2019年高考数学仿真模拟试卷(七)含答案解析
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4．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，弧田是中国古算名，即圆弓形，最早的文字记载见于《九章算术 方田章》．如图所示，正方形中阴影部分为两个弧田，每个弧田所在圆的圆心均为该正方形的一个顶点，半径均为该正方形的边长，则在该正方形内随机取一点，此点取自两个弧田部分的概率为
A． B． C． D．
【解析】解：设正方形的边长为1，则其面积为1，
【答案】 ．
3．设 ， ， 为正数，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】解： ， ， 为正数，
当 ， ， 时，满足 ，但 不成立，即充分性不成立，
若 ，则 ，即 ，
即 ，即 ，成立，即必要性成立，
则“ ”是“ ”的必要不充分条件，
【答案】 ．
可得 的最小值为5，
又 为双曲线的右焦点，可得 ，
当 ， ， 三点共线时， 取得最小值，且为 ，
即有 ，即 ， ，
可得 ．
【答案】 ．
11．各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的最小值为
A．4B．6C．8D．12
【解析】解：各项均为正数的等比数列 的公比设为 ， ，
若 ， ，则 ， ，
【解析】解： ，则 ．
故答案为： ．
16．已知 为抛物线 的焦点，过点 的直线 与抛物线 相交于不同的两点 ， ，抛物线 在 ， 两点处的切线分别是 ， ，且 ， 相交于点 ，则 的最小值是．
【解析】解：设直线 的方程为： ， ， ， ， ．
联立 ，化为： ，
可得： ， ，
．
对 两边求导可得： ，
可得切线 的方程为： ，
，即 ．
，
则 ．
故答案为：1．
14．已知三棱锥 的四个顶点都在球 的表面上，若 ， ，则球 的表面积为 ．
【解析】解：如图，
取 中点 ，连接 ，可得 ，
设等边三角形 的中心为 ，则 ，
，设三棱锥 的外接球的半径为 ，
则 ，即 ，
解得 ．
球 的表面积为 ．
故答案为： ．
15．在平面直角坐标系 中，定义两点 ， ， ， 间的折线距离为 ．已知点 ， ， ，则 的取值范围是 ．
A． ， B． ，
C． ， ， D． ， ，
【解析】解：当 ， 时， ，
当 时， ，即充分性成立，
即 的一个充分条件是 ，
【答案】 ．
10．已知双曲线 的左焦点为 ， ，点 的坐标为 ，点 为双曲线右支上的动点，且 周长的最小值为8，则双曲线的离心率为
A． B． C．2D．
【解析】解：由 ，三角形 的周长的最小值为8，
，
故在该正方形内随机取一点，此点取自两个弧田部分的概率为 ，
【答案】 ．
5．已知 为等差数列 的前 项和，若 ，则
A． B． C． D．
【解析】解：由等差数列的性质可得： ，解得 ．
【答案】 ．
6．已知 ， 为双曲线 的左、右焦点， 为其渐近线上一点， 轴，且 ，则双曲线 的离心率为
A． B． C． D．
第一次，不满足 ，不满足 能被 整数，故输出 ；
当输入的 值为5时，
第一次，不满足 ，也不满足 能被 整数，故 ；
第二次，满足 ，故输出 ；
即第一次输出的 的值为 的值为0，第二次输出的 的值为 的值为1，则 ．
【答案】 ．
8．如图在直角坐标系 中，过坐标原点 作曲线 的切线，切点为 ，过点 分别作 ， 轴的垂线垂足分别为 ， ，向矩形 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为
， ，即圆 的半径为2．
（1）若 ， 在 异侧，显然当 ， ， 三点共线时， 取得最小值．
， 的最小值为 ．
（2）若 ， 在 同侧，则当 ， ， 三点共线时， 取得最大值．
此时 ， 的最大值为 ．
【答案】 ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知复数 ， ，若 为纯虚数，则 1．
【解析】解： 是纯虚数，
专题07高考数学仿真试卷（七）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
A． B． C． D．
【解析】解：设 ， ，
由 ，
则以点 为切点过原点的切线方程为： ，
又此切线过点 ，求得： ，即 ，
以点 为切点过原点的切线方程为：
由定积分的几何意义得： ，
设“向矩形 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分”为事件 ，
由几何概型的面积型可得：
（A） ，
【答案】 ．
9．已知 ， 是不重合的平面， ， 是不重合的直线，则 的一个充分条件是
切线 的方程为： ，
联立解得： ， ． ．
．
，
令 ．
则 ，
，
可得 时，函数 取得极小值即最小值 （4） ．当且仅当 时取等号．
故答案为：6．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在 中，已知 ， ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ， 为 的中点，求 的长．
【解析】解：（Ⅰ） 且 ，
，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ则 ；
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，集合 ，则
A． B． C． ， D． ，
【解析】解：集合 ，
集合 ，
， ．
【答案】 ．
2．复数 的共轭复数为
A． B． C． D．
【解析】解：复数 ，故它的共轭复数为 ，
【解析】解： 轴，可得 的横坐标为 ，
由双曲线的渐近线方程 ，
可设 的纵坐标为 ，
由 ，可得 ，
即 ，
即有 ．
【答案】 ．
7．执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的 的值为4，第二次输入的 的值为5，记第一次输出的 的值为 ，第二次输出的 的值为 ，则
A．0B． C．1D．2
【解析】解：当输入的 值为4时， ，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，
由正弦定理得 ，即 ，解得 ，
解得 ， ，
可得 ，
，
则
，
当且仅当 时，上式取得等号．
则 的最小值为8．
【答案】 ．
12． 中， ， ， ， 中， ，则 的取值范围
A． B． ， C． D．
【解析】解：以 为底边作等腰三角形 ，使得 ，
以 为圆心，以 为半径作圆，则由圆的性质可知 的轨迹为劣弧 （不含端点），
过 作 ，则 为 的中点， ， ，
A． B． C． D．
【解析】解：设正方形的边长为1，则其面积为1，
【答案】 ．
3．设 ， ， 为正数，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】解： ， ， 为正数，
当 ， ， 时，满足 ，但 不成立，即充分性不成立，
若 ，则 ，即 ，
即 ，即 ，成立，即必要性成立，
则“ ”是“ ”的必要不充分条件，
【答案】 ．
可得 的最小值为5，
又 为双曲线的右焦点，可得 ，
当 ， ， 三点共线时， 取得最小值，且为 ，
即有 ，即 ， ，
可得 ．
【答案】 ．
11．各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的最小值为
A．4B．6C．8D．12
【解析】解：各项均为正数的等比数列 的公比设为 ， ，
若 ， ，则 ， ，
【解析】解： ，则 ．
故答案为： ．
16．已知 为抛物线 的焦点，过点 的直线 与抛物线 相交于不同的两点 ， ，抛物线 在 ， 两点处的切线分别是 ， ，且 ， 相交于点 ，则 的最小值是．
【解析】解：设直线 的方程为： ， ， ， ， ．
联立 ，化为： ，
可得： ， ，
．
对 两边求导可得： ，
可得切线 的方程为： ，
，即 ．
，
则 ．
故答案为：1．
14．已知三棱锥 的四个顶点都在球 的表面上，若 ， ，则球 的表面积为 ．
【解析】解：如图，
取 中点 ，连接 ，可得 ，
设等边三角形 的中心为 ，则 ，
，设三棱锥 的外接球的半径为 ，
则 ，即 ，
解得 ．
球 的表面积为 ．
故答案为： ．
15．在平面直角坐标系 中，定义两点 ， ， ， 间的折线距离为 ．已知点 ， ， ，则 的取值范围是 ．
A． ， B． ，
C． ， ， D． ， ，
【解析】解：当 ， 时， ，
当 时， ，即充分性成立，
即 的一个充分条件是 ，
【答案】 ．
10．已知双曲线 的左焦点为 ， ，点 的坐标为 ，点 为双曲线右支上的动点，且 周长的最小值为8，则双曲线的离心率为
A． B． C．2D．
【解析】解：由 ，三角形 的周长的最小值为8，
，
故在该正方形内随机取一点，此点取自两个弧田部分的概率为 ，
【答案】 ．
5．已知 为等差数列 的前 项和，若 ，则
A． B． C． D．
【解析】解：由等差数列的性质可得： ，解得 ．
【答案】 ．
6．已知 ， 为双曲线 的左、右焦点， 为其渐近线上一点， 轴，且 ，则双曲线 的离心率为
A． B． C． D．
第一次，不满足 ，不满足 能被 整数，故输出 ；
当输入的 值为5时，
第一次，不满足 ，也不满足 能被 整数，故 ；
第二次，满足 ，故输出 ；
即第一次输出的 的值为 的值为0，第二次输出的 的值为 的值为1，则 ．
【答案】 ．
8．如图在直角坐标系 中，过坐标原点 作曲线 的切线，切点为 ，过点 分别作 ， 轴的垂线垂足分别为 ， ，向矩形 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为
， ，即圆 的半径为2．
（1）若 ， 在 异侧，显然当 ， ， 三点共线时， 取得最小值．
， 的最小值为 ．
（2）若 ， 在 同侧，则当 ， ， 三点共线时， 取得最大值．
此时 ， 的最大值为 ．
【答案】 ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知复数 ， ，若 为纯虚数，则 1．
【解析】解： 是纯虚数，
专题07高考数学仿真试卷（七）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
A． B． C． D．
【解析】解：设 ， ，
由 ，
则以点 为切点过原点的切线方程为： ，
又此切线过点 ，求得： ，即 ，
以点 为切点过原点的切线方程为：
由定积分的几何意义得： ，
设“向矩形 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分”为事件 ，
由几何概型的面积型可得：
（A） ，
【答案】 ．
9．已知 ， 是不重合的平面， ， 是不重合的直线，则 的一个充分条件是
切线 的方程为： ，
联立解得： ， ． ．
．
，
令 ．
则 ，
，
可得 时，函数 取得极小值即最小值 （4） ．当且仅当 时取等号．
故答案为：6．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在 中，已知 ， ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ， 为 的中点，求 的长．
【解析】解：（Ⅰ） 且 ，
，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ则 ；
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，集合 ，则
A． B． C． ， D． ，
【解析】解：集合 ，
集合 ，
， ．
【答案】 ．
2．复数 的共轭复数为
A． B． C． D．
【解析】解：复数 ，故它的共轭复数为 ，
【解析】解： 轴，可得 的横坐标为 ，
由双曲线的渐近线方程 ，
可设 的纵坐标为 ，
由 ，可得 ，
即 ，
即有 ．
【答案】 ．
7．执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的 的值为4，第二次输入的 的值为5，记第一次输出的 的值为 ，第二次输出的 的值为 ，则
A．0B． C．1D．2
【解析】解：当输入的 值为4时， ，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，
由正弦定理得 ，即 ，解得 ，
解得 ， ，
可得 ，
，
则
，
当且仅当 时，上式取得等号．
则 的最小值为8．
【答案】 ．
12． 中， ， ， ， 中， ，则 的取值范围
A． B． ， C． D．
【解析】解：以 为底边作等腰三角形 ，使得 ，
以 为圆心，以 为半径作圆，则由圆的性质可知 的轨迹为劣弧 （不含端点），
过 作 ，则 为 的中点， ， ，