数学建模在生活中的应用

数学建模在生活中的应用

【摘要】本文通过数学模型在实际生活中应用的讨论，阐述数学建模理论的重要性，研究其在实践中的重要价值，并把抽象的数学知识放到大家看得见、摸得着、听得到的生活情境中，从而让人们感受到生活中处处有数学，生活中处处要用数学。

【关键词】数学建模；生活；应用；重要性

最早的数学建模教材出现在公元1世纪我国古代的《九章算术》一书中，由此可见，数学建模是人才培养和社会发展的需要。同时，数学建模也是教育改革的需要，现代数学教育改革中越来越强调“问题解决”，而“问题解决”恰恰体现了数学在实际生活应用的重要性，由于数学建模是问题解决的主要形式，所以数学建模在实际生活中发挥着重要的作用。

一、数学建模

数学建模是指根据具体问题，在一定的假设下找出解决这个问题的数学框架，求出模型的解，并对它进行验证的全过程。由此可见，数学建模是一个“迭代”的过程，此过程我们可以用下图表示：

二、生活中的数学建模实例

赶火车的策略

现有12名旅客要赶往40千米远的一个火车站去乘火车，离开车时间只有3小时了，他们步行的速度为每小时4千米，靠步行是来不及了，唯一可以用的交通工具是一辆小汽车，但这辆小汽车连司机在内至多只能乘坐5人，汽车的速度为每小时60千米。问这12名旅客能赶上火车吗？

【分析】

题中没有规定汽车载客的方法，因此针对不同的搭乘方法，答案会不一样，一般有三种情况：（1）不能赶上；（2）勉强赶上；（3）最快赶上

方案1 不能赶上

用汽车来回送12名旅客要分3趟，汽车往返就是3+2=5趟，汽车走的总路程为

5×40=200（千米），

所需的时间为

200÷60=10/3（小时）>3（小时）

因此，单靠汽车来回接送旅客是无法让12名旅客全部赶上火车的。

方案2 勉强赶上的方案

如果汽车来回接送一趟旅客的同时，让其他旅客先步行，则可以节省一点时间。

第一趟，设汽车来回共用了X小时，这时汽车和其他旅客的总路程为一个来回，所以 4X+60X=40×2

解得X=1.25（小时）。此时，剩下的8名旅客与车站的距离为

40-1.25×4=35（千米）

第二趟，设汽车来回共用了Y小时，那么

4Y+60Y=35×2

解得Y=35/32≈1.09（小时）

此时剩下的4名旅客与车站的距离为

35-35/32×4=245/8≈30.63（千米）

第三趟，汽车用了30.63÷60~0.51（小时）

因此，总共需要的时间约为

1.25+1.09+0.51=

2.85（小时）

用这种方法，在最后4名旅客赶到火车站时离开车还有9分钟的时间，从理论上说，可以赶得上。但是，我们在计算时忽略了旅客上下车以及汽车调头等所用的时间，因此，赶上火车是很勉强的。

方案3 最快方案

先让汽车把4名旅客送到中途某处，再让这4名旅客步行（此时其他8名旅客也在步行）；接着汽车回来再送4名旅客，追上前面的4名旅客后也让他们下车一起步行，最后回来接剩下的4名旅客到火车站，为了省时，必须适当选取第一批旅客的下车地点，使得送最后一批旅客的汽车与前面8名旅客同时到达火车站。

解法1 设汽车送第一批旅客行驶X千米后让他们下车步行，此时其他旅客步行的路程为

4×X/60=X/15（千米）

在以后的时间里，由于步行旅客的速度都一样，所以两批步行旅客之间始终相差14/15X千米，而汽车要在这段时间里来回行驶两趟，每来回一趟所用的时间为

由于汽车来回两趟所用的时间恰好是第一批旅客步行（40-X）千米的时间，

故 2×X/32=40-X/4

解得X=32（千米）

所需的总时间为 32/60+（40-32）/4≈2.53（小时）

这个方案可以挤出大约28分钟的空余时间，足以弥补我们计算时间所忽略的一些时间。

解法2 设每组旅客坐车时间为X小时，则步行时间为（40-60X）/4小时，每个空车回程所用的时间为（60X-4X）/（60+4）=7/8X.而汽车共行驶了3个去程和两个回程，且汽

车所用的的总时间与每个组