高中数学 三角函数综合练习课教案 新人教A版必修1
【新教材】新人教A版必修一 任意角的三角函数 教案
当 k＝1 时，α＝错误!＋错误!＝错误!，终边在第二象限．
当 k＝－1 时,α＝－错误!＋错误!＝－错误!,终边在 y 轴的非正半轴上，故选 D.
答案：D
2．已知 sinα〉0，cosα〈0，则错误!α 所在的象限是( )
A．第一象限
B．第三象限
C．第一或第三象限
D．第二或第四象限
解析：因为 sinα>0，cosα〈0，所以 α 为第二象限角,即2π＋2kπ<α〈π＋2kπ，k∈Z，则错误!
又角 θ 与－θ 的终边关于 x 轴对称．
∴角 α 与 β 的终边关于 x 轴对称． 答案：C 知识点二弧度的概念与公式 在半径为 r 的圆中
分类
定义(公式）
1 弧度的角
角 α 的弧度数公式 角度与弧度的换算
弧长公式 扇形的面积公式
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作 1 弧度的角，用符号 rad 表
1．（2015·东城期末）若角 α 满足 α＝错误!＋错误!(k∈Z），则 α 的终边一定在( ） A．第一象限或第二象限或第三象限 B．第一象限或第二象限或第四象限 C．第一象限或第二象限或 x 轴非正半轴上 D．第一象限或第二象限或 y 轴非正半轴上 解析:由 α＝错误!＋错误!,k∈Z，
当 k＝0 时，α＝π6，终边在第一象限．
当 k<0 时,r＝－错误!k，
－3k
∴sinα＝
＝错误!，
－ 10k
错误!＝错误!＝－错误!，
∴10sinα＋错误!＝3错误!－3错误!＝0.
综上,10sinα＋错误!＝0.
用定义法求三角函数值的两种情况
(1）已知角 α 终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距离 r，然后用三角函数 的定义求解．
高中数学第5章三角函数5.7三角函数的应用教学案新人教A版必修第一册
5.7 三角函数的应用(教师独具内容)课程标准：1.会用三角函数解决简单的实际问题.2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．教学重点：用三角函数解决一些具有周期变化规律的实际问题． 教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型.【知识导学】知识点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)中，A ，ω，φ的物理意义 (1)简谐运动的□01振幅就是□02A . (2)简谐运动的周期T ＝□032πω. (3)简谐运动的频率f ＝1T ＝□04ω2π.(4)□05ωx ＋φ称为相位． (5)□06x ＝0时的相位φ称为初相． 知识点二 三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中□01周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画□02周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．知识点三 建立函数模型的一般步骤【新知拓展】运用三角函数模型解决问题的几种类型(1)由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y ＝A sin(ωx ＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质．(2)由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性．(3)利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时，周期T ＝2πω，频率f ＝ω2π.( )(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两条相邻对称轴间的距离为一个周期．( ) 答案 (1)√ (2)× 2．做一做(1)某人的血压满足函数式f (t )＝24sin(160πt )＋110，其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90(2)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A ．2π s B．π s C．0.5 s D ．1 s(3)电流I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200 s 时，电流I 为________．答案 (1)C (2)D (3)52 A题型一 三角函数在物理中的应用例1 交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时的电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．[解] (1)当t ＝0时，E ＝1103(V)，即开始时的电压为110 3 V. (2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300 s 时第一次获得最大值．金版点睛三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，解决这类问题时尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．[跟踪训练1] 如图所示，点O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm ，周期为3 s ，且物体向右运动到A 点(距平衡位置最远处)开始计时．(1)求物体离开平衡位置的位移x (cm)和时间t (s)之间的函数关系式； (2)求t ＝5 s 时，该物体的位置．解 (1)设位移x (cm)和时间t (s)之间的函数关系式为x ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)，则由振幅为3 cm ，周期为3 s ，可得A ＝3，T ＝2πω＝3，得ω＝2π3.又物体向右运动到A 点(距平衡位置最远处)开始计时， ∴当t ＝0时，x ＝3sin φ＝3，∴sin φ＝1. ∵0≤φ＜2π，∴φ＝π2，从而所求的函数关系式是x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t ＋π2＝3cos 2π3t .(2)令t ＝5，得x ＝3cos 10π3＝－1.5，故t ＝5 s 时，该物体在O 点左侧且距O 点1.5 cm 处．题型二 三角函数模型的简单实际应用例 2 在美国波士顿，估计某一天的白昼时间的小时数D (t )的表达式是D (t )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π365(t －79)＋12，其中t 表示某天的序号，t ＝0表示1月1日，以此类推．(1)问哪一天白昼最长？哪一天最短？(2)估计在波士顿一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？[解] (1)白昼时间最长的一天，即D (t )取得最大值的一天，此时t ＝170，对应的是6月20日(闰年除外)，类似地，t ＝353时，D (t )取得最小值，即12月20日白昼最短．(2)D (t )>10.5，即3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π365(t －79)＋12>10.5，所以sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π365(t －79)>－12，t ∈[0,365]， 所以49<t <292,292－49＝243.所以约有243天的白昼时间超过10.5小时． 金版点睛解三角函数应用问题的基本步骤[跟踪训练2] 某地昆虫种群数量在七月份1～13日的变化如图所示，且满足y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)．(1)根据图中数据求函数解析式；(2)从7月1日开始，每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰？ 解 (1)由图象可知y max ＝900，y min ＝700， 且A ＋b ＝y max ，－A ＋b ＝y min ， 所以A ＝y max －y min 2＝900－7002＝100，b ＝y max ＋y min2＝800，且T ＝12＝2πω，所以ω＝π6.将(7,900)看作函数图象的第二个特殊点，得π6×7＋φ＝π2.所以φ＝－2π3.因此所求的函数解析式为y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －2π3＋800. (2)由图可知，每隔半周期种群数量就出现一个低谷或高峰，又T 2＝122＝6.所以从7月1日开始，每隔6天，种群数量就出现一个高峰或一个低谷.题型三 数据拟合问题例3 已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24，记y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，y ＝f (t )的图象可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b 的图象． (1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多长时间可供冲浪者进行活动？[解] (1)由表中数据可知，T ＝12，所以ω＝π6.又t ＝0时，y ＝1.5，所以A ＋b ＝1.5；t ＝3时，y ＝1.0，得b ＝1.0，所以振幅为12，函数解析式为y ＝12cosπ6t ＋1(0≤t ≤24)．(2)因为y ＞1时，才对冲浪爱好者开放， 所以y ＝12cos π6t ＋1＞1，cos π6t ＞0，2k π－π2＜π6t ＜2k π＋π2(k ∈Z )，即12k －3＜t ＜12k ＋3(k ∈Z )．又0≤t ≤24，所以0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t ≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t ＜15. 金版点睛建立三角函数拟合模型的注意事项(1)在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数． (2)在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题．(3)在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题．[跟踪训练3] 设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数y ＝f (t )的图象可近似地看成函数y ＝k ＋A sin(ωt ＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24]D ．y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24]答案 A解析 对表中数据作近似处理，得下表：可见k ＝12，A ＝3，且T ＝12，所以ω＝π6.又t ＝3时，y ＝15，代入选项检验得正确答案为A.1．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是( )A ．A ＝3，T ＝4π3，φ＝－π6B ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝3π4C ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－3π4D ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－π6答案 C解析 由图象，知A ＝3－12＝1，T 2＝5π6－π6＝2π3，则T ＝4π3，ω＝2πT ＝2π4π3＝32.由5π6×32＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－3π4＋2k π，k ∈Z .令k ＝0，得φ＝－3π4. 2．动点A (x ，y )在圆心为原点的单位圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t ＝0时，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是( )A ．[0,1]B ．[1,7]C ．[7,12]D ．[0,1]和[7,12]答案 D解析 由已知可得该函数的最小正周期为T ＝12，则ω＝2πT ＝π6.又当t ＝0时，A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴此函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π3，t ∈[0,12]，可解得此函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．3．一种波的波形为函数y ＝－sin π2x 的图象，若其在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 C解析 函数y ＝－sin π2x 的周期T ＝4且x ＝3时y ＝1取得最大值，因此t ≥7.4．如图所示是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．答案 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2t ＋π4解析 设函数解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)，则A ＝2，由图象可知T ＝2×(0.5－0.1)＝45，∴ω＝2πT ＝5π2，∴5π2×0.1＋φ＝π2.∴φ＝π4.∴函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2t ＋π4.5．已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 解 列表如下，描点、连线，图象如图所示．(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23，所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.。
人教A版高中数学第一册(必修1)学案1：5.2.1 三角函数的概念(一)
5.2 三角函数的概念 5.2.1 三角函数的概念（一）课前自主学习知识点 三角函数的定义1．设α是一个任意角，α∈R ，它的终边OP 与单位圆相交于点P (x ，y )． (1)把点P 的叫做α的正弦函数，记作sin α，即y ＝sin α； (2)把点P 的叫做α的余弦函数，记作cos α，即x ＝cos α；(3)把点P 的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即yx ＝tan α(x ≠0)．它是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数． 2．将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数y ＝sin x ，x ∈R ； 余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ； 正弦函数y ＝tan x ，x ≠π2＋k π(k ∈Z )．3．一般地，设α是一个任意角，在它的终边上任取一点P (x ，y )(不与原点重合)，点P 到原点的距离是r ，则由相似三角形性质知：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx .『微体验』1．若α的终边与x 轴负半轴重合，则sin α＝__________，cos α＝__________，tan α＝__________.2．已知角α的终边经过点⎝⎛⎭⎫－32，－12，则sin α＝______，cos α＝________，tan α＝________. 课堂互动探究探究一 已知角的终边上一点求三角函数值例1(1)在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为35，则tan α＝________.(2)若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.『方法总结』求任意角的三角函数值的两种方法方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P 的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P (x ，y )，(点P 与原点不重合)； 第二步，计算r ：r ＝|OP |＝x 2＋y 2；第三步，求值：由sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)求值．在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用．跟踪训练1 如果α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，那么sin α的值等于( ) A ．12B ．－12C ．－32D ．－33探究二 已知角α终边所在直线求三角函数值例2已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值．『方法总结』已知角终边所在直线求三角函数值时应注意的问题在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a ，b )，则对应角的三角函数值分别为sin α＝ba 2＋b 2，cos α＝a a 2＋b 2，tan α＝ba .跟踪训练2 已知角α的终边在直线y ＝x 上，求sin α＋cos α的值．探究三 含参数的三角函数定义问题例3已知角α终边经过点P (－8m ，－6cos 60°)且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．12B ．－12C ．－32D ．32『方法总结』当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 跟踪训练3 已知角α的终边经过点P (5m,12)，且cos α＝－513，则m ＝________.随堂本课小结1．任意角的三角函数定义三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(或坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．2．本节课的易错点是已知α的终边所在的直线求α的三角函数值时，易忽视对α所在象限的讨论，造成漏解而发生解题错误．——★ 参*考*答*案 ★——课前自主学习知识点 三角函数的定义 1．(1)纵坐标y (2)横坐标x (3)y x 『微体验』 1．0 －1 0『『解 析』』当α的终边与x 轴负半轴重合时，角α的终边与单位圆的交点坐标为(－1,0)，故sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0. 2．－12 －32 33『『解 析』』因为⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫－122＝1，所以点⎝⎛⎭⎫－32，－12在单位圆上，由三角函数的定义知sin α＝－12，cos α＝－32，tan α＝33.课堂互动探究探究一 已知角的终边上一点求三角函数值 例1 (1)34或－34 (2) －1213 513 －125『『解 析』』(1)由题意，设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫x ，35， 所以x 2＋⎝⎛⎭⎫352＝1，解得x ＝45或－45. 当x ＝45时，角α在第一象限，tan α＝3545＝34；当x ＝－45时，角α在第二象限，tan α＝35－45＝－34.(2)∵x ＝5，y ＝－12，∴r ＝52＋(－12)2＝13， 则sin α＝y r ＝－1213，cos α＝x r ＝513，tan α＝y x ＝－125.跟踪训练1 C『『解 析』』由题意知P (1，－3)，所以r ＝12＋(－3)2＝2，所以sin α＝－32. 探究二 已知角α终边所在直线求三角函数值 例2解 因为角α的终边在直线y ＝3x 上， 所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点， 则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)． 若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12，tan α＝3aa＝ 3. 若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ，所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3aa ＝ 3.跟踪训练2 解 在角α的终边上任取一点P (x ，y )，则y ＝x ， 当x >0时，r ＝x 2＋y 2＝2x ，sin α＋cos α＝y r ＋x r ＝22＋22＝2，当x <0时，r ＝x 2＋y 2＝－2x ，sin α＋cos α＝y r ＋x r ＝－22－22＝－ 2.探究三 含参数的三角函数定义问题 例3 A『『解 析』』点P 的坐标可化为(－8m ，－3)， 由r ＝(－8m )2＋(－3)2＝64m 2＋9，由三角函数的定义知cos α＝x r ＝－8m 64m 2＋9＝－45.即100m 2＝64m 2＋9，解得m ＝±12.当m ＝－12时，点P 的坐标为(4，－3)，则cos α为正，不符合题意，故m ＝12.跟踪训练3 －1『『解 析』』cos α＝－513<0，则α的终边在第二或三象限，又点P 的纵坐标是正数，所以α是第二象限角，所以m <0，由5m 25m 2＋144＝－513，解得m ＝－1.。
人教A版高中数学必修第一册 同步教案 三角函数的图象与性质
5.4 三角函数的图象与性质最新课程标准：(1)借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,能画出这些三角函数的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．(2)借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质．5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象知识点 正弦曲线与余弦曲线及其画法函数y ＝sin xy ＝cos x图象图象 画法 五点法五点法关键 五点(0,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1,(π,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1,(2π,0)(0,1),⎝⎛⎭⎪⎫π2，0,(π,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，0,(2π,1) 状元随笔 1.关于正弦函数y ＝sin x 的图象(1)正弦函数y ＝sin x,x∈[2kπ,2(k ＋1)π],k∈Z 的图象与x∈[0,2π]上的图形一致,因为终边相同角的同名三角函数值相等．(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸,可以由y ＝sin x,x∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法. 该方法作图较精确,但较为烦琐．(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法,在要求精度不高的情况下常用此法．提醒：作图象时,函数自变量要用弧度制,自变量与函数值均为实数,因此在x 轴、y 轴上可以统一单位,这样作出的图象正规便于应用．[教材解难] 1．教材P 196思考如图,在直角坐标系中画出以原点O 为圆心的单位圆,⊙O 与x 轴正半轴的交点为A(1,0)．在单位圆上,将点A 绕着点O 旋转x 0弧度至点B,根据正弦函数的定义,点B 的纵坐标y 0＝sin x 0.由此,以x 0为横坐标,y 0为纵坐标画点,即得到函数图象上的点T(x 0,sin x 0)．2．教材P 197思考由诱导公式一可知,函数y ＝sin x,x∈[2kπ,2(k ＋1)π],k∈Z 且k≠0的图象与y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象形状完全一致．因此将函数y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度),就可以得到正弦函数y ＝sin x,x∈R 的图象．3．教材P 198思考在函数y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象上,以下五个点：(0,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1,(π,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1,(2π,0)4．教材P 198思考对于函数y ＝cos x,由诱导公式cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2得,y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2,x∈R.而函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2,x∈R 的图象可以通过正弦函数y ＝sin x,x∈R 的图象向左平移π2个单位长度而得到．所以,将正弦函数的图象向左平移π2个单位长度,就得到余弦函数的图象．5．教材P 200思考能．以函数y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象为基础,将图象上的每一个点都向上平移一个单位长度,所得图象即函数y ＝1＋sin x,x∈[0,2π]的图象．能．以函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象为基础,作它关于x 轴对称的图象,所得图象即函数y ＝－cos x,x∈[0,2π]的图象． [基础自测]1．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( ) A ．在x∈[2kπ,2(k ＋1)π](k∈Z)上的图象形状相同,只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴仅有一个交点解析：画出y ＝sin x 的图象,根据图象可知A,B,D 三项都正确．答案：C2．不等式sin x>0,x∈[0,2π]的解集为( ) A ．[0,π] B ．(0,π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2 D.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2解析：由y ＝sin x 在[0,2π]的图象可得． 答案：B3．下列图象中,是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )解析：函数y ＝－sin x 的图象与函数y ＝sin x 的图象关于x 轴对称,故选D. 答案：D4．用“五点法”作函数y ＝cos 2x,x∈R 的图象时,首先应描出的五个点的横坐标是________． 解析：令2x ＝0,π2,π,3π2和2π,得x ＝0,π4,π2,34π,π.答案：0,π4,π2,34π,π题型一 用“五点法”作三角函数图象[教材P 199例1] 例1 画出下列函数的简图： (1)y ＝1＋sin x,x∈[0,2π]； (2)y ＝－cos x,x∈[0,2π]． 解析：(1)按五个关键点列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋sin x1211描点并将它们用光滑的曲线连接起来：(2)按五个关键点列表：x 0 π2π3π22πcos x 1 0 －1 0 1－cos x －1 0 1 0 －1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来：用五点法作图关键先找出5个关键点,再用平滑的曲线连接．教材反思作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b),x∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练1 画出函数y＝3＋2cos x的简图．解析：(1)列表,如下表所示x 0 π2π3π22πy＝cos x 1 0 －1 0 1y＝3＋2cos x 5 3 1 3 5 (2)描点,连线,如图所示：利用五点作图法画简图．题型二正、余弦函数曲线的简单应用[经典例题]例2 根据正弦曲线求满足sin x≥－32在[0,2π]上的x的取值范围．【解析】在同一坐标系内作出函数y＝sin x与y＝－32的图象,如图所示．观察在一个闭区间[0,2π]内的情形,满足sin x≥－32的x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π,所以满足sinx≥－32在[0,2π]上的x的范围是{x0≤x≤43π或5π3≤x≤2π}.(或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π)在同一坐标系内作y＝sin x与y＝－32的图象,利用图象求x的范围.方法归纳利用三角函数图象解sin x>a(或cos x>a)的三个步骤(1)作出直线y＝a,y＝sin x(或y＝cos x)的图象．(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集．[注意] 解三角不等式sin x>a,如果不限定范围时,一般先利用图象求出x∈[0,2π]范围内x的取值范围,然后根据终边相同角的同名三角函数值相等,写出原不等式的解集．跟踪训练2 根据余弦曲线求满足cos x≤12的x 的取值范围．解析：作出余弦函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示,由图象可以得到满足条件的x 的集合为π3＋2kπ,5π3＋2kπ,k∈Z.在同一坐标内作y ＝cos x 与y ＝12的图象,利用图象求x 的范围.课时作业 33 一、选择题1．下列对函数y ＝cos x 的图象描述错误的是( ) A ．在[0,2π]和[4π,6π]上的图象形状相同,只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴只有一个交点解析：观察余弦函数的图象知：y ＝cos x 关于y 轴对称,故C 错误． 答案：C2．下列各点中,不在y ＝sin x 图象上的是( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1 D ．(π,1) 解析：y ＝sin x 图象上的点是(π,0),而不是(π,1)． 答案：D3．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上,则m 等于( )A ．0B ．1三、解答题8．利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图． 解析：(1)取值列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x1121(2)9．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x≤12,x∈[0,2π]． 解析：函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3≤x≤5π6或7π6≤x≤5π3.[尖子生题库]10．利用图象变换作出下列函数的简图： (1)y ＝1－cos x,x∈[0,2π]； (2)y ＝|sin x|,x∈[0,4π]．解析：(1)首先用“五点法”作出函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的简图,再作出y ＝cos x,x∈[0,2π]关于x 轴对称的简图,即y ＝－cos x,x∈[0,2π]的简图,将y ＝－cos x,x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y ＝1－cos x,x∈[0,2π]的简图,如图1所示．(2)首先用“五点法”作出函数y ＝sin x,x∈ [0,4π]的简图,再将该简图在x 轴下方的部分翻折到x轴的上方,即得到y＝|sin x|,x∈[0,4π]的简图,如图2所示．。
人教A版新课标高中数学必修一教案《三角函数的概念》
《三角函数的概念》♦教材分析L _______ J本课是《任意角的三角函数》这一章的概念课，具有核心地位、统领全局的作用.在此之前，学生已经学习了锐角三角函数，弧度制，对三角函数(正弦，余弦，正切)有一定的了解，了解了锐角三角函数在解三角形中的作用. 为本节课的学习提供了知识准备.本节将学习任意角三角函数的概念、表示及关系.借用单位圆直观的表示三角函数的对应值.♦教学目标1•了解任意角三角函数概念的形成过程，培养学生抽象问题的能力；2•掌握任意角三角函数的代数表示，理解任意角三角函数的正弦，余弦，正切概念，体会用单位圆进行数学研究的一般过程.♦教学重难点♦教学重点：本节的重点是利用单位圆模型理解任意角三角函数概念的形成过程.'♦课前准备"I♦1•教学问题：(1)学生在理解用终边上任意一点的坐标来表示锐角三角函数是可能会出现障碍，由于学生在此之前学习了直角三角形中的锐角三角函数，并习惯了直观地用有关边长的比来表示锐角三角函数，要克服这一点，关键是帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有关边长的比值的联系；(2)学生在理解将终边上任意一点去在终边与单位圆的交点这一特殊位置上时，又可能会形成障碍.(3)学生在将用单位圆定义锐角三角函数推广到定义任意角的三角函数时，可能会受初中锐角三角函数定义的影响，仍然局限在直角三角形中思考问题.2.教学支持条件：计算机，几何画板，科大讯飞问答系统.♦教学过程I【问题1】在初中，我们学过锐角三角函数，如图1,在直角三角形OMP中，M是直角那么根据锐角三角函数的定义，0的正弦，余弦，正切分别是什么？【设计意图】帮助学生回顾初中学过的锐角三角函数的定义.【预设师生活动】教师提出问题，学生回答.【问题2】在上节课的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现在说说的角可以是任意大小的正角，负角和零角•那么任意角的三角函数又该怎么定义呢?【设计意图】引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数.【预设师生活动】老师引导学生：(1)能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？(2 )将锐角推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？(3)如图2:在平面直角坐标系中如何定义任意角的三角函数？(4)终边是0P的角一定是锐角吗？如果不是，能用直角三角形的边长来定义吗？当的终边不在第一象限该怎么办？(5 )我们知道，借助平面直角坐标系，就可以把几何问题代数化，大家能不能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示定义式中的一条边长呢？(渗透数形结合的思想)(6)利用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来定义有什么好处？【问题3】大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？【设计意图】为引入单位圆做铺垫.【预设师生活动】教师提出问题后，课组织学生展开讨论，在学生不能回到正确时，可启发他们思考：(1)我们在定义1弧度的角时，利用了一个什么图形？所用的圆与半径大小有关吗？用半径多大的圆定义起来更简单易懂？(2)对于一个三角函数，比如y sin •它的函数值是由什么决定的？那么当一个角的终边位置确定后，能不能取终边任意一点来定义三角函数？取哪一点可以使得我们的定义式变得简单易懂些？怎样取？(加强与几何的联系))【问题4】大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？【设计意图】引导学生在用单位圆定义锐角三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义.【预设师生活动】由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理【设计意图】让学生从中体会，用单位圆上点的坐标定义三角函数不仅简化了定义式，还更/>)【问题5】根据任意三角函数的定义，要求角的三个三角函数值其实就是求什么?能突出三角函数概念的本质.【预设师生活动】在学生回答问题的基础上，引导学生利用定义求三角函数值例1已知角的终边过点P (1, 3)，求角的正弦、余弦和正切值.2 2【设计意图】从最简单的问题入手，然后通过变式，让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，进而加深对定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想.【预设师生活动】在完成本题的基础上，可通过下列变式引导学生对三角函数的概念作进一步的认识.5变式1：求的正弦、余弦和正切值.3变式2: 已知角的终边过点P (- 3, - 4)，求角的正弦、余弦和正切值.【问题6】你们能否给出正弦、余弦和正切函数在弧度制下的定义域？【设计意图】研究一个函数，就是要研究其三要素，而三要素中最本质的是对应法则和定义域，三角函数的对应法则已经有定义式给出，所以在给出定义之后就要研究其定义域，通过利用定义求定义域，即完善了三角函数概念的内涵，同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念.【预设师生活动】学生求出定义域，教师进行整理【问题7】上述三种函数的值在各象限的符号会怎么样？【设计意图】通过定义的应用，让学生了解三种函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想.【预设师生活动】学生回答，教师进行整理.例2.求证：(1)当不等式组Sin 0成立时，角为第三象限角；tan 0sin 0(2)当角为第三象限角时，不等式组成立.tan 0【设计意图】通过问题的解决，熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律，并进一步理解三角函数的概念.【预设师生活动】在完成本题的基础上，可视情况改变题目的条件或结论，作变式训练；【问题8】三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的，那么角的终边每绕原点旋转一周，它的大小将会怎样变化？它所对应的三角函数值又将怎样变化？【设计意图】引出公式一，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想.【预设师生活动】在教师的引导下，由学生讨论完成.例3先确定下列三角函数值的符号，然后再求出它们的值；Q A A(1)sin —；(2)cos3 ;(3)tan( ------- );(4)cos( 672°)4 6 '【设计意图】将确定函数值的符号与求函数值这两个问题结合在一起，通过应用公式一解决问题，让学生熟悉和记忆公式一，并进一步理解三角函数的概念.【预设师生活动】先完成题(1)，再通过改变函数名称和角，逐步完成其他各题.练习(1)填表.(2)设是三角形的一个内角，在sin , cos , tan , tan?中，有可能取负值的是---------------(3)选择“ >”，“ <”，“=”填空：4 o osin( —) 0; tan 556 0; cos( 450 ) 0;317ta n( —) _______ 0;(4)选择(1)sin 0;(2)sin 0;(3) cos 0;(4) tan 0; (5) tan 0 中适当的关系式的序号填空:例4 (备选) 如图1是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为 h0,它的直径为2R ,逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA 出发(如图1所示)，过了 30秒后，你离地面的高度为多少？过了 t0秒呢？ 【设计意图】通过应用三角函数定义， 熟悉和记忆特殊角的三角函数值， 三角函数值的符号，公式一，以及求三角函数值，加强对三角函数概念的理解.【预设师生活动】 根据教学的实际情况，对练习题的数量和内容做具体调整. 5.小结【问题9】从锐角三角函数的定义推广到任意角的三角函数的定义，你能回顾一下我们是 如何借助单位圆给出任意角的三角函数的定义的吗？锐角三角函数与解直角三角形相关，在初中我们是利用直角三角形边的比值来表示锐角的三角函数.通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广， 但它与解三角形已经没有什么关系了，我们是利用单位圆来定义任意角的三角函数.借助平面 直角坐标系中的单位圆， 我们建立了角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系， 进而利用单位圆点的坐标或坐标的比值来表示圆心角的三角函数. 【设计意图】回顾和总结本节课的主要内容. 【预设师生活动】在学生给出定义后，教师进一步强调用单位圆定义三角函数的优点.【问题10】今天我们不仅学习了任意角三角函数的定义，还接触了定义的一些应用，能不 能归纳一下，今天我们利用定义解决了那些问题？【设计意图】回顾和总结三角函数在本节课中的应用.(1) 当角 为第一象限角时， _______________ ，反之也成立； (2) 当角 为第二象限角时， _______________ ，反之也成立； (3) 当角 为第三象限角时， _______________ ，反之也成立； (4) 当角 为第四象限角时， ________________，反之也成立；7 (5 )求 的正弦，余弦和正切值.6(6) 已知角 的终边经过点P (-12, 5)，求角 的正弦，余弦和正切值.(7) 求下列三角函数值：cos1109°; tan19 3；si n(10500);ta n( 31 4)；图1【预设师生活动】在学生回顾与总结的基础上，教师有意识地引导学生定义应用过程中所蕴含的数形结合的思想．。
2019-2020学年新人教A版必修一 三角函数和其它知识的整合 教案
【知识要点】在高考中，三角函数主要和三角恒等变换的整合，和平面向量的整合，和解三角形的整合. 【方法点评】【例1】已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （Ⅱ）若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值. （Ⅱ）解：由（1）可知00()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭又因为06()5f x =，所以03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 由0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦从而04cos 265x π⎛⎫+==- ⎪⎝⎭所以0000cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=【点评】(1)三角函数和三角恒等变换的整合中，重要的公式有①二倍角公式：sin 2α= 2sin cos αα.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-②降幂公式21cos 2cos 222cos 1sin 2αα-=③辅助角公式：sin cos a b αα+().αϕ=+（2）三角恒等变换要注意三看（看角、看名和看式）和三变（变角、变名和变式）.【反馈检测1】函数2()6cos 3sin 3(0)2wx f x wx w 在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为正三角形. （Ⅰ）求的值及函数()f x 的值域； （Ⅱ）若08()35f x ，且0102(,)33x ，求0(1)f x 的值.【例2】已知向量(cos,sin ),(cos ,sin ),[,]22222x x x π==-∈且a b .（1）若||+>a b ，求x 的取值范围；（2）函数()||f x =⋅++a b a b ，若对任意12,[,]2x x ππ∈，恒有12|()()|f x f x t -<,求t 的取值范围. （2）213()||cos 22cos 2(cos )22f x x x x =⋅++=-=--a b a b . 【点评】三角函数和平面向量的整合时，主要掌握以下几个公式：①设(,)a x y =，则2a x y =+，222||a a a aa a ===.②设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则12120a b x x y y ⊥⇔+=（(竖乘相加等于零).③设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ||b 12210x y x y ⇔-=（斜乘相减等于零）学科#网【反馈检测2】若,0),(cos ,sin ),0x x x ωωωω==->m n ，在函数()()f x t =⋅++m m n 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为4π，且当[0,]3x π∈时，()f x 的最大值为1.（1）求函数()f x 的解析式； （2）若1()[0,]2f x x π=-∈，求实数x 的值.【例3】已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图像如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并写出()f x 的单调减区间； （Ⅱ）已知ABC ∆的内角分别是,,A B C ，A 为锐角，且14,cos sin 21225A f B C π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，求的值.【解析】（Ⅰ）由周期12πππ,2362T =-=得2ππ,T ω==所以.2=ω 当π6x =时，1)(=x f ，可得πsin(2) 1.6ϕ⋅+=因为π,2ϕ<所以π.6ϕ=故π()sin(2).6f x x =+由图像可得)(x f 的单调递减区间为π2ππ,π,.63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣Z【点评】（1）本小题是求函数()sin()f x A x ωϕ=+的解析式，可由“五点法”得结论，首选由图象得周期，再由周期可得ω，再由点(,1)6π结合ϕ的范围可求得ϕ，最后利用正弦函数的单调性可得()f x 的单调减区间；（2）代入条件12122A f π⎛⎫-=⎪⎝⎭可求得角A ，利用两角和的正弦公式可求得sin C sin()A B =+．【反馈检测3】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22cos cos 2A BB - （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若a =5b =，求向量BA 在BC 方向上的投影．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第30讲：三角函数和其它知识的整合参考答案【反馈检测1答案】（1）w ＝4π，函数()f x 的值域为[－；（2）0(1)f x +＝5. 【反馈检测1详细解析】(1)由已知可得，()3cos f x wx wx =＝3x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又正三角形ABC 的高为4BC =， 所以函数()f x 的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，w ＝4π.函数()f x 的值域为[－．【反馈检测2答案】（1）1())32f x x π=--；（2）3124x ππ=或.【反馈检测2详细解析】由题意得cos ,sin )x x x ωωω+=+-m n ，【反馈检测3答案】（1）3cos 5A =-；（2. 【反馈检测3详细解析】()I 由()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得 ()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦, 即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-.()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =,由正弦定理,有sin sin a b A B =,所以,sin sin b A B a ==. 由题知a b >,则A B >,故4B π=.根据余弦定理,有(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去).BA B 故向量BA在BC方向上的投影为cos。
高中数学第一册三角函数习题课教案
作业要求
01
要求学生认真完成作业 ，不得抄袭或敷衍了事 。
02
要求学生独立思考，自 主完成作业，遇到问题 可以向老师或同学请教 。
03
要求学生按时提交作业 ，不得拖延或迟交。
04
要求学生认真对待作业 的批改和反馈，及时改 正错误，提高学习效果 。
06
教学反思与总结
教学反思
教学内容反思
本次习题课主要涉及三角函数的基本概念、性质和图像，通过例题和练习题加深学生对知 识的理解和掌握。但在教学过程中，发现部分学生对三角函数的图像变换掌握不够扎实， 需要加强练习。
高中数学第一册三角函数习题课教 案
汇报人： 202X-12-18
目录
• 教学目标与要求 • 教学内容与重点难点 • 教学方法与手段 • 教学过程与步骤 • 作业布置与要求 • 教学反思与总结
01
教学目标与要求
教学目标
掌握三角函数的基本 概念、性质题的能 力。
教学总结
成功之处
本次习题课通过讲解与练习相结合的方式，使学生更好地理解和掌握了三角函数的基本概念、性质和图像。同时，通 过小组讨论等方式提高了学生的学习兴趣和参与度。
不足之处
在小组讨论环节，部分学生参与度不高，需要改进讨论方式。另外，在图像变换方面的教学还需加强，需要针对学生 的薄弱环节加强辅导和练习。
改进措施
针对学生的薄弱环节，可以增加一些针对性的练习题和辅导，以提高学生对三角函数图像变换的掌握程 度。同时，可以改进小组讨论方式，增加学生的互动和交流，提高学生的学习兴趣和参与度。
算和分析。
培养学生的自主学习能力和合作 学习能力，能够通过阅读教材、 查阅资料等方式自主学习，并与
同学合作交流学习。
三角函数的概念(性质)教案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
5.2.1 三角函数的概念（2）【教学内容】三角函数值的符号判断，诱导公式一及应用.【学习目标】1.掌握各象限角的三角函数值的符号规律.2.掌握三角函数诱导公式一的简单应用.【教学重难点】教学重点：三角函数值的符号判断，诱导公式一.教学难点：诱导公式一的应用.■微思考 1三角函数值在各象限的符号由什么决定？提示：根据三角函数的定义，三角函数值由单位圆和角终边交点坐标决定，所以其符号由角的终边所在的象限决定.1.三角函数值的符号如图所示：正弦：一、二象限正，三、四象限负；余弦：一、四象限正，二、三象限负；正切：一、三象限正，二、四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2.诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式(公式一)：sin(α＋k·2π)＝sinα，π 4 π4 cos(α＋k ·2π)＝cos α，tan(α＋k ·2π)＝tan α，其中 k ∈Z.■ 微思考 2根据公式一，终边相同的角的同一三角函数的值相等，反过来，同一三角函数值相等时，角是否一定为终边相同的角呢？提示：不一定，如sin α = 1 ，则α = π + 2kπ或α = 5π + 2kπ(k ∈Z )． 2 6 6探究点 1 三角函数值符号的判定例 1 确定下列三角函数值的符号（1）cos 250°；（2）sin − ；（3）tan −672°；（4）tan 3π；（5）tan 120°sin 269°.【解】（1）因为 250°是第三象限角,所以 cos250°＜0.（2） 因为− π是第四象限角, 4 所以 sin − ＜0.（3） 因为 tan （ − 672°） = tan(48° − 2 × 360°),而 48°是第一象限角，所以 tan −672°＞0.（4） 因为 tan3π = tan π + 2π = tanπ,而π的终边在 x 轴上,所以 tanπ = 0.（5） 因为 120°角是第二象限角，所以tan 120°＜0.因为 269°角是第三象限角，所以sin 269°＜0. 所以tan 120°sin 269° > 0 .11π 6正弦、余弦函数值的正负规律探究点 2 公式一的简单应用例 2 求下列三角函数值：(1) cos 9π； 4(2) tan − ；(3)sin810° + tan 1125° + cos 420°.【解】（1） cos 9π4= cos= cos π 4 + 2π = 2; 2（2） tan − = tan= tan π 6− 2π = 3. 3 3原式= sin 2 × 360° + 90° + tan 3 × 360° + 45° + cos (360° + 60°)= sin90° + tan 45° + cos 60°π 4 11π 6 π 6= 1 + 1 + 12= 52利用公式一求解任意角的三角函数的步骤课堂小结：本节课学习了两个知识点1.三角函数值的符号正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2.诱导公式一sin(α＋k·2π)＝sinα，cos(α＋k·2π)＝cosα，tan(α＋k·2π)＝tanα，其中k∈Z。
2019-2020学年新人教A版必修一 三角函数 教案
2019-2020学年新人教A 版必修一 三角函数 教案高考中的三角函数与解三角形常出现以下三种题型： 第一：三角函数的性质与三角恒等变换结合出题。
这类题目的特点是单个三角函数的指数×x 的系数都是相等的，针对这部分题目需要先熟练掌握三角恒等变换，使用三角恒等变换，与辅助角公式将原式化简为形如()sin y A x ωϕ=+的形式，再针对三角函数讨论起单调性、周期性、对称性等，来解决此类题目。
第二：三角函数与二次函数结合出题类型。
这类题目的特点是单个三角函数的指数×x 的系数恰是2倍的关系。
针对此类题目，我们常常使用二倍角公式，或者22sin cos 1x x +=，来化简这类三角函数关系，将三角函数统一，化成形如2sin sin y a x b x c =++，或者2cos cos y a x b x c =++这样的形式，使用符合函数的单调性，来解决该类问题的最值，与单调区间问题。
第三：解三角形题目。
此类问题很容易分辨。
常用以下公式： 1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
R CcB b A a 2sin sin sin ===。
（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
三角函数的应用教案(1 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
第五章三角函数5.7 三角函数的应用（第2 课时）【教学内容】学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”。
【教学目标】1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型；2.初步学会使用数据分析或图像特征进行一些简单的函数模型求解；3.会使用三角函数模型解决简单的实际问题。
【教学重难点】教学重点：用三角函数模型解决具有周期变化的实际问题.教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型.【教学过程】一、导入新课思考：生活中有什么事情是周而复始发生的？举例：小结：从上述例子中，可以得知生活中有很多重复出现的现象，我们尝试利用某种函数模型去研究当中的规律，帮助我们做出更加科学的决策。
请问你认为目前我们所学的什么函数模型适用于上述规律呢？函数模型；因为它具有性质。
二、课堂探究例题 1 如图，我国某地一天从 6—14 时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +ϕ) +b ( A > 0,ω> 0, ϕ<π)（1）求这一天 6—14 时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式。
解：（1）由图可知，这段时间的最大温差是20℃（2）由图可以看出，从 6—14 时的图像是函数小结：（1）振幅A=b=如何求函数中的ω和ϕ；（2）所求函数模型只能近似刻画某个区间的变化规律。
例题 2：货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头；卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时刻与水深关系的预报.(1)选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 米,安全条例规定至少要有1.5 米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船这一天何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4 米,安全间隙为1.5 米,该船在2:00 开始卸货,吃水深度以每小时0.3 米的速度减少,如果这条船停止卸货后需0.4 小时才能驶到深水域，那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?问题探究 1：请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？小组合作发现，代表发言。
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第五章三角函数三角函数的概念教案
考点学习目标核心素养三角函数的概念理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值数学抽象、数学运算三角函数值的符号判断掌握各象限角的三角函数值的符号规律逻辑推理诱导公式一及应用掌握三角函数诱导公式一的简单应用逻辑推理、数学运算问题导学预习教材P１77—P１8１，并思考以下问题：１．任意角的三角函数的定义是什么？２．如何判断三角函数值在各象限内的符号？３．诱导公式一是什么？１．任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）定义正弦纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y余弦横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x正切比值错误!叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝错误!（x≠0）三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数（１）在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．（２）要明确sin α是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f（x）表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．２．三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．３．公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式（公式一）：sin（α＋k·２π）＝sin__α，cos（α＋k·２π）＝cos__α，tan（α＋k·２π）＝tan__α，其中k∈Z.■名师点拨（１）公式一的实质公式一的实质是终边相同的角，其同名三角函数值相等．因为这些角的终边是同一条射线，所以根据三角函数的定义可知，这些角的三角函数值相等．（２）公式一的作用利用公式一可以把任意角的三角函数值化为0°～３60°范围内与其终边相同的角的三角函数值（方法是先在0°～３60°的范围内找出与所给角终边相同的角，再把它写成公式一的形式，最后得出结果）．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）已知α是三角形的内角，则必有sin α>0，cos α≥0．（）（２）若sin α·cos α>0，则角α为第一象限角．（）（３）对于任意角α，三角函数sin α、cos α、tan α都有意义．（）（４）三角函数值的大小与点P（x，y）在终边上的位置无关．（）（５）同一个三角函数值能找到无数个角与之对应．（）答案：（１）×（２）×（３）×（４）√（５）√已知sin α＝错误!，cos α＝—错误!，则角α所在的象限是（）Ａ．第一象限B．第二象限Ｃ．第三象限D．第四象限答案：B已知角α的终边经过P（—b，４），且cos α＝—错误!，则b的值为（）Ａ．３Ｂ．—３Ｃ．±３Ｄ．５解析：选Ａ．由x＝—b，y＝４，得r＝错误!，所以cos α＝错误!＝—错误!，解得b＝３（b＝—３舍去）．sin 780°＝________．cos错误!＝________．答案：错误!错误!求任意角的三角函数值（１）已知角α的终边与单位圆的交点为P错误!（y<0），求tan α的值．（２）已知角α的终边落在射线y＝２x（x≥0）上，求sin α，cos α的值．【解】（１）因为点P错误!（y<0）在单位圆上，则错误!＋y２＝１，所以y＝—错误!，所以tan α＝—错误!.（２）设射线y＝２x（x≥0）与单位圆的交点为P（x，y），则错误!解得错误!即P错误!，所以sin α＝y＝错误!，cos α＝x＝错误!.１．（变条件）本例（２）中条件“角α的终边落在射线y＝２x（x≥0）上”变为“角α的终边为射线y＝—错误!x（x≥0）”，求角α的正弦、余弦和正切值．解：由错误!得x２＋错误!x２＝１，即２５x２＝１6，即x＝错误!或x＝—错误!.因为x≥0，所以x＝错误!，从而y＝—错误!.所以角α的终边与单位圆的交点坐标为（错误!，—错误!）．所以sin α＝y＝—错误!，cos α＝x＝错误!，tan α＝错误!＝—错误!.２．（变条件）本例（２）中条件“α的终边落在射线y＝２x（x≥0）上”变为“α的终边落在直线y ＝２x上”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：（１）若α终边在第一象限内，解答过程同本例（２）．（２）若α终边在第三象限内，设点P（x，２x）（x＜0）是其终边上任意一点，因为r＝|OP|＝错误!＝—错误!x（x＜0），所以sin α＝错误!＝错误!＝—错误!，cos α＝错误!＝错误!＝—错误!.综上可知，sin α＝±错误!，cos α＝±错误!.错误!已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法（１）先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．（２）在α的终边上任选一点P（x，y），P到原点的距离为r（r＞0），则sin α＝错误!，cos α＝错误!.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．（３）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为错误!，则tan α＝________．解析：设点A的横坐标为x，则由错误!＝１，解得x＝±错误!，因为角α为第二象限角，所以x＝—错误!，cos α＝—错误!，所以tan α＝错误!＝—错误!.答案：—错误!三角函数值符号的判定判断下列各式的符号：（１）tan １２0°sin ２69°；（２）cos ４tan错误!.【解】（１）因为１２0°角是第二象限角，所以tan １２0°<0．因为２69°角是第三象限角，所以sin ２69°<0．所以tan １２0°sin ２69°>0．（２）因为π<４<错误!，所以４弧度角是第三象限角，所以cos ４<0，因为—错误!＝—6π＋错误!，所以—错误!是第一象限角，所以tan错误!>0，所以cos ４tan错误!<0．错误!正弦、余弦函数值的正负规律１．若—错误!＜α＜0，则点（tan α，cos α）位于（）Ａ．第一象限B．第二象限Ｃ．第三象限D．第四象限解析：选Ｂ．由—错误!＜α＜0知α为第四象限角，则tan α＜0，cos α＞0，点在第二象限．２．（２0１9·安徽太和中学第一次教学质量检测）已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是（）Ａ．第一象限角B．第二象限角Ｃ．第三象限角D．第四象限角解析：选Ｄ．由|cos θ|＝cos θ，可知cos θ≥0，结合sin θcos θ<0，得sin θ<0，cos θ>0，所以角θ是第四象限角，故选D.公式一的简单应用求下列各式的值：（１）cos错误!＋tan错误!；（２）sin 8１0°＋tan １１２５°＋cos ４２0°.【解】（１）原式＝cos错误!＋tan错误!＝cos 错误!＋tan错误!＝错误!＋１＝错误!.（２）原式＝sin（２×３60°＋90°）＋tan（３×３60°＋４５°）＋cos（３60°＋60°）＝sin 90°＋tan ４５°＋cos 60°＝１＋１＋错误!＝错误!.错误!利用公式一求解任意角的三角函数的步骤１．sin ５8５°的值为（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．sin ５8５°＝sin（３60°＋２２５°）＝sin ２２５°.由于２２５°是第三象限角，且终边与单位圆的交点为错误!，所以sin ２２５°＝—错误!.２．tan错误!的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．１解析：选Ｂ．tan错误!＝tan错误!＝tan错误!＝错误!.３．sin错误!＋cos 错误!·tan ４π＝________．解析：原式＝sin错误!＋cos错误!·tan（４π＋0）＝sin 错误!＋cos 错误!×0＝错误!.答案：错误!１．若角α是第三象限角，则点P（２，sin α）所在象限为（）Ａ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D.由α是第三象限角知，sin α<0，因此P（２，sin α）在第四象限，故选Ｄ．２．若cos α＝—错误!，且角α的终边经过点P（x，２），则P点的横坐标x是（）Ａ．２错误!B．±２错误!Ｃ．—２错误!D．—２错误!解析：选Ｄ．r＝错误!，由题意得错误!＝—错误!，所以x＝—２错误!.故选Ｄ．３．cos １４70°＝____________．解析：cos １４70°＝cos（４×３60°＋３0°）＝cos ３0°＝错误!.答案：错误!４．求下列三角函数值：（１）sin 错误!π＋cos 错误!π；（２）sin２错误!＋tan２错误!tan 错误!.解：（１）sin 错误!π＋cos 错误!π＝sin错误!＋cos错误!＝sin 错误!＋cos 错误!＝错误!＋错误!＝１．（２）原式＝sin２错误!＋tan２错误!·tan错误!＝sin２错误!＋tan２错误!·tan 错误!＝错误!错误!＋错误!错误!×１＝错误!＋错误!＝错误!.[A 基础达标]１．（２0１9·陕西山阳中学期末考试）点A（x，y）是60°角的终边与单位圆的交点，则错误!的值为（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!解析：选Ａ．因为tan 60°＝错误!，所以错误!＝错误!，故选Ａ．２．如果α的终边过点（２sin ３0°，—２cos ３0°），那么sin α＝（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!解析：选D.依题意可知点（２sin ３0°，—２cos ３0°），即（１，—错误!），则r＝错误!＝２，因此sin α＝错误!＝—错误!.３．已知角α的终边经过点P（m，—6），且cos α＝—错误!，则m＝（）Ａ．8 Ｂ．—8Ｃ．４Ｄ．—４解析：选Ｂ．由题意得r＝|OP|＝错误!＝错误!，故cos α＝错误!＝—错误!，解得m＝—8．４．给出下列函数值：１sin（—１000°）；２cos错误!；３tan ２，其中符号为负的个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｂ．因为—１000°＝—３×３60°＋80°，所以—１000°是第一象限角，则sin（—１000°）>0；因为—错误!是第四象限角，所以cos错误!>0；因为２rad≈２×５7°１8′＝１１４°３6′是第二象限角，所以tan ２<0．故符号为负的个数为１．５．若tan α<0，且sin α>cos α，则α的终边在（）Ａ．第一象限B．第二象限Ｃ．第三象限D．第四象限解析：选Ｂ．由tan α<0知，α是第二、四象限角，若α是第二象限角，则sin α>0，cos α<0，满足sin α>cos α；若α是第四象限角，则sin α<0，cos α>0，不满足sin α>cos α，故选Ｂ．6．计算sin（—１４１0°）＝________．解析：sin（—１４１0°）＝sin（—４×３60°＋３0°）＝sin ３0°＝错误!.答案：错误!7．若sin α·cos α＜0，则α在第________象限．解析：由sin α·cos α＜0，知sin α＞0且cos α＜0或sin α＜0且cos α＞0．若sin α＞0且cos α＜0，则α在第二象限，若sin α＜0且cos α＞0，则α在第四象限．答案：二或四8．已知角α的终边经过点P（３，—４t），且sin（２kπ＋α）＝—错误!，其中k∈Z，则t的值为____________．解析：因为sin（２kπ＋α）＝—错误!（k∈Z），所以sin α＝—错误!.又角α的终边过点P（３，—４t），故sin α＝错误!＝—错误!，解得t＝错误!错误!.答案：错误!9．计算：（１）sin ３90°＋cos（—660°）＋３tan ４0５°—cos ５４0°；（２）sin错误!＋tan π—２cos 0＋tan 错误!—sin 错误!.解：（１）原式＝sin（３60°＋３0°）＋cos（—２×３60°＋60°）＋３tan（３60°＋４５°）—cos （３60°＋１80°）＝sin ３0°＋cos 60°＋３tan ４５°—cos １80°＝错误!＋错误!＋３×１—（—１）＝５．（２）原式＝sin错误!＋tan π—２cos 0＋tan错误!—sin错误!＝sin 错误!＋tan π—２cos 0＋tan 错误!—sin 错误!＝１＋0—２＋１—错误!＝—错误!.１0．已知角α的终边上一点P（m，错误!），且cos α＝错误!，求sin α，tan α的值．解：由题意得x＝m，y＝错误!，所以r＝|OP|＝错误!，所以cos α＝错误!＝错误!＝错误!，解得m＝错误!（负值舍去），则r＝２错误!，所以sin α＝错误!＝错误!＝错误!，tan α＝错误!＝错误!＝错误!.[B 能力提升]１１．函数y＝错误!＋错误!＋错误!的值域是（）Ａ．{—１，0，１，３} Ｂ．{—１，0，３}Ｃ．{—１，３} Ｄ．{—１，１}解析：选Ｃ．当x是第一象限角时，y＝３；当x是第二象限角时，y＝—１；当x是第三象限角时，y＝—１；当x是第四象限角时，y＝—１．故函数y＝错误!＋错误!＋错误!的值域是{—１，３}．１２．（２0１9·重庆一中期末）已知α是第三象限角，且cos错误!>0，则错误!的终边所在的象限是（）Ａ．第一象限B．第二象限Ｃ．第三象限D．第四象限解析：选Ｄ．由α是第三象限角知：２kπ＋π<α<２kπ＋错误!（k∈Z）．所以kπ＋错误!<错误!<kπ＋错误!（k∈Z）．因此，当k是偶数时，错误!是第二象限角；当k是奇数时，错误!是第四象限角．又cos 错误!>0，因此错误!是第四象限角，故选Ｄ．１３．（２0１9·四川南充期末考试）已知角α的终边经过点P（３，４）．（１）求tan（—6π＋α）的值；（２）求错误!·sin（α—２π）·cos（２π＋α）的值．解：设x＝３，y＝４则r＝错误!＝５，所以sin α＝错误!＝错误!，cos α＝错误!＝错误!，tan α＝错误!＝错误!，（１）tan（—6π＋α）＝tan α＝错误!.（２）原式＝错误!·sin α·cos α＝sin２α＝错误!错误!＝错误!.１４．已知错误!＝—错误!，且lg（cos α）有意义．（１）试判断角α的终边所在的象限；（２）若角α的终边与单位圆相交于点M错误!，求m的值及sin α的值．解：（１）由错误!＝—错误!，可知sin α＜0，由lg（cos α）有意义可知cos α＞0，综上可知角α的终边在第四象限内．（２）因为点M错误!在单位圆上，所以错误!错误!＋m２＝１，解得m＝±错误!.又由（１）知α是第四象限角，所以m＜0，所以m＝—错误!.由正弦函数的定义可知sin α＝—错误!.[C 拓展探究]１５．已知角α的终边上的点P与点A（a，b）关于x轴对称（a≠0，b≠0），角β的终边上的点Q 与点A关于直线y＝x对称，求错误!＋错误!＋错误!的值．解：由题意可知P（a，—b），则sin α＝错误!，cos α＝错误!，tan α＝—错误!；由题意可知Q（b，a），则sin β＝错误!，cos β＝错误!，tan β＝错误!，所以错误!＋错误!＋错误!＝—１—错误!＋错误!＝0．。
2024春新教材高中数学5.2.1三角函数的概念教案新人教A版必修第一册
在解决实际问题时，可以运用三角函数的性质和周期性进行计算。例如，已知一个角的大小为π/3，可以通过查表或计算得到其正弦值为√3/2，余弦值为1/2，正切值为√3。
（4）在线课程：国内外知名大学开设的三角函数相关在线课程，如麻省理工学院的《线性代数与几何》、斯坦福大学的《数学分析》等，学生可以在线观看视频讲座、完成练习题，拓展知识视野。
2.拓展建议：
（1）阅读数学杂志：鼓励学生阅读数学杂志，了解三角函数的研究现状和发展趋势，提高学术素养。
（2）利用网络资源：引导学生利用学术网站资源，查阅三角函数相关论文和著作，加深对知识点的理解。
核心素养目标
本节课旨在培养学生的数学抽象和数学建模的核心素养。通过学习三角函数的概念，使学生能够理解从具体情境中抽象出三角函数的基本思想，提升数学抽象能力。同时，通过分析三角函数的性质和图像，使学生能够运用数学语言描述三角函数的性质，培养学生的数学建模能力。此外，通过小组讨论和自主探究的学习方式，提升学生的逻辑推理和数据分析能力，培养学生的合作交流和自主学习的能力。
三、实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示三角函数的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
四、学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
人教统编部编版高中数学必修第一册A版第五章《三角函数》全章节教案教学设计(含章末综合复习)
【新教材】人教统编版高中数学必修第一册A版第五章教案教学设计5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
人教统编部编版高中数学必修第一册A版第五章《三角函数》全章节教案教学设计(含章末综合复习)
【新教材】人教统编版高中数学必修第一册A版第五章教案教学设计5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第五章三角函数简单的三角恒等变换教案
＝—错误!＝—３．
１0．化简：错误!（0<α<π）．
解：因为 tan 错误!＝错误!，
所以（１＋cos α）tan 错误!＝sin α.
又因为 cos错误!＝—sin α，
且１—cos α＝２sin２错误!，
所以原式＝错误!＝错误!
＝—错误!.
因为 0<α<π，所以 0<错误!<错误!.
所以 sin 错误!>0．
6．已知 sin 错误!—cos 错误!＝错误!，则 cos ２θ＝________．
解析：因为 sin错误!—cos错误!＝错误!，
所以１—sin θ＝错误!，即 sin θ＝错误!，
所以 cos ２θ＝１—２sin２θ＝１—错误!＝错误!.
答案：错误!
7．已知 sin错误!＝错误!，则 cos２错误!＝________．
利用半角公式求值的思路 （１）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求 解． （２）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的 范围． （３）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用 tan 错误!＝错误!＝错误!，其优点是计算时可避免
若 cos α＝错误!，且 α∈（0，π），则 cos 错误!的值为（ ）
Ａ．错误!
B．—错误!
Ｃ．±错误!
Ｄ．±错误!
答案：A
已知 cos α＝错误!，α∈错误!，则 sin 错误!等于（ ）
A．—错误!
Ｂ．错误!
Ｃ．错误!
Ｄ．—错误!
答案：B
已知 cos θ＝—错误!，且１80°＜θ＜２70°，则 tan 错误!＝________．
高中数学 三角函数综合练习课教案 新人教A版必修1
第二十五教时教材：综合练习课目的：复习和角、差角、二倍角及半角，积化和差、和差化积、万能公式，逐渐培养熟练技巧。
过程： 一、 小结本单元内容——俗称“加法定理”1． 各公式罗列，其中和、差、倍角公式必须记忆，要熟知其结构、特点 2． 了解推导过程（回顾）3 4︒角变换 5︒“升幂”与“降次” 6︒辅助角二、 例题：例一、《教学与测试》 基础训练题1． 函数x x y 2cos )23sin(3--π=的最小值。
（辅助角）解：x x x x x y 2sin 232cos 212cos )2sin 212cos 23(3-=--=1)26sin(-≥-π=x2． 已知的值。
，求x x 2sin 135)4sin(-=π- （角变换）解：169119)135(21)4(sin 21)]4(2cos[)22cos(2sin 22=--=π--=π-=-π=x x x x 3． 计算：(1 +3)tan15︒-3 （公式逆用）解：原式= (tan45︒+ tan60︒)tan15︒-3=tan105︒(1-tan45︒tan60︒)tan15︒ -3 = (1 -3) tan105︒ tan15︒ -3= (1 -3)×(- 1)-3 = - 14． 已知sin(45︒ - α) = 32-，且45︒ < α < 90︒，求sin α （角变换） 解：∵45︒ < α < 90︒ ∴-45︒ < 45︒-α < 0︒ ∴cos(45︒-α) = 35cos2α = sin(90︒-2α) = sin[2(45︒-α)] = 2sin(45︒-α)cos(45︒-α) =954-即 1 - sin 2α = 954-， 解之得：sin α = 61022+例二、已知θ是三角形中的一个最小的内角，且12sin 2cos 2sin 2cos2222+=θ-θ-θ+θa a a ，求a 的取值范围 解：原式变形：1)2sin 2(cos )2sin 2(cos2222+=θ-θ-θ-θa a 即1cos )1(+=θ-a a ，显然1≠a （若1=a ，则 0 = 2）∴11cos -+=θa a 又∵30π≤θ<，∴1cos 21<θ≤即：11121<-+≤a a 解之得：3-≤a 例三、试求函数2cos sin 2cos sin +++=x x x x y 的最大值和最小值。
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第二十五教时
教材：综合练习课
目的：复习和角、差角、二倍角及半角，积化和差、和差化积、万
能公式，逐渐培养熟练技巧。
过程：
一、小结本单元内容——俗称“加
法定理”
1．各公式罗列，其中和、差、
倍角公式必须记忆，要熟
知其结构、特点
2．了解推导过程（回顾）
3．常用技巧：
1︒化弦 2︒化“1”
3︒正切的和、积
4︒角变换 5︒“升幂”
与“降次” 6︒辅助角
二、例题：
例一、《教学与测试》基础
训练题
1．函数
x
x
y2
cos
)
2
3
sin(
3-
-
π
=
的最小值。
（辅助
角）
解：
x
x
x
y2
cos
2
1
2
cos
)
2
sin
2
1
2
cos
2
3
(3=
-
-
=
1
)
2
6
sin(-
≥
-
π
=x
2．已知
的值
，求x
x2
sin
13
5
)
4
sin(-
=
π
-
（角变换）
解：
)]
4
(2
cos[
)
2
2
cos(
2
sin=
π
-
=
-
π
=x
x
x
3．计算：(1
+3)tan15︒-3
（公式逆用）
解：原式= (tan45︒+
tan60︒)tan15︒-3=tan
105︒(1-tan45︒tan60︒)ta n15︒ -3 = (1 -
3)
tan105︒ tan15︒ -3= (1 -3)×(- 1)-3 = - 1 4． 已知sin(45︒ - α) =
3
2
-，且45︒ < α < 90︒，求sin α （角变换）
解：∵45︒ < α < 90︒ ∴-45︒ < 45︒-α < 0︒ ∴cos(45︒-α) = 3
5
cos2α = sin(90︒-2α) =
sin[2(45︒-α)]
=
2sin(45︒-α)cos(45︒-α) =9
5
4-
即 1 - sin 2
α =
9
5
4-
， 解之得：sin α = 6
10
22+
例二、已知θ是三角形中的一个最小的内角， 且
12
sin 2cos 2sin 2cos 2222
+=θ
-θ-θ+θa a a ，求a 的取值范围
解：原式变形：
)2
sin 2(cos )2sin 2(cos 2222
=θ-θ-θ-θa
即
1cos )1(+=θ-a a ，显然
1≠a （若1=a ，则 0 = 2） ∴
1
1
cos -+=θa a 又∵3
0π
≤
θ<，
∴
1cos 2
1
<θ≤ 即：11
1
21<-+≤a a 解之得：3-≤a
例三、试求函数
2
cos sin 2cos sin +++=x x x x y 的最大值和最小值。
若]2
,0[π∈x 呢？ 解
：
1
．
设
]
2,2[)4
sin(2cos sin -∈π
+=+=x x x t
则
x x t cos sin 212+= ∴
1cos sin 22-=t x x
∴
]
23,4
3
[41)21(122+∈++=++=t t t y
∴
43
,23min max =
+=y y 2．若]2
,0[π∈x ，则
]2,1[∈t ，∴]23,3[+∈y
即
3,23min max =+=y y
例四、已知tan α = 3tan(α +
β)，6
π
=
β，求sin(2α + β)的值。
解
：
由
题
设
：
)
cos()
sin(3cos sin β+αβ+α=αα 即sin α cos(α + β) = 3sin(α + β)cos α
即sin(α + β) cos α +
cos(α + β)sin α = 2sin α cos(α + β) - 2cos αsin(α + β)
∴sin(2α + β) =
-2sin β 又∵6π=
β ∴sin β2
1= ∴sin(2α + β) = -1
三、作业：《教学与测试》P117—118 余下部分。