1.1.1任意角教学设计

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“任意角”的教学设计与反思

“任意角”的教学设计与反思一、教学设计1.教学目标：（1）了解任意角的定义；（2）掌握任意角的相关性质；（3）能够应用任意角的知识解决相关问题。

2.教学内容：（1）任意角的概念和性质；（2）任意角的弧度制和角度制；（3）任意角的三角函数；（4）任意角的正弦定理、余弦定理、正切定理等。

3.教学方法：（1）讲授结合实例，通过生动形象的例子引入任意角的概念，让学生容易理解；（2）引导学生自主探究，提出问题让学生自行思考和解决；（3）小组合作学习，让学生之间相互交流，互相学习。

4.教学流程：第一节：任意角的概念和性质1.引入：通过展示多个不同的角度的图片，引导学生探讨角的概念及其种类；2.讲解：介绍任意角的定义和性质，让学生了解任意角与定角的区别；3.实例：给出一些实际问题，让学生尝试用任意角来解决；4.总结：总结任意角的性质和应用，并检查学生的掌握情况。

第二节：任意角的三角函数1.讲解：介绍三角函数的概念和相关性质，引导学生理解三角函数与任意角的关系；2.实例：通过实例讲解如何计算任意角的三角函数值；3.练习：让学生进行练习，巩固任意角的三角函数计算方法；4.拓展：引导学生了解任意角的特殊性质，如周期性等。

第三节：任意角的三角函数定理1.讲解：介绍正弦定理、余弦定理、正切定理等任意角的三角函数定理；2.实例：通过实例讲解如何应用三角函数定理解决实际问题；3.练习：让学生进行练习，加深对三角函数定理的理解和应用能力；4.总结：总结本节内容，巩固学生的知识。

5.教学工具：（1）教材课件；（2）白板和彩色笔；（3）电子设备（如电脑、投影仪）。

6.评价方式：（1）课堂小测验，检查学生对任意角的掌握情况；（2）课堂参与度评价，评估学生在课堂中的表现；（3）课后作业，提供相关题目让学生巩固所学知识。

二、教学反思任意角作为数学中的一个重要概念，对于学生来说可能是一个比较抽象和难以理解的知识点。

在教学中，我认为可以通过以下几点来提高教学效果：2.强化基础知识：在教学中，要注重对数学基础知识的强化，如三角函数、三角恒等式等，在学生掌握这些基础知识的基础上，才能更好地理解和运用任意角的知识。

(完整版)任意角教学设计

1.1.1 任意角科目：高一数学授课教师：弥渡二中高路洪一、教学目标:1.理解并掌握正角、负角、零角的定义.2.理解任意角以及象限角的概念.3.掌握所有与角终边相同的角的表示方法.二、学情分析：三、教学重难点:重点：将0360范围内的角推广到任意角.难点：用集合来表示终边相同的角四、突破方法：在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角集合.五、教学过程：（一）创设情景，引入课题：1、提问：初中所学的角是如何定义的？角的取值范围如何？（角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；范围：0°～360°）2.课件出示跳水与体操比赛以及齿轮传动的图片，感受生活中与角有关的现象。

（体操：“转体720”，“转体1080”。

齿轮：被动轮与主动轮的旋转方向（顺、逆时针）.）【设计意图：创设课堂情境，使学生产生认知上的冲突，说明角的概念的推广的必要性，同时激发学生的学习兴趣和主动探究的精神.】强调：虽然我们过去学习了0°～360°范围内的角，但在上述问题中我们发现了仅有0°～360°范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广. （板书课题）（二）探究新知，讲授新课：1.任意角的相关概念：角的定义：角可以看成平面内内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.角的名称：【齿轮：被动轮与主动轮的旋转方向（顺、逆时针）】顶点 AO角的分类：正角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角负角：按顺时针方向旋转所形成的角零角：一条射线没有作任何旋转所形成的角强调说明：⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．2、象限角结合上述任意角的定义，教师进一步提出问题：问题1：度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，你能用图形表示210,210,660αβγ==-=-这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？（教师演示作图，让学生概括作图要点）画图表示一个大小一定的角，先画一条射线作为角的始边，再由角的正负决定旋转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.问题2：如果把上述角放在直角坐标系中，那么怎样放比较方便、合理？（让学生画图、探究、讨论和交流给出合理的方法）【设计意图：让学生自行尝试培养学生处理数学问题的动手能力及其猜想、探究能力】（课件出示象限角的概念）定义：若将角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.(练习：试在坐标系中表示300°、390°、－330°角，并判别在第几象限？) (讨论：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？)结论：如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角(或轴线角）.【设计意图：让学生明确角的概念推广以后，初中的有些相关概念也要发生改变.使学生进一步理解象限角的概念，培养学生的数形结合能力，为下面引入终边相同的作好铺垫.】3、终边相同的角（1）请在坐标轴上画出30°,390°,-330°,并找出它们的共同点?（三个角的终边相同，两两之间相差360的整数倍）结论：具有这样特点的角我们把它称为终边相同的角。

高中数学人教A版必修四1.1.1【教学设计】《1.1.1任意角》

《1.1.1任意角》一.讲什么1. 教学内容：（1）教学原理：任意角的推广。

（2）思想方法：数形结合，利用坐标系建立角的概念。

（3）能力素养：几何直观抽象为概念。

2.内容解析：在已有的锐角三角函数知识的基础上，将角推广到任意角，利用单位圆进一步研究任意角的三角函数，并利用集合与对应的语言来刻画角是很有必要的，任意角的概念也显得非常重要。

所以结合具体实例，利用直角坐标系建立象限角的概念，引导学生用数形结合的思想方法来认识角，培养学生数形结合的思想。

二.为何讲1、教学目标：（1）从体育运动入手，将角推广到任意角。

（2）在平面直角坐标系下研究任意角，并引导学生更好的认识象限角、终边相同的角等概念。

2、目标解析：（1）从实际出发，研究角，这样的安排更加的自然，学生易于接受，也容易引起学生的思维冲突，使得推广角的概念更有意义。

（2）在平面直角坐标系下去研究任意角，数形结合，培养学生研究问题的多思维角度。

角的始边、顶点、终边的建立，由静态的角的概念过度到动态的角的概念，使得任意角及象限角的概念更加的形象化。

教学重点：从实际问题入手，将角推广到任意角，并建立在直角坐标系中研究任意角的数学思维。

三.怎样讲（一）教学准备1.教学问题（1）如何从以有的角的概念，引起思维冲突，从而引出任意角的推广是第一个教学问题。

产生这个问题的原因是学生对于角的概念还处于初中时期的三角形内部，锐角、直角、钝角是学生们熟知的角。

所以我们采取体育运动中的专业术语或者旋转表针来入手解决这个问题。

（2）如何将角放入直角坐标系中是我们的第二个数学问题。

由于初中学过的角是静态角，所以由静态的角过度到动态的角是学生难以想象的。

所以我们将角按着某种提前选定的方式放入直角坐标系，固定其顶点和始边，旋转终边，这样就就能刻画出任意角。

（3）终边相同的角该如何去表示他们之间的关系是我们的第三个问题。

旋转角的终边的过程中，我们观察可以得知，尽管角的终边所在位置相同，但是所表示的角显然是不同的，但是该如何刻画他们的不同，如何找到他们之间的关系呢？我们利用旋转过程中的周期性完美的解决了终边相同的角之间的关系问题。

1.1《任意角》教学教案1

1.1.1任意角学习目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

学习重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义学习难点：“旋转”定义角课标要求：了解任意角的概念学习过程：一、引入同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。

三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。

二、新课1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”师：初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

师：如图1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。

旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。

师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o ” （即转体2周），“转体1080o ”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？生：逆时针旋转30o ；顺时针旋转30o ．师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周……， B α O A 图1则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。

本节课将在已掌握～角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．2．角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。

必修四《1.1.1任意角》教学设计

必修四《1.1.1任意角》教学设计作者：刘燕来源：《读写算》2019年第19期摘要本文从情境引入、概念引入、例题教学、课堂小结和作业布置五个方面阐述了如何采用MPCK理论进行课堂教学模式设计，利用弗赖登塔尔的“再创造”理论进行设计教学，希望给广大初中数学架势提供参考。

关键词任意角;教学设计中图分类号：G632;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; 文献标识码：A;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; 文章编号：1002-7661（2019）19-0155-01本节课主要采用MPCK理论进行课堂教学模式设计.利用弗赖登塔尔的“再创造”理论进行设计教学，学生在初中已经学过静态定义的角，本节从运动的观点来定义角，从而发展和完善角的定义。

下面对必修四《1.1.1任意角》这一课进行具体的分析。

1.教学目标经历任意角概念的生成过程，理解角的概念推广的必要性;理解象限角和终边相同的角的概念，能写出与已知角终边相同的角的集合;通过天文现象、生活现象解释三角学时刻画与研究现实生活中的周期现象;接着回顾初中角的定义和生活中汽车里程表和车轮的关系，学生产生认知冲突，认识到角度推广的必要性;通过通过关于三角学的数学史的融入教学，让学生体会角的概念源远流长，提高学生的学习兴趣。

该节课渗透的数学思想，进一步培养学生用数学眼光看世界、用数学语言表达世界的数学素养。

2.教学重、难点重点：将0°～360°的角的概念推广到任意角。

难点：角的概念的推广;终边相同的角的表示。

教学过程一、情境引入（老师PPT展示日月交替的小视频.）自然现象中有很多循環往复、周而复始的现象，在数学中称为“周期现象”。

同学们，你们还见过哪些周期现象？能举例说明吗？你们还见过哪些周期现象？能举例说明吗？生：日夜交替、四季变换……设计意图：创设情境，让学生在直观感知的过程中，体会数学源于生活，高于生活。

高中数学必修四《任意角》优秀教学设计

⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍；
⑷ 角α + k·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．例 3．在 0°到 360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．
⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇．答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角；
教学教学内容备 Nhomakorabea过程
注
一、
自主学习
阅读教材回答下列问题：
（1）按
放心旋转所成的角叫做正角；按
方向旋转所
成的角叫做负角；如果一条射线
，我们称它形成了一个零角。
（2）所有与角α 相同所有与角α 终边相同的角，连同α 在内，可构成一个集合
k∈Z}，即任一与角α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整个周角的和．
正角：按逆时针方向旋转形成的角零负角角：：射按线顺没时有针任方何向旋旋转转形形成成的的角角 ④注意：
⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”；
⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；
⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．
⑤练习：请说出角α 、β、γ 各是多少度? 2．象限角的概念：
③锐角
④小于
解答（1）① 四、
课堂
检测
③
；
②
；
；
④
（2）分别写出：
①终边落在轴负半轴上的角的集合；角的集合；
②终边落在轴上的
③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；
④终边落在四象限角平分线上的角的集合．

必修四《1.1.1任意角》教学设计

必修四《1.1.1任意角》教学设计本节课主要采纳MPCK理论进行课堂教学模式设计.利用弗赖登塔尔的“再制造”理论进行设计教学，同学在中学已经学过静态定义的角，本节从运动的观点来定义角，从而进展和完善角的定义。

下面对必修四《1.1.1任意角》这一课进行详细的分析。

1.教学目标经受任意角概念的生成过程，理解角的概念推广的须要性;理解象限角和终边相同的角的概念，能写出与已知角终边相同的角的集合;通过天文现象、生活现象说明三角学时刻画与讨论现实生活中的周期现象;接着回顾中学角的定义和生活中汽车里程表和车轮的关系，同学产生认知冲突，认识到角度推广的须要性;通过通过关于三角学的数学史的融入教学，让同学体会角的概念源远流长，提高同学的学习爱好。

该节课渗透的数学思想，进一步培育同学用数学眼光看世界、用数学语言表达世界的数学素养。

2.教学重、难点重点：将0°～360°的角的概念推广到任意角。

难点：角的概念的推广;终边相同的角的表示。

教学过程一、情境引入〔老师PPT展示日月交替的小视频.〕自然现象中有许多循環往复、周而复始的现象，在数学中称为“周期现象”。

同学们，你们还见过哪些周期现象？能举例说明吗？你们还见过哪些周期现象？能举例说明吗？生：日夜交替、四季变换……设计意图：创设情境，让同学在直观感知的过程中，体会数学源于生活，高于生活。

二、概念引入师：中学我们已经学习了角的概念，是怎样定义的呢？学了哪些角？角的范围分别是多少？生：从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。

锐角、直角、钝角，平角，周角。

〔视频展示体操运动员、跳水运动员旋转的图片〕师：能不能从动态的、旋转的视角对角作出定义？刻画这些角的关键是什么？我们可以把角看成平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

师：顺时针旋转得到的角和逆时针得到的角一样吗？师：有什么符号可以刻画这两个相反的量？哪个符号更符合“简约、有用又统一”？生：正负号师：那究竟顺时针为正还是逆时针为正？同学争论沟通，劝服对方。

1.1.1任意角教案(可编辑修改word版)

1.1.1 任意角教案一、教材分析1、本节教材的地位和作用：本课是数学必修 4 第一章三角函数中第一节的第一课时。

三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。

这一节中包括任意角、终边相同的角的表示方法和象限角三个内容。

角的概念的推广正是这一思想的体现之一，是初中相关知识的自然延续。

为进一步研究角的和、差、倍、半关系提供了条件，也为今后学习解析几何、复数等相关知识提供有利的工具，所以学生正确的理解和掌握角的概念的推广尤为重要。

2、教学目标：知识与技能目标：（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解任意角以及象限角的概念；（3）掌握所有与角 a 终边相同的角（包括角 a）的表示方法；过程与方法目标：（1）提高学生的计算能力,归纳概括能力和类比思维能力；（2）通过画图和判断角的象限，培养学生数形结合的思想方法；情感态度与价值观目标：（1）创设问题情景，激发分析探求的学习态度，强化参与意识；（2）学会运用运动变化的观点认识事物.3、教学重点、难点：重点：理解任意角中正角、负角和零角和象限角的定义。

难点: 终边相同的角的表示方法。

二、学生情况分析学生在初中就已经学过角的定义。

从学生学过的东西出发，结合实际生活中的例子，将任意角的范围扩展到大于 360 度，可以引发学生的的认知冲突，激发学生的求知欲望，为这节课的顺利进行提供了有利的条件。

三、教法学法教法分析：探索与发现新知识是教学的重点。

所以在教学中主要采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得新知识。

学法指导：建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的知识背景相联系。

在教学中，采用自主探索与合作交流的学习方式，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。

四、教学过程五、教学反思1.学生在初中已经接触到角的定义，角的范围仅限于 0--360 。

【必做练习】高中数学第一章三角函数1.1.1任意角教案新人教A版必修4

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课题：任意角
［课时安排］
1 课时
［教学目标］
1．理解任意大小的角正角、负角和零角，掌握终边相同的角、
象限角、区间角、终边在坐标轴上的角 .
2．从数形结合的角度认识角
3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、
转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力
［教学重点］
理解概念，掌握终边相同角的表示法 .
A． 30° B ． 30°
C
． 630° D ． 630°
3. 把 1485°转化为 α ＋ k· 360°（ 0°≤ α ＜ 360° , k∈ Z）的形式是（）
A ． 45o 4×360°
B
C． 45o 5× 360°
D
o
． 45 4× 360°
o
．315 5× 360°
4. 下列结论中正确的是 ( )
方向旋转形成的角；
零角：射线没有任何旋转形成的角；
负角：按
方向旋转形成的角。
（3）象限角与坐标轴上的角：
B 终边
始边
O 顶点
A
使角的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边落第几象限，则
称为
；终边落在坐标轴上的角称为
。
2. 与角终边相同的角为
k 360
k z) ，连同角可构成一个集
合 S ，即
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(4) 第四象限 . 探究 2. 写出与角
45 的终边相同的角的集合 S，并写出 S 中适合不等式
360
720 的元素 β .
【当堂训练】 1. 与 405°角终边相同的角是（）
A. k ·360°－ 45° ( k Z )

高中数学必修四《任意角》教学设计

1.1.1 任意角（教学设计）内容：人教A版高中数学必修④第一章第一节第一课时.适合对象：高一学生【教材分析】三角函数是基本初等函数之一，也是中学数学的重要内容之一，它是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律的最强有力的数学工具．因此，本节课作为高中三角函数的起始课，有着衔接初高中学习，承前启后的作用，也为今后学习任意角的三角函数奠定了基础．本节课主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；介绍象限角的概念；终边相同的角的表示方法；帮助学生树立运动变化的观点，并由此深刻理解推广后角的概念．【教学目标分析】根据新课程标准和上述教材分析，本节课的教学目标设计如下：1．知识与技能目标：（1）使学生理解用“旋转”定义角；（2）理解“正角”、“负角”、“零角”、“象限角”、“终边相同的角”的含义；（3）掌握所有与角α终边相同的角（包括角α）的表示方法．2．过程与方法（1）通过问题情境，让学生自己完成角的概念的推广这一认知过程，培养学生观察、分析、运用所学知识解决问题的能力；（2）指导学生通过各种角表示法的训练，提高分析、抽象、概括的能力．3．情感态度价值观（1）通过对角的定义的推广过程的教学使学生感受到数学的应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心，激发学生学习数学的热情；（2）重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，同时体会到创新的乐趣；（3）通过对角的集合表示的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风．【教学重难点】1．教学重点：理解并掌握正角、负角、零角及象限角的定义，会表示终边相同的角的集合；2．教学难点：把终边相同的角用集合的符号语言表示出来．【教学问题诊断分析】学生在初中已学过0360范围内的角，这可能对角的概念的推广在认识上有一定的困难，因此，在教学中可结合生活中的具体例子，以学生熟悉的背景，引起学生的认知冲突，让学生体会角的概念有推广的必要．接着给出有关角的概念，在已有的认知条件下，学生是可以接受的.值得注意的是，终边相同的角的概念并不难理解，但用集合表示终边相同的角时，部分学生还是会有一些障碍，针对这一问题，在教学时应多举实例将特殊问题推广到一般情况，最好能让学生自己总结.【教学方法分析】新课程要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．本节课可采用问题引领的方式让学生思考、自主探究及教师启发的教学方法．教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，并以多媒体辅助教学为手段，构建学生自主探究的平台，激发学生的求知欲，促使学生解决问题.【信息技术分析】多媒体教室及PowerPoint2003．【教学过程】导入新课师：今天这节课，我想和大家共同探讨一个话题：角（教师板书）师：对于角，我们并不陌生，初中就学过角的概念．问题1：初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围是什么？师生活动：教师提问，学生思考、回答.设计意图：回忆初中所学角的概念，为接下来角的推广作准备．新课讲解内容一：角的定义问题2：体操名词“程菲跳”是“踺子后手翻转体180度接前直转体空翻540度”的动作命名．这里的540度是一个什么样的角，能描述它吗？设计意图：用体操情境引发学生思考，激发学生探究新知的欲望，调动学生参与教学的积极性，由此引出用“旋转”来定义角.师生活动：师：540度角初中学过吗？怎么描述呢？生：初中没学过，我认为540度实际上就是旋转了一周半．师：那540度角能画出来吗？生：我目前画不出来.师：现在540度角还画不出来，说明初中角的概念不能满足我们进一步学习的需要，所以本节课的首要任务就是将角推广到任意角．（教师板书：1.1.1任意角，同时PPT给出角的定义）角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的的图形.（接着用PPT演示角的形成过程并给出角的表示方法以及角的顶点、始边和终边的概念）内容二：正角、负角和零角师：好，我们接着看下一个问题.问题3：跳水运动员向内、向外转体两周半，这是多大角度？设计意图：使学生认识到角的推广不仅考虑要用旋转量，还应考虑旋转方向，为接下来正角、负角和零角的概念做好准备.师生活动：生：这是900度的角（教师追问：你是怎么想到的？学生继续作答）师：那向内旋转和向外旋转完全一样吗？生：不完全一样，空中旋转过程不一样（因为方向不同）师：也就是说，我们不仅需要从数量的角度将角推广，还需要根据旋转方向不同将角加以区分．在新的定义下，我们继续探讨与角有关的概念．（教师板书，同时PPT给出概念）1．正角、负角和零角我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．师：这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．内容三：象限角师：前面我们讲了这么多，现在请大家动手画出120的角.设计意图：利用新概念重新认识角的问题，通过画120角发现位置可能不同，让学生感受没有统一标准时，角的表示不方便. 通过画图探究、交流，不难给出合理的规定，让学生感知把角放到平面直角坐标系中的好处.师生活动：教师让学生把所画的图形在黑板上展示，最好有位置不同的图形作对比.如果没有的话，教师自己画一个和学生所画位置不同的角.师：可以看出，由于选取始边的位置不同，可能同样大小的角画出来的位置不同，我们更好的管理任意角，我们要给任意角加以规定.为了后续学习的需要，我们常在平面直角坐标系中讨论角，那么怎么呢把角放到坐标系中比较合理？生：把角的顶点放在坐标原点，始边放在x 轴的正半轴.（教师纠正为x 轴非负半轴）教师在总结分析角的始边和顶点规定的基础上，给出象限角的概念.（教师板书：象限角.同时PPT 上给出象限角的概念）2．象限角为了讨论问题的方便，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合．那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．内容四：终边相同的角师：学习了这些概念，我们再画几个角.问题4：在平面直角坐标系中作出32-，328，392-的角，观察这些角之间有什么内在联系？设计意图：从具体问题入手，了解终边相同的角的关系.师生活动：学生独立画图.教师巡视后，学生回答.生：这些角的终边相同.（教师追问：为什么？能解释一下吗？）师：与32-角终边相同的角有多少个？（学生回答：无数个）师：这些与32-角终边相同的角，包括32-的角在内，能用集合表示出来吗？教师给足时间让学生思考、作图，教师巡视后请学生（可找多个学生）在黑板上写出自己的答案，教师归纳总结，得出终边相同的角的集合.（教师板书，PPT 展示下面文字）3．终边相同的角一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}=360,k k Z ββα+⋅∈即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．例题分析例 1 在0360（即0360α≤<）范围内，找出与95012'-角终边相同的角，并判定它是第几象限角．解：95012129483360''-=-⨯，所以在0360范围内，与95012'-角终边相同的角是12948'，它是第二象限角．设计意图：通过例题，使学生进一步理解任意角的概念以及象限角和终边相同的角的概念. 师生活动：学生独立完成后回答，教师点评总结.学生练习1．下列说法正确的是（）参考答案：DA ．第一象限的角小于第二象限的角B ．若90180α≤≤，则α是第二象限的角C ．小于90的角都是锐角D ．有些角不是任何象限的角2．与460-角终边相同的角可以表示成( )参考答案：CA ．460360,k k Z +⋅∈B ．100360,k k Z +⋅∈C ．260360,k k Z +⋅∈D ．260360,k k Z -+⋅∈设计意图：通过练习，检验是否掌握的任意角的概念.师生活动：学生独立思考，教师巡视、个别辅导后请学生回答，教师再点评. 课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？设计意图：让学生复习本节课的主要内容，完善学生的认知结构，体会数学思想方法. 师生活动：学生回答，教师补充.同时解决学生提出的疑惑布置作业必做题：课本第9页习题1.1 A 组 1、2、3选做题：已知α是第一象限角，那么2α和2α是第几象限角？板书设计。

【参考教案】《任意角》(人教)

【参考教案】《任意角》（人教）一、教学目标1. 让学生理解任意角的概念，掌握任意角的定义及其表示方法。

2. 培养学生运用任意角解决实际问题的能力。

3. 引导学生通过观察、思考、交流，培养学生的抽象思维能力和创新意识。

二、教学内容1. 任意角的概念及其表示方法。

2. 任意角的分类。

3. 任意角的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：任意角的概念及其表示方法。

2. 难点：任意角的应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究任意角的概念和表示方法。

2. 运用实例分析法，让学生学会运用任意角解决实际问题。

3. 利用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生认识角的概念。

2. 自主学习：让学生自主探究任意角的概念和表示方法。

3. 课堂讲解：讲解任意角的分类及其应用。

4. 实例分析：分析实际问题，让学生学会运用任意角解决问题。

5. 练习巩固：布置练习题，让学生巩固所学知识。

6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调任意角的概念和表示方法。

7. 课后作业：布置作业，巩固任意角的知识。

8. 教学反思：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。

六、教学评价1. 评价学生对任意角概念的理解和表示方法的掌握程度。

2. 评价学生运用任意角解决实际问题的能力。

3. 评价学生在小组合作学习中的表现，包括团队协作能力和沟通能力。

七、教学资源1. 教材：人教版高中数学《三角函数》单元。

2. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。

3. 参考资料：与任意角相关的学术论文、教学案例等。

八、教学进度安排1. 第1-2课时：讲解任意角的概念和表示方法。

2. 第3-4课时：讲解任意角的分类及其应用。

3. 第5-6课时：实例分析，让学生学会运用任意角解决实际问题。

4. 第7-8课时：练习巩固，布置作业。

5. 第9-10课时：课堂小结，布置课后作业。

九、教学拓展1. 引导学生深入研究任意角的性质和特点。

1.1.1任意角(教学设计)

1.1任意角和弧度制1.1.1任意角(教学设计)教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境：“转体720︒，逆（顺）时针旋转”，角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.一、复习回顾，创设情境思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，二、师生互动，新课讲解1、任意角：我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图1.1.3(2)中，正角210α︒=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.2、象限角：在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。

《1.1.1任意角》教学案

《1.1.1任意角》教学案●三维目标1．知识与技能(1)推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；(2)理解象限角、坐标轴上的角的概念；(3)理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法；(4)能表示特殊位置(或给定区域内)的角的集合；(5)能进行简单的角的集合之间的运算．2．过程与方法以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，类比初中所学的角的概念，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系；引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求．●重点难点1．重点：理解正角、负角和零角及象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断．2．难点：把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．●教学建议1．任意角的概念：建议教师在教学过程中通过拨手表指针问题引导学生感受推广角的概念的必要性．教学时，可以先让学生自己描述“校准”手表的过程，然后引导学生体会仅用0°～360°之间的角已经无法解决当前的问题．2．象限角的概念：建议教师在教学过程中强调角与平面直角坐标系的关系，引导学生发现象限角所在的范围可以用不等式表示，并注意讲解“终边落在坐标轴上的角，它不属于任何一个象限”．3．终边相同的角的表示：建议教师在教学中应当让学生先通过自己的活动形成对“终边相同的角相差360°的整数倍”的直观感知，通过具体角寻找终边相同角的规律，归纳其一般表示形式．教学时，有条件的可以利用信息技术，利用动态的观点，旋转角的终边，观察角的变化规律，从而将数、形联系起来，使角的几何表示和集合表示相结合，从而达到对终边相同角的认知的统一．●教学流程创设问题情境，复习初中角的定义，引出任意角的概念.⇒引导学生结合任意角的定义，理解正角与负角的概念并加以区分，理解角的分类.⇒通过引导学生探究在直角坐标系中，按角的终边的位置不同定义不同的象限角，并理解终边相同的角的表示方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握角的概念及其应用.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握终边相同的角的表示方法及其注意事项.⇒通过例3及其互动探究使学生掌握象限角的表示及其应用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.1．在初中时我们是如何定义角的？【提示】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．2．如果你的手表慢了10分钟，你是怎样校准的？【提示】校准方法很多，由于分针转一圈为360°，故10分钟分针需要转过60°，且要调快分针可顺时针转，故可让分针顺时针旋转60°.(1)一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．(2)按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角．如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角．1．如果把一个角的顶点放在直角坐标系的原点，角的始边为x轴正半轴，那么角终边的位置在坐标系中有几种情况？【提示】在第一、二、三、四象限或与坐标轴重合．2．0°角与360°角的终边相同吗？【提示】相同．(1)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．(2)终边相同的角：一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}.例1①终边相同的角一定相等；②第一象限角都是锐角；③锐角都是第一象限角；④小于90°的角都是锐角．(2)下列说法正确的是________．(填序号)①一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大．②在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°.③将钟表调快一个小时，则分针转了360°.④顺时针方向旋转形成的角一定小于逆时针方向旋转形成的角．【思路探究】根据各种角的含义进行判断．【自主解答】(1)对于①，－60°角和300°角是终边相同的角，但它们并不相等，∴应排除①.对于②，390°角是第一象限角，但它不是锐角，∴应排除②.对于④，－60°角是小于90°的角，但它不是锐角，∴应排除④.∵锐角的集合是{α|0°＜α＜90°}，第一象限角的集合是{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}，∴锐角是第一象限角．∴③正确．(2)如果一条射线绕端点顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小，故①不正确．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转，故它形成的角为－90°，故②不正确．将钟表调快一个小时，也是按顺时针转动，故分针转了－360°，③不正确．顺时针方向旋转形成的角为负角，它一定小于逆时针方向旋转形成的正角，故④正确．【答案】(1)③(2)④解答概念辨析题，一是利用定义直接判断；二是利用反例排除错误答案，要说明一个命题不正确，只需举出一个反例即可．下列说法正确的是________．(填序号)①三角形的内角必是第一、二象限角；②第一象限角一定是正角；③第二象限角一定比第一象限角大；④与30°终边相同的角有无穷多个．【解析】90°可以是三角形的内角，但它既不是第一象限角，又不是第二象限角，故①错；－330°是第一象限角，但不是正角，故②错；120°是第二象限角，390°是第一象限角，但390°>120°，故③错；④正确．【答案】④终边相同的角例2在0°～360°范围内，请指出与下列角的终边相同的角，并说出此角是第几象限角．(1)430°(2)909°(3)－60°(4)－1 550°【思路探究】将所给角α写成α＝k·360°＋β(0°≤β＜360°)的形式，则β即为所求．【自主解答】(1)430°＝1×360°＋70°，所以在0°～360°范围内与430°终边相同的角为70°，此角为第一象限角．(2)909°＝2×360°＋189°，所以在0°～360°范围内与909°终边相同的角为189°，此角为第三象限角．(3)－60°＝－1×360°＋300°，所以在0°～360°范围内与－60°终边相同的角为300°，此角为第四象限角．(4)－1 550°＝－5×360°＋250°，所以在0°～360°范围内与－1 550°终边相同的角为250°，此角为第三象限角．将任意角写成α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式的关键是确定k.可用观察法(α绝对值较小时)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，余数是正数．如图1－1－1，分别写出终边落在所示直线上的角的集合．图1－1－1【解】由于终边落在直线上的角都是180°的整数倍加上相应的角(0°到180°范围内)，因此相对应的角的集合为：(1)S ＝{α|α＝90°＋k ·180°，k ∈Z }； (2)S ＝{α|α＝45°＋k ·180°，k ∈Z }； (3)S ＝{α|α＝135°＋k ·180°，k ∈Z }；(4)S ＝{α|α＝45°＋k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝135°＋k ·180°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·90°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·90°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋k ·90°，k ∈Z }．例3 已知α为第一象限角，求2α，α2，α3所在的象限．【思路探究】用不等式表示α→求2α，α2，α3的范围→分类讨论→得出结论【自主解答】 ∵α为第一象限角， ∴360°·k ＜α＜360°·k ＋90°，k ∈Z ， ∴360°·2k ＜2α＜360°·2k ＋180°，k ∈Z ，∴2α是第一或者第二象限角，或是终边在y 轴正半轴上的角． ∵180°·k ＜α2＜180°·k ＋45°，k ∈Z ，当k 为奇数时，α2是第三象限角；当k 为偶数时，α2是第一象限角． ∴α2为第一或第三象限角．又∵120°·k ＜α3＜120°·k ＋30°，k ∈Z ，当k ＝3n (k ∈Z )时，360°·n ＜α3＜360°·n ＋30°，n ∈Z ， ∴α3是第一象限角；当k ＝3n ＋1(k ∈Z )时，360°·n ＋120°＜α3＜360°·n ＋150°，n ∈Z ，∴α3是第二象限角；当k ＝3n ＋2(k ∈Z )时，360°·n ＋240°＜α3＜360°·n ＋270°，n ∈Z ，∴α3是第三象限角． ∴α3为第一、第二或第三象限角．1．用不等式表示象限角的集合是解决这类问题的基本方法． 2．α，α2，2α终边位置关系： α 第一象限第二象限第三象限第四象限错误第一、三象限第一、三象限第二、四象限第二、四象限 2α第一、二象限或y 轴的正半轴第三、四象限或y 轴的负半轴第一、二象限或y 轴的正半轴第三、四象限或y 轴的负半轴把本例中条件改为“若α是第三象限角”，求角2α，α2所在的象限．【解】由角α是第三象限角可知，k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°，k ∈Z ，于是，2k ·360°＋360°＜2α＜2k ·360°＋540°，k ∈Z ，即(2k ＋1)·360°＜2α＜(2k ＋1)·360°＋180°，k ∈Z . 所以2α为第一、二象限角或终边在y 轴的正半轴上的角．因为k ·180°＋90°＜α2＜k ·180°＋135°，k ∈Z ，当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则n ·360°＋270°＜α2＜n ·360°＋315°，n ∈Z ，此时α2为第四象限角；当k 为偶数时，设k ＝2n ，n ∈Z ，则n ·360°＋90°＜α2＜n ·360°＋135°，n ∈Z ，此时α2为第二象限角．因此α2为第二象限角或第四象限角．区间角表示错误图1－1－2典例用角度表示顶点在原点上，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在图1－1－2所示的阴影区域内的角的集合(含边界)．【错解】因为区域起始、终边边界分别对应的角为300°和45°，所以它表示的角的集合为{α|k·360°＋300°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}．【错因分析】因为45°≤300°，所以上式是错误的，由于没有弄清角的大小而造成了错误，出现了矛盾不等式．【防范措施】表示区间角时，应先按逆时针方向，确定在(0°，360°)范围内区间的起始边界与终止边界所对应的角α，β(α＜β)，再在所得到的范围{x|α＜x＜β}两边加上k·360°，即得区域角的集合{x|k·360°＋α＜x＜k·360°＋β，k∈Z}．【正解】由题意可知300°角与－60°角的终边相同，所以它表示的角的集合为{α|k·360°－60°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}．1．对角的概念的理解关键是抓住“旋转”二字：(1)要明确旋转的方向；(2)要明确旋转的大小；(3)要明确射线未作任何旋转时的位置．2．在运用终边相同的角时，需注意以下几点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉；(2)α是任意角；(3)k·360°与α之间用“＋”连结，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是________．【解析】一条射线绕着端点按顺时针方向旋转所形成的角是负角，且旋转了240°，故填－240°.【答案】－240°2．在148°，475°，－960°，－1 601°，－185°这五个角中，属于第二象限角的个数是________．【解析】148°显然是第二象限角．而475°＝360°＋115°，－960°＝－3×360°＋120°，－185°＝－360°＋175°，都是第二象限角，而－1 601°＝－5×360°＋199°，不是第二象限角．【答案】 43．若角α＝2 008°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．【解析】∵2 008°＝5×360°＋208°，∴与2 008°角终边相同的角的集合为{α|α＝208°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是208°，最大负角是－152°.【答案】208°－152°4．求0°～360°范围内与－30°终边相同的角．【解】与－30°角终边相同的角为k·360°－30°，k∈Z，取k＝1，得1×360°－30°＝330°，0°≤330°＜360°，因此所求角为330°.一、填空题1．(2013·泰安高一检测)钟表经过4小时，时针转过的度数为________，分针转过的度数为________．【解析】分针和时针均按顺时针方向旋转，其中分针连续转过4周，时针转过13周．【答案】－120°－1 440°2．543°是第________象限角．【解析】543°＝183°＋360°，又183°是第三象限角，故543°也是第三象限角．【答案】三3．与405°终边相同的角的集合为________．【解析】405°－360°＝45°，故与405°角终边相同的角可表示为k·360°＋45°，k∈Z.【答案】{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}4．(2013·南京高一检测)已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小正角是________．【解析】与α终边相同的角的集合为{θ|θ＝－3 000°＋k·360°，k∈Z}，与θ终边相同的最小正角是当k＝9时，θ＝－3 000°＋9×360°＝240°.所以与α终边相同的最小正角为240°.【答案】240°5．若α是第二象限角，则180°－α是第________象限角．【解析】因为α是第二象限角，所以k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，所以k·360°＜180°－α＜k·360°＋90°，k∈Z，所以180°－α是第一象限角．【答案】一6．(2013·曲阜师大附中检测)在－720°～720°内与－1 050°角终边相同的角是________．【解析】与－1 050°终边相同的角可表示为k·360°－1 050°(k∈Z)，k＝1时，1×360°－1 050°＝－690°，k＝2时，2×360°－1 050°＝－330°，k＝3时，3×360°－1 050°＝30°，k＝4时，4×360°－1 050°＝390°.【答案】－690°或－330°或30°或390°7．在－360°～0°内与160°角终边相同的角是________．【解析】与160°角终边相同的角α＝k·360°＋160°，k∈Z.∵－360°≤α＜0°，∴取k＝－1，得α＝－360°＋160°＝－200°.故在－360°～0°内与160°角终边相同的角是－200°.【答案】－200°8．若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为________．【解析】 ∵角α和角β的终边关于x 轴对称，∴α＋β＝k ·360°(k ∈Z )．∴α＝k ·360°－β(k ∈Z )．【答案】 k ·360°－β(k ∈Z ) 二、解答题9．写出终边在如图1－1－3所示阴影部分(包括边界)的角的集合．图1－1－3【解】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则 (1){α|30°＋k ·360°≤α≤150°＋k ·360°，k ∈Z }； (2){α|－210°＋k ·360°≤α≤30°＋k ·360°，k ∈Z }．10．写出与15°角终边相同的角的集合，并求该集合中满足不等式－1 080°≤β＜720°的元素β.【解】与15°角终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝15°＋k ·360°，k ∈Z }，其中，满足－1 080°≤β＜720°的元素有：k ＝－3时，β＝－1 065°；k ＝－2时，β＝－705°；k ＝－1时，β＝－345°；k ＝0时，β＝15°；k ＝1时，β＝375°，∴集合中满足条件的元素β有－1 065°，－705°，－345°，15°，375°. 11．在角的集合{α|α＝k ·90°＋45°(k ∈Z )}中： (1)有几种终边不相同的角？(2)有几个大于－360°且小于360°的角？ (3)写出其中是第二象限的角的一般表示法．【解】 (1)当k ＝4n ，4n ＋1，4n ＋2，4n ＋3，n ∈Z 时，在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种．(2)由－360°＜k ·90°＋45°＜360°，得－92＜k ＜72. 又k ∈Z ，故k ＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3. ∴在给定的角集合中大于－360°且小于360°的角共有8个． (3)其中是第二象限的角可表示成k ·360°＋135°，k ∈Z .(教师用书独具)已知角α的终边在如图所示的阴影部分所表示的范围内，求角α的取值范围．【思路探究】先在－180°～180°范围内找出终边落在阴影内的角，然后写出角的集合(注意边界)．【自主解答】当角α的终边落在阴影的上半部分时，α∈{α|k·360°＋30°＜α≤k·360°＋150°，k∈Z}，当角α的终边落在阴影的下半部分时，α∈{α|k·360°－150°＜α≤k·360°－30°，k∈Z}．由此可知满足题意的角α为{α|k·180°＋30°＜α≤k·180°＋150°，k∈Z}．1．角的终边为虚线，则不等式中应不带“＝”号．2．本题实质上是求两个范围内角的并集，应注意化简为最简结果．如图所示，写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为________．【解析】与－30°角终边在一条直线上的角的集合为S1＝{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}＝{α|α＝150°＋k·180°，k∈Z}．与45°＋90°＝135°角终边在同一直线上的角的集合为S2＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}，从而图中阴影部分的角的取值集合为{α|135°＋k·180°≤α≤150°＋k·180°，k∈Z}．【答案】{α|135°＋k·180°≤α≤150°＋k·180°，k∈Z}。

高中数学必修第一章三角函数完整教案DOC

第一章三角函数 4-1.1.1任意角（1）教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义教学难点：“旋转”定义角课标要求：了解任意角的概念教学过程：一、引入同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。

师：如图1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。

旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。

师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o” （即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？生：逆时针旋转300；顺时针旋转300. 师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。

本节课将在已掌握～角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法． 2.角的概念的推广： (1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。

教学设计1：1.1.1 任意角

必修四第一章三角函数1.1.1任意角一、教学目标：1.理解任意角的概念；二、教学重、难点：1．任意角的概念及运用；三、教学过程：（一）复习引入：1．初中所学角的概念。

2．实际生活中出现一系列关于角的问题。

（二）新课讲解：1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成一个角α，点O是角的顶点，射线OA.OB分别是角α的终边、始边。

∠”可以简记为α说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。

说明：零角的始边和终边重合。

3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负轴重合，则（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

例如：30°，390°，-330°都是第一象限角；300°，-60°是第四象限角。

（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

例如：90°，180°，270°等等。

说明：角的始边“与x轴的非负半轴重合”不能说成是“与x轴的正半轴重合”。

因为x轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。

4．终边相同的角的集合：由特殊角30°看出：所有与30°角终边相同的角，连同30°角自身在内，都可以写成30360()k k z +⋅∈的形式；反之，所有形如30360()k k z +⋅∈的角都与30°角的终边相同，从而得出一般规律：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}|360()s k k z ββα==+⋅∈，即：任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

1.1《任意角》教学设计

《任意角》教学设计一、教学目标（一）核心素养：通过这节课了解任意角的概念，掌握正角，负角，零度角及象限角的定义，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；培养学生通过观察生活实例发现相关的数学问题，培养学生运用运动变化的观点认识事物，能够达到学会用已学习的知识类比到新知识的能力．（二）学习目标1.推广角的概念、引入大于360︒角和负角；2.理解并掌握正角、负角、零角的定义；3.理解任意角以及象限角的概念；4.掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（三）学习重点理解任意角的概念；掌握终边相同角的表示方法．（四）学习难点掌握终边相同角的表示．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）回顾初中学习的角的概念．（2）阅读教材第2页到第5页的内容．2.预习自测（1）下列角中终边与330°相同的角是（）B．－30°C．630°D．－630°【知识点】终边相同的角【解题过程】先作出330°的角的终边，在选项里面寻找预期终边相同．【思路点拨】作图注意旋转方向【答案】B．（2）－1120°角所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【知识点】终边相同的角，象限角概念【解题过程】先作出－1120°的角的终边，在选项里面寻找其所在的象限．【思路点拨】作图注意旋转方向【答案】D．（3）若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？【知识点】时间单位的转换，表盘一圈360°【解题过程】先算出2小时分针转过的角度，再加上40分钟所旋转的角度．【思路点拨】作图注意旋转方向【答案】480︒-(二)课堂设计本节课是章始课，需要联系和回顾的是初中学习的角的概念．2.问题探究探究一从生活中感受角的新定义．●活动①生动展示旋转过程，并增强了爱国教育．观看一段跳水运动员的视频，重点是空中转体部分，并用慢动作回放过程．提问中间提及的角度我们以前没有学习过，那么该如何定义这个新的量呢？【设计意图】通过视频生动的让学生感受大于360°的角是怎么样形成的，引出任意角的必要性●活动②贴近自己的生活实际，再次切身体会任意角形成的过程．思考：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表，实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上，这就是说角已不仅仅局限于0°~360°之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【设计意图】带着活动①的问题继续实际操作动手感受这个转动过程，继续思考任意角的定义．这些都说明了我们研究推广角概念的必要性．为了区别起见，我们规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle)，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角(zero angle) ．这样零角的始边与终边重合．为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.如果α是零角，那么α=0°．B O如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角，它等于750°；图1.1.3(2)中，正角α=210°，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ），包括正角、负角和零角.探究二巩固正负角的定义●活动①巩固训练正负角的概念．做出下列各角：－50°，405°，210°，－200°，－450°，－950°12′．【设计意图】仿照教材例子，继续研究给定度数的任意角的练习●活动② 过手演示，加强记忆．将活动①中的例子让学生动手，利用手中的播时钟的方式旋转出角形成的过程．【设计意图】通过动手练习加强从旋转的方式认识任意角的定义．探究三探究象限角的定义．●活动①角是一个几何量，我们经常要将几何问题代数化，那么我们要通过怎样的工具才能将角这个几何量转化成代数信息呢？（此处让学生互相探讨出坐标系的答案）我们探讨出来了要将角放在坐标系中，那么该怎么放更合适呢？角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如教材图1.1－4中的30°角、－210°角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称为非象限角.例1.指出下列各角：－50°，405°，210°，－200°，－450°，－950°12′所在象限．【知识点】象限角【数学思想】数形结合【解题过程】作图，注意正负角的旋转方向【思路点拨】做出坐标轴，按照正负角的定义作图．【答案】－50°为第四象限角405°为第一象限角210°为第三象限角－200°为第二象限角－450°为终边在y轴负半轴的角－950°12′为第二象限角同类型训练题：指出下列各角：328°，－32°，－392°所在象限.【知识点】象限角，终边相同的角【数学思想】数形结合【解题过程】作图，注意正负角的旋转方向【思路点拨】做出坐标轴，按照正负角的定义作图．【答案】以上三个角均与－32°终边相同，在第四象限．将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应．反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB，以他为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？不难发现，在右图中，如果－32°的终边是OB，那么328°，－392°，……角的终边都是OB，并且与－32°角的终边相同的这些角都可以表示成－32°的角与k个（k Z）周角的和，如328°=－32°+360°(这里k =___1___)－392°=－32°－360°(这里k =___－1___) 设{}S 32360k k Z ββ==-︒+⋅︒∈，，则328°，－392°角都是S 的元素，－32°角也是S 的元素（此时k =_0__)．因此，所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，都是集合S 的元素；反过来，集合S 的任一元素显然与－32°角终边相同．一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}|360,S k k Z ββα︒==+⋅∈，即任意一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．说明：（1）k ∈Z ；“+”也可以是“－”；（2）α是任意角；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍例2在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．【知识点】终边相同角的表示【数学思想】类比，归纳【解题过程】先找出一个在[0,360°]的代表角，在套用终边相同角的表示公式，理解记忆．【思路点拨】【答案】''-95012129483360︒︒︒=-⨯是第二象限角同类型训练题：在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：（1）－54°18′；（2）395°8′；（3）－1190°30′．【知识点】终边相同角的表示，象限角【数学思想】类比，归纳，数形结合【解题过程】（1）''-541830542360︒︒︒=-（2）''3958358+360︒︒︒=（3）3603-03110-031190-⨯'=' 【思路点拨】先找出一个在[0,360°]的代表角，在套用终边相同角的表示公式，理解记忆．【答案】（1）是第四象限角（2）是第一象限角（3）是第三象限角【设计意图】巩固终边相同角的表示方式，同时训练了象限角的概念．●活动2例3.写出终边在y 轴上的角的集合．【知识点】终边相同角的表示，轴线角．【数学思想】类比，归纳【解题过程】先找到y 轴正半轴的角90°，再将其按照周期为180°进行逆时针旋转．【思路点拨】先找出一个在[0,360°]的代表角，在套用终边相同角的表示公式，理解记忆．【答案】{}|90180,k k Z ββ︒︒=+⋅∈同类型训练题：（1）各象限的角组成的集合．（2）终边落在y 轴右侧的角的集合．【知识点】终边相同角的表示【数学思想】类比，归纳【解题过程】（1）在[0,360°]内找到各象限的代表角范围，再加上旋转的周期360°即可．第一象限角0°<α<90°，所以第一象限角｛α∣k·360°<α<90°+ k·360°，k∈Z｝；第二象限角90°<α<180°，所以第二象限角｛α∣90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z｝；第三象限角180°<α<270°，所以第三象限角｛α∣180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z｝；第四象限角270°<α<360°，所以第四象限角｛α∣270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z｝（2）在[-90°,90°]内找到各象限的代表角，终边落在y轴右侧的角的－90°<α<90°，所以｛α∣－90°+k·360°<α<90°+ k·360°，k∈Z｝【思路点拨】先找出一个在[0,360°]的代表角，再套用终边相同角的表示公式，理解记忆，蕴含了对周期的理解．【答案】（1）第一象限角｛α∣k·360°<α<90°+ k·360°，k∈Z｝第二象限角｛α∣90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z｝第三象限角｛α∣180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z｝第四象限角｛α∣270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z｝（2）｛α∣－90°+k·360°<α<90°+ k·360°，k∈Z｝例4.写出终边在直线y =x上的角的集合S ，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．【知识点】终边相同角的表示【数学思想】类比，归纳【解题过程】{}|45180,S k k Z ββ︒︒==+⋅∈满足－360°≤β<720°的【思路点拨】将直线先分成两条射线，在从中总结归纳出直线的旋转的周期结论．【答案】=45225405585-135-315β︒︒︒︒︒︒，，，，，同类型训练题：若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是 _____________【知识点】终边在一条直线的角的终边【数学思想】类比，归纳【解题过程】首先考虑β终边相同的角的表示方法360,k k Z βα︒=+⋅∈，然后将这条射线【思路点拨】从规律中总结，并能结合图形提炼出周期．【答案】180,k k Z βα︒=+⋅∈【设计意图】巩固终边相同的角的表示，让学生通过类比用周期的方式理解并能将其推广应用．●活动3 （探究型例题）例5 写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）（1）（2）（3）【知识点】正负角的概念，终边相同的角的应用【数学思想】类比，数形结合【解题过程】先把每条终边表示出来，然后按照逆时针的方向由小角到大角写出区域．【思路点拨】由旋转的方式理解区域的形成过程及周期的理解．【答案】（1）{}90360180360225360,|45+k 360k +k +k k Z βββ︒⋅︒≤≤︒+⋅︒︒⋅︒≤≤︒⋅︒∈或（2）{}1503600360360360,|90+k 360k +k +k k Z βββ︒⋅︒≤≤︒+⋅︒︒⋅︒≤≤︒⋅︒∈或24 （3）{}4518090180135180,|k 180k +k +k k Z βββ⋅︒≤≤︒+⋅︒︒⋅︒≤≤︒⋅︒∈或同类型训练题：已知角α是第二象限角，求：（1）2α角是第几象限的角；（2）2α角终边的位置．【知识点】正负角的概念，终边相同的角的应用及象限角的考察．【数学思想】类比，数形结合【解题过程】{}90180360,|+k 360k k Z αα︒⋅︒≤≤︒+⋅︒∈在不等式两边同除2或者同乘以2即可．【思路点拨】利用象限角的表示方法结合不等式的运算性质．【答案】（1）4590180,22|+k 180k k Z αα⎫⎧︒⋅︒≤≤︒+⋅︒∈⎨⎬⎩⎭（2）{}21802360720,|+k 720k k Z αα︒⋅︒≤≤︒+⋅︒∈3.课堂总结知识梳理（以课堂内容为根据，结合教学目标的几点要求，对涉及到的知识细致梳理）（1）任意角的概念（2）象限角的概念（3）终边相同角的表示方法重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）（1）任意角的概念（2）终边相同角的表示方法（三）课后作业基础型1.下列说法中，正确的是( )A.第一象限的角一定是锐角B.锐角一定是第一象限的角C.小于90°的角一定是锐角D.第一象限的角一定是正角【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示【数学思想】排除法，举反例【解题过程】将每一个选项的定义回顾一下．【思路点拨】注意角的终边一定，但角的大小没有确定．【答案】B2.－50°的角的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示【数学思想】数形结合【解题过程】作图注意负角是顺时针旋转【思路点拨】注意正负角旋转方向【答案】D3.一角为30°，其终边按逆时针方向旋转两周后的角度数为.【知识点】终边相同角的表示【数学思想】数形结合【解题过程】逆时针旋转二周增加720︒又增加30︒【思路点拨】逆时针旋转一周增加360︒【答案】750°4.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角?(1)420°，(2)－75°，(3)855°，(4)－510°.【知识点】终边相同角的表示【数学思想】数形结合【解题过程】作图，注意正负角的旋转方向360【思路点拨】先找到含有的周期角的倍数【答案】(1)420°=1×360°+60°，第一象限角;(2)－75°=－1×360°＋285°，第四象限角;(3)855°=2×360°+135°，第二象限角;(4)－510°=－2×360°+210°，第三象限角;5.分针一分钟转过的角度是度;时针一小时转过的角度是度;分针一昼夜转过的角度是度.【知识点】正负角的概念【数学思想】【解题过程】60分钟分针转一圈，那么一分钟就是160；12小时时针一圈，那么一小时转112以此类推．【思路点拨】在头脑要有时钟的模型，理解好每个刻度代表多少度，并能将终边相同的角的概念利用好．【答案】.－6，－30，－8640.能力型6.设第一象限的角｝F{90{o=的角｝　＝G锐角｝，小于{E，，=那么有（）A．B．C．（）D．【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示【数学思想】【解题过程】利用不等式将每个集合的角表示出来【思路点拨】角的终边确定，但角的大小不定．【答案】D自助餐1.下列命题正确的是（）（A）终边相同的角一定相等（B）第一象限的角都是锐角（C）锐角都是第一象限的角（D）小于090的角都是锐角【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示【数学思想】特值法举反例，排除法【解题过程】回顾终边相同角，象限角等定义【思路点拨】注意正负角旋转方向【答案】C2.若α是第一象限的角，则2α-是第象限角．【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示【数学思想】【解题过程】由题知36090360k k α⋅︒<<︒+⋅︒两边同除以-2即可．【思路点拨】注意正负角旋转方向【答案】一或三3.一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_ _．【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示【数学思想】数形结合【解题过程】作图【思路点拨】注意正负角旋转方向【答案】1110°4.集合M ＝{α=k o 90⋅，k ∈Z}中，各角的终边都在（）A ．轴正半轴上B ．轴正半轴上C ．轴或轴上D ．轴正半轴或轴正半轴上【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示【数学思想】【解题过程】分别给k赋值，直到旋转一个周期为止．【思路点拨】注意正负角旋转方向【答案】C5.设，C＝{α|α= k180o+45o，k∈Z}，，则相等的角集合为_ _．【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示【数学思想】归纳，类比【解题过程】作图观察角的终边的位置【思路点拨】注意正负角旋转方向【答案】B＝D，C＝E。