简单的三角恒等变换学案

学案22 简单的三角恒等变换

导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．

自主梳理

1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝________________；

(2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________；

(3)tan 2α＝________________________ (α≠k π2＋π4且α≠k π＋π

2

)．

2．公式的逆向变换及有关变形

(1)sin αcos α＝____________________⇒cos α＝sin 2α

2sin α

；

(2)降幂公式：sin 2α＝________________，cos 2α＝________________； 升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________； 变形：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝________________________. 自我检测 1．(2010·陕西)函数f (x )＝2sin x cos x 是 ( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 2．函数f (x )＝cos 2x －2sin x 的最小值和最大值分别为 ( ) A ．－3,1 B ．－2,2

C ．－3，32

D ．－2，3

2

3．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是 ( )

A ．－1

B ．－12 C.1

2

D ．1

4．(2011·清远月考)已知A 、B 为直角三角形的两个锐角，则sin A ·sin B ( )

A ．有最大值1

2，最小值0

B ．有最小值1

2

，无最大值

C ．既无最大值也无最小值

D ．有最大值1

2

，无最小值

探究点一 三角函数式的化简

例1 求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值和最小值．

变式迁移1 (2011·泰安模拟)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1

sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭

⎫π4－x .

(1)求f ⎝⎛⎭

⎫－11π

12的值；

(2)当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，求g (x )＝1

2

f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．

探究点二 三角函数式的求值

例2 已知sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin 2α＋tan α－1

tan α

－1的值．

变式迁移2 (1)已知α是第一象限角，且cos α＝5

13，求sin (α＋π

4)

cos (2α＋4π)

的值．

(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，求cos(2α＋π

4

)的值．

探究点三 三角恒等式的证明 例3 (2011·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析表达式；

(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f (x )的值域．

变式迁移3 求证：sin 2x

(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)

＝1＋cos x sin x .

转化与化归思想的应用

例 (12分)(2010·江西)已知函数f (x )＝ ⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x ＋m sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭

⎫x －π4. (1)当m ＝0时，求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤

π8，3π4上的取值范围；

(2)当tan α＝2时，f (α)＝3

5

，求m 的值．

【答题模板】

解 (1)当m ＝0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋cos x sin x sin 2x ＝sin 2x ＋sin x cos x ＝

1－cos 2x ＋sin 2x

2

＝12⎣

⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1，[3分] 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤π8，3π4，得2x －π

4∈⎣⎡⎦⎤0，5π4，[4分] 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦

⎤－2

2，1，[5分] 从而得f (x )的值域为⎣

⎢⎡⎦⎥⎤

0，1＋22.[6分]

(2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m

2

cos 2x

＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －m 2cos 2x

＝12[sin 2x －(1＋m )cos 2x ]＋1

2

，[8分] 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝4

5，

cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α

＝－3

5.[10分]

所以35＝12⎣⎡⎦⎤45＋35(1＋m )＋1

2，[11分] 解得m ＝－2.[12分]

【突破思维障碍】

三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．

1．求值中主要有三类求值问题：

(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．

(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．

(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．

2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：

(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．

(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，

α＋β

2

＝⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2，α2是α

4

的二倍角等． (3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低