简单的三角恒等变换学案
教学设计1：3.2 简单的三角恒等变换
必修四第3章 三角恒等变形3.2 简单的三角恒等变换教学目的：知识目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式能用所学知识解决有关综合问题情感目标：创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求.教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式教学难点：二倍角的正弦、余弦、正切公式教学过程：导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sin α=53,α∈(2π,π),求sin2α，cos2α的值.学生会很容易看出：()22sin sin sin cos cos sin sin cos ααααααααα=+=+=的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式.提出问题①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写) ②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？ ③在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos 2( )-sin 2( ). ⑦思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？⑧请思考以下问题：sin2α=2sin α吗？cos2α=2cos α吗？tan2α=2tan α？活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉.sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin βsin2α=2sin αcos α（S 2α）;cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin βcos2α=cos 2α-sin 2α(C 2α); tan(α+β)=)(tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan 22ααααβαβαT -=⇒-+ 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题③，点拨学生结合sin 2α+cos 2α=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式.这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.问题④,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.问题⑤,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠21kπ+4π和α≠kπ+2π(k ∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意.但是当α=kπ+2π,k ∈Z 时,虽然tan α不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式.问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,2a 是4a 的二倍,3α是23a 的二倍,3a 是6a 的二倍，2π-α是4π-2a 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.例如:sin 2a =2sin 4a cos 4a ,cos 3a =cos 26a -sin 26a 等等. 问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3αcos3α=21sin6α，4sin 4a cos 4a =2(2sin 4a cos 4a )=2sin 2a ,40tan 140tan 22-=tan80°，cos 22α-sin 22α=cos4α，tan2α=2tanα(1-tan 2α)等等. 问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.若sin2α=2sin α,则2sin αcos α=2sin α,即sin α=0或cos α=1,此时α=kπ(k ∈Z ).若cos2α=2cos α,则2cos 2α-2cos α-1=0,即cos α=231-(cos α=231+舍去). 若tan2α=2tan α,则aa 2tan 1tan 2-=2tan α,∴tan α=0,即α=kπ(k ∈Z ). 解答：①—⑧（略）二、例题讲解例1 已知2sin 3α=，(,)2παπ∈，3cos 5β=-，3(,)2πβπ∈．求sin()αβ+的值．解 由2sin 3α=，(,)2παπ∈，得cosα又由3cos 5β=-，3(,)2πβπ∈，得sinβ＝－45，∴sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+＝234()()355-+-=． 点拨 本例主要介绍正弦和角公式的“正用”．让学生从条件、求解结果等方面展开讨论，自己改编习题，并予以解答.预设三：条件不变，求sin()αβ-的值．预设四：改变角的范围，仍然求sin()αβ+的值.期望学生出现改编后，角度范围与三角函数值不配套，对于预设四要请学生对改变条件的合理性进行探讨，如学生改变了角的取值范围，可能会出现矛盾等．教师再予以点拨.期望学生出现改编后，角度范围与三角函数值不配套，如已知2sin 3α=-，(,)2παπ∈，3cos 5β=-，3(,)2πβπ∈．求sin()αβ+的值． 预设五：把角度限制去掉，即已知2sin 3α=-，3cos 5β=-，求sin()αβ+的值．让学生讨论解的情况，通过以上讨论使学生能从正面熟练应用公式．例2 化简（1）sin14°cos16°＋sin16°cos14°＝ 12； （2）sin()cos cos()sin αββαββ-+-＝ sinα ；（3）cos （70°＋α）sin （170°－α）－sin （70°＋α）cos （10°＋α）＝2． 点拨 本例目的在于让学生能熟悉两角和与差的正弦公式的逆用． 预设六：怎样求 3 sin15°＋cos15°的值？引导学生利用特殊角的三角函数构造两角和的三角函数公式，为后面学习辅助角公式打下伏笔．例3 已知,,.()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈，4cos 5β=，α，β均为锐角，求sinα．帮助学生分析条件，寻找解题的突破口.即让学生发现α＝（α＋β）－β，这样问题就可以得到解决.解 ∵α，β均为锐角，则0°<α＋β<180°，∴sinβ>0，sin （α+β）>0， 由5cos()13αβ+=得12sin()13αβ+=，由4cos 5β=得3sin 5β=． ∴sin[()]sin()cos cos()sin αββαββαββ+-=+-+124533313513565=⨯-⨯=． 点拨 本例主要介绍利用“变角”，创造应用和角公式的条件，使问题获得解决．常见变角有β＝（α＋β）－α，2α＋β＝（α＋β）＋α，2α＝（α＋β）＋（α－β），2β＝（α＋β）－（α－β）……预设七：让学生讨论问题：“已知15cos(30),(30,90)17αα-︒=∈︒︒，求sinα的值”.请同学们提出解题方案． 可能性解决方案一：将15cos(30)17α-︒=展开，得到115sin 2217αα+=，由α∈（30°，90°）知sinα>0，cosα>0，再结合22sin cos 1αα+=，可求得sinα的值.必须指出此方案运算量大，不易求解．可能性解决方二：变角α＝（α－30°）＋30°，由α∈（30°，90°）知sin(30)0α-︒>，利用正弦的和角公式可以较快地解决此问题.必须指出通过变角，构造应用公式的条件，这是一种创造性的学习，有利于培养学生的创新精神．例4 求证： sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A+-+=． 预设八：由学生自主完成对本题的分析，找出解决本题的突破口，即将等式中的角统一用A ＋B 及A 来表示，以消除角的差异．证 左边＝sin[()]2cos()sin sin A B A A B A A++-+ sin()cos cos()sin 2cos()sin sin A B A A B A A B A A+++-+=sin()cos cos()sin sin A B A A B A A +-+=sin[()]sin sin sin A B A B A A+-==＝右边. ∴等式成立.点拨 本题是通过变角达到灵活运用公式的一个典范，通过角的变换消除角的差异，这是三角变换的重要思路之一.例5 求2cos10sin 20cos 20︒-︒︒的值. 预设九：学生讨论，寻找角度之间的关系，使非特殊角与特殊角挂上钩.让学生发现解决本题的关键在于统一角度，不难得到10°＝30°－20°.解 原式＝2cos(3020)sin 202(cos30cos 20sin 30sin 20)sin 20cos 20cos 20︒-︒-︒︒︒+︒︒-︒=︒︒＝12(cos 20sin 20)sin 2022cos 20︒+︒-︒=︒点拨 非特殊角的三角函数求值问题，通常要挖掘题目中的隐含条件，以达到创造使用公式的条件.课堂小结：二倍角的正弦、余弦、正切公式222cos cos sin ααα=-22sin sin cos ααα=22tan tan 21tan ααα=- 板书设计：。
学案3：5.5.2 简单的三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换【课程标准】能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).【新知初探】知识点一 半角公式状元随笔 巧记“半角公式” 无理半角常戴帽，象限确定帽前号； 数1余弦加减连，角小值大用加号．“角小值大用加号”即y ＝1＋cos α(α是锐角)是减函数，角小值大，因此用“＋”号， 而y ＝1－cos α为增函数，角大值大，因此用“ －”号． 知识点二 辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba .状元随笔 1.辅助角公式形式上是a sin α＋b cos α(ab ≠0)的三角函数式，通过三角恒等变换可写成a 2＋b 2sin(a ＋φ)的形式，其中tan φ＝b a ，此公式称为辅助角公式．其中φ可通过tan φ＝ba 以及点(a ，b )所在的象限来确定．2．辅助角公式的特殊情况sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4；sin α±3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π3；cos α±3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6±α[教材解难]1．有了半角公式，只需知道cos α的值及相关的角的范围便可求α2的正弦、余弦、正切的值．2．对于S α2和C α2，α∈R ，但是使用T α2时，要保证α≠(2k ＋1)π(k ∈Z )．3．半角公式根号前符号的确定规律如下：(1)当给出的角是某一象限的角时，可根据下表确定半角的函数值的符号.(2)当给出角α的范围(即某一区间)时，可先求α2的范围，再根据α2的范围来确定各三角函数值的符号．(3)若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号．【基础自测】1．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63D ．±332．下列各式中，值为12的是( )A ．sin 15°cos 15°B ．cos 2π6－sin 2π6C.tan 30°1－tan 230°D.1＋cos 60°23．化简2cos x ＋6sin x 等于( ) A ．22cos ⎝⎛⎭⎫π6－x B ．22cos ⎝⎛⎭⎫π3－x C ．22cos ⎝⎛⎭⎫π6＋xD ．22cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x4．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________.【课堂探究】题型一 半角公式的应用[经典例题]例1 已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α2的值．状元随笔 利用半角公式求值． 方法归纳解决给值求值问题的思路方法已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值跟踪训练1 (1)求值：sin π8＝________；cos π8＝________.解题要点 由sin π8>0，所以sin π8＝1 －cosπ42. 由cos π8>0，则cos π8＝1 ＋cosπ42. (2)2＋2cos 8＋21－cos 8的化简结果是________． 解题要点 半角是相对的，4是8的半角，利用公式化简 . 题型二 三角恒等式的证明例2 若π<α<3π2，证明：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α＝－2cos α2；状元随笔等式左边复杂，应从左边入手，利用公式化简，同时注意α的范围．方法归纳三角恒等式证明的思路通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一；或消除等式两端的差异，达到形式上的统一．跟踪训练2求证：cos2α1tan α2－tanα2＝14sin 2α.解题要点左边复杂，从左边入手化简，先切化弦再利用倍角、半角公式化简．题型三三角恒等变换与三角函数的综合例3求下列函数的周期，最大值和最小值：(1)y＝sin x＋3cos x；(2)y＝3sin x＋4cos x.状元随笔便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是y＝A sin(x＋φ)，利用和角公式将其展开，可化为y＝a sin x＋b cos x的形式. 反之，利用和(差)角公式，可将y＝a sin x＋b cos x 转化为y＝A sin(x＋φ)的形式；进而就可以求得其周期和最值了.方法归纳函数的解析式的次数可以降低，项数可以减少时，要先化简解析式成y＝A sin(ωx＋φ)＋B的形式再研究其图象及性质．跟踪训练3 已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x ＋3cos 2x ，x ∈R ， (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的值域．解题要点 利用二倍角公式，降幂公式化简函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，再利用性质求解．思想方法 构建三角函数模型，解决实际问题例 如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在ST 上，相邻两边CQ ，CR 正好落在正方形的边BC ，CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值．【分析】 解答本题可设∠P AB ＝θ并用θ表示PR ，PQ .根据S 矩形PQCR ＝PQ ·PR 列出关于θ的函数式，求最大值、最小值．【点评】 此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，以有利于表示所需线段，其次要确定角的范围．【学业达标】一、选择题1．已知cos α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A ．－1010 B.1010C.310 3 D ．－352．若sin 2α＝14，且α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则cos α－sin α的值为( ) A.32B.34 C ．－32D ．－343．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <c <a4．若α∈⎣⎡⎦⎤7π4，2π，则 1＋cos 2α2－1－cos 2α2等于( ) A ．cos α－sin α B ．cos α＋sin α C ．－cos α＋sin α D ．－cos α－sin α二、填空题5．若cos 22°＝a ，则sin 11°＝________，cos 11°＝________. 6．已知cos α＝－35，且180°<α<270°，则tan α2＝________.7．若α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝32，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝－12，则cos(α＋β)的值等于________． 三、解答题8．化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.9．求证：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.10．已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值．【参考答案】【新知初探】知识点一 半角公式 1－2sin 2α2cos 2α－12αα1－sin 2α22cos 2α2－1±1－cos α2±1＋cos α2【基础自测】1．解析：因为α∈(0，π)，所以α2∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 所以cos α2＝1＋cos α2＝23＝63. 答案：A2．解析：选项A 中，原式＝12sin 30°＝14；选项B 中，原式＝cos π3＝12；选项C 中，原式＝12×2tan 30°1－tan 230°＝12tan 60°＝32；选项D 中，原式＝cos 30°＝32.故选B.答案：B3．解析：2cos x ＋6sin x ＝22⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x＝22⎝⎛⎭⎫cos π3cos x ＋sin π3sin x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π3－x . 答案：B4．解析：∵3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 因φ∈(－π，π)，∴φ＝－π6.答案：－π6【课堂探究】题型一 半角公式的应用[经典例题] 例1【解析】 ∵π<α<3π2，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－55，tan α2＝sin α2cos α2＝－2. 跟踪训练1 (1) 解析：sin π8＝1－cosπ42＝1－222＝2－22； cos π8＝1＋cosπ42＝1＋222＝2＋22. 答案：2－222＋22(2) 解析：原式＝2(1＋2cos 24－1)＋21－(1－2sin 24) ＝2|cos 4|＋22|sin 4|＝－2cos 4－22sin 4. 答案：－2cos 4－22sin 4 题型二 三角恒等式的证明 例2 【证明】 左边＝sin 2α2＋cos 2α2＋2sin α2cos α21＋⎝⎛⎭⎫2cos 2α2－1－1－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2α2＋sin 2α2＋cos 2α2－2sin α2cos α21＋⎝⎛⎭⎫2cos 2α2－1＋ 1－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2α2＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪cos α2－⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪cos α2＋⎪⎪⎪⎪sin α2因为π<α<3π2，所以π2<α2<3π4，所以sin α2>0>cos α2.所以左边＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎝⎛⎭⎫－cos α2－sin α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫－cos α2＋sin α2＝－12⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2＋12⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2 ＝－2cos α2＝右边．所以原等式成立.跟踪训练2证明：方法一 左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝cos αsin α2cos α2＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边．所以原式成立． 方法二 左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan 2α2＝12cos 2αtan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边． 所以原式成立．题型三 三角恒等变换与三角函数的综合 例3【解析】 (1)y ＝sin x ＋3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos π3＋cos x sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 因此，所求周期为2π，最大值为2，最小值为－2. (2)设3sin x ＋4cos x ＝A sin(x ＋φ)，则 3sin x ＋4cos x ＝A sin x cos φ＋A cos x sin φ. 于是A cos φ＝3，A sin φ＝4，于是A 2cos 2φ＋A 2sin 2φ＝25，所以A 2＝25. 取A ＝5，则 cos φ＝35，sin φ＝45，由y ＝5sin(x ＋φ)可知，所求周期为2π，最大值为5，最小值为－5. 跟踪训练3 解析：(1)f (x )＝1－cos 2x 2＋3sin 2x ＋3(1＋cos 2x )2＝2＋3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2， 所以最小正周期T ＝2π2＝π，因为－π2＋2k π≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，f (x )为单调递增函数，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)由(1)知f (x )＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由于－π6≤x ≤π3，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，所以f (x )∈[1,4]，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的值域为[1,4]． 思想方法 构建三角函数模型，解决实际问题例【解析】 如图，连接AP ，设∠P AB ＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP 交AB 于M ，则AM ＝90cos θ，MP ＝90sin θ.所以PQ ＝MB ＝100－90cos θ，PR ＝MR －MP ＝100－90sin θ.所以S 矩形PQCR ＝PQ ·PR＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ. 令t ＝sin θ＋cos θ(1≤t ≤2)，则sin θcos θ＝t 2－12. 所以S 矩形PQCR ＝10 000－9 000t ＋8 100·t 2－12＝8 1002⎝⎛⎭⎫t －1092＋950. 故当t ＝109时，S 矩形PQCR 有最小值950 m 2；当t ＝2时， S 矩形PQCR 有最大值(14 050－9 0002)m 2.【学业达标】一、选择题1．解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以α2∈⎝⎛⎭⎫34π，π， 所以sin α2＝1－cos α2＝110＝1010. 答案：B2．解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以cos α<sin α，(cos α－sin α)2＝1－sin 2α＝34，所以cos α－sin α＝－32. 答案：C 3．解析：由已知可得a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，所以a <c <b . 答案：C4．解析：因为α∈⎣⎡⎦⎤7π4，2π，所以sin α≤0，cos α>0，则 1＋cos 2α2－1－cos 2α2＝cos 2α－sin 2α ＝|cos α|－|sin α|＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α.答案：B二、填空题5．解析：cos 22°＝2cos 211°－1＝1－2sin 211°，所以cos 11°＝1＋cos 22°2＝1＋a 2. sin 11°＝1－cos 22°2＝1－a 2. 答案： 1－a 2 1＋a 26．解析：因为180°<α<270°，所以90°<α2<135°，所以tan α2<0， 所以tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭⎫－35＝－2.答案：－27．解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝32，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝－12， ∴α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，∴2α－β＝±π3，α－2β＝－π3. α＋β＝(2α－β)－(α－2β)＝0或2π3(0舍去)．∴cos(α＋β)＝－12. 答案：－12三、解答题8．解：方法一 原式＝cos 2α－sin 2α2·1－tan α1＋tan α⎝⎛⎭⎫sin π4cos α＋cos π4sin α2 ＝(cos 2α－sin 2α)(1＋tan α)(1－tan α)(cos α＋sin α)2(复角化单角，进一步切化弦)＝(cos 2α－sin 2α)(cos α＋sin α)(cos α－sin α)(cos α＋sin α)2＝1(使用平方差公式)． 方法二 原式＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α(利用π4－α与π4＋α的互余关系) ＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2－2α(逆用二倍角的正弦公式) ＝cos 2αcos 2α＝1. 9．证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，两边同除以sin α得sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α. 10．解：(1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6. 要使得f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32， 即sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3. 所以m 的最小值为π3.。
《简单的三角恒等变换》 导学案
《简单的三角恒等变换》导学案一、学习目标1、能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换。
2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用它们进行求值、化简和证明。
3、通过三角恒等变换的学习，提高逻辑推理和数学运算能力。
二、学习重点1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用。
2、二倍角公式的应用。
三、学习难点1、灵活选择合适的公式进行三角恒等变换。
2、三角恒等变换中角的变换和函数名称的变换。
四、知识回顾1、两角和与差的正弦公式＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）＼（＼sin(＼alpha ＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＼cos\alpha\sin\beta\）2、两角和与差的余弦公式＼（＼cos(＼alpha ＋＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＼sin\alpha\sin\beta\）＼（＼cos(＼alpha ＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＋＼sin\alpha\sin\beta\）3、两角和与差的正切公式＼（＼tan(＼alpha ＋＼beta) ＝＼frac{＼tan\alpha ＋＼tan\beta}｛1 ＼tan\alpha\tan\beta}＼）＼（＼tan(＼alpha ＼beta) ＝＼frac{＼tan\alpha ＼tan\beta}｛1 ＋＼tan\alpha\tan\beta}＼）五、新课导入在数学中，我们经常需要对三角函数进行各种变换，以简化表达式、求解方程或解决实际问题。
简单的三角恒等变换是三角函数中的重要内容，它能够帮助我们更加灵活地运用三角函数，解决各种数学问题。
六、知识讲解1、二倍角公式（1）二倍角的正弦公式：＼（＼sin 2\alpha ＝ 2\sin\alpha\cos\alpha\）推导过程：＼（＼sin 2\alpha ＝＼sin(＼alpha ＋＼alpha) ＝＼sin\alpha\cos\alpha ＋＼cos\alpha\sin\alpha ＝ 2\sin\alpha\cos\alpha\）（2）二倍角的余弦公式：＼（＼cos 2\alpha ＝＼cos^2\alpha ＼sin^2\alpha ＝ 2\cos^2\alpha 1＝ 1 2\sin^2\alpha\）推导过程：＼（＼cos 2\alpha ＝＼cos(＼alpha ＋＼alpha) ＝＼cos\alpha\cos\alpha ＼sin\alpha\sin\alpha ＝＼cos^2\alpha ＼sin^2\alpha\）由\（＼sin^2\alpha ＋＼cos^2\alpha ＝ 1\），可得：＼（＼cos 2\alpha ＝＼cos^2\alpha （1 ＼cos^2\alpha) ＝2\cos^2\alpha 1\）＼（＼cos 2\alpha ＝ 1 ＼sin^2\alpha ＼sin^2\alpha ＝ 12\sin^2\alpha\）（3）二倍角的正切公式：＼（＼tan 2\alpha ＝＼frac{2\tan\alpha}｛1 ＼tan^2\alpha}＼）推导过程：＼（＼tan 2\alpha ＝＼tan(＼alpha ＋＼alpha) ＝＼frac{＼tan\alpha ＋＼tan\alpha}｛1 ＼tan\alpha\tan\alpha} ＝＼frac{2\tan\alpha}｛1 ＼tan^2\alpha}＼）2、半角公式（1）＼（＼sin^2\frac{＼alpha}｛2} ＝＼frac{1 ＼cos\alpha}｛2}＼）（2）＼（＼cos^2\frac{＼alpha}｛2} ＝＼frac{1 ＋＼cos\alpha}｛2}＼）（3）＼（＼tan\frac{＼alpha}｛2} ＝＼frac{1 ＼cos\alpha}｛＼sin\alpha} ＝＼frac{＼sin\alpha}｛1 ＋＼cos\alpha}＼）3、万能公式（1）＼（＼sin\alpha ＝＼frac{2\tan\frac{＼alpha}｛2}｝｛1 ＋＼tan^2\frac{＼alpha}｛2}｝＼）（2）＼（＼cos\alpha ＝＼frac{1 ＼tan^2\frac{＼alpha}｛2}｝｛1 ＋＼tan^2\frac{＼alpha}｛2}｝＼）（3）＼（＼tan\alpha ＝＼frac{2\tan\frac{＼alpha}｛2}｝｛1 ＼tan^2\frac{＼alpha}｛2}｝＼）4、积化和差公式＼（＼sin\alpha\cos\beta ＝＼frac{1}｛2}＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＋＼sin(＼alpha ＼beta)＼）＼（＼cos\alpha\sin\beta ＝＼frac{1}｛2}＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＼sin(＼alpha ＼beta)＼）＼（＼cos\alpha\cos\beta ＝＼frac{1}｛2}＼cos(＼alpha ＋＼beta)＋＼cos(＼alpha ＼beta)＼）＼（＼sin\alpha\sin\beta ＝＼frac{1}｛2}＼cos(＼alpha ＋＼beta) ＼cos(＼alpha ＼beta)＼）5、和差化积公式＼（＼sin\alpha ＋＼sin\beta ＝ 2\sin\frac{＼alpha ＋＼beta}｛2}＼cos\frac{＼alpha ＼beta}｛2}＼）＼（＼sin\alpha ＼sin\beta ＝ 2\cos\frac{＼alpha ＋＼beta}｛2}＼sin\frac{＼alpha ＼beta}｛2}＼）＼（＼cos\alpha ＋＼cos\beta ＝ 2\cos\frac{＼alpha ＋＼beta}｛2}＼cos\frac{＼alpha ＼beta}｛2}＼）＼（＼cos\alpha ＼cos\beta ＝－2\sin\frac{＼alpha ＋＼beta}｛2}＼sin\frac{＼alpha ＼beta}｛2}＼）七、例题讲解例 1：已知\（＼sin\alpha ＝＼frac{3}｛5}＼），＼（＼alpha\）是第二象限角，求\（＼sin 2\alpha\），＼（＼cos 2\alpha\），＼（＼tan 2\alpha\）的值。
人教a版必修4学案：3.2简单的三角恒等变换(含答案)
3.2 简单的三角恒等变换自主学习知识梳理1．半角公式(1)S α2：sin α2＝__________；(2)C α2：cos α2＝________； (3)T α2：tan α2＝________________＝________________＝__________(有理形式)． 2．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，cos φ＝__________，sin φ＝______________其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由________决定．自主探究1．试用cos α表示sin 2α2、cos 2α2、tan 2α2.2．证明：tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.对点讲练知识点一 半角公式的应用例1 已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2的值．回顾归纳 在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号．变式训练1 已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，求cos α－β2.知识点二 利用辅助角公式研究函数性质例2 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．回顾归纳 研究形如f (x )＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx 的性质时，先化成f (x )＝A sin(ω′x ＋φ)＋B 的形式后，再解答．这是一个基本题型，许多题目化简后都化归为该题型．变式训练2 已知函数f (x )＝sin(x ＋π6)＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos x ＋a (a ∈R )． (1)求函数y ＝f (x )的单调增区间；(2)若函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的最大值与最小值的和为3，求实数a 的值．知识点三 三角函数在实际问题中的应用例3 如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．回顾归纳 利用三角函数知识解决实际问题，关键是目标函数的构建，自变量常常选取一个恰当的角度，要注意结合实际问题确定自变量的范围．变式训练3 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图所示)．1．学习三角恒等变换，不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要立足于在推导过程中记忆和运用公式．2．形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，运用辅助角公式熟练化为一个角的一个三角函数的形式，即f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) (φ由sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b2确定)进而研究函数f (x )性质． 如f (x )＝sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π4， f (x )＝sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π3等.课时作业一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( ) A ．－1－cos α2 B. 1－cos α2C ．－1＋cos α2 D. 1＋cos α22．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，那么sin θ2的值为( ) A ．－105 B.105C ．－155 D.1553．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．a >b >c B ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a4．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0 D.⎣⎡⎦⎤－π6，0 5．函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π4二、填空题6．函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最大值是________． 7．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ的值是________．8．已知函数f (x )＝a sin[(1－a )x ]＋cos[(1－a )x ]的最大值为2，则f (x )的最小正周期为________．三、解答题9．已知向量a ＝(sin(π2＋x )，3cos x )，b ＝(sin x ，cos x )，f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)如果三角形ABC 中，满足f (A )＝32，求角A 的值．10．已知函数f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋b (a >0)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,4]，求常数a ，b 的值．§3.2 简单的三角恒等变换答案知识梳理1．(1)±1－cos α2 (2)± 1＋cos α2 (3)± 1－cos α1＋cos α sin α1＋cos α 1－cos αsin α 2.a a 2＋b 2 b a 2＋b 2点(a ，b ) 自主探究1．解 ∵cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝1－2sin 2α2∴2sin 2α2＝1－cos α，sin 2α2＝1－cos α2. ① ∵cos α＝2cos 2α2－1，∴cos 2α2＝1＋cos α2② 由①②得：tan 2α2＝1－cos α1＋cos α. 2．证明 ∵sin α1＋cos α＝2sin α2cos α22cos 2α2＝tan α2. ∴tan α2＝sin α1＋cos α，同理可证：tan α2＝1－cos αsin α. ∴tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 对点讲练例1 解 ∵sin θ＝45，5π2<θ<3π. ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35. 又5π4<θ2<3π2. ∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1－352＝－55. tan θ2＝1－cos θ1＋cos θ＝1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭⎫－35＝2.变式训练1 解 ∵α为钝角，β为锐角，sin α＝45，sin β＝1213. ∴cos α＝－35，cos β＝513. cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－35×513＋45×1213＝3365. 又∵π2<α<π，0<β<π2， ∴0<α－β<π.0<α－β2<π2. ∴cos α－β2＝1＋cos (α－β)2＝1＋33652＝76565. 例2 解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎣⎡⎦⎤32sin2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2， 即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )， ∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． 变式训练2 解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋ sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos x ＋a ＝3sin x ＋cos x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a ， 解不等式2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得y ＝f (x )的单调增区间是 ⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z )． (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，－π3≤x ＋π6≤2π3，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1， ∴f (x )的值域是[－3＋a,2＋a ]．故(－3＋a )＋(2＋a )＝3，即a ＝3－1.例3 解 在直角三角形OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α. 在直角三角形OAD 中，DA OA＝tan 60°＝ 3.∴OA ＝33DA ＝33BC ＝33sin α， ∴AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC ＝⎝⎛⎭⎫cos α－33sin αsin α ＝sin αcos α－33sin 2α ＝12sin 2α－36(1－cos 2α) ＝12sin 2α＋36cos 2α－36＝13⎝⎛⎭⎫32sin 2α＋12cos 2α－36 ＝13sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6－36. 由于0<α<π3，所以π6<2α＋π6<5π6， 所以当2α＋π6＝π2， 即α＝π6时，S 最大＝13－36＝36. 因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36. 变式训练3 解如图所示，连OC ， 设∠COB ＝θ，则0<θ<π4，OC ＝1. ∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ，∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝－sin 2θ＋sin θcos θ ＝－12(1－cos 2θ)＋12sin 2θ ＝12(sin 2θ＋cos 2θ)－12＝22cos ⎝⎛⎭⎫2θ－π4－12 ∴当2θ－π4＝0，即θ＝π8时，S max ＝2－12(m 2)， ∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12(m 2)． 课时作业1．C 2.C3．C [由题可得a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，所以a <c <b .]4．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，f (x )的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋56π (k ∈Z )， 令k ＝0得增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，5π6.] 5．B [f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x ＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝12sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12.∴T ＝π.] 6. 3解析 (1)y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝cos x ＋cos x cos π3－sin x sin π3＝32cos x －32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 当cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1时，y 有最大值 3. 7．－π6解析 3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6.∴φ＝－π6. 8．π解析 由a ＋1＝2，∴a ＝3，∴f (x )＝－3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，∴T ＝π. 9．解 (1)由题意知，f (x )＝sin x cos x ＋32＋32cos 2x ＝sin(2x ＋π3)＋32 2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 即k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z 最小正周期为π，单调增区间为[k π－5π12，k π＋π12]，k ∈Z . (2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. ∵f (A )＝32，∴sin(2A ＋π3)＝0， 又∵A ∈(0，π)，∴π3<2A ＋π3<7π3，∴2A ＋π3＝π或2π， ∴A ＝π3或5π6. 10．解 f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋b＝2a ·1－cos 2x 2－3a sin 2x ＋b ＝－(3a sin 2x ＋a cos 2x )＋a ＋b＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋b ∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤76π. ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. ∵a >0，∴f (x )max ＝2a ＋b ＝4，f (x )min ＝b －a ＝－5. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝4b －a ＝－5，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－2.。
简单的三角恒等变换教案
06
三角恒等变换在实际问题中的 应用
在几何问题中的应用
角度和长度的计算
利用三角恒等变换，可以解决几何图 形中角度和长度的计算问题，如求三 角形的内角和、外角和、边长等。
几何图形的证明
在几何证明题中，三角恒等变换可以 作为证明工具，通过变换公式将复杂 的几何问题转化为简单的三角问题， 从而简化证明过程。
sin^2α + cos^2α = 1， 1 + tan^2α = sec^2α， 1 + cot^2α = csc^2α。
商数关系
tanα = sinα / cosα， cotα = cosα / sinα。
互余角关系
sin(90° - α) = cosα， cos(90° - α) = sinα， tan(90° - α) = cotα。
查表或使用计算器得出结果。
两角和与差的正弦公式
01
公式表述
$sin(alpha pm beta) = sin alpha cos beta pm cos alpha sin beta$
02
公式理解
该公式表达了两个角的和或差的正弦值可以通过这两个角的正弦值和余
弦值计算得出。
03
应用举例
计算 $sin(30^circ - 15^circ)$，可以使用该公式将表达式转换为 $sin
过程与方法
通过推导和证明三角恒等 变换公式，培养学生的逻 辑思维能力和数学推理能 力。
情感态度与价值观
让学生感受到数学公式的 对称美和简洁美，激发学 生学习数学的兴趣和热情 。
教学内容
三角恒等变换的基本公式
包括正弦、余弦、正切的加法公式、 减法公式、倍角公式、半角公式等。
《简单的三角恒等变换》导学案1
4-52 3．2《简单的三角恒等变换》导学案1【学习目标】： 1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差公式与和差化积公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。
2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变换在数学中的应用。
【重点难点】： 辅助角公式在三角恒等变换中的应用及三角恒等变换的相关综合问题。
【学法指导】： 自主探究与老师引导相结合。
【知识链接】： （1）半角公式sin 2α=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ cos 2α=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ tan2α=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（2）积化和差公式sin cos αβ=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿类似于课本中例二，请计算出下列各式的值：cos sin αβ=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ cos cos αβ=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ sin sin αβ=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（3）和差化积公式sin sin θϕ+=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿类似于课本中例二，请计算出下列各式的值：sin sin θϕ-=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ cos cos θϕ+=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ cos cos θϕ-=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（4）辅助角公式sin cos a x b x +=＿＿＿＿sin()x θ+（其中tan θ=＿＿＿＿＿）【学习过程】：有了和（差）角公式，倍角公式以后，我们就有了三角变换的新工具，请同学们利用现有知识，试着证明下面的半角公式。
例1：求证：sin 2α=cos2α=tan2α=。
上述公式可用于求半角的三角函数值。
试一试：若0sin 76m =，试用含m 的式子表示0cos 7。
例2：求证：（1）1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-（2）sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=对照预习导引，请同学们探究并证明其它几组和差化积公式与积化和差公式。
《3.6第六节 简单的三角恒等变换》 学案
学习过程课堂导入前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，也明白了两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，进而推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，那么二倍角的正弦、余弦、正切公式经过变形能推导出什么公式呢？复习预习1.两角和与差的正弦公式：2.两角和与差的余弦公式：3.两角和与差的正切公式：4.二倍角公式：知识讲解考点1 半角公式(1)用cos α表示sin 2α2，cos 2α2，tan 2α2：sin 2α2＝1－cos α2；cos 2α2＝1＋cos α2；tan 2α2＝1－cos α1＋cos α. (2)用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2：sin α2＝± 1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2；tan α2＝± 1－cos α1＋cos α.(3)用sin α，cos α表示tan α2：tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.考点2 形如a sin x＋b cos x的化简a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tan φ＝b a.例题精析【例题1】【题干】化简：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan α·tan α2.【答案】(1)22cos α【解析】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2sin α2－sin α2cos α2·⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sin α2cos α2＝cos αsin α2cos α2·⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sin α2cos α2＝2cos αsin α＋2cos αsin α·sin αcos α·sin α2cos α2＝2cos αsin α＋2sin α2cos α2＝2cos αsin α＋4sin 2α2sin α＝2cos α＋4sin 2α2sin α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2α2＋4sin 2α2sin α＝2sin α.【例题2】【题干】已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，0，求sin α的值．【解析】∵π2＜α＜π，∴π＜2α＜2π. ∵－π2＜β＜0，∴0＜－β＜π2，π＜2α－β＜5π2，而sin(2α－β)＝35＞0，∴2π＜2α－β＜5π2，cos(2α－β)＝45.又－π2＜β＜0且sin β ＝－1213，∴cos β＝513，∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β ＝45×513－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝5665. 又cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝3130130.【例题3】【题干】已知函数f (x )＝sin 2x －23sin 2x ＋3＋1.(1)求f (x )的最小正周期及其单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6时，求f (x )的值域．【解析】f (x )＝sin 2x ＋3(1－2sin 2x )＋1＝sin 2x ＋3cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1. (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由正弦函数的性质知，当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3为单调递增函数，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈[0,1]， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1∈[1,3]． ∴f (x )的值域为[1,3]．【例题4】【题干】(2012·安徽高考)设函数f (x )＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )．求g (x )在区间[－π，0]上的解析式．【解析】(1)f (x )＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2 x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2＝12－12sin 2x 故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin 2x ，故 ①当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由于对任意x ∈R ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )， 从而g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin(π＋2x )＝－12sin 2x . ②当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，从而g (x )＝g (x ＋π)＝12sin[2(x ＋π)]＝12sin 2x . 综合①②得g (x )在[－π，0]上的解析式为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2，－12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.课堂运用【基础】1．(2013·济南模拟)函数y ＝sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π2．已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝a log a 13(a＞0，且a≠1)，则cos⎝⎛⎭⎪⎫32π＋α的值为()A.1010B．－1010C.31010D．－310103．若cos 2αsin α＋7π4＝－22，则sin α＋cos α的值为( )A ．－22B ．－12 C.12 D.72【巩固】4．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________.5．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．【拔高】6．已知sin θ和cos θ是关于x的方程x2－2x sin α＋sin2β＝0的两个根．求证：2cos 2α＝cos 2β.7．A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0＜θ＜π)，OQ ＝OA ＋OP ，四边形OAQP 的面积为S .(1)求OA ·OQ ＋S 的最大值及此时θ的值θ0； (2)设点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，∠AOB ＝α，在(1)的条件下，求cos(α＋θ0)．8．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)求f ′(x )及函数y ＝f ′(x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的值域．课程小结三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．。
23《简单的三角恒等变换》教案2024新版
已知条件的利用
充分利用已知三角函数值
根据题目中给出的三角函数值，可以 直接代入到恒等式中，简化计算过程 。
已知条件的变形
通过对已知条件进行变形，可以得到 一些有用的中间结果，为后续的推导 打下基础。
挖掘隐含条件
有些题目中的已知条件可能不是直接 给出的，需要通过观察和分析挖掘出 隐含的条件，进一步简化计算。
通过三角恒等变换，可以将三角形的三个内角表 示为两个直角，从而证明三角形内角和定理。
计算三角形面积
在已知三角形三边长度的情况下，可以利用三角 恒等变换求出三角形的高，进而计算三角形的面 积。
解决几何作图问题
在几何作图中，有时需要利用三角恒等变换来构 造特定的角度或长度，从而解决作图问题。
在三角函数中的应用
感受数学的美妙和实用性 ，提高对数学的兴趣和热 爱。
教学方法与手段
采用讲授法、讨论法、练习法等 多种教学方法，使学生全面深入 地理解三角恒等变换的知识和技
能。
利用多媒体教学手段，如PPT、 视频、动画等，使教学更加生动
形象和有趣。
组织学生进行小组讨论和合作学 习，培养学生的合作精神和交流
能力。
02
基础知识回顾
三角函数的基本性质
01
02
03
04
周期性
三角函数具有周期性，例如正 弦函数和余弦函数的周期为
2π。
奇偶性
正弦函数为奇函数，余弦函数 为偶函数，即sin(-x) = -
sin(x)，cos(-x) = cos(x)。
值域
正弦函数和余弦函数的值域为 [-1,1]。
特殊角三角函数值
例如30°、45°、60°等特殊角 度的三角函数值需要熟记。
简单三角恒等变换 导学案
§3.1两角和与差的余弦1、 经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系；2、 用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用；3、 能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等变形。
向量的数量积a b ______⋅= ),,11y x （=),22y x （= 则 a b _____⋅=探究一：（1）0000cos(4530)cos45cos30-=-是否成立？（2）能不能不用计算器求0cos15的值 ？要用什么公式？探究二：两角差的余弦公式的推导 1.三角函数线法：问：①怎样作出角α、β、αβ-的终边。
②怎样作出角αβ-的余弦线OM③怎样利用几何直观寻找OM 的表示式。
2.向量法：由图可知：==→a OP 1( ) , ==→b 2OP ( )则=⋅_____= b ____→=θ=⋅ cos θ∴=另一方面：故 cos()αβ-= 对于任意的角βα,都成立。
探究三：．两角和的余弦公式：在两角差的余弦公式中，以－β替代β就得到两角和的余弦公式．即：[]cos()cos ()αβαβ+=--= ______________________＝______________.例1：求值：0sin 75，0cos(15)-例2：求下列三角函数式的值． (1) cos79cos34sin 79sin 34+(2)cos(α－55°)cos(5°＋α)＋sin(α－55°)sin(5°＋α)变式训练：求值1. 0cos50cos 20sin50sin 20+= =2. 00cos(30)cos sin(30)sin αααα+++= =例3：教材127页例2变式1：已知锐角α，β，且4cos5α=，16cos()65αβ+=-，求cos β的值．变式2：设1cos()29βα-=-，2sin()23αβ-=，其中(,),(0,)22ππαπβ∈∈，求cos 2αβ+1.教材P1271、2、3、42.不查表求值：︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ ︒+︒15sin 2315cos 212）（3.sin 2sin3cos2cos3, ()x x x x x =若则的值可是（A ）10π (B)6π (C)5π (D)4π4.在,cos cos sin sin B A B A ABC <∆中，若则ABC ∆是（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、不确定5.设3(0,),sin ,)254ππααα∈=+=若1．公式C α－β与C α＋β都是三角恒等式，既可正用，也可逆用．要注意公式的结构特征．如：cos αcos β±sin αsin β＝cos(αβ)．2．要注意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，创造出应用公式的条件进行求解．3．注意角的拆分技巧的积累，如：();2()(),()()222αββαααββααβαβαβ+=+-=+--=---等。
2.3《简单的三角恒等变换》教学设计
2.3简单的三角恒等变换【教学目标】1．能运用两角差的余弦公式推导出两角差与和的正弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式.2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式推导出半角公式，万能公式以及积化和差与和差化积公式，了解它们的内在联系.3．能运用上述公式进行简单的恒等变换，增强学习的积极性，避免对公式的生搬硬套，培养学生的探究意识和严谨的思维品质.【教学重点】推导出半角公式，万能公式以及积化和差与和差化积公式.【教学难点】灵活运用上述公式进行简单的恒等变换.【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【教学手段】多媒体平台．【核心素养】数学抽象，数学运算，逻辑推理．【教学过程】一、创设情境，引入课题复习回顾：我们刚刚学习了两角差与和的正弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，同学们还能回顾一些这些公式的源头是谁吗？我们从哪个公式作为逻辑推理的起点的呢？没错，就是从向量的数量积推导出两角差的余弦公式，进而一步步得到了后续的公式，我们今天要学习的内容也是建立在前面内容的基础上，进行新的探究和推导.将一个三角函数式变为与之恒等的其他三角函数式的变换过程,称为三角恒等变换. 进行三角恒等变换时,一般要使用三角函数间的关系式,除了我们刚刚学过的那些公式，还有下面要推导的半角公式：二、归纳探索，形成概念半角公式首先提问同学，上节课学习的二倍角公式：再由老师板书：二倍角公式：αααcos sin 22sin =；ααα2tan 1tan 22tan -=ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=αα2sin 21-=在数学研究中，公式经常要灵活理解和运用，比如我们这两节课的学习内容：倍角公式和半角公式，“倍”与“半”都是相对而言的。
结合刚刚复习的倍角公式，你能由αcos 推导出2tan ,2cos ,2sin ααα的数值吗？给同学们一点的时间思考，提问：运用倍角公式，看看能不能得出什么新的关系式？请一位学生回答，由老师板书推导过程：我们从余弦的倍角公式入手，很容易得到正弦的半角公式.下面再给同学们1分钟的时间思考，提问：能不能仿照这个推导过程，得到余弦的半角公式呢？请一位学生回答，由老师板书推导过程：而根据同角三角函数关系，正切的半角公式是不是也就水到渠成了呢？再请一位学生回答，由老师板书推导过程：同学们都应该已经完成了，我们现在得到了正弦、余弦和正切的半角关系式，只不过它们还是平方的形式，我们将上面的三个等式左右两端分别开平方，可得由老师板书：我们就得到了三组半角公式.由于是开平方，具体的正负号，要根据半角所在的象限来判断.我们除了学习数学知识，更要学会通过现象看本质.相信细心的同学不难发现，半角公式和倍角公式实质上是对同一公式的不同变形.三、运用公式，适当延展例1.如果|cos θ|=，＜θ＜3π，求sin 的值？ 解: 根据＜θ＜3π可知角θ是第二象限角，其余弦值为负，即cos θ=-，而＜＜，是为第三象限角，正弦值为负，于是利用半角公式即得结果-.这道题就是要求同学们注意半角的范围，进而确定所求三角函数值的符号.例2已知α∈(−π2,0)，cosα=45，求tan α2的值？ 解：由α∈(−π2,0)及cosα=45，得到sinα=−35， 故tan α2=sinα1+cosα=−351+45=−13． 可以在讲解时，引出这个解法，呼应教材中的例25125π2θ25π5145π2θ23π515积化和差与和差化积公式在求解三角函数的有关问题时，有时需要把三角函数的积化为和或者差的形式，有时又需要把和或差化为积的形式，这应如何转化呢？借鉴前面通过两个单位向量的数量积得出差角余弦公式的思路，我们继续尝试用向量的方法来探讨如何将三角函数的和或差转化为积的形式：我们下来就用和角与差角公式来证明.请一位学生回答，由老师板书推导过程：我们通过设两个参数来帮助我们的推导：由老师板书推导过程：类似地我们还可以证明：将上述四个公式称为和差化积的公式.例3：给同学们1分钟的时间思考，类比我们刚刚推导和差化积公式的思路，利用和角与差角公式能不能得到证明过程呢？提问同学，由老师板书推导过程：刚刚例题的结论实质上就是积化和差公式中的两个，剩下的两个同学们自己证明，给大家一点提升：将sin(α+ β)和sin(α-β)两组公式分别相加减，你还能得出哪些结论呢？下面，我们利用这节课所学的公式，证明下面这个问题：例4：观察一下等式两段，右边式子式三次的，我们一时间不好寻找突破口；所以我们从等式左边入手，发现了两个余弦之和的形式，可以尝试运用和差化积的公式进行推导：同时我们也利用三角形内角和的关系，将C转化为A+B的形式：四、归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．总结：1.半角公式：2.积化和差公式：cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]； sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]. 3.和差化积公式：设α＋β＝x ，α－β＝y ，则α＝x ＋y 2，β＝x －y 2.上面的四个式子可以写成，sin x ＋sin y ＝2sin x ＋y 2cos x －y 2； sin x －sin y ＝2cos x ＋y 2sin x －y 2； cos x ＋cos y ＝2cos x ＋y 2cos x －y 2； cos x －cos y ＝－2sin x ＋y 2sin x －y 2. 在这一节课中，主要学习了半角公式，积化和差与和差化积公式，学习了它们的推导过程.对于我们所学的这些三角公式，同学们一定要在理解的基础上去记忆，多在课下进行推导，才能熟练运用这些公式解决问题.作业。
学案2：5.5.2 简单的三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换【自主预习】半角公式 (1)sin α2＝±1－cos α2， (2)cos α2＝±1＋cos α2， (3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α，(4)tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2cos α2cos α2·2cos α2＝sin α1＋cos α，tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2sin α2cos α2·2sin α2＝1－cos αsin α.【基础自测】1．已知180°＜α＜360°，则cos α2的值等于( )A ．－1－cos α2 B.1－cos α2 C ．－1＋cos α2D.1＋cos α22．已知cos α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.55 B ．－55 C.45 D.2553．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－35，cos θ＜0，则tan θ2的值等于________．【合作探究】类型一 化简求值问题【例1】 (1)设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a 2 B.1－a2C ．－1＋a2D ．－1－a2(2)已知π<α<3π2，化简：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.[思路点拨] (1)先确定θ4的范围，再由sin 2θ4＝1－cosθ22得算式求值．(2)1＋cos θ＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2，去根号，确定α2的范围，化简．【规律方法】1．化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．2．利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系． (2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2计算．(4)下结论：结合(2)求值．提醒：已知cos α的值可求α2的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．【跟踪训练】1．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，求tan θ2.类型二 三角恒等式的证明 【例2】 求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α.[思路点拨] 法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明； 法二：cos 2α不变，直接用二倍角正切公式变形．【规律方法】三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立. 【跟踪训练】2．求证：2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .类型三 恒等变换与三角函数图象性质的综合【例3】 已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期．(2)求证：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. [思路点拨] 化为f (x )＝A sin (ωx ＋φ)＋b →由T ＝2π|ω|求周期→分析f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性→求最小值证明不等式【规律方法】三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋k 的形式，借助辅助角公式化为y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k (或y ＝A cos (ωx ＋φ)＋k )的形式，将ωx ＋φ看作一个整体研究函数的性质. 【跟踪训练】3．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．类型四 三角函数在实际问题中的应用 [探究问题]1．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？2．建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？【例4】 如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？[思路点拨] 设∠AOB ＝α→建立周长l (α)→求l 的最大值[母题探究]1．在例4条件下，求长方形面积的最大值．2．若例4中的木料改为圆心角为π3的扇形，并将此木料截成矩形，(如图所示)，试求此矩形面积的最大值．【规律方法】应用三角函数解实际问题的方法及注意事项(1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.(2)注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系.②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响.提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误.【课堂小结】1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式． 2．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a 、b 应熟练掌握．例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π4；sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π3等. 【当堂达标】1．思考辨析 (1)cos α2＝1＋cos α2.( ) (2)存在α∈R ，使得cos α2＝12cos α.( )(3)对于任意α∈R ，sin α2＝12sin α都不成立．( )(4)若α是第一象限角，则tan α2＝1－cos α1＋cos α.( )2．若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D ．π 3．函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期为________．4．北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，求cos 2θ.【参考答案】【基础自测】1．C [∵180°＜α＜360°，∴90°＜α2＜180°，又cos 2α2＝1＋cos α2，∴cos α＝－1＋cos α2.] 2．A [由题知α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴sin α2>0，sin α2＝1－cos α2＝55.] 3．－3 [由sin θ＝－35，cos θ＜0得cos θ＝－45，∴tan θ2＝sinθ2cos θ2＝2sin θ2cos θ22cos 2θ2＝sin θ1＋cos θ＝－351＋⎝⎛⎭⎫－45＝－3.]【合作探究】类型一 化简求值问题 【例1】(1)D [∵5π＜θ＜6π，∴θ2∈⎝⎛⎭⎫5π2，3π，θ4∈⎝⎛⎭⎫5π4，3π2. 又cos θ2＝a ，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.] (2)[解] 原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪sin α2.∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4，∴cos α2＜0，sin α2＞0，∴原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2.【跟踪训练】1．[解] 法一：∵180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°，即θ2是第二象限角，∴tan θ2<0，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭⎫－35＝－2. 法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－925＝－45， ∴tan θ2＝1－cos θsin θ＝1－⎝⎛⎭⎫－35－45＝－2.类型二 三角恒等式的证明 【例2】[证明] 法一：用正弦、余弦公式．左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cosα2cos 2α2－sin 2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边，∴原式成立． 法二：用正切公式．左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan 2α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边，∴原式成立． 【跟踪训练】 2．[证明] 左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x 4sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x2sin 2x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cos x 2＝1＋cos x sin x ＝右边．所以原等式成立．类型三 恒等变换与三角函数图象性质的综合 【例3】[解] (1)f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－2sin x cos x ＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2 x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以T ＝2π2＝π. (2)证明：令t ＝2x ＋π3，因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，因为y ＝sin t 在⎣⎡⎦⎤－π6，π2上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π2，5π6上单调递减， 所以f (x )≥sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，得证． 【跟踪训练】3．[解] (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎩⎨⎧ 32sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12⎭⎬⎫－12cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z . 类型四 三角函数在实际问题中的应用 [探究问题]1．提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．2．提示：化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式． 【例4】[解] 设∠AOB ＝α，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α，∴l ＝OA ＋AB ＋OB＝R ＋R sin α＋R cos α＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋R . ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4， ∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4， 即当α＝π4时，△OAB 的周长最大． [母题探究]1．[解] 如图所示，设∠AOB ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则AB ＝R sin α，OA ＝R cos α.设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝2OA ·AB ，∴S ＝2R cos α·R sin α＝R 2·2sin αcos α＝R 2sin 2α.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2α∈(0，π)． 因此，当2α＝π2，即α＝π4时，S max ＝R 2. 这时点A ，D 到点O 的距离为22R ， 矩形ABCD 的面积最大值为R 2.2．[解] 如图，作∠POQ 的平分线分别交EF ，GH 于点M ，N ，连接OE ，设∠MOE ＝α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π6，在Rt △MOE 中，ME ＝R sin α，OM ＝R cos α， 在Rt △ONH 中，NH ON ＝tan π6，得ON ＝3NH ＝3R sin α， 则MN ＝OM －ON ＝R (cos α－3sin α)，设矩形EFGH 的面积为S ，则S ＝2ME ·MN ＝2R 2sin α(cos α－3sin α)＝R 2(sin 2α＋3cos 2α－3)＝2R 2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－3R 2， 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π6，则π3＜2α＋π3＜2π3， 所以当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S max ＝(2－3)R 2. 【当堂达标】1．[提示] (1)×.只有当－π2＋2k π≤α2≤π2＋2k π(k ∈Z )， 即－π＋4k π≤α≤π＋4k π(k ∈Z )时，cos α2＝1＋cos α2. (2)√.当cos α＝－3＋1时，上式成立，但一般情况下不成立．(3)×.当α＝2k π(k ∈Z )时，上式成立，但一般情况下不成立．(4)√.若α是第一象限角，则α2是第一、三象限角，此时tan α2＝1－cos α1＋cos α成立． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．C [f (x )＝cos x －sin x ＝2cos x ＋π4.当x ∈[0，a ]时，x ＋π4∈π4，a ＋π4，所以结合题意可知， a ＋π4≤π，即a ≤3π4，故所求a 的最大值是3π4.故选C.] 3．π [因为f (x )＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.] 4．[解] 由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以cos θ－sin θ＝15. 由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2，所以cos θ＋sin θ＝75， 所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725.。
高二数学简单的三角恒等变换教案(通用11篇)
高二数学简单的三角恒等变换教案（通用11篇）高二数学简单的三角恒等变换教案 1教学目标1、理解并掌握基本的三角恒等式，如和差化积、积化和差公式。
2、能够运用三角恒等式进行简单的三角恒等变换。
3、培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
教学重点1、三角恒等式的理解和记忆。
2、三角恒等变换的方法和步骤。
教学难点三角恒等式的灵活运用和复杂三角表达式的化简。
教学准备1、多媒体课件，包含三角恒等式、例题和练习题。
2、黑板和粉笔。
教学过程一、导入新课复习上节课内容，回顾三角函数的定义和性质。
提出问题：如何利用已知的三角函数公式推导出新的三角恒等式？二、新课讲解1、讲解三角恒等式的基本概念，介绍和差化积、积化和差等公式。
2、通过实例演示如何使用三角恒等式进行三角恒等变换。
3、引导学生总结三角恒等变换的.一般方法和步骤。
三、课堂练习布置一些简单的三角恒等变换练习题，让学生尝试运用所学知识解决问题。
教师巡视指导，及时纠正学生的错误，并给予适当的提示和帮助。
四、巩固提升分析一些较复杂的三角恒等变换问题，引导学生思考如何灵活运用三角恒等式进行化简。
鼓励学生相互讨论，分享解题思路和方法。
五、课堂小结总结本节课的重点内容，强调三角恒等变换的重要性和应用价值。
布置课后作业，要求学生完成一些三角恒等变换的练习题，以巩固所学知识。
教学反思本节课通过实例演示和课堂练习，使学生初步掌握了三角恒等变换的基本方法和步骤。
但在处理较复杂问题时，部分学生仍显得不够熟练，需要进一步加强练习和指导。
在今后的教学中，可以设计更多具有针对性的练习题，帮助学生巩固和提高三角恒等变换的能力。
同时，也要注重培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
高二数学简单的三角恒等变换教案 2理解并掌握三角恒等变换的基本公式，包括正弦、余弦、正切的和差公式，二倍角公式，半角公式等。
能够运用三角恒等变换解决一些简单的三角函数化简、求值及证明问题，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
《简单的三角恒等变换》教案与导学案
《简单的三角恒等变换》教案与导学案导学案（简单的三角恒等变换）一、知识导入1.请同学们回忆一下三角函数的定义及其在单位圆中的几何意义。
2.提问：在任意角A上可以建立正弦、余弦、正切的函数关系。
那么这些函数关系是否有规律可循呢？二、概念引入1.引入三角恒等变换的概念，即正弦、余弦、正切之间存在一些特定关系，这些关系称为三角恒等变换。
三、常见的三角恒等变换公式1.正弦函数的恒等变换：(1) 正弦函数的余角关系：sin(π/2 - A) = cosA(2) 正弦函数的余弦关系：sinA = cos(π/2 - A)(3) 正弦函数的补角关系：sin(π - A) = sinA(4) 正弦函数的周期性关系：sin(A + 2πn) = sinA，其中n为整数2.余弦函数的恒等变换：(1) 余弦函数的余角关系：cos(π/2 - A) = sinA(2) 余弦函数的正弦关系：cosA = sin(π/2 - A)(3) 余弦函数的补角关系：cos(π - A) = -cosA(4) 余弦函数的周期性关系：cos(A + 2πn) = cosA，其中n为整数3.正切函数的恒等变换：(1) 正切函数的余角关系：tan(π/2 - A) = 1/tanA(2) 正切函数的倒数关系：tanA = 1/tan(π/2 - A)(3) 正切函数的补角关系：tan(π - A) = -tanA(4) 正切函数的周期性关系：tan(A + πn) = tanA，其中n为整数四、常见的三角恒等变换推导1.根据角和差公式，推导正弦、余弦函数的恒等变换公式。
2.根据正切函数的定义，推导正切函数的恒等变换公式。
五、例题解析1. 求证：sinA + cosA = 1解析：根据余弦函数的余角关系cos(π/2 - A) = sinA，原式可写为sinA + cos(π/2 - A) = 1、因此，根据三角恒等变换公式，原式成立。
2. 求证：1 + tan^2A = sec^2A解析：根据正切函数的余角关系tan(π/2 - A) = 1/tanA，原式可写为 1/tan^2A + 1 = 1/cos^2A。
_3.2_简单的三角恒等变换学案
§3.2 简单的三角恒等变换（一）学案【学习目标】通过例题的解答，以推导半角公式、积化和差、和差化积为基本训练，引导学生如何选择正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式。
从而体会数学中的换元思想和方程思想。
学习目标1、会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明。
2、会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆）。
3、进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。
【学习过程】 一【知识连接】两角和与差的正弦sin(α+β)=sin(α-β)=两角和与差的余弦Cos (α+β)=Cos(α-β )=两角和与差的正切()tan αβ±=二倍角公式sin 2α=cos 2α= = = tan 2α= 二【自学导引】（先独立思考，有困难时与小组同学结合教材探讨）：1探究（1）：试用cos α表示2sin 2α，2cos 2α，2tan 2α。
作用：1）角 ɑ与半角ɑ⁄2三角转化，2）三角函数的降幂与升幂 2拓展：通过探究1可以得到sin2α=cos2α= tan2α=思考1、半角公式中的符号如何确定？思考2、二倍角公式和半角公式有什么联系？（并称之为半角公式，不要求记忆，注意正负号由2α所在的象限决定） 【练习】P142练习1，（先独立思考，有困难时与小组同学探讨） 求证 ： sin tan21cos 1cos tan 2sin αααααα=+-=思考3：通过探究1及相关练习，你能说说代数式变换与三角变换有什么不同呢？3探究（2）：求证：[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++-【练习】P142练习2（探究2和练习2一共四个公式称为积化和差公式，不要求记忆）4探究（3）：求证1sin sin sin cos 222θϕθϕθϕ+-+=【练习】：P142练习3（探究3和练习3一共四个公式称为和差化积公式，不要求记忆）.思考1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？.思考2、在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？.思考3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式四【当堂检测】P143页： 2,3,4.五【归纳生成】通过本节课的学习，你收获了什么？六【课后作业】教材P143页A组1题（2）（4）（6）（8）。
简单的三角恒等变换教案
简单的三角恒等变换教案（一）一．教学目标1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。
2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。
3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．二、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．三、教学设想：（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式（二）新课讲授：1、由二倍角公式引导学生思考：2αα与有什么样的关系？学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台． 例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例2．已知135sin =α，且α在第三象限，求2tan α的值。
2.3《简单的三角恒等变换》教案
2.3《简单的三角恒等变换》所以OC 是∠AOB 的平分线， 因而θ=α+β−α2=α+β2。
故OC=(rcos α+β2,rsinα+β2).又r=|OC|=2|OB|cos ∠COB =2cosβ−α2=2cosα−β2所以OC=(2cosα−β2cos α+β2,2cosα−β2sinα+β2)于是，根据平面向量基本定理可得 cos α+cos β=2cos α−β2cos α+β2 sin α+sin β=2cosα−β2sinα+β2这个公式是否对任意角α,β都成立？ 除了通过几何图形可以得到公式， 你还有其他方法吗？ 方法二：我们用字母A,B 来表示α+β2,α−β2.设A=α+β2,B=α−β2.则A+B=α,A-B=β.于是cos α+cos β=cos(A+B)+cos(A-B)=cosAcosB-sinAsinB+cosAcosB+sinAsinB=2cosAcosB =2cosα−β2cosα+β2cos α-cos β=cos(A+B)-cos(A-B)左右两边分别相减，得cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ.将上式两边同除以-2，得[cos(α+β)-cos(α-β)].s inαs inβ=-12前面学习的和差化积公式，均是cosα±cosβ以及sinα±sinβ的形式，现在我们来学习如何对sin x+ cos x这种形式进行三角恒等变换。
为了找到变换思路，我们先借助计算机画出函数y= sin x+cos x的部分图象，如图。
通过观察，可以发现图与正弦函数y=Asin(w x+φ)的图象很相似。
于是，我们可以猜测:是否存在某个正数A和角φ，使得y= sin x+cos x可化为y=Asin(w x+φ)的形式，即能否找到某个正数A和角φ，使sin x+cos x=Asin(w x+φ)成立?由和角公式可得Asin(x+φ)=A(sin x cosφ+cos x sinφ)。
数学导学案：简单的三角恒等变换(第课时)
第1课时三角恒等变换1．了解半角公式（不要求记忆)的推导过程及其应用．2．能将函数y＝a sin x＋b cos x（ab≠0）化为y＝A sin（ωx＋φ)的形式．1．半角公式（不要求记忆)sin错误!＝______，cos错误!＝______，tan错误!＝______＝错误!＝错误!。
符号由错误!所在的象限决定．（1)积化和差公式(不要求记忆和应用)sin αcos β＝错误![sin(α＋β)＋sin(α－β）]，cos αsin β＝错误
简单的三角恒等变换教案教学设计精品一、教学内容本节课的教学内容来自于人教版数学教材六年级下册第117页的第一课时“简单的三角恒等变换”。
这部分内容主要包括：1. 了解三角恒等变换的概念；2. 学习三角恒等变换的基本公式；3. 学会运用三角恒等变换解决实际问题。
二、教学目标1. 让学生掌握三角恒等变换的基本公式，并能灵活运用解决实际问题；2. 培养学生的逻辑思维能力和转化能力；3. 提高学生运用数学知识解决生活问题的能力。
三、教学难点与重点重点：掌握三角恒等变换的基本公式；难点：灵活运用三角恒等变换解决实际问题。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体课件；学具：教材、练习本、三角板。
五、教学过程1. 实践情景引入：教师展示一个实际问题：一个正三角形分成两个等腰三角形，求分割后的三角形的面积。
引导学生思考如何运用三角恒等变换解决此问题。
2. 知识讲解：（1）教师引导学生回顾三角形的基本知识，如三角形的内角和、三角形的面积公式等；（2）教师讲解三角恒等变换的概念，并展示三角恒等变换的基本公式；（3）教师通过例题讲解，让学生理解并掌握三角恒等变换的运用方法。
3. 随堂练习：（1）教师给出几个简单的三角恒等变换题目，让学生独立完成；（2）教师选取部分学生的作业进行点评，指出优点和不足；（3）教师针对学生的错误，进行讲解和辅导。
4. 课堂小结：六、板书设计三角恒等变换：1. 三角形的内角和等于180度；2. 三角形的面积公式：S = 1/2 base height；3. 三角恒等变换的基本公式：sinα = sin(π/2 α)，cosα = cos(π/2 α)，tanα = tan(π/2 α)。
七、作业设计α = 120°，β = 150°，γ = 210°。
答案：α' = 60°，β' = 30°，γ' = 30°。
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学案22 简单的三角恒等变换导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．自主梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝________________；(2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________；(3)tan 2α＝________________________ (α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2)．2．公式的逆向变换及有关变形(1)sin αcos α＝____________________⇒cos α＝sin 2α2sin α；(2)降幂公式：sin 2α＝________________，cos 2α＝________________； 升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________； 变形：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝________________________. 自我检测 1．(2010·陕西)函数f (x )＝2sin x cos x 是 ( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 2．函数f (x )＝cos 2x －2sin x 的最小值和最大值分别为 ( ) A ．－3,1 B ．－2,2C ．－3，32D ．－2，323．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是 ( )A ．－1B ．－12 C.12D ．14．(2011·清远月考)已知A 、B 为直角三角形的两个锐角，则sin A ·sin B ( )A ．有最大值12，最小值0B ．有最小值12，无最大值C ．既无最大值也无最小值D ．有最大值12，无最小值探究点一 三角函数式的化简例1 求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值和最小值．变式迁移1 (2011·泰安模拟)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫－11π12的值；(2)当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．探究点二 三角函数式的求值例2 已知sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin 2α＋tan α－1tan α－1的值．变式迁移2 (1)已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sin (α＋π4)cos (2α＋4π)的值．(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，求cos(2α＋π4)的值．探究点三 三角恒等式的证明 例3 (2011·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析表达式；(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f (x )的值域．变式迁移3 求证：sin 2x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .转化与化归思想的应用例 (12分)(2010·江西)已知函数f (x )＝ ⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x ＋m sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)当m ＝0时，求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f (α)＝35，求m 的值．【答题模板】解 (1)当m ＝0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋cos x sin x sin 2x ＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x2＝12⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1，[3分] 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤π8，3π4，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤0，5π4，[4分] 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，[5分] 从而得f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.[6分](2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m2cos 2x＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －m 2cos 2x＝12[sin 2x －(1＋m )cos 2x ]＋12，[8分] 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45，cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.[10分]所以35＝12⎣⎡⎦⎤45＋35(1＋m )＋12，[11分] 解得m ＝－2.[12分]【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．1．求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2，α2是α4的二倍角等． (3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·平顶山月考)已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)等于 ( ) A.13 B ．－13 C.16 D ．－162．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于 ( ) A.1318 B.1322 C.322 D.163．(2011·石家庄模拟)已知cos 2α＝12(其中α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0)，则sin α的值为 ( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－324．若f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为 ( ) A ．－433B ．8C ．4 3D ．－4 3 5．(2010·福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC 中，若cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，则sin B 的值是 ( )A.12B.22C.32 D ．1 题号 1 2 3 4 5 答案 6．(2010·全国Ⅰ)已知α为第二象限的角，且sin α＝35，则tan 2α＝________.7．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．8．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)化简：(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°； (2)3－4cos 2α＋cos 4α3＋4cos 2α＋cos 4α.10．(12分)(2011·南京模拟)设函数f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x －12. (1)求f (x )的最小正周期；(2)当∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值和最小值．11．(14分)(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．答案 自主梳理1．(1)2sin αcos α (2)cos 2α－sin 2α 2cos 2α 2sin 2α(3)2tan α1－tan 2α2.(1)12sin 2α (2)1－cos 2α2 1＋cos 2α2 2cos 2α2 2sin 2α2 (sin α±cos α)2自我检测1．C 2.C 3.B 4.D 课堂活动区例1 解题导引 化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．解 y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x ＝7－2sin 2x ＋4cos 2x (1－cos 2x ) ＝7－2sin 2x ＋4cos 2x sin 2x＝7－2sin 2x ＋sin 22x ＝(1－sin 2x )2＋6，由于函数z ＝(u －1)2＋6在[－1,1]中的最大值为z max ＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为z min＝(1－1)2＋6＝6，故当sin 2x ＝－1时，y 取得最大值10， 当sin 2x ＝1时，y 取得最小值6. 变式迁移1 解 (1)f (x )＝(1＋cos 2x )2－2cos 2x －1sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x＝cos 22xsin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x＝2cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝2cos 22x cos 2x ＝2cos 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫－11π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫－11π6＝2cos π6＝ 3. (2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.∵x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎭⎫π4，3π4， ∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1.例2 解题导引 (1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．解 由sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝sin(π4＋2α)·cos(π4＋2α)＝12sin(π2＋4α)＝12cos 4α＝14， ∴cos 4α＝12，又α∈(π4，π2)，故α＝5π12，∴2sin 2α＋tan α－1tan α－1＝－cos 2α＋sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－cos 2α＋－2cos 2αsin 2α＝－cos 5π6－2cos5π6sin 5π6＝532.变式迁移2 解 (1)∵α是第一象限角，cos α＝513，∴sin α＝1213.∴sin (α＋π4)cos (2α＋4π)＝22(sin α＋cos α)cos 2α＝22(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－13214.(2)cos(2α＋π4)＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝22(cos 2α－sin 2α)， ∵π2≤α<32π， ∴3π4≤α＋π4<74π. 又cos(α＋π4)＝35>0，故可知32π<α＋π4<74π，∴sin(α＋π4)＝－45，从而cos 2α＝sin(2α＋π2)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2×(－45)×35＝－2425.sin 2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－2×(35)2＝725.∴cos(2α＋π4)＝22(cos 2α－sin 2α)＝22×(－2425－725)＝－31250.例3 解题导引 本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可．(1)证明 由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin[(α＋β)＋α] ＝3sin[(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α， ∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)解 由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy＝2x ，∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x1＋2x2.(3)解 ∵角α是一个三角形的最小内角， ∴0<α≤π3，0<x ≤3，设g (x )＝2x ＋1x ，则g (x )＝2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝22时取“＝”)．故函数f (x )的值域为(0，24]．变式迁移3 证明 因为左边＝2sin x cos x[sin x ＋(cos x －1)][sin x －(cos x －1)]＝2sin x cos x sin 2x －(cos x －1)2＝2sin x cos xsin 2x －cos 2x ＋2cos x －1＝2sin x cos x －2cos 2x ＋2cos x ＝sin x 1－cos x ＝sin x (1＋cos x )(1－cos x )(1＋cos x )＝sin x (1＋cos x )sin 2x ＝1＋cos x sin x ＝右边．所以原等式成立．课后练习区1．D [∵0<α<π，3sin 2α＝sin α，∴6sin αcos α＝sin α，又∵sin α≠0，∴cos α＝16，cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－16.]2．C [因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4. 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322.]3．B [∵12＝cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝14.又∵α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0， ∴sin α＝－12.]4．B [f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2x212sin x ＝2tan x ＋2cos xsin x＝2sin x cos x ＝4sin 2x ∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sin π6＝8.] 5．C [由cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0化简变形，得2cos 2B －3cos B ＋1＝0，∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴sin B ＝32.]6．－247解析 因为α为第二象限的角，又sin α＝35，所以cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.7．1－ 2解析 ∵y ＝2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋1＋cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， ∴当sin(2x ＋π4)＝－1时，函数取得最小值1－ 2.8.12解析 ∵cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴cos α＋sin α＝12.9．解 (1)∵sin 2α＝2sin αcos α，∴cos α＝sin 2α2sin α，…………………………………………………………………………(2分)∴原式＝sin 40°2sin 20°·sin 80°2sin 40°·12·sin 160°2sin 80°＝sin (180°－20°)16sin 20°＝116.……………………………………………………………………(6分)(2)原式＝3－4cos 2α＋2cos 22α－13＋4cos 2α＋2cos 22α－1………………………………………………………(9分)＝(1－cos 2α)2(1＋cos 2α)2＝(2sin 2α)2(2cos 2α)2＝tan 4α.………………………………………………………(12分) 10．解 f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x －12＝32sin 2x －12cos 2x －1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1.…………………………………………………………………………(4分) (1)T ＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π.…………………………………………………(6分)(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6.所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值0，……………………………………………………………………………………………(10分) 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )有最小值－32.……………………………………………………………………………………………(12分)11．解 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.………………………………………………………………………(4分)(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x。