高中数学 三角函数综合练习课教案 新人教A版必修1

第二十五教时

教材：综合练习课

目的：复习和角、差角、二倍角及半角，积化和差、和差化积、万

能公式，逐渐培养熟练技巧。过程：

一、小结本单元内容——俗称“加

法定理”

1．各公式罗列，其中和、差、

倍角公式必须记忆，要熟

知其结构、特点

2．了解推导过程（回顾）

3．常用技巧：

1︒化弦 2︒化“1”

3︒正切的和、积

4︒角变换 5︒“升幂”

与“降次” 6︒辅助角

二、例题：

例一、《教学与测试》基础

训练题

1．函数

x

x

y2

cos

)

2

3

sin(

3-

-

π

=

的最小值。（辅助

角）

解：

x

x

x

y2

cos

2

1

2

cos

)

2

sin

2

1

2

cos

2

3

(3=

-

-

=

1

)

2

6

sin(-

≥

-

π

=x

2．已知

的值

，求x

x2

sin

13

5

)

4

sin(-

=

π

-

（角变换）

解：

)]

4

(2

cos[

)

2

2

cos(

2

sin=

π

-

=

-

π

=x

x

x

3．计算：(1

+3)tan15︒-3

（公式逆用）

解：原式= (tan45︒+

tan60︒)tan15︒-3=tan

105︒(1-tan45︒tan60︒)ta n15︒ -3 = (1 -

3)

tan105︒ tan15︒ -3= (1 -3)×(- 1)-3 = - 1 4． 已知sin(45︒ - α) =

3

2

-，且45︒ < α < 90︒，求sin α （角变换）

解：∵45︒ < α < 90︒ ∴-45︒ < 45︒-α < 0︒ ∴cos(45︒-α) = 3

5

cos2α = sin(90︒-2α) =

sin[2(45︒-α)]

=

2sin(45︒-α)cos(45︒-α) =9

5

4-

即 1 - sin 2

α =

9

5

4-

， 解之得：sin α = 6

10

22+

例二、已知θ是三角形中的一个最小的内角， 且

12

sin 2cos 2sin 2cos 2222

+=θ

-θ-θ+θa a a ，求a 的取值范围

解：原式变形：

)2

sin 2(cos )2sin 2(cos 2222

=θ-θ-θ-θa

即

1cos )1(+=θ-a a ，显然

1≠a （若1=a ，则 0 = 2） ∴

1

1

cos -+=θa a 又∵3

0π

≤

θ<，

∴

1cos 2

1

<θ≤ 即：11

1

21<-+≤a a 解之得：3-≤a

例三、试求函数

2

cos sin 2cos sin +++=x x x x y 的最大值和最小值。

若]2

,0[π∈x 呢？ 解

：

1

．

设

]

2,2[)4

sin(2cos sin -∈π

+=+=x x x t

则

x x t cos sin 212+= ∴

1cos sin 22-=t x x

∴

]

23,4

3

[41)21(122+∈++=++=t t t y

∴

43

,23min max =

+=y y 2．若]2

,0[π∈x ，则

]2,1[∈t ，∴]23,3[+∈y

即

3,23min max =+=y y

例四、已知tan α = 3tan(α +

β)，6

π

=

β，求sin(2α + β)的值。

解

：

由

题

设

：

)

cos()

sin(3cos sin β+αβ+α=αα 即sin α cos(α + β) = 3sin(α + β)cos α

即sin(α + β) cos α +

cos(α + β)sin α = 2sin α cos(α + β) - 2cos αsin(α + β)

∴sin(2α + β) =

-2sin β 又∵6π=

β ∴sin β2

1= ∴sin(2α + β) = -1

三、作业：《教学与测试》P117—118 余下部分