离散数学第1章集合论基础
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A A∩B B
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集合的运算 性质： ⑴幂等律 对任何集合A，有A∩A=A。 ⑵交换律 对任何集合A、B，有A∩B=B∩A。 ⑶结合律 对任何集合A、B、C，有 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)。 ⑷同一律 对任何集合A，有A∩E=A。 ⑸零一律 对任何集合A，有A∩Φ=Φ。 ⑹ AB A∩B=A。
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第一篇
绪 言
离散数学的主要学习内容： 1. 集合论 2. 代数系统 3. 图论 4. 数理逻辑 *5. 组合数学 *6. 形式语言与自动机
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第一篇
绪 言
特点：内容较杂，概念多，定理多，比较 抽象，学习有一定的难度。 学习方法： 1.准确掌握每个概念(包括内涵及外延)。 2.要有刻苦钻研的精神,不断总结经验。 3.在理解内容的基础上，要多做练习题， 从而再进一步加深理解所学内容。 4.注意培养分析问题和解决问题的能力
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集合的运算
性质： ⑴交换律 对任何集合A、B，有AB=BA。 ⑵结合律 对任何集合A、B、C，有 (AB)C=A(BC)。 ⑶同一律 对任何集合A，有AΦ=A。 ⑷对任何集合A，有AA=Φ。 ⑸∩对可分配 A∩(BC)=(A∩B)(A∩C)
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幂集
6. 集合的幂集 定义: A是集合，由A的所有子集构成的集合，称之 为A的幂集。记作P(A)或2A。 P(A)={B| BA} 例如: A A的幂集P(A) Φ {Φ} {a} {Φ,{a}} {a,b} {Φ,{a},{b},{a,b}}
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幂集
性质： (1).给定有限集合A，如果|A|=n, 则|P(A)|=2n。
例如：Ａ＝{a,b,c} 则 P(A)= {Φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} |P(A)|＝ C 0 ＋ C 1 3 3
＝23＝8 ＋ 2 C3 ＋ 3 C3
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差集性质证明
(6)(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证明: （6）(A-B)-C=(A-B) ∩ ～C=(A ∩ ～B) ∩ ～C 同时(A-C)-(B-C)=(A ∩ ～C) ∩ [～(B ∩ ～C)] = (A ∩ ～C) ∩ [～B ∪ C] = [(A ∩ ～C) ∩ ～B ]∪ [(A ∩ ～C) ∩ C] = [(A ∩ ～C) ∩ ～B ]∪ Φ = [(A ∩ ～C) ∩ ～B ] = =(A ∩ ～B) ∩ ～C
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第一篇 离散数学课程是
绪 言
计算机系核心课程 信息类专业必修课 其它类专业的重要选修课程 离散数学也是后继课的基础
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第一篇
绪 言
离散数学课程的学习可以培养学生抽象的 思维、逻辑推理能力和创新能力。 让学生见识一些重要的数学思想、数学方 法以及用数学解决实际问题的著名事例。 培养逻辑思维的能力和分析问题解决问题 的能力。
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4. 说明 ⑴集合中的元素间次序是无关紧要的，但是必须是 可以区分的，即是不同的。例如A={a,b,c}， B={c,b,a}，C={a,b,c,a}，则A、B和C是一样的。 ⑵对集合中的元素无任何限制，例如令 A={人，石头，1，Ｂ}, B={Φ,{Φ}} ⑶本书中常用的几个集合符号的约定： 自然数集合N= {1,2,3,……} 整数集合I，实数集合R，有理数集合Q
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集合的运算
4.差运算- (相对补集)
定义：A、B是集合，由属于A，而不属于B的元素 构成的集合 ,称之为A与B的差集,或B对A的相对补 集，记作A-B。 从图中可以知道A-B=A∩～B
A B
例如:A={1,2,3},B={2,3,4}
则A-B={1}
A-B
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集合的运算 性质： 设A、B、C是任意集合，则 ⑴A-Φ=A ⑵ Φ-A=Φ ⑶A-A=Φ ⑷ A-BA ⑸AB A-B=Φ ⑹(A-B)-C=(A-C)-(B-C) ⑺A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C) ⑻ A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) ⑼A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C) ⑽ 但∪对- 是不可分配的，如A∪(A-B)=A 而(A∪A)-(A∪B)=Φ
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笛卡尔乘积
两个集合的笛卡尔乘积：
定义：集合A、B的笛卡尔乘积可表示为
A×B={(a,b)|a∈A，b∈B}
例如：设A={1,2}，B={a,b}，则
A×B={(1,a),(2,a),(1,b),(2,b)}
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集合的运算
补集与差集的关系： ~A=E-A ，A∩(~B)=A-B，A∩~A=Φ， A∪~A=E 利用以上性质我们可以得到著名的德.摩根定律（ De Morgan’s Law): ～(A ∪B)= ～A ∩ ～B ～(A ∩ B)= ～A ∪ ～B 我们简单地证明一下第一个式子： 只需证： (A ∪B) ∪(～A ∩ ～B)=E 和 (A ∪B) (～A ∩ ～B)=Φ
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集合的运算
5.对称差
定义：A、B是集合,由属于A而不属于B，或者属 于B而不属于A的元素构成的集合,称之为A与B的对 称差,记作AB。 由右图可以看出：
E
A
B
AB= A∪B- A∩B=(A-B) ∪(B-A)
例如：A={1,2,3}， B={2,3,4} 则AB={1,4} AB
n元有序组
7. 笛卡尔乘积 先给出n元有序组的定义
定义：n个（n>1）按一定次序排列的客体a1 ,
a2 , …，an 组成一个有序序列，称为n元有序组，记
为（ a1 , a2 , …，an ）。
例如我国当前使用的身份证号码是由一个七元有序
组组成（省、市、区、出生年、月、日、序列号） 410102198708250037
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特殊集合
2.空集 Φ
定义：没有元素的集合，称之为空集，记作Φ。 性质： (1).对于任何集合A，都有Φ在A中。 (2).空集是唯一的。
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集合间的关系
1.包含关系(子集)
(1).定义：A、B是集合，如果A中元素都是B中元素， 则称B包含A，A包含于B，也称A是B的子集。记作 AB。 文氏图表示如右下图。 例如，N是自然数集合， A B R是实数集合，则NR
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集合的运算
3.绝对补集 ~
定义：A是集合,由不属于A的元素构成的集合 ,称 之为A的绝对补集,记作~A。 例如，E={1,2,3,4}，A={2,3}, 则~A={1,4}
E ~A A
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集合的运算 性质： 设A、B、C是任意集合，则 ⑴ ~E=Φ ⑵ ~Φ=E ⑶~(~A)=A ⑷ A∩~A=Φ ⑸ A∪~A=E 注：在这里只有~A同时满足性质（4）（5）（称作 ~A的惟一性）。 证明：此时我们假设除了~A还有B满足（4）（5），则 有B=B ∪Φ =B ∪(A∩~A)=（B ∪A）∩（B ∪ ~A ） =E ∩(B ∪ ~A)= B ∪ ~A. 同理，我们可以得到~A= ~A ∪B.因此B= ~A. ⑹A-B=A∩~B
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3.集合的表示方法 列举法：将集合中的元素一一列出，写在大括号内。 例如，N={1,2,3,4,……} A={a,b,c,d} 描述法：用句子描述元素的属性。 例如，B={x| x是偶数} C={x|x是实数且2≤x≤5} 一般地，A={x|P(x)}, 其中P(x)是谓词公式， 如果客体a使得P(a)为真，则a∈A，否则aA。
⑶结合律 对任何集合A,B,C,有(A∪B)∪C=A∪(B∪C).
⑷同一律 对任何集合A，有A∪Φ=A。
⑸零一律 对任何集合A，有A∪E =E
。
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集合的运算
⑹分配律 对任何集合A、B、C，有 A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C)。 A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)。 ⑺吸收律 对任何集合A、B，有 A∪(A∩B)=A A∩(A∪B) =A。 ⑻AB A∪B=B。
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集合间的关系
3.真包含关系(真子集)
定义：A、B是集合，如果AB且A≠B，则称B真包含 A，A真包含于B，也称A是B的真子集。记作AB。
性质： 有传递性，对任何集合A、B、C，如果有AB且 BC ，则AC。
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集合的运算
1.交运算∩
定义：A、B是集合，由既属于A，也属于B的元素 构成的集合 ,称之为A与B的交集,记作A∩B。 例如:A={1,2,3} ,B={2,3,4} 则 A∩B={2,3}
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郑 州 大 学
离 散 数 学
任课教师： 刘 学文
软件学院
第一篇
绪 言
离散数学的特征和性质 此课程的主要学习内容 此课程的主要学习方法
软件学院
第一篇
绪 言
正如马克思所说的：‚一门科学，只有当它能够 运用数学时，才算真正发展了。‛计算机正是在 离散数学中图灵机理论的指导下诞生的。 离散数学是数学的一个分支，它以离散量作为其 主要研究对象，是研究离散对象的结构以及它们 之间相互关系的科学。由于计算机不论硬件还是 软件都属于离散结构，所以计算机所应用的数学 必是离散数学。
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2. 有限集合与无限集合 这里对有限集合与无限集合先给出朴素的定 义，以后再给出严格的形式定义。 有限集合：元素是有限个的集合。 如果A是有限集合，用|A|表示A中元素个数。 例如，A={1,2,3}, 则|A|=3。 无限集合：元素是无限个的集合。 对无限集合的所谓‘大小’的讨论，以后再进行。
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⑷集合中的元素也可以是集合，下面的集合的含义 不同： 如 a ： 张书记 {a} : 党支部(只有一个书记) {{a}} ： 分党委(只有一个支部) {{{a}}}： 党委 (只有一个分党委) {{{{a}}}}： 市党委(只有一个党委)
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特殊集合 1.全集 E 定义：包含所讨论的所有集合的集合，称之为全集， 记作E。 由于讨论的问题不同，全集也不同。所以全集 不唯一。 例如: 若讨论数，可以把实数集看成全集。 若讨论人，可以把人类看成全集。 性质：对于任何集合A，都有A在E中。
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第二篇 集合论
主要包括如下内容： 集合论基础 二元关系 函数
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第一章
集合论基础
本章主要介绍如下内容： 基本概念及集合的表示方法 集合间的关系 特殊集合 集合的运算
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基本概念 1.集合与元素 集合：是由确定的对象(客体)构成的集体。一般用 大写的英文字母表示。 这里所谓‚确定‛是指：论域内任何客体，要么 属于这个集合，要么不属于这个集合，是唯一确定 的。 元素：集合中的对象，称之为元素。 ∈：表示元素与集合的属于关系。 例如，N表示自然数集合，2∈N， 而1.5不属于N，写成 1.5N。
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德.摩根定律的证明
显然： (A ∪B) ∪(～A ∩ ～B) =[(A ∪B) ∪(～A)] ∩[(A ∪B) ∪(～B)] =E ∩ E=E 及： (A ∪ B) ∩(～A ∩ ～B) =[(A ∪ B) ∩(～A）] ∩ [(A ∪ B) ∩(～B)] = (B-A) ∩(A-B) = Φ 其中，我们用到了 B ∩(～A)=B-A 和 A∩(～B)=A-B 由补集的惟一性，得 ～(A ∪B)=(～A ∩ ～B) 同理可得 ～(A ∩ B)=(～A ∪ ～B)
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集合的运算
2.并运算∪ 定义：A、B是集合，由或属于A，或属于B的 元素构成的集合 ,称之为A与B的并集,记作A∪B。
例如:A={1,2,3} ,B={2,3,4} 则A∪B={1,2,3,4}
A
B
A∪B
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Hale Waihona Puke Baidu
集合的运算 性质： ⑴幂等律 对任何集合A，有A∪A=A。 ⑵交换律 对任何集合A,B，有A∪B=B∪A。
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集合间的关系
(2).性质：
(a). 有自反性，对任何集合A有AA。 (b). 有传递性，对任何集合A、B、C，有AB且 BC ，则AC。 (c). 有反对称性，对任何集合A、B，有AB且 BA ，则A=B。
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集合间的关系 2. 相等关系 定义：A、B是集合，如果它们的元素完全相同，则 称A与B相等。记作A=B。 性质： ⑴有自反性，对任何集合A，有A=A。 ⑵有传递性，对任何集合A、B、C，如果有A=B且 B=C ，则A=C。 ⑶有对称性，对任何集合A、B，如果有A=B，则 B=A。
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集合的运算 性质： ⑴幂等律 对任何集合A，有A∩A=A。 ⑵交换律 对任何集合A、B，有A∩B=B∩A。 ⑶结合律 对任何集合A、B、C，有 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)。 ⑷同一律 对任何集合A，有A∩E=A。 ⑸零一律 对任何集合A，有A∩Φ=Φ。 ⑹ AB A∩B=A。
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第一篇
绪 言
离散数学的主要学习内容： 1. 集合论 2. 代数系统 3. 图论 4. 数理逻辑 *5. 组合数学 *6. 形式语言与自动机
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第一篇
绪 言
特点：内容较杂，概念多，定理多，比较 抽象，学习有一定的难度。 学习方法： 1.准确掌握每个概念(包括内涵及外延)。 2.要有刻苦钻研的精神,不断总结经验。 3.在理解内容的基础上，要多做练习题， 从而再进一步加深理解所学内容。 4.注意培养分析问题和解决问题的能力
软件学院
集合的运算
性质： ⑴交换律 对任何集合A、B，有AB=BA。 ⑵结合律 对任何集合A、B、C，有 (AB)C=A(BC)。 ⑶同一律 对任何集合A，有AΦ=A。 ⑷对任何集合A，有AA=Φ。 ⑸∩对可分配 A∩(BC)=(A∩B)(A∩C)
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幂集
6. 集合的幂集 定义: A是集合，由A的所有子集构成的集合，称之 为A的幂集。记作P(A)或2A。 P(A)={B| BA} 例如: A A的幂集P(A) Φ {Φ} {a} {Φ,{a}} {a,b} {Φ,{a},{b},{a,b}}
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幂集
性质： (1).给定有限集合A，如果|A|=n, 则|P(A)|=2n。
例如：Ａ＝{a,b,c} 则 P(A)= {Φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} |P(A)|＝ C 0 ＋ C 1 3 3
＝23＝8 ＋ 2 C3 ＋ 3 C3
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差集性质证明
(6)(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证明: （6）(A-B)-C=(A-B) ∩ ～C=(A ∩ ～B) ∩ ～C 同时(A-C)-(B-C)=(A ∩ ～C) ∩ [～(B ∩ ～C)] = (A ∩ ～C) ∩ [～B ∪ C] = [(A ∩ ～C) ∩ ～B ]∪ [(A ∩ ～C) ∩ C] = [(A ∩ ～C) ∩ ～B ]∪ Φ = [(A ∩ ～C) ∩ ～B ] = =(A ∩ ～B) ∩ ～C
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第一篇 离散数学课程是
绪 言
计算机系核心课程 信息类专业必修课 其它类专业的重要选修课程 离散数学也是后继课的基础
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第一篇
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离散数学课程的学习可以培养学生抽象的 思维、逻辑推理能力和创新能力。 让学生见识一些重要的数学思想、数学方 法以及用数学解决实际问题的著名事例。 培养逻辑思维的能力和分析问题解决问题 的能力。
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4. 说明 ⑴集合中的元素间次序是无关紧要的，但是必须是 可以区分的，即是不同的。例如A={a,b,c}， B={c,b,a}，C={a,b,c,a}，则A、B和C是一样的。 ⑵对集合中的元素无任何限制，例如令 A={人，石头，1，Ｂ}, B={Φ,{Φ}} ⑶本书中常用的几个集合符号的约定： 自然数集合N= {1,2,3,……} 整数集合I，实数集合R，有理数集合Q
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集合的运算
4.差运算- (相对补集)
定义：A、B是集合，由属于A，而不属于B的元素 构成的集合 ,称之为A与B的差集,或B对A的相对补 集，记作A-B。 从图中可以知道A-B=A∩～B
A B
例如:A={1,2,3},B={2,3,4}
则A-B={1}
A-B
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集合的运算 性质： 设A、B、C是任意集合，则 ⑴A-Φ=A ⑵ Φ-A=Φ ⑶A-A=Φ ⑷ A-BA ⑸AB A-B=Φ ⑹(A-B)-C=(A-C)-(B-C) ⑺A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C) ⑻ A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) ⑼A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C) ⑽ 但∪对- 是不可分配的，如A∪(A-B)=A 而(A∪A)-(A∪B)=Φ
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笛卡尔乘积
两个集合的笛卡尔乘积：
定义：集合A、B的笛卡尔乘积可表示为
A×B={(a,b)|a∈A，b∈B}
例如：设A={1,2}，B={a,b}，则
A×B={(1,a),(2,a),(1,b),(2,b)}
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集合的运算
补集与差集的关系： ~A=E-A ，A∩(~B)=A-B，A∩~A=Φ， A∪~A=E 利用以上性质我们可以得到著名的德.摩根定律（ De Morgan’s Law): ～(A ∪B)= ～A ∩ ～B ～(A ∩ B)= ～A ∪ ～B 我们简单地证明一下第一个式子： 只需证： (A ∪B) ∪(～A ∩ ～B)=E 和 (A ∪B) (～A ∩ ～B)=Φ
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集合的运算
5.对称差
定义：A、B是集合,由属于A而不属于B，或者属 于B而不属于A的元素构成的集合,称之为A与B的对 称差,记作AB。 由右图可以看出：
E
A
B
AB= A∪B- A∩B=(A-B) ∪(B-A)
例如：A={1,2,3}， B={2,3,4} 则AB={1,4} AB
n元有序组
7. 笛卡尔乘积 先给出n元有序组的定义
定义：n个（n>1）按一定次序排列的客体a1 ,
a2 , …，an 组成一个有序序列，称为n元有序组，记
为（ a1 , a2 , …，an ）。
例如我国当前使用的身份证号码是由一个七元有序
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2.空集 Φ
定义：没有元素的集合，称之为空集，记作Φ。 性质： (1).对于任何集合A，都有Φ在A中。 (2).空集是唯一的。
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集合间的关系
1.包含关系(子集)
(1).定义：A、B是集合，如果A中元素都是B中元素， 则称B包含A，A包含于B，也称A是B的子集。记作 AB。 文氏图表示如右下图。 例如，N是自然数集合， A B R是实数集合，则NR
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集合的运算
3.绝对补集 ~
定义：A是集合,由不属于A的元素构成的集合 ,称 之为A的绝对补集,记作~A。 例如，E={1,2,3,4}，A={2,3}, 则~A={1,4}
E ~A A
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集合的运算 性质： 设A、B、C是任意集合，则 ⑴ ~E=Φ ⑵ ~Φ=E ⑶~(~A)=A ⑷ A∩~A=Φ ⑸ A∪~A=E 注：在这里只有~A同时满足性质（4）（5）（称作 ~A的惟一性）。 证明：此时我们假设除了~A还有B满足（4）（5），则 有B=B ∪Φ =B ∪(A∩~A)=（B ∪A）∩（B ∪ ~A ） =E ∩(B ∪ ~A)= B ∪ ~A. 同理，我们可以得到~A= ~A ∪B.因此B= ~A. ⑹A-B=A∩~B
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3.集合的表示方法 列举法：将集合中的元素一一列出，写在大括号内。 例如，N={1,2,3,4,……} A={a,b,c,d} 描述法：用句子描述元素的属性。 例如，B={x| x是偶数} C={x|x是实数且2≤x≤5} 一般地，A={x|P(x)}, 其中P(x)是谓词公式， 如果客体a使得P(a)为真，则a∈A，否则aA。
⑶结合律 对任何集合A,B,C,有(A∪B)∪C=A∪(B∪C).
⑷同一律 对任何集合A，有A∪Φ=A。
⑸零一律 对任何集合A，有A∪E =E
。
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集合的运算
⑹分配律 对任何集合A、B、C，有 A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C)。 A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)。 ⑺吸收律 对任何集合A、B，有 A∪(A∩B)=A A∩(A∪B) =A。 ⑻AB A∪B=B。
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集合间的关系
3.真包含关系(真子集)
定义：A、B是集合，如果AB且A≠B，则称B真包含 A，A真包含于B，也称A是B的真子集。记作AB。
性质： 有传递性，对任何集合A、B、C，如果有AB且 BC ，则AC。
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集合的运算
1.交运算∩
定义：A、B是集合，由既属于A，也属于B的元素 构成的集合 ,称之为A与B的交集,记作A∩B。 例如:A={1,2,3} ,B={2,3,4} 则 A∩B={2,3}
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绪 言
离散数学的特征和性质 此课程的主要学习内容 此课程的主要学习方法
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绪 言
正如马克思所说的：‚一门科学，只有当它能够 运用数学时，才算真正发展了。‛计算机正是在 离散数学中图灵机理论的指导下诞生的。 离散数学是数学的一个分支，它以离散量作为其 主要研究对象，是研究离散对象的结构以及它们 之间相互关系的科学。由于计算机不论硬件还是 软件都属于离散结构，所以计算机所应用的数学 必是离散数学。
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2. 有限集合与无限集合 这里对有限集合与无限集合先给出朴素的定 义，以后再给出严格的形式定义。 有限集合：元素是有限个的集合。 如果A是有限集合，用|A|表示A中元素个数。 例如，A={1,2,3}, 则|A|=3。 无限集合：元素是无限个的集合。 对无限集合的所谓‘大小’的讨论，以后再进行。
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⑷集合中的元素也可以是集合，下面的集合的含义 不同： 如 a ： 张书记 {a} : 党支部(只有一个书记) {{a}} ： 分党委(只有一个支部) {{{a}}}： 党委 (只有一个分党委) {{{{a}}}}： 市党委(只有一个党委)
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特殊集合 1.全集 E 定义：包含所讨论的所有集合的集合，称之为全集， 记作E。 由于讨论的问题不同，全集也不同。所以全集 不唯一。 例如: 若讨论数，可以把实数集看成全集。 若讨论人，可以把人类看成全集。 性质：对于任何集合A，都有A在E中。
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第二篇 集合论
主要包括如下内容： 集合论基础 二元关系 函数
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第一章
集合论基础
本章主要介绍如下内容： 基本概念及集合的表示方法 集合间的关系 特殊集合 集合的运算
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基本概念 1.集合与元素 集合：是由确定的对象(客体)构成的集体。一般用 大写的英文字母表示。 这里所谓‚确定‛是指：论域内任何客体，要么 属于这个集合，要么不属于这个集合，是唯一确定 的。 元素：集合中的对象，称之为元素。 ∈：表示元素与集合的属于关系。 例如，N表示自然数集合，2∈N， 而1.5不属于N，写成 1.5N。
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德.摩根定律的证明
显然： (A ∪B) ∪(～A ∩ ～B) =[(A ∪B) ∪(～A)] ∩[(A ∪B) ∪(～B)] =E ∩ E=E 及： (A ∪ B) ∩(～A ∩ ～B) =[(A ∪ B) ∩(～A）] ∩ [(A ∪ B) ∩(～B)] = (B-A) ∩(A-B) = Φ 其中，我们用到了 B ∩(～A)=B-A 和 A∩(～B)=A-B 由补集的惟一性，得 ～(A ∪B)=(～A ∩ ～B) 同理可得 ～(A ∩ B)=(～A ∪ ～B)
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集合的运算
2.并运算∪ 定义：A、B是集合，由或属于A，或属于B的 元素构成的集合 ,称之为A与B的并集,记作A∪B。
例如:A={1,2,3} ,B={2,3,4} 则A∪B={1,2,3,4}
A
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A∪B
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集合的运算 性质： ⑴幂等律 对任何集合A，有A∪A=A。 ⑵交换律 对任何集合A,B，有A∪B=B∪A。
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集合间的关系
(2).性质：
(a). 有自反性，对任何集合A有AA。 (b). 有传递性，对任何集合A、B、C，有AB且 BC ，则AC。 (c). 有反对称性，对任何集合A、B，有AB且 BA ，则A=B。
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集合间的关系 2. 相等关系 定义：A、B是集合，如果它们的元素完全相同，则 称A与B相等。记作A=B。 性质： ⑴有自反性，对任何集合A，有A=A。 ⑵有传递性，对任何集合A、B、C，如果有A=B且 B=C ，则A=C。 ⑶有对称性，对任何集合A、B，如果有A=B，则 B=A。