九年级数学下册 第2章 圆本章总结提升课件 (新版)湘教版

本章总结提升
【归纳总结】圆周角定理为圆周角与圆心角的角度转换提供了 依据；在圆中，如果有直径，那么直径所对的圆周角是直角；圆周 角的度数等于它所对的弧的度数的一半．
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问题3 利用垂径定理进行计算
垂径定理的内容是什么？应用垂径定理时常常结合哪些定理 解决问题？
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例 3 在半径为 5 cm 的⊙O 中，如果弦 CD ＝8 cm ，直径 AB⊥CD，垂足为 E，那么 AE 的长为__2_c_m_或__8_c_m___．
图 2－T－2
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解：(1)∵△ABC 为等边三角形， ∴AC＝BC，∠BAC＝60°. ∵AP 过圆心 O， ∴AP 平分∠BAC，AP 为⊙O 的直径， ∴∠CAP＝30°，∠ACP＝90°， ∴∠C BD＝∠C AP ＝30°，C P ＝12AP ＝12×10＝5(cm)．
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问题2 与圆周角定理有关的综合运用
同弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？
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例 2 已知等边三角形 ABC 内接于⊙O，P 是劣弧B︵C上的一点 (端点除外)，延长 BP 至点 D，使 BD＝AP，连接 CD. (1)若 AP 过圆心 O，如图 2－T－2①，且⊙O 的直径为 10 cm，求 PD 的长； (2)若 AP 不过圆心 O，如图②，CP＝3 cm， 求 PD 的长．
问题1 弧、弦与圆心角的关系
在同圆或等圆中，两个圆心角以及它们所对的弧、弦有什么关 系？这些关系和圆的对称性有什么联系？
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例 1 如图 2－T－1，在⊙O 中，A︵B＝A︵C，∠AOB＝40°，则 ∠ADC 的度数是( C )
A．40° B．30° C．20° D．15°
图 2－T－1
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图 2－T－3
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解：过点 O 作 OC⊥AB 于点 D，交⊙O 于点 C，连接 OB. ∵OC⊥AB， ∴BD＝12AB＝12×16＝8(cm)． 由题意可知，CD＝4 cm， ∴设半径为 x cm，则 OD＝(x－4)cm. 在 Rt△BOD 中，由勾股定理， 得 OD2＋BD2＝OB2，即(x－4)2＋82＝x2，解得 x＝10. 答：这个圆形截面的半径为 10 cm.
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(2)∵AB＝10，AB＝AC， ∴AC＝10. ∵CD＝4，∴AD＝10－4＝6. 在 Rt△ADB 中，由勾股定理，得 BD＝ 102－62＝8， 在 Rt△BDC 中，由勾股定理，得 BC＝ 82＋42＝4 5.
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例 6 如图 2－T－5，以△ABC 的边 BC 上的一点 O 为圆心的圆 经过 A，B 两点，且与边 BC 交于点 E，D 为B︵E的下半圆弧的中 点，连接 AD 交 BC 于点 F，且 AC＝FC.
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[解析] 如图①，由垂径定理不难求得 CE＝12CD＝4 cm，连接 OC，则 OC＝ 5 cm，由勾股定理易求 OE＝3 cm，所以 AE＝2 cm.同理，在图②中，AE＝8 cm. 故应填 2 cm 或 8 cm.
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例 4 [2018·历城区一模]某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂， 维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图 2－T－3， 若这个输水管道有水部分的水面宽 AB＝16 cm，水最深的地方的高 度为 4 cm，求这个圆形截面的半径．
AC＝BC， 在△CAP 和△CBD 中， ∠CAP＝∠CBD，
AP＝BD， ∴△CAP≌△CBD，∴CP＝CD. ∵∠C P D＋∠BP C＝∠C AB＋∠BP C ＝180°， ∴∠C P D＝∠C AB＝60°， ∴△PCD 为等边三角形， ∴PD＝CP＝5 cm.
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(2) 与(1)一样可证明得到△C AP ≌△C BD，∠C P D＝∠C AB＝60°， 则 CP＝CD， ∴△PCD 为等边三角形， ∴PD＝CP＝3 cm.
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【归纳总结】垂径定理是解决线段相等、角相等、垂直关系等 问题的重要依据，应结合图形深刻理解、熟练掌握，并灵活运用． 应用时注意：①定理中的“直径”是指过圆心的弦，但在实际应用 中可以不是直径，可以是半径、过圆心的直线或线段等；②在利用 垂径定理思考问题时，常常把问题转化到由半径、弦的一半、圆心 到弦的垂线段三者组成的直角三角形中去解决．
[解析] C 如图，连接 CO.
∵在⊙O 中，A︵B＝A︵C， ∴∠AOC＝∠AOB. ∵∠AOB＝40°， ∴∠AOC＝40°，
∴∠ADC＝12∠AOC＝20°.故选 C.
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【归纳总结】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条 弧中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等， 这体现了转化思想．
图 2－T－4
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解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BDA＝90°，即 BD⊥AC. ∵BF 切⊙O 于点 B，∴AB⊥BF. ∵CF∥AB， ∴CF⊥BF，∠FCB＝∠ABC. ∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC， ∴∠ACB＝∠FCB. 又∵BD⊥AC，BF⊥CF，∴BD＝BF.
第2章 圆
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第2章 圆
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知识框架 整合提升
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知识框架
圆的基本性质
圆的对称性 圆心角 圆周角
圆是中心对称图形 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴
圆周角与圆心角的关系
圆周角定理及推论
与圆有关的 圆
位置关系
垂径定理 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 切线长定理
点在圆上 点在圆外 点在圆内
直线与圆相切 直线与圆相交 直线与圆相离
切线的判定 切线的性质
三角形与圆 有关圆的计算
圆的面积 圆的周长
扇形面积 弧长
三角形的外接圆 圆内接四边形 三角形的内切圆
外心 外接圆的半径 内心 内切圆的半径
三边垂直平分线的交点 三条内角平分线的交点
正多边形与圆
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整合提升
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问题4 切线及切线长
圆的切线有什么性质？如何判断一条直线是圆的切线？
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例 5 [2017·河南]如图 2－T－4，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 边于点 D，过点 C 作 CF∥AB，与过点 B 的切线交于点 F，连接 BD.
(1)求证：BD＝BF； (2)若 AB＝10，CD＝4，求 BC 的长．