现代控制理论第一章 控制系统数学模型

写成矩阵形式
x1 0 1 0 x1 0
x2
0
0
1
x2
0
u
x3 a0 a1 a2 x3 b0
x1
y 1
0
0
x2
x3
状态图如下：
一般情况下，n 阶微分方程为： y(n) an1 y(n1) a1 y a0 y b0u
选择状态变量如下：
x1 y x1 x2 y x2 x3 y
写成矩阵形式
x1
x2
0 0
xn
0
a0
10 01 00 a1 a2
0 0 0 a3
0
0
0
x1 x2
0 u
1 an1
xn
0 1
y b0
b1
x1
bn1
xn
注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。
Y (s) R(s)
状态变量对输入量的传递函数
Gxu (s) sI
A 1b
adjsI detsI
A A
b
输出量对输入量的传递函数（即：传递函数）
g yu (s)
CsI
A 1b
d
C
adjsI detsI
0 0u
xn
（二）辅助变量法
设 n 阶微分方程为： y(n) an1 y(n1) a1 y a0 y bn1u(n1) b1u b0u
Laplace变换，求传递函数
Y (s) U (s)
bn1sn1 bn2sn2 b1s sn an1sn1 a1s a0
b0
引入辅助变量 z
k m
y
f m
dy dt
1 m
F
k m
x1
f m
x2
1 m
F
机械系统的系统方程为
x1 x2
0
k m
1 f
m
x1 x2
0 1
m
F
y 1
0
x1 x2
该系统的状态图如下
例1-2 建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式
电枢回路的电压方程为
LD
diD dt
RDiD
Ke
i(t) uC (t)
1
L 0
u
(t
)
duC (t) 1 i(t) dt C
该方程描述了电路的状态变量 和输入量之间的关系，称为该 电路的状态方程，这是一个矩 阵微分方程。
uC (t) 0 1uiC(t()t)
如果将电容上的电压作为电路的输出量，则 该方程是联系输出量和状态变量关系的方程， 称为该电路的输出方程或观测方程。这是一 个矩阵代数方程。
1 M
u
;
xx43
0 0
0 0
0
(M m)g Ml
1 0
x3 x4
0
1 Ml
x1
y 1
0
0
0
x2
x3 x4
状态图为
1.2 由微分方程求状态空间表达式
一个系统，用线性定常微分方程描述其输入和输出的关系。通过选 择合适的状态变量，就可以得到状态空间表达式。
这里分两种情况： 1、微分方程中不含输入信号导数项，（即1.2.1 中的内容）
其中，待定系数为： 0 b3 1 b2 a20 2 b1 a10 a21 3 b0 a00 a11 a22
于是
x1 x2 1u x2 x3 2u x3 a0 x1 a1x2 a2 x3 3u
写成矩阵形式
x1 0 1 0 x1 1
x
x2
0
0
1
bn s n an s n
b1s b0 a1s a0
d
bn1sn1 b1s b0 ansn a1s a0
例1-4 已知描述系统的微分方程为 y18y192y 640y 160u 640u
试求系统的状态空间表达式。
解 （1）待定系数法
选择状态变量如下
x1 y 0u x2 x1 1u x3 x2 2u
1
x2
160
u
18 x3 2240
x1
y 1
0
0
x2
x3
（2）辅助变量法 引入辅助变量z
z18z192z 640z u y 160z 640z
选择状态变量 x1 z x2 z x1 x3 z x2
于是系统的状态空间表达式为
x1 0
x2
0
x3 640
1 0 192
例1-1 建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注： 质量块 m 的重量已经和弹簧 k 的初始拉伸相抵消）
根据牛顿第二定律
F F ky f dy m d 2 y
dt
dt 2
即：
d 2 y dy m dt2 f dt ky F
选择状态变量 x1 y x2 y x1
则：
x1 x2
x2
第1章 控制系统数学模型
本课程的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系 统设计，本课程所研究的内容是基于系统的数学模型来进行的。因 此，本章首先介绍控制系统的数学模型。
本章内容为： 1、状态空间表达式 2、由微分方程求出系统状态空间表达式 3、传递函数矩阵 4、离散系统的数学模型 5、线性变换(状态变量选取非唯一）
2、微分方程中含有输入信号导数项，（即1.2.2 中的内容）
1.2.1 微分方程中不含有输入信号导数项
首先考察三阶系统，其微分方程为
y a2 y a1 y a0 y b0u
选取状态变量 x1 y
x2 y x3 y
则有 x1 x2 x2 x3 x3 a0 x1 a1x2 a2 x3 b0u
uD
系统运动方程式为
KmiD
f
JD
d
dt
（式中， Ke 为电动势常数； Km 为转矩常数； J D 为折合到电动
机轴上的转动惯量； f 为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。）
可选择电枢电流 iD 和角速度 为状态变量，电动机的电 枢电压 uD为输入量，角速度 为输出量。
状态空间表达式 状态图如下：
对摆球来说，在垂直于摆杆方向，应用牛顿第二定律：
m
d2 dt2
(y
l
s in
)
mg
s in
而有：
d (sin ) (cos )
dt
d2 dt2
(sin )
( sin
)
2
cos
d (cos ) (sin )
dt
d2 dt2
(cos
)
(
cos
)
2
( sin
)
线性化：当 和 较小时 ，有 sin cos 1 2 0
系统的状态方程和输出方程一起，称为系统状态空间表达式，或称 为系统动态方程，或称系统方程。
设： x1 i(t) x2 uC (t)
C 0 1
x
x1
x2
A
R
L 1
-
1 L
0
C
x Ax Bu
则可以写成状态空间表达式：
y Cx
1
B
L 0
推广到一般形式：
x Ax Bu y Cx Du
6、组合系统的数学描述 7、利用MATLAB进行模型之间的变换
1.1 状态空间表达式
1.1.1 状态、状态变量和状态空间 状态——动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。
状态变量——确定系统状态的最小一组变量，如果知道这些变量
在任意初始时刻 t0 的值以及 t ≥ t0 的系统输入，便能够完整地 确定系统在任意时刻 t 的状态。（状态变量的选择可以不同）
i(t) 和 uC (t) 可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态
变量
1.1.2 状态空间表达式
前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：
di(t) R i(t) uC (t) u(t)
dt L
LL
di(t)
dt duC (t)
1RL
dt C
1 L 0
y 1 0
x1
0
xn
1.2.2 微分方程中含有输入信号导数项
（一）待定系数法 首先考察三阶系统，其微分方程为
y a2 y a1 y a0 y b3u b2u b1u b0u
选择状态变量： x1 y 0u x2 y 0u 1u x1 1u x3 y 0u 1u 2u x2 2u
如果这些元素中有些是时间 t 的函数，则称系统为线性时变 系统。系统状态图和信号流图如下：
严格地说，一切物理系统都是非线性的。可以用下面的状态方程 和输出方程表示。如果不显含 t，则称为非线性定常系统。
x f ( x,u, t)
y
g(
x, u,
t)
x f ( x,u)
y
g(
x, u)
1.1.3 状态变量的选取 （1） 状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定
（2）状态变量选取的非惟一性
在前面的例子中，如果重新选择状态变量 x1 uC x2 x1 uC
则其状态方程为 输出方程为：
x1
x2
0 1
LC
1 R
L
x1 x2
0 1
LC
u
y 1
0
x1 x2
（3）系统状态变量的数目是惟一的
1.1.4 状态空间表达式建立的举例
diD dt
d
KRLmDD
dt J D
Ke LD f
JD
iD
1
LD 0
uD
y 0
1iD
例1-3 建立单极倒立摆系统的状态空间表达式。 单级倒立摆系统是许多重要的宇宙空间应用的一个简单模型。
在水平方向，应用牛顿第二定律：
M
d2 y dt2
m
d2 dt2
( y l sin ) u
x1 y 0u x2 x1 1u x3 x2 2u
xn xn1 n1u
x1
x2
ห้องสมุดไป่ตู้
0 0
xn
0
a0
10 01 00 a1 a2
0 0 0 a3
0 0
x1
x2
1
2
u
1 an1
xn
n1
n
y 1 0
系统状态图如下
x1
化简后，得
(M m)y ml u
my ml mg
求解得： y mg 1 u
MM
(M m)g 1 u
Ml
Ml
选择状态变量 x1 y ，x2 x1 y，x3 ，x4 x3
u 为系统输入， y 为系统输出
x1 0 1 0 0 x1 1
x2
0
0
mg M
0
x2
其中
0 b3 0 1 b2 a20 0 2 b1 a10 a01 160 192 0 640 0 160 3 b0 a00 a11 a22 640 18160 2240
于是系统的状态空间表达式为
x1 0
x2
0
x3 640
1 0 192
0 x1 0
0 x1 0
1
x2
0u
18 x3 1
x1
y 640
160
0
x2
x3
1.3 传递函数矩阵
传递函数——系统初始松弛（即：初始条件为零）时，输出量的 拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。
1.3.1 传递函数
单入-单出线性定常系统的状态空间表达式为
x Ax Bu
y Cx du
在初始松弛时，求Laplace变换，并且化简
状态空间——以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线 性空间，称为状态空间。
例：如下图所示电路， u(t) 为输入量， uC (t) 为输出量。
建立方程：
L
di(t dt
)
Ri(t
)
uC
(t
)
u(t
)
i C duC (t) dt
初始条件：
i(t) t t0
i(t0 )
uC (t) tt0 uC (t0 )
x2
2
u
Ax
bu
x3 a0 a1 a2 x3 3
x1
y x1 0u 1
0
0
x2
0u
Cx
du
x3
系统的状态图
一般情况下，n 阶微分方程为： y(n) an1 y(n1) a1 y a0 y bnu(n) bn1u(n1) b1u b0u
选择 n 个状态变量为 系统方程为
┆ xn1 xn y(n1) xn y(n) a0 x1 a1x2 an1xn b0u
写成矩阵形式：
x1
x2
0 0
xn
0
a0
10 01 00 a1 a2
0 0 0 a3
0
0
0
x1 x2
0
u
1 an1
xn
0
b0
系统的状态图如下：
x1
x
x2
xn
u1
u
u2
ur
y1
y
y2
ym
a11
A
an1
a1n ann nn
c11
C
cm1
c1n cmn mn
b11
B
bn1
b1r anr nr
d11
D
dm1
d1r dmr mr
如果矩阵A, B, C, D中的所有元素都是实常数时，则称这样 的系统为线性定常（LTI，即：Linear Time-Invariant）系统。
返回到微分方程形式： z(n) an1z(n1) a1z a0 z u
以及
b z (n1) n1
b1z b0 z
y
选择状态变量如下：
x1 z
x1 x2 z
x2 x3 z
┆ xn1 xn z(n1)
xn z(n) a0 x1 a1x2 an1xn u
y bn1z(n1) b1z b0 z b0 x1 b1x2 bn1xn