[2020高中数学]成才之路人教A版数学必修1练习2-1-2-2
【成才之路】高中数学2-1-2-3练习新人教A版必修1
一、选择题1．以下以 x 为自变量的函数中，是指数函数的是 ()A ．y ＝ ( － 3) xB ．y ＝ e x ( e ＝2.718 28 )C ．y ＝－ 4xD ．y ＝ a x ＋2( x >0 且 a ≠1)[ 答案]B＋(12．函数 f ( )＝( x － 5) x － 2) －的定义域是 ()x2A ．{ x | x ∈ R ，且 x ≠5， x ≠2}B ．{ x | x >2}C ．{ x | x >5}D ．{ x |2< x <5 或 x >5} [ 答案]D[ 分析]x －5≠0，∴ x >2 且 x ≠5.由题意得：x － 2>01 x 13．已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当x <0 时， f ( x ) ＝ ( 3)，那么 f ( 2) 的值是 ()3B. 3A.3C ．－ 3D ． 9[ 答案]C111 1[ 分析]f ( 2) ＝－ f ( － 2) ＝－ ( 3) － 2＝－ 3.x14．函数 f ( x ) ＝ a ( a >0 且 a ≠1) 知足 f (2) ＝ 81，则 f ( － 2) 的值为 ( )1 B ．±3A ．±3 1C. 3 D ． 3[ 答案] C[ 分析]f (2) ＝ a 2＝ 81 ∵ a >0，∴ a ＝ 96．若 2 x ＋ 2－x ＝ 5，则 4 x ＋ 4－x 的值是 () A ．29 B ． 27 C ．25D ． 23[ 答案] D[ 分析]4x ＋ 4－x ＝ (2 x ＋ 2－x ) 2－ 2＝ 23.7．以下函数中，值域为R ＋的是 ()1A ．y ＝ 43－ xC ．y ＝1 x－ 1( )4 [ 答案]B111－ 2xB ． y ＝ ( 4)D ． y ＝ 1－ 4x[ 分析]y ＝43－ x 的值域为 { y | y >0 且 y ≠1}y ＝1 x－ 1的值域为 { y | y ≥0}( 4)y ＝ 1－ 4x 的值域为 { y |0 ≤ y <1} ，应选 B.8．当 0< <1 时，函数 y ＝ x 和 ＝ ( a － 1) x 2 的图象只好是以下图中的 ()a a y[答案] D[ 分析 ]0<a <1， a x 单一递减清除 A ， C ，又 a － 1<0 张口向下，∴清除 B ，∴选 D.二、填空题9．以下图的曲线C、C 、 C、 C 是指数函数x 2 1 3 ，π } ，则图y＝ a 的图象，而a∈{2，2，1 2 3 4象 C1、 C2、C3、 C4对应的函数的底数挨次是______、________、________、________.2 1[ 答案] 2 、2、π、 3[ 分析] 由底数变化惹起指数函数图象的变化规律可知，C2的底数<C1的底数<C4的底数<C3 的底数．10．假如x＝3， y＝384 ，那么＝ ______.[ 答案] n－ 33×2[ 分析] 原式＝n－3.＝3×211．若函数y＝f ( x) 的定义域是 (1,3) ，则 f (3－x)的定义域是________．[ 答案] ( －1,0)[ 分析] 由于函数 y＝ f ( x)定义域是(1,3) ，因此要使函数 y＝ f (3－x)存心义，应有1<3－x<3，1 x 1 x 1 0 1 －1即 1<( 3) <3，又由于指数函数y＝(3) 在 R上单一递减，且 ( 3) ＝ 1，( 3) ＝ 3，因此－ 1<x<0.12．假如x>y>0，比较x y y x与x x y y的大小结果为 ________．[ 答案] x y y x<x x y yy x xy－xx y y x － y － x y－ x x－ y[ 分析] x x y y＝x y y x ＝ x y ＝y .x x y－ x∵x>y>0，∴ y－ x<0，y>1，∴0< y <1，∴x y y x<x x y y.三、解答题13．依据已知条件求值：(1)已知 x＋1＝4，求 x3＋x－3的值． x2xa3x－a － 3x(2) 已知 a＝ 2－ 1，求 a x － a － x 的值．121[ 分析](1) ∵ x ＋ x ＝4 两边平方得 x ＋ x 2＝ 1431 1 21 ∴x ＋x 3＝ ( x ＋ x )( x ＋ x 2－ 1) ＝ 4(14 － 1) ＝ 52. 3x － a －3 x1 a 2x －2x (2) a x － a－x＝a ＋1＋ a ＝( 2－1) ＋ 1＋2－ 1＝2 2＋ 1.1 2x － 8－ 2x14．求使不等式 ( a )>a建立的 x 的会合 ( 此中 a >0 且 a ≠1) ．2[ 分析] 原不等式等价于 a －x ＋ 8>a －2x .(1) 当 a >1 时，上边的不等式等价于－ x 2＋8>－ 2x ，即 x 2－ 2x － 8<0，解得－ 2<x <4.(2) 当 0<a <1 时，上边的不等式等价于－x 2＋8<－ 2x ，即 x 2－ 2x － 8>0，解得 x <－ 2 或 x >4.∴原不等式的解集为：当a >1 时为 { x | －2<x <4} ；当 0<a <1 时为 { x | x <－ 2 或 x >4} ．1 p15．某商品的市场日需求量Q 1 和日产量 Q 2 均为价钱 p 的函数，且 Q 1＝ 288( 2) ＋ 12， Q 2＝pC 对于日产量2的关系为＝ 10＋16×2，日成本2.Q C3Q(1) 当 1＝ 2 时的价钱为平衡价钱，求平衡价钱；Q Qp(2) 当 Q 1＝ Q 2 时间收益 y 最大，求 y .[ 分析](1) 当 Q 1＝ Q 2 时，即1 p pp1288( ) ＋ 12＝6×2，令2 ＝ t ，代入得 288· ＋12＝6× t ，2t因此 t 2－ 2t －48＝ 0，解得 t ＝ 8 或 t ＝－ 6，由于 t ＝ 2p >0，因此 t ＝ 8，因此 2p ＝ 8，因此 p ＝ 3.22＋ 12121p(2) 日收益 y ＝ p · Q － C ＝p · Q － (10 3Q ) ＝( p － 3) Q － 10，因此 y ＝ ( p － 3) ×6×2－ 10. 当 1＝ 2 时， ＝ 3，代入得 y ＝118.Q Qp答：当 Q 1＝ Q 2 时，平衡价钱为 3，此时间收益为 118.xx16．函数 f ( x ) ＝ 2 ( ax 2＋ bx ＋ c ) 知足 f ( x ＋ 1) － f ( x ) ＝ 2 ·x 2( x ∈ R) ，求常数 a 、 b 、 c 的值．[ 分析]由题设 ax 2＋ (4 a ＋ b ) x ＋2a ＋ 2b ＋c ＝ x 2a＝1由待定系数法4a＋b＝ 0 ，∴a ＝，＝－，＝6.1 b 4 c2a＋ 2b＋c＝ 0。
成才之路人教版数学必修一1-1-2
[答案] A
第一章
1.1
1.1.2
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规律总结：当给定的问题涉及元素与集合、集合与集 合的关系时，要抓住基本概念去解题．此时要注意辨明集合 中元素的特征，对“包含”与“包含于”、“真包含”与 “真包含于”、“属于”与“不属于”等符号要进行仔细辨 认，以避免因疏忽而出错．
第一章
1.1
1.1.2
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值得说明的是： (1)集合 A 是集合 B 的真子集，即 A 是 B 的子集，并且 B 中至少存在一个元素 不是 A 的元素； (2)子集包括真子集和相等两种情况； (3)空集∅是任何非空 集合的真子集； ．． (4)对于集合 A、B、C，如果 A B，B C，那么 A C；如 果 A B，B⊆C，那么 A C；如果 A⊆B，B C，那么 A C.
第一章
1.1
1.1.2
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对于两个集合 A、B，如果集合 A 中的任意一个元素都是 集合 B 的元素， 那么称集合 A 是集合 B 的 子集 ， 记作 A⊆B(或
B⊇A)．用图表示为
.
用平面上封闭曲线的 内部 表示集合的方法称作图示 法．这种图称作 Venn 图．
第一章 1.1 1.1.2
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2
集合包含关系的考查
学法指导：判断集合关系的方法有三种： (1)一一列举观察． (2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄 清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若p(x)推出 q(x)，则A⊆B；②若q(x)推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x) 互相推出，则A＝B；④若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出 p(x)，则集合A，B无包含关系．
2-1-2-第3课时 习题课
D
第二章
2.1 2.1.2 第3课时
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[解析]
y1＝4 ＝2 ，y2＝8
0.9
1.8
0.48
＝2
1.44
1 －1.5 ，y3＝( ) ＝21.5. 2
因为函数 y＝2x 在 R 上是增函数，且 1.8>1.5>1.44，所以 y1>y3>y2.
第二章
2.1 2.1.2 第3课时
知识整合
第二章
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网络构建
第二章
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规律总结 1．指数运算 有理数指数及其运算是本章的基础内容，要明确运算法 则，化简或求值是本章知识点的主要呈现方式． (1)在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的 形式，并尽可能地统一分数指数幂的形式，再利用幂的运算 性质进行化简、求值或计算，以达到化繁为简的目的．
的增函数，所以底数 1－2a>1，解得 a<0.
第二章
2.1 2.1.2 第3课时
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5．设 y1＝4 ，y2＝8 A．y3>y1>y2 C．y1>y2>y3
0.9
0.48
1 －1.5 ，y3＝( ) ，则( 2
)
B．y2>y1>y3 D．y1>y3>y2
[答案]
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[解析]
(1)x 应满足 x－4≠0，∴x≠4，∴定义域为
成才之路人教A版数学必修2-1.2.1、2
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1.2
1.2.1
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2．三视图 前 面向____ 后 面正投影，得到 正视 光线从几何体的_____ 图 投影图，这种投影图叫做几何体的正视图 左 面向_____ 右 面正投影，得到 分 侧视 光线从几何体的____ 类 图 投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图 上 面向____ 下 面正投影，得到投 俯视 光线从几何体的____ 图 影图，这种投影图叫做几何体的俯视
1.2
1.2.1
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3．下列说法错误的是(
物体的高度和长度
)
A．正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了 B．俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了 物体的长度和宽度
C．侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了
( )
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1.2
1.2.1
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(2)画出如图所示几何体的三视图．
[答案] (1)C
[解析]
(1)此几何体俯视图首先为矩形．但上方被截去角
的三棱柱的侧棱及角的边是看得见的，所以，俯视图中间有实 线且靠左边有三角形形状．故选C.
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
空间几何体
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成才之路人教A版数学必修1练习第2章综合素能检测
第二章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出嘚四个选项中，只有一项是符号题目要求嘚。
)1．函数y ＝log 12(x －1)嘚定义域是( )A ．[2，＋∞)B ．(1,2]C ．(－∞，2]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ [答案] B[解析] log 12(x －1)≥0，∴0<x－1≤1，∴1<x≤2.故选B.2．(2010·浙江文，2)已知函数f(x)＝log 2(x ＋1)，若f(α)＝1，则α＝( ) A ．0 B ．1 C ．1 D ．3 [答案] B[解析] 由题意知，f(α)＝log 2(α＋1)＝1，∴α＋1＝2，∴α＝1.3．已知集合A ＝{y|y ＝log 2x ，x>1}，B ＝{y|y ＝(12)x ，x>1}，则A∩B＝( )A ．{y|0<y<12}B ．{y|0<y<1}C ．{y|12<y<1}D ．∅[答案] A[解析] A ＝{y|y>0}，B ＝{y|0<y<12}∴A∩B＝{y|0<y<12}，故选A.4．(2010·重庆理，5)函数f(x)＝4x ＋12x 嘚图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称[答案] D [解析]∵f(－x)＝2－x ＋12－x＝2x ＋12x＝f(x)∴f(x)是偶函数，其图象关于y 轴对称． 5．(2010·辽宁文，10)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( ) A.10B ．10C ．20D ．100[答案] A[解析] ∵2a ＝5b ＝m ∴a＝log 2m b ＝log 5m ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2 ∴m＝10选A.6．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f(x ＋2) x≤0log 12x x>0，则f(－8)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2[答案] A[解析] f(－8)＝f(－6)＝f(－4)＝f(－2)＝f(0)＝f(2)＝log 122＝－1，选A.7．若定义域为区间(－2，－1)嘚函数f(x)＝log (2a －3)(x ＋2)，满足f(x)<0，则实数a 嘚取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 B ．(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 [答案] B[解析] ∵－2<x<－1，∴0<x＋2<1， 又f(x)＝log (2a －3)(x ＋2)<0， ∴2a－3>1，∴a>2.8．已知f(x)是偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数．若f(lgx)>f(1)，则x 嘚取值范围是( )A ．(110，1)B ．(0，110)∪(1，＋∞)C ．(110，10)D ．(0,1)∪(10，＋∞)[答案] C[解析] ∵f(x)为偶函数， ∴f(lgx)>f(1)化为f(|lgx|)>f(1)，又f(x)在[0，＋∞)上为减函数，∴|lgx|<1， ∴－1<lgx<1，∴110<x<10，选C.9．幂函数y ＝x m2－3m －4(m∈Z)嘚图象如下图所示，则m 嘚值为( )A ．－1<m<4B ．0或2C ．1或3D ．0,1,2或3[答案] D[解析] ∵y＝x m2－3m －4在第一象限为减函数 ∴m 2－3m －4<0即－1<m<4 又m∈Z ∴m 嘚可能值为0,1,2,3. 代入函数解析式知都满足，∴选D.10．(09·北京理)为了得到函数y ＝lg x ＋310嘚图像，只需把函数y ＝lgx 嘚图像上所有嘚点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 [答案] C[解析] y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1需将y ＝lgx 图像先向左平移3个单位得y ＝lg(x ＋13)嘚图象，再向下平移1个单位得y ＝lg(x ＋3)－1嘚图象，故选C.11．已知log 12b<log 12a<log 12c ，则( )A ．2b >2a >2cB ．2a >2b >2cC ．2c >2b >2aD ．2c >2a >2b[答案] A[解析] ∵由log 12b<log 12a<log 12c ，∴b>a>c， 又y ＝2x 为增函数，∴2b >2a >2c .故选A. 12．若0<a<1，则下列各式中正确嘚是( ) A ．log a (1－a)>0 B ．a 1－a >1 C ．log a (1－a)<0D ．(1－a)2>a 2[答案] A[解析] 当0<a<1时，log a x 单调减， ∵0<1－a<1，∴log a (1－a)>log a 1＝0.故选A.[点评] ①y＝a x 单调减，0<1－a<1，∴a 1－a <a 0＝1. y ＝x 2在(0,1)上为增函数．当1－a>a ，即a<12时，(1－a)2>a 2；当1－a ＝a ，即a ＝12时，(1－a)2＝a 2；当1－a<a ，即12<a<1时，(1－a)2<a 2.②由于所给不等式在a∈(0,1)上成立，故取a ＝12时有log a (1－a)＝log 1212＝1>0，a 1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝22<1，(1－a)2－a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝0，∴(1－a)2＝a 2，排除B 、C 、D ，故选A.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．函数y ＝a x (a>0，且a≠1)在[1,3]上嘚最大值比最小值大a2，则a 嘚值是________．[答案]22或62. [解析] 当a>1时，y ＝a x 在[1,3]上递增， 故a 3－a ＝a2，∴a＝62；当0<a<1时，y ＝a x 在[1,3]上单调递减， 故a －a 3＝a 2，∴a＝22，∴a＝22或62. [点评] 指数函数嘚最值问题一般都是用单调性解决．14．若函数f(2x )嘚定义域是[－1,1]，则f(log 2x)嘚定义域是________．[答案] [2，4][解析] ∵y＝f(2x )嘚定义域是[－1,1]，∴12≤2x ≤2，∴y＝f(x)嘚定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， 由12≤log 2x≤2得，2≤x≤4.15．函数y ＝lg(4＋3x －x 2)嘚单调增区间为________．[答案] (－1，32][解析] 函数y ＝lg(4＋3x －x 2)嘚增区间即为函数y ＝4＋3x －x 2嘚增区间且4＋3x －x 2>0，因此所求区间为(－1，32]． 16．已知：a ＝x m ，b ＝x m 2，c ＝x 1m，0<x<1,0<m<1，则a ，b ，c 嘚大小顺序(从小到大)依次是__________．[答案] c ，a ，b [解析] 将a ＝x m ，b ＝x m 2，c ＝x 1m看作指数函数y ＝x P (0<x<1为常数，P为变量)，在P 1＝m ，P 2＝m 2，P 3＝1m 时嘚三个值，∵0<x<1，∴y＝x P 关于变量P 是减函数，∵0<m<1，∴m 2<m<1m，∴x m2>x m >x 1m；∴c<a<b.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)在同一坐标系中，画出函数f(x)＝log 2(－x)和g(x)＝x ＋1嘚图象．当f(x)<g(x)时，求x 嘚取值范围．[解析] f(x)与g(x)嘚图象如图所示；显然当x ＝－1时，f(x)＝g(x)，由图可见，使f(x)<g(x)时，x 嘚取值范围是－1<x<0.18．(本题满分12分)把下列各数按从小到大顺序排列起来．⎝ ⎛⎭⎪⎫340，⎝ ⎛⎭⎪⎫2334，⎝ ⎛⎭⎪⎫－323，⎝ ⎛⎭⎪⎫32－45，⎝ ⎛⎭⎪⎫－433， log 2332，log 143，log 34，log 35，log 142.[分析] 先区分正负，正嘚找出大于1嘚，小于1嘚，再比较．[解析] 首先⎝ ⎛⎭⎪⎫340＝1；⎝ ⎛⎭⎪⎫2334、⎝ ⎛⎭⎪⎫32－45∈(0,1)；log 35、log 34都大于1；log 2332＝－1；⎝ ⎛⎭⎪⎫－323，⎝ ⎛⎭⎪⎫－433都小于－1，log 142＝－12，－1<log 143<0.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫32－45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2345，∵y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 为减函数，34<45，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2334>⎝ ⎛⎭⎪⎫2345＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－45；(2)∵y＝x 3为增函数，－32<－43<－1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－323<⎝ ⎛⎭⎪⎫－433<－1； (3)y ＝log 14x 为减函数，∴－12＝log 142>log 143>log 144＝－1；(4)y ＝log 3x 为增函数，∴log 35>log 34>log 33＝1.综上可知，⎝ ⎛⎭⎪⎫－323<⎝ ⎛⎭⎪⎫－433<log 143<log 142<⎝ ⎛⎭⎪⎫32－45<⎝ ⎛⎭⎪⎫2334<⎝ ⎛⎭⎪⎫340<log 34<log 35. 19．(本题满分12分)已知f(x) 是偶函数，当x≥0时，f(x)＝a x (a>1)，若不等式f(x)≤4嘚解集为[－2,2]，求a 嘚值．[解析] 当x<0时，－x>0，f(－x)＝a －x ， ∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝a －x ，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a x x≥0⎝ ⎛⎭⎪⎫1a xx<0，∴a>1，∴f(x)≤4化为⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，a x≤4，或⎩⎪⎨⎪⎧x<0⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ≤4，∴0≤x≤log a 4或－log a 4≤x<0， 由条件知log a 4＝2，∴a＝2.20．(本题满分12分)在已给出嘚坐标系中，绘出同时符合下列条件嘚一个函数f(x)嘚图象．(1)f(x)嘚定义域为[－2,2]； (2)f(x)是奇函数； (3)f(x)在(0,2]上递减；(4)f(x)是既有最大值，也有最小值； (5)f(1)＝0.[解析] ∵f(x)是奇函数， ∴f(x)嘚图象关于原点对称，∵f(x)嘚定义域为[－2，2]，∴f(0)＝0，由f(x)在(0,2]上递减知f(x)在[－2,0)上递减，由f(1)＝0知f(－1)＝－f(1)＝0，符合一个条件嘚一个函数嘚图象如图．[点评] 符合上述条件嘚函数不只一个，只要画出符合条件嘚一个即可，再结合学过嘚一次、二次、幂、指、对函数可知，最简单嘚为一次函数．下图都是符合要求嘚．21．(本题满分12分)设a>0，f(x)＝e x a ＋ae x 是R 上嘚偶函数．(1)求a 嘚值；(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数．[解析] (1)依题意，对一切x∈R 有f(－x)＝f(x)成立，即e x a ＋a e x ＝1aex ＋ae x ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0，对一切x∈R 成立，由此得到a －1a ＝0，∴a 2＝1，又a>0，∴a＝1.(2)设0<x 1<x 2，f(x 1)－f(x 2)＝ex 1－ex 2＋1ex 1－1ex 2＝(ex 2－ex 1)<0∴f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．22．(本题满分14分)某民营企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品嘚利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品嘚利润与投资嘚算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位：万元)(1)分别将A 、B 两种产品嘚利润表示为投资嘚函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品嘚生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(精确到1万元)[解析] (1)设各投资x 万元时，A 产品利润为f(x)万元，B 产品利润为g(x)万元，由题设f(x)＝k 1x ，g(x)＝k 2x ，由图知f(1)＝14，∴k 1＝14，又g(4)＝52，∴k 2＝54，从而：f(x)＝14x(x≥0)，g(x)＝54x (x≥0)．(2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10－x 万元；设企业利润为y 万元．y＝f(x)＋g(10－x)＝x4＋5410－x (0≤x≤10)，令10－x ＝t ，则0≤t≤10，∴y＝10－t 24＋54t ＝－14(t －52)2＋6516(0≤t≤10)，当t ＝52时，y max ＝6516≈4，此时x ＝10－254＝3.75.∴当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约4万元．。
【成才之路】高中数学 2-1-2-3练习 新人教A版必修1
2.1.2.3一、选择题1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是( ) A ．y ＝(－3)xB ．y ＝e x(e ＝2.718 28…) C ．y ＝－4x D ．y ＝ax ＋2(x >0且a ≠1)[答案] B2．函数f (x )＝(x －5)0＋(x －2)－12的定义域是( ) A ．{x |x ∈R ，且x ≠5，x ≠2} B ．{x |x >2} C ．{x |x >5} D ．{x |2<x <5或x >5} [答案] D[解析] 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －5≠0x －2>0，∴x >2且x ≠5.3．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝(13)x ，那么f (12)的值是( )A.33B. 3 C ．－ 3D ．9[答案] C[解析] f (12)＝－f (－12)＝－(13)－12＝－ 3.4．函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)满足f (2)＝81，则f (－12)的值为( )A ．±13B ．±3C.13D ．3[答案] C[解析] f (2)＝a 2＝81 ∵a >0，∴a ＝96．若2x＋2－x＝5，则4x＋4－x的值是( ) A．29 B．27 C．25 D．23 [答案] D[解析] 4x＋4－x＝(2x＋2－x)2－2＝23.7．下列函数中，值域为R＋的是( )A．y＝413－x B．y＝(14)1－2xC．y＝(14)x－1 D．y＝1－4x[答案] B[解析] y＝413－x的值域为{y|y>0且y≠1}y＝(14)x－1的值域为{y|y≥0}y＝1－4x的值域为{y|0≤y<1}，故选B.8．当0<a<1时，函数y＝a x和y＝(a－1)x2的图象只能是下图中的( )[答案] D[解析] 0<a<1，a x单调递减排除A，C，又a－1<0开口向下，∴排除B，∴选D.二、填空题9．下图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数y＝a x的图象，而a∈{22，12，3，π}，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是______、________、________、________.[答案]22、12、π、 3[解析] 由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C2的底数<C1的底数<C4的底数<C3的底数．10．如果x＝3，y＝384 ，那么＝______.[答案] 3×2n－3[解析] 原式＝＝3×2n－3.11．若函数y ＝f (x )的定义域是(1,3)，则f (3－x)的定义域是________． [答案] (－1,0)[解析] 因为函数y ＝f (x )定义域是(1,3)，所以要使函数y ＝f (3－x)有意义，应有1<3－x<3，即1<(13)x <3，又因为指数函数y ＝(13)x 在R 上单调递减，且(13)0＝1，(13)－1＝3，所以－1<x <0.12．如果x >y >0，比较x y y x与x x y y的大小结果为________． [答案] x y y x<x x y y[解析] x y y x x x y y ＝x y y x y －y x －x ＝x y －x y x －y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x y y －x .∵x >y >0，∴y －x <0，x y>1，∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫x y y －x <1， ∴x y y x<x x y y. 三、解答题13．根据已知条件求值：(1)已知x ＋1x＝4，求x 3＋x －3的值．(2)已知a 2x＝2－1，求a 3x －a －3xa x －a－x 的值．[解析] (1)∵x ＋1x ＝4两边平方得x 2＋1x2＝14∴x 3＋1x 3＝(x ＋1x )(x 2＋1x2－1)＝4(14－1)＝52.(2)a 3x －a －3x a x －a －x ＝a 2x ＋1＋a －2x ＝(2－1)＋1＋12－1＝22＋1.14．求使不等式(1a)x 2－8>a －2x成立的x 的集合(其中a >0且a ≠1)．[解析] 原不等式等价于a－x 2＋8>a－2x.(1)当a >1时，上面的不等式等价于－x 2＋8>－2x ，即x 2－2x －8<0，解得－2<x <4. (2)当0<a <1时，上面的不等式等价于 －x 2＋8<－2x ，即x 2－2x －8>0， 解得x <－2或x >4.∴原不等式的解集为：当a >1时为{x |－2<x <4}；当0<a <1时为{x |x <－2或x >4}． 15．某商品的市场日需求量Q 1和日产量Q 2均为价格p 的函数，且Q 1＝288(12)p＋12，Q 2＝6×2p，日成本C 关于日产量Q 2的关系为C ＝10＋13Q 2.(1)当Q 1＝Q 2时的价格为均衡价格，求均衡价格p ； (2)当Q 1＝Q 2时日利润y 最大，求y .[解析] (1)当Q 1＝Q 2时，即288(12) p ＋12＝6×2p ，令2p＝t ，代入得288·1t ＋12＝6×t ，所以t 2－2t －48＝0，解得t ＝8或t ＝－6，因为t ＝2p >0，所以t ＝8，所以2p＝8，所以p ＝3.(2)日利润y ＝p ·Q 2－C ＝p ·Q 2－(10＋13Q 2)＝(p －13)Q 2－10，所以y ＝(p －13)×6×2p－10.当Q 1＝Q 2时，p ＝3，代入得y ＝118.答：当Q 1＝Q 2时，均衡价格为3，此时日利润为118.16．函数f (x )＝2x (ax 2＋bx ＋c )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ·x 2(x ∈R )，求常数a 、b 、c 的值．[解析] 由题设ax 2＋(4a ＋b )x ＋2a ＋2b ＋c ＝x 2由待定系数法⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14a ＋b ＝02a ＋2b ＋c ＝0，∴a ＝1，b ＝－4，c ＝6.。
[2020高中数学]成才之路人教A版数学必修1练习2-1-1-1
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2.1.1.1一、选择题1．下列各式正确的是( ) A.(－3)2＝－3 B.4a 4＝a C.22＝2D ．a 0＝1[答案] C[解析] 由根式的意义知A 错；4a 4＝|a |,故B 错；当a ＝0时,a 0无意义,故D 错． 2．化简－x 3x 的结果是( )A ．－－x B.x C ．－xD.－x[答案] A[解析] 由条件知,－x 3>0,∴x <0,∴－x 3x ＝|x |·－x x ＝－x －xx＝－－x .3．设n ∈N ＋,则18[1－(－1)n ]·(n 2－1)的值( )A ．一定是零B ．一定是偶数C ．是整数但不一定是偶数D ．不一定是整数 [答案] B[解析] 当n 为奇数时,设n ＝2k －1,k ∈N ＋,18[1－(－1)n ]·(n 2－1)＝18×2×[(2k －1)2－1]＝14(4k 2－4k )＝k (k －1)是偶数 当n 为偶数时,设n ＝2k ,k ∈N ＋,18[1－(－1)n ]·(n 2－1)＝0是偶数,∴选B.4．化简(x ＋3)2－3(x －3)3得( ) A ．6B ．2xC ．6或－2xD ．－2x 或6或2[答案] C[解析] 原式＝|x ＋3|－(x －3)＝⎩⎪⎨⎪⎧6 x ≥－3－2x x <－3. 5．已知x ＝1＋2b ,y ＝1＋2－b ,若y ＝f (x ),那么f (x )等于( ) A.x ＋1x －1 B.x －1xC.x －1x ＋1D.x x －1[答案] D[解析] 因为x ＝1＋2b ,∴2b ＝x －1,所以y ＝1＋2－b ＝1＋2b 2b ＝x x －1.即f (x )＝xx －1,故选D.6．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示,则f 2(1)的值为( )A ．2bB ．a －b ＋cC ．－2bD ．0[答案] C[解析] 由图象开口向下知,a <0. 又f (－1)＝a －b ＋c ＝0,∴b ＝a ＋c , 又－b2a <0,∴b <0,∴f (1)＝a ＋b ＋c ＝2b , ∴f 2(1)＝|2b |＝－2b .7．若xy ≠0,那么等式4x 2y 3＝－2xy y 成立的条件是( ) A ．x >0,y >0 B ．x >0,y <0 C ．x <0,y >0D ．x <0,y <0[答案] C[解析] ∵xy ≠0,∴x ≠0,y ≠0,由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2y 3>0－2xy >0y >0得,⎩⎨⎧x <0y >0. 8．当n <m <0时,(m ＋n )－m 2－2mn ＋n 2＝( ) A ．2mB ．2nC ．－2mD ．－2n[答案] B [解析] (m ＋n )－m 2－2mn ＋n 2＝(m ＋n )－|m －n |＝(m ＋n )－(m －n )＝2n . 9.11－230＋7－210＝( ) A.6＋2－2 5 B.2－ 6 C.6－ 2D ．25－6－ 2[答案] C [解析] 11－230＋7－210 ＝6－230＋5＋5－210＋2＝(6－5)＋(5－2)＝6－ 2. 10．化简a －1＋b －1a －1b －1＝( )A ．ab B.ab C ．a ＋bD ．a －b[答案] C[解析] 先把负整数指数幂化为正整数指数幂,得到熟悉的繁分式再化简． 原式＝1a ＋1b 1a ·1b ＝ab (1a ＋1b )ab ·1a ·b ＝b ＋a .二、填空题11．已知a ＋a －1＝3,则a 2＋a －2＝__________. [答案] 7[解析] a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝7.12.x＋yx＋y＋2xyx y＋yx＝__________.[答案]x＋y[解析]原式＝x＋yx＋y＋2xyxy(x＋y)＝x＋yx＋y＋2xyx＋y＝(x＋y)2x＋y＝x＋y.13．已知15＋4x－4x2≥0,化简：4x2＋12x＋9＋4x2－20x＋25＝________.[答案]8[解析]由15＋4x－4x2≥0得：－32≤x≤524x2＋12x＋9＋4x2－20x＋25＝|2x＋3|＋|2x－5|＝2x＋3＋5－2x＝8.14．已知2a＋2－a＝3,则8a＋8－a＝________.[答案]18[解析]8a＋8－a＝(2a)3＋(2－a)3＝(2a＋2－a)(22a＋2－2a－1)＝3[(2a＋2－a)2－3]＝18.三、解答题15．化简y＝4x2＋4x＋1＋4x2－12x＋9,并画出简图．[解析]y＝4x2＋4x＋1＋4x2－12x＋9＝|2x＋1|＋|2x－3|＝⎩⎪⎨⎪⎧4x－2(x≥32)4(－12<x<32)2－4x(x≤－12)其图象如图．16．若x>0,y>0,且x(x＋y)＝3y(x＋5y),求2x＋2xy＋3yx－xy＋y的值．[解析] 将条件式展开整理得x －2xy －15y ＝0. 分解因式得(x ＋3y )(x －5y )＝0, ∵x >0,y >0,∴x ＝5y , ∴x ＝25y ,∴2x ＋2xy ＋3y x －xy ＋y ＝50y ＋225y 2＋3y 25y －25y 2＋y ＝3.17．已知x ＝12(ab ＋b a ),(a >b >0),求2ab x －x 2－1的值． [解析] ∵x ＝12⎝⎛⎭⎫a b＋b a ＝12⎝⎛⎭⎫ab b ＋ab a ＝ab (a ＋b )2ab ＝a ＋b 2ab , 又a >b >0, ∴原式＝2aba ＋b2ab－(a ＋b )24ab－1＝2ab a ＋b 2ab －a －b 2ab＝4ab2b＝2a .[点评] 若把条件a >b >0改为a >0,b >0则由于x 2－1＝|a －b |2ab,故须分a ≥b ,a <b 进行讨论． 18．已知f (x )＝e x －e －x ,g (x )＝e x ＋e －x (e ＝2.718…)． (1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；(2)设f (x )f (y )＝4,g (x )g (y )＝8,求g (x ＋y )g (x －y )的值．[解析] (1)[f (x )]2－[g (x )]2＝[f (x )＋g (x )]·[f (x )－g (x )] ＝2·e x ·(－2e －x )＝－4e 0＝－4. (2)f (x )f (y )＝(e x －e －x )(e y －e －y ) ＝e x ＋y ＋e －(x ＋y )－e x －y －e －(x －y ) ＝g (x ＋y )－g (x －y )＝4①同法可得g (x )g (y )＝g (x ＋y )＋g (x －y )＝8. ②解由①②组成的方程组得,g (x ＋y )＝6,g (x －y )＝2.∴g (x ＋y )g (x －y )＝62＝3.。
成才之路人教版数学必修一1-1-2
一、选择题1．对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是()A．B是A的子集B．A中的元素都不是B的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A[答案] C[解析]“A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B 的元素．不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选C.2．若集合M＝{x|x＜6}，a＝35，则下列结论正确的是() A．{a} M B．a MC．{a}∈M D．a∉M[答案] A[解析]∵a＝35＜36＝6，即a＜6，∴a∈{x|x＜6}，∴a∈M，∴{a} M.[点拨]描述法表示集合时，大括号内的代表元素和竖线后的制约条件中的代表形式与所运用的符号无关，如集合A＝{x|x＞1}＝B{y|y＞1}，但是集合M＝{x|y＝x2＋1，x∈R}和N＝{y|y＝x2＋1，x ∈R}的意思就不一样了，前者和后者有本质的区别．3．下列四个集合中，是空集的是()A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4}[答案] B[解析] 选项A 、C 、D 都含有元素．而选项B 无元素，故选B.4．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＜0，xy ＞0}，P ＝{(x ，y )|x ＜0，y ＜0}，则( )A ．P MB ．M PC ．M ＝PD ．M P [答案] C[解析] 本题考查两集合之间的关系，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＜0，xy ＞0得x ＜0，y ＜0，这与集合P 中的元素(x ，y )限定的条件相同，故M ＝P .5．设集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，则集合A ，B 间的关系为( )A ．A ＝BB ．A BC ．B AD ．以上都不对[答案] A[解析] A 、B 中的元素显然都是奇数，A 、B 都是有所有等数构成的集合．故A ＝B .选A.[探究] 若在此题的基础上演变为k ∈N .又如何呢？答案选B 你知道吗？6．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合是集合M 的子集的为( )A ．P ＝{－3,0,1}B ．Q ＝{－1,0,1,2}C ．R ＝{y |－π<y <－1，y ∈Z }D ．S ＝{x ||x |≤3，x ∈N }[答案] D[解析]先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M，且S M.故选D.7．已知集合M＝{(x，y)|3x＋4y－12＜0，且x，y∈N*}，则集合M的真子集的个数是()A．4 B．6C．7 D．8[答案] C[解析]因为M＝{(x，y)|3x＋4y－12＜0，且x，y∈N*}＝{(1,2)，(2,1)，(1,1)}，所以M的真子集有23－1＝7(个)．8．(2012－2013瓮安一中高一期末试题)设P，Q是两个非空集合，定义P×Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，若P＝{3,4,5}．Q＝{4,5,6,7}，则P×Q中元素的个数是()A．3 B．4C．7 D．12[答案] D[解析]根据定义，集合P×Q是一个由有序数对(a，b)组成的集合，所以分别为(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(5,7)，共12个．二、填空题9．设A＝{正方形}，B＝{平行四边形}，C＝{四边形}，D＝{矩形}，E＝{多边形}，则A、B、C、D、E之间的关系是________．[答案]A D B C E[解析] 由各种图形的定义可得．10．用适当的符号填空．(∈，∉，⊆，⊇， ， ，＝)a ________{b ，a }；a ________{(a ，b )}；{a ，b ，c }________{a ，b }；{2,4}________{2,3,4}；∅________{a }．[答案] ∈，∉， ， ，11．已知A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2}，定义集合A 、B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则集合A *B 中最大的元素是________，集合A *B 所有子集的个数是________．[答案] 5,16[解析] 由已知A *B ＝{2,3,4,5}，∴A *B 中最大元素是5.∵A *B 中共有4个元素，∴其子集共有24＝16.12．已知集合A ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，则集合A 、B 满足的关系是________(用⊆， ，＝， 连接A 、B 的关系)．[答案] A B[解析] 解法1：用列举法，令k ＝－2，－1,0,1,2…可得A ＝{…－34，－14，14，34，54…}，B ＝{…0，14，12，34，1…}，∴A B .解法2：集合A 的元素为：x ＝k 2＋14＝2k ＋14(k ∈Z )，集合B 的元素为：x ＝k 4＋12＝k ＋24(k ∈Z )，而2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，∴A B .[规律总结]本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若k是任意整数，则k＋m(m是一个整数)也是任意整数，而2k＋1,2k－1均为任意奇数，2k为任意偶数．三、解答题13．判断下列表示是否正确：(1)a⊆{a}；(2){a}∈{a，b}；(3)∅ {－1,1}；(4){0,1}＝{(0,1)}；(5){x|x＝3n，n∈Z}＝{x|x＝6n，n∈Z}．[解析](1)错误．a是集合{a}的元素，应表示为a∈{a}．(2)错误．集合{a}与{a，b}之间的关系应用“ (⊆)”表示．(3)正确．空集是任何一个非空集合的真子集．(4)错误．{0,1}是一个数集，含有两个元素0,1，{(0,1)}是一个以有序实数对(0,1)为元素的集合，所以{0,1}≠{(0,1)}．(5)错误．集合{x|x＝3n，n∈Z}中的元素表示所有能被3整除的数，或者说是3的倍数，而{x|x＝6n，n∈Z}中的元素表示所有能被6整除的数，即是6的倍数，因此应有{x|x＝6n，n∈Z} {x|x＝3n，n ∈Z}．14．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B A，求m的值．[解析]∵A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，且B A.∴(1)当B＝∅时，方程mx＋1＝0无解，故m＝0；(2)当B≠∅时，则B＝{－1m}．若－1m ＝－3，则m ＝13；若－1m ＝2，则m ＝－12.综上知，m 的值为0，－12，13.15．已知A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋a <0}，当B ⊆A 时，求实数a 的取值范围．[解析] ∵A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋a <0}＝{x |x <－a 4}，∵A ⊇B ，∴－a 4≤－1，即a ≥4，所以a 的取值范围是a ≥4.16．设集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数；(3)当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A . 当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，即2≤m ≤3. 综上，当B ⊆A 时，m 的取值范围是{m |m ≤3}．(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴集合A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)∵x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，∴当B ＝∅，即m ＋1>2m －1，得m <2时，符合题意； 当B ≠∅，即m ＋1≤2m －1，得m ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ＋1>5，或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，2m －1<－2，解得m >4. 综上，所求m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．。
成才之路人教A版数学必修1练习2-2-1-3
2.2.1.3一、选择题1．下列各式中不正确嘚是( )[答案] D[解析] 根据对数嘚运算性质可知：2．log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78＝lg3lg2×lg4lg3×lg5lg4×lg6lg5×lg7lg6×lg8lg7＝lg8lg2＝3，故选C.3．设lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512等于( ) A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b 1＋aC.2a ＋b 1－aD.a ＋2b 1－a[答案] C[解析] log 512＝lg12lg5＝2lg2＋lg31－lg2＝2a ＋b1－a ，故选C.4．已知log 72＝p ，log 75＝q ，则lg2用p 、q 表示为( ) A ．pqB.qp ＋qC.pp ＋qD.pq 1＋pq[答案] B[解析] 由已知得：log 72log 75＝p q ，∴log 52＝pq变形为：lg2lg5＝lg21－lg2＝p q ，∴lg2＝pp ＋q ，故选B.5．设x ＝ ，则x∈( )A ．(－2，－1)B ．(1,2)C ．(－3，－2)D ．(2,3)[答案] D[解析] x ＝＝log 310∈(2,3)，故选D.6．设a 、b 、c∈R ＋，且3a ＝4b ＝6c ，则以下四个式子中恒成立嘚是( ) A.1c ＝1a ＋1bB.2c ＝2a ＋1bC.1c ＝2a ＋2bD.2c ＝1a ＋2b[答案] B[解析] 设3a ＝4b ＝6c ＝m ，∴a＝log m 3，b ＝log m 4，c ＝log m 6， ∴1a ＝log m 3，1b ＝log m 4，1c ＝log m 6， 又∵log m 6＝log m 3＋log m 2，1c ＝1a ＋12b ，即2c ＝2a ＋1b，故选B. 7．设方程(lgx)2－lgx 2－3＝0嘚两实根是a 和b ，则log a b ＋log b a 等于( ) A ．1B ．－2C ．－103D ．－4[答案] C[解析] 由已知得：lga ＋lgb ＝2，lgalgb ＝－3 那么log a b ＋log b a ＝lgb lga ＋lga lgb ＝lg 2b ＋lg 2algalgb＝(lga ＋lgb)2－2lgalgb lgalgb ＝4＋6－3＝－103，故选C.8．已知函数f(x)＝2x 2＋lg(x ＋x 2＋1)，且f(－1)≈1.62，则f(1)≈( ) A ．2.62 B ．2.38 C ．1.62D ．0.38[答案] B[解析] f(－1)＝2＋lg(2－1)，f(1)＝2＋lg(2＋1)因此f(－1)＋f(1)＝4＋lg[(2－1)(2＋1)]＝4，∴f(1)＝4－f(－1)≈2.38，故选B. 二、填空题9．设log 89＝a ，log 35＝b ，则lg2＝________. [答案]22＋3ab[解析] 由log 89＝a 得log 23＝32a ，∴lg3lg2＝3a2，又∵log 35＝lg5lg3＝b ，∴lg3lg2×lg5lg3＝32ab ， ∴1－lg2lg2＝32ab ， ∴lg2＝22＋3ab.10．已知log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，那么式子log abc x ＝________. [答案] 1[解析] log x (abc)＝log x a ＋log x b ＋log x c ＝12＋13＋16＝1，∴log abc x ＝1.11．若log a c ＋log b c ＝0(c≠1)，则ab ＋c －abc ＝______. [答案] 1[解析] 由log a c ＋log b c ＝0得：lg(ab)lgalgb·lgc＝0，∵c≠1，∴lgc≠0∴ab＝1， ∴ab＋c －abc ＝1＋c －c ＝1.12．光线每透过一块玻璃板，其强度要减弱110，要使光线减弱到原来嘚13以下，至少要这样嘚玻璃板______块(lg3＝0.4771)．[答案] 11[解析] 设光线原来嘚强度为1，透过第n 块玻璃板后嘚强度为(1－110)n .由题意(1－110)n <13，两边同时取对数得nlg(1－110)<lg 13，所以n>－lg32lg3－1＝0.47710.0458≈10.42故至少需要11块玻璃板．三、解答题13．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m 嘚值． [解析] log 416＝2，log 34·log 48·log 8m ＝log 3m ＝2， ∴m＝9.14．计算(lg 12＋lg1＋lg2＋lg4＋lg8＋……＋lg1024)·log 210.[解析] (lg 12＋lg1＋lg2＋lg4＋…＋lg1024)·log 210＝(－1＋0＋1＋2＋…＋10)lg2·log 210＝－1＋102×12＝54.15．若25a ＝53b ＝102c ，试求a 、b 、c 之间嘚关系． [解析] 设25a ＝53b ＝102c ＝k ， 则a ＝15log 2k ，b ＝13log 5k ，c ＝12lgk.∴log k 2＝15a ，log k 5＝13b ，log k 10＝12c ，又log k 2＋log k 5＝log k 10，∴15a ＋13b ＝12c .16．设4a ＝5b ＝m ，且1a ＋2b＝1，求m 嘚值． [解析] a ＝log 4m ，b ＝log 5m.∴1a ＋2b＝log m 4＋2log m 5＝log m 100＝1，∴m＝100. 17．已知二次函数f(x)＝(lga)x 2＋2x ＋4lga 嘚最大值是3，求a 嘚值． [解析] ∵f(x)嘚最大值等于3∴⎩⎪⎨⎪⎧lga<016lg 2a －44lga ＝3，∴(4lga ＋1)(lga －1)＝0∵lga<0，∴lga＝－14，∴a＝10－14.。
[2020高中数学]成才之路人教A版数学必修1练习1-2-2-2
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1.2.2.2一、选择题1．集合A ＝{a ,b ,c },B ＝{d ,e }则从A 到B 可以建立不同的映射个数为( ) A ．5 B ．6 C ．8D ．9[答案] C[解析] 用树状图写出所有的映射为：a →d ⎩⎨⎧b →d ⎩⎪⎨⎪⎧ c →d c →e b →e⎩⎪⎨⎪⎧c →d c →ea →e ⎩⎨⎧b →d ⎩⎪⎨⎪⎧ c →d c →e b →e⎩⎪⎨⎪⎧c →dc →e 共8个．2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3 (x ＞0)，1 (x ＝0)，x ＋4 (x ＜0).则f (f (f (－4)))＝( ) A ．－4 B ．4 C ．3D ．－3[答案] B[解析] f (－4)＝(－4)＋4＝0, ∴f (f (－4))＝f (0)＝1,f (f (f (－4)))＝f (1)＝12＋3＝4.故选B.3．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋m 的图象与x 轴有交点,则实数m 的范围是( ) A ．m ＞－1 B ．m ＞1 C ．m ≥－1 D ．m ≥1[答案] C[解析] f (x )＝－x 2＋2x ＋m 的图象与x 轴有交点,即方程－x 2＋2x ＋m ＝0有实根,∴Δ≥0即4＋4m ≥0,∴m ≥－1,故选C.4．下列从P 到Q 的各对应关系f 中,不是映射的是( ) A ．P ＝N ,Q ＝N *,f ：x →|x －8|B ．P ＝{1,2,3,4,5,6},Q ＝{－4,－3,0,5,12},f ：x →x (x －4)C ．P ＝N *,Q ＝{－1,1},f ：x →(－1)xD ．P ＝Z ,Q ＝{有理数},f ：x →x 2 [答案] A[解析] 对于选项A,当x ＝8时,|x －8|＝0∉N *, ∴不是映射,故选A. 5．给出下列四个命题：(1)若A ＝{整数},B ＝{正奇数},则一定不能建立从集合A 到集合B 的映射； (2)若A 是无限集,B 是有限集,则一定不能建立从集合A 到集合B 的映射； (3)若A ＝{a },B ＝{1,2},则从集合A 到集合B 只能建立一个映射； (4)若A ＝{1,2},B ＝{a },则从集合A 到集合B 只能建立一个映射． 其中正确命题的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个[答案] B[解析] 对于(1)f ：A →B 对应法则f ：x →2|x |＋1故(1)错；(2)f ：R →{1},对应法则f ：x →1,(2)错；(3)可以建立两个映射,(3)错；(4)正确,故选B.6．(广东梅县东山中学2009～2010高一期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 x ∈[－1，1]x x ∉[－1，1],若f [f (x )]＝2,则x 的取值范围是( )A ．∅B ．[－1,1]C ．(－∞,－1)∪(1,＋∞)D ．{2}∪[－1,1] [答案] D[解析] 首先当x ＝2时,f (2)＝2, ∴f [f (2)]＝2,其次当x ∈[－1,1]时,f (x )＝2, ∴f [f (x )]＝2.7．已知函数f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (0)＝0,则f (4)的值是( ) A ．5 B ．－5 C ．12 D ．20[答案] C[解析] 由f (1)＝f (0)＝0得到：1＋p ＋q ＝0①,q ＝0②,由①和②联立解得p ＝－1,q ＝0.于是f (x )＝x 2－x ,则f (4)＝42－4＝12.8．某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图四个图形中较符合该学生走法的是( )[答案] D[解析] t ＝0时,该学生到学校的距离为d 0,排除A 、C,随着跑步开始,此学生到学校距离迅速缩短,而转入步行后,此学生到学校距离继续缩短,但较跑步时缩的慢了,∴选D9．某产品的总成本y (万元)与产量x 之间的函数关系式是y ＝3000＋20x －0.1x 2,x ∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时的最低产量为( )A ．25台B ．75台C ．150台D ．200台[答案] C[解析] 由题意得：y ≤25x 得3000＋20x －0.1x 2≤25x ∴x 2＋50x －30000≥0解得：x ≥150或x ≤－200 又0＜x ＜240,∴150≤x ＜240,最低产量为150台．10．定义域为R 的函数f (x )满足f (x )＋2f (－x )＝2x ＋1,则f (x )＝( ) A ．－2x ＋1B ．2x －13C ．2x －1D ．－2x ＋13[答案] D[解析] ∵f (x )＋2f (－x )＝2x ＋1 (x ∈R ) ∴f (－x )＋2f (x )＝－2x ＋1, 消去f (－x )得,f (x )＝－2x ＋13.二、填空题11．(2010·陕西文,13)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ,则实数a ＝________.[答案] 2[解析] 由题意得,f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ,a ＝2.12．已知函数φ(x )＝f (x )＋g (x ),其中f (x )是x 的正比例函数,g (x )是x 的反比例函数,且φ(13)＝16,φ(1)＝8,则φ(x )的表达式为________．[答案] 3x ＋5x[解析] 设f (x )＝kx (k ≠0),g (x )＝mx (m ≠0)则φ(x )＝kx ＋m x,由题设⎩⎪⎨⎪⎧k 3＋3m ＝16k ＋m ＝8解之得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3m ＝5,∴φ(x )＝3x ＋5x.三、解答题13．在国内投寄外埠平信,每封信不超过20克重付邮资80分,超过20克而不超过40克重付邮资160分．试写出x (0≤x ≤40)克重的信应付的邮资y (分)与x (克)的函数关系,并求函数的定义域,然后作出函数的图象．[解析] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x ＝0)80 (0＜x ≤20)，160 (20＜x ≤40)定义域为[0,40],图象如下14．作出下列函数的图象． (1)f (x )＝2x ,x ∈Z ,且|x |≤2；[解析] (1)这个函数的定义域是集合{－2,－1,0,1,2},对应法则是“乘以2”,故它的图象由5个孤立的点(－2,－4),(－1,－2),(0,0),(1,2),(2,4)组成,函数图象如图(1)所示．(2)这个函数分为两部分, 当x ∈(0,＋∞)时,f (x )＝1, 当x ∈(－∞,0]时,f (x )＝－1,函数图象如图(2)所示．15．(1)一次函数的图象如图(1),求其解析式．(2)设二次函数的图象如图(2)所示,求此函数的解析式．[解析] (1)设y ＝kx ＋b (k ≠0),由图知过(－1,0)和(0,2)点,∴⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0b ＝2,∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝2, ∴y ＝2x ＋2.(2)设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),由图知过A (－3,0)、B (1,0)、C (0,－2)三点, ∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝0a ＋b ＋c ＝0c ＝－2,∴⎩⎨⎧a ＝23b ＝43c ＝－2,∴y ＝23x 2＋43x －2.[点评] 设y ＝ax 2＋bx ＋c ,由图知y ＝0时,x ＝－3或1,即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两根－3和1,故可用根与系数关系求解,也可设ax 2＋bx ＋c ＝a (x ＋3)(x －1)．由过(0,－2)求出a ,进而求出b 、c .16．设A ＝B ＝{(x ,y )|x ∈R ,y ∈R },f ：(x ,y )→(kx ,y ＋b )．是从集合A 到集合B 的映射,若B 中元素(6,2)在映射f 下对应A 中元素(3,1),求k ,b 的值．[解析] (3,1)对应元素为(3k,1＋b ),∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3k ＝6，b ＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝1. 17．作出函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|的图象,并由图象求函数f (x )的值域． [解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3 (x ≥2)1－2x (－1＜x ＜2)3 (x ≤－1)如图：由图象知函数f (x )值域为{y |－3≤y ≤3}．。
成才之路人教A版数学必修1练习1-3-2-2
实用文档1.3.2.2一、选择题1．已知定义域为R 的函数f (x )在(8，＋∞)上为减函数，且函数f (x ＋8)为偶函数，则( )A ．f (6)>f (7)B ．f (6)>f (9)C ．f (7)>f (9)D ．f (7)>f (10)[答案] D[解析] ∵y ＝f (x ＋8)为偶函数，∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8对称，又f (x )在(8，＋∞)上为减函数，∴f (x )在(－∞，8)上为增函数，∴f (10)＝f (6)<f (7)＝f (9)，故选D.2．(胶州三中2009～2010高一模块测试)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为( )A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)[答案] D[解析] 奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，f (x)－f(－x)x＝2f(x)x<0.由函数的图象得解集为(－1,0)∪(0,1)．3．f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝2x－1，则当x<0时，f(x)＝( )A．2x－1 B．－2x＋1C．2x＋1 D．－2x－1[答案] D[解析] x<0时，－x>0，∴f(－x)＝2·(－x)－1，∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝－2x－1.4．偶函数f(x)＝ax2－2bx＋1在(－∞，0]上递增，比较f(a－2)与f(b＋1)的大小实用文档关系( )A．f(a－2)<f(b＋1)B．f(a－2)＝f(b＋1)C．f(a－2)>f(b＋1)D．f(a－2)与f(b＋1)大小关系不确定[答案] A[解析] 由于f(x)为偶函数，∴b＝0，f(x)＝ax2－1，又在(－∞，0]上递增，∴a<0，因此，a－2<－1<0<1＝b＋1，∴f(a－2)<f(－1)＝f(1)＝f(b＋1)，故选A.5．已知f(x)为奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x＋2，则f(x)>0的解集为( ) A．(－∞，－2)B．(2，＋∞)C．(－2,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(0,2)[答案] C[解析] 如图，∵x<0时，f(x)＝x＋2，又f(x)为奇函数，其图象实用文档实用文档关于原点对称，可画出在(0，＋∞)上的图象，∴f (x )>0时，－2<x <0或x >2.6．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2 (x ≥0)(x ＋1)2 (x <0)，下列结论中正确的是( )A ．是奇函数，且在[0,1]上是减函数B ．是奇函数，且在[1，＋∞)上是减函数C ．是偶函数，且在[－1,0]上是减函数D ．是偶函数，且在(－∞，－1]上是减函数[答案] D[解析] 画出函数图象如图，可见此函数为偶函数，在(－∞，－1]上为减函数．7．(曲师大附中2009～2010高一上期末)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (3)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，3)∪(3，＋∞)B ．(－∞，3)实用文档C ．(3，＋∞)D ．(－3,3)[答案] D[解析] ∵f (x )为偶函数，f (3)＝0，∴f (－3)＝0，又f (x )在(－∞，0]上是减函数，故－3<x ≤0时，f (x )<0.x <－3时，f (x )>0，故0<x <3时，f (x )<0，x >3时，f (x )>0，故使f (x )<0成立的x ∈(－3,3)．[点评] 此类问题画示意图解答尤其简便，自己试画图解决．8．(09·浙江)若函数f (x )＝x 2＋a x(a ∈R)，则下列结论正确的是( )A ．∀a ∈R，f (x )在(0，＋∞)上是增函数B ．∀a ∈R，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．∃a ∈R，f (x )是偶函数D ．∃a ∈R，f (x )是奇函数[答案] C[解析] 显见当a ＝0时，f (x )＝x 2为偶函数，故选C.[点评] 本题是找正确的选项，应从最简单的入手，故应从存在性选项考察．若详加讨论本题将变得复杂．对于选项D，由f(－x)＝－f(x)得x＝0，故不存在实数a，使f(x)为奇函数；对于选项B，令a＝0，则f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调增，故B错；对于选项A，若结论成立，则对∀x1，x2∈R，x1<x2时，有f(x1)－f(x2)＝x21＋a x1－x22－ax2＝(x1－x2)[x1＋x2－ax1x2]<0恒成立，∴x1＋x2>ax1x2恒成立，这是不可能的．9．(2010·安徽理，6)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )[答案] D[解析] 若a<0，则只能是A或B选项，A中－b2a<0，∴b<0，从而c>0与A 图不符；B中－b2a>0，∴b>0，∴c<0与B图也不符；若a>0，则抛物线开口向上，只能是C或D选项，则当b>0时，有c>0与C、D不符．当b<0时，有c<0，此时－b2a>0，实用文档实用文档且f (0)＝c <0，故选D.10．(2010·广东文，10)在集合{a ，b ，c ，d }上定义两种运算、⊗如下：那么d ⊗(a c )＝( )A ．aB ．bC ．cD ．d[答案] A[解析] 要迅速而准确地理解新规则，并能立即投入运用，a c ＝c ，d ⊗c ＝a ，故选A.二、填空题11．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (0，－5)，B (5,0)，它的对称轴为直线x ＝2，则这个二次函数的解析式为________．[答案] y ＝x 2－4x －5[解析] 设解析式为y ＝a (x －2)2＋k ，把(0，－5)和(5,0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧－5＝4a ＋k0＝9a ＋k，∴a实用文档＝1，k ＝－9，∴y ＝(x －2)2－9，即y ＝x 2－4x －5.12．函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞[解析] 解法1：f (x )＝a ＋1－2a x ＋2可视作反比例函数y ＝1－2ax经平移得到的．由条件知1－2a <0，∴a >12.解法2：∵f (x )在(－2，＋∞)上为增函数，故对于任意x 1，x 2∈(－2，＋∞)且x 1<x 2，有f (x 1)<f (x 2)恒成立，而f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2＝(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2)∵－2<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，若要f (x 1)－f (x 2)<0，则必须且只需2a －1>0，故a >12.实用文档∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.三、解答题13．设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c是奇函数(a 、b 、c ∈Z )，且f (1)＝2，f (2)<3，求a 、b 、c的值．[解析] 由条件知f (－x )＋f (x )＝0，∴ax 2＋1bx ＋c＋ax 2＋1c －bx＝0，∴c ＝0又f (1)＝2，∴a ＋1＝2b ，∵f (2)<3，∴4a ＋12b <3，∴4a ＋1a ＋1<3，解得：－1<a <2，∴a ＝0或1，∴b ＝12或1，由于b ∈Z ，∴a ＝1、b ＝1、c ＝0.14．已知f (x )是定义在(－1,1)上的偶函数，且在(0,1)上为增函数，若f (a －2)－f (4－a 2)<0，求实数a 的取值范围．[解析] 由f (a －2)－f (4－a 2)<0得 f (a －2)<f (4－a 2)又f (x )在(－1,1)上为偶函数，且在(0,1)上递增，实用文档∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a －2<1－1<4－a 2<10<|a －2|<|4－a 2|，解得3<a <5，且a ≠2.15．设f (x )为定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ；当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4)且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式；(2)在图中的直角坐标系中画出函数f (x )的图象；(3)写出函数f (x )的值域和单调区间．[解析] (1)当x >2时，设f (x )＝a (x －3)2＋4.∵f (x )的图象过点A (2,2)，∴f (2)＝a (2－3)2＋4＝2，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2(x －3)2＋4.设x∈(－∞，－2)，则－x>2，∴f(－x)＝－2(－x－3)2＋4.又因为f(x)在R上为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－2(－x－3)2＋4，即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)．(2)图象如图所示．(3)由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4}．单调增区间为(－∞，－3]和[0,3]．单调减区间为[－3,0]和[3，＋∞)．*16.已知函数f(x)＝2xx2＋1(1)求函数的定义域；(2)判断奇偶性；(3)判断单调性；实用文档(4)作出其图象，并依据图象写出其值域．[解析] (1)函数的定义域为R.(2)∵f(－x)＝－2x1＋x2＝－f(x)∴f(x)是奇函数，其图象关于原点O对称，故在区间(0，＋∞)上研究函数的其它性质．(3)单调性：设x1、x2∈(0，＋∞)且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝2x11＋x21－2x2 1＋x22＝2(x1－x2)(1－x1x2) (1＋x21)(1＋x22)当0<x1<x2≤1时，可知f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在(0,1]上是增函数．当1<x1<x2时，f(x1)－f(x2)>0，∴f(x)在(1，＋∞)上是减函数，由于f(x)是奇函数，且f(0)＝0，因此，f(x)的减区间为(－∞，－1]、[1，＋∞)，增区间为[－1,1]．并且当x→＋∞时，f(x)→0，图象与x轴无限接近．实用文档其图象如图所示．可见值域为[－1,1]．实用文档。
成才之路人教A版数学必修2-1.1.2
新知导学
1．圆柱
定义 以_______ 矩形 的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转 旋转体 叫做圆柱 形成的面所围成的__________ 旋转轴叫做圆柱的_______ ；垂直于轴的边旋转而成 轴 有关 概念 平行 于轴的边旋转 的_______ 圆面 叫做圆柱的底面；________ 而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置， __________ 不垂直 于轴的边都叫做圆柱侧面的母线
6.简单组合体 简单几何体 组合而成的几何体叫做简单组合 (1) 概念：由 ___________ 体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结 构特征的物体组成的． 拼接 (2)基本形式：一种是由简单几何体__________ 而成，另一 截去 挖去 种是由简单几何体__________ 或__________ 一部分而成．
1.1.2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修2
●典例探究
圆柱、圆锥、圆台、球的概念的理解
给出下列命题： ①圆柱的母线与它的轴可以不平行； ②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心 三点的连线都可以构成直角三角形；
第一章
1.1
1.1.2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修2
⊙O ，SA为 如上图所示，轴为_______ SO ，底面为______ 有关 顶点 ，OA(或OB)叫 母线．另外，S叫做圆锥的_______ 概念 半径 做底面⊙O的_______
表示 圆锥用表示它的______ 轴 的字母表示，上图中的圆 法 锥可记作圆锥_______ SO 规定 ______ 棱锥 与______ 圆锥 统称为锥体
第一章
高一数学必修1第一章1-2-2-2
第一章
1.2
1.2.2
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
映射是一种特殊的对应，它具有： ①方向性：映射是有次序的，一般地从 A 到 B 的映射与 从 B 到 A 的映射是不同的； ②任意性：集合 A 中的任意一个元素在 B 中都有元素和 它对应，但不要求 B 中的每一个元素在 A 中都有元素和它对 应；
)
[答案]
D
第一章
1.2
1.2.2
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
6．某班连续进行了 5 次数学测试，其中智方同学 成绩 如表所示，在这个函数中，定义域是 {1,2,3,4,5} {85,88,86,93,95} . 次数 1 2 88 3 93 4 86 5 95 ，值域是
分数 85
第一章
1.2
1.2.2
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
规律总结：函数图象直观清晰，能够帮助我们理解概 念和有关性质．数形结合是研究数学的一种重要方法，画函 数的图象是学习数学必须掌握的一个重要技能．因此，我们 在学习中要养成画图的习惯，并会用函数的图象来理解函数 的性质．
第一章
1.2
第一章
1.2
1.2.2
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
m≤－2， (3)f(m)>m ⇔ m＋1>m， m≥2， m>1
m≥2， 或 2m－1>m
⇔ m≤ － 2 ， 或
⇔m≤－2，或 m≥2.
所以，所求 m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
第一章
1.2
1.2.2
第2课时
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2.1.2.2一、选择题1．当a >1时,函数y ＝a x ＋1a x －1是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数[答案] A[解析] 由a x －1≠0得x ≠0, ∴此函数定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞), 又∵f (－x )＝a －x ＋1a －x －1＝1a x＋11a x－1＝1＋a x 1－a x＝－f (x ),∴y ＝f (x )为奇函数．2．一批价值a 万元的设备,由于使用时磨损,每年比上一年价值降低b %,则n 年后这批设备的价值为( )A ．na (1－b %)B ．a (1－nb %)C ．a [1－(b %)n ]D ．a (1－b %)n[答案] D3．函数y ＝3x 与y ＝(13)x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称[答案] B4．若定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b (a ≥b )a (a <b ),则函数f (x )＝3x *3－x 的值域是( )A ．(0,1]B ．[1,＋∞)C ．(0,＋∞)D ．(－∞,＋∞)[答案] A[解析] f (x )＝3x*3－x＝⎩⎨⎧3－x (x ≥0)3x(x <0)∴f (x )∈(0,1],故选A. 5．若－1<a <0,则有( ) A ．2a >(12)a >0.2aB ．(12)a >0.2a >2aC ．0.2a >(12)a >2aD ．2a >0.2a >(12)a[答案] C[解析] 解法1：∵a <0,∴2a <2－a ＝(12)a,0.2a ＝(15)a >(12)a ,∴0.2a >(12)a >2a ,故选C.解法2：在同一坐标系中,作出函数y ＝2x ,y ＝⎝⎛⎭⎫12x与y ＝0.2x的图象如图,∵－1<a <0, 当x ＝a 时,由图可见 2a <⎝⎛⎭⎫12a<0.2a,∴选C.6．设a 、b 满足0<a <b <1,下列不等式中正确的是( ) A ．a a <a b B ．b a <b b C ．a a <b aD ．b b <a b[答案] C[解析] 解法1：∵0<a <1,∴y ＝a x 是减函数, 又∵a <b ,∴a a >a b .排除A ； 同理得b a >b b ,排除B.在同一坐标系中作出y ＝a x 与y ＝b x 的图象．由x >0时“底大图高”知x >0时,y ＝b x 图象在y ＝a x 图象上方,当x ＝b 时,立得b b >a b ,排除D ；当x ＝a 时,b a >a a ,∴选C.解法2：取特值检验,令a ＝14,b ＝12,则a a ＝22,a b ＝12,b a ＝142,b b ＝22,排除A 、B 、D,∴选C.7．设函数f (x )＝ 若f (x 0)>1,则x 0的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,＋∞)C ．(－∞,－2)∪(0,＋∞)D ．(－∞,－1)∪(1,＋∞) [答案] D∴x 0>1.综上所述：x 0<－1或x 0>1.8．已知x 、y ∈R ,且2x ＋3y >2－y ＋3－x ,则下列各式中正确的是( ) A ．x ＋y >0 B ．x ＋y <0 C ．x －y >0 D ．x －y <0 [答案] A[解析] 作函数f (x )＝2x －3－x .因为2x 为增函数,由3－x ＝(13)x 为减函数,知－3－x 也是增函数,从而f (x )为增函数,由2x －3－x >2－y －3y ＝2－y －3－(－y )可知f (x )>f (－y )． 又f (x )为增函数,所以x >－y ,故x ＋y >0.选A. 二、填空题9．函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1),在x ∈[1,2]时的最大值比最小值大a2,则a 的值为________．[答案] 32或12[解析] 注意进行分类讨论 (1)当a >1时,f (x )＝a x 为增函数,此时 f (x )max ＝f (2)＝a 2,f (x )min ＝f (1)＝a ∴a 2－a ＝a 2,解得a ＝32>1.(2)当0<a <1时,f (x )＝a x 为减函数,此时 f (x )max ＝f (1)＝a ,f (x )min ＝f (2)＝a 2 ∴a －a 2＝a 2,解得a ＝12∈(0,1)综上所述：a ＝32或12.10．不等式3x 2<(13)x －2的解集为________．[答案] (－2,1)[解析] 原不等式即3x 2<32－x ⇒x 2<2－x ⇒x 2＋x －2<0⇒－2<x <1. 11．函数y ＝(23)|1－x |的单调递减区间是________．[答案] [1,＋∞) [解析] y ＝(23)|1－x |＝⎩⎨⎧(23)x －1 (x ≥1)(23)1－x(x <1)因此它的减区间为[1,＋∞)．12．当x >0时,指数函数y ＝(a 2－3)x 的图象在指数函数y ＝(2a )x 的图象的上方,则a 的取值范围是________．[答案] a >3[解析] ⅰ)a 2－3>2a >1解得：a >3；ⅱ)a 2－3>1>2a >0不等式无解；ⅲ)1>a 2－3>2a >0不等式无解；综上所述a >3.三、解答题13．讨论函数f (x )＝(15)x 2－2x的单调性,并求其值域．[解析] 解法1：∵函数f (x )的定义域为(－∞,＋∞)． 设x 1、x 2∈(－∞,＋∞)且有x 1<x 2,(1)当x 1<x 2≤1时,x 1＋x 2<2,则有x 2＋x 1－2<0, 又∵x 2－x 1>0,∴(x 2－x 1)(x 2＋x 1－2)<0,又∵对于x ∈R ,f (x )>0恒成立,∴f (x 2)>f (x 1),∴函数f (x )＝(15)x 2－2x在(－∞,1]上单调递增．(2)当1≤x 1<x 2时,x 1＋x 2>2,则有x 2＋x 1－2>0,又∵x 2－x 1>0,∴(x 2－x 1)(x 2＋x 1－2)>0,∴函数f (x )在[1,＋∞)上单调递减．综上所述,函数f (x )在(－∞,1]上是增函数；在区间[1,＋∞)上是减函数． ∵x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1,又0<15<1,∴0<(15)x 2－2x ≤(15)－1＝5,∴函数f (x )的值域是(0,5]．解法2：∵函数f (x )的定义域是(－∞,＋∞),令t ＝x 2－2x ,u ＝(15)t ,又∵t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞,1]上是减函数,在[1,＋∞)上是增函数,u ＝(15)t 在其定义域内是减函数,∴函数f (x )在(－∞,1]上为增函数,在[1,＋∞)上是减函数． 以下求值域方法同上．14．已知f (x )＝12x －1＋a 是奇函数,求a 的值及函数值域．[分析] 本题是函数奇偶性与指数函数的结合,利用f (－x )＝－f (x )恒成立,可求得a 值．其值域可借助基本函数值域求得．[解析] ①∵f (x )是奇函数,∴f (－x )＝－f (x )对定义域内的每一个x 都成立． 即－[12x －1＋a ]＝12－x －1＋a ,∴2a ＝－12－x －1－12x －1＝1,∴a ＝12.②∵2x －1≠0∴x ≠0∴定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞) ∵u ＝2x －1>－1且u ≠0,∴1u <－1或1u >0∴12x －1＋12<－12或12x －1＋12>12∴f (x )的值域为(－∞,－12)∪(12,＋∞)．15．对于函数y ＝(12)x 2－6x ＋17,(1)求函数的定义域、值域；(2)确定函数的单调区间．[解析] (1)设u ＝x 2－6x ＋17,∵函数y ＝(12)u 及u ＝x 2－6x ＋17的定义域是R ,∴函数y ＝(12)x 2－6x ＋17的定义域是R .∵u ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8, ∴(12)u ≤(12)8＝1256, 又∵(12)u >0,∴函数的值域为{y |0<y ≤1256}．(2)∵函数u ＝x 2－6x ＋17在[3,＋∞)上是增函数, ∴当3≤x 1<x 2<＋∞时,有u 1<u 2.∴y 1>y 2,即[3,＋∞)是函数y ＝(12)x 2－6x ＋17的单调递减区间；同理可知,(－∞,3]是函数y ＝(12)x 2－6x ＋17的单调递增区间．16．已知f (x )＝10x －10－x10x ＋10－x.(1)求证f (x )是定义域内的增函数； (2)求f (x )的值域．[解析] (1)证法1：f (x )＝10x －10－x 10x ＋10－x ＝102x －1102x ＋1＝1－2102x ＋1.令x 2>x 1,则 f (x 2)－f (x 1)＝.故当x 2>x 1时,f (x 2)－f (x 1)>0,即f (x 2)>f (x 1)．所以f (x )是增函数． 证法2：考虑复合函数的增减性． 由f (x )＝10x －10－x 10x ＋10－x ＝1－2102x ＋1.∵10x 为增函数,∴102x ＋1为增函数,2102x ＋1为减函数,－2102x ＋1为增函数．∴f (x )＝1－2102x ＋1在定义域内是增函数． (2)令y ＝f (x )．由y ＝102x －1102x ＋1,解得102x ＝1＋y1－y .∵102x>0,∴－1<y <1.即f (x )的值域为(－1,1)．。