2018春北师大版八年级下册数学专题冲刺第六章平行四边形

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第6章平行四边形(强化篇) (解析版)

2020—2021八年级下学期专项冲刺卷（北师大版）第6章平行四边形（强化篇）姓名：___________考号：___________分数：___________（考试时间：100分钟满分：120分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则此平行四边形的周长为（）A．28或32 B．28或36 C．32或36 D．28或32或36【答案】D【分析】由勾股定理可求AB＝10，分别以AC，BC为边，AC，AB为边，AB，BC为边三种情况讨论可求解．【详解】∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴10AB=，⨯+=，若以AC，BC为边，则平行四边形的周长＝2(AC+BC)＝2(68)28⨯+=，若以AC，AB为边，则平行四边形的周长＝2(AC+AB)＝2(610)32⨯+=，若以AB，BC为边，则平行四边形的周长＝2(AB+BC)＝2(108)36故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，利用分类讨论思想解决问题是解本题的关键．2．若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形的内角的度数是（）A．1080°B．1440°C．1260°D．1080°【答案】C【解析】分析：由一个多边形的每个外角都等于40°，根据n边形的外角和为360°计算出多边形的边数n，然后根据n边形的内角和定理计算即可．详解：设多边形的边数为n，∵多边形的每个外角都等于40°，∴n=360÷40=9，∴这个多边形的内角和=（9-2）×180°=1260°．故选C．点睛：本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和=（n-2）•180°；也考查了n边形的外角和为360°．3．如图，以正六边形ABCDEF的对角线BD为边，向右作等边三角形BDG，若四边形BCDG的面积为4，则五边形ABCDEF的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】连接GC并延长交BD于点H，连接AE，根据正六边形和等边三角形的性质可得，△BCG≌△DCG，△GBC≌△DBC，所以得S△BCG=S△DCG=S△BCD=2，S△AEF=2，进而可得五边形ABDEF的面积．【详解】解：如图，连接GC并延长交BD于点H，连接AE，∵ABCDEF正六边形，∴AB=BC=CD=DE=EF=AF ，∠F=∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=120°，∵△BDG 是等边三角形，∴BG=DG=BD又CG=CG ，∴△BCG ≌△DCG （SSS ），∵∠GBC=∠DBC=30°，∴△GBC ≌△DBC （SAS ），∴S △BCG =S △DCG =S △BCD =2，∴S △AEF =2，设CH=x ，则BC=CG=2x ，BH=3x ， ∴BD=23x ，∴12CG•BH=2，即12×2x×3x =2， ∴232x =，∴S 四边形ABDE =AB•BD=2x•23x =423x =8，∴五边形ABDEF 的面积为：2+8=10．故选：C ．【点睛】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握正多边形和圆的性质． 4．如图，平行四边形的两条对角线将平行四边形的面积分成四部分，分别记作S 1，S 2，S 3，S 4，下列关系式成立的是（）A ．1234S S S S <<<B ．1234S S S S ===C ．1234S S S S +>+D ．1324S S S S =<=【答案】B【解析】【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC ，OB=OD ，即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ，∴S 1=S 2=S 3=S 4，故选B ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．5．如图，过正五边形ABCDE 的顶点A 作直线l ∥BE ，则∠1的度数为A ．30°B ．36°C ．38°D ．45°【答案】B【解析】试题分析：∵ABCDE 是正五边形，∴∠BAE=（5﹣2）×180°÷5=108°．∵AB=AE ，∴∠AEB=（180°﹣108°）÷2=36°．∵l ∥BE ，∴∠1=∠AEB=36°．故选B ．6．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AC ，若△BCD 的周长是14，BC ＝6，则AC 的长是（）A ．6B ．8C ．10D ．14【答案】B【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AD ＝CD ，再根据等腰三角形的性质解答即可．【详解】解：∵DE 垂直平分AC ，∴AD ＝CD ．∵△BCD 的周长是14，BC ＝6，∴AB ＝BD+CD ＝14﹣6＝8，∵AB ＝AC ，∴AC ＝8．故答案为B ．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质,掌握垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质是解答本题的关键．7．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，ABC 和CDE 都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于G ，AD 交BE 于O 点．则下列结论中不一定正确的是（）A ．AD=BEB ．CO 平分∠BODC ．BE ⊥ACD ．FG ∥BC【答案】C【解析】 ∠BCA +∠ACE =∠DCE +∠ACE ,，,BCE ACD ∠∠∴=AC=BC ,CE=CD ,BCE ACD ∴≅,所以AD=BE ,A 正确.过C ，作CH,CI 分别垂直BE,AD, BCE ACD ≅所以CH=CI ,所以CO 平分∠BOD.B 正确．证明由BCE ACD ，∴≅∴∠CAD =∠FBC,BC=AC, ,BCF ABG ∴≅∠ACF=60°，∴∠ABG=∠ACB,是等边三角形，易得，FG ∥BC ，D 正确. 所以选C8．如图，直线EF 过平行四边形ABCD 对角线的交点O ，分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是平行四边形ABCD 面积的()A ．15B ．14C ．13D ．310【答案】B【分析】由平行四边形的性质得到OA=OC ，OB=OD ，AB ∥DC ，证出△AOE 和△COF 全等，△AOB 和△COD 全等，得到面积相等，即可得到选项．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ，AB ∥DC ，∴∠EAO=∠FCO在△△AOE 和△COF 中OA OC OB ODEAO FCO =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOE ≌△COF ，∴S △AOE =S △COF ，在△COB 和△AOD 中OA OC OB ODAOD COB =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△COB ≌△AOD ，∴S △AOD =S △BOC ，同理S △AOB =S △DOC∵OB=OD ，∴S △AOB =S △DOC ，∴阴影部分的面积是S △AOE +S △DOF =S △DOC=14S 平行四边形ABCD ．故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是证明两个三角形全等．9．如图，在平行四边形ABCD 中，EF 过两条对角线的交点O ，若1,7,3AB BC OE ===则四边形EFCD 的周长是（）A ．17B ．14C ．11D ．10【答案】B【分析】由在平行四边形ABCD 中，EF 过两条对角线的交点O ，易证得AOE COF ∆≅∆，则可得DE CF AD ，26EF O E ，继而求得四边形EFCD 的周长．【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，OA OC =，1CD AB ==，7AD BC ==EAO FCO ∴∠=∠，在AOE ∆和COF ∆中，EAO FCO OA OCAOE COF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩， ()AOE COF ASA ∴∆≅∆，AE CF ∴=，3OE OF ==，6EF ∴=，∴四边形EFCD 的周长是：17614CD D E EF CF CD D E AE EF CD AD EF ，故选：B ．【点睛】题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键． 10．如果一个多边形的每个内角都为150°，那么这个多边形的边数是( )A ．6B ．11C ．12D ．18【答案】C【分析】根据多边形的内角和定理：180°•（n-2）求解即可．【详解】由题意可得：180°⋅(n−2)=150°⋅n ，解得n=12.所以多边形是12边形，故选C.【点睛】此题考查多边形内角（和）与外角（和），掌握运算公式是解题关键11．一个多边形内角和是外角和的2倍，它是( )A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形【答案】B【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．【详解】设这个多边形是n边形，根据题意得：（n﹣2）×180°＝2×360°解得：n＝6．故选B．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．12．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为( )A．4 B．4或34 C．16或34 D．4或34【答案】D【解析】解：∵个直角三角形的两边长分别为3和5，∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则x= ；②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则x= ．故选D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF=13 CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为______________．【答案】6根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD的长，结合已知条件即可求出DF的长，然后根据三角形中位线的性质即可求出结论．【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=9，D为AB的中点，∴CD=AD=12AB=92∵CF=13CD∴CF=3 2∴DF=CD－CF=3∵BE∥DC，点D为AB的中点∴DF为△ABE的中位线∴BE=2DF=6故答案为：6．【点睛】此题考查的是直角三角形的性质和三角形中位线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形中位线的性质是解决此题的关键．14．把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，∠2＝18°，则∠3＝_____．【答案】32°．【分析】通过正三角形、正四边形、正五边形的内角度数，结合三角形内角和定理进行计算即可；【详解】等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：15（5﹣2）×180°＝108°，则∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝32°．故答案是：32°．【点睛】本题主要考查了多边形内角和与外角定理的应用，准确分析图形中角的关系式解题的关键．15．如图，已知直线l∥AB，l与AB 之间的距离为2 ，C、D 是直线l上两个动点（点C在D 点的左侧），且AB=CD=5．连接AC、BC、BD，将△ABC 沿BC 折叠得到△A′BC．若以A′、C、B、D 为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为____．【答案】57【解析】【分析】根据平行四边形的判定方法可得到四边形ABCD为平行四边形，当∠CBD=90°，则∠BCA=90°，由于S△A1CB=S△ABC=5，则S矩形A′CBD=10，根据勾股定理和完全平方公式进行计算；当∠BCD=90°，则∠CBA=90°，易得BC=2，而CD=5可得计算出结果．【详解】∵AB=CD=5，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABDC的面积=2×5=10，设矩形的边长分别为a，b，当∠CBD=90°，∵四边形ABDC是平行四边形，∴∠BCA=90°，∴S△A′CB=S△ABC=12×2×5=5，∴S矩形A′CBD=10，即ab=10，而BA′=BA=5，∴a2+b2=25，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=45，∴a+b=35，当∠BCD=90°时，∵四边形ABDC是平行四边形，∴∠CBA=90°，∴BC=2，而CD=5，∴（a+b）2=（2+5）2=49，∴a+b=7，∴此矩形相邻两边之和为35或7.故答案是：35或7.【点睛】考查了四边形的判定与性质和折叠的性质，熟练掌握平四边形的判定与性质会运用折叠的性质确定相等的线段和角是解题的关键．16．一个多边形内角和是一个四边形内角和的4倍，则这个多边形的边数是_________【答案】10【详解】解：本题根据题意可得：（n－2）×180°=4×360°，解得：n=10．故答案为：10 ．考点：多边形的内角和定理.17．图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________．【答案】360°【分析】根据三角形外角的性质，四边形内角的性质，可得答案．【详解】如图：由三角形外角的性质，得：∠7=∠1+∠6，∠8=∠2+∠7．由等式的性质，得：∠8=∠2+∠1+∠6．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠8+∠3+∠4+∠5=（4﹣2）×180°=360°．故答案为：360°．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，利用三角形外角的性质得出∠8=∠2+∠1+∠6是解答本题的关键．18．如图，在△ABC中，∠A=55°，∠B=60°，则外角∠ACD=________度．【答案】115【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可得【详解】解：∠ACD=∠A+∠B=55°+60°=115°．故答案为：115°【点睛】本题主要考查了三角形外角性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．已知，△ABC，AD⊥BD于点D，AE⊥CE于点E，连接DE.(1)如图1，若BD，CE分别为△ABC的外角平分线，求证：DE＝12(AB+BC+AC).(2)如图2，若BD，CE分别为△ABC的内角平分线，(1)中的结论成立吗？若成立请说明理由；若不成立，请猜想出新的结论并证明；(3)如图3，若BD，CE分别为△ABC的一个内角和一个外角的平分线，AB＝8，BC＝10，AC＝7，请直接写出DE的长为______.【答案】(1)证明见解析；(2)不成立.DE＝12(AB+AC﹣BC)，证明见解析；(3)4.5.【分析】(1)根据全等三角形的判定与性质，可得AB与BK，AC与CH的关系，根据等腰三角形的性质，可得AD与DK的关系，AE与EH的关系，根据三角形中位线的性质，可得答案；(2)都是内角平分线时，可根据等腰三角形三线合一的特点来求解，由于DB平分∠ABC，且AD⊥BD，如果延长AD 交BC于K，那么三角形ABK就是个等腰三角形，AD＝DK，如果延长AE到H，那么同理可证AG ＝GH，AC＝CH，那么DE就是三角形AHK的中位线，DE就是HK的一半，而HK＝BK﹣BH＝BK﹣(BC﹣CH)，由于BK＝AB，CH＝AC，那么可得出DE＝12(AB+AC﹣BC)；(3)证法同(1)，先根据题目给出的求法，得出GD是AC的一半，然后按(2)的方法，通过延长AF来得出DF是(BC﹣AB)的一半，由此可得出DE＝12(BC+AC﹣AB)，由此即可解决问题.【详解】(1)证明：如图1，分别延长AE、AD交BC于H、K，在△BAD和△BKD中，∵ABD DBK BD BDBDA BDK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD≌△BKD(ASA)，∴AD＝KD，AB＝KB，同理可证，AE＝HE，AC＝HC，∴DE＝1 2HK，又∵HK＝BK+BC+CH＝AB+BC+AC，∴DE＝12(AB+AC+BC)；(2)解：结论不成立.DE＝12(AB+AC﹣BC).理由：如图2，分别延长AE、AD交BC于H、K，在△BAD和△BKD中，∵ABD DBKBD BDBDA BDK∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD≌△BKD(ASA)，∴AD＝KD，AB＝KB，同理可证，AE＝HE，AC＝HC，∴DE＝12HK，又∵HK＝BK﹣BH＝AB+AC﹣BC，∴DE＝12(AB+AC﹣BC).(3)解：分别延长AE、AD交BC或延长线于H、K，在△BAD和△BKD中，∵ABD DBKBD BDBDA BDK∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD≌△BKD(ASA)，∴AD＝KD，AB＝KB同理可证，AE＝HE，AC＝HC，∴DE＝12KH又∵KH＝BC﹣BK+HC＝BC+AC﹣AB.∴DE＝12(BC+AC﹣AB)，∵AB＝8，BC＝10，AC＝7，∴DE＝12(10+7﹣8)＝4.5，故答案为4.5.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义和性质,中位线的定义和性质，解决本题的关键是：（1）熟练掌握全等三角形的判定方法，从题干中提取有用的数学信息；（2）正确理解等腰三角形的性质正确理解中位线的概念和性质.20．已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，点D为△ABC的BC边上一点，连接AD，将线段AD 旋转至AE，使得∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）求证：△ACE≌△ABD；（2）若∠BAC=∠DAE=90°，EC=3，CD=1，求四边形AECD的面积．【答案】（1）见解析；（2）4【分析】（1）求出∠CAE=∠BAD，AE=AD，根据SAS推出全等即可；（2）根据全等求出BD，求出BC，根据题意求得S AECD=S⊿ABC进而进行分析求解即可．【详解】解：证明(1) ∵∠DAE=∠BAC ，∴∠DAE-∠DAC= ∠BAC-∠DAC ，∴∠CAE= ∠BAD ，∵ 在⊿CAE 和⊿BAD 中，AB=AC ∠CAE= ∠BAD AD=AE ，∴⊿ACE ≌⊿ABD （SAS ）.(2) ∵ ⊿ACE ≌⊿ABD∴S ⊿ACE =S ⊿ABD ， EC=BD=3，∴S AECD =S ⊿ABC又BC=BD+DC=4,∠BAC=900,AB=AC,∴S AECD =S ⊿ABC =12AB×AC=12AB 2=182⨯=4, 【点睛】本题考查勾股定理以及全等三角形的性质和判定的应用，能求出△ACE ≌△ABD 是解此题的关键． 21．如图，,F C 是线段AD 上的两点，且AF CD =，点,,E F G 在同一直线上，且,F G 分别是,AC AB 的中点，.BC EF =求证：ABC DEF ∆≅∆【答案】见解析【分析】根据中位线的性质得到//EF BC ，再根据平行线的性质得到DFE ACB ∠=∠．根据等式的性质得到BC=EF ，即可证明ABC DEF ∆≅∆．【详解】证明：∵,F G 分别是,AC AB 的中点∴FG 是△ABC 的中位线//EF BC ∴DFE ACB ∴∠=∠AF CD =AC DF =∴BC EF =ACB DFE ∴∆≅∆．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，中位线的性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，中位线的性质是解答本题的关键．22．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，且EC 平分BED ∠．（1）BEC ∆是否为等腰三角形？请给出证明；（2）若2AB =，45ABE ∠=︒，求BC 的长．【答案】（1）△BEC 为等腰三角形；理由见解析；（2）2【分析】（1）由矩形的性质得出∠A=90°，AD ∥BC ，证出∠BCE=∠CED ，再由已知条件得出∠BCE=∠BEC ，即可得出△BEC 是等腰三角形；（2）根据勾股定理可求BE 的长，即可求BC 的长．【详解】（1）△BEC 为等腰三角形；理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，AD ∥BC ，∴∠BCE=∠CED ，∵EC 平分∠BED ，∴∠BEC=∠CED ，∴∠BCE=∠BEC ，∴BC=BE ，即△BEC是等腰三角形；（2）在矩形ABCD中，∠A=90°，且∠ABE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=AB=2，∴BE=2222AE AB+=，由（1）知BC=BE，∴BC=22．【点睛】此题考查矩形的性质、等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解题的关键．23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A(3，32)和B (23，0)，且与y轴交于点D，直线OC与AB交于点C，且点C的横坐标为3．(1)求直线AB的解析式；(2)连接OA，试判断△AOD的形状；(3)动点P从点C出发沿线段CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点O出发沿y轴的正半轴以相同的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．【答案】（1）y 3+2；（2）△AOD为直角三角形，理由见解析；（3）t＝2323【分析】（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b，即可求解；（2）由点A 、O 、D 的坐标得：AD 2＝1，AO 2＝3，DO 2＝4，故DO 2＝OA 2+AD 2，即可求解；（3）点C1），∠DBO ＝30°，则∠ODA ＝60°，则∠DOA ＝30°，故点C1），则∠AOC ＝30°，∠DOC ＝60°，OQ ＝CP ＝t ，则OP ＝2﹣t ．①当OP ＝OM 时，OQ ＝QH +OH2﹣t ）+12（2﹣t ）＝t ，即可求解；②当MO ＝MP 时，∠OQP ＝90°，故OQ ＝12OP ，即可求解；③当PO ＝PM 时，故这种情况不存在．【详解】解：（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：320k b b ⎧+⎪⎨⎪=+⎩，解得：=2k b ⎧⎪⎨⎪=⎩故直线AB 的表达式为：y+2；（2）直线AB 的表达式为：y+2，则点D （0，2），由点A 、O 、D 的坐标得：AD 2＝1，AO 2＝3，DO 2＝4，故DO 2＝OA 2+AD 2，故△AOD 为直角三角形；（3）直线AB 的表达式为：y+2，故点C1），则OC ＝2，则直线AB 的倾斜角为30°，即∠DBO ＝30°，则∠ODA ＝60°，则∠DOA ＝30°故点C1），则OC ＝2，则点C 是AB 的中点，故∠COB ＝∠DBO ＝30°，则∠AOC ＝30°，∠DOC ＝60°，OQ ＝CP ＝t ，则OP ＝OC ﹣PC ＝2﹣t ，①当OP ＝OM 时，如图1，则∠OMP＝∠MPO＝12（180°﹣∠AOC）＝75°，故∠OQP＝45°，过点P作PH⊥y轴于点H，则OH＝12OP＝12（2﹣t），由勾股定理得：PH＝3（2﹣t）＝QH，OQ＝QH+OH＝3（2﹣t）+12（2﹣t）＝t，解得：t＝23；②当MO＝MP时，如图2，则∠MPO＝∠MOP＝30°，而∠QOP＝60°，∴∠OQP＝90°，故OQ＝12OP，即t＝12（2﹣t），解得：t ＝23； ③当PO ＝PM 时，则∠OMP ＝∠MOP ＝30°，而∠MOQ ＝30°，故这种情况不存在；综上，t ＝23或23．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一次函数解析式、勾股定理、含30°的角的直角三角形的性质等知识点，还利用了方程和分类讨论的思想，综合性较强，难度较大，解题的关键是学会综合运用性质进行推理和计算．24．如图，点A 、F 、C 、D 在一条直线上，已知//BC FE ，且BC FE =，B E ∠=∠．（1）求证：ABC ≌DEF ；（2）若7AF cm =，27FD cm =，求线段FC 的长．【答案】（1）见解析；（2）20FC cm =【分析】（1）根据ASA 即可证明△ABC ≌△DEF ．（2）根据△ABC ≌△DEF 得AC=FD ，结合已知条件即可得到结论．【详解】（1）∵//BC FE ，∴ACB DFE ∠=∠．在ABC 和DEF 中，B E BC EFACB DFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ABC ≌DEF （ASA ）（2）由（1）得ABC ≌DEF ，∴AC FD =．∵27FD cm =，∴27AC cm =．∵FC AC AF =-，7AF cm =，∴27720FC cm cm cm =-=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是先证明△ABC ≌△DEF ．。

【名师专题】2018年八年级数学下册平行四边形矩形练习卷(含答案)

2018年八年级数学下册平行四边形矩形练习卷一、选择题:1.下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（）A．一组对角相等B．对角线互相平分 C．一组对边相等 D．对角线互相垂直2.下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形 B.矩形的对角线相等且互相平分C.对角线互相平分的四边形是矩形D.矩形的对角线互相垂直且平分3.如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66° B．104° C．114° D．124°4.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边形OCED的周长为（）A．4 B．8 C．10 D．125.如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F,若BF=12,AB=10,则AE的长为（）A．13 B．14 C．15 D．166.如图,平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若□ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，则□ABCD的面积等于( )A．87.5 B．80 C．75 D．72.57.下列命题中，假命题是（）A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形B.有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形C.有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形D.有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形8.如图,P是矩形ABCD的对角线AC的中点,E是AD的中点.若AB=6,AD=8,则四边形ABPE的周长为（）A．14 B．16 C．17 D．189.如图,在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF10.如图，在矩形ABCD中，AB=8.将矩形的一角折叠，使点B落在边AD上的B´点处，若AB/=4，则折痕EF 的长度为（）A．8 B．C．D．1011.如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转300，得到平行四边形AB′C′D′(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点)，点B′恰好落在BC边上，则∠C=（）A．155°B．170°C．105°D．145°12.如图,已知矩形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此矩形折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则△ABE的面积为（）A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2二、填空题：13.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若DF⊥AC,∠ADF:∠FDC=3:2，则∠BDF= ．14.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别在边AB，BC上，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，则EF长度的最大值为．15.如图，▱ABCD中，AB=2，BC=4，∠B=60°，点P是四边形上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，BP的长为．16.矩形ABCD中，AB=5，BC=4，将矩形折叠，使得点B落在线段CD的点F处，则线段BE的长为．17.如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为．18.如图，△ABC中，AB=12，AC=8，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为．三、解答题：19.如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE．求证：AE=CF．20.如图,已知把长方形纸片ABCD沿EF折叠后,点D与点B重合,点C落在点C′的位置上,若∠1=60°，AE=2．（1）求∠2，∠3的度数．（2）求长方形ABCD的纸片的面积S．21.如图，△ABC和△BEF都是等边三角形，点D在BC边上，点F在AB边上，且∠EAD=60°，连接ED、CF．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．22.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．参考答案1.B2.B.3.C4.B5.D6.B7.C．8.D9.B10.C11.A12.A13.答案为：18°14.答案为：3．15.解：分两种情况：（1）①当∠BPC=90°时，作AM⊥BC于M，如图1所示，∵∠B=60°，∴∠BAM=30°，∴BM=AB=1，∴AM=BM=，CM=BC﹣BM=4﹣1=3，∴AC==2，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∴当点P与A重合时，∠BPC=∠BAC=90°，∴BP=BA=2；②当∠BPC=90°，点P在边AD上，CP=CD=AB=2时，BP===2；（2）当∠BCP=90°时，如图3所示：则CP=AM=，∴BP==；综上所述：当△PBC为直角三角形时，BP的长为 2或2或．16.答案为：2.5．17.答案为：（0，）．18.答案为：2；19.证明：连接AC交BD于点O，连接AF、CE∵▱ABCD∴OA=OC，OB=OD ∵OF=BF﹣OB，OE=DE﹣OD,BF=DE∴OE=OF∵OA=OC，OE=OF ∴四边形AECF是平行四边形∴AE=CF20.21.证明：（1）∵△ABC和△BEF都是等边三角形，∴AB=AC，∠EBF=∠ACB=∠BAC=60°，∵∠EAD=60°，∴∠EAD=∠BAC，∴∠EAB=∠CAD，在△ABE和△ACD中，∠EBA=∠ACB,AB=AC,∠EAB=∠DAC，∴△ABE≌△ACD．（2）由（1）得△ABE≌△ACD，∴BE=CD，∵△BEF、△ABC是等边三角形，∴BE=EF，∴∠EFB=∠ABC=60°，∴EF∥CD，∴BE=EF=CD，∴EF=CD，且EF∥CD，∴四边形EFCD是平行四边形．22.（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，∠4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF；（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，∵CE=12，CF=5，∴EF==13，∴OC=0.5EF=6.5；（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．。

2018届数学中考第一轮复习-6.四边形与平行四边形 - 副本

第六章四边形与平行四边形测试卷一、选择题1．（2017山东泰安，19，3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC=EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①B E平分∠CBF②CF平分∠DCB③BC＝FB④PF＝PC.其中正确的结论个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2017山东威海，10，3分）如图,在平行四边形ABCD中∠DAB的平分线交CD于点E,交BC的延长线于点G, ∠ABC的平分线交CD于点F,交AD的延长线于点H,交AG与BH成交于点O,连接BE.下列结论错误的是（）A.BO=OHB.DF=CEC.DH=CGD.AB=AE3．（2017四川眉山，10,3分）如图，EF过□ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F．若□ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为（）A．14 B．13 C．12 D．104.（2017•江西, 6, 3分）如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形5.（2017•宜昌, 10, 3分）如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④6.（2017•贵阳, 8, 3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为（）A．6 B．12 C．18 D．247.（2017•河北, 16, 2分）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（）A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.58.（2017•黑龙江, 17, 3分）在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是（）A．22 B．20 C．22或20 D．189.（2017•黄石）如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE+∠CBD，AC=1，则BD必定满足（）A．BD＜2 B．BD=2 C．BD＞2 D．以上情况均有可能10.（2017•株洲, 9, 3分）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（）A．一定不是平行四边形B．一定不是中心对称图形C．可能是轴对称图形D．当AC=BD时它是矩形11．（2017山东德州，11，3分）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b(a＞b)，M在BC边上，且BM＝b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF．给出以下五个结论：①∠MAD＝∠AND；②CP＝b－ab2；③△ABM≌△NGF；④S四边形AMFN＝a2＋b2；⑤A，M，P，D四点共圆．其中正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．512．（2017四川攀枝花，10，3分）10.如图5，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，过点G作GH丄CE于点H，若S∆EGH＝3，则S∆ADF＝（）A． 6 B． 4 C．3 D．213．（2017山东泰安，14，3分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）A．18 B．1095C．965D．25314．(2017浙江宁波，11，4分)如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，4BE=，过点E作EF BC∥，分别交BD，CD于G，F两点，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为( )A．3 B．23C．13D．415．（2017山东临沂，12，3分）在△ABC中，点D是边BC上的点（与B、C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E、F两点，下列说法正确的是（）A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形16.（2017•兰州，14，4分）如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE=2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′+CG′=（）A．B．C．D．17.（2017•广东，10，3分）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF；④S△ADF=2S△CDF，其中正确的是（）A．①③B．②③C．①④D．②④18.（2017•贵港, 12, 3分）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是（）CABDNM EFGP19．（2017湖北天门，中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点AE＝455；④AF＝2OAE=，．24.（2017•南通, 10, 3分）如图，矩形ABCD中，AB=10，周长的最小值为（10于点F，G，连接FG．则；④OD=的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD 分）如图为某城市部分街道示意图，四边形为正方形，点G在对角线BD上，1500m，小敏姓周的路线为B，则小聪行走的路程为分) 如图，正方形ABCD中，在DP上，且∠DFE=45°，若分）如图，在正方形ABCD在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写，使得AE CG =，BF DH =，、F 分别是AB 、BC 的中点，CE ⊥AB ，垂足为E ，=BC 上的一点，以BP 为边作正方形BPEF ，使点F 在线的形状，并说明理由；cm214.（2017•海南, 23, 12分）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 在AD 边上运动，且不与点A 和点D 重合，连结CE ，过点C 作CF ⊥CE 交AB 的延长线于点F ，EF 交BC 于点G ．（1）求证：△CDE ≌△CBF ；（2）当DE=时，求CG 的长；（3）连结AG ，在点E 运动过程中，四边形CEAG 能否为平行四边形？若能，求出此时DE 的长；若不能，说明理由．15.（2017•黑龙江, 26, 8分）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ．若四边形ABCD 是正方形如图1：则有AC=BD ，AC ⊥BD ．旋转图1中的Rt △COD 到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD 是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt △COD 至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．16.（2017•绥化, 28, 9分）如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 边上一点，EC 平分∠DEB ，F 为CE 的中点，连接AF ，BF ，过点E 作EH ∥BC 分别交AF ，CD 于G ，H 两点．（1）求证：DE=DC ；（2）求证：AF ⊥BF ；（3）当AF•GF=28时，请直接写出CE 的长．17.（2017•吉林, 23, 8分）如图①，BD 是矩形ABCD 的对角线，∠ABD=30°，AD=1．将△BCD 沿射线BD 方向平移到△B'C'D'的位置，使B'为BD 中点，连接AB'，C'D ，AD'，BC'，如图②．（1）求证：四边形AB'C'D 是菱形；（2）四边形ABC'D′的周长为；（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．18.（2017•南通, 26, 10分）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，PQ 垂直平分BE ，分别交AD 、BE 、BC 于点P 、O 、Q ，连接BP 、EQ ．（1）求证：四边形BPEQ 是菱形；（2）若AB=6，F 为AB 的中点，OF +OB=9，求PQ 的长．。

北师大版数学八年级下册 6.1.2平行四边形的性质课件

活动探究
探究点一问题2：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E F过点O且与AB、CD 分别相交于点E、F，求证：OE=OF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=DO，AB∥CD. ∴∠ABO=∠CDO. 又∵∠BOE=∠DOF , ∴△BOE≌△DOF. ∴OE=OF.
活动探究
解：∵▱A BCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，BD＝18， ∴AO＝12AC＝6，BO＝12 BD＝9. 又∵△AOB的周长l＝23， ∴AB＝l－(AO＋BO) ＝23－(6＋9)＝8.
课堂小结
平行四边形的性质对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心；边：对边平行且相等；角：对角相等，邻角互补. 对角线：相互平分
探究点二问题1：如图, □ABCD的对角线AC、BD相交于点O, ∠ADB=90º,OA=6,0B=3. 求AD和AC的长度. 解：在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ∴OD=OB=3 ∠ADB=90º 在Rt∆AOD中，
AD = OA2 - OD2 = 62 + 32 = 3 3， AC=2OA=2×6=12 所以，AD和AC的长度分别为 3 3 和12.
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11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。21. 4.3013: 39:1113 :39Apr-2130-A pr-21
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12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。13:39: 1113:3 9:1113: 39Frida y, April 30, 2021
6.1 平行四边形的性质第源自课时八年级下册-学习目标 1 掌握平行四边形对角线互相平分的性质; 2 利用平行四边形对角线的性质解决有关问题.

北师版八年级下册数学第6章平行四边形综合与实践平面图形的镶嵌

知1－讲
平面镶嵌的概念：用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌．
感悟新知
1. 请欣赏下列图案(如图)，并观察每一种图案是由哪一种或几种正多边形镶嵌而成的．
①____________；②___________．
正六边形
正方形
知1－练
课堂小结
平面图形的镶嵌
3. 用多种正多边形进行镶嵌：与用同一种正边形作平面镶嵌的原理相同，即能否进行平面镶嵌，主要是看几种正多边形在同一个顶点处的几个肉角的和是否等于360°.
课堂小结
平面图形的镶嵌
下列图形中，能用来铺满地面的是( A )
易错点：误认为正多边形都能铺满地面或只有正多边形能铺满地面
感悟新知
2. 如图，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所知1－练示的规律，用2017个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是( ) A．2017B．2018C C．2019D．2020
感悟新知
4. 阳光中学阅览室在装修过程中，准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖镶嵌地面，在每个顶点的周围正方形、正三角形地砖的块数可以分别是( ) A．2，B2B．2，3 C．1，2D．2，1
感悟新知
归纳
知3－讲
本题考查平面镶嵌，解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角度数，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．先清楚正八边形的每个内角度数为135°,再求出所给选项中的图形每个内角的度数，看其能否构成360°，并以此为依据进行判断.
感悟新知
知3－练
例3 将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案．设菱形中较小角的度数为x, 平行四边形中较大角的度数为y, 则y与x的关系式是_________________．

北师大版八年级下册数学练习课件-第6章 4 三角形的内角与外角和一节一练

5
____________，共有_________条对角线．
▪ 10．已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个11 多边形的边数是__________.
11．如图，在正五边形ABCDE中，以BC为一边，在正五边形内作等边△BCF，连结AF，则∠AFB＝____6_6_____度．
12．如图所示的正六边形ABCDEF，连结FD，则∠FDC的大小为___9_0_°______.
▪ 已知：如图2，在△ADC中，DP、任意四边形ABCD呢？
▪ 已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC 和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A＋∠B的数量关系．
图1
图2
图3
17
解：探究一：∵∠FDC＝∠A＋∠ACD，∠ECD＝∠A＋∠ADC，∴∠FDC＋∠ ECD＝∠A＋∠ACD＋∠A＋∠ADC＝180°＋∠A.探究二：∵DP、CP 分别平分∠ADC 和∠ACD，∴∠PDC＝12∠ADC，∠PCD＝12∠ACD，∴∠P＝180°－∠PDC－∠PCD ＝180°－12∠ADC－12∠ACD＝180°－12(∠ADC＋∠ACD)＝180°－12(180°－∠A)＝90° ＋12∠A.探究三：∵DP、CP 分别平分∠ADC 和∠BCD，∴∠PDC＝12∠ADC，∠PCD ＝12∠BCD，∴∠P＝180°－∠PDC－∠PCD＝180°－12∠ADC－12∠BCD＝180°－12(∠ ADC＋∠BCD)＝180°－12(360°－∠A－∠B)＝12(∠A＋∠B)．
8
▪ 15．如图，在△ABC中，∠BAC＝75°， AD、BE分别是BC、AC边上的高，且AD＝ BD，求∠C和∠AFB的度数．
解： ∵ AD 、 BE 分别是 BC 、 AC 边上的高， ∴ ∠ ADB ＝ ∠ ADC ＝ ∠ BEC ＝ 90°.∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝45°.又∵∠BAC＝75°，∴∠C＝180°－ (∠ABD ＋ ∠ BAC) ＝ 180° － (45° ＋ 75°) ＝ 60° ， ∴ ∠ DFE ＝ 360° － (∠ADC ＋ ∠BEC＋∠C)＝360°－(90°＋90°＋60°)＝120°，∴∠AFB＝∠DFE＝120°.

八年级数学下册期中期末-专题06 多边形与平行四边形(真题测试)(原卷版)

专题06 多边形与平行四边形【真题测试】一、选择题1．（浦东四署2018期中3）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（）(A)3； (B)4； (C)5； (D)6．2．（青浦2018期末3）在一个多边形的内角中，锐角不能多于（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．（普陀2018期末2）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．八边形4.（金山2018期中6）四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，下列条件中不能判断这个四边形是平行四边形的是（）A.AB//CD ，AD//BC ；B.AB=CD ，AD=BC ；C.AO=CO ，BO=DO ；D.AB//CD ，AD=BC.5.（浦东四署2019期中5）下列选项中一定能判定一个四边形是平行四边形的是（）A.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；B.一对邻角相等的四边形是平行四边形；C.两条对角线相互垂直的四边形是平行四边形；D.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.6.（浦东四署2019期末5）在四边形ABCD 中，AC BD ⊥，再补充一个条件使得四边形ABCD 为菱形，这个条件可以是（）A.AC=BD ；B. 90ABC ∠=︒；C.AB=BC ；D.AC 与BD 互相平分.7．（闵行2018期末6）下列命题中，真命题是（）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 8．（静安2018期末3）下列命题中，假命题的是（）A ．矩形的对角线相等B ．平行四边形的对角线互相平分C ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D ．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形9.（浦东一署2018期中5）下列命题正确的是（）A. 平行四边形的对角线相等B. 一组邻边相等，一组对边平行的四边形是平行四边形C. 平行四边形的内角和与外角和相等D. 平行四边形相邻的两个内角相等10.（嘉定2019期末5）如果平行四边形ABCD 两条对角线的长度分别为AC=8cm ，BD=12cm ，那么BC 边的长度可能是（）A. BC=2cm ；B. BC=6cm ；C. BC=10cm ；D.BC=20cm.11．（青浦2018期末6）如图，在四边形ABCD 中，AC 于BD 相交于点O ，∠BAD ＝90°，BO ＝DO ，那么下列条件中不能判定四边形ABCD 为矩形的是（）A ．∠ABC ＝90B ．AO ＝OC C ．AB ||CD D ．AB ＝CD12.（浦东四署2019期末6）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AC=8，BC=6，点P 为斜边AB 上一动点，过点P 作PE AC ⊥于E ，PF BC ⊥于点F ，连结EF ，则线段EF 的最小值为（） A.125； B. 245； C.185； D. 5. P FECB A二、填空题13.（松江2018期中9）已知一个多边形的每个外角都等于60︒，那么这个多边形的边数是 .14. (长宁2018期末13)已知一个凸多边形的内角和等于720°，则这个凸多边形的边数为______． 15．（闵行2018期末14）七边形的内角和等于度．16.（嘉定2019期末14）已知一个多边形的每个外角都是30︒，那么这个多边形是边形.17.（浦东一署2018期中15）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为______． 18. （松江2019期中14）若一个多边形的每个外角都是40°，则从这个多边形的一个顶点出发可以画____条对角线．19.（崇明2018期中19）四边形ABCD 中，若180A C ∠+∠=︒，那么B ∠的外角 D ∠（填“>”、“=”或“<”）20．（长宁2019期末3）两条对角线的四边形是平行四边形．21.（静安2019期末14）在矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，46AOB ∠=︒，那么OAD ∠的度数为.22．（青浦2018期末13）在平行四边形ABCD 中，两邻角的度数比是7：2，那么较小角的度数为． 23．（静安2018期末16）如图，点G 为正方形ABCD 内一点，AB ＝AG ，∠AGB ＝70°，联结DG ，那么∠BGD ＝度．24．（长宁2019期末7）如图，四边形ABCD 是正方形，延长AB 到E ，使AE ＝AC ，则∠BCE 的度数是．25. （杨浦2019期中12）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，AC=10，BD=24 ，则AD= .OB D AC26．（闵行2018期末15）已知▱ABCD 的周长为40，如果AB ：BC ＝2：3，那么AB ＝．27.（浦东四署2019期末15）菱形的周长为8，它的一个内角为60︒，则菱形的较长的对角线长为 .28．（青浦2018期末17）如图，矩形ABCD 中，BC ＝6，AB ＝3，R 在CD 边上，且CR ＝1，P 为BC 上一动点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当P 从B 向C 移动时，线段EF 的长度为．29.（金山2018期中16）如图，已知ABCD Y 的周长是26cm ，AC 和BD 相交于点O ，OBC ∆的周长比OAB ∆的周长小2cm ，那么AD= cm.OCBAD30．（静安2018期末15）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，那么△DCF的周长是cm．31. （普陀2018期中14）已知矩形的两条对角线的夹角为60°，如果一条对角线长为6，那么矩形的面积为______．32．（长宁2019期末8）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AB＝5，OA＝4，则菱形ABCD的面积．33.（浦东一署2018期中18）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，E，F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是______．34.（浦东四署2019期中18）如图，点E是ABCDY的对角线BD上一点，连接CE，若点E在线段AD的垂直平分线上，点D在线段EC的垂直平分线上，且68DCE∠=︒，则BAD∠= .EDCBA35．（普陀2018期末18）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b ），M 是BC 边上一个动点，联结AM ，MF ，MF 交CG 于点P ，将△ABM 绕点A 旋转至△ADN ，将△MEF 绕点F 旋转恰好至△NGF ．给出以下三个结论：①∠AND ＝∠MPC ； ②△ABM ≌△NGF ；③S 四边形AMFN ＝a 2+b 2．其中正确的结论是（请填写序号）．36．（青浦2018期末18）已知P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 旋转，使得边BA 与边BC 重合，点P 落在点P ′的位置上．如果PB ＝2，那么PP ′的长等于．37. (奉贤2018期末17)如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ∠AOB =60°，BD =4，将△ABC 沿直线AC 翻折后，点B 落在点E 处，那么S △AED =______三、解答题38．（闵行2018期末23）如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为点E ，且E 为边AB 的中点．（1）求∠A 的度数；（2）如果AB ＝4，求对角线AC 的长．39.（浦东四署2019期中25）如图，已知ABC ∆是等边三角形，点D 、F 分别在线段AB 、BC 上，60EDB ∠=︒，DE=CF.（1）求证：四边形EFCD 是平行四边形；（2）若BD=DE ，求证：AEF ∆是等边三角形.FE DCBA40. （普陀2018期中22）如图，已知△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，联结EC．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是菱形．41. （普陀2018期中24）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E、F分别是菱形ABCD边AD、CD的中点．（1）求证：BE=BF；（2）当△BEF为等边三角形时，求∠ABC的度数．42. （浦东四署2018期中25）已知：如图，在□ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且∠BAE=∠DCF．求证：四边形AECF是平行四边形．43. (长宁2018期末23)如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点O，点F、G分别是BO、AO的中点，联结DE、EG、GF、FD．（1）求证：FG∥DE；（2）若AC=BC，求证：四边形EDFG是矩形．44. (奉贤2018期末23)已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 是斜边AB 的中点，DE ∥BC ，且CE =CD ．（1）求证：∠B =∠DEC ；（2）求证：四边形ADCE 是菱形．45.（嘉定2019期末23）已知ABC ∆，90A ∠<︒（如图3），点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、AC 上，且四边形ADEF 是菱形.（1）请使用直尺与圆规，分别确定点D 、E 、F 的具体位置（不写画法，保留画图痕迹）；（2）如果60A ∠=︒，AD=4，点M 在AB 边上，且满足EM=ED ，求四边形AFEM 的面积；（3）当AB=AC 时，求DE AC的值. A B46．（普陀2018期末25）如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连接BF ．（1）求证：四边形BFEP 为菱形；（2）当点E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动；①当点Q 与点C 重合时（如图2），求菱形BFEP 的边长；②若限定P 、Q 分别在边BA 、BC 上移动，求出点E 在边AD 上移动的最大距离．。

第六章平行四边形复习题---解答题（含解析）

北师大版数学第六章平行四边形---解答题一．解答题1．（2018•济南）如图，在▱ABCD中，连接BD，E是DA延长线上的点，F是BC延长线上的点，且AE＝CF，连接EF交BD于点O．求证：OB＝OD．2．（2018•巴彦淖尔）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，AF与CE相交于点G；（1）求证：△CFG≌△AEG；（2）若AB＝6，求四边形AGCD的对角线GD的长．3．（2018•青海）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．（1）求证：AD＝BF；（2）若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．4．（2018•梧州）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的一条直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．5．（2018•大连）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF＝CE．求证：BE＝DF．6．（2018•曲靖）如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF＝CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM＝FN，连接AN，CM．（1）求证：△AFN≌△CEM；（2）若∠CMF＝107°，∠CEM＝72°，求∠NAF的度数．7．（2018•福建）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE＝OF．8．（2018•临安区）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．9．（2018•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．10．（2018•淮安）已知：如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F．求证：AE＝CF．11．（2018•新疆）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连接DE，BF．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若BD＝EF，连接EB，DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．12．（2018•黄冈）如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC＝BF，CD ＝DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE．（1）求证△ABF≌△EDA；（2）延长AB与CF相交于G．若AF⊥AE，求证BF⊥BC．13．（2018•无锡）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF＝∠CDE．14．（2018•青岛）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB＝AF；（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．15．（2018•宿迁）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF 分别与AB、CD交于点G、H．求证：AG＝CH．16．（2018•重庆）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH．（1）若BC＝12，AB＝13，求AF的长；（2）求证：EB＝EH．17．（2018•衢州）如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE＝CF．18．（2018春•罗山县期中）如图，∠MON＝∠PMO，OP＝x﹣3，OM＝4，ON＝3，MN＝5，MP＝11﹣x．求证：四边形OPMN是平行四边形．19．（2018春•三水区期末）已知（如图），在四边形ABCD中AB＝CD，过A作AE⊥BD交BD于点E，过C作CF⊥BD交BD于F，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．20．（2018春•沈阳期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，已知DE∥BC，∠ADE＝∠EFC．求证：四边形BDEF是平行四边形．21．（2018春•无为县期末）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，求证：四边形BCEF是平行四边形．22．（2018春•黔东南州期末）如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD．求证：四边形ABCD是平行四边形．23．（2018春•吉安县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示：AP＝；DP＝；BQ＝．（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？24．（2018春•揭西县期末）如图，已知G、H是△ABC的边AC的三等分点，GE∥BH，交AB于点E，HF∥BG交BC于点F，延长EG、FH交于点D，连接AD、DC，设AC和BD交于点O，求证：四边形ABCD是平行四边形．25．（2018•河北二模）如图，已知∠A＝∠D，AB＝DC，AC、BD相交于O，（1）求证：△AOB≌△DOC；（2）若AB＝BC，∠A＝32°，求∠AOB的度数；（3）作△BDC关于直线BC的对称图形△BEC，求证：四边形ABEC是平行四边形．26．（2018春•西华县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝9cm，BC＝6cm，点P、Q 分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动．问几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？27．（2018•兰州）如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若GB＝3，BC＝6，BF＝，求AB的长．28．（2018•巴中）如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN ⊥AC于点F，交AB于点N．（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；（2）已知AF＝12，EM＝5，求AN的长．29．（2018•孝感）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．30．（2018•永州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．31．（2018•岳阳）如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．32．（2017•鞍山）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分线AE，CF分别交DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）若AB＝5，BC＝8，求AF+AG的值．33．（2018秋•张家港市期中）如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：EF垂直平分AD．（2）若四边形AEDF的周长为24，AB＝15，求AC的长；34．（2018春•罗山县期中）如图，在等腰三角形ABC中，CA＝CB＝5，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接DE、CD和EF．（1）求证：DE＝CF．（2）求EF的长．（3）求四边形DEFC的面积．35．（2018春•海州区期中）如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝10cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD 于点D，BD的延长线交AC于点F，E为BC的中点，求DE的长．36．（2018春•三水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．37．（2018春•锦州期末）如图、在△ABC中，AB＝AC，M，N分别为AC，BC的中点，以AC为斜边在△ABC的外侧作Rt△ACD，且∠CAD＝30°，连接MN，DM，DN．（1）求证：△DMN是等腰三角形；（2）若AC平分∠BAD，AB＝6，求DN的长．38．（2018春•龙岗区期末）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E 作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD．（1）求证：DE＝CF；（2）求EF的长．39．（2018秋•昆明期末）如图，在五边形ABCDE中满足AB∥CD，求图形中的x的值．40．（2018秋•宜都市校级期中）一个n边形的内角和比四边形的外角和大540°，求n．41．（2018秋•襄州区期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB，∠CBA的平分线交于点E，若∠AEB ＝105°，求∠C+∠D的度数．42．（2018秋•武昌区校级月考）一个正多边形每个内角比外角多90°，求这个正多边形所有对角线的条数．43．（2018秋•顺河区校级月考）一个凸多边形，除了一个内角外，其余各内角的和为2750°，求这个多边形的边数．44．（2018秋•老河口市期中）如图，五边形ABCDE的内角都相等，且AB＝BC，AC＝AD，求∠CAD 的度数．45．（2018秋•安徽期中）在各个内角都相等的多边形中若外角度数等于每个内角度数的，求这个多边形的每个内角度数以及多边形的边数．46．（2018春•黄陂区期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，点E为BC延长线上一点，连接AE．（1）如图1，求证：AD∥BC（2）若∠DAE和∠DCE的角平分线相交于点F，连接AC．①如图2，若∠BAE＝70°，求∠F的度数②如图3，若∠BAC＝∠DAE，∠AGC＝2∠CAE，则∠CAE的度数为（直接写出结果）北师大版数学第六章平行四边形---解答题参考答案与试题解析一．解答题1．（2018•济南）如图，在▱ABCD中，连接BD，E是DA延长线上的点，F是BC延长线上的点，且AE＝CF，连接EF交BD于点O．求证：OB＝OD．【分析】欲证明OB＝OD，只要证明△EOD≌△FOB即可；【解答】证明：∵▱ABCD中，∴AD＝BC，AD∥BC．∴∠ADB＝∠CBD．又∵AE＝CF，∴AE+AD＝CF+BC．∴ED＝FB．又∵∠EOD＝∠FOB，∴△EOD≌△FOB．∴OB＝OD．2．（2018•巴彦淖尔）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，AF与CE相交于点G；（1）求证：△CFG≌△AEG；（2）若AB＝6，求四边形AGCD的对角线GD的长．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AC，AC＝BC，得到AB＝AC＝BC，求得∠B＝60°，于是得到∠BAF＝∠BCE＝30°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据菱形的判定定理得到▱ABCD是菱形，求得∠ADC＝∠B＝60°，AD＝CD，求得∠ADG＝30°，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：∵E、F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，AF⊥BC，∴AB＝AC，AC＝BC，∴AB＝AC＝BC，∴∠B＝60°，∴∠BAF＝∠BCE＝30°，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴AE＝CF，在△CFG和△AEG中，，∴△CFG≌△AEG；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴▱ABCD是菱形，∴∠ADC＝∠B＝60°，AD＝CD，∵AD∥BC，CD∥AB，∴AF⊥AD，CE⊥CD，∵△CFG≌△AEG，∴AG＝CG，∵GA⊥AD，GC⊥CD，GA＝GC，∴GD平分∠ADC，∴∠ADG＝30°，∵AD＝AB＝6，∴DG＝＝4．3．（2018•青海）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．（1）求证：AD＝BF；（2）若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．【分析】（1）依据中点的定义可得到AE＝BE，然后依据平行线的性质可得到∠ADE＝∠F，接下来，依据AAS可证明△ADE≌△BFE，最后，依据全等三角形的性质求解即可；（2）过点D作DM⊥AB于M，则DM同时也是平行四边形ABCD的高，先求得△AED的面积，然后依据S四边形EBCD＝S平行四边形ABCD﹣S△AED求解即可．【解答】解：（1）∵E是AB边上的中点，∴AE＝BE．∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠F．在△ADE和△BFE中，∠ADE＝∠F，∠DEA＝∠FEB，AE＝BE，∴△ADE≌△BFE．∴AD＝BF．（2）过点D作DM⊥AB与M，则DM同时也是平行四边形ABCD的高．∴S△AED＝•AB•DM＝AB•DM＝×32＝8，∴S四边形EBCD＝32﹣8＝24．4．（2018•梧州）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的一条直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．【分析】利用平行四边形的性质得出AO＝CO，AD∥BC，进而得出∠EAC＝∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案．【解答】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF．5．（2018•大连）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF＝CE．求证：BE＝DF．【分析】只要证明△BEO≌△DFO即可；【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OD＝OB，∵AF＝CE，∴OE＝OF，在△BEO和△DFO中，，∴△BEO≌△DFO，∴BE＝DF．6．（2018•曲靖）如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF＝CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM＝FN，连接AN，CM．（1）求证：△AFN≌△CEM；（2）若∠CMF＝107°，∠CEM＝72°，求∠NAF的度数．【分析】（1）利用平行线的性质，根据SAS即可证明；（2）利用全等三角形的性质可知∠NAF＝∠ECM，求出∠ECM即可；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠AFN＝∠CEM，∵FN＝EM，AF＝CE，∴△AFN≌△CEM（SAS）．（2）解：∵△AFN≌△CEM，∴∠NAF＝∠ECM，∵∠CMF＝∠CEM+∠ECM，∴107°＝72°+∠ECM，∴∠ECM＝35°，∴∠NAF＝35°．7．（2018•福建）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE＝OF．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA＝OC，AD∥BC，继而可证得△AOE≌△COF（ASA），则可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF，在△OAE和△OCF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF．8．（2018•临安区）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．【分析】（1）要证△ADF≌△CBE，因为AE＝CF，则两边同时加上EF，得到AF＝CE，又因为ABCD 是平行四边形，得出AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，从而根据SAS推出两三角形全等；（2）由全等可得到∠DF A＝∠BEC，所以得到DF∥EB．【解答】证明：（1）∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+FE，即AF＝CE．又ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC．∴∠DAF＝∠BCE．在△ADF与△CBE中，∴△ADF≌△CBE（SAS）．（2）∵△ADF≌△CBE，∴∠DF A＝∠BEC．∴DF∥EB．9．（2018•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．【分析】（1）利用勾股定理即可得出BH的长，进而运用公式得出△ABE的面积；（2）过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，判定△AME≌△BNG（AAS），可得ME＝NG，进而得出BE＝GC，再判定△AFO≌△CEO（AAS），可得AF＝CE，即可得到DF＝BE＝CG．【解答】解：（1）∵AH＝3，HE＝1，∴AB＝AE＝4，又∵Rt△ABH中，BH＝＝，∴S△ABE＝AE×BH＝×4×＝；（2）如图，过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，则∠AMB＝∠AME＝∠BNG ＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠MAC＝∠NGC＝45°，∵AB＝AE，∴BM＝EM＝BE，∠BAM＝∠EAM，又∵AE⊥BG，∴∠AHK＝90°＝∠BMK，而∠AKH＝∠BKM，∴∠MAE＝∠NBG，设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°+α，∠BGA＝∠GCN+∠GBC＝45°+α，∴AB＝BG，∴AE＝BG，在△AME和△BNG中，，∴△AME≌△BNG（AAS），∴ME＝NG，在等腰Rt△CNG中，NG＝NC，∴GC＝NG＝ME＝BE，∴BE＝GC，∵O是AC的中点，∴OA＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠OAF＝∠OCE，∠AFO＝∠CEO，∴△AFO≌△CEO（AAS），∴AF＝CE，∴AD﹣AF＝BC﹣EC，即DF＝BE，∴DF＝BE＝CG．10．（2018•淮安）已知：如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F．求证：AE＝CF．【分析】利用平行四边形的性质得出AO＝CO，AD∥BC，进而得出∠EAC＝∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案．【解答】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF．11．（2018•新疆）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连接DE，BF．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若BD＝EF，连接EB，DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．【分析】（1）根据SAS即可证明；（2）首先证明四边形EBFD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，在△DEO和△BOF中，∴△DOE≌△BOF．（2）解：结论：四边形EBFD是矩形．理由：∵OD＝OB，OE＝OF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BD＝EF，∴四边形EBFD是矩形．12．（2018•黄冈）如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC＝BF，CD ＝DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE．（1）求证△ABF≌△EDA；（2）延长AB与CF相交于G．若AF⊥AE，求证BF⊥BC．【分析】（1）想办法证明：AB＝DE，FB＝AD，∠ABF＝∠ADE即可解决问题；（2）只要证明FB⊥AD即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC，∵BC＝BF，CD＝DE，∴BF＝AD，AB＝DE，∵∠ADE+∠ADC+∠EDC＝360°，∠ABF+∠ABC+∠CBF＝360°，∠EDC＝∠CBF，∴∠ADE＝∠ABF，∴△ABF≌△EDA．（2）证明：延长FB交AD于H．∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°，∵△ABF≌△EDA，∴∠EAD＝∠AFB，∵∠EAD+∠F AH＝90°，∴∠F AH+∠AFB＝90°，∴∠AHF＝90°，即FB⊥AD，∵AD∥BC，∴FB⊥BC．13．（2018•无锡）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF＝∠CDE．【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可求出答案．【解答】解：在▱ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠C，∵E、F分别是边BC、AD的中点，∴AF＝CE，在△ABF与△CDE中，∴△ABF≌△CDE（SAS）∴∠ABF＝∠CDE14．（2018•青岛）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB＝AF；（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．【分析】（1）只要证明AB＝CD，AF＝CD即可解决问题；（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFC＝∠DCG，∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF＝CD，∴AB＝AF．（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．理由：∵AF＝CD，AF∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD＝120°，∴∠F AG＝60°，∵AB＝AG＝AF，∴△AFG是等边三角形，∴AG＝GF，∵△AGF≌△DGC，∴FG＝CG，∵AG＝GD，∴AD＝CF，∴四边形ACDF是矩形．15．（2018•宿迁）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF 分别与AB、CD交于点G、H．求证：AG＝CH．【分析】利用平行四边形的性质得出AF＝EC，再利用全等三角形的判定与性质得出答案．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，AD∥BC，∴∠E＝∠F，∵BE＝DF，∴AF＝EC，在△AGF和△CHE中，∴△AGF≌△CHE（ASA），∴AG＝CH．16．（2018•重庆）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH．（1）若BC＝12，AB＝13，求AF的长；（2）求证：EB＝EH．【分析】（1）依据BF⊥AC，∠ACB＝45°，BC＝12，可得等腰Rt△BCF中，BF＝sin45°×BC ＝12，再根据勾股定理，即可得到Rt△ABF中，AF＝＝5；（2）连接GE，过A作AP⊥AG，交BG于P，连接PE，判定四边形APEG是正方形，即可得到PF ＝EF，AP＝AG＝CH，进而得出△APB≌△HCE，依据AB＝EH，AB＝BE，即可得到BE＝EH．【解答】解：（1）如图，∵BF⊥AC，∠ACB＝45°，BC＝12，∴等腰Rt△BCF中，BF＝sin45°×BC＝12，又∵AB＝13，∴Rt△ABF中，AF＝＝5；（2）如图，连接GE，过A作AP⊥AG，交BG于P，连接PE，∵BE＝BA，BF⊥AC，∴AF＝FE，∴BG是AE的垂直平分线，∴AG＝EG，AP＝EP，∵∠GAE＝∠ACB＝45°，∴△AGE是等腰直角三角形，即∠AGE＝90°，△APE是等腰直角三角形，即∠APE＝90°，∴∠APE＝∠P AG＝∠AGE＝90°，∴四边形APEG是正方形，∴PF＝EF，AP＝AG＝CH，又∵BF＝CF，∴BP＝CE，∵∠APG＝45°＝∠BCF，∴∠APB＝∠HCE＝135°，∴△APB≌△HCE（SAS），∴AB＝EH，又∵AB＝BE，∴BE＝EH．17．（2018•衢州）如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE＝CF．【分析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则对应边相等：AE＝CF．【解答】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF．又BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°．在△ABE与△CDF中，，∴得△ABE≌△CDF（AAS），18．（2018春•罗山县期中）如图，∠MON＝∠PMO，OP＝x﹣3，OM＝4，ON＝3，MN＝5，MP＝11﹣x．求证：四边形OPMN是平行四边形．【分析】由题意可证∠MON＝90°＝∠PMO，根据勾股定理列出方程求出x的值，可得PM＝ON，OP＝MN，即结论可证．【解答】证明：在△MON中，OM＝4，ON＝3，MN＝5，因此，OM2+ON2＝42+32＝25，MN2＝52＝25∴OM2+ON2＝MN2∴△MON是直角三角形．∴∠MON＝∠PMO＝90°因此，在Rt△POM中，OP＝x﹣3，OM＝4，MP＝11﹣x，由勾股定理可得，OM2+MP2＝OP2即：42+（11﹣x）2＝（x﹣3）2解得：x＝8∴OP＝x﹣3＝8﹣3＝5，MP＝11﹣x＝11﹣8＝3∴OP＝MN MP＝ON∴四边形OPMN是平行四边形．19．（2018春•三水区期末）已知（如图），在四边形ABCD中AB＝CD，过A作AE⊥BD交BD于点E，过C作CF⊥BD交BD于F，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】只要证明AB∥CD即可解决问题．【解答】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在Rt△ABE和Rt△CDF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CDF，∴ABE＝∠CDF，∴AB∥CD，∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．20．（2018春•沈阳期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，已知DE∥BC，∠ADE＝∠EFC．求证：四边形BDEF是平行四边形．【分析】想办法证明EF∥AB即可解决问题；【解答】证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠ADE＝∠EFC，∴∠EFC＝∠B，∴EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形．21．（2018春•无为县期末）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，求证：四边形BCEF是平行四边形．【分析】连接AE、DB、BE，BE交AD于点O，首先得出四边形ABDE是平行四边形，进而得出OF ＝OC得出四边形BCEF是平行四边形．【解答】证明：连接AE、DB、BE，BE交AD于点O，∵AB DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴OB＝OE，OA＝OD，∵AF＝DC，∴OF＝OC，∴四边形BCEF是平行四边形．22．（2018春•黔东南州期末）如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD．求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】首先利用平行线的性质与判定方法得出∠DAE＝∠BCF，进而利用AAS得出△ADE≌△CBF，即可得出AD BC，即可得出答案．【解答】证明：∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，在△ADE和△CBF中∵，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．23．（2018春•吉安县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示：AP＝t；DP＝12﹣t；BQ＝15﹣2t．（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？【分析】（1）直接利用P，Q点的运动速度和运动方法进而表示出各部分的长；（2）利用平行四边形的判定方法得出t的值．【解答】解：（1）由题意可得：AP＝t，DP＝12﹣t，BQ＝15﹣2t，故答案为：t，12﹣t，15﹣2t；（2）∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形，∴t＝15﹣2t，解得：t＝5．24．（2018春•揭西县期末）如图，已知G、H是△ABC的边AC的三等分点，GE∥BH，交AB于点E，HF∥BG交BC于点F，延长EG、FH交于点D，连接AD、DC，设AC和BD交于点O，求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】首先利用三角形中位线定理的性质得出ED∥BH，FD∥BG，进而得出四边形BHDG是平行四边形，即可得出AO＝CO，进而得出答案．【解答】证明：∵G、H是AC的三等分点且GE∥BH，HF∥EG，∴AG＝GH＝HC，EG、FH分别是△ABH和△CBG的中位线，∴ED∥BH，FD∥BG，∴四边形BHDG是平行四边形，∴OB＝OD，OG＝OH，OA＝OG+AG＝OH+CH＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形．25．（2018•河北二模）如图，已知∠A＝∠D，AB＝DC，AC、BD相交于O，（1）求证：△AOB≌△DOC；（2）若AB＝BC，∠A＝32°，求∠AOB的度数；（3）作△BDC关于直线BC的对称图形△BEC，求证：四边形ABEC是平行四边形．【分析】（1）根据AAS即可证明；（2）利用全等三角形的性质求解即可；（3）证明两组对边分别相等即可解决问题；【解答】解：（1）证明：∵∠A＝∠D，AB＝DC，∠AOB＝∠DOC，∴△AOB≌△DOC（AAS）（2）∵AB＝BC，∠A＝32°，∴∠ACB＝∠A＝32°，∵△AOB≌△DOC（AAS），∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝32°，∴∠AOB＝∠OCB+∠OBC＝64°．（3）∵△AOB≌△DOC，∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠A＝∠D，AB＝DC∴△ABC≌△DCB，∴AC＝BD，∵△BDC、△BEC关于直线BC对称，∴DC＝CE＝AB，BD＝BE，∴AC＝BE，∴四边形ABEC是平行四边形．26．（2018春•西华县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝9cm，BC＝6cm，点P、Q 分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动．问几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？【分析】分别利用①当BQ＝AP时以及②当CQ＝PD时，得出答案．【解答】解：设点P，Q运动的时间为ts．依题意得：CQ＝2t，BQ＝6﹣2t，AP＝t，PD＝9﹣t．①当BQ＝AP时，四边形APQB是平行四边形．即6﹣2t＝t，解得t＝2．②当CQ＝PD时，四边形CQPD是平行四边形，即2t＝9﹣t，解得：t＝3．所以经过2或3秒后，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形．27．（2018•兰州）如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若GB＝3，BC＝6，BF＝，求AB的长．【分析】（1）由E是AC的中点知AE＝CE，由AB∥CD知∠AFE＝∠CDE，据此根据“AAS”即可证△AEF≌△CED，从而得AF＝CD，结合AB∥CD即可得证；（2）证△GBF∽△GCD得＝，据此求得CD＝，由AF＝CD及AB＝AF+BF可得答案．【解答】解：（1）∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠CDE，在△AEF和△CED中，∵，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF＝CD，又AB∥CD，即AF∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形；（2）∵AB∥CD，∴△GBF∽△GCD，∴＝，即＝，解得：CD＝，∵四边形AFCD是平行四边形，∴AF＝CD＝，∴AB＝AF+BF＝+＝6．28．（2018•巴中）如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN ⊥AC于点F，交AB于点N．（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；（2）已知AF＝12，EM＝5，求AN的长．【分析】（1）只要证明DN∥BM，DM∥BN即可；（2）只要证明△CEM≌△AFN，可得FN＝EM＝5，在Rt△AFN中，根据勾股定理AN＝即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴DN∥BM，∴四边形BMDN是平行四边形；（2）解：∵四边形BMDN是平行四边形，∴DM＝BN，∵CD＝AB，CD∥AB，∴CM＝AN，∠MCE＝∠NAF，∵∠CEM＝∠AFN＝90°，∴△CEM≌△AFN，∴FN＝EM＝5，在Rt△AFN中，AN＝＝＝13．29．（2018•孝感）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．【分析】由AB∥DE、AC∥DF利用平行线的性质可得出∠B＝∠DEF、∠ACB＝∠F，由BE＝CF可得出BC＝EF，进而可证出△ABC≌△DEF（ASA），根据全等三角形的性质可得出AB＝DE，再结合AB∥DE，即可证出四边形ABED是平行四边形．【解答】证明：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F．∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，∴BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB＝DE．又∵AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．30．（2018•永州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．【分析】（1）在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE＝AB，BE＝AB，得到∠BCE＝∠EBC＝60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE＝∠BCE＝60°．又∠D＝60°，得∠AFE＝∠D＝60度．所以FC∥BD，又因为∠BAD＝∠ABC＝60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，则四边形BCFD是平行四边形．（2）在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题；【解答】（1）证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°．在等边△ABD中，∠BAD＝60°，∴∠BAD＝∠ABC＝60°．∵E为AB的中点，∴AE＝BE．又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC．在△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB的中点，∴CE＝AB，BE＝AB．∴CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BCE＝∠EBC＝60°．又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE＝∠BCE＝60°．又∵∠D＝60°，∴∠AFE＝∠D＝60°．∴FC∥BD．又∵∠BAD＝∠ABC＝60°，∴AD∥BC，即FD∥BC．∴四边形BCFD是平行四边形．（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AB＝6，∴BC＝AB＝3，AC＝BC＝3，∴S平行四边形BCFD＝3×＝9．31．（2018•岳阳）如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，判断出AB∥CD，且AB＝CD，然后根据AE＝CF，判断出BE＝DF，即可推得四边形BFDE是平行四边形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD，又∵AE＝CF，∴BE＝DF，∴BE∥DF且BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形．32．（2017•鞍山）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分线AE，CF分别交DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）若AB＝5，BC＝8，求AF+AG的值．【分析】（1）由平行四边形的性质，结合角平分线的定义可证得AE∥CF，结合AF∥CE，可证得结论；（2）由条件可证得△DCG∽△AFG，利用相似三角形的性质可求得DG与AG的关系，结合条件可求得AG的长，从而可求得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，∵AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，∴∠BCG＝∠CGD＝∠HAD，∴AE∥CF，∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：由（1）可知∠BCF＝∠DCF＝∠F，∴BF＝BC＝AD＝8，∵AB＝CD＝5，∴AF＝BF﹣AB＝3，∵BF∥DE，∴∠DCG＝∠F，∠D＝∠F AG，∴△DCG∽△AFG，∴＝＝，∴DG＝AG，∴AD＝AG+DG＝AG＝8，∴AG＝3，∴AF+AG＝3+3＝6．33．（2018秋•张家港市期中）如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：EF垂直平分AD．（2）若四边形AEDF的周长为24，AB＝15，求AC的长；【分析】（1）根据直角三角形的性质得到DE＝AE，DF＝AF，根据线段垂直平分线的判定定理证明；（2）根据直角三角形的性质得到DE＝AE＝AB＝，DF＝AF＝AC，根据四边形的周长公式计算．【解答】（1）证明：∵AD是高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，又E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AB＝AE，DF＝AC＝AF，∴EF垂直平分AD；（2）解：由（1）得，DE＝AE＝AB＝，DF＝AF＝AC，∵四边形AEDF的周长为24，∴AE+ED+DF+F A＝24，∴DF+F A＝24﹣15＝9，∴AC＝9．34．（2018春•罗山县期中）如图，在等腰三角形ABC中，CA＝CB＝5，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接DE、CD和EF．（1）求证：DE＝CF．（2）求EF的长．（3）求四边形DEFC的面积．【分析】（1）直接利用三角形中位线定理分析得出答案；（2）首先利用勾股定理得出CD的长，再利用已知得出DE CF，进而得出答案；（3）过点D作HD⊥BC，垂足为点H，求出DH的长，再得出CF的长，进而得出答案．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴DE＝BC．又∵CF＝BC∴DE＝CF；（2）解：EF＝4．理由如下：∵在等腰三角形ABC中，CA＝CB＝5，AB＝6，点D是AB的中点，∴CD⊥AB，BD＝AB＝3，∴在Rt△BCD中，BD＝3，CB＝5，由勾股定理可得，CD＝＝＝4，由（1）可知，DE是△ABC的中位线．∴DE∥CF，又∵DE＝CF，∴四边形CDEF是平行四边形．∴CD＝EF＝4；（3）解：四边形DEFC的面积为6，理由如下：过点D作HD⊥BC，垂足为点H．∵S△BCD＝BD•CD＝BC•DH∴×3×4＝×5×DH∴DH＝，∵DE＝BC＝，∴DE＝CF＝，∴S四边形DEFC＝CF•DH＝×＝6．35．（2018春•海州区期中）如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝10cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD 于点D，BD的延长线交AC于点F，E为BC的中点，求DE的长．【分析】根据等腰三角形的判定和性质定理得到AB＝AF＝6，BD＝DF，求出CF，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴AB＝AF＝6，BD＝DF，∴CF＝AC﹣AF＝4，∵BD＝DF，E为BC的中点，∴DE＝CF＝2．36．（2018春•三水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．【分析】（1）由中点性质及AB＝AC，得到BD＝EC，再由中位线性质证明FG∥BD，GF＝，FH∥EC，FH＝，从而得到FG＝FH；（2）由（1）FG∥BD，FH∥EC，再由∠A＝90°，可证FG⊥FH；（3）由（1）FG∥BD，∠A＝80°，可求得∠FKC，再由FH∥EC，可求得∠GFH的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点∴BD＝EC∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点∴FG∥BD，GF＝FH∥EC，FH＝∴FG＝FH；（2）证明：由（1）FG∥BD又∵∠A＝90°∴FG⊥AC∵FH∥EC∴FG⊥FH；（3）解：延长FG交AC于点K，∵FG∥BD，∠A＝80°∴∠FKC＝∠A＝80°∵FH∥EC∴∠GFH＝180°﹣∠FKC＝100°37．（2018春•锦州期末）如图、在△ABC中，AB＝AC，M，N分别为AC，BC的中点，以AC为斜边在△ABC的外侧作Rt△ACD，且∠CAD＝30°，连接MN，DM，DN．（1）求证：△DMN是等腰三角形；（2）若AC平分∠BAD，AB＝6，求DN的长．【分析】（1）依据三角形的中位线定理可得到MN＝AB，由直角三角形斜边上中线的性质可得到DM＝AM＝AC，然后结合已知条件可得到DM＝MN；（2）由AM＝DM可得到∠CAD＝∠ADM＝30°，从而可得到∠DMC＝60°，然后再证明∠CMN＝30°，从而可得到∠DMN＝90°，最后，依据勾股定理求解即可．【解答】解：（1）∵在△ABC中，M、N分别是AC、BC的中点，∴MN∥AB，MN＝AB，AM＝MC＝AC．∵∠ADC＝90°，DM为斜边上的中线，∴MD＝AC．∵AC＝AB，∴MN＝DM．∴△DMN是等腰三角形．（2）∵∠CAD＝30°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD＝30°．∵MN∥AB，∴∠NMC＝∠BAC＝30°．由（1）DM＝AM，∴∠DMC＝60°．∴∠DMN＝∠DMC+∠NMC＝30°+60°＝90°．在Rt△ABC中，DN2＝DM2+MN2，DM＝MN＝AB＝3，∴DN＝3．38．（2018春•龙岗区期末）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E 作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD．（1）求证：DE＝CF；（2）求EF的长．【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，再利用平行四边形的判定方法得出答案；（2）利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出DC＝EF，进而求出答案．【解答】解：（1）∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∵EF∥CD∴四边形DEFC是平行四边形，∴DE＝CF．（2）∵四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，∴DC＝EF＝．39．（2018秋•昆明期末）如图，在五边形ABCDE中满足AB∥CD，求图形中的x的值．【分析】根据平行线的性质先求∠B的度数，再根据五边形的内角和公式求x的值．【解答】解：∵AB∥CD，∠C＝60°，。

【最新版】八年级数学下册课件：18.1.2平行四边形的判定

求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D（已知）
A
D
又∵∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D =360 °
∴ 2∠A+ 2∠B=360 °
B
C
即∠A+ ∠B=180 °
∴ AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行）
同理可证AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
A
D
A
D
几何语言：
在四边形ABCD中，
B
B
C
C
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
探究新知
18.1 平行四边形/
素养考点 1 利用两组对边分别相等识别平行四边形例1 如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：四边形PONM是平行四边形．
证明：在Rt△MON中，
由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2，
探究新知
18.1 平行四边形/
知识点 2 平行四边形的判定定理2 一天，八年级的李明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,他想去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来，然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么画出来呢？
由上面的过程你得到了什么结论？
是平行四边形
B
两组对边分别相等的四边形是平行四边形如何证明这
个结论呢？
探究新知
18.1 平行四边形/
已知：四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC. 你能用平行
求证：四边形ABCD是平行四边形.

新版北师大初中数学教材目录

新版北师大初中数学教材目录七年级上册第一章丰富的图形世界1．生活中的立体图形 2．展开与折叠3．截一个几何体 4．从三个不同方向看物体的形状第二章有理数及其运算1．有理数 2．数轴 3．绝对值4．有理数的加法 5．有理数的减法6．有理数的加减混合运算 7．有理数的乘法8．有理数的除法 9．有理数的乘方 10．科学计数法11．有理数的混合运算 12．用计算器进行运算第三章整式及其加减1．字母表示数 2．代数式 3．整式4．整式的加减 5．探索与表达规律第四章基本平面图形1．线段、射线、直线 2．比较线段的长短3．角 4．角的比较 5．多边形和圆的初步认识第五章一元一次方程1．认识一元一次方程 2．求解一元一次方程3．应用一元一次方程——水箱变高了4．应用一元一次方程——打折销售5．应用一元一次方程——“希望工程”义演6．应用一元一次方程——追赶小明第六章数据的收集与整理1．数据的收集 2．普查和抽样调查3．数据的表示 4．统计图的选择七年级下册第一章整式的乘除1．同底数幂的乘法 2．幂的乘方与积的乘方3．同底数幂的除法 4．整式的乘法5．平方差公式 6．完全平方公式 7．整式的除法第二章相交线与平行线1．两条直线的位置关系 2．探索直线平行的条件3．平行线的性质 4．用尺规作角第三章三角形1．认识三角形 2．图形的全等 3．探索三角形全等的条件4．用尺规作三角形 5．利用三角形全等测距离第四章变量之间的关系1．用表格表示的变量间关系 2．用关系式表示的变量间关系3．用图像表示的变量间关系第五章生活中的轴对称1．轴对称现象 2．探索轴对称的性质3．简单轴对称图形 4．利用轴对称进行设计第六章频率与概率1．感受可能性 2．频率的稳定性 3．等可能事件的概率八年级上册第一章勾股定理1．探索勾股定理 2．一定是直角三角形吗 3．勾股定理的应用第二章实数1．认识无理数 2．平方根 3．立方根 4．估算5．用计算器开方 6．实数 7．二次根式第三章位置与坐标1．确定位置 2．平面直角坐标系 3．轴对称与坐标变化第四章一次函数1．函数 2．一次函数与正比例函数 3．一次函数的图象4．一次函数的应用第五章二元一次方程组1．认识二元一次方程组 2．求解二元一次方程组3．应用二元一次方程组——鸡兔同笼4．应用二元一次方程组——增收节支5．应用二元一次方程组——里程碑上的数6．二元一次方程与一次函数7．用二元一次方程组确定一次函数表达式8．三元一次方程组第六章数据的分析1．平均数 2．中位数与众数3．从统计图分析数据的集中趋势 4．数据的离散程度第七章平行线的证明1．为什么要证明 2．定义与命题 3．平行线的判定4．平行线的性质 5．三角形内角和定理八年级下册第一章证明（二）1．等腰三角形 2．直角三角形 3．线段的垂直平分线 4．角平分线第二章一元一次不等式和一元一次不等式组1．不等关系 2．不等式的基本性质3．不等式的解集 4．一元一次不等式5．一元一次不等式与一次函数 6．一元一次不等式组第三章图形的平移与旋转1．图形的平移 2．图形的旋转 3．中心对称 4．简单的图案设计第四章因式分解1．因式分解 2．提公因式法 3．运用公式法第五章分式1．认识分式 2．分式的乘除法 3．分式的加减法 4．分式方程第六章平行四边形1．平行四边形的性质 2．平行四边形的判别3．三角形的中位线 4．多边形的内角和与外角和九年级上册第一章特殊的平行四边形1．菱形的性质与判定 2．矩形的性质与判定 3．正方形的的性质与判定第二章一元二次方程1．认识一元二次方程 2．配方法 3．公式法4．因式分解法 5．一元二次方程的应用第三章相似图形1．成比例线段 2．平行线分线段成比例 3．相似多边形4．相似三角形的判定 5．黄金分割 6．测量旗杆的高度7．相似三角形的性质 8．图形的放大与缩小第四章视图与投影1．投影 2．视图第五章反比例函数1．反比例函数 2．反比例函数的图象与性质 3．反比例函数的应用第六章对概率的进一步研究1．游戏公平吗 2．投针试验 3．生日相同的概率九年级下册第一章直角三角形的边角关系1．从梯子的倾斜程度谈起 2．特殊角的三角函数值3．三角函数的有关计算 4．船有触礁的危险吗 5．测量物体的高度第二章二次函数1．二次函数所描述的关系 2．二次函数的图像与性质 3．确定二次函数的表达式4．最大面积是多少 5．何时获得最大利润 6．二次函数与一元二次方程第三章圆1．圆 2．圆的对称性 3．垂径定理 4．圆周角与圆心角的关系5．确定圆的条件 6．直线和圆的位置关系 7．切线长定理8．圆内接正多边形 9．弧长及扇形的面积第四章统计与概率1．视力的变化 2．生活中的概率 3．统计与概率的应用。

6.2平行四边形的判定(1) 课件 2023—2024学年北师大版八年级数学下册

你有几种证明方法？
附加
如图，A、B、C、D四点在同一直线上，AB=CD，线段AE与线段DF平行，AE=DF. 求证：四边形EBFC是平行四边形.
如图，已知E，F，G，H分别是平行四边形ABC D的边AB， BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
谢谢！
平行四边形的判定（1）
学习目标
• 1、通过类比、猜想、验证，掌握平行四边形的判定定理 • 2、综合应用平行四边形的性质及判定
课堂导入
平行线的性质：
（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。
平行线的判定：
同位角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。
∵AB= DC，AD= BC ∴四边形ABCD是平行四边形
A
D
∵AD∥BC且AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形
B
C
随堂练习
1、下列条件中，不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（）
A. AB=CD，AB∥CD
A
B.AB∥CD ,AD∥BC
D
C. AB=CD, AD=BC
D.AB=CD,AD∥BC
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
自主学习
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
平行四边形的定义
A B
D C
数学语言：
四边形ABCD 中， AB//CD , AD //BC 四边形ABCD 为平行四边形
例1
如图， ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于E，∠ADC的平分线DF交 BC于点F, 求证：四边形BFDE是平行四边形.

北师大版八年级下册第六章《平行四边形》检测题B

第六章《平行四边形》检测题一．选择题(共12小题）1．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是(）A．一组对边平行,另一组对边相等B．一组对边相等，一组对角相等C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线D．一组对边相等,一条对角线平分另一条对角线2．设四边形的内角和等于a,五边形的外角和等于b,则a与b的关系是()A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°3．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1,另两张直角三角形纸片的面积都为S2,中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．4S2C．4S2+S3D．3S1+4S34．在▱ABCD中，AB=3,BC=4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（）①AC=5;②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④5．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F,则AE+AF的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．66．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F,CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2,则BC长为（）A．8 B．10 C．12 D．147．如图，在▱ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为(）A．B．4C．2D．8．如图，在▱ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧,分别交AB、AD于点E、F;再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是（)A．AG平分∠DAB B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH9．如图,将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处,若∠1=∠2=44°，则∠B为()A．66°B．104°C．114° D．124°10．如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6,则△ABO的周长是（）A．10 B．14 C．20 D．2211．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD=BC;③OA=OC；④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（)A．3种B．4种C．5种D．6种12．如图,点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点,点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离;⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤二．填空题（共6小题）13．如图,把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF,若∠BAE=55°，则∠D1AD=．14．如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5,AP=8，则△APB的周长是．15．如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O,若AB∥CD，请添加一个条件（写一个即可）,使四边形ABCD是平行四边形．16．如图,①是一个三角形,分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为．17．如图，在△ABC中,∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=．18．如图，在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm,AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于cm．三．解答题（共8小题）20．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证:AB=CF；（2）连接DE，若AD=2AB,求证：DE⊥AF．21．已知:如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．22．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O,点E，F分别在OA，OC上（1）给出以下条件;①OB=OD，②∠1=∠2，③OE=OF，请你从中选取两个条件证明△BEO ≌△DFO；（2）在（1)条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF,求证：四边形ABCD是平行四边形．23．如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．（1）求证:四边形DEFG是平行四边形；(2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度．24．如图，▱ABCD中,BD是它的一条对角线,过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．（1)求证:四边形CMAN是平行四边形．（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长．21．(12分）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，18cm AD =，21cm BC =，动点P 从A 开始沿AD 边向D 以1cm/秒的速度运动,动点Q 从C 点开始沿CB 边以2cm/秒的速度运动,P 、Q 分别从点A 、C 同时出发,当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）t 为何值时四边形PQCD 为平行四边形？（2）t 为何值时四边形PQBA 为平行四边形？ Q C BA P D26．如图，等边△ABC 的边长是2，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，延长BC 至点F ，使CF=BC,连接CD 和EF ．（1)求证：DE=CF ；（2）求EF 的长．。

2018年北师大八年级下《第6章平行四边形》单元测试题含答案

平行四边形时间：120分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（）A．13B．17C．20D．26 2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（）A．6B．12C．20D．243．如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE 4．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7B．8C．9D．10 5．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（）A．4B．8C．2D．4 6．如图，▱ABCD中，AC⊥AB，O为对角线AC的中点，点E为AD中点，并且OF⊥BC，∠D＝53°，则∠FOE的度数是()A．37°B．53°C．127°D．143°第6题图第7题图7．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带了两块碎玻璃，其编号应该是()A．①②B．①④C．③④D．②③8．如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF.若EF＝1，AC＝6，则AB的长为()A．10B．9C．8D．6第8题图第10题图9．马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了两个内角，其和等于830°，则该多边形的边数是()A．7B．8C．7或8D．无法确定10．如图，在△ABC 中，DE ∥AB ，FD ∥BC ，EF ∥AC ，则下列说法：①图中共有3个平行四边形；②AF ＝BF ，CE ＝BE ，AD ＝CD ；③EF ＝DE ＝DF ；④图中共有3对全等三角形．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(每小题3分，共24分)11．已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是________．12．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AD ∥BC ，请添加一个条件：____________，使四边形ABCD 为平行四边形(不添加任何辅助线)．第12题图第13题图13．如图，P 为▱ABCD 的边CD 上一点，若S ▱ABCD ＝20cm 2，则S △APB ＝________cm 2.14．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AD ＝10，△BOC 的周长为21，则AC ＋BD ＝________．第14题图第15题图15．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2AD ，∠A ＝60°，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且EF ＝1cm，那么对角线BD ＝________cm.16．如图，一块四边形绿化园地的四个角都做有半径为1m 的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为________．第16题图第17题图17．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，且DE平分∠CDA.若BE∶EC＝1∶2，则∠BCD的度数为________．18．如图，在△ABC中，BC＝1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M 2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，P n Mn的长为________(n为正整数)．三、解答题(共66分)19．(8分)如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE＋CD＝AD，连接CE.求证：CE平分∠BCD.20.(8分)如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形．21．(8分)一个多边形的内角和与某个外角的度数的总和为1350°，试求此多边形的边数及此外角的度数．22．(10分)如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，D为垂足，E为AC的中点．求证：(1)DE∥BC；(2)DE＝12(BC－AB)．23．(10分)如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA ＝MC.(1)求证：CD＝AN；(2)若AC⊥DN，∠CAN＝30°，MN＝1，求四边形ADCN的面积．24．(10分)如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：(1)BE ⊥AC ；(2)EG ＝EF (提示：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半)．25．(12分)如图，在▱ABCD 中，F 是AD 的中点，延长BC 到点E ，使CE ＝12BC ，连接DE ，CF .(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形；(2)若AB ＝4，AD ＝6，∠B ＝60°，求DE 的长．答案BDBBD DDCCB11．1012.AD＝BC(答案不唯一)13.1014．2215.316.πm217.120°18.1 2n19．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∴∠E ＝∠DCE，AE＋CD＝AE＋AB＝BE.(3分)又∵AE＋CD＝AD，∴BE＝AD＝BC，∴∠E ＝∠BCE，(6分)∴∠DCE＝∠BCE，即CE平分∠BCD.(8分)20．证明：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴∠A ＋∠B＝180°.(3分)又∵∠A＝∠C，∴∠B＋∠C＝180°，∴AD∥BC，AB∥CD，(6分)∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)．(8分)21．解：∵1350°＝180°×7＋90°，(2分)又∵多边形的一个外角大于0°小于180°，∴多边形的这一外角的度数为90°，(5分)多边形的边数为7＋2＝9.(8分)22．证明：(1)延长AD交BC于F.∵BD平分∠ABC，AD⊥BD，∴AB＝BF，AD ＝DF.(3分)又∵E为AC的中点，∴DE是△ACF的中位线，∴DE∥BC.(5分)(2)∵AB＝BF，∴FC＝BC－AB.(7分)∵DE是△ACF的中位线，∴DE＝12FC＝12(BC－AB)．(10分)23．(1)证明：∵CN∥AB，∴∠1＝∠2.在△AMD和△CMN中，＝MC，AMD＝∠CMN，∴△AMD≌△CMN(ASA)，∴AD＝CN.又∵AD∥CN，(3分)∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN.(5分)(2)解：∵AC⊥DN，∠CAN＝30°，MN＝1，∴AN＝2MN＝2，∴AM＝AN2－MN2＝ 3.(7分)∴S△AMN ＝12AM·MN＝12×3×1＝32.(8分)∵四边形ADCN是平行四边形，∴S四边形ADCN ＝4S△AMN＝2 3.(10分)24．证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，BD＝2BO.(1分)又∵BD＝2AD，∴BO＝AD＝BC.(3分)∵E为OC的中点，∴BE⊥AC.(5分)(2)由(1)知BE⊥AC，∴△ABE为直角三角形，AB为斜边．在Rt△ABE中，G为AB的中点，∴EG＝12AB.(7分)又∵E，F分别为OC，OD的中点，∴EF＝12CD.(8分)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∴EG＝EF.(10分)25．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.(1分)∵F是AD的中点，∴DF＝12AD.又∵CE＝12BC，∴DF＝CE.(4分)又∵DF∥CE，∴四边形CEDF是平行四边形．(5分)(2)解：过点D作DH⊥BE于点H.(6分)在▱ABCD中，∵AB∥CD，∠B＝60°，∴∠DCE＝60°，∴∠CDH＝30°.(7分)∵AB＝4，∴CD＝AB＝4，∴CH＝2，DH＝DC2－CH2＝2 3.(9分)在▱CEDF中，CE＝DF＝12AD＝3，则EH＝CE－CH＝1.(10分)∴在Rt△DHE中，由勾股定理得DE＝DH2＋HE2＝（23）2＋1＝13.(12分)。

二年级数学北师大版下册教案第6单元《平行四边形》

北师大版数学二年级下册第六单元认识图形《平行四边形》教学设计课题平行四边形课型新授课教材分析《平行四边形》是北师大版二年级下册第六单元认识图形中第5课时的内容，该内容是在学生初步认识了长方形的特征之后要掌握的又-节新的内容，这节课为以后学生学习平行四边形的边长、面积等打下基础。

学情分析学生在学习《平行四边形》这节课内容之前，虽然没有系统的学习过平行四边形，可是学生对于平行四边形这个图形并不陌生，因为生活中的楼梯扶手，挂物架的平面都是平行四边形的，所以直观的认识平行四边形难度不大。

再加上学生已经对长方形和正方形以及角等相关内容掌握，也为这节课学习平行四边形的边长、面积等积累了经验。

教学策略1．指导发现，观察操作；2．动手操作，教师引导。

教学内容北师大版二年级下册教科书第69页，70页教学目标1．通过生活情景与实践操作，直观认识平行四边形。

2．在观察与比较中，使学生在头脑里建长方形与平行四边形间的区别与联系。

3．体会平行四边形与生活的密切联系，感受学习的乐趣。

教学重点通过生活情境与实践操作，直观认识平行四边形。

教学难点准确地在方格纸或点子图中画出平行四边形。

教学准备多媒体课件、直尺、长方形框架、七巧板等。

课时安排1课时教学环节导学案一、创设情境情境导入1.出示课件师: 同学们好！欢迎来到慕课堂，今天我们一起来学习北师大版小学数学二级下册第六单元的第5课时平行四边形。

师：前面我们学习了四边形，知道了长方形和正方形是在生活中常见的四边形，那今天我们再来认识一种日常生活中常见的四边形。

师：看，这是老师周末拍的几张照片，请同学们找一找，你在这些图上找到了你认识的什么图形？生：老师，这幅图中我找的四边形是这样的，楼梯的扶手下面也有这样的四边形，而且有好多呢，伸缩门上我找到的四边形是这样的。

师：你真是一位善于观察的同学。

老师，给你点赞哦。

你找到的这些图形就是我们今天要认识的图形---平行四边形。

二、探究体验经历过程1．认识平行四边形师：那你能介绍一下这个平行四边形吗？生：平行四边形都有四条边。

平行四边形(解析版)2018年数学全国中考真题-2

2018年数学全国中考真题平行四边形（试题二）解析版一、选择题1. （2018海南省，13，3分）如图，□ABCD 的周长为36，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，BD =12，则△DOE 的周长为（）A ．15B ．18C ．21D ．24【答案】A【解析】∵□ABCD 的周长为36，∴BC +CD =12×36=18，OB =OD =12BD =12×12=6，又∵点E 是CD 的中点，∴OE =12BC ，DE =12CD ，∴△DOE 的周长=OD +OE +DE =6+12BC +12CD =6+12(BC +CD )=6+12×18=15，故选择A ．【知识点】平行四边形的性质，三角形的中位线定理2．2. （2018山东省东营市，7，3分）如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 边中点，连接DE 并延长，交AB的延长线于F,AB=BF 。

添加一个条件，使四边形ABCD 是平行四边形，你认为下列四个条件可选择的是（）A. AD=BCB. CD=BFC. ∠A=∠CD. ∠F=∠CDF.【答案】D【解析】题干中有AB=BF,因此应证AB ∥CD,AB=CD 即可，而要证这两个条件应证△BEF ≌△CED.结合题干中条件：E 为BC 中点，又由对顶角，因此添加∠F=∠CDF 可证△BEF ≌△CED ，可得AB ∥CD,AB=CD.【知识点】平行四边形的判定方法。

3. (2018甘肃省兰州市,8,4分) 如图,矩形ABCD 中,AB =3,BC =4,BE //DF 且BE 与DF 之间的距离为3,则AE 的长度是 A. 7 B .83 C .87 D .85 【答案】C【解析】作EG ⊥DF 于G ,,因为BE ∥DF ,所以∠BEG =90°, 所以∠AEB +∠DEG =90°,又∠AEB +∠ABE =90°,所以∠DEG =∠ABE ,因为AB =EG =3,所以△ABE ≌△GED ,所以ED =BE ,在Rt △ABE中,AE 2+AB 2=BE 2=(4-AE )2,解得AE =78,故选C ｡设AE =x ,则BE =29x +,由3×BE =3×DE ,所以BE =DE .即29x +=4-x ,解得x =87. 【知识点】平行四边形的性质全等三角形的判定和性质勾股定理4. (2018甘肃省兰州市,9,4分)如图,将口ABCD 沿对角线BD 折叠,使点A 落在点E 处,交BC 于点F .若∠ABD =48°,∠CFD =40°,则∠E 为A .102°B .112°C .122°D .92°【答案】B【解析】因为∠DFC =∠BFE =40°,由折叠的性质知△ABD ≌△CBD ≌△CDB ,所以∠FBD =∠FDB =20°,∠ABD =∠EBD =48°,所以∠EBF =28°,所以∠E =180°-∠EBF -∠EFB =180°-28°-40°=112°,故选B ｡【知识点】平行四边形的性质折叠的性质全等三角形的判定和性质5. （2018黑龙江绥化，7，3分）下列选项中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（）A BCD EF 第8题图 A E B DC F第9题图【解析】解：A选项，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判断出四边形ABCD是平行四边形，故正确；B选项，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断出四边形ABCD是平行四边形，故正确；C选项，一组对边平行，另一组对边相等的四边形也有可能是等腰梯形，所以不能判断出四边形ABCD是平行四边形，故错误；D选项，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判断出四边形ABCD是平行四边形，故正确.故选C.【知识点】平行四边形的判定6.（2018年黔三州，10,4）如图，在□ABCD中，已知AC=4cm,若△ACD的周长为13cm,则□ABCD的周长为（）A.26cmB.24cmC. 20cmD.18cm【答案】D【解析】∵在□ABCD中，AD=BC,AB=CD, AC=4cm,AC+AD+CD=13cm,∴AD+DC=13-4=9cm.∴AB+BC+CD+AD=2AD+2CD=2(AD+CD)=18cm.【知识点】平行四边形性质，7.（2018贵州铜仁，8，4）在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离是（）A.1cmB.3cmC.5cm或3cmD.1cm或3cm【答案】C，【解析】依据题意画出图形.当直线a，b，c的位置如图1所示时，结合平行线间的距离的知识，可得a与c的距离是4+1=5cm；当直线a，b，c的位置如图2所示时，结合平行线间的距离的知识，可得a与c的距离是4-1=3cm；综上可知，a与c的距离是5cm或3cm.图1 图28.（2018江苏苏州，9，3分）如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD＝12BC．过AC中点E作EF∥CD （点F位于点E右侧），且EF＝2CD．连接DF，若AB＝8，则DF的长为（）A ．3B ．4C ．D ．【答案】B【解析】本题解答时要取AB 的中点，然后利用三角形的中位线和平行四边形的判定和性质来解答.取AB 的中点M ，则ME ∥BC ，ME =12BC ，∵EF ∥CD ，∴M ，E ，F 三点共线，∵EF =2CD ，∴MF =BD ，∴四边形MBDF 是平行四边形，∴DF =BM =4，故选B .9.（2018内蒙古通辽，10，3分）如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，DE 平分∠ADC 交AB 于点E ，∠BCD ＝60°，AD ＝12AB ，连接OE ．下列结论：①S □ABCD ＝AD ·BD ；②DB 平分∠CDE ；③AO ＝DE ；④S △ADE ＝5S △OFE ．其中正确的个数有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BCD ＝∠DAB ＝60°，∵DE 平分∠ADC ，∴∠DAE ＝∠ADE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形，∴AD ＝AE ＝DE ，∵AD ＝12AB ，∴AE ＝12AB ，即E 为AB 的中点， ∴∠ADB ＝90°，∴S □ABCD ＝AD ·DB ，故①正确；又∵DE 平分∠ADC 交AB 于点E ，∠ADC ＝120°，∴∠EDC ＝60°而∠AED ＝∠EDB ＋∠EBD ，AD ＝AE ＝DE ＝EB ，∴∠EDB ＝∠EBD ＝30°，所以∠DBC ＝∠EDC －∠EDB ＝60°－30°＝30°∴DB 平分∠CDE ，故②正确；又AO ＝12AC ，DE ＝12AB ，AC ＞AB ，∴AO ＞DE ，故③错误； ∵AE ＝BE ，DO ＝BO ，∴OE ＝12AD ，且EO ∥AD ，B∴S△ADF＝4S△OFE，又S△AFE≠S△OFE，∴S△ADF＋S△AFE≠5S△OFE，即S△ADE≠5S△OFE故④错误．综上所述，故选B．10.（2018四川巴中，10，4分）如图，在□ABCD中，已知AC＝4cm，若△ACD的周长为13cm，则□ABCD 的周长为A.26cmB.24cmC.20cmD.18cm【答案】D.【解析】根据平行四边形的两组对边分别相等，得□ABCD的AB＝CD，BC＝A D.由C△ACD＝AD＋AC＋CD＝13cm，AC＝4cm，得AD＋CD＝9cm，∴C□ABCD＝2（AD＋CD）＝2×9＝18（cm），故选D.二、填空题1.如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为__________，【答案】【解析】分析：连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长.详解：连接DE，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，DE=AC∵ΔABC是等边三角形，且BC=4∴∠DEB=60°,DE=2∵EF⊥AC，∠C=60°,EC=2∴∠FEC=30°，EF=∴∠DEG=180°-60°-30°=90°∵G 是EF 的中点，∴EG=.在Rt ΔDEG 中，DG=故答案为：.点睛：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键.2. （2018江苏常州，15，2）如图，在□ABCD 中，∠A =70°，DC=DB ，则∠CDB=_______．【答案】40°；【解析】因是平行四边形，则∠C =∠A =70°,由DC =DB ，可知∠DBC =∠C =70°，根据三角形内角和180度，得∠CDB =40°3. （2018黑龙江哈尔滨，20，3）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ＝OB ，点E 、点F 分别是OA 、OD 的中点，连接EF ，∠CEF ＝45°，EM ⊥BC 于点M ，EM 交BD 于点N ，FN ＝10，则线段BC 的长为_________________．【答案】42，【解析】连接BE ，易证△BEC 是等腰直角三角形，EM 三线合一，EF 是中位线，可证得△EFN ≌△MBN ，可得到BN ＝FN ＝10，tan ∠NBM ＝21，就能求出BM ＝22，所以BC ＝424. （2018湖北十堰，13，3分）如图，已知ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，且AC ＝8，BD ＝10，AB ＝5，则 OCD 的周长为．【答案】14 【解析】，四边形ABCD 是平行四边形，，AB ＝CD ＝5，OA ＝OC ＝4，OB ＝OD ＝5，，，OCD 的周长＝5＋4＋5＝14，故答案为14．5. （2018湖南省株洲市，17，3）如图，O 为坐标原点，△OAB 是等腰直角三角形，∠OAB ＝90°，点B 的坐标为（0,22）．将三角形沿x 轴向右平移得到Rt △O ´A ´B ´，此时点B ´的坐标为（22,22），则线段OA 在平移过程中扫过部分的图形面积为________．【答案】4【解题过程】过A ´作A ´C ⊥x 轴，垂足为C ．由题意可知，点B ´平移了22，∴OO ´＝22．∵AC ＝12OB ＝12×22＝2．∴平行四边形OAA ´O ´的面积为：22×2＝4．【知识点】平行四边形面积，图形的平移，等腰直角三角形的性质6.（2018湖南省株洲市，18，3）如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，且BD ＝CD ，过点A 作AM ⊥BD于点M ，过点D 作DN ⊥AB 于点N ，且DN ＝32，在DB 的延长线上取一点P ，满足∠ABD ＝∠MAP ＋∠P AB ，则AP ＝_______． OC B DA y BOAy第17题图C B ´ xB O Ay第17题答图O ´ A ´【思路分析】∵∠ABD 是△ABP 的外角，∴∠ABD ＝∠P ＋∠P AB ．又∵∠ABD ＝∠MAP ＋∠P AB ，∴∠P ＝∠MAP ，即△AMP 使等腰直角三角形．∴AP ＝2AM ．∵AB ＝CD ＝BD ，∠AMB ＝∠DNB ＝90°，且∠ABD 为公共角，∴△ABM ≌△DBN ．∴AM ＝DN ＝32．∴AP ＝2AM ＝2×32＝6．故填6．【知识点】三角形全等．7. （2018云南曲靖，11，3分）如图：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，点D 、E 分别是AB 、BC 的中点，连接DE 、CD 如果DE ＝2.5，那么△ACD 的周长是___________【答案】18【解析】由于DE 是△ABC 的中位线，所以AC ＝5，由于AB ＝13，BC ＝12，22251213+=，因此△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 的中线，因此CD ＝AB ÷2＝6.5，而AD ＝6.5，AC ＝5，所以△ACD 的周长是6.5＋6.5＋5＝18.三、解答题1. （2018湖南省怀化市，19，10分）已知：如图，点A ，F ，E ，C 在同一直线上，AB//DC ，AB ＝CD ，D B ∠=∠（1）求证：∆ABE ≅∆CDF ；（2）若点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，连接EG ，且EG ＝5，求AB 的长．A D BCE第18题图 N BA PD CM【思路分析】（1）首先根据AB//DC可得CFDAEB∠=∠，再加上条件AB＝CD，DB∠=∠可利用AAS定理证明三角形全等．（2）根据（1）中的全等，可知AB＝CD，再根据三角形中位线定理可知已知量EG和未知量CD的等量关系，即可求出CD，继而求出AB的长度．【解题过程】（1）证明：∵AB//DC ∴CFDAEB∠=∠，又∵DB∠=∠，AB＝CD，∴在∆ABE和∆CDF中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,CDABDBCFDAED∴∆ABE≅∆CDF(AAS)（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴线段EG为CDF∆的中位线，根据三角形中位线的性质定理，可得：CDEG21=，又∵∆ABE≅∆CDF ∴AB＝CD ∴52121===ABCDEG，∴521=AB，即10=AB．【知识点】全等三角形的判定方法三角形中位线定理2.（2018吉林长春，13，3分）如图,在ABCD中，AD=7，AB=32,∠B=60°.E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将ΔABE沿BC方向平移到ΔDCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为 .（第13题）【答案】20【思路分析】由平移性质可知，四边形AEFD是平行四边形，且AD=7. 故当边AE值最小时，四边形AEFD周长有最小值.如图，作AE⊥BC，此时AE有最小值.【解题过程】解：如图，作AE⊥BC.此时四边形AEFD周长最小.在R tΔAEB中，∠AEB=90°,AB=32,∠B=60°∴AE=AB·sin60°=32×23=3由平移性质可知，四边形AEFD是平行四边形∴四边形AEFD周长为2（AD+AE）=2×(7+3)=20.【知识点】平行四边形，平移，最值3. （2018江苏常州，21，8）(本小题满分8分)如图，把△ABC 沿BC 翻折得△DBC（1）连接AD ，则BC 与AD 的位置关系是_______．（2）不在原图中添加字母和线段，只加一个条件使四边形ABDC 是平行四边形，写出添加的条件，并说明理由．【解答过程】（1）垂直（2）AB =AC∵ΔABC 沿BC 翻折到ΔDBC∴AB =BD ，AC =CD又AB =AC∴AB =CD ，AC =BD∴四边形ABDC 是平行四边形.4. （2018贵州贵阳，20，10分）如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，点F 是DE 的中点，AB 与AG 关于AE 对称，AE 与AF 关于AG 对称，（1）求证：△AEF 是等边三角形；（2）若AB ＝2，求△AFD 的面积.【思路分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得AE ＝EF .再由对称性知AE ＝AF 即可解决问题；（2）运用勾股定理算出直角边AD 长，然后计算面积.【解析】(1)在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，∴∠DAE ＝∠AEB ＝90゜.∵点F 是DE 的中点，∴Rt △AED 中，FE ＝AF .∵AE 与AF 关于AG 对称，∴AE ＝AF .∴AE ＝AF ＝EF .所以△AEF 是等边三角形；（2）∵△AEF 是等边三角形，∴∠EAF ＝∠AEF ＝60゜.∴∠EAG ＝∠EDA ＝30゜.∵AB 与AG 关于AE 对称，∴∠BAE ＝∠EAG ＝30゜.在Rt △ABD 中，AB ＝2，∴BE ＝12AB ＝1，∴AE∴DE ＝3，∴AD ＝3. S △AFD ＝12S △ADE ＝12×12×AE ×AD ＝12×12×3×3＝3435. (2018黑龙江大庆，24，7) 如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接CD ，过点E 作EF ∥CD 交BC 的延长线于F 。

北师大版数学八年级下册期末复习(六) 平行四边形

期末复习(六) 平行四边形01 各个击破)命题点1 平行四边形的性质与判定【例1】 (桂林中考)如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点． (1)求证：四边形EBFD 为平行四边形；(2)对角线AC 分别与DE ，BF 交于点M ，N ，求证：△ABN≌△CDM.【思路点拨】 (1)先根据平行四边形的性质得AB∥CD，AB ＝CD ，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；(2)因为AB ＝CD ，∠CAB ＝∠ACD 已知，则只需要再证明一组对应角相等即可．【解答】证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ABCD.∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∴BE ＝12AB ，DF ＝12DC. ∴BEDF.∴四边形EBFD 为平行四边形． (2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ABCD.∴∠CAB ＝∠ACD.∵四边形EBFD 为平行四边形， ∴∠ABN ＝∠CDM. 又∵AB＝CD ，∴△ABN ≌△CDM(ASA)．【方法归纳】 1.判定平行四边形的基本思路：(1)若已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；(2)若已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等；(3)若已知一组对角相等，可以证另一组对角相等；(4)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分． 2．利用平行四边形的性质进行计算的方法：(1)利用平行四边形的性质，通过角度或线段之间的等量转化进行相应的计算；(2)找出所求线段或角所在的三角形，若三角形为直角三角形，通过直角三角形的性质或勾股定理求解；若三角形为任意三角形，可通过三角形全等的性质进行求解．1．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝CD ，AD ＝BC ，AC ，BD 相交于点O ，若AC ＝6，则AO 的长度等于3．2．如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CE ∥AB ，DE 交AC 于点O ，且OA ＝OC ，猜想线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系，并说明理由．解：线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系是相等且平行．理由：∵CE∥AB， ∴∠DAO ＝∠ECO.∵OA ＝OC ，∠AOD ＝∠COE， ∴△ADO ≌△CEO.∴AD ＝CE. 又∵AD∥CE，∴四边形ADCE 是平行四边形． ∴CD ∥AE ，CD ＝AE.3．如图，E 是▱ABCD 的边CD 的中点，延长AE 交BC 的延长线于点F. (1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若∠BAF＝90°，BC ＝5，EF ＝3，求CD 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD.∴∠DAE ＝∠F，∠D ＝∠ECF. ∵E 是▱ABCD 的边CD 的中点， ∴DE ＝CE.在△ADE 和△FCE 中，⎩⎨⎧∠DAF＝∠F，∠D ＝∠ECF，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE(AAS)． (2)∵△ADE≌△FCE， ∴AE ＝EF ＝3. ∵AB ∥CD ，∴∠AED ＝∠BAF＝90°. 在▱ABCD 中，AD ＝BC ＝5， ∴DE ＝AD 2－AE 2＝52－32＝4. ∴CD ＝2DE ＝8.命题点2 三角形的中位线【例2】 (邵阳中考)如图，等边三角形ABC 的边长是2，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，延长BC 至点F ，使CF ＝12BC ，连接CD 和EF. (1)求证：DE ＝CF ； (2)求EF 的长．【思路点拨】 (1)欲证DE ＝CF ，由三角形中位线定理可知DE ＝12BC ，而条件中有CF ＝12BC 故易证得；(2)欲求EF 的长，可证四边形DEFC 是平行四边形，因此只需求出CD 的长．在等边三角形ABC 中，点D 是AB 的中点，因此运用勾股定理可求出，问题获解．【解答】 (1)证明：∵D，E 分别为AB ，AC 的中点，∴DE ＝12BC ，且DE∥BC. ∵点F 在BC 的延长线上，且CF ＝12BC ，∴DE ∥CF ，且DE ＝CF.(2)由(1)知DE∥CF，且DE ＝CF ， ∴四边形DEFC 为平行四边形．∵△ABC 是等边三角形，边长是2，点D 是AB 的中点，AB ＝BC ＝2， ∴CD ⊥AB ，∠BDC ＝90°，BD ＝12AB ＝1. ∴CD ＝BC 2－BD 2＝22－12＝ 3. ∵四边形DEFC 为平行四边形， ∴EF ＝CD ＝ 3.【方法归纳】若题中有中点通常考虑到三角形的中线和中位线，而在等边三角形(等腰三角形)中，中线同时也是高和角平分线．4．如图，CD 是△ABC 的中线，点E ，F 分别是AC ，DC 的中点，EF ＝2，则BD ＝4．5．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M ，N ，P 分别是AD ，BC ，BD 的中点，∠ABD ＝20°，∠BDC ＝70°，求∠PMN 的度数．解：∵M，N ，P 分别是AD ，BC ，BD 的中点，∴MP ，PN 分别是△ABD，△BCD 的中位线， ∴MP12AB, PN12CD.∴∠MPD ＝∠ABD＝20°，∠BPN ＝∠BDC＝70°. ∴∠DPN ＝110°.∴∠MPN ＝∠MPD＋∠DPN＝20°＋110°＝130°. 又∵AB＝CD ，∴MP ＝PN. ∴∠PMN ＝∠PNM. ∴∠PMN ＝25°.命题点3 多边形的内角和与外角和【例3】(泰安中考)如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于(B)A．90°B．180°C．210°D．270°【思路点拨】由AB∥CD，推导∠B＋∠C＝180°，故∠B，∠C两角的外角和是180°，根据多边形外角和等于360°可计算∠1＋∠2＋∠3度数．【方法归纳】对于求多边形的外角和或部分外角的和的问题，都要根据任意多边形的外角和是360°以及邻角和其补角的互补关系这两个知识点，来解决问题．6．正多边形的一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，则这个多边形的边数为8．7．如图，在六边形ABCDEF中，AB⊥AF，BC⊥DC，∠E＋∠F＝260°，求两外角和α＋β的度数．解：∵AB⊥AF，BC⊥DC，∴∠A＝∠C＝90°.又∵∠E＋∠F＝260°，∴∠EDC＋∠ABC＝(6－2)×180°－90°×2－260°＝280°.∴β＋α＝(180°－∠EDC)＋(180°－∠ABC)＝360°－(∠EDC＋∠ABC)＝80°.故两外角和α＋β的度数为80°.02整合集训一、选择题(每小题3分，共24分)1．已知平行四边形ABCD的周长为32 cm，AB＝4 cm，则BC的长为(B)A．4 cm B．12 cmD．16 cm D．24 cm2．(西宁中考)如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为(A)A．2 B．4 C．6 D．83．(临沂中考)将一个n边形变成n＋1边形，内角和将(C)A．减少180°B．增加90°C．增加180°D．增加360°4．(乐山中考)如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF＝3，DE＝2，则▱ABCD 的周长为(D)A．5B．7C．10D．145．某平行四边形的对角线长为x，y，一边长为6，则x与y的值可能是(C)A．4和7 B．5和7C．5和8 D．4和176．(葫芦岛中考)如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P 的度数是(A)A．60°B．65°C．55°D．50°7．如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为(B)A．2 3 B．43C．4 D．88．已知在正方形的网格中，每个小方格的边长都相等，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，则以A，B 为顶点的网格平行四边形的个数为(D)A．6个B．8个C．10个D．12个二、填空题(每小题4分，共24分)9．(陕西中考)一个正多边形的外角为45°，则这个正多边形的边数是8．10．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，若添加一个条件AE＝FC或∠ABE＝∠CDF，则四边形EBFD为平行四边形．11．(娄底中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO 的周长是9．12．(泉州中考)如图，顺次连接四边形ABCD四边的中点E，F，G，H，则四边形EFGH的形状一定是平行四边形．13．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，E，F分别在CD，BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，CF＝3，则AB 的长为3．14．在某张三角形纸片上，取其一边的中点，沿着过这点的两条中位线分别剪去两个三角形，剩下的部分就是如图所示的四边形；经测量这个四边形的相邻两边长为10 cm ，6 cm ，一条对角线的长为8 cm ；则原三角形纸片的周长是48_cm 或(32＋813)cm ．三、解答题(共52分)15．(6分)一个多边形的内角和与外角和的差为1 260度，求它的边数．解：设多边形的边数是n ，则(n －2)·180－360＝1 260.解得n ＝11. 答：它的边数为11.16．(8分)(陕西中考)如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF ＝DE ，连接AF ，CE ，求证：AF∥CE.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC. ∴∠ADB ＝∠CBD. ∵BF ＝DE ，∴BF ＋BD ＝DE ＋BD ，即DF ＝BE.在△ADF 和△CBE 中，⎩⎨⎧AD ＝CB ，∠ADF ＝∠CBE，DF ＝BE ，∴△ADF ≌△CBE(SAS)． ∴∠AFD ＝∠CEB. ∴AF ∥CE.17．(8分)(永州中考)如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3. (1)求证：BN ＝DN ； (2)求△ABC 的周长．解：(1)证明：∵AN 平分∠BAC， ∴∠BAN ＝∠DAN. ∵BN ⊥AN ，∴∠ANB ＝∠AND＝90°. 又∵AN＝AN ，∴△ABN ≌△ADN(ASA)．∴BN＝DN. (2)∵△ABN≌△ADN， ∴AD ＝AB ＝10，DN ＝NB. 又∵点M 是BC 中点，∴MN 是△BDC 的中位线． ∴CD ＝2MN ＝6.∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝AB ＋AD ＋CD ＋BC ＝10＋10＋6＋15＝41.18．(10分)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使EF ＝ED ，连接CF.(1)四边形DBCF 是平行四边形吗？说明理由；(2)DE 与BC 有什么样的位置关系和数量关系？说明理由．解：(1)四边形DBCF 是平行四边形．理由：∵E 是AC 的中点， ∴AE ＝CE.又∵EF＝ED ，∠CEF ＝∠AED， ∴△AED ≌△CEF(SAS)． ∴AD ＝CF ，∠A ＝∠ECF. ∴AD ∥CF ，即CF∥BD.又∵D 为AB 的中点，∴BD ＝AD.∴BD＝CF. ∴四边形DBCF 是平行四边形． (2)DE∥BC，DE ＝12BC. 理由：∵EF＝ED ，∴DE ＝12DF. 又∵四边形DBCF 是平行四边形， ∴DF ＝BC ，DF ∥BC. ∴DE ∥BC ，DE ＝12BC.19．(10分)(怀化中考)已知：如图，在△ABC 中，DE ，DF 是△ABC 的中位线，连接EF ，AD ，其交点为点O.求证： (1)△CDE≌△DBF； (2)OA ＝OD.证明：(1)∵DE，DF 是△ABC 的中位线， ∴DF ＝CE ，DF ∥CE ，DB ＝DC. ∵DF ∥CE ， ∴∠C ＝∠BDF.在△CDE 和△DBF 中，⎩⎨⎧DC ＝BD ，∠C ＝∠BDF，CE ＝DF ，∴△CDE ≌△DBF(SAS)．(2)∵DE，DF 是△ABC 的中位线， ∴DF ＝AE ，DF ∥AE.∴四边形DEAF 是平行四边形． ∵EF 与AD 交于点O ， ∴OA ＝OD.20．(10分)(扬州中考改编)如图，AC 为长方形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处． (1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)若AB ＝6，AC ＝10，求四边形AECF 的面积．解：(1)证明：由折叠的性质可知：AM ＝AB ，CN ＝CD ，∠FNC ＝∠D＝90°，∠AME ＝∠B＝90°， ∴∠ANF ＝90°，∠CME ＝90°. ∵四边形ABCD 为长方形， ∴AB ＝CD ，AD ∥BC.∴AM ＝CN ，∠FAN ＝∠ECM. ∴AM －MN ＝CN －MN ，即AN ＝CM.在△ANF 和△CME 中，∠FAN ＝∠ECM，AN ＝CM ，∠ANF ＝∠CME， ∴△ANF ≌△CME(ASA)． ∴AF ＝CE. 又∵AF∥CE，∴四边形AECF 是平行四边形． (2)∵AB＝6，AC ＝10，∴BC ＝8.设CE ＝x ，则EM ＝8－x ，CM ＝10－6＝4. 在Rt △CEM 中，(8－x)2＋42＝x 2，解得x ＝5.∴S 四边形AECF ＝EC·AB＝5×6＝30.。

北师大版初二数学下册知识点归纳

【导语】学会整合知识点。

把需要学习的信息、掌握的知识分类，做成思维导图或知识点卡⽚，会让你的⼤脑、思维条理清醒，⽅便记忆、温习、掌握。

同时，要学会把新知识和已学知识联系起来，不断糅合、完善你的知识体系。

这样能够促进理解，加深记忆。

下⾯是为您整理的《北师⼤版初⼆数学下册知识点归纳》，仅供⼤家参考。

北师⼤版初⼆数学下册知识点归纳篇⼀第⼀章分式 1分式及其基本性质分式的分⼦和分母同时乘以(或除以)⼀个不等于零的整式，分式的只不变 2分式的运算 (1)分式的乘除乘法法则：分式乘以分式，⽤分⼦的积作为积的分⼦，分母的积作为积的分母除法法则：分式除以分式，把除式的分⼦、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

(2)分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分⼦相加减;异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减 3整数指数幂的加减乘除法 4分式⽅程及其解法第⼆章反⽐例函数 1反⽐例函数的表达式、图像、性质图像：双曲线表达式：y=k/x(k不为0) 性质：两⽀的增减性相同; 2反⽐例函数在实际问题中的应⽤第三章勾股定理 1勾股定理：直⾓三⾓形的两个直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅ 2勾股定理的逆定理：如果⼀个三⾓形中，有两个边的平⽅和等于第三条边的平⽅，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形。

第四章四边形 1平⾏四边形性质：对边相等;对⾓相等;对⾓线互相平分。

判定：两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形; 两组对⾓分别相等的四边形是平⾏四边形; 对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形; ⼀组对边平⾏⽽且相等的四边形是平⾏四边形。

推论：三⾓形的中位线平⾏第三边，并且等于第三边的⼀半。

2特殊的平⾏四边形：矩形、菱形、正⽅形 (1)矩形性质：矩形的四个⾓都是直⾓; 矩形的对⾓线相等; 矩形具有平⾏四边形的所有性质判定：有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形是矩形;对⾓线相等的平⾏四边形是矩形; 推论：直⾓三⾓形斜边的中线等于斜边的⼀半。

【最新版】八年级数学下册课件：18.1.1平行四边形的性质

同前面易得AB=CD=EF
两条平行线间的距离相等.
巩固练习
18.1 平行四边形/
4.如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4cm，S△ABC=12cm2，求△ABD中AB边上的高．
解：∵S△ABC
= =
1 2
AB•BC,
1 2
×4
×BC=12cm2，
∴BC=6cm.
∵AB∥CD，
∴点D到AB边的距离等于BC的长度，
又∵AD∥BC（平行四边形的对边平行）
∴∠A+∠B=180°∠C+∠D=180° （两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B=∠D= 180 °－∠A= 180º－ 52°=128 °
巩固练习
18.1 平行四边形/
3.如图：在 ABCD中，∠A+∠C=200° A
则：∠A= 100 ，∠B= 80 °.
探究新知
18.1 平行四边形/
四边形
两组对边分别平行 A
D
平行
四
B
C
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
边形
A
D 记作： ABCD
读作：平行四边形ABCD
B
C
∵ AB∥CD
∵四边形ABCD是平行四边形
AD∥BC
∴ AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
AD∥BC
注：图形中字母的标识顺序应为顺时针方向或逆时针方向。
1. 理解并掌握平行四边形的概念及掌握平行四边形的定义和对边相等、对角相等的两条性质.
探究新知
18.1 平行四边形/
知识点 1 平行四边形的定义
下列常见的四边形它们的边之间有什么关系呢？
探究新知

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专题一本章知识梳理
思维导图
考纲要求
1. 理解平行四边形的概念. 2. 探索并证明平行四边形的有关性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形. 3. 探索并证明三角形中位线定理. 4. 探索并掌握多边形内角和与外角和公式.
ABCD中，∠BAD的平分线
AE分对边长度为3和4两部分，求四边形ABCD的周长.
易错点
易错提示：在 ABCD中,易得BC=AD=7，△ABE是
等腰三角形，然后分别从BE=3或4去求解即可求得答
案. 易出现考虑不全而造成漏解. 正解：∵在 ABCD中，∠BAD的平分线AE分对
边长度为3和4两部分，∴BC＝AD＝3＋4＝7，
三、解答题 8. 如图Z6-10，E是 ABCD的边AD的中点，连接CE
并延长交BA的延长线于点F，若CD=6，求BF的长.
9. 如图Z6-11，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点 E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF. 求证：四边形BECF是平行四边形.
6. 如图Z6-8，在
ABCD中，AE⊥BC于点E，
56 °. AF⊥CD于点F. 若∠EAF=56°，则∠B=______
7. 如图Z6-9，将
ABCO放置在平面直角坐标系xOy
中，O为坐标原点，若点A的坐标是（6，0），点C的
（7,4）坐标是（1，4），则点B的坐标是__________.
知识梳理
（2）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（ n-2）· 180° __________ （n是大于或等于3的自然数）. 4. 多边形的外角及外角和定理（1）多边形内角的一边与另一边的__________ 反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角. （2）在多边形的每一个顶点处取这个多边形的一个________ ，它们的和叫做这个多边形的外角和. 外角（3）多边形的外角和定理：多边形的外角和都等
答案：B
学以致用
1. 能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（ B ）
A. AB＝AD，CB＝CD
B. AB＝CD，AD＝BC
C. ∠A＝∠B，∠C＝∠D
D. AB∥CD，AD＝BC
易错点
易错点2 考虑不周，导致错解或漏解
对几何图形判断错误，忘记根据不同情况去分类
解析，导致错解或漏解.
【例2】如图Z6-3，在
360° 于________.
专题二边形的判定方法而致错
在解题过程中，有时误用条件而导致判断出错，
凭主观想象就判断一个四边形是平行四边形.
易错点
【例1】如图Z6-2，在 ABCD中，对角线AC，BD
相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列
知识梳理
2. 平行四边形的对称性中心对称图形，平行四边形是______ 两条对角线的交点是它的对称中心. _________________ 3. 多边形的内角和定理（1）四边形可以被从同一个顶点出发的对角线分成_____ 个三角形，五边形可以被从同一个顶点出 2 发的对角线分成_____ 3 个三角形……n边形可以被从同一个顶点出发的对角线分成________ （n-2）个三角形.
四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝
∠CBF；④∠ABE＝∠CDF. 其中不能判定四边形
DEBF是平行四边形的有（ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个）
易错点
易错提示：易出现对判定定理理解不透，想当然没有
深入证明而出错.
正解：根据平行四边形的定义或判定定理逐一判
断即可.
2. 如图Z6-5，在
ABCD中，连接AC， C ）
∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是（ A. B. 2 C. D. 4
3. 如图Z6-6，四边形ABCD是平行四边形，点E是边 CD上一点，且BC=EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB 延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF 平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC，其中正确结论的个数为（ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D ）
形ABCD的周长为20或22.
学以致用
2. 已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则
∠AED的度数是_______________. 75°或15°
专题三本章重要考点专练——平行四边形的性质与判定
一、选择题 1. 如图Z6-4，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分
线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，若△CED的周长为6，则 A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 ABCD的周长为（ B ）
AD∥BC，AB＝CD，∠1＝∠2. ∴∠1＝∠3.
∴∠2＝∠3，∴AB＝BE. 然后分别从BE＝3或4去
分析求解以免考虑不全而造成漏解.
易错点
①若BE＝3，则AB＝CD＝3，此时四边形ABCD的周
长为2×（3＋7）＝20；②若BE＝4，则AB＝CD＝4，
此时四边形ABCD的周长为2×（4＋7）＝22. ∴四边
知识梳理
1. 平行四边形的定义、表示方法及有关概念
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. （1）________________
（2）平行四边形_______ 不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线. （3）如图Z6-1所示的四边形ABCD是平行四边形，记作“_______”，读作“_________________ ”，平行四边形ABCD 线段AC就是的一条对角线．
D. 4个
4. 如图Z6-7，在
ABCD中，∠BAD=120°，连接
BD，作AE∥BD交CD的延长线于点E，过点E作 EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF=1，则AB的长是（ B ） A. 2 B. 1 C. D.
二、填空题 5. 已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3， 0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x=__________. 4或-2