选修4-4_2.3.1直线的参数方程 (3)

合集下载

(压轴题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试题(包含答案解析)(1)

一、选择题1．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：22x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点到直线l ：230x y -+=的距离的最小值为（）A ．23B ．223C ．233D ．22．已知22451x y +=，则25x y +的最大值是（） A ．2 B ．1C ．3D ．93．在参数方程cos sin x a t y b t θθ=+⎧⎨=+⎩，(0θπ<，t 为参数)所表示的曲线上有,B C 两点，它们对应的参数值分别为1t ，2t ，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（） A ．122t t - B ．122t t + C ．122t t - D ．122t t + 4．曲线的离心率是（）A ．B ．C ．2D ．5．已知点()1,2A -，()2,0B ，P 为曲线2334y x =-上任意一点，则AP AB ⋅的取值范围为（） A ．[]1,7B ．[]1,7-C ．1,33⎡+⎣D ．1,323⎡-+⎣6．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()y 4t?x t t 为参数=⎧⎨=+⎩，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=424πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则直线l 和曲线C 的公共点有 A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个7．已知抛物线的参数方程为2x 4t y 4t ⎧=⎨=⎩，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为( )A ．22B ．42C ．8D ．48．若曲线2sin301sin30x t y t =-︒⎧⎨=-+︒⎩（t 为参数）与曲线22ρ=相交于B ，C 两点，则BC 的值为（）A ．27B ．60C ．72D ．309．已知点(),P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且[),2θππ∈）上，则点P 到直线21x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的距离的取值范围是( )A ．3232,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．0tan 60x = C ．(2,22⎤⎦D ．:::2x r r q q q e αα==10．圆ρ=r 与圆ρ=-2rsin （θ+4π）（r ＞0）的公共弦所在直线的方程为（） A ．2ρ（sin θ+cos θ）=r B ．2ρ（sin θ+cos θ）=-rC ．2ρ（sin θ+cos θ）=rD ．2ρ（sin θ+cos θ）=-r 11．在极坐标系下，已知圆的方程为，则下列各点在圆上的是（）A ．B ．C ．D ．12．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(02)且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．则α的取值范围为_________14．已知点B 在圆O ：2216x y +=上，()2,2,A OM OA OB =+，若存在点N 使得MN 为定长，则点N 的坐标是______． 15．直线1413x ty t=+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的斜率为______.16．点(),M x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2m x y =+的最大值为______17．设直线315:{45x tl y t=+=（t 为参数），曲线1cos :{sin x C y θθ==（θ为参数），直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，则AB =__________.18．已知椭圆C 的方程为2212x y +=，若F 为C 的右焦点，B 为C 的上顶点，P 为C 上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF 的面积的最大值为__________． 19．曲线1C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=，曲线2C 的参数方程为31x ty t =-⎧⎨=-⎩，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为__________．20．设(,0)M p 是一定点，01p <<，点(,)A a b 是椭圆2214xy +=上距离M 最近的点，则()==a f p ________.三、解答题21．已知直线5:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求AB 的值．22．已知直线l的参数方程为12{2x ty ==(t 为参数)，曲线C 的参数方程为4cos {4sin x y θθ==(θ为参数)． (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程：1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：2cos 0ρθ+=．（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值，并求出此时点的坐标． 24．已知曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以直角坐标系的原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是：12cos sin 6θθρ+=（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程：（Ⅱ）点P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值与最小值.25．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标；（2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值. 26．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（t 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30p ρθ-+=.（1）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设曲线C上点的坐标为()2t ，利用点到直线的距离公式表示出距离，即可求出最小值. 【详解】设曲线C上点的坐标为()2t ，则C 上的点到直线l的距离2233d===，即C 上的点到直线1．故选：C. 【点睛】本题考查参数方程的应用，属于基础题.2．A解析：A 【分析】设1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数有界性得到最值.【详解】22451x y +=，则设1cos 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，则2cos sin 4x πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当4πα=，即4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选：A 【点睛】本题考查了求最大值，利用参数方程1cos 25x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是解题的关键. 3．D解析：D 【解析】【分析】根据参数的几何意义求解即可。

人教版高中数学选修4-4课件：第二讲三直线的参数方程

解：由题意知 F(1，0)，
x＝1－ 22t，
则直线的参数方程为
(t 为参数)，
y＝
2 2t
代入抛物线方程得( 22t)2＝4(1－ 22t)，整理得 t2＋4 2t－8＝0，由一元二次方程根与系数的关系可得 t1＋t2＝－4 2，t1t2＝－8，由参数 t 的几何意义得 |AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝ 64＝8.
x＝3＋ 22t，
解：设直线的参数方程为
y＝4＋
2 2t
(t 为参数)，
将它代入已知直线 3x＋2y－6＝0 得 3(3＋ 22t)＋ 24＋ 22t＝6，解得 t＝－115 2，
则|MP0|＝|t|＝115 2.
[迁移探究] (变换条件，改变问法)过抛物线 y2＝4x
的焦点 F 作倾斜角为34π的直线，它与抛物线交于 A，B 两点，求这两点之间的距离．
4．设直线 l 过点 A(2，－4)，倾斜角为56π，则直线 l 的参数方程是________________．
x＝2＋tcos56π，
解析：直线
l
的参数方程为 y＝－4＋tsin
5 (t 6π
为参
x＝2－ 23t，数)，即y＝－4＋12t (t 为参数)．
x＝2－ 23t，
答案： y＝－4＋12t
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)直线 y＝2x＋1 的参数方程是xy＝＝2t－t－11，(t 为参数)．( )
x＝－1＋2t ，
(2)直线的参数方程为 y＝2＋
23t
(t 为参数)，M0(－
1，2)和 M(x，y)是该直线上的定点和动点，则|t|的几何意

2014年人教A版选修4-4课件 3.直线的参数方程

例 1. 已知直线 l: xy10 与抛物线 yx2 交于 A, B 两点, 求线段 AB 的长和点 M(1, 2) 到 A, B 两点的距离之积. 解: ∵M(1, 2) 在直线 l 上, 其倾斜角为 135. ∴直线 l 的参数方程为 x 1 t cos135, y 2 t sin135. (t 为参数) 将其代入抛物线的方程并整理得 t 2 2t 2 0. t1 t2 2 , t1t2 2. (1) |AB||t1t2| (t1 t2 )2 4t1t2
x 1 t cos 45, 练习(补充). 已知直线的参数方程 y t sin 45. (t 为参数), 回答下列问题, 并比较 t 与线段长度的值: (1) t10 时点 M0 的坐标; (2) t21 时点 A 的坐标及线段长 |AM0|; (3) t32 时点 B 的坐标及线段长 |BM0|, |AB|. 解: (1) t10 时, x1, y0. 得点 M0 的坐标为 M0(1, 0). 2. (2) t21 时, x 1 2 , y 2 2 点 A 的坐标为 (1 2 , 2 ). 2 2 2 2 2 | AM0 | (1 1) ( 0)2 2 2 1 t2.
x 1 t cos 45, 练习(补充). 已知直线的参数方程 y t sin 45. (t 为参数), 回答下列问题, 并比较 t 与线段长度的值: (1) t10 时点 M0 的坐标; y (2) t21 时点 A 的坐标及线段长 |AM0|; (3) t32 时点 B 的坐标及线段长 |BM0|, |AB|. M0 A O 1 x 解: (1) t10 时, x1, y0. B 得点 M 的坐标为 M (1, 0). 0 , x 1 2, 0 y 2. (3) t32 时 2. (2) 点 t2B 1时 , x 1 (12 y 的坐标为 , 2 , 2 2 ). 2 2 2 | t3 |. 2 2 2 |点 BM | ( 1 2 1 ) ( 2 0 ) 0 A 的坐标为 (1 , ). 2 2 2 2 )2 | AB | (1 2 2 1 2 2 )2 ( 2 2 | AM0 | (1 1) ( 2 0)2 2 2 3 | t3 t2 |. 1 t2.

福建省晋江市季延中学人教版高中数学选修4-4课件：2.3直线的参数方程

13
代入方程得： 4 t'2－ 4 t'＋1＋ 9 t'2＋ 12 t'＋4－9＝0
13
13
13
13
t'2
8 13
t'
4
0;
t1'
t
' 2
8 13
,
t1't
' 2
4;
t1'
t
' 2
(t1' t2' )2
4t1't
' 2
4
17 .
例1
y
解：因为把点M的坐标代入
直线方程后,符合直线方程,
A
M(-1,2)
例2 过 M (2,1) 作直线 l, 交椭圆 x2 y2 1 于A,B 两点, 16 4
如果点 M为线段 AB 中点,求直线 l 的方程.
例2 过 M (2,1) 作直线 l, 交椭圆 x2 y2 1 于A,B 两点, 16 4
如果点 M为线段 AB 中点,求直线 l 的方程.
(册)
思考：
求
直
线
x y
1 2t 2 3t
与圆x2
y2
9所交弦长。
分析：此处的t的系数平方和不等于1，且－
3<0因此t不具有参数方程标准式中t的几何意
义。要先化为标准式。
解：
x
1
y 2
2 ( 13t ) 13 3 ( 13t )
令t'＝－ 13t
13
方程可化为
x
1
y 2
2 t' 13 3 t'
例2 已知两点 A(1, 3), B(,1) 和直线 l : y x,

高中数学选修4-4习题(含答案)

统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。

曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值.2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同。

直线的极坐标方程为：，点，参数．（I ）求点轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）求点到直线距离的最大值．1、【详解】（1）12,2x t y t=+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++= （2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-=距离为222=，所以点M 到直线l 距离的最大值为2222 1.r +=+ 2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，消参得：所以点的轨迹方程为（Ⅱ）因为所以所以，所以直线的直角坐标方程为法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为圆心为（0,2），半径为2．，点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和，所以点到直线距离的最大值．法二：当时，，即点到直线距离的最大值为．6.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，t 为参数）.(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3、【详解】（1）对曲线：，，∴曲线的普通方程为．对曲线消去参数可得且∴曲线的直角坐标方程为．又，从而曲线的极坐标方程为。

人教版高中数学选修4-4课件：2.3直线的参数方程 2.4 渐开线与摆线

9
【解析】经过点M(1,-3)且倾斜角为的直线,以定点 3
M到动点P的位移t为参数的参数方程是x

1
tcos
， 3
(t为参数)即为
x

1(1t为t，参数) 2
y

3

tsin
， 3

答案:
x

1

1(tt，为参y 数3) 2
3 t. 2

y 3
三直线的参数方程四渐开线与摆线
林老师网络编辑整理
1
【自主预习】
1.直线的参数方程
已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为
(

点M(x,y) )，
为直线l上任意一点,则直线l的普通方程和参2 数方程分
别为
林老师网络编辑整理
2
普通方程
参数方程
_y_-_y_0_=_t_a_n_α__(_x_-_x_0_) __xy__yx_00__ttsc_ion_s_，_ (t为参数) 其中,直线的参数方程中参数t的绝对值|t|=_Muu_u0u_Mur_. .
3
倾斜角
，
2
2
2. 3
林老师网络编辑整理
29
(2) x

1
1 t, 不2 是直线参数方程的标准形式,
令t′=y -t2,得到23 t标准形式的参数方程为
x

1
1 2
t,

(t′为参数)
y 2
3 t. 2
林老师网络编辑整理
30
3.已知直线l过点P(3,4),且它的倾斜角θ=120°. (1)写出直线l的参数方程. (2)求直线l与直线x-y+1=0的交点.

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-3第二讲-参数方程

x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα
称为标准形式，其中参
数t的几何意义是：|t|表示参数t对应的点M到________，t就是有向 → 线段 M0M 的数量．当点M在点M0的上方时，________；当点M在点M0的下方时________；当点M与点M0重合时，________.
4 x ＝ 1 ＋ 5t，的方程为 y＝3t 5
(t为参数)．代入椭圆方程x2＋9y2＝9，并
整理得：97t2＋40t－200＝0. 由t的几何意义，知所求的弦长为
|t2－t1|＝ t2＋t12－4t2t1 ＝－200 60 40 2 －－4 ＝ 22. 97 97 97
3．直线参数方程的应用直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离．它可以避免求交点时解方程组的繁琐运算，但应用直线的参数方程时，需先判别是否是标准形式再考虑t 的几何意义.
课堂互动探究
剖析归纳触类旁通
【例1】
典例剖析 x＝5＋3t，设直线的参数方程为 y＝10－4t.
(u为参数)．
规律程，只要用代入法消去参
(2)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α(0≤α<π)的直线的参数方程为
x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα，
其中参数t有几何意义，t＝M0M，即t表示有向线
→ 段 M0M 的数量，其中M(x，y)为直线上任意一点，因为倾斜角α∈ [0，π)，所以sinα≥0，再化参数方程的标准形式时应注意这一点．
(t为参数)．
规律技巧
本题可使用直线的普通方程求解．也可以使用参
数方程求解，但是使用普通方程求解，计算量大，如果设出直线的倾斜角，写出直线的参数方程求解．就可以转化为三角函数求最值问题，计算简便．

2-3直线的参数方程-课件(人教A版选修4-4)

经过点
3 A－3，－2，倾斜角为
α 的直线 l 与圆 x2＋y2＝25
相交于 B，C 两点． (1)求弦 BC 的长； (2)当 A 恰为 BC 的中点时，求直线 BC 的方程； (3)当|BC|＝8 时，求直线 BC 的方程； (4)当 α 变化时，求动弦 BC 的中点 M 的轨迹方程．
【错解】把直线方程代入圆的方程，化简得 t2－6t＋2＝0. 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2，那么 t1＋t2＝6，t1· t2＝2，由于|MA|＝|t1|，|MB|＝|t2|，从而|MA|· |MB|＝|t1· t2|＝2，|AB|＝|t2－t1| ＝ t1＋t22－4t1t2＝ 62－4×2＝2 7.
∴方程必有相异两实根 t1，t2，且 t1＋t2＝3(2cos α＋sin α)， 55 t1 · t2＝－ 4 . (1)|BC|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2 ＝ 92cos α＋sin α2＋55. (2)∵A 为 BC 中点，∴t1＋t2＝0，即 2cos α＋sin α＝0，∴tan α＝－2. 3 故直线 BC 的方程为 y＋2＝－2(x＋3)，即 4x＋2y＋15＝0.
， x＝1＋tcos 75° 方法：把原方程化为标准形式，即， y＝1＋tsin 75°
可以看出
直线的倾斜角为 75° .
特别提醒
x＝x0＋at b 过点 M(x0， y0)，斜率为 k＝a的直线的参数方程为 y＝y0＋bt
(t 为参数)，这种形式称为直线的一般式参数方程，其中的参数 t 不是有向线段的数量轨迹是以－2，－4 为圆心，以 4 为半径的圆．
易错盘点
(对应学生用书 P23)
易错点
不能正确运用直线参数方程参数 t 的几何意义 t x＝2－2，已知过点 M(2，－1)的直线 l： y＝－1＋ t 2

高考数学总复习第一轮复习课件：选修4-4(2)参数方程ppt课件(含答案)

为参数)过椭圆 C：y＝2sin φ (φ 为参数)的右顶点，则 a＝________. 3 [直线 l 的普通方程为 x－y－a＝0，椭圆 C 的普通方程为x92＋
y42＝1，∴椭圆 C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线 l 过(3,0)，则 3－a＝0， ∴a＝3.]
解析答案
栏目导航
14
课堂题型全突破
答案栏目导航
6
2．常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α(x－x0)
xy＝＝xy00＋＋ttcsions
α， α
(t 为参数)
圆
x2＋y2＝r2
x＝_r_c_o_s_θ___， y＝__rs_i_n_θ___
(θ 为参数)
椭圆
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
栏目导航
11
3．直线 l 的参数方程为xy＝＝12＋－t3，t (t 为参数)，则直线 l 的斜率为________．
－3 [将直线 l 的参数方程化为普通方程为 y－2＝－3(x－1)，因此直线 l 的斜率为－3.]
解析答案
栏目导航
12
4．曲线
C
的参数方程为xy＝＝scions
栏目导航
参数方程与普通方程的互化
1．将下列参数方程化为普通方程．
x＝1t ， (1)y＝1t t2－1
(t 为参数)；
x＝2＋sin2θ， (2)y＝－1＋cos 2θ (θ 为参数)．
15
栏目导航
[解]
(1)∵1t 2＋1t
t2－12＝1，∴x2＋y2＝1.
∵t2－1≥0，∴t≥1 或 t≤－1.
又 x＝1t ，∴x≠0.

高中数学选修4-4-参数方程

参数方程知识集结知识元参数方程知识讲解1．参数方程的概念【知识点的认识】参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x，y）都是某个变数t的函数，即，并且对于t的每一个允许值，由该方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F（x，y）＝0叫做普通方程．2．参数方程化成普通方程【知识点的认识】参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．直线的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+＝1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．4．圆的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+＝1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M0M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．例题精讲参数方程例1.直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程为（θ为参数），则直线l被圆C截得的弦长为___．例2.已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是___．例3.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ（ρ≥0），直线l的参数方程为（t为参数），设直线l与抛物线C的两交点为A、B，点F为抛物线C的焦点，则|AF|+|BF|=___．当堂练习填空题练习1.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程是=（θ为参数），直线l与圆C交于两个不同的点A、B，当点P在圆C上运动时，△PAB面积的最大值为___练习2.参数方程（θ∈R）所表示的曲线与x轴的交点坐标是_______练习3.设直线的参数方程为（t为参数），点P在直线上，且与点M0（-4，0）的距离为2，若该直线的参数方程改写成（t为参数），则在这个方程中P点对应的t值为____．练习4.设a∈R，直线ax-y+2=0和圆（θ为参数）相切，则a的值为___。

2.3 直线的参数方程课件(人教A选修4-4)

(1)写出直线 l 的参数方程． (2)设 l 与圆 x2＋y2＝4 相交于两点 A、B，求点 P 到 A、 B 两点的距离之积． [思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方
程；(2)充分利用参数几何意义求解．
返回
[解]
π (1)∵直线 l 过点 P(1,1)，倾斜角为， 6
π x＝1＋tcos6 ， ∴直线的参数方程为 y＝1＋tsinπ， 6 3 x＝1＋ 2 t，即 y＝1＋1t 2 Nhomakorabea返回
理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值是解决此类问题的关键．
返回
π 1．一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝，求此直线与直线 3x＋ 4 2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离．
x＝3＋解：设直线的参数方程为 y＝4＋ 2 2 得 3(3＋ t)＋2(4＋ t)＝6. 2 2 11 2 解得 t＝－， 5 ∴|MP0|＝|t|＝ 11 2 . 5 2 t， 2 2 t， 2
所以直线被椭圆所截得的弦长为
返回
点击下图进入
返回
为所求．
返回
(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 3 1 3 1 A(1＋ t1,1＋ t1)，B(1＋ t2,1＋ t2)， 2 2 2 2 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4 整理得到 t2 ＋( 3＋1)t－2＝0，因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|· |PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2. ①
在 α∈[0，π)内无解；
返回

第2讲-直线的参数方程

【提示】过定点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参
x＝x ＋tcos α， 0 数方程为 y＝y0＋tsin α，
(t 为参数)，其中 t 表示直线 l 上以
M(x，y)为终点的有向线段 M 0 M 的
当堂双基达标
定点 M0 为起点，任意一点
课时作业
个关于 t 的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值．
菜单
新课标 ·数学选修4-4
x＝1＋2t，将参数方程 y＝2＋t
【自主解答】
课前自主导学
(t 为参数)转化
当堂双基达标
为直线参数方程的标准形式为 x＝1＋ y＝2＋ 2 t′， 5 1 t′ 5
2 2
课前自主导学
2 2 ＋( t) ＝5， 2 即 t2－3 2t＋4＝0，由于 Δ＝(3 2)2－4×4＝2＞0. 故可设 t1，t2 是(*)式的两个实根． (*)
当堂双基达标
课堂互动探究
∴t1＋t2＝3 2，且 t1t2＝4. ∴t1>0，t2>0. 又直线 l 过点 P(3， 5)， ∴由 t 的几何意义，得|PA |＋ |PB |＝|t1 |＋ |t2 |＝3 2.
新课标 ·数学选修4-4
课前自主导学
三
直线的参数方程
当堂双基达标
课堂互动探究
1.掌握直线的参数方程及参数的课标几何意义．解读 2.能用直线的参数方程解决简单问题.
课时作业
菜
单
新课标 ·数学选修4-4
课前自主导学
直线的参数方程 π 经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α(α≠ )的直线 l 的参数方 2

(压轴题)高中数学高中数学选修4-4第二章《参数方程》测试(含答案解析)

一、选择题1．设直线1l 的参数方程为113x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为34y x =+，则1l 与2l 的距离为（）A ．1B ．5C ．5D ．22．点(,)P x y 是椭圆222312+=x y 上的一个动点，则2x y +的最大值为（）A ．B ．CD3．已知点(),x y 在圆22()(23)1x y -=++上，则x y +的最大值是( )A ．1B ．1-C 1D ．1-4．在方程sin {cos 2x y θθ==（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A ．(2,7)B ．12(,)33C ．(1,0)D ．11(,)225．已知抛物线的参数方程为2x 4t y 4t⎧=⎨=⎩，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为( )A ．B ．C ．8D ．46．椭圆221164x y +=上的点到直线20x y +-=的最大距离是（）A ．3B C ．D 7．圆C 的极坐标方程为ρ2cos θ=，则圆心C 极坐标为 ( ) A ．()2,0B ．()1,πC ．()1,0D ．()2,π8．直线34x ty t=-⎧⎨=+⎩，(t 为参数)上与点()3,4P 的点的坐标是( )A ．()4,3B ．()4,5-或()0,1C ．()2,5D ．()4,3或()2,59．曲线C 的参数方程为{2x sin cos y sin cos αααα=-=（α为参数），则它的普通方程为（）A ．21y x =+B ．21y x =-+C ．21y x =-+， x ⎡∈⎣D ．21y x =+， x ⎡∈⎣10．直线（为参数）被曲线截得的弦长是（）A ．B ．2C ．D ．211．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线12．已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线251:51x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).若曲线2C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，曲线1C 上点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值为（）A ．2B ．632C 31D 10 二、填空题13．曲线:C cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数）上的任意一点P 到直线:4l x y +=的最短距离为______.14．点(),M x y 为此曲线()2234x y ++=上任意一点，则x y +的最大值是______．15．已知曲线2cos 5:,0,sin 6x y θπθθ=⎧⎛⎫⎡⎤Γ∈⎨⎪⎢⎥=⎣⎦⎝⎭⎩上一动点P ，曲线Γ与直线1x =交于点Q ，则OP OQ ⋅的最大值是_________.16．已知圆22:1O x y +=和点()2,0A -，若定点()(),02B b b ≠-和常数λ满足，对圆O 上任意一点M ，都有MB MA λ=，则λ= _____ .17．若实数x 、y 满足2214xy +=，则()()121x y ++的取值范围是_________.18．直线:30l x y ++=被圆14cos :24sin x C y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为______.19．已知直线l ：32,54.5x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）与x 轴交于点M ，点N 是圆2240x y y +-=上的任一点，则||MN 的最大值为_____．20．曲线,1x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）与曲线22cos 0ρρθ-=的直角坐标方程分别为_____，_____，两条曲线的交点个数为_____个.三、解答题21．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρcos 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－2，曲线C 3：ρ＝2sin θ. (1)求曲线C 1与C 2的交点M 的直角坐标；(2)设点A ，B 分别为曲线C 2，C 3上的动点，求|AB |的最小值．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为8242x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若射线4πθ=（0ρ>）与直线l 和曲线C 分别交于A ，B 两点，求||AB 的值.23．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点()1,0P 作倾斜角为45的直线l 与圆C 交于,A B 两点，试求11PA PB+的值． 24．在直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，已知直线的极坐标方程为:cos 2sin 5l ρθρθ+=，曲线22:143x y C +=（1）写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 的参数方程；（2）在曲线C 上求一点P ，使它到直线l 的距离最小，并求出最小值.25．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若曲线C 上两点,M N ，有OM ON ⊥，求OMN 面积最小值. 26．平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为212x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.且曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）求直线l 的普通方程以及曲线C 的直角坐标方程；（2）若点M 的极坐标为(1,)2π，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11||||MA MB +的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】消掉参数t ，得出直线1l 的普通方程，再由两平行线的距离公式求解即可. 【详解】∵1:32l y x =-，234l x =+，∴661031010519d ===+. 故选：C 【点睛】本题主要考查了参数方程化普通方程，求两平行线间的距离，属于中档题.2．D解析：D 【解析】试题分析：由于椭圆，所以可设点Ｐ(x,y)的代入2x y +得：（其中）=，故知2x y +22．考点：１．椭圆的性质；2.最值的求法．3．C解析：C 【分析】设圆上一点()2,3P cos sin αα+-,则1x y sin cos αα+=+-,利用正弦型函数求最值,即可得出结论【详解】设22(2)(3)1x y -++=上一点()2,3P cos sin αα+-,则231114x y cos sin sin cos πααααα⎛⎫+=++-=+-=+-≤ ⎪⎝⎭,故选：C 【点睛】本题考查圆的参数方程的应用,考查正弦型函数的最值4．D解析：D 【解析】分析：化参数方程2x sin y cos θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）为普通方程，将四个点代入验证即可.详解：方程2x sin y cos θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数得到212,y x =-将四个点代入验证只有D满足方程. 故选D.点睛：本题考查参数分析与普通方程的互化，属基础题5．C解析：C 【解析】分析：先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y ，根据韦达定理求得12x x +的值，进而根据抛物线的定义可知1222p p AB x x =+++，求得答案．详解：抛物线的参数方程为24t 4x y t⎧=⎨=⎩，普通方程为24y x = ，抛物线焦点为10（，），且直线l 斜率为1，则直线方程为1y x =- ，代入抛物线方程24y x =得2610x x -+=，设112212,6Ax y B x y x x ∴+=（，），（，）根据抛物线的定义可知|121262822p pAB x x x x p =+++=++=+=，，故选：C ．点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质．对学生基础知识的综合考查．关键是：将直线的方程代入抛物线的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系，利用弦长公式即可求得|AB|值，从而解决问题．6．D解析：D【分析】设椭圆221164x y+=上的点P（4cosθ，2sinθ），由点到直线20x y+=的距离公式，计算可得答案．【详解】设椭圆221164x y+=上的点P（4cosθ，2sinθ）则点P到直线20x y+=的距离=，maxd==D．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．7．C解析：C【解析】圆2222cos0,(1)1,x yρρθ-=-+=，圆心(1,0)，所以圆心的极坐标为（1，0）.选C. 8．D解析：D【详解】因为直线3(4x tty t=-⎧⎨=+⎩为参数），所以设直线上到点(3,4)P的点的坐标是(3,4)t t--，=1t=±，代入直线的参数方程，得点的坐标为(4,3)或(2,5)，故选D.9．C解析：C【解析】由sin cosxαα=-可有4xπα⎛⎫⎡=-∈⎪⎣⎝⎭，又因为2sin cosyαα=，所以21x y =-，即21y x =-+， 2,2x ⎡⎤∈-⎣⎦，故选择C.10．D解析：D 【解析】试题分析：首先将直线（为参数）代入曲线方程中得，，整理得，所以．设直线与双曲线的交点分别为A 、B ，由直线参数方程的几何意义知，即为所求.考点：直线的参数方程；弦长公式.11．D解析：D 【解析】由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x ，即12x ⎛⎫-⎪⎝⎭ 2＋y 2＝14. 它表示以1,02为圆心，以12为半径的圆．由x ＝－1－t 得t ＝－1－x ，代入y ＝2＋t 中，得y ＝1－x 表示直线．12．D解析：D 【分析】根据题意，先求出点P 的直角坐标，设出点Q 的坐标，得出M 坐标，再由点到直线距离公式求解，即可得出结果. 【详解】将4πθ=代入4cos ρθ=得4cos224πρ==P 的极坐标为2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以其直角坐标为22,2244P ππ⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,2P ，又曲线2C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，Q 为曲线2C 上的动点，所以可设()2cos ,sin Q αα，因此PQ 的中点M 的坐标为11cos ,1sin 2M αα⎛⎫++⎪⎝⎭，由15:15x l y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去参数可得：230x y +-=，因此点M 到直线l 距离为：d ===，因为1sin 14πα⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以max d ==. 故选：D. 【点睛】本题主要考查参数的方法求点到直线距离的最值，涉及极坐标与直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化等，属于常考题型.二、填空题13．【分析】求得曲线的普通方程求得圆心到直线的距离为进而可求得曲线上点到直线的最短距离得到答案【详解】由题意曲线为参数）化为普通方程得表示圆心为半径为则圆心到直线的距离为所以圆上点到直线的最短距离为【点解析：1【分析】求得曲线的普通方程221x y +=，求得圆心到直线4x y +=的距离为d ，进而可求得曲线上点到直线l 的最短距离，得到答案．【详解】由题意，曲线:C cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数），化为普通方程得22:1C x y +=，表示圆心为(0,0)C ，半径为1r =，则圆心到直线:4l x y +=的距离为d ==所以圆上点到直线l的最短距离为1．【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．14．【解析】分析：设x=y=2则3+2sin （+）利用正弦型函数的图象与性质求最值即可详解：设x=y=2则x+y==3+2sin （+）∴sin （+）=1时x+y 的最大值为故答案为点睛：本题重点考查了圆的解析：【解析】分析：设x=32cos α-+，y=2 sin α，则x y +=-sin （α+4π），利用正弦型函数的图象与性质求最值即可.详解：设x=32cos α-+，y=2 sin α，则x+y=32cos α2?sin α-++=-sin （α+4π）， ∴sin （α+4π）=1时，x+y 的最大值为．故答案为．点睛：本题重点考查了圆的参数方程的应用，把一次型mx ny +函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.15．【分析】先计算出交点的坐标设出点的参数形式利用向量的数量积运算将其表示为关于的函数再求函数的最大值即可【详解】因为曲线与直线交于点故令又因为解得故可得则点的坐标为设点则其中又因为故则故故答案为：【点【分析】先计算出交点Q 的坐标，设出点P 的参数形式，利用向量的数量积运算，将其表示为关于θ的函数，再求函数的最大值即可.【详解】因为曲线Γ与直线1x =交于点Q ，故令21cos θ=，又因为50,?6πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得θ60=︒，故可得60y sin =︒=Q 的坐标为⎛ ⎝⎭. 设点()2,P cos sin θθ，则()2,2OP OQ cos sin cos θθθθ⎛⋅=⋅=+ ⎝⎭()θϕ=+，其中0,2tan πϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭又因为tan4tan πϕ>，故,42ππϕ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则4,43ππθϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故()2maxOP OQ ⋅=.. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，以及参数方程的应用，属综合基础题.16．【分析】设则则对任意都成立由此能求出【详解】解：圆和点定点和常数满足：对圆上任意一点都有设则对任意都成立由得且解得故答案为：【点睛】本题考查实数值的求法考查圆两点间距离公式等基础知识考查推理论证能力解析：12λ=【分析】设(cos ,sin )M θθ，则22222(cos )sin [(cos 2)sin ]b θθλθθ-+=++，则2222cos 14cos 5b b θλθλ-++=+对任意θ都成立，由此能求出λ、b ．【详解】解：圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，定点(B b ，0)(2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点，都有||||MB MA λ=，∴设(cos ,sin )M θθ，则22222(cos )sin [(cos 2)sin ]b θθλθθ-+=++，2222cos 14cos 5b b θλθλ∴-++=+对任意θ都成立，∴2222415b b λλ⎧-=⎨+=⎩，由||||MB MA λ=，得0λ>，且2b ≠-，解得12b =-，12λ=．故答案为：12【点睛】本题考查实数值的求法，考查圆、两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．17．【分析】利用椭圆的参数方程设代入所求代数式换元可得出将代数式转化为关于的二次函数在区间上的值域来处理【详解】设则设则其中由于二次函数当时；当时因此的取值范围是故答案为【点睛】本题考查椭圆参数方程的应解析：3,32⎡-+⎢⎣. 【分析】利用椭圆的参数方程，设2cos x θ=，sin y θ=，代入所求代数式，换元sin cos t θθ=+4πθ⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭，可得出21sin cos 2t θθ-=，将代数式转化为关于t 的二次函数在区间⎡⎣上的值域来处理.【详解】设2cos x θ=，sin y θ=，则()()()()()1212cos 12sin 14sin cos 2sin cos 1x y θθθθθθ++=++=+++，设sin cos 4t πθθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，则()22sin cos 12sin cos t θθθθ=+=+，21sin cos 2t θθ-∴=，()()2211214212212t x y t t t -++=⨯++=+-，其中t ⎡∈⎣，由于二次函数2213221222y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当12t =-时，min 32y =-；当t =时，2max 213y =⨯+=+因此，()()121x y ++的取值范围是3,32⎡-+⎢⎣，故答案为3,32⎡-+⎢⎣. 【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查三角函数的值域问题以及二次函数的值域，本题用到了两次换元，同时要注意()2sin cos 12sin cos 1sin 2θθθθθ±=±=±关系式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18．【分析】根据圆的参数方程得出圆的圆心坐标和半径计算出圆心到直线的距离再利用勾股定理计算出直线截圆所得的弦长【详解】由参数方程可知圆的圆心坐标为半径长为圆心到直线的距离为因此直线截圆所得弦长为故答案为解析：【分析】根据圆C 的参数方程得出圆C 的圆心坐标和半径，计算出圆心到直线l 的距离，再利用勾股定理计算出直线l 截圆C 所得的弦长. 【详解】由参数方程可知，圆C 的圆心坐标为()1,2-，半径长为4，圆心到直线l 的距离为d ==因此，直线l 截圆C 所得弦长为=【点睛】本题考查直线截圆所得弦长的计算，考查了点到直线的距离公式以及勾股定理的应用，考查计算能力，属于中等题.19．【分析】由直线的参数为直线的普通方程求得再由圆的方程求得圆心坐标为半径利用两点间的距离公式求得进而得到的最大值【详解】由直线可得直线的普通方程令则即直线与x 轴的交点坐标又由圆的圆心坐标为半径则所以的解析：2【分析】由直线的参数为直线的普通方程4380x y +-=，求得(2,0)M ，再由圆的方程，求得圆心坐标为(0,2)C ，半径2R =，利用两点间的距离公式，求得MC =MN 的最大值. 【详解】由直线325:45x t l y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得直线的普通方程4380x y +-=，令0y =，则2x =，即直线与x 轴的交点坐标(2,0)M ，又由圆2240x y y +-=的圆心坐标为(0,2)C ，半径2R =，则MC ==MN的最大值为2.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及点与圆的位置关系的应用，其中解答中把点与圆的最值问题转化为点与圆心之间的距离d R ±求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.20．【分析】利用平方法把参数方程化为普通方程利用互化公式把极坐标方程化为直角坐标方程根据两圆的圆心距大于两圆的半径之差小于两圆的半径之和即可得到两圆是相交的位置关系【详解】由题设知：把参数方程化为平方相解析：()2211x y +-=()2211x y -+=【分析】利用平方法把参数方程化为普通方程，利用互化公式把极坐标方程化为直角坐标方程，根据两圆的圆心距大于两圆的半径之差小于两圆的半径之和，即可得到两圆是相交的位置关系．【详解】由题设知：把参数方程cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩化为cos 1sin x y αα=⎧⎨-=⎩，平方相加消去参数化为普通方程得22x (y 1)1+-=，极坐标方程两边同乘以ρ，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==把极坐标方程化为直角方程得 2220x y x +-=，即22(1)1x y -+=；两圆心距为2，且0112112=-<<+=，故两圆相交，故有2个公共点．故答案为2222(1)1,(1)1,2y y x x +-=-+=．【点睛】本题考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为普通方程的方法，以及圆与圆的位置关系．两圆半径为,R r ，两圆心间的距离d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系.三、解答题21．(1) M (－1,0);(2)21-. 【解析】试题分析：（1）将两个曲线方程均化为直角坐标方程，联立得到交点坐标即可；（2）点点距转化为圆心到直线的距离加减半径. (1)曲线C 1：消去参数α，得y ＋x 2＝1，x ∈[－1,1]．① 曲线C 2：ρcos＝－⇒x ＋y ＋1＝0，②联立①②，消去y 可得x 2－x －2＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)，所以M (－1,0)． (2)曲线C 3：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1，是以(0,1)为圆心，半径r ＝1的圆．设圆心为C ，则点C 到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝＝，所以|AB |的最小值为－1.22．（1）40x y +-=（0x ≠），2220x y y +-=；（22. 【分析】（1）将直线l 的参数方程消参，即可得直线l 的普通方程，要注意0x ≠；将曲线C 的极坐标方程两边同乘ρ，再将sin y ρθ=，222x y ρ+=代入，即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）先将直线l 的直角坐标方程化为极坐标方程，再将4πθ=（0ρ>）代入直线l 和曲线C 的极坐标方程中，可得点A ，B 对应的极径，利用||A B AB ρρ=-计算，即可求解.【详解】（1）由82x t=+得0x ≠，将8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）消去参数t ，得直线l 的普通方程为40x y +-=（0x ≠）. 由2sin ρθ=得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，得2220x y y +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=.（2）由（1）可知直线l 的普通方程为40x y +-=（0x ≠），化为极坐标方程得cos sin 40ρθρθ+-=（2πθ≠），当4πθ=（0ρ>）时，设A ，B 两点的极坐标分别为1,4πρ⎛⎫⎪⎝⎭，,4B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，则A ρ=2sin 4B πρ==所以|||A B AB ρρ=-==【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化及参数的几何意义，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于常考题. 23．（1）22880x y x y +--=；（2. 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式进行求解；（2）求出直线l 的参数方程，与圆的直角坐标方程联立，根据韦达定理利用直线参数方程中参数的几何意义求解. 【详解】解：（1）将曲线C 的极坐标方程，两边同乘ρ得2sin 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即28sin 8cos ρρθρθ=+，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得：22880x y x y +--=；（2）直线l的参数方程为：12(2x t ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)，将其代入22880x y x y +--=中得：270t --=，设在直线l 的参数方程中，点,A B 所对应的参数分别为12,t t ，则127t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以12121211117t t PA PB t t t t -+=+==⋅. 【点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化，考查了弦长问题的求解，难度一般.一般地，解决弦长问题可采用直线参数方程中t 的几何意义求解.24．（1）:250l x y +-=2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）（2）3(1,)2P，min d =【分析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程，由公式22cos sin 1αα+=可得曲线C 的参数方程．（2）利用曲线C 参数方程设P 点坐标，求出点到直线的距离，结合三角函数的性质得最大值．【详解】（1）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得l 的直角坐标方程为25x y +=，即250x y +-=，由22cos sin 1αα+=得曲线22:143x y C +=的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）；（2）设(2cos )P αα，则P 到直线l的距离为d==，所以sin()16πα+=时，min 5d =． sin()16πα+=，2,62k k Z ππαπ+=+∈，所以sin α=，1cos 2α=，所以3(1,)2P ．【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化，考查椭圆参数方程的应用，点到直线的距离公式，正弦函数的性质，属于中档题． 25．（1）()2213sin 4ρθ+=（2）45【分析】（1）将曲线C 的参数方程消去参数，可得曲线C 的普通方程，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程，即可得解；（2）设出M ，N 两点的坐标，代入曲线C 的极坐标方程，求出2212ρρ，化简得221221694sin 24ρρθ=+，再根据三角函数的范围即可求出2212ρρ的范围，从而得解. 【详解】（1）由曲线C 的参数方程2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α，得曲线C 的普通方程为：2244x y +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入2244x y +=，得曲线C 的极坐标方程为：()2213sin 4ρθ+=.（2）设()1,M ρθ，2,2N πρθ⎛⎫±⎪⎝⎭，代入曲线得： ()22113sin 4ρθ+=，()22213cos 4ρθ+=，则()()221222222161616166492549sin cos 2513sin 13cos 4sin 244ρρθθθθθ===≥=++++，当4πθ=，34π，54π，74π时可以取到等号，所以OMN 面积为121425S ρρ=≥. 故OMN 面积最小值为45【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程的转化，极坐标方程的几何意义，三角函数的取值范围等知识，属于中档题.参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化；普通方程化为极坐标方程，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程，即可化为极坐标方程；极坐标方程转化为普通方程，要巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程.26．（1）10x y +-=；224x y x +=（2）【分析】（1）消去参数t ，得到直线的普通方程，再由cos x ρθ=，sin y ρθ=化成曲线C 的直角坐标方程；()2直线化为212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），设A ，B 两点对应的参数为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，由参数的几何意义得1AM t =，2AN t =，代入求值．【详解】（1）由212x ty t=-⎧⎨=+⎩消去参数t ，得直线l 方程：10x y +-=，由4cos ρθ=，方程两边分别乘以ρ，cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩将代入得曲线C 的方程：224x y x +=. （2）因为M 的极坐标为(1,)2π，所以在直角坐标系中(0,1)M ，且M 在直线l 上，将直线10x y +-=，化成直线参数方程标准式212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），设A ，B 两点对应的参数为1t ，2t 代入224x y x +=得：210t ++=则12121t t t t +=-=，可知120,0t t <<1212121111||||t t MA MB t t t t +∴+=+==. 【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程的转化、直线参数方程的几何意义，属于中档题．。

参数方程的概念

《直线的参数方程》的说课稿一、教材分析（一）教材前后联系、地位与作用直线的参数式方程是普通高中课程标准实验教科书（人教版）高二年级数学选修4-4第二讲第三节的内容。

本节课是在学习曲线的参数方程和圆锥曲线的参数方程的基础上，引导学生认识它们的实质进而得出直线的参数方程，这也为下一节学习做好准备。

(二) 教学目标根据课程标准的要求和学生的实际情况，我确定本节课的教学目标如下：(1) 知识与技能掌握直线的参数式方程以及明确它的形式特征，明确参数t的几何意思。

（2）过程与方法通过探究直线上两点间的距离及利用向量的有关知识，让学生积极、主动地参与观察，分析、进而得出直线的参数式方程，培养了学生运用类比法的数学思想方法解决问题。

（3）情感、态度与价值观通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣。

同时，让学生认识事物之间的普遍联系与互相转化。

（三）教学重点与难点根据教学目标的确定，并结合学生的认知水平，我确定本节课的重点和难点如下：重点：直线的参数式方程以及参数t的几何意义。

难点：理解直线的参数方程中t.二、学情分析我班学生数学基础参数，但在解题能力特别是抽象思维的能力比较欠缺。

本节课对学生的分析能力和类比推理能力有一定要求，特别是用类比推理的思想来解决问题的能力，学生学习起来有一定难度，所以需要老师逐渐的引导。

三、教法与学法（一）教法本节课主要采取“启发”“引导”相结合进行教学，同时还利用多媒体进行辅助，增强动感和直观性。

在整个教学过程中，引导学生观察，分析，概括，归纳，使学生思维紧紧围绕“问题”层层展开。

培养学生学习的兴趣，也充分体现以教师为主导，学生为主体的教学理念。

（二）学法通过本节课的教学，不仅要让学生学会知识，更重要的是由学会变为会学，让学生在探究活动中，自主探究，小组讨论。

逐步掌握自主获得知识的学习方法。

四、教学程序设计（一）创设问题情境问题：（1）数轴上两点对应的数分别为t1,t2,则两点间的距离是什么？（2）确定直线的几何条件有哪些？已知一条直线过一点和倾斜角为a,求该直线的方程。

选修4-4坐标系与参数方程

建立联系．
Y＝byb>0
(2)已知变换后的曲线方程 f(x，y)＝0，一般都要改写为方程 f(X，Y)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
x′＝3x，
1，－2
1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：
求点 A 3
经过φ变换所得的点 A′的坐标．
2y′＝y.
第 1 页共 22 页
解析：设曲线 C′上任意一点 P′(x′，y′)，
x＝1x′，由题意，将 3
y＝2y′
代入 x2－ y2 ＝1 64
得x′2－4y′2＝1，化简得x′2－y′2＝1，
9 64
9 16
即x2－ y2 ＝1 为曲线 C′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线， 9 16
则所求焦点坐标为 F1(－5,0)，F2(5,0)．
选修 4－4 坐标系与参数方程
第一节坐标系
本节主要包括 2 个知识点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换； 2.极坐标系.
突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
x′＝λ·xλ＞0，
设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：
的作用下，点 P(x，y)对应到点
4．将圆 x2＋y2＝1 变换为椭圆x2＋y2＝1 的一个伸缩变换公式为φ： X＝axa>0，求 a，b 的值．
94
Y＝byb>0，
X＝ax，解y＝1Y， b
代入 x2＋y2＝1 中得Xa22＋Yb22＝1，所以 a2＝9，b2＝4，即 a＝3，b＝2.
突破点(二) 极坐标系
(2)直线 C3 的极坐标方程为θ＝α0，其中α0 满足 tan α0＝2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a. 解析：(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2＋(y－1)2＝a2，

选修4-4坐标系和参数方程

数学选修4-4坐标系与参数方程2016-7第一讲坐标系一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。

它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y ）确定.例1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s ，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置。

（假定当时声音传播的速度为340m/s ，各相关点均在同一平面上）以接报中心为原点O ，以BA 方向为x 轴，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020) 设P （x,y ）为巨响为生点，由B 、C 同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P 在BC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因A 点比B 点晚4s 听到爆炸声，故|PA|－ |PB|=340×4=1360，由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线22221x y a b-=上，2222222222680,1020102068053401(0)6805340a c b c a x y x ∴==∴=-=-=⨯-=<⨯故双曲线方程为用y=－x代入上式，得x =± ， ∵|PA|>|PB|,(x y P PO ∴=-=-=即故答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.上述问题的解决体现了坐标法的思想. 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。

变式训练1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程.2．在面积为1的PMN ∆中，2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程.课后作业1.若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )． A.53 B.23 C.13 D.122.设F 1、F 2是双曲线x23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，1PF ·2PF 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 3.若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，则p ＝( )A.12B ．1C ．2D ．3 4.已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足P A →·PB →＝x22，则点P 的轨迹方程是_________.5.△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是___________.6. 已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．7.已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．8. 已知长方形ABCD ，22=AB ，BC=1。

2.3-2.4《直线的参数方程及渐开线与摆线》课件(人教A版选修4-4)

答案:(x+1)2+y2=2
x=1-t 9.已知直线l过点P(1，2)，其参数方程为 (t是参数)， y=2+t
直线l与直线2x+y-2=0交于点Q，求|PQ|=_______.
【解析】
答案：
三、解答题（共40分）
x=-3+t 10.（12分）化直线l的参数方程 (t为参数)为普通方 y=1+ 3t
2
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
【解析】
AB的中点坐标为( (A)（3，-3） (C)（ 3，-3）
) (B)（- 3，3） (D)（3，- 3）
【解析】
1 x=1- 2 t 5.以t为参数的方程表示( y=-2+ 3 t 2
3
)
（A）过点（1，-2）且倾斜角为的直线（B）过点（-1，2）且倾斜角为
的直线 3
（C）过点（1，-2）且倾斜角为 2 的直线
3 （D）过点（-1，2）且倾斜角为 2 的直线 3
【解析】
x=-1+tsin10 6.直线 (t为参数)的倾斜角为( y=2-tcos10
) (D)170°
(A)10° 【解析】
(B)80°
(C)100°
二、填空题（每小题8分，共24分）
)
(A)(6,0) (C)(6,-12π )
(B)(6,6π ) (D)(-π ,12π )
【解析】选C.当φ=2π时，得
x=6(cos2+2sin2)=6 ， y=6(sin2-2cos2)=-12
故点(6,-12π)为所求.
1 x=1+ t 2 4.直线 (t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则 y=-3 3+ 3 t 2