 , f ( X2)- f (X1)v X2 - X1恒成立，即若对任意X2>x1> 0, f (x2) - x2v f (X1) - x1恒成立，即函数g (x) =f ( x)- x=lnx + - x 在(0, +8)递减，g' (x) = w 0 在(0, +8)恒成立，即m》x - x2在(0, +8)恒成立，而x —x2=——w,m》，故答案为：［,+8).、解答题(共6小题，满分90 分)215. 设关于x的不等式(x+2) (a- x)> 0 ( a€ R)的解集为M ,不等式x - 2x - 3w 0的解集为N，且M Q N=[ - 1, 2]( 1 )求实数 a 的值；(2)若在集合M U N中任取一个实数X,求“ € M Q N”的概率.【考点】几何概型；一元二次不等式的解法.【分析】(1)根据不等式的解法先求出N，根据M AN=[ - 1, 2]，得到2是方程(x+2) (a- x) =0 的根,进行求解即可.(2 )求出集合M，以及M U N，根据几何概型的概率公式进行计算即可.【解答】解：(1)由x2- 2x - 3< 0 得(x+1) (x-3)< 0，得-1 < x w 3,即N=[ - 1，3]，•/ M n N=[ - 1，2]••• 2 是方程(x+2) (a- x) =0 的根，贝U 4 (a- 2) =0，得a=2，(2)当a=2 时，x+2) (a- x)> 0 等价为x+2) ( 2- x)> 0 得-2w x w 2，即卩M= [ - 2，2]，贝M U N=[ - 2，3] ，•/ M n N=[ - 1，2]•在集合M U N中任取一个实数X，求x € M n N”的概率P==.16. 函数f (x) = (a、b、c€ Z)是奇函数，且f (1) =2，f (2)v 3( 1 )求a、 b 、 c 的值；(2)当x v 0时，求函数f (x)的单调区间.【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明.【分析】( 1)由条件利用函数的奇偶性求得a、b、 c 的值.(2)当x v 0 时，根据函数f( x) =x+ 的图象，利用导数求得它的单调区间.【解答】解：(1)v函数f (x) = (a、b、c€ Z)是奇函数，• f (- x) == - f (x) =-，•. c=0.又••• f (1) =2，• ==2，• a+仁2b .根据 f (2) = v 3，「. a=b=1. 综上可得，a=b=1 ，c=0.(2)当x v 0 时，函数f ( x) ==x+，「. f' (x) =1 -，令f' (x) =0，求得x= - 1，在(-a，- 1) 上, f' (x)> 0，函数f (x )单掉递增，在(-1，0) 上, f (x) v 0，函数f (x)单掉递减，故单调增区间为(- a，- 1)，单调减区间为(- 1，0).17. 启东市某中学传媒班有30 名男同学，20 名女同学，在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本组成课外兴趣小组.(1)求该传媒班某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；(2)经过一个月的学习、讨论，决定在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1 名同学做实验，该同学做完后，再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；(3)实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为68，70，71，72，74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪次做实验的同学的实验更稳定？并说明理由.【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数.【分析】( 1)由等可能事件概率计算公式先求出该传媒班某同学被抽到的概率，由此利用分层抽样能求出课外兴趣小组中男同学的人数和课外兴趣小组中女同学的人数.(2)先求出基本事件总数，由此能求出选出的两名同学中恰有一名女同学的概率． (3)分别求出两次做实验的同学得到的实验数据的平均数和方差，由此能求出结果．【解答】解：(1)v启东市某中学传媒班有30名男同学，20名女同学，在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本组成课外兴趣小组，•••该传媒班某同学被抽到的概率p==.课外兴趣小组中男同学的人数为：30 X =3人，课外兴趣小组中女同学的人数为：20 X =2人.(2)在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出 1 名同学做实验，该同学做完后，再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验，基本事件总数n=5X 4=20，•选出的两名同学中恰有一名女同学的概率：p==．(3)第一次做实验的同学得到的实验数据的平均数为：=(68+70+71+72+74) =71，第一次做实验的同学得到的实验数据的方差为：S2= ［(68 - 71) 2+ (70 - 71 ) 2+ ( 71 - 71) 2+ ( 72 - 71) 2+ (74 - 71) 2］ =4 .218. 已知a为实数，函数f (x) = (x +1) (x+a)(1)若函数f (x)在R上存在极值，求实数a的取值范围；(2 )若f (1) =0，求函数f (x)在区间［-1,］上的最大值和最小值；第二次做实验的同学得到的实验数据的平均数为：= (69+70+70+72+74) =71 ，第二次做实验的同学得到的实验数据的方差为：'2 2 2 2 2 2 S'2= ［(69- 71) 2+(70- 71) 2+(70- 71) 2+(72- 71) 2+(74- 71) 2］=．•/ =, S2v S'2,「.第二次做实验的同学的实验更稳定.• •• f (x)在［-1,递增，在(，］递减，二 f (X) max=f () =, f (x) min=f (- 1) = - 2;(3)由(1)得：f'(X) =3x2+2ax+1，对称轴x=-,若函数f(X)在区间［-1,］上不具有单调性，则f(x)在［-1,］有解，而 f (0) =1 >0,•只需或，解得：v a v 3或a> 3,故a>．219．已知二次函数f( x) =ax2+bx+c．(1 )若f (- 1) =0，试判断函数f (x)的零点个数；(2)是否存在实数a, b, c,使得f (x)同时满足以下条件：①对？ x € R, f (x - 2) =f (- x);2②对？ x € R, O w f (x)- x<( x- 1) ?如果存在，求出a, b, c的值，如果不存在，请说明理由．【考点】二次函数的性质；函数零点的判定定理．【分析】(1)将x= - 1代入得到关于a、b、c的关系式，再由△确定零点个数；( 2)假设存在a, b, c€ R 使得条件成立,由① 可知函数f (x)的对称轴是x= - 1，令最值为0，由此可知a=c；由② 知将x=1 代入可求的a、 c 与 b 的值,最后验证成立即可．2【解答】解：(1)二次函数f(x) =ax2+bx+c 中, f(- 1) =0,所以a- b+c=0,即b=a+c；2 2 2又^ =b - 4ac= (a+c) - 4ac= (a- c) ,当a=c时厶=0,函数f (x)有一个零点；当c时，△> 0,函数f (x)有两个零点；( )假设a，b，c 存在，由① 知抛物线的对称轴为x=- 1，所以- =- 1,即b= a；不妨令f (x)的最值为0,则=0,即b=4ac,(3)若函数f (x)在区间［-1,］上不具有单调性，求实数a的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】(1 )求出函数的导数，得到f'( x) =0有两个不相等的实数根，根据△>0,求出a的范围即可；(2)根据f'( 1) =0,求出a,得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可；(3)若函数f (x)在区间［-1,］上不具有单调性，得到f' (x )在［-1,］有解，根据二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可.【解答】解：(1)： f (x) = (x2+1) (x+a) =x3+ax2+x+a,• f ' (x) =3x2+2ax+1,若函数f (x)在R上存在极值，则f' ( x) =0有两个不相等的实数根，••△=4a2- 12> 0，解得：a>或a v-;所以4a =4ac,得出a=c；由②知对？ x € R，都有0w f (x)- x w( x- 1) 2,不妨令x=1，可得O w f (1)- 1w 0,即f( 1 )- 1=0,所以f(1) =1,即a+b+c=1 ；由解得a=c=, b=；当a=c=, b=时，f (x) =x2+x+= (x+1) 2,其顶点为(-1, 0)满足条件①，又f (x) - x= (x+1) 2,所以对？ x€ R,都有0w f (x) - x w( x+1) 2,满足条件②. 所以存在a=, b=, c=时，f (x)同时满足条件①、②.x 3 220. 已知函数f(x)=(x- 1)e x- ax3- x2+1(a€ R).(1 )当a=0时，求f (x)的单调区间；(2)若在区间［0, +s)上关于x的不等式f (x)> 0恒成立，求实数a的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】( 1)求出函数的导数，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；(2)求出函数的导数，构造函数g (x) =e x- ax- 1, (x>0),通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可.【解答】解：(1) a=0时，f (x) = (x- 1) e x- x2+1,f'(x) =xe x- x=x (e x- 1 )> 0,x> 0 时，e x- 1 > 0, x v 0 时，e x-1v 0,•••f (x)在R递增；(2) f (x) = (x - 1) e x- ax3- x2+1, (x > 0),f' (x) =x (e x- ax - 1), 令g (x) =e x- ax - 1, (x > 0),xg' (x) =e - a,①a< 1 时，g' (x)A 0, g (x)在［0, +^)递增，••• g(x )> g (0) =0,即f' (x) > 0,• f (x) > f (0) =0，成立，②当a> 1 时，存在x o€ ［0, +s),使g (x o) =0，即f' (x o) =0 ,当x€ ［ 0, x°)时，f' (x) v 0,• f (x)在［0, x°)上单调递减，•-f (x) v f (0) =0，这与f(X)A 0在［0, +8)上恒成立矛盾，综上：a w 1.II 卷21. 已知矩阵A 将点( 1, 0)变换为( 2, 3),且属于特征值3 的一个特征向量是,求矩阵A.【考点】特征值与特征向量的计算.【分析】先设矩阵，这里a, b, c, d € R,由二阶矩阵M有特征值入=3及对应的一个特征向量及矩阵M对应的变换将点(1, 0)变换为(2, 3),得到关于a, b, c, d的方程组，即可求得矩阵M.【解答】解：设，由得，，…由得,,所以所以. …22. 已知曲线C的极坐标方程是p=2sin 0,直线I的参数方程是(t为参数).设直线I与x 轴的交点是M，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值.【考点】简单曲线的极坐标方程.2 2 2【分析】利用x2+y2= p2, x= p cos 0, y= psin 0,可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程. 将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程：，令y=0 ,可得M点的坐标为(2, 0).禾U用| MN | w | MC |+ r即可得出.2 2 2 2【解答】解：曲线C的极坐标方程可化为p =2 p in 0.又x +y = p , x= pcos0, y= p in 0, •曲线C的直角坐标方程为x2+y2- 2y=0 .将直线l 的参数方程消去t 化为直角坐标方程：，令y=0，得x=2，即M点的坐标为(2, 0).又曲线C的圆心坐标为(0, 1),半径r=1，则,23. 某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核，若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过，且他直到参加第二次考核才合格的概率为.(1 )求小李第一次参加考核就合格的概率P1；(2 )求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望 E ( X).【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列.【分析】(1)由题意利用相互独立事件概率乘法公式能求出小李第一次参加考核就合格的概率.(2)小李4次考核每次合格的概率依次为：，由题意小李参加考核的次数X的可能取值为1, 2, 3, 4,分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E (X).【解答】解：(1)由题意得，解得或，•••他参加第一次考核合格的概率超过，即，•••小李第一次参加考核就合格的概率p1=.(2 )•••小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，且小李第一次参加考核就合格的概率P1=，•小李4次考核每次合格的概率依次为：，由题意小李参加考核的次数X的可能取值为1，2，3，4，P (X=1)=，P (X=2 ) = (1 -)X =，P (X=3 ) = (1 -) ( 1-)X =，P (X=4 ) = (1 -) ( 1 -) (1 -)X 1 =，• X的分布列为：故- 2X 0- 1=0 ,解得a=1，经检验a=1符合题意，则实数 a 的值为1，2•••f (x) =ln (2x+1) - 4x2-2x, (x>-),f' (x) =2 (- 2x - 1)=,令f( x)> 0,解得：-v x v 0,令f'( x )v 0，解得：x> 0,• f (x)在(-,0)递增，在(0, +s)递减；(2) f (x)的定义域为{x| x>- },由(1)得：f (x)在(-,0)递增，在(0, +8)递减，• f (x) < f (0),故In (2x+1)- 4x2- 2x < 0 (当且仅当x=0 时，等号成立) 对任意正整数n,取2x= > 0得，In (+1 )v +,•In()v,故2+++・・ + >In2+In+ln + -+In=ln (n+1).2016 年9 月7 日(2) f ' (x) =3x2+2ax+1,若f'(1) =0,即3+2a+ 仁0,解得：a=- 2,• f ' (x) = (3x - 1) (x - 1),x€ ［- 1,］时，x - 1v 0,令 f ' ( x)> 0,解得：X V,令 f ' (x)v 0，解得：x>,224. 已知函数f (x) =ln (2x+a)- 4x - 2x在x=0处取得极值.(1)求实数a的值，并讨论f (x)的单调性；(2)证明：对任意的正整数n，不等式2+++・・+ >In (n+1)都成立. 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(1)函数f (x) =ln ( 2x+a) - 4x2- 2x，对其进行求导，在x=0处取得极值，可得f'(0) =0，求得a值，求出f (x)的表达式，从而求出函数的单调区间即可；(2) f (x) =ln (2x+1)- 4x2- 2x的定义域为｛x| x >- 1｝，利用导数研究其单调性，可以推出In (x+1)- x2- x w 0,令x=，可以得到In (+1)v +，利用此不等式进行放缩证明.【解答】解：(1)函数 f ( x) =ln (2x+a)- 4x2- 2xf' (x) =2 (- 2x - 1)，当x=0时，f (x)取得极值，• f ( 0) =0。
【KS5U解析】2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二(下)第二次质检数学试卷(理科) ]
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2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次质检数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设集合A={﹣1，0，，3}，B={x|x2≥1}，则A∩B=．2．某单位有职工52人，现将所有职工按l、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是．3．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．4．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为．5．若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为．6．若|z﹣i|=1，则|z|最大值为．7．已知数据x1，x2，…，x n的方差s2=4，则数据﹣3x1+5，﹣3x2+5，…，﹣3x n+5的标准差为．8．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是．9．（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为．10．已知﹣=，则C8m=．11．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为．12．已知的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．则展开式中所有的有理项的项数为．13．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为．14．已知等比数列{a n}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，又设B n={，，，…，}（n∈N*，n≥2），B n的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2014的最小正整数为．二、计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.1）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．（2）在极坐标系中，设直线与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB 中点的极坐标．16．设z是虚数，满足是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设．求证：u是纯虚数；（3）求ω﹣u2的最小值．17．已知集合A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}，B={y|y=x2﹣x+，0≤x≤3}．（1）若A∩B=∅，求a的取值范围；（2）当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时，求（∁R A）∩B．18．甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．若记所需抛掷硬币的次数为X．（1）求X=6的概率；（2）求X的分布列和数学期望．19．已知数列{b n}满足，．（1）求b2，b3，猜想数列{b n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）设，，比较x x与y y的大小．20．设函数，（1）①当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项；②若，且a1=﹣12，求；（2）利用二项式定理求的值（n≥1，n∈N*）．2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设集合A={﹣1，0，，3}，B={x|x2≥1}，则A∩B={﹣1，3}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式解得：x≥1或x≤﹣1，∴B={x|x≥1或x≤﹣1}，∵A={﹣1，0，，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．某单位有职工52人，现将所有职工按l、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是19号．考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个职工的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可．解答：解：设样本中还有一个职工的编号是x号，则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6号、x号、32号、45号，它们构成等差数列，∴6+45=x+32，x=6+45﹣32=19因此，另一学生编号为19．故答案为：19号．点评：系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，系统抽样的原则是等距，抓住这一原则构造等差数列，是我们常用的方法．3．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：把所求的事件记为A，再根据题意列出所有的基本事件，找出事件A所包括的基本事件，代入古典概型的随机事件的概率公式求出答案．解答：解：设事件A为：两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数，则所有的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3）（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9种，则事件A包括：（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2）共5种，即P（A）=，故答案为：．点评：本题考查了古典概型的随机事件的概率公式的应用，解题的关键是按一定的顺序列出所有的基本事件，做到不重不漏．4．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为4．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．解答：解：当k=1，S=1时，进入循环，S=1，不满足退出循环的条件，k=2，S=2，不满足退出循环的条件，k=3，S=6，不满足退出循环的条件，k=4，S=15，满足退出循环的条件，故输出的k的值为4．故答案为：4点评：本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用模拟循环的方法，属于基础题．5．若在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线ax﹣by=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交的概率为．考点：等可能事件的概率；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，对应的面积是2×1，满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径，整理出结果，得到概率．解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间（﹣1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，对应的面积是2×1=2，满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径，即，∴4a≥3b，在所有事件组成的集合中，满足3b≥4a有x轴左边，b＜1的部分，∴要求的概率是=，故答案为：点评：本题考查等可能事件的概率，要求得概率等于符合条件的面积之比，注意满足条件的事件所满足的条．件在整理时，应用点到直线的距离公式，注意变形整理．6．若|z﹣i|=1，则|z|最大值为2．考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数求模．专题：计算题．分析：直接利用复数模的几何意义，结合图象求出|z|最大值．解答：解：|z﹣i|=1，表示复数复平面内的点到（0，1）的距离为1的轨迹．所以|z|最大值为2；故答案为：2点评：本题是基础题，考查复数的模的最值的求法，考查计算能力．常考题型．7．已知数据x1，x2，…，x n的方差s2=4，则数据﹣3x1+5，﹣3x2+5，…，﹣3x n+5的标准差为6．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据平均数和方差的公式的性质求解．解答：解：设样本x1，x2，…，x n的平均数为，即=（x1+x2+…+x n ）则样本3x1+5，3x2+5，…，3x n+5的平均数为=（3x1+5+3x2+5+…+3x n+5 ）=×3（x1+x2+…+x n ）+5=3 +5；由方差的公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]可知：样本3x1+5，3x2+5，…，3x n+5的方差为样本x1，x2，…，x n的方差的32=9倍，即9×4=36，则3x1+5，3x2+5，…，3x n+5的标准差为=6．故答案为：6．点评：本题考查方差和标准差的计算公式及运用．根据数据平均数和方差之间的关系进行求解是解决本题的关键．8．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是2k．考点：数学归纳法．专题：计算题．分析：观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．解答：解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为，∴应增加的项数为2k．故答案为2k．点评：本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键．9．（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为55．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：展开式中x的一次项系数为每个括号中x的系数与其它括号中的常数项1相乘得到的结果，故x的一次项系数为1+2+3+4+…+10，运算求得结果．解答：解：（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为每个括号中x 的系数与其它括号中的常数项1相乘得到的结果，故x的一次项系数为1+2+3+4+…+10==55，故答案为：55．点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．10．已知﹣=，则C8m=28．考点：组合及组合数公式．专题：计算题．分析：根据组合数公式，将原方程化为﹣=×，进而可化简为m2﹣23m+42=0，解可得m的值，将m的值代入C8m中，计算可得答案．解答：解：根据组合数公式，原方程可化为：﹣=×，即1﹣=×；化简可得m2﹣23m+42=0，解可得m=2或m=21（不符合组合数的定义，舍去）则m=2；∴C8m=C82=28；故答案为28．点评：本题考查组合数公式，解题的关键在于牢记组合数公式．11．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为11．考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：一是与信息0110有两个对应位置上的数字相同，二是与信息0110有一个对应位置上的数字相同，三是与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的，分别写出结果相加．解答：解：由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C42=6（个）第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同的有C41=4个，第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的有C40=1，由分类计数原理知与信息0110至多有两个对应位置数字相同的共有6+4+1=11个，故答案为：11．点评：本题是一个分类计数问题，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果．12．已知的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．则展开式中所有的有理项的项数为3．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：根据题意求出n的值，再由二项式展开式的通项公式求出展开式中所有的有理项是什么．解答：解：的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64，即=2n=64，解得n=6；∴二项式的展开式通项为T r+1=•x6﹣r•=3r••；当r=0时，6﹣r=6，是有理项，当r=3时，6﹣r=2，是有理项，当r=6时，6﹣r=﹣2，是有理项；∴展开式中所有的有理项的项数为3．故答案为：3．点评：本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目．13．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为．考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：解法一（利用对立事件的概率）：由于小球落入B袋情况简单易求，记小球落入B 袋中的概率P（B），有P（A）+P（B）=1求P（A），解法二（直接法）：由于小球每次遇到障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落下A袋故有概率的乘法公式求解即可．解答：解法一：记小球落入B袋中的概率P（B），则P（A）+P（B）=1，由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋，所以有P（B）=（）3+（）3=，∴P（A）=1﹣P（B）=；解法二：由于小球每次遇到障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落下A袋．∴P（A）=C31（）3+C32（）3=；故答案为：点评：本题考查利用相互独立事件的概率乘法公式求概率，属于概率中的基本题型．14．已知等比数列{a n}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，又设B n={，，，…，}（n∈N*，n≥2），B n的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2014的最小正整数为45．考点：等比数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：求出等比数列{a n}的前n项和S，B n的所有非空子集中的最小元素的和为T，利用S+2T≥2014，即可求出最小正整数．解答：解：∵等比数列{a n}的首项为，公比为﹣，其前n项和记为S，∴S=1﹣，当n=2时，B n的所有非空子集为：{，}，{}，{}，∴S==；当n=3时，∴S=×4+×1+×2=4；当n≥4时，当最小值为时，每个元素都有或无两种情况，共有n﹣1个元素，共有2n﹣1﹣1个非空子集，S1=；当最小值为，不含，含，共n﹣2个元素，有2n﹣2﹣1个非空子集，，…∴T=S1+S2+S3+…+S n=++…++2++=∵S+2T≥2014，∴1﹣+n2﹣1≥2014∴n≥45．故答案为：45．点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要熟练掌握集合的子集的概念，注意分类讨论思想的灵活运用．二、计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.1）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．（2）在极坐标系中，设直线与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB 中点的极坐标．考点：简单曲线的极坐标方程；特征值与特征向量的计算．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由题意可得：=，化为，即可解得a，b．设矩阵M 的特征值为λ，利用f（λ）==0，解出即可．（2）直线化为直角坐标方程：，利用即可把曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为直角坐标方程，把直线y=x代入上述方程可得：2x2﹣5x+2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点的M（x0，y0）．利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出．解答：解：（1）由题意可得：=，∴，解得a=3，b=6．∴M=，设矩阵M的特征值为λ，则f（λ）==0，化为（2﹣λ）（1﹣λ）﹣18=0，化为λ2﹣3λ﹣16=0，解得λ=．（2）直线化为直角坐标方程：，曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为直角坐标方程：x2+y2﹣10x+4=0，把直线y=x代入上述方程可得：2x2﹣5x+2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点的M（x0，y0）．∴x1+x2=，∴x 0==，y0==．∴线段AB中点的直角坐标，∴=，tanθ=，可得θ=，因此极坐标为．点评：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、一元二次的根与系数的关系、中点坐标公式、矩阵的特征值及其变换，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．设z是虚数，满足是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设．求证：u是纯虚数；（3）求ω﹣u2的最小值．考点：函数最值的应用；复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．专题：综合题．分析：（1）设出复数z，写出ω的表示式，进行复数的运算，把ω整理成最简形式，根据所给的ω的范围，得到ω的虚部为0，实部属于这个范围，得到z的实部的范围．（2）根据设出的z，整理u的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长是1，得到u是一个纯虚数．（3）=，再利用基本不等式即可求ω﹣u2的最小值．解答：解：（1）由z是虚数，设z=a+bi（a，b∈R，b≠0）则∵ω∈R∴且b≠0得a2+b2=1即|z|=1此时，ω=2a，∵﹣1＜ω＜2∴即z的实部的取值范围为．…（4分）（2）．∵a2+b2=1∴u=又故u是纯虚数．…（8分）（3）=由知，故当且仅当时ω﹣u2的最小值为1．…（14分）．点评：本题考查复数的代数形式的运算，本题是一个运算量比较大的问题，题目的运算比较麻烦，解题时注意数字不要出错．17．已知集合A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}，B={y|y=x2﹣x+，0≤x≤3}．（1）若A∩B=∅，求a的取值范围；（2）当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时，求（∁R A）∩B．考点：交、并、补集的混合运算；交集及其运算．专题：集合．分析：（1）先解出集合中的一元二次不等式，然后根据A∩B=空集，说明集合A，B没有共同的元素，从而求出实数a的范围；（2）由条件判断a=﹣2，求出C R A，即可求得（C R A）∩B．解答：解：（1）∵y=x2﹣x+=（x﹣1）2+2，∴y=x2﹣x+在[0，1]递减，在[1，3]上递增，当x=1时，有最小值，即为2，当x=3时，有最大值，即为4，∴2≤y≤4，∴B=[2，4]，∵A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}═{y|（y﹣a）[y﹣（a2+1）]＞0}，又a2+1＞a∴A={y＞a2+1或y＜a}，∵A∩B=∅，∴a2+1≥4或a≤2，∴≤a≤2或a≤﹣，（2）使不等式x2+1≥ax恒成立时，由判别式△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，故当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的最小值时，a=﹣2．由（1）可得C R A={y|a≤y≤a2+1 }={y|﹣2≤y≤5}，B={y|2≤y≤4}．（C R A）∩B=B=[2，4]．点评：本题主要考查两个集合的补集、交集、并集的定义和运算，二次函数的性质，属于基础题18．甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．若记所需抛掷硬币的次数为X．（1）求X=6的概率；（2）求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）根据概率公式，即可求X=6的概率；（2）由题意知X=4，5，6，7，分别求出对应的概率即可求X的分布列和数学期望．解答：解：（1）抛掷硬币正面向上、反面向上的概率都为，则P（X=6）=2×=．（2）X的分布列为：X 4 5 6 7P所以，EX=4×+5×+6×+7×=．点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列以及期望的计算，根据概率公式分别求出对应的概率是解决本题的关键．19．已知数列{b n}满足，．（1）求b2，b3，猜想数列{b n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）设，，比较x x与y y的大小．考点：数学归纳法；数列的函数特性；归纳推理．专题：证明题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）由b1=，+b n﹣1=2（n≥2，n∈N*）可求b2，b3，从而可猜想数列{b n}的通项公式，用数学归纳法证明即可；（2）利用指数幂的运算性质可求得x x与y y，比较可知，二者相等．解答：解：（1）∵b1=，+b n﹣1=2（n≥2，n∈N*），∴=2﹣b1=2﹣=，∴b2=；同理可求，b3=，于是猜想：b n=．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，b1=，结论成立；②假设n=k时，b k=，则n=k+1时，∵+b k=2，∴=2﹣=，∴b k+1=，即n=k+1时结论也成立；综上所述，对任意n∈N*，b n=均成立．（2）∵x==，y==，∴x x==，y y==，∴x x=y y．点评：本题考查归纳推理与数学归纳法，考查推理论证与综合运算能力，比较x x与y y的大小是难点，属于难题．20．设函数，（1）①当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项；②若，且a1=﹣12，求；（2）利用二项式定理求的值（n≥1，n∈N*）．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：综合题；二项式定理．分析：（1）①m=2时，f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项为第三项，求出即可；②由二项式的展开式的通项公式，结合题意求出m的值，再计算的值；（2）根据题意，构造函数f（x）=（1﹣x）n，利用二项式定理展开并求导数，两边再同乘x，求导数，利用特殊值x=1，即可求得结果．解答：解：（1）①当m=2时，f（4，y）=的展开式中共有5项，二项式系数最大的项为第三项，∴T 3=•12•=；②f（6，y）=的通项公式为T r+1=••（﹣1）r•=（﹣1）r••26﹣r•m2r﹣6•，且f（6，y）=a0++…+，∴的系数为a1=﹣6×32×m﹣4=﹣12，解得m=2；∴f（6，y）=的通项公式为T r+1=（﹣1）r••26﹣r•22r﹣6•，∴a r=（﹣1）r••26﹣r•22r﹣6 =2r，∴=2+22+23+…+26==27﹣1=127；（2）∵=﹣+22•﹣32•+42•+…+（﹣1）n•n2•∴设f（x）=（1﹣x）n=C n0﹣C n1x+C n2x2﹣C n3x3+…+（﹣1）n•C n n x n…①，①式两边求导得：﹣n（1﹣x）n﹣1=﹣C n1+2C n2x﹣3C n3x2+…+（n﹣1）•（﹣1）n﹣1•C n n﹣1x n﹣2+n•（﹣1）n•C n n x n ﹣1，…②②的两边同乘x得：﹣nx（1﹣x）n﹣1=﹣xC n1+2C n2x2﹣3C n3x3+…+（n﹣1）•（﹣1）n﹣1•C n n﹣1x n﹣1+n•（﹣1）n•C n n x n，…③，③式两边求导得：﹣n（1﹣x）n﹣1﹣n（n﹣1）x（1﹣x）n﹣2=﹣C n1+22C n2x﹣32C n3x2+…+（n﹣1）2•（﹣1）n ﹣1•C n n﹣1x n﹣2+n2•（﹣1）n•C n n x n﹣1，…④，④中令x=1，得﹣+22•﹣32•+42•+…+（﹣1）n•n2•=0．点评：本题考查了二项式定理的展开式应用问题，也考查了函数的导数应用问题，考查了赋值法求值问题，是综合性题目．。
2014春江苏南通高二数学期末复习一(含答案苏教版)
8．已知函数 f(x)=
为奇函数，则 f( )=
。
9．方程 x2＋ (2m－ 1)x ＋ 4－ 2m＝ 0 的一根大于 2，一根小于 2，那么实数 m的取值范围 是 __________．
10．已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x ≤ 0 时， f (x) x2 3x ，则不等
E，则类比的结论为 VA CDE ＝ ________． VB CDE
5 ． 已 知 函 数 f (f (a)
1
，则
2
f ( a)
.
6．函数 y 2 x log 2 (x 1) 的定义域为 ___________． 7．函数 f(x) ＝ 1 x3－ x2＋ ax－ 5 在区间 [ － 1,2] 上不单调，则实数 a 的取值范围是 ______．
16．已知复数 z1
3 a2
(a 2
3)i ， z2
2 (3a 1)i （ a
R ， i 是虚数单位） ．
（ 1）若复数 z1 z2 在复平面上对应点落在第一象限，求实数
a 的取值范围；
（ 2）若虚数 z1 是实系数一元二次方程 x2 6 x m 0 的根，求实数 m 值．
3
17．已知函数 错误！未找到引用源。
（从“真”、
“假”中选填一个） ．
3．若 ( x2 4) (x2 3x 2)i 是纯虚数，则实数 x 的值是 __ ___ ．
4．在平面中， △ ABC的角 C的内角平分线 CE分△ ABC面积所成的比 S AEC S BEC
AC
. 将这
BC
个结论类比到空间：在三棱锥 A－ BCD中，平面 DEC平分二面角 A－ CD－B 且与 AB交于
式 f (x 1) x 4 的解集是
2014-2015年江苏省南通市启东中学高一(上)数学期中试卷和答案
2014-2015学年江苏省南通市启东中学高一（上）期中数学试卷一.填空题（每题5分，共70分）1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁A）∪B=．U2．（5分）A={（x，y）|y=2x+5}，B={（x，y）|y=1﹣2x}，则A∩B=．3．（5分）如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为．4．（5分）在映射f：A→B中，A=B=（x，y）|x，y∈R且f：（x，y）→（x﹣y，x+y）则与A中的元素（﹣1，2）对应的B中的元素为．5．（5分）函数f（x）=+的定义域是．6．（5分）（）﹣×（﹣）0+8×﹣=．7．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是．8．（5分）方程log2x+=1的解是．9．（5分）已知幂函数f（x）=x2+m是定义在区间[﹣1，m]上的奇函数，则f（m+1）=．10．（5分）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是．11．（5分）函数的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是．12．（5分）关于x的不等式＞0的解集为{x|x≠k，x∈R}，则实数k=．13．（5分）已知函数是偶函数，直线y=t与函数y=f（x）的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若AB=BC，则实数t的值为．14．（5分）设集合A={x|x2+2x﹣3＞0}，集合B={x|x2﹣2ax﹣1≤0，a＞0}．若A ∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是．二．解答题（共90分）15．（14分）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x2﹣（2m+1）x+2m＜0}．（1）当m＜时，求集合B；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．16．（14分）已知幂函数f（x）=（﹣2m2+m+2）x m+1为偶函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数y=f（x）﹣2（a﹣1）x+1在区间（2，3）上为单调函数，求实数a 的取值范围．17．（14分）f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，满足f（x）+f（y）=f（xy）．（1）求证：；（2）若f（4）=﹣4，解不等式．18．（16分）光泽圣农公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为（0.05t﹣）万元．（1）该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f（x），求f（x）；（2）当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？19．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）=﹣1，对任意x∈R 都有f（x）≥x﹣1，且f（﹣+x）=f（﹣﹣x）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）是否存在实数a，使函数g（x）=log[f（a）]x在（﹣∞，+∞）上为减函数？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=为偶函数（1）求实数a的值；（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣，判断λ与E的关系；（3）当x∈[，]（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域[2﹣3m，2﹣3n]，求实数m，n值．2014-2015学年江苏省南通市启东中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（每题5分，共70分）1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁A）∪B={0，2，4} ．U【解答】解：因为全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则∁U A={0，4}，（∁U A）∪B={{0，2，4}．故答案为：{0，2，4}．2．（5分）A={（x，y）|y=2x+5}，B={（x，y）|y=1﹣2x}，则A∩B={（﹣1，3）} ．【解答】解：由A={（x，y）|y=2x+5}，B={（x，y）|y=1﹣2x}，联立得：，解得：x=﹣1，y=3，则A∩B={（﹣1，3）}．故答案为：{（﹣1，3）}3．（5分）如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为{2，8} ．【解答】解：根据题意，分析可得，图中阴影部分表示的为集合A、C的交集中的元素去掉B中元素得到的集合，得到的集合，又由A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，则A∩C={2，5，8}，∴阴影部分表示集合为{2，8}故答案为：{2，8}．4．（5分）在映射f：A→B中，A=B=（x，y）|x，y∈R且f：（x，y）→（x﹣y，x+y）则与A中的元素（﹣1，2）对应的B中的元素为（﹣3，1）．【解答】解：由题意知，x=﹣1，且y=2，∴x﹣y=﹣3，且x+y=1∴元素（x﹣y，x+y）即元素（﹣3，1）∴与A中的元素（﹣1，2）对应的B中的元素为（﹣3，1）故答案为（﹣3，1）．5．（5分）函数f（x）=+的定义域是[0，1）．【解答】解：要使函数有意义，则，即，则，解得0≤x＜1，故函数的定义域为[0，1）．故答案为：[0，1）．6．（5分）（）﹣×（﹣）0+8×﹣=．【解答】解：（）﹣×（﹣）0+8×﹣=+×﹣=2﹣=．故答案为：．7．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（﹣1，0）．【解答】解：画出函数f（x）的图象（红色曲线），如图示：，令y=k，由图象可以读出：﹣1＜k＜0时，y=k和f（x）有3个交点，即方程f（x）=k有三个不同的实根，故答案为：（﹣1，0）．8．（5分）方程log2x+=1的解是1．【解答】解：原方程可化为log2x+log2（x+1）=1，∴log2x（x+1）=1，∴x（x+1）=2，又x＞0，解得x=1．因此方程的解为x=1．故答案为：x=1．9．（5分）已知幂函数f（x）=x2+m是定义在区间[﹣1，m]上的奇函数，则f（m+1）=8．【解答】解：∵幂函数在[﹣1，m]上是奇函数，∴m=1，∴f（x）=x3，∴f（m+1）=f（1+1）=f（2）=23=8．故答案为：8．10．（5分）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是[﹣3，﹣2] ．【解答】解：要使函数在R上为增函数，须有f（x）在（﹣∞，1]上递增，在（1，+∞）上递增，且，所以有，解得﹣3≤a≤﹣2，故a的取值范围为[﹣3，﹣2]．故答案为：[﹣3，﹣2]．11．（5分）函数的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（0，3）．【解答】解：由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，解得：0＜a＜3，故实数a的取值范围是（0，3），故答案为：（0，3）12．（5分）关于x的不等式＞0的解集为{x|x≠k，x∈R}，则实数k=1．【解答】解：∵不等式＞0的解集为{x|x≠k，x∈R}，∴当x=k时，分母x2﹣2kx+k2+k﹣1=0，即k2﹣2k2+k2+k﹣1=0，即k=1，当k=1时，不等式＞0的解集为{x|x≠1，x∈R}，满足条件，故答案为：113．（5分）已知函数是偶函数，直线y=t与函数y=f（x）的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若AB=BC，则实数t的值为．【解答】解：因为f（x）是偶函数，所以x＞0时恒有f（﹣x）=f（x），即x2﹣bx+c=ax2﹣2x﹣1，所以（a﹣1）x2+（b﹣2）x﹣c﹣1=0，所以，解得a=1，b=2，c=﹣1，所以f（x）=，由t=x2+2x﹣1，即x2+2x﹣1﹣t=0，解得x=﹣1±，故x A=﹣1﹣，x B=﹣1+，由t=x2﹣2x﹣1，即x2﹣2x﹣1﹣t=0，解得x=1±，故x C=1﹣，因为AB=BC，所以x B﹣x A=x C﹣x B，即2=2﹣2，解得t=﹣，故答案为：﹣．14．（5分）设集合A={x|x2+2x﹣3＞0}，集合B={x|x2﹣2ax﹣1≤0，a＞0}．若A ∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是[，）．【解答】，解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x+3）＞0，解得：x＜﹣3或x＞1，即A={x|x＜﹣3或x＞1}，函数y=f（x）=x2﹣2ax﹣1的对称轴为x=a＞0，f（﹣3）=6a+8＜0，由对称性可得，要使A∩B恰有一个整数，即这个整数解为2，∴f（2）≤0且f（3）＞0，即，解得：，即≤a＜，则a的取值范围为[，）．故答案为：[，）二．解答题（共90分）15．（14分）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x2﹣（2m+1）x+2m＜0}．（1）当m＜时，求集合B；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．【解答】解：∵不等式x2﹣（2m+1）x+2m＜0⇔（x﹣1）（x﹣2m）＜0．（1）当m＜时，2m＜1，∴集合B={x|2m＜x＜1}．（2）若A∪B=A，则B⊆A，∵A={x|﹣1≤x≤2}，①当m＜时，B={x|2m＜x＜1}，此时﹣1≤2m＜1⇒﹣≤m＜；②当m=时，B=Ø，有B⊆A成立；③当m＞时，B={x|1＜x＜2m}，此时1＜2m≤2⇒＜m≤1；综上所述，所求m的取值范围是﹣≤m≤1．16．（14分）已知幂函数f（x）=（﹣2m2+m+2）x m+1为偶函数．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数y=f（x）﹣2（a﹣1）x+1在区间（2，3）上为单调函数，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）为幂函数知﹣2m2+m+2=1，即2m2﹣m﹣1=0，得m=1或m=﹣，当m=1时，f（x）=x2，符合题意；当m=﹣时，f（x）=，为非奇非偶函数，不合题意，舍去．∴f（x）=x2．（2）由（1）得y=f（x）﹣2（a﹣1）x+1=x2﹣2（a﹣1）x+1，即函数的对称轴为x=a﹣1，由题意知函数在（2，3）上为单调函数，∴对称轴a﹣1≤2或a﹣1≥3，即a≤3或a≥4．17．（14分）f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，满足f（x）+f（y）=f（xy）．（1）求证：；（2）若f（4）=﹣4，解不等式．【解答】解：（1）证明：∵f（x）+f（y）=f（xy），将x代换为，则有，∴；（2）∵f（x）+f（y）=f（xy），∴﹣12=﹣4+（﹣4）+（﹣4）=f（4）+f（4）+f（4）=f（64），∵，∴f（x）﹣f（）=f[x（x﹣12）]，∴不等式等价于f[x（x﹣12）]≥f（64），∵f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，∴，即，∴12＜x≤16，∴不等式的解集为{x|12＜x≤16}．18．（16分）光泽圣农公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为（0.05t﹣）万元．（1）该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f（x），求f（x）；（2）当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？【解答】解：（1）由题意可知，公司生产并销售x件产品的销售收入为（0.05x ﹣）万元，投入固定成本0.5万元，另需增加投入万元．∴f（x）=0.05x﹣﹣（0.5+）=﹣+0.0475x﹣0.5，（0＜x≤500）；（2）由f（x）=﹣+0.0475x﹣0.5=．∴当x=475时，f（x）max=10.78125．∴当年产量为475（件）时，当年公司所得利润最大，最大为10.78125万元．19．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）=﹣1，对任意x∈R 都有f（x）≥x﹣1，且f（﹣+x）=f（﹣﹣x）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）是否存在实数a，使函数g（x）=log[f（a）]x在（﹣∞，+∞）上为减函数？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由f（x）=ax2+bx+c（a≠0）及f（0）=﹣1∴c=﹣1 …（1分）又对任意x∈R，有．∴f（x）图象的对称轴为直线x=﹣，则﹣=﹣，∴a=b …（3分）又对任意x∈R都有f（x）≥x﹣1，即ax2+（b﹣1）x≥0对任意x∈R成立，∴，故a=b=1 …（6分）∴f（x）=x2+x﹣1 …（7分）（2）由（1）知=（a2+a﹣1）x，其定义域为R…（8分）令u（x）=（a2+a﹣1）x要使函数g（x）=（a2+a﹣1）x在（﹣∞，+∞）上为减函数，只需函数u（x）=（a2+a﹣1）x在（﹣∞，+∞）上为增函数，…（10分）由指数函数的单调性，有a2+a﹣1＞1，解得a＜﹣2或a＞1 …（12分）故存在实数a，当a＜﹣2或a＞1时，函数在（﹣∞，+∞）上为减函数…（13分）20．（16分）已知函数f（x）=为偶函数（1）求实数a的值；（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣，判断λ与E的关系；（3）当x∈[，]（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域[2﹣3m，2﹣3n]，求实数m，n值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数为偶函数．∴f（﹣x）=f（x）即=∴2（a+1）x=0，∵x为非零实数，∴a+1=0，即a=﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）得∴E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}={0，}而====∴λ∈E（Ⅲ）∵＞0恒成立∴在上为增函数又∵函数f（x）的值域为[2﹣3m，2﹣3n]，∴f（）=1﹣m2=2﹣3m，且f（）=1﹣n2=2﹣3n，又∵，m＞0，n＞0∴m＞n＞0解得m=，n=。
江苏省启东中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文理)试题Word版含答案
第6题图江苏省启东中学2015-2016学年度第一学期期终考试高二数学（文理）试卷一、填空题：（本大题共14大题，每小题5分，共70分） 1. 已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝为 ． 2. 复数212ii-=+ ． 3. 女子国际象棋世界冠军中国江苏选手侯逸凡与某计算机进行人机对抗赛，若侯逸凡获胜的概率为0. 65，人机和棋的概率为0.25，那么侯逸凡不输的概率为________．4.若命题2",(1)10"x R x a x ∃∈+-+<使是假命题，则实数a 的取值范围是 ．5. 若双曲线2212x y m m-=的一条准线方程是1y =，则实数m 的值是___ _ ． 6. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a .类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，若其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ．7. 双曲线191622=-y x 上的点P 到点(5,0)的距离为8.5，则点P 到左准线的距离为___ ____．8．抛物线y x 42=的弦AB 过焦点F ，且AB 的长为6，则AB 的中点M 的纵坐标为 ．9. 复数z 满足21z i -+=，则12z i +-的最小值为 ．10. 当a 为任意实数时，直线(2a ＋3)x ＋y －4a ＋2＝0恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标准方程是__________________．11. 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率 ．12. 已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为________．13. 若()f n 为21n +*()n N ∈的各位数字之和，如2141197+=，19717++=，则(14)17f =；记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，…，1()(())k k f n f f n +=，*k N ∈，则2016(8)f = .14. 设点1A ，2A 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点，若在椭圆C 上存在异于点1A ，2A 的点P ，使得2PO PA ⊥，其中O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .二、简答题：（本大题共6小题，共90分）15. （本小题14分）一个袋中有红、白两种球各若干个，现从中一次性摸出两个球，假设摸出的两个球至少有一个红球的概率为715，至少一个白球的概率为1315，求摸出的两个球恰好红球白球各一个的概率．16. （本小题14分）设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17. （本小题15分）从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？18. （本小题15分） 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为 12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足PA →·PB →＝PM → 2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．19. （本小题16分）已知关于x的绝对值方程|x2＋ax＋b|＝2，其中a，b∈R.(1)当a，b满足什么条件时，方程的解集M中恰有3个元素？(2)在条件（1）下，试求以方程解集M中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件．20.（本小题16分）已知椭圆2222:1x yCa b+=(0)a b>>上的一动点P到右焦点的最短距离为2（1）求椭圆C的方程；（2）设()4,0P，,A B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C 于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；（3）在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于,M N两点，求OM ON⋅的取值范围．高二数学（附加题）21.（本小题10分）已知P是椭圆22194x y+=上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，OQ→＝PF1→＋PF2→，求动点Q的轨迹方程．22.（本小题10分）已知22)n x*()n ∈N 的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.求展开式中含32x 的项．23.(本小题10分)如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=,点D ，E 分别在棱,PB PC 的中点，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值的大小；PEDCBA24.（本小题10分）是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=12)1(nn(an2+bn+c) 对于一切正整数n 都成立？证明你的结论．江苏省启东中学2015-2016学年度第一学期期终考试答案1. ,sin 1x R x ∃∈> 2．i - 3． 0.94. 13x -≤≤ 5． －３ ６．318a7． 258．２ 9．1 10. y 2＝32x 或x 2＝－12y 11. 1013115212.53.213．８ 14．215.解：设摸到的两个球均为红色的事件为A ，一红一白的事件为B ，均为白球的事件为C.显然，A 、B 、C 为互斥事件，依题意：⎩⎪⎨⎪⎧P （A ＋B ）＝715，P （B ＋C ）＝1315，P （A ＋B ＋C ）＝1⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）＋P （B ）＝715，P （B ）＋P （C ）＝1315，P （A ）＋P （B ）＋P （C ）＝1⇒P(B)＝13. 即两个球恰好红球白球各一个的概率为13.16. 设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0， 又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0，得2<x ≤3， 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是{x |2<x <3}； (2)设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a >0}，B ＝{x |⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0}，则B A ，又A ＝{x |a ≤x ≤3a }，B ＝{x |2<x ≤3}， 则0<a ≤2，且3a ≥3，(a －1)＋(3a －3)2≠0 所以实数a 的取值范围是{a |1<a ≤2}．17. 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？解析：列出每种情况的基本事件总数，然后找出满足条件的基本事件的个数进行计算即可．于是：(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．Ω由6个基本事件组成，而且可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件A 由4个基本事件组成，所以P (A )＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)}，由9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件B 由4个基本事件组成，所以P (A )＝49.18. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足PA →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解析 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)＞0， 所以k 1＞－12.又x 1＋x 2＝8k 1k 1－3＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21， 因为PA →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)·(x 2－2)(1＋k 21)＝|PM |2＝54.即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 1k 1－3＋4k 21＋4(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 1＝54，解得k 1＝±12.因为k 1＞－12，所以k 1＝12.于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .19. 已知关于x 的绝对值方程|x 2＋ax ＋b |＝2，其中a ，b ∈R .(1)当a ，b 满足什么条件时，方程的解集M 中恰有3个元素？(2)试求以方程解集M 中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件． 解 (1)原方程等价于x 2＋ax ＋b ＝2， ① 或x 2＋ax ＋b ＝－2，②由于Δ1＝a 2－4b ＋8>a 2－4b －8＝Δ2，∴Δ2＝0时，原方程的解集M 中恰有3个元素，即a 2－4b ＝8；(2)必要性：由(1)知方程②的根x ＝－a 2，方程①的根x 1＝－a 2－2，x 2＝－a2＋2，如果它们恰为直角三角形的三边，即(－a2)2＋(－a2－2)2＝(－a2＋2) 2， 解得a ＝－16，b ＝62.充分性：如果a ＝－16，b ＝62，可得解集M 为{6，8，10}，以6，8，10为边长的三角 形恰为直角三角形．∴a ＝－16，b ＝62为所求的充要条件．20. 已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>上的一动点P到右焦点的最短距离为2焦点到右准线的距离等于短半轴的长． （1）求椭圆C 的方程；（2）设()4,0P ，,A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（3）在（2）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，求OM ON ⋅的取值 范围．20．解：（1）由题意知22a c a c b c ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的方程为22142x y +=． …………………………4分（2）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-． 由22(4),1.42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)163240k x k x k +-+-=． ①设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -．直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--． 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+． 将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入， 整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ② 由①得 21221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+代入② 整理，得1x =．所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ． …………………………10分（3）当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，(,)M M M x y ，(,)N N N x y ． 由22(1),1.42y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)4240m x m x m +-+-=． ∴22421M N m x x m +=+，222421M N m x x m -=+， 22321M N m y y m =-+． 则M N M N OM ON x x y y ⋅=+222222224341712121212221m m m m m m m -+=-=-=--⋅++++． 因为20m ≥，所以21711422212m ---⋅<-+≤． 所以1[4,)2OM ON ⋅∈--． 当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =．解得M，(1,N ． 此时12OM ON ⋅=-． 所以OM ON ⋅的取值范围是1[4,]2--． …………………………16 21. 已知P 是椭圆22194x y +=上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程．解析 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，又P 在椭圆上， 则22()()22194x y --+=. 即2213616x y +=。
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2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）（2012•江苏模拟）命题p：∀x∈R，x2+1＞0的否定是．2．（5分）（2013•南通三模）设复数z满足（3+4i）z+5=0（i是虚数单位），则复数z的模为．3．（5分）（2014秋•启东市校级期末）“直线l∥平面α”是“直线l⊄平面α”成立的条件（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个）．4．（5分）（2014秋•启东市校级期末）抛物线y=ax2的焦点坐标为．5．（5分）（2013秋•仪征市期末）函数y=+2lnx的单调减区间为．6．（5分）（2014•镇江一模）已知双曲线﹣=1的离心率为，则实数m的值为．7．（5分）（2012•陕西）观察下列不等式：，，…照此规律，第五个不等式为．8．（5分）（2014秋•启东市校级期末）若“任意x∈R，不等式|x﹣1|﹣|x+1|＞a”为假命题，则实数a的取值范围为．9．（5分）（2013秋•金台区期末）以直线3x﹣4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为．10．（5分）（2014秋•启东市校级期末）在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=a，BC=b，则△ABC 的外接圆半径r=；类比到空间，若三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径R=．11．（5分）（2014秋•启东市校级期末）若直线l与曲线C满足下列两个条件：（ⅰ）直线l 在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ⅱ）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l 在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的是．①直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2；②直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3；③直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx；④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx；⑤直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx．12．（5分）（2010•绍兴县校级模拟）若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为．13．（5分）（2014秋•启东市校级期末）已知命题：“若数列{a n}为等差数列，且a m=a，a n=b （m＜n，m，n∈N*），则a m+n=”．现已知数列{b n}（b n＞0，n∈N*）为等比数列，且b m=a，b n=b（m＜n，m，n∈N*），若类比上述结论，则可得到b m+n=．14．（5分）（2014秋•启东市校级期末）假设实数m，n满足m2+n2=1，且f（x）=ax+msinx+ncosx 的图象上存在两条切线互相垂直，则实数a的取值构成的集合为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）（2010•淳安县校级模拟）已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．16．（14分）（2014秋•启东市校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥AD且2BC=AD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；（2）若平面PAB∩平面PCD=l，求证：直线l不平行于平面ABCD．（用反证法证明）17．（14分）（2014秋•启东市校级期末）圆O1的方程为x2+（y+1）2=4，圆O2的圆心O2（2，1）．（1）若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；（2）若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|=2．求圆O2的方程．18．（16分）（2008•天心区校级模拟）已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点p（1，0）处（即p为切点）的切线与直线3x+y=0平行．（1）求常数a、b的值；（2）求函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最小值和最大值．19．（16分）（2013•眉山二模）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点：（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．20．（16分）（2010•广东模拟）已知函数f（x）=lnx+﹣kx（k为常数）（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在极值，求f（x）的零点个数．四、（附加题）试卷21．（2014秋•启东市校级期末）（1）求函数f（x）=cos2（ax+b）的导函数；（2）证明：若函数f（x）可导且为周期函数，则f′（x）也为周期函数．22．（2014秋•启东市校级期末）设M、N为抛物线C：y=x2上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线l1、l2，与x轴分别交于A、B两点，且l1与l2相交于点P，若AB=1，求点P的轨迹方程．23．（2014秋•启东市校级期末）如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，．（1）求点A到平面MBC的距离；（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．24．（2014秋•启东市校级期末）当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：∀n∈N*，e x﹣1＞．（n!=1•2•3•…•（n﹣1）n）2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）（2012•江苏模拟）命题p：∀x∈R，x2+1＞0的否定是∃x∈R，x2+1≤0．考点：命题的否定．专题：规律型．分析：本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，由规则写出否定命题即可解答：解：∵命题“∀x∈R，x2+1＞0”∴命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+1≤0”故答案为：∃x∈R，x2+1≤0．点评：本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解全称命题否定的书写方法，其规则是全称命题的否定是特称命题，书写时注意量词的变化．2．（5分）（2013•南通三模）设复数z满足（3+4i）z+5=0（i是虚数单位），则复数z的模为1．考点：复数求模．专题：计算题．分析：直接移项已知方程，两边求模，化简即可．解答：解：因为复数z满足（3+4i）z+5=0，所以（3+4i）z=﹣5，两边求模可得：|（3+4i）||z|=5，所以|z|=1．故答案为：1．点评：本题考查复数的模的求法，复数积的模等于复数模的积，考查计算能力．3．（5分）（2014秋•启东市校级期末）“直线l∥平面α”是“直线l⊄平面α”成立的充分不必要条件（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据线面平行的定义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若直线l∥平面α，则直线l⊄平面α成立，若直线l⊄平面α，则直线l∥平面α或l与平面α相交，故“直线l∥平面α”是“直线l⊄平面α”成立的充分不必要条件，故答案为：充分不必要点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行的定义是解决本题的关键．4．（5分）（2014秋•启东市校级期末）抛物线y=ax2的焦点坐标为（0，）．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标．解答：解：当a＞0时，整理抛物线方程得x2=y，即p=，由抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为（0，），所求焦点坐标为（0，）．当a＜0时，同样可得．故答案为：（0，）．点评：本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的性质，属基础题．5．（5分）（2013秋•仪征市期末）函数y=+2lnx的单调减区间为（0，]．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：先利用导数运算公式计算函数的导函数y′，再解不等式y′＜0，即可解得函数的单调递减区间解答：解：∵=（x＞0）由y′＞0，得x＞，由y′＜0，得0＜x＜，∴函数的单调减区间为（0，]故答案为（0，]点评：本题主要考查了导数的运算和导数在函数单调性中的应用，利用导数求函数单调区间的方法，解题时注意函数的定义域，避免出错6．（5分）（2014•镇江一模）已知双曲线﹣=1的离心率为，则实数m的值为4．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线﹣=1的离心率为，可得，即可求出实数m的值．解答：解：∵双曲线﹣=1的离心率为，∴，∴m=4．故答案为：4．点评：本题考查双曲线的简单性质，考查离心率，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）（2012•陕西）观察下列不等式：，，…照此规律，第五个不等式为1+++++＜．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式，再令n=5，即可得出第五个不等式解答：解：由已知中的不等式1+，1++，…得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，故可以归纳出第n个不等式是1+…+＜，（n≥2），所以第五个不等式为1+++++＜故答案为：1+++++＜点评：本题考查归纳推理，解题的关键是根据所给的三个不等式得出它们的共性，由此得出通式，本题考查了归纳推理考察的典型题，具有一般性8．（5分）（2014秋•启东市校级期末）若“任意x∈R，不等式|x﹣1|﹣|x+1|＞a”为假命题，则实数a的取值范围为[﹣2，+∞）．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用；简易逻辑．分析：利用已知判断出否命题为真命题，构造函数，利用绝对值的几何意义求出函数的最小值，令最小值不大于a，即可得到a的范围．解答：解：由于“任意x∈R，不等式|x﹣1|﹣|x+1|＞a”为假命题，则命题“存在x∈R，不等式|x﹣1|﹣|x+1|≤a”为真命题．令y=|x﹣1|﹣|x+1|，y表示数轴上的点x到数﹣1及1的距离之差，所以y的最小值为﹣2，∴a≥﹣2．故答案为：[﹣2，+∞）．点评：本题考查命题p与命题￢p真假相反，考查绝对值的几何意义，考查不等式恒成立常转化为求函数的最值．9．（5分）（2013秋•金台区期末）以直线3x﹣4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为（x+2）2+（y﹣）2=．考点：圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：根据直线3x﹣4y+12=0方程求出它与x轴、y轴交点A、B的坐标，从而得到AB中点为C（﹣2，），即为所求圆的圆心．再用两点的距离公式，算出半径r=|AB|=，最后根据圆的标准方程列式即可得到所求圆的方程．解答：解：∵对直线3x﹣4y+12=0令x=0，得y=3；令y=0，得x=﹣4∴直线3x﹣4y+12=0交x轴于A（﹣4，0），交y轴于B（0，3）∵所求的圆以AB为直径∴该圆以AB中点C为圆心，半径长为|AB|∵AB中点C坐标为（，），即C（﹣2，）|AB|==∴圆C的方程为（x+2）2+（y﹣）2=，即（x+2）2+（y﹣）2=故答案为：（x+2）2+（y﹣）2=点评：本题给出已知直线，求以直线被两坐标轴截得线段为直径的圆方程，着重考查了中点坐标公式、圆的标准方程和两点间的距离公式等知识，属于基础题．10．（5分）（2014秋•启东市校级期末）在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=a，BC=b，则△ABC的外接圆半径r=；类比到空间，若三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径R=．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离；推理和证明；球．分析：直角三角形外接圆半径为斜边长的一半，由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，将三棱锥补成一个长方体，其外接球的半径R为长方体对角线长的一半．解答：解：若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c，可补成一个长方体，体对角线长为，∵体对角线就是外接球的直径，∴棱锥的外接球半径R=．故答案为：．点评：本题考查球与内接三棱锥的位置关系，考查球的半径的求法，考查类比思想的运用，属于基础题．11．（5分）（2014秋•启东市校级期末）若直线l与曲线C满足下列两个条件：（ⅰ）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ⅱ）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的是②④⑤．①直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2；②直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3；③直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx；④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx；⑤直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：新定义；导数的概念及应用．分析：分别求出每一个命题中曲线C的导数，得到曲线在点P处的导数值，求出曲线在点P处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii），则正确的选项可求．解答：解：对于①，由y=（x+1）2，得y′=2（x+1），则y′|x=﹣1=0，而直线l：x=﹣1的斜率不存在，在点P（﹣1，0）处不与曲线C相切，故①错误；对于②，由y=x3，得y′=3x2，则y′|x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，故②正确；对于③，由y=lnx，得y′=，则y′|x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x﹣1，由g（x）=x﹣1﹣lnx，得g′（x）=1﹣，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．则g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．即y=x﹣1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，故③错误；对于④，由y=sinx，得y′=cosx，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，又x∈（﹣，0）时x＜sinx，x∈（0，）时x＞sinx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，故④正确；对于⑤，y=tanx的导数为y′=sec2x，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，又x∈（﹣，0）时x＞tanx，x∈（0，）时x＜tanx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，故⑤正确．故答案为：②④⑤．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，综合考查导数的应用：求单调区间和极值、最值，同时考查新定义的理解，属于中档题和易错题．12．（5分）（2010•绍兴县校级模拟）若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为（2，+∞）．考点：圆方程的综合应用．专题：计算题．分析：由已知中曲线C的方程x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0，我们易求出圆的标准方程，进而确定圆的圆心为（﹣a，2a），圆的半径为2，然后根据曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，易构造出关于a的不等式组，解不等式组，即可得到a的取值范围．解答：解：由已知圆的方程为x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0则圆的标准方程为：（x+a）2+（y﹣2a）2=4故圆的圆心为（﹣a，2a），圆的半径为2若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，则a＞0，且|﹣a|＞2解得a＞2故a的取值范围为（2，+∞）故答案为：（2，+∞）点评：本题考查的知识点是圆的方程的综合应用，其中根据曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，构造出满足条件的不等式组，是解答本题的关键．13．（5分）（2014秋•启东市校级期末）已知命题：“若数列{a n}为等差数列，且a m=a，a n=b（m＜n，m，n∈N*），则a m+n=”．现已知数列{b n}（b n＞0，n∈N*）为等比数列，且b m=a，b n=b（m＜n，m，n∈N*），若类比上述结论，则可得到b m+n=．考点：类比推理．专题：探究型；推理和证明．分析：首先根据等差数列和等比数列的性质进行类比，等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的，等差数列中的可以类比等比数列中的，很快就能得到答案．解答：解：等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的b n和a m，等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的，等差数列中的可以类比等比数列中的．故b m+n=，故答案为点评：本题主要考查类比推理的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等差数列和等比数列的性质，根据等差数列的所得到的结论，推导出等比数列的结论，本题比较简单．14．（5分）（2014秋•启东市校级期末）假设实数m，n满足m2+n2=1，且f（x）=ax+msinx+ncosx的图象上存在两条切线互相垂直，则实数a的取值构成的集合为{0}．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用；三角函数的图像与性质；直线与圆．分析：先利用辅助角公式和m2+n2=1将函数f（x）化简为f（x）=ax+sin（x+φ），求出f′（x），根据f（x）的图象上存在两条切线垂直，不妨设在x=b与x=c处的切线互相垂直，则由导数的几何意义，分别求出两条切线的斜率k1=f′（b）=a+cos（b+φ），k2=f′（c）=a+cos（c+φ），则[a+cos（b+φ）][a+cos（c+φ）]=﹣1，化简为关于a的一元二次方程要有实数根，从而得到△≥0，再利用三角函数的有界性，即可得到cos（b+φ）=1，cos（c+φ）=﹣1或者cos（b+φ）=﹣1，cos（c+φ）=1，代入到[a+cos（b+φ）][a+cos（c+φ）]=﹣1，即可求出a=0．解答：解：∵f（x）=ax+msinx+ncosx∴f（x）=ax+sin（x+φ），∵m2+n2=1，∴f（x）=ax+sin（x+φ），∴f′（x）=a+cos（x+φ），∵f（x）=ax+msinx+ncosx的图象上存在两条切线垂直，设在x=b与x=c处的切线互相垂直，则k1=f′（b）=a+cos（b+φ），k2=f′（c）=a+cos（c+φ），∴k1•k2=﹣1，即[a+cos（b+φ）][a+cos（c+φ）]=﹣1，∴关于a的二次方程a2+[cos（b+φ）+cos（c+φ）]a+cos（b+φ）cos（c+φ）+1=0有实数根，∴△=[cos（b+φ）+cos（c+φ）]2﹣4×[cos（b+φ）cos（c+φ）+1]=[cos（b+φ）﹣cos（c+φ）]2﹣4≥0，又∵﹣2≤cos（b+φ）﹣cos（c+φ）≤2，∴[cos（b+φ）﹣cos（c+φ）]2≤4，即[cos（b+φ）﹣cos（c+φ）]2﹣4≤0，∴[cos（b+φ）﹣cos（c+φ）]2﹣4=0∴cos（b+φ）=1，cos（c+φ）=﹣1或者cos（b+φ）=﹣1，cos（c+φ）=1，∵[a+cos（b+φ）][a+cos（c+φ）]=﹣1，∴a2﹣1=﹣1，∴a=0，故答案为：{0}．点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，两直线垂直的条件．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．属于中档题．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）（2010•淳安县校级模拟）已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法．分析：思路一：“按题索骥”﹣﹣解不等式，求否命题，再根据充要条件的集合表示进行求解；思路二：本题也可以根据四种命题间的关系进行等价转换，然后再根据充要条件的集合表示进行求解．解答：解：解法一：由p：|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴“非p”：A={x|x＞10或x＜﹣2}、（3分）由q：x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴“非q”：B={x|x＞1+m或x＜1﹣m，m＞0=（6分）由“非p”是“非q”的必要而不充分条件可知：B⊆A.解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．（12分）解法二：由“非p”是“非q”的必要而不充分条件．即“非q”⇒“非p”，但“非p”“非q”，可以等价转换为它的逆否命题：“p⇒q，但q p”．即p是q的充分而不必要条件．由|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴p={x|﹣2≤x≤10}由x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴q={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}由p是q的充分而不必要条件可知：p⊆q⇔解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．点评：本题考查了绝对值不等式与一元二次不等式的解法，又考了命题间的关系的理解；两个知识点的简单结合构成了一道难度不太大但是要么得分不高，要么因为这道题导致整张卷子答不完，所以对于此类问题要平时加强计算能力的培养．16．（14分）（2014秋•启东市校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥AD且2BC=AD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；（2）若平面PAB∩平面PCD=l，求证：直线l不平行于平面ABCD．（用反证法证明）考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）自P作PH⊥AB于H，由平面PAB⊥平面ABCD，可得PH⊥平面ABCD．于是BC⊥PH．又BC⊥PB，可得BC⊥平面PAB，即可证明平面PBC⊥平面PAB；（2）利用反证法，证明AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形，得到矛盾即可得到结论．解答：（1）证明：自P作PH⊥AB于H，因为平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，PH⊂平面PAB，所以PH⊥平面ABCD．因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PH．因为∠PBC=90°，所以BC⊥PB，而∠PBA≠90°，于是点H与B不重合，即PB∩PH=P．因为PB，PH⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．因为BC⊂平面PBC，故平面PBC⊥平面PAB；（2）不平行，反证法：假设直线l平行于平面ABCD，由于l⊂平面PCD，且平面PCD∩平面ABCD=CD，∴l∥CD，同理可得l∥AB，即AB∥CD，∵BC∥AD，∴四边形ABCD为梯形，则AD=BC，与2BC=AD矛盾，故假设不成立，即直线l不平行于平面ABCD．点评：本题主要考查面面垂直和线面平行的判定，要求熟练掌握相应的判定定理．17．（14分）（2014秋•启东市校级期末）圆O1的方程为x2+（y+1）2=4，圆O2的圆心O2（2，1）．（1）若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；（2）若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|=2．求圆O2的方程．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：（1）通过圆心距对于半径和，求出圆的半径，即可求出圆的方程．（2）利用圆心距与写出的故选求出，圆到直线的距离，然后求出所求圆的半径，即可求出圆的方程．解答：解：（1）圆O1的方程为x2+（y+1）2=4，圆心坐标（0，﹣1），半径为：2，圆O2的圆心O2（2，1）．圆心距为：=2，圆O2与圆O1外切，所求圆的半径为：2，圆O2的方程（x﹣2）2+（y﹣1）2=12﹣8，（2）圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|=2．所以圆O1交到AB的距离为：=，当圆O2到AB的距离为：，圆O2的半径为：=2．圆O2的方程：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．当圆O2到AB的距离为：3，圆O2的半径为：=．圆O2的方程：（x﹣2）2+（y﹣1）2=20．综上：圆O2的方程：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4或（x﹣2）2+（y﹣1）2=20．点评：本题考查两个圆的位置关系，圆的方程的求法，考查计算能力．18．（16分）（2008•天心区校级模拟）已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点p（1，0）处（即p为切点）的切线与直线3x+y=0平行．（1）求常数a、b的值；（2）求函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最小值和最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：（1）由题目条件知，点P（1，0）为切点，且函数在改点处的导数值为切线的斜率，从而建立关于a，b的方程，可求得a，b的值；（2）由（1）确定了函数及其导数的解析式，解不等式f'（x）＞0与f'（x）＜0，可求出函数的单调区间，讨论t与区间（0，2]的位置关系，根据函数的单调性分别求出函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最小值和最大值．解答：解：（1）f'（x）=3x2+2ax，因为函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点p（1，0）处（即p为切点）的切线与直线3x+y=0平行，所以f'（1）=3+2a=﹣3，∴a=﹣3．又f（1）=a+b+1=0∴b=2．综上：a=﹣3，b=2（2）由（1）知，f（x）=x3﹣3x2+2，f'（x）=3x2﹣6x．令f'（x）＞0得：x＜0或x＞2，f'（x）＜0得：0＜x＜2∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（2，+∞），单调递减区间为（0，2）．又f（0）=2，f（3）=2∴当0＜t≤2时，f（x）的最大值为f（0）=2，最小值为f（t）=t3﹣3t2+2；当2＜t≤3时，f（x）的最大值为f（0）=2，最小值为f（2）=﹣2；当t＞3时，f（x）的最大值为f（t）=t3﹣3t2+2，最小值为f（2）=﹣2点评：本题主要考查了利用导数研究函数的最大值，最小值，同时考查了导数的几何意义，以及学生灵活转化题目条件的能力，属于中档题．19．（16分）（2013•眉山二模）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点：（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）根据题意可求得b，进而根据离心率求得a和c，则椭圆的方程可得．（Ⅱ）设出直线AB的方程，与椭圆方程联立消去y，表示出x1+x2和x1x2，利用建立方程求得k．（Ⅲ）先看当直线的斜率不存在时，可推断出x1=x2，y1=﹣y2，根据=0求得x1和y1的关系式，代入椭圆的方程求得|x1|和|y1|求得三角形的面积；再看当直线斜率存在时，设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用=0求得2b2﹣k2=4，最后利用弦长公式和三角形面积公式求得答案．解答：解：（Ⅰ）2b=2．b=1，e=椭圆的方程为（Ⅱ）由题意，设AB的方程为y=kx+由已知=0得：=，解得k=±（Ⅲ）（1）当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=﹣y2，由=0，则又A（x1，y1）在椭圆上，所以S=所以三角形的面积为定值（2）当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+b得到x1+x2=代入整理得：2b2﹣k2=4=所以三角形的面积为定值点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．设直线方程的时候，一定要考虑斜率不存在时的情况，以免有所遗漏．20．（16分）（2010•广东模拟）已知函数f（x）=lnx+﹣kx（k为常数）（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在极值，求f（x）的零点个数．考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求出f′（x）=，而方程x2﹣kx+1=0的判别式△=k2﹣4，再讨论（i）当﹣2＜k＜2时（ii）当k=±2时，（iii）当k＜﹣2或k＞2时的情况，从而求出函数的单调区间；（2）由（1）知当k＞2时，得f极大值（x）=f（x1）=＜0，当x∈（0，x2]时，f（x）≤f（x1）＜0，即f（x）在（0，x2]无零点，当x∈（x2，+∞）时，f（x）是增函数，故f（x）在（x2，+∞）至多有一个零点，另一方面，f（x）在（x2，2k）至少有一个零点，进而当f（x）存在极值时，f（x）有且只有一个零点．解答：解：（1）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=，方程x2﹣kx+1=0的判别式△=k2﹣4，（i）当﹣2＜k＜2时，△＜0，在f（x）的定义域内f′（x）＞0，f（x）是增函数；（ii）当k=±2时，△=0，若k=﹣2，f′（x）=＞0，f（x）是增函数若k=2，f′（x）=，那么x∈（0，1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，且f（x）在x=1处连续，所以f（x）是增函数；（iii）当k＜﹣2或k＞2时，△＞0，方程x2﹣kx+1=0有两不等实根x1=，x2=，当k＜﹣2时，x1＜x2＜0，当x＞0时，x2﹣kx+1＞0恒成立，即f′（x）＞0，f（x）是增函数当k＞2时，x2＞x1＞0，此时f（x）的单调性如下表：x （0，x1）x1（x1，x）x2（x2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）增减增综上：当k≤2时，f（x）在（0，+∞）是增函数当k＞2时，f（x）在（0，），（，+∞）是增函数，在（，）是减函数；（2）由（1）知当k＞2时，f（x）有极值∵x1==＜＜1，∴lnx1＜0，且f极大值（x）=f（x1）=＜0，∵f（x）在（0，x1）是增函数，在（x1，x2）是减函数，∴当x∈（0，x2]时，f（x）≤f（x1）＜0，即f（x）在（0，x2]无零点，当x∈（x2，+∞）时，f（x）是增函数，故f（x）在（x2，+∞）至多有一个零点，另一方面，∵f（2k）=ln（2k）＞0，f（x2）＜0，则f（x2）f（2k）＜0，由零点定理：f（x）在（x2，2k）至少有一个零点，∴f（x）在（x2，+∞）有且只有一个零点综上所述，当f（x）存在极值时，f（x）有且只有一个零点．点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，考查根的存在性及根的个数问题，是一道综合题．四、（附加题）试卷21．（2014秋•启东市校级期末）（1）求函数f（x）=cos2（ax+b）的导函数；（2）证明：若函数f（x）可导且为周期函数，则f′（x）也为周期函数．考点：导数的运算；函数的周期性．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用倍角公式降幂，然后利用基本初等函数的导数公式及简单的复合函数的导数得答案；（2）函数f（x）可导且为周期函数，则存在a≠0，使得f（x+a）=f（x），两边对x求导数即可证明f′（x）也为周期函数．解答：（1）解：由f（x）=cos2（ax+b）=，得=﹣asin（2ax+2b）；（2）证明：函数f（x）可导且为周期函数，则存在a≠0，使得f（x+a）=f（x），两边对x求导得f'（x+a）=f'（x），∴以f'（x）是以a为周期的周期函数．点评：本题考查了对数的运算，考查了基本初等函数的导数公式，考查了简单的复合函数的导数，是基础题．22．（2014秋•启东市校级期末）设M、N为抛物线C：y=x2上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线l1、l2，与x轴分别交于A、B两点，且l1与l2相交于点P，若AB=1，求点P的轨迹方程．考点：轨迹方程．专题：导数的综合应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设P（x，y），M（x1，x12），N（x2，x22），由导数求得两直线的斜率，用点斜式求得l1 的方程，同理求得l2的方程，由此建立x，y 的方程．解答：解：设P（x，y），M（x1，x12），N（x2，x22），由y=x2，得y′=2x，∴=2x1，∴l1 的方程为y﹣x12=2x1（x﹣x1），即y=2x1x﹣x12①，同理，l2的方程为y=2x2x﹣x22②，令y=0，可求出A（，0），B（，0）．∵|AB|=1，∴|x1﹣x2|=2，即|x1+x2|2﹣4x1x2 =4，由①，②，得，y=x1x2，故点P（，x1x2）．∴点P的轨迹方程为：y=x2﹣1，点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，体现了整体运算思想方法，是中档题．23．（2014秋•启东市校级期末）如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，．（1）求点A到平面MBC的距离；（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．考点：二面角的平面角及求法；用空间向量求直线间的夹角、距离．专题：综合题；空间角．分析：（1）取CD的中点，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，故MO∥AB，A，B，O，M共面，延长AM，BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，由此能求出点A到平面MBC的距离．（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线，由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形，作BF⊥EC于F，连接AF，∠AFB是二面角A﹣EC﹣B的平面角，由此能求出平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．解答：解：（1）取CD的中点，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，∴MO∥AB，A，B，O，M共面，延长AM，BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，OB=MO=，MO∥AB，MO∥面ABC，M，O到平面ABC的距离相等，作OH⊥BC于H，连接MH，则MH⊥BC，∴OH=OC•sin60°=，MH=，∵V A﹣MBC=V M﹣ABC，∴d=．（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线，由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形，作BF⊥EC于F，连接AF，∠AFB是二面角A﹣EC﹣B的平面角，设为θ，∵∠BCE=120°，∴∠BCF=60°，BF=BC•sin60°=，tanθ=，sinθ=，所以平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值为．点评：本题考查点到平面的距离的求法，考查二面角的正弦值的求法．解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题．。