高数下册第11章复习题与答案

第十一章-无穷级数练习题
（一）.基本概念 收敛.
Q Q 1.设v U n 为正项级数，下列四个命题 n -1
(1)
(2) 若limU n =0,则「U n 收敛； 若v U n 收敛，贝U v U n 100收敛; n
=1 n W A.级数X |U n |收敛；
n =1
B.极限 lim Un =0 ;
C. 极限 lim Un ^ = r ::: 1 ;
F U n
n
D. 部分和数列Sn =•'.： Uk 有界.
k 4
5.下列级数中条件收敛的是（
).
(3)若 lim U n 1 n
Y U n Q Q
(4)若v U n 收敛，则 n -1 中，正确的是( ) A . (1)与 (2)；
C . (3)与(4)；
Q Q 1,则v U n 发散; n =1 lim 5^ ::: 1 . n
匚U n
■■ 1
' 1 ；
厂
' n= - n cos 1
;
n 4 tn
B
.
B .⑵与(3)；
D . (4)与(1). C. 2.下列级数中，收敛的是（ 1 )• oO q
' (-1)n 1 ; n 吕 .n 1
00
1 A. ' -；
n £ n
□0 B .、 n ；
n 壬 2n +1 Q
Q
D. ' （-1）n
n 4 n, n
6.下列级数中绝对收敛的是
).
8 1 、(-1)n
— n=1 n
C . 0.001 一 0.001 3
0.001
; 1
B. ' —
nw n
D . 4 32 43 44
3•在下列级数中，发散的是（ ).
Q Q
C. (-1)n nM n
旳
1
D.二.sin .
n 吕 n
QO *;
（二）.求等比级数的和或和函数。

提示：注 意首项
C . —1—；
n - n 3
n 1
7.幕级数
n
x n 1在(-2, 2)上的和函数 n=0
2
s(x) = ___________ .
八2 八3 八4
3
3
3 ...
2
3
' 4
4 4 4
oO
8.幕级数(-1)n
n=0
4n
s(x)= ---------------
4.条件
（
）满足时，任意项级数
U n 定
n
=1
在（-4 , 4）上的和函数
9
.无穷级数：］旳的和S
=—
（三）■判定正项级数的敛散
性。

14.判定级数 、、(-I)"」n • 1 一 n 是否收
敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
解：
CO
A
15.
判别级数v (_1)n
ln(1
1
)的敛散性，如
nv
n
果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛(要求 说明理由)•
解
12.判别级数的敛散性.
cO
10•判别级数'、
n 4
(n!)2
的敛散
性.
11.判别级数的敛散性. £
1 € n+1
n 4 ■ n(n 2
1)
"4 n 1
兀 旳 兀
二 3 sin n , 二(1 - cos —)
n 生 4 n 蛉 n
°° 1
「n(1
), n =1
•. n
od z
3n
n!
(四)■判定交错级数是否收敛，如果收敛， 是绝对收敛还是条件收敛。

提示：分三步, 先判断是否绝对收敛，然后用莱布尼兹判
别法U n
，最后结论为条件收敛。

00
2n
16.
判别级数(-1)2 竿 的敛散性，如果收 nd 3
敛，指出是绝对收敛还是条件收敛.
解
13.判定级数
旳
1
送(一1)心1 n(1 +〒)
是否收敛？
如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛
解：
(五).求
幕
□0
QO
7 a n X 2n
； V a n (X-X °)n 的收敛区
n -0
n =0
42
QO
=x
n £
间。

提示：变量代换，区间不要端点
收敛区间
(七). 求幕级数的和函数
20. 求幕级数a 斗(2x 1)n
的收敛区间.
解：
(六).将函数展开成x 的幕级数，指出收敛 区间(提示：间接展开法，记展开式)
21. 将函数f(x) =(e x -1)(e x
2)展开为x 的 幕级数(指出收敛区间).
解：
区间.
解:
22. 将函数 f (x)二 xe" 1
In(1 x)展开为 x
的幕级数，并指出收敛区间. 解
Q Q
18. 求幕级数7
n =4
(3)n x 2n1
的收敛半径和收敛
区间 19.
求幂级数:〔罟評的收敛半径和
23.将函数f (x) = In(2 - x)展开成(x 1)的幕
级数，并写出收敛域.
解
25.利用幕级数和函数求数项级数
:_
n
26
'求幂级数“爲
的和函数并写出收敛
解:
（八）. 相关证明
29.设a n 0，且｛na n｝为有界数列•证明：无穷级数
& a n3/2收敛.
n 4
证
30.设级数-U n2与1 V n2都收敛，证明级数
n 二n £
Q Q
、（U n V n）2也收敛.
n z!证
35.设级数7 （a n -a n」）收敛，又b n是收敛n =1
nJ
Q Q
的正项级数，证明级数a n b n绝对收敛.
n吕
证：
□0
31.设a n 乞b n 乞C n 5 =1,2,），且级数 7 a n，
n=1 Q Q
X' C n都收敛，试证明：
n 1
级数J bn收敛.
n ：!
证：
第十一章-无穷级数练习题答案1. B ) ；
2. ( D );
3. ( B )；
4. ( A
5. (C ).
6. (B )；
7. s(x) ; 8. 4
s(x)二——；9. S
2 - x x + 4
10
oO
c »八U n +|U n U n 一U n 、*、〒口口
34.设P n ，q n ，试证明
2 2
od oO
级数a U n绝对收敛的充分必要条件是a P n，n M n』10.判别级数、
n =1
(n!)2
(2n)
!
的敛散
性.
lim 乩二lim
n U
n
n厂[2(n 1)]!
(2n)
!
(n!)
2
Q Q
、q n都收敛.
n =1
证：
(n 1)(n 1)
为条件收敛•
=lim
n
— (2n
1)( 2n 2)
丄
1 4 11•判别级数的敛散性. .原级数收敛 14.判定级数 1 Z
2 收敛， n4 n(n 2 1)
(比较法) 二 n 1 — n 」n 1 送In （1 +：）发散， n 4 n CO
、3n n 4 JI *
°°
ji 7 (1-cos —)收敛 n 4 n 12.判别级数的敛散性（比值法） ■:3n
-n! - n 土 n 敛？如果收敛,
解：
U n
Q Q
、（—1）2 •.、n • 1 - n 是否
收
是绝对收敛还是条件收敛？
所以
U n
Q Q
n 1 一 .. n
发
n
丄
减，且 lim u n =
0，
4吨卜（3）计 收敛 Q0
八n
n 4
因此 Q Q
7 (-1)n
‘ . n • 1 - ； n 收
敛，且为 条件收敛•
Q Q
13.判定级数 「（-1）n
」ln （1 1
）是否收敛？ n
1 15.判别级数' （-1）n
ln （1——）的敛散
性，如
nv n 如果收敛, 是绝对收敛还是条件收敛？ 解: n > :: ，u
n 1 1 =ln (1 )~ ， .n n 果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛（要求 说明理由）•
发散，所以 Q Q
解 J(-1)n
l
n 吕
1
ln(1 -) lim 亠=1
n —
』-
1 1 n1(+丄)=瓦 I n1f-),贝U n nT
发散; □a
z n T
1
l n1C -）发散，原级数不
绝对
n
又U n
1 -ln (1
) Hn
单调递减，且
收敛;
l i mu n u n =0，
且 lim
u n
n —jpC
因此 oO
' (T)z l n1(
n d
）收敛，且
1 1
U n 二 ln(1 ) - ln(1 J = U n 1
n n 十1 1
二 lim ln( 1 )=0 n 厂 n
00
1
送(—1)n
l 门(1+—)收敛。

n 三 n
绝对收敛.
18. P283 例 3 19. 求幕级数二(-1)
」^：2)0
的收敛半径和
心 (n +1卅
收敛区间
或
匸 2+ n /
、
=Z ----- x (虫 <x <+=c )
-------
n4 n!
22.将函数 f (x)二 xe'x 1 ln(1 • x)展开为
x
的幕级数，并指出收敛区间.
解 f (x)二 exe_
2x
ln(1 x)
区间为(-2,1).
所以二 ng
(_1)n |n(1丄)为条件收敛。

n 16.判别级数 J(_1)n 」孕的敛散性，如果收 n 4 3 21.将函数f (x)二(e x - 1)(e x
2)展开为x 的
幕级数(指出收敛区间).
解：
f (x) = e 2x • e x
-2
敛，指出是绝对收敛还是条件收敛. 2n U n = 3*
二
=11
n 卫 (2x)n
n!
::x n -—-2 n!
(-：：：：x ：：：：)
U n 1 lim n
匚U n
n
匸3n
3nJ
n
」n! n
x
i( n 2)3 3
R =3 oO =ex' n =0
(-2x)n
n!
“(-1)n
n=0
x n1
n 1
(一
1 ：：：
x ：：：1)
x-2 c3，所以收敛区间为(-1,5) □0 20.求幕级数「斗(2x 1)n
的收敛区间. <.:e(-2)n x n1
=L ---------
n =0
n!
(一1 ：：
X :： 1)
解: 八g. n =0 I n!
(-门
-^x< 1)
R
亠3
，
2x+1 £3，所以收敛
23.将函数f (x) = ln(2 x)展开成(x 1)的幕
级数，并写出收敛域. 解
f (x)二 l n 2 x)
■级数"(-1) n 4
心話收敛且是
旳 (x+1)n
申
=ln(1x1)=' (-1)n
n^ n +1
收敛域为 (-2 , 0] x 3
J
3
故
25. 利用幕级数和函数求数项级数 S i (x)=
—dx 3 —x =—31 n 3 —x —x
+ 3ln3 oO z
n 4
A 的和.
n 2
所
3ln (3-x) 3l n3 .
S(x) S(x)二
x 解: Q Q
作级数、' n z 4 n A.
n x
(x <3 且 x^O ).
limf n 1 =讪口=1
n
b j a n n —‘ n
当x =1时，二n 发散；当X =「1
n 壬 、(-1)n
」n 发散. n 4 所以收敛域为 ② x x 0 S(x)dx 「0 时, n A. n x °° x dx i … T0
n £ cO
dx =二
n A
(1-x)2
x (-1,1)
29.设a n 0，且｛n a n ｝为有界数列•证明:
穷级数v a n 3/2
收敛.
n T
证 因为an 0，且｛ n an ｝为有界数
列,
因为正项级数
x
1 -x
二 a n 3/2
收敛.
n d
Q Q
30.设级数、 n A
nV 1
3/2
n
-I M . 0 s.t. 0 ：：： na n 乞 M ,
3/2 3/2 1 0 ： a n M 丽，
n 收敛，由比较审敛法得
知
Q Q
U n 2与「V n 2
都收敛，证明级数
n =1
s(2) CO
=11
n =1 n -1
=4
、(U n V n )2
也收敛.
n £
证
Q Q 26.求幕级数、 n
x n 壬(n 1)3n
的和函数并写出收敛 0 —(U n ' V n )2
<
2 2 . 2 2
u
n
2 u
n v n v n
2 u
n
2v
n ,
区间. od
解：设S(x) n nm
(n +1)3n
n 1
x n#
(n 1)31
^(x^^=S (第
nW
3
n £
3
cO
其中S(x)
二扣),
Q Q
因为、」U n 2
n =1
od
与、
n T
V n 2都收敛，所以 ，逐项求导
得: □0
X
(2U n 2 2V n 2)收敛,
n =i
因此,
级数7 (u n V n )2
收敛.
n d
Q Q
证：级数二（a n
n =4
oO
7 （a n -a n 」）收敛，可
n
证：1）若二：p n
n ：4 Q Q
7 q n 都收敛，则由
n =1
Q Q
31.设 a n 乞b n 乞c n (n =1,2,),且级数 a n
n g
Q Q
、「C n 都收敛，试证明: n 4
Q Q
所以级数二U n 绝对收敛的充分必要条件是
n =1
0"n
级数—b n 收敛. n 4 "P n ，、: q n 都收敛.
n 4
n 4
35.设级数二（a n -a n 」）收敛,
n 4
Q Q
又J b n 是收敛
n -4
一寺 MC n -a n (n =1,2,) 的正项级数，证明级数 J ang 绝对收敛.
n 4
od
、(b n
n =4
-a n )收敛,
S
n = a n - a 0
,
QO n QO
'、' bn - v [a (b n - a n )] 收敛. n ：4 n lim S n = S ，
n
「
34.设 P n =U
n 2
U n ,q n -U n 厂，
试证明
因而lim a^ S ■ a o ，故数列^a^有界, n :.
Q Q 级数二U n 绝对收敛的充分必要条件是 n =1
Q Q q n 都
收敛
. n ：! □a
7 P n
n T
a n 乞 M ( n =1,2,)
由于正项 Q Q
级数& b n 收敛，
nT
oO
z
n 4
U n oO
八(P n Tn)可得' n 吕 CO
U n n z!
收敛, Q Q
所以级数^a n b n
n £
绝对收敛.
oO 即V u n 绝对收敛;
n T
Q0 Q Q 2）若U n 绝对收敛，则 n U n oO ' U n
n =1
都收敛，因而 oO
' P n n =1
00
U
+ 八U n
n =1
U n
2
□0 oO
V —寸
U n
-q n n "
n ■
- U n 2
都收敛;
oO
二
(c
n
- a n )
n =4
-a n j ）的前n 项和为
由于级数
a n
b n 兰 Mb。