利用圆锥曲线的定义解题

利用圆锥曲线的定义解题

圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线。圆锥曲线的定义是整章内容的理论基础。圆锥曲线的很多问题都与定义紧密相连，圆锥曲线的定义渗透在圆锥曲线的各个方面。因此合理应用定义是寻求解题捷径的一种重要方法，灵活运用圆锥曲线的定义常常会给解题带来极大方便，产生一种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的美好感觉.我认为在本章的教学中应强化定义的教学，积极主动地培养学生应用定义解题的意识。本文通过下面几个方面的问题谈谈如何利用圆锥曲线的定义解题。

1.利用定义法求值

例1.（1）从双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|与b-a的大小关系为（）

A.|MO|-|MT|>b-a

B.|MO|-|MT|=b-a

C.|MO|-|MT|b>0）.因为离心率为22，

所以22=1-b2a2，解得b2a2=12，即a2=2b2.

又△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=AF1+BF1+BF2+AF2

=（AF1+AF2）+（BF1+BF2）=2a+2a=4a，

所以4a=16，a=4，所以b=22，所以椭圆方程为x216+y28=1.

2、利用定义法求最值

例2.（1）（2009·四川）已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）

A.2

B.3

C.115

D.3716

解析：直线：x=-1为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点F（1，0）的距离，故本题化为在抛物线上找一个点P，使得P到点F（1，0）和直线的距离之和最小，最小值为F（1，0）到直线4x-3y+6=0的距离，即= =2，故选A.

（2）. 定长为3的线段AB的两端点在抛物线上移动，AB的中点为M，求M到y轴的最短距离，并求点M的坐标。

解析：

其中等号成立当且仅当A、 F 、B三点共线

所以最短距离为，

例3.已知分别是椭圆的左右焦点，，是椭圆上的动点，求的最小值。

解析：

当且仅当共线，且P在轴左侧时取“=”号最小值为

3.利用定义法求轨迹

例4.一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心P的轨迹方程。

解析：因为，，

所以

4.利用定义法判断位置关系

例5.过抛物线C的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点，研究以AB为直径的圆与抛物线的准线l的位置关系，并证明你的结论.

解析：设AB中点为M，A、B、M在准线L上的射影为A’、B’、N，

。

|AA’|=|AF|，|BB’|=|BF|

故以AB为直径的圆与l相切.

圆锥曲线的定义是根本，对于某些问题利用圆锥曲线的定义来求解比较简捷。总之，圆锥曲线的定义的运用还有很多，在这不一一列举，在解题过程中学生只要善于分析，探求实质性条件，灵活运用定义，就可以顺利解决在高考中对定义考查的题目。