周期现象与周期函数
三角函数图像2：周期性
周期函数如果现在是早上9点钟，问你：24小时以后是几点钟？你会毫不犹豫地回答：还是早上9点钟．因为你很清楚，0点、1点、2点、3点……23点，每隔24小时就重复出现一次．如果今天是星期一，问你：7天以后是星期几？你也会回答：还是星期一．因为你很清楚，星期一、星期二……星期天，每隔7天就重复出现一次．相同的间隔而重复出现的现象称为周期现象，如“24小时1天”、“7天1星期”、“365天1年”就是我们所熟悉的周期现象．自然界中有很多周期现象，如日出日落、月圆月缺、四季交替，等等．正弦函数、余弦函数是否有这样的周期性呢？1．周期函数(1)周期函数条件①对于函数f(x)，存在一个__非零__常数T②当x取定义域内的每一个值时，都有__f(x＋T)＝f(x)__结论函数f(x)叫做__周期函数__，__非零常数T__叫做这个函数的__周期__(2)最小正周期条件周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的__正数__结论这个最小__正数__叫做f(x)的最小正周期2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sin x y＝cos x周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π__2π__奇偶性__奇函数____偶函数__[知识点拨]1.对周期函数的两点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(2)在周期函数y＝f(x)中，若x∈D，则x＋nT∈D(x∈Z)．从而要求周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界．2．对函数最小正周期的两点说明(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x 要加上的那个最小正数，这个正数是对x 而言的，如y ＝sin2x 的最小正周期是π，因为y ＝sin(2x ＋2π)＝sin [2(x ＋π)]，即π是使函数值重复出现的自变量x 加上的最小正数，π是对x 而言的，而非2x ．(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f (x )＝c ，任意一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．3．正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形． 预习自测1．函数f (x )＝－2sin(πx ＋π3)的最小正周期为( D )A ．6B ．2πC ．πD ．22．下列函数中，周期为π2的是( D )A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos(－4x ) 3．设函数f (x )＝sin(2x －π2)，x ∈R ，则f (x )是( B )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数4．若f (x )(x ∈R )为奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝__0__．命题方向1 ⇨三角函数的周期 典例1 求下列函数的周期． (1)y ＝sin 12x ；(2)y ＝2sin(x 3－π6)．[思路分析] 可以根据周期函数的定义求解，也可以用公式T ＝2π|ω|直接求解．[解析] 解法1：(1)令u ＝12x ，则y ＝sin u 是周期函数，且周期为2π．∴sin(12x ＋2π)＝sin 12x ，即sin[12(x ＋4π)]＝sin 12x ．∴y ＝sin 12x 的周期是4π．(2)∵2sin(x 3－π6＋2π)＝2sin(x 3－π6)，∴2sin[13(x ＋6π)－π6]＝2sin(x 3－π6)，∴y ＝2sin(x 3－π6)的周期是6π．解法2：(1)∵ω＝12，∴T ＝2π12＝4π．(2)∵ω＝13，∴T ＝2π13＝6π．『规律总结』 求三角函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意实数x 都满足f (x ＋T )＝f (x )的非零常数T .该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，可利用T ＝2π|ω|来求．(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．〔跟踪练习1〕求下列函数的最小正周期． (1)y ＝sin(3x ＋π3)；(2)y ＝|cos(2x ＋π6)|；(3)y ＝sin(2πx －π4)．[解析] (1)∵ω＝3，T ＝2π3．(2)∵函数y ＝cos(2x ＋π6)的最小正周期为π，而函数y ＝|cos(2x ＋π6)|的图象是将函数y ＝cos(2x ＋π6)的图象在x 轴下方的部分对折到x 轴上方，并且保留在x 轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为T ＝π2．(3)∵ω＝2π，∴T ＝2π2π＝π2．命题方向2 ⇨三角函数奇偶性的判断 典例2 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝|sin x |＋cos x ； (2)f (x )＝sin(3x 4＋3π2)；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x．[思路分析] 先求函数的定义域，判断函数定义域是否关于原点对称，再判断f (－x )与f (x )的关系，最终确定奇偶性．[解析] (1)函数的定义域为R ．∵f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．(2)f (x )＝sin(3x 4＋3π2)＝－cos 3x4，x ∈R ．∵f (－x )＝－cos(－3x 4)＝－cos 3x4＝f (x )，∴函数f (x )＝sin(3x 4＋3π2)是偶函数．(3)函数应满足1＋sin x ≠0，则函数f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x 的定义域为{x ∈R |x ≠2k π＋3π2，k ∈Z }．显然定义域不关于原点对称，故函数f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x 为非奇非偶函数．『规律总结』 1.判断函数奇偶性的常用方法：(1)定义法，即从f (－x )的解析式中拼凑出f (x )的解析式，再看f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是否成立．(2)图象法，即作出函数的图象，由图象的对称性确定其奇偶性． (3)验证法，即验证f (－x )＋f (x )＝0或f (－x )－f (x )＝0(或f (－x )f (x )＝±1)是否成立．此法通常用于函数是非奇非偶的情形．2．判断函数奇偶性时，必须先判断其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f (－x )是否等于－f (x )或f (x )，进而再判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数是非奇非偶数．〔跟踪练习2〕判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x cos(π＋x )；(2)f (x )＝sin(cos x )．[解析] (1)函数f (x )的定义域为R ， ∵f (x )＝x ·cos(π＋x )＝－x ·cos x ，∴f (－x )＝－(－x )·cos(－x )＝x ·cos x ＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．(2)函数f (x )的定义域为R ．∵f (－x )＝sin [cos(－x )]＝sin(cos x )＝f (x )． ∴f (x )为偶函数．三角函数奇偶性与周期性的综合运用典例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，求f (5π3)的值．[思路分析] 利用周期性与奇偶性将5π3化到[0，π2]内再求值．[解析] ∵f (x )的最小正周期为π，∴f (5π3)＝f (2π3＋π)＝f (2π3)＝f (π－π3)＝f (－π3)．又f (x )是偶函数．∴f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32．『规律总结』 1.解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可．2．如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数在一个周期上的特征，加以推广便可以得到该函数在其它义域内的有关性质．〔跟踪练习3〕若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f (π3)＝1，求f (－5π6)的值．[解析] ∵f (x )为以π2为周期的奇函数∴f (－56π)＝－f (56π)＝－f (π2＋π3)＝－f (π3)＝－1．不清楚f (x ＋T )表达的意义典例4 利用定义求f (x )＝sin(2x －π6)的最小正周期．[错解] ∵f (x ＋2π)＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋2π)－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋4π＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝f (x )， ∴T ＝2π是f (x )的最小正周期．[错因分析] 错解中求的不是最小正周期．对于y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，其周期为2πω． [正解] 令z ＝2x －π6，∵x ∈R ，∴z ∈R ．又∵y ＝sin z 的周期是2π， z ＋2π＝⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2π＝2(x ＋π)－π6， ∴f (x ＋π)＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π)－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2π＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝f (x )． ∴T ＝π．[点评] 最小正周期是指使函数重复出现的自变量x 要加上的最小正数，是对x 而言，而不是对ωx 而言．〔跟踪练习4〕对于函数y ＝sin x ，x ∈R 有sin(π6＋2π3)＝sin π6，能否说2π3是它的周期？[解析] 不能．周期必须对定义域内的每一个值都有f (x ＋T )＝f (x )． 课堂检测1．下列是定义在R 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( D )2．函数y ＝sin2x 是( A ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的偶函数D ．周期为π2的奇函数3．若函数f (x )＝cos(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期是2，则ω的值为( B )A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π4．函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝2，则f (6)＝__2__． [解析] f (6)＝f (4＋2)＝f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＝2．5．设f (x )是以1为一个周期的奇函数，且当x ∈(－12，0)时，f (x )＝4x －1，求f (－318)的值．[解析] ∵f (x )的周期为1，f (－318)＝f (－4＋18)＝f (18)．又当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1， ∴f (－18)＝4×(－18)－1＝－32，又∵f (x )是奇函数，∴f (－18)＝－f (18)，∴f (18)＝32.故f (－318)＝32．A 级 基础巩固一、选择题1．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是( B )[解析] 由已知，得f (x )是周期为2的偶函数，故选B ． 2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－x 2＋π4的最小正周期为( C ) A ．π B ．2π C ．4πD ．π23．函数f (x )＝7sin(2x 3＋15π2)是( A )A ．周期为3π的偶函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为4π3的偶函数4．函数y ＝|cos x |的最小正周期是( C ) A ．π4B ．π2C ．πD ．2π5．下列说法中正确的是( A )A ．当x ＝π2时，sin(x ＋π6)≠sin x ，所以π6不是f (x )＝sin x 的周期B ．当x ＝5π12时，sin(x ＋π6)＝sin x ，所以π6是f (x )＝sin x 的一个周期C ．因为sin(π－x )＝sin x ，所以π是y ＝sin x 的一个周期D ．因为cos(π2－x )＝sin x ，所以π2是y ＝cos x 的一个周期6．若函数y ＝2sin ωx (ω>0)的图象与直线y ＋2＝0的两个相邻公共点之间的距离为2π3，则ω的值为( A )A ．3B ．32C ．23D ．13[解析] 函数y ＝2sin ωx 的最小值是－2，该函数的图象与直线y ＋2＝0的两个相邻公共点之间的距离恰好是一个周期，故由2πω＝2π3，得ω＝3．二、填空题7．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的周期为π，则ω＝__2__．8．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为6的奇函数，且f (1)＝1，则f (5)＝__－1__． [解析] 由于函数f (x )是定义在R 上的周期为6的奇函数，则f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝－f (1)．又f (1)＝1，则f (5)＝－1． 三、解答题9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)f (x )＝1，求证：f (x )是周期函数． [证明] ∵f (x ＋2)＝1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )．∴函数f (x )是周期函数，4是一个周期．10．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ．(1)求当x ∈[－π，0]时，f (x )的解析式； (2)画出函数f (x )在[－π，π]上的简图； (3)求当f (x )≥12时x 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )． ∵当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，∴当x ∈[－π2，0]时，f (x )＝f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ．又∵当x ∈[－π，－π2]时，x ＋π∈[0，π2]，f (x )的周期为π，∴f (x )＝f (π＋x )＝sin(π＋x )＝－sin x ．∴当x ∈[－π，0]时，f (x )＝－sin x ． (2)如右图．(3)∵在[0，π]内，当f (x )＝12时，x ＝π6或5π6，∴在[0，π]内，f (x )≥12时，x ∈[π6，5π6]．又∵f (x )的周期为π，∴当f (x )≥12时，x ∈[k π＋π6，k π＋5π6]，k ∈Z ．B 级 素养提升一、选择题1．函数y ＝cos(k 4x ＋π3)(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( D )A ．10B ．11C ．12D ．13[解析] T ＝2πk 4＝8πk ≤2，∴k ≥4π又k ∈N *∴k 最小为13，故选D ．2．函数y ＝⎪⎪⎪⎪7sin ⎝⎛⎭⎫3x －π5的周期是( C ) A ．2π B ．π C ．π3D ．π6[解析] T ＝12·2π3＝π3．3．函数y ＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期为( A ) A ．π2B ．πC ．2πD ．4π[解析] ∵⎪⎪⎪⎪sin (x ＋π2)＋⎪⎪⎪⎪cos (x ＋π2)＝|sin x |＋|cos x |.∴原函数的最小正周期为π2． 4．函数f (x )＝4sin(23x ＋15π2)是( A )A ．周期为3π的偶函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为43π的奇函数D ．周期为43π的偶函数[解析] f (x )＝4sin(23x ＋15π2)＝4sin(23x ＋32π)＝－4cos 23x ，∴T ＝3π，且满足f (－x )＝f (x )，故选A ．二、填空题5．若函数f (x )是以π2为周期的偶函数，且f (π3)＝1，则f (－17π6)＝__1__．[解析] ∵f (x )的周期为π2，且为偶函数，∴f (－17π6)＝f (－3π＋π6)＝f (－6×π2＋π6)＝f (π6)＝f (π2－π2)＝f (－π3)＝f (π3)＝1．6．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋π6)，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．若f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，则sin α的值为 ±45． [解析] ∵f (x )的最小正周期为π2，ω>0，∴ω＝2ππ2＝4.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6． 由f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95， ∴cos α＝35．∴sin α＝±1－cos 2α＝±45．三、解答题7．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |．(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期． [解析] (1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π)(k ∈Z ).11 函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π．8．已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈[0，π2]时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈[52π，3π]时f (x )的解析式．[解析] x ∈[52π，3π]时， 3π－x ∈[0，π2]， 因为x ∈[0，π2]时，f (x )＝1－sin x ， 所以f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x ．又f (x )是以π为周期的偶函数，所以f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈[52π，3π]． C 级 能力拔高定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,4]时，f (x )＝x －2，则有下面三个式子：①f (sin 12)<f (cos 12)；②f (sin π3)<f (cos π3)；③f (sin1)<f (cos1)．其中一定成立的是__②③__(填序号)．。
高一数学周期知识点
高一数学周期知识点一、周期的概念及表示方法周期是指在一个特定的时间范围内，某个事物或现象发生的规律性重复。
在数学中，周期性是指函数在特定条件下，其取值在一定间隔内重复的特性。
周期可以通过函数的图像来表示，通常使用周期性的波形图像，如正弦曲线、余弦曲线等。
以正弦函数为例，其函数图像是一个波状的周期图形，它在给定的时间内重复出现。
二、正弦函数的周期性正弦函数是数学中常见的周期性函数之一。
它的周期为2π，即在横坐标轴上每走过一个完整的周期，正弦函数的值就会有一次完整的变化。
在数学中，正弦函数的表示形式为：y = A sin(Bx + C) + D。
其中A、B、C、D为常数，分别决定了正弦函数的振幅、周期、相位和纵向位移。
三、余弦函数的周期性余弦函数是正弦函数的相似函数，也具有周期性。
余弦函数的周期也是2π，即在横坐标轴上每走过一个完整的周期，余弦函数的值也会有一次完整的变化。
余弦函数的表示形式为：y = A cos(Bx + C) + D。
同样，A、B、C、D为常数，分别决定了余弦函数的振幅、周期、相位和纵向位移。
四、正弦函数与余弦函数的关系正弦函数和余弦函数是互为相似函数，它们的图像有很多相同的性质和特点。
正弦函数的图像是余弦函数图像向左平移π/2的结果，而余弦函数的图像是正弦函数向右平移π/2的结果。
因此，我们可以通过正弦函数和余弦函数的互相转化，来分析和解决一些周期性问题。
例如，求解正弦函数的最大值、最小值、零点等问题，可以通过将其转化为余弦函数的问题来求解。
五、周期函数的应用周期函数在数学中具有广泛的应用。
它们可以用来描述一些具有规律性变化的事物或现象，比如天体的运行、信号的周期性等。
在物理学中，周期函数常常用于描述振动和波动现象。
例如，弹簧振子的运动、声波的传播等都可以通过周期函数来描述和分析。
此外，周期函数还在工程学、经济学等领域得到广泛运用。
在电路设计中，周期函数可以用来描述交流电信号的变化规律；在经济学中，周期函数可以用于预测经济周期的变化。
高中数学第一章三角函数1_1周期现象与周期函数课件1北师大版
象对实际工作的意义;(重点)
3.能熟练地判断简单的实际问题的周期.（难点）
探究点1 对周期现象的理解
当潮汐发生时，水的深度会产生周期性变化，
为了研究水深的变化规律，我们可以构造一个函
数.例如，确定一个位置，考察该处水深H和时间t
的关系，那么H就是t的函数.下表1-1是某港口在
( B )年
A.2018 举办一次. 【解析】选B.2014+8=2022. B.2022 C.2026 D.2030
【解题关键】冬奥会和夏季奥运会一样,都是每隔4年
3.某齿轮转动装备如图,大齿轮有44个齿,小齿轮有22 个齿,当大齿轮转动10周时,小齿轮转动 A.10周 B.5周 C.15周 ( D ) D.20周
某一天水深与时间的对应关系表，通过表中数据， 我们来研究H(t)这个函数.
表1-1 时刻 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 水深 /m 5.0 6.2 7.5 7.3 6.2 5.3 4.1 3.1 时刻 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 水深 /m 2.5 2.7 3.5 4.4 5.0 6.2 7.5 7.3 时刻 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 24:00 水深 /m 6.2 5.3 4.1 3.1 2.5 2.7 3.5 4.4
【即时训练】
下列现象不是周期现象的是( A.四季交替现象 C.每年春节联欢晚会 B )
B.暴风雪的发生 D.物理中的简谐振动
【解析】A，C，D中的现象都符合周期现象的特征，
而B中暴风雪的发生是一种随机现象.
函数的周期性原理及应用
函数的周期性原理及应用1. 什么是函数的周期性原理？函数的周期性原理是数学中一个十分重要的概念。
周期是指函数在一定区间内重复的特性。
周期性原理描述了函数以固定的重复模式出现的现象。
2. 周期函数的定义周期函数是指满足f(x+T)=f(x)，其中T是正数，被称为函数的周期。
例如，$f(x) = \\sin(x)$是一个周期为$2\\pi$的周期函数。
3. 周期函数的特点周期函数具有以下特点：•函数值在一个周期内具有相同的模式，即函数图像在重复的周期内呈现相似的形状。
•周期函数的平均值为周期内各个函数值的平均数。
4. 周期函数的图像周期函数的图像可以通过绘制一个周期内的部分来表示。
例如，对于周期为$2\\pi$的正弦函数，我们可以绘制一个周期内的函数曲线。
通过绘制多个周期，我们可以更全面地观察周期函数的特征。
5. 周期函数的应用周期函数在许多领域都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用：5.1 电子信号处理周期函数在电子信号处理领域扮演着重要的角色。
例如，音频信号、视频信号等都是周期函数。
通过对周期函数进行采样和处理，可以实现音频和视频的数字化和传输。
5.2 信号分析与滤波周期函数的频谱分析是信号处理中的一个重要步骤。
通过对周期函数进行傅里叶变换，可以将其表示为一系列正弦和余弦函数的叠加。
这些频谱分析结果可以用于信号的滤波和频率分析。
5.3 电力系统电力系统中的交流电信号可以看作是周期函数，其周期通常为50Hz或60Hz。
电力系统中的稳定性和谐波分析等问题都与周期函数的性质密切相关。
5.4 振动系统振动系统中的运动可以用周期函数描述。
例如，弹簧振子、摆钟等都具有周期性的运动特性。
通过对周期函数进行分析，可以研究振动系统的行为和性能。
6. 总结函数的周期性原理是数学中重要的概念。
周期函数具有在一个周期内重复的性质，并且在各个周期内具有相似的形状。
周期函数在电子信号处理、信号分析与滤波、电力系统和振动系统等领域有着广泛的应用。
高中数学第一章三角函数1.1周期现象与周期函数课件2北师大版必修
136.6
P/mmHg 93.35 136.65 115 93.35
115
5
(1)请根据上表提供的数据，在坐标系中作出血压P与时间 t的对应关系的散点图. (2)血压随时间的变化的现象是周期现象吗？ 【解题指南】通过散点图的变化趋势研究周期现象.
【解析】(1)作出血压P与时间t的散点图.如下：
(2)由散点图可以看出，每经过15 s，血压就重复出现相 同的数值，因此血压随时间的变化的现象是周期现象.
【方法技巧】应用周期现象解决实际问题的两个要点
【变式训练】今天是星期五，则168天后是_______，170 天后是_______. 【解题指南】一星期是7天，一个循环. 【解析】因为168=7×24，,170=7×24+2，所以168天 后仍是星期五，170天后是星期天. 答案：星期五 星期天
依据规定，当海浪高于1米时才对冲浪爱好者开放，依据 上表可以判断，一天内的8:00至20:00时之间，有多少时 间可以供冲浪者运动？
【解题探究】1.从图像观察，函数值有没有重复出现？ 2.对题(2)中的数据如何提取有效信息？ 【探究提示】1.有，当x分别在[0,2],[3,5],[6,8]取值时， 对应的y值会重复出现. 2.将实际问题中的数据转化为散点图，利用散点图解决实 际问题.
【微思考】 (1)重复出现的现象是周期现象吗？ 提示：不一定，重复出现，还要有规律. (2)有规律可循的现象是周期现象吗？ 提示：不一定，有规律可循，还要重复出现.
【即时练】 下列现象不是周期现象的是_________(填序号). ①挂在弹簧下方上下震动的小球； ②游乐场中摩天轮的运行； ③抛一枚骰子，向上的数字是奇数； ④每四年出现1个闰年. 【解析】①②④都有规律可循，而抛一枚骰子，向上的数 字可能是奇数，也可能是偶数,无规律可循.故③不是周期 现象. 答案：③
高一数学周期函数的图像与性质
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汇报人：WPS
周期函数的定 义
周期函数的图 像
周期函数的性 质
周期函数的应 用
周期函数的扩 展知识
周期函数的定义
周期函数的定义
周期函数：在 一定区间内， 函数值按照一 定的周期重复
出现的函数
周期函数的性质
最小正周期
定义：周期函 数的最小正周 期是指函数图 像重复出现的 最小时间间隔
性质：周期函 数的最小正周 期是函数图像 重复出现的最
小时间间隔
计算方法：最 小正周期可以 通过函数表达 式中的系数和 常数项来确定
应用：最小正 周期在解决实 际问题中具有 重要意义，如 周期性运动、 周期性变化等
三角函数与矩阵的关系
三角函数与矩阵的关系：三角函数 可以通过矩阵来表示
矩阵性质：矩阵具有一些特殊的性 质，如对称性、正交性等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
矩阵表示：三角函数可以通过矩阵 乘法来实现
矩阵运算：三角函数可以通过矩阵 运算来实现，如加法、乘法、求逆 等
感谢观看
汇报人：WPS
周期函数的图像
正弦函数和余弦函数的图像
正弦函数：图像是一条正弦曲 线，周期为2π
余弦函数：图像是一条余弦曲 线，周期为2π
正弦函数和余弦函数的图像都 是周期函数，具有周期性
正弦函数和余弦函数的图像都 可以通过旋转得到其他周期函 数的图像
三角函数图像的变换
平移变换：改变函数图像的位 置
伸缩变换：改变函数图像的大 小
信号压缩：通过傅里叶变换进行信号压缩， 减少数据量
周期现象与周期函数
T T f( ) f( ) 2 2 T T f( ) 0, 即 f( ) 0 2 2
1 周期现象与周期函数
钱塘江潮
迁徙的鸟
每隔一段时间会重复出现的现象被称为周期现象。 自然界中存在着大量的周期现象 你还能举出其它的例子吗？
某港口在某一天水深与时间的对应关系表
时刻 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 水深/m 5.0 6.2 7.5 7.3 6.2 5.3 时刻 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 水深/m 2.5 2.7 3.5 4.4 5.0 6.2 时刻 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 水深/m 6.2 5.3 4.1 3.1 2.5 2.7
定义 如果存在不为0的实数T，使得对定义域内的 任意一个x，函数y=f(x)都满足：
f(x+T) =f(x)
我们就把这种函数称为周期函数，T称为这个 函数的周期。
注意:
(1)只有个别x的值满足，不能说是周期函数；
(2)自变量加上的常数才算周期，比如：f(2x+T)=f(2x)，我们
说f(2x)是周期函数，但周期是T/2； (3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数， 就称它为最小正周期，一般我们所说的周期都是指最小正周期。 事实上，如果T为周期，那么kT(k≠0)也是它的周期.
7:00
8:00
4.1
15:00
16:00
7.5
7.3
23:00
24:00
3.5
4.4
水深H与时间t关系的散点图
8 6 4 2 0 0 8 16 24
t/h H/m
《简单的周期》(说课教案)
4.培养学生在小组合作探究周期问题时，发展团队合作与问题解决的核心素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解周期现象的本质特征，掌握周期函数的定义及其性质，这是本节课的核心内容。
-学会通过观察、分析具体实例，发现周期现象的规律，并能够运用周期知识解决实际问题。
举例：在解决一个摆动的秋千问题时，学生需要将秋千的运动抽象成一个周期函数模型，并利用周期函数的性质来分析秋千的运动状态。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《简单的周期》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过重复出现的事物或现象？”比如，春夏秋冬的四季更替，钟表的秒针走动等。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索周期的奥秘。
在总结回顾环节，虽然大部分学生能够跟随课堂节奏，对周期现象有了基本的掌握，但我也意识到，对于一些学习困难的学生来说，他们可能还需要更多的个别辅导和答疑时间。因此，我计划在课后安排一些针对性的辅导，帮助他们巩固课堂所学。
-难点二：周期函数图像的绘制，特别是对于非基本周期函数，学生难以准确把握图像的周期性特征。教学中应借助图形计算器或计算机软件，让学生观察并实践绘制过程，加深对周期图像的理解。
-难点三：在解决实际问题时，学生可能难以将问题抽象为周期函数模型。教师应提供丰富的实际问题，引导学生运用周期函数的知识进行分析和建模。
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的表现整体较好，但我也注意到有些小组在讨论时可能过于依赖实验结果，而忽略了理论分析。在今后的教学中，我要引导学生充分运用理论知识，对实验结果进行深入解读。
数学周期变化知识点总结
数学周期变化知识点总结1. 周期函数在数学中，周期函数是指其函数值在一定的间隔内呈现重复性变化的函数。
即存在一个正数T，对于函数f(x)，满足f(x+T) = f(x)。
这里T即为函数的周期，也称为基本周期。
周期函数可以分为正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数，以及其他常见的函数如正弦余弦函数、指数函数等。
正弦函数是最基本的周期函数之一，其公式为y=Asin(Bx+C)+D，其中A、B、C、D为常数，B控制周期的长度，也可以表示为2π/k，其中k为正整数，即函数的周期为2π/k。
余弦函数的公式为y=Acos(Bx+C)+D，其特点与正弦函数类似，但相位差不同。
正切函数的公式为y=Atan(Bx+C)+D，也是一个周期函数，但其周期与正弦余弦函数不同。
2. 周期变化的图像周期函数在坐标平面上的图像表现为一种重复性的波动形状，可以是正弦波、余弦波等不同的形状。
在图像上，周期函数的波形会在一定的间隔内反复出现，形成一种规律性的变化。
通过观察其图像特点，可以确定周期函数的周期、振幅、相位等重要参数。
以正弦函数为例，当B=1时，周期函数的图像将呈现正弦波形状，其周期为2π。
当振幅A增大时，波形将变得更加陡峭；相位C的变化可以控制波形的水平平移；常数D则可以控制波形的上下平移。
通过调整这些参数，可以得到不同形式的周期函数图像。
在三角函数中，还有一些其他形式的周期函数，如正弦余弦函数y=Asin(Bx+C)+Acos(Dx+E)+F等，其图像将呈现一种叠加的波动形状。
根据具体的函数表达式，可以通过分析图像特点来确定其周期、振幅、相位等参数。
3. 周期变化的应用周期变化在实际生活和科学研究中有着广泛的应用，例如在电路分析、机械振动、天文学、气候变化等领域。
周期函数的图像特点可以描述许多自然现象和物理规律，因此被广泛应用于建立模型和解决实际问题。
在电路分析中，周期函数可以用来描述电流、电压等随时间的变化规律，帮助工程师设计和优化电路。
§1.1周期现象与周期函数
周 期 函 数
函数f(x)满足对定义域内的任意x，均存在非零常数T使得 f(x+T)=f(x)
我们称f(x)是周期函数，T称为这个函数的周期
周期有很多个，我们一般研究函数的最小正周期。
§1.1
周期函数的图像 如果一个函数的自变量每增加或减少一个固定的值时， 函数 值重复出现， 函数图像重复出现， 这样的函数就应考虑是周 期函数，这个固定的值就是函数的一个周期.周期函数的图 像应当沿 x 轴向左、右两方无限延展.下面提供了一些周期 函数的部分图像，请你根据图像写出它们的周期.
无论从哪个时间t算起，经过一年时间(T=365天），地 球又回到原来的位置，所以地球与太阳的距离是周期变 化的。
y=f(t+365)=f(t)
例2 摆钟问题
例3 水车
T=5 y=f(t+5)=f(t) T=365 y=f(t+365)=f(t) T=10 f(t+10)= f(t)
f(x+T)=f(x)
（图中25时表示次日凌晨1时）
生活中的周期现象
钱塘江潮 海水潮汐现象
• 每经过相同的时间间隔T（12H），水深重复出 现相同的数，水深是周期性变化。
h(t+12)=h(t)
例1 地球围绕太阳转，地球到太阳的距离y随时 间t的变化是周期性的吗 ？
在任何确定的时间，地球与太阳距离y是唯一确定的，每经 过一年地球围绕着太阳转一周。
(1)
§1.1
本 课 时 栏 目 开 关
(2)
(3)
§1.1
本 课 时 栏 目 开 关
(4) 它们的周期依次是：(1) 1 ；(2)π；(3)π ；(4) 2π .
第一章 三角函数
数学周期现象知识点总结
数学周期现象知识点总结数学周期现象是数学中一个非常重要的概念，它在许多不同的数学领域中都有着广泛的应用。
周期现象可以在代数、几何、微积分、概率统计等领域中找到，并且在实际生活中也有着许多的应用。
了解周期现象的基本概念和性质，对于理解数学问题和解决实际问题都是非常有帮助的。
1. 周期现象的基本概念周期现象指的是一种在某个区间内重复出现的规律性现象。
这种现象在数学中广泛存在，其中最为典型的就是正弦函数和余弦函数。
这两个函数都是以2π为周期来重复的函数，因此它们在周期现象的研究中具有着非常重要的地位。
对于一个周期现象，可以用函数的图像来进行描述。
在图像中，可以看到函数在某一段区间内重复进行，形成周期性的波动。
而在数学上，可以用函数的性质和周期函数的定义来进一步描述周期现象。
2. 周期函数的性质周期函数是指在某一段区间内具有重复规律的函数。
其中，最为典型的周期函数就是正弦函数和余弦函数。
这两个函数在周期性上有着非常明显的特点，即它们在2π的整数倍上具有相同的函数值。
这也是周期函数的最基本性质之一。
另外，周期函数的另一个重要性质是其在周期区间内具有对称性。
这是因为周期函数在周期区间内的函数值是重复的，因此可以通过对称轴来完成函数值的对称。
这个对称性在周期函数的图像中可以很清楚地看到，因此对于周期函数的性质研究中具有着重要的作用。
另外，周期函数还具有相位差和振幅的性质。
其中，相位差指的是函数图像在周期内的偏移量，而振幅则是函数图像在周期内的最大偏移量。
这两个性质在周期函数的图像中可以很直观地看到，因此对于周期函数的性质研究也是非常重要的。
3. 周期函数的应用周期函数在数学中有着广泛的应用。
其中，最为典型的就是在物理学和工程学中的应用。
在这两个领域中，周期函数可以用来描述许多自然现象和工程问题，因此在解决实际问题时有着重要的作用。
在物理学中，周期函数被广泛用来描述振动现象。
其中，最典型的就是弹簧振子和单摆的运动。
周期函数高考知识点
周期函数高考知识点周期函数是高中数学中的一个重要知识点。
周期函数指的是在某个区间内具有相同函数值的函数。
它在数学、物理等领域有着重要的应用。
周期函数的概念非常简单，即在一个特定的区间内，函数的函数值以某种规律重复出现。
这个规律是由函数的周期决定的。
周期是指在该区间内，函数的函数值呈现出周期性的变化。
我们可以观察函数的图像来确定它的周期。
那么，如何确定一个函数的周期呢？方法非常简单，我们只需要找到函数在该区间内的最小正周期即可。
最小正周期指的是函数的最小周期且为正值。
例如，对于正弦函数sin(x)来说，其最小正周期为2π，而对于余弦函数cos(x)来说，其最小正周期也是2π。
这是因为正弦函数和余弦函数都是以2π为周期进行周期性变化的。
而像y=1/x这样的函数，它没有周期性。
周期函数有着广泛的应用。
在物理学中，周期函数可以用来描述物理系统的振动现象。
例如，弹簧振子的运动可以用正弦函数来表示。
而在音乐中，周期函数被用来表示音符的音高和节奏。
在计算机图形学中，周期函数被广泛用于生成动画和特效。
周期函数的性质也是我们需要了解的重要知识点之一。
首先，周期函数具有奇偶性。
如果一个函数f在某个区间内以T为周期，那么有f(x+T)=f(x)。
根据这个性质，我们可以判断一个函数是奇函数还是偶函数。
如果有f(-x)=-f(x)，那么函数f是奇函数；如果有f(-x)=f(x)，那么函数f是偶函数。
例如，正弦函数sin(x)是奇函数，而余弦函数cos(x)是偶函数。
其次，周期函数可以进行函数的运算。
对于两个周期为T1和T2的函数f(x)和g(x)，我们可以定义它们的和函数f(x)+g(x)和差函数f(x)-g(x)。
同样，我们也可以定义它们的乘积函数f(x)g(x)和商函数f(x)/g(x)。
这些运算仍然满足周期性。
最后，周期函数还具有平移性。
如果函数y=f(x)以T为周期，那么函数y=f(x-a)以T为周期，其中a为任意实数。
周期函数的判断及应用
周期函数的判断及应用周期函数指的是满足一定条件的函数，其在某个区间内具有重复的规律性。
常见的周期函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
判断一个函数是否为周期函数，需要根据其定义域和值域的特点来进行分析。
首先，对于一个函数而言，如果存在一个正数T，对于任意的x，在定义域内满足f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，其中T为函数的周期。
因此，判断一个函数是否为周期函数，需要找出满足这个条件的周期。
以最常用的正弦函数y=sin(x)为例，我们可以发现它是一个周期函数。
根据正弦函数的定义，我们知道它的定义域为实数集，值域在[-1,1]之间。
且对于任意实数x，有sin(x+2π)=sin(x)成立，其中2π是sin函数的周期。
同样地，余弦函数y=cos(x)也是一个周期函数。
它的定义域为实数集，值域在[-1,1]之间。
且对于任意实数x，有cos(x+2π)=cos(x)成立，其中2π是cos函数的周期。
而正切函数y=tan(x)则不是一个周期函数。
虽然tangent函数在实数集上是定义的，但是它并不具有周期性。
因为对于任意实数x，tangent函数没有满足tan(x+T)=tan(x)的周期T存在。
在实际应用中，周期函数是非常常见的，特别是在描述周期性现象时。
下面列举几个周期函数的应用实例：1. 物理学中描述振动周期函数在物理学中非常重要，特别是在描述振动现象时。
例如，质点在弹性绳上做简谐振动的运动方程可以由正弦或余弦函数表示。
这是因为简谐振动的运动规律具有周期性，所以可以用周期函数来描述。
2. 信号处理与通信在信号处理和通信中，周期函数被广泛用于描述时域上的信号。
例如，通过周期函数来表示音频信号，可以实现音频的合成、压缩和解压缩等处理。
此外，周期函数还有助于识别和解析通信中的周期性信号，如调制信号和周期性脉冲信号等。
3. 经济学中的季节性现象周期函数在经济学中也有广泛的应用。
经济领域中存在大量的季节性现象，例如销售量、就业率和股市变动等。
周期的公式
周期的公式周期是指某一现象或事件在一定时间内重复出现的规律性。
周期的公式可以通过一系列数学函数来表示，具体的公式形式取决于所研究的问题和现象。
在物理学中，最常见的周期公式是正弦函数或余弦函数。
这两个函数具有周期性，可以描述很多周期性现象。
以正弦函数为例，其周期公式可以表示为：y = A * sin(ω * t + φ)其中，y表示函数的值，A表示振幅，ω表示角速度，t表示时间，φ表示相位差。
这个公式中，A决定了振幅的大小，即波峰和波谷的高度；ω决定了周期的长度，即波形从一个波峰到下一个波峰所经过的时间；φ表示初始相位差，可以用来调整波形的起始位置。
周期公式还可以用其他数学函数表示，如指数函数、幂函数、log函数等，具体取决于所研究现象的特点和性质。
例如，在生物学中研究某种动物种群的数量变化时，可以用指数函数来描述：N = N0 * e^(kt)其中，N表示时间t时刻的种群数量，N0表示初始种群数量，k表示增长率。
除了数学函数的周期公式外，还有一些更复杂的周期公式。
例如，在经济学中，人们关注经济周期的波动，其中最著名的是库兹涅茨周期。
这个周期公式可以表示为：Y − Yp = a + b*(t − T) + c*(t − T)*sin(ω * (t − T)) + d*(t − T)*cos(ω * (t − T))其中，Y表示经济指标（如国内生产总值）的变化，Yp 表示长期均衡水平，a、b、c、d是拟合参数，t表示时间，T 表示拟合的顶点位置，ω表示角频率。
这个公式中，a表示趋势项，b表示周期波动的斜率，c 和d表示震荡的振幅和相位差。
总的来说，周期的公式是根据所研究的问题和现象的特征来确定的。
根据不同的学科和领域，可以采用不同的数学函数和公式来描述和分析周期性现象。
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想一想
1、地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是 周期现象吗？
2、钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周 期现象吗？ 3、连续抛一枚硬币，面值朝上我们记为0， 面值朝下我们记为1，数字0和1是否会周期性 地重复出现？
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7
8
分析问题
我们知道，海水会发生潮汐现象。但潮汐发生
时，水的深度会产生周期性的变化。为了研究水
深的变化规律，我们可以构造一个函数。如：确
定一个位置，考察该处水深H和时间t的关系，那
么H就是t的函数。
9
10
抽象概括
从散点图可以看出，每经过相同的时间 间隔T（12h），水深就会重复出现相同的 数值，因此，水深是周期性变化的。这样 的周期现象在 我们身边还有很多，下面我
一、周期现象
观察现象
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落 的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。
圣米切尔山
涨潮
落潮
由图可知：波浪每隔一段时间会重复出现， 这种现象被称为周期现象。 3
钱塘江潮
4
5
2005年9月6日，钱塘江观潮险情。
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提出问题
在日常生活、生产实践中存在大量周期性变 化的现象。那么我们能不能用数学方法来探究 周期现象中所蕴含的规律呢？
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例题讲解
例2 如下图是钟摆的示意图。摆心A到铅 垂线MN的距离记为y，钟摆偏离铅垂线MN 的记为 。那么y随 的变化是周期性的吗？
解：根据物理知识，y与 都随时间的 变化而周期性变化。
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例题讲解
例3 下图是水车的示意图，水车上A点 到水面的距离为y。假设水车5min转一圈， 那么y的值随时间的变化是周期性的吗？ 解：由于y的值每经过5min就会重复 出现，因此，距离y随时间的变化规律也 具有周期性。
们再看几个例子。
11
例题讲解
例1 地球围绕着太阳转，地球到太阳 的距离y随时间的变化是周期性的吗？
解：根据物理学知识，我们知道在任何一个 确定的时刻，地球与太阳的距离y是唯一确定 的，每经过一年地球围绕着太阳转一周。无论 哪个时刻t算起，经过一年时间，地球又回到原 来的位置，所以，地球与太阳的距离是周期变 化的。