选修4-4_2.3.1直线的参数方程 (3)
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选修4-4
2.3.1 直线的 参数方程
温故知新 请同学们回忆: 我们学过的直线的普通方程都有哪些? 点斜式: y y0 k ( x x0 )
y kx b
x y 1 a b
y y1 x x1 两点式: y2 y1 x2 x1
一般式: Ax By C 0( A， B不同时为零)
辨析: 例: 动点M作等速直线运动，它在 x 轴和 y 轴方 向分速度分别为 9，12，运动开始时，点 M 位于 A(1，1)，求点 M 的轨迹的参数方程.
x 1 9t ( t为参数) y 1 12t
请思考: 此时的t 有没有明确的几 何意义? 没有
x ＝4＋4t， (1)设直线的参数方程为 y＝5－ 3t， ①求直线的直角坐标方程； ②化为参数方程的标准形式．
解：因为把点M的坐标代入直 线方程后，符合直线方程，所 A 以点M在直线上. 易知直线的倾斜角为 3 ， 4 所以直线的参数方程可以写成： x 1 t cos 3 4 ( t为参数) y 2 t sin 3 4
y
M(-1，2)
O
B
x
x 1 2 t 2 即 ( t为参数) y 2 2 t 2
4.求直线l： 4 x y 4 0与l1：x 2 y 2 0及 直线l2： 4 x 3 y 12 0所得两交点间的距离.
5. 动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方 向的分速度分别是3cm/s和4cm/s，直角坐标 系的长度单位是1cm，点M的起始位置在点 M0(2，1)处，求点M的轨迹的参数方程.
[答案] B
2
2
例1. 已知直线 l : x y 1 0与抛物线 y x 2交于 A， B两点，求线段AB的长度和点M ( 1， 2)到A， B 两点的距离之积.
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解； 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
M(-1，2) y
O
B
x
例1. 已知直线 l : x y 1 0与抛物线 y x 2交于 A， B两点，求线段AB的长度和点M ( 1， 2)到A， B 两点的距离之积.
x－ 4 [解析 ] ①把 t＝ 代入 y 的表达式，得 y＝ 5 4 3 x－ 4 － ，化简得 3x＋ 4y－ 32＝ 0，这就是直线的直 4 角坐标方程． ②把方程变形为 x＝ 4＋ 32＋ 42· 24 2t＝ 4＋4 5t， 5 3 ＋4 y＝ 5－ 32＋ 42· 4 t＝ 5－3 5t， 2 2 5 3 ＋ 4
3 3＋
11 2 2 2 t ＋ 24＋ t ＝ 6，解得 t＝－ 5 . 2 2
0
11 2 ∴ MP ＝ t ＝ . 5
x t cos x 4 2cos 7. 直线 ( t为参数)与圆 y t sin y 2sin ( 为参数)相切，则直线倾斜角 为 ( A ) 5 3 A. 或 B. 或 6 6 4 4 C . 或 2 D. 或 5 3 3 6 6
y M(x,y)
e
O
(cos ， sin )
x
由于 是直线的倾斜角，因此，当 0 时， sin 0，又因为 sin 表示 e 的纵坐标，所以 e 的纵坐标都大于0，那么 e 的终点就会都在第 一，二象限，所以 e 的方向就总会向上.
此时，若t 0，则 M 0 M 的方向向上； 若t 0，则 M 0 M 的方向向下； 若t 0，则 M 点与 M 0 重合.
标准形式为x x0
a a b
2 2
t
y y0
b a b
2 2
t
此时t才具有几何意义
t 的几何意义： 直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点 M到定点M0的距离.
x 3 t sin200 B） （ 1 ） 直 线 （ t为 参 数 ） 的 倾 斜 角 是 （ 0 y t cos 20 A.200 B .700 C .1100 D.1600
x x0 t cos 整理，得到 ( t是参数) y y0 t sin
解：在直线上任取一点M(x，y)，则
M0 M ( x， y ) ( x0 y0 ) ( x x0， y y0 )
设 e 是直线 l 的单位方向向量，则e (cos ， sin )
因为M0 M // e，所以存在实数t R，使M0 M te，即
( x x0， y y0 ) t (cos ， sin )
所以 x x0 t cos ， y y0 t sin y
M(x,y)
即 x x0 t cos ， y y0 t sin
探究思考
由M 0 M te，你能得到直线l 的参数方程中参数 t 的几何意义吗？
解： M0 M te， | M0 M | | te | ，
又因为 e 是单位向量， | e | 1， y 这就是 t 的几何 | M0 M | | t || e | | t | .
意义，要牢记 所以，直线参数方程中参数t 的绝对值等于直线上动点M 到定点M0的距离. | t | = | M0M |
x 1 1 t 2 3. 一条直线的参数方程是 ( t为参数)， y 5 3 t 2 另一条直线的方程是x y 2 3 0，则两直线的交 点与点(1， 5)间的距离是 ___________________ . 4 3
x a t cos 2.在参数方程 ( t为参数)所表示 y b t sin 的曲线上有 B， C 两点，它们对应的参数值分 别为t1、t 2，则线段BC的中点M 对应的参数值 是 (B ) t1 t 2 t1 t 2 | t1 t 2 | | t1 t 2 | A. B. C. D. 2 2 2 2
课堂练习
(p是基点，当p是AB的 中点时，点P的相应参数 值t=0)
x x0 t cos 1. 直线 ( t为参数）上有参数 y y0 t sin a 分别为t1和t 2 对应的两点A和B，则A， B两点的 距离为 A. | t1 t 2 | C . | t1 | | t 2 | ( B ) B . | t1 t 2 | D. || t1 | | t 2 ||
[ 解析 ]
x＝t′cos110° ＋3 直线的参数方程可化为 ， y＝t′sin110°
(t′为参数)，它是直线的参数方程的标准形式，因此，直线 的倾斜角为 110° .
[答案] C
x ＝1＋t， 9．直线 (t 为参数)的倾斜角为( y＝2－t π A. 4 3 C. π 4 π B．－ 4 3 D．－ π 4
y
A
M(-1，2)
把它代入抛物线方程y x ，
2
得t 2t 2 0.
2
O
B
x
解得t1 2 10 ，t2 2 10 ， 2 2 由参数 t 的几何意义得
| AB | | t1 t2 | 10 ，
| MA | | MB | | t1 | | t2 | | t1t2 | 2.
2 （2 ）直线 x y 1 0的 一 个 参 数 方 程 是 。 x 1 t 2 （t为参数） y 2t 2
x ＝tsin 20°＋3， 8． 直线 (t 为参数)的倾斜角是 y＝－tcos 20° ( ) A．20° C ．110° B．70° D．160°
[解析] ∴t ＝ ±
2 （3 2 t 3) 2 ＝ 2， d＝ （ - 2 2t 2)
2 . 2 2 时，对应点为(－3,4)， 2 2 时，对应点为(－1,2)． 2
当 t＝
当 t＝－ 故选 C.
[答案]
C
x＝2＋3t， 1．直线 y＝－1＋t
(t 为参数)上对应 t＝0，t＝
M0 的距离，点 M(x， y)与参数 u 对应．
π (2)一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝ ，求此直线 4 与直线 3x＋2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离．
x＝ 3＋ 2t， 2 [解析 ] 设直线的参数方程为 2 y＝ 4＋ t， 2 将它代入已知直线 3x＋ 2y－ 6＝0 得
y2 y1 tan x2 x1
问题情景
已知一条直线过点M 0 ( x0， y0 )，倾斜角，求这条 直线的方程.
解：直线的普通方程为y y0 tan ( x x0 ) 把它变成y y0 sin ( x x0 ) cos y y0 x x0 进一步整理，得： sin cos y y0 x x0 令该比例式的比值为t，即 t. sin cos
M0(x0，y0)
所以，该直线的参数方程为 x x0 t cos (t为参数) y y0 t sin
e
O
(cos ， sin )
x
思考 我们是否可以根据 t 的值来确定向量 M 0 M 的方向呢？ 我们知道，e 是直线 l 的单位方向向量，那么
它的方向应该是向上还是向下的？还是有时 向上有时向下呢？
9 17 14
x 2 3 t x 3t 2 5 ( t为参数) ( t为参数) 4 y 4t 1 y 1 t 5
重要结论: 直线的参数方程可以写成这样的形式:
x x0 at ( t为参数) y y0 bt
2 2
当 a b 1 时，t 有明确的几何意义，它表示 | t | | M0 M | ， 此时我们可以认为 a cos ， b sin . 为倾斜角. 当 a 2 b 2 1 时，t 没有 明确的几何意义. 那么， 如何转化，可以使参 数具有几何意义呢？
1 两点间的距离是( A．1 B. 10
) C．10 D．2 2
[解析 ] 因为题目所给方程不是参数方程的标 准形式，参数 t 不具有几何意义，故不能直接由 1－0 ＝1 来得距离，应将 t＝0，t＝1 分别代入方程得到两 点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距 离，即 2－5 ＋－1－0 ＝ 10.
4 x＝ 4－5u， 令 u＝－ 5t，则方程变为 y＝ 5＋3u， 5 4 3 记 cos α＝－ ， sin α＝ ，点 M0(4,5)，这是过 M0 5 5 点，倾角为 α 的直线的参数方程， u 为参数，它是直线
参数方程的标准形式 . u 表示直线上的点 M(x，y)到定点
M0
M
ewenku.baidu.com
O
x
探究思考
直线与曲线 f ( x， y ) 0交于M 1，M 2两点，对应的 参数分别为t1，t 2 . (1)曲线的弦M1 M 2的长是多少？ (2)线段M1 M 2的中点M 对应的参数t 的值是多少？
(1) | M1 M 2 | | t1 t 2 | ； t1 t 2 (2) t . 2
)
[解析] 消去参数 t 得 x＋y＝3，∴直线斜率 3 k＝－1，∴倾斜角 α＝ π. 4 [答案] C
x＝－ 2－ 3．直线 y＝ 3＋ 2t
2t
(t 为参数)上与点 P(－2,3) ) B．(－3,4) D．(－4,5)或(0,1)
的距离等于 2的点的坐标是( A．(－4,5) C．(－3,4)或(－1,2)
x 4 at 2 2 8. 若直线 ( t为参数)与曲线x y 4 x y bt 或 2 1 0相切，则这条直线的倾斜角等于_______. 3 3
2.3.1 直线的 参数方程
温故知新 请同学们回忆: 我们学过的直线的普通方程都有哪些? 点斜式: y y0 k ( x x0 )
y kx b
x y 1 a b
y y1 x x1 两点式: y2 y1 x2 x1
一般式: Ax By C 0( A， B不同时为零)
辨析: 例: 动点M作等速直线运动，它在 x 轴和 y 轴方 向分速度分别为 9，12，运动开始时，点 M 位于 A(1，1)，求点 M 的轨迹的参数方程.
x 1 9t ( t为参数) y 1 12t
请思考: 此时的t 有没有明确的几 何意义? 没有
x ＝4＋4t， (1)设直线的参数方程为 y＝5－ 3t， ①求直线的直角坐标方程； ②化为参数方程的标准形式．
解：因为把点M的坐标代入直 线方程后，符合直线方程，所 A 以点M在直线上. 易知直线的倾斜角为 3 ， 4 所以直线的参数方程可以写成： x 1 t cos 3 4 ( t为参数) y 2 t sin 3 4
y
M(-1，2)
O
B
x
x 1 2 t 2 即 ( t为参数) y 2 2 t 2
4.求直线l： 4 x y 4 0与l1：x 2 y 2 0及 直线l2： 4 x 3 y 12 0所得两交点间的距离.
5. 动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方 向的分速度分别是3cm/s和4cm/s，直角坐标 系的长度单位是1cm，点M的起始位置在点 M0(2，1)处，求点M的轨迹的参数方程.
[答案] B
2
2
例1. 已知直线 l : x y 1 0与抛物线 y x 2交于 A， B两点，求线段AB的长度和点M ( 1， 2)到A， B 两点的距离之积.
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解； 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
M(-1，2) y
O
B
x
例1. 已知直线 l : x y 1 0与抛物线 y x 2交于 A， B两点，求线段AB的长度和点M ( 1， 2)到A， B 两点的距离之积.
x－ 4 [解析 ] ①把 t＝ 代入 y 的表达式，得 y＝ 5 4 3 x－ 4 － ，化简得 3x＋ 4y－ 32＝ 0，这就是直线的直 4 角坐标方程． ②把方程变形为 x＝ 4＋ 32＋ 42· 24 2t＝ 4＋4 5t， 5 3 ＋4 y＝ 5－ 32＋ 42· 4 t＝ 5－3 5t， 2 2 5 3 ＋ 4
3 3＋
11 2 2 2 t ＋ 24＋ t ＝ 6，解得 t＝－ 5 . 2 2
0
11 2 ∴ MP ＝ t ＝ . 5
x t cos x 4 2cos 7. 直线 ( t为参数)与圆 y t sin y 2sin ( 为参数)相切，则直线倾斜角 为 ( A ) 5 3 A. 或 B. 或 6 6 4 4 C . 或 2 D. 或 5 3 3 6 6
y M(x,y)
e
O
(cos ， sin )
x
由于 是直线的倾斜角，因此，当 0 时， sin 0，又因为 sin 表示 e 的纵坐标，所以 e 的纵坐标都大于0，那么 e 的终点就会都在第 一，二象限，所以 e 的方向就总会向上.
此时，若t 0，则 M 0 M 的方向向上； 若t 0，则 M 0 M 的方向向下； 若t 0，则 M 点与 M 0 重合.
标准形式为x x0
a a b
2 2
t
y y0
b a b
2 2
t
此时t才具有几何意义
t 的几何意义： 直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点 M到定点M0的距离.
x 3 t sin200 B） （ 1 ） 直 线 （ t为 参 数 ） 的 倾 斜 角 是 （ 0 y t cos 20 A.200 B .700 C .1100 D.1600
x x0 t cos 整理，得到 ( t是参数) y y0 t sin
解：在直线上任取一点M(x，y)，则
M0 M ( x， y ) ( x0 y0 ) ( x x0， y y0 )
设 e 是直线 l 的单位方向向量，则e (cos ， sin )
因为M0 M // e，所以存在实数t R，使M0 M te，即
( x x0， y y0 ) t (cos ， sin )
所以 x x0 t cos ， y y0 t sin y
M(x,y)
即 x x0 t cos ， y y0 t sin
探究思考
由M 0 M te，你能得到直线l 的参数方程中参数 t 的几何意义吗？
解： M0 M te， | M0 M | | te | ，
又因为 e 是单位向量， | e | 1， y 这就是 t 的几何 | M0 M | | t || e | | t | .
意义，要牢记 所以，直线参数方程中参数t 的绝对值等于直线上动点M 到定点M0的距离. | t | = | M0M |
x 1 1 t 2 3. 一条直线的参数方程是 ( t为参数)， y 5 3 t 2 另一条直线的方程是x y 2 3 0，则两直线的交 点与点(1， 5)间的距离是 ___________________ . 4 3
x a t cos 2.在参数方程 ( t为参数)所表示 y b t sin 的曲线上有 B， C 两点，它们对应的参数值分 别为t1、t 2，则线段BC的中点M 对应的参数值 是 (B ) t1 t 2 t1 t 2 | t1 t 2 | | t1 t 2 | A. B. C. D. 2 2 2 2
课堂练习
(p是基点，当p是AB的 中点时，点P的相应参数 值t=0)
x x0 t cos 1. 直线 ( t为参数）上有参数 y y0 t sin a 分别为t1和t 2 对应的两点A和B，则A， B两点的 距离为 A. | t1 t 2 | C . | t1 | | t 2 | ( B ) B . | t1 t 2 | D. || t1 | | t 2 ||
[ 解析 ]
x＝t′cos110° ＋3 直线的参数方程可化为 ， y＝t′sin110°
(t′为参数)，它是直线的参数方程的标准形式，因此，直线 的倾斜角为 110° .
[答案] C
x ＝1＋t， 9．直线 (t 为参数)的倾斜角为( y＝2－t π A. 4 3 C. π 4 π B．－ 4 3 D．－ π 4
y
A
M(-1，2)
把它代入抛物线方程y x ，
2
得t 2t 2 0.
2
O
B
x
解得t1 2 10 ，t2 2 10 ， 2 2 由参数 t 的几何意义得
| AB | | t1 t2 | 10 ，
| MA | | MB | | t1 | | t2 | | t1t2 | 2.
2 （2 ）直线 x y 1 0的 一 个 参 数 方 程 是 。 x 1 t 2 （t为参数） y 2t 2
x ＝tsin 20°＋3， 8． 直线 (t 为参数)的倾斜角是 y＝－tcos 20° ( ) A．20° C ．110° B．70° D．160°
[解析] ∴t ＝ ±
2 （3 2 t 3) 2 ＝ 2， d＝ （ - 2 2t 2)
2 . 2 2 时，对应点为(－3,4)， 2 2 时，对应点为(－1,2)． 2
当 t＝
当 t＝－ 故选 C.
[答案]
C
x＝2＋3t， 1．直线 y＝－1＋t
(t 为参数)上对应 t＝0，t＝
M0 的距离，点 M(x， y)与参数 u 对应．
π (2)一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝ ，求此直线 4 与直线 3x＋2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离．
x＝ 3＋ 2t， 2 [解析 ] 设直线的参数方程为 2 y＝ 4＋ t， 2 将它代入已知直线 3x＋ 2y－ 6＝0 得
y2 y1 tan x2 x1
问题情景
已知一条直线过点M 0 ( x0， y0 )，倾斜角，求这条 直线的方程.
解：直线的普通方程为y y0 tan ( x x0 ) 把它变成y y0 sin ( x x0 ) cos y y0 x x0 进一步整理，得： sin cos y y0 x x0 令该比例式的比值为t，即 t. sin cos
M0(x0，y0)
所以，该直线的参数方程为 x x0 t cos (t为参数) y y0 t sin
e
O
(cos ， sin )
x
思考 我们是否可以根据 t 的值来确定向量 M 0 M 的方向呢？ 我们知道，e 是直线 l 的单位方向向量，那么
它的方向应该是向上还是向下的？还是有时 向上有时向下呢？
9 17 14
x 2 3 t x 3t 2 5 ( t为参数) ( t为参数) 4 y 4t 1 y 1 t 5
重要结论: 直线的参数方程可以写成这样的形式:
x x0 at ( t为参数) y y0 bt
2 2
当 a b 1 时，t 有明确的几何意义，它表示 | t | | M0 M | ， 此时我们可以认为 a cos ， b sin . 为倾斜角. 当 a 2 b 2 1 时，t 没有 明确的几何意义. 那么， 如何转化，可以使参 数具有几何意义呢？
1 两点间的距离是( A．1 B. 10
) C．10 D．2 2
[解析 ] 因为题目所给方程不是参数方程的标 准形式，参数 t 不具有几何意义，故不能直接由 1－0 ＝1 来得距离，应将 t＝0，t＝1 分别代入方程得到两 点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距 离，即 2－5 ＋－1－0 ＝ 10.
4 x＝ 4－5u， 令 u＝－ 5t，则方程变为 y＝ 5＋3u， 5 4 3 记 cos α＝－ ， sin α＝ ，点 M0(4,5)，这是过 M0 5 5 点，倾角为 α 的直线的参数方程， u 为参数，它是直线
参数方程的标准形式 . u 表示直线上的点 M(x，y)到定点
M0
M
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O
x
探究思考
直线与曲线 f ( x， y ) 0交于M 1，M 2两点，对应的 参数分别为t1，t 2 . (1)曲线的弦M1 M 2的长是多少？ (2)线段M1 M 2的中点M 对应的参数t 的值是多少？
(1) | M1 M 2 | | t1 t 2 | ； t1 t 2 (2) t . 2
)
[解析] 消去参数 t 得 x＋y＝3，∴直线斜率 3 k＝－1，∴倾斜角 α＝ π. 4 [答案] C
x＝－ 2－ 3．直线 y＝ 3＋ 2t
2t
(t 为参数)上与点 P(－2,3) ) B．(－3,4) D．(－4,5)或(0,1)
的距离等于 2的点的坐标是( A．(－4,5) C．(－3,4)或(－1,2)
x 4 at 2 2 8. 若直线 ( t为参数)与曲线x y 4 x y bt 或 2 1 0相切，则这条直线的倾斜角等于_______. 3 3