轴对称图形典型习题集
轴对称图形练习题及答案
轴对称图形练习题及答案轴对称图形是一种数学概念，指的是如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
以下是一些轴对称图形的练习题及答案。
练习题1：判断下列图形是否为轴对称图形，并找出对称轴。
1. 圆形2. 等边三角形3. 矩形4. 等腰梯形5. 五角星答案1：1. 圆形是轴对称图形，有无数条对称轴。
2. 等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
3. 矩形是轴对称图形，有2条对称轴。
4. 等腰梯形是轴对称图形，有1条对称轴。
5. 五角星是轴对称图形，有5条对称轴。
练习题2：如果一个图形沿着某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这条直线叫做这个图形的对称轴。
请找出下列图形的对称轴数量。
1. 正方形2. 菱形3. 正六边形4. 半圆形5. 等腰三角形答案2：1. 正方形有4条对称轴。
2. 菱形有2条对称轴。
3. 正六边形有6条对称轴。
4. 半圆形有1条对称轴。
5. 等腰三角形有1条对称轴。
练习题3：在下列图形中，找出不是轴对称图形的图形。
1. 长方形2. 等边四边形3. 等腰梯形4. 平行四边形5. 正五边形答案3：4. 平行四边形不是轴对称图形。
练习题4：如果一个轴对称图形的对称轴是直线x=1，那么这个图形关于这条直线对称。
根据这个定义，判断下列点是否在对称轴上。
1. 点A(2,3)2. 点B(0,0)3. 点C(1,1)4. 点D(-1,1)答案4：1. 点A不在对称轴上。
2. 点B不在对称轴上。
3. 点C在对称轴上。
4. 点D不在对称轴上。
练习题5：在一个坐标平面上，如果一个点P(x,y)关于直线x=1对称，那么它的对称点的坐标是什么？答案5：如果点P(x,y)关于直线x=1对称，那么它的对称点的坐标是(2-x, y)。
这些练习题和答案可以帮助学生更好地理解和掌握轴对称图形的概念和性质。
通过解决这些问题，学生可以加深对轴对称图形的认识，提高解决相关问题的能力。
专题03轴对称十大重难题型(期末真题精选)(原卷版)
专题03 轴对称十大重难题型一．轴对称图形的存在性之格点类（钥匙对称轴）1．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个2．如图，在3×3的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有个．二．轴对称的性质3．如图，把一张长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D′落在∠BAC的内部，若∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝n，则∠DAE的度数为（用含n的式子表示）．4．如图，点P为∠AOB内部任意一点，点P与点P1关于OA对称，点P与点P2关于OB对称，OP＝8，∠AOB＝45°，则△OP1P2的面积为．三．尺规作图：轴对称，角平分，垂直平分线5．已知直线l及其两侧两点A、B，如图．（1）在直线l上求一点P，使P A＝PB；（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）6．已知：如图，∠AOB及M、N两点．请你在∠AOB内部找一点P，使它到角的两边和到点M、N 的距离分别相等（保留作图痕迹）．7．线段的垂直平分线的性质1：线段垂直平分线上的点与这条线段的距离．如图，△ABC中，AB＝AC＝16cm，（1）作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点E，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接BD，如果BC＝10cm，则△BCD的周长为cm．8．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，△A′B′C′和△ABC 关于直线l成轴对称，其中A′点的对应为A点．（1）请画出△A′B′C′，并标出相应的字母；（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△A′B′C′的面积．9．如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A（﹣1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，1）．（1）画出△ABC及关于y轴对称的△A1B1C1；（2）请直接写出以AB为边且与△ABC全等的三角形的第三个顶点（不与C重合）的坐标．四．坐标的轴对称10．已知点P（a，3），Q（﹣2，b）关于x轴对称，则a+b的值为（）A．1B．−1C．5D．﹣511．已知点P1（﹣1，﹣2）和P2（a，b﹣1）关于y轴对称，则（a+b）2021的值为（）A．0B．﹣1C．1D．（﹣3）202112．若点M与点N关于x轴对称，点M和点P关于y轴对称，点P的坐标为（2，﹣3），那么点N 的坐标为（）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）13．已知点A（a﹣5，1﹣2a），解答下列问题：（1）若点A到x轴和y轴的距离相等，求点A的坐标；（2）若点A向右平移若干个单位后，与点B（﹣2，﹣3）关于x轴对称，求点A的坐标．14．已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，a﹣b）为有序数对（a，b）的“k阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数”对为（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若有序数对（a，b）（b≠0）与它的“k阶结伴数对”关于y轴对称，则此时k的值为（）A．﹣2B．−32C．0D．−12五．格点等腰三角形15．如图，在4×3的正方形网格中，点A、B分别在格点上，在图中确定格点C，则以A、B、C为顶点的等腰三角形有个．16．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A、B是两格点，若点C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，点C的个数是（）A．1B．2C．3D．417．如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点A，B均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点C也在此4×4的正方形网格的格点上，且△ABC是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C的坐标；满足条件的点C一共有个．六．规律类坐标与图形的变化18．如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，顶点A、B、C的坐标分别为（1，3）、（1，1）、（3，1），规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（）A．（2022，2）B．（2022，﹣2）C．（2020，2）D．（2020，﹣2）19．如图，将边长为1的正方形OABC沿x轴正方向连续翻转2020次，点A依次落在点A1、A2、A3、A4…A2020的位置上，则点A2020的坐标为（）A．（2019，0）B．（2019，1）C．（2020，0）D．（2020，1）20．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）七．等腰三角形判定与性质21．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG＝2，且GC＝6，则BE长为．22．如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD；②∠P=12∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°−12∠A；⑤PD∥AC．其中正确的结论是（直接填写序号）．23．Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，EO∥AB，FO∥AC，若S△ABC＝32，则△OEF的周长为．24．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．那么下列结论：①BD＝DC；②△BED和△CFD都是等腰三角形；③点D是EF的中点；④△AEF的周长等于AB与AC的和．其中正确的有．（只填序号）八．等边三角形的判定与性质25．如图，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，DE＝2，则BC＝．26．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．（1）求证：AE＝2CE；（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．九．直角三角形斜中线的灵活运用。
轴对称图形习题及详细解答
轴对称图形习题及详细解答一．解答题（共30小题）1．（2016•宁夏）在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．2．（2016•江西）（1）解方程组：．（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt △ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE．求证：DE∥BC．3．（2016•十堰）如图，将矩形纸片ABCD（AD ＞AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F．（1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；（2）若AB=3，BC=9，求线段CE的取值范围．4．（2016•海淀区校级模拟）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．5．（2016•漳州模拟）数学课上，老师要求学生证明命题：“角平分线上的点到这个角的两边距离相等”，以下是小华解答的部分内容（缺少图形和证明过程）．请你把缺少内容补充完整．已知：点P在∠AOB的角平分线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE．6．（2016•历下区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE 垂直平分AB于D，求证：BE+DE=AC．7．（2016•萧山区二模）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，求证：AD是BC的中垂线．8．（2016•怀柔区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．求证：∠CAB=∠AED．9．（2016•长春二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC 的度数．10．（2016•东城区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）．11．（2016•怀柔区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC点的中线，E是AC的中点，连接AC，DF⊥AB于F．求证：∠BDF=∠ADE．12．（2016•西城区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=．求证：AB平分∠EAD．13．（2016•门头沟区一模）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．14．（2016•吉林校级二模）如图，等边三角形ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，点F在BC延长线上，且CF=，求四边形DEFB 的面积．15．（2016•门头沟区二模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AE为BC边上的中线．求证：△ABE是等边三角形．16．（2016•泗水县一模）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处．（1）求证：B′E=BF；（2）若AE=3，AB=4，求BF的长．17．（2016•北京一模）如图1，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究“筝形”的性质和判定方法．小聪根据学习四边形的经验，对“筝形”的判定和性质进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）如图2，连接筝形ABCD的对角线AC，BD交于点O，通过测量边、角或沿一条对角线所在直线折叠等方法探究发现筝形有一组对角相等，请写出筝形的其他性质（一条即可）：，这条性质可用符号表示为：；（2）从边、角、对角线或性质的逆命题等角度进行探究，写出筝形的一个判定方法（定义除外），并证明你的结论．18．（2016•拱墅区二模）如图，已知等腰直角△ABC，∠A=90°．（1）利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC 于点D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若将（1）中的△ABD沿BD折叠，则点A 正好落在BC边上的A1处，当AB=1时，求△A1DC的面积．19．（2016春•吉州区期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．20．（2016春•金堂县期末）如图，已知：AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC，EF相交于点M，有AM=CM．（1）求证：AE∥CF；（2）若AM平分∠FAE，求证：FE垂直平分AC．21．（2016春•滕州市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC=15cm，△BCE的周长等于25cm．（1）求BC的长；（2）若∠A=36°，并且AB=AC．求证：BC=BE．22．（2016春•淅川县期末）如图，已知：在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，△BDE是正三角形．求∠C的度数．23．（2016春•罗湖区期末）上午8时，一条船从A处出发以30海里/时的速度向正北航行，12时到达B处．测得∠NAC=32°，∠ABC=116°．求从B处到灯塔C的距离？24．（2016春•埇桥区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°．（1）求∠NMB的度数；（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明之．25．（2016春•高平市期末）已知a、b满足方程组（1）求a，b的值；（2）若a、b是一个等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长．26．（2016春•张家港市期末）若关于x、y的二元一次方程组的解都为正数．（1）求a的取值范围；（2）化简|a+1|﹣|a﹣1|；（3）若上述二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和一条底边的长，且这个等腰三角形的周长为9，求a的值．27．（2016春•吉林期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E是边AB的中点，连接DE，若AD=12，BC=10，求DE的长．28．（2016春•安岳县期末）等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两个部分，求等腰三角形的底边和腰长．29．（2016春•西藏校级期末）如图，在△ABC 中，AB=AC，点D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F．（1）求证：点O在AB的垂直平分线上；（2）若∠CAD=20°，求∠BOF的度数．30．（2016春•鄄城县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E．求证：△BDE是等腰三角形．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016•宁夏）在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．【分析】先证明△DEC是等边三角形，再在RT △DEC中求出EF即可解决问题．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∴△EDC是等边三角形，∴DE=DC=2，在RT△DEC中，∵∠DEC=90°，DE=2，∴DF=2DE=4，∴EF===2．【点评】不同考查等边三角形的性质、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2016•江西）（1）解方程组：．（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt △ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE．求证：DE∥BC．【分析】（1）根据方程组的解法解答即可；（2）由翻折可知∠AED=∠CED=90°，再利用平行线的判定证明即可．【解答】解：（1），①﹣②得：y=1，把y=1代入①可得：x=3，所以方程组的解为；（2）∵将Rt△ABC向下翻折，使点A与点C 重合，折痕为DE．∴∠AED=∠CED=90°，∴∠AED=∠ACB=90°，∴DE∥BC．【点评】本题考查的是图形的翻折变换，涉及到平行线的判定，熟知折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．3．（2016•十堰）如图，将矩形纸片ABCD（AD ＞AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D 的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F．（1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；（2）若AB=3，BC=9，求线段CE的取值范围．【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，根据折叠的性质，易证得△EFG是等腰三角形，即可得GF=EC，又由GF∥EC，即可得四边形CEGF 为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得四边形BGEF为菱形；（2）如图1，当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得CD=DG，∠CDE=∠GDE=45°，推出四边形CEGD是矩形，根据矩形的性质即可得到CE=CD=AB=3；如图2，当F 与D重合时，CE取最小值，由折叠的性质得AE=CE，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE=∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线，∴∠GEF=∠FEC，∴∠GFE=∠FEG，∴GF=GE，∵图形翻折后BC与GE完全重合，∴BE=EC，∴GF=EC，∴四边形CEGF为平行四边形，∴四边形CEGF为菱形；（2）由（1）得四边形CEGD是菱形，∴CE=CD=AB=3；如图2，当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得AE=CE，∵∠B=90°，∴AE2=AB2+BE2，即CE2=32+（9﹣CE）2，∴CE=5，∴线段CE的取值范围3≤CE≤5．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，菱形的判定，线段的最值问题，矩形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．4．（2016•海淀区校级模拟）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．【分析】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，通过证明△AEH≌△CFG 即可．【解答】解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，∵∠1=∠2，AD⊥BC，∴EH=ED（角平分线的性质）∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，∴四边形EFGD是矩形，∴ED=FG，∴EH=FG，∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C，又∵∠AHE=∠FGC=90°，∴△AEH≌△CFG（AAS）∴AE=CF．【点评】本题考查了角平分线的性质；综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点．5．（2016•漳州模拟）数学课上，老师要求学生证明命题：“角平分线上的点到这个角的两边距离相等”，以下是小华解答的部分内容（缺少图形和证明过程）．请你把缺少内容补充完整．已知：点P在∠AOB的角平分线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE．【分析】结合已知条件，根据全等三角形的判定定理，推出△POD≌△POE即可．【解答】证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠POD=∠POE，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°，在△POD与△POE中，，∴△POD≌△POE，∴PD=PE．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解题的关键在于找到对应角相等、公共边．6．（2016•历下区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE 垂直平分AB于D，求证：BE+DE=AC．【分析】根据角平分线性质得出CE=DE，根据线段垂直平分线性质得出AE=BE，代入AC=AE+CE求出即可．【解答】证明：∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵ED⊥AB，BE平分∠ABC，∴CE=DE，∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵AC=AE+CE，∴BE+DE=AC．【点评】本题考查了角平分线性质和线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．7．（2016•萧山区二模）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，求证：AD是BC的中垂线．【分析】由AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质，可得DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，继而证得Rt△BED≌Rt △CFD，则可得∠B=∠C，证得AB=AC，然后由三线合一，证得AD是BC的中垂线．【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴∠B=∠C，∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴AD是BC的中垂线．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握三线合一性质的应用．8．（2016•怀柔区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．求证：∠CAB=∠AED．【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE，∠ADE=90°，∴∠EAB=∠B．在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠CAB+∠B=90°．在Rt△ADE中，∵∠ADE=90°，∴∠AED+∠EAB=90°，∴∠CAB=∠AED．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．9．（2016•长春二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC 的度数．【分析】首先由AB=AC，利用等边对等角和∠A的度数求出∠ABC和∠C的度数，然后由BD是∠ABC的平分线，利用角平分线的定义求出∠DBC的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BDC的度数．【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=∠ABC=35°，∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=75°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解答本题的关键是正确识图，利用等腰三角形的性质：等边对等角求出∠ABC与∠C的度数．10．（2016•东城区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）．ACB=70°，由角平分线的性质得到∠ABD=∠CBD=35°，根据平行线的性质得到∠E=∠EAB=35°，于是得到结论．【解答】解：∠EAC=75°，∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=35°，∵AE∥BD，∴∠E=∠EAB=35°，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=75°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义．注意等边对等角定理的应用．11．（2016•怀柔区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC点的中线，E是AC的中点，连接AC，DF⊥AB于F．求证：∠BDF=∠ADE．CAD，∠ADB=∠ADC=90°，根据等腰三角形的判定定理得到∠CAD=∠ADE．根据余角的性质得到∠BAD=∠BDF，等量代换即可得到结论．【解答】证明：∵AB=AC，AD是△ABC点的中线，∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，∵E是AC的中点，∴DE=AE=EC，∴∠CAD=∠ADE．在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°．∵DF⊥AB，∴∠B+∠BDF=90°，∴∠BAD=∠BDF，∴∠BDF=∠CAD，∴∠BDF=∠ADE，【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．12．（2016•西城区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=．求证：AB平分∠EAD．【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=BC，AD⊥BC根据角平分线的判定定理即可得到结论．．【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴BD=BC，AD⊥BC，∵BE=BC，∴BD=BE，∵AE⊥BE，∴AB平分∠EAD．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．13．（2016•门头沟区一模）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．【分析】根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到∠CDE=30°是正确解答本题的关键．14．（2016•吉林校级二模）如图，等边三角形ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，点F在BC延长线上，且CF=，求四边形DEFB 的面积．【分析】由三角形的中位线定理得到DE=CF，DE∥CF，证得四边形DEFC是平行四边形，即可证得S△ECF=S△DEC=S△ADE，即可证得S四边形DEFB=S△ABC，求得△ABC的面积即可．【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE=BC，DE∥BF，∵CF=，∴DE=CF，DE∥CF，∴四边形DEFC是平行四边形，∴S△ECF=S△DEC=S△ADE，∵△ABC是等边三角形，D是AB的中点，∴CD⊥AB，AD=BD=1，BC=2，∴DC==∴S 四边形DEFB=S△ABC=×2×=．【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，证得S△ECF=S△DEC=S△ADE是本题的关键．15．（2016•门头沟区二模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AE为BC边上的中线．求证：△ABE是等边三角形．【分析】根据直角三角形的性质得出AE=BE=CE=AB，即可得出答案．【解答】证明：∵∠BAC=90°，∠C=30°，∴AB=BC，∵AE为BC边上的中线，∴AE=BE=CE，∴AB=AE=BE，∴△ABE是等边三角形．【点评】本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形．16．（2016•泗水县一模）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处．（1）求证：B′E=BF；（2）若AE=3，AB=4，求BF的长．【分析】（1）根据折叠的性质以及平行线的性质可以证明∠B'FE=∠B'EF，根据等角对等边证明B'E=B'F，然后根据折叠的性质可证得；（2）直角△A'B'E中利用勾股定理求得B'E的长，然后根据（1）的结论即可求解．【解答】（1）证明：∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠B'EF=∠EFB，又∵∠B'FE=∠EFB，∴∠B'FE=∠B'EF，∴B'E=B'F，又∵BF=B'F，∴B'E=BF；（2）解：∵直角△A'B'E中，A'B'=AB=4，∴B'E===5，∴BF=N'E=5．【点评】本题考查了折叠的性质以及勾股定理，在折叠的过程中认识到相等的角和相等的边是关键．17．（2016•北京一模）如图1，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究“筝形”的性质和判定方法．小聪根据学习四边形的经验，对“筝形”的判定和性质进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）如图2，连接筝形ABCD的对角线AC，BD交于点O，通过测量边、角或沿一条对角线所在直线折叠等方法探究发现筝形有一组对角相等，请写出筝形的其他性质（一条即可）：对角线互相垂直，这条性质可用符号表示为：已知四边形ABCD是筝形，则AC⊥BD．；（2）从边、角、对角线或性质的逆命题等角度进行探究，写出筝形的一个判定方法（定义除外），并证明你的结论．【分析】（1）根据筝形的定义可以证明△BAC ≌△DAC，依据全等三角形的性质即可证得边和对角线的关系；（2）利用△BAC≌△DAC，根据边、角、对角线的性质证得．【解答】解：（1）筝形的性质：两组邻边分别相等；对角线互相垂直，即已知四边形ABCD是筝形，则AC⊥BD；有一条对角线被另一条平分；有一条对角线平分对角；是轴对称图形．（写出一条即可）；故答案是：对角线互相垂直；已知四边形ABCD 是筝形，则AC⊥BD；（2）筝形的判定方法：有一条对角线平分一组对角的四边形是筝形．已知：四边形ABCD中，AC是一条对角线，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA．求证：四边形ABCD是筝形．证明：在△BAC和△DAC中，，∴△BAC≌△DAC，∴AB=AD，BC=CD，即四边形ABCD是筝形．其他正确的判定方法：有一条对角线垂直平分令一条对角线的四边形是筝形；有一组邻边相等且互相垂直的四边形是筝形．【点评】本题考查了图形的对称以及全等三角形的判定，正确证明△BAC≌△DAC是解决本题的关键．18．（2016•拱墅区二模）如图，已知等腰直角△ABC，∠A=90°．（1）利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC 于点D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若将（1）中的△ABD沿BD折叠，则点A 正好落在BC边上的A1处，当AB=1时，求△A1DC的面积．【分析】（1）利用尺规作出∠ABC的平分线BD 即可．（2）首先利用勾股定理求出BC，再求出A1C，根据△A 1DC的面积=•A1C•A1D计算即可．【解答】解：（1）∠ABC的平分线BD，交AC 于点D，如图所示，（2）在RT△ABC中，∵∠A=90°，AC=BC=1，∴BC=，∵AB=A1B=AC=1，∴A 1C=，∵∠C=45°，∠DA1C=90°，∴∠C=∠A1DC=45°∴△A1DC是等腰直角三角形，∴=．【点评】本题考查尺规作图、翻折变换、勾股定理、三角形面积等知识，熟练掌握基本尺规作图是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．19．（2016春•吉州区期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=CM，BN=CN，然后求出△CMN的周长=AB；（2）根据三角形的内角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根据等边对等角可得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC 和BC，∴AM=CM，BN=CN，∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，∵△CMN的周长为15cm，∴AB=15cm；（2）∵∠MFN=70°，∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，∵AM=CM，BN=CN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，（2）整体思想的利用是解题的关键．20．（2016春•金堂县期末）如图，已知：AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC，EF相交于点M，有AM=CM．（1）求证：AE∥CF；（2）若AM平分∠FAE，求证：FE垂直平分AC．【分析】（1）先根据AB∥CD得出∠BAC=∠DCA，再由∠BAE=∠DCF可知∠EAM=∠FCM，故可得出结论；（2）先由AM平分∠FAE得出∠FAM=∠EAM，再根据∠EAM=∠FAM可知∠FAM=∠FCM，故△FAC是等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，又∵∠BAE=∠DCF，∴∠EAM=∠FCM，∴AE∥CF；（2）证明：∵AM平分∠FAE，∴∠FAM=∠EAM，又∵∠EAM=∠FCM，∴∠FAM=∠FCM，∴△FAC是等腰三角形，又∵AM=CM，∴FM⊥AC，即EF垂直平分AC．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．21．（2016春•滕州市期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC=15cm，△BCE的周长等于25cm．（1）求BC的长；（2）若∠A=36°，并且AB=AC．求证：BC=BE．【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△BCE的周长=AC+BC，再求解即可；（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠C=72°，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，根据等边对等角可得∠ABE=∠A，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BEC=72°，从而得到∠BEC=∠C，然后根据等角对等边求解．【解答】（1）解：∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，∴AE=BE，∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，∵AC=15cm，∴BC=25﹣15=10cm；（2）证明：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A，由三角形的外角性质得，∠BEC=∠A+∠ABE=36°+36°=72°，∴∠BEC=∠C，∴BC=BE．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，综合题难度不大，熟记各性质并准确识图是解题的关键．22．（2016春•淅川县期末）如图，已知：在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，△BDE是正三角形．求∠C的度数．【分析】本题首先由等边三角形的性质及垂直定义得到∠DBE=60°，∠BEC=90°，再根据等腰三角形的性质可以得出∠EBC=∠ABC﹣60°=∠C﹣60°，最后根据三角形内角和定理得出关系式∠C﹣60°+∠C=90°解出即可．【解答】解：∵△BDE是正三角形，∴∠DBE=60°；∵在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，∴∠C=∠ABC=∠ABE+∠EBC则∠EBC=∠ABC﹣60°=∠C﹣60°，∠BEC=90°；∴∠EBC+∠C=90°，即∠C﹣60°+∠C=90°解得∠C=75°．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及等边三角形的性质及垂直定义，解题的关键是根据三角形内角和定理列出符合题意的简易方程，从而求出结果．23．（2016春•罗湖区期末）上午8时，一条船从A处出发以30海里/时的速度向正北航行，12时到达B处．测得∠NAC=32°，∠ABC=116°．求从B处到灯塔C的距离？【分析】根据已知条件“上午8时，一条船从A 处出发以30海里/时的速度向正北航行，12时到达B处”可以求得AB=120海里，然后根据三角形的内角和定理求得∠C=32°，所以△ABC是等腰三角形；最后由等腰三角形的两腰相等的性质来求从B处到灯塔C的距离．【解答】解：根据题意，得AB=30×4=120（海里）；在△ABC中，∠NAC=32°，∠ABC=116°，∴∠C=180°﹣∠NAC﹣∠ABC=32°，∴∠C=∠NAC，∴BC=AB=120（海里），即从B处到灯塔C的距离是120海里．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方向角．解答该题时充分利用了三角形的内角和定理．24．（2016春•埇桥区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°．（1）求∠NMB的度数；（2）如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明之．【分析】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ABC的度数，又由AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，即可求得答案；（2）由在△ABC中，AB=AC，∠A=70°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ABC的度数，又由AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，即可求得答案；（3）由在△ABC中，AB=AC，根据等腰三角形的性质，即可用∠A表示出∠ABC，又由AB点M，即可求得答案．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=20°；（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=70°，∴∠ABC=∠ACB=55°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=35°；（3）∠NMB=∠A．理由：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=，长线于点M，∴MN⊥AB，∴∠NMB=90°﹣∠ABC=∠A．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．25．（2016春•高平市期末）已知a、b满足方程组（1）求a，b的值；（2）若a、b是一个等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长．【分析】（1）直接利用加减消元法，即可求得a，b的值；（2）分别从若7为腰长，2为底边长与若2为腰长，7为底边长，去分析求解即可求得答案．【解答】解：（1），①+3②得：10a=70，解得：a=7，把a=7代入2a+b=16，得：b=2，∴；（2）①若7为腰长，2为底边长，则周长为：7×2+2=16；②若2为腰长，7为底边长，∵2+2＜7，∴不能组成三角形，舍去；∴这个等腰三角形的周长为16．【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及二元一次方程组的解法．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．26．（2016春•张家港市期末）若关于x、y的二元一次方程组的解都为正数．（1）求a的取值范围；（2）化简|a+1|﹣|a﹣1|；（3）若上述二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和一条底边的长，且这个等腰三角形的周长为9，求a的值．【分析】（1）先解方程组用含a的代数式表示x，y的值，再代入有关x，y的不等关系得到关于a 的不等式求解即可；（2）根据绝对值的定义即可得到结论；（3）首先用含m的式子表示x和y，由于x、y 的值是一个等腰三角形两边的长，所以x、y可能是腰也可能是底，依次分析即可解决，注意应根据三角形三边关系验证是否能组成三角形．【解答】解：（1）解得∴，∵若关于x、y的二元一次方程组的解都为正数，∴a＞1；（2）∵a＞1，∴|a+1|﹣|a﹣1|=a+1﹣a+1=2；（3）∵二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和一条底边的长，这个等腰三角形的周长为9，∴2（a﹣1）+a+2=9，解得：a=3，∴x=2，y=5，不能组成三角形，∴2（a+2）+a﹣1=9，解得：a=2，∴x=1，y=5，能组成等腰三角形，∴a的值是2．【点评】主要考查了方程组的解的定义和不等式的解法．理解方程组解的意义用含m的代数式表示出x，y，找到关于x，y的不等式并用a表示出来是解题的关键．27．（2016春•吉林期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E是边AB的中点，连接DE，若AD=12，BC=10，求DE的长．【分析】先根据勾股定理求得AC的长，根据条件可知DE是△ABC的中位线，所以利用中位线定理可知DE的长．【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∴CD=BC=5，∵AD=12，∴在Rt△ADC中，AC==13，。
轴对称练习题及答案
轴对称练习题及答案一、选择题1. 以下哪个图形是轴对称图形？A. 圆形B. 三角形C. 正方形D. 五边形2. 轴对称图形的对称轴与图形的对称点之间的关系是：A. 垂直B. 平行C. 相交D. 重合3. 一个轴对称图形的对称点到对称轴的距离是：A. 相等B. 不相等C. 有时相等有时不相等D. 无法确定4. 如果一个图形关于x轴对称，那么它的对称点的坐标关系是：A. (x,y)和(x,-y)B. (x,y)和(-x,y)C. (x,y)和(-x,-y)D. (x,y)和(y,x)5. 一个点关于y轴的对称点的坐标是：A. (-x,y)B. (x,-y)C. (-y,x)D. (y,-x)二、填空题1. 轴对称图形的对称轴是图形中所有对称点的________。
2. 如果一个图形关于y轴对称，那么它的对称点的坐标关系是(x,y)和________。
3. 一个图形关于原点对称，那么它的对称点的坐标关系是(x,y)和________。
三、解答题1. 已知点A(3,4)，求点A关于x轴的对称点的坐标。
2. 已知点B(-2,-3)，求点B关于y轴的对称点的坐标。
3. 已知点C(1,-1)，求点C关于原点的对称点的坐标。
四、判断题1. 所有矩形都是轴对称图形。
（）2. 所有等腰三角形都是轴对称图形。
（）3. 所有等边三角形都是轴对称图形。
（）4. 所有平行四边形都是轴对称图形。
（）五、综合题1. 给出一个等腰梯形的上底长为4cm，下底长为8cm，高为3cm，求等腰梯形的对称轴。
2. 如果一个矩形的长为10cm，宽为6cm，求矩形关于x轴对称后，新的矩形的长和宽。
3. 已知一个正方形的边长为5cm，求正方形关于y轴对称后，新正方形的边长。
答案：一、选择题1. A2. D3. A4. A5. A二、填空题1. 连线中点2. (-x,y)3. (-x,-y)三、解答题1. 点A关于x轴的对称点的坐标为(3,-4)。
典型的轴对称图形练习题(带答案)
典型的轴对称图形练习题一、选择题1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（ ）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形. 其中是轴对称图形有（ ）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OA 对称，P 2与P 关于OB 对称，则△P 1OP 2是 （ ） A ．含30°角的直角三角形； B ．顶角是30的等腰三角形；C ．等边三角形D ．等腰直角三角形.4．如图：等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则 ∠APE 的度数是 （ ） A ．45° B ．55° C ．60° D ．75°5. 等腰梯形两底长为4cm 和10cm ，面积为21cm 2，则 这个梯形较小的底角是（ ）度. A ．45° B ．30° C ．60° D ．90° 6．已知点P 在线段AB 的中垂线上，点Q 在线段AB 的中垂线外，则 （ ） A ．PA+PB ＞QA+QB B ．PA+PB ＜QA+QB D ．PA+PB ＝QA+QB D ．不能确定7．已知△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线MN 对称，且BC 与B 1C 1交与直线MN 上一点O ， 则 （ ） A ．点O 是BC 的中点 B ．点O 是B 1C 1的中点 C ．线段OA 与OA 1关于直线MN 对称 D ．以上都不对8．如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD= （ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1 9．∠AOB 的平分线上一点P 到OA 的距离 为5，Q 是OB 上任一点，则 （ ） A ．PQ ＞5 B ．PQ≥5C ．PQ ＜5D ．PQ≤510．等腰三角形的周长为15cm ，其中一边长为3cm ．则该等腰三角形的底长为 （ ） A ．3cm 或5cm B ．3cm 或7cm C ．3cm D ．5cm 二．填空题11．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴． 12．等腰△ABC 中，若∠A=30°，则∠B=________．AO PAECB D13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若CD=4，则点D 到AB 的距离是__________． 14．等腰△ABC 中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB 上的高等于___________． 15．如图：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=6，AD=5，BC=8，且AB ∥DE ，则△DEC的周长是____________．16．等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10且有一底角为60°，则它的两底长分别为____________．17．若D 为△ABC 的边BC 上一点，且AD=BD ，AB=AC=CD ， 则∠BAC=____________．18．△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，若∠BAC=115°，则∠EAF=___________． 三．解答题19．如图：已知∠AOB 和C 、D 两点，求作一点P ，使PC=PD ，且P 到∠AOB 两边的距离相等．20．如图：AD 为△ABC 的高，∠B=2∠C ，用轴对称图形说明：CD=AB+BD ．21．有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD=30cm,BE=20cm ，∠BEG=60°，求折痕EF 的长．OB22．如图：△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D，①若△BCD的周长为8，求BC的长；②若BC=4，求△BCD的周长．23．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．参考答案第一章轴对称图形1．A 2．B 3．C 4．C5．A6．D7．C8．C9．B10．C 11．212．30°、75°、120°13．414．515．1516．4、617．72°18．50°19．提示：作CD的中垂线和∠AOB的平分线，两线的交点即为所作的点P；20．提示：在CD上取一点E使DE＝BD，连结AE；21．EF＝20㎝；22．①BC＝3，②9；23．提示：△APQ为等边三角形，先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°即可.。
轴对称图形典型例题
轴对称图形典型例题例1 如下图，已知，PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，且PB ＝PC ，D 是AP 上一点．求证：∠BDP ＝∠CDP ．证明：∵ PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，且PB ＝PC ，∴ ∠PAB ＝∠PAC （到角两边距离相等的点在这个角平分线上），∵ ∠APB ＋∠PAB ＝90°，∠APC ＋∠PAC ＝90°，∴ ∠APB ＝∠APC ，在△PDB 和△PDC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠= PD PD APC APB PC PB .，，∴ △PDB ≌△PDC （SAS ），∴ ∠BDP ＝∠CDP ．（图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等）注 利用角平分线定理的逆定理，可以通过距离相等直接得到角相等，而不用再证明两个三角形全等．例2 已知如下图（1），在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD ＝CD ，BD 平分∠ABC ．求证：∠A ＋∠C ＝180°．（1）证法一：过D 作DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC 于F ，∵ BD 平分∠ABC ，∴ DE ＝DF ，在Rt △EAD 和Rt △FCD 中，⎩⎨⎧==.DF DE DC AD ，（角平分线是常见的对称轴，因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明．） ∴ Rt △EAD ≌Rt △FCD （HL ），∴ ∠C ＝∠EAD ，∵ ∠EAD ＋∠BAD ＝180°，∴ ∠A ＋∠C ＝180°．证法二：如下图（2），在BC 上截取BE ＝AB ，连结DE ，证明△ABD ≌△EBD 可得．（2）证法三：如下图（3），延长BA 到E ，使BE ＝BC ，连结ED ，以下同证法二．（3）注 本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，关键是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法．例3 已知，如下图，AD 为△ABC 的中线，且DE 平分∠BDA 交AB 于E ，DF 平分∠ADC 交AC 于F ．求证：BE ＋CF ＞EF ．证法一：在DA 截取DN ＝DB ，连结NE 、NF ，则DN ＝DC ，在△BDE 和△NDE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.DE DE NDE BDE ND BD ，，（遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解题）∴ △BDE ≌△NDE （SAS ），∴ BE ＝NE （全等三角形对应边相等），同理可证：CF ＝NF ，在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF （三角形两边之和大于第三边），∴ BE ＋CF >EF ．证法二：延长ED 至M ，使DM ＝ED ，连结CM 、MF ，在△BDE 和△CDM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.DM DE CDM BDE CD BD ，，（从另一个角度作辅助线）∴ △BDE ≌△NDE （SAS ），∴ CM ＝BE （全等三角形对应边相等），又∵ ∠BDE =∠A DE ，∠ADF ＝∠CDF ，而∠BDE ＋∠ADE ＋∠ADF ＋∠CDF ＝180°，∴ ∠ADE +∠ADF ＝90°，即∠EDF ＝90°，∴ ∠FDM ＝∠EDF ＝90°，在△EDF 和△MDF 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.DF DF MDF EDF MD ED ，，∴ △EDF ≌△MDF （SAS ），∴ EF ＝MF （全等三角形对应边相等），在△CMF 中，CF ＋CM >EF ，∴ BE ＋CF >EF ．注 本题综合考察角平分线、中线的意义，关键是如何使题中的分散的条件集中．例4 已知，如下图，P 、Q 是△ABC 边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ．求：∠BAC 的度数．解：∵ AP ＝PQ ＝AQ （已知），∴∠APQ＝∠AQP＝∠PAQ＝60°（等边三角形三个角都是60°），∵AP＝BP（已知），（注意观察图形和条件）∴∠PBA＝∠PAB（等边对等角），∴∠APQ＝∠PBA＋∠PAB＝60°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和），∴∠PBA＝∠PAB＝30°，同理∠QAC＝30°，∴∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠QAC＝30°＋60°＋30°＝120°．注本题考察等腰三角形、等边三角形的性质，关键是掌握求角的步骤：（1）利用等边对等角得到相等的角；（2）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和得各角之间的关系；（3）利用三角形内角和定理列方程．例5 已知，如下图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC．求证：∠F＝∠A．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB（等边对等角），∵EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∴∠ACB＝∠EDB（等量代换），∴ED∥AC（同位角相等，两直线平行），在△BDE和△AED中，BE＝AE=ED，连结AD可得，∠EAD＝∠EDA，∠EBD＝∠EDB，∠EDA＋∠EDB＝90°，即AD⊥BC，∴∠EDA＋∠EDB＝90°，即AD⊥BC，（用什么定理判定三角形全等的？）∴D为BC的中点，∴△BDE≌△CDF，∴∠BED＝∠F，而∠BED＝∠A，∴∠F＝∠A．例6 已知，如下图，△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE．求证：EF⊥BC．证法一：作BC边上的高AD，D为垂足，∴ ∠BAD ＝∠CAD（等腰三角形三线合一），又∵ ∠BAC ＝∠E ＋∠AFE ，∠AEF ＝∠AFE ，∴ ∠CAD ＝∠E ，∴ AD ∥EF ，∵ AD ⊥BC ，∴ EF ⊥BC ．证法二：过A 作AG ⊥EF 于G ，∵ ∠AEF ＝∠AFE ，AG ＝AG ，∠AGE ＝∠AGF ＝90°，∴ △AGE ≌△AGF （ASA ），∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ，又∠EAF ＝∠B ＋∠C ，（请对比多种证法的优劣）∴ ∠EAG ＋∠GAF ＝∠B ＋∠C ，∴ ∠EAG ＝∠C ，∴ AG ∥BC ，∵ AG ⊥EF ，∴ EF ⊥BC ．证法三：过E 作EH ∥BC 交BA 的延长线于H ，∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ，∴ ∠H ＝∠B ＝∠C ＝∠AEH ，∵ ∠AEF ＝∠AFE ，∠H ＋∠AFE ＋∠FEH ＝180°，∴ ∠H ＋∠AEH ＋∠AEF ＋∠AFE ＝180°，∴ ∠AEF ＋∠AEH ＝90°，即∠FEH ＝90°，∴ EF ⊥EH ，又EH ∥BC ，∴ EF ⊥BC ．证法四：延长EF 交BC 于K ，∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ，∴ ∠B ＝21（180°－∠BAC ），∵ ∠AEF ＝∠AFE ，∴ ∠AFE ＝21（180°－∠EAF ），∴ ∠BFK ＝21（180°－∠EAF ），∴ ∠B ＋∠BFK ＝21（180°－∠BAC ）＋21（180°－∠EAF ）∵ ＝21[360°－（∠EAF ＋∠BAC ）]，∴ ∠EAF ＋∠BAC ＝180°，∴ ∠B ＋∠BFK ＝90°，即∠FKB ＝90°，∴ EF ⊥BC ．注 本题考察等腰三角形性质的应用，解题的关键是通过添加辅助线，建立EF 与BC 的联系，仔细体会以上各种不同的添加辅助线的方法．例7 如下图，AB ＝AC ，DB ＝DC ，P 是AD 上一点．求证：∠ABP ＝∠ACP ．证明：连结BC ，∵ AB ＝AC （已知），∴ ∠ABC ＝∠ACB （等边对等角），又∵ 点A 、D 在线段BC 的垂直平分线上（与线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），而两点确定一条直线， ∴ AD 就是线段BC 的垂直平分线，∴ PB ＝PC （线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），∴ ∠PBC ＝∠PCB （等边对等角），（线段垂直平分线的性质）∴ ∠ABC －∠PBC ＝∠ACB －∠PCB （等式性质），即∠ABP ＝∠ACP ．注 本题若用三角形全等，至少需要证两次，现用线段垂直平分线的判定和性质，就显得比较简洁．例8 如下图，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC 于E ，若△ABC 的周长为28，BC ＝8，求△BCE 的周长．解：∵ 等腰△ABC 的周长＝28，BC ＝8，∴ 2AC ＋BC ＝28，∴ AC ＝10， （理由是什么？）∵ DE 垂直平分AB ，∴ AE ＝BE ，∴ △BCE 的周长＝BE ＋EC ＋BC＝AE ＋EC ＋BC＝AC ＋BC ＝10＋8＝18．注 本题考察线段垂直平分线的性质定理的运用，关键是运用线段垂直平分线的性质得到线段的等量关系．例9 已知，如下图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，EF 为AB 的垂直平分线，EF 交BC于F ，交AB 于E ，求证：FC BF 21=．证法一：连结AF ，则AF ＝BF ，∴ ∠B ＝∠FAB （等边对等角），∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C （等边对等角），∵ ∠BAC ＝120°，∴ ∠B ＝∠C ＝302180=∠-BAC （三角形内角和定理），∴ ∠FAB ＝30°，∴ ∠FAC ＝∠BAC －∠FAB ＝120°－30°＝90°，又∵ ∠C ＝30°，（线段的垂直平分线是常见的对称轴之一）∴ FC AF 21=（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴FC BF 21=．证法二：连结AF，过A作AG∥EF交FC于G，∵EF为AB的垂直平分线，∴AF＝BF，又∵∠B＝30°，∴∠AFG＝60°，∠BAG＝90°，∴∠A G B＝60°，△AFG为等边三角形，又∵∠C＝30°，∴∠G AC＝30°，∴AG＝GC，（构造等边三角形是证明线段相等的一种好方法）∴BF＝FG＝GC＝FC21．例10 已知，如下图，AB⊥BC，CD⊥BC，∠AMB＝75°，∠DMC＝45°，AM＝MD．求证：AB＝BC．思路分析从结论分析，要证AB＝BC，可连结AC，使BC与AB能落在一个三角形内，再看∠BAC与∠BCA能否相等？证明：连结AC，交DM于H，∵∠AMB＝75°，∠DMC＝45°（已知），∴∠AMD＝60°（平角定义）又∵AM＝MD，∴△AMD为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），∴AM＝AD（等边三角形三边相等），∵CD⊥BC，∴∠DCM＝90°，∵∠DMC＝45°，∴∠MDC＝45°（三角形内角和定理），∴CD＝CM（等角对等边），∴AC是DM的垂直平分线（和线段两端点等距离的点，在线段的垂直平分线上），∴∠MHC＝90°，∴∠HCM＝45°，∵∠B＝90°，∴∠BAC＝45°，∴AB＝BC（等角对等边）．【典型热点考题】例1 如图7—15，等腰△ABC的对称轴与底边BC相交于点D，请回答下列问题：(1)AD是哪个角的平分线；(2)AD是哪条线段的垂直平分线；(3)有哪几条相等的边；(4)有哪几对相等的角．点悟：本题主要考查等腰三角形的所有特征．所以应该根据等腰三角形是轴对称图形的性质来解答问题．解：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是它的对称轴．(1)AD是顶角∠BAC的平分线．(2)AD是线段BC的垂直平分线．(3)AB＝AC，BD＝DC．(4)∠BAD＝∠CAD，∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ADC．例2 如图7—16，已知PB⊥AB，PC⊥AC，且PB＝PC，D是AP上一点．求证：∠BDP＝∠CDP．点悟：利用三角形全等证明两个角相等最直观，但因为图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形全等同样可以，证明：∵ PB⊥AB，PC⊥AC，且PB＝PC，∴ ∠PA B＝∠PAC(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)．∵ ∠APB＋∠PAB＝90°，∠APC＋∠PAC＝90°，∴ ∠APB＝∠APC．在△PDB和△PDC中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=PD PD APC APB PC PB ∴ △PDB ≌△PDC(SAS)∴ ∠BDP＝∠CDP．例3 如图7—17，先找出下列各图形中的轴对称图形，再画出它们的对称轴(有几条，画几条)．点悟：先确定是否是轴对称图形，如果是轴对称图形，就将它们的对称轴全部画出来． 解：(1)是，它有3条对称轴．(2)是，它有2条对称轴．(3)是，它有2条对称轴．(4)是，它只有一条对称轴．(5)它不是轴对称图形，故没有对称轴．(6)它是轴对称图形，有一条对称轴．图均略．例4 如图7—18，△ABC 中，AB ＝AC ，D 在BC 上，且BD ＝AD ，DC ＝AC ，将图中的等腰三角形全部写出来，并求出∠B 的度数．点悟：图中共有三个等腰三角形，要将它们一一写出来，不能遗漏．在计算∠B 的度数时，要充分利用三角形的一个外角等于它的两个不相邻的两个内角的和．解：图中共有三个等腰三角形，它们分别是：△ABC，△ABD，△CAD．设∠B＝x ，则∠C＝x ＝∠BAD，∠ADC＝∠DAC＝2x ．∴ ∠B＋∠C＋∠BAC＝∠B＋∠C＋∠BAD＋∠DAC＝x ＋x ＋x ＋2x ＝5x ＝180° ∴ ︒=︒==∠365180x B ．例5 如图7—19，在金水河的同一侧居住两个村庄A 、B ．要从河边同一点修两条水渠到A 、B 两村浇灌蔬菜，问抽水站应修在金水河MN 何处两条水渠最短?点悟：先将具体问题抽象成数学模型．河流为直线MN ，在直线MN 的同一侧有A 、B 两点．在直线MN 上找一点P ，使P 点到A 、B 两点的距离之和为最小．这里就要充分运用轴对称图形的性质加以解决．解：如图7—19所示．作B 点关于直线MN 的对称点B′，连结AB′，与MN 相交于P ，则P 点即为所求．事实上，如果不是P 点而是P '点时，则连结B P 、P A ''和B P ''．由轴对称性知道，B P PB B P B P '=''=',，所以P '到A 、B 的距离之和，B P P A B P P A ''+'='+'，而P 到A 、B 的距离之和B A B P AP PB AP '='+=+在'P B A '∆中，三角形两边之和大于第三边，B A B P P A '>''+'所以P 点即为所求的点．例6 如图7—20，已知，AD 为△ABC 的中线，且DE 平分∠BDA 交AB 于E ，DF 平分∠ADC 交AC 于F ．求证：BE ＋CF ＞EF ．点悟：遇到角平分线就可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解决问题． 证法一：在DA 上截取DN ＝DB ．连结NE 、NF ．则DN ＝DC ．在△BDE 和△NDE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DE DE NDE BDE ND BD ∴ △BDE ≌△NDE．∴ BE＝NE ．同理可得，CF ＝NF ．在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF(三角形两边之和大于第三边)．∴ BE＋CF ＞EF ．证法二：如图7—21，延长DE 至M ，使DM ＝ED ，连结CM 、MF ．在△BDE 和△CDM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DM DE CDM BDE CD BD∴ △BDE ≌△CDM(SAS)．∴ CM＝BE(全等三角形对应边相等)又∵ ∠BDE＝∠ADE，∠ADF＝∠CDF，而∠BDE＋∠ADE＋∠ADF＋∠CDF＝180°∴ ∠ADE＋∠ADF＝90°，即∠EDF＝90°．∴ ∠FDM＝∠EDF＝90°．在△EDF 和△MDF 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DF DF MDF EDF MD ED ∴ △EDF ≌△MDF(SAS)∴ EF＝MF(全等三角形对应边相等)．在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF ，∴ BE＋CF ＞EF ．点拨：本题综合考查角平分线，中线的意义，三角形全等及线段之间的等量关系，关键是要把题目中的已知条件集中巧妙应用．【易错例题分析】例 已知如图7—22，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD ＝CD ，BD 平分∠ABC．求证：∠A＋∠C＝180°．证法一：如图7—22，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC于F．∵ BD平分∠ABC，∴ DE＝DF在Rt△EAD和Rt△FCD中，∵ AD＝DC，DE＝DF，∴ Rt△EAD≌Rt△FCD(HL)∴ ∠C＝∠EAD，∵ ∠EAD＋∠BAD＝180°，∴ ∠A＋∠C＝180°．证法二：如图7—23，在BC上截BE＝AB，连结DE，证明△ABD≌△EBD可得．证法三：延长BA到E，使BE＝BC，连结ED，以下同证法二，如图7—24．警示：本题直接加以证明则不可能，需要巧妙的添加适当的辅助线，不会添加辅助线或添加不适当的辅助线则是最常见的误区．本题是用一个角的平分线上任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，添加辅助线的方法有多种情况，应该很好感悟尽快掌握．。
六年级轴对称图形练习题
六年级轴对称图形练习题轴对称图形是六年级数学学科中的重要概念，掌握轴对称图形的性质和特点对于学生的数学发展至关重要。
本文将为同学们提供一些轴对称图形的练习题，帮助学生加深对该概念的理解和应用。
练习题一：轴对称图形判断判断下列图形是否具有轴对称性，并在答题纸上标明对称轴的位置。
1. 正方形2. 矩形3. 正三角形4. 等腰梯形5. 长方形6. 椭圆7. 菱形8. 长方形9. 圆形练习题二：轴对称图形的完善在下列图形中完成对称图形的绘制，并标出对称轴。
1. 给定一条对称轴，画出一个与给定图形关于该对称轴完全对称的图形。
2. 给定一个点作为对称轴的起点，绘制一个与给定图形关于该点对称的图形。
练习题三：轴对称图形的构造1. 已知一张图片，找出该图片中的轴对称图形，并将其标记出来。
2. 给定某个点，利用直尺和画圆工具构造以该点为轴对称轴的图形。
练习题四：轴对称图形的特性回答下列问题，并说明理由。
1. 一个图形是否可以同时具备多个轴对称轴？2. 一个非对称图形是否可能存在对称轴？3. 轴对称图形具有哪些特点？请举例说明。
练习题五：轴对称图形的应用1. 举例说明轴对称图形在日常生活中的应用，并附上相关图片。
2. 利用轴对称图形的性质，设计一个寓教于乐的游戏或者谜题，描述规则并给出解答。
以上是一些针对六年级轴对称图形的练习题，希望能够帮助同学们提高对轴对称性的理解和应用能力。
通过不断练习和思考，相信同学们能够在数学学科中取得更好的成绩，并在日常生活中灵活运用轴对称图形的知识。
加油！。
八年级第十三章轴对称典型例题
八年级第十三章轴对称典型例题一、关于轴对称图形概念的例题。
例题1：下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 平行四边形。
B. 三角形。
C. 梯形。
D. 正方形。
解析：1. 首先分析平行四边形，沿任何一条直线对折后，直线两侧的部分都不能完全重合，所以平行四边形不是轴对称图形。
2. 三角形有多种类型，一般三角形不是轴对称图形，但等腰三角形和等边三角形是轴对称图形，这里说三角形太笼统，不能确定是轴对称图形。
3. 梯形中，一般梯形不是轴对称图形，等腰梯形是轴对称图形，这里说梯形不准确。
4. 正方形沿两条对角线所在直线以及两组对边中点连线对折，直线两侧的部分都能完全重合，所以正方形是轴对称图形。
答案为D。
例题2：正六边形的对称轴有（）条。
A. 3.B. 6.C. 9.D. 12.解析：1. 正六边形可以分别沿三组对边中点连线以及三条对角线所在直线对折后完全重合。
2. 所以正六边形的对称轴有6条。
答案为B。
二、线段垂直平分线性质的例题。
例题3：如图，在△ABC中，AB = AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为14，BC = 6，则AB的长为（）A. 4.B. 6.C. 8.D. 10.解析：1. 因为DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE = BE。
2. 已知△BCE的周长为14，即BE + EC+BC = 14。
3. 又因为AE = BE，所以AC+BC=14。
4. 已知BC = 6，所以AC = 14 - 6=8。
5. 因为AB = AC，所以AB = 8。
答案为C。
例题4：已知点P在直线l外，点A、B在直线l上，且PA = PB，则直线l与线段AB的关系是（）A. l垂直但不平分AB。
B. l平分但不垂直AB。
C. l垂直且平分AB。
D. l与AB相交但不一定垂直平分。
解析：1. 因为点P在直线l外，PA = PB，所以点P在线段AB的垂直平分线上。
2. 又因为两点确定一条直线，所以直线l是线段AB的垂直平分线。
轴对称图形-北京习题集-教师版
轴对称图形（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2019秋•丰台区期末）以下国产新能源电动车的车标图案不是轴对称图形的是()A．北汽新能源B．长城新能源C．东风新能源D．江淮新能源2．（2019秋•东城区期末）如图是33的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色．现在要从编号为①?④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是()A．①B．②C．③D．④3．（2019秋•顺义区期末）国有银行，是指由国家（财政部、中央汇金公司）直接管控的大型银行．下面是我国其中五个国有银行的图标，分别是中国工商银行、交通银行、中国农业银行、中国银行、中国建设银行，其中轴对称图形有()A．2个B．3个C．4个D．5个4．（2019秋•西城区期末）下列图案中，是轴对称图形的是()A．B．C．D．5．（2019秋•北京期末）下列图形中，对称轴条数最多的是()A．B．C．D．二．填空题（共7小题）6．（2018•朝阳区模拟）如果一个多边形是轴对称图形，那么这个多边形可以是（写出一个即可）．7．（2016•丰台区二模）如图，在棋盘中建立直角坐标系xOy，三颗棋子A，O，B的位置分别是(1,1)-，(0,0)和(1,0)．如果在其他格点位置添加一颗棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请写出所有满足条件的棋子C的位置的坐标：．8．（2015•怀柔区一模）下面有五个图形，与其它图形众不同的是第个．9．（2013秋•顺义区校级期中）请写出4个是轴对称图形的汉字：．10．（2010春•海淀区校级期末）在角、线段、等边三角形、钝角三角形中，轴对称图形有个．11．（2009秋•通州区期末）如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60︒，那么这个三角形是三角形．12．（2010春•北京校级期末）下列五种图形：①线段②角③平行四边形④正方形⑤等腰三角形，是轴对称图形的有．三．解答题（共3小题）13．（2019秋•西城区校级期中）下列各图中的单位小正方形的边长都等于1，并且都已经填充了一部分阴影，请再对每个图形进行阴影部分的填充，使得图1成为轴对称图形，使得图2成为至少有4条对称轴且阴影部分面积等于3的图形，使得图3成为至少有2条对称轴且面积不超过6的图形．14．（2011秋•海淀区校级期中）如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．15．（2019秋•石景山区期末）如图，在44⨯的正方形网格中，有5个黑色小正方形．（1）请你移动一个黑色小正方形，使移动后所形成的44⨯的正方形网格图形是轴对称图形．如：将8号小正方形移至14号；你的另一种做法是将号小正方形移至号（填写标号即可）；（2）请你移动2个小正方形，使移动后所形成的图形是轴对称图形，你的一种做法是将号小正方形移至号、将号小正方形移至号（填写标号即可）．轴对称图形（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2019秋•丰台区期末）以下国产新能源电动车的车标图案不是轴对称图形的是()A．北汽新能源B．长城新能源C．东风新能源D．江淮新能源【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．2．（2019秋•东城区期末）如图是33的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色．现在要从编号为①?④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是()A．①B．②C．③D．④【分析】利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．【解答】解：要从编号为①?④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是④，故选：D．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．3．（2019秋•顺义区期末）国有银行，是指由国家（财政部、中央汇金公司）直接管控的大型银行．下面是我国其中五个国有银行的图标，分别是中国工商银行、交通银行、中国农业银行、中国银行、中国建设银行，其中轴对称图形有()A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析可得答案．【解答】解：第一个图形、第三个图形、第四个图形都是轴对称图形，共3个，故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．4．（2019秋•西城区期末）下列图案中，是轴对称图形的是()A．B．C．D．【分析】结合轴对称图形的概念求解即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，本选项不合题意；B、不是轴对称图形，本选项不合题意；C、不是轴对称图形，本选项不合题意；D、是轴对称图形，本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（2019秋•北京期末）下列图形中，对称轴条数最多的是()A．B．C．D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、此图共有3条对称轴，故此选项不合题意；B、此图共有1条对称轴，故此选项不合题意；C、此图共有2条对称轴，故此选项不合题意；D、此图共有无数条对称轴，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．二．填空题（共7小题）6．（2018•朝阳区模拟）如果一个多边形是轴对称图形，那么这个多边形可以是 答案不唯一．如：正方形 （写出一个即可）．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答即可．【解答】解：如果一个多边形是轴对称图形，那么这个多边形可以是：答案不唯一．如：正方形．故答案为：答案不唯一．如：正方形．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．7．（2016•丰台区二模）如图，在棋盘中建立直角坐标系xOy ，三颗棋子A ，O ，B 的位置分别是(1,1)-，(0,0)和(1,0)．如果在其他格点位置添加一颗棋子C ，使A ，O ，B ，C 四颗棋子成为一个轴对称图形，请写出所有满足条件的棋子C 的位置的坐标： (1,2)-，(2,1)，(1,1)--，(0,1)- ．【分析】根据A ，B ，O ，C 的位置，结合轴对称图形的性质，进而画出对称轴即可．【解答】解：如图所示，C 点的位置为(1,2)-，(2,1)，A ，O ，B ，C 四颗棋子组成等腰梯形，直线l 为该图形的对称轴，C 点的位置为(1,1)--，x 轴是对称轴，C 点的位置为(0,1)-，故答案为：(1,2)-，(2,1)，(1,1)--，(0,1)-．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．8．（2015•怀柔区一模）下面有五个图形，与其它图形众不同的是第 ③ 个．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：第①②④⑤个图形是轴对称图形，第③个不是．故答案为：③．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．9．（2013秋•顺义区校级期中）请写出4个是轴对称图形的汉字：如中、日、土、甲等．【分析】根据轴对称图形的概念，以及汉字的特征求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．【解答】解：答案不唯一，如中、日、土、甲等．【点评】解答此题的关键是掌握轴对称图形的概念，以及汉字的特征．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．10．（2010春•海淀区校级期末）在角、线段、等边三角形、钝角三角形中，轴对称图形有3个．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对几个常见图形进行判断．【解答】解：角的平分线所在的直线就是对称轴，故此图形是轴对称图形，符合题意；线段的垂直平分线所在的直线是对称轴，故此图形是轴对称图形，符合题意；等边三角形每条边的垂直平分线是对称轴，故此图形是轴对称图形，符合题意；钝角三角形形状无法确定，故此图形不一定是轴对称图形，故不符合题意．故轴对称图形共有3个．故答案为：3．【点评】此题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．11．（2009秋•通州区期末）如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60︒，那么这个三角形是等边三角形．【分析】先得到轴对称三角形的特殊形状，进而判断三角形的形状即可．【解答】解：如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60︒，则它是等腰三角形，而有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形．【点评】轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．12．（2010春•北京校级期末）下列五种图形：①线段②角③平行四边形④正方形⑤等腰三角形，是轴对称图形的有①②④⑤．【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：线段、角、正方形、等腰三角形是轴对称图形；平行四边形不是轴对称图形．故是轴对称图形的有①②④⑤．故答案为：①②④⑤．【点评】掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．三．解答题（共3小题）13．（2019秋•西城区校级期中）下列各图中的单位小正方形的边长都等于1，并且都已经填充了一部分阴影，请再对每个图形进行阴影部分的填充，使得图1成为轴对称图形，使得图2成为至少有4条对称轴且阴影部分面积等于3的图形，使得图3成为至少有2条对称轴且面积不超过6的图形．【分析】直接利用轴对称图形的性质进而分析得出答案．【解答】解：如图所示：【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握对称图形的性质是解题关键．14．（2011秋•海淀区校级期中）如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．【分析】根据轴对称的概念作答，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：所补画的图形如下所示：【点评】本题考查利用轴对称设计图案的知识，难度不大，注意掌握轴对称的概念是关键．15．（2019秋•石景山区期末）如图，在44⨯的正方形网格中，有5个黑色小正方形．（1）请你移动一个黑色小正方形，使移动后所形成的44⨯的正方形网格图形是轴对称图形．如：将8号小正方形移至14号；你的另一种做法是将9号小正方形移至号（填写标号即可）；（2）请你移动2个小正方形，使移动后所形成的图形是轴对称图形，你的一种做法是将号小正方形移至号、将号小正方形移至号（填写标号即可）．【分析】（1）依据轴对称图形的定义，即可得到移动的方法；（2）依据轴对称图形的定义，即可得到移动的方法（答案不唯一）．【解答】解：（1）移动一个黑色小正方形，使移动后所形成的44⨯的正方形网格图形是轴对称图形，另一种做法是将9号小正方形移至3号；（2）移动2个小正方形，使移动后所形成的图形是轴对称图形，做法是将9号小正方形移至3号、将13号小正方形移至4号（答案不唯一）．故答案为：9，3；9，3，13，4．【点评】本题主要考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．。
轴对称图形练习题及答案
轴对称图形练习题及答案轴对称图形练习题及答案图形是我们生活中不可或缺的一部分，而轴对称图形更是我们常常会遇到的一种特殊图形。
轴对称图形是指通过一个轴线将图形分成两个完全相同的部分，这个轴线称为对称轴。
今天，我们就来练习一些轴对称图形，并给出相应的答案。
练习题一：请你画出以下图形的对称轴，并判断图形是否有轴对称性。
1. 正方形2. 矩形3. 圆形4. 五角星5. 心形答案：1. 正方形：对称轴可以是任意一条连接正方形两个对角线中点的线段。
正方形具有轴对称性。
2. 矩形：对称轴可以是连接矩形两个对边中点的线段。
矩形具有轴对称性。
3. 圆形：对称轴可以是任意一条经过圆心的直径线。
圆形具有无限个轴对称。
4. 五角星：对称轴可以是连接五角星两个对边中点的线段。
五角星具有轴对称性。
5. 心形：对称轴可以是连接心形两个对称部分的线段。
心形具有轴对称性。
练习题二：请你找出以下图形的对称中心，并判断图形是否有轴对称性。
1. 三角形2. 椭圆3. 马蹄形4. 蝴蝶形5. 鱼形答案：1. 三角形：对称中心可以是三角形的重心，即三条中线的交点。
三角形具有轴对称性。
2. 椭圆：椭圆没有对称中心，因此没有轴对称性。
3. 马蹄形：对称中心可以是马蹄形的中心点。
马蹄形具有轴对称性。
4. 蝴蝶形：对称中心可以是蝴蝶形的中心点。
蝴蝶形具有轴对称性。
5. 鱼形：对称中心可以是鱼形的中心点。
鱼形具有轴对称性。
练习题三：请你找出以下图形的对称轴，并判断图形是否有轴对称性。
1. 梯形2. 菱形3. 五边形4. 月亮形5. 雪花形答案：1. 梯形：梯形没有对称轴，因此没有轴对称性。
2. 菱形：对称轴可以是连接菱形两个对角线中点的线段。
菱形具有轴对称性。
3. 五边形：五边形没有对称轴，因此没有轴对称性。
4. 月亮形：对称轴可以是连接月亮形两个对称部分的弧线。
月亮形具有轴对称性。
5. 雪花形：对称轴可以是连接雪花形两个对称部分的线段。
雪花形具有轴对称性。
轴对称图形经典练习题
轴对称图形练习题一、选择题1．下列图形中，只有两条对称轴的是（ ）A ．正六边形B ．矩形C ．等腰梯形D ．圆2．如下左1图Rt 90ABC C BAC ∠∠在△中，＝，的角平分线AD 交BC 于点D ，2CD ＝，则点D 到AB 的距离是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．如下左2图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D 是斜梁AB 的中点，BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=16m ，则DE 的长为（ ）．A.8 mB.4 mC.2 mD.6 m4．如下左3图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（ ）． A.90° B. 75° C.70° D. 60°5．把一张长方形的纸沿对角线折叠，则重合部分是（ ）． A.直角三角形 B.长方形 C.等边三角形 D.等腰三角形 6．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（ ）． A ． 9 B ． 12 C ． 9或12 D ． 57．如下左1图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点1P 、2P ，连接1P 2P 交OA 于M ，交OB 于N ，若1P 2P ＝6，则△PMN 的周长为（ ）．A.4B.5C.6D.78.如下左2图,∠BAC=110°若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC,则∠PAQ 的度数是( ) ． A .20° B . 40° C .50° D . 60°9．如下左3图，先将正方形纸片对折，折痕为MN ，再把B 点折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，沿AH 和DH 剪下，这样剪得的三角形中（ ）． A .AD DH AH ≠= B .AD DH AH == C .DH AD AH ≠= D .AD DH AH ≠≠10．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）．B MN P 1AP 2OP M ANCQPBNM D CH EBAFEDCBAA ．①②③B ．①②④C ．①③D ．①②③④ 二.填空题11．等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是_______________________________． 12.已知点A （x ， －4）与点B （3，y ）关于x 轴对称，那么x ＋y 的值为____________.13. （2014•呼和浩特）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36，则该等腰三角形的底角的度数为 ．14．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为 __ ．15. （2014•新疆）如下左1图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，点D 在AC 上，BD =BC ，则∠ABD 的度数是 ．16.（2014年云南省）如下左2图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD ⊥AC 于点D ，则∠CBD = ．17．如下左3图,在△ABC 中, AB=AC, D 为BC 上一点,且,AB=BD,AD=DC,则∠C= ____ 度.. 18．如下左4图，在等边ABC △中，D E ，分别是AB AC ，上的点，且AD CE =，则BCD CBE ∠+∠=度．19．如下左5图：在△ABC 中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是∠BAD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 的延长线于点F ，则DF 的长为 ；20．在直角坐标系内，已知A.B 两点的坐标分别为A （－1，1）.B （3，3），若M 为x 轴上一点，且MA ＋MB 最小，则M 的坐标是___________.三.解答题21．如图，已知点M 、N 和∠AOB ，求作一点P ，使P 到点M 、N 的距离相等， •且到∠AOB 的两边的距离相等．22．（1）请画出ABC △关于y 轴对称的A B C '''△（其中A B C '''，，分别是A B C ，，的对应点，不写画法）；（2）直接写出A B C '''，，三点的坐标：AyABMNBCE DABFE DCAADCB DC E A (_____)(_____)(_____)A B C '''，，．（3）求△ABC 的面积是多少？23．在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∠BAD ＝40°，AD ＝AE ．求∠CDE 的度数．24．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E .、F ，添加一个条件_____________，使DE = DF ，并说明理由．25．如图：E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ，DF=EF ，BD=CE 。
生活中的轴对称(经典例题)
班级小组姓名成绩（满分120）一、轴对称现象（一）轴对称和轴对称图形（共4小题，每题3分，题组共计12分）例1.如图,下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有()A.1个B.2个C.3个D.4个例1.变式1.下列图形中对称轴最多是()A.圆B.正方形C.角D.线段例1.变式2.如图所示的图形是由棋子围成的正方形图案，图案的每条边有4个棋子，这个图案有条对称轴.例1.变式3.如图所示的方格纸中，请你把任意五个方格涂黑，使这五个方格构成一个轴对称图形(图形不能重复，至少设计三个)二、探索轴对称的性质（一）轴对称的性质（共4小题，每题3分，题组共计12分）例2.下列说法：①长方形的对称轴有两条；②角是轴对称图形，它的平分线就是它的对称轴；③两点关于连接它们的线段的垂直平分线对称.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.0个例2.变式1.如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，且∠A=78°,∠C'=48°,则∠B的度数为()A.48°B.54°C.74°D.78°例2.变式2.如图所示，AC垂直平分线段BD，若AB=3cm，CD=5cm，则四边形ABCD的周长是()A.11cmB.13cmC.16cmD.18cm例2.变式3.如图，把一张长方形纸ABCD折叠,使点C与点A重合，折痕为EF.如果∠DEF=123°,那么∠BAF=.（三）轴对称的性质及应用（共4小题，每题3分，题组共计12分）例3.轴对称图形对应点连线被,对应角、对应线段都.例3.变式1.如图，∠AOB内有一点P，分别画出P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=5cm，则△PMN的周长为多少?例3.变式2.如图，将长方形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B'的位置，AB'与CD交于点E，若AB=8，AD=3，则图中阴影部分的周长为()A.16B.19C.22D.25例3.变式3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上，连接CD，将△BCD沿CD翻折得到△ECD，使DE∥AC，CE交AB于点F，若∠B=α，则∠ADC的度数是(用含α的代数式表示).三、简单的轴对称图形（一）等腰三角形的性质（共4小题，每题3分，题组共计12分）例4.等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是()A.过顶点的直线B.底边上的高C.腰上的高所在的直线D.顶角平分线所在的直线例4.变式1.等边三角形对称轴的条数是()A.1B.2C.3D.4例4.变式2.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是()A.6B.7C.8D.9例4.变式3.等腰三角形中有一个角是50°，那么这个等腰三角形的底角是.（二）等腰三角形的性质二（共4小题，每题3分，题组共计12分）例5.下列说法中正确的是()A.关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形B.全等三角形一定是关于某条直线对称的C.两个图形关于某条直线对称,则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧D.若A，B两点关于直线MN对称，则AB垂直平分MN例5.变式1.如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD=36°，∠C=72°，则图中的等腰三角形有个.例2.变式2.如图，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=.例5.变式3.有一个三角形的支架如图所示，AB=AC，小明过点A和BC边的中点D又架了一个细木条，经测量∠B=30°,你在不用任何测量工具的前提下,能得到∠BAD和∠ADC的度数吗?（三）线段和角的轴对称性（共4小题，每题3分，题组共计12分）例6.如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE=3，则点P到AB的距离是()A.3B.4C.5D.6例6.变式1.如图所示，下列推理中正确的个数是()①因为OC平分∠AOB，点P，D，E分别在OC，OA，OB上，所以PD=PE；②因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE；③因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，且OC平分∠AOB，所以PD=PE.A.0B.1C.3D.4例6.变式2.小明把一张长方形的纸对折了两次，如图所示，使A，B都落在DC上，折痕分别是DE，DF,则∠EDF的度数为.例6.变式3.如图，已知△ABC中，DE垂直平分AC，且交AC于点E，交BC于点D，△ABD的周长是20，AC=8，你能计算出△ABC的周长吗？（四）等腰(边)三角形的性质的综合应用（共4小题，每题3分，题组共计12分）例7.在△ABC中，若BC=AC，∠A=58°，则∠C=,∠B=.例7.变式1.等边三角形的两条中线相交所成的钝角度数是.例7.变式2.如图P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC=.例7.变式3.如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等.（1）用直尺和圆规，作出点D的位置(不写作法,保留作图痕迹)；（2）连接AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数.（五）轴对称图形的综合运用（共4小题，每题3分，题组共计12分）例8.如图所示，△ABC中，∠B与∠C的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N，若AB=6cm，AC=9cm，BC=12cm，则△AMN的周长为.例8.变式1.如图所示，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形有个.例8.变式2.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，AB+AC+BC=50cm，AB+BD+AD=40cm，则AD=cm.例8.变式3.如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；照这样画下去,直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了,则n=.（六）轴对称图形的综合运用二（共4小题，每题3分，题组共计12分）例9.如图，D，E是△ABC的BC边上的两点，且BD=DE=EC=AD=AE，求∠BAC的度数.例9.变式1.如图，∠1=∠2，AE⊥OB于点E，BD⊥OA于点D，AE，BD交于点C，试说明AC=BC.例9.变式2.如图所示,△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE∥AB，AE∥BC，DE与AE交于点E，点G是AE的中点，GF∥DE，EF∥AC，EF交GF于点F，若AB=4cm，则图形ABCDEFG的外围的周长是多少?例9.变式3.如图，△ABC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，你能说明DC⊥AC吗?四、利用轴对称进行设计（共4小题，每题3分，题组共计12分）例10.如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是()A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形例10.变式1.如左下图，将一张正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个大小相等的圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是右下图中的()例10.变式2.当你面对镜子的时候，右手拿笔向左挥动，对于镜子中的像来说是()A.右手拿笔,向右挥动B.左手拿笔,向左挥动C.右手拿笔,向左挥动D.左手拿笔,向右挥动例10.变式3.某一车牌在平面镜中的像是,则这辆车的实际号码是()。
小学二年级数学题《轴对称图形问题大全及答案》
小学二年级数学题《轴对称图形问题大全及答案》姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分评卷人得分1、下列图案中是轴对称图形的有（）a．1个b．2个c．3个d．4个答案与解析：a2、下列图形中，不对称的是[ ]a．b．c．d．答案与解析：b3、下面的图形哪些是对称的？画出它们的对称轴。
答案与解析：“略”4、正方形有几条对称轴？[ ]a．1b．2c．4d．无数答案与解析：c5、红领巾有几条对称轴？[ ]a．1b．2c．无数答案与解析：a6、下面物品中不对称的是[ ]a．大桥b．电话机c．鱼d．蛋糕答案与解析：b7、找出镜子里看到的图像。
（连一连）答案与解析：8、请你按对称轴画出另一半，并说一说像什么物体？答案与解析：“略”9、第1行的四个图形顺着虚线对折合后会变成第2行的哪一个图形？答案与解析：10、写出四个你学过的汉字，而且是对称的。
答案与解析：王、工、大、一（答案不唯一）11、在数字1～9中，哪些是对称图形？答案与解析：1，3，812、小华站在镜子面前向后退一步，镜子里的她会（）。
答案与解析：向后退一步13、对称轴位于对称图形的[ ]a．上边b．下边c．中间d．两边答案与解析：c14、任何图形都不可能有无数条对称轴。
[ ]答案与解析：错误15、按照对称轴画出它们的另一半，并说说它们像什么？像（）像（）答案与解析：“略”16、下列图形哪些是对称的？画出它们的对称轴。
答案与解析：“略”17、这个图是由（）条线段围成的。
请你画出这个图的对称轴。
答案与解析：8；图“略”18、小明今天遇上了这么一件事，你可以告诉他是怎么回事吗？他今天早晨起床锻炼时，从镜子看到的时间如下图所示，回家时从钟表上看到的时问也如下图所示。
小明起床的时间是（）时（）分；他锻炼了（）小时。
答案与解析：5时30分；1小时19、正方形只有一条对称轴。
(完整版)轴对称图形练习题
轴对称图形练习题
姓名_________ 家长签字_______________
一、判断下列哪些图形是轴对称图形,在方框内打“√”，不是的在方框内打“×”.
二、画出下列轴对称图形的对称轴。
三、填空。
1、如果把一个图形沿着一条虚线对折,两侧的图形能够___________,这个图形就是_________________。
这条虚线叫做____________.
2、蝴蝶左右两边的形状____________，所以是__________图形。
3、五角星是_________图形，它有______条对称轴。
4、等边三角形有_____条对称轴,长方形有_____条对称轴,正方形有_____条对称轴，圆形有____条对称轴。
四、判断正误，正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”。
1、圆形和三角形都是轴对称图形。
﹙﹚２、树叶都是轴对称图形，有一条对称轴。
﹙﹚３、长方形和正方形都有四条对称轴。
﹙﹚
五、在方格纸上画出轴对称图形的另一半，并把图形涂上你喜欢的颜色。
八年级轴对称经典题型
八年级轴对称经典题型一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 平行四边形。
B. 三角形。
C. 圆。
D. 梯形。
解析：- 圆沿着任意一条直径所在的直线折叠，直线两旁的部分都能完全重合，所以圆是轴对称图形。
- 平行四边形无论沿哪条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，不是轴对称图形。
- 三角形不一定是轴对称图形，只有等腰三角形和等边三角形是轴对称图形。
- 梯形不一定是轴对称图形，只有等腰梯形是轴对称图形。
所以答案是C。
2. 点P(3, - 2)关于x轴对称的点的坐标是（）A. (3,2)B. (-3, - 2)C. (-3,2)D. (2, - 3)- 关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。
- 点P(3, - 2)关于x轴对称的点的坐标是(3,2)。
所以答案是A。
3. 等腰三角形的一个内角为50^∘，则这个等腰三角形的顶角为（）A. 50^∘B. 80^∘C. 50^∘或80^∘D. 40^∘或65^∘解析：- 当50^∘的角为顶角时，答案就是50^∘。
- 当50^∘的角为底角时，因为等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和为180^∘，则顶角为180^∘-50^∘×2 = 80^∘。
所以这个等腰三角形的顶角为50^∘或80^∘，答案是C。
4. 如图，在ABC中，AB = AC，∠ A = 30^∘，DE垂直平分AC，则∠ BCD的度数为（）A. 80^∘B. 75^∘C. 65^∘D. 45^∘- 因为AB = AC，∠ A=30^∘，所以∠ B=∠ ACB=(1)/(2)(180^∘-∠A)=(1)/(2)(180^∘ - 30^∘) = 75^∘。
- 因为DE垂直平分AC，所以AD = CD，∠ A=∠ ACD = 30^∘。
- 则∠ BCD=∠ ACB-∠ ACD=75^∘-30^∘=45^∘。
所以答案是D。
5. 下列说法正确的是（）A. 两个全等的三角形一定关于某条直线对称。
第二章 轴对称图形(压轴题专练)(解析版)
第二章轴对称图形（压轴题专练）一、三角形综合应用（选择压轴）H Q 为等腰直角BCD △斜边BC 的中点，DH BC \^，即90GHB Ð=°，又BE Q 平分ABC Ð，GM BD ^，GM GH \=，又BD BH >Q ，BDG BGH S S \>V V ，又ABE CBE≌QV V ABE CBE S S \=V V ，ABE BDG ADGE S S S \=-V V 四边形，CBE BGH GHCE S S S =-V V 四边形，ADGE GHCE S S \<四边形四边形，故④错误；⑤18090HBG BGH GHB Ð+Ð=°-Ð=°，18090DBF DFG BDF Ð+Ð=°-Ð=°，HBG DBF Ð=Ð，BGH DFG \Ð=Ð，又BGH DGF Ð=ÐQ ，DGF DFG \Ð=Ð，DGF \V 为等腰三角形，故⑤正确．\正确的为①②③⑤，共计4个，故选：C ．2．如图，已知ABC V 中高AD 恰好平分边BC ，30B Ð=°，点P 是BA 延长线上一动点，点O 是线段AD 上一动点，且OP OC =，下面的结论：AB AC=Q，AD BC^，BD CD \=，12 BADÐ=ÐOB OC\=，90ABCÐ=18060PAE BAC Ð=°-Ð=°Q ，AE PA =，APE \V 是等边三角形，60PEA APE \Ð=Ð=°，PE PA =，60APO OPE \Ð+Ð=°，60OPE CPE CPO Ð+Ð=Ð=°Q ，APO CPE \Ð=Ð，在OPA D 和CPE D 中，PA PE APO CPE OP CP =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)OPA CPE \V V ≌，AO CE \=，AB AC AE CE AO AP \==+=+；故①正确；OPC Q △是等边三角形，OP OC PC \==，∴2OP OC PC +=，∴当CP AB ^时，OP OC +的值最小，此时CP AB ≠；故②错误；OPC Q △是等边三角形，60OCP \Ð=°，30APO DCO Ð+Ð=°Q ，\90APO PCB Ð+Ð=°，故③正确；过点C 作CH AB ^于H ，60PAC DAC Ð=Ð=°Q ，AD BC ^，CH CD \=，∴BD CE =，AEF ADF Ð=Ð，故①②符合题意；设BD 与AC 交于点G ，∵BAD CAE ≌△△，∴ABF ACF Ð=Ð，∵90ABF BGA Ð+Ð=°，BGA CGF Ð=Ð，∴90ACF CGF Ð+Ð=°，∴90CFG Ð=°，即BD CE ^，故③符合题意；分别过A 作AM BD ^，AN CE ^垂足分别为M 、N ，∵BAD CAE ≌△△，∴AM AN =，∴FA 平分BFE Ð，∴BFA EFA Ð=Ð，若AF 平分CAD Ð，∴CAF DAF Ð=Ð，∴BAF EAF Ð=Ð，而FA FA =，∴BAF EAF V V ≌，∴AB AE =，与题干条件互相矛盾，故④不符合题意；∵FA 平分BFE Ð，BF CF ^，∴45AFE Ð=°，故⑤符合题意．综上，正确的是①②③⑤，故选：D ．4．如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，120BAC Ð=°，AD BC ^于点D ，点P 是CA 的延长线上一点，点O 在AD 的延长线上，OP OB =，下面的结论：①30APO OBD Ð-Ð=°；②BPO △是正三角形；③AB AP AO -=；④2BOC AOBP S S =四边形△其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】A 【分析】如图，设AB 交OP 于点J ．由OB OP OC ==，推出APO ABO Ð=Ð，推出60PAB POB Ð=Ð=°，可证①②正确，延长AO 到T ，使得AT AB =，证明(SAS)PBA OBT △≌△，推出PA OT =，可得③正确，推出四边形AOBP 的面积是定值，可得④错误．【详解】解：设AB 交OP 于点J ，如图所示：AB AC =Q ，AD BC ^，BD DC \=，OB OC \=，OP OB =Q ，OP OB OC \==，OPC OCP ACB OCB \Ð=Ð=Ð+Ð，OCB OBC Ð=Ð，AB AC =Q ，120BAC Ð=°，30ABC ACB \Ð=Ð=°，3030OPC OCB OBC ABO \Ð=°+Ð=°+Ð=Ð，30APO OBD \Ð-Ð=°，故①正确；AJP BJO Ð=ÐQ ，60POB PAJ \Ð=Ð=°，OP OB =Q ，BPO \△是正三角形，故②正确；延长AO 到T ，使得AT AB =，连接BT ，如图所示：60BAT Ð=°Q ，AT AB =，ABT \V 是等边三角形，60ABT PBO Ð=Ð=°Q ，PBA OBT \Ð=Ð，在PBA △和OBT △中，BP BO PBA OBT BA BT =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)PBA OBT \△≌△，PA OT \=，AB AT AO OT AO PA \==+=+，AB AP AO \-=，故③正确；PBA OBT Q △≌△，PBA OBT S S \=△△，ABT AOBP S S \=△四边形，且ABT S △为定值，BOC QV 是变化的，2BOC AOBP S S \=V 四边形是错误（与上面定值矛盾），故④错误；综上所述：正确的是①②③，故选：A ．二、探究线段之间的数量关系【答案】2BM NC=【分析】作60HAN MAN Ð=Ð=°，使得AH AM =，连接HN ，HC ，先证MAN HAN V V ≌，推导得NH MC ^；再证BAM CAH V V ≌，推导得30NHC AHC AHN Ð=Ð-Ð=°，最后得到2BM NC =．【详解】解：如图，作60HAN MAN Ð=Ð=°，使得AH AM =，连接HN ，HC ，在MAN △中，∵7560AMN MAN Ð=°Ð=°，，∴180180756045ANM AMN MAN Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．在MAN △与HAN △中，∵AM AH MAN HAN AN AN =ìïÐ=Ðíï=î，∴()MAN HAN SAS V V ≌，∴ANM ANH Ð=Ð，AMN AHN Ð=Ð，∵45ANM Ð=°，75AMN Ð=°，∴45ANH Ð=°，75AHN Ð=°，∵45ANM Ð=°，45ANH Ð=°，∴90ANM ANH Ð+Ð=°，即NH MC ^．∵75AMN Ð=°，30B Ð=°，∴=753045BAM AMN B ÐÐ-Ð=°-°=°，∵ABC V 中，30AB AC B =Ð=°，，∴30C B Ð=Ð=°，∴180120BAC C B Ð=°-Ð-Ð=°，∵45BAM Ð=°，60MAN Ð=°，120BAC Ð=°∴120456015NAC BAC BAM MAN Ð=Ð-Ð-Ð=°-°-°=°，∵60HAN Ð=°，15NAC Ð=°，故答案为：2BM NC=6．（1）已知，如图1，若ABC V 是直角三角形，（2）由（1）可得出定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【答案】（1）见解析；（2）①QE QF =；②QE QF=【分析】（1）延长CD 至E ，使DE CD =，连接AE ，证明(SAS ADE BDC ≌△△()Rt Rt SAS CAE ACB ≌△△，可得CE AB =，从而可得结论；（2）①Q 是AB 的中点，过Q 分别过点A 、B 向直线CP 作垂线垂足分别为E∵在ADE V 和BDC V 中AD BD ADE BDCCD ED =ìïÐ=Ðíï=î∴(SAS ADE BDC ≌△△②延长EQ 交BF 于G∵AE CP ^，BF CP ^，∴90AEP BFP Ð=Ð=°，∴AE BF ∥，∴QAE QBG Ð=Ð，BC=，则CE=；(1)如图1，连接EC，若4(2)如图2，点M是线段CA延长线上的一点(不与点A重合)，以BM为一边，在BM的下方作MG交DE延长线于点G．在DG边上取一点H，使DH DM=．①求证：DMB HMG△≌△；②请你写出MD，DG与DE之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，当点M运动到线段AC延长线上的某个位置时，以BM为一边．在BM的左侧作，与DE之间的数量关系．交DE于点G．请直接写出MD DG求解；（2）①证明DMH △是等边三角形，进而得出DMB HMG Ð=Ð，证明DMB HMG △≌△()ASA ；②由①可知DMB HMG △≌△，得出HG DB =，DMH △是等边三角形．则DH MD =，即可得证．（3）在ED 的延长线上截取DN DM =，连接MN ，先证DMN V 是等边三角形，可得60MN DM DN N NMD ==Ð=Ð=°，，由“ASA ”可证MNG MDB V V ≌，可得NG BD =，即可求解．【详解】（1）解：∵DE AB ^，90ACB Ð=°，∴90BCD BED Ð=Ð=°，∵BD 是ABC V 的角平分线，∴CBD EBD Ð=Ð，又∵BD BD =，∴()AAS CBD EBD V V ≌，∴CB EB =，∵90ACB Ð=°，30A Ð=°，∴60ABD Ð=°，∴ECB V 是等边三角形，∴4==CE BC ；故答案为：4；（2）①证明：∵30CBD DBA CAB Ð=Ð=Ð=°，DE AB ^，∴60ADE BDE Ð=Ð=°，2DB DE=又∵DH DM =，∴DMH △是等边三角形．∴DM DH MH ==，60DMH DHM Ð=Ð=°∴DMH BMG Ð=Ð，120MHG ADB Ð=Ð=°．∴DMB HMG Ð=Ð．在DMB V 和HMG △中，DMB HMG DM MH MDB MHG Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴DMB HMG △≌△()ASA ；②2DG MD DE =+，由①可知DMB HMG △≌△，则HG DB =．∴2HG DE =，∵DMH △是等边三角形．则DH MD =，∴2DG DH HG MD DE =+=+；（3）解：结论：2DM DG DE+=，理由：如图，在ED 的延长线上截取DN DM =，连接MN ，∵60ADE NDM DN DM Ð=Ð=°=，，∴DMN V 是等边三角形，∴60MN DM DN N NMD ==Ð=Ð=°，，∴60NMD GMB Ð=Ð=°，∴NMG DMB Ð=Ð，在MNG V 和MDB △中，60N BDM MN DM NMG DMB Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA MNG MDB V V ≌，∴NG BD =，∴2NG DE =，∴2DG DN DM DG DE +=+=．三、探究角之间的数量关系【答案】120°+α【分析】延长CB 到E ，使CE ＝＝∠EDC ，再证明△EDA 为等边三角形，得到的计算即可求解．【详解】解：如图，延长CB 到∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD 12ACB a =Ð=，在△ADC 与△EDC 中，AC EC ACD ECD =ìïÐ=Ðí，。
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C轴对称图形考点1：轴对称及轴对称图形的意义一、考点讲解：1．轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段．2．如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．3．轴对称的性质：如果两个图形关于某广条直线对称，那以对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应点的连线互相平行或在同一条直线上，对应的线段（或其延长线）相交，交点在对称轴上。
4．简单的轴对称图形：线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线． 角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线． 等腰(非等边）三角形：有一条对称轴，底边中垂线． 等边三角形：有三条对称轴：每条边的中垂线． 等腰梯形：过两底中点的直线 正n 边形有n 条对称轴 圆有无数条对称轴。
二、基本图形：1．已知：点A 、B 分别在直线l的同侧，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最短。
变形1：正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一点，在对角线AC 上找一点P ，使PA+PB 最短。
变形2：已知点A （1，6）、点B （6，4），在x 轴和y 轴上各找一点C 、D ，使四边形ACDB 的周长最短。
三、经典考题剖析：1．在下面四个图案中，如果不考虑图中的文字和字母，那么不是轴对称图形的是（ ）2．下列图形中是轴对称图形的是（ ）。
3．下列图形中，是轴对称图形的有（ ）BlCDＡ．4个Ｂ．3个Ｃ．2个Ｄ．1个4．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()(A) (B) (C) (D)5．如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A=1300，∠B=1100．那么∠BCD的度数等于（）A. 400B.500 C．600 D.7006．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（）7．如图5，请你画出方格纸中的图形关于点O的中心对称图形，并写出整个图形的对称轴的条数．O A．B．C．D．四、针对性训练：1．从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是，该车的后5位号码实际是。
2．图4是平面镜里看到背向墙壁的电子钟示数，这时的实际时间应该是．3．请先找出正三边形、正四边形、正五边形等正多边形的对称轴的条数，再猜想正n边形对称轴的条数为．4．下列图形中，是．轴对称图形的为ＡＢＣＤ5．下列图案中，不是轴对称图形的是图46．下图形是轴对称图形的是（A）（B）（C）（D）7．下列图形中，是轴对称图形的个数为A．0个B．1个 C.2个 D.3个8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）Ａ．菱形、正方形、平行四边形Ｂ．矩形、等腰三角形、圆Ｃ．矩形、正方形、等腰梯形Ｄ．菱形、正方形、圆9．下列汽车标志中既是轴对称又是中心对称图形的是（）大众本田欧宝奥迪A．B．C．D．10．如图是一辆汽车车牌在水中的倒影，则该车的牌照号码是……（）A．W17639 B．W17936C．M17639 D．M17936△变换后的图形（图中每个11．如图，在平面直角坐标系中，请按下列要求分别作出ABC小正方形的边长为1个单位）：（1）向右平移8个单位；（2）关于x 轴对称；（3）绕点O 顺时针方向旋转180．12．如图，是由半圆和三角形组成的图形，请以AB 为对称轴，作出图形的另一半（用尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法和证明） 13．（第11题图）如图所示，在一笔直的公路MN 的同一旁有两个新开发区A B ，，已知10AB =千米，直线AB 与公路MN 的夹角30AON =∠，新开发区B 到公路MN 的距离3BC =千米．（1）求新开发区A 到公路MN 的距离；（2）现要在MN 上某点P 处向新开发区A B ，修两条公路PA PB ，，使点P 到新开发区A B ，的距离之和最短．请你用尺规作图在图中找出点P 的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出此时PA PB +的值．考点2：折叠问题一、考点讲解：常见的折叠问题有两种类型：一种是将一个图形沿着某一条直线折叠到另一个位置，这时候，这条直线两旁的图形全等；另一种是将一个图形沿着某一条直线折叠，使两个点重合，此时，这折痕所在的直线是这两点连线的垂直平分线。
二、基本图形：O 301．将矩形ABCD沿着对角线AC对折，则三角形AFC是三角形。
变形：若矩形ABCD中，AB=6，AD=3，求三角形AFC的面积。
2．将矩形ABCD沿着EF对折，使点B与点D重合，若AB=8，AD=10，求折痕EF 的长。
三、典型例题剖析：1．（2006宿迁市4分）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝30°，则∠AED′等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．（2006内江市3分）如图（1）将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上，若AE的长为( )A.CEED′D CBA（第1题）3、（2006遂宁市3分）如图在梯形ABCD 中, ∠DCB=90 0;AB ∥CD,AB=25,BC=24.将该梯形折叠,点A 愉好与点D 重合,BE 为折痕,那么AD 的长度为_________.4．（2006临汾市3分）将一张菱形纸片，按下图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）5．（2006聊城市8分）如图，将一张矩形纸片ABCD 折叠，使AB 落在AD 边上，然后打开，折痕为AE ，顶点B 的落点为F ．你认为四边形ABEF 是什么特殊四边形？请说出你的理由．D DD第5题图① ② ③ ④A ．B ．C ．D ．_ B_ D_ E_ A_ C四、针对性训练：1．（2006梅州市3分）如图1，把矩形ABCD 沿EF 对折，若150∠=，则AEF ∠等于（ ） Ａ．115 Ｂ．130Ｃ．120Ｄ．652．（2006临汾市2分）如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 向上折叠，使点B 落在DC 边上的F 点处．若AFD △的周长为9，ECF △的周长为3，则矩形ABCD 的周长为________．3．（2006鸡西市3分）如图，△ABC 中，∠B=900，AB=6，BC=8，将△ABC 沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的C ′处，并且C ′D ∥BC ，则CD 的长是( )(A)409 (B)509 (C)154 (D)2544．（2006山西3分）如图，矩形纸片ABCD ，AB ＝2，∠ADB ＝30°，沿对角线BD 折叠（使△ABD 和△EBD 落在同一平面内），则A 、E 两点间的距离为＿＿＿＿．5．(2006河北省3分)小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图9－1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm ；展开后按图9－2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm ，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是_______cm ．A BCD EF1 图1AABCD)(C E 4题左右左右第二次折叠 第一次折叠图9－1图9－2A B C D6．（2006汉川市3分）将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是7．（2006郴州市10分）如图7，矩形纸片ABCD的边长分别为()a b a b<，．将纸片任意翻折（如图8），折痕为PQ．（P在BC上），使顶点C落在四边形APCD内一点C'，PC'的延长线交直线AD于M，再将纸片的另一部分翻折，使A落在直线PM上一点A'，且A M'所在直线与PM所在直线重合（如图9）折痕为MN．（1）猜想两折痕PQ MN，之间的位置关系，并加以证明．（2）若QPC∠的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ MN，间的距离有何变化？请说明理由．（3）若QPC∠的角度在每次翻折的过程中都为45（如图10），每次翻折后，非重叠部分的四边形MC QD'，及四边形BPA N'的周长与a b，有何关系，为什么？A DCab图7 图8考点3：线段的垂直平分和角的平分线一、考点讲解：1．线段垂直分线：（1）定义：垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫做中垂线。
（2）线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（3）三角形的三条垂直平分线相交于一点，这一点叫三角形的外心（三角形外接圆的圆心），它的位置可能在三角形的内部、外部或边上，它到三角形三个顶点的距离相等。
２．角的平分线：（1）角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
（2）三角形的三条角平分线相交于一点，这一点叫三角形的内心（三角形内接圆的圆心），它到三角形三条边的距离相等。
二、基本图形：1.三角形ABC 中，DE 垂直平分AC ，则三角形BCD 的周长等于变形：三角形ABC 中，DF 、EG 分别垂直平分AB 和AC ，则三角形AFG 的周长等于2.在DEC ∠中找一点P ，使点P 到DEC ∠两边的距离相等，并且到M 、N 两点的距离也相等。
3.在平面内找一点P ，使点P 到三条直线的距离相等。
三、典型例题剖析：ABCBA1．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BD 是∠ABC 的平分线， DE ⊥AB ，CD=5cm ，则DE 的长是 。
2．如图，△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，若AC=6，△ABD 的周长是13，，则△ABC 的周长是 ；若△ABC 的周长 是30，△ABD 的周长是25，则AC= 。
若∠C=30°，则 ∠ADB=3．（2006泰州市3分）如图,在10×10的正方形网格纸中,线段AB 、CD 的长均等于5．则图中到AB 和CD 所在直线的距离相等的网格点的个数有A ．2个B ．3个C ． 4个D ．5个第3题图考点4：等腰三角形一、考点讲解：1．等腰三角形：（1）定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
（2）性质：两条腰相等；两个底角相等；三线合一：底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线互相重合。
（3）判定：两条边相等的三角形是等腰三角形。
等角对等边2．等边三角形：（1）定义：三条边相等的三角形是等边三角形。
（2）性质：三条边相等；三个角都是60度。
（3）判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
3．直角三角形：（1）定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形。