05 扩展式博弈

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为了说明“企业2在行动时是处在x2点还是处在x3 点” ，需要引入信息集(information set)的概念。 信息集：信息集Ii是参与人i决策结的一个集合， 它满足以下两个条件： （1） Ii中的每个决策结都是参与人i的决策结； （2）当博弈到达Ii时，参与人i知道自己处在该 信息集中的某个决策结，但不知道是哪一个。 因此，信息集Ii可用来描述：当轮到参与人i行动 时，他所了解的信息，即他知道什么(知道自己 位于哪一个信息集上)、不知道什么(不知道自己 位于信息集中哪一个决策结上)。
• 给定一个博弈的扩 展式描述，可以得 到参与人的战略以 及参与人在各战略 组合下的支付，所 以，由一个博弈的 扩展式描述可以得 到该博弈的战略式 描述。
1 A x B 1 2 x x4 2 C D 2,1 1 x 3 x5 E F 1,1 x7 x6
1,2
3,0
2
1 A x B 1 2 x x4 2 C D 2,1 1 x 3 x5 E F 1,1 x7 x6
将“企业1”标示在点x 1上，表示博弈开始于 企业1的选择。
称为博弈树的结(node) 称为博弈树的结 决策结
考察上图中的博弈树，可以得到这样的信 息： (1) 博弈中的参与人是企业1和企业2； (2) 博弈中企业1先选择，企业2后选择； (3) 企业1选择时有行动“开发”和“不开 发”，企业2选择的行动有“开发”和 “不开发”； (4) 给出了博弈中各企业的支付。
• 动态博弈中的序列结构：
(1) 每个参与人在什么时候行动； (2) 每个参与人行动时，所面临的决策问题， 包括参与人行动时可供他选择的行动方 案、所掌握的信息。
扩展式博弈的定义 定义： 定义
扩展式博弈包括以下要素： (1) 参与人集合 Γ = {1, 2,..., n} ； (2) 参与人的行动顺序，即每个参与人在何 时行动； (3) 序列结构：每个参与人行动时面临的决 策问题，包括参与人行动时可供选择的 行动方案、所了解的信息； (4) 参与人的支付函数。
• 在“新产品开发博弈”中，假设企业1先行动， 企业2后行动，但企业2行动时不知道企业1的 行动。
企业2行动时，只知道 博弈要么到达点x2，要 么达到点x3 ，但具体在 哪一点，企业2不清楚。 也就是说，企业2只知 道自己位于决策结集合 {x2, x3 }上，但不知道位 于{x2, x3 }中哪一个决策 结上。
1,2
( A, E ) ( A, F ) 1 (B, E ) (B, F )
C 3, 0 1, 2 2, 1 2, 1
D 1, 1 1, 1 2, 1 2, 1
3,0
扩展式描述
战略式描述
三、两种博弈描述形式的比较
1. 战略式博弈从本质上来讲是一种静态模 型。 2. 扩展式博弈从本质上来讲是一种动态模 型。
L′
3
x3
R′ x7
L ′′
R ′′
L ′′
R ′′
L′
R ′′
L ′′
R′
下图表示参与人3选择时，既不知道参与人2的选 择，也不知道参与人1的选择。
1
L
2
x1
R
2
L′ x4
x2
3
R′
3
L′ x6
x3
3
R′ x7
L ′′
R ′′
L ′′
x5
R ′′
L′
R ′′
L ′′
R′
下图表示参与人3选择时，既知道参与人2的选择， 也知道参与人1的选择。
小偷 2
坦白
小偷 1 坦白
抵赖
-4, -4 -6,0
0,-6 -1,-1
抵赖
囚徒困境的战略式描述
小偷 1 坦白 小偷2 抵赖
坦白 小偷1 小偷 2 抵赖
坦白
抵赖
坦白
抵赖
坦白
抵赖
坦白
抵赖
-8, -8
0,-10
-10 , 0
-1,-1
-8 ,-8
0 ,-10
-10, 0
-1,-1
囚徒困境的扩展式描述
• 注意：到目前为止，对于战略式描述的博 弈问题，我们可以直接得到其Nash均衡。 但是，如果是扩展式博弈的话，则需要先 给出博弈的战略式描述，才能得到其Nash 均衡。 • 究其原因，主要在于Nash均衡本身只是一 个静态的解的概念 。
(4) 两个企业的支付如下：
对手不开发，获利润800万元 需求大 对手开发，获利润300万元 开发(a )：投入2千万元资金 对手不开发，获利润200万元 企业 需求小 对手开发，赔400万元 不开发(b )：不投入资金,利润为0
• 由于上述博弈较为简单，我们用文字描述 的方法给出了其扩展式描述。但对于更为 复杂的博弈问题，文字描述所给出的模型 就会显得繁冗拖沓，极不直观。 • 此时，可以采用博弈树对一个扩展式博弈 进行描述； • 博弈树：就是由结和有向枝构成的“有向 树”。
企业1的选择 最上端的一个点(用空心圆 有“开发”和 表示)，表示博弈的开始 。 “不开发”， 表示博弈达到 分别用标有 该点时企业的 “开发”和 所得 ，其中， “不开发”的 支付向量中的 有向枝表示。 第一个数字表 示企业1的所得， 第二个数字表 示企业2的所 得。
• 设X为一决策结集合，用Ii(X)表示参与人 由决策结集X构成的一个信息集。 • 例如，I2({x2, x3})表示企业2的由决策结集 {x2, x3}构成的信息集，I2({x2})和I2({x3})分 别表示企业2的由决策结集{x2}和{x3}构成 的信息集。 • 在博弈树中，属于同一信息集的决策结一 般用虚线连接起来。 • 在以后的讨论中，我们假设博弈树中的博 弈都是从上往下进行的，因此，在不引起 歧义的情况下，我们不标出博弈树中枝的 方向。
Si =
I i ∈H i
∏ A (I )
i i
例如：
1 A x B 1 2 x x4 2 C D 2,1 1 x 3 x5 E F 1,1 x7 x6
1,2
3,0
• 参与人2的信息集为I2 ({x2})，参与人2在I2 ({x2}) 上的行动集为{C,D}。所以，参与人2的战略集 为{C,D} ； • 参与人1的信息集为I1 ({x1})和I1 ({x3}) ，其中参 1 ({ }) ({ 与人1在I1 ({x1})上的行动集为{A,B}，在I1 ({x3}) 上的行动集为{E,F}。所以，参与人1的战略集为 {A,B}×{E,F} ，即{A,E}、{A,F}、{B,E}和{B,F}。
1
L
2
x1
R
2
L′
3
x2
R′
3 3
L′ x6
x3
R′
3
L ′′
x4
R ′′
L ′′
x5
R ′′
L′
R ′′
L ′′
x7
R′
• 对于多阶段的动态博弈问题，一般还假 设参与人满足“完美记忆”(perfect recall) 要求，即假设参与人不会忘记以前知道 和做过的事情。 • 在博弈分析中，如果没有“完美记忆” 假设，各种博弈结果都有可能出现，那 么我们也就无法对博弈进行预测。 • 但在现实生活中，不满足“完美记忆” 要求的情形比比皆是。例如，人们在玩 扑克时，往往会忘记自己曾经出过什么 牌或者对手曾经出过什么牌。
• 战略：参与人在博弈中的行动规则，它规 定了参与人在博弈中每一次轮到自己行动 的情形下，应该采取的行动。 • 在博弈树中，由于参与人在博弈中每一次 轮到自己行动的情形可以用一个信息集来 表示，因此，参与人在扩展式博弈中的战 略实际上就是参与人在每个信息集上的行 动规则。
• 用 Hi 表示博弈树中参与人i的信息集的集合，即 Hi=(Ii)；用Ai(Ii)表示参与人i定义在信息集Ii上的 行动集， Ai(Hi)表示参与人定义在一种静态模型 • 战略式博弈从本质上来讲是一种静态模型， 它假设所有的参与人同时选择战略并实现 博弈在各种情形下的结果，至于博弈中参 与人何时行动，战略式博弈并不考虑。 • 虽然战略式博弈也可用来对动态博弈进行 建模，但从所得到的模型中，我们无法直 观地观察到动态博弈所具有的动态特性。
下图表示参与人3选择时，知道参与人1的选择， 但不知道参与人2的选择。
1
L
2
x1
R
2
L′ x4
x2
3
R′ x5 x6
L′
x3
3
R′ x7
L ′′
R ′′
L ′′
R ′′
L′
R ′′
L ′′
R′
下图表示参与人3选择时，知道参与人2的选择， 但不知道参与人1的选择。
1
L
2
x1
R
2
L′ x4
x2
3
R′ x5 x6
例子： 新产品开发博弈
• 试用扩展式博弈对两个企业都知道市场 需求，且企业1先决策，企业2观测到企 业1的选择后再进行选择的博弈情形即完 全信息动态的“新产品开发博弈”进行 建模。
完全信息动态的“新产品开发博弈”的扩 展式博弈包括以下要素： (1) 参与人是企业1和2； (2) 企业1先行动，企业2后行动； (3) 企业1行动时有两种选择——“开发”和 1 ——“ “不开发”，企业1行动时不知道企业2的 行动；企业2行动时有两种选择——“开发” 和“不开发”，但企业2行动时已经知道 企业1的行动；
第二章 完全信息动态博弈
扩展式博弈
主要内容： 一、扩展式博弈 二、扩展式博弈的战略及Nash均衡 三、两种博弈描述形式的比较
一、扩展式博弈
• 在静态博弈中，参与人同时进行决策，而 在动态博弈中，参与人的行动顺序有先有 后，此时用扩展式博弈对其进行描述； • 扩展式博弈(extensive form game)：是博弈 问题的一种规范性描述。与战略式博弈侧 重博弈结果的描述相比，扩展式博弈更注 重对参与人在博弈过程中遇到决策问题时 序列结构的分析。