理论力学谢传锋第九章习题解答

第九章部分习题解答

9－2

解：取整个系统为研究对象，不考虑摩擦，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为重力

g M g M 21,。如图（a ）所示，假设重物2M 的加速度

2a 的方向竖直向下，则重物1M 的加速度1a 竖直向上，两个重物惯性力I2I1,F F 为

11I1a M F = 22I2a M F =

（a ）

该系统有一个自由度，假设重物2M 有一向下的虚位移

2x δ，则重物1M 的虚位移1x δ竖直向上。由动力学普遍

方程有 （a ）

02I21I12211=--+-=x F x F x g M x g M W δδδδδ （b ）

根据运动学关系可知

2121

x x δδ=

212

1a a =

（c ）

将(a)式、(c)式代入(b)式可得，对于任意02≠x δ有

21

21

22m/s 8.2424=+-=

g M M M M a （b ）

方向竖直向下。

取重物2M 为研究对象，受力如图（b ）所示，由牛顿第二定律有

222a M T g M =-

解得绳子的拉力N 1.56=T 。本题也可以用动能定理，动静法，拉格朗日方程求解。 9－4

解：如图所示该系统为保守系统，有一个自由度，取θ为广义坐标。系统的动能为

2])[(2

1

θθ R l m T +=

取圆柱轴线O 所在的水平面为零势面，图示瞬时系统的势能为

]cos )(sin [θθθR l R mg V +-=

M 1g

M 2g

F I2

F I1

δx 2

δx 1

M 2g

T

a 2

拉格朗日函数V T L -=，代入拉格朗日方程

0)(=∂∂-∂∂θ

θL L dt d 整理得摆的运动微分方程为

0sin )(2=+++θθθ

θg R R l 。

9－6

解：如图所示，该系统为保守系统，有一个自由度，取弧坐标s 为广义坐标。系统的动能为

22

1S m T =

取轨线最低点O 所在的水平面为零势面，图示瞬时系统的势能为

mgh V =

由题可知b s

ds dh 4sin ==ϕ，因此有b s d b s h S

o

8s 42==⎰。则拉格朗日函数 2

2821s b

mg s m V T L -=-= 代入拉格朗日方程

0)(=∂∂-∂∂s L s L dt d ，整理得摆的运动微分方程为04=+s b

g

s 。解得质点的运动规律为)21sin(

0ϕ+=t b

g

A s ，其中0,ϕA 为积分常数。

9－13

解：1.求质点的运动微分方程

圆环（质量不计）以匀角速度ω绕铅垂轴AB 转动，该系统有一个自由度，取角度θ为广义坐标。系统的动能为

22)sin (2

1)(21θωθr m r m T += 如图所示，取0=θ为零势位，图示瞬时系统的势能为

零势面

h

)cos 1(θ-=mgr V

则拉格朗日函数

)cos 1()sin (2

1222

2θθωθ--+=

-=mgr mr V T L 代入拉格朗日方程0)(=∂∂-∂∂θ

θL L dt d ，整理得质点的运动微分方程为

0sin )cos (2=-+θθωθ

r

g 2.求维持圆环作匀速转动的力偶M

如果求力偶M ，必须考虑圆环绕铅垂轴AB 的一般转动。因此解除“圆环绕铅垂轴AB 匀速ω转动”这一约束，将力偶M 视为主动力。此时系统有两个自由度，取角度θ和圆环绕

轴AB 的转角ϕ为广义坐标，系统的势能不变，动能表达式中以ϕ

代替ω，则拉格朗日函数为

)cos 1()sin (2

1222

2θθϕ

θ--+=

-=mgr mr V T L 力偶M 为非有势力，它对应于广义坐标θ和ϕ的广义力计算如下：取0,0=≠δϕδθ，在这组虚位移下力偶M 所做的虚功为0][=δθδW ，因此力偶M 对应于广义坐标θ的广义力0=M

Q θ；取0,0≠=δϕδθ，在这组虚位移下力偶M 所做的虚功为δϕδδϕ⋅=M W ][，

因此力偶M 对应于广义坐标ϕ的广义力M W Q M

==

δϕ

δδϕ

ϕ][。

代入拉格朗日方程

0)(==∂∂-∂∂M Q L L dt d θθ

θ ，整理可得 0sin =+θθr

g 代入拉格朗日方程

M Q L L dt d M

==∂∂-∂∂ϕϕϕ

)( ，整理可得 M mr mr =+θϕθϕ

θ 2sin sin 222 圆环绕铅垂轴AB 以匀速ω转动，即0,==ϕωϕ

，代入上式可得θθω2sin 2

mr M =。

零势位

9－14

解： 以刚体为研究对象，有一个自由度。如图（a ）所示，取G O 3和OC 的夹角θ为广义坐

标。若以框架OC O O 21为动系，则刚体的相对运动是以角速度θ 绕轴2

1O O 的定轴转动，牵连运动是以角速度ω绕OC 轴的定轴转动，绝对角速度a ω是θ 和ω的矢量和。以2

1O O 为x '轴，G O 3为y '轴，建立一个固连在刚体上的坐标系，该刚体的角速度a ω可表示成

a ωz j i '-'+'=θωθωsin cos θ

（a ） （b ）

由于坐标系z y x O '''3的三个坐标轴为过3O 点的三个惯量主轴，则系统的动能为

])sin ()cos ([2

1232221θωθωθJ J J T ++= 取0=θ为零势位，图示瞬时系统的势能为)cos 1(θ-=mgl V ，则拉格朗日函数

)cos 1(])sin ()cos ([2

1232221θθωθωθ--++=-=mgl J J J V T L 代入拉格朗日方程

0)(=∂∂-∂∂θ

θL L dt d ，整理可得物体的运动微分方程为 θθθωθsin cos sin )(3

221mgl J J J -=-+

9－15

x ’ z ’

y ’

ω

θ

z

G

ω

O 3

θ 垂直于O 1O 2的平面

y ’