古典概型题型归纳
古典概型四类重点内容题型
古典概型四类重点题型古典概型一种十分重要的概率模型,是学习概率与统计的起点,注意古典概型的两个特征:(1)所有的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件的发生都是等可能的.只有在同时满足（1）、（2）的条件下，运用的古典概型计算公式P（A）=得出的结果才是正确的。
下面就古典概型的四种重要题型举例解析如下:一、概念辨析题例1.判断下列命题正确与否．(1)先后抛掷两枚均匀硬币，有人说一共出现“两枚正面”，“两枚反面”，“一枚正面，一枚反面”三种结果，因此出现“一枚正面，一枚反面”的概率是；(2)射击运动员向一靶心进行射击．试验的结果为：命中10环，命中9环，……，命中0环，这个试验是古典概型．(3)袋中装有大小均匀的四个红球，三个白球，两个黑球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同．【思路点拨】根据每一次试验的意义和每个基本事件的含义进行判断.【解】所有命题均不正确.(1)应为4种结果，还有一种是“一枚反面，一枚正面”.(2)不是古典概型，因为命中10环，命中9环，…命中0环不是等可能的．(3)摸到红球的概率为，白球的概率为，黑球的概率为．【方法技巧】弄清每一次试验的意义及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的重要方面，判断一次试验中的基本事件，一定要从其可能性入手，加以区分而一个试验是否是古典概型要看其是否满足有限性和等可能性．二、写出基本事件且求其概率例2 做如下试验：“将一枚均匀硬币抛掷两次”．(1)试用列举法写出该试验所包含的基木事件；(2)事件A“两次都出现正面”包含几个基本事件？(3)事件B“一次出现正面，一次出现反面”含有的基本事件是什么？(4)计算P(A)和P(B)．【思路点拨】试验“将一枚均匀硬币抛掷两次”中，由于出现的结果有限，每次只能有一种结果（一枚硬币要么正面朝上，要么反面朝上），且每种结果出现的可能性是相同的，所以该试验是古典概型．当试验的结果较少时，可用列举法将所有试验结果一一列出，这是最基本、最直观的方法．同样地可把事件A或事件B所含的基本事件一一列出．计算古典概型的概率关键是确定m,n.【解】(1)试验“将一枚均匀硬币抛掷两次”所出现的所有基本事件如下：(正，正)、(正，反)、（反，正）、（反，反）共4种等可能的结果．(2)事件A包含的基本事件只有一个，即（正，正）．(3)事件B包含的基本事件有两个，即（正，反）和（反，正）．(4)P(A)=,P(B)=.【方法技巧】本题在求试验的基本事件总数时，用枚举法将所有结果一一列举出来、直观而具体，但应把握列举的原则，不要出现重复和遗漏．三、求简单古典概型的概率例3 如图，在一个木制的棱长为3的正方体表面涂上颜色，将它的棱3等分，然后从等分点把正方体锯开，得到27个棱长为1的小正方体，将这些小正方体充分混合后，装入一个口袋中．(1)从这个口袋中任意取出1个小正方体，这个小正方体的表面恰好没有颜色的概率是多少？(2)从这个口袋中同时任意取出2个小正方体，其中1个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另1个小正方体至少有2个面涂有颜色的概率是多少？【思路点拨】该模型为古典概型，基本事件个数是有限的，并且每个基本事件的发生是等可能的．【解】在27个小正方体中，恰好3个面都涂有颜色的共8个，恰好2个面涂有颜色的共12个，恰好1个面涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个．(1)27个小正方体中任意取出1个，共有= 27种等可能的结果．因为在27个小正方体中，表面没涂颜色的只有1个，所以从这个口袋中任意取出1个小正方体，而这个小正方体的表面恰好没涂颜色的概率是.(2)从27个小正方体中，同时任取2个，共有种等可能的结果．在这些结果中，有1个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另1个小正方体至少有2个面涂有颜色包含的结果有种．所以从这个口袋中同时任意取出2个小正方体,其中1个小正方体恰好有1个面涂有颜色，另1个小正方体至少有2个面涂有颜色的概率是.【方法技巧】（1)计算古典概型事件的概率可分三步：①算出基本事件的总个数n;②求出事件A所包含的基本事件个数m；③代入公式求出概率P.(2)含有“至多”“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质进一步求解．四、复杂的古典概型的概率的求法例4 甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(I,j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3,则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．【思路点拨】因为共有4张牌，基本事件的总数是有限的，而且每张牌被抽到是等可能的，因此是古典概型，另外要注意牌是不放回摸牌，每次摸出的牌不能重复．【解】(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4’表示，其他用相应的数字表示）为：(2,3),(2,4),(2,4’)，（3,2），（3，4），（3，4’），（4，2），（4，3），（4，4’），（4’，2），（4’，3），(4’，4)共12种不同情况．(2)甲抽到3,乙抽到的牌只能是2,4,4’，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为.(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2,(4,2),(4,3),(4’,2)，(4’,3)共5种，故甲胜的概率,同理乙胜的概率为.因为P1= P2，所以此游戏公平.【方法技巧】本题属于求较复杂事件的概率，关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，联想掷骰子试验，把红桃2,红桃3,红桃4和方片4分别用数字2,3,4,4’表示，抽象出基本事件，把复杂事件用简单事件表示，列举出总体I包含的基本事件的个数n 及事件A包含的基本事件的个数m，用公式求解．必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先去求对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率.。
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。
对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。
下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。
一、概率题型1、古典概型古典概型是概率中最基础的题型之一。
它的特点是试验结果有限且等可能。
例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。
答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。
然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数进行计算。
2、几何概型几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。
常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。
比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。
答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。
例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。
然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）进行求解。
3、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。
答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B），先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。
4、相互独立事件与互斥事件相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。
答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。
二、统计题型1、抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。
《古典概型的概率计算公式》典型例题剖析
《古典概型的概率计算公式》典型例题剖析题型1 古典概型的判断例1 （1）“在区间[0,10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型是古典概型吗？（2）若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验是古典概型吗？解析（1）不是古典概型，因为在区间[0,10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其样本点有无限个，所以不是古典概型.（2）不一定是古典概型.还必须满足每个样本点出现的可能性相等才是古典概型.答案（1）不是古典概型（2）不一定是古典概型方法技巧判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征—有限性和等可能性，二者缺一不可.变式训练1 下列试验是古典概型的为_________（填序号）.①求从5个数学学习小组中选出甲、乙两个小组代表学校参加数学竞赛的概率；②掷一枚均匀的硬币3次，求有2次正面向上的概率；③播下10粒种子，求有5粒发芽的概率；④一周中7人每天值班1天，求甲、乙相邻的概率.答案①②④.点拨①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特征.③不是古典概型，因为不符合等可能性，每一粒种子发芽的概率一般是不相等的.题型2 古典概型概率的计算例2 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为,x y.奖励规则如下：①若3xy，则奖励玩具一个；②若8xy，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由解析写出试验的样本空间，计算随机事件的样本点个数，应用古典概型的概率计算公式计算概率.答案用数对(,)x y表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间Ω与点集{(,),,14,14}S x y x y x y=∈∈N N∣一一对应.因为S中元素的个数是4416⨯=，所以样本点总数16n=.（1）记“3xy”为事件A，则事件A包含的样本点有5个，即{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)}A=.所以5()16P A=，即小亮获得玩具的概率为516.（2）记“8xy”为事件B，“38xy<<”为事件C，则事件B包含的样本点有6个，即{(2,4),(3, 3) ,(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)}B=，所以63 ()168 P B==.事件C包含的样本点有5个，即{(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1)}C=，所以5()16P C=.因为35816>， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.规律方法 解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特征和其计算公式.但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：（1）试验必须具有古典概型的两个特征一有限性和等可能性；（2）计算样本点的个数时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点.变式训练2 一个口袋内装有形状、大小相同，编号为123,,a a a 的3个白球和1个黑球b .（1）从中一次性摸出2个球，求摸出2个白球的概率；（2）从中连续取两次，每次取一球后放回，求取出的两个球中恰好有1个黑球的概率.答案 （1）一次性摸出2个球，此试验的样本空间为()()()()()(){}121323123,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a b Ω=.Ω由6个样本点组成，而且这些样本点的出现是等可能的.用A 表示“摸出2个白球”这一事件，则({)()()}121323,,,,,A a a a a a a =. 事件A 由3个样本点组成，因而31()62P A ==. 有放回地连续取两次，此试验的样本空间为()()()()(){()()()()1112131212223231,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a a a a a a a b a a Ω=()()()()()()}32333123,,,,,,,,,,,,(,)a a a a a b b a b a b a b b .其中小括号左边的字母表示第1次取出的球，右边的字母表示第2次取出的球，Ω由16个样本点组成，而且这些样本点的出现是等可能的.用B 表示“连续取出的两球恰好有1个黑球”这一事件，则()()()()(){)}123123,,,,,,,,,,(,B a b a b a b b a b a b a =，事件B 由6个样本点组成，则63()168P B ==. 规律方法总结1.古典概型是一种最基本的概率模型.判断试验是否为古典概型要紧紧抓住其两个特征：样本点的有限性和等可能性.2.求随机事件A 包含的样本点个数和样本点总数常用的方法是列举法（画树状图和列表），注意要做到不重不漏.3.在应用公式()A m P A n==Ω包含的样本点个数包含的样本点总数时，关键是正确理解样本点与事件A 的关系，从而正确求出m 和n .4.注意“有放回取样”与“不放回取样”对样本点的影响.核心素养园地例 某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示，下表是年龄的频数分布表.（1）求正整数,,a b N 的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层随机抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人年龄在第3组的概率.解析 （1）根据频率分布直方图的意义并结合表格内的已知数据可以求得,,a b N 的值.（2）先求出这三组的总人数，再根据分层抽样的取样方法求得每组取样的人数.（3）利用列举法列出所有的样本点，共有15个，其中满足条件的样本点有8个，利用古典概型的概率计算公式计算得出结果.答案 （1）由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =.且0.08251000.02b =⨯=.总人数252500.025N ==⨯. （2）因为第1，2，3组共有2525100150++=（人），所以利用分层随机抽样的方法在150名员工中抽取6人，第1组被抽取的人数为2561150⨯=，第2组被抽取的人数为2561150⨯=，第3组被抽取的人数为10064150⨯=. 所以年龄在第1，2，3组的人数分别是1，1，4.（3）由（2）可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1234,,,C C C C ，则从6人中随机抽取人的所有可能结果为()()1,,,,A B A C ())()()()()()()()()2341234121314,,(,,,,,,,,,,,,,,,,,,A C A C A C B C B C B C B C C C C C C C ()()()232434,,,,,C C C C C C ，共有15个样本点.其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为()()()()()()()()12341234,,,,,,,,,,,,,,,A C A C A C A C B C B C B C B C ，共有8个样本点.所以恰有1人年龄在第3组的概率为815. 讲评 概率问题常常与统计问题结合在一起考查.在此类问题中，概率与频率的区别并不是十分明显，通常直接用题目中的频率代替概率进行计算.第（3）题是古典概型问题.解决与古典概型交汇的问题时，应明确相关事件，列举样本点，然后利用古典概型的概率计算公式求解.如果能正确理解题意，分析求解第（1）题与第（2）题，那么可以认为达到数学运算、直观想象、数学建模核心素养水平一的要求；如果能正确求解第（3）题，那么可以认为达到数学建模核心素养水平二与数学运算核心素养水平一的要求.。
高中 古典概型 知识点+例题+练习
教学过程【训练2】(2014·滨州一模)甲、乙两名考生在填报志愿时都选中
了A，B，C，D四所需要面试的院校，这四所院校的面试安排在同
一时间．因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿，假设
每位同学选择各个院校是等可能的，试求：
(1)甲、乙选择同一所院校的概率；
(2)院校A，B至少有一所被选择的概率．
1．古典概型计算三步曲
第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；
第三，事件A是什么，它包含的基本事物有多少个．
2．确定基本事件的方法
列举法、列表法、树形图法．
教
学
效
果
分
析。
古典概型例题及解析
古典概型例题及解析
摘要：
1.概论古典概型
2.古典概型的性质与运算
3.例题解析
4.总结
正文：
一、概论古典概型
古典概型是概率论中的一个基本概念，主要用于描述随机试验的结果。
古典概型假设每个试验的结果都是等可能的，即每个结果的概率相等。
古典概型可以应用于各种实际问题，例如掷骰子、抽取扑克牌等。
二、古典概型的性质与运算
1.性质
古典概型的性质主要体现在以下几点：
（1）每个结果的概率相等。
（2）所有可能结果的概率和为1。
（3）任意两个结果的概率和可以表示为它们交集的概率。
2.运算
古典概型的运算主要包括加法和乘法。
（1）加法：对于两个古典概型A 和B，若它们是互斥的，即A 和B 没有相同的结果，则A 和B 的并集的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)。
（2）乘法：对于两个古典概型A 和B，若它们是独立的，即A 的结果不影响B 的结果，则A 和B 的交集的概率为P(A∩B)=P(A)P(B)。
三、例题解析
例题：一个袋子里有3 个红球和2 个绿球，从中随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
解析：这是一个典型的古典概型问题。
根据古典概型的性质，抽到红球的概率为红球的个数除以总球数，即P(红球)=3/(3+2)=3/5。
四、总结
古典概型是概率论中的一个基本概念，它具有一些基本的性质和运算规律。
通过理解古典概型的概念和运算，我们可以解决许多实际问题。
古典概型知识点总结
古典概型知识点总结关键信息项：1、古典概型的定义2、古典概型的特点3、古典概型的概率计算公式4、基本事件的概念5、基本事件的特点6、古典概型的常见例题7、古典概型与其他概率类型的区别11 古典概型的定义古典概型是一种概率模型，它具有以下两个特点：试验中所有可能出现的基本结果是有限的。
每个基本结果出现的可能性相等。
111 有限性意味着试验的结果是可以一一列举出来的，不是无穷无尽的。
112 等可能性表明每个基本结果发生的概率相同，不存在某些结果更容易发生的情况。
12 古典概型的特点确定性：试验的条件和结果都是明确的。
互斥性：不同的基本事件之间是相互排斥的，不会同时发生。
121 可重复性相同的条件下，重复进行试验，结果具有稳定性。
122 规范性符合概率的基本定义和性质，能够通过计算得出准确的概率值。
13 古典概型的概率计算公式假设试验的基本事件总数为 n，事件 A 包含的基本事件数为 m，则事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
131 计算步骤确定基本事件的总数 n 。
确定事件 A 包含的基本事件数 m 。
代入公式计算 P(A) 。
132 注意事项计算要准确，避免遗漏或重复计算基本事件。
确保对基本事件的界定清晰无误。
14 基本事件的概念基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以由基本事件组合而成。
141 基本事件的性质独立性：每个基本事件的发生与否互不影响。
完整性：所有基本事件的集合构成了试验的全部可能结果。
15 基本事件的特点最小性：不能再分解为更小的随机事件。
明确性：能够清晰地定义和区分。
151 基本事件的表示通常用简单的符号或数字来表示。
152 基本事件的数量确定根据试验的具体情况，通过分析得出。
16 古典概型的常见例题掷骰子问题：计算掷出特定点数的概率。
抽奖问题：在有限数量的抽奖券中计算中奖的概率。
摸球问题：从装有不同颜色球的容器中摸出特定颜色球的概率。
161 例题分析详细阐述如何确定基本事件和所求事件包含的基本事件数。
高考数学冲刺古典概型考点全面解析
高考数学冲刺古典概型考点全面解析高考对于每一位学子来说，都是人生中的一次重要挑战。
而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。
在数学的众多考点中，古典概型是一个不容忽视的重要部分。
在高考冲刺阶段，对古典概型进行全面且深入的复习，对于提高数学成绩具有重要意义。
一、古典概型的基本概念古典概型是一种概率模型，具有两个重要特征：有限性和等可能性。
有限性指的是试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；等可能性则表示每个基本事件出现的可能性相等。
例如，掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数就是一个古典概型问题。
因为骰子的点数只有 1、2、3、4、5、6 这六种可能，且每种点数出现的可能性相同。
二、古典概型的概率计算公式在古典概型中，事件 A 的概率可以通过以下公式计算：P(A) ＝事件 A 包含的基本事件个数／试验中所有可能的基本事件个数例如，从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出一个球，求取出红球的概率。
这里试验中所有可能的基本事件个数为 5（3 个红球和2 个白球），取出红球的基本事件个数为 3，所以取出红球的概率为3/5。
三、古典概型的常见题型1、摸球问题这是古典概型中常见的一类问题。
例如，一个袋子里装有 5 个红球和 3 个白球，从中随机摸出 2 个球，求摸出一红一白的概率。
解决这类问题时，首先要确定总的基本事件个数，即从 8 个球中选2 个的组合数。
然后计算摸出一红一白的基本事件个数，可以分两步考虑，先选一个红球，再选一个白球，两者相乘即为摸出一红一白的基本事件个数。
2、掷骰子问题掷骰子问题常常会与其他条件相结合。
比如，同时掷两枚质地均匀的骰子，求点数之和大于 8 的概率。
对于这种问题，需要列出所有可能的基本事件，然后找出点数之和大于 8 的基本事件个数，最后计算概率。
3、抽样问题抽样问题可以分为有放回抽样和无放回抽样。
例如，从 10 件产品中抽取 3 件，有放回抽样和无放回抽样时，抽到特定产品的概率是不同的。
古典概型题型归纳
题型一 古典概型1袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ）452从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 （A ）110 （B ）310 （C ）35 （D ）9103盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个.若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______.4从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 5从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为22的概率是___________。
6三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）7现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3 为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．题型二 几何概型1如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于（ ）（A ）．14 （B ）. 13 （C ）. 12 （D ）. 232如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。
在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A. B. . C. D.3设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π- 4小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不．在家看书的概率为 .5已知圆C ：，y x 1222=+直线l ：4x+3y=25.（1）圆C 的圆心到直线l 的距离为_____；（2）圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为____题型三 大题题型1某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下： X 1 2 34 5 fa 0.2 0.45b c(I)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a,b,c 的值； (II)在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1,x 2,x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1,y 2，现从x 1,x 2,x 3,y 1,y 2,这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.2袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.3甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.（I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.4某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格.假设此人对A 和B两种饮料没有鉴别能力.（1）求此人被评为优秀的概率；（2）求此人被评为良好及以上的概率.5以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.（Ⅰ）如果X =8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（Ⅱ）如果X =9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率. （注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，其中x 为12,,,n x x x 的平均数）6如图，从A 1（1,0,0），A 2（2,0,0），B 1（0,1,0,）B 2（0,2,0），C 1（0,0,1），C 2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点。
古典概型(原卷版)
10.1.3 古典概型1 概率对随机大事发生可能性大小的度量〔数值〕称为大事的概率，大事A的概率用P(A)表示.【例】掷一个硬币，大事A为硬币消失的是正面，那么P(A)=12.2 古典概型的特点①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.满意以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率概型，简称古典概型.【例1】“在1,2,3,4,5中取2个数，其差为1概率〞属于古典概型，由于试验的结果有限，每种结果发生的可能性相等；【例2】“在区间[1,5]中取2个数，其差为1概率〞不属于古典概型，由于试验的结果有无限种可能；【例3】“贵哥投篮中与否〞不属于古典概型，由于中与不中的可能性相等.3 古典概型大事A的概率(1) 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，大事A包含其中的k个样本点，那么定义大事A的概率P(A)=n(A) n(Ω)其中n(A)和n(Ω)分别表示大事A和样本空间Ω包含的样本点个数.【例】掷一个骰子，大事A=“点数为奇数〞，那么n(Ω)=6，n(A)=3，P(A)=n(A)n(Ω)=36=12.(2) 求解古典概型问题的一般思路①明确试验的条件及要观看的结果，用适当的符号〔字母、数字、数组等〕表示试验的可能结果〔借助图表可以关心我们不重不漏地列出全部的可能结果〕；②依据实际问题情境推断样本点的等可能性；③计算样本点总个数及大事A包含的样本点个数，求出大事A的概率.【题型1】古典概型的概念【典题1】以下概率模型中，古典概型的个数为()①从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率；②从1，2，…，9，10中任取一个整数，求取到1的概率；③向正方形ABCD内任意投一点P，求点P刚好与点A重合的概率；④抛掷一枚质地不匀称的骰子，求向上点数为3的概率．A．1B．2C．3D．4【稳固练习】1.以下是古典概型的个数有()①1≤x≤9且x∈Z，从x中任取一个数，那么满意2<x≤5的概率；②同时掷两颗骰子，点数和为11的概率；③近一周中有一天降雨的概率；④10个人站成一排，其中甲在乙右边的概率．A．1B．2C．3D．42.以下试验中，为古典概型的是()A．种下一粒种子，他是否发芽B．从规格质量为59千克的产品中任意抽取一袋，其是否合格C．抛掷一枚硬币，观看其消失正面还是反面D．某人射击中靶或不中靶【题型2】求古典概型概率【典题1】如图是一个古典概型的样本空间Ω和大事A和B，其中n(Ω)=24，n(A)=12，n(B)=8，n(A∪B)=16，以下运算结果，正确的有()A．n(AB)=4B．P(AB)=16C．P(A⋃B)=23D．P(A B̅)=12【典题2】假设连掷两次骰子，分别得到的点数是m、n，将m、n作为点P的坐标，那么点P落在区域|x−2|+|y−2|⩽2内的概率是.【典题3】将一颗骰子先后抛掷2次，观看向上的点数，大事A：“两数之和为8〞，大事B：“两数之和是3的倍数〞，大事C：“两个数均为偶数〞．(1)写出该试验的根本领件空间Ω，并求大事A发生的概率；(2)求大事B发生的概率；(3)大事A与大事C至少有一个发生的概率．【稳固练习】1.从4名选手甲、乙、丙、丁中选取2人组队参与数学竞赛，其中甲被选中的概率是()A ．13B ．12C ．23D ．352.先后抛掷两枚骰子，设消失的点数之和是8，7，6的概率依次为P 1，P 2，P 3，那么( )A ．P 1=P 2<P 3B ．P 3<P 2<P 1C ．P 3=P 1<P 2D ．P 3=P 1>P 23.从集合A ={−1，12，2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ={12，32，2}中随机选取一个数记为a ，那么a k >1的概率为( ) A ．13B ．23C ．79D ．594.抛掷两颗质地匀称的正方体骰子，登记骰子朝上面的点数．设A =“两个点数之和等于8〞，B =“至少有一颗骰子的点数为5〞，那么大事A ∪B 的概率是( ) A ．118B ．29C ．718D ．495.数学与文学有很多奇异的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫〞，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，那么三位数的回文数中为偶数的概率是( ) A ．19B ．29C ．13D ．496.一个口袋内装有大小相同的6个小球，其中2个红球记为A 1,A 2，4个黑球记为B 1,B 2,B 3，B 4，从中一次摸出2个球．(1)写出这个试验的样本空间及样本点总数； (2)求摸出的2个球颜色不同的概率．7.调查某校高三班级500名同学的肥胖状况，得到下表：从这批同学中随机抽取1名同学，抽到偏瘦女生的概率为0.1．(1)求x的值；(2)假设用分层抽样的方法，从这批同学中随机抽取50名，问应在偏胖同学中抽多少名？(3)y≥46，z≥46，求偏胖同学中男生人数大于女生人数的概率．8.从0，1，2，3这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成数对(x，y)，x为第一次取到的数字，y为其次次取到的数字．设大事A=“第一次取出的数字是1〞，B=“其次次取出的数字是2〞．(1)写出此试验的样本空间及P(A)，P(B)的值；(2)推断A与B是否为互斥大事，并求P(A∪B)；(3)写出一个大事C，使A⊆C成立．【A组根底题】1.以下古典概型的说法中正确的个数是()①试验中全部可能消失的根本领件只有有限个；②每个大事消失的可能性相等；③根本领件的总数为n，随机大事A包含k个根本领件，那么P(A)=kn；④每个根本领件消失的可能性相等．A．1B．2C．3D．42.以下试验是古典概型的是()A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球}B．在区间[−1，5]上任取一个实数x，使x2−3x+2>0C．抛一枚质地匀称的硬币，观看其消失正面或反面D．某人射击中靶或不中靶3.掷一枚匀称的硬币两次，大事M={一次正面对上，一次反面对上}；大事N={至少一次正面对上}．以下结果正确的选项是()A．P(M)=13,P(N)=12B．P(M)=12,P(N)=34C．P(M)=13,P(N)=34D．P(M)=12,P(N)=124. 任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为( )A.0.125B.0.25C.0.5D.0.8755.(多项选择)甲罐中有2个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，乙罐中有4个大小、质地完全一样的小球，标号为1，2，3，4，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记样本空间为Ω，大事A为“抽取的两个小球标号之和大于4〞，大事B为“抽取的两个小球标号之积小于5〞，那么以下结论正确的选项是() A．A与B是互斥大事B．A与B不是对立大事C．Ω=A∪B D．P(A)+P(B)=986.将一枚质地匀称的骰子先后抛掷两次，假设第一次朝上一面的点数为a，其次次朝上一面的点数为b，那么函数y=ax2−2bx+1在(−∞，2]上为减函数的概率是．7.经过某十字路口的汽车，它可能连续直行，也可能向左转或向右转，假如这三种可能性大小相同，那么三辆汽车经过这个十字路口，至少有两辆车向左转的概率为．8.有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用(x，y)表示试验的样本点，其中x表示第一次取出的根本结果，y表示其次次取出的根本结果．(1)写出这个试验的样本空间Ω；(2)用A表示大事“第一次取出的球的数字是1〞；用B表示大事“两次取出的球的数字之和是4〞，求证：P(AB)=P(A)P(B)．9.将一枚骰子先后抛掷2次，观看向上的点数，求：(1)两数之和为6的概率；(2)两数之和是3的倍数的概率；(3)两数之积是6的倍数的概率；(4)以第一次向上的点数为横坐标x、其次次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2+y2=25的内部的概率．10.将一颗骰子先后抛掷2次，观看向上的点数，大事A：“两数之和为8〞，大事B：“两数之和是3的倍数〞，大事C：“两个数均为偶数〞．(1)写出该试验的根本领件空间Ω，并求大事A发生的概率；(2)求大事B发生的概率；(3)大事A与大事C至少有一个发生的概率．【B组提高题】1.一个正方体，它的外表涂满了红色．在它的每个面上切两刀可得27个小立方块，从中任取两个，其中恰有1个一面涂有红色，1个两面涂有红色的概率为()A．16117B．32117C．839D．1639。
高考数学热点问题专题练习——古典概型知识归纳及例题讲解
古典概型一、基础知识：1、基本事件：一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果称为一个基本事件。
例如：在扔骰子的试验中，向上的点数1点，2点，……，6点分别构成一个基本事件2、基本事件空间：一次试验，将所有基本事件组成一个集合，称这个集合为该试验的基本事件空间，用Ω表示。
3、基本事件特点：设一次试验中的基本事件为12,,,n A A A（1）基本事件两两互斥（2）此项试验所产生的事件必由基本事件构成，例如在扔骰子的试验中，设i A 为“出现i 点”，事件A 为“点数大于3”，则事件456A A A A =（3）所有基本事件的并事件为必然事件 由加法公式可得：()()()()()1212n n P P A A A P A P A P A Ω==+++因为()1P Ω=，所以()()()121n P A P A P A +++=4、等可能事件：如果一项试验由n 个基本事件组成，而且每个基本事件出现的可能性都是相等的，那么每一个基本事件互为等可能事件。
5、等可能事件的概率：如果一项试验由n 个基本事件组成，且基本事件为等可证明：设基本事件为12,,,n A A A ，可知()()()12n P A P A P A ===()()()121n P A P A P A +++= 6、古典概型的适用条件：（1）试验的所有可能出现的基本事件只有有限多个 （2）每个基本事件出现的可能性相等当满足这两个条件时，事件A 发生的概率就可以用事件A 所包含的基本事件个7、运用古典概型解题的步骤：① 确定基本事件，一般要选择试验中不可再分的结果作为基本事件，一般来说，试验中的具体结果可作为基本事件，例如扔骰子，就以每个具体点数作为基本事件；在排队时就以每种排队情况作为基本事件等，以保证基本事件为等可能事件 ② ()(),n A n Ω可通过计数原理（排列，组合）进行计算③ 要保证A 中所含的基本事件，均在Ω之中，即A 事件应在Ω所包含的基本事件中选择符合条件的 二、典型例题：例1：从16-这6个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另外两个数的和的概率为________思路：事件Ω为“6个自然数中取三个”，所以()3620n C Ω==，事件A 为“一个数是另外两个数的和”，不妨设a b c =+，则可根据a 的取值进行分类讨论，列举出可能的情况：{}{}{}{}{}{}3,2,1,4,3,1,5,4,1,5,3,2,6,5,1,6,4,2，所以()6n A =。
例析古典概型中的几种经典问题
ʏ查 霖在日常工作和现实生活中,有大量的随机事件的概率并不一定要通过大量的试验来得到,只要掌握了一些基本情况,就可以知道它们相应的概率,这就是最常见的古典概型㊂古典概型中主要有几种经典的实例:骰子(硬币)问题㊁摸球问题㊁抽数问题㊁格子问题等㊂下面就此举例分析,供大家学习与参考㊂一㊁骰子(或硬币)问题抛掷骰子问题和抛掷硬币问题一样,是古典概型中一种重要的模型㊂它的实质就是抛掷骰子(或硬币)n 次,那么对应的基本事件总数为6n (或2n),根据相应事件所对应的基本事件的个数,结合古典概型的计算公式求得对应的概率㊂例1 将一颗质地均匀的骰子(一种六个面分别标有1,2,3,4,5,6的正方体玩具),先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率为㊂思路导引:根据抛掷骰子的总数确定古典概型中的基本事件总数,再结合抛掷2次出现向上的点数之和为4的事件的个数,进而利用古典概型的概率公式求解㊂基本事件的总数为6ˑ6=36,点数之和为4的可能结果为(1,3),(2,2),(3,1),共3种情况,所以所求概率P =336=112㊂答案为112㊂解法反思:抛掷骰子或抛掷硬币问题,关键是确定相关事件的个数㊂容易出错的地方是计算遗漏,如本题中的(1,3)和(3,1)是两种不同的结果,不能认为是一种结果㊂二㊁摸球问题摸球问题等同于抽签问题,关键是确定每次所摸的符合题目要求的球的可能结果㊂要注意所摸球的先后顺序和球的颜色与题目条件之间的关系,否则容易出错㊂例2 袋中有4个白球,3个黑球,从中连续任意取出2个球,且每次取出的球不再放回,求第2次取出的球是白球的概率㊂思路导引:本题的基本事件总数是从7个球中有次序地取出2个球的不同取法,即7ˑ6种取法㊂第2次取出的球是白球的可能结果是:若第一次取的是白球,那么第2次是从3个白球中再取出一球,若第一次取的是黑球,那么第2次是从4个白球中再取出一球㊂由题意可得,所求概率P ( 第2次取出的球是白球 )=4ˑ37ˑ6+3ˑ47ˑ6=47㊂解法反思:本题实质上也是抽签问题,按上述规则抽签,每人抽中白球的机会相等,且与抽签次序无关㊂在涉及与抽签及其相关事件时,都可以采用摸球问题的数学模型所对应的古典概型问题来分析与处理㊂三㊁抽数问题抽数问题可以根据条件加以分析,也可以结合排列与组合加以综合分析㊂解答这类问题,关键是确定所有的数的总个数,以及所满足条件的数的个数㊂如果利用排列与组合分析时,一定要注意两者分析时的一致性㊂例3 从1,2, ,9这9个数字中,随机抽取3个不同的数,则这3个数的和为偶数的概率是( )A.59 B .49C .1121D .1021思路导引:本题基本事件的总数是从9个数中有次序地取出3个数的不同取法,即基本事件总数是9ˑ8ˑ7=504㊂分析3个数的和为偶数的不同情况,确定所包含的基本事件个数,从而得到所求概率㊂基本事件的总数是9ˑ8ˑ7=504㊂这3个数的和为偶数33经典题突破方法高一数学 2023年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.的可能结果有四种情况:偶奇奇,共有4ˑ5ˑ4=80(种);奇偶奇,共有5ˑ4ˑ4=80(种);奇奇偶,共有5ˑ4ˑ4=80(种);偶偶偶,共有4ˑ3ˑ2=24(种)㊂所以所求概率P =80+80+80+24504=1121㊂应选C ㊂解法反思:本题实质上就是数的一种排列问题,抽出来的2个数所组成的两位数有次序关系,通过计算基本事件的总数以及所求事件的个数,从而得到所求的概率㊂四㊁格子问题格子问题也是一种常见的古典概型问题㊂解答这类问题,关键是确定对应的格子与相应的元素之间的填充关系,有时可以结合树状图㊁列举法加以分析与处理㊂例4 把3个不同的球投入3个不同的盒子内(每盒球数可以不限),计算:(1)无空盒的概率㊂(2)恰有一个空盒的概率㊂思路导引:本题的基本事件总数是把3个不同的球投入3个不同的盒子内的不同放法,题设条件是每盒的球数可以不限,即最多可以投入3个,最少可以投入0个,然后按要求计算出所求事件的个数,从而得到所求概率㊂基本事件的总数是把3个不同的球投入3个不同的盒子内的不同放法,第一个球的放法有3种可能,第二个球的放法也有3种可能,第三个球的放法还是有3种可能,则基本事件总数是3ˑ3ˑ3=27㊂设事件A = 无空盒 ,事件B = 恰有一个空盒 ,3个不同的球分别记为a ,b ,c ㊂(1)事件A 包含的可能结果为a b c ,a c b ,b ac ,b c a ,c a b ,c b a ,共有6种情况,所以P (A )=627=29㊂(2)第一个盒子是空盒的可能结果为( )(a )(b c ),( )(b )(a c ),( )(c )(a b ),( )(b c )(a ),( )(a c )(b ),( )(a b )(c ),共有6种情况,其他两个盒子是空盒的情况与第一个盒子一样,所以事件B 包含的基本事件个数是6ˑ3=18,所以P (B )=1827=23㊂解法反思:本题通过分析3个不同的球与3个不同的盒子之间的关系,计算出基本事件的总数,再根据题设条件,正确分析并列举出所求事件的个数,最后结合古典概型的概率公式求得结果㊂编者的话:在解答古典概型问题时,有时会直接涉及骰子(硬币)问题㊁摸球问题㊁抽数问题㊁格子问题等,有时会涉及与之相关的问题,解题的关键是合理构建对应的古典概率模型,借助古典概型的概率公式来分析与处理,从而实现问题的解决㊂1.连掷两次骰子分别得到点数m ,n ,则向量a =(m ,n )与向量b =(-1,1)的夹角θ>90ʎ的概率是( )㊂A.512 B .712 C .13 D .12提示:连掷两次骰子得到的点数(m ,n )的所有基本事件为(1,1),(1,2), ,(6,6),共36个㊂因为(m ,n )㊃(-1,1)=-m +n <0,所以m >n ,可知符合要求的事件为(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1), ,(5,4),(6,1), ,(6,5),共15个㊂故所求概率P =1536=512㊂应选A ㊂2.已知集合A ={2,3,4,5,6,7},B ={2,3,6,9},在集合A ɣB 中任取一个元素,则它是集合A ɘB 中的元素的概率为( )㊂A.23 B .35 C .37 D .25提示:依题意得A ɣB ={2,3,4,5,6,7,9},即这个试验的样本空间Ω中有7个元素㊂由A ɘB ={2,3,6},可知这个试验包含3个样本点㊂由古典概型的概率公式得所求概率为37㊂应选C ㊂作者单位:江苏省高邮市临泽中学(责任编辑 郭正华)43 经典题突破方法 高一数学 2023年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
古典概型知识点总结
古典概型知识点总结在概率论中，古典概型是一个基础且重要的概念。
它为我们理解和解决许多概率问题提供了简单而直观的方法。
接下来，让我们一起深入探讨古典概型的相关知识点。
一、古典概型的定义古典概型是指试验中所有可能出现的基本事件是有限的，并且每个基本事件出现的可能性相等的概率模型。
例如，掷一枚均匀的硬币，出现正面和反面就是两个基本事件，且它们出现的可能性相等，这就是一个古典概型的例子。
二、古典概型的概率计算公式如果一个古典概型中，一共有 n 个基本事件，事件 A 包含的基本事件数为 m，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
这个公式是古典概型计算概率的核心，通过确定基本事件总数和事件 A 包含的基本事件数，就可以计算出事件 A 的概率。
三、古典概型的特点1、有限性：试验中所有可能出现的基本事件是有限的。
2、等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。
这两个特点是判断一个概率模型是否为古典概型的关键。
四、计算古典概型概率的步骤1、确定试验的基本事件总数 n 。
2、确定所求事件 A 包含的基本事件数 m 。
3、代入公式 P(A) ＝ m ／ n 计算概率。
例如，一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
基本事件总数 n ＝ 8 （5 个红球＋ 3 个白球），事件“取出红球”包含的基本事件数 m ＝ 5 ，所以取出红球的概率 P ＝5 ／ 8 。
五、古典概型的常见题型1、摸球问题比如，一个袋子里有若干个不同颜色的球，从中摸出特定颜色球的概率。
2、掷骰子问题计算掷出特定点数或特定点数组合的概率。
3、抽奖问题在抽奖活动中，计算中奖的概率。
4、排列组合问题与古典概型的结合通过排列组合的方法确定基本事件总数和事件包含的基本事件数。
六、古典概型的应用1、决策分析在面临不确定性的决策时，可以通过计算不同结果的概率来辅助决策。
2、风险评估评估某些事件发生的可能性和风险程度。
古典概型的经典例题
试验结果具有有限性和等可能性
4种
3向上的点数之和是5的概率是多少
P（A）＝ 4 ＝1 36 9
解：1掷一个骰子的结果有6种,我们把两个骰子标上记号
1,2以便区分,它总共出现的情况如下表所示：
2号骰子 1号骰子
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
（1，1） （1，2） （1，3） （（1，1，4）4）（1，5） （1，6） （2，1） （2，2） （（22，，33）） （2，4） （2，5） （2，6） （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） （（4，4，1）1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
12 13
3 13
2 13
1
2、小明、小刚、小亮三人正在做游戏,现在要从他们三
人中选出一人去帮助王奶奶干活,则小明被选中的概率
为_____1_,小明没被选中的概率为_____.2 3、抛掷3一1枚均匀的骰子,它落地时,朝上的3 点数为16的概
率为______.朝上的点数为奇数的概率为_______ .朝上
新抛掷,直到结束.
对于方案3：同学们能帮忙制定一个公平的规则吗？
例3 、从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产品 中,每次任取一件,取两次；
问：每次取出后不放回,取出的两件产品中 恰有一件次品的概率为多少
Ω={a,b,b,a,a,c,c,a,b,c,c,b}
变式：
P（A）＝4＝2 63
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
高中数学必修三古典概型的几种解题技巧1、排列组合问题古典概型中的排列组合问题是指从 n 个不同元素中取 r 个元素，考虑元素之间的排列或不考虑排列，求其组合数或排列数。
1.1 组合数设有 n 个不同元素，则从中取出 r 个元素的组合数为 C(n,r)。
其计算公式为：C(n,r)=n!/(r!×(n-r)!)例如，从 5 个不同字母中取出 3 个，不考虑排列方式，其组合数为：C(5,3)=5!/(3!×2!)=101.2 排列数2、二项式定理二项式定理是代数中的重要定理，它可以将一个二项式的幂展开为多项式。
二项式定理可以推广到实数、复数或矩阵等范畴中，但本文中仅考虑其在古典概型中的应用。
2.1 二项式定理的基本形式(a+b)^n=C(n,0)×a^n+C(n,1)×a^(n-1)b+⋯+C(n,k)×a^(n-k)b^k+⋯+C(n,n)×b^n其中，a、b 是任意实数，n 是任意非负整数，C(n,k) 为组合数。
二项式定理可以用于求和式，其中最常见的是求幂和式，例如：1+2+3+⋯+n=?分析该式，可将其改写为：再利用二项式定理，展开为多项式：(1+1)^2-(1^2)=2^2-(2^2)+3^2-(3^2)+⋯+n^2-(n-1)^2整理后得到：当从 n 个元素中取出 r 个元素，并排列时，元素可重复，其排列数为 n^r。
4^3=644、贝努利试验和二项分布贝努利试验是实验条件非常简单的一类随机试验，其特点是只有两个可能的结果，例如正反面、违法合法等。
二项分布是指对 n 次独立的贝努利试验中，成功次数的统计分布。
4.1 贝努利试验在贝努利试验中，设试验只有两个可能的结果，其中一个记作成功，发生的概率为 p，另一个记作失败，发生的概率为 q=1-p。
则进行 n 次独立的贝努利试验，设成功的次数为 X，则 X 的可能取值为 0 到 n，其分布律为：P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)，k=0,1,2,⋯,n其中 P(X=k) 表示成功 k 次的概率，C(n,k) 表示从所有试验中取出 k 次成功的组合数。
归纳与技巧：古典概型(含解析)
归纳与技巧：古典概型基础知识归纳一、基本事件的特点1．任何两个基本事件是互斥的．2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 二、古典概型的两个特点1．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． 2．每个基本事件出现的可能性相等，即等可能性．[提示] 确定一个试验为古典概型应抓住两个特征：有限性和等可能性． 三、古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.基础题必做1．(教材习题改编)从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为( ) A.12 B.13 C.23D ．1解析：选C 基本事件总数为(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共三种，甲被选中共2种．则P ＝23.2．(教材习题改编)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是( )A.35B.25C.13D.23解析：选D 从六个数中任取2个数有15种方法，取出的两个数是连续自然数有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率P ＝1－515＝23. 3．甲、乙两同学每人有两本书，把四本书混放在一起，每人随机拿回两本，则甲同学拿到一本自己书一本乙同学书的概率是( )33C.12D.14解析：选B 记甲同学的两本书为A ，B ，乙同学的两本书为C ，D ，则甲同学取书的情况有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共6种，有一本自己的书，一本乙同学的书的取法有AC ，AD ，BC ，BD 共4种，所求概率P ＝23.4． 将甲、乙两球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有一个球的概率为________．解析：依题意得，甲、乙两球各有3种不同的放法，共9种放法，其中有1,2号盒子中各有一个球的放法有2种，故有1,2号盒子中各有一个球的概率为29.答案：295．(教材习题改编)从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是________．解析：P ＝3×210＝35.答案：35解题方法归纳1.古典概型的判断：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型．2．对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事件的概率问题去求．简单的古典概型典题导入[例1] 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.15B.2555[自主解答] 设袋中红球用a 表示，2个白球分别用b 1，b 2表示，3个黑球分别用c 1，c 2，c 3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 1，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)共15个．两球颜色为一白一黑的基本事件有(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)共6个．因此其概率为615＝25.(理)从6个球中任取两球有C 26＝15种取法，颜色一黑一白的取法有C 12C 13＝6种，故概率P ＝615＝25.[答案] B在本例条件下，求两球不同色的概率．解：两球不同色可分三类：一红一白，一红一黑，一白一黑． 故P ＝1×2＋1×3＋2×315＝1115.解题方法归纳计算古典概型事件的概率可分三步：(1)算出基本事件的总个数n ；(2)求出事件A 所包含的基本事件个数m ；(3)代入公式求出概率P .以题试法1．“≺数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如1 469)，在两位的“≺数”中任取一个数比36大的概率是( )A.12 B.23 C.34D.45解析：选A 在两位数中，十位是1的“≺数”有8个；十位是2的“≺数”有7个；……；十位是8的“≺数”有1个．则两位数中，“≺数”共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个，比36大的“≺数”共有3＋5＋4＋3＋2＋1＝18个．故在两位的“≺数”中任取一个数比36大的概率是1836＝12.复杂的古典概型典题导入[例2] 如图所示，从A 1(1,0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0，1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0,0，1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．(1)求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2)求这3点与原点O 共面的概率．[自主解答] 从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x 轴上取2个点的有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，共4种； y 轴上取2个点的有B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，共4种； z 轴上取2个点的有C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共4种．所选取的3个点在不同坐标轴上有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．(1)选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：A 1B 1C 1，A 2B 2C 2，共2种，因此，这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P 1＝220＝110.(2)法一：选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有：A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共12种，因此，这3个点与原点O 共面的概率为P 2＝1220＝35.法二：选取的这3个点与原点不共面的所有可能的结果有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种，因此这3个点与原点O 共面的概率为P 2＝1－820＝35.从这6个点中任取3个点可分三类：在x 轴上取2个点、1个点、0个点，共有C 22C 14＋C 12C 24＋C 34＝20种取法．(1)选取的3个点与原点O 恰好是正三棱锥项点的取法有2种，概率P 1＝220＝110.(2)法一：选取的3个点与原点O 共面的取法有C 22·C 14·3＝12种，所求概率P 2＝1220＝35. 法二：选取的3个点与原点不共面的取法有C 12·C 12·C 12＝8种，因此这3个点与原点O 共面的概率P 2＝1－820＝35.解题方法归纳求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型．必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．以题试法2．一个小朋友任意敲击电脑键盘上的0到9十个键，则他敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( )A.425 B .215 C.25D.29解析：选A 任意敲击两次有10×10＝100种方法，两次都是3的倍数有4×4＝16种方法，故所求概率为P ＝16100＝425.1． 一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )A.12B.13C.14D.25解析：选A 把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同色的事件有8个：红1，红1，红1、红2，红2、红1，红2、红2，白1、白1，白1、白2，白2、白1，白2、白2，故所求概率为P ＝816＝12.2． 在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，从中任取一根，取到长度超过30 mm 的纤维的概率是( )A.34B.310C.25D ．以上都不对解析：选B 在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为310.3． 一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这一颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为( )A.112 B.118 C.136D.7108解析：选A 基本事件总数为6×6×6，事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本事件有(1,1,1)，(1,2,3)，(3,2,1)，(2,2,2)，(1,3,5)，(5,3,1)，(2,3,4)，(4,3,2)，(3,3,3)，(2,4,6)，(6,4,2)，(3,4,5)，(5,4,3)，(4,4,4)，(4,5,6)，(6,5,4)，(5,5,5)，(6,6,6)共18个，所求事件的概率P ＝186×6×6＝112.4．已知某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件，n 件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．则第一天通过检查的概率为( )A.25B.35C.23D.67解析：选B 因为随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有1件次品，所以第一天通过检查的概率P ＝C 49C 410＝35.5． 设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )A.12B.58C.1116D.34解析：选C 因为f (x )＝x 3＋ax －b ，所以f ′(x )＝3x 2＋a .因为a ∈{1,2,3,4}，因此f ′(x )＞0，所以函数f (x )在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≥0，解得a ＋1≤b ≤8＋2a .因此可使函数在区间[1,2]上有零点的有a ＝1，2≤b ≤10，故b ＝2，b ＝4，b ＝8；a ＝2,3≤b ≤12，故b ＝4，b ＝8，b ＝12；a ＝3,4≤b ≤14，故b ＝4，b ＝8，b ＝12；a ＝4,5≤b ≤16，故b ＝8，b ＝12.根据古典概型可得有零点的概率为1116.6．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A.115 B.35 C.815D.1415解析：选B 从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P ＝915＝35. 7． 从分别写有0,1,2,3,4的五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是________．解析：从0,1,2,3,4五张卡片中取出两张卡片的结果有25种，数字之和恰好等于4的结果有(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，所以数字和恰好等于4的概率是P ＝15.答案：158． 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．解析：基本事件是对这6门课排列，故基本事件的个数为A 66.“课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课”就是“任何两节文化课不能相邻”，利用“插空法”，可得其排列方法种数为A 33A 34.根据古典概型的概率计算公式可得事件“课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课”发生的概率为A 33A 34A 66＝15.答案：159． 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．解析：由题意得a n ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P ＝610＝35.答案：3510．暑假期间，甲、乙两个学生准备以问卷的方式对某城市市民的出行方式进行调查．如图是这个城市的地铁二号线路图(部分)，甲、乙分别从太平街站(用A 表示)、南市场站(用B 表示)、青年大街站(用C 表示)这三站中，随机选取一站作为调查的站点．(1)求甲选取问卷调查的站点是太平街站的概率；(2)求乙选取问卷调查的站点与甲选取问卷调查的站点相邻的概率．解：(1)由题知，所有的基本事件有3个，甲选取问卷调查的站点是太平街站的基本事件有1个，所以所求事件的概率P ＝13.(2)由题知，甲、乙两人选取问卷调查的所有情况见下表：由表格可知，共有9种可能结果，其中甲、乙在相邻的两站进行问卷调查的结果有4种，分别为(A ，B )，(B ，A )，(B ，C )，(C ，B )．因此乙选取问卷调查的站点与甲选取问卷调查的站点相邻的概率为49.11． 将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a ，正四面体的三个侧面上的数字之和为b ”．设复数为z ＝a ＋b i.(1)若集合A ＝{z |z 为纯虚数}，用列举法表示集合A ；(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a ，b )满足a 2＋(b －6)2≤9”的概率． 解：(1)A ＝{6i,7i,8i,9i}．(2)满足条件的基本事件的个数为24.设满足“复数在复平面内对应的点(a ，b )满足a 2＋(b －6)2≤9”的事件为B . 当a ＝0时，b ＝6,7,8,9满足a 2＋(b －6)2≤9； 当a ＝1时，b ＝6,7,8满足a 2＋(b －6)2≤9； 当a ＝2时，b ＝6,7,8满足a 2＋(b －6)2≤9； 当a ＝3时，b ＝6满足a 2＋(b －6)2≤9.即B 为(0,6)，(0,7)，(0,8)，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,6)共计11个．所以所求概率P ＝1124.12． 已知A 、B 、C 三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着号码1，另一个球标着号码2.现从A 、B 、C 三个箱子中各摸出1个球．(1)若用数组(x ，y ，z )中的x ，y ，z 分别表示从A 、B 、C 三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组(x ，y ，z )的所有情形，并回答一共有多少种；(2)如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．解：(1)数组(x ，y ，z )的所有情形为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)，共8种．(2)记“所摸出的三个球号码之和为i ”为事件A i (i ＝3,4,5,6)，易知，事件A 3包含有1个基本事件，事件A 4包含有3个基本事件，事件A 5包含有3个基本事件，事件A 6包含有1个基本事件，所以，P (A 3)＝18，P (A 4)＝38，P (A 5)＝38，P (A 6)＝18.故所摸出的两球号码之和为4或5的概率相等且最大．故猜4或5获奖的可能性最大．1． 从x 2m －y 2n ＝1(其中m ，n ∈{－1,2，3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为( )A.12B.47C.23D.34解析：选B 当方程x 2m －y 2n ＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m ＜0，n ＞0，所以方程x 2m －y 2n ＝1表示椭圆双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m ，n )有(2，－1)，(3，－1)，(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，(－1，－1)共7种，其中表示焦点在x 轴上的双曲线时，则m ＞0，n ＞0，有(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)共4种，所以所求概率P ＝47.2．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m 、n 则直线y ＝mn x 与圆(x －3)2＋y 2＝1相交的概率为________．解析：由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}，故(m ，n )所有可能的取法共36种．由直线与圆的位置关系得，d ＝|3m |m 2＋n 2＜1，即m n ＜24，共有13，14，15，16，26，5种，所以直线y ＝m n x 与圆(x －3)2＋y 2＝1相交的概率为536.答案：5363． 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率．解：(1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1.因此，从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}共3种．所以P (B )＝315＝15.1．已知A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0}，a ∈A ，b ∈A ，则A ∩B ＝B 的概率是( ) A.29 B.13 C.89D ．1解析：选C ∵A ∩B ＝B ，∴B 可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}，{1,3}．当B ＝∅时，a 2－4b ＜0，满足条件的a ，b 为a ＝1，b ＝1,2,3；a ＝2，b ＝2,3；a ＝3，b ＝3.当B ＝{1}时，满足条件的a ，b 为a ＝2，b ＝1.当B ＝{2}，{3}时，没有满足条件的a ，b .当B ＝{1,2}时，满足条件的a ，b 为a ＝3，b ＝2.当B ＝{2,3}，{1,3}时，没有满足条件的a ，b .∴A ∩B ＝B 的概率为83×3＝89.2．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a 、b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为________．解析：圆心(2,0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a |a 2＋b 2，当d ＜2时，直线与圆相交，则有d ＝|2a |a 2＋b 2＜2，得b ＞a ，满足题意的b ＞a ，共有15种情况，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为1536＝512. 答案：5123． 在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .依题意得S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8， 解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1. (2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个(1,1)，(2,2)．故所求的概率P ＝29.。
《古典概型》 知识清单
《古典概型》知识清单一、古典概型的定义古典概型是一种概率模型，具有以下两个特点：1、试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。
2、每个基本事件出现的可能性相等。
例如，抛一枚质地均匀的硬币，出现正面和反面就是一个古典概型的例子，因为抛硬币的结果只有正面和反面两种，且出现正面和反面的可能性相等。
二、古典概型的概率公式如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，即基本事件总数为 n，而事件 A 包含的基本事件数为 m，那么事件 A 发生的概率为：P(A) ＝ m ／ n例如，在一个装有 3 个红球和 2 个白球的盒子中，随机摸出一个球是红球的概率。
这里总共有 5 个球，即 n ＝ 5，红球有 3 个，即 m ＝ 3，所以摸出一个红球的概率 P(摸出红球) ＝ 3 ／ 5 。
三、古典概型的计算步骤1、确定试验的基本事件总数 n。
这需要明确试验的所有可能结果，并计算其数量。
2、确定事件 A 包含的基本事件数 m。
找出导致事件 A 发生的所有可能情况，并计算其数量。
3、代入概率公式计算 P(A) ＝ m ／ n 。
例如，掷一个骰子，求掷出奇数点的概率。
基本事件总数 n ＝ 6（骰子的点数 1、2、3、4、5、6），事件“掷出奇数点”包含的基本事件数 m ＝ 3（1、3、5），所以掷出奇数点的概率 P ＝ 3 ／ 6 ＝ 1 ／ 2 。
四、古典概型的常见题型1、摸球问题例如，一个袋子里装有 5 个红球和 3 个白球，从中随机摸出 2 个球，求摸出一红一白的概率。
首先计算基本事件总数，从 8 个球中摸出 2 个球的组合数为 C(8, 2) ＝ 28 。
然后计算事件“摸出一红一白”包含的基本事件数。
摸出一红一白的情况有 C(5, 1) × C(3, 1) ＝ 15 种。
所以摸出一红一白的概率为 15 ／ 28 。
2、掷骰子问题如前所述的掷骰子求奇数点的概率。
3、抽卡片问题从一副扑克牌（除去大小王）中随机抽取一张，求抽到红桃的概率。
13古典概型常见题型
古典概型常见题型1．抛掷两颗骰子，计算：（1）事件“点数之和小于7”的概率P1；（2）事件“点数之和等于或大于11”的概率P2；（3）在点数和里最容易出现的数是几？2．储蓄卡上的密码是一种四位数字号码，每位上的数字可在0到9这十个数字中选取。
（1）使用储蓄卡时，如果随意按下一个四位数字号码，正好按对这张储蓄卡的密码的概率只有多少？（2）某人未记准储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这张储蓄卡时如果前三位号码仍按本卡密码，而随意按下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？3．甲、乙两名蓝球运动员，投篮的命中率分别为0.7与0.8.（1）如果每人投篮一次，求甲、乙两人至少有一人进球的概率；（2）如果每人投篮三次，求甲投进2球且乙投进1球的概率.4．从数字1、2、3、4、5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，计算：（1）这个三位数是5的倍数的概率；（2）这个三位数是偶数的概率；（3）这个三位数大于400的概率。
5．一只口袋装有形状,大小都相同的6只小球,其中两只白球, 两只红球,两只黄球,从中一次随机摸出2只球,求:(1)2只球都是红球的概率(2) 2只球同色的概率(3)”恰有一只球是白球”的概率是”2只球都是白球”的概率的多少倍?6.判断下列各对事件是否是互斥事件，是否是对立事件，并说明理由。
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中（1）恰有1名男生和恰有2名男生；（2）至少有1名男生和至少有１名女生；（3）至少有1名男生和全是男生；（4）至少有1名男生和全是女生。
7.袋中有红球、黑球、黄球、绿球若干，从中任取一球得到红球的概率为31，得到黑球或黄球的概率为125，得到黄球或绿球的概率为125，则得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别为多少。
8．甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6．本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响，求：(1)前三局比赛甲队领先的概率；(2)本场比赛乙队以3:2取胜的概率．(精确到0.001)9．从1、2、3、4、5五个数字中，任意有放回地连续抽取三个数字，求下列事件的概率：（1）三个数字完全不同；（2）三个数字中不含1和5。
古典概型
分别是A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{b，c}共3个．
(2)从袋中取两个球的等可能结果为： 球1和球2，球1和球3，球1和球4，球1和球5， 球2和球3，球2和球4，球2和球5，球3和球4， 球3和球5，球4和球5. 故共有10个基本事件．
跟踪练习
1．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中
新课讲解
1．基本事件(要正确区分事件和基本事件)
一个事件如果不能再被分解为两个或点
(1)任何两个基本事件是 互斥的 ； (2)任何事件都可以表示成基本事件的 和 ．
3．古典概型的概念
如果某类概率模型具有以下两个特点： (1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 ； (2)每个基本事件出现的 可能性相等 ． 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模 型，简称古典概型．
4．古典概型的概率公式
A包含的基本事件的个数 对于任何事件A，P(A)＝ . 基本事件的总数
例如：掷一骰子正面向上点数是3的倍数的概率
1 为：________. 3
其中基本事件有6个：
{1点向上}，{2点向上}，…，{6点向上} 有利基本事件有2个： {3点向上}， {6点向上} 所以
2 1 P 6 3
解析：从 1,2,3,4 这四个数字中，任取两个不同的数字， 可构成 12 个两位数： 12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43， 其中大于 30 的有：31,32,34,41,42,43 共 6 个，所以所得 6 1 两位数大于 30 的概率为 P＝12＝2.
答案：A
事件A包含的基本事件共有9个：
(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)， 1 (6,6)，所以 P(A)＝4. (2)记“点数之和大于 5 且小于 10”的事件为 B，从 图中可以看出， 事件 B 包含的基本事件共有 20 个(已 20 5 用虚线圈出)，所以 P(B)＝36＝9.
古典概型(人教A版2019必修第二册)
共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型.
事件发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点与样本空间包含的样本
点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量.因为 = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)，所以
3
8
事件发生的可能性大小为 .
新知探索
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的
(1 , 1 ), (1 , 2 ), (1 , 2 ), (2 , 1 ), (2 , 2 ), (2 , 1 )}
按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间
3 = {((1 , 1 ), (1 , 2 ), (2 , 1 ), (2 , 2 )}.
二枚骰子的结果是1点.这样，(1,2)和(2,1)的结果将无法区别.
当不给两枚骰子标记号时，试验的样本空间1 = {(, )|, ∈ {1,2,3,4,5,6},
且 ≤ },则(1 ) = 21.其中，事件 =“两个点数之和是5”的结果变为 =
{(1,4), (2,3)}，这时() =
10.1.3 古典概型
问题引入
研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可
能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件的概率用()表示.
我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计.但这种方法耗
时多，而且得到的仅是概率的近似值.能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机
2
20
=
1
.
10
例析
例10.从两名男生(记为1 和2 )、两名女生(记为1
2 )中任意抽取两人.
(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽
古典概型的概率计算例题和知识点总结
古典概型的概率计算例题和知识点总结在概率论中，古典概型是一个基础且重要的概念。
理解古典概型的概率计算方法对于解决许多概率问题至关重要。
下面我们将通过一些具体的例题来深入探讨古典概型的概率计算，并对相关知识点进行总结。
一、古典概型的定义和特点古典概型是指试验中所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等的概率模型。
其特点主要有以下几点：1、有限性：试验的可能结果只有有限个。
2、等可能性：每个可能结果出现的概率相等。
二、古典概型的概率计算公式如果一个试验有\（n\）个等可能的结果，事件\（A\）包含其中的\（m\）个结果，那么事件\（A\）发生的概率\（P(A) ＝＼frac{m}｛n}＼）三、例题解析例 1：一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
解：总共有\（5 ＋ 3 ＝ 8\）个球，取出红球的结果有 5 种，所以取出红球的概率\（P(取出红球) ＝＼frac{5}｛8}＼）例 2：从 1、2、3、4、5 这五个数字中任意抽取一个数字，求抽到奇数的概率。
解：总共有 5 个数字，其中奇数有 1、3、5 共 3 个，所以抽到奇数的概率\（P(抽到奇数) ＝＼frac{3}｛5}＼）例 3：同时掷两个骰子，求点数之和为 7 的概率。
解：掷两个骰子，总的结果数为\（6×6 ＝ 36\）种。
点数之和为 7 的情况有\（（1,6)＼）、＼（（2,5)＼）、＼（（3,4)＼）、＼（（4,3)＼）、＼（（5,2)＼）、＼（（6,1)＼），共 6 种。
所以点数之和为 7 的概率\（P(点数之和为 7) ＝＼frac{6}｛36} ＝＼frac{1}｛6}＼）例 4：有 10 件产品，其中 3 件次品，7 件正品。
从中不放回地抽取2 件，求两件都是正品的概率。
解：第一次抽取正品的概率为\（＼frac{7}｛10}＼），第二次在剩下的 9 件产品中抽取正品的概率为\（＼frac{6}｛9}＼）。
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题型一 古典概型
1袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于
（A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ）45
2从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 （A ）
110 （B ）310 （C ）35 （D ）910
3盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个.若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______.
4从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 5从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为
22的概率是___________。
6三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）
7现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3 为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．
题型二 几何概型
1如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一
个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于（ ）
（A ）．14 （B ）. 13 （C ）. 12 （D ）. 23
2如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。
在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A. B. . C. D.
3设不等式组⎩⎨
⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是
（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44
π- 4小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于
12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于
14
，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不．在家看书的概率为 .
5已知圆C ：，y x 1222=+直线l ：4x+3y=25.
（1）圆C 的圆心到直线l 的距离为_____；
（2）圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为____
题型三 大题题型
1某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下： X 1 2 3
4 5 f
a 0.2 0.45
b c
(I)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a,b,c 的值； (II)在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1,x 2,x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1,y 2，现从x 1,x 2,x 3,y 1,y 2,这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.
2袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
3甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.
（I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
（II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.
4某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格.假设此人对A 和B两种饮料没有鉴别能力.
（1）求此人被评为优秀的概率；（2）求此人被评为良好及以上的概率.
5以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.
（Ⅰ）如果X =8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
（Ⅱ）如果X =9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率. （注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n
=-+-++- ，其中x 为12,,,n x x x 的平均数）
6如图，从A 1（1,0,0），A 2（2,0,0），B 1（0,1,0,）B 2（0,2,0），C 1（0,0,1），C 2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点。
（1） 求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；
（2） 求这3点与原点O 共面的概率。
甲组 乙组
9 9 0 X 8 9
1 1 1 0。