《线性代数》第9讲-第2章第6节
线性代数教材讲解ppt课件
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am1 amn
矩阵A的
m, n元
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
元素是实数的矩阵称为实矩阵,
元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
0
0
单位阵.
0 0 1
线性变换
x1 y1
cosx siny, sinx cosy.
对应 cos sin sin cos
这是一个以原点为中心
旋转 角的旋转变换.
Y P1 x1, y1
Px, y
O
X
三、小结
(1)矩阵的概念 m行n列的一个数表
a11
A
a21
a12
且对应元素相等,即
aij bij i 1,2,,m; j 1,2,,n,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
(8)线性变换与矩阵之间关系:
例1 n个变量x1, x2,, xn与m个变量y1, y2,, ym之
间的关系式
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
13 2
6 2
2i 2
是一个
33
复矩阵,
2 2 2
1 2 是一个 3 1 矩阵,
4
2 3 5 9
4
是一个 1 4 矩阵,
是一个 11 矩阵.
矩阵与行列式有本质的区别, 行列式是一个算式, 其行数和列数相同，一个数字行列式经过计算 可求得其值, 而矩阵仅仅是一个数表, 它的行数和 列数可以不同.
《线性代数》(同济第六版)课件
a14 a24 = a11a22a33a44 a34 a44
0 0 = a14a23a33a41 0 a44
a11 0 a21 a22 D4 = a32 a32 a41 a42
四个结论： (1) 对角行列式
a11 D= a22
= a11a22ann
ann
(2)Leabharlann a1nD= an1
规律：
1.三阶行列式共有6项，即3!项． 2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
p p
是1、2、3的某个排列.
4.当p1p2p3 是偶排列时，对应的项取正号； 当 p1p2p3 是奇排列时，对应的项取负号.
所以，三阶行列式可以写成
a11 a12 D = a21 a22 a31 a32
a13 a23 = a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
3
第一章 行列式
�
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5
•行列式是线性代数 的一种工具！ •学习行列式主要就 是要能计算行列式 的值.
§6 §7
二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换（选学内容） 行列式的性质 行列式的性质及计算. 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例2 计算行列式
1 2 -4 D = -2 2 1 -3 4 -2
解
按对角线法则，有
D = 1×2×( 2)+ 2×1×( 3)+ ( 4)×( 2)×4
线性代数各章知识及脉络图
M M
0 0
0
,n 3
Dn
A
B
a1
b1
,n 1
a1 a2 b1 b2 , n 2
-5-
○2 加边法专辑
加边法的应用：通过升阶获得一些特殊的元素值，从而消去某些元素，使得行列式形式更加简单且特殊，
从而实现计算的简化。
此种方法其实是反向利用 Laplace 展开定理，看似复杂化，其实阶数的增加反倒可以将行列式简单化，更 易发现规律。同时应当注意加边的类型及加边后行列式值不能改变。
1 n2
○3 爪型行列式专辑
爪型行列式形如：
方法：将 D 的第 i+1 列乘以 ci i 1, 2,L , n都加到第 1 列，得
ai
有些行列式经过适当的变化可以化为行列式，再采用上述方法计算。
a1 x x L x a2 x L 【例】： Dn x x a3 L M M MO
x x xL
【例】：计算行列式
令 Dn C C AB ，
a2 1 0 L
a2 1 0 L
C
M
MM
a2 1 0 L
a2 1 0 L
0 1 1 L 0b1 b2 L M 0 0 L 0 M M 0 0 0 L
1 1
bn1 bn
0
0
【例】：
1、设行列式 det A 的元素为 aij ，行列式
n
试证： det D det A x Aij ，其中 Aij 为 aij 在 det A 中的代数余子式。 i, j1
证明：把 det D 升阶得到
n
n
n
线性代数第9讲精品PPT课件
r1 r2 r3 r2
1 0 2 1 1 0 r1 2r3 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 r2 5r3
aj2
a jn
第
i
行
ai1
ai 2
ain
第
j
行
am1 am2 amn
相当于对矩阵 A 施行第一种初等行变换 ：
把 A 的第 i 行与第 j 行对调 (ri rj ).
类似地，
以 n 阶初等矩阵 En(i, j) 右乘矩阵 A，
a11
AEn
(i,
j)
a21
a1 j
a2 j
a12
a1
ai1
ka
j1
ai 2 ka j2
ain
a
jn
a j1
aj2
a jn
am1
am 2
amn
把 A的第 j 行乘 k 加到第 i 行上 (ri krj ).
类似地，以 En(ij(k)) 右乘矩阵 A，其结果相当于 把 A 的第i列乘 k 加到第 j 列上 (c j kci ).
就称这两个线性方程组等价
二、初等矩阵的概念
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵.
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一 行（列）上去．
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
线性代数(人大版)第9讲60页PPT
k1a1+k2a2+k3a3=b, 或者写为
1 0 2 1
k1
2 3
k2
1 4
k3
63
1 5
. 也
就
是说线性
1 0 2 x1 1
方程组
2 3
1 4
3 6
x2 x3
1 5
是否有解.
02.06.2020
线性代数
17
102 由于 2 1 3 4 0故该线性方程组有唯一
bn
kan
称这两种运算为线性运算, 其运算规律遵从
矩阵的相关运算律
02.06.2020
线性代数
6
例 3.2 已知向量 x 满足条件: 2x+3a=5x+2b,
1 3
其中α
23
,
β
0 3
,试求向量
x.
解 由题意得
1 3 9 3
3x
3α
2β
3
2 3
2
0 3
63
,
x2 1.02.06.2020线性代数
7
例3.3 给定线性方程组
a11x1 a12x2 L a1nxn b1
a21x1
a22x2 L LLL
a2nxn L
b2
am1x1 am2x2 L amnxn bn
a11 a12 L Aa21 a22 L
M M am1 am2 L
a1n x1 b1
第三章 向量组的线性相关性 §1 向量与向量组
一，向量的概念及其运算 定义3.1 n1矩阵
a1
α
a
2
M
a
n
称为n维列向量,
而1n矩阵aT=(a1,a2, ,an)称为n维行向量, n
麻省理工上课讲义 线性代数[第9集]线性相关性、基、维数
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Bases of a column space and nullspace
Suppose: ⎤ 1 2 3 1 A = ⎣ 1 1 2 1 ⎦. 1 2 3 1 By definition, the four column vectors of A span the column space of A. The third and fourth column vectors are dependent on the first and second, and the first two columns are independent. Therefore, the first two column vectors are the pivot columns. They form a basis for the column space C ( A). The matrix has rank 2. In fact, for any matrix A we can say: rank( A) = number of pivot columns of A = dimension of C ( A). (Note that matrices have a rank but not a dimension. Subspaces have a dimen sion but not a rank.) The column vectors of this A are not independent, so the nullspace N ( A) contains more than just the zero vector. Because the third column is the sum ⎡
1
Example: R3 �� One basis for R3 is � c1
线性代数第九讲PPT课件
()(a1b 1,a2b2, ,anbn)T
11
向量的线性运算 定义3.3 数 与n维向量 (a1,a2, ,an)T
的乘积，称为向量的数乘. 记作
或
即
(a 1,a 2, ,a n)
12
易验证，向量的运算满足如下八条基本规律： 1) 加法交换律 + = + ; 2) 加法结合律 ( + ) + = ( + ) + ;
(其中 , , 为任意 n 维向量, k, l 为实数).
13
例3.1设
0
1
3
1 1,2 1,3 4.
1
0
0
求
1
，
2
2a13a2 a3
解
0 1 1
1 2 11 0 .
1 0 1
0
21 32 3 1.
2
14
§2 向量组的线性相关性
一．向量组的线性组合 二．向量组的等价 三．向量组的线性相关性 四．向量组线性相关性的判定 五．向量组线性相关性的性质
求矩阵秩的一种常用方法 即利用初等变换将矩阵化为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数 就为所求矩阵的秩。
4
§1 n维向量及其线性运算
5
定义3.1
由n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组
称为一n维、向向量.量的定义
这n个数称为该向量的n个分量（或坐标） 第i个数ai称为第i个分量
6
n 维向量可写成一行：a 1,a 2, ,a n
1 3 2 0 2 1 0 2 0 1
1 2 2 0 1 3 0 2 1 5
1 32 0 2 30 2 0 5
RA2
线性代数第9讲
定理4 矩阵方程AX=B有解的充分必要件是R(A)=R(A, B).
补充例题 首页 上页 返回 下页 结束 铃
向量组的等价 若向量组B: b1, b2, ⋅⋅⋅, bl中的每个向量都能由向量组A: a1, a2, ⋅⋅⋅, am线性表示, 则称向量组B能由向量组A线性表示. 若向量组A与B能相互表示, 则称这两个向量组等价. 定理2 向量组B: b1, b2, ⋅⋅⋅, bl能由向量组A: a1, a2, ⋅⋅⋅, am线性表示 的充分必要条件是R(A)=R(A, B). 分析: 向量组B能由向量组A线性表示 存在矩阵X,使得B=AX R(A)=R(A,B)
解线性方程组
公式法 消元法
行列式 克拉默法则
矩阵 解的判定定理
向量 解的结构定理
补充例题
首页
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返回
下页
结束
铃
第四章 向量组的线性相关性
§1 向量组及其线性组合 §2 向量组的线性相关性 §3 向量组的秩 §4 线性方程组的解的结构 §5 向量空间
引例
首页
上页
返回
下页
结束
铃
§4.1 向量组及其线性组合
上页下页铃结束返回首页补充例题解线性方程组公式法行列式矩阵克拉默法则解的判定定理解的结构定理向量消元法第四章向量组的线性相关性上页下页返回引例首页结束铃12345向量组及其线性组合向量组的线性相关性向量组的秩线性方程组的解的结构向量空间41向量组及其线性组合anaa21a或ata1a2an向量n个有次序的数a1a2an所组成的数组称为n维向量这n个数称为该向量的n个分量第i个数ai称为第i个分量由数组a1a2an所组成的n维向量可记为其中a称为列向量即列矩阵at称为行向量即行矩阵上页下页铃结束返回补充例题首页上页下页下页铃结束返回首页补充例题1列向量用黑体小写字母ab等表示行向量则用atbttt等表示所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时都当作列向量anaa21a或ata1a2an向量n个有次序的数a1a2an所组成的数组称为n维向量这n个数称为该向量的n个分量第i个数ai称为第i个分量由数组a1a2an所组成的n维向量可记为其中a称为列向量即列矩阵at称为行向量即行矩阵?说明上页下页下页铃结束返回首页补充例题2分量全为实数的向量称为实向量分量为复数的向量称为复向量3规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算anaa21a或ata1a2an向量n个有次序的数a1a2an所组成的数组称为n维向量这n个数称为该向量的n个分量第i个数ai称为第i个分量由数组a1a2an所组成的n维向量可记为?说明其中a称为列向量即列矩阵at称为行向量即行矩阵上页下页下页铃结束返回首页补充例题m12111aaam22212aaamnnnaaa21向量n个有次序的数a1a2an所组成的数组称为n维向量这n个数称为该向量的n个分量第i个数ai称为第i个分量向量组若干个同维数的列向量或同维数的行向量所组成的集合叫做向量组向量举例一个mn矩阵对应一个m维列向量组也对应一个n维行向量组mnmmnnaaaaaaaaa212222111211上页下页下页铃结束返回首页补充例题向量n个有次序的数a1a2an所组成的数组称为n维向量这n个数称为该向量的n个分量第i个数ai称为第i个分量向量组若干个同维数的列向量或同维数的行向量所组成的集合叫做向量组向量举例一个mn矩阵对应一个m维列向量组也对应一个n维行向量组mnmmnnaaaaaaaaa212222111211mna1n222221112a11mmnaaaaaaa上页下页下页铃结束返回首页补充例题
线代第九章讲义
第九章广义逆矩阵9.1 广义逆矩阵A-与线性方程组的解9.2 广义逆矩阵A+ 与方程组的最小二乘解9.1 广义逆矩阵A -与线性方程组的解考虑线性方程组AX = β的解，其中,,,)(2121m m n n m ij R b b b x x x X R a A ∈⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=∈=×##β}.|{)(nR Y AY A L ∈≡∈β则方程组AX = β相容的充分必要条件是定义9.1设A 是m ×n 矩阵，如果存在n ×m 矩阵G ,使得∀β∈L (A ), 总有X = G β是方程组AX = β的解,则称G 为A 的一个减号逆，记为G = A -.定理9.2设A -是A 的任一减号逆,U 是任意n ×m矩阵,则也是A 的减号逆.−−−−+=AUAAA U A G 矩阵A 的全体减号逆记为A {1}.定理9.1G ∈A {1} 的充分必要条件是AGA = A .定理9.4设A -是A 的任一减号逆,则齐次线性方程组AX = 0 的通解是.,)(nR Y Y A A E X ∈∀−=−定理9.5设A -是A 的任一减号逆且β∈L ( A ) ,则线性方程组AX = β的通解是.,)(nR Y Y A A E A X ∈∀−+=−−β定理9.3设A -是A 的任一减号逆,则线性方程组AX = β相容的充分必要条件是AA -β= β.定理9.6设.,,q m q p n m R C R B R A ×××∈∈∈;C B CB AA =−−(1)矩阵方程AXB = C 有解的充分必要条件是.,p n R Y AYBB A Y CB A X ×−−−−∈∀−+=(2)如果AXB = C 有解，则其通解是定理9.7设A 是m ×n 矩阵,则.)()()(A R A A R AA R ==−−9.2 广义逆矩阵A + 与方程组的最小二乘解;)1(A AGA =;)2(G GAG =;)()3(AG AG T =.)()4(GA GA T=定义9.2设A ∈Rm ×n ,如果存在n ×m 矩阵G ,满足如下条件：则称G 是A 的加号逆,记为G = A ＋.定理9.8设A ＋是m ×n 矩阵A 的加号逆,则(1)A ＋∈A {1} ;(2)当A 是n 阶可逆矩阵时,有A ＋= A -1;(3)方程组AX = β相容的充分必要条件是AA ＋β= β;(4)当方程组AX = β相容时,其通解是;,)(nR Y Y A A E A X ∈∀−+=++β(5)矩阵方程AXB = C 有解的充分必要条件是AA ＋CB +B = C ;(6)当矩阵方程AXB = C 有解时,其通解是.,p n R Y AYBB A Y CB A X ×++++∈∀−+=定理9.9设A ∈R m ×n , 则A ＋存在并且唯一.推论1设A 是m ×n 矩阵，若R (A ) = n ，则,)(1T T A A A A −+=且A +A = E .推论3设A 的满秩分解为A = BC ,则.+++=B C A 推论2设A 是m ×n 矩阵，若R (A ) = m ，则,)(1−+=T T AA A A 且AA += E .例9.1设，求A +.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=0011A 例9.2设B 是列满秩矩阵,则.)()(1TT B B B B ++−=定理9.10设A 是m ×n 矩阵，则;)()1(A A =++;)()()2(++=T T A A ;)()()3(TT A A A A +++=.)()()()()4(A A R AA R A R A R +++===定义9.3设A ∈Rm ×n 且方程组AX = β不相容,如果存在X 0 ∈R n ,使得,min 0ββ−=−∈AX AX n RX 则称X 0是方程组AX = β的最小二乘解.定理9.11设方程组AX = β不相容,则X 0为其最小二乘解的充分必要条件是X 0为方程组A T AX = A T β的解.定理9.12设A 是m ×n 矩阵.;,)(nR Y Y A A E A X ∈∀−+=++β(1) 若方程组AX = β相容,则X 0= A +β是其极小范数解(即模最小的解);(2) 若方程组AX = β不相容,则最小二乘解的通解为(3) 若方程组AX = β不相容,则X 0= A +β是其极小最小二乘解( 即模最小的最小二乘解).1.求下列矩阵的广义逆A +：;011111)1(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=A .2424220212121101)2(⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=A 2.用广义逆矩阵判定方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=−=+=+2,1,0,032113121x x x x x x x x 是否相容，如果相容求其通解；如果不相容，求其极小最小二乘解.。
线性代数课件
偶排列
奇排列
1
N ( j1 j2 j3 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3
线性代数 第一章 行列式
11
定义 设有 n 2 个数，排成 n 行 n 列的数表
a11 a12 n 称为n 阶行列式. 简记为 a ij
it 这种变换称为对换，记作（ i s ，）
定理1.1 任一 排列经过一次对换后奇偶性发生改变。
定理1.2
n! n级排列共有 n! 个，其中奇、偶排列相等，各为 2
线性代数 第一章 行列式
10
2
a11 a21 a31
n 阶行列式的定义
a12 a22 a32 a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a33
主讲
田立芳
统计与数学学院
目录 线性代数 第一章 行列式 退出
1
目
录
行列式 矩阵 线性空间 线性方程组 矩阵的特征值 二次型
线性代数 第一章 主页 行列式 线性代数
退出
2
第一章 行列式
§1 n 阶行列式的定义
§2 行列式的性质 §3 行列式的计算 §4 克莱姆法则
线性代数 第一章 行列式
3
§1.1
线性代数 第一章 行列式
18
性质1 对任何行列式D，有D=DT（行列式与其转置行列式相等） 证
D
T
将DT记为
于是有 bij a ji ( i , j 1,2, , n) 按行列式的定义
j1 j2 jn
同济大学线性代数课件__第二章
2 4 4 9
线性方程组与矩阵的对应关系
2
定义1 由 m n 个数 a ij (i 1,2, , m; j 1,2, , n)
排成的m行n列的数表，
a11 a21 am 1 a12 a22 a1n a2 n
am 2 amn
称为m行n列矩阵. 简称m n矩阵.
13
y1 1 x1 y x 2 2 2 yn n x n
§2 矩阵的基本运算
一、 矩阵的加法
定义2 设有两个 m n 矩阵 A (aij ), B (bij ), 那末矩阵 A与B 的和记作A+B，规定为
a11 b11 a12 b12 a21 b21 a22 b22 A B a b m 1 m 1 am 2 bm 2
12
线性变换与矩阵之间的对应关系. 恒 等 变 换
y1 x1 , y x , 2 2 yn x n
1 0 0 0 1 0 单 位 阵 0 0 1
1 2 n
23
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 3 3 3 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 1 1 3
16
矩阵加法满足的运算规律:
1 交换律：A B B A. 2 结合律： A B C A B C . 3 A O A 4 A A O .
17
二、数与矩阵相乘
定义3 数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
线性代数知识点总结第二章
线性代数知识点总结第二章 矩阵及其运算第一节 矩阵 定义由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ija i m j n ==排成的m 行n 列的数表111212122212nn m m mna a a a a a a a a 称为m 行n 列矩阵;简称m n ⨯矩阵,记作111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,简记为()()m n ij ij m nA A a a ⨯⨯===,,m n A ⨯这个数称为的元素简称为元;说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵; 扩展几种特殊的矩阵：方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A ; 记作：A n; 行列矩阵：只有一行列的矩阵;也称行列向量; 同型矩阵：两矩阵的行数相等,列数也相等; 相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等;记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵不同型的零矩阵不同 对角阵：不在主对角线上的元素都是零;单位阵：主对角线上元素都是1,其它元素都是0,记作：E n 不引起混淆时,也可表示为E 课本P29—P31注意 矩阵与行列式有本质的区别,行列式是一个算式,一个数字行列式经过计算可求得其值,而矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同;第二节 矩阵的运算矩阵的加法 设有两个m n ⨯矩阵()()ij ij A a B b ==和,那么矩阵A 与B 的和记作A B +,规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫⎪+++⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算;课本P33 矩阵加法的运算规律()1A B B A +=+；()()()2A B C A B C ++=++()()1112121222113,()n n ij ij m nm n m m mn a a a a a a A a A a a a a ⨯⨯---⎛⎫⎪--- ⎪=-=-= ⎪⎪---⎝⎭设矩阵记,A -称为矩阵A 的负矩阵()()()40,A A A B A B +-=-=+-;课本P33数与矩阵相乘,A A A λλλ数与矩阵的乘积记作或规定为111212122211,n n m m mn a a a a a a A A A A A a a a λλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭数与矩阵的乘积记作或规定为数乘矩阵的运算规律设A B 、为m n ⨯矩阵,,λμ为数()()()1A A λμλμ=； ()()2A A A λμλμ+=+；()()3A B A B λλλ+=+;课本P33矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算;矩阵与矩阵相乘 设(b )ij B =是一个m s ⨯矩阵,(b )ij B =是一个s n ⨯矩阵,那么规定矩阵A 与矩阵B的乘积是一个m n⨯矩阵(c )ij C =,其中()12121122j j i i is i j i j is sj sj b b a a a a b a b a b b ⎛⎫ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1sik kj k a b ==∑,()1,2,;1,2,,i m j n ==,并把此乘积记作C AB = 注意1;A 与B 能相乘的条件是：A 的列数＝B 的行数;2;矩阵的乘法不满足交换律,即在一般情况下,AB BA ≠,而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵;3;对于n 阶方阵A 和B,若AB=BA,则称A 与B 是可交换的;矩阵乘法的运算规律()()()1AB C A BC =；()()()()2AB A B A B λλλ==()()3A B C AB AC +=+,()B C A BA CA +=+ ()4m n n n m m m n m n A E E A A ⨯⨯⨯⨯⨯== ()5若A 是n 阶方阵,则称 A k 为A 的k 次幂,即kk A A AA =个,并且m k m k A A A +=,()km mk A A =(),m k 为正整数;规定：A 0＝E注意 矩阵不满足交换律,即AB BA ≠,()kk k AB A B ≠但也有例外课本P36纯量阵 矩阵0E 0λλλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为纯量阵,作用是将图形放大λ倍;且有()(E)E A A A λλλ==,A 为n 阶方阵时,有()(E )n n n n n E A A A λλλ==,表明纯量阵与任何同阶方阵都是可交换的;课本P36 转置矩阵把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作A T ,如122458A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,142528T A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭; 转置矩阵的运算性质()()1TT AA =；()()2TT T A B A B +=+；()()3TT A A λλ=；()()4TT T AB B A =;课本P39方阵的行列式由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式,叫做方阵A 的行列式,记作A 或注意矩阵与行列式是两个不同的概念,n 阶矩阵是n 2个数按一定方式排成的数表,而n 阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数; 运算性质()1T A A =；()2nA A λλ=；(3)AB A B B A BA ===课本P40对称阵 设A 为n 阶方阵,如果满足A =A T ,即(),1,2,,ij jia a i j n ==那么A 称为对称阵;说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等,如果TA A =-则称矩阵A 为反对称的;即反对称矩阵A =a ij 中的元素满足a ij ＝－a ji ,i ,j =1,2,…n 伴随矩阵行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵; 性质 AA A A A E **==易忘知识点课本P总结1只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算;2只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律;3矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同;第三节 逆矩阵定义对于n 阶矩阵A ,如果有一个n 阶矩阵B ,使得AB ＝BA ＝E 则说矩阵A 是可逆的,并把矩阵B 称为A 的逆矩阵;1A A -的逆矩阵记作,1A B -=即;说明1 A ,B 互为逆阵, A = B -12 只对方阵定义逆阵;3.若A 是可逆矩阵,则A 的逆矩阵是唯一的;定理1 矩阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠,并且当A 可逆时,有1*1AA A-=重要证明见课本P奇异矩阵与非奇异矩阵当0A =时,A 称为奇异矩阵,当0A ≠时,A 称为非奇异矩阵;即0A A A ⇔⇔≠可逆为非奇异矩阵;推论若(A=E)AB E =或B ,则1B A -=证明见课本P求逆矩阵方法**1(1)||||021(3)||A A A A A A -≠=先求并判断当时逆阵存在；（）求；求。
线性代数课本PPT课件
1 1 0
例
求矩阵
A
4 1
3 0
0 2
的特征值和特征向量.
解 特征值为 l1 2,l2 l3 1
当l2 l3 1时，齐次线性方程组为 A I x O
系数矩阵
2 1 0 1 0 1
A
I
4 1
2 0
0 1
0 0
1 0
2 0
1
得基础解系
1
l
A . 且x仍然是矩阵
kA, Am , A1 , A
分别对应于
kl , l m ,l 1, 1 A 的特征向量. l
证 (3) 当A可逆时, l 0, 由Ax l x可得
A1 Ax A1 l x l A1x A1 x l 1 x
故l 1是矩阵A1的特征值,且x是A1对应于l 1的特征向量.
1
1
1 1
x1 x2
0 0
x1 x
x2 1 x
0 0
2
解得 x1 x2 ,
所以对应的特征向量可取为
p 1
1 1
.
当l1 =4时,
34
1
1 34
x1 x2
0 0
即
1
1
1 1
x1 x2
0 0
解得 x1 x2 ,
所以对应的特征向量可取为
n
(2) li l1l2 ln＝ A i 1
性质2 若A的特征值是l, X是A的对应于l的特征向量,
(1) kA的特征值是kl; (k是任意常数)
(2) Am的特征值是l m;(m是正整数)
证 2因为Ax l x 所以 A Ax Al x l Ax l l x
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第二章
7
例1. 设 A是 n 阶可逆矩阵，将 A 的第 行与第 行对换后所 的第i行与第 行与第j行对换后所 是 阶可逆矩阵，
得的矩阵记为B 得的矩阵记为 . (1) 证明 B 可逆 . (2) 求AB-1 .
§2.6 矩阵的初等变换
一、初等变换与初等矩阵 二、矩阵的标准型 三、求逆矩阵的初等行(列)变换法 求逆矩阵的初等行 列 变换法
第二章
1
一、初等变换与初等矩阵
定义 对矩阵施以下列三种变换，称为矩阵的初等变换. 对矩阵施以下列三种变换，称为矩阵的初等变换 初等变换. (1) 交换： 交换： (2) 数乘： 数乘： (3) 倍加： 倍加： 记作 ri↔rj （ci↔cj） × 记作 ri←k×ri （ci←k×ci） × 记作 ri←ri+kr（ci←ci+kcj） j
A 初等列变换 I I A-1
第二章
13
上例也可使用初等列变换法求得逆矩阵： 上例也可使用初等列变换法求得逆矩阵： 注：
A = I
0 1 2 1 0 0 1 2 1 4 −1 0 0 0 1 0 0 1
2 = 4 3 − 2
−1 −2 1
1 1 1 − 2
第二章
12
算法： 算法：求逆矩阵的初等列变换法
⋅⋅⋅ 可逆， 若A可逆， A-1也可逆，故存在初等矩阵 1,G2,⋅⋅⋅ ,Gk，使 可逆 则 也可逆，故存在初等矩阵G A-1 = G1G2⋅⋅⋅ Gk ， 则 AA-1 = A G1G2⋅⋅⋅ Gk ， 即 I = A G1G2⋅⋅⋅ Gk ， （对A 施以若干次初等列变换化为 I ） 施以若干次初等列变换 初等列变换化为 A-1 = I G1G2⋅⋅⋅ Gk ， （对 I 施以同样的初等列变换化为 A-1） 施以同样的初等列变换 初等列变换化为
1 ⋱ (i) 1 k I( i, j(k) ) = ⋱ (j) 1 ⋱ 1
意义： 意义： 行列式： 行列式： 逆矩阵： 逆矩阵：
(i) (j)
第二章
6
定理 设 A 是一个 m×n 矩阵， × 矩阵，
(1) 对A施行一次初等行变换等于用相应的 阶初等矩阵左乘A； 施行一次初等行 阶初等矩阵左 施行一次初等 变换等于用相应的m阶初等矩阵 ； (2) 对A施行一次初等列变换等于用相应的 阶初等矩阵右乘A. 施行一次初等列 施行一次初等 变换等于用相应的n 阶初等矩阵右
第二章
15
(i) (j)
第二章
4
2) 对 I 施以第二种初等变换得到的初等矩阵为： 施以第二种初等变换得到的初等矩阵为：
1 ⋱ (i) I( i(k) ) = 1 k ⋱ 1
意义： 意义： 行列式： 行列式： 逆矩阵： 逆矩阵：
(i)
第二章
5
3) 对 I 施以第三种初等变换得到的初等矩阵为： 施以第三种初等变换得到的初等矩阵为：
初等变换
记法： A 记法：
B
第二章
2
例：
a11 a12 a13 a14 r1↔r3 A = a21 a22 a23 a24 a a a a 31 32 33 34 a11 a12 a13 a14 c3←kc3 A = a21 a22 a23 a24 a a a a 31 32 33 34 a31 a32 a33 a34 a21 a22 a23 a24 a a a a 11 12 13 14 a11 a12 ka13 a14 a21 a22 ka23 a24 a a ka a 33 34 31 32
1 0 只能用列 0 → ⋯⋯ → 的初等变换 2 4 - 3 2
0 1 0 0 1 -1 1 -2 1 1 1 - 2 0
第二章
14
小结
交换、数乘、 1. 初等行/列变换：交换、数乘、倍加 初等行/ ：对单位矩阵施以初等变换得到 初等矩阵 初等变换与初等矩阵、 初等变换与初等矩阵、矩阵乘法之间的关系 2. 矩阵的标准型 ：可逆矩阵的标准型是单位阵 n阶矩阵 可逆 阶矩阵A可逆 阶矩阵 A可以表示为若干初等矩阵的乘积 可以表示为若干初等矩阵的乘积. 可以表示为若干初等矩阵的乘积 3. 矩阵的又一种求逆算法：初等行/列变换法 矩阵的又一种求逆算法：初等行
初等行变换
(A I)
(I
A-1 )
第二章
11
1 0 1 例3. 求矩阵 A= 2 1 0 的逆矩阵 的逆矩阵. −3 2 −5
-2.5 1 -0.5 A-1 = 5 -1 1 3.5 -1 0.5
.
0 A = 1 例4. 2
1 1 −1
2 4, 0
求 A −1 .
A −1
第二章
8
二、矩阵的标准型
定理 任意一个矩阵 Am×n = (aij)m×n 经过若干次初等变换，可以化 × 经过若干次初等变换， × 为下列形式的矩阵 D : D = 标准型. 称 D 为矩阵 A 的标准型 Ir Or×(n−r) × − O(m−r)×r O(m−r)×(n−r) − × − × − ，
2 1 2 3 例2. A = 4 1 3 5 2 0 1 2
……
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
第二章
9
推论 设 A 为 n 阶方阵， 阶方阵， 则 A 可逆 A 经过若干次初等变换，可以化为 In 经过若干次初等变换， A 可以表示为若干初等矩阵的乘积 .
第二章
10
三、求逆矩阵的初等行(列)变换法 求逆矩阵的初等行 列 变换法 算法： 算法：求逆矩阵的初等行变换法
⋅⋅⋅ 可逆， 若A可逆， A-1也可逆，故存在初等矩阵 1,G2,⋅⋅⋅ ,Gk，使 可逆 则 也可逆，故存在初等矩阵G A-1 = G1G2⋅⋅⋅ Gk ， 则 A-1A = G1G2⋅⋅⋅ Gk A， ， 即 I = G1G2⋅⋅⋅ Gk A， （对 A施以若干次初等行变换化为 I） ， 施以若干次初等行变换 施以若干次初等行变换化为 ） A-1 = G1G2⋅⋅⋅ Gk I， （对 I 施以同样的初等行变换化为 A-1） ， 施以同样的初等行变换 初等行变换化为
第二章
3
定义
初等矩阵. 初等矩阵.
1) 对 I 施以第一种初等变换得到的初等矩阵为： 施以第一种初等变换得到的初等矩阵为：
1 ⋱ (i) 1 1 0 I( i, j ) = ⋱ 0 1 1 ⋱ (j) 1
意义： 意义： 行列式： 行列式： 逆矩阵： 逆矩阵：