二次函数关系式的求法
二次函数求解公式
二次函数求解公式二次函数是一种常见的二次方程，其定义为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
二次函数也被称为二次多项式函数。
求解二次函数的一般方法有图像法、配方法和根的关系。
其中，图像法可以帮助我们直观地理解二次函数的性质，配方法和根的关系则能帮助我们求解二次函数的交点、极值点等。
一、图像法使用图像法求解二次函数的步骤如下：1.绘制二次函数的图像：可以通过画出二次函数的图像来直观地了解函数的性质，比如判断开口方向、极值点等。
2.确定顶点坐标：顶点是二次函数的最高点或最低点，通过观察图像，我们可以找到顶点的坐标。
顶点坐标可以表示函数的极值点。
3.确定对称轴：对称轴是二次函数的图像关于y轴的对称轴线，通过观察图像，我们可以找到对称轴的方程。
4.确定交点坐标：交点是二次函数与x轴的交点，通过观察图像，我们可以找到交点的坐标。
交点坐标可以表示函数的根。
二、配方法使用配方法求解二次函数的步骤如下：1. 对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，如果a ≠ 0，则可以通过配方法将其写成形如y = a(x + p)^2 + q的标准形式，其中p和q为待确定的常数。
2.使用配方法将二次函数展开：将二次函数展开后，与原函数进行比较，可以确定标准形式中的p和q的值。
3.根据标准形式求解顶点坐标：由于标准形式中(x+p)^2≥0，所以a(x+p)^2+q的最小值为q，当x=-p时取到。
4.根据标准形式求解根：当a>0时，a(x+p)^2+q=0的解为x=-p；当a<0时，方程无解。
三、根的关系根的关系是二次函数的一个重要性质，可以帮助我们求解二次函数的交点坐标。
根的关系有以下两种情况：1. 二次函数有两个不相等的实根：对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，如果b^2 - 4ac > 0，则可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)求解实根。
确定二次函数关系式的常见题型及解法
确定二次函数关系式的常见题型及解法深圳市福田区新洲中学 温德君确定二次函数的关系式，既是数学教学重点，也是教学的难点，学生学习不易掌握．在全国各地的中考考试中是必考内容，它可出现在选择题、填空题中，而且基本上都会出现在最后的压轴题中。
解题的基本思想方法是待定系数法和数形结合方法，根据题目给出的具体条件或结合图形，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就确定二次函数关系式的常见题型及解法如下。
一、定义型：此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次．例1、若 1)(222-+=-m m x m m y 是二次函数，则m = ． 解：由m 2+ m ≠0得:m ≠0，且 m ≠－ 1由m 2–2m –1 = 2得m =－1 或m =3∴ m = 3 ．练习 1.若5)2(22+-=-ax a y 是关于x 的二次函数，则a = ．二、开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一．例2、写出一个开口向下的二次函数的表达式______．分析：根据给出的条件，所以这道题只需满足c b a y ++=χχ2中的a<0即可,如y =-x 2+2x +1（注：答案不唯一）练习 1.写出一个对称轴为x =－2的二次函数的表达式______．三、平移型：将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x -h )2 + k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x +h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．其平移的规律是：h 值左负右正；k 值上正下负（或左加右减、上加下减）．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变．例3.（2013•毕节地区）将二次函数y=x 2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（ ）A ．y=（x ﹣1）2+3B ．B.y=（x+1）2+3C ．y=（x ﹣1）2﹣3D ．D.y=（x+1）2﹣3 考点： 二次函数图象与几何变换．分析： 由二次函数y=x 2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，根据平移的性质，即可求得所得图象的函数解析式．注意二次函数平移的规律为：左加右减，上加下减．解答： 解：∵二次函数y=x 2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，∴所得图象的函数解析式是：y=（x ﹣1）2+3．故选A ．点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．例4.（2011山东滨州，7，3分）抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到,则下列平移过程正确的是( )A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位【答案】B练习 1.（2013哈尔滨）把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是( )．(A)y=(x+2)2+2 (B)y=(x+2)2-2 (C)y=x2+2 (D)y=x2-2分析：根据平移概念，图形平移变换，图形上每一点移动规律都是一样的，也可用抛物线顶点移动.即（-1，0）—→（0，－2）.解答：根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律：“左加右减，上加下减.”故选D．2.（2013•雅安）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣2）2B．y=（x﹣2）2+6 C．y=x2+6 D．y=x2分析：根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．解答：解：将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：y=（x﹣1+1）2+3，即y=x2+3；再向下平移3个单位为：y=x2+3﹣3，即y=x2．故选D．点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．四、用待定系数法确定二次函数关系式例5. 抛物线y=a（x﹣1）2+4经过点A（﹣1，0），求该抛物线的解析式。
二次函数解析式三种经典求法,你都掌握了吗？
二次函数解析式三种经典求法，你都掌握了吗？函数内容的学习一直是很多学生的重难点，甚至一些学生与理想的学校失之交臂，就是因为函数内容没学好，无法取得中考数学高分。
初中数学要学到函数一般有三种：一次函数（包含正比函数）、反比例函数、二次函数。
其中二次函数作为初中数学当中最重要内容之一，一直受到中考数学命题老师的青睐。
任何与函数有关的数学问题，都需要先求出函数解析式，再结合函数的图象与性质进行解决。
因此，一个人是否能熟练地求出二次函数的解析式是成功解决与二次函数相关问题的重要保障。
今天我们就一起来简单讲讲如何求二次函数的解析式，在初中数学教材里，二次函数的解析式一般有以下三种基本形式：1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。
2、顶点式：y=a(x－m)2+k(a≠0)，其中顶点坐标为(m,k)，对称轴为直线x=m。
3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。
那么这三种形式有什么区别呢？在解决实际问题过程中，该如何选择呢？求二次函数的解析式的方法我们一般采用待定系数法，即将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
我们结合待定系数法和三种二次函数基本形式来确定函数关系式，一定要根据不同条件，设出恰当的解析式，具体如下：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)来求解。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y=a(x－m)2+k(a≠0)来求解。
3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)来求解。
值得注意的是，用交点式来求二次函数的解析式，前提条件是二次函数与x轴有交点坐标。
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是一种常见的函数形式，其解析式可以通过四种方法求得。
下面将详细介绍这四种方法。
方法一：配方法求解二次函数解析式配方法是一种常用的求解二次函数解析式的方法。
对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以通过配方法将其转化为$(px+q)^2$形式，然后利用完全平方公式求解。
1. 将二次项与常数项系数乘以2，即将原函数表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$；2. 将中间项$\frac{b}{a}x$除以2，并在括号外面加上一个平方项和一个负号，即表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；3. 将括号内部的三项利用完全平方公式进行转化，即表示为$f(x) = a((x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；4. 化简后得到$f(x) = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$。
其中，$(x+\frac{b}{2a})^2$是一个完全平方项，可以展开得到$x^2 + bx + \frac{b^2}{4a^2}$。
所以上述表达式可以进一步简化为：$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$这就是二次函数的配方法解析式。
方法二：因式分解法求解二次函数解析式对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以使用因式分解法对其解析式进行求解。
1.如果二次函数可以因式分解为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式，其中$x_1$和$x_2$是函数的根，则此二次函数的解析式形式为$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$；2.将一般形式的二次函数进行因式分解，即将二次项系数a与常数项c进行合适的分解，得到$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。
二次函数方程式解法
二次函数方程式解法一、引言二次函数是高中数学中重要的一部分内容，求解二次函数方程式是其中的基本操作。
本文将详细介绍二次函数方程式的解法。
二、基本概念1. 二次函数形式：y=ax²+bx+c，其中a≠0。
2. 顶点坐标：(-b/2a,f(-b/2a))，f(x)=ax²+bx+c。
3. 对称轴方程式：x=-b/2a。
4. 开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
三、求解方法1. 因式分解法将二次函数方程式化为(y-m)(y-n)=0的形式，其中m,n为实数。
由此可得y=m或y=n，进而求出x的值。
例题：求解方程式x²-5x+6=0。
解法：将其化为(x-2)(x-3)=0的形式，得到x=2或x=3。
2. 公式法对于一般的二次函数方程式ax²+bx+c=0（其中a≠0），其根公式为：x1=(-b+√(b²-4ac))/2ax2=(-b-√(b²-4ac))/2a例题：求解方程式x²-5x+6=0。
解法：代入公式得到x1=3,x2=2。
3. 完全平方公式法对于形如(x+p)²=q的方程式，可通过完全平方公式解出x的值。
例题：求解方程式x²-6x+9=1。
解法：将其化为(x-3)²=1的形式，得到x=2或x=4。
4. 图像法通过二次函数图像来求解方程式。
根据二次函数顶点坐标、对称轴方程式、开口方向等信息，可以得到函数图像，并进而求出方程式的解。
例题：求解方程式x²-5x+6=0。
解法：由于a>0，因此函数图像开口向上，顶点坐标为(5/2,-1/4)，对称轴为x=5/2。
通过函数图像可得到两个根分别为2和3。
四、总结本文介绍了二次函数方程式的四种求解方法：因式分解法、公式法、完全平方公式法和图像法。
在实际应用中，可以根据具体情况选择不同的方法进行求解。
26.1.5用待定系数法求二次函数关系式
• 1、.二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点是 (5，－2)，那么这个二次函数解析式是___。 • 2、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0， －5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2， 那么这个二次函数的解析式_________。 • 3、已知二次函数图象与x轴交点（2,0）(-1,0) 与y轴交点是（0，-1），那么这个二次函数 的解析式是_______________。 • 4、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B 两点，它们的横坐标为-1和3，与y轴的交点 C的纵坐标为3，那么这个二次函数的解析式 是_______________。
2
y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ax bx c(a 0)
∴ a b c 3 解得: 4a 2b c 0
∵此图象过点（0，4）（1，3）（ 2，6 ) a=2 c 4 b=-3
∴这个二次函数解析式为:
y 2 x 3x 4
2
c=4
例1、求二次函数解析式
(2)、已知图象的顶点（２,３），过点（3,1） 解: ∵此抛物线的顶点为（２,３）， ∴可设这个二次函数解析式为: 2 y=a(x-2) +3 (a≠0) ∵此图象过点（3,1） ∴a(3-2) +3=1 ∴a=-2 ∴这个二次函数解析式为:
例1、求二次函数解析式
(１)、已知图象过点（0，4）（1，3）（ 2，6)
( 2 )、已知图象的顶点（２,３），过点（1,1）
(３)、已知y=ax2+bx+c ，且过点（-1，0）（2，0) (1,-3)
例1、求二次函数解析式 (１)、已知图象过点（0，4）（1，3）（ 2，6 ) 解: 设这个二次函数解析式为:
十种二次函数解析式求解方法
十种二次函数解析式求解方法〈一〉三点式。
1， 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点，求抛物线的解析式。
2， 已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。
〈二〉顶点式。
1， 已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。
2， 已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。
〈三〉交点式。
1， 已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
2， 已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=21a(x-2a)(x-b)的解析式。
〈四〉定点式。
1， 在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线2225212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ，直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。
2， 抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。
3， 抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。
〈五〉平移式。
1， 把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。
2， 抛物线32-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.〈六〉距离式。
1， 抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。
2， 已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与 轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。
〈七〉对称轴式。
1、 抛物线y=x 2-2x+(m 2-4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2倍，求抛物线的解析式。
求二次函数解析式几种常用方法
求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。
现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。
一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。
二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。
例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。
若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。
二次函数的解析式三种方法
二次函数的解析式三种方法二次函数是一种常见的函数类型，在数学学习中，学生们需要对其进行深入的了解和掌握，以便于解决与二次函数相关的问题。
本文将介绍三种求解二次函数的解析式的方法，包括公式法、顶点法和描点法。
每种方法的步骤和注意事项都将被详细介绍。
一、公式法公式法是一种求解二次函数解析式的基本方法。
二次函数的标准形式可以表示为 y = ax²+bx+c，其中 a、b、c 都是实数常数，而 x 是自变量。
一个常见的二次函数的例子为y = x²。
1. 求取 a、b、c 的值在使用公式法求解二次函数的解析式之前，需要先计算出二次函数中的 a、b、c 值。
通常情况下，这些值可以从已知的条件中直接得到。
如果已知二次函数经过点 (2,4) 和 (−1,3)，则可以根据这些坐标计算出 a、b、c的值。
可以得到两个方程：4 = a(2)²+b(2)+c3 = a(−1)²+b(−1)+c然后，可以将这些方程化简为：4 = 4a+2b+c3 = a−b+c接下来，可以使用代数法或消元法来求解 a、b、c 的值。
可以将第二个方程中的 a解出来，然后带入第一个方程中，得到：a = 2b−14 = 8b−4+2b+cc = −8b+8可以得到二次函数的解析式为：y = (2b−1)x²+bx+8−8b2. 使用公式法求解二次函数一旦确定了二次函数中的 a、b、c 值，可以使用公式法求解二次函数的解析式。
具体而言，可以使用以下公式：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)这个公式可以得到二次函数的解析式中的两个根。
如果二次函数的解析式没有实数根，则说明这个二次函数不存在。
在上面的例子中，可以将 a、b、c 的值带入到公式中，得到：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)x = (-b ± √(b²-4(2b−1)(8−8b)))/(2(2b−1))根据这个公式，可以得到二次函数的解析式的两个实数根，也就是二次函数与 x 轴相交的点。
二次 函数表达式的三种求法
二次函数表达式的三种求法（一）知识内容：顶点式2y a x h k=-+(0()a)≠若已知图像的顶点坐标。
最值。
或对称中方程及顶点坐标的某些性质时用顶点式较简单.例题1若二次函数的顶点坐标（-1，-2），且过点（1,10）求解析式习题，已知二次函数的图像的最高点坐标（6,12）且图像经过点（8,0）求解析式例题2已知函数的顶点坐标(3,-2)且函数的图像与x轴的两交点距离为4，求次函数的解析式。
例题3已知二次函数的图像的与轴的交点A(-2，0) B(3,0)两点，且函数有最大值2，求次函数的解析式。
及顶点p和三角形APB的面积。
习题；1，二次函数当x=-2时，Y有最大值3，其图像过点（0，-1）求次函数的解析式。
2，已知二次函数的图像过点（-1,5），和（2，5）,并且最大值14，求次函数的解析式。
3，已知二次函数过点（-1,0），（3，0）且顶点到X 轴的距离为2，求次函数的解析式。
（二） 交点式，知识内容12()()y a x x x x =--(0≠a ) X1,X2分别是抛物线与X 轴两个交点的横坐标，已知抛物线与X 轴的两个交点的横坐标求次函数的解析式时。
用交点式。
例题1已知抛物线与X 轴的两个交点的横坐标-2和1且过点（2,8）求次函数的解析式。
例题2已知函数的顶点坐标(3,-2)且函数的图像与x 轴的两交点距离为4，求次函数的解析式。
习题1，已知函数的最小值是-3,并且图像与X 轴两交点坐标的横坐标分别是2和3，求次函数的解析式。
2，图像与x 轴交于点（2，0）(-1.0)且过点（0，-2）求次函数的解析式。
3已知抛物线与X 轴交于A （-1,0）B （1,0）并且经过点M （0,1）求次函数的解析式。
4已知抛物线经过(-2,0)（1，0）（2,8）三点，求次函数的解析式。
(三)，二次函数的一般式（三）一般式:2=++(0y ax bx ca)确定图像上三个点坐标代入，得到关于，≠a,b,c的方程。
二次函数关系式的求法
例2.已知：二次函数图像的顶点坐标（-3，5） 且图像经过点(–1,–3)，求这个函数的关系式。
解：由题意可知，该函数的顶点的坐标是（－3，5） 所以，设y=a(x+3)2 ＋5 又抛物线经过点（－1，－3），得 －3=a(－1+3)2＋5 ∴ a=－2 ∴所求的函数关系式为：y= –2(x+3)2＋5 即y= –2x2–12x–13 顶点式 y=a(x + h)2 ＋k
4
C
2
分析：由题意可知OC的长是3，所以 点C的坐标为（0，3)或（0，-3） 当C（0，3）时，函 数的关系式为： y=-x2+2x+3
5
4
A
-2
o
2
B
-5
5
-4
-2
当C（0，-3）时，函数的关系式为： -y=-x2+2x+3,即y=x2-2x-3
-4
学习反思
通过这节课的学习，你收获了什么？ 还有哪些疑惑？
2
解：如图,由题意得：抛物线与x轴交点的 横坐标为－1和3 ∴设所求函数关系式为y=a(x＋1)(x－3) ∵图象过点（0，3）
B
A
o
-1
-2
3
∴3=a(0＋1)(0－3) ∴a=－1
5
-4
∴所求的函数关系式为y=－(x＋1)(x－3) 即y= –x2+2x+3
例5.已知：抛物线与坐标轴交于A,B,C三个点，其 中A的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0），并 且△ABC的面积是6，求这个函数的关系式。
解：设所求函数关系式为y=ax2+bx+c . 由已知函数图象过(-1,6),(3,0),(0,3)三点得 一般式 y=ax2+bx+c
求二次函数解析式的四种方法
求二次函数解析式的四种方法一、根据函数的顶点坐标和开口方向求解析式方法：设二次函数解析式为 y = ax^2 + bx + c，已知顶点坐标为 (h, k)。
1.根据开口方向求a的取值：-若二次函数开口向上，则a>0；-若二次函数开口向下，则a<0。
2.根据已知点求解a、b、c的值：将已知顶点坐标代入解析式，得到方程 k = ah^2 + bh + c。
由此，可得到关系式：- 若 a = 0，则b ≠ 0，方程为 kh + c = k；- 若a ≠ 0，则方程为 ah^2 + bh + c = k。
解方程组，得到a、b、c的值。
3.根据a、b、c的值写出二次函数的解析式：将求得的 a、b、c 的值带入解析式 y = ax^2 + bx + c，即得到最终的二次函数解析式。
二、根据已知的三个点求解析式方法：设已知的三个点为(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，(x₃,y₃)。
1.求解a的值：通过使用待定系数法，假设解析式为 y = ax^2 + bx + c，将三个点代入解析式得到一个方程组：{a(x₁)² + bx₁ + c = y₁{a(x₂)² + bx₂ + c = y₂{a(x₃)² + bx₃ + c = y₃解方程组，得到a的值。
2.求解b、c的值：将求得的a的值带入上述方程组中，并解方程组，得到b、c的值。
3.写出二次函数的解析式：将求得的 a、b、c 的值带入二次函数的一般形式 y = ax^2 + bx + c，即得到最终的二次函数解析式。
三、根据已知的顶点坐标和另一点求解析式方法：设已知的顶点坐标为(h,k)，另一点坐标为(x,y)。
1.求解a的值：代入已知顶点坐标 (h, k)，得到方程 k = ah^2 + bh + c。
再代入另一点坐标 (x, y)，得到方程 y = ax^2 + bx + c。
消去c，并利用两个方程，可以解得a的值。
二次函数表达式的几种求解方法
二次函数表达式的几种求解方法
一、二次函数表达式求解方法：
1、因式分解法：将二次函数表达式分解成多项式形式，再利用分子分母分解的方法去求解。
2、求根公式法：利用二次公式求根，求出方程的实根，从而求解原方程。
3、移项法：把原方程重新处理，使其变为结构相似的形式，再利用移项的方法去解方程。
4、代入求值法：将一个变量的一个具体值代入原方程中，然后在原方程中另一个变量的具体值可以求出。
5、泰勒展开法：可以将原方程展开为多项式的和，然后利用多项式的系数和各项的指数，去求出原方程的解。
6、极坐标法：把原方程作图，并利用几何性质去解方程，求出方程的实根。
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种基本方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式:1、一般式:y=ax 2+bx ＋ｃ (ａ≠０)。
２、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠０），其中点(h,k)为顶点,对称轴为x=ｈ。
３、交点式：y=a(x-x 1)（x －x 2） (a ≠0）,其中x 1，x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
4．对称点式： y=a(x-ｘ1)（x －x 2)＋ｍ （a ≠0)求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式:１、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值,通常可设顶点式。
３、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与ｘ轴的交点距离，通常可设交点式。
4.若已知二次函数图象上的两个对称点(x 1、ｍ)(x 2、m),则设成: y=a （x-x 1)(x-x 2)+ｍ (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中,求出ａ的值，再化成一般形式即可。
探究问题，典例指津:例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(.求这个二次函数的解析式. 分析:由于题目给出的是抛物线上任意三点,可设一般式y=ax 2+ｂｘ＋c (a ≠０)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2＋bx ＋c (a ≠0） 依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得:⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2ｘ2+3ｘ-４。
例２、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式ｙ＝a(x-h)2+k （a ≠0),其中点（ｈ，ｋ）为顶点。
求二次函数的函数关系式
求二次函数的关系式教学目标：1、会利用待定系数法求二次函数关系式。
2、学会利用二次函数解决实际问题。
重点难点：重点：掌握二次函数的一般式、顶点式和交点式，并能根据实际情境选择适当的形式来求二次函数的关系式。
难点：熟记、区分并能灵活运用三种关系式，利用待定系数法求二次函数的关系式。
教学过程：一. 知识点回顾二次函数关系式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()知道二次函数图象经过三个点，常用此表达式求出待定系数a 、b 、c ，最后确定二次函数解析式；（2）顶点式：y a x h k a =-+≠()()20知道顶点坐标及另一个点的坐标，常用此表达式求出h 、k 及a ，最后确定二次函数解析式；（3）交点式：y a x x x x a =--≠()()()120知道二次函数图象与x 轴的两交点横坐标x x 12，及图象上任意一点坐标求出a ，最后确定二次函数解析式。
二、讲解例题例1.一个二次函数的图象过点（0，1），（2，4），（3，10）三点，求这个二次函数的关系式。
解：设所求的二次函数为y ax bx c =++2，由这个函数的图象经过（（0，1），（2，4），（3，10）三点， 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++1039424100c b a c b a c解得12323=-==c b a ，， 所以抛物线的解析式为123232+-=x x y 归纳：已知图象上三点，常设关系式为y ax bx c =++2。
例2. 已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式。
解：设函数关系式为：9)8(2+-=x a y 。
因图象过点（0，1），所以有1=a(0-8)2+9.解得，81-=a 所以所求二次函数关系式为 9)8(812+--=x y 归纳：此题利用顶点式较易求解，用一般式可以求出，但还是利用顶点坐标公式。
三、拓展提高：已知二次函数的图象与x 轴交点的横坐标分别为2和3，与y 轴交点纵坐标是72，求这个函数的关系式。
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教学设计
复习课求二次函数解析式
教学目标：
知识与技能
1、了解二次函数解析式的三种形式
2、熟练地根据条件求出二次函数的解析式
过程与方法
通过观察、比较，总结求二次函数的解析式的方法，提高学生的分析问题和解决问题的能力
情感态度价值观
经历观察、比较、总结与应用等数学活动，感受数学活动，充满了探索性和创造性，体现发现的快乐，并提高应用意识。
教学重点：二次函数解析式的求法
教学难点：选择适当的形式设函数解析式
教学过程：
一、复习提问
1、二次函数解析式有哪几种形式？
1）一般式y=ax2 + bx + c (a、b、c为常数.且a≠0)
2）顶点式：y = a( x – h)2 + k，其中顶点为（h , k）
3）交点式：y = a(x – x1)(x – x2),其中，x1、x2为抛物线与x轴交
点的两个横坐标
二、例题分析
例题：如图，抛物线与x轴交于点A(-6,0)和B(2,0)，与轴交于点C(0,3)。
求抛物线的解析式
分析：题目中给出三个点的坐标，因此可
设为一般式。
三点中又有两点在x轴上，Y
因此有可设为交点式。
X
变式一：如图（1）已知抛物线的对称轴为直线x= - 2，与x轴的交点分别为A、B（A在B的左侧），其中点A的坐标为（-6,0），与y
轴交于点C(0,3)
X
图（1）学生小结:此题可设为顶点式，根据对称轴和A点坐标可求出B 点坐标，此时也可设交点式。
变式二：如图（2）已知抛物线的对称轴为直线x= - 2，与x轴的交点分别为A、B（A在B的左侧），且AB = 8，与y轴交于点C(0, 3)。
求抛物线的解析式。
Y
X
变式三：已知抛物线的顶点(- 2 , 4)与y轴的交点为C(0 , 3)。
求抛物线的解析式。
变式四：如图(3)，已知抛物线y = ax2– x + 3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x = - 2。
求抛物线的解析式。
三、总结
1、求二次函数解析式的关键是什么？
2、什么时候用一般式？什么时候用顶点式和交点式？。