重庆市2021-2022学年度高三4月调研测试(二诊)数学试题(理)及答案解析

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2021-2022年高三四月二模数学理科试卷及答案

2021-2022年高三四月二模数学理科试卷及答案xx.4.19一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，点F为BC上靠近点B的一个三等分点，则→EF＝（A）12→AB－13→AD（B）23→AB＋12→AD（C）13→AB－12→AD（D）12→AB－23→AD2．“复数a＋i2＋i（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限”是“a＜－1”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件3．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（A）0.35 （B）0.25 （C）0.20 （D）0.154．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为（A）6 3（B）8（C）8 3（D）125．已知(33x2－1x)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中第7项的系数是（A）－24 （B）24 （C）－252 （D）2526．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m的取值范围是（A）(42，56]（B）(56，72]（C）(72，90]（D）(42，90)7．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝1x（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（A）ln2 2（B）1－ln22（C）1＋ln22（D）2－ln228．已知直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0），两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），若(Ax1＋By1＋C)( Ax2＋By2＋C)＞0，且|Ax1＋By1＋C|＜|Ax2＋By2＋C|，则直线l（A）与直线P1P2不相交（B）与线段P2P1的延长线相交（C ）与线段P 1P 2的延长线相交（D ）与线段P 1P 2相交9．抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点A 、B 在此抛物线上，且∠AFB ＝90°，弦AB 的中点M 在其准线上的射影为M ′，则|MM ′||AB |的最大值为（A ）22 （B ）32（C ）1 （D ） 3 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，x ≤0，log 2x ， x ＞0。

重庆市届高三4月调研测试(二诊)数学理试题Word版含答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,0,1,2,3}A =-，2{|30}B x x x =->，则()R AC B =（）A ． {1}-B ．{0,1,2}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3}2．若复数z 满足2(1)1z i i +=-，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知向量(,1)a x =-，(1,3)b =，若a b ⊥，则||a =（）A ．2 D ． 44．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（） A ．10日 B ． 20日 C ． 30日 D ．40日5．设直线0x y a --=与圆224x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，若AOB ∆为等边三角形，则实数a 的值为（）A ．．． 3± D ．9±6．方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（） A ．30m -<< B ．32m -<< C ． 34m -<< D ．13m -<< 7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的数不可能是（）A ．15B ．18C ． 19D ．208．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中11DD =，12AB BC AA ===，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数2sin()y x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图象如图所示，则ϕ=（）A ．6π B ．4π C ． 3π D ．2π 10．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点,P Q ，若||2||PQ QF =，60PQF ∠=，则该双曲线的离心率为（）A ．1． 2．4+11．已知函数2()(3)x f x x e =-，设关于x 的方程2212()()0()f x mf x m R e --=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为（）A ． 3B ． 1或3C ． 4或6D ．3或4或6121111ABCD A BC D -内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（） A．8 B．4C ．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在52(2)a x x+的展开式中4x -的系数为320，则实数a = ． 14．甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，其中m 为小于10的自然数，已知甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，则甲组数据的平均数也大于乙组数据的平均数的概率为．15．设函数22log (),12()142,1333x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪=⎨⎪-++>-⎪⎩，若()f x 在区间[,4]m 上的值域为[1,2]-，则实数m 的取值范围为．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，2n n a n a =-，211n n a a +=+，则100S = ．（用数字作答）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin()2sin ()24C A B π-=-．（1）求sin cos A B 的值；（2）若a b =B ．18．如图，矩形ABCD中，AB =AD =M 为DC 的中点，将DAM ∆沿AM 折到'D AM ∆的位置，'AD BM ⊥．（1）求证：平面'D AM ⊥平面ABCM ；（2）若E 为'D B 的中点，求二面角'E AM D --的余弦值．19． “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有X 人，超过10000步的有Y 人，设||X Y ξ=-，求ξ的分布列及数学期望．20．已知,A B 分别为椭圆C ：22142x y +=的左、右顶点，P 为椭圆C 上异于,A B 两点的任意一点，直线,PA PB 的斜率分别记为12,k k ．（1）求12,k k ；（2）过坐标原点O 作与直线,PA PB 平行的两条射线分别交椭圆C 于点,M N ，问：MON ∆的面积是否为定值？请说明理由．21．已知曲线2ln ln ()x a x af x x ++=在点(,())e f e 处的切线与直线220x e y +=平行，a R ∈．（1）求a 的值；（2）求证：()x f x ax e>．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin 2x t y t αα=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22244sin cos ρθθ=+．（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点P 的直角坐标为1(1,)2-，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求||||PA PB 的取值范围．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|||3|f x x a x a =-+-．（1）若()f x 的最小值为2，求a 的值；（2）若对x R ∀∈，[1,1]a ∃∈-，使得不等式2||()0m m f x --<成立，求实数m 的取值范围．试卷答案2017年普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷理科数学一、选择题 1～6 DCCCCD7～12 DABCAD第（11）题解析：x x x x f +-='e )3)(1()(，)(x f ∴在)3,(--∞和),1(+∞上单增，)1,3(-上单减又当-∞→x 时0)(→x f ，+∞→x 时+∞→)(x f ，故)(x f 的图象大致为：令t x f =)(，则方程0e 1222=--mt t 必有两根21,t t )(21t t <且221e 12-=t t ，当e 21-=t 时恰有32e 6-=t ，此时1)(t x f =有1个根，2)(t x f =有2个根；当e 21-<t 时必有32e 60-<<t ，此时1)(t x f =无根，2)(t x f =有3个根；当0e 21<<-t 时必有32e 6->t ，此时1)(t x f =有2个根，2)(t x f =有1个根；综上，对任意R m ∈，方程均有3个根.第（12）题解析：由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过A 点的三个面相切，且切点分别在线段11,,AD AC AB 上，设线段1AB 上的切点为E ，1AC 面21O BD A =，圆柱上底面的圆心为1O ，半径即为E O 1记为r ，则2262331312=⨯⨯==DF F O ，13112==AC AO ，由F O E O 21//知E O AO AO E O 11112122=⇒=，则圆柱的高为r AO 223231-=-，242(3))()2r rS r r r π+=-=⋅==侧≤二、填空题（13）2（14）53（15）]1,8[-- （16）1306第（15）题解析：函数)(x f 的图象如图所示，结合图象易得，当]1,8[--∈m 时，]2,1[)(-∈x f.第（16）题解析：1122+=++n a a n n ，则12745032999832=+++=++++ a a a a ，31302932262550136122550100=+=+=-=+=+=-=a a a a a a a ，则1306100=S .三、解答题（17）解：（Ⅰ）1cos sin 2)sin(1sin 1)2cos(1)sin(=⇒+-=-=--=-B A B A C C B A π，21cos sin =∴B A ；（Ⅱ）332sin sin ==b a B A ，由（Ⅰ）知212sin 33cos sin 332cos sin ===B B B B A ，232sin =∴B ， 32π=∴B 或32π，6π=∴B 或3π. （18）解：（Ⅰ）由题知，在矩形ABCD 中，︒=∠=∠45BMC AMD ，︒=∠∴90AMB ，又BM A D ⊥'，⊥∴BM 面AM D '，∴面⊥ABCM 面AM D '；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在平面AM D '内过M 作直线MA NM ⊥，则⊥NM 平面ABCM ，故以M 为原点，MN MB MA ,,分别为z y x ,,轴的正方向建立空间直角坐标系，则)0,0,0(M ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)1,0,1(D '，于是)21,1,21(E ，)0,0,2(=MA ，)21,1,21(=，设平面EAM 的法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=0212102z y x x 令1=y ，得平面EAM 的一个法向量)2,1,0(-=，显然平面AM D '的一个法向量为)0,1,0(=，故51,cos >=<，即二面角D AM E '--的余弦值为55.（19）解：（Ⅰ）841.3114018222020)861214(4022<=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，故没有95%以上的把握认为二者有关；（Ⅱ）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为81，超过10000步的概率为41，且当0==Y X 或1==Y X 时，0=ξ，12551129888464P C =⨯+⋅=；当0,1==Y X 或 1,0==Y X 时，1=ξ，6430854185811212=⋅+⋅=C C P ；当0,2==Y X 或2,0==Y X 时，2=ξ，645)81()41(22=+=P ，即ξ的分布列为：85=ξE .（20）解：（Ⅰ）设),(00y x P ，则21242220202020000021-=-=-=-⋅+=y y x y x y x y k k ；（Ⅱ）由题知，直线x k y OM 1:=，直线x k y ON 2:=，设),(),,(2211y x N y x M ，则|)(|21||21||2121211122211221x x k k x k x x k x y x y x S -=⋅-⋅=-=，由212112221442k x xk y y x +=⇒⎩⎨⎧==+，同理可得2222214k x +=，故有1)(24)2(16214214)(42221222121222122212212+++-+=+⋅+⋅-=k k k k k k k k k k k k S ，又2121-=k k ，故8)(22)1(164222122212=++++=k k k k S ，2=∴S . （21）解：（Ⅰ）22ln (2)ln ()x a x f x x -+-'=，由题22122(e)3e e a f a -+-'==-⇒=；（Ⅱ）2ln 3ln 3()x x f x x++=，2ln (ln 1)()x x f x x -+'=，1()01e f x x '>⇒<<，故()f x 在1(0,)e和(1,)+∞上递减，在1(,1)e上递增， ①当(0,1)x ∈时，1()()e e ≥f x f =，而33(1)()e e x x x x -'=，故3e xx 在(0,1)上递增， 33e e e x x ∴<<，3()e x x f x ∴>即()3ex f x x >；②当[1,)x ∈+∞时，2ln 3ln 30033≥x x ++++=，令23()e x x g x =，则23(2)()e x x x g x -'=故()g x在[1,2)上递增，(2,)+∞上递减，212()(2)3e ≤g x g ∴=<，223ln 3ln 3ex x x x ∴++>即()3ex f x x >；综上，对任意0x >，均有()3ex f x x >. （22）解：（Ⅰ）14444cos sin 422222222=+⇒=+⇒=+y x x y θρθρ；（Ⅱ）因为点P 在椭圆C 的内部，故l 与C 恒有两个交点，即R ∈α，将直线l 的参数方程与椭圆C 的直角坐标方程联立，得4)sin 21(4)cos 1(22=+++-ααt t ，整理得 02)cos 2sin 4()sin 31(22=--++t t ααα，则]2,21[sin 312||||2∈+=⋅αPB PA . （23）解：（Ⅰ）|||3||()(3)||2|x a x a x a x a a -+----=≥，当且仅当x 取介于a 和a 3之间的数时，等号成立，故)(x f 的最小值为||2a ，1±=∴a ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知)(x f 的最小值为||2a ，故]1,1[-∈∃a ，使||2||2a m m <-成立，即 2||2<-m m ，0)2|)(|1|(|<-+∴m m ，22<<-∴m .。

2021年高三下学期4月调研考试数学(理) 含答案

绝密★启用前姓名2021年高三下学期4月调研考试数学（理）含答案注意事项：1.本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至6页．2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z 1对应的点与复数（为虚数单位）对应的点关于虚轴对称，则z 1等于A ．B ．C ．D ． 2．若集合，，则“”是“A ∩B =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．计算：A ．B ．C ．D ．4．抛物线的准线被圆所截得的线段长为4，则P =A ．1B ．2C ．4D ．85．某商场在今年元宵节的促销活动中，对该天９时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时到10时的销售额为5万元，则11时到13时的销售额为A ．20万元B ．32.5万元C ．35万元D ．40万元6．函数sin()(0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<解析式为A ．B ．C．D．7．已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的表面积为80，则OA 与平面所成的角的余弦值为A．B．C．D．8．若实数满足约束条件则z=的取值范围是A．[0,6] B．[1,6] C．[1,5] D．[0,5]9．若非零向量满足，则夹角的余弦值为A．B．C．D．10．若数列满足，且对于任意的N＊都有，则等于A．B．C．D．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为A．48B．32C．16D．12．设双曲线的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2021-2022年高三二轮复习4月份质量检测数学(理)试题含答案

2021年高三二轮复习4月份质量检测数学（理）试题含答案xx.4本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知U＝{1,2,3, 4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则C U(A∪B)等于A．{6,8} B．{5,7} C．{4,6,7} D．{1,3,5,6,8}2．已知为虚数单位，复数z=，则复数的虚部是A．B．C．D．3．函数y=与y=图形的交点为（a，b），则a所在区间是A．（0，1）B．（1，2 ）C．（2，3 ）D．（3，4）4. 已知F1、F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为A．4＋2 3 B.3－1C. 3＋12D.3＋15. 阅读右边的程序框图，若输出S的值为－14，则判断框内可填写A．i<6? B．i<8?C．i<5? D.i<7?6. 函数f(x)=A．在上递增，在上递减B．在上递增，在上递减C．在上递增，在上递减D．在上递增，在上递减7. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．13B．23C. 1D. 28. 已知点是边长为1的等边的中心，则等于A．B．C．D．9．从6名同学中选4人分别到A 、B 、C 、D 四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去D 城市游览，则不同的选择方案共有 A ．96种B ．144种C ．240种D ．300种10．在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是A ．95B ．91C ．88D ．7511. 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于A ．3 B.4 C. D. 12. 设函数f(x)=x-,对任意恒成立，则实数m 的取值范围是A ．(-1 , 1) B. C. D. 或（第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13. 已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是________________.14. 已知向量25(cos ,sin ),(cos ,sin ),||.5a b a b ααββ==-=则的值为.15. 在三次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为，则事件A 恰好发生一次的概率为。

2021年高三4月份联考(二)数学(理)试题含答案

2021年高三4月份联考（二）数学（理）试题含答案
本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，，，则集合=（）
A．B．C．D．
A. 85B.86C. 87D. 88
8．的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（）
A．B．C．D．
9．圆柱的底面半径为，其全面积是侧面积的倍。是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点，则使的概率为( )
A．B．C．D．
10．下列四个命题中，正确的有( )
①两个变量间的相关系数越小，说明两变量间的线性相关程度越低；
24.解：(I) , ……………………………………………3分
所以，所以的取值范围为.………………………………5分
(Ⅱ)由(I)知，对于，不等式恒成立，只需,
所以，…………………………………………………………………7分
又因为，所以.又
，
所以，所以，，
所以，即的最小值为6.………………………10分-${)24383 5F3F弿q
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．
13．14．15．16．xx
三、解答题
17.解：（Ⅰ）在△ABC中,根据正弦定理,有.
因为,所以.
又所以.
于是,所以.……………………6分
（Ⅱ）设,则,,.
于是,,
在中,由余弦定理,得,
即 ,得.故………12分
18.解：（I）五年一班的女生立定跳远成绩的中位数为cm．………3分

2022年重庆市高考数学二调试卷+答案解析(附后)

2022年重庆市高考数学二调试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z满足，其中i为虚数单位，则( )A. 10B. 5C.D.2.已知集合，，若有且只有2个元素，则a的取值范围是( )A. B. C. D.3.若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D.4.《巴黎协定》是2016年4月22日签署的气候变化协定，该协定为2020年后全球应对气候变化的行动作出了统一安排，中国政府一直致力于积极推动《巴黎协定》的全面有效落实．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的数量不得超过已知该工厂产生的废气在过滤过程中污染物的数量单位：毫克与过滤时间单位：小时之间的函数关系式为均为正常数，e为自然对数的底数如果在前3小时的过滤过程中污染物被排除了，那么排放前至少还需要过滤的时间是( )A. 小时B. 3小时C. 5小时D. 6小时5.若，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则下列说法正确的是( )A. “”是“”的充要条件B. “”是“”的必要不充分条件C. “”是“”的必要不充分条件D. “”是“”的充分不必要条件6.已知王大爷养了5只鸡和3只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为( )A. B. C. D.7.已知，若对任意恒成立，则实数m的最大值为( )A. 2B. 4C.D.8.已知点O，A，B是同一平面内不同的三个点，且，若的最小值为，则( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知直线l：，圆C：，则下列结论正确的是( )A. 直线l恒过定点B. 直线l与圆C恒有两个公共点C. 直线l与圆C的相交弦长的最大值为D. 当时，圆C与圆关于直线l对称10.设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是( )A. 是等比数列B. 是等比数列C. D.11.已知双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，点P 是双曲线C的右支上一点，且三角形为正三角形为坐标原点，记PA，PB的斜率分别为，，设I为的内心，记，，的面积分别为，，，则下列说法正确的是( )A. B. 双曲线C的离心率为C. D.12.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的体现了数学的对称美．传统的足球，就是根据这一发现而制正多边形围成的多面体，成，最早用于1970年的世界杯比赛．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成如图所示，若这个二十四等边体的棱长都为2，则下列结论正确的是( )A. 平面AEMHB. 异面直线BC和EA所成角为C. 该二十四等边体的体积为D. 该二十四等边体外接球的表面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022年高三第二次(4月)模拟数学理试题含答案

电价标准
（元/千瓦时）
试行阶梯电
价的用户
一档
1-240（含）
0.4883
二档
241-400（含）
0.5383
三档
400以上
0.7883
用电量为
（A）千瓦时（B）千瓦时（C）千瓦时（D）千瓦时
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）定积分的值为___.
（10）已知是圆的切线，切点为，，
是圆的直径，交圆于点圆，
（2）若满足则的最大值为
（A）（B）（C）（D）
（3）执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，
则输出的值为
（A）3
（B）4
（C）5
（D）6
（4）在的展开式中，的系数为
（A）（B）（C）（D）
（5）设函数，若，则
（A）2（B）-2
（C）1（D）0
（6）多面体的底面为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其
即为的两个极值点
所以当在内有两个极值点时，的取值范围为.
方法三：
当时，在区间上，
所以
从而在区间上是增函数，故在区间上无极值点；
当时，设，
若在上有两个极值点，在上至少有两零点，
即在上至少有两零点
令得
当即时，，，
所以在单调递增，
故在内不存在两个极值点．
当即时，
，，
所以在单调递减，
所以在上只有一个零点
，，，
所以要使方程有两个不等实根，的取值范围为
…………………………………11分
设，解得
当时，
且在单调递减；在单调递增．
设为方程的两个不等实根，
则在上，在上，在上
所以在上，在上，在上

高三数学四月调研考试试题理含解析试题

2021届高三数学四月调研考试试题理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1.设i为虚数单位，那么复数的一共轭复数〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法那么，分子分母同时乘以，得出，再利用一共轭复数的定义即可得出。

【详解】解：，应选：A．【点睛】此题考察了复数的运算法那么、一共轭复数的定义。

假设，，，，在进展复数的除法运算时，分子分母同时应乘以分母的一共轭复数。

，，那么〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，求出集合，进而计算与，分析选项即可得答案【详解】解：根据题意，，那么，那么A、C、D都错误，B正确；应选：B．【点睛】此题考察集合的运用，关键是掌握集合交集、并集的定义，属于根底题．的向量与满足，且向量为非零向量，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可对的两边平方得出，再根据为非零向量且即可得出．【详解】解：∵；∴；∴；∴；∵为非零向量；∴．应选：B．【点睛】考察向量的数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念．的一条渐近线与直线垂直，那么该双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】渐近线与直线垂直，得、关系，再由双曲线根本量的平方关系，得出、的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．【详解】∵双曲线的一条渐近线与直线垂直．∴双曲线的渐近线方程为，∴，得，，此时，离心率．应选：C．【点睛】此题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考察了双曲线的HY方程与简单几何性质等知识，属于根底题．满足：，，那么使成立的的最大值为〔〕A. 3B. 4C. 24D. 25【解析】【分析】由等差数列的定义可知是首项为1，公差为2的等差数列，可求得，所以，带入不等式。

2021届重庆市高三第二次联合诊断检测数学试卷(康德卷)(解析版)

A．平均数不变B．中位数不变C．众数不变D．标准差不变
解：根据数据1，2，a，b，5，8的平均数为4，得（1+2+a+b+5+8）＝6×4，解得a+b＝8；
由中位数是4，所以a＝b＝4或a＝3，b＝5；
去掉一个最数可能是4，也可能是3，
当a＝b＝4时，众数与原来相同，都是4；
已知某信号传送网络由信号源甲和三个基站乙丙丁共同构成每次信号源甲等可能地向三个基站中的一个发送信号乙基站接收到的每条信号等可能地传送给丙基站和丁基站中的一个丙基站接收到的每条信号只会传送给丁基站丁基站只接收信号
2021年重庆市高考数学第二次联合诊断检测试卷（4月份）（康德卷）
一、选择题（每小题5分）.
（1）若f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x2﹣x1＞ln2，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共8小题）.
1．已知集合A＝{x|﹣2＜x≤2}，B＝{x|﹣1＜x≤1}，则（）
A．A∩B＝AB．B⊆∁RAC．A∩∁RB＝∅D．A∪∁RB＝R
C：当2x+ ＝kπ（k∈Z），即x＝ ﹣ （k∈Z），∴该函数图象对称中心的横坐标为x＝ ﹣ （k∈Z），无论k取何值，x都不等于﹣ ，故C错；
D：当2x+ ∈[﹣ +2kπ， +2kπ]（k∈Z），解得x∈[ +kπ， +kπ]（k∈Z），即在区间[ +kπ， +kπ]（k∈Z）上该函数单调递增．当k＝0时，x∈[ ， ]，（0，）不在该区间上，故D错；
14．已知某信号传送网络由信号源甲和三个基站乙、丙、丁共同构成，每次信号源甲等可能地向三个基站中的一个发送信号，乙基站接收到的每条信号等可能地传送给丙基站和丁基站中的一个，丙基站接收到的每条信号只会传送给丁基站，丁基站只接收信号．对于信号源甲发出的一条信号，丙基站能接收到的概率为．

2021-2022年高三4月模拟检测数学理试题含答案

2021-2022年高三4月模拟检测数学理试题含答案一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、．设（i 为虚数单位），则（）A ．B ．C ．D ．2、设全集，(2){|21},{|ln(1)}x x A x B x y x -=<==-，则右图中阴影部分表示的集合为（）A ．B ．C ．D ．3、下列判断错误的是（） A ．“”是“a < b ”的充分不必要条件 B ．命题“”的否定是“”C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D ．若为假命题，则p ，q 均为假命题4、函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像关于直线对称，它的最小正周期为，则函数图像的一个对称中心是A ．B ．C ．D ．5、已知向量a ，若向量与垂直，则的值为（） A ． B ．7 C ． D ．6．若右边的程序框图输出的是，则条件①可为（） A ． B ． C ． D ．7、展开式中不含．．项的系数的和为（）A.-1B. 1C. 0D.28、设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的图像为（）9、已知函数21(0)(),()(1)(0)x xf x f x x af x x-⎧-≤==+⎨->⎩若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为A．B．C．D．10、关于x的不等式在上恒成立, 则实数k的取值范围为A．B． C．D．11、设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）12．定义域为[a，b]的函数图像的两个端点为A、B，M（x，y）是图象上任意一点，其中,已知向量，若不等式恒成立，则称函数上“k阶线性近似”。

若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为A．B．C．D．第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13、从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为；14、某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是15、设实数满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则的取值范围是16、已知为锐角△的外心，若=+,且，则的值是三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分12分)已知函数213()cos cos 1,22f x x x x x R =++∈．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值和最小值，并求函数取得最大值和最小值时的自变量的值．（3）已知中，角的对边分别为若求边的最小值.18、(本小题满分12分)现有长分别为、、的钢管各根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．（Ⅰ）当时,记事件{抽取的根钢管中恰有根长度相等}，求；（Ⅱ）当时,若用表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）,①求的分布列； ②令，，求实数的取值范围．19、(本小题满分12分)在如图的多面体中，⊥平面，,，，，，，是的中点． (Ⅰ) 求证：平面； (Ⅱ) 求证：；(Ⅲ) 求二面角的余弦值.A DFEB G C20、(本小题满分12分)设数列为等差数列，且，，数列的前项和为，且132(2,)n n S S n n N -=+≥∈；，（Ⅰ）求数列,的通项公式；（Ⅱ）若，为数列的前项和. <m,求m 的最小值.21、(本小题满分13分)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点. （1）求椭圆的方程：（2）若点D 为椭圆上不同于、的任意一点，，当内切圆的面积最大时。

2021-2022年高三4月联考数学(理)试卷含解析

2021-2022年高三4月联考数学（理）试卷含解析数学试卷（理科） xx.04.考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并将核对后的条形码贴在指定位置上．一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．设集合，}-=xxxB，则_________．x∈3,04{2R≥+2．已知为虚数单位，复数满足，则__________．3．设且，若函数的反函数的图像经过定点，则点的坐标是___________．4．计算：__________．5．在平面直角坐标系内，直线，将与两条坐标轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得几何体的体积为___________．6．已知，，则_____________．7．设定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是__________________．8．在平面直角坐标系中，有一定点，若线段的垂直平分线过抛物线（）的焦点，则抛物线的方程为_____________．9．曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=t y t x 5521,551（为参数）与曲线（为参数）的公共点的坐标为____________．10．记）的展开式中第项的系数为，若，则________．11．从所有棱长均为的正四棱锥的个顶点中任取个点，设随机变量表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望_________． 1223n a n n +=+（），则 ___________．13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有道选择题，每题均有个选项，答对得分，答错或不答得分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们有道题的选项不同，如果甲最终的得分为分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________．14．已知，函数（）的图像的两个端点分别为、，设是函数图像上任意一点，过作垂直于轴的直线，且与线段交于点，若恒成立，则的最大值是_________________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“”是“”的（）．（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件16．下列命题正确的是（）．（A ）若直线∥平面，直线∥平面，则∥；（B ）若直线上有两个点到平面的距离相等，则∥；（C ）直线与平面所成角的取值范围是；（D ）若直线平面，直线平面，则∥.17．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）．（A ）（B ）（C ）（D ）18．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=,153,6sin ,30,|log |)(3x x x x x f π 若存在实数，，，满足)()()()(4321x f x f x f x f ===，其中，则的取值范围是（）．（A ）（B ）（C ）（D ）三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，在直三棱柱中，底面△是等腰直角三角形，，为侧棱的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数13cos 3cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=πωπωωx x x x f （，），且函数的最小正周期为．（1）求函数的解析式；（2）在△中，角，，所对的边分别为，，，若，，且，求的值．ABCA 1B 1C 1D21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．（1）设，判断在上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出的所有上界组成的集合；若不是，也请说明理由；（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．如图，设是椭圆的下焦点，直线（）与椭圆相交于、两点，与轴交于点．（1）若，求的值；（2）求证：；（3）求△面积的最大值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知正项数列，满足：对任意，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列，的通项公式；（3）设，如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．二模理科数学参考答案一．填空题1． 2． 3． 4． 5． 6． 7．8． 9． 10． 11． 12．13．{48，51，54，57，60} 14．二．选择题15．B 16．D 17．C 18．B三．解答题19．（1）因为底面△是等腰直角三角形，且，所以，，（2分）因为平面，所以， ………………………………………（4分）所以，平面． ……………………………………………………（5分）（2）以为原点，直线，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，由（1），是平面的一个法向量， ………………………（2分），，设平面的一个法向量为，则有即令，则，，所以， …………………………………………（5分）设与的夹角为，则32324||||cos =⨯=⋅=n CBθ， …………………（6分）由图形知二面角的大小是锐角，所以，二面角的大小为． ……………………………（7分）20．（1）16sin 21cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=πωωωx x x x f ， ………………（3分）又，所以，， ………………………………………………（5分）所以，． …………………………………………………（6分）（2）0162sin 2)(=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πB B f ，故，所以，或（），因为是三角形内角，所以．……（3分）而，所以，， …………………………（5分）又，所以，，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ，所以，． …………………………………（8分）21．（1），则在上是增函数，故，即， ……………………………………………（2分）故，所以是有界函数． ……………………………………………（4分）所以，上界满足，所有上界的集合是． ……………………（6分）（2）因为函数在上是以为上界的有界函数，故在上恒成立，即，所以，（）， ……（2分）所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x a 21422144（），令，则，故在上恒成立，所以，min 2max 2)2()4(t t a t t -≤≤--（）， ………………………（5分）令，则在时是减函数，所以；（6分）令，则在时是增函数，所以．…（7分）所以，实数的取值范围是． ……………………………………（8分）22.（1）由⎪⎩⎪⎨⎧-==+4,14322kx y y x 得03624)43(22=+-+kx x k ，所以△，设，，则，， ………………（2分）因为，所以，代入上式求得。

重庆市2022届高三第二次联合诊断检测数学试题(解析版)

【详解】，
则复数z在复平面内对应的点为，位于第三象限.
故选：C
2.命题“ ”的否定是（）
A. B.
C. D.
【2题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可求解.
【详解】命题“ ”的否定是“ ”.
故选：A.
3.已知集合，则下图中阴影部分表示的集合为（）
A. B. C. D.
【解析】
【分析】利用直线与圆之间的关系，列出点到直线距离公式，逐个选项进行判断即可
【详解】由题知，可设点，则由切点弦结论得直线，易得直线过定点，故圆心到直线的距离不是定值，不恒成立，故选项不正确；
因为直线过定点，故当时最小，，故最小半径为，所以线段为直径的圆的最小面积为，B选项正确；
故选：．
6.等差数列的公差为2，前项和为，若，则的最大值为（）
A.3B.6C.9D.12
【6题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】先利用等差数列的通项公式得到首项，再利用等差数列的前项和公式和一元二次函数求其最值.
【详解】设等差数列的首项为，
因为，且，
所以，
解得，
则
，
即取最大值为9.
综上所述，过点且与曲线相切的直线可能有1或2条.
故选：BC.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若拋物线的焦点也是双曲线的焦点，则 ___________.
【13题答案】
【答案】
【解析】
【分析】先写出抛物线的焦点坐标，再利用双曲线中的进行求解.
【详解】因为拋物线的焦点为，
等差数列的首项为、公比为，

重庆市九龙坡区2021届高三下学期4月二诊数学试题

重庆市九龙坡区2021届高三下学期4月二诊数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集为R ，集合{}|21xA x =≥，{}2|320B x x x =-+<，则RAB =A. {|01}x x ≤≤B. {|01x x ≤≤或2}k ≥C. {|12}x x <<D. {|01x x ≤<或2}x >B由运算法则先求B R ，再求RAB{}|21{|0}x A x x x =≥=≥，{}{}{}2|320|(1)(2)0|12B x x x x x x x x =-+<=--<=<<，则{|2R B x x =≥或}1x ≤，则{|01R A B x x ⋂=≤≤或2}x ≥，故选：B. 本题考查集合的交并补运算，属于基础题 2. 已知复数21iz i=+，其中i 是虚数单位，则z 在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限D对复数z 进行计算，然后得到z ，再确定所在复平面的象限. 因为()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，所以1z i =-，所以z 在复平面对应的点位于第四象限.故选：D.3. 某学校为了解学校学生组成的跑步社团每月跑步的平均里程，收集并整理了2020年1月至2020年12月期间跑步社团的成员每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图：根据折线图，下列结论正确的是（）A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程B. 月跑步平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D. 1月至6月的月跑步平均里程相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 D对于A ，利用中位数的定义求解；对于B ，由折线图的变化情况判断即可；对于C ，由折线图可判断；对于D ，由折线图的变化情况判断即可解：对于A ，由折线图可知，月跑步平均里程的中位数为5月份和7月份对应的平均里程的平均数，所以A 错误；对于B ，由折线图可知，2月份互6月份月跑步平均里程逐月增加，而从6月份到8月份月跑步平均里程逐月减少，所以B 错误；对于C ，由折线图可知月跑步平均里程高峰期大致在10月份，所以C 错误；对于D ，由折线图可知1月至6月的月跑步平均里程相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，所以D 正确，故选：D4. 已知等比数列{}n a 各项均为正数，它的前n 项和为n S ，且32413,93S a a =⋅=，则6a =（） A. 27 B. 64 C. 81 D. 128C由基本量法求得首项1a 和公比q 可得3a ．设公比为q ，则由已知得31121913(1)3a q a q a q q ⎧⋅=⎪⎨++=⎪⎩，解得1313q a =⎧⎪⎨=⎪⎩或134163q a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）所以5613813a =⨯=．故选：C ．易错点睛：本题考查等比数列的基本量运算，求等比数列的前n 项和，在等比数列的前n 项和公式1(1)1-=-n n a q S q中要求1q ≠，因此使用此公式时需要确认q 是否为1或分类讨论．对较小的n 特别是3或2之类的，直接由12n n S a a a =++求解，可以不需讨论q 是否为1．5. 素数指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如1037=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是（） A. 128B.114 C. 19D.25B由于不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，所以8个中选2个有28C 种，而和为2的有2种，从而可求出概率解：不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，则从这8个数中任选2个不同的数共有2828C =种，而其中和为18的有2种，即7+11=185+13=18，，所以所求概率为21=2814，故选：B 6. 在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点(4,0)A ，分别过点(5,0)M -、(5,0)N 作圆C 的切线并交于点P （点P 不在x 轴上），则点P 的轨迹方程为（）A. 221(4)169x y x -=>B. 221(4)169x y x -=<-C. 221(4)2516x y x +=>D. 221(4)2516x y x +=<-A利用切线长相等，结合双曲线的定义求解．如图，设切线,PM PN 的切点分别为,B C ，则PB PC =，MP MA =，NA NC =，918PM PN MA NA -=-=-=，所以P 点轨迹是以,M N 为焦点的双曲线的右支（除去与x 轴交点），28a =，4a =，5c =，则22543b =-=，双曲线方程为221169x y -=，轨迹方程为221169x y -=(4)x >，故选：A ．7. 已知等边ABC 的边长为23,P 为它所在平面内一点，且||1AP AB AC --=，则||AP 的最大值为（） A. 431 B. 7 C. 5D. 231B取BC 的中点D ，连接AD ，并延长到E ，则有2AB AC AD AE +==，从而将||1AP AB AC --=转化为|2|1AP AD -=，而3AD =，所以结合图形可得答案解：取BC 的中点D ，连接AD ，并延长到E ，使AD DE =，因为ABC 为等边三角形，所以,AD BC BD CD ⊥=，所以2AB AC AD AE +==, 因为||1AP AB AC --=，所以|2|1AP AD -=,因为等边ABC 的边长为23 所以3sin 60233AD AB =︒==，要使||AP 取得最大值，则AP 与AD 共线且同向，所以||AP 的最大值为2317⨯+=，故选：B8. 在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面,23,90ABC PA PB AB BAC ===∠=︒，4AC =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（） A. 20π B.643πC. 32πD. 80πC取AB 中点E ，过D 作OD ⊥平面ABC ，三棱锥P ABC -的外接球球心在OD 上，设球心为O ，求得球的半径后可得表面积．如图，取AB 中点E ，BC 中点D ，连接PE ，PAB △是等边三角形，则PE AB ⊥ 因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABC ，又ED ⊂平面ABC ，所以PE ED ⊥，过D 作OD ⊥平面ABC ，则//OD PE ，因为90CAB ∠=︒，所以三棱锥P ABC -的外接球的球心在DO 上，设球心为O ，连接,OB OP ，设外接球半径为R ，由已知3233PE ==，224(23)27BC =+=7BD =27OD R - 在直角梯形PEDO 中，122ED AC ==，22222(37)R R =+-，22R = 所以球表面积为2244(22)32S R πππ==⨯=．故选：C ．关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球表面积，解题关键是打到外接球球心，求出球半径．三棱锥的外接球球心在过各面外心与该面垂直的直线上．本题中如果求得R 是负数，说明O 点位置在相反方向，不是说不存在．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若,,a b c ∈R ，则下列叙述中正确的是（） A. “22ab cb >”的充要条件是“a c >” B. “1a >”是“11a<”的充分不必要条件 C. “20ax bx c ++≥对x ∈R 恒成立”的充要条件是“240b ac -≤”D. “1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 BD根据充分必要条件的定义结合不等式的性质，二次函数性质，一元二次不等式根的分布知识判断各选项，22ab cb >，则一定有a c >，但是a c >时，若0b =，则22ab cb =，A 错；1a >时有11a <成立，充分的，但当11a<时有1a >或0a <，不必要，B 正确；若240b ac -≤，但0a <，则20ax bc c ++≤恒成立，C 错；方程20x x a ++=有一正一负两实根的的充要条件是120x x a =<，因此D 正确．故选：BD ． 10. 先将函数()sin f x x=图象向右平移6π个单位后，再将横坐标缩短为原来的12，得到函数()g x 的图象，则关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A. 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B. 图象关于直线56x π=对称 C. 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D. 周期为π，图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 ABD由图象变换得出()g x 的表达式，然后结合正弦函数性质判断各选项．由题意()sin(2)6g x x π=-，0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,,66322x πππππ⎛⎫⎛⎫-∈-⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 正确；56x π=时，53226662x ππππ-=⨯-=，B 正确；,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，52,636x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，C 错误； ()g x 最小正周期周期是22T ππ==，()012g π=，因此函数图象关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确．故选：ABD ．11. 如图所示，在长方体1111ABCD A BC D -中，P 为1AA 中点，14,3,8AB BC BB ===，点M 在矩形11AA B B （含边界）上运动，则说法正确的是（）A. 存在点M ，使得//BM CPB. 直线CP 与1BB 所成角的正弦值为54141C. 存在点M （异于点P ），使得1P M C D 、、、四点共面D. 若点M 到面ABCD 的距离与它到点1A 的距离相等，则点M 的轨迹是抛物线的一部分 BCD对于A ，用反证法判断；对于B ，用平移直线法求异面直线所成的角；对于C ，在平面11ABB A 内作PN ∥1A B ，可确定点M 存在；对于D ，由抛物线的定义判断即可对于A ，假设A 正确，即存在点M ，使得//BM CP ，因为BM ⊂平面11ABB A ，CP 平面11ABB A ，所以CP ∥平面11ABB A ，与CP 平面11ABB A P =矛盾，所以A 错误；对于B ，因为4,3,AB BC AB BC ==⊥，所以5AC =，因为P 为1AA 中点，18BB =，所以4PA =，所以2241CP PAAC =+=，因为1BB ∥1AA ，所以直线CP 与1BB 所成角的正弦值541sin 41AC CPA AP ∠===，所以B 正确；对于C ，取AB 的中点N ，连接1,PN A B ，因为PN ∥1A B ，1A B ∥1DC ，所以存在点M （M PN ∈），使得1,,,P M C D 四点共面，所以C 正确；对于D ，因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以点M 到平面ABCD 的距离等于点M 到直线AB 的距离，所以点M 到直线AB 的距离与它到点1A 的距离相等的点的轨迹是抛物线，所以D 正确，故选：BCD关键点点睛：此题考查直线与平面的位置关系，考查异面直线所成的角，考查点的轨迹问题，解题的关键是充分利用长方体中的线面关系，考查推理能力，属于中档题12. 已知函数(1),0(),02x x e x x f x ae ax x -⎧->⎪=⎨++<⎪⎩（e 为自然对数的底数），若关于x 的方程()()0f x f x +-=有且仅有四个不同的解，则实数a 的值可能为（） A. e B. 2e C. 3e D. 4eCD构造新函数()()()F x f x f x 是偶函数，它有4个零点，因此在0x >时它有两个零点．用分离参数法转化为函数图象与直线有两个交点，利用导数研究函数的单调性与极值，确定函数的变化趋势，从而得结论．设()()()F x f x f x ，则()F x 是偶函数，由已知()F x ＝0有4个解，所以0x >时，()0F x =有2个解．0x >时，()2x a f x e ax -=-+，()(1)022x x x a aF x e x e ax xe ax =-+-+=-+=，12x =显然不是方程()0F x =的解，因此12xxe a x =-有两个正实根．设()12x xe g x x =-，则221(1)()(21)(1)2()11()2()22x xx e x x xe x x e g x x x +--+-'==--，当01x <<且12x ≠时()0g x '<，1x >时，()0g x '>，()g x 在1(0,)2和1(,1)2上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，102x <<时，()0<g x ，(1)2g e =是极小值，所以12x >时， min ()2g x e =，而12x →且0x >时，()g x →+∞，x →+∞时，()g x →+∞，所以12xxe a x =-有两个正实根时，2a e >．只有CD 满足．故选：CD ．关键点点睛：本题考查方程根的分布，解题关键是构造新函数()()()F x f x f x ，问题转化为只要偶函数()F x 有两个正的零点即可．这样新函数解析式确定，问题再转化为直线与函数图象有两个交点，然后研究函数的单调性、极值、变化趋势即可得．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 63x ⎛- ⎝的展开式中，常数项为______．（用数字作答）135写出63x⎛- ⎝展开式的通项，令x 的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.63x⎛- ⎝展开式的通项为()()36662166313kk k k k kk k T C x C x ---+⎛=⋅⋅=⋅-⋅ ⎝，令3602k -=，可得4k =，因此，展开式中的常数项为()4425613135T C =⋅-⋅=. 故答案为：135.14. 若直线:50(0)l ax by ab +-=>恒过圆22:(3)(2)25C x y -+-=的圆心，则32a b+的最小值为___________． 5把圆心坐标代入直线方程得,a b 的关系，然后由“1”的代换用基本不等式求得最小值．由题意3250a b +-=，即325a b +=，因为0ab >，所以0,0a b >>，所以321321661(32)()13135555a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当66a b b a =，即1a b ==时等号成立．因此所求最小值为5．故答案为：5．易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．15. 若函数()f x 的导函数()'f x 存在导数，记()'f x 的导数为()f x ''．如果对∀x ∈(a ，b )，都有()0f x ''<，则()f x 有如下性质：1212()()()()nn x x x f x f x f x f nn++++++≥，其中n N *∈，1x ，2x ，…，n x ∈(a ，b )．若()sin f x x =，则()f x ''＝_______；在锐角△ABC 中，根据上述性质推断：sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为_______．(1). sin x -(2). 构造函数()sin f x x =，(0,)x π∈，求导，则()sin f x x ''=-，由正弦函数的图象可知()0f x ''<成立，根据函数的性质sin sin sin 3sin()3A B CA B C ++++，即可求得sin sin sin A B C ++的最大值．解：设()sin f x x =，(0,)x π∈，则()cos f x x '=，则()sin f x x ''=-，(0,)x π∈，()f x 有如下性质：1212()()()()nn x x x f x f x f x f n n++⋯+++⋯+．则sin sin sin 3sin()3sin 33A B C A BC π++++=⨯= sin sin sinA B C ∴++ 故答案为：sin x - 本题考查函数的性质，考查正弦函数的性质，考查转化思想，属于中档题．16. 已知抛物线2:2(0)C y pxp =>的焦点为F ，点M 是抛物线C 上一点，以F 为圆心，p 为半径的圆与MF 交于点Q，过点M 作圆F 的切线，切点为A ，若||MA =，OMQ 的面积，则p =_______． ) 由条件可得3MF p =，由32M pMF p x ==+，求出点M 的坐标，分点Q 在线段MF 内和点Q 在MF 的延长线上，得出QM 的长度，然后可得OMF 的面积，即可建立方程求解.因为MA =，FA p =，MA FA ⊥ 所以3MF p ==，又由32M p MF p x ==+可得52M px =，.所以M y =.设点O 到直线MF 的距离为h .如图1，点Q 在线段MF 内时，因为FQ p =，则2MQ p =，所以122132OQM OFMQM hS SMF h ⨯==⨯,因为OMQ ，所以OMF 的面积为35.113552224OMFM p OF y p =⨯=⨯⨯=S，解得3p =. 如图2. 若点Q 在MF 的延长线上时, 4MQ p =所以142132OQM OFMQM hS SMF h ⨯==⨯,因为OMQ 的面积为5，所以OMF 的面积为35. 11355222OMFM p OF y p =⨯=⨯⨯=S，解得6p =. 故答案为：3或62关键点睛：本题考查抛物线的定义和几何性质的应用，解得本题的关键是要注意点Q 在线段MF 内和点Q 在MF 的延长线上，由32M pMF p x ==+，求出点M 的坐标，根据三角形的面积得出答案，属于中档题.四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 在① 3(cos )sin b a C c A -=，② sinsin 2B C b a B +=，③sin sin 3a C c A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上并作答．问题：ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知_________，3,b ABC =△的面积为332（1）求角A 的大小和a 的值；（2）设D 为ABC 外一点，四边形ABCD 为平面四边形，且,3AC CD CD ⊥如图所示，求对角线BD 的长．选择见解析；（1）3A π=；7a =（2）4BD =．（13sin cos sin sin C A C A =，可得A ，再利用ABC 的面积求得c ，由余弦定理可得答案；选择条件②：由正弦定理和已知sinsin 2B Cb a B +=得cos 2sin cos 222A A A =⋅，结合2A 的范围可得A ，再利用ABC 的面积求得c ，利用余弦定理可得答案；选择条件③：由sin sin 3a C c A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得tan 3A ，结合A 的范围求得A ，再利用ABC 的面积求得c ，利用余弦定理可得答案；（2）由正弦定理得sin ACB ∠，且21cos sin 7BCD ACB ∠=-∠=-，利用余弦定理可得答案．（1）选择条件①：3(cos )sin b a C c A -=3(sin sin cos )sin sin B A C C A -=，因为()sin()sin sin A C B B π-+==，所以]3sin()sin cos sin sin A C A C C A +-=3sin cos sin sin C A C A =， ∵sin 0C ≠∴tan 3A =0A π<<∴3A π=， ∵3b =，ABC 33∴11sin 32222ABCSbc A c ==⨯⨯=，∴2c =，由余弦定理得 2222cos 7a b c bc A =+-=，即a =选择条件②：由sinsin 2B C b a B +=得sin sin sin sin 22A B A B π⎛⎫⋅-=⋅ ⎪⎝⎭， ∵sin 0B ≠，∴cos 2sin cos 222A A A =⋅，∴1sin 22A =，∵022A π<<∴26A π=即3A π=，∵3b =，ABC的∴11sin 322ABCSbc A c ==⨯=2c =，由余弦定理得 2222cos 7a b c bc A =+-=，即a =选择条件③：由sin sin 3a C c A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得：1sin sin sin sin 2A C C A A ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭∵sin 0C ≠，∴1sin 22A A =，即tan A ，∵0A π<<，∴3A π=， ∵3b =，ABC 的面积为2， ∴11sin 32222ABCSbc A c ==⨯⨯=，∴2c =，由余弦定理得 2222cos 7a b c bc A =+-=，即a =（2）a =2sin sin3ACB=∠，∴sin 7ACB ∠=，∴cos cos sin 27BCD ACB ACB π⎛⎫∠=+∠=-∠=- ⎪⎝⎭2222cos 732167BD BC CD BD CD BCD =+-⋅∠=++=， ∴4BD =．本题考查了解三角形问题，解题的关键点熟练掌握正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式和三角函数的性质的运用，考查了学生分析问题、解决问题的能力.18. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公差的等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设212n n n n a b a a ++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：512n T n <+．（1）1()n a n n N *=+∈；（2）证明见解析．（1）由题意可得21322n S n n =+，再利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求出数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得2(2)(1)(3)n n b n n +=++，化简后利用裂项相消法可求得n T ，再利用放缩法可证得结论（1）∵12a =，∴121S =， ∴1132(1)222n S n n n =+-=+，即21322nS n n =+ 当2n ≥时，2211311(1)(1)12222n S n n n n -=-+-=+-∴11(2)n n n a S S n n -=-=+≥当1n =时，12a =，符合上述通项，所以1()n a n n N *=+∈ （2）∵2212(2)(1)(3)n n n n a n b a a n n +++==++⋅，111111()(1)(3)213n n n n =+=+-++++∴111115()2232312nnn n T n ． 19. 某技术公司开发了一种产品，用甲、乙两种不同的工艺进行生产，为检测产品的质量情况，现从甲、乙两种工艺生产的产品中分别随机抽取100件，并检测这200件产品的综合质量指标值（记为Z ），再将这些产品的综合质量指标值绘制成如图所示的频率分布直方图．记综合质量指标值为80及以上的产品为优质产品．（1）根据频率分布直方图完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质产品与生产工艺有关；优质产品非优质产品合计甲工艺 65 乙工艺合计（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在甲、乙两种工艺生产产品中随机抽取4件，求所抽取的产品中的优质产品数的分布列和数学期望．附：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．下面的临界值表仅供参考：()20P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）答案见解析；没有；（2）分布列见解析；期望为125．（1）由频率分布直方图可知优质产品的频率并可完成列联表，由列联表可得2K 的值，再与给出的临界值表作比较可得答案；（2）由频率分布直方图得优质产品的概率，设所抽取的产品为优质产品的件数为ξ，则3~4,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，可得出ξ分布列及抽取的产品为优质产品的数学期望．（1）由频率分布直方图知，优质产品的频率为()0.040.02100.6+⨯=，则样本中，优质产品的件数为120件，列联表如下表所示：可得()222006545355525 2.083 2.7061001001208012K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯． ∴没有90%的把握认为优质产品与生产工艺有关．（2）由频率分布直方图得优质产品的频率为0.6，即概率为0.6，设所抽取的产品为优质产品的件数为ξ，则3~4,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，()40421605625P C ξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭； ()3143296155625P C ξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭； ()222432216255625P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()33432216355625P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭； ()44438145625P C ξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭．其分布列为：ξ1234P166259662521662521662581625∴所抽取的产品为优质产品的数学期望()312455E ξ=⨯=．本题考查了独立性检验和二项分布，解题的关键点是熟练掌握频率分布直方图的性质和判断出ξ服从二项分布，考查了学生对数据的分析处理能力和计算能力.20. 如图①，在矩形ABCD 中，22,AD AB a E F ==、分别为AD BC 、的中点，BD 交EF 于点Q ，以EF 为棱将矩形ABCD 折成如图②所示，使得二面角C EF B --成60,M ︒为AE 中点．（1）证明：直线AQ ⊥平面BDM ；（2）求二面角M DB Q --的正弦值．（1）证明见解析；（2）155．（1）利用AEQ BAM ≌，证明BM AQ ⊥，再根据二面角平面角的定义得到∠AED 即二面角C EF B --的平面角，从而有AED 为正三角形，由此可得DM ⊥AE ，从而可证明DM ⊥平面AEF ，进而利用线面垂直的判定定理可证明AQ ⊥平面BDM ；（2）建立恰当的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式及同角三角函数基本关系即可求解．解：（1）证明：∵EF DE ⊥，EF AE ⊥，DE ⊂平面DEA ，AE ⊂平面DEA ，DEAE E =，∴EF ⊥平面AED ，又DM ⊂平面DEA ，∴EF DM ⊥，由已知得DEM ∠为二面角C EF B --的平面角，∴60DEM ∠=︒， ∵AE DE =，∴AED 为正三角形，又12EM AE =，∴DM AE ⊥， ∵AE EF E ⋂=，∴DM ⊥平面ABEF ， ∵AQ ⊂平面ABEF ∴DM AQ ⊥在正方形ABEF 中，M 为AE 中点，Q 为EF 的中点，则AEQ BAM ≌， ∴AQEAMB ∴90AMB EAQ AQE EAQ ，∴BM AQ ⊥，又BM DM M ⋂=， ∴直线AQ ⊥平面BDM ．（2）作MP EA ⊥，交BF 于点P ，由于DM 、MP 及AE 相互垂直， ∴以M 为坐标原点，以MA 为x 轴、MP 为y 轴、MD 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(00)2a A ，，、(,,0)2a B a 、3(00)D a ，，、(0)22a a Q -，，，由（1）知AQ ⊥平面BDM ，∴平面BDM 的一个法向量为(0)2aAQ a =-，，，在平面BDQ 中，3(,)22a a QD =-，，(,0)2a QB a =，，设平面BDQ 的一个法向量为()n x y z =，，，则00QB n QD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020222a ax y a a x y az ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令2y =，可得(12,n =-，，∴cos 5AQ n <>==，，∴二面角M DB Q --方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是：（1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角；（3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小.21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>其左、右焦点分别为12F F 、，上顶点为B ，且122BF BF ⋅=-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，点(0,2)P -，试判断在椭圆C 上是否存在三个不同点Q M N 、、（其中M N 、的纵坐标不相等），满足12OM ON OQ +=，且直线PM 与直线PN 倾斜角互补？若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，说明理由．（1）2214x y +=；（2）存在；312yx或312y x．（1）根据向量关系得到222c b -+=-，再结合离心率c a =和222a b c =+，解出a ，b 即得椭圆方程；（2）设点1122(,),(,)M x y N x y ，设直线MN 方程y kx m =+，并与椭圆方程联立得到韦达定理及0∆>，再利用12OM ON OQ +=解得点Q 的坐标，代入椭圆方程得到关系221641m k =+，并验证满足0∆>，最后根据题意0PM PN k k +=即解得m ，k ，得到答案.解：（1）设(0,)B b ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，()()12,BF c b BF c b =--=-，，，由122BF BF ⋅=-，得222c b -+=-，又c a =，且222a b c =+，解得24a =，21b =． ∴椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）由题意，直线MN 的斜率存在且不为0，设直线MN 方程为y kx m =+，设点1122(,),(,)M x y N x y ，联立2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(41)8440k x kmx m +++-=， ∴122841km x x k -+=+，21224441m x x k -=+，121222()241m y y k x x m k +=++=+， ()()222264441440k m k m ∆=-+->，即2241k m +>. ∵12OM ON OQ +=，所以22164(,)4141km m Q k k -++ 又∵Q 在椭圆上，所以2222164411441km m k k -⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎝⎭+= ⎪+⎝⎭，化简整理得2221641m k m =+>，即满足0∆>，又因为直线PM 与直线PN 倾斜角互补，∴0PM PN k k +=，而(0,2)P ，故1212220y y x x ，所以1212220kx m kx m x x ， ∴12122(2)()0kx x m x x ，所以28(21)014k m k ，∵0k ≠，∴12m ，代入221641m k =+得3k ， ∴直线MN 的方程为312y x 或312y x ．思路点睛：圆锥曲线中探究直线的存在性问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，运算量较大.22. 已知函数()ln ()f x ax x a R =+∈在1x =处取得极值．（1）若对(0,),()1x f x bx ∀∈+∞≤-恒成立，求实数b 的取值范围；（2）设()()(2)x g x f x x e =+-，记函数()y g x =在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为m ，证明：(4)(3)0m m ++<．（1）211b e -≤；（2）证明见解析．（1）由条件求出a ，然后由()1f x bx ≤-可得1ln 1+x b x x≤-，然后用导数求出右边对应函数的最小值即可；（2）11()(1)e 1(1)()x x g x x x e x x'=--+=--，令()1e x h x x =-，然后可得存在01(,1)2x ∈使得()00h x =，即001e x x =，即00ln x x =-，然后可得0max 000000000012()()(2)ln (2)12x m g x g x x e x x x x x x x x ===--+=---=--，然后判断出函数2()12G x x x=--的单调性即可. （1）∵1()f x a x'=+，(1)10f a '=+=，∴1a =-，由已知()1f x bx ≤-，即ln 1x x bx -≤-，即1ln 1+x b x x≤-对()0,x ∀∈+∞恒成立，令1ln ()1x t x x x =+-，则22211ln ln 2()x x t x x x x --'=--=，易得()t x 在2(0,)e 上单调递减，在2(,)e +∞上单调递增， ∴2min 21()()1t x t e e ==-，即211b e -≤．（2）()()(2)e (2)e ln x x g x f x x x x x =+-=--+，则11()(1)e 1(1)()x x g x x x e x x'=--+=--．当114x <<时，10x -<，令()1e x h x x =-，则21()e 0x h x x '=+>，所以()h x 1[,1]4上单调递增． ∵121()()e 202h h x ==-<，(1)10h e =->， ∴存在01(,1)2x ∈使得()00h x =，即001e x x =，即00ln x x =-． ∴当01(,)4x x ∈时，()0h x <，此时()0g x '>；当0(,1)x x ∈时，()0h x >，此时()0g x '<；即()g x 在01(,)4x 上单调递增，在0(),1x 上单调递减，则0max 000000000012()()(2)ln (2)12x m g x g x x e x x x x x x x x ===--+=---=--．令2()12G x x x =--，1(,1)2x ∈，则22222(1)()20x G x x x '-=-=>， ∴()G x 在1(,1)2x ∈上单调递增，则1()()42G x G >=-，()(1)3G x G <=-， ∴43m -<<-．∴()()430m m ++<．方法点睛：对于恒成立问题，首先的方法是参变分离，转化为函数的最值问题.。

2021-2022年高三4月调研测试(二诊)数学理

2021-2022年高三4月调研测试（二诊）数学理一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A． B． C． D．2．若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量，，若，则（）A． B． C．2 D． 44．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（）A．10日 B． 20日 C． 30日 D．40日5．设直线与圆相交于两点，为坐标原点，若为等边三角形，则实数的值为（）A． B． C． D．6．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的数不可能是（）A ．15B ．18C ． 19D ．208．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中，，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数的部分图象如图所示，则（）A ．B ．C ．D ．10．设为双曲线：的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左、右支交于点，若，，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ． 11．已知函数，设关于的方程2212()()0()f x mf x m R e --=∈有个不同的实数解，则的所有可能的值为（）A ． 3B ． 1或3C ． 4或6D ．3或4或612．已知棱长为的正方体内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（） A ． B ． C ． D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在的展开式中的系数为320，则实数．14．甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，其中为小于10的自然数，已知甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，则甲组数据的平均数也大于乙组数据的平均数的概率为．15．设函数22log (),12()142,1333x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪=⎨⎪-++>-⎪⎩，若在区间上的值域为，则实数的取值范围为．16．已知数列的前项和为，若，，，则．（用数字作答）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在中，角所对的边分别为，已知2sin()2sin ()24C A B π-=-．（1）求的值；（2）若，求．18．如图，矩形中，，，为的中点，将沿折到的位置，．（1）求证：平面平面；（2）若为的中点，求二面角的余弦值．19． “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++，0．10 0．05 0．025 0．0102．706 3．841 5．024 6．635（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有人，超过10000步的有人，设，求的分布列及数学期望．20．已知分别为椭圆：的左、右顶点，为椭圆上异于两点的任意一点，直线的斜率分别记为．（1）求；（2）过坐标原点作与直线平行的两条射线分别交椭圆于点，问：的面积是否为定值？请说明理由．21．已知曲线在点处的切线与直线平行，．（1）求的值；（2）求证：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为1cos1sin2x ty tαα=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的直角坐标方程；（2）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于不同的两点，求的取值范围．23．选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）若的最小值为2，求的值；（2）若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围．试卷答案xx普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷理科数学一、选择题1～6 DCCCCD 7～12 DABCAD第（11）题解析：，在和上单增，上单减又当时，时，故的图象大致为：令，则方程必有两根且，当时恰有，此时有1个根，有2个根；当时必有，此时无根，有3个根；当时必有，此时有2个根，有1个根；综上，对任意，方程均有个根.第（12）题解析：由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过点的三个面相切，且切点分别在线段上，设线段上的切点为，面，圆柱上底面的圆心为，半径即为记为，则2262331312=⨯⨯==DFFO，，由知EOAOAOEO11112122=⇒=，则圆柱的高为，232329242(322)42()42()2r rS r r r rππππ+-=-=-⋅==侧≤.二、填空题（13）（14）（15）（16）第（15）题解析：函数的图象如图所示，结合图象易得，当时，.第（16）题解析：，则12745032999832=+++=++++ a a a a ，31302932262550136122550100=+=+=-=+=+=-=a a a a a a a ，则.三、解答题（17）解：（Ⅰ）1cos sin 2)sin(1sin 1)2cos(1)sin(=⇒+-=-=--=-B A B A C C B A π，；（Ⅱ），由（Ⅰ）知212sin 33cos sin 332cos sin ===B B B B A ，，或，或. （18）解：（Ⅰ）由题知，在矩形中，，，又，面，面面；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在平面内过作直线，则平面，故以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，于是，，，设平面的法向量为，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=0212102z y x x 令，得平面的一个法向量，显然平面的一个法向量为，故，即二面角的余弦值为. （19）解：（Ⅰ）841.3114018222020)861214(4022<=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，故没有95%以上的把握认为二者有关；（Ⅱ）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为，超过10000步的概率为，且当或时，，；当或积极型懈怠型总计男 14 6 20 女 8 12 20 总计 221840时，，6430854185811212=⋅+⋅=C C P ；当或时，，，即的分布列为：.（20）解：（Ⅰ）设，则212422202020********-=-=-=-⋅+=y y x y x y x y k k ；（Ⅱ）由题知，直线，直线，设，则|)(|21||21||2121211122211221x x k k x k x x k x y x y x S -=⋅-⋅=-=，由212112221442k x xk y y x +=⇒⎩⎨⎧==+，同理可得，故有1)(24)2(16214214)(42221222121222122212212+++-+=+⋅+⋅-=k k k k k k k k k k k k S ，又，故8)(22)1(164222122212=++++=k k k k S ，.（21）解：（Ⅰ）22ln (2)ln ()x a x f x x -+-'=，由题22122(e)3e e a f a -+-'==-⇒=；（Ⅱ），，，故在和上递减，在上递增， ①当时，，而，故在上递增，，即；②当时，2ln 3ln 30033≥x x ++++=，令，则故在上递增，上递减，，即；综上，对任意，均有.（22）解：（Ⅰ）14444cos sin 422222222=+⇒=+⇒=+y x x y θρθρ；（Ⅱ）因为点在椭圆的内部，故与恒有两个交点，即，将直线的参数方程与椭圆的直角坐标方程联立，得4)sin 21(4)cos 1(22=+++-ααt t ，整理得02)cos 2sin 4()sin 31(22=--++t t ααα，则]2,21[sin 312||||2∈+=⋅αPB PA . （23）解：（Ⅰ）|||3||()(3)||2|x a x a x a x a a -+----=≥，当且仅当取介于和之间的数时，等号成立，故的最小值为，；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的最小值为，故，使成立，即，，.? 27566 6BAE 殮31947 7CCB 糋33817 8419 萙Np l22655 587F 塿23994 5DBA 嶺36050 8CD2 賒30245 7625 瘥。

2021-2022年高三4月调研测试数学(理)

2021-2022年高三4月调研测试数学（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则等于（）A． B． C． D．2.复数满足（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条条4.在的展开式中，含的项的系数为（）A． B． C． D．5.执行如图所示的程序框图，输出值为（）A． B． C． D．6.设函数，在区间随机取一个实数，则的值不小于常数的概率是（）A． B． C． D．7.已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（）A． B． C． D．8.在各项均为正数的等比数列中，若,数列的前项积为，且，则的值为（）A． B． C． D．9.已知函数的周期为，若将其图象沿轴向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则实数的最小值为（）A． B． C． D．10.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．11.体积为的球有一个内接正三棱锥，是球的直径，,则三棱锥的体积为（）A． B． C． D．12.设正数，满足程[]()133log log1,1x y m m+=∈-，若不等式()()22231823ax xy a y x y-++≥-有解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量，满足，则向量与的夹角为．14.设不等式13130290x y x y x y -≤≤⎧⎪≥-⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩，表示的平面区域为,若直线上存在内的点，则实数的最大值是．15.过双曲线的右焦点且垂于轴的直线与双曲线交于,两点，与双曲线的渐近线交于,两点，若,则双曲线离心率的取值范围为．16.设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在锐角中,设角，,所对边分别为，,，sin cos 4sin cos 0b C A c A B -=. （1）求证：; （2）若,，，求的值.18. 某地区拟建立一个艺术搏物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从个招标总是中随机抽取个总题，已知这个招标问题中，甲公司可正确回答其中道题目，而乙公司能正面回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的. （1）求甲、乙两家公司共答对道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 19. 如图所示，在四棱锥中，底要为平行四边形，， ,,底面,为上一点，且. （1）证明：; （2）求二面角余弦值.20. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，由椭圆短轴的一个端点与两焦点构成一个等边三角形，它的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）已知动点在椭圆上，点，直线交轴于点,点为点关于轴对称点，直线交轴于点,若在轴上存点，使得,求点的坐标.21.已知函数（是自然对数的底数）. （1）求的单调区间；（2）若，当()3253312a xf x x x ax m +≥-+-+对任意恒成立时，的最大值为，求实数的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程以坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴，且两个坐标系取相等长度单位.已知直线的参数方程为（为参数，），曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角从标方程；（2）设直线与曲线相交于,两点，当变化时，求的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）设，若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12： 1.，.2. B ()()()11111122i i i z i i i i +===-+-+-，则它在复平面内对应的点为，位于第二象限. 3. 若，则，从而; 若，则，解得或.所以，前者是后者的充分分不必要条件. 4. ，令，得. 5. ，；，；，.6. 当时，，当时，，即，所以的值不小于常数的概率是.7. 到两直线的距离都相等的直线方程为，联立方程组，解得.双两平行线之间的距离为，所以，半径为，从而圆的方程为. 8. 因为，所以，即. 又，由，得. 9.()1cos 21cos 222x f x x ωω-=-，，解得，从而.函数向右平移个单位后，得到新函数为. ，，，当时，的最小傎为.10. 该几何体的直观图如图所示，它是一底面是菱形的直四棱柱，在左上角切去一个三棱锥后形成的几何体.所以21138034344442343V ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.11. 由题意可得球的半径为，如图，因为是球的直径，所以，可得,所在小圆圆心为,可由射影定理,所以，,因为为的中心，所以可求出的边长为，面积为，因此，三棱锥的体积为.12. 由[]() 133log log1,1x y m m+=∈-，得，又()()22231823ax xy a y x y-++≥-，整理得，2222221611623223y yx xy y x xx y yx⎛⎫-+⋅+⎪+-⎝⎭=+⎛⎫+⎪⎝⎭，令，，所以()()()()'221623123t tf tt-+-=+，易知函数在上递增，在上递减.因为，，，所以.二、填空题13. （或）由题可得21,cos,21=⋅>=<=⋅babababa，，故向量与的夹角为（或写成）. 14.可行域为如图所示的五边形及其内部，联立方程组，解得，即,当直线过点时，.15. 易知，因为渐近线，所以，由化简得，即，所以，从而，解得.16. ，得，，，.， .满足的正整数的值为.三、解答题17.（1）证明：sin cos 4sin cos 0b C A c A B -=，sin cos 4sin cos b C A c A B ∴=，由正弦定理，得sin sin cos 4sin sin cos B C A C A B =即，，即 . （2）解：,. 由（1）得，，为锐角，,.22425255c c ∴=+-⨯⨯，即，或.由,知为锐角，所以舍去，从而.18.解：（1）由题意可知，所求概率1231221142423336622211133215C C C C P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)设甲公司正确完成面试的题数为,则的取值分别为，，. ,，.则的分布列为：()1311232555E X ∴=⨯+⨯+⨯=()()()()22213121222325555D X =-⨯+-⨯+-⨯=.设乙公司正确完成面试的题为,则取值分别为，，，.,()2132121339P Y C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭,()2232142339P Y C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭,则的分布列为：()01232279927E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.（或,） ()()()()()222212482021222322799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.()由,可得，甲公司竞标成功的可能性更大.19.（1）证明：在中, 2222cos AD BA BD BA BD DBA =+-⋅⋅∠. 不妨设,则由已知,得, 所以2222221AD =+-⨯=，所以, 所以，即,又底面,所以所以,BD ADBD PD BD PAD PA BD ADPD DPA PAD AD PD PAD ⊥⎫⎫⎪⊥⎪⎪⊥⇒⇒⊥⎬⎬=⎪⎪⊂⎭⎪⊂⎭面面面. (2)解：由（1）知,,以为原点，如图所示建立空间直角坐标系，设,于是， , ,,因为为上一点，且,所以，所以, 所以,，设平面的法向量，则1111120320x y z ⎧-+=⎪=，令，则又,,设平面的法向量2222012033x x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令，则，设二面角的大小为，由图可知，则1212n n n n θ⋅--==cos20.解：（1）因为2123432a c c c =⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，所以，，因此椭圆的方程为. （2）设，由,,三点共线，整理得；同理，由,,三点共线得. 又因为,则, 所以,即. 又且，所以.由于，所以()2222222161212121611612121212n m n t n n n -⎛⎫==⨯-== ⎪---⎝⎭.所以，点的坐标为. 21.解：（1）因为，所以. 当时，，所以在上单调递增. 当时，令，得令，得，所以在上单调递减；在上单调递增. （2）()3253312a xf x x x ax m +≥-+-+，即()3253312x a x e ax x x ax m +-≥-+-+对任意恒成立，所以()()3223131313122xx a a m xe x x ax x e x x a ++⎛⎫≤-+-+=-+-+ ⎪⎝⎭对任意恒成立.令()()23132x a g x e x x a +=-+-，，因为的最大值为，所以()()231302x a g x e x x a +=-+-≥恒成立. 由于()()231302x a g x e x x a +=-+-≥，满足题意. 因此的取值范围是.22.解：（1）由消去得sin cos 2cos 0x y ϕϕϕ-+=，所以直线的普通方程为sin cos 2cos 0x y ϕϕϕ-+=. 由，得，把，代入上式，得，所以曲线的直角坐标方程为.（2）将直线的参数方程代入，得22cos 8sin 160t t ϕϕ--=，设、两点对应的参数分别为，，则，，所以1228cos AB t t ϕ=-===. 当时，的最小值为.23.解：（1）原不等式可化为：或由得或，由得或，综上，原不等式可化为：. （2）原不等式等价于的解集非空. 令，即，由2+7279x x x x -+≥---=，所以，由，解得.s31421 7ABD 窽 30528 7740 着32930 80A2 肢30697 77E9 矩31506 7B12 笒22129 5671 噱/ 22044 561C 嘜34631 8747 蝇29358 72AE 犮40351 9D9F 鶟精品文档实用文档。

2021-2022年高三4月高考练习(二模)数学(理)试题含答案(I)

xx.4考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设集合，，则__________.2．已知虚数是方程20()、的一个根，则++=∈x ax b a b R3. 在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男、女生都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）.4．已知复数在复平面上对应的点在曲线上运动，则的最小值等于__________.5.已知函数的对应关系如下表：6.在正项等比数列中，则7.已知在单调递增，则实数的最大值为OBAC8.若行列式124cos()20116x π+-中的元素4的代数余子式的值等于，则实数的取值集合为____________. 9. 若二项式展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为__________. 10 .已知、是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为___________. ( 第10题图 )11. 如图, 2222+1(0)x y A B a b a b=>>、为椭圆C. 若(为坐标原点)，则直线AB 的斜率为___________.12. 若经过抛物线焦点的直线与圆相切，则直线的方程为___________.13.（理）假设某10张奖券中有一等奖1张，奖品价值100元；有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6张没有奖. 现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值不少于其数学期望的概率为_________.14. （理）已知对任意的，不等式221620x xy a x +-≥恒成立，则实数的取值范围为_________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分. 15．是“直线和直线平行”的 ( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件16．（理）已知抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点，且两条曲线交点的连线过点，则椭圆的长轴长等于 ( )（A ）（B ）2 （C ）（D ）4 17. 在中，分别是内角所对的边，若（其中且则的形状是 ( ) （第16题图）（A ）有一个角为的等腰三角形（B ）等边三角形（C ）直角三角形（D ）等腰直角三角形18．（理）已知点列均在函数的图像上，点列满足若数列中任意连续三项能构成三角形的三边，则的取值范围为（）（A ）（B ）QA DCBP （第20题图）（C ）（D ）三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分.在锐角中， 2sin sin sin()sin().44A B B B ππ=++-(1) 求角的值； (2) 若求的面积.20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分. （理）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.(1) 求点到平面的距离；(2) 若点为线段的中点，求直线与平面所成角的大小.21．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分. 已知函数满足，其中为实常数.（1）求的值，并判定函数的奇偶性；（2）若不等式在恒成立，求实数的取值范围.22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.已知直线是双曲线的一条渐近线，点都在双曲线上，直线与轴相交于点，设坐标原点为．(1) 求双曲线的方程，并求出点的坐标（用、表示）；(2) 设点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点．问：在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 若过点的直线与双曲线交于两点，且，试求直线的方程．23. (本题满分18分)（理）本题共3个小题，每小题6分.设数列的前n项和为且（1）求的值，并求出及数列的通项公式；（2）设121(1)(1)(),n n n n b n a a n N +*+=-+⋅∈求数列的前n 项和（3）设在数列中取出项，按照原来的顺序排成一列，构成等比数列.若对任意的数列，均有123,m d d d d M ++++≤试求的最小值.虹口区xx 高考模拟数学试卷参考答案与评分标准xx4月一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分）1． 2． 3 3．125 4． 2 5． 6. 7.8．9. 64 10． 11． 12.13．（理）； 14．（理）；二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）15. A 16. C 17. D 18. B 三、解答题（本大题共5题，满分74分）19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分.()2222sin sin sin()sin()sin sin()cos()4444111sin sin(2)sin cos 1242222A B B B B B B B B B B πππππ=++-=+++=++=+=解：因分故由为锐角三角形，得……6分（第20题解答图）（2）由（1）知由已知，有12cos ,AB AC cb A =⋅=⋅=故……9分从而111sin 222ABC S bc A ∆=⋅=⋅= ……12分20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7（理）解：(1)以为正交基底建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为，(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2).C D P ……2分设平面的法向量为由则202,2.220n DC x y y x zx n DPyz 令，则. ……5分所以点到平面的距离为：(0,2,0)(1,2,2)4.(1,2,2)3DA n dn……7分 (2) 由条件，得(0,2,0),(1,0,1),AD AQ ==且设平面的法向量为则0000000200,.n ADy y z x n AQx z令，则. ……10分设直线与平面所成角为则000sin cos ,3CQ n CQ n CQ n θ⋅=<>===故直线与平面所成角的大小为 ……14分注：第（1）小题也可用等积法来做.21．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分. 解：（1）由1312121(2)log 1,,2133a a f ++-==-=--得解得 ……3分于是，其定义域为 ……4分对于任意的111133331111()+()log log log log 10,1111x x x x f x f x x x x x +-++-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=⋅== ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭故为奇函数. ……7分（2）由，得恒成立.由在及上均递减，且在上也递减，故函数在区间均单调递增. ……10分由及在区间均单调递增，知[]1()()2,32xx f x ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在单调递增， ……12分故2min15()(2)(2).24x f ϕϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭因此，实数的取值范围为 ……14分22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.解：（1）由已知，得11,2,2a a b b a =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩故双曲线的方程为 ……3分为直线AM 的一个方向向量，直线AM 的方程为它与轴的交点为 ……5分（2）由条件，得且为直线AN 的一个方向向量，故直线AN 的方程为它与轴的交点为 ……7分假设在轴上存在定点，使得,则由及得2222200022(,)40.11(1)14n n n x x x x nm m --=-=-=-=+-+- 故即存在定点，其坐标为或满足题设条件. ……10分(3) 由知，以为邻边的平行四边形的对角线的长相等，故此四边形为矩形，从而 ……12分由已知，可设直线的方程为并设则由222,1,4y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ 得由2221632(4)16(8)0,k k k ∆=--=->及得（*）由121212122248,,(2)(2),44kx x x x y y k x k x k k +=-==++-- ……14分得2222121212122228(1)84(2)(1)2()440444k k k OR OS x x y y k x x k x x k k k +-⋅=+=++++=-+==---故符合约束条件（*）.因此，所求直线的方程为 ……16分 23.（理） (本题满分18分) 本题共3个小题，每小题6分. 解：（1）当时， 22111111(1);2S a S S S -==⇒=当时， 222222212(1)();23S a S S S S -==-⇒=当时， 233333323(1)().34S a S S S S -==-⇒= ……2分由此，猜测：下面用数学归纳法证明：（i ）当时，结论显然成立；（ii ）假设当时，；则当时，由条件，得21111111(1)().2221k k k k k k k k k k k S a S S S S S k S k k +++++++-==-⇒===-+-+即当时，结论也成立.于是，由（i ），（ii ）可知，对任意的……4分当1112,.1(1)n n n n n n a S S n nn n --≥=-=-=++时又于是数列的通项公式为:……6分(2)因 121111111(1)(1)(1)(1)(),(2)22n n n n n n b n a a n n n n ++++=-+⋅=-⋅=-⋅-++ (8)分当n 为奇数时，12111111111111(1)()()()()()232435461121111111(1)?10221222(1)(2)n n T b b b n n n n n n n n ⎡⎤=+++=---+---+--+-⎢⎥-++⎣⎦⎡⎤=-+-=+⎢⎥++++⎣⎦分当n 为偶数时，12111111111111(1)()()()()()232435461121111111(1).221222(1)(2)n n T b b b n n n n n n n n ⎡⎤=+++=---+---++---⎢⎥-++⎣⎦⎡⎤=--+=-⎢⎥++++⎣⎦故111,(22(1)(2)11(1)=.22(1)(2)111,(22(1)(2)nn n n n T n n n n n ⎧⎡⎤+⎪⎢⎥++⎡⎤-⎪⎣⎦=-⎨⎢⎥++⎡⎤⎣⎦⎪-⎢⎥⎪++⎣⎦⎩当为奇数)当为偶数)……12分（3）因由于数列的项子列构成等比数列，设其公比为则211231(1).m m d d d d d q q q -++++=++++11,1,(),q Q q d a N a +*∈<=∈因且设(,,2,,).vq u v N u u v u*=∈≥且互质（i ）当时，因故2112312111111(1)12.2222m m m m d d d d d q q q ---++++=++++≤++++=- (15)分（ii ）当时，因是数列中的项，故2112311232211232211232211111(1)111111()111111111122323233121()321232(3).223213m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m d d d d d q q q a v v u v u vu u v v u v u vu u m --------------------++++=++++=+++++'≤+++++≤+++++⋅⋅⋅⎡⎤-⎢⎥⎣⎦==-<-≥-从而综合（i ），（ii ），得：在数列中的所有项等比子数列中，其和最大的是：故由题意知：的最小值为 ……18分另解（3）：因由于数列的项子列构成等比数列，设其公比为则211231(1).m m d d d d d q q q -++++=++++11,1,().q Q q d a N a+*∈<=∈因且（i ）当时，因故211232111111112.2222m m m m d d d d q q q ---++++=++++≤++++=-……15分（ii ）当时，因11,11a a q a a+≤=+ 故2112311111(1)111312(3).22m m m d d d d q q q a aa aa m --++++=++++<⋅=+-+≤<-≥综合（i ），（ii ），得：在数列中的所有项等比子数列中，其和最大的是：故由题意知：的最小值为 ……18分"22098 5652 噒O 23800 5CF8 峸27456 6B40 歀 29604 73A4 玤I38365 95DD 闝31837 7C5D 籝27287 6A97 檗 22822 5926 夦。