线性回归方程知识点专项讲解及典型例题归纳(1)
回归分析的基本知识点及习题
回归分析的基本知识点及习题本周难点：（1）求回归直线方程，会用所学的知识对实际问题进行回归分析.（2）掌握回归分析的实际价值与基本思想.（3）能运用自己所学的知识对具体案例进行检验与说明.（4）残差变量的解释；（5）偏差平方和分解的思想；１．回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。
求回归直线方程的一般步骤：①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系→②求回归系数→③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明.2.回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
建立回归模型的基本步骤是：①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）.③由经验确定回归方程的类型.④按一定规则估计回归方程中的参数（最小二乘法）；⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误，后模型是否合适等.4.残差变量的主要来源：（1）用线性回归模型近似真实模型（真实模型是客观存在的，通常我们并不知道真实模型到底是什么）所引起的误差。
可能存在非线性的函数能够更好地描述与之间的关系，但是现在却用线性函数来表述这种关系，结果就会产生误差。
这种由于模型近似所引起的误差包含在中。
（2）忽略了某些因素的影响。
影响变量的因素不只变量一个，可能还包含其他许多因素（例如在描述身高和体重关系的模型中，体重不仅受身高的影响，还会受遗传基因、饮食习惯、生长环境等其他因素的影响），但通常它们每一个因素的影响可能都是比较小的，它们的影响都体现在中。
（3）观测误差。
由于测量工具等原因，得到的的观测值一般是有误差的（比如一个人的体重是确定的数，不同的秤可能会得到不同的观测值，它们与真实值之间存在误差），这样的误差也包含在中。
高中数学知识点精讲精析 线性回归方程
6.4 线性回归方程1、确定性函数关系：变量之间可以用函数表示2、相关关系：变量之间具有一定的联系，但不能完全用函数表达引入：某小卖部为了了解热茶销售量与气温的大致的关系，随机统计并制作了某６天卖出热茶的杯数与当天气温对照表如果某天的气温是－5℃，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数么？考虑离差的平方和：一般地，设有ｎ对观察数据如下：仿照前面的方法，可得线性回归方程中系数a，b满足由此二元一次方程组便可依次求出b 、a 的值.相关关系1. 散点图、正相关、负相关2. 数据回归直线方程：样本相关系数：1112211nn n i i i i i i i n ni i i i n x y x y b n x x a y bx =====⎧⎛⎫⎛⎫-⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎪⎛⎫⎨- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=-⎩∑∑∑∑∑)(121n x x x n x +++=)(121n y y y n y +++= ∑=+++=ni nix x x x1222212 ∑=+++=ni niy y y y1222212 ∑=+++=ni nn ii y x y x y x yx 12211 ∑∑==--=n i i ni ii xn x yx n yx b 1221x b y a -=a bx y +=⋂∑∑∑===-⋅--=ni ni i ini ii y y x xyx n yx r 11221)()(时回归直线有意义时回归直线无意义.该市统计调查队随机调查10个家庭，【解析】∴ 回归直线有意义∴ 回归直线：∑∑∑===---=ni ni i i ni ii y n y x n x yx n yx 11221))((1||≤r 05.0||r r >05.0||r r ≤88.321012=∑=i ix∑==10127.22i iy∑==10117.27i ii yx 632.0950.005.0=>=r r 013.0-=a 833.0=b 013.0833.0-=x y（1）检验是否线性相关. （2）求回归方程.（3）若市政府下一步再扩大5千煤气用户.试预测该市煤气消耗量将达到多少. 【解析】解：（1）线性相关（2）（3）代入 所以煤气量达3037万立方米3. 为了了解参加某种知识竞赛的1003名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容量为50的样本. 【解析】解：（1）随机地将这1003个个体编号为1，2，3， (1003)（2）利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体（可利用随机数表），剩下的个体数1000能被样本容量50整除，然后再按系统抽样的方法进行.总体中的每个个体被剔除的概率相等（3/1003），也就是每个个体不被剔除的概率相等（1000/1003），采用系统抽样时每个个体被抽取的概率都是（50/1000），所以在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍然相等，都是4. 某农场种植的甲乙两种水稻，在连续6年中各年的平均产量如下：哪种水稻的产量比较稳定？ 【解析】解：因为，所以甲水稻的产量比较稳定5. 已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下：x （血球体积，mm ），y （血红球数，百万）（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线并且画出图形； （3）回归直线必经过的一点是哪一点？ 【解析】05.0632.0998.0r r =>=06.6=b 07.0=a x y 06.607.0+=⋂55.05.40=+=x 37.30=⋂y 10035010005010031000=⨯6/)9.683.638.675.69.675.6(+++++=甲x 75.6=177.0=甲S 6/)68.645.638.613.72.768.6(+++++=乙x 75.6=312.0=乙S 乙甲S S <解：（1）见下图（2）设回归直线为则所以所求回归直线的方程为，图形如下：故可得到从而得回归直线方程是点评：借助散点图，可以直观探究两个变量是否具有线形相关关系；运用由最小二乘法思想得到回归直线方程的回归系数和，会由数据求回归直线方程，并利用回归直线方程进行回归分析与预测.50.45)50394058354248464245(101=+++++++++=x 37.7)72.855.620.649.990.599.650.752.930.653.6(101=+++++++++=y a bx y +=⋂176.01221=--=∑∑==ni ini ii xn xxyn yx a 64.0-=-=x a y b 64.0176.0-=⋂x y 75.430770003.399307871752≈⨯-⨯⨯-=b 2573075.43.399≈⨯-=a 25775.4+=⋂x y a b。
专题01 线性回归方程(解析版)
【解析】解： x 0 1 2 3 3 ， y m 3 5.5 7 m 15.5 ，
4
2
4
4
这组数据的样本中心点是 ( 3 , m 15.5) ， 24
关于 y 与 x 的线性回归方程 yˆ 2.1x 0.85 ，
m 15.5 2.1 3 0.85 ，解得 m 0.5 ，
x （次数 / 分
20
30
40
50
60
钟）
y( C)
25
27.5
29
32.5
36
A． 33 C
B． 34 C
C． 35 C
【解析】解：由题意，得 x 20 30 40 50 60 40 ， 5
y 25 27.5 29 32.5 36 30 ， 5
则 k y 0.25x 30 0.25 40 20 ；
故答案为：10．
例 7．已知一组数据点：
x
x1
x2
x8
y
y1
y2
y8
8
用最小二乘法得到其线性回归方程为 yˆ 2x 4 ，若数据 x1 ， x2 ， ， x8 的平均数为 1，则 yi i 1
16 ．
3
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【解析】解：由题意， x 1 ，设样本点的中心为 (1, y) ， 又线性回归方程为 yˆ 2x 4 ，则 y 2 1 4 2 ，
购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用 Y （单位：万元）的分布列为：
Y
30
20
70
120
P
0.3
0.4
0.2
0.1
E(Y ) 30 0.3 20 0.4 70 0.2 120 0.1 25 （万元）
线性回归方程知识点剖析
Ｄ．人 的 年 龄 与 身 高 提 示 ：Ａ 、Ｂ、Ｃ 为 确 定 性 关 系 ，人 的 年 龄
与 鸟 寓 且 右 相 羊 幂 ． 先 ｎ —
二 、线 性 回 归 方 程 的 确 定
－
Ｚ
３
４
ｙ
２．５
３
５
６
＿
４
４．５
（１）请 画 出 表 ２ 中 数 据 的 散 点 图 。
间 的 关 系 ；③ 学 生 的 身 高 与 学 习 成 绩 之 间 的 最 小 ，即 最 贴 近 已 知 的 数 据 点 ，最 能 代 表 变 量
关 系 ；④ 学 生 的 家 庭 经 济 条 件 与 学 习 成 绩 之 ｚ 与 之 间 的 关 系 。
间 的 关 系 。 Ａ．① ②
同 归 分 析 是 对 具 有 相 关 关 系 的 两 个 变 量
（２）请 根 据 表 中 提 供 的 数 据 ，用 最 小 二 乘
进 行 统 计 分 析 的 方 法 ，只 有 在 散 点 图 上 两 个 变 量 大 致 呈 线 性 相 关 关 系 时 ，求 出 的 回 归 直 线 方 程 才 有 实 际 意 义 。 线 性 回 归 方 法 就 是 由
系 。 应 选 Ａ 。
求 塞．ｚ ；③ 计 算 妻 ，妻 ；④ ｆ｝１ ６一
喜 一
， 一 一 ６ ，求 ６， 的 值 ，写
ｚ ” 。
跟 踪 训 练 １：下 列 两 个 变 量 之 间 的 关 系 ， 出 线 性 回 归 方 程 。
不 是 函数关 系 的为
。
一
一
Ａ．匀 速 行 驶 车 辆 的 行 驶 距 离 与 时 间
曩毒知 篡
高二数学线性回归苏教版知识精讲
高二数学线性回归苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：线性回归教学目的：1. 了解相关关系、回归分析、散点图的概念2. 明确事物间是相互联系的，了解非确定性关系中两个变量的统计方法；掌握散点图的画法及在统计中的作用，掌握回归直线方程的求解方法3. 会求回归直线方程教学重点：散点图的画法，回归直线方程的求解方法 教学难点：回归直线方程的求解方法二. 基础知识： 1. 知识结构图K r ⎧→→→→⎨→→→⎩2独立性 检 验抽取样本提出统计假设运用检验背景线性回归分析抽取样本提出统计假设运用检验2. 相关关系的概念 当自变量一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系 相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系，函数关系是两个非随机变量之间的关系，是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，所以相关关系与函数关系不同，其变量具有随机性，因此相关关系是一种非确定性关系（有因果关系，也有伴随关系）.因此，相关关系与函数关系的异同点如下：相同点：均是指两个变量的关系不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.3. 回归分析： 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性4. 散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.散点图形象地反映了各对数据的密切程度粗略地看，散点分布具有一定的规律5. 回归直线设所求的直线方程为,^a bx y +=其中a 、b 是待定系数. 则),,2,1(,^n i a bx y i i =+= . 于是得到各个偏差),,2,1(),(^n i a bx y y y i i i i =+-=-.显见，偏差i i y y ^-的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n 个偏差的平方和.2222211)()()(a bx y a bx y a bx y Q n n --++--+--=表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度.记 ∑=--=n i i i a bx y Q 12)( (说明∑=ni 1的意义).上述式子展开后，是一个关于a 、b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的a 、b 的值. 即1122211()()()n ni i i i i i n n i ii i x x y y x y nxy b x x x nx a y bx====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=-⎩∑∑∑∑， ∑==ni i x n x 11,∑==n i i y n y 11 相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析 特别指出:（1）对回归直线方程只要求会运用它进行具体计算a 、b ，求出回归直线方程即可. 不要求掌握回归直线方程的推导过程.（2）求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义. 否则，求出的回归直线方程毫无意义. 因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性.（3）求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a 、b ，由于求a 、b 的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误.（4）回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用. 应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充. 因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识.6. 相关系数：相关系数是英国统计学家皮尔逊提出的，对于变量y 与x 的一组观测值，把∑∑∑===----=ni ni i ini i iy y x xy y x xr 11221)()())((=∑∑∑===---n i n i i i ni ii y n y x n x yx n yx 1122221))((叫做变量y 与x 之间的样本相关系数，简称相关系数，用它来衡量两个变量之间的线性相关程度.7. 相关系数的性质： r ≤1，且r 越接近1，相关程度越大；且r 越接近0，相关程度越小.8. 显著性水平:显著性水平是统计假设检验中的一个概念，它是公认的小概率事件的概率值它必须在每一次统计检验之前确定9. 显著性检验：(相关系数检验的步骤)由显著性水平和自由度查表得出临界值，显著性水平一般取0.01和0.05，自由度为ｎ－２，其中ｎ是数据的个数在“相关系数检验的临界值表”查出与显著性水平0.05或0.01及自由度n-2（n 为观测值组数）相应的相关数临界值r 0 05或r 0 01；例如ｎ＝７时，ｒ0.05＝0.754，ｒ0.01＝0.874 求得的相关系数ｒ和临界值ｒ0.05比较，若ｒ＞ｒ0.05，上面ｙ与ｘ是线性相关的,当r ≤r 0.05或r 0.01，认为线性关系不显著结论：讨论若干变量是否线性相关，必须先进行相关性检验，在确认线性相关后，再求回归直线；通过对两个变量是否线性相关的估计，实际上就是把非确定性问题转化成确定性问题来研究；我们研究的对象是两个变量的线性相关关系，还可以研究多个变量的相关问题，这在今后的学习中会进一步学到【典型例题】ｘ（红血球体积，mL ），y （红血球数，百万） （1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线并且画出图形 解：（1）见下图（2）50.45)50394058354248464245(101=+++++++++=x 37.7)72.855.620.649.990.599.650.752.930.653.6(101=+++++++++=y 设回归直线为a bx y+=ˆ， 13.050.4510)50394058354248464245()37.750.4510()72.75055.63920.64049.95890.53599.64250.74825.94630.64253.645(22222222222=⋅-+++++++++⋅⋅-⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 即12210.13ni ii nii x y nxyb xnx ==-==-∑∑， 1.29a y bx =-=所以所求回归直线的方程为ˆ0.13 1.29yx =+，图形如下:例2.一个工厂在某年里每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间有如下一组对应（1）画出散点图；（2）求月总成本y 与月总产量x 之间的回归直线方程． 解：(1)散点图如图所示；（2）按∑∑∑===→→→→→→→12112121212i i i i i i iii i i y x y xy x y x y x 的顺序计算，最后得到974.0,215.1≈≈a b .即所求的回归直线方程为974.0215.1^+=x y .例3. 在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得数据如下（单位：（1）画出散点图；（2）x 与y 是否存在线性相关关系；（3）若存在相关关系，请求出回归直线方程。
回归分析的基本知识点及习题
模型评估：线性 回归模型的评估 通常使用R方值、 调整R方值、残 差图等指标进行
评估。
参数估计与求解
最小二乘法：通过最小化误差的平 方和来估计线性回归模型的参数
梯度下降法：通过迭代更新参数， 使得损失函数最小化，从而得到最 优解
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最大似然估计法：基于似然函数的 最大值来估计参数，使得观测到的 数据出现的概率最大
原理：通过引入 一个小的正则化 项来改进最小二 乘法的估计，以 减少过拟合和增 加模型的稳定性。
目的：在回归分析 中，岭回归分析用 于处理自变量之间 高度相关的情况， 通过加入正则化项 来减少过拟合，提 高模型的预测精度。
应用场景：岭回 归分析广泛应用 于统计学、机器 学习和数据分析 等领域，尤其在 处理共线性数据 问题时表现出色。
感谢您的观看
汇报人：
梯度下降法：通过 迭代更新参数来最 小化损失函数
牛顿-拉夫森方法 ：利用泰勒级数展 开来求解参数
模型评估与优化
模型的准确性评估：通过比较实际值与预测值来评估模型的预测能力。
模型的可靠性评估：检查模型是否具有足够的稳定性和可靠性。
模型的优化方法：通过调整模型参数或改变模型结构来提高模型的预测能力和可 靠性。
假设：满足线性关系、误差项独立同分布、误差项无偏、误差项无自相关等假设。 模型建立：基于历史数据，通过最小二乘法等估计方法确定自变量和因变量的关系。 模型评估：通过残差分析、决定系数、调整决定系数等方法评估模型的拟合优度。
参数估计与求解
最小二乘法：通过 最小化误差的平方 和来估计参数
最大似然估计法： 基于似然函数的最 大值来估计参数
模型的适用性：确定模型是否适用于特定的数据集和问题类型。
高一数学必修线性回归分析知识点
⾼⼀数学必修线性回归分析知识点 分析按照⾃变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和⾮线性回归分析。
下⾯是店铺给⼤家带来的⾼⼀数学必修线性回归分析知识点，希望对你有帮助。
⾼⼀数学线性回归分析知识点总结(⼀) 重点难点讲解： 1.回归分析： 就是对具有相关关系的两个变量之间的关系形式进⾏测定，确定⼀个相关的数学表达式，以便进⾏估计预测的统计分析⽅法。
根据回归分析⽅法得出的数学表达式称为回归⽅程，它可能是直线，也可能是曲线。
2.线性回归⽅程 设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n组观测值的n个点(xi, yi)(i=1,......,n)⼤致分布在⼀条直线的附近，则回归直线的⽅程为。
其中 。
3.线性相关性检验 线性相关性检验是⼀种假设检验，它给出了⼀个具体检验y与x之间线性相关与否的办法。
①在课本附表3中查出与显著性⽔平0.05与⾃由度n-2(n为观测值组数)相应的相关系数临界值r0.05。
②由公式，计算r的值。
③检验所得结果 如果|r|≤r0.05，可以认为y与x之间的线性相关关系不显著，接受统计假设。
如果|r|>r0.05，可以认为y与x之间不具有线性相关关系的假设是不成⽴的，即y与x之间具有线性相关关系。
典型例题讲解： 例1.从某班50名学⽣中随机抽取10名，测得其数学考试成绩与物理考试成绩资料如表：序号12345678910数学成绩54666876788285879094，物理成绩61806286847685828896试建⽴该10名学⽣的物理成绩对数学成绩的线性回归模型。
解：设数学成绩为x，物理成绩为，则可设所求线性回归模型为， 计算，代⼊公式得 ∴所求线性回归模型为=0.74x+22.28。
说明：将⾃变量x的值分别代⼊上述回归模型中，即可得到相应的因变量的估计值，由回归模型知：数学成绩每增加1分，物理成绩平均增加0.74分。
⼤家可以在⽼师的帮助下对⾃⼰班的数学、化学成绩进⾏分析。
线性回归方程.附答案docx
线性回归方程一、考点、热点回顾一、相关关系：1、⎩⎨⎧<=1||1||r r 不确定关系：相关关系确定关系：函数关系2、相关系数：∑∑∑===-⋅---=ni ini ini iiy y x x y y x x r 12121)()())((，其中：（1）⎩⎨⎧<>负相关正相关00r r ；（2）相关性很弱；相关性很强；3.0||75.0||<>r r3、散点图：初步判断两个变量的相关关系。
二、线性回归方程：1、回归方程：a x b yˆˆˆ+= 其中2121121)())((ˆxn x yx n yx x x y yx x bn i i ni ii n i i ni ii--=---=∑∑∑∑====，x b y aˆˆ-=（代入样本点的中心） 2、残差：（1）残差图：横坐标为样本编号，纵坐标为每个编号样本对应的残差。
（2）残差图呈带状分布在横轴附近，越窄模型拟合精度越高。
（3）残差平方和∑=-ni i iyy12)ˆ(越小，模型拟合精度越高。
3、相关指数：∑∑==---=n i ini i iy yyyR 12122)()ˆ(1（1）其中：∑=-ni i iyy12)ˆ(为残差平方和；∑=-ni i y y 12)(为总偏差平方和。
（2）)1,0(2∈R ，越大模型拟合精度越高。
二、典型例题+拓展训练典型例题1：在一组样本数据),,,2)(,(),,(),,(212211不全相等n n n x x x n y x y x y x ≥的散点图中，若所有样本点),2,1)(,(n i y x i i =都在直线121+-=x y 上，则样本相关系数为（ ） 21.21.1.1.--D C B A典型例题2：设某大学的女生体重)(kg y 与身高)(cm x 具有线性相关关系，根据一组样本数据)2,1)(,(n i y x i i =，用最小二乘法建立的回归方程为71.8585.0ˆ-=x y ，则不正确的是（ ）A.y 与x 具有正的线性相关关系；B.回归直线过样本点的中心),(y xC.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg扩展2.一台机器使用时间较长，但还可以使用.它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试（1）对变量y 与x 进行相关性检验；（2）如果y 与x 有线性相关关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？典型例题3.为了对x 、Y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 6.517.5y x =+，717y x =+，试比较哪一个模型拟合的效果更好.52211521()155110.8451000()i i i ii y y R yy ==-=-=-=-∑∑，221R =-521521()18010.821000()ii i ii yy y y ==-=-=-∑∑，84.5%＞82%，所以甲选用的模型拟合效果较好.扩展1.下列说法正确的是（ ）（1）残差平方和越小，相关指数2R 越小，模型拟合效果越差； （2）残差平方和越大，相关指数2R 越大，模型拟合效果越好； （3）残差平方和越小，相关指数2R 越大，模型拟合效果越好； （4）残差平方和越大，相关指数2R 越小，模型拟合效果越差；A.（1）（2）B.（3）（4）C.（1）（4）D.（2）（3）扩展2.关于某设备的使用年限x （年）和所支出的维修费用y （万元）有下表所示的资料：若由资料知，y 对x 呈线性相关关系，求：（1）线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中的回归系数b a ˆ,ˆ； （2）残差平方和与相关指数2R ，作出残差图，并对该回归模型的拟合精度作出适当判断； （3）使用年限为10年时，维修费用大约是多少？三、典型例题4.非线性回归模型：某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。
回归分析的基本知识点及习题
回归分析的基本知识点及习题本周难点：（1）求回归直线方程，会用所学的知识对实际问题进行回归分析.（2）掌握回归分析的实际价值与基本思想.（3）能运用自己所学的知识对具体案例进行检验与说明.（4）残差变量的解释；（5）偏差平方和分解的思想；１．回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。
求回归直线方程的一般步骤：①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系→②求回归系数→③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明.2.回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
建立回归模型的基本步骤是：①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）.③由经验确定回归方程的类型.④按一定规则估计回归方程中的参数（最小二乘法）；⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误，后模型是否合适等.4.残差变量的主要来源：（1）用线性回归模型近似真实模型（真实模型是客观存在的，通常我们并不知道真实模型到底是什么）所引起的误差。
可能存在非线性的函数能够更好地描述与之间的关系，但是现在却用线性函数来表述这种关系，结果就会产生误差。
这种由于模型近似所引起的误差包含在中。
（2）忽略了某些因素的影响。
影响变量的因素不只变量一个，可能还包含其他许多因素（例如在描述身高和体重关系的模型中，体重不仅受身高的影响，还会受遗传基因、饮食习惯、生长环境等其他因素的影响），但通常它们每一个因素的影响可能都是比较小的，它们的影响都体现在中。
（3）观测误差。
由于测量工具等原因，得到的的观测值一般是有误差的（比如一个人的体重是确定的数，不同的秤可能会得到不同的观测值，它们与真实值之间存在误差），这样的误差也包含在中。
线性回归方程
线性回归方程知识定位线性回归方程在全国卷中有所考察，往往以解答题形式出现，考察难度中等，主要掌握以下内容即可：①会作两个有关联变量数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系． ②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．知识梳理知识梳理1：相关关系和函数关系在实际问题中，变量之间的常见关系有两类： 一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示。
例如正方形的面积S 与其边长之间的函数关系（确定关系）；一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达。
例如一块农田的水稻产量与施肥量的关系（非确定关系） 相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。
相关关系与函数关系的异同点：相同点：均是指两个变量的关系。
不同点：函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。
知识梳理2：求回归直线方程的思想方法观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近，思考：类似图中的直线可画几条？引导学生分析，最能代表变量x 与y 之间关系的直线的特征：即n 个偏差的平方和最小，其过程简要分析如下：设所求的直线方程为，其中a 、b 是待定系数。
则，于是得到各个偏差。
显见，偏差的符号有正负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n 个偏差的平方和表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度。
记。
x 2x S =ˆybx a =+ˆ(1,2,,)i i ybx a i n =+=⋅⋅⋅⋅ˆˆ(),(1,2,...)i i i yy y bx a i n -=-+=ˆˆi yy -2221122()()....()n n Q y bx x y bx a y bx a =--+--++--21()nii i Q ybx a ==--∑上述式子展开后，是一个关于a ，b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的a ，b 的值，即其中例题精讲【试题来源】【题目】下列各组变量哪个是函数关系，哪个是相关关系？ （1）电压U 与电流I （2）圆面积S 与半径R（3）自由落体运动中位移s 与时间t （4）粮食产量与施肥量 （5）人的身高与体重（6）广告费支出与商品销售额 【答案】见解析【解析】分析：函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。
高中数学知识点：线性回归方程
高中数学知识点：线性回归方程高中数学知识点：线性回归方程1.回归直线方程（1）回归直线：观察散点图的特征，发现各个大致分布在通过散点图中心的一条直线附近。
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。
求出的回归直线方程简称回归方程。
2．回归直线方程的求法设与n 个观测点（,i i x y ）()1,2,,i n =最接近的直线方程为,y bx a =+，其中a 、b 是待定系数.则,(1,2,,)i i y bx a i n =+= .于是得到各个偏差(),(1,2,,)i i i i y y y bx a i n -=-+=.显见，偏差i i y y -的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n 个偏差的平方和.2222211)()()(a bx y a bx y a bx y Q n n --++--+--=表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度.记21()ni i i Q y bx a ==--∑.上述式子展开后，是一个关于a 、b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的a 、b 的值.即1122211()()()n n i i i i i i n n i ii i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx ====?---??==??--??=-??∑∑∑∑，∑==n i i x n x 11，∑==n i i y n y 11相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析上述求回归直线的方法是使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法，叫做最小二乘法。
要点诠释：1.对回归直线方程只要求会运用它进行具体计算a、b，求出回归直线方程即可.不要求掌握回归直线方程的推导过程.2.求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义.否则，求出的回归直线方程毫无意义.因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性.3.求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a、b，由于求a、b 的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误.4.回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用.应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充.因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识.。
高考线性回归方程总结学习资料
高考线性回归方程总结第二讲 线性回归方程一、相关关系：1、⎩⎨⎧<=1||1||r r 不确定关系：相关关系确定关系：函数关系2、相关系数：∑∑∑===-⋅---=ni ini ini iiy y x x y y x x r 12121)()())((，其中：（1）⎩⎨⎧<>负相关正相关00r r ；（2）相关性很弱；相关性很强；3.0||75.0||<>r r例题1：下列两个变量具有相关关系的是（ ）A.正方形的体积与棱长；B.匀速行驶的车辆的行驶距离与行驶时间；C.人的身高和体重；D.人的身高与视力。
例题2：在一组样本数据),,,2)(,(),,(),,(212211不全相等n n n x x x n y x y x y x ΛΛ≥的散点图中，若所有样本点),2,1)(,(n i y x i i Λ=都在直线121+-=x y 上，则样本相关系数为（ ）21.21.1.1.--D C B A 例题3：r 是相关系数，则下列命题正确的是：（1）]75.0,1[--∈r 时，两个变量负相关很强；（2）]1,75.0[∈r 时，两个变量正相关很强；（3）)75.0,3.0[]3.0,75.0(或--∈r 时，两个变量相关性一般； （4）（4）1.0=r 时，两个变量相关性很弱。
3、散点图：初步判断两个变量的相关关系。
例题4：在画两个变量的散点图时，下列叙述正确的是（ ） A.预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上； B.解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上； C.可以选择两个变量中的任意一个变量在x 轴上；D.可以选择两个变量中的任意一个变量在y 轴上； 例题5：散点图在回归分析过程中的作用是（ ）A.查找个体个数B.比较个体数据的大小C.研究个体分类D.粗略判断变量是否线性相关二、线性回归方程：1、回归方程：a x b yˆˆˆ+= 其中2121121)())((ˆxn x yx n yx x x y yx x bn i i ni ii n i i ni ii--=---=∑∑∑∑====，x b y aˆˆ-=（代入样本点的中心） 例题1：设),(),,(),,(2211n n y x y x y x Λ是变量n y x 的和个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（过一、二、四象限），以下结论正确的是（ ）A.直线l 过点),(y xB.当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同C.的和y x 相关系数在0到1之间D.的和y x 相关系数为直线l 的斜率例题2：工人月工资y （元）依劳动生产率x （千元）变化的回归直线方程为x y9060ˆ+=，下列判断正确的是（ ） A.劳动生产率为1000元时，工资为150元； B.劳动生产率提高1000元时，工资平均提高150元； C.劳动生产率提高1000元时，工资平均提高90元； D.劳动生产率为1000元时，工资为90元；例题3：设某大学的女生体重)(kg y 与身高)(cm x 具有线性相关关系，根据一组样本数据)2,1)(,(n i y x i i Λ=，用最小二乘法建立的回归方程为71.8585.0ˆ-=x y，则不正确的是（ ） A.y 与x 具有正的线性相关关系； B.回归直线过样本点的中心),(y x C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg D.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg例题4：为了了解儿子的身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为（ ）A.1-=x y B.1+=x y C.x y 2188+= D.176=y2、残差：（1）残差图：横坐标为样本编号，纵坐标为每个编号样本对应的残差。
线性回归(1)(2019年11月整理)
一、有关概念
问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间的函数关系是
y = x2
确定性关系
问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否有一个确定性 的关系？
例如：在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施肥量 对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455
方法叫回归分析。 通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的 某种确定性
探索1： 水稻产量y与施肥量x之间大致有何规律？
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455
y 水稻产量 500 450
· ··
散点图
400
· ·
当施肥量x一定时，水稻产量y的值带有一定的随机性
1、相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定 随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。
注 1）：相关关系是一种不确定性关系；
2）：相关关系与函数关系的异同点如下：
相同点：均是指两个变量的关系 不同点：函数关系是一种确定性的关系；而相关关系是一 种非确定性关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系， 这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随 机变量与随机变量的关系． 2、回归分析： 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的
350 · ·
3、表示具有相关关系的 两个变量的一组数据的 图形叫做散点图.
300 10 20 30 40 50
施化肥量 x
发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。
探索2： 在这些点附近可画直线不止一条，哪条直线最 能代表x与y之间的关系呢？