利用圆锥曲线的定义解题
高考数学 圆锥曲线的概念,解题方法、题型、易误点总结 试题
卜人入州八九几市潮王学校数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：〔1〕第一定义中要重视“括号〞内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的间隔的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的间隔的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值〞与＜|F F|不可无视。
假设＝|F F|，那么轨迹是以F，F为端点的两条射线，假设﹥|F F|，那么轨迹不存在。
假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。
比方：①定点，在满足以下条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是A．B．C．D．〔答：C〕；②方程表示的曲线是_____〔答：双曲线的左支〕〔2〕第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母〞，其商即是离心率。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点间隔与此点到相应准线间隔间的关系，要擅长运用第二定义对它们进展互相转化。
如点及抛物线上一动点P〔x,y〕,那么y+|PQ|的最小值是_____〔答：2〕2.圆锥曲线的HY方程〔HY方程是指中心〔顶点〕在原点，坐标轴为对称轴时的HY位置的方程〕：〔1〕椭圆：焦点在轴上时〔〕〔参数方程，其中为参数〕，焦点在轴上时＝1〔〕。
方程表示椭圆的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B〕。
比方：①方程表示椭圆，那么的取值范围为____〔答：〕；②假设，且，那么的最大值是____，的最小值是___〔答：〕〔2〕双曲线：焦点在轴上：=1，焦点在轴上：＝1〔〕。
方程表示双曲线的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B异号〕。
比方：①双曲线的离心率等于，且与椭圆有公一共焦点，那么该双曲线的方程_______〔答：〕；②设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，那么C的方程为_______〔答：〕〔3〕抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。
利用圆锥曲线的定义解题
( A) ( C)
x2
25
x
2
+
y2
9
y
2
= 1 . (B)
x2
9
x
2
+
y2
25
y
2
= 1.
( D) + = 1. + = 1. 16 25 25 16 2 2 过抛物线 y = 4 x 的焦点作直线 交 抛 物 线 于 A ( x 1 , y1 ) , B ( x 2 , y2 ) 两 点 , 若 x 1 + x 2 = 6 , 则
( ) | AB| = ( A) 10 . (B) 8 . ( C) 6 . ( D) 4 . 3 △A B C 中底边 B C = 12 , 其它两边 A B 和 A C 上 中线的和为 30 , 求此三角形重心 G 的轨迹方程 . 答案
1 ( D) . 2 ( B ) . 3 + = 1. 以 B C 100 64 所在直线为 x 轴 , B C 中垂线为 y 轴建立坐标系 .
n
n →∞
2 - 3
n
(
2 n ) - 3 3
n
= -
圆锥曲线的解题方法(精选4篇)
圆锥曲线的解题方法(精选4篇)（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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例谈圆锥曲线定义在解题中的运用
例谈圆锥曲线定义在解题中的运用作者：马仙姣来源：《数理化学习·高一二版》2012年第11期圆锥曲线的定义是圆锥曲线一切几何性质的“根”与“源”，是建立曲线方程的基础，定义是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式，巧用定义，可以使学生既快又准的解决某些数学问题.从而引起学生对定义、概念的高度重视，激发学生对定义、概念的学习兴趣.一、在探求最值问题上的运用最值问题是高中数学的重点和难点之一，用定义来解决最值问题是解析几何中较常用的一种基本方法，它一方面可以加深学生对定义、概念的理解，另一方面还可以简化解题过程，揭示其中蕴涵的内在规律.例为椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，A（1，1）为定点，则最小值？解：如图1，连接并延长交椭圆于P′，P是椭圆上一动点，连接、、PA.因为，而所以，所以=--2.当P与P′重合时取“=”号，所以|的最小值为6-2.注意：一般情况下，凡涉及到圆锥曲线上的点和两个焦点的问题可考虑用圆锥曲线的第一定义来解决；凡涉及到焦点、半径、离心率及准线的问题，可考虑用圆锥曲线的第二定义来解决，还要注意挖掘题中的隐含条件.二、在求动点轨迹方程中的作用轨迹问题是解析几何中学习考查的又一重点，它因为有灵活多变，涉及面广，逻辑性强的特点常成为考试命题的亮点.由于它对学生的要求较高，因而往往是以中档难度以上的题型出现.其中用定义法求轨迹是一种非常直接有效的方法，但却容易被人忽视，它往往能避重就轻，化繁为简，化难为易，化抽象为具体.例2 方程（y-2）-y-4|对应点P（x，y）的轨迹为（）（A）椭圆（B）抛物线（C）双曲线（D）两直线解：把原方程变形为（y-2）=2|x-y-4|2，它的几何意义是动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离比上它到直线L：x-y-4=0的距离的比值为2，而2>1，由曲线的第二定义知，在椭圆，双曲线，抛物线中离心率大于1的只有双曲线.故选（C）.注意：当圆锥曲线上的点与两焦点的距离建立联系时，常考虑第一定义，当圆锥曲线上的点与一焦点和相应准线的距离建立关系时，常考虑第二定义.所以要求我们准确理解圆锥曲线定义，注意画图并利用平面几何的知识解题.三、在数学建模中的妙用数学建模是让学生亲身经历将实际问题，抽象成数学模型，并进行分析、判断和应用的过程，实际生活中的许多问题蕴涵着且传递着数学信息.学生通过建模对各种实际问题获得更深刻的认识，从而促进了学生应用能力和创造性解决问题能力的提高.例3 如图2所示，某村在P处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路或送到成矩形的一块田ABCD中去，已知PA=100 m，PB=150 m，BC=60 m，∠APB=60°能否在田中确定一条界线，使得位于界线一侧的点沿道路PA送肥料较近，而另一侧的点沿道路PB送较近？如能，请说明这条界线是什么曲线，并求出它的方程.解：如图2所示，以所在直线为x轴，以线段AB的中点为原点建立直角坐标系.由|PA|=100 m，|PB|=150 m，∠APB=60°，得-2|PA||PB|cos60°=1=17500.若这样的界线存在，如图设点M为此曲线上任一点则由题意可得：|PA|+|AM|=|PB|+|BM|即|MA|-|PB|-|PA|=150-100=50为定值，所以点M的轨迹（曲线）为双曲线的右支，设双曲线的方程为-1，点A坐标为（-c，0），由上可得，因为--625=3750从而曲线的方程为--（且在矩形内的部分）又因双曲线与矩形的交点坐标为（25，0），（35，60），故这条界线为双曲线，方程为-（y≥0，25≤x≤35）利用定义求圆锥曲线的问题是比较直接的方法，也是常用方法，利用定义求解圆锥曲线的某些问题能达到快捷，合理的解题效果.巧用定义解题必须对定义有透彻的了解，运用时应举一反三，触类旁通，以便牢固掌握.。
例谈用圆锥曲线的定义解题
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考 题 中 它 一 直 是 考 查 圆 锥 曲 线 的 典 登 代 表 ， 用 曲 利 线 的定 义和棠 弦定 理 不 赡 推 得 下 述 结 论 （ 导 过 程 推
迹 方 程
分 析
由 于 相 切
包 含 内 切 和 外 切 ， 两 而 者 的数 量 关 系 又 不 同 ， 故须 分 类 解 之 如 图 １ ， ０【 ）， Ｏ 的 半 径 为 ４Ｏ 圆
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４ 设 动 圆 圆 心 Ｍ（ Ｙ ， ） 其 半 径 为 ｒ＝１ＭＰ１
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２０ ０ ２年 第 】 期
可能．
数 学 教 学 研 究
ｆｎ Ｎ Ｅ Ｊ
７ 引 参 设 元 产 生 辅 助 增 设 日 进 增 量 可 以 分 解 复 杂 的 结 构 增 设 参 与 证 明 ｆ 的关 系 ， 时 产 生 一 个 动 态 过 程 ， 运 动 观 点 ， 数 同 为 参
支 ；
２０ ０ ２年 第 １期 一 般 情 况 下 ， 涉 及 到 圆 锥 曲 线 上 的 点 凡
圆锥曲线定义解题答案
1.椭圆第一定义在最值问题中的巧用椭圆第一定义：平面内到两定点1F 、2F 的距离之和等于常数a 2的动点M 的轨迹叫椭圆，即a MF MF 221=+。
例1：椭圆1163622=+y x 上一点P 到两个焦点距离之积为m ，求m 的最大值，并求出当m 取得最大值时P 点的坐标。
分析：此题求P 点到两焦点之积，由不等式性质和椭圆第一定义，可转化为两距离之和来求解。
解：设椭圆1163622=+y x 的左右焦点分别为1F 、2F , 1021=+PF PF ,25222121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≤=PF PF PF PF m , 当且仅当21PF PF =时取等号，此时点P 为短轴的端点。
所以P 的坐标为（0，4）或（0，-4）时，m 能够取最大值，最大值为36。
考题中考察的是圆锥曲线的最值问题，而且题目中有涉及到圆锥曲线的焦点，我们此时可快速想到这种问题可以运用圆锥曲线的定义来解。
此题考察的是动点到两焦点距离之积，从而能够很快速的想到该题能够涉及圆锥曲线的第一定义：动点到两定点距离之和等于定值2a 。
再结合曾经学过的不等式性质，能够很容易的把题目的考点转化为曾经学过的知识，从而使得问题得到轻松的解决。
例2、如图，椭圆C 的方程为2222 1 (0)y x a b a b+=>>，A 是椭圆C 的短轴左顶点，过A 点作斜率为－1的直线交椭圆于B 点，点P （1，0）, 且BP ∥y 轴，△APB 的面积为92，求椭圆C 的方程； 分析：看似题目考查的是函数问题 ，按照经验似乎应该做函数求峰值。
但如果这样一来，问题会变的很复杂。
但是我们可以巧用椭圆的第一定义，解答就相比较变得简洁许多。
解：（1） ,2921=⋅=∆PB AP S APB 又∠PAB ＝45°， AP ＝PB ，故AP ＝BP ＝3. ∵P （1,0），A （－2,0），B （1,－3）∴ b=2，将B 点坐标代入椭圆得：222191b b a =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 212a =，所求椭圆方程为22 1 124y x += 如果题目问的是圆锥曲线的最值问题时, 如果由题目所给的条件, 考虑用圆锥曲线的定义来求解, 就能起到化繁为简的效果。
圆锥曲线教案_利用圆锥曲线定义求最值教案
圆锥曲线教案利用圆锥曲线定义求最值教案教学目标1．通过对一个习题及其引申问题的求解，使学生掌握利用圆锥曲线的定义求解有关最值问题的方法．2．通过对问题的不断引申，精心设问，引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理与逻辑推理方法，培养学生思维的深刻性、创造性、科学性与批准性．提高学生分析综合能力及探索发现能力．3．通过营造民主、开放的课堂教学氛围，培养学生敢想、敢说、坚韧不拔的意志及勇于探索、发现、创新的精神等个性品质．教学重点与难点巧用圆锥曲线的定义求有关线段长之和的最值既是重点又是难点．教学过程师：我们已经学习了椭圆、双曲线、抛物线的有关概念、标准方程、图形和性质．现在我想请三位同学分别回忆一下椭圆、双曲线、抛物线的定义．生1：平面内与两定点F1、F2距离之和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点的轨迹称为椭圆．生2：平面内与两定点的距离之差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的动点的轨迹称为双曲线．生3：平面内与一个定点及一条定直线距离相等的点的轨迹叫做抛物线．师：生1、生2、生3的回答都是正确的．对于圆锥曲线，除了刚才说的定义以外，还有别的定义方式吗？生4：还有第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离之比等于常数e(e＞0)的点的轨迹是椭圆(0＜e＜1时)、双曲线(e＞1时)或抛物线(e=1时)．师：很好！圆锥曲线的定义揭示了圆锥曲线中最原始、最本质的数量关系，它有着广泛的应用，本节课我们将利用圆锥曲线定义求解几个最值问题．(板书)例已知动圆A过定圆B：x2+y2+6x-7=0的圆心B，且与定圆C：x2+y2-6x-55=0相内切，求△ABC面积的最大值．师：本题欲求结果是什么？据此你联想到些什么？生5：求ABC的最大面积，应联想：三角形面积公式．师：请回忆，三角形面积怎样表示？师：你们准备选用哪一个公式？请简要说明理由．生6：选第一个公式．这是因为B、C都是定圆圆心，故它们都是定点，因此BC是定长，这样只须求出BC边上高的最大值就可以了，而第二组面积表示式中的3个公式中除了BC边的长即a不变以外，其余的边和角都在变，不易求面积．师：有道理，下面我们就按生6的方案来求解．关键的问题是BC边上的高的最大值怎么求？请大家思考．生7：由于圆A运动，所以BC边上的高随圆A的运动而变化，从而导致△ABC面积的变化，因此如果先求出A的轨迹，那么就不难求出BC边上高的最大值了．师：(赞许地)很好！那么如何求A的轨迹呢？生8：(师板书)将两已知圆配方得⊙B：(x+3)2+y2=16．⊙C：(x-3)2+y2=64．所以B(-3，0)，C(3，0)⊙C的半径r=8．画出⊙C与⊙A相内切的图形(如图2-64)，利用两圆内切的性质及椭圆的定义可判定A的轨迹是椭圆．师：能说得具体些吗？生8：设已知圆C与动圆A内切于点P，则P、A、C必在同一条直线上，且|PC|=8．因为|AP|=|AB|，所以|AB|+|AC|=|AP|+|AC|=|PC|=8．所以点A的轨迹是椭圆．师：生8仅根据|AB|+|AC|=8，就判断A的轨迹是椭圆，对吗？生9：基本正确，但应说明|AB|+|AC|＞|BC|．生8：对了，|AB|+|AC|=8＞6|BC|．所以，点A的轨迹是椭圆．师：很好！我们已经确认点A的轨迹是椭圆，现在该如何确定△ABC面积的最大值呢？生10：当△ABC的高等于椭圆的短半轴长时，高最大，从而S△ABC最大．师：同学们是否赞同生10的判断？生：……(有的赞同，有的相互小声议论．)师：让我们借助于计算机演示一下点A的运动过程，请同学们认真观察A 运动到什么位置时，△ABC底边BC上的高最大．(计算机演示动画如图2-65)生：(几乎是异口同声地)当|OA|等于短半轴长时，高最大．师：哪位同学能快速地求出△ABC中BC边上高的最大值？师：怎么得到的？请介绍给同学们听听．生：显然BC是椭圆的两焦点，故c=3．又2a=8，师：生11不但求出了BC边上高的最大值，而且还求出了△ABC的最大面积，使我们的问题获得了解决．这里同学们把平面几何与解析几何知识有机地结合了起来，利用椭圆定义对点A的轨迹作出了正确的判断，从而使问题的求解势如破竹．显然，广泛联系，巧用定义，在本题求解中起着至关重要的作用．师：现在在例题的条件下，我们将问题作如下引申：引申1：设点A的轨迹为Q，M(2，1)为定点．求|AM|+|AC|的最小值．师：这是一个什么问题？生12：求最小值问题，确切地说是求动点A到两定点C、M的距离之和的最小值．师：不错！那么如何求|AM|+|AC|的最小值呢？生：……(似乎一时束手无策)师：(启发一下)点C在椭圆内，点A在椭圆上，那么点M相对于椭圆的位置又是怎样的呢？(片刻后)生13：我想先求出Q的方程，画出Q的图形及点M位置，如果点M在Q外，那么由三角形两边之和大于第三边知(|AM|+|AC|)最小=|MC|师：生13给出了求解问题的基本思路，我们请生13具体说说．点M(2，1)在Q内(如图2-66)(|AM|+|AC|)最小=…(一时语塞)．师：前面生13曾经就M在Q外时由三角形两边之和大于第三边判定(|AM|+|AC|)最小=|MC|，这里，偏偏点M在Q内，怎么解决？生14：可以利用椭圆定义并结合三角形两边之和大于第三边的结论来求解．只须连MB、AB(如图2-67)，那么|BM|+|AM|+|AC|≥|AB|+|AC|=2a，所以|AM|+|AC|≥2a-|BM|(*)(生14叙述，师板书)师：生14巧用了椭圆定义及三角形的性质，使问题处理得干脆利落．但是一般说来三角形两边之和大于第三边，那么这里的等号成立吗？生13：当点A在BM的延长线上时取等号(如图2-68)．师：很好！生13和生14的意见结合起来，解答就严密了．事实上当A在BM的延长线上时，△ABM已退化为一条线段AB(M在AB上)，此时(*)式等号成立．(师随即在(*)式后添上“当A在BM的延长线上时取等号”一句)生15：上述问题是解决了，但我想到了一个新问题，|AM|+|AC|是否有最大值？师：生15的问题很值得思考，大家可以分析研究相互讨论，大胆发表自己的见解．(生15的问题激起了学生们新的思维波澜，学生有的画图分析，有的讨论研究，课堂上洋溢着民主开放的气氛．)生16：我想是否可以利用椭圆定义并结合三角形两边之差小于第三不一定出自学习成绩突出者，而常常出自思维活跃且胆大者．)师：(欣喜地)能说说你的具体想法吗？生16：联想到刚才我们用椭圆定义及三角形两边之和大于第三边求师：大胆合理的猜想往往是获得重大发现的前奏，同学们不妨都来猜一猜．生：(片刻后绝大多数同学)同意生16的猜想．师：那么，就请同学们来验证这个猜想吧！肯定与否都要说明理由．生17：如图2-67，|AM|+|AC|=|AM|+(2a-|AB|)=2a+(|AM|-|AB|)．因为|AM|-|AB|≤|BM|(当点A在MB的延长线上时取等号)，师：非常好！生15为我们提出了一个值得思考的问题，生16通过联想对问题的解法及结果作出了大胆的猜想，而生17从理论上给出了严格的证明，三位同学相得益彰，使问题的解决一气呵成，我为同学们祝贺，大家还有新的问题吗？(鼓励学生提出问题，即使是事先未估计到的问题，并通过大胆地猜想，严格地证明，使问题得到满意的解决，这对于培养学生的发现能力，创新精神及实事求是的科学态度无疑是十分有益的．)生：(互相观望)似乎不再有什么问题．师：我再提一个问题(一石激起千层浪，学生思维的平湖上又一次荡起层层波澜．)生：(议论纷纷)师：这里的结论与引申1作比较有何异同？师：还能挖掘出某些相关的因素吗？生：……(一时想不出)师：|AC|是椭圆Q上的点A到右焦点C的距离，它的系数是离心率的倒数，涉及到焦半径，离心率，你有何新的联想？生19：联想到椭圆第二定义．师：能具体说说吗？生19：……(其余学生似乎也无从下手)师：利用椭圆第二定义，除了要有离心率、点A的焦半径以外，还l于D(如图2-69)，(师边叙述边板书)因此，问题转化为求|AM|+|AD|的最小值了，这个最小值是什么呢？生19：应当是点M到准线l的距离师：涉及到圆锥曲线上的点到焦点的距离(即焦半径)及离心率问题，联想第二定义是很自然的，这里不妨再提出一个问题．引申3：将例题中的条件改为“动圆A与定圆B、定圆C都内切，且⊙B、⊙C在⊙A内．师：大家见过与本题相仿的问题吗？能拟出一个大体的求解方案吗？生20：第一个问题与前面的例题类似，只是需要求出Q的方程．所以可利用动圆A与定圆B、定圆C都内切的性质，或许也要用到圆锥曲线的定义来求解．求出了Q的方程后，第(2)个问题就与引申2类似了，我想也可以利用圆锥曲线的第二定义求解．师：有道理！同学们能否根据(2)中欲求结论，并将其与引申2中的结构作比较，猜想点A的轨迹Q是什么曲线？生：(小声议论)师：生21猜想A的轨迹Q是双曲线，同学们以为这个猜想合乎情理吗？生：合乎情理．师：生21的猜想很有见地，大家支持了这个猜想，使得我们解决问题信心倍增．然而猜想是有风险的，应该进行严格的推理才能确信，请大家自己动手求出Q的方程，并请生21板演．(师巡视指导，生21板演)解(1)已知定圆即⊙B：(x+3)2+y2＝16，⊙C：(x-3)2+y2=64，设动圆A与⊙B、⊙C分别切于点D、E，由于⊙B、⊙C在⊙A内，故D、E 分别在AB、AC的延长线上．(如图2-70)因为||AB|-|AC||=|(|AD|-|BD|)-(|AE|-CE|)|=||CE|-|BD||=|8-4|=4＜6=|BC|，所以点A的轨迹Q是以B、C为两焦点的双曲线．由于2a=4，所以a=2．又2c=6，故c=3，因此b2=c2-a2=5，所以师：生21已经求出了Q的方程，除少部分同学未做出以外，座位上相当一部分同学也获得了结果．现在我们一起来评判一下这一结果是否正确，请生21先作一下解法说明．生21：我们已经猜想点A的轨迹是双曲线，画出图形后很自然地想到考察||AB|-|AC||是否是定值，并检验它是否小于两定点间的距离|BC|，通过推算获得||AB|-|AC||=4＜6=|BC|，由双曲线定义知点A的轨迹是双曲线，由于焦点B、C在x轴上，且关于原点对称，因此方程应是标准型．而a2=4，b2=5，生22：我认为生21的解法思路是对的，但结果不对．正确地说，师：生22提出了不同意见，请你说说理由．生22：|AD|=|AE|，|BD|=4＜6=|CE|，所以|AD|-|BD|＞|AE|-|CE|即|AB|＞|AC|，所以点A的轨迹只是双曲线右支，即应补上条件x≥2．(生22叙述，师板书)师：生21的意见呢？生21：生22的结论是对的，我当时只考虑双曲线定义中“差的绝对值”这句话，而这里的||AB|-|AC||中的外层绝对值实际上是不起作用的．因此，只能是双曲线的右支．师：其他同学还有不同意见吗？生：没有．师：生21为我们作出了很好的开端，生22的补充是必要的，要判断一个方程是否是曲线的方程，必须具备两个条件，①曲线上的点的坐标都是这个方程的解(纯粹性)，②以这个方程的解为坐标的点都在这条曲线上(完备性)．生21的错误正是在于未注意“完备性”，这也是值得大家注意的地方．(师随即在(**)式后面添上“x≥2”，并用计算机演示点A的轨迹确实是双曲线的右支．)师：到此为止，我们已经解决了第(1)个问题，问题(2)如何求，我们请生23来板演，其余同学在座位上自己完成．(师巡视)生23：(板演如下)解(2)：因为A的轨迹Q的方程为师：请同学们一起来评判生23的求解是否正确？生：“正确”．师：生23的求解既迅速又准确，我们请生23说说解法思路．生23：我是与引申2的解法作类比而得出上述解法的．师：很好，类比的作用是巨大的！生21、生22、生23三位同学的意见合起来，就是本题的完整解法．这里，同学们通过联想、类比、猜测等推理方式，巧用了双曲线的两种定义进行严密推证，使问题的解决显得那样的明快、简捷．事实上，圆锥曲线定义在求圆锥曲线的方程、求点的轨迹、求焦点三角形(以椭圆或双曲线上的点P及两个焦点F1、F2为顶点的△PF1F2)的面积，求解最值问题等方面都有着广泛的应用，希望通过今天的学习能引起同学们的重视(代小结)．作业：(略)设计说明圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性，利用圆锥曲线的定义解决有关最值问题是重要的解题策略．因此选择这一内容作为一节习题课是很有必要的．21世纪不仅是一个高新科技处于伟大变革的新世纪，而且更是一个充满竞争的新世纪．这种竞争，归根结底是人才的竞争，特别是高素质，开拓创新型人才的竞争．因此，如何培养跨世纪的高素质人才，怎样培养学生的开拓创新精神，以适应21世纪对人才素质的需求，是我们值得研究的一个课题．据此制定了教学目标2，旨在贯彻教学、学习、发现同步协调原则和既教证明，又教猜想的原则．努力帮助、引导学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，培养学生良好的思维品质，提高学生的能力和素质．现代教育十分强调课堂教学中双主作用的发挥，在教师的主导下，如何使学生积极参与教学的全过程，真正发挥学生的主体作用，培养学生的主体意识，引导学生大胆、主动地获取知识，这是执教者在进行教学设计时应当注意的一个问题，教学目标3正是基于这样的想法制定的．根据制定的教学目标，本节课按如下4个层次逐步深入：(1)求解例题中由3个圆的圆心构成的△ABC的面积的最大值；(2)对例题进行引申(引申1)，另给一定点后，求两线段和|AM|+|AC|的最小值；(4)对问题进一步引申(引申3)，修改例题的条件，将问题改为⊙A与定⊙B、定⊙C都内切，且⊙B、⊙C在⊙A内，求A的轨迹Q的方三角形面积的最值及线段长度的最值是常见的一类最值问题，具有一定的典型性和代表性，作为习题课，编拟这样的习题作范例是值得推崇的．引申1中，由条件到结论有一定的跨度．若将引申1改为：在例题的条件下，设点A的轨迹为Q，试判断M(2，1)与Q的关系，并求|AM|+|AC|的最小值，则可减小跨度，同时也可使引申1显得更自然些．在利用椭圆定义及“三角形两边之和大于第三边”求|AM|+|AC|最小值的过程中，原本只能得到|AM|+|AC|＞2a-|BM|，无法获得最值，因此讨论等号是否可取是必要的．事实上，当|AM|+|AC|＞2a-|BM|时，A必在BM的延长线上，此时，ABM已退化为一条段线AB．生15提出的“|AM|+|AC|是否有最大值”的问题应当事先有所估计．生16受到引申1解法的启示，猜想可利用椭圆定义及三角形两边之又将问题进行了严格的推算．所有这些都是值得赞誉的，由学生发现问题，提出问题(即使是教师事先未估计到的问题，甚至“一时不能马上解决的“尖锐”的问题)，这是对学生最高层次的要求．在全面推进素质教育的今天，教师应当认真保护、积极鼓励、大力支持学生求知的欲望，既教证明，又教猜想，使教学、学习、发现同步协调发展．在教学设计时，教师不但要了解学生已有的知识状况，而且要善于洞察学生的心理需求，不失时机地向学生播洒“及时雨”．前面的例题及引申1都是椭圆第一定义的应用，学生一个本能的想法就是能否利用第二定义解决有关问题，引申2的提出满足了学生这方面的心理需求．波利亚的一般解题方法应当是习题课中处理习题方法的首选．在学生已经有了成功的解决例题及引申1与引申2的经验后，引导学生根据波利亚的一般解题方法拟定求解引申3的方案是十分恰当的．联想、类比、猜测、证明，是数学家探求数学命题的有效方法，是合情推理与逻辑推理的有机结合，在数学教学中，有意识地引导学生学习上述两种推理方式，对于学生思维能力、探索精神的培养有着极大的作用，常此以往，学生的数学素质将会不断地提高，学生有所发现、有所发明、有所创新的欲望将会更加强烈，而这正是21世纪高素质人才必须具备的重要条件之一．本教案通过例题、引申1、引申2、引申3由浅入深逐步展开，符合学生的认知规律，符合循序渐进的原则，通过一题多变，层层深入的探索，通过对猜测结果的检测研究，培养了学生思维的深刻性，创造性，科学性和批判性，使学生从学会一个问题的求解到学会一类问题的求解中，领略数学的统一美．。
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】
圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】圆锥曲线的七种常见题型题型一：定义的应用圆锥曲线的定义包括椭圆、双曲线和抛物线。
在定义的应用中，可以寻找符合条件的等量关系，进行等价转换和数形结合。
适用条件需要注意。
例1：动圆M与圆C1：(x+1)+y=36内切，与圆C2：(x-1)+y=4外切，求圆心M的轨迹方程。
例2：方程表示的曲线是什么？题型二：圆锥曲线焦点位置的判断在判断圆锥曲线焦点位置时，需要将方程化成标准方程，然后判断。
对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
例1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是什么？例2：当k为何值时，方程是椭圆或双曲线？题型三：圆锥曲线焦点三角形问题在圆锥曲线中，可以利用定义和正弦、余弦定理求解焦点三角形问题。
PF，PF2=n，m+n，m-n，mn，m+n四者的关系在圆锥曲线中有应用。
例1：椭圆上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求△F1PF2的面积。
例2：已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求该双曲线的标准方程。
题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法在圆锥曲线中，可以利用a、b、c三者的相等或不等关系式，求解离心率和渐近线的值、最值或范围。
在解题时需要注重数形结合思想和不等式解法。
例1：已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是多少？例2：双曲线的两个焦点为F1、F2，渐近线的斜率为±1/2，求双曲线的标准方程。
题型五：圆锥曲线的参数方程在圆锥曲线的参数方程中，需要注意参数的取值范围，可以通过消元或代数运算求解。
例1：求椭圆x^2/4+y^2/9=1的参数方程。
例2：求双曲线x^2/9-y^2/4=1的参数方程。
题型六：圆锥曲线的对称性圆锥曲线具有对称性，可以通过对称性求解问题。
圆锥曲线定义在解题中的应用
圆锥曲线定义在解题中的应用湖南省望城县第一中学 严文鸳 yan0112@圆锥曲线是高中阶段非常重要的一部分，是解析几何的核心内容，是高考重点考察的内容之一，也是学生感到比较难掌握的知识点之一。
确实，圆锥曲线问题的计算量相对偏大，技巧方法也比较多，但是做为最基础的圆锥曲线的定义，却往往被学生所忽视，而事实上，圆锥曲线的几何性质都是由定义得到的，许多问题特别是一些选择题和填空题借助于圆锥曲线的定义都能得以顺利解决。
下面就几种常见的问题加以说明： 一．焦三角形的问题例1．椭圆221169x y +=的焦点为1F ，2F ，椭圆的弦DE 过焦点1F ，DE 的倾斜角为α，0α≠，则△2DEF 的周长为（ ）A ．16B ．20C ．8D ．随α焦点的三角形的问题，直接利用椭圆的定义，122PF PF a +=，122EF EF a +=，而2l DE DF =++12214DF EF EF DF a =+++=，又由221169x y +=可知，4a =，从而得416l a == 练习：若双曲线方程22221(0,0)x y a b a b-=> >，过焦点1F 的弦AB 的长为m ，另一个焦点为2F ，则△2ABF 的周长为（ ）A ．4aB ．4a m -C ．42a m +D ．4a m -例2． 设1F ，2F 是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且1290F PF ∠=，则△12F PF 的面积 分析：∵1212S PF PF =⋅，若能求出1PF ，2PF 或12PF PF ⋅的值，则△12FPF 的面积便能求出，12PF PF ⊥，以及点P 满足2214x y -=，可以求出P 的坐标，从而求出1PF ，2PF ，但是此方法计算量较大，特别是对于填空题，其实由122222121224PF PF aPF PF F F c⎧+=⎪⎨+==⎪⎩⇒ 222121224PF PF PF PF a ++=⇒2124PF PF b =⇒23S b ==二．圆锥曲线类型问题例3．已知点(,)P x y1y =-+，求P 的轨迹图形是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段分析：这是个判断曲线类型的问题，如果直接化简很难，学生也难依据方程判断曲线的类型，表示(,)P x y 到(1,1)A 的距离，表示(,)P x y 到直线10x y -+=的距离，则原等式可变形为21=>，由圆锥曲线的统一定义可得(,)P x y 的轨迹是双曲线1k x y =-+，则方程表示的曲线又分别是什么？ 例4．过已知圆M 内的一个定点（不同于圆心M ）做圆C 与已知圆相切，则圆心C 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．圆或椭圆D ．线段 分析：设已知圆M 的半径为R ，动圆圆心的半径为r ，r CP = 由题意可得，MC R r =-＝R CP -，即MC CP R +=∵R MP >，（∵P 在圆内），由椭圆的定义可得，圆心C 的轨迹是椭圆 练习：若题中没有“不同于圆心M ”这个条件，圆心C 的轨迹是 二．最值问题例5．（2004年全国Ⅲ 理16）设P 是曲线24(1)y x =-上的一个动点，则点P 到点(0, 1)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值是 。
重视圆锥曲线的定义,提高解题速度
ＪＡ ＡＩｌ Ａ ｌｏＣ ＪＡ０Ｆ
重视 圆锥 曲线 的定义， 高解题 速度 提
河 北省 乐 亭县 汤 家河 高 中
椭 圆 、 曲线 和抛物线 是三种重 要 的二 次 曲线 ， 中数学 双 高 教材 中对它们给 出了两种定义 ， 第一定义 展示 了三类 曲线各 自 独特 的性质 和几何特征 ； 统一定义（ 又叫第二定义 ） 则深刻揭示 了三类 曲线 的内在联 系 ， 使焦点 、 离心率 和准线 等构成 一个 和 谐 的整体 ， 它揭示了定义的本质属性 。解析几何题 目的解答 ， 如 果 能充分利用 圆锥 曲线的定义 ， 可以大大提 高解题速 度 ， 到 起 事半功倍的作用 。
解 析 ： 图 由题 意 如
可知 ：Ｆ＝ Ｃ Ｅ＝ 、 ｃ Ｐ ￣２ ，Ｒ ，２ ／ 根据椭 圆定义可知２
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Ｏ ｙ ｐｃ ａ ｅ 为例 ： ｌｍ ｉ Ｇ ｍ ｓ 课文“ 奥运会 ” 是学生熟悉 、 热中的话题 。 学 生参与 的积极性很高 ， 他们远远不满足有限的课本知识 。因此 ， 我在让学生学 习课 文之后 ，放手让他们去 图书馆或上 网翻阅、 查询有关奥运会 的一 切 ， 之后每位 或每两位 同学合作 制作一份 关 于奥运会 的 ｐ ｓ ｒ ｏｔ 。学生 的积极性很高 ， ｅ 他们 或查阅书籍 、 画 报 ，或上网 从 ｉｔ ｎｔ ｎｅ ｅ上调用所需 的资料 ，或 自己撰写对中国 ｒ
堂 以外 的 现 实 世界 相 关 联 。
课 堂教 学质量 ， 减轻学生负担 的重要途径 。每 一个教师必须在 “ 惑” 解 上多下工 ， 既传授知识 ， 又教给学生 去解 决知 识症结 的要领 ， 轻松而又敏捷地掌握 、 理解 知识 。
巧用圆锥曲线的定义解题
巧用圆锥曲线的定义解题作者：王建平来源：《课程教育研究·新教师教学》2012年第24期摘要：圆锥曲线是高中数学平面几何中的重要知识，因此，对其研究非常有意义。
本文首先介绍了圆锥曲线的定义，在此基础上列举了几个巧用圆锥曲线定义解题的例子，包括利用椭圆和双曲线的定义联合解题、求解动点的轨迹和方程、利用圆锥曲线定义求解点的坐标。
关键词：圆锥曲线；定义；解题【中图分类号】G634.6一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是高考数学的必考内容，也是高中几何的重点和难点内容。
由于圆锥曲线的试题变化多端，导致了很多学生顾此失彼，对涉及圆锥曲线的题目更是“惧怕”的不行。
笔者认为，掌握、熟练运用圆锥曲线的基本概念，可以使很多复杂的题目迎刃而解。
高中数学教材中给圆锥曲线下的定义是：到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，我们一般用e表示到定点的距离与到定直线的距离的比。
根据e的取值范围不同，我们可以将圆锥曲线分为三种，当0 < e 1时，点的轨迹形成一个双曲线；当e =1时，点的轨迹形成一个抛物线。
通过圆锥曲线的定义，我们可以发现它反映了一个最基本的数量关系，应用圆锥曲线的定义可以解决很多种类型的题目，比如求解椭圆、双曲线或抛物线的方程；判断题目给出的曲线是什么类型的圆锥曲线；求点的轨迹、方程；求解平面图形的面积等。
下面，笔者将列举几个巧用圆锥曲线定义解题的例子，以让读者对圆锥曲线的定义有个更深刻的了解。
四、利用圆锥曲线定义求解点的坐标五、结束语可以利用圆锥曲线的定义进行求解的题目数不胜数，但是由于篇幅和时间的限制，本文只能列举三个巧用圆锥曲线定义进行解题的例子。
通过以上三个例子，我们可以发现掌握圆锥曲线的定义，并能够熟练使用圆锥曲线定义对于解一些曲線题目是非常有用的。
但是，对于圆锥曲线的定义要想熟能生巧需要学生们反复练习，不断强化，想要在几个小时之内或几天之内掌握是不可能的。
参考文献[1]裴树勤.例说圆锥曲线定义的应用[J].甘肃教育学院学报，2010，4[2]王剑红，杨素芳.巧用圆锥曲线定义解题[J].吕梁高等专科学校学报，2007，3。
巧用圆锥曲线的定义解题
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巧 用 圆锥 曲线 的定 义解题
■ 程淑 玲
求轨 迹 方 程 例 １ 坐 标 满 足 方程 ￣ 一１０ Ｉ —Ｙ＋ ／（ ）＋Ｙ ＝ ３ 的 点 Ｐ（ ＇ 的轨 迹 为 （ Ｉ ，， ） ） 。 （） Ａ 抛物线 （） Ｂ 双曲线 （ ） 圆 Ｃ椭 （ ） 条 直线 Ｄ两 分析 ： 按常规思路 ， 先化简方程， 若 应 过程 较 长 ，
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一 李 雪芬
写作训练 ， 而 言之 ， 是教会学 生写作文 ， 简 就 教 会学生用语言文字进行表 达与交流 ， 教学生 去创造 性 地 表 述 对 自我 及 世 界 的 认 识 。 中 国古 人 有 “ 为 言 心声 ” 之写作古训 ， 白居 易亦有“ 文章合为时而著 ， 歌 诗合 为事 而作 ” 的言 论 ， 主席 更 是 说 过 ：文章 是 一 毛 “ 定的社会生活在人头脑中反 映的产物 。这也就是说 ” 文 章 的实 质 就 是 反 映 写 作 者 自己对 事 物 的 理解 与看 法 的 ， 表 达 自己对 人 与 事 物 的 态度 与感 情 的 ， 为 是 是 现实生活服务 的。学生 写作文也得 遵循 以上 原则 。 因此 ， 对已有一定 文字基础和 初步写作 能力的初 中 生进行科学严格 的训练 ， 使他们能写出观点鲜 明、 情 感饱满 、 真实生动地反映客观现实本来面 目的文章 ， 是初中阶段写作训练 的目标。 为了达到这一 目标 ， 首先 要训练 的就是学生选 通 过 观 察 与 体 验 ， 了 材 料 ， 下来 就应 该 对 材 有 接 料进行 大胆 的取舍 、 剪裁 ， 并深入挖掘事物中蕴含 的 深意。 纵观近几年各地 中考作文 ， 题作文居多 ， 话 虽然 体 裁题 材不 限 ， 作 范 围很 宽 ， 大 多 数 学 生 的写 作 写 但 仍以记 叙为主， 合运用 了描写 、 论 、 情等表 达 综 议 抒 方 式 。要 写 好 这 类 文 章 ， 必 须 对 现 有 材 料 进 行 挖 就 掘， 因为 有 些 事 物 的含 义 ， 常不 是 一 眼 就 能 看 清 楚 常 的， 需要开动脑筋 ， 往深处挖掘。即使一张全优的成 绩单 ， 也不能只看到它表 面的分数 ， 而应该 “ 节外 生 枝” 地想一想 ， 优 的成绩 单后 面是 否有 坚强 的意 全 志、 不馁 的精神 ， 是否 有废寝忘食 、 孜不倦 的勤学 孜 苦练 ， 否有几个感人肺腑 的故事 。 是 世间万物都是普 遍联系 的， 多事物 的意义正 很
巧用圆锥曲线的定义解题
当 Ｍ 为 Ｆ 的延 长线 与 椭 圆的 Ｂ 交点 时 ， ： 有
一
＼＼
（ＭＢｆ ｌ １ —
１ 一～２／ｏ ） ｖ１ ．
故 ｌＩ ＋ １ ／Ａ１ ＭＢ１ Ｖ 的最 大值 为 １＋ ２ 最小 值 为 ｉ － ． ｏ ， ０ ２
距 离相等． 由抛 物 线 定 义 可 知 ， ｌ ３时 ， 迹 为 顶 点 在 原 当 ＜ 轨
点 ， Ａ（ 。） 焦 点 的 抛 物 线 的 一 部 分 ， 程 为 ｙ 一４ （ ≤ 以 １Ｏ 为 方 。 ｘＯ ＜３； ） 当 ≥ ３时 候 ， 样 可 得 点 Ｐ 的 轨 迹 方 程 为 一 同
Ｆ
，
线 为 ｌ若 过 Ｆ且 垂 直 于 轴 的 弦 ＡＢ 的 长 等 于 Ｆ 到 ｌ的距 ， 离 ， 该椭 圆的离心率． 求
解 ： 陶 １ 过 Ａ 作 ＡＣ上 ｌ 如 ， 于
东 生
Ｃ， 由 题 意 知 Ｉ 则 ＡＣｌ Ｉ — ＡＢｌ ，
又 ‘ ＡＢＩ ２ ＡＦＩ ． 由 椭 圆 ｛ 一 ｌ ，‘ ．
劂 锥 曲线 的 定 义 揭 示 ＿它 们 的 几 何 本 质 属 性 ， 是 推 导 ｒ 它
ｆ ｘ（ ≤ ｘ＜ ３ ， ４ Ｏ ）
（
方 程 或 性 质 的依 据 ， 是 解 题 常 用 的 一 把 钥 匙 ． 用 圆 锥 曲线 也 利
的定 义 解 题 能 够 捕 捉 题 设 信 息 同 有 的 本 质 属 性 ， 时 能 达 到 有
‘ ．
… …… … …＿ 。
。 ＤＩ Ｆｌ Ｃ Ａ Ｅ Ｂ ，
ｆ Ｂｌ Ａ ’ ，
例２ 知 （。 Ｂ ，在 圆 ２ 寺一 内Ｍ 已 点Ａ４ ） （２ 椭 ＋ ２ ｌ ， ，和＇２ ）
圆锥曲线参考答案
《圆锥曲线》参考答案一、圆锥曲线方程应用1.椭圆中心（2,0） 1,2c a ==。
故12c e a ==选（C ） 2.11e = 2把y 换成2y （短轴端点()()0,20,1®）得：2212x y +=322e =选（C ） 3.1由12c e a ===取1a =，2c =2()(222314AF a c =+=+=+22BF 6a ==+2222221248AB a b a c =+=-=+=+3 \222BF AF AB =+ 故90ABF? 选（C ）4.1 直线:1x yl a b += 即0bx ay ab +-=2 原点到直线l的距离4ab d c == 22222113113101616e e e e 骣骣鼢珑?=?+=鼢珑鼢珑桫桫 422310416e e e ?+=?或243e =即2e =或e =3ce a==故选（A ）5. 1 直线:1x yl a b+=- 即0bx ay ab --= 原点到直线l 的距离ab d c ===2由3c e a ab cìïï==ïïïíïïï=ïïî 得 1b = 322222133a b c a a ==-=? Þ双曲线方程：2213x y -=6.选（B ）7.（1）由221y ax x y a=?1224p p a a??Þ焦点10,4a 骣÷ç÷ç÷ç桫 （2）1222424b ac b y ax bx c a x a a骣-÷ç=++=++÷ç÷ç桫 2抛物线C:2y ax bx c =++是由抛物线2y ax =按向量（-24,24b ac b a a-）平移得到的Þ焦点241,24b ac b aa 骣-+÷ç÷-ç÷÷ç桫 8.1双曲线221169x y -=的准线方程：165x =2 双曲线()()22231169x y -+-=的准线方程：1625x =3令()()22230169x y -+-=()(324x ??化得渐近线：3460x y ++=和 34x y --9.[法一]令x c =得22221c y a b-=21122b yPF F F c a?===2222222c a c a c e a a --??2210e e ?-= 解得1e =+1e =-二、运用圆锥曲线的定义解题1.如图，过A 、B 分别引左准线l 的垂 线段AM 、BN ，AB 交l 于C设BF a =，则22,,a a AF a AM BN e e=== 在Rt APM 与Rt BPN 中4222,a aAC AM BC BN e e====∴2. 由e ⇒1y ⇒1y ⇒选（3.[1 设2PF 2 22212120PF PF F F ⇒+-< ()2222240a e x c ⇒+-<3 把32,,a b c e ====2259820095x x +-<⇒<即x <<l[法二]向量法：设P (),x y，则()1PF x y =，133PF x =- ，()2PF x y =，233PF x =+121212cos ,PF PF PF PF PF PF ⋅<>=⋅22250599x y x +-=<- 由22194x y +=化得22449y x =-，代人上式得 12cos ,PF PF <> 2222251590559999x x y x x -+-==<--25109x x ⇒-<⇒<< [法三]斜率[法四]圆的内部4.图！()1MN =2AP BQ + ()1122AF BF AB =+ （当且仅当AB 过焦点F 时，取等号）\()min 122aMN AB ==\()0min 22a pMN =-5.[法一]设()()1122,,A x y B x y 、，AB 中点1212,22x x y y C 骣++÷ç÷ç÷ç桫 则11221,242p p AF x x BF x x =+=+=+=+()12142AB AF BF x x =+=++=化得122x x +=74\AB 的中点C 的横坐标为74[法二]1 图()()1112222CH AM BN AF BF AB ?+=+==2 C 的横坐标为172p x CH =-=-=3由122122:7PF PF a PF PF PF +==?9.[法一]4x =-过A M 、N 则CH=3 由2OA + ∴直线设BC=m 在Rt 2DA AM 解得3DB m =在Rt DBN 与Rt DCH 中34DB BN DC CH == 即2334m = 解得98m = 故2738OA OB BA m -===（2）由()1OA OB OC λλ+=+得 ()()1OA OB OC OB λ-=+-∴直线AB 过左焦点()10,C -，且()1BA BC λ=+设BC=m ，则AC=2m ，BN=2m ，AM=4m 。
圆锥曲线定义在高中数学解题中的应用
高考题中圆锥曲线的定义的解题应用
圆锥曲线是高中数学学习的重要内容，同时也是高考考查的重点内容，而圆锥曲线的定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础，而且也是解题的重要工具。
一、椭圆问题
二、双曲线问题
三、抛物线问题
例5若点P到直线x=-1的距离比它到点(2，0)的距离小1，则点P的轨迹为( )。
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
解析：点P(x，y)到直线x=-1的距离比它到点F(2，0)的距离小1，则点P(x，y)到直线x=-2的距离与它到点F(2，0)的距离相等，所以动点P的轨迹是以F(2，0)为焦点的抛物线，得=2，即p=4。
于是P的轨迹方程为y2=8x，选D。
练习已知是动点M满足的坐标方程，则M的轨迹方程为( )。
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
解析：因为动点M满足的坐标方程，此方程表示的是动点M(x，y)到定点(0，0)与定直线3x+4y-12的距离相等，且定点不在定直线上，根据抛物线的定义知动点的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线。
选D。
例6在抛物线y2=2x上求一点P，使P到焦点F与到点A(3，2)的距离之和最小。
图1
解析：如图1，设抛物线上的点P到准线的距离为|PQ|。
由抛物线定义可知：
|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|＞|QA|。
显然当P、Q、A三点共线时，|PQ|+|PA|最小。
因为A(3，2)，将y=2代入y2=2x，得x=2，所以P点坐标为(2，2)。
圆锥曲线的最值问题常见类型及解法
例1： 在圆x2+y2=4上求一点P，使它到直线L：3x-2y-16=0的距离最短。
略解：
圆心到直线L的距离d1=
所以圆上的点到直线的最短距离为 d=d1-r
问题：直线L的方程改为 3x-2y-6=0， 其结果又如何？
16 32 22
16 13 13
16 13 2 13
思考： 例1是否还有其他解题方法？
∵ |AF’|=
[1（4） ]2 1 26
∴ |MF|+|MA| 的最大值为 问题：本题解题到此结束了吗？
10 26
最小值为
10 26
变式训练：
1 . 已知P点为抛物线
上的点，那么P点到点Q（2，-1）的距离与P点到抛物线焦点的距
离之和的最小值为 _ __，此时P点坐标为
y_. 2 4 x
y
x Q
3
，面积为
的等腰梯形. （1）求椭圆的方程; （2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求
33
F2AB面积的最大值.
练习、设椭圆中心在坐标原点A（2，0）、B（0，1）是它的两个顶点，直线 两点，求四边形AEBF面积的最大值.
ykx (k0)
y
与椭圆交于E、F
思维导图： 用k表示四边形的面积
B F
yx2 3
解：设椭圆与
平y行的切x线方程2为 3
y xb
y xb
x2 2
y2
1
3x2 4bx2b2 20 (1) (4b)2 43(2b2 2) 0
b 3
1)当b
3时,代入(1)得dmin
6; 2
2)当b
3时,代入(1)得dmax
3 6. 2
变式训练：
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利用圆锥曲线的定义解题
圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线。
圆锥曲线的定义是整章内容的理论基础。
圆锥曲线的很多问题都与定义紧密相连，圆锥曲线的定义渗透在圆锥曲线的各个方面。
因此合理应用定义是寻求解题捷径的一种重要方法，灵活运用圆锥曲线的定义常常会给解题带来极大方便，产生一种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的美好感觉.我认为在本章的教学中应强化定义的教学，积极主动地培养学生应用定义解题的意识。
本文通过下面几个方面的问题谈谈如何利用圆锥曲线的定义解题。
1.利用定义法求值
例1.（1）从双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|与b-a的大小关系为（）
A.|MO|-|MT|>b-a
B.|MO|-|MT|=b-a
C.|MO|-|MT|b>0）.因为离心率为22，
所以22=1-b2a2，解得b2a2=12，即a2=2b2.
又△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=AF1+BF1+BF2+AF2
=（AF1+AF2）+（BF1+BF2）=2a+2a=4a，
所以4a=16，a=4，所以b=22，所以椭圆方程为x216+y28=1.
2、利用定义法求最值
例2.（1）（2009·四川）已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）
A.2
B.3
C.115
D.3716
解析：直线：x=-1为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点F（1，0）的距离，故本题化为在抛物线上找一个点P，使得P到点F（1，0）和直线的距离之和最小，最小值为F（1，0）到直线4x-3y+6=0的距离，即= =2，故选A.
（2）. 定长为3的线段AB的两端点在抛物线上移动，AB的中点为M，求M到y轴的最短距离，并求点M的坐标。
解析：
其中等号成立当且仅当A、 F 、B三点共线
所以最短距离为，
例3.已知分别是椭圆的左右焦点，，是椭圆上的动点，求的最小值。
解析：
当且仅当共线，且P在轴左侧时取“=”号最小值为
3.利用定义法求轨迹
例4.一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心P的轨迹方程。
解析：因为，，
所以
4.利用定义法判断位置关系
例5.过抛物线C的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点，研究以AB为直径的圆与抛物线的准线l的位置关系，并证明你的结论.
解析：设AB中点为M，A、B、M在准线L上的射影为A’、B’、N，。
|AA’|=|AF|，|BB’|=|BF|
故以AB为直径的圆与l相切.
圆锥曲线的定义是根本，对于某些问题利用圆锥曲线的定义来求解比较简捷。
总之，圆锥曲线的定义的运用还有很多，在这不一一列举，在解题过程中学生只要善于分析，探求实质性条件，灵活运用定义，就可以顺利解决在高考中对定义考查的题目。