一次函数表达式
求一次函数的表达式
2 k+b＝ 4 4 k+b＝ 6
解得,
k＝1 b＝2
所以，一次函数表达式为y__＝__x_+_2____.
象刚才这样: 先 设出函数表达式 ,再根
据所给条件 确定表达式中 , 的未知系数 ,从而得到函数表 达式的方法,叫做待定系数法.
3
确定正比例函数的表达式需要 几个条件？一个 确定一次函数的表达式呢？两个
明月中学
1、一次函数的一般形式是什么?
y=kx+b(k,b为常数,k≠0)
2、一次函数图像形状是什么？ 一条直线。
3、直线y=kx+4与正比例函数y=-2x图 像平行，则k= －__2___ ，此直线的关 系式为 ___ y=－2x+4 __ 。
4.求图中直线的表达式：(写出解题过程)
y
2
o1
x
Байду номын сангаас
解：图像是经过原点的直线，因此是正比例函数， 设表达式为y=kx，把(1,2)代入得k=2，所以表达式 为y=2x.
乙
1.已知一次函数y=kx+b，当x =2时，y=4； 当x =4时，y =6.求这个一次函数的表达式．
解：设一次函数的表达式为 y＝kx+b
把x =2，y =4；当x =4，y =6代入得
代入法
常数k, b
图象法
方程 方程组
三.答
写出所求的函数表达式
解：设一次函数的表达式为__y_＝__k_x_+__b______
把点_(_2_，__5_)_ ,(_1_，__3_)__ 代入所设表达式得
2 k+b＝ 5 1 k+b＝ 3 解得,
k＝__2___ b＝__1___
一次函数的概念
例3：
（1）一次函数 y kx 2中，当x 2时，y 1;求k的值与函数解析式。
(2)一次函数y 3x 1 ,当x 3 时，则y的值为多少？当y 1时，则x的值为多少？
2
2
四、课堂精练
1、汽车从A地开往相距120千米的B地，若它的平均速度为60km/h，则汽车距离B地的
问题二：汽车离开A站4千米，再以40千米/小时的平 均速度行驶了t小时，那么，汽车离开A站的距离s （千米）与时间t（小时）之间的函数关系是什么？
二、导出概念
1、一次函数表达式：y=kx+b，（其中：k与b为常数且 k≠0）
2、一次函数必须满足两个特征： （1）含自变量的式子是整式； （2）自变量的次数为1次。 3、一次函数与正比例函数关系：
路程s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系式为
；t的取值范围是 。
五、课堂小结
说出一次函数概念中必须具备的两个基本特征？ 指出一次函数一般式y=kx+b中k与b的取值？ 说出一次函数与正比例函数的关系？ 谈谈本节课的收获。
六、布置课外作业
一次函数的概念
广州市花都区花东镇迳口初级中学 严文鑫
一、情境引入：
写出下面两个问题两个量的函数关系式；这两个解 析式之间有什么相同点？又有什么不同点？
问题一：汽车以40千米/小时的平均速度从A站出发， 行驶了t小时，那么，汽车离开A站的距离s(千米)与 时间t（小时）之间的函数关系是什么？
函数名称
k
b关系一次函数k≠0正比例函数k≠0
b≠0 b=0
包含正比例 函数
特殊的一次 函数
三、例题精讲
例1：下列函数中那些是一次函数，那些是正比例函数？
一次函数基础知识点总结
一次函数基础知识点总结一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b（k为常数，k≠0）则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b ……①和y2=kx2+b ……②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：(略)。
数学一次函数知识点总结
数学一次函数知识点总结数学一次函数学问点总结函数是初中数学的重难点，同学们都把握了吗?对一次函数学问点有怀疑的同学可以收藏，随时复习稳固哦!一、定义与定义式自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx (k为常数，k0)二、一次函数的性质1.y的转变值与对应的x的转变值成正比例，比值为k 即：y=kx+b (k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的'图像一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k0时，直线只通过一、三象限;当k0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b ① 和y2=kx2+b ②(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最终得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用1.当时间t确定，距离s是速度v的一次函数。
三法确定一次函数表达式
三法确定一次函数表达式确定一次函数表达式的方法有三种，分别是点斜式、截距式和一般式。
一、点斜式：点斜式是通过已知直线上一点的坐标和该直线的斜率来确定一次函数表达式的方法。
已知直线上一点的坐标为(x1,y1)，斜率为m，则该直线的点斜式表达式为：y-y1=m(x-x1)其中，m为直线的斜率，定义为直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
例如，已知直线上一点的坐标为(2,3)，斜率为2，则直线的点斜式为：y-3=2(x-2)二、截距式：截距式是通过已知直线在坐标轴上的截距来确定一次函数表达式的方法。
已知直线与x轴的交点为(a,0)，与y轴的交点为(0,b)，则该直线的截距式表达式为：x/a+y/b=1其中，a为直线与x轴的截距，b为直线与y轴的截距。
例如，已知直线与x轴的截距为3，与y轴的截距为4，则直线的截距式为：x/3+y/4=1三、一般式：一般式是通过已知直线上两点的坐标来确定一次函数表达式的方法。
已知直线上两点的坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，则该直线的一般式表达式为：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)其中，(x1,y1)和(x2,y2)为直线上的两个点的坐标。
例如，已知直线上两点的坐标分别为(2,3)和(4,7)，则直线的一般式为：(y-3)/(x-2)=(7-3)/(4-2)以上三种方法都可以用来确定一次函数表达式，选择使用哪种方法取决于已知的条件。
点斜式适用于已知斜率和一点的情况，截距式适用于已知与坐标轴的截距的情况，一般式适用于已知两点的情况。
根据实际情况选择合适的方法，可以快速准确地确定一次函数表达式。
一次函数公式
已知点A(ｘ1，ｙ1)；Ｂ(ｘ２，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(１）设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P(x,ｙ），都满足等式ｙ=kx+b。所以可以列出２个方程:y１=kx1+b…和 y２=kx2＋b ……
（３）解这个二元一次方程,得到k,ｂ的值。
2．性质:(１）在一次函数上的任意一点P（x，y)，都满足等式:y＝kx+b（k≠0)。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是（0,ｂ）,与x轴总是交于(-b/k，０)正比例函数的图像总是过原点。
3.函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。
４．k,b与函数图像所在象限：
y=kx时
当ｋ>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;
3.k为一次函数y＝kｘ＋b的斜率,k=tg角1(角1为一次函数图象与ｘ轴正方向夹角)
一次函数图像的做法:
1．作法与图形:通过如下3个步骤
(1)列表［一般取两个点，根据两点确定一条直线]；
(2)描点；
(3）连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与ｘ轴和y轴的交点)
一、确定字母系数的取值范围
例1. 已知正比例函数 ，则当m=＿＿_＿__＿_______时,y随x的增大而减小。
解：根据正比例函数的定义和性质，得 且m<0，即 且 ,所以 。
二、比较ｘ值或ｙ值的大小
例2. 已知点P１(x1,y1)、P2（x２,y2)是一次函数y＝3x+4的图象上ห้องสมุดไป่ตู้两个点，且y1＞ｙ2，则ｘ1与x2的大小关系是（ ）
一次函数基本概念
一次函数基本概念篇一：一次函数是一种基本的数学函数,表示输入一次变量的值,就可以得到输出变量的值。
一次函数通常用于描述简单的数学计算,如求和、加减、乘除等。
在一元一次函数中,输入的变量只可能是一个整数,输出的变量也只会是一个整数。
例如,y = 2x + 1是一次函数,因为输入的变量x为2,输出的变量y为3。
在二元一次函数中,输入的变量可以是两个整数,输出的变量也可以是两个整数。
例如,z = 2x + 3和y = 4x + 2是一次函数,因为输入的变量x为2,输出的变量y为6,输入的变量z为3,输出的变量z为9。
一次函数的解析式通常可以用一次方程表示,例如y = 2x + 1。
一次方程是一个二元一次方程,它的解可以用一个整数来表示,例如x = 2,y = 3。
在实际应用中,我们可以使用代数方法来求解一次方程,例如消元、代入等方法。
除了基本的一次函数,还有很多其他的数学函数,例如二次函数、指数函数、对数函数等。
这些函数都有不同的输入和输出变量,但它们的共同点是都可以描述一些复杂的数学问题。
在数学研究中,我们可以使用这些函数来解决一些复杂的问题,例如几何、微积分等。
篇二：一次函数是一种基本的数学函数,描述了一个变量随着另一个变量的变化而变化的函数。
在数学中,一次函数通常用字母f(x) 表示,其中 x 是自变量,f(x) 是因变量。
一次函数可以写成这样的形式:f(x) = c,其中 c 是常数,通常被称为函数的“导数”。
这个表达式表示,当自变量 x 变化时,因变量 f(x) 的变化率等于常数 c。
一次函数具有一些特殊的性质,例如它的图像是一条直线、它的导数等于函数本身等。
这些性质使得一次函数在许多领域中都有广泛的应用,例如物理学、工程学、经济学等。
除了上面的基本概念外,一次函数还有一些更深入的拓展。
例如,一次函数可以表示为两个变量的线性关系,即 f(x) =k1x1 + k2x2,其中 k1 和 k2 是常数。
6.4 确定一次函数的表达式
6.4确定一次函数的表达式
【基础须知】
一、确定一次函数解析式的基本思想
1.由于一次函数的表达式y=kx+b中含有两个字母k和b，因此要确定一个一次函数，即把k和b的值确定下来即可.
2.正比例函数由于图象经过原点，所以只需求出字母k即可.
3.确定一次函数的表达式需要两个条件，确定正比例函数的表达式只需要一个条件.
二、确定一次函数表达式的步骤
1.设函数表达式y=kx+b；
2.根据已知条件列出关于k，b的方程；
3.解方程；
4.把求出的k，b值代入到表达式中即可.
三、围绕函数，主要有三种类型的运算
1.已知函数解析式及自变量的值，求自变量的值对应的因变量的值.
2.已知函数解析式和因变量的值，反过来求与已知因变量对应的自变量的值.
3.已知函数的类型，和函数的几对对应值（函数图象上几个点的坐标），求函数的解析式.
【重点梳理】
本节的重点是会根据已知条件求正比例函数和一次函数关系式．
【难点再现】
本节的难点是通过函数图象获取信息，发展形象思维．
【例题讲解】
已知直线y=kx＋b经过点(1，3)和点(-1，1)，求该函数的表达式.
解析：
求一次函数关系式时，通常先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而求出这个关系式．
答案：
根据题意k＋b=3．①
-k＋b=1．②
①-②得，2k=2，
∴k=1．把k=1代入①得b=2．
∴函数关系式为y=x＋2．。
一次函数的定义
一次函数的图像和特征
1 图像大致形状
一次函数的图像是一条直线，可以是上升或下降的。
2 极值和单调性
一次函数没有极值点，可以是递增或递减的。
3 定义域和值域
定义域为所有实数，值域为所有实数。
一次函数的倒数函数和反函数
倒数函数
一次函数的倒数函数为y = 1/(kx + b)。
反函数
一次函数的反函数为y = (x - b)/k。
一次函数的定义
一次函数是一个重要的数学概念，它在数学和实念。
一次函数与非一次函数的区别
一次函数与非一次函数的主要区别在于函数表达式中的次数。一次函数的次 数为一，而非一次函数的次数大于一或不是整数。
一次函数的表达式
一次函数的一般表达式
一般形式为y = kx + b，其中k和b 是实数常数。
表达形式为y = kx + b，其中k为 斜率，b为纵截距。
点斜式方程
表达形式为y - y1 = k(x - x1)，其 中k为斜率，(x1, y1)为直线上的 一点。
两点式方程
表达形式为(y - y1)/(x - x1) = (y2 y1)/(x2 - x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)为直线上的两个点。
一次函数的图像特征
直线
k和b的意义
k代表斜率，b代表截距。
一次函数的导数和导数图像特征
1
导数的定义
导数表示函数在某一点的变化率，即函数曲线的切线斜率。
2
导数的求法
求导数的方法有几何法和解析法。
3
导数图像特征
导数表示函数曲线的斜率变化情况，可以判断函数的增减性和极值。
一次函数的方程和表示形式
一次函数表达式的求法精选全文完整版
例1.一次函数图象如图所示，求其表达式
• 解：设一次函数表达式为y=kx+b（k≠0)， 则
• 解得
• 所以一次函数表达式为y=2x-2．
• 例2. 已知一次函数的图象经过点A（2，-1）
和B，点B是另一条直线
与y轴的交
点，求这个函数的表达式。
• 解：设一次函数的表达式为
（k ≠0)
• 则由题意得交点B的坐标为（0，3），
• （1）当 时，则y的值随x的增大而增大，因
此，一定是当
时，
。
•当
时，
• 故得
解之得
• 所求函数表达式为
。
• （2）当
时，y随x的增大而减小，一定是
• 于是得
解得
• 所求表达式为
• 综合上述两种情况。符合条件的表达式为
• 数学问题是千变万化的，但我们总能找着一 定的规律，学习用运动变化的观点看待数学 问题，这对我们的学习是大有裨益的。
直线表达式为_______。
• 解：根据题意及平移变换法则
•得
，即
• 三、分类讨论法
• 分类讨论法，就是在题目中未出现图形或 具体条件时将会出现多种可能性，因此要 分别进行讨论。
• 例5. 如果一次函数 的自变量x的取值范围是 ，相应函数值的范围是 求此函数的表达式。
（k≠0) ，
• 解：对k的值分两种情况进行讨论：
• 又一次函数的图象经过点A（2，-1）
• 和点B（0，3），
• 解得所求的函数表达式为
。
例3. 已知
（其中a,b是常
数）成正比例，求证：
（1）y是x的一次函数；
（2）如果
时
，
时
， , 把y 表示成x的函数式。
一次函数在实际问题中的应用
一次函数在实际问题中的应用一次函数，也称为线性函数，是数学中的基础函数之一，其形式为y = kx + b，其中k和b为常数。
一次函数在实际问题中的应用广泛，它可以用来描述和解决各种与线性关系相关的情境和难题。
本文将通过几个实际问题的案例，来说明一次函数在实际问题中的应用。
案例一：速度和时间的关系在我们日常生活中，经常会遇到需要计算速度和时间关系的问题。
例如，一个汽车以等速度行驶，假设它的初始位置是0，每小时行驶60公里，我们可以用一次函数来表示汽车的位置与时间的关系。
设汽车行驶的时间为x小时，它的位置为y公里。
根据题目中给出的条件，我们可得一次函数的表达式为y = 60x。
这是一个典型的一次函数，其斜率k为60，常数b为0。
通过这个一次函数，我们可以计算出汽车在任意时间点的位置，从而回答与汽车行驶距离相关的问题。
案例二：成本和产量的关系在工业生产中，成本和产量之间通常存在着一定的线性关系。
假设某公司生产商品的成本与产量成正比，我们可以利用一次函数来描述这种关系。
设产量为x单位，成本为y单位。
根据题目给出的条件，可知产量和成本之间的关系是y = kx + b，其中k为单位产量对应的成本，b为固定成本。
通过这个一次函数，我们可以计算出不同产量对应的成本，进而进行成本和效益的分析。
案例三：温度和时间的关系在自然科学中，温度和时间之间的关系是一个常见的一次函数应用问题。
假设某地区的温度以一定的速率逐渐升高，我们可以用一次函数来描述温度和时间之间的关系。
设时间为x小时，温度为y摄氏度。
根据题目中给出的条件，我们可以得到一次函数的表达式y = kx + b，其中k为温度随时间变化的速率，b为初始温度。
利用这个一次函数，我们可以预测未来某个时间点的温度，或者计算过去某个时间点的温度。
综上所述，一次函数在实际问题中的应用十分广泛，它可以用来描述和解决与线性关系相关的问题。
通过建立一次函数模型，我们可以数学地表示和分析诸如速度、成本、温度等实际情境，从而得出有用的结论和决策。
一次函数的图象及表达式
确定一次函数的表达式1、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.注：对于y＝kx+b 而言，图象共有以下四种情况：1、k>0，b>02、k>0，b<03、k<0，b<04、k<0，b>02、直线y=kx＋b(k≠0)与坐标轴的交点．(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)；(2)直线y=kx＋b与x轴交点坐标为与y轴交点坐标为(0，b)．3、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.4、两条直线交点坐标的求法：方法：联立方程组求x、y例题：已知两直线y＝x+6 与y＝2x-4交于点P，求P点的坐标？5、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系（1）两条直线平行：k1=k2且b1≠b2 （2）两直线相交：k1≠k2（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线6、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.7、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.8、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.。
一次函数的数学知识点汇总
一次函数的数学知识点汇总一次函数的数学知识点汇总一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx(k为常数，k0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k0时，直线只通过一、三象限;当k0时，直线只通过二、四象限四、确定一次函数的表达式：已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
一次函数与方程
一次函数与方程一次函数和方程是高中数学中的重要内容，其涉及到直线的方程、斜率、截距等概念。
以下就一次函数和方程进行详细介绍。
一、一次函数一次函数是指函数中只有一项是一次幂的函数，即f(x) = kx + b 的形式，其中k和b是常数。
它的图像为一条直线，称为直线函数，其自变量为x，因变量为y。
其中，k叫做直线的斜率，表示直线的倾斜程度；b叫做直线的截距，表示直线与y轴的交点。
在一次函数中，自变量和因变量通常分别称为x和y，其中x代表自变量，y代表因变量。
1.一次函数的定义域和值域一次函数的定义域是全体实数集，即Df = R。
而一次函数的值域可以通过观察斜率来推断，当k>0时，y的值域为[0,+∞)，当k<0时，y的值域为(-∞,0]，当k=0时，y的值域为b。
也可以通过求导的方式来确定一次函数的值域。
2.一次函数的性质（1）一次函数是一种线性函数，其图像为一条直线。
（2）斜率为正表示函数单调递增，斜率为负表示函数单调递减。
（3）当斜率k=0时，函数图像为一条水平直线，函数为常函数，截距b为函数的值。
（4）当截距b=0时，函数图像经过原点，称该函数为原点在原处的函数。
（5）当截距b不等于0时，直线与y轴相交于点(0,b)，其y坐标为截距b，斜率为k。
二、一次方程一次方程是指方程中只有一项是一次幂的方程，即ax+b=0的形式，其中a和b是常数，且a不等于0。
一次方程的解为x=-b/a，表示方程的解在x轴上的位置。
一次方程中，未知量通常表示为x。
1.一次方程的解法（1）移项法：将方程中已知项移至等式的另一侧，使未知量单独一侧，然后相应地整合方程的两侧，得到未知量的解。
（2）消元法：将方程中含有未知量的项相消，使得未知量单独一项，然后相应地整合方程的两侧，得到未知量的解。
（3）代入法：将方程中一个已知量代入另一个方程中，用代入公式求出未知量的解。
2.一次方程的性质（1）可以通过移项将一次方程变化为确定的形式，形式为x=b/a。
一次函数知识点汇总
一次函数知识点汇总一次函数是数学中的重要概念，在解决实际问题和数学运算中都有着广泛的应用。
下面我们来详细梳理一下一次函数的相关知识点。
一、一次函数的定义一般地，形如$y ＝ kx ＋ b$（＄k$，＄b$是常数，＄k≠0$）的函数，叫做一次函数。
当$b ＝ 0$时，即$y ＝ kx$（＄k$为常数，＄k≠0$），这时称$y$是$x$的正比例函数。
二、一次函数的图像一次函数$y ＝ kx ＋ b$（＄k≠0$）的图像是一条直线。
当$k>0$时，直线从左到右上升；当$k<0$时，直线从左到右下降。
＄b$的值决定了直线与$y$轴的交点位置。
当$b>0$时，直线与$y$轴交于正半轴；当$b<0$时，直线与$y$轴交于负半轴；当$b ＝0$时，直线经过原点。
例如，函数$y ＝ 2x ＋ 1$，＄k ＝ 2 ＞ 0$，直线从左到右上升，＄b ＝ 1 ＞ 0$，直线与$y$轴交于正半轴。
三、一次函数的性质1、当$k>0$时，＄y$随$x$的增大而增大；当$k<0$时，＄y$随$x$的增大而减小。
2、直线$y ＝ kx ＋ b$（＄k≠0$）与$x$轴的交点坐标为$（＼frac{b}｛k}， 0)＄。
四、求一次函数解析式的方法通常使用待定系数法来求一次函数的解析式。
步骤如下：1、设出一次函数的解析式$y ＝ kx ＋ b$。
2、根据已知条件列出关于$k$，＄b$的方程组。
3、解方程组，求出$k$，＄b$的值。
4、将$k$，＄b$的值代入解析式，得到一次函数的表达式。
例如，已知一次函数的图像经过点$（1, 3)＄和$（－2, －3)＄，设该一次函数的解析式为$y ＝ kx ＋ b$，将两点坐标代入可得：＄＼begin{cases}k ＋ b ＝ 3 ＼＼－2k ＋ b ＝－3\end{cases}＄解这个方程组，得到$k ＝ 2$，＄b ＝ 1$，所以该一次函数的解析式为$y ＝ 2x ＋ 1$。
一次函数的性质及应用
一次函数的性质及应用一次函数，又称为线性函数，是数学中常见且重要的函数类型。
它的一般形式可以表示为y = ax + b，其中a和b为常数，x为自变量，y 为因变量。
本文将探讨一次函数的性质以及其在实际问题中的应用。
一、一次函数的性质1. 斜率：一次函数的斜率可以通过系数a来确定，斜率的正负表示函数的上升或下降趋势，斜率越大越陡峭。
斜率为正表示函数递增，斜率为负表示函数递减，斜率为零表示函数为水平线。
2. 截距：一次函数的截距可以通过常数b来确定，截距表示函数与坐标轴的交点位置。
当x为零时，对应的y值即为函数的纵轴截距；当y为零时，对应的x值即为函数的横轴截距。
3. 函数图像：一次函数的图像为一条直线。
根据斜率和截距的不同取值，函数的图像可能是上升的直线、下降的直线或者水平线。
二、一次函数的应用1. 表示一种关系：一次函数常用于描述两个变量之间的线性关系。
例如，经济学中的供需关系、物理学中的速度与时间关系等都可以用一次函数来表示。
2. 预测与推理：通过确定一次函数的斜率和截距，可以进行数据的预测与推理。
例如，通过已知的数据点（x1，y1）、（x2，y2）可以利用一次函数来预测其他数据点的值。
3. 优化问题：一次函数在优化问题中也有广泛应用。
例如，生产成本与产量之间的关系、投资与回报之间的关系等，都可以用一次函数来描述，并通过计算斜率和截距来实现最优化。
三、实例分析为了更好地理解一次函数的性质及应用，我们来看一个实例分析。
假设小明每天步行去上学，他发现他步行的时间与距离之间存在一种线性关系。
他记录了以下数据：距离（公里）时间（分钟）1 102 203 30通过这些数据点，我们可以得到一次函数的图像并进一步分析其性质和应用。
首先，根据给定的数据点，我们可以利用最小二乘法确定一次函数的表达式为y = 10x。
其中斜率为10，表示小明步行速度为每分钟10米；截距为0，表示小明在出发时不需要额外的时间。
通过这个函数表达式，我们可以回答一些问题。
一次函数的表达式
∴一次函数与
y
当
5 y 0 时, x 4
∴一次函数与
x
5 轴交点的坐标为 4 , 0
（3）求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角 形的面积. （3）由(2)得:
1 5 5 25 S 2 3 4 24
直线 y kx b k 0 与x轴交
y
1 （3）当x= 2 时,y1和 y2哪个大?
说明理由. 当x=2时，y1=y2；当x ﹤2时，y1 ﹤y2，当x ﹥2时，y1 ﹥y2。而当 x= 1 ﹤2时，y1 ﹤y2
2
A（0，2）
B（2，3）
o
x
（4）当x为何值时,y1总是大于y2?
当x ﹥2时,y1﹥y2
随堂练习
1.已知：直线y=kx+b平行于直线y=2x，且经过 点（-1，2），则该直线的表达式为________。
m 8 1 解: 由一次函数的定义知： m 3 0
m 3
∴一次函数的表达式为
已知函数 y (m 3) x 次函数，求其表达式。 2
m2 8
3 是一
m 3 m 3
y 3x 3
注意：利用定义求一次函数 y kx b 表达式时，要
保证 k 0 。如本例中应保证 m 3 0 。
已知一次函数的图象经过点（2，1） 和点（－1，－3）。
（1）求此一次函数的表达式；
解: （1）设一次函数为 y kx b(k 0)
将点（2，1），（－1，－3）代入，得 1 2k b
4 k 3 b 5 3
小结：
１
确定一次函数表达式的 一般步骤是：①设一次 函数的表达式y=kx+b(k≠0)；②把已知条件代入表达 式得到关于k、b的方程 (组）；③解方程（组），求 出k、b的值；④将k、b的值代回所设的表达式。
求一次函数的表达式
第一步 第二步 第三步 第四步
1=2k+b 4= -k+b
所以这个一次函数的表达式为 所以这个一次函数的表达式为 y=-x+3
探究2 探究
已知一次函数 的对应值如下表： 已知一次函数y=kx+b，x与y的对应值如下表： 一次函数 ， 与 的对应值如下表
x y
-3 2
0 4
3 6
9 10
2、已知一次函数 、已知一次函数y=kx+b，x与y的对应值如下表： 的对应值如下表： 一次函数 ， 与 的对应值如下表
x y -3 2 0 4 3 6 9 10 24 20 99 ？ y 120 84 ？ 144 … …
L1 L2
3、已知两个函数的图象如图， 、已知两个函数的图象如图， 函数的图象如图 根据图上的数据能否求出这两 个函数的解析式？如果能， 个函数的解析式？如果能，请 求出它们的解析式。 求出它们的解析式。 寻找两个点的坐标 或两对对应值
4
O
P x
-4
3
找点(坐标 建立方程 找点 坐标),建立方程 组),解方程组 坐标 建立方程(组 解方程组 分段函数如何求表达式， 分段函数如何求表达式，注意每个 函数的自变量的取值范围
作业
试题单 1题——6题 题 题
下节专题
求一次函数的表达式（ 求一次函数的表达式（二） ——实际问题 实际问题
x y
-3 2
0 4
3 6 (24,20)
9 10
24 20
99
120 ？
210
…
20=24k+b 84= 120k+b
？ 84 70 (120,84) k= 2 3 b= 4
函数公式高中数学
一次函数公式一、定义与定义式自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx(k为常数，k0)二、一次函数的性质1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k0时，直线只通过一、三象限;当k0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b和y2=kx2+b(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
设水池中原有水量S。
g=S-ft。
六、常用公式：(不全面，可以在书上找)1.求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/23.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/24.求任意线段的长：(x1-x2)2+(y1-y2)2(注：根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)二次函数公式一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下,|a|还可以决定开口大小,|a|越大开口就越小,|a|越小开口就越大。
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1
练
一
练
1、已知一次函数y= 2x＋b图象经过点A 、已知一次函数 图象经过点 ＋ 图象经过点A （－1， ）， ），则 （－ ，1），则b=_____；该函数图象经 ； 过B（1,___）和C（__,0） （ ） （ ） 2、直线l是一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象， 、直线l是一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象， ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象 y （1）ｋ＝＿＿，ｂ＝＿＿＿ 5 ） （2）当ｘ＝30时， ） 时 ｙ＝＿＿＿
解答
某物体沿一个斜坡 下滑， 下滑，它的速度 v （米/秒）与其下滑时 秒 间 t （秒）的关系如 右图所示： 右图所示： (1)请写出 (1)请写出 v 与 t 的 关系式； 关系式； (2)下滑 下滑3 (2)下滑3秒时物体的 速度是多少？ 速度是多少？
O
t/秒 秒
确定正比例函数表达式的时候需要几个条件？ 确定正比例函数表达式的时候需要几个条件？
x
y
xx
2007年11月23日 年 月 日
2
-3
0
x
3、若直线 y = kx + b 经过点（0，2）， 、 经过点（ ， ）， 且与坐标轴围成等腰直角三角形， 且与坐标轴围成等腰直角三角形，试求 改直线的函数表达式。 改直线的函数表达式。 y = x+2 或 y = -x+2 确定一次函数表达式的时候需要几个条件？ 确定一次函数表达式的时候需要几个条件？
1
x y 2 15 4 12
练
一
练
某同学在做放水实验时， 某同学在做放水实验时，记录下池中水量 y 立 方米与放水时间 x 小时之间有如下对应关系 ： 6 9 8 6 … …
（1）按规律把表格填写完整： ）按规律把表格填写完整： ＿＿立方米 （2）写出池中原有水＿＿立方米。 ）写出池中原有水＿＿立方米。 作为纵坐标， （3）根据上表中的数据，把 y 作为纵坐标，x 作 ）根据上表中的数据， 为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点。 为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点。 （4）请你猜一猜上述各点会在某一个函数图像上吗？ ）请你猜一猜上述各点会在某一个函数图像上吗？ 如果在某一函数的图像上，求出该函数的表达式。 如果在某一函数的图像上，求出该函数的表达式。 ＿＿小时池中的水放完 （5）预计＿＿小时池中的水放完。 ）预计＿＿小时池中的水放完。
y
3、已知一个正比例函数， 3 已知一个正比例函数，它的图像 已知一个正比例函数 经过点（ ， ）， ），则该函数表达式 经过点（-1，2），则该函数表达式 y = - 2x 是＿＿＿ 4、正比例函数 y= -5x 经过点 、 A(＿， ） ＿，10） -2 ＿，
3
0 1
x
1
想一想
想一想
V/(米/秒) 米秒
1 一次函数 教学目标、 教学目标、 重点 、难点 复 习 一次函数 例 题 练一练 作业
正比例 函数
1 一次函数
教学目标、重点、难点
了解两个条件确定一个一次函数， 了解两个条件确定一个一次函数，一个条件确 定一个正比例函数，并能由此求出表达式。会用待 定一个正比例函数，并能由此求出表达式。 定系数法解决简单的现实问题 根据函数的图像确定一次函数的表达式， 根据函数的图像确定一次函数的表达式，培养学 生的数形结合能力。 生的数形结合能力。
1 一次函数
例
题
在弹性限度内， 例1 在弹性限度内，弹簧的长 厘米） 度 y（厘米）是所挂物体质量 x（千克）的一次函数。一根弹 千克） 一次函数。 不挂物体时长 时长14.5厘米；当所 厘米； 簧不挂物体时长 厘米 挂物体的质量为3千克时 千克时， 挂物体的质量为 千克时，弹簧 厘米。 厘米 长16厘米。请写出 y 与x之间的 关系式， 关系式，并求当所挂物体的质 量为4千克时弹簧的长度 千克时弹簧的长度。 量为 千克时弹簧的长度。
一次函数 1
作
业 1、 2、
P196
习 题 6.5
补充：3、蜡烛燃烧时，剩下的长度 y (厘米）是燃烧 厘米） 、蜡烛燃烧时， 厘米 的一次函数，现测得蜡烛燃烧1小时后其长度 时间 x 的一次函数，现测得蜡烛燃烧 小时后其长度 厘米， 小时后其长度为10厘米 为15厘米，燃烧 小时后其长度为 厘米。 厘米 燃烧2小时后其长度为 厘米。 （1）写出 y 与 x 的函数关系式； 的函数关系式； ） （2）蜡烛原来长多少？ ）蜡烛原来长多少？ （3）蜡烛燃烧完，需要多少小时？ ）蜡烛燃烧完，需要多少小时？
重点： 重点： 会用待定系数法确定一次函数的关系表达式 难点：能根据一次函数图像或其他一些情境，灵 难点：能根据一次函数图像或其他一些情境，
活地利用待定系数法确定一次函数的表达式。 活地利用待定系数法确定一次函数的表达式。
1 一次函数
复
y
习
是不是
判断：下列函数关系式中的 判断：
x
的一次函数。 的一次函数。
1 一次函数
课
时
小
结
本节课我们主要学习了根据已知条件， 本节课我们主要学习了根据已知条件，如何 求函数的表达式： 求函数的表达式： 1、设函数表达式； 、设函数表达式； 2、根据已知条件列出有关 k , b 的方程； 、 的方程； 3、解方程，求 k ，b； 、解方程， ； 4、把 k ，b 代回表达式，写出表达式。 、 代回表达式，写出表达式。
4
l
-2 -1
3 2 1
（3）当ｙ＝30时,ｘ＝＿ -3 ） 时ｘ0 -112来自34x
1
练
一
练
1、已知，若一次函数的图象经过 已知， ），（1 两点， （0，0），（1，5）两点，试求 这个一次函数的表达式 2、已知，若一次函数的图象经过 已知， （0，0），（-1，1）两点，试求 ），（两点， 这个一次函数的表达式
（ 1） （ 2） （ 3） （4） ） （ 5）
y=-x y = 2x - 1 y = 3( x-1) xy-x=2 y = x2
（√ ）
（√ ） （√ ） （√ ） （ ≠）
1
想一想
想一想
解答
1、在直角坐标系内画出正比例函数 y=2x 的图像 2、若有同学画了如图所示的一条直线，你能知 、若有同学画了如图所示的一条直线， 道他画的直线的表达式是什么？ 道他画的直线的表达式是什么？
1
想一想
想一想
解答
1、假如又有同学画了下面一条直线的图像，你 、假如又有同学画了下面一条直线的图像， 能否知道该函数的表达式呢？ 能否知道该函数的表达式呢？ y 2、若一次函数 y = 2x + b 的图像 、 6 经过点A(-1，4），则 b=＿＿； ），则 ＿＿； 经过点 ， ）， 8 该函数图像经过点B(1，＿）和 ，＿）和 该函数图像经过点 ，＿） -3 （＿，0） 点C（＿， ） （＿，