新人教版八年级数学下《二次根式》复习课件

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人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件

6
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；

16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则（ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳：化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因

人教版八年级下册数学《二次根式的乘除》说课教学复习课件巩固

，
3 6= 32 6= 54 ，
又∵52＜54，
∴ 52＜ 54 ，
∴
52＞ 54
两个负数比较大小，
绝对值大的反而小
,即 2 13＞-3 6.
探究新知
方法点拨
比较两个二次根式大小的方法：
(1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内，
当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大．
在本章中，
如果没有特
别说明，所
有的字母都
表示正数．
被开方数
根指数
二次根式相乘，________不变，________相乘.
语言表述：
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
注意：a,b都必须是非负数.
探究新知
考点 1 简单的二次根式的乘法运算
计算:
（1） 3 5 ;
解: (1)
(2)
（2）
PA R T
01
学习目标
01
二次根式乘法法则知识点回顾
二次根式乘法法则
• = ≥ 0，b ≥ 0
注意公式成立条件
二次根式乘法法则变形
= • ≥ 0，b ≥ 0
01
探究与思考
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？

4

9

4
22
9
32
=

=
4
16
16
(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式
都是正数时，平方大的二次根式大．
(3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的
近似值，再进行比较．
巩固练习

人教版八年级下册数学《二次根式的加减》二次根式说课复习教学课件

a
（a 0, b 0）
b
b
问题4
在进行二次根式的乘除运算时，需要注意什么？
需要注意的是：运算结果要化成最简形式.
新课导入
问题5 二次根式的加减运算法则是什么？
a c b c ( a b) c
问题6
二次根式的加减运算法则的依据是什么？
加减法则的依据是：乘法分配律.
知识讲解
在七年级我们就已经学
第十六章二次根式
二次根式的加减
（第1课时）
课件
学习目标
1
了解二次根式的加、减运算法则.（重点）
2
会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.（难点）
新课导入
知识回顾
1.同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
叫做同类项.
2.合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并
= （2 2 − 3） × （2 2 + 3）
2018
= （ − 1）2018 ＝1.
随堂训练
4.计算：（1)
32 1
+
2+ 3
2− 3
解：（1）
32 + 2 ÷ 2
D. 3( 2 + 3) = 6 + 2 3
随堂训练
2. 已知 = 3 + 2, = 3 − 2, 求下列各式的值：
(1) x 2 2 xy y 2 ;
(2) x 2 y 2 .
解：
(1) x 2 2 xy y 2 ( x y ) 2
[( 3 2) ( 3 2)]2
(3) 8 +
4 3 12 −
1
1

数学人教版八年级下册二次根式复习ppt

x y x y
2 2 3
3 3
x y （ 2） y x
x 2 y 2 ( x y ) 2 2 xy ( 2 3 ) 2 2 2 4; （2）原式 xy xy 2
• 1、注意运算顺序； • 2、注意运算法则和技巧： • 3、注意运算结果必须是最简二次根式或整式。
一．诊断练习
在式子
a 2 1,
3，
0 . 5，
3
5，
（ 3），
2
a 5,
2
a(a0 ),
64 ，

1 ， 3
1 2x ,
18 ，
式这些二次根式能不能变成最简二次根式或整式？ 2
2
2 （ 3 ） 3

①被开方数不含分母你变形的依据是什么？ ①根指数为2 ②被开方数不含能开 ②被开方数是非负数 2 的尽方的因数或因式 3 你变形的依据是什么？ 3 ______
1 解：原式 3 2 8 8 5 15 3 2
3 100 4
15 2
二次根式的乘除运算，可以先乘除，再化简。
2 5 5 2 2 5 5 2 5 2 3、
2
2 2 解：原式（2 5）（5 2）（5 2 5 2 2）
A.
1 5
2 5 x B ． y C． 9 a
2 x 1 D．
三、基础训练
3、计算：
(1)
5 7 2 2 2 _______ 3 5 (2) 13 12 _______ 9
三、基础训练
4、若 x>1
x 1 x 1 ，则x的取值范围是 x 1 x 1
。

人教版数学八年级下册期末复习：二次根式课件(共58张PPT)

专题二分类讨论思想
【要点指导】
在解题过程中, 由于没有给定某一字母的值, 从而产生不同的结果, 这时就需要我们利用分类讨论思想, 把所有可能的情况一一列出来, 要做到不重不漏.
例 2 若-3＜x≤5,试化简：|x-2|+ (x+3)2 + x2-10x+25.
解：原式=|x-2|+|x+3|+ (x-5)2 =|x-2|+|x+3|+|x-5|. 因为-3＜x≤5, 所以当-3＜x≤2 时, 原式=2-x+x+3+5-x=10-x；当 2＜x≤5 时, 原式=x-2+x+3+5-x=x+6.
【要点指导】比较二次根式大小的常用方法有两种：①比较被开方数法：将二次根式系
数的绝对值移入根号内后比较被开方数的大小；②平方法：将二次根式分别平
方, 再比较它们的幂的大小．
例 6 (1)比较-5 5与-8 2的大小.
分析
解：|-5 5|=5 5= 125, |-8 2|=8 2= 128. ∵125<128, ∴ 125< 128,即|-5 5|<|-8 2|, ∴-5 5>-8 2.
在一起考查.
策略：此类有意义的条件问题主要是根据二次根式的被开方数大于或等于零、
分式的分母不为零等列不等式(组), 然后求不等式(组)的解集.
链接 1 [达州中考] 二次根式 2x+4 中的 x 的取值范围是( D ).
A．x＜-2
B．x≤-2
C．x＞-2
D．x≥-2
分析由题意, 得 2x+4≥0, 解得 x≥-2. 故选 D

人教版八年级下册数学《二次根式的概念》二次根式说课教学课件复习

2
2
x
3
x 3
③

x2 5 x
1
2 x
x2
2 x5
活动探究
3．在式子
1 2x
中， x的取值范围是____________.
1 x
1
1 2 x 0,
x

, 且x 1

2
解：由 1 x 0 得：
.注Leabharlann ：在考虑式子有意义时，要考虑全面：
1·有无二次根式，有多个要同时满足
求代数式( − 2)2 − − 2 + 2 + 2 3的值 .
= 2 −4 + 4 − 2 + 4 + 2 3
=-4x + 8+ 2 3
把x= 3代入，得
-4x + 8+ 2 3 = −4 3+8+ 2 3=8- 2 3
02
练一练
已知a=3+2 5， b=3-2 5 ，求2 − 2 的值 .
2 、- 2 、
x y
2 、 x（x>0）、 0 、- 2 、 x y（x≥0，y≥0）．
1
1
4
不是二次根式的有： 3 3 、 x 、 2、 x y .
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
结论：1.表示a的算术平方根
2. a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0,
=
5
=5-3
=2
2
−
3
2
02
练一练
(1) ( 2 − 6 ) × ( 2 + 6 )

人教版数学八年级下册第十六章二次根式复习课件(共17张PPT)

二、举一反三
4 .计练算习2：计算：
（1） 80 20 5；
（2）18 ( 98 27)；
（3）( 24 0.5) ( 1 6); 8
(4) 32 3 1 10 0.08 1 48.
3
2
二、举一反三
解：
(1) 80 20 5 4 5 2 5 5 3 5. (2) 18 ( 98 27 ) 3 2 7 2 3 3 10 2 3 3.
A. 2 2 1 B.2x 1 C.2 2 1 D.2 2 1
2．填空题：
（1）若 x 4 有意义，则 x 的取值范围是_____
x5
（2）若 a2 1，则 a 的取值范围是______ a
（3）化简 a
1
a3
_____
(4)若2n1 3m 2n 与 6 是同类最简二次根式，则n=__ ，m=____ (5)化简 _____ 3a2b2(a 0,b 0) (6)若 a 0,b 0 ，则 a b2 _____
4．计算：
课堂小结
1．本节课复习的六个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握． 2．在二次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．
3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意每一个性质中字母的取值范围．
3.计算
a2 a2
4a 4a
4 3
•
3a a2
1 1 a
4.已知m，n为实数，且满足 m n2 9 9 n2 4 ，
求 6m 3n 的值
n3
四、融会贯通
1．选择题：

【最新】人教版八年级数学下册第十六章《二次根式复习》优质公开课课件.ppt

例2：（200年 7 临沂中考 )计题算
12 753 1 48.
3
例3:已知：m 1 ,
2 3
求12mm2 m1
mm2 2 2mm1的值.
例4
设a.b为实数,且 2 a b 2 0
求a2 2 2a 2 b2 的值
解:
2 a 0 ， b2 0
而2a b20
2 a 0 ， b20
（1）你能求出哪些线段的长？
OA2=S__12_=___12
O…A…3=S__23_=__22_ OAn=…__n_… n
A6
1
A5 1 A4
1
S4
S5
S6
Sn=__2_ A7
1 A3 1
S3 S2 A2
S1 1
O 1 A1
1
（2）请计算
S1=
1 2
S2=
2 2
…Sn=
S1 2S2 2S3 2 Sn 2
复习目标
加深理解二次根式的有关概念；
熟练掌握二次根式有意义的条件；熟练运用二次根式的化简和加减、乘除、乘方混合运算；
本章知识
1.二次根式的有关概念：
（1）二次根式（2）最简二次根式（3）同类二次根式
a(a 0)
（1）形如
的式子叫做二次根式.
非负数
（即一个
的算术平方根叫做二次根式）
注意：二次根式有意义的条件: 被开方数大于或等于零
计算334842723??11115352????1412753483??205151235???????226323223200820083223???7二次二次根根性质概念二次根式最简二次根式同类二次根式二次根式最简二次根式同类二次根式0a?aa???2aa????0a????0a????根根式式性质运算abab??aabb?00ababab??????????00aaabbb?????????00ab???????00ab??????通过这节课的学习谈谈你的收获

人教版八年级下册数学课件：第十六章二次根式复习课(共75张PPT)

1 (6) x2
(8) 3 x | x | 4
x0
X≤3且X≠-4
3、若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简 |3x+x2| 的结果是（ -2X ）
4、求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) a 1 (2) 1
1 2a
(3) (a 3)2
4 2 5x 5 2x 12
6 x 5 3 2x
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
初中阶段的三个非负数：
a (a≥０)
|a|
≥０
a2
a + b = 0 ? a 0,b = 0 a+ | b |= 0 ? a 0,b = 0 a2+ | b |= 0 ? a 0,b = 0 ......
∴ x2 - 2x + 1 = 1- x = 1+ 3
∴当x＝- 3时， x2 - 2x+ 1 = 1+ 3
( a )2 a (a 0)
a2
a
a(a 0) a(a 0)
a2与（ a）2一样吗？
你的理由是什么？
( a )2 a(a 0)
a(a 0)
a2 a a(a 0)
注意区别 a 2 与( a）2
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
式子 S25 ，

人教版八年级数学下册《二次根式》PPT课件

求此三角形的周长．
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂检测
拓广探索题
先阅读，后回答问题：
当x为何值时， x x 1 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
解得 m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式
x2 6x m 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
课堂检测
能力提升题
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足b 3 a 2a 6 4，
双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
a ≥0.
探究新知
考点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
若 a 3 b 2 (c 1)2 0 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
人教版数学八年级下册
16.1 二次根式
第1课时
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r= Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、

16.2 二次根式的乘除课件2024-2025学年人教版数学八年级下册

D．20
（2） 12b ∙
93
4
.
课堂引入
问题1．一个长方形的长为 6，宽为 3 ，请求长方形的面积.
追问1：像 6， 3这样表示一个数的算术平方根的数字是实数吗？
如何进行二次根式的加、减、乘、除运算？运算的过程中要遵循怎样的
运算法则？
一、二次根式的乘法
问题2．像 6 × 3这样，是两个二次根式的积，怎样计算？
因式的二次根式.
化简时通常要求最终结果中的分母不含根号，而且各个二次根式都是最简二次
根式.
特别注意：（1）分母中含根号的要化简成没根号；
（2）根号中有分数的也要化简；
（3）根号中有小数的也要化简.
合作学习
2．说出二次根式的乘除法则，并用字母表示.
二次根式的乘法法则公式： × = ( ≥ 0, ≥ 0)；
(
1
1
1
+
+
+
2+1
3+ 2
4+ 3
⋯+
1
)(
2018+ 2017
2018 + 1)的值．
例题精析
(
1
2+1
+
1
1
+
3+ 2
4+ 3
+⋯+
1
)(
2018+ 2017
2018 + 1)
解：
原式= (
1
1
1
+
+
+
2+1
3+ 2
4+ 3
⋯+

《最简二次根式》二次根式PPT课件

2．被开方数是分数的二次根式化简
例 2 化简 1125．分析：因为，125=5×5×5=52×5，所以，只需分子、分母同乘以 5 就可以了．
解法一： 1125＝ 513××55＝255．
3．被开方数是小数的二次根式化简
例 3 化简 1.5．
分析：被开方数是小数时，常把小数化成相应的分数，然后进行求解．
1 8x3
x
0
0.8 4 45 2 5 5 55 5
4 1 9 92 3 2 2 2 22 2
20a2b 4a2 5b c 2 a 5bc 2a 5bc
c
cc
c
c
x2
1 8x3
x2
1 2x x2 8x3 2x 4x2
2x
2x 4
1.最简二次根式的概念.
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式。
(2) 1 6x 9x2 (x 1) 3
(2)3x 1
(3) x 32 1 x2 1 x 3 (3)2
2、如果 a3 a2 a a 1，那么a的取值范围是 ( D )
A． a 0 C． a 1
B． a 1
D． 1 a 0
3.化简 1 x3 x
错解：原式 1 x x2 x
18
32
被开方数不含开得尽方的因数
a 3
b2
(b 0)
9a
3a 3
ba
(b 0)
3a
被开方数不含分母
（１）被开方数各因式的指数都为1．（２）被开方数不含分母．
被开方数满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
如：1 x2 y √
4
6m(a2 b2 ) √
1 4
x2 y x 4

人教版八下数学课件二次根式复习

二次根式乘法法则
二次根式除法法则
二次根式的加减：类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。
二次根式的混合运算：
原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用，原来所学的乘法公式（如,
）仍然适用。
灿若寒星
二、课前热身 1、
2
灿若寒星
2、计算或化简：
①
②
3
?
③在直角坐标系中，点P（1，）到原点的距
二次根性质式
运算
灿若寒星
通过这节课的学习，谈谈你的收获。
祝你成功！
灿若寒星
A5 1 A4
1
S4
A6
S5
1 S6
A7 灿若寒星
1 A3 1
S3 S2 A2
S1 1
O 1 A1
题型1:二次根式有意义的条件 1.当x取何值时，下列二次根式有意义：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
灿若寒星
2.（2005.吉林）当____≤_时3 ，有意义。
3.(2005.青岛)
有意义的条件是_a__=_4__
初中数学课件
灿若寒星*****整理制作
灿若寒星
复习目标
加深理解二次根式的有关概念；熟练掌握二次根式有意义的条件；熟练运用二次根式的化简和加减、乘除、乘方混合运算；
灿若寒星
本章知识
1.二次根式的有关概念：
（1）二次根式（2）最简二次根式（3）同类二次根式
（1）形如的式子叫做二次根式.
非负数
离是_____2____
灿若寒星
3、若，则实数a在数轴上的对应点
一定在()
C
A、原点左侧

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a2 与 a2的联系：仅当 a≥0 时，有 a2＝ a2.
►
考点三
二次根式的化简
例3 把下列各式化成最简二次根式
(1) 1.5
(2)
解：
4a 2 16a 2
解：
3 6 2 2
20a 2 2 5a
[解析]化简二次根式的方法：（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。（2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分母有理化,将式子化简。
► 考点二二次根式性质的运用
例 2 如图 21－1 所示是实数 a、 b 在数轴上的位置，化简： a2 － b － a－b2.
2
图 21－1
[解析] 解决此问题需要确定a、b及a－b的正负．
解：根据实数 a、b 在数轴上的位置可知 a<0，b>0，所以 a －b<0，所以 a2－ b2－ a－b2＝ |a|－b－|a－b|＝－a－b－[－ (a－b)]＝－a－b＋a－b＝－2b.
被开方数相同最简二次根式
ab
a (a≥0，b≥0)；＝ b
a b
(a≥0，
，
的二次根式进行合并．
二次根式的性质依据：
乘法：
a b ab
b
乘法与除法
法则
除法： a
a 0，b 0
a a o，b 0 b
运算
加法与减法
计算结果化为最简二次根式注意：
二次根式加减时，可以先将二次根式化成法则：最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并合理运用去括号法则和运算律注意：
x y 例6、已知 x 2 1，y 2 1 ，求的值. y x 2 x y x y 2 xy x y
分析：将
和
xy
变形为 y x 的值整体代入.
xy
，然后把
解：∵ x 2 1，y 2 1
∴ x y
xy

2 1
2 1

分析：采用零点区间讨论法，进行三种情况讨论.
2 2 2 a a 3 解：
2 a . a 3
分三种情况讨论：
①当 a 2 时，原式＝2 a 3 a ＝ 5 2a ；
②当2 a 3 时，原式＝a 2 3 a ＝ 1 ；
③当 a 3时，原式＝a 2 a 3 ＝ 2a 5 .
(2)

2

6 2

(2) 6 2

6 2

2
6 2 62 4

(4)2
(3) 3 2 3 4 3 4 7 4 3

5 2
2
20 4 10 2 22 4 10
例 4 计算下列各题： 3 (1) 10 5ab 5 · c 3 2ac · －2 b 15bc ； a
2 1 2 2
2 1 1

2 x y 2 xy ∴原式＝
xy
2 2 2 1 ＝＝6.
2
1
1 1 2 2 ，求 x 2 15 的值. 例7、已知 x x x 1 分析：将条件两边平方，可以求出 x 的值，并用 x 1 1 1 2 x 含 x 的代数式表示 x 2 ，然后把 x 的值整体 x x 代入. 1 1 x 2 4， 2 两边平方，得：解：将 x x x 1 ∴ x 6 x
基础演练
1 1 3、在 15 ，， 1 ， 40 中最简二次根式的个数是（ 2 6
A． 1 个 B．2 个 C．3 个 D． 4 个
4、下列各式正确的是（ A．
2 2
）
a a B ． a a
2
C． a a
D． a a
2
2
基础演练
5、下列运算中，错误的是 ( ．． A． )
2 3 6
∴原式＝
1 x 13 x
2
＝ 62 13 ＝
49 ＝7 .
基础演练
1、下列根式中，属
2
）
a D． 3
）
2、下列各组二次根式中是同类二次根式的是（
1 A． 12与 2 1 C． 3与 3
B． 18与 27
D． 45与 54
易错方法点拨 1．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式． 2．在二次根式的运算中，要灵活运用乘法公式．
1 1 1 a b ＋ 3．(a＋b)÷ d＝(a＋b)·＝＋，但 d÷ (a＋b)≠d· a b . d d d
例5、已知a 是实数，化简
2 a 2 a .32
2 B． 2 2
2
1
C． 2 2 3 2 5 2 D ． ( 2 3 )
2 3
基础演练
6、若 a≤ 1，则 A. C. D. 化简后为（ B. ）.
7、小明在作业本上做了以下四题，做错的题是 ( A． 16a 4 4a 2 ；
)
B． 5a 10a 5 2a ；
1 2 1 a a ； D． 3a 2a a ． C． a a a
[解析] 两个以上的二次根式相乘与两个二次根式相乘的方法一样，把它们的系数、被开方数分别相乘，根指数不变．
(2)(1－ 3＋ 2)(1＋ 3－ 2)．
3 5 解：(1)原式＝－ × ×2 10 3 5ab 2ac 15bc · · c b a
＝－ 5×2×15×3abc＝－5 6abc. (2)原式＝[1－( 3－ 2)]· [1＋( 3－ 2)]＝1－( 3－ 2)2 ＝1－( 3)2＋2· 3· 2－( 2)2＝1－3＋2 6－2＝2 6－4.
x＋2＝0，成立，必须满足 y－ 3＝0，
x＝－2，解得 y＝ 3，
所以 xy＝－2 3.
方法技巧
a ≥0， a2≥0.如果初中阶段主要涉及三种非负数： a≥0，
若干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 0.即由 a≥0， b≥0，c≥0 且 a＋b＋c＝0，一定得到 a＝b＝c＝0，这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一．
2．二次根式的性质 ( a)2＝ 2 ； a ＝a＝
a
a
(a≥0)
0
-a
a>0， a＝0， a<0.
3．最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． (1)被开方数不含
分母
；
开得尽方
(2)被开方数中不含能
的因数或因式．
4．二次根式的运算 a· b＝ b>0)．二次根式加减时，可以先将二次根式化成再将
方法点拨 1．化简二次根式时注意 ab＝ a· b(a≥0， b≥0)和 (a≥0，b>0)的综合运用． 2．整体代换或转化等数学思想的应用． a a ＝ b b
► 考点四
二次根式的运算
1.计算 : (1) 4 7 4 7
2
(3) 3 2

(4) 2 5 2
(1) 4 7 4 7 16 7 9

易混辨析

a2 与 a2的区别： (1)表示的意义不同 . a2 表示非负实数 a

的算术平方根的平方； a2表示实数 a 的平方的算术平方根．(2)运算的顺序不同. a2 是先求非负实数 a 的算术平方根，然后再进行平方运算；而 a2则是先求实数 a 的平方，再求 a2 的算术平方根． (3) 取值范围不同．在 a2 中， a 只能取非负实数，即 a≥0；而在 a2中， a 可以取一切实数．
第十六章二次根式复习课
┃知识归纳┃
1．二次根式的概念一般地，形如
a
(a≥0)的式子叫做二次根式；
(1)对于二次根式的理解：①带有根号；②被开方数是非负数． (2) a是非负数，即 a≥0. [易错点] (1)二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义； (2) 9是二次根式，虽然 9＝3，但 3 不是二次根式．因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”．
混合运算类比整式的运算法则进行计算
┃考点攻略┃
► 考点一二次根式的非负性
例 1 ________．
若实数 x，y 满足 x＋2＋(y－ 3)2＝0，则 xy 的值是
[答案] －2 3
[解析 ]
x＋2≥0，因为 2 y－ 3 ≥0，
因此要使 x＋2＋ (y － 3)2 ＝ 0