九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题附答案.docx

九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题附答案

一、一元二次方程

1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家

庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008 年底全市汽车拥有量为14.4 万辆．已知 2006 年底全市汽车拥有量为10 万辆．

（1）求 2006 年底至 2008 年底我市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）为保护城市环境，要求我市到2010 年底汽车拥有量不超过15.464 万辆，据估计从2008 年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数

量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）

【答案】详见解析

【解析】

试题分析：（ 1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（ 1+增长率）解决问题；

（2）参照增长率问题的一般规律，表示出 2010 年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式

来判断正确的解．

试题解析：（ 1）设年平均增长率为 x，根据题意得：

10（ 1+x）2=14.4，

解得 x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，

答：年平均增长率为20%；

（2）设每年新增汽车数量最多不超过y 万辆，根据题意得：

2009年底汽车数量为14.4 × 90%+y，

2010年底汽车数量为（14.4 × 90%+y）× 90%+y，

∴（ 14.4 ×90%+y）×90%+y≤15.464，

∴y≤2．

答：每年新增汽车数量最多不超过 2 万辆．

考点：一元二次方程—增长率的问题

2．阅读下列材料

计算：（ 1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则：

原式＝（ 1﹣ t ）（ t+ ）﹣（ 1﹣ t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t 2＝

在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想

方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：

（1）计算：（ 1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（ +）

（2）因式分解：（ a2﹣ 5a+3）（ a2﹣5a+7） +4

（3）解方程：（ x2+4x+1）（ x2+4x+3）＝ 3

【答案】（ 1）；（ 2）（ a2﹣ 5a+5）2；（ 3） x＝0， x ＝﹣ 4， x＝x＝﹣ 2

1234

【解析】

【分析】

（1）仿照材料内容，令+＝ t 代入原式计算．

（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝ t 代入原式进行因式分解，最后要记得把

t 换为 a．

（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2 +4x＝ t 代入原方程，即得到关于t 的一元二次方程，得到 t 的两个解后要代回去求出 4个 x 的解．

【详解】

（1）令 +＝ t，则：

原式＝（ 1﹣ t ）（ t+）﹣（ 1 ﹣t ﹣） t ＝ t+﹣ t2﹣﹣ t+t 2+＝

（2）令 a2﹣ 5a＝ t，则：

22222

原式＝（ t+3）（ t+7） +4＝ t +7t+3t+21+4＝ t +10t+25＝（ t+5）＝（ a ﹣ 5a+5）

（3）令 x2+4x＝ t ，则原方程转化为：

（t +1）（ t+3）＝ 3

2

t +4t+3＝ 3

t （ t+4）＝ 0

∴t 1＝ 0， t2＝﹣ 4

当 x2+4x＝ 0 时，

x（ x+4）＝ 0

解得： x1＝ 0， x2＝﹣ 4

当x2+4x＝﹣ 4 时，

x2+4x+4＝ 0

（x+2）2＝ 0

解得： x3＝ x4＝﹣ 2

【点睛】

本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到

降次效果，从而简便运算．

3．已知：关于的方程有两个不相等实数根．

（1）用含的式子表示方程的两实数根；

（2）设方程的两实数根分别是，（其中

2

【答案】（ I）kx +（ 2k－ 3)x+k－ 3 = 0 是关于

），且

x 的一元二次方程．

，求的值．

∴

由求根公式，得

．∴或

（II），∴．

而，∴，．

由题意，有

∴即（﹡）

解之，得

经检验是方程（﹡）的根，但，∴

【解析】

（1）计算△ =（ 2k-3）2-4k（ k-3）=9＞ 0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；

（2）有（ 1）可知方程的两根，再有条件x1＞ x2，可知道x1 和 x2 的数值，代入计算即

可．

一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、

保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措

施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.

请你解答下列问题：

4．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、

五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值 .

月份用水量（吨）水费（元）

四月3559.5

五月80151

【答案】

5．关于 x 的方程 (k－ 1)x2 +2kx+2=0

（1）求证：无论 k 为何值，方程总有实数根．

（2）设 x1， x2是方程 (k－ 1)x2+2kx+2=0 的两个根，记 S=++ x1+x2， S 的值能为 2 吗？若能，求出此时 k 的值．若不能，请说明理由．

【答案】（ 1）详见解析；（ 2）S 的值能为 2，此时 k 的值为2．

【解析】

试题分析：（1）本题二次项系数为 (k－ 1)，可能为 0，可能不为 0，故要分情况讨论；要

保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞ 0 恒成立；（2）欲求 k 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．

试题解析：（1）①当 k-1=0 即 k=1 时，方程为一元一次方程2x=1,

x=有一个解；

②当 k-1≠0即 k≠1时，方程为一元二次方程，

△=（ 2k） 2-4 ×2（k-1） =4k2-8k＋ 8="4(k-1)" 2 ＋ 4＞ 0

方程有两不等根

综合①②得不论k为何值，方程总有实根

（2）∵ x ?＋ x ?＝,x ? x ?=

∴S= ++ x1+x2

=

=

=

=