新人教版八年级数学下《二次根式》 复习课件

混合运算 类比整式的运算法则进行计算
┃考点攻略┃
► 考点一 二次根式的非负性
例 1 ________．
若实数 x，y 满足 x＋2＋(y－ 3)2＝0，则 xy 的值是
[答案] －2 3
[解析 ]
x＋2≥0， 因为 2 y－ 3 ≥0，
因此要使 x＋2＋ (y － 3)2 ＝ 0
∴原式＝
1 x 13 x
2
＝ 62 13 ＝
49 ＝7 .
基础演练
1、下列根式中，属于最简二次根式的是（ A． 9 B． 3a C． 3a
2
）
a D． 3
）
2、下列各组二次根式中是同类二次根式的是（
1 A． 12与 2 1 C． 3与 3
B． 18与 27
D． 45与 54
第十六章 二次根式 复习课
┃知识归纳┃
1．二次根式的概念 一般地，形如
a
(a≥0)的式子叫做二次根式；
(1)对于二次根式的理解：①带有根号；②被开方数是非负数． (2) a是非负数，即 a≥0. [易错点] (1)二次根式中， 被开方数一定是非负数， 否则就没有 意义； (2) 9是二次根式，虽然 9＝3，但 3 不是二次根式．因此二次 根式指的是某种式子的“外在形态”．
方法点拨 1． 化简二次根式时注意 ab＝ a· b(a≥0， b≥0)和 (a≥0，b>0)的综合运用． 2．整体代换或转化等数学思想的应用． a a ＝ b b
► 考点四
二次根式的运算
1.计算 : (1) 4 7 4 7
2
(3) 3 2

(4) 2 5 2
(1) 4 7 4 7 16 7 9
2 B． 2 2
2
1
C． 2 2 3 2 5 2 D ． ( 2 3 )
2 3
基础演练
6、若 a≤ 1，则 A. C. D. 化简后为（ B. ）.
7、小明在作业本上做了以下四题，做错的题是 ( A． 16a 4 4a 2 ；
)
B． 5a 10a 5 2a ；
1 2 1 a a ； D． 3a 2a a ． C． a a a
(2)

2


6 2




(2) 6 2


6 2

2
6 2 62 4

(4)2
(3) 3 2 3 4 3 4 7 4 3

5 2
2
20 4 10 2 22 4 10
例 4 计算下列各题： 3 (1) 10 5ab 5 · c 3 2ac · －2 b 15bc ； a
► 考点二 二次根式性质的运用
例 2 如图 21－1 所示是实数 a、 b 在数轴上的位置， 化简： a2 － b － a－b2.
2
图 21－1
[解析] 解决此问题需要确定a、b及a－b的正负．
解：根据实数 a、b 在数轴上的位置可知 a<0，b>0，所以 a －b<0，所以 a2－ b2－ a－b2＝ |a|－b－|a－b|＝－a－b－[－ (a－b)]＝－a－b＋a－b＝－2b.
2 1 2 2
2 1 1


2 x y 2 xy ∴原式＝
xy
2 2 2 1 ＝ ＝6.
2
1
1 1 2 2 ，求 x 2 15 的值. 例7、已知 x x x 1 分析：将条件两边平方，可以求出 x 的值，并用 x 1 1 1 2 x 含 x 的代数式表示 x 2 ，然后把 x 的值整体 x x 代入. 1 1 x 2 4， 2 两边平方，得： 解：将 x x x 1 ∴ x 6 x

易混辨析

a2 与 a2的区别： (1)表示的意义不同 . a2 表示非负实数 a



的算术平方根的平方； a2表示实数 a 的平方的算术平方根．(2)运 算的顺序不同. a2 是先求非负实数 a 的算术平方根，然后再进行 平方运算； 而 a2则是先求实数 a 的平方， 再求 a2 的算术平方根． (3) 取值范围不同． 在 a2 中， a 只能取非负实数， 即 a≥0； 而在 a2中， a 可以取一切实数．

a2 与 a2的联系：仅当 a≥0 时，有 a2＝ a2.
►
考点三
二次根式的化简
例3 把下列各式化成最简二次根式
(1) 1.5
(2)
解：
4a 2 16a 2
解：
3 6 2 2
20a 2 2 5a
[解析]化简二次根式的方法： （1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因式分解,然后利用积的 算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平方根的性质,将其变为 二次根式相除的形式,然后利用分母有理化,将式子化简。
分析：采用零点区间讨论法，进行三种情况讨论.
2 2 2 a a 3 解：
2 a . a 3
分三种情况讨论：
①当 a 2 时，原式＝2 a 3 a ＝ 5 2a ；
②当2 a 3 时， 原式＝a 2 3 a ＝ 1 ；
③当 a 3时，原式＝a 2 a 3 ＝ 2a 5 .
[解析] 两个以上的二次 根式相乘与两个二次根式相乘 的方法一样，把它们的系数、 被开方数分别相乘，根指数不 变．
(2)(1－ 3＋ 2)(1＋ 3－ 2)．
3 5 解：(1)原式＝－ × ×2 10 3 5ab 2ac 15bc · · c b a
＝－ 5×2×15×3abc＝－5 6abc. (2)原式＝[1－( 3－ 2)]· [1＋( 3－ 2)]＝1－( 3－ 2)2 ＝1－( 3)2＋2· 3· 2－( 2)2＝1－3＋2 6－2＝2 6－4.
被开方数相同 最简二次根式
ab
a (a≥0，b≥0)； ＝ b
a b
(a≥0，
，
的二次根式进行合并．
二次根式的性质 依据：
乘法：
a b ab
b
乘法与除法
法则
除法： a
a 0，b 0
a a o，b 0 b
运 算
加法与减法
计算结果化为最简二次根式 注意：
二次根式加减时，可以先将二次根式化成 法则： 最简二次根式，再将被开方数相同的二次 根式进行合并 合理运用去括号法则和运算律 注意：
2．二次根式的性质 ( a)2＝ 2 ； a ＝a＝
a
a
(a≥0)
0
-a
a>0， a＝0， a<0.
3．最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． (1)被开方数不含
分母
；
开得尽方
(2)被开方数中不含能
的因数或因式．
4．二次根式的运算 a· b＝ b>0)． 二次根式加减时，可以先将二次根式化成 再将
基础演练
1 1 3、在 15 ， ， 1 ， 40 中最简二次根式的个数是（ 2 6
A． 1 个 B．2 个 C．3 个 D． 4 个
4、下列各式正确的是（ A．
2 2
）
a a B ． a a
2
C． a a
D． a a
2
2
基础演练
5、下列运算中，错误 的是 ( ．． A． )
2 3 6
x＋2＝0， 成立，必须满足 y－ 3＝0，
x＝－2， 解得 y＝ 3，
所以 xy＝－2 3.
方法技巧
a ≥0， a2≥0.如果 初中阶段主要涉及三种非负数： a≥0，
若干个非负数的和为 0， 那么这若干个非负数都必为 0.即由 a≥0， b≥0，c≥0 且 a＋b＋c＝0，一定得到 a＝b＝c＝0，这是求一个 方程中含有多个未知数的有效方法之一．
x y 例6、已知 x 2 1，y 2 1 ，求 的值. y x 2 x y x y 2 xy x y
分析：将
和
xy
变形为 y x 的值整体代入.
xy
，然后把
解：∵ x 2 1，y 2 1
∴ x百度文库y
xy


2 1
2 1


易错方法点拨 1．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根 式． 2．在二次根式的运算中，要灵活运用乘法公式．
1 1 1 a b ＋ 3．(a＋b)÷ d＝(a＋b)·＝ ＋ ，但 d÷ (a＋b)≠d· a b . d d d
例5、已知a 是实数，化简
2 a 2 a .32