离散数学第1章集合论基础
离散数学课本定义和定理
第1章集合集合的基本概念1. 集合、元元素、有限集、无限集、空集2. 表示集合的方法：列举法、描述法3. 定义子集：给定集合A和B,如果集合A的任何一个元都是集合B中的元,则称集合A包含于B或B包含A,记为或,并称A为B的一个子集;如果集合A和B满足,但B中有元不属于A,则称集合A真包含于B,记为,并且称A为B的一个真子集;4. 定义幂集：给定集合A,以A的所有子集为元构成的一个集合,这个集合称为A的幂集,记为或集合的运算定义并集：设A和B是两个集合,则包含A和B的所有元,但不包含其他元的集合,称为A和B 的并集,记为.定义交集：A和B是两个集合,包含A和B的所有公共元,但不包含其他元的集合,称为A和B 的交集,记为.定义不相交：A和B是两个集合,如果它们满足,则称集合A和B是不相交的;定义差集：A和B是两个集合,属于A而不属于B的所有元构成集合,称为A和B的差集,记为.定义补集：若A是空间E的集合,则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集,记为. 定义对称差：A和B是两个集合,则定义A和B的对称差为包含排斥原理定理设为有限集,其元素个数分别为,则定理设为有限集,其元素个数分别为,则定理设为有限集,则重要例题P11 例第2章二元关系关系定义序偶：若和是两个元,将它们按前后顺序排列,记为,则成为一个序偶;※对于序偶和,当且仅当并且时,才称和相等,记为定义有序元组：若是个元,将它们按前后顺序排列,记为,则成为一个有序元组简称元组;定义直接积：和是两个集合,则所有序偶的集合,称为和的直接积或笛卡尔积,记为.定义直接积：设是个集合,,则所有元组的集合,称为的笛卡尔积或直接积,记为.定义二元关系若和是两个集合,则的任何子集都定义了一个二元关系,称为上的二元关系;如果,则称为上的二元关系;定义恒等关系：设是上的二元关系,,则称是上的恒等关系;定义定义域、值域：若是一个二元关系,则称为的定义域;为的值域;定义自反：设是集合上的关系,若对于任何．．,都有即则称关系是自反的;定义反自反：设是集合上的关系,若对于任何,都满足,即对任何都不成立,则称关系是反自反的;定义对称：设是集合上的关系,若对于任何,只要,就有,那么称关系是对称的;定义反对称：设是集合上的关系,若对于任何,只要并且时,就有,那么称关系是对称的;定义传递设是集合上的关系,若对于任何,只要并且时,就有,则称关系是传递的;定理设是集合上的关系,若是反自反的和传递的,则是反对称的;关系矩阵和关系图定义无定理无关系的运算定义连接：设为上的关系,为上的关系,则定义关系称为关系和的连接或复合,有时也记为.定义逆关系：设为上的关系,则定义的逆关系为为上的关系：.定理设和都是上的二元关系,则下列各式成立12345定理设为上的关系,为上的关系,则闭包运算定义自反闭包：设是集合上的二元关系,如果是包含的最小自反关系,则称是关系的自反闭包,记为.定义对称闭包：设是集合上的二元关系,如果是包含的最小对称关系,则称是关系的对称闭包,记为.定义传递闭包：设是集合上的二元关系,如果是包含的最小传递关系,则称是关系的传递闭包,记为或.定理设是集合上的二元关系,则（1）是自反的,当且仅当.（2）是对称的,当且仅当.（3）是传递的,当且仅当.定理设是集合上的二元关系,则. “恒等关系”定理设是集合上的二元关系,则. “逆关系”定理设是集合上的二元关系,则. “幂集”定理设是一个元集,是上的二元关系,则存在一个正整数,使得.等价关系和相容关系定义覆盖、划分：是一个集合,,如果,则称是的一个覆盖;如果,并且,则称是的一个划分,中的元称为的划分块;定义等价关系：设是上的一个关系,如果具有自反性、对称性和传递性三个性质,则称是一个等价关系;设是等价关系,若成立,则称等价于.定义等价类：设是上的一个等价关系,则对任何,令,称为关于的等价类,简称为的等价类,也可以简记为.定义同余：对于整数和正整数,有关系式：如果,则称对于模同余的,记作定义商集：设是上的一个等价关系,由引出的等价类组成的集合称为集合上由关系产生的商集,记为. “等价类的集合”定理若是上的一个等价关系,则由可以产生唯一的一个对的划分; “商集”定义相容关系：设是上的一个关系,如果是自反的和对称的,则称是一个相容关系;相容关系可以记为.所有的等价关系都是相容关系,但相容关系却不一定是等价关系;定义最大相容块：设是一个集合,是定义在上的相容关系;如果,中的任何两个元都有关系,而的每一个元都不能和中所有元具有关系,则称是的一个最大相容块;偏序关系定义偏序关系：是定义在集合上的一个关系,如果它具有自反性、反对称性和传递性,则称是上的一个偏序关系,简称为一个偏序,记为.更一般地讲,若是一个集合,在上定义了一个偏序,则我们用符号来表示它,并称是一个偏序集;定义全序/链：是一个偏序集,对任何,如果或这两者中至少有一个必须成立,则称是一个全序集或链,而称是上的一个全序或线性序;定义盖住：是一个偏序集,,若,并且不存在,使并且,则称盖住. “紧挨着”定义最小元、最大元：是一个偏序集,如果中存在有元,对任何都满足,则称是的最小元;如果中存在有元,对任何都满足,则称是的最大元; 定义极小元、极大元：是一个偏序集,如果,而中不存在元,使,则称是的极小元;如果,而中不存在元,使,则称是的极大元;定义上界、下界、上确界、下确界：是一个偏序集,,如果对于所有的,都有,则称是的一个上界;如果对于所有的,都有,则称是的一个下界;如果是的一个上界,对于的任一上界,都有,则称是的最小上界上确界. 如果是的一个上界,对于的任一上界,都有,则称是的最大下界下确界.定义良序集：设是一个偏序集,对于偏序,如果的每个非空子集都具有最小元,则称是一个良序集,而称是上的一个良序;每个良序集都是全序集;第3章函数和运算函数定义映射、象：关系定义在上,如果对于每一个．．．．．,使,．．．,都有唯一的一个则称是从到的一个函数或映射,记为.称为函数的变元,称为变元在下的值或象,记为.注意：（1）定义域,而不是.（2）每一个,有唯一的,使. 多值函数不符合定义（3）值域.定义受限、扩展：若是从到的一个函数,,则也是一个函数,它定义于到,我们称它是在上的受限;如果是函数的一个受限,则称是的一个扩展;★定义映上、映内、一对一、一一对应：若,则的值域时,称函数是映上的或满射;如果的值域时,则称函数是映内的;如果,则有,则称是一对一的单射即时,有.如果映上的,又是一对一的,则称是一一对应的或双射;定义复合运算：若,则定义和的复合运算为：即.注：逆函数若要存在需要满足以下条件：1函数是映上的2函数必须是一对一的定义恒等函数函数称为恒等函数;定理,则的充分必要条件是,并且运算定义二目运算：若是一个集合,是从到的一个映射函数,则称为一个二目运算;一般地,若是从到的一个映射是正整数,则称是一个目运算;运算的封闭：运算的结果总是集合中的一个元,因此这个定义保证了运算的施行,这种情况又称为集合对于该种运算是封闭的;定义可交换：若是一个运算,对于任何,都有,则称运算是可交换的或者说,服从交换律.定义可结合：若是一个运算,对于任何,都有,则称运算是可结合的或者说,服从结合律.定义可分配：若是一个运算,是一个运算,对于任何,都有,则称运算对于运算是可分配的或者说,对于服从分配律定义左单位元、右单位元：设是上的一个运算,如果中存在有一个元,对于任何,有,则称是运算的左单位元；如果中存在有一个元,对于任何,有,则称是运算的右单位元;定理若是上的一个运算,和分别是它的左、右单位元,则,并且是唯一的因此,称为运算的单位元.定义左零元、右零元：设是上的一个运算,如果中存在有一个元,对于任何,有,则称是运算的左零元；如果中存在有一个元,对于任何,有,则称是运算的右零元.定义等幂：若是上的一个运算,,对于运算,有,则称元对于运算是等幂的;定义左逆元、右逆元：若是上的一个运算,它具有单位元,对于任何一个,如果存在有元,使,则称是的左逆元；如果存在有元,使,则称是的右逆元；定理若是上的一个运算,它具有单位元,并且是可结合．．．的,则当元可逆时,它的左、右逆元相等,并且唯一的此时称之为的逆元,并且记为.定义可消去：若是上的一个运算,对于任何,如果元满足：则；或则,则称元对于运算是可消去的;第4章无限集合基数★定义等势：若和是两个集合,如果在和之间可以建立一个一一．．．．对应关系,则称集合和等势,并记为;定理令是由若干个集合为元所组成的集合,则上定义的等势关系是一个等价关系;定义有限集、无限集：若是一个集合,它和某个自然数集等势,则称是一有限集,不是有限集的集合称为无限集;定理有限集的任何子集都是有限集定理有限集不与其任何真子集等势定理自然数集是无限集可列集定义可列集：若是一个集合,它和所有自然数的集合等势,则称是一个可列集;可列集的基数用符号表示;定理若是一个集合,可列的充分必要条件是可以将它的元排列为的序列形式;定理任何无限集必包含有可列子集;定理可列集的子集是有限集或可列集记为：定理若是可列集,是有限集,并且,则是可列集记为：.定理若和都是可列集,并且,则是可列集记为：推论设都是可列集,则是可列集记为：定理设都是可列集,并且,则是可列集记为：推论设都是可列集,则是可列集.定理所有有理数的集合是可列集;不可列集定理区间中所有实数构成的集合是不可列的;定义连续基数：开区间中所有数组成集合的基数记为,具有基数的集合称为连续统,称为连续基数;推论：集合的基数也是.定理所有实数的集合是不可列的,它的基数是.定理对于任何数,若,则区间,以及都具有连续基数定理一个无限集和一个可列集作并集时,并集的基数等于集的基数;推论一个无限集和一个有限集的并集,其基数等于集的基数;基数的比较定义设集合的基数是.如果与的真子集等势,而和不等势,则称的基数小于的基数,记为.定理：是两个集合,若与的某一子集等势,与的某一子集等势,则.定理：是任意两个集合,的基数为,的基数为,则下列三个关系：中必有一个且只有个成立;定理：若是有限集的基数,则.定理：若是无限集合,则定理：若是可列个互不相交的集合,它们的基数都是,则的基数是记为：定理：可列集的幂集,其基数是记为：定理：若是一个集合,是的幂集,则.此定理说明：不存在最大的基数;补充：第5章形式语言文法和语言定义产生式：一个产生式或重写规则是一个有序对,通常写成,其中,是一个符号,而是一个符号的非空有限串,是这个产生式的左部,而是产生式的右部.产生式将简称为规则;定义非终极符号、字母表、终极符号、开始符号：一个文法是一个四元组.其中,是元语言的语法类或变元的集合,它生成语言的串,这些语法类或变元成为非终极符号,是符号的非空有穷集合,称为字母表,的符号称为终极符号.是之一,是词汇表的一个识别元素,称为开始符号.是产生式的集合;定义直接产生、直接推导,直接规约：设是一个文法,如果,而中有规则,就称串直接产生串,或称是直接推导出来的,或直接规约到,记为.定义产生、规约到、推导：设是一个文法,如果存在产生式序列,使得,而,就说产生规约到,或是的推导,记为.定义句型：令是一个文法,如果串可从开始符号推导出来,即如果,则称为一个句型;补充：若,则,其中是空串,不含空串文法的类型定义0-型文法：在上的0-型文法由以下组成：（1）不在中的不同符号的非空集合,称为变量表,它包含一个纲符号,称为开始变量; （2）产生式的有限集合;由产生的所有字集称为由产生的语言;定义0-型语言：在上可由某一0-型文法产生的字集称为0-型语言;定义1-型文法：如果在0-型文法中,对于中的每个产生式,要求,则这文法称为1-型文法或上下文敏感文法.定义2-型文法：设文法,对于中的每一个产生式有且有的人要求,则此文法叫2-型文法或前后文无关文法;定义3-型文法：设为一文法,又设中的每一个产生式都是或,其中和都是变量,而为终极符号,而此文法为3-型文法或正规文法;第1章代数系统代数系统的实例和一般性质定义代数系统：若是序偶,是一个非空集合,是定义在上的某些运算的非空集合,则称是一个代数系统,或称代数;代数系统的类型：（1）代数系统的类型是,其中代表目运算符; （2）,分别为目运算符,则的类型为.同态和同构定义同态象、同态映射:和是两个同类型的代数系统,映射和也构成一一对应.如果对于任意目运算,及其对应的运算,当时,都有,则称代数是的同态象,称是从到的一个同态映射;定义同态象、同态映射：若和是两个同类型的代数系统,和都是二目运算,映射.如果对于任何,都有,则称是的一个同态象,称是从到的一个同态映射;注：如果就是,则映射是从到它自身;当上述条件仍然满足时,我们就称是的一个自同态映射;定义同构、同构映射、自同构映射：如果和是同态的,映射不仅是同态映射,而且是一一对应．．．．的,则称和同构,称是从到的一个同构映射;如果就是,则称是上的一个自同构映射定义同余关系：设是一个代数系统,是上的一个等价关系,如果存在,当时,成立,则称是上的一个同余关系;定理：设～是上的一个等价关系,如果存在同态映射,使得当时,当且仅当,则～是上的同余关系;商代数与积代数定义子代数：设是一个代数系统,在运算下封闭的,则称是的一个子代数;定义直接积：设到是两个同类型的代数系统,如果对任意的和,定义运算于,称是和的直接积,称和为的因子;第2章半群和群半群和有幺半群定义半群、有幺半群：是一个非空集合,如果中定义了一个二目运算,对于任何,都有,则称是一个半群.如果半群中具有单位元,使得对任何,都有,则称是一个有幺半群;1是一个由有限个符号组成的集合,其中的元称为字母;表示所有的字构成的集合,表示非空串组成的集合;2自由半群：半群的各元相互间没有任何关系;说明：半群是一个定义了二目运算,并且服从结合律的代数系统;有幺半群则是具有单位元的半群;群和循环群定义群：在代数系统中,如果二目运算满足1对于任何,有；2中存在单位元,对任何,有；3对于任何,存在有逆元,使则称是一个群;注：对于群来说,单位元是唯一的,每个元的逆元也是唯一的;“存在逆元的有幺半群叫做群”定义阶数：若是一个群,当是有限集时,则称中元的个数为群的阶数,记为.定理若是一个群,,则,其中即.定义幂：是一个群,,则记个的积为,称为幂,记为表示单位元;定理指数律：若和是整数,则.定理若则定义次数：若是一个群,,使的最小正整数,称为元的次数;定理若是一个群,,的次数为,则都是中不同的元;定义循环群、生成元：由一个单独元素的一切幂所组成的群称为循环群,称为这个群的生成元;定理在阶数为的循环群,由生成元所产生的元次数为,即是生成元的充分必要条件是和互质;定理若和不是互质的,则的次数是,其中的是和的最小公倍数;定义阿贝尔群：如果群中的元对于运算满足交换律,则称这个群是一个阿贝尔群; “满足交换律的群叫做阿贝尔群”循环群是一个阿贝尔群;定理若和都是有限的阿贝尔群,定义则是一个阿贝尔群;最简单的一个阿贝尔群是群,为按位加二面体群、置换群二面体群是从图形的变换中到处,这些图形都是比较正规的图形;定理更一般地讲,定义置换：若是一个非空的有限集合,则上任何一个到它自身的一一对应的映射,都称为上的置换;定理两个置换的乘积仍是一个置换,并且置换的乘积服从结合律;的恒等映射也是一个置换称为单位置换;上所有置换的集合,对于置换乘法构成一个群,这个群称为对称群,记为,是中元的个数;定义阶置换群若是非空有限集合,是上的个置换所构成的群,则称是一个阶置换群; 定理任何一个阶群都同构于一个阶置换群;子群、群的同态定义子群：是一个群,,如果1单位元2若,则的逆元3若,则则称是的一个子群;定理是一个群,,是一个子群的充分必要条件是：若,则定义同态象、群同态映射：和是群,.若对任何,有群的同态映射具有下列性质：1将单位元映射为单位元2将逆元映射为逆元3对运算封闭,即对任何,有定理若和是群,是一个群同态映射,则将的子群映射为的子群;定义同态核：若是一个群同态映射,是的单位元,则中所有满足的元的集合,称为同态核,记为.定理同态核是一个子群;定理若是群的子群,则定义了上的一个划分因而也定义了上一个等价关系. 群子集：假定都是群中的元构成的集合称之为群子集,定义特别地,当是一元集时,我们简记为,则定理若是群的子群都是群的子群,则是一个群的充分必要条件是.陪集、正规子群、商群定义左陪集：若是群的子群,对于,称称为的一个左陪集. 定理若是群的子群,则的所有左陪集构成的一个划分;定理拉格朗日定理每个左陪集的元和中的元都是一样多;推论子群中元的个数一定是群中元的个数的因子;定义正规子群：若是群的子群,对于任何,都满足,则称是群的一个正规子群.一个阿贝尔群的任何子群都是正规子群;当是群的正规子群时,对于关于的陪集.定义运算为考虑所有关于的陪集组成的集合和运算构成的系统为一个群;这个群称为关于的商群,记为.定理若是从群到群的映上的同态映射,则核是正规子群,商群同构于.群同态基本定理：商群是由陪集构成的群,也是同余类的集构成的群,所以它同构于象代数,即同构于.如果群没有真正的正规子群,则该群为单群;正规群的任何子群都是正规子群;第3章格和布尔代数格定义格：表示一个偏序集,如果对于中的任何两个元和,在中都存在一个元是它们的上确界,存在一个元是它们的下确界,则称是一个格;对于中的元,它们的上确界常常记为,它们的下确界常常记为,前者又称为和析取或和或,后者又称为和的合取或积或或;定理若是一个格,则对于任何,有（1）的充分必要条件是.（2）的充分必要条件是.定理保序性若是一个格,则对于任何,当时,有引理若是一个格,,则定理分配不等式：若是一个格,则对于任何,定理模数不等式若是一个格,则对于任何,的充分必要条件是定理若是一个代数系统,和是上的二目运算,它服从交换律、结合律和吸收律.则是一个格.定义子格是一个格,,当且仅当对于运算和是封闭的,运算结果和在中相同时,则称代数系统是的一个子格;定义直接积若和是两个格,则称为这两个格的直接积,其中的运算和定义为：对于任何的,定义同态映射设和是两个格,.如果对任何,有则称是到的一个同态映射.特别地,当是一个一一对应时,称是一个同构映射,并且称格和同构的;如果是格上一个同态映射,则称是一个自同态映射.如果是一个同构映射,则称是一个自同构映射.定义完备：对于一个格,如果它的每一个非空子集在格中都具有一个上确界和下确界,则这个格称为完备的;显然每个有限的格都是完备的;对于一个格,它的上确界和下确界如果存在,我们称它们为这个格的边界,并分别记为1和0,因此有时这种格称为有界格;定义补元：是一个有界格,,如果存在元,使且,则称为的补元;定义补格：中的每个元都至少具有一个补元,则称这个格是一个补格;定义分配格：是一个格,如果对任何,有则称是一个分配格;定理任何两个分配格的直接积是分配格;定理若是一个分配格,则对于任何,如果,并且,则推论如果一个格是分配格,同时又是补格,则它的每一个元都具有唯一的一个补元;布尔代数定义布尔代数一个既是补格,又是分配格的格,称为布尔代数;定义对偶命题如果是一个布尔代数,是关于中变元的一个命题,它可以由中变元元通过运算来表示.如果对的表示式进行下列代换：代换为；代换为；代换0；0代换为1,则这样代换后也将得到一个命题,它成为命题的对偶命题,简称为对偶;定理对偶原理如果是一个命题,它在任何一个布尔代数中都成立,并且可以由运算来表示,则对它的对偶命题也在任何一个布尔代数中成立;定理对偶原理如果是一个命题,它在任何一个布尔代数中都成立,并且可以由运算和关系来表示,则将中的运算代换为；代换为；0代换为1,代换0；换为,换为,所得到的对偶命题也在任何一个布尔代数中成立;定理若和是两个布尔代数,是一个同态映射,则在中的同态象是的一个子布尔代数;定义基元：是一个布尔代数,,如果中不存在元,使,则称是的一个基元;如果对于任何都存在有基元,则称这个布尔代数是基元的; 定理若是一个布尔代数,,则下列命题是等价的;1是一个基元2对于所有的,若,则或3对于所有的,推论若和是不同的基元,定理是一个基元的布尔代数,是其基元的集合,对任一令,则,并且作为基元的析取式,这个表达式是唯一的;定理若是一个非空有限的布尔代数,是它的所有基元构成的集合,则同构.推论一个有限的布尔代数具有个元,其中的是它的基元的个数;推论对于任意正整数,具有个元的布尔代数是同构的;其他代数系统定义环若代数系统满足下列条件：1对于二目运算是一个可交换的加法群;2对于二目运算即乘法是封闭的;3乘法结合律成立,即对中任何三个元和,有4分配律成立,即对中任何元和,有则称是一个环;定义交换环一个环中的任何两个元,如果都满足,则称是一个交换环;定义逆元、零元一个环中如果存在有元,使得对中任何一个元都有,则称是的一个单位元;定义逆元、零元在一个有单位元的环里,如果和是环中的元,满足,则称是。
离散数学第1章 集合论
当n无限增大时，可以记为：
Ai
i1
iZ
Ai
＝A1∪A2∪A3∪…
Ai
i1
iZ
A
i＝
A1∩A2∩A3∩…
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定理1.2.5
1.等幂律:Ａ∪Ａ=Ａ；Ａ∩Ａ=Ａ； 2.交换律:Ａ∪Ｂ=Ｂ∪Ａ;Ａ∩Ｂ=Ｂ∩Ａ 3.结合律:Ａ∪(Ｂ∪Ｃ)=(Ａ∪Ｂ)∪Ｃ；
Ａ∩(Ｂ∩Ｃ)=(Ａ∩Ｂ)∩Ｃ； 4.恒等律:Ａ∪Φ=Ａ； Ａ∩Ｕ=Ａ； 5.零 律:Ａ∪Ｕ=Ｕ； Ａ∩Φ=Φ； 6.分配律:Ａ∩(Ｂ∪Ｃ)=(Ａ∩Ｂ)∪(Ａ∩Ｃ)
定理1.2.2 设A、B是任意两个集合，则 AB，BA A=B
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真包含关系
定义1.2.2 设A,B是任意两个集合，如果 BA并且A≠B
则称B是A的真子集(Proper Subset)，记作BA， 称 “ ” 为 真 包 含 关 系 (Properly Inclusion Relation)。 如果B不是A的真子集，则记作B A。
1.2.1 集合的表示方法
集合是由它包含的元素完全确定的，为了表示 一个集合，通常有：
✓ 枚举法 ✓ 隐式法（叙述法） ✓ 归纳法 ✓ 递归指定 ✓ 文氏图
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1、枚举法（显示法）
--列出集合中全部元素或部分元素的方法叫枚举法 适用场景：
一个集合仅含有限个元素 一个集合的元素之间有明显关系
1、互异性－集合中的元素都是不同的，凡是相同的 元素，均视为同一个元素； {1,1,2}={1,2}
2、确定性－能够明确加以“区分的”对象； 3、无序性－集合中的元素是没有顺序的。
{2,1}={1,2}
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例1.2.5
吉林大学离散数学课后习题问题详解
第一章集合论基础§ 1.1基本要求1.掌握集合、子集、超集、空集、幕集、集合族的概念。
懂得两个集合间相等和包含关系的泄义和性质，能够利用泄义证明两个集合相等。
熟悉常用的集合表示方法。
2.掌握集合的基本运算：并、交、余、差、直乘积、对称差的左义以及集合运算满足的基本算律，能够利用它们来证明更复杂的集合等式。
3.掌握关系、二元关系、空关系、全域关系、相等关系、逆关系的概念以及关系的性质：自反性、对称性、反对称性、传递性。
会做关系的乘积。
了解关系的闭包运算：自反闭包、对称闭包、传递闭包。
4.掌握等价关系、等价类、商集的概念，了解等价关系和划分的在联系。
5.掌握部分序关系、部分序集、全序关系、全序集的概念以及部分序集中的特殊元素：最大元、最小元、极大元、极小元、上确界、小确界的左义。
能画岀有限部分序集的Hasse 图，并根据图讨论部分序集的某些性质。
6.掌握映射、映像、1-1映射等概念，会做映射的乘枳。
了解可数集合的槪念，掌握可数集合的判定方法。
7.了解关系在数据库中的应用（数据的增、删、改）以及划分在计算机中的应用。
§ 1.2主要解题方法1.2.1证明集合的包含关系方法一.用泄义来证明集合的包含关系是最常用也是最基本的一种方法。
要证明ACB,首先任取xeA,再演绎地证出xeB成立。
由于我们选择的元素x是属于A的任何一个，而非特指的一个，故知给出的演绎证明对A中含有的每一个元素都成立。
当A是无限集时，因为我们不能对xwA,逐一地证明xeB成立，所以证明时的假设“x是任取的” 就特别重要。
例121设A, B, C, D是任意四个非空集合，若ACC, BCD,则AxBcCxDo证明：任取(x, y) e AxBt 往证(x, y) e CxD°由(x, y) e AxB 知，xe A, K ye Bo 又由AcC, BcD 知，xeC,且ye D,因此，(Xt y) e CxDo 故，AxBcCxDo方法二.还有一种证明集合包含关系的方法，基于集合的交和并运算的两个基本性质ACB<=> AnB=A <=> AuB=B以及一些已经证岀的集合等式。
《离散数学》电子教案
第一章集合论一、教学内容及要求授课学时：2教学内容1.1 集合的基本概念集合的概念及其表示；集合与集合之间的包含、真包含和相等关系的定义，数学描述及判定和证明方法；空集、全集和幂集三个特殊集合的定义、性质以及幂集的计算算法。
1.2 集合的运算集合运算的定义、性质及证明1.3 无限集可数集合和不可数集合的概念。
1.4 与集合相关的应用与集合相关的简单应用实例。
基本要求1）能正确地用枚举法或叙述法表示一个集合，会画文氏图。
2）能判定元素与集合的属于关系。
3）能利用集合与集合关系的判定与证明方法证明两个集合之间的包含、相等、和真包含的关系。
4）能熟练计算集合之间的并、交、差、补运算，掌握集合运算的定律；5）能熟练地计算P(A)。
6）理解集合的归纳法表示。
7）理解集合的对称差运算。
8）了解集合的递归指定法表示。
9）了解无限集的基本概念。
10）了解集合的简单应用。
能力培养通过课堂讲解和课后实践作业，培养学生的抽象思维和问题解决能力。
二、教学重点、难点及解决办法教学重点：集合的概念及集合间关系的证明；集合的表示方法：列举法、描述法和文氏图；集合运算及定律和幂集P(A)的计算。
教学难点：从集合与元素两个角度去分析集合；集合与集合关系的证明和无限集基数的理解。
解决办法：1）在教学过程中，为了加强学生对一个集合“双重身份”的理解，可以通过实例教学法，让学生具体体会一个集合的“双重身份”带来的问题及解决办法；2）对于新概念—幂集，让学生编程实现求一个集合的幂集，从而加深对幂集的理解。
初步建立学生的发散思维能力以及实际动手编写程序的能力。
三、教学设计从集合伦论的创始人康托尔到集合论的最终完备，让学生明白科学研究的道路是坎坷的，但为全人类做出自己的贡献是有价值和意义的，从而要树立为科学献身的精神和爱国主义情怀。
从集合的定义入手，结合高中阶段对集合的认识，指出当时定义存在的不足，提出新的定义方法；重点介绍大学阶段学习集合的主要意义和内容，关注重点概念的理解；介绍属于关系与包含关系之间的区别与联系，特别是一个集合“双重身份”的理解；强调集合的基本运算，特别是幂集的计算；集合与集合包含、真包含和相等关系的数学描述及相应的证明方法。
大一离散数学第1,2章 集合-ppt
4. 恒等律:Ａ∪Φ=Ａ； Ａ∩Ｕ=Ａ； 5. 零 律:Ａ∪Ｕ=Ｕ； Ａ∩Φ=Φ； 6. 分配律:Ａ∩(Ｂ∪Ｃ)=(Ａ∩Ｂ)∪(Ａ∩Ｃ)
Ａ∪(Ｂ∩Ｃ)=(Ａ∪Ｂ)∩(Ａ∪Ｃ)
7. 吸收律:A∩(A∪B)=A; A∪(A∩B)=A； 8. 否定律:
AA
9. DeMorgan律： A B A B
又再∵计|算A||=A4,|,||BB||=和5，|A∪B|， 然∴后|代A|入＋公|B|式－(|2A.4∩.1B)|两=4端＋，5－验2=证7=等|式A∪B|
即定理即2可.4.。1成立；
(2)略。
三个集合的情形
• 定理2.4.3 设A，B和C是任意三个有限集合， 有
A∪B∪C =( A + B + C )-( A∩B + A∩C + B∩C )+ A∩B∩C
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ... ↓ ... E+ ２ ４ ６ ８ 10 ... 2(n+1) ... 所以，E+也是可数集合。
3）
在P与N之间建立1-1对应的关系 f：N→P如下： N ０ １ ２ ３ ４ ...
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ... P ２ ３ ５ ７ 11 ... 所以，P也是可数集合。
4）
• 推论2.4.4 设U为全集， A，B和C是任意有 限集合，则
A∩B∩C = U -( A + B + C ) +( A∩B + A∩C + B∩C )- A∩B∩C
容斥原理的推广
• 定理2.4.5 设A1, A2, …, An是任意n个有限集合， 则
n
A1∪A2 ∪ ∪An = Ai - Ai∩Aj + Ai∩Aj∩Ak
离散数学第一章知识点总结
离散数学第一章知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。
第一章通常是对离散数学的基础概念和预备知识进行介绍，为后续的学习打下坚实的基础。
以下是对离散数学第一章知识点的详细总结。
一、集合的基本概念集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
集合中的对象称为元素。
我们通常用大写字母来表示集合，用小写字母表示元素。
如果一个元素 a 属于集合 A，记作 a ∈ A；如果一个元素 b 不属于集合 A，记作 b ∉ A。
集合有两种常见的表示方法：列举法和描述法。
列举法是将集合中的元素一一列举出来，例如 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。
描述法是通过描述元素的共同特征来表示集合，例如 B ＝｛x ｜ x 是大于 0 小于 10 的整数}。
集合之间的关系包括子集、真子集和相等。
如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
如果 A 是 B 的子集，且 B 中存在元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集，记作 A ⊂ B。
如果 A 和 B 包含相同的元素，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B。
二、集合的运算集合的基本运算有并集、交集和差集。
集合 A 和集合 B 的并集，记作 A ∪ B，是由属于 A 或者属于 B 的所有元素组成的集合。
集合 A 和集合 B 的交集，记作A ∩ B，是由同时属于 A 和 B 的所有元素组成的集合。
集合 A 与集合 B 的差集，记作 A B，是由属于 A 但不属于 B 的所有元素组成的集合。
此外，还有补集的概念。
如果给定一个全集 U，集合 A 的补集记作A，是由属于 U 但不属于 A 的所有元素组成的集合。
集合运算满足一些重要的定律，如交换律、结合律、分配律等。
例如，A ∪ B ＝ B ∪ A（并集的交换律），A ∩ B ＝B ∩ A（交集的交换律），（A ∪ B) ∪ C ＝ A ∪（B ∪ C)（并集的结合律），（A ∩B) ∩ C ＝A ∩ （B ∩ C)（交集的结合律）等。
离散数学答案
2015春课件作业第一部分集合论第一章集合的基本概念和运算1-1 设集合 A ={{2，3,4}，5，1}，下面命题为真是 A （选择题） [ A ] A．1 ∈A； B．2 ∈ A； C．3 ∈A； D．{3，2,1} ⊆ A。
1-2 A,B,C 为任意集合，则他们的共同子集是 D （选择题） [ D ] A．C； B．A； C．B； D．Ø。
1-3 设 S = {N，Z，Q，R}，判断下列命题是否正确（是非题）（1） N ⊆ Q，Q ∈S，则 N ⊆ S，否［错］（2）-1 ∈Z，Z ∈S，则 -1 ∈S 。
否［错］1-4 设集合 B = {4，3} ∩Ø， C = {4，3} ∩{ Ø }，D ={ 3，4，Ø }，E = {x│x ∈R 并且 x2 - 7x + 12 = 0}，F = { 4，Ø，3，3}，试问：集合 B 与那个集合之间可用等号表示 A （选择题） [A ]A. C;B. D;C. E;D. F.1-5 用列元法表示下列集合：A = { x│x ∈N 且 3－x 〈 3 }（选择题） [D ]A. N;B. Z;C. Q;D. Z+1-6 为何说集合的确定具有任意性 ? (简答题)按照所研究的问题来确定集合的元素。
而我们所要研究的问题当然是随意的。
所以，集合的定义（就是集合成分的确定）就带有任意性。
第二章二元关系2-1 给定 X =（3, 2，1），R 是 X 上的二元关系，其表达式如下：R = {〈x，y〉x，y ∈X 且 x > y } （综合题）求：(1)domR =?; (2)ranR =?; (3)R 的性质。
所谓谓词表达法，即是将集合中所有元素的共同性质用一个谓词概括起来，如本题几例所示。
有的书上称其为抽象原则。
反过来，列元法则是遵照元素的性质和要求，逐一将他们列出来，以备下用,结果如下：R = {<1,1>,<2,2>,<3,3>}；(1)DomR={R中所有有序对的x}={3,2,1};(2)RanR={R中所有有序对的y}={3,2,1}；(3)R 的性质:自反,对称,传递性质.2-2 设 R 是正整数集合上的关系，由方程 x + 3y = 12 决定，即R = {〈x，y〉│x，y ∈Z+ 且 x + 3y = 12}，试给出 dom（R 。
离散数学集合论知识点
离散数学集合论知识点
离散数学集合论知识点
集合是离散数学中最基本的概念之一，集合论是研究集合性质、集合运算等问题的学科。
以下是关于集合论的几个重要知识点：
1. 集合的定义和符号表示
集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为该集合的元素，用大括号括起来表示。
例如，{1, 2, 3}表示一个由1、2、3三个元素组成的集合。
通常用小写字母表示集合，例如A、B、C等，用大写字母表示元素。
2. 子集和真子集
集合A是集合B的子集，当且仅当A中的每个元素都是B中的元素。
用符号A⊆B表示。
若A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集。
用符号A⊂B表示。
3. 并集和交集
设A和B为两个集合，则它们的并集是由A和B中的元素组成的集合，用符号A∪B表示；它们的交集是A和B中共有的元素组成的集合，用符号A∩B表示。
4. 补集和差集
设U是全集，A是U的一个子集，那么A的补集是U中不属于A的所有元素组成的集合，用符号A'表示。
如果A、B是U的子集，则它们的差集是由属于A 但不属于B的元素组成的集合，用符号A-B表示。
5. 笛卡尔积
设A和B为两个集合，则A和B的笛卡尔积是由所有有序对(a,b)组成的集合，其中a∈A，b∈B。
用符号A×B表示。
例如，若A={1,2}，B={a,b}，则A×B={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}。
以上是离散数学集合论的一些基本知识点，它们是其他数学领域的基础，在实际应用中也有广泛的应用。
离散数学 集合论
B A，也称B包含A。
B A E
1.2.1 包含关系与相等关系
N：全体自然数的集合
Z：全体整数的集合
R：全体实数的集合
Q：全体有理数的集合
1.2.1 包含与相等关系
集合相等：当两个集合A和B的元素完 全一样。
A=B
例1：设A={x|x是偶数，且0<x<10}，
集合代数运算-练习
证明：任取 a A B 即aA∪B
亦即aA且aB
a A aB
a A B
( A B) A B
集合代数运算-练习
证明：任取 a A B ，即 a A 且a B ，
亦即aA且aB，于是aA∪B ，
a A B
a A B
A B ( A B)
A.
{0}
B.
0
C.
D.
第一章-练习
1) A={a,{a}}
{Ф, {a}, {{a}}, {a,{a}}}
2) A={Ф,a,{a}}
{Ф, {Ф},{a},{{a}},{Ф,a},{Ф,{a}},
{a,{a}}, {Ф,a,{a}}}
1.1.1 集合
3、设A是一个集合，a是集合A中的元素，
aA
a不是集合A中的元素，
“a属于A”
aA
“a不属于A”
例2. A是偶数集合，则2A，8A; 而 3A，9A
1.1.1 集合
集合
元素
属于
1.1.2 集合的性质
4、集合的性质
确定性 互异性
无序性
多样性
1.1.2 集合的性质
离散数学导论(第5版)-第二篇 集合论
18
• • 四个次序关系间的关系： • • • R是拟序则r (R) = R • • • R是偏序则R－Q是拟序 • • • 字典次序关系必为线性次序关系 • • • R是拟序则必反对称 • 八个概念： • • 最大元素（最小元素） • • 极大元素（极小元素） • • 上界（下界） • • 上确界（下确界）
• • |A∪B|＝|A|+|B|－|A∩B|
• •|A∪B∪C| ＝ |A|+|B|+|C| － |A∩B| － |A∩C| －|B∩C|+|A∩B∩C| n
i=1 1≤i＜j≤n
1≤i＜j＜k≤n
• •|S1∪S2∪…∪Sn|n－＝1∑|Si|－∑ |Si∩Sj|＋ ∑
• |Si∩Sj∩Sk|（－1）∑ |S1∩S2∩…∩S n|
§3.1 函数的基本概念
• （1）一个基本概念——函数的基本概念。
•
函数建立了从一个集合到另一个集合的特殊对应关系。
设有集合X与Y，如果我们有一种对应关系f，使X的任一元素x能
与y中的一个唯一的元素y相对应，则这个对应关系f叫从X到Y的
函数或叫从X到Y的映射。x所对应的y内的元素y叫x的像，而x则
叫y的像源。上述函数我们可以表示成f：XY；或写成XY；
以及y＝f（x）。
•
（2）三种不同性质函数：
•
• 满射与内射
离散数学集合论基础知识
离散数学集合论基础知识离散数学是计算机科学中一门重要的基础学科，集合论是离散数学的基础之一。
在这篇文章中，我们将介绍离散数学集合论的基础知识，包括集合的定义、运算、关系等内容。
一、集合的定义与表示集合是具有确定性的事物或对象的总体，它是数学中的一个基本概念。
我们可以用不同的方式表示一个集合，包括列举法、描述法和图形法。
（一）列举法列举法是通过列举集合中的元素来表示一个集合。
例如，可以用列举法表示自然数集合N={1, 2, 3, 4, …}，表示所有正整数的集合。
（二）描述法描述法是通过描述集合中元素的性质来表示一个集合。
例如，可以用描述法表示偶数集合E={x | x是整数，且x能被2整除}，表示所有能被2整除的整数的集合。
（三）图形法图形法是用图形的方式表示一个集合。
例如，可以用图形法表示平面上所有整数坐标点构成的集合。
二、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。
（一）并集集合A与集合B的并集，记作A∪B，表示由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合。
例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
（二）交集集合A与集合B的交集，记作A∩B，表示由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合。
例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。
（三）差集集合A与集合B的差集，记作A-B，表示由属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合。
例如，设A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。
（四）补集对于给定的全集U，集合A相对于全集U的补集，记作A'或者A^c，表示由全集U中不属于集合A的元素组成的集合。
例如，设全集U为自然数集合N，A={2, 4, 6}，则A'={1, 3, 5, 7, ...}（即不是偶数的自然数）。
三、集合的关系集合的关系包括包含关系、相等关系和互斥关系等。
大一离散数学一知识点总结
大一离散数学一知识点总结一、集合论1.集合与元素：集合是由对象组成的整体，元素是集合中的个体。
2.集合的表示方法：列举法、描述法和图表法。
3.集合间的关系：包含关系、相等关系、空集和全集。
4.集合的运算：并集、交集、差集、补集和对称差集。
5.集合的基本定理：德摩根定律、分配律和交换律等。
6.集合的基数：集合中元素的个数（有限集和无限集）。
二、命题逻辑1.命题：能够判断真假的陈述句。
2.逻辑联结词：非、析取、合取、条件和双条件。
3.命题公式：由命题和逻辑联结词组成的公式。
4.真值表：列出所有可能的真值组合。
5.命题等价和命题蕴含：两个命题具有相同的真值时为命题等价，一个命题的真值在另一个命题真值为真的时候也为真则为命题蕴含。
6.逻辑等价式：两个命题公式具有相同的真值。
三、谓词逻辑1.谓词：含有变元的命题，变元通过谓词来确定。
2.量词：全称量词和存在量词。
3.谓词逻辑公式：由谓词、量词和逻辑联结词组成的公式。
4.真值表：列出所有可能的变元代入组合。
5.谓词等价和谓词蕴含：两个谓词公式具有相同的真值时为谓词等价，一个谓词公式的真值在另一个谓词公式真值为真的时候也为真则为谓词蕴含。
6.量词之间的分配律和德摩根定律。
四、数理逻辑1.永真式和重言式：在所有可能的真值组合下都为真的公式为永真式，只有真的真值组合下为真的公式为重言式。
2.可满足和不可满足：存在至少一个真值组合使得公式为真时为可满足，所有真值组合下都为假时为不可满足。
3.命题逻辑和谓词逻辑的相互转化。
4.归结法：通过使用归结规则进行推理。
5.形式化证明：使用公理和推理规则进行证明。
6.正确性和完备性：一个证明系统是正确的是指该系统能够证明所有真的命题，一个证明系统是完备的是指该系统能够证明所有可满足的公式。
五、代数结构1.半群：满足结合律的代数结构。
2.群：满足结合律、单位元和逆元的代数结构。
3.环：满足加法和乘法封闭性、结合律、分配律的代数结构。
离散数学课件第一章
图的连通性
04
CHAPTER
逻辑基础
命题逻辑中的基本概念包括命题、真值和逻辑运算，通过这些基本概念可以表达和推理复杂的命题关系。
命题逻辑在计算机科学、人工智能、自动化等领域有广泛应用，是形式化方法的重要基础。
命题逻辑是研究命题之间关系的逻辑分支，主要涉及命题的否定、合取、析取、蕴含等基本运算。
命题逻辑
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等。并集是指两个或多个集合合并为一个新的集合，包含所有元素；交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的集合；差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合。这些运算在离散数学中有着广泛的应用。
总结词
集合的运算
集合的基数是指集合中元素的个数，通常用大写字母表示。
鸽巢原理
THANKS
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集合论
图论是研究图（由节点和边构成的结构）的数学分支，它广泛应用于计算机科学和工程学科。
图论
逻辑是离散数学的另一个重要分支，它研究推理的形式和规则，是计算机科学和人工智能的基础。
逻辑
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支，它在计算机科学和统计学中有重要的应用。
组合数学
离散数学的研究内容
02
CHAPTER
离散数学课件第一章
目录
绪论 集合论基础 图论基础 逻辑基础 组合数学基础
01
CHAPTER
绪论
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树等）的数学分支，它不涉及连续的量或函数。
离散数学的定义
离散数学的起源
离散数学的特点
离散数学的起源可以追溯到古代数学，如欧几里得几何和数论。
离散数学强调结构、关系和组合，而不是连续性和微积分。
1.1集合的基本概念(离散数学)
对于任意集合A,B,C有如下算律：
1. 等幂律： A∩A=A，A∪A=A。 2. 交换律： A∩B=B∩A，A∪B=B∪A。 3. 结合律： (A∩B)∩C=A∩(B∩C)，
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。 4. 分配律： A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。 5. 吸收律： A∩(A∪B)=A，A∪(A∩B)=A。
任何一个对象，或者是这个集合的元 素，或者不是，二者必居其一；
例如：A={x|x是自然数，且x<100} B={x|x是年轻人} C={x|x是秃子}
互异性
集合中任何两个元素都是不同的，即 集合中不允许出现重复的元素。
例如： 集合A={a,b,c,c,b,d}，实际上， 应该是A={a,b,c,d}
无序性
集合与其中的元素的顺序无关
例如： 集合{a,b,c,d,e}、{d,c,e,a,b}、 {e,c,d,b,a}，都是表示同一个集合。
多样性
集合中的元素可以是任意的对象，相 互独立，不要求一定要具备明显的共 同特征。
例如： A={a,{a},{{a},b},{{a}}, 1} A={1,a,*,-3,{a,b},{x|x是汽车},地球}
“所要讨论的一类对象的整体”； “具有同一性质单元的集体”
通常，用大写的英文字母A, B, C,…… 表示集合；
例如:
1、二十六个英文字母可以看成是一个集 合；
2、所有的自然数看成是一个集合；
3、吉林大学计算机学院2001级的本 科学生可以看成是一个集合；
4、这间教室中的所有座位可以看成 是一个集合。
a=c，b=d
【定义13】笛卡儿积(Cartesian product)
离散数学知识点归纳
离散数学知识点归纳一、集合论。
1. 集合的基本概念。
- 集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
例如，A = {1,2,3}，其中1、2、3是集合A的元素。
- 集合的表示方法有列举法（如上述A的表示）和描述法（如B={xx是偶数且x < 10}）。
2. 集合间的关系。
- 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆ B。
例如，{1,2}⊆{1,2,3}。
- 相等：如果A⊆ B且B⊆ A，则A = B。
- 真子集：如果A⊆ B且A≠ B，则A是B的真子集，记作A⊂ B。
3. 集合的运算。
- 并集：A∪ B={xx∈ A或x∈ B}。
例如，A = {1,2}，B={2,3}，则A∪B={1,2,3}。
- 交集：A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}。
对于上述A和B，A∩ B={2}。
- 补集：设全集为U，集合A相对于U的补集¯A=U - A={xx∈ U且x∉ A}。
二、关系。
1. 关系的定义。
- 设A、B是两个集合，A× B的子集R称为从A到B的关系。
当A = B时，R称为A上的关系。
例如，A={1,2}，B = {3,4}，R={(1,3),(2,4)}是从A到B的关系。
2. 关系的表示。
- 关系矩阵：设A={a_1,a_2,·s,a_m}，B={b_1,b_2,·s,b_n}，R是从A到B的关系，则R的关系矩阵M_R=(r_ij)，其中r_ij=<=ft{begin{matrix}1,(a_i,b_j)∈ R0,(a_i,b_j)∉ Rend{matrix}right.。
- 关系图：对于集合A上的关系R，用节点表示A中的元素，若(a,b)∈ R，则用有向边从a指向b。
3. 关系的性质。
- 自反性：对于集合A上的关系R，如果对任意a∈ A，都有(a,a)∈ R，则R 是自反的。
例如，A={1,2,3}，R = {(1,1),(2,2),(3,3)}是自反关系。
离散数学大一第1章知识点总结
离散数学大一第1章知识点总结离散数学是一门学科，它主要研究离散的数学结构和离散的数学对象。
它与连续数学形成鲜明的对比，连续数学主要研究连续的数学结构和连续的数学对象。
离散数学在计算机科学、信息科学、数学、电子工程等领域有着广泛的应用。
离散数学的第1章主要介绍了一些基本概念和基础知识。
这些知识对学习离散数学后续的内容起到了铺垫作用。
首先，我们来讨论集合的概念。
在离散数学中，集合是一个基本的概念。
它是指具有确定的、互不相同的对象所组成的整体。
集合中的对象称为元素。
集合可以用列表、描述、特征等方式表示。
在集合中，元素的顺序是不重要的，而且每个元素只能在集合中出现一次。
集合之间可以进行交集、并集、差集等运算。
接下来，我们介绍了逻辑的基本概念。
在离散数学中，逻辑主要研究命题和命题之间的关系。
命题是一个陈述句，它要么是真的，要么是假的。
逻辑运算符包括否定、合取、析取、条件、双条件等。
通过使用逻辑运算符，我们可以构建复合命题。
离散数学中还介绍了数学归纳法。
数学归纳法是一种证明方法，它用于证明与自然数有关的命题。
数学归纳法的基本思想是：首先证明基础情况成立，然后假设一个数k的情况成立，再证明k+1的情况也成立。
通过这种方式，我们可以证明自然数的某个性质对所有数值都成立。
离散数学的第1章还介绍了关系和函数。
关系是一个集合，其中包含了有序对。
关系可以是自反的、对称的、传递的等。
函数是一种特殊的关系，它的每一个输入都有且只有一个输出。
函数可以表示为图表、公式或算法的形式。
函数的定义域和值域是函数的重要概念。
另外，离散数学的第1章还介绍了图论的基础知识。
图是由节点和边组成的结构。
节点表示对象，边表示节点之间的关系。
图可以是有向的、无向的、加权的、连通的等。
图的表示方法包括邻接矩阵和邻接表等。
总的来说，离散数学的第1章主要介绍了集合、逻辑、数学归纳法、关系、函数和图论的基本概念和基础知识。
这些知识对后续章节的学习至关重要，构建了离散数学的基础框架。
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软件学院
集合间的关系
(2).性质：
(a). 有自反性，对任何集合A有AA。 (b). 有传递性，对任何集合A、B、C，有AB且 BC ，则AC。 (c). 有反对称性，对任何集合A、B，有AB且 BA ，则A=B。
软件学院
集合间的关系 2. 相等关系 定义：A、B是集合，如果它们的元素完全相同，则 称A与B相等。记作A=B。 性质： ⑴有自反性，对任何集合A，有A=A。 ⑵有传递性，对任何集合A、B、C，如果有A=B且 B=C ，则A=C。 ⑶有对称性，对任何集合A、B，如果有A=B，则 B=A。
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郑 州 大 学
离 散 数 学
任课教师： 刘 学文
软件学院
第一篇
绪 言
离散数学的特征和性质 此课程的主要学习内容 此课程的主要学习方法
软件学院
第一篇
绪 言
正如马克思所说的：‚一门科学，只有当它能够 运用数学时，才算真正发展了。‛计算机正是在 离散数学中图灵机理论的指导下诞生的。 离散数学是数学的一个分支，它以离散量作为其 主要研究对象，是研究离散对象的结构以及它们 之间相互关系的科学。由于计算机不论硬件还是 软件都属于离散结构，所以计算机所应用的数学 必是离散数学。
A A∩B B
软件学院
集合的运算 性质： ⑴幂等律 对任何集合A，有A∩A=A。 ⑵交换律 对任何集合A、B，有A∩B=B∩A。 ⑶结合律 对任何集合A、B、C，有 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)。 ⑷同一律 对任何集合A，有A∩E=A。 ⑸零一律 对任何集合A，有A∩Φ=Φ。 ⑹ AB A∩B=A。
软件学院
集合的运算
5.对称差
定义：A、B是集合,由属于A而不属于B，或者属 于B而不属于A的元素构成的集合,称之为A与B的对 称差,记作AB。 由右图可以看出：
E
A
B
AB= A∪B- A∩B=(A-B) ∪(B-A)
例如：A={1,2,3}， B={2,3,4} 则AB={1,4} AB
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集合的运算
补集与差集的关系： ~A=E-A ，A∩(~B)=A-B，A∩~A=Φ， A∪~A=E 利用以上性质我们可以得到著名的德.摩根定律（ De Morgan’s Law): ～(A ∪B)= ～A ∩ ～B ～(A ∩ B)= ～A ∪ ～B 我们简单地证明一下第一个式子： 只需证： (A ∪B) ∪(～A ∩ ～B)=E 和 (A ∪B) (～A ∩ ～B)=Φ
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第二篇 集合论
主要包括如下内容： 集合论基础 二元关系 函数
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第一章
集合论基础
本章主要介绍如下内容： 基本概念及集合的表示方法 集合间的关系 特殊集合 集合的运算
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基本概念 1.集合与元素 集合：是由确定的对象(客体)构成的集体。一般用 大写的英文字母表示。 这里所谓‚确定‛是指：论域内任何客体，要么 属于这个集合，要么不属于这个集合，是唯一确定 的。 元素：集合中的对象，称之为元素。 ∈：表示元素与集合的属于关系。 例如，N表示自然数集合，2∈N， 而1.5不属于N，写成 1.5N。
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⑷集合中的元素也可以是集合，下面的集合的含义 不同： 如 a ： 张书记 {a} : 党支部(只有一个书记) {{a}} ： 分党委(只有一个支部) {{{a}}}： 党委 (只有一个分党委) {{{{a}}}}： 市党委(只有一个党委)
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特殊集合 1.全集 E 定义：包含所讨论的所有集合的集合，称之为全集， 记作E。 由于讨论的问题不同，全集也不同。所以全集 不唯一。 例如: 若讨论数，可以把实数集看成全集。 若讨论人，可以把人类看成全集。 性质：对于任何集合A，都有A在E中。
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2. 有限集合与无限集合 这里对有限集合与无限集合先给出朴素的定 义，以后再给出严格的形式定义。 有限集合：元素是有限个的集合。 如果A是有限集合，用|A|表示A中元素个数。 例如，A={1,2,3}, 则|A|=3。 无限集合：元素是无限个的集合。 对无限集合的所谓‘大小’的讨论，以后再进行。
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第一篇 离散数学课程是
绪 言
计算机系核心课程 信息类专业必修课 其它类专业的重要选修课程 离散数学也是后继课的基础
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第一篇
绪 言
离散数学课程的学习可以培养学生抽象的 思维、逻辑推理能力和创新能力。 让学生见识一些重要的数学思想、数学方 法以及用数学解决实际问题的著名事例。 培养逻辑思维的能力和分析问题解决问题 的能力。
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集合的运算
3.绝对补集 ~
定义：A是集合,由不属于A的元素构成的集合 ,称 之为A的绝对补集,记作~A。 例如，E={1,2,3,4}，A={2,3}, 则~A={1,4}
E ~A A
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集合的运算 性质： 设A、B、C是任意集合，则 ⑴ ~E=Φ ⑵ ~Φ=E ⑶~(~A)=A ⑷ A∩~A=Φ ⑸ A∪~A=E 注：在这里只有~A同时满足性质（4）（5）（称作 ~A的惟一性）。 证明：此时我们假设除了~A还有B满足（4）（5），则 有B=B ∪Φ =B ∪(A∩~A)=（B ∪A）∩（B ∪ ~A ） =E ∩(B ∪ ~A)= B ∪ ~A. 同理，我们可以得到~A= ~A ∪B.因此B= ~A. ⑹A-B=A∩~B
n元有序组
7. 笛卡尔乘积 先给出n元有序组的定义
定义：n个（n>1）按一定次序排列的客体a1 ,
a2 , …，an 组成一个有序序列，称为n元有序组，记
为（ a1 , a2 , …，an ）。
例如我国当前使用的身份证号码是由一个七元有序
组组成（省、市、区、出生年、月、日、序列号） 410102198708250037
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3.集合的表示方法 列举法：将集合中的元素一一列出，写在大括号内。 例如，N={1,2,3,4,……} A={a,b,c,d} 描述法：用句子描述元素的属性。 例如，B={x| x是偶数} C={x|x是实数且2≤x≤5} 一般地，A={x|P(x)}, 其中P(x)是谓词公式， 如果客体a使得P(a)为真，则a∈A，否则aA。
⑶结合律 对任何集合A,B,C,有(A∪B)∪C=A∪(B∪C).
⑷同一律 对任何集合A，有A∪Φ=A。
⑸零一律 对任何集合A，有A∪E =E
。
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集合的运算
⑹分配律 对任何集合A、B、C，有 A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C)。 A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)。 ⑺吸收律 对任何集合A、B，有 A∪(A∩B)=A A∩(A∪B) =A。 ⑻AB A∪B=B。
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4. 说明 ⑴集合中的元素间次序是无关紧要的，但是必须是 可以区分的，即是不同的。例如A={a,b,c}， B={c,b,a}，C={a,b,c,a}，则A、B和C是一样的。 ⑵对集合中的元素无任何限制，例如令 A={人，石头，1，Ｂ}, B={Φ,{Φ}} ⑶本书中常用的几个集合符号的约定： 自然数集合N= {1,2,3,……} 整数集合I，实数集合R，有理数集合Q
A，如果|A|=n, 则|P(A)|=2n。
例如：Ａ＝{a,b,c} 则 P(A)= {Φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} |P(A)|＝ C 0 ＋ C 1 3 3
＝23＝8 ＋ 2 C3 ＋ 3 C3
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集合的运算
2.并运算∪ 定义：A、B是集合，由或属于A，或属于B的 元素构成的集合 ,称之为A与B的并集,记作A∪B。
例如:A={1,2,3} ,B={2,3,4} 则A∪B={1,2,3,4}
A
B
A∪B
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集合的运算 性质： ⑴幂等律 对任何集合A，有A∪A=A。 ⑵交换律 对任何集合A,B，有A∪B=B∪A。
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集合的运算
性质： ⑴交换律 对任何集合A、B，有AB=BA。 ⑵结合律 对任何集合A、B、C，有 (AB)C=A(BC)。 ⑶同一律 对任何集合A，有AΦ=A。 ⑷对任何集合A，有AA=Φ。 ⑸∩对可分配 A∩(BC)=(A∩B)(A∩C)
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幂集
6. 集合的幂集 定义: A是集合，由A的所有子集构成的集合，称之 为A的幂集。记作P(A)或2A。 P(A)={B| BA} 例如: A A的幂集P(A) Φ {Φ} {a} {Φ,{a}} {a,b} {Φ,{a},{b},{a,b}}
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差集性质证明
(6)(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证明: （6）(A-B)-C=(A-B) ∩ ～C=(A ∩ ～B) ∩ ～C 同时(A-C)-(B-C)=(A ∩ ～C) ∩ [～(B ∩ ～C)] = (A ∩ ～C) ∩ [～B ∪ C] = [(A ∩ ～C) ∩ ～B ]∪ [(A ∩ ～C) ∩ C] = [(A ∩ ～C) ∩ ～B ]∪ Φ = [(A ∩ ～C) ∩ ～B ] = =(A ∩ ～B) ∩ ～C
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第一篇
绪 言
离散数学的主要学习内容： 1. 集合论 2. 代数系统 3. 图论 4. 数理逻辑 *5. 组合数学 *6. 形式语言与自动机
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第一篇
绪 言
特点：内容较杂，概念多，定理多，比较 抽象，学习有一定的难度。 学习方法： 1.准确掌握每个概念(包括内涵及外延)。 2.要有刻苦钻研的精神,不断总结经验。 3.在理解内容的基础上，要多做练习题， 从而再进一步加深理解所学内容。 4.注意培养分析问题和解决问题的能力
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德.摩根定律的证明
显然： (A ∪B) ∪(～A ∩ ～B) =[(A ∪B) ∪(～A)] ∩[(A ∪B) ∪(～B)] =E ∩ E=E 及： (A ∪ B) ∩(～A ∩ ～B) =[(A ∪ B) ∩(～A）] ∩ [(A ∪ B) ∩(～B)] = (B-A) ∩(A-B) = Φ 其中，我们用到了 B ∩(～A)=B-A 和 A∩(～B)=A-B 由补集的惟一性，得 ～(A ∪B)=(～A ∩ ～B) 同理可得 ～(A ∩ B)=(～A ∪ ～B)