2020届安徽六校高三数学(理科)第一次素质测试试题答案

【详解】因为 f(x)为偶函数，所以 f (2 a2 ) f ( 2) ，且 f(x)在（0，+ ）单调递增，故
2 a2
2
，所以
a
ຫໍສະໝຸດ Baidu
(,
3 2
)

(
5 2
,)
.
15．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 M 是 AD
的中点，动点 P 在底面 ABCD 内（不包括边界），若 B1P 平面
图最能准确描述 f1 、 f2 分别与 n 的关系是（ ）
【详解】要使得被加工为罐头的新芒果最少，尽量使用库存芒果，即当 m n m,n 2m 时 3
此时
f2
0
，当 n

2m 时，
f2

nm 3
m

n 2m 3
，对照图象舍去
B,D;
要使得被加工为罐头的新芒果最多，则尽量使用新芒果，即当 m n n,n m 时
3
2
f1

m 3
n
，当
m 3
n

n,n

m 2
时
f1

n
，因为
m 2

2m ，故选：C.
7．若函数 f (x) ex (sin x a) 在区间 ( , ) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ） 22
A．[ 2, ) B． (1, ) C．[1, ) D． ( 2, )
A. y 2 3x B． y 2 2x
C． y 3x D． y 2x
【详解】设 AF2 t , AB 3x ，则 BF1 4x , AF1 5x ， 根据双曲线的定义得： AF1 AF2 BF2 BF1 2a ，
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即 5x t 3x t 4x 2a ，解得： t 3x, a x ，
造厂代码、商品代码和校检码，其中 是校验
码，用来校验前 个数字代码的正确性.图（1）
是计算第 位校验码的程序框图，框图中符号
表示不超过 的最大整数（例如 tͷ
t）.现有一条形码如图
（2）所示（ 97a3 7107202551 ），其中第 个数被污损，那么这个被污
损数字 是（ ）
A．
B．
C．
D．6
【详解】由流程图可知，S 表示的结果为前 12 项中所有偶数项之和，
可得 S四边形MNK L NK KL
当且仅当 NK KL 时取等号，故选：A.
第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）


13．向量 a (1,1) 在 b (3, 4) 方向上的投影为______．




【详解】由题意，向量 a (1,1),b (3, 4) ，则 a b 1 3 1 4 1, b
（Ⅰ）求数列an 的通项公式；
（Ⅱ）若 bn

2n (n 1) nan
(n
N *)
，求数列bn 的前
安徽省六校教育研究会 2020 届高三第一次联考
数学答案（理科）
命题单位：安徽师范大学附属中学
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．设全集U R ，M {x | 1 x 4} ，N x | log2(x 2) 1 ，则 M CU N ( )
A． 3 1
B． 3 1 2
C． 2 2
D． 5 1 2
【详解】由题得 PF1 PF2 ，且 PF2 c, 又 PF1 PF2 2a PF1 2a c
由勾股定理得 2a c2 c2 4c2 e2 2e 2 0 ，解得 e 3 1 ，故选：A.
城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有
4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游, 假设每名同学
均从这四个地方中任意选取一个去旅游, 则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）
27
A.
64
9
B.
16
81
C.
256
7
D.
16
【详解】所有情况为 44 ，恰有一个地方未被选中的情况有 C41C42 A33 ，由古典概型可知
P

C41C42 A33 44
9 ，故选：B. 16
9．将函数
f
(x)

4
cos

2
x

和直线
g(x)

x
1的所有交点从左到右依次记为
A1 ，A2 ，…，


A5 ，若 P 点坐标为 (0, 3) ，则 PA1 PA2 ... PA5 （ ）
成等比数列，则（ ）
A． ൐
൐ B． ൐
C．
൐ D．
【详解】由
成等比数列．可得
，
可得（
）（
）（ t ），
即
，∵公差 不等于零， ＜ ，
．
（
）
＞ ． 故选：C．
4．椭圆
x2 a2

y2 b2
1(a
b

0) 的左右焦点分别是 F1、F2 ，以 F2 为圆心的圆过椭圆的中心，
且与椭圆交于点 P ，若直线 PF1 恰好与圆 F2 相切于点 P ，则椭圆的离心率为( )
A1BM ，则 C1P 的最小值是_____．
【详解】如图，在 A1D1 上取中点 Q ，在 BC 上取中点 N ，连接 DN, NB1, B1Q,QD ， DN / / BM ， DQ / / A1M 且 DN DQ D ， BM A1M M ，
平面 B1QDN / / 平面 A1BM ，则动点 P 的轨迹是 DN （不含 D, N 两点），
T 表示的结果为前 12 项中所有奇数项之和，则：
S=7+7+0+2+2+5=23，T=9+a3+1+7+0+5=22+a3，
M=3×23+22+a3=91+a3，检验知， a13 1 ，可知 N 9 ，
结合选项进行检验： a3 8 ，故选：B.
12．如图，已知四面体 ABCD 为正四面体，
12 行第 1 个，
而第一行各项和为1 20 ，第二行各项和为 2 21 ，第三行各项的和为 4 22 ，依此类推，
第 k 行各项的和为 2k1 ，
因此，
.
三、解答题（第 17 题 10 分，第 18~22 题每题 12 分，共 70 分）
17．（本小题满分 10 分）已知正项数列an 的前 n 项和 Sn 满足 2Sn an2 an 2 .
A． B．{x | 4 x 2}
C．{x | 4<x<3} D．{x | 1 x 2}
【详解】由 log2 ( x 2) 1 得 x 2 0 且 x 2 2 ，所以 2 x 4 ，
所以 CU N x x 2或x 4 ，则 M CU N {x | 1 x 2} ，故选： D ．
∵ AB : BF1 : AF1 3 : 4 : 5 ，得 ABF1 是以 B 为直角的直角三角形，
∴
cos
BAF1

|
AB AF1
|

3 5
，可得
cos
F2
AF1


3 5
F2 AF1 中， | F1F2 |2 | AF1 |2 | AF2 |2 2 | AF1 | | AF2 | cos F2 AF1
A．0
B．2
C．6
D．10
【详解】函数
f
(x)

4
cos

2
x

与
g(x)

x
1的所有交点从左往右依次记为
A1 、A2 、A3 、
A4 和 A5 ，且 A1 和 A5 ， A2 和 A4 ，都关于点 A3 对称，


如图所示；则 PA1 PA2 ... PA5 5PA3 5(1, 3)=（5，-5 3) ，
前 n 项和为 Sn ，则 S67 =___ .
【详解】使得每行的序数与该行的项数相等，则第 k 行最后项在数列an 中的项数为
k
k 1
2
，设
a67
位于第
k
k N
行，则
，解得 k 12 ，
且第 11 行最后一项在数列 an
中的项数为
1112 2

66
，所以
a67
位于杨辉三角数阵的第
2
sin

x

4

，当

2

x

2
时， 4

x

4

3 4
，
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则
2 2

sin

x
4


1 ，
2
2
sin

x

4


1，
a

1，
因此，实数 a 的取值范围是 1, ，故选：C.
8．2019 年 5 月 22 日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角
2．已知复数 z 满足 2 i z 3 4i ,则 z （ ）
A． 2 i
B． 2 i
C． 2 i
D． 2 i
【详解】由
(2

i)z
|
3

4i
|
5
，得
z

5 2
i

5(2 i) (2 i)(2
i)

2

i
．故选：
D
．
3．等差数列 的前 项和是 ，公差 不等于零，若
分别是 AD, BC 中点.若用一个
与直线 EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面 去截该四面
体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）.
1
A．
4
B． 2 4
C． 3 4
D．1
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【详解】补成正方体，如图.
∴截面为平行四边形 MNKL ,可得
，
又
且 AD BC,KN KL


所以 PA1 PA2 ... PA5 10. 故选：D.
10．如图， F1、F2
是双曲线
C
:
x a
2 2
y2 b2
1a
0,
b 0 的左、右焦点，过 F2 的直线与双
曲线 C 交于 A、B 两点．若 AB : BF1 : AF1 3 : 4 : 5 ．则双曲线的渐近线方程为（ ）
得 a =1，所以 P（1，-2）.又直线过定点 Q（-2，0），当直线 PQ 与弦垂直时，弦长最短，
根据圆内特征三角形可知弦长 l=2 r2-PQ2 =2 25-13=4 3 ，∴直线 x ay 2 0 被圆截得
的弦长最小值为 4 3 ．故选：B．
6．某罐头加工厂库存芒果 m kg ，今年又购进 n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一 用于加工为芒果罐头.被加工为罐头的新芒果最多为 f1 kg ，最少为 f2 kg ，则下列坐标
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5．过三点 A(1, 3) 、B(4, 2) 、C(1, 7) 的圆截直线 x ay 2 0 所得弦长的最小值等于（ ）
A． 2 3
B． 4 3
C． 13
D． 2 13
【详解】设圆心坐标 P 为（ a ，-2），则 r2＝ 1 a2 3 22 4 a2 2 22 ，解
又 CC1 平面 ABCD ，则当 CP DN 时， C1P 取得最小值，
.
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16．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展 开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，
得数列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1, ，记作数列an ，若数列an 的
【详解】
，
x



2
,
2

，
f


x


e
x

sin
x

cos
x

a

，
由于函数
f
x

ex
sin
x
a
在区间


2
, 2

上单调递增，
则
x



2
,
2

，
f
x

0 ，sin
x
cos
x

a

0，
得 a sin x cos x
所以向量
a

(1,1)
在向量 b

(3,
4)
方向上的投影为
a b b

1 5
．
32 42 5 ，
14．已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间（- ，0）上单调递减，若实数 a 满足 f (2 a2 ) f ( 2) ，则 a 的取值范围是______.

25x2

9x2

2

5x

3x

(
3) 5

52 x 2
，可得 |
F1F2
|
2
13x ，
所以渐近线为 y 2 3x . 故选：A.
11．条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的信息，我们通
常见的条形码是“ 뮀ु ”通用代码，它是由从左到右排列的 个数字（用
表示）组成，这些数字分别表示前缀部分、制