高二数学3月月清考试试题 文
高二数学下学期第一次月考3月试题文(精品文档)
云南省大理州南涧县2016-2017学年高二数学下学期第一次月考（3月）试题 文班级 姓名 学号本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
注:所有题目在答题卡上做答第I 卷（选择题 共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.若集合{}{}2|6,|11180M x N x N x x x =∈<=-+<，则MN 等于（ ）A.{}3,4,5B.{}|26x x <<C.{}|35x x ≤≤D.{}2,3,4,5 2.已知()2 a ib i a b R i+=+∈，，其中i 为虚数单位，则a b +等于（ ） A.1- B.1 C.2 D.3 3.在等差数列{}n a 中，已知386a a +=，则2163a a +的值为（ ） A.12 B.16 C.18 D.24 4.已知函数()2af x x x=+，则“02a <<”是“函数()f x 在()1 +∞，上为增函数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2cos cos ,2b A a B c a b +===，则ABC ∆的周长为（ ）A.7.5B.7C.6D.5 6.已知),0(πα∈,若31)4tan(=-απ,则=α2sin （ ） A.-54 B.45- C.54 D.457.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ） A.24 B.48C.54D.728.执行如上图所示的程序框图，则输出的S 值是( ) A ．4 B.32 C.23 D ．－19.如图，12 F F ，是双曲线221:18y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是12 C C ，在第一象限的公共点，若121F F F A =，则2C 的离心率是（ ） A.23 B.45 C.35 D.2510.设 x y ，满足约束条件430 0x yy x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩，，若目标函数()02n z x y n =+>，z 最大值为2，则tan 6y nx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π后的表达式为（ ）A.tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.cot 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C.tan 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D.tan 2y x =11.已知函数()f x 与()f x '的图像如下图所示， 则函数()()x f x g x e=的递减区间为（ ） A.()0,4 B.()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()()0,1,4,+∞12．已知点O 为ABC ∆内一点，0120,1,2AOB OA OB ∠===，过O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 为线段OD 的中点，则→→⋅EA OE 的值为（ ）A.514 B.27 C.314D.328二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设函数()()621log ,4,4x x f x f x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则()()34f f +=_________14.已知双曲线2222x y a b-=1（)0,0>>b a 的离心率为2，那么该双曲线的渐近线方程为15.设曲线()1*n y x x N +=∈在点()1 1，处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则20161201622016320162015log log log log x x x x ++++…的值为 ____16.若函数()423x x f x k x-=-有3个零点，则实数k 的取值范围是_______ _ _三、解答题（6个大题共70分，写出必要的解答过程）17、（本题满分10分）已知{}n a 为等比数列，各项均为正数，且2344,24a a a =+= （1）求数列{}n a 的通项公式；（2） 数列{}n b 满足6,321==b b ，且{}n n a b -是等差数列，求数列{}n b 的前n 项和18、（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形为ABCD 矩形，E 为SA 的中点，,23,3SA SB AB BC ===.（1）证明：//SC 平面BDE ；（2）若BC SB ⊥，求三棱锥C BDE -的体积.19. (本小题满分12分)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期 1月 10号 2月 10号 3月 10号 4月 10号 5月 10号 6月10号 昼夜温 差x(℃) 10 11 13 12 8 6 就诊人 数y(个)222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行实验（参考公式bˆ＝∑∑==--ni ini ii x n xyx n yx 1221，aˆ＝y －b ˆx ） (1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程； (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？20、（本题满分12分）椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)F ，离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）过F 且斜率为1的直线交椭圆于M N ，两点，P 是直线4x = 上任意一点．求证：直线,,PM PF PN 的斜率成等差数列．21.（本题满分12分）已知函数()22ln 311.f x x x x =--（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若关于x 的不等式()()()232132f x a x a x ≤-+--恒成立，求整数a 的最小值.22、（本题满分12分）已知函数()()221ln f x x m x m x =+--. （1）当1m =时,求曲线()y f x =的极值; （2）求函数()f x 的单调区间;（3）若对任意()2,3m ∈及[]1,3x ∈时,恒有()1mt f x -<成立,求实数t 的取值范围；高二文科数学参考答案及评分标准一． 选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分.）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 4; 14. x y 3±= 15. -1 . 16. ()()2,00,2-三.解答题:(本大题共6小题,满分70分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)解：（1）nn a 2=（2）2)1(221++-=+n n T n n 18. (本小题满分12分)19.（本小题满分12分）20, （本小题满分12分）21．（本小题满分12分）22．（本小题满分12分）。
2023-2024学年重庆市高二下学期3月月考数学质量检测试题(含答案)
2023-2024学年重庆市高二下册3月月考数学质量检测试题一、单选题1．已知集合(){}{}21,60A x y ln x B x x x ==+=--≤，则A B = （）A ．(]2,3-B ．(]1,3-C ．(]3,2-D ．()1,3-【正确答案】B【分析】首先求出集合A 、B ，再利用集合的交运算即可求解.【详解】(){}{}{}1101A x y ln x x x x x ==+=+>=>-，{}()(){}{}26032023B x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，所以A B ⋂{}(]131,3x x =-<≤=-，故选：B2．为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R 2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R 2的值是（）A ．0.97B ．0.86C ．0.65D ．0.55【正确答案】A【分析】在回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好，即可求解．【详解】由题意，四种模型的相关指数R 2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，根据在回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好，可得拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R 2的值是0.97．故选：A ．本题考查了用相关指数拟合模型效果的应用问题，其中解答中熟记回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好是解答的关键，属于基础题．3．已知26=22464+--，53=25434+--，71=27414+--，102=210424-+---，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为（）A ．8=24(8)4n n n n -+---B ．1(1)5=2(1)4(1)4n n n n +++++-+-C ．4=24(1)4n n n n ++-+-D ．15=2(1)4(5)4n n n n ++++-+-【正确答案】A【分析】由已知结合归纳推理即可求解【详解】解：从各个等式可以看出，等式右端均为2，左端为两个分式的和，且两个式子的分子之和恒等于8，分母则为相应分子减去4，设其中一个分子为n ，另一个分子必为8－n ，故8=24(8)4n n n n -+---满足；故选：A4．已知命题p ：220x x +->，命题q ：()(){|lg 23}x f x x =-，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B分别化简命题p 和命题q ，利用必要不充分条件的定义进行判断即可．【详解】命题p ：220x x +->等价于1x >或<2x -；命题q ：()(){}3{|lg 23}|230|2x f x x x x x x ⎧⎫=-=->=>⎨⎬⎩⎭则p 是q 的必要不充分条件故选：B5．函数22o )l g (1f x x x =-+的零点所在区间是（）A ．1184⎛⎫⎪⎝⎭，B ．1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．112⎛⎫⎪⎝⎭D ．()12，【正确答案】C【分析】利用零点存在性定理即可求解．【详解】2111151log 08484f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭211151log 04242f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭21111log 1022f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭()12110f =-=>()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，221log ()f x x x ∴=-+的零点所在区间是112⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：C6．某产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间的关系如下表，由此得到y 与x 的线性回归方程为6y x a =+$$，由此可得：当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为x24568y3040605070A ．-10B ．0C ．10D ．20【正确答案】C【分析】由已知求得,x y 的值，得到ˆa，求得线性回归方程，令5x =求得y 的值，由此可求解结论.【详解】由题意，根据表格中的数据，可得2456830406050705,5055x y ++++++++====，所以ˆ6506520ay x =-⨯=-⨯=，所以ˆ620y x =+，取5x =，得ˆ652050y=⨯+=，所以随机误差的效应（残差）为605010-=，故选C.本题主要考查了回归直线方程的求解，以及残差的求法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．设曲线f (x )＝ax 2在点(2，4a )处的切线与直线4x －y ＋4＝0垂直，则a ＝（）A ．2B ．－116C ．12D ．－1【正确答案】B【分析】由已知结合导数的几何意义即可求解．【详解】f (x )＝ax 2，则()2f x ax'=因为在点(2，4a )处的切线与直线4x －y ＋4＝0垂直，所以()1244f a =-'=所以116a =-故选：B8．函数3222xxx y -=+在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x xx x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．9．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.10．若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【正确答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.11．已知函数()()221x g x x e ax a =--+在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(,-∞B ．(C ．(,-∞D ．(0,【正确答案】A先求导数，利用单调性转化为()()2120xg x x e ax '=+-≥，构造新函数()()21x xf x x e +=求解()f x 的最小值即可.【详解】()()212x g x x e ax '=+-，由题意可知()()2120xg x x e ax '=+-≥在()0,∞+恒成立，即()212x x e a x+≥恒成立，设()()21x xf x x e +=，()()()()22221211x x x x e x x e x x f x +--+='=10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数；1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 为增函数；()f x 的最小值为12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ≤故选：A.利用函数单调性求解参数时，通常转化为恒成立问题求解：（1）()f x 在区间D 上单调递增等价于()0f x '≥在区间D 上恒成立；（2）()f x 在区间D 上单调递减等价于()0f x '≤在区间D 上恒成立.12．若正实数a ，b 满足22ln ln 222+≥+-b a b a ，则（）A ．124+=+a bB ．122-=-a b C ．2a b >D ．240b a -<【正确答案】B【分析】利用基本不等式可得)222212b a +-≥（当且仅当222b a =时取等号），利用熟知的结论1ln x x -≥（当且仅当1x =时取等号）进行放缩可得到2222ln ln 2b a a b +-≥+，结合已知条件，得到22ln ln 222b a b a +=+-，考虑到各不等式取等号的条件，解得,a b 的值，然后逐一检验即可做出正确判断.【详解】先证明熟知的结论：1ln x x -≥恒成立，且当且仅当1x =时取等号.设()1ln f x x x =--,则()11f x x'=-,在(0,1)上，()0f x '<,()f x 单调递减;在(1,+∞)上，()0f x '>,()f x 单调递增.故()()11100min f x f ==--=,∴()1ln f x x x =-≥恒成立，且当且仅当1x =时取等号.由)22222212lnln ln 2b a a b +-≥=≥+,由已知22ln ln 222b a b a +≤+-，∴22ln ln 222b a b a +=+-，且2221b a ⎧=⎪=，解得12a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,经检验只有B 正确，故选：B.本题关键点在于利用基本不等式和熟知的结论1ln x x -≥恒成立，且当且仅当1x =时取等号进行研究，得到2222ln ln 2b a a b +-≥+，结合已知得到等式，一定要注意基本不等式和1ln x x -≥取等号的条件，才能列出方程组求得,a b 的值.二、填空题13．函数()f x =__________．【正确答案】(0,1)(1,]e ⋃【分析】利用对数、分式、根式的性质列不等式，求x 的范围，即得定义域.【详解】由函数解析式，知：01ln 0220x x x ⎧>⎪-≥⎨⎪-≠⎩，解得0x e <≤且1x ≠.故答案为.(0,1)(1,]e ⋃14．i 是复数单位，若()1243i z i +=+，z 的虚部为__________.【正确答案】1【分析】由复数除法求得z 后可得z ，从而得其虚部．【详解】由已知243(43)(12)4836212(12)(12)5i i i i i i z i i i i ++--+-====-++-，2z i =+，虚部为1．故1．15．已知函数()f x 定义域为R ，满足 ()(2)f x f x =-，且对任意121x x ≤<，均有()()12120x x f x f x ->-，则不等式(21)(3)0f x f x ---≥解集为______．【正确答案】4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先求出函数()f x 关于直线1x =对称，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增．在(],1-∞上单调递减，再解不等式|211||31|x x --≥--即得解.【详解】因为函数()f x 满足()(2)f x f x =-，所以函数()f x 关于直线1x =对称，因为对任意121x x ≤<，均有()()12120x x f x f x ->-成立，所以函数()f x 在[)1,+∞上单调递增．由对称性可知()f x 在(],1-∞上单调递减．因为()()2130f x f x ---≥，即()()213f x f x -≥-，所以|211||31|x x --≥--，即|22||2|x x -≥-，解得0x ≤或43x ≥．故4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭方法点睛：对于函数问题的求解，通常要先研究函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性等，再利用这些性质求解函数的问题.16．已知函数()()()202ln f x a x x x a =+>-有两个极值点1x 、()212x x x <，则()()12f x f x +的取值范围为_________.【正确答案】(),16ln 224-∞-【分析】确定函数()y f x =的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求()()12f x f x +的取值范围．【详解】函数()()22ln f x a x x x =-+的定义域为()0,∞+，()21222212x ax a f x a x x x -+⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，依题意，方程22220x ax a -+=有两个不等的正根1x 、2x （其中12x x <），则241604a a a ∆=->⇒>，由韦达定理得120x x a +=>，120x x a =>，所以()()()()()22121212122ln 2f x f x a x x x x a x x +=++-+()()()2222121212122ln 222ln 222ln 2a x x x x x x a x x a a a a a a a a a ⎡⎤=++--+=+--=--⎣⎦，令()()22ln 24h a a a a a a =-->，则()2ln 2h a a a '=-，()()2122a h a a a-''=-=，当4a >时，()0h a ''<，则函数()y h a '=在()4,+∞上单调递减，则()()44ln 280h a h '<=-<，所以，函数()y h a =在()4,+∞上单调递减，所以，()()416ln 224h a h <=-.因此，()()12f x f x +的取值范围是(),16ln 224-∞-.故答案为.(),16ln 224-∞-本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将()()12f x f x +的取值范围转化为以a 为自变量的函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知命题:,p x R ∀∈240++≤mx x m .（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）命题[]:2,8q x ∃∈，使得2log 1m x ≥，当p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题时，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）14m ≤-；（2）14m ≤-.（1）由题得0m <且21160∆=-≤m ，解不等式即得m 的取值范围；（2）先转化为[]2,8x ∃∈，21log m x ≥，再求21log x的最小值得m 的范围，因为p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题，所以p 真q 假，从而得到关于m 的不等式组，解不等式组即得解.【详解】（1）∵2,40x R mx x m ∀∈++≤，0m ∴<且21160∆=-≤m ，解得14m ≤-p ∴为真命题时，14m ≤-.（2）[2,8]∃∈x ，21log m x ≥，又[2,8]x ∈时，211[,1]log 3x ∈，13m ∴≥∵p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题∴当p真q假，有1413mm⎧≤-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩解得14m≤-【点晴】方法点晴：复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.18．2020年12月29日至30日，全国扶贫开发工作会议在北京召开，会议指出经过各方面的共同努力，中国现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，贫困村全部退出，脱贫攻坚目标任务如期全面完成.2021年是“十四五”规划开局之年，是巩固拓展脱贫攻坚成果、实现同乡村振兴有效衔接的起步之年．要按照中共中央国务院新决策新部署，把巩固拓展脱贫攻坚成果摆在头等重要位置来抓，推动脱贫攻坚政策举措和工作体系逐步向乡村振兴平稳过渡，用乡村振兴巩固拓展脱贫攻坚成果，坚决守住脱贫攻坚胜利果实，确保不出现规模性返贫，确保实现同乡村振兴有效衔接，确保乡村振兴有序推进．北方某刚脱贫的贫困地区积极响应，根据本地区土地贫瘠，沙地较多的特点，准备大面积种植一种叫做欧李的奇特的沙漠果树，进行了广泛的宣传．经过一段时间的宣传以后，为了解本地区广大农民对引进这种沙漠水果的理解程度、种植态度及思想观念的转变情况，某机构进行了调查研究，该机构随机在该地区相关人群中抽取了600人做调查，其中45岁及以下的350人中有200人认为这种水果适合本地区，赞成种植，45岁以上的人中赞成种植的占2 5．（1）完成如下的2×2列联表，并回答能否有99.5%的把握认为“赞成种植与年龄有关”？赞成种植不赞成种植合计45岁及以下45岁以上合计（2）为了解45岁以上的人的想法态度，需要在已抽取45岁以上的人中按种植态度（是否赞成种植）采用分层抽样的方法选取5位45岁以上的人做调查，再从选取的5人中随机抽取2人做深度调查，求2人中恰有1人“不赞成种植”的概率．附表：()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.072 2.706 3.841 5.0246.6357.87910.828参考公式为：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【正确答案】（1）填表见解析；有99.5%的把握认为“是否赞成种植与年龄有关”；（2）35．【分析】（1）根据题中数据，直接完善列联表，再由公式计算2K ，结合临界值表，即可得出结论；（2）先由题中条件，确定被抽取的5人中，“赞成种植的”有2人，记为a ，b ，“不赞成种植的”有3人，记为C ，D ，E ；用列举法写出总的基本事件，以及满足“恰有1人不赞成种植”的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.【详解】（1）由题意可得2×2列联表：赞成种植不赞成种植合计45岁及以下20015035045岁以上100150250合计30030060022600(200150150100)300300350250K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯12017.1437.8797=≈>经查表，得()27.8790.005P K >≈，所以有99.5%的把握认为“是否赞成种植与年龄有关”．（2）在45岁以上的人中，赞成种植和不赞成种植的人数比为2:3，所以被抽取到的5人中，“赞成种植的”有2人，记为a ，b ，“不赞成种植的”有3人，记为C ，D ，E ，从被选取到的5人中再从中抽取2人，共有如下抽取方法：(,)a b ，(,)a C ，(,)a D ，(,)a E ，(,)b C ，(,)b D ，(,)b E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E ，共有10种不同的结果，两人中恰好有1人为“不赞成种植的”包含了(,)a C ，(,)a D ，(,)a E ，(,)b C ，(,)b D ，(,)b E ，共有6种结果．所以所求概率63105P ==．方法点睛：求古典概型的概率的常用方法：（1）古典概型所包含的基本事件个数较少时，可用列举法列举出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；（2）古典概型所包含的基本事件个数较多时，可根据排列组合数的计算，求出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，进而求出所求概率.19．已知三次函数32()41f x x ax x =+++(a 为常数).（1）当1a =时，求函数()f x 在2x =处的切线方程；（2）若a<0，讨论函数()f x 在()0,x ∈+∞的单调性.【正确答案】（1）20190x y --=；（2）答案见解析.【分析】（1）对函数求导，由导数的几何意义可得直线的斜率，再由直线的点斜式方程即可得解；（2）对函数求导，结合二次函数的性质，按照0a -≤<、a <-()0f x '>、()0f x '<的解集即可得解.【详解】（1）当1a =时，函数32()41f x x x x =+++，2()324f x x x '=++Q ，(2)20f '∴=即切线的斜率20k =，(2)21f =Q ，∴切线方程为2120(2)y x -=-即20190x y --=；（2）导函数2()324f x x ax '=++的对称轴为03a x =->，①当24480a ∆=-≤即0a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当24480a ∆=->即a <-(0)40f '=>，令2()3240f x x ax '=++=，则13a x -=，23a x -=，因为120x x <<，所以当0x <<或x >时，()0f x '>；x <<时，()0f x '<；所以()f x在0,3a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；()f x 在33a a a a ⎛---+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减.本题考查了导数几何意义的应用及利用导数研究函数的单调性，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.20．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.(1)求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；(2)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【正确答案】(1)210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩；(2)2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.【详解】（1）依题意，销售收入700x 万元，固定成本250万元，另投入成本210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩万元，因此210600250,040()700()25010000()9200,40x x x W x x R x x x x ⎧-+-<<⎪=--=⎨-++≥⎪⎩，所以2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式是210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩.（2）由（1）知，当040x <<时，2()10(30)87508750W x x =--+≤，当且仅当30x =时取等号，当40x ≥时，10000()()920092009000W x x x =-++≤-+=，当且仅当10000x x =，即100x =时取等号，而87509000<，因此当100x =时，max ()9000W x =，所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.21．已知函数2()e x f x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.【正确答案】（1）当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增.（2）27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)方法一：首先讨论x =0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a 的取值范围.【详解】(1)当1a =时，()2e x f x x x =+-，()e 21x f x x ='+-，由于()''e 20x f x =+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故：当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增.(2)[方法一]【最优解】：分离参数由()3112f x x ≥+得，231e 12x ax x x +-+，其中0x ≥，①.当x =0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②.当0x >时，分离参数a 得，321e 12x x x a x----，记()321e 12x x x g x x ---=-，()()2312e 12x x x x g x x⎛⎫---- ⎪⎝⎭'=-，令()()21e 102x h x x x x =---≥，则()e 1x h x x ='--，()''e 10x h x =-≥，故()'h x 单调递增，()()00h x h ''≥=，故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=，由()0h x ≥可得：21e 102x x x ---恒成立，故当()0,2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；因此，()()2max 7e 24g x g -⎡⎤==⎣⎦,综上可得，实数a 的取值范围是27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.[方法二]：特值探路当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立27e (2)54-⇒⇒f a ．只需证当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．当274e a -≥时，227e ()e e 4-=+-≥+x x f x ax x 2⋅-x x ．只需证明2237e 1e 1(0)42-+-≥+≥xx x x x ⑤式成立．⑤式()223e 74244e -+++⇔xx x x ，令()223e 7424()(0)e -+++=≥x x x x h x x ，则()()222313e 2e 92()e -+--=='x x x x h x ()()222213e 2e 9e ⎡⎤-----⎣⎦=x x x x ()2(2)2e 9e ⎡⎤--+-⎣⎦x x x x ，所以当29e 0,2⎡⎤-∈⎢⎣⎦x 时，()0,()h x h x <'单调递减；当29e ,2,()0,()2⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭'x h x h x 单调递增；当(2,),()0,()∈+∞<'x h x h x 单调递减．从而max [()]max{(0),(2)}4==h x h h ，即()4h x ≤，⑤式成立．所以当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．综上274e a -≥．[方法三]：指数集中当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立323211e 1(1)e 122x x x ax x x ax x -⇒+-+⇒-++≤，记()32(1(1)e 0)2x g x x ax x x -=-++≥，()2231(1)e 22123xg x x ax x x ax -'=--+++--()()()2112342e 212e 22x x x x a x a x x a x --⎡⎤=--+++=----⎣⎦，①.当210a +≤即12a ≤-时，()02g x x '=⇒=，则当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意；②.若0212a <+<即1122a -<<时，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(21,2)x a ∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以若满足()1g x ≤，只需()21g ≤，即()22(7e 14)g a --≤=27e 4a -⇒，所以当27e 142a -⇒≤<时，()1g x ≤成立；③当212a +≥即12a ≥时，()32311(1)e (1)e 22x x g x x ax x x x --=++≤-++，又由②可知27e 142a -≤<时，()1g x ≤成立，所以0a =时，31()(1)e 21x g x x x -=+≤+恒成立，所以12a ≥时，满足题意.综上，27e 4a -.【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！22．如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是弧 CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.【正确答案】(1)2cos ([0,])4πρθθ=∈,32sin ([])44ππρθθ=∈,32cos ([,])4πρθθπ=-∈,(2))6π,)3π,2)3π,5)6π.【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中θ的取值范围.(2)根据条件ρ=P 点的极坐标.【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.1:2cos ([0,4M πρθθ=∈，23:2cos()2sin ([,])244M πππρθθθ=-=∈,33:2cos()2cos ([,])4M πρθπθθπ=-=-∈.(2)解方程2cos [0,])4πθθ=∈得6πθ=，此时P 的极坐标为)6π解方程32sin [,])44ππθθ=∈得3πθ=或23πθ=，此时P 的极坐标为3π或2)3π解方程32cos [,])4πθθπ-=∈得56πθ=，此时P 的极坐标为5)6π故P 的极坐标为)6π,)3π,2)3π,5)6π.此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.23．设函数()|21||4|f x x x =+--．（1）求不等式()2f x >的解集；（2）求函数()f x 的最小值.【正确答案】（1）{7x x ∈<-R 或53x ⎫>⎬⎭；（2）92-．【分析】(1)将绝对值函数化为分段函数，用不同的区间对应的解析式大于2，分别解出不等式求其并集即可.(2)由分段函数求其值域即可得到最小值.【详解】1521()33425(4)x x f x x x x x ⎧⎛⎫--<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=--≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+>⎪⎩⑴①由5212x x -->⎧⎪⎨<-⎪⎩解得7<-x ；②332142x x ->⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩解得543x <≤；③524x x +>⎧⎨>⎩解得>4x ；综上可知不等式的解集为{|7x x ∈<-R 或53x ⎫>⎬⎭.⑵由(1)知，当12x <-时，()195522f x x =-->-=-；当142x -≤≤时，()33f x x =-，()992f x -≤≤；当>4x 时，()59f x x =+>；综上x ∈R 时，()92f x ≥-，所以min 9()2f x =-故函数()f x 的最小值为92-.。
云南2023-2024学年高二下学期3月月考试题 数学含答案
2022级高二年级教学测评月考卷（五）数学（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知383,48a S ==，则5a 的值为（）A ．5B ．7C ．9D ．102．设()f x 是可导函数，且()()13Δ1lim3Δx f x f x∆→--=，则()1f '=（）A ．12B ．13-C ．1-D ．3-3．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比2q =，且满足2864a a =，则6a =（）A ．16B ．8C ．4D ．24．若函数()235ln f x x x x =--的导函数为()f x '，则()0f x '>的解集为（）A ．()0,+∞B ．()51,0,2⎛⎫-+∞⎪⎝⎭C ．()1,0-D ．5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5．已知()()2,0,1,3,2,5a b =-=-，则向量b在向量a上的投影向量是（）A ．()13,2,55-B ．()13,2,538-C ．()12,0,15-D ．()12,0,138-6．过点()2,4P -作圆22:(2)(1)25O x y -+-=的切线l ，直线:40m x by -=与直线l 平行，则直线l 与m的距离为（）A ．4B ．2C ．85D ．1257．已知函数()321213f x x x ax =-++在区间[]0,4上单调递增，则实数a 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知ln3x =是函数()e x f x ax =+的极小值点，则a =（）A ．ln3B ．ln3-C ．3D ．3-二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列求导运算正确的是（）A ．若()()cos 21f x x =+，则()()2sin 21f x x '=+B ．若()23e x f x -+=，则()23e x f x -+'=C ．若()e x x f x =，则()1e xxf x ='-D ．若()ln f x x x =，则()ln 1f x x ='+10．已知数列{}n a 满足()*111,,,n n a a pa q p q n +==+∈∈R N ，设{}na 的前n 项和为nS ，则下列说法正确的有（）A ．若1,3p q =-=，则102a =B ．若1,3p q =-=，则1015S =C ．若2,1p q ==，则101024a =D ．若2,1p q ==，则102036S =11．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为e ．过2F 作其中一条渐近线的垂线，垂足为P ．已知22PF =，直线2PF 的斜率为12-，则（）A ．2b =B ．e =C ．双曲线的方程为2214y x -=D ．5542P ⎛⎫⎪⎝⎭12．已知()ln xf x x=，下列说法正确的是（）A ．()f x 在1x =处的切线方程为22y x =-B ．()f x 的单调递减区间为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()f x 的极大值为1eD ．方程()1f x =-有1个不同的解第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知数列{}n a 满足112a =，且141n n n a a a +=+，则n a =_______．14．函数()f x 的导函数为()f x '，满足关系式()()2233ln f x x xf x '=+-，则()3f '的值为_______．15．已知直线l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，与C 相交于,A B 两点，且10AB =．若线段AB 的中点的横坐标为3，则焦点F 的坐标为_______；直线l 的斜率为_______．（第一空2分，第二空3分）16．定义在R 上的奇函数()f x 的导函数满足()()f x f x '<，且()()21f x f x +=-，若()2023e f =-，则不等式()e x f x <的解集为_______．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()*4211n n S n a n =++∈N ．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（ⅡII ）记12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）已知函数()32,f x x ax a =+∈R ，且()15f '-=．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的极值．19．（本小题满分12分）给出以下三个条件：①515S =；②139,,a a a 成等比数列；③623a a =．请从这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成作答．若选择多个条件分别作答，以第一个作答计分．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为1,1n S S =，_______．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若13nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，令n n n a c b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20．（本小题满分12分）已知函数()()32,f x x ax bx a b =++∈∈R R ，其图象在点()1,4处的切线方程为4y =．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()f x 在区间1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．21．（本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率2e =，且椭圆C 的短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 过点10,2D ⎛⎫⎪⎝⎭，且与椭圆C 相交于,M N 两点，又点P 是椭圆C 的下顶点，当PMN △面积最大时，求直线l 的方程．22．（本小题满分12分）已知函数()()e 2,ln 1,x f x g x ax x a =-=+-∈R ．（Ⅰ）讨论函数()g x 的单调性；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =-，若()h x 存在零点，求实数a 的取值范围．2022级高二年级教学测评月考卷（五）数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案BCADCADD【解析】因为在等差数列{}n a 中，318123,82848a a d S a d =+==+=，解得12,1d a ==-，故514187a a d =+=-+=，故选B ．2．()()()()()Δ0Δ013Δ113Δ1lim3lim 313Δ3Δx x f x f f x f f x x→→----=-'=-=-，则()11f '=-，故选C ．3．因为等比数列{}n a 的各项均为正数，公比2q =，且满足28281264a a a =⨯=，所以112a =，则556112162a a q ==⨯=，故选A ．4． 函数()235ln f x x x x =--的导函数为()()55,23,0,230f x f x x x x x x∴=-->∴--'>'，解得52x >，故选D ．5．因为()()2,0,1,3,2,5a b=-=- ，则向量b 在向量a上的投影为5a b a⋅==，所以向量b 在向量a()112,0,155a a a ⨯=⨯==- ，故选C ．6．由条件知点()2,4P -在圆O 上， 直线OP 的斜率为413,224-=-∴--切线l 的斜率为43，即直线l 方程为()4423y x -=+，整理得：43200,x y -+= 直线:40m x by -=与直线l 平行，3,b ∴=∴直线m 方程为430x y -=，则直线l 与m 的距离为4=，故选A ．7．因为()321213f x x x ax =-++在区间[]0,4上单调递增，所以()240f x x x a =-+≥'在[]0,4上恒成立，又当[]0,4x ∈时，函数224(2)4y x x x =-+=--+，在2x =时取得最大值4，所以()2max44a x x ≥-+=，所以a 的最小值为4，故选D ．8．因为()e x f x ax =+，所以()e x f x a '=+．因为ln3x =是()f x 的极小值点，所以()ln330f a =+='，解得3a =-．当3a =-时，()e 3x f x '=-，当ln3x >时，()()0,f x f x '>单调递增；当ln3x <时，()()0,f x f x '<单调递减，所以3a =-时，ln3x =是()f x 的极小值点，故3a =-，故选D ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案CDABDABCCD【解析】9．若()()cos 21f x x =+，则()()2sin 21f x x =-+'，故A 错误；若()23e x f x -+=，则()232e x f x -+=-'，故B 错误；若()e x xf x =，则()()()2e e 1e e x x x x x x x f x '''⋅-⋅-==，故C 正确；若()ln f x x x =，则()1ln (ln )ln 1ln f x x x x x x x x x'=⋅+⋅=+⋅=+''，故D 正确，故选CD ．10．对于A ，B ，若1,3p q =-=，则1213,3n n n n a a a a ++++=+=，两式相减可得2n n a a +=，{}n a ∴为周期2的周期数列，121,2a a ==，则1022a a ==，故A 正确；()101255315S a a =+=⨯=，故B 正确；对于C ，D ，若2,1p q ==，则121n n a a +=+，可得()11121,12,n n a a a ++=++=∴ 数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，12nn a ∴+=，则101021,211023nn a a =-∴=-=，故C 错误；()101021210203612S -=-=-，故D 正确，故选ABD ．11．设过()2,0F c 与一条渐近线0bx ay -=垂直的直线为l ，则l 的方程为()ay x c b=--，与0bx ay -=联立可得2,a ab P cc ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为22PF ==，又()2,0F c ，得212ab ca cc-=-，联立得：1,2a b ==，则c ==，所以离心率为c a =，双曲线的标准方程为221,,455y x P ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故选ABC ．12．对于A ，由()ln (0)x f x x x =>，得()()21ln ,10xf x f x '-==，则()11f '=，所以()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-，故A 错误；对于B ，由()0f x '<，得1ln 0,e x x -<>，所以()f x 的单调递减区间为()e,+∞，故B 错误；对于C ，由()0f x '=，得e x =，当0e x <<时，()0f x '>，当e x >时，()0f x '<，所以当e x =时，()f x 取得极大值()1e e f =，故C 正确；对于D ，由C 选项可知()f x 的最大值为1e，且当0e x <<时，()1e f x <；当e x >时，()ln 0xf x x=>，所以函数()y f x =与1y =-的交点个数为1，所以()1f x =-有1个解，故D 正确，故选CD ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案142n -5-()2,0;2±{}()01,+∞ 【解析】13．对141n n n a a a +=+两边同时取倒数，所以114114n n n n a a a a ++==+，则1114n n a a +-=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以112a =为首项，4为公差的等差数列，所以()124142n n n a =+-=-，所以142n a n =-．14．由()()2233ln f x x xf x '=+-进行求导得：()()3223f x x f x ''=+-，可得：()()336233f f ='-'+，解得()35f '=-．15．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，如图1，令()()1122,,,A x y B x y ，由10AB =，可得()12121022p p AB AF FB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又1232x x +=，则126x x +=，则4p =，此时抛物线2:8C y x =，其焦点()2,0F ．由题意可得直线l 的斜率存在，则其方程可设为()2y k x =-，由()22,8,y k x y x ⎧=-⎨=⎩整理得()22224240k x k x k -++=，则()21221242,4,k x x k x x ⎧+⎪+=⎨⎪=⎩则10，即10=，即10=，解得2k =±．16．()()()()()()()1121,2,42f x f x f x f x f x f x f x ⋅+=-∴+=-∴+=-=+ ，即()f x 的周期为4，()()()()2023e,20231e,f f f f x =-∴=-=- 是定义在R 上的奇函数()f x ，()1e f ∴=．①()0f x ≠时，令()()()()()()(),,e e x x f x f x f x g x g x f x f x -='='<' ，()()()0e xf x f xg x -∴='<'，即()g x 单调递减，()()()()111,11,1ef g g x g x ===∴ ，∴不等式()e x f x <的解集为()1,+∞；②0x = 时，()000e 1,0f x =<=∴=时，不等式成立．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为()4211n n S n a =++，令1n =得11a =，因为()4211n n S n a =++，所以()()1142112n n S n a n --=-+≥，两式相减得()()()1421212n n n a n a n a n -=+--≥，即()()12321n n n a n a --=-．所以()121223n n a n n a n --=≥-，所以2312135211323n n a a a n a a a n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-，即121na n a =-，所以当2n ≥时，21n a n =-，又11a =，所以21n a n =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()()1221121212121n n n b a a n n n n +===--+-+，所以111111121133521212121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）已知()32,f x x ax a =+∈R ，函数定义域为R ，可得()232f x x ax '=+，因为()15f '-=，所以325a -=，解得1a =-，此时()()322,32f x x x f x x x '=-=-，易知()()10,11f f '==，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()011y x -=⨯-，即10x y --=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()()32f x x x '=-，当0x <时，()()0,f x f x '>单调递增；当203x <<时，()()0,f x f x '<单调递减；当23x >时，()()0,f x f x '>单调递增，所以当0x =时，函数()f x 取得极大值，极大值()00f =；当23x =时，函数()f x 取得极小值，极小值32222433327f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）若选①515S =，111,1S a =∴= ，5154551015,12S a d d d ⨯∴=+=+=∴=，()11n a n n ∴=+-=．若选②139,,a a a 成等比数列，2319a a a ∴=，又111,1S a =∴= ，()()2211128,(12)18a d a a d d d ∴+=+∴+=+，解得0d =或1，又0,1d d ≠∴= ，()11n a n n ∴=+-=．若选③623a a =，()1153a d a d ∴+=+，又111,1S a =∴= ，()1531d d ∴+=+，解得1d =，()11n a n n ∴=+-=．（Ⅱ）1,3nn n a n b ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，3nn n n a c n b ∴==⋅，1231323333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++⋅ ，234131323333n n T n +∴=⨯+⨯+⨯++⋅ ，两式相减得231233333nn n T n +-=++++-⋅ ()()1131333133132n n n n n n ++--=-⋅=-⋅-，13113422n n T n +⎛⎫∴=+-⋅ ⎪⎝⎭．20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()232f x x ax b =++'，所以()f x 在点()1,4处切线的斜率为()132k f a b ==++'，因为切线方程为4y =，所以切线的斜率为0，且()14f =，所以320,14,a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得6,9a b =-=，所以()3269f x x x x =-+．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()3269f x x x x =-+．()()()23129313f x x x x x =-+=--'，令()0f x '=得1x =或3，所以在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上()()0,f x f x '>单调递增，在()1,3上()()0,f x f x '<单调递减，在()3,5上()()0,f x f x '>单调递增，所以1x =处()f x 取得极大值()14f =，3x =处()f x 取得极小值()30f =，又321111256922228f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()3255659520f =-⨯+⨯=，所以()f x 在1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为20，最小值为0．21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得：3,222,c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得1,b c =⎧⎪⎨=⎪⎩则222134a b c =+=+=，∴椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）如图2，由（Ⅰ）可知()10,1,0,2P D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，图232PD ∴=，由题意可知直线斜率必存在，设直线1:2l y kx =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立221,21,4y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理可得：()2214430k x kx ++-=，()22Δ1612410k k =++>，12122243,4141k x x x x k k -+=-=++，12214x x k∴-===+，1222113322214214PMN S PD x x k k ∴=⋅-=⨯⨯=⋅++△，(m m =≥，可得22344m k -=，221144m k +∴+=，则2236611214PMN m m S m m m m =⋅==+++△，又1y m m =+在)+∞上单调递增，∴当m ==0k =时，PMN △面积最大．此时直线1:2l y =．22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由()()1ln 1,0,,g x ax x x a g x a x=+->∈=+'R ，当0a ≥时，()10g x a x=+>'，函数()g x 在()0,+∞上单调递增，当0a <时，令()10g x a x =+='，解得1x a =-，当10x a <<-时，()0g x '>，当1x a>-时，()0g x '<，所以函数()g x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，综上，当0a ≥时，函数()g x 在()0,+∞上单调递增，当10,0a x a <<<-时，函数()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（Ⅱ）令()()()0h x f x g x =-=，得e ln 1x x a x--=，令()e ln 1,0x x H x x x--=>，则()()()221e e ln 11e ln x x x x x x x x H x x x⎛⎫---- ⎪'-+⎝⎭==，当01x <<时，()0H x '<，当1x >时，()0H x '>，所以函数()H x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以当1x =时，()H x 取最小值()1e 1H =-，因为()h x 存在零点，即方程e ln 1x x a x--=有实数根，所以e 1a ≥-．即实数a 的取值范围为[)e 1,-+∞．。
高二数学文科3月月考试题(有答案)
高二数学文科3月月考试题（有答案）中位数分别是( )A.13,12B.13,13C.12,13D.13,144. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为( )A. B. C. D.5. 以下判断正确的是( )[A. 的充要条件是 .B.若命题，则 .C.命题在中，若的逆命题为假命题.D. 是函数是偶函数的充要条件.6. 设是两个非零的平面向量，下列说法正确的是( )① 若，则有; ②③ 若存在实数，使得 = ，则 ;④ 若，则存在实数，使得 = .A.①③B. ①④C. ②③D. ②④7. 若不等式组表示的平面区域经过所有四个象限，则实数的取值范围是( )A. B. [1, 2]C. (1, 4) D .8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A. B. C. D.9. 如图所示的程序框图表示求算式之值，则判断框内不能填入( )A. ?B. ?C. ?D. ?10. 与y轴相切和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是( )A. B.C. D.11. 某珠宝店失窃，甲、乙、丙、丁四人涉嫌被拘审，四人的口供如下：甲：作案的是丙;乙：丁是作案者;丙：如果我作案，那么丁是主犯;丁：作案的不是我.如果四人口供中只有一个是假的，那么以下判断正确的是( ) A.说假话的是甲，作案的是乙 B.说假话的是丁，作案的是丙和丁C.说假话的是乙，作案的是丙D.说假话的是丙，作案的是丙12. 设函数满足下列条件：(1)对任意实数都有 ;(2) ，， .下列四个命题：④ 当，时，的最大值为 .其中所有正确命题的序号是( )A. ①③B.②④C. ②③④D. ①③④第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13. 复数的虚部为 .14. 有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则2个人在不同层离开的概率是 .15. 某市电信宽带私人用户月收费标准如下表：假定每月初可以和电信部门约定上网方案.方案类别基本费用超时费用甲包月制70元乙有限包月制(限60小时)50元0.05元/分钟(无上限)丙有限包月制(限30小时)30元0.05元/分钟(无上限)若某用户每月上网时间为66小时，应选择方案最合算. 16. 如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔和 .已知从塔的底部看塔顶部的仰角是从塔的底部看塔顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点分别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔的底部看塔顶部的仰角的正切值为塔的高为 m.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本题满分12分)在平面直角坐标系中，设锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点 . 记 .(1)讨论函数的单调性;(2)设的角所对的边分别为，若，且，，求的面积.18. (本题满分12分)等差数列的前项和为 ,已知 ,且成等比数列,求的通项式.19. (本题满分12分)如图，四边形ABCD与BDEF 均为菱形, DAB =DBF =60, 且FA=FC.(1) 求证： FC //平面EAD ;(2) 求证：平面BDEF 平面ABCD ;(3) 若 AB=2, 求三棱锥CAEF的体积.20. (本题满分12分)如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m.若行驶车道总宽度AB为6m，计算车辆通过隧道的限制高度是多少米?(精确到0.1m)21. (本题满分12分)已知中心在原点O，左焦点为F1(﹣1，0)的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为 .(1)求椭圆C的方程;(2)若椭圆C1方程为：，椭圆C2方程为： ( 0，且 1)，则称椭圆C2是椭圆C1的倍相似椭圆.已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M、N，试求弦长|MN|的取值范围.请考生在第(22)，(23)，(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.(本题满分10分) 已知的解集为 .(1) 求的值;(2) 若，求证： .23.(本题满分10分)若，，且 .(1) 求的最小值;(2) 是否存在，，使得 ?并说明理由.24.(本题满分10分)求下列不等式的解集高二年级3月月考文科数学试卷参考答案1-12：CDBDD BDDDA BD 13. 14. 15. 乙 16.17.18. 解:设数列的公差为d由得，故或 . 4分由成等比数列得S22=S1S4又，故 6分若a2=0,则可得d2=-2d2即d=0，此时，不符合题意8分若a2=3,则可得(6-d)2=(3-d)(12+2d)解得d=0或d=210分数列的通项公式为an=3或an=2n-112分20. 解：取抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，c(4，-4)， 2分设抛物线方程x2=-2py(p0)，将点C代入抛物线方程得p=2，抛物线方程为x2=-4y， 6分行车道总宽度AB=6m，将x=3代入抛物线方程，y=-2.25m， 8分限度为6-2.25-0.5=3.25m 10分则计算车辆通过隧道的限制高度是3.2米 12分21. 解：(1)设椭圆C1方程为：，直线AB方程为：，F1(﹣1，0)到直线AB距离为，化为，又，解得： .椭圆C1方程为： . 4分(2)椭圆C1的3倍相似椭圆C2的方程为： .①若切线m垂直于x轴，则其方程为：x=2，易求得|MN|= . 5分②若切线m不垂直于x轴，可设其方程为：y=kx+m.将y=kx+m 代人椭圆C1方程，得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0，△=48(4k2+3﹣m2)=0，即m2=4k2+3，(*) 6分记M、N两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2).将y=kx+m 代人椭圆C2方程，得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣36=0，x1+x2= ，x1x2= ，|x1﹣x2|= ，|MN|= 10分∵3+4k23，，即， 11分综合①②，得：弦长|MN|的取值范围为 . 12分22. 解：(1)由不等式|2x-3|1可化为-11，解得12，m=1，n=2，m+n=3. 5分(2)证明：若|x-a|1，则| x|=|x-a+a||x-a|+|a||a|+1. 10分23. 解：(1)由ab=1a+1b2ab，得ab2，且当a=b=2时等号成立.故a3+b 32a3b342，且当a=b=2时等号成立.所以a3+b3的最小值为42. 6分(2)由(1)知，2a+3bab43.由于436，从而不存在a ，b，使得2a+3b=6. 10分这篇高二数学文科3月月考试题就为大家分享到这里了。
湖北省武汉市2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题含答案
武汉2025届高二下学期数学三月月考（答案在最后）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数3()3sin f x x x =-+的图象在点(0,(0))A f 处的切线方程是（）A.30x y -=B.30x y -= C.30x y += D.30x y +=【答案】B 【解析】【分析】利用导数的几何意义求切线方程.【详解】因为3()3sin f x x x =-+，所以(0)0f =，所以切点为(0,0)A ，又2()33cos f x x x '=-+，由导数的几何意义知函数的图象在点A 处的切线斜率(0)03cos03k f '==+=，故得函数()f x 的图象在点A 处的切线方程是03(0)y x -=-，即为30x y -=．故选：B2.已知函数()()()1e xf x x a =-+在区间()1,1-上单调递增，则a 的最小值为（）A.1e -B.2e - C.eD.2e 【答案】A 【解析】【分析】()0f x '≥在()1,1-上恒成立，即e x a x ≥-，构造函数()e xg x x =-，()1,1x ∈-，求导得到其单调性，得到()()11e g x g ->-=，得到1e a -≥，求出答案.【详解】由题意得()0f x '≥在()1,1-上恒成立，()()e 1e e x x x f x a x x a =++-=+'，故e 0x x a +≥，即e x a x ≥-，令()e xg x x =-，()1,1x ∈-，则()()e e 1e <0xxxg x x x =--=-+'在()1,1x ∈-上恒成立，故()e xg x x =-在()1,1x ∈-上单调递减，故()()11e g x g ->-=，故1e a -≥，故a 的最小值为1e -.故选：A3.若函数()3231f x ax x x =+-+恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是（）A.(3,0)- B.(0,)+∞C.(,3)(0,)∞∞--⋃+ D.(3,0)(0,)-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】由题意得()2361f x ax x +'=-有两个不相等的零点，列出不等式组求解即可.【详解】依题意知，()2361f x ax x +'=-有两个不相等的零点，故0Δ36120a a ≠⎧⎨=+>⎩，解得3a >-且0a ≠.故选：D.4.已知R 上的可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式()()20x f x '->的解集为（）A.()(),21,-∞-+∞B.()()212-∞-,,UC.()(),12,-∞-+∞ D.()()1,12,-+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由函数图象得出()0f x '>和()0f x '<的解，然后用分类讨论思想求得结论．【详解】由图象知()0f x '>的解集为(,1)-∞-(1,)⋃+∞，()0f x '<的解集为(1,1)-，(2)()0x f x '->20()0x f x -⇔'>⎧⎨>⎩或20()0x f x -<<'⎧⎨⎩，所以2x >或11x -<<，解集即为()()1,12,-+∞ ．故选：D ．5.已知函数()()2121ln 2f x f x x x '=-++（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（）A.32B.1C.2D.12-【答案】A 【解析】【分析】先对函数()f x 求导，代入1x =，求出()1f '的值，进而求解()1f 的值即可.【详解】因为()()2121ln 2f x f x x x '=-++所以定义域为()0,+∞.所以()()1212f x f x x''=-+当1x =时，()()12121f f ''=-+，()11f '=，则()1312122f =-+=故选：A6.已知函数2ln 1()x a g x x x x=+-在()21,e 上存在极值，则实数a 的取值范围为（）A.e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭B.e 02⎛⎫ ⎪⎝⎭, C.(0,1)D.(0,e)【答案】B 【解析】【分析】先求导函数，根据存在极值得出()32ln 2()x x ag x x--'=在给定区间有变号零点,设()()2ln ,t x x x =-再根据导数求出最值即可求解.【详解】()222332ln 2ln 11ln 21()()x x ax a x a g x g x x x x x x x x---'=+-∴=-+= ,函数2ln 1()x a g x x x x =+-在()21,e 上存在极值，()()32ln 2x x a g x x --∴='在该区间有变号零点.即()()2ln 2=02=2ln x x a a x x ---，,()()()2ln ,2ln 11ln t x x x t x x x '=-=--=-,()t x '单调递减,设()00=0,e t x x '=，()()()1,e ,0,x t x t x '∈>单调递增;()()()2e,e ,0,x t x t x '∈<单调递减;()()()max e e 21e t x t ==-=,()()()()2211202e e 220t t =⨯-==-=，()(]0,e t x ∈,e 0,2a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭.故选:B.7.已知函数()2ln f x x ax =+，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-，则实数a的取值范围是（）A.1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】构造函数2()()2ln 2(0)g x f x x x ax x x =-=+->，则转化得到()g x 在(0,)+∞上单调递增，将题目转化为1()220g x ax x=+-≥'在(0,)+∞上恒成立，再利用分离参数法即可得到答案.【详解】由题意,不妨设120x x >>,因为对任意两个不等的正实数12,x x ,都有()()12122f x f x x x ->-,所以()()121222f x f x x x ->-,即()()112222f x x f x x ->-,构造函数2()()2ln 2(0)g x f x x x ax x x =-=+->,则()()12g x g x >,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以1()220g x ax x =+-≥'在(0,)+∞上恒成立,即2112a x x ≥-在(0,)+∞上恒成立,设211()(0)2m x x x x =->,则233111()xm x x x x-'=-+=，所以当(0,1)x ∈时,()0,()m x m x '>单调递增，(1,)x ∈+∞时,()0,()m x m x '<单调递减，所以max 11()(1)122m x m ==-=，所以12a ≥.故选：D.8.已知函数()()120e (0)xkx x x f x kx x ⎧--+≤=⎨->⎩恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（）A.[)1,e B.()1,1e,2∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭C.1,e 2⎛⎫-⎪⎝⎭D.{}1,1e 2⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】分别讨论<2x -，20x -≤≤，0x >时的零点个数，求出恰有两个零点时实数k 的取值范围即可.【详解】()()()()()31212011(20)e (0)e (0)xx k x x kx x x f x k x x kx x kx x ⎧+-<-⎧--+≤⎪==--+-≤≤⎨⎨->⎩⎪->⎩，①当<2x -时，令()0f x =，解得31x k =-，若()f x 在(),2∞--内有零点，则321k <--，解得112k -<<，即当112k -<<时，()f x 在(),2∞--内有一个零点；②当20x -≤≤时，令()0f x =，解得11x k -=+，若()f x 在[]2,0-内有零点，则1201k --≤≤+，解得12k ≥-，即当12k ≥-时，()f x 在[]2,0-内有一个零点；③当0x >时，令()e 0xf x kx =-=，即e xk x=，令()()e 0xg x x x =>，则()()2e 1x x g x x='-，令()0g x '=，得1x =，∴当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 在()0,1上单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 在()1,∞+上单调递增，∴()()1e g x g ≥=，∴当e =k 时，方程e xk x=有一个实数根，即函数()f x 在()0,∞+内有一个零点，当e k >时，方程e xk x=有两个实数根，即函数()f x 在()0,∞+内有两个零点，综上所述，当12k <-时，函数()f x 无零点；当12k =-时，函数()f x 在[]2,0-内有一个零点；当112k -<<时，函数()f x 在(),2∞--和[]2,0-内分别有一个零点，即()f x 有两个零点；当1e k ≤<时，函数()f x 在[]2,0-内有一个零点；当e =k 时，函数()f x 在[]2,0-和()0,∞+内分别有一个零点，即()f x 有两个零点；当e k >时，函数()f x 在[]2,0-内有一个零点，在()0,∞+内有两个零点，即()f x 有三个零点.函数()()120e (0)xkx x x f x kx x ⎧--+≤=⎨->⎩恰有两个零点，∴实数k 的取值范围是{}1,1e 2⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭.故选：D.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分2分，有选错的得0分.9.下列函数在定义域上为增函数的是（）A.()ln f x x x =B.()ln f x x x =+C.()cos f x x x =-D.()2exf x x =【答案】BC【解析】【分析】结合选项中的函数，求得相应的导数，结合导函数的符号，即可判定函数的单调，得到答案．【详解】对于A 中，函数()ln f x x x =，可得()ln 1f x x ='+(0)x >，当1ex >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当10ex <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以A 不符合题意,对于B,函数()ln f x x x =+（0x >），可得()11f x x'=+，当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；故B符合，对于C 中，()cos f x x x =-,则()1sin 0f x x ='+≥，故()f x 单调递增；故C 符合，对于D ，函数()2e xf x x =，可得()()2e2xf x x x ='+，当0x >或<2x -时，()0f x '>，()f x 单调递增；当20x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以D 不符合题意；故选：BC ．10.已知函数()ln xf x x=，下列说法正确的是（）A.()f x 的单调递减区间是()0,eB.()f x 在点()()22e ,ef 处的切线方程是24ex y -+=C.若方程ln a x x =只有一个解，则ea =D.设()2g x x a =+，若对()12R,1,x x ∀∈∃∈+∞，使得()()12g x f x =成立，则ea ≥【答案】BD 【解析】【分析】对函数()ln xf x x=求导，分析其单调性得到其图象，可判断ABC ，对应选项D ，设函数()()()1,f x x ∞∈+的值域为E ，()2g x x a =+的值域为G ，由G E ⊆求解判断.【详解】函数()ln x f x x =，()()0,11,x ∞∈⋃+，()2ln 1ln x f x x-'=，令()0f x '<，得01x <<或1e x <<；令()0f x '>，得e x >；可得函数()f x 在()0,1和()1,e 上单调递减，在()e,∞+单调递增，其大致图象如图：对于A ，由上述分析可得A 错误；B 对于，由()2222ln e 11eln e 4f -='=，()22e e 2f =，得()22e 1e 24y x -=-，所以切线为24e 0x y -+=，故B 正确；对于C ，由方程()ln xf x a x==只有一解，由图象可知，e a =或a<0，故C 错误；对于D ，设函数()()R g x x ∈的值域为G ，函数()()()1,f x x ∞∈+的值域为E ，对于()2g x x a =+，R x ∀∈，[),G a ∞=+，对于()f x ，()1,x ∞∀∈+，[)e,E ∞=+，若1x ∀∈R ，()21,x ∞∃∈+，使得()()12g x f x =成立，则,e G E a ⊆∴≥，故D 正确，故选：BD.11.已知()e xf x x =，()lng x x x =.若存在1x ∈R ，()20,x ∈+∞，使得()()12f x g x t ==成立，则下列结论中正确的是（）A.当0t >时，12x x t= B.当0t >时，12eln t x x ≤C.不存在t ，使得()()12f x g x =''成立 D.()()f x g x mx >+恒成立，则2m ≤【答案】AB 【解析】【分析】A 选项，转化同构形式12ln 1222e ln eln xx x x x x ==，根据函数()e x f x x =在()0,∞+上单调，可得12ln x x =，即12x x t =；B 选项，转化为研究函数()ln tt tϕ=的最小值问题即可；C 选项，特值验证，找到t 满足条件即可；D 选项，不等式变形、分离参数，转化为e ln x m x <-恒成立问题，构造函数研究最值即可.【详解】选项A ，()()12f x g x t == 12ln 1222e ln e ln 0x xt x x x x ===>∴，则1220,0,ln 0x x x >>>，且12()(ln )0t f x f x ==>，由()e xf x x =，得()()e1xf x x '=+，当0x >时，()0f x ¢>，则()f x 在()0,∞+上递增，所以当0t >时，()f x t =有唯一解，故12ln x x =，1222ln x x x x t ∴==，故A 正确；选项B ，由A 正确，得12ln ln (0)t tt x x t=>，设()ln t t t ϕ=，则()21ln tt t ϕ-'=，令()0t ϕ'=，解得et =易知()t ϕ在(]0,e 上单调递增，在[)e,+∞上单调递减，()()1e e t ϕϕ∴≤=，12ln 1e t x x ∴≤，12eln t x x ∴≤，故B 正确；选项C ，由()()e1xf x x '=+，()ln 10g x x '=+=，得()110e f g '⎛⎫-= '=⎪⎝⎭，又验证知()111e ef g ⎛⎫-==-⎪⎝⎭，故存在1e t =-，使得()110e f g '⎛⎫-= '=⎪⎝⎭，C 错误；选项D ，由0x >，()()f x g x mx >+恒成立，即e ln x x m ->恒成立，令()e ln xr x x =-，则()1e xr x x='-，由()r x '在()0,∞+上递增，又1202r ⎛⎫=<⎪⎝⎭'，()1e 10r ='->，∴存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00r x '=，()r x ∴在()00,x 上递减，在()0,x +∞上递增（其中0x 满足001e xx =，即00ln x x =-）.()()000001e ln 2x r x r x x x x ∴≥=-=+>，要使e ln x m x <-恒成立，0()m r x ∴<，存在02()m r x <<满足题意，故D 错误.故选：AB.【点睛】方法点睛：在应用导数研究函数的综合题型中，在题干条件中同时出现指数函数和对数函数，通常可以考虑借助幂函数作为桥梁，通过变形转化为相同结构的式子，再构造函数研究问题，即指对同构思想的应用.三､填空题：本题共3小题每小题5分，共15分12.若函数()312f x x x a =-+的极大值为11，则()f x 的极小值为____________．【答案】－21【解析】【分析】首先利用导数判断函数的单调性和极大值，并求a ，再求解函数的极小值.【详解】函数的定义域为R ，()2312f x x -'=，令()0f x '=，解得12x =-或22x =，列表：x(),2∞--2-()2,2-2()2,∞+()f x '+0-0+()f x 单调递增极大值16a+单调递减极小值16a-+单调递增所以当2x =-时，函数有极大值()216f a -=+，由题意得1611a +=，解得5a =-，当2x =时，函数有极小值()21616521f a =-+=--=-.故答案为：21-13.与曲线e xy =和24x y =-都相切的直线方程为__________.【答案】1y x =+【解析】【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解.【详解】设直线与曲线e x y =相切于点()11,ex x ，因为e x y '=，所以该直线的方程为()111e exx y x x -=-，即()111e e 1x x y x x =+-，设直线与曲线24x y =-相切于点222,4x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为2x y '=-，所以该直线的方程为()222242x x y x x +=--，即22224x x y x =-+，所以()112221e 2e 14x x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得120,2x x ==-，所以该直线的方程为1y x =+，故答案为：1y x =+.14.已知函数()e e 2sin x x f x x -=--，不等式2(2023e )(2ln )0x f a x f x x -++≤对任意的x ∈(0,)+∞恒成立，则a 的最大值为________．【答案】12023【解析】【分析】先根据奇函数的定义推出()f x 为R 上的奇函数，再利用导数推出()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，再利用奇偶性和单调性将不等式化为22ln e 2023x x x x a +≤-对任意的,()0x ∈+∞恒成立，再参变分离得2ln 2023e (2ln )x x a x x +≤-+对任意的,()0x ∈+∞恒成立，然后构造函数()e x h x x =-，再利用导数求出其最小值可得结果．【详解】因为()()e e 2sin()e e 2sin ()x x x x f x x x f x -----=---=-+=-，所以()f x 为R 上的奇函数．又()e e 2cos 2cos 22cos 0x x f x x x x -'=+-≥-=-≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，不等式2(2023e )(2ln )0x f a x f x x -++≤对任意的,()0x ∈+∞恒成立，即2(2ln )(e 2023)x f x x f x a +≤-对任意的,()0x ∈+∞恒成立，所以22ln e 2023x x x x a +≤-对任意的,()0x ∈+∞恒成立，即22ln 2ln 2023e (2ln )e e (2ln )e (2ln )x x x x x a x x x x x x x +≤-+=⋅-+=-+对任意的,()0x ∈+∞恒成立，令()e x h x x =-，所以()e 1x h x '=-，所以当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上为增函数；当x 0<时，()0h x '<，()h x 在(,0)-∞上为减函数，所以0min ()(0)e 01h x h ==-=，设()2ln g x x x =+，显然()g x 为(0,)+∞上的增函数，因为1111(2ln20e e e eg =+=-+<，(1)10g =>，所以存在01(1)e,x ∈，使得000()2ln 0g x x x =+=，所以2ln min [e(2ln )]1x xx x +-+=，此时2ln 0x x +=，所以20231a ≤，即a 的最大值为12023．故答案为：12023．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()y f x =，[],x a b ∈，（1）若[],x a b ∀∈，总有()f x k <成立，故()max f x k <；（2）若[],x a b ∀∈，总有()f x k >成立，故()min f x k >；（3）若[],x a b ∃∈，使得()f x k <成立，故()min f x k <；（4）若[],x a b ∃∈，使得()f x k >，故()max f x k >．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()2ln f x x a x=+-．（1）若1a =，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()()0,,0x f x ∞∈+≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】15.20x y +-=16.ln 21a ≤+【解析】【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）()()0,,0x f x ∞∈+≥恒成立，即()()min 0,,0x f x ∞∈+≥，利用导数求出函数()f x 的最小值即可.【小问1详解】若1a =，则()2ln 1f x x x =+-，()212f x x x-'=，故()()11,11f f '==-，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为()11y x -=--，即20x y +-=；【小问2详解】()()0,,0x f x ∞∈+≥恒成立，即()()min 0,,0x f x ∞∈+≥，又()()221222x f x x x x x-=-=>'，当02x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，所以()()min 2ln 21f x f a ==+-，所以ln 210a +-≥，所以ln 21a ≤+.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．16.已知函数()21e xf x x x a =-+-．（1）当1a =-，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有三个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+（2）213,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可得到答案；（2）由()0f x =，把函数()f x 的零点个数问题等价转化为，两个函数的交点个数问题，令()21exx x g x -+=，利用导数法研究函数()g x 的单调性和极值，进而结合函数图象得到实数a 的取值范围．【小问1详解】将1a =-代入可得()21e x f x x x =-++，其定义域为R ，则()21e xf x x -+'=.21y x =-和e x y =都在R 上增函数，所以()21e x f x x -+'=在R 上单调递增且()00f '=，因此，当(),0x ∞∈-时，()0f x '<，函数()f x 为单调递减；当()0,x ∞∈+时，()0f x '>，函数()f x 为单调递增；综上所述，函数()f x 的单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+．【小问2详解】（2）由()0f x =得，21e x x x a -+=，令()21exx x g x -+=，则()()()()()()22221e 1e 3212e e e x xxxxx x x x x x x g x ---+--+---=='=，(),1x ∞∈-时，()()0,g x g x '<单调递减；()1,2x ∈时，()()0,g x g x '>单调递增；()2,x ∞∈+时，()()0,g x g x '<单调递减；由单调性可知，当x →-∞时，()g x ∞→+；当x →+∞时，()0g x →；当1x =时，取得极小值，即()11e g =；当2x =时，取得极大值，即()232eg =.所以()y g x =和y a =的大致图象如下：综上所述，若()f x 有三个零点，则a 的取值范围为213,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．17.已知函数()2ln f x x ax =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，求()f x 在区间[]1,2上的最大值．【答案】（1）答案见解析；（2）()max1ln 24,081111ln 2,22821,2a a f x a a a a ⎧-<≤⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩．【解析】【分析】（1）求导后，分别在0a ≤和0a >的情况下，根据()f x '的正负得到函数单调性；（2112a≤、1122a <<122a ≥三种情况下，得到()f x 在[]1,2上的单调性，由单调性可确定最大值点，代入可得最大值.【详解】（1）由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()21122axf x ax x x-'=-=，①当0a ≤时，()0f x ¢>，()f x \在()0,∞+上单调递增；②当0a >时，令()0f x '=得：12x a=列表如下：x10,2a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭12a1,2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()f x '＋0－()f x递增极大值递减()f x \在⎛⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减；综上所述：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，()f x在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减.（2）当0a >时，由（1）知：1≤，即12a ≥时，()f x 在[]1,2上单调递减，则()()max 1f x f a ==-；②当12<<，即1182a <<时，()f x在⎡⎢⎣上单调递增，在2⎤⎥⎦上单调递减，()max11ln 222f xf a ∴==--；2≥，即108a <≤时，()f x 在[]1,2上单调递增，则()()max 2ln 24f x f a ==-；综上所述：()max1ln 24,081111ln 2,22821,2a a f x a a a a ⎧-<≤⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩.18.已知函数()ln 1f x a x ax =++.（1）当1a =时，求()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若不等式()e x f x x ≤恒成立，求a 的取值集合.【答案】（1）y =2x （2）{1}【解析】【分析】（1）先求出切点，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出结果；（2）通过构造函数()e ln 1x g x x a x ax =---，将问题转化成求()g x 的最小值，通过对a 进行分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间，进而求出结果.【小问1详解】当1a =时，()ln 1f x x x =++，所以(1)2f =，又()11f x x '=+，所以()11121f '=+=，故()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为2(1)2y x =-+，即2y x =.【小问2详解】解法一：因为()e x f x x ≤恒成立，e ln 10x x a x ax ---≥恒成立，令函数()e ln 1x g x x a x ax =---，则()()1e e (1)e (1)(e )x x x x a x a ag x x a x x x x x+'=+--=+-=+-①当0a ≤时，()()1(e )0xag x x x'=+->在区间(0,)+∞恒成立，此时g (x )在区间(0,)+∞单调递增，又11221111()e ln21(e 2)(ln2)22222a g a a =+--=-+-，易知12e 2,<1ln 22<，所以1(02g <，故0a ≤不合题意，②当0a >时，由()()1e 0xa g x x x ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭，可得e 0xa x-=，即e 0x x a -=令()e xh x x =，则()()e e 1e 0xxxh x x x '=+=+>在区间(0,)+∞上恒成立所以()e xh x x =在区间(0,)+∞上单调递增，又因为()00h =，所以存在0(0,)x ∈+∞，使得00e x x a ⋅=，两边同时取对数可得00ln ln x x a +=，则当0(0,)x x ∈时，e x x a <，即()0g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，e x x a >，即()0g x '>，所以当0x x =时，()0000min e ln 1ln 1xg x x a x ax a a a =⋅---=--，故要使()0g x ≥恒成立，只需ln 10--≥a a a ，令()ln 1a a a a ϕ=--，则()11ln ln a a a a aϕ=--⨯=-'，由()0a ϕ'>，得到01a <<，由()0a ϕ'<，得到1a >，所以()a ϕ在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，()()10a ϕϕ≤=，即()ln 10a a a a ϕ=--≤，所以ln 10--≥a a a 只有唯一解，即1a =.综上，a 的取值集合为{}1.解法二：由题意可得()e ln e10xxx a x --≥恒成立，令()e x t x x =，则()()e e 1e 0xxxt x x x '=+=+>在区间(0,)+∞上恒成立，所以()e xt x x =在区间(0,)+∞上单调递增，又因为()00t =，所以()e 0xt x x =>，所以()e ln e10xxx a x --≥恒成立，即ln 10t a t --≥在区间(0,)+∞上恒成立，令()ln 1g t t a t =--，又因为(1)0g =，要使()0g t ≥恒成立，则1t =是()g t 的极小值点，又因为()1ag t t'=-，所以()110g a '=-=，解得1a =.当1a =时，令()ln 1ln 1g t t a t t t =--=--，11()1t g t t t-'=-=，所以(0,1)t ∈时，()0g t '<，()1,t ∈+∞时，()0g t '>，所以()(1)1ln110g t g ≥=--=，满足题意.综上，a 的取值集合为{}1.【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查不等式恒成立问题，解题方法是把不等式变形为()0g x ≥，然后由导数求得()g x 的最小值min ()g x ，解不等式min ()0g x ≥即可得参数范围．19.已知函数()23ln 4(0,)f x x ax x b a b =+-+>∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当12a =时，方程()0f x =有三个不相等的实数根，分别记为()1,2,3i x i =.①求b 的取值范围；②证明()41,2,3;1,2,3i j x x i j -<==.【答案】（1）答案见解析（2）①715,3ln322⎛⎫-⎪⎝⎭；②证明见解析【解析】【分析】（1）应用导数讨论函数的单调性，分Δ0≤与Δ0>讨论即可；（2）①结合函数的极值点即可求解；②构造函数()()()2(01)h x f x f x x =--<<与()()()6(13)x f x f x x ϕ=--<<讨论即可.【小问1详解】函数()f x 的定义域为()()232430,,24ax x f x ax x x∞-=+'++-=.又0a >，令()0f x '=，得22430,Δ1624ax x a -+==-.当Δ0≤，即23a ≥时，22430ax x -+≥在()0,∞+恒成立，()0f x '≥.当Δ0>，即023a <<时，方程22430ax x -+=有两根，可求得：1222,22x x a a+==，因为1212430,0,22x x x x a a+=>=>所以210x x >>，当()10,x x ∈和()2,x +∞时，()0f x ¢>，()f x 为增函数，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数.综上：当23a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当023a <<时，()f x 在20,2a ⎛ ⎝⎭和2,2a ∞⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,22a a ⎛-+ ⎝⎭上单调递减.【小问2详解】当12a =时，()213ln 42f x x x x b=+-+.①方程()0f x =有三个不相等的实数根，即方程213ln 42b x x x -=+-在()0,∞+上有三个不相等的实数根.令()()213ln 4,0,2g x x x x x =+-∈+∞，则()()()1334x x g x x x x--=+-='，令()0g x '=，求得：1x =或3x =，则当01x <<或3x >时，()0g x '>，当13x <<时，()0g x '<，则()g x 在()0,1和()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，()g x 存在极大值为()712g =-，存在极小值()1533ln32g =-，且当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x ∞→+.要使方程()0f x =有三个不相等的实数根，则1573ln3,22b -<-<-b ∴的取值范围为715,3ln322⎛⎫-⎪⎝⎭.②证明：设方程()0f x =三个不相等的实数根分别为：123,,x x x ，且123x x x <<，由①可得123013x x x <<<<<，要证()41,2,3;1,2,3i j x x i j -<==，只需证max4i j x x -<，即证314x x -<，当12a =时，()f x 在()0,1和()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，且当0x →时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞.由()()()1230f x f x f x ===，构造函数()()()2(01)h x f x f x x =--<<，()()26(1)()(2)2x h x f x f x x x -''=+-=-'，当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '>在()0,1上单调递增，()()10h x h ∴<=，即()()20f x f x --<在()0,1上恒成立，又()10,1x ∈，则有：()()()()()1121120,2f x f x f x f x f x --<∴=<-，又()()211,3,21,2x x ∈-∈ ，且()f x 在()1,3上单调递减，212x x ∴>-，即122x x +>.构造函数()()()6(13)x f x f x x ϕ=--<<，()()22(3)()(6)6x x f x f x x x ϕ-''=+-=-'，当()1,3x ∈时()()0,x x ϕϕ'>在()1,3上单调递增.()()30x ϕϕ∴<=，即()()60f x f x --<在()1,3上恒成立.又()21,3x ∈ ，则()()2260f x f x --<.即()()()3226f x f x f x =<-，由()()231,3,3,x x ∞∈∈+，则()263,5x -∈.()f x 在()3,+∞上单调递增，32326,6x x x x ∴<-+<.又122x x +>，则可证得：()314,41,2,3;1,2,3i j x x x x i j -<∴-<==.。
2021年高二上学期第三次月考联考数学(文)试题 Word版含答案
2021年高二上学期第三次月考联考数学（文）试题 Word版含答案本试卷分为第Ⅰ卷（基础部分100分）和第Ⅱ卷（能力部分50分）两部分，共150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷（基础部分100分）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．请将答案填涂在答题卡上1.若∈R,则“=1”是“||=1”的（）A．充要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分又不必要条件2.下列通项公式表示的数列为等差数列的是 ( )A、 B、 C、 D、3.若函数f(x)＝x2＋ax＋1的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为()A．(－2,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,2]4.直线l：x－2y＋2＝0过椭圆左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为()A . 15 B.255 C.55 D.255.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为()A．1B．2C．3 D．46.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是A所有不能被2整除的数都是偶数 B所有能被2整除的数都不是偶数C 存在一个不能被2整除的数是偶数D 存在一个能被2整除的数不是偶数7. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．8．若的定义域为，恒成立，，则解集为（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 请将答案填在答卷相应位置上9. 已知x >12，则函数y ＝2x ＋12x －1的最小值是10. 在△ABC 中,若,则的大小为11. 已知命题函数在上单调递增;命题不等式的解集是.若且为真命题,则实数的取值范围是_ ____.12.已知,满足则的最大值为13．.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1>0，S 8＝S 13，S k ＝0，则k 的值为三．解答题：本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. （本小题满分11分）已知点 D 为ΔABC 的边 BC 上一点.且 BD =2D C, ∠ACD=30°,AD=.求：(I)求CD 的长; (II)求ΔABC 的面积15. （本小题满分12分）已知为等差数列的前项和,且.(Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)求数列的前项和公式.16. （本小题满分12分）已知函数 ⑴若为的极值点，求的值；⑵若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值；Ⅱ卷（能力部分50分）一．选择题：（5分）17如图，双曲线的左焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为( )A .相交B .相切C .相离D .以上情况都有可能二．填空题：（5分）18.设曲线在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为,令，则的值为.三．解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19（本小题满分13分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为．（1）当时，写出失事船所在位置的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？20（本小题满分13分）.已知数列的首项，前项和为，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设函数，是函数的导函数，令，求数列的通项公式，并研究其单调性21（本小题满分14分）.已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4。
高中高二数学下学期3月月考试卷 文(含解析)-人教版高二全册数学试题
湖北省武汉市汉铁高中2014-2 015学年高二（下）3月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件；四种命题．专题：计算题．分析：根据所给的两个命题，解不等式解出两个命题的x的值，从x的值的范围大小上判断出两个命题之间的关系，从而看出两个非命题之间的关系．解答：解：∵p：|x+1|＞2，∴x＞1或x＜﹣3∵q：5x﹣6＞x2，∴2＜x＜3，∴q⇒p，∴﹣p⇒﹣q∴﹣p是﹣q的充分不必要条件，故选A．点评：本题考查两个条件之间的关系，是一个基础题，这种题目经常出现在高考卷中，注意利用变量的范围判断条件之间的关系．2．命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是（）A．对任意x∈R，都有x2＜1 B．不存在x∈R，使得x2＜1C．存在x0∈R，使得x02≥1D．存在x0∈R，使得x02＜1考点：全称命题；命题的否定．专题：规律型．分析：利用汽车媒体的否定是特称命题写出结果判断即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是：存在x0∈R，使得．故选：D．点评：本题考查全称命题的否定，注意量词以及形式的改变，基本知识的考查．3．有下列四个命题：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的个数是（）A． 1 B． 2 C． 3 D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①②写出相应的命题，再加以判断；③④利用原命题与逆否命题有相同的真假性．解答：解：根据倒数的定义，可得“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题：“若x、y互为倒数，则xy=1”是真命题，①正确；“面积相等的三角形全等”的否命题：“面积不相等的三角形不全等”是真命题，②正确；原命题与逆否命题有相同的真假性，∵方程x2﹣2x+m=0有实根⇔△=4﹣4m≥0⇔m≤1，∴原命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”是假命题，∴③错误；原命题与逆否命题有相同的真假性，∵命题“若A∩B=B，则A⊆B”为假命题，∴④错误．∴真命题的个数是2，故选：B．点评：本题给出几个命题，要我们找出其中真命题的个数．着重考查了倒数的定义、全等三角形的性质、一元二次方程根的判别式和集合的运算性质等知识，考查了四种命题及其相互关系，属于中档题．4．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B． 1 C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．解答：解：∵F是抛物线y2=x的焦点，F（）准线方程x=，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=，|BF|=，∴|AF|+|BF|==3解得，∴线段AB的中点横坐标为，∴线段AB的中点到y轴的距离为．故选C．点评：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．5．已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．x±2y=0D．2x±y=0考点：圆锥曲线的共同特征；双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：由抛物线y2=8x得出其焦点坐标，由|PF|=5结合抛物线的定义得出点P的坐标，从而得到双曲线的关于a，b 的方程，求出a，b的值，进而求出双曲线的渐近线方程．解答：解：抛物线y2=8x得出其焦点坐标（2，0）故双曲线的c=2，又|PF|=5，设P（m，n），则|PF|=m+2∴m+2=5，m=3，∴点P的坐标（3，）∴解得：则双曲线的渐近线方程为故选B．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，抛物线的定义等．解答的关键是学生对圆锥曲线基础知识掌握的熟练程度．6．若坐标原点到抛物线y=mx2的准线距离为2，则m=（）A．8 B．±8C．D．±考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线y=mx2即x2=准线方程为y=﹣，再由点到直线的距离公式即可求得m．解答：解：抛物线y=mx2即x2=准线方程为y=﹣，由题意可得||=2，解得m=±．故选：D．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法和运用，属于基础题．7．如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆（x﹣2）2+y2=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（）A．（6，10）B．（8，12）C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线定义可得|AF|=x A+2，从而△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+（x B﹣x A）+4=6+x B，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．解答：解：抛物线的准线l：x=﹣2，焦点F（2，0），由抛物线定义可得|AF|=x A+2，圆（x﹣2）2+y2=16的圆心为（2，0），半径为4，∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+（x B﹣x A）+4=6+x B，由抛物线y2=8x及圆（x﹣2）2+y2=16可得交点的横坐标为2，∴x B∈（2，6）∴6+x B∈（8，12）故选B．点评：本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定B点横坐标的范围是关键．8．已知动点P（x，y）满足，则点P的轨迹是（）A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆考点：轨迹方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别令f（x）=，g（x）=，他们的几何意义分别是点到定点和定直线的距离相等，利用抛物线的定义推断出答案．解答：解：令f（x）=，则其几何意义为点（x，y）到（1，2）的距离，令g（x）=，其几何意义为（x，y）点到直线y=3x+4y+12的距离，依题意二者相等，即点到点（1，2）的距离与到定直线的距离相等，进而可推断出P的轨迹为抛物线．故选B点评：本题主要考查了抛物线的定义，点的轨迹方程问题．关键是对方程的几何意义的灵活应用．9．一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题．分析：根据题意思可得：点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2．所以∠PF1F2=30°，所以．根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=2a﹣c．进而得到答案．解答：解：设F2为椭圆的右焦点由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2．又因为F1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以．根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=2a﹣c．所以2a﹣c=，所以e=．故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义．10．已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是（）A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．解答：解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），x=ty+m代入y2=x，可得y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，从而（y1•y2）2+y1•y2﹣2=0，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又F（，0），∴S△BFO+S△AFO=••y1+••|y2=（y1+）≥•2=当且仅当y1=，即y1=时，取“=”号，∴△BFO与△AFO面积之和的最小值是，故选：B．点评：求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．二、填空题（每题5分，满分35分，将答案填在答题纸上）11．椭圆+=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1=4，则∠F1PF2的大小为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过过点P作x轴垂线交于D，利用椭圆的定义及勾股定理可得F1D、F2D的值，在△F1PF2中利用余弦定理计算即得结论．解答：解：过点P作x轴垂线交于D，设F1D=x，则F2D=2﹣x，∵PF1=4，∴PF2=6﹣4=2，则﹣=PD2=﹣，即42﹣x2=22﹣，解得：x=，由余弦定理可知：cos∠F1PF2===﹣，∴∠F1PF2=π，故答案为：．点评：本题以椭圆为载体，考查求角的大小，涉及勾股定理、余弦定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过点A（2，1），且在点A处的切线方程2x﹣y+a=0，则a+b+c= 0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过点A（2，1），推导出8+4a+2b+c=1，由f（x）在点A处的切线方程2x﹣y+a=0，推导出f′（2）=3×4+2a×2+b=2，a=﹣3，由此能求出a+b+c 的值．解答：解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过点A（2，1），∴8+4a+2b+c=1，且f′（x）=3x2+2ax+b，∵f（x）在点A处的切线方程2x﹣y+a=0，∴f′（2）=3×4+2a×2+b=12+4a+b=2，f（x）在点A处的切线方程为y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0，∴，解得a=﹣3，b=2，c=1，∴a+b+c=﹣3+2+1=0．故答案为：0．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程的求法及其应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．13．若函数存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：根据题意，先求函数的定义域，进而求得其导数，即y′=x﹣=，令其导数小于等于0，可得≤0，结合函数的定义域，解可得答案．解答：解：对于函数，易得其定义域为{x|x＞0}，y′=x﹣=，令≤0，又由x＞0，则≤0⇔x2﹣1≤0，且x＞0；解可得0＜x≤1，即函数的单调递减区间为（0，1]，故答案为（0，1]点评：本题考查利用导数求函数的单调区间，注意首先应求函数的定义域．15．（2013•渭滨区校级模拟）设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为 4 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的加法与减法法则．专题：计算题．分析：先根据曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，可得g′（1）=2，再利用函数f（x）=g（x）+x2，可知f′（x）=g′（x）+2x，从而可求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率．解答：解：由题意，∵曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1∴g′（1）=2∵函数f（x）=g（x）+x2，∴f′（x）=g′（x）+2x∴f′（1）=g′（1）+2∴f′（1）=2+2=4∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为4故答案为：4点评：本题考查的重点是曲线在点处切线的斜率，解题的关键是利用导数的几何意义．16．已知抛物线y=x2与双曲线﹣x2=1（a＞0）有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则•的最小值为3﹣2．．考点：双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点可得双曲线的方程，设P（m，n），由向量的数量积的坐标表示，化简整理成关于n的二次函数，由二次函数的知识可得．解答：解：∵抛物线y=x2的焦点F为（0，2），∴双曲线﹣x2=1（a＞0）的c=2，可得a2=3，∴双曲线方程为﹣x2=1，设P（m，n），（n≥），则n2﹣3m2=3，∴•=（m，n）•（m，n﹣2）=m2+n2﹣2n=﹣1+n2﹣2n=﹣2n﹣1=（n﹣）2﹣，由于区间上单调递增，∴当x=8时，△OPQ的面积取到最大值30．点评：本题主要考查了抛物线的应用，点到直线的距离公式．考查了对解析几何基础知识的灵活运用．21．已知函数f（x）=ax3﹣3ax，g（x）=bx2+clnx，且g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为2y﹣1=0．（1）求g（x）的解析式；（2）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性．专题：分类讨论；导数的综合应用．分析：（1）求g（x）的导数g′（x），由g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为2y﹣1=0，得切线斜率k=g′（1）=0，g（1）=；从而求得b、c的值；（2）由f（x），g（x）得F（x）的解析式与定义域，求导函数F′（x），求出F′（x）＞0时x的取值范围即F（x）的单调递增区间．解答：解：（1）∵g（x）=bx2+clnx，∴g′（x）=2bx+；由g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为2y﹣1=0，得，即；∴b=，c=﹣1，∴g（x）=x2﹣lnx．（2）∵f（x）=ax3﹣3ax，g（x）=x2﹣lnx；∴F（x）=f（x）+g（x）=ax3﹣3ax+x2﹣lnx，定义域为（0，+∞），∴F′（x）=3ax2﹣3a+x﹣=，令F′（x）＞0，得（x﹣1）（3ax+1）＞0（*）①若a≥0，则x＞1时，F′（x）＞0，即F（x）的单调递增区间为（1，+∞）；②若a＜0，（*）式等价于（x﹣1）（﹣3ax﹣1）＜0，当a=﹣，则（x﹣1）2＜0无解，F′（x）＞0不成立，即F（x）无单调增区间；当a＜﹣，则﹣＜x＜1时，F′（x）＞0，即F（x）的单调递增区间为（﹣，1）；当﹣＜a＜0，则1＜x＜﹣时，F′（x）＞0，即F（x）的单调递增区间为（1，﹣）．点评：本题考查了应用导数求函数图象的切线斜率以及应用导数判定函数的单调性问题，是易错题．22．（2014春•忻州期中）已知曲线C：f（x）=x3﹣x（Ⅰ）试求曲线C在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）试求与直线y=5x+3平行的曲线C的切线方程．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：（Ⅰ）求出导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式写出直线方程；（Ⅱ）设出切点，求出切线的斜率，由两直线平行的条件得，切点的坐标，应用点斜式方程写出切线方程，并化为一般式方程．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x3﹣x，∴f（1）=0，求导数得：f'（x）=3x2﹣1，∴切线的斜率为k=f'（1）=2．∴所求切线方程为y=2（x﹣1），即：2x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）设与直线y=5x+3平行的切线的切点为（x0，y0），则切线的斜率为，又∵所求切线与直线y=5x+3平行，∴．解得：，代入曲线方程f（x）=x3﹣x得：切点为或，∴所求切线方程为：或即：或．点评：本题主要考查导数的概念及应用：求切线方程，同时考查两直线平行的条件，是一道基础题．23．已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点C（﹣1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使恒为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：（I）椭圆的焦点在x轴上，且a=，e=，故c、b可求，所以椭圆E的方程可以写出来．（II）假设存在点M符合题意，设AB为y=k（x+1），代入方程E可得关于x的一元二次方程（*）；设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），由方程（*）根与系数的关系可得，x1+x2，x1x2；计算•得关于m、k的代数式，要使这个代数式与k无关，可以得到m的值；从而得点M．解答：解：（I）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=，c=e•a=×=，故b===，所以，椭圆E的方程为+=1，即x2+3y2=5．（II）假设存在点M符合题意，设AB：y=k（x+1），代入方程E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），则x1+x2=﹣，x1x2=；∴=（x1﹣m，y1）=（x1﹣m，k（x1+1）），=（x2﹣m，y2）=（x2﹣m，k（x2+1））；∴•=（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2=m2+2m﹣﹣，要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=﹣；∴存在点M（﹣，0）满足题意．点评：本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了椭圆的标准方程及其几何性质，考查了一定的计算能力．24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=2px（p＞0），在此抛物线上一点M（2，m）到焦点的距离是3．（1）求此抛物线的方程；（2）抛物线C的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点．是否存在这样的k，使得抛物线C上总存在点Q（x0，y0）满足QA⊥QB，若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知条件推导出，由此能求出抛物线的方程．（2）设Q（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）由，得ky2﹣4y+4k=0，从而得到，由此能求出k的取值范围．解答：（本题满分14分）解：（1）∵抛物线C：y2=2px（p＞0），在此抛物线上一点M（2，m）到焦点的距离是3．∴抛物线准线方程是，…（1分），解得p=2…（3分）∴抛物线的方程是y2=4x．…（4分）（2）设Q（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）由，得ky2﹣4y+4k=0，…（6分）由，得﹣1＜k＜1且k≠0…（8分），y1y2=4…（9分），同理，由QA⊥QB，得，即：，…（11分）∴，…（12分），得且k≠0，由﹣1＜k＜1且k≠0，得k的取值范围为．…（14分）点评：本题考查抛物线方程的求法，考查斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的合理运用．。
2024年上海市行知中学高二数学3月份考试卷附答案解析
2024年上海市行知中学高二数学3月份考试卷（试卷满分150分；考试时间120分钟）2024.03一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．已知函数()5cos x f x e x x =+，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程是．2．函数33y x x =-在[]22-,上的最大值为.3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()2f x f x '+>，()05f =，则不等式()3e 2xf x -->的解集为.4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式2()2(1)ln f x x xf x '=++，则(1)f '=.5．已知函数()y f x =，若()12f '=，则()()11lim2k f k f k→--=.6．已知存在,()0x ∈+∞，使得1e x m x -<成立，则实数m 的取值范围是．7．已知21()ln 2f x x a x =-，若在区间()0,2上存在()1212,x x x x ≠，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是．8．若函数()21ln 2f x ax x x x =+-存在单调递增区间，则a 的取值范围是.9．已知函数f （x ）=e x -2x+a 有零点，则a 的取值范围是．10．已知函数32()245f x ax x x =+-+，当23x =时，函数()f x 有极值，则函数()f x 在[]3,1-上的最大值为.11．已知函数32()+f x ax bx cx =+，其导函数()y f x '=的图像经过点()1,0、()2,0.如图，则下列说法正确的是①当32x =时，函数()f x 取得最小值；②()f x 有两个极值点;③当2x =时函数取得极小值；④当1x =时函数取得极大值；12．设函数3221()321(0)3f x x mx m x m m =+-+->，若存在()f x 的极大值点0x 满足[]2220(0)10x f m +<，则实数m 的取值范围是;二､选择题（本大题共4题，满分20分）13．函数()ln f x x x =，正确的命题是A ．值域为RB ．在()1+¥，是增函数C ．()f x 有两个不同的零点D ．过()1,0点的切线有两条14．已知函数2()1,()ln f x x g x x =-=，那么下列说法正确的是（）A ．(),()f x g x 在点()1,0处有相同的切线B ．函数()()f x g x -有两个极值点C ．对任意0,()()x f x g x >≥恒成立D ．(),()f x g x 的图象有且只有两个交点15．函数()21xy x e =-的图象可能是（）A．B ．C．D．16．已知函数234567()1(1)234567x x x x x x f x x x =+-+-+-+>-，若()(3)h x f x =-的零点都在区间(,)(,,)a b a b a b Z <∈内，当b a -取最小值时，则a b +等于（）A ．3B ．4C ．5D ．6三､解答题（本大题共有5题，满分76分）17．已知()1f x ax xlnx =+-的图象在()()1,1A f 处的切线与直线0x y -=平行．（1）求函数()f x 的极值；（2）若1x ∀，2(0,)x ∈+∞，121212()()()f x f x m x x x x ->+-，求实数m 的取值范围．18．已知()()()21ln 1R 2f x x a x ax a =-++∈.(1)当0a =时，求函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当(]0,1a ∈时，求函数()y f x =的单调区间.19．已知函数()(),y f x y g x ==,其中()()21,ln f x g x x x ==.(1)求函数()y g x =在点()()1,1g 的切线方程;(2)函数()()2,R,0y mf x g x m m =+∈≠是否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由;(3)若关于x 的不等式()()af x g x a +≥在区间(]0,1上恒成立,求实数a 的取值范围.20．已知函数()2f x x ax a =--，R a ∈.(1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)若函数()()F x x f x =⋅在1x =处有极值，且关于x 的方程()F x m =有3个不同的实根，求实数m 的取值范围；(3)记()e xg x =-（e 是自然对数的底数）.若对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数a 的取值范围.21．若函数()()y f x x D =∈同时满足下列两个条件，则称()y f x =在D 上具有性质M ．①()y f x =在D 上的导数()f x '存在；②()y f x '=在D 上的导数()f x ''存在，且()0f x ''>（其中()()f x f x ''''=⎡⎤⎣⎦）恒成立．(1)判断函数1lgy x=在区间()0,∞+上是否具有性质M ？并说明理由．(2)设a 、b 均为实常数，若奇函数()322bg x x ax x=++在1x =处取得极值，是否存在实数c ，使得()y g x =在区间[),c +∞上具有性质M ？若存在，求出c 的取值范围；若不存在，请说明理由．(3)设k ∈Z 且0k >，对于任意的()0,x ∈+∞，不等式()1ln 11x kx x ++>+成立，求k 的最大值．1．1y x =+【分析】求导，x=0代入求k ，点斜式求切线方程即可【详解】()()45,x f x e cosx sinx x =-+'则()01f ，'=又()01f =故切线方程为y=x+1故答案为y=x+1【点睛】本题考查切线方程，求导法则及运算，考查直线方程，考查计算能力，是基础题2．2【分析】先对函数求导，研究其在给定区间的单调性，求出极值，从而可得出最值.【详解】因为33y x x =-，所以233y x '=-，由2330y x '=->得1x >或1x <-；由2330y x '=-<得11x -<<；又[]2,2x ∈-即函数33y x x =-在()2,1--上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1,2上单调递增，所以，当=1x -时，函数33y x x =-有极大值2y =；当1x =时，函数33y x x =-有极小值=2y -；又当2x =时，3262y =-=；当2x =-时，3262y +=-=-，因此函数33y x x =-在[]22-,上的最大值为2.故答案为：2.【点睛】本题主要考查由导数的方法求函数的最值，属于基础题型.3．()()0x x >##()0,+∞【分析】构造函数()()e 2e x xg x f x =-，利用导数分析函数()g x 的单调性，将所求不等式变形为()()0g x g >，结合函数()g x 的单调性可得解.【详解】构造函数()()e 2e x xg x f x =-，则该函数的定义域为R ，且()()0023g f =-=，所以，()()()e 20xg x f x f x ''=+->⎡⎤⎣⎦，则函数()g x 在R 上为增函数，由()3e 2x f x -->可得()e 2e 3x xf x ->，即()()0g x g >，解得0x >.因此，不等式()3e 2xf x -->的解集为{}0x x >.故答案为：{}0x x >.4．3-【分析】求导即得解.【详解】解：由题得1()22(1),f x x f x''=++所以(1)22(1)1,(1)3f f f '''=++∴=-.故答案为：3-5．－1【分析】根据题意，由导数的定义可得()()()()()()001111lim lim 111k k f k f f k f f k k →→----'==---，计算即可得出结果.【详解】根据题意，由导数的定义可得()()()()()()001111limlim 1211k k f k f f k f f k k →→----'===---，()()()()00111111limlim 21222k k f k f f k f kk →→----⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.故答案为：－1.6．(,1)-∞【分析】存在,()0x ∈+∞，使得1e x m x -<成立，即()max1exm x -<，通过导数求()1e xf x x -=的最大值．【详解】令()1e x f x x -=，则()()11exf x x -'=-令()0f x ¢>，则01x <<()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减∴()()11f x f ≤=，即1m <故答案为：(,1)-∞．7．()0,4【分析】由题知，函数21()ln 2f x x a x =-在区间()0,2不是单调函数，进而转化为2'()0x a f x x-==在()0,2上有解问题求解即可.【详解】解：2'()a x af x x x x-=-=，因为在区间()0,2上存在()1212,x x x x ≠，使得()()12f x f x =成立，所以函数21()ln 2f x x a x =-在区间()0,2不是单调函数，所以2'()0a x af x x x x-=-==在()0,2上有解，所以20x a -=在()0,2上有解，所以()0,4a ∈.所以，实数a 的取值范围是()0,4.故答案为：()0,48．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】将题意转化为：0x ∃>，使得()0f x ¢>，利用参变量分离得到ln x a x>-，转化为minln x a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，结合导数求解即可．【详解】()21ln 2f x ax x x x =+- ，其中0x >，则()ln f x ax x +'=．由于函数()y f x =存在单调递增区间，则0x ∃>，使得()0f x ¢>，即0x ∃>，ln x a x >-，构造函数()ln =-xg x x，则()min a g x >．()2ln 1-'=x g x x ，令()0g x '=，得x e =．当0<<x e 时，()0g x '<；当>x e 时，()0g x '>．所以，函数()y g x =在x e =处取得极小值，亦即最小值，则()()min 1g x g e e ==-，所以，1a e >-，故答案为1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查函数的单调性与导数，一般来讲，函数的单调性可以有如下的转化：（1）函数()y f x =在区间D 上单调递增x D ⇔∀∈，()0f x '≥；（2）函数()y f x =在区间D 上单调递减x D ⇔∀∈，()0f x '≤；（3）函数()y f x =在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，()0f x ¢>；（4）函数()y f x =在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，()0f x '<；（5）函数()y f x =在区间D 上不单调⇔函数()y f x =在区间D 内存在极值点．9．(],2ln 22-∞-【分析】根据零点定义，分离出a ，构造函数()2x g x e x =-，通过研究()2x g x e x =-的值域来确定a 的取值范围．【详解】根据零点定义，则2+0x e x a -=所以2x a e x -=-令()2x g x e x=-则'()2x g x e =-，令'()20x g x e =-=解得ln 2x =当ln 2x <时，)'(0g x <，函数()2x g x e x =-单调递减当ln 2x >时，'()0g x >，函数()2x g x e x =-单调递增所以当ln 2x =时取得最小值，最小值为22ln 2-所以由零点的条件为22ln 2a -≥-所以2ln 22a ≤-，即a 的取值范围为(],2ln 22-∞-【点睛】本题考查了函数零点的意义，通过导数求函数的值域，分离参数法的应用，属于中档题．10．13【解析】由题可得()f x 在23x =的导数值等于0，可求得1a =，再根据导数讨论函数的单调性，即可求出最值.【详解】()2344f x ax x '=+- ，当23x =时，函数()f x 有极值，2440333f a ⎛⎫'∴=-= ⎪⎝⎭，解得1a =，()()()2344322f x x x x x '∴=+-=-+，当()3,2x ∈--时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当22,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，()f x \在2x =-处取得极大值()213f -=，且()38f -=，()14f =，∴()f x 在[]3,1-上的最大值为13.故答案为：13.【点睛】方法点睛：利用导数求函数在闭区间上最值的方法：（1）先求出函数的导数；（2）根据导数的正负判断函数的单调性；（3）求出极值，端点值，即可判断出最值.11．②③④【分析】由导函数的图像判断出函数f (x )的单调性，从而得到极值的情况，即可得到正确答案.【详解】由图象可知,当(,1)x ∞∈-时,()0f x ¢>;当()1,2x ∈时,()0f x '<;当(2,)x ∈+∞时,()0f x ¢>.所以函数f (x )在(,1)-∞上单增，在(1,2)上单减，在(2,)+∞上单增，无最大最小值，所以①错；f (x )有两个极值点1和2，且当x =2时函数取得极小值，当x =1时,函数取得极大值，所以②③④正确.故答案为：②③④.12．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】求出函数的导数，即可得到函数的单调区间，从而求出0x 以及(0)f 的值，得到关于m 的不等式，解出即可．【详解】解：因为3221()321(0)3f x x mx m x m m =+-+->所以22()23(3)()f x x mx m x m x m '=+-=+-，令()0f x '>，解得x >m 或3x m <-，令()0f x '<，解得3m x m -<<，故()f x 在(,3)m -∞-单调递增，在(3,)m m -单调递减，在(,)m +∞单调递增，故3x m =-是()f x 的极大值点，即03x m =-，而(0)21f m =-，故2220[(0)]10x f m +<，即2229(21)10m m m +-<，即23410m m -+<，解得：113m <<，故答案为：1,13⎛⎫⎪⎝⎭．13．B【分析】利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线.【详解】因为()ln f x x x =，所以1()ln 10f x x x e'=+=⇒=，因此当1x e >时()0,()'>f x f x 在1(,)e+∞上是增函数，即在(1,)+∞上是增函数；当10x e <<时()0,()'<f x f x 在1(,e -∞上是减函数，因此11()(f x f e e≥=-；值域不为R;当10x e<<时()0f x <,当1x e>时(1)0f =∴ ()f x 只有一个零点，即()f x 只有一个零点；设切点为000(,ln )x x x ，则00000ln ln 111x x x x x =+∴=-，所以过()1,0点的切线只有一条；综上选B.【点睛】本题考查利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线，考查基本分析求解能力，属中档题.14．D【分析】结合切线的斜率、极值点、不等式恒成立、函数图象的交点对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，()()''2,12f x x f ==，()()''1,11g x g x==，()()''11f g ≠，所以A 选项错误.B 选项，令()()()()21ln 0h x f x g x x x x =-=-->，())2'111212x h x x x xx+--=-==，所以()h x在区间()()',0,h x h x ⎛< ⎝⎭递减；在区间()()',0,h x h x ⎫+∞>⎪⎪⎝⎭递增.所以()h x 有极小值也即是有最小值，无极大值，无最大值，函数()()f x g x -有1个极值点，()21111ln ln 2ln 210222222h ⎛⎛=--=-=-< ⎝⎭⎝⎭，22())22f g <，()222111110,e e 20e ee h h ⎛⎫=-+=>=-> ⎪⎝⎭，所以()h x 有2个零点，也即(),()f x g x 的图象有且只有两个交点，所以BC 选项错误，D 选项正确.故选：D 15．C【分析】根据函数的解析式，利用()()()110,20f f f =-=->，分别排除A 、B 、D 项，即可求解.【详解】由题意，函数()()21xf x x e =-，因为()10f =，即函数()f x 的图象过点(1,0)，可排除A 、B 项；又因为2(2)30f e --=>，可排除D 项，故选：C.16．C【分析】先求得函数()f x 是单调递增函数，并用零点存在性定理求得函数零点所在的区间，()f x 零点向右移3个单位后得到()3f x -的零点，即可求解.【详解】依题意()234561f x x x x x x x =-+-+-+'，当1x >-时，根据等比数列求和公式，有()()7711011x x f x xx--+=++'=>，故函数()f x 在R 上为增函数．()()111111010,10234567f f =>-=------<，故函数()f x 零点在区间()1,0-内，所以()3f x -零点在()2,3内，故当b a -取最小值时2,3a b ==，所以5a b +=.故选：C17．（1）极大值为1e +，无极小值；（2）(-∞，21]2e -．【分析】(1)可利用导数的几何意义求出a 的值,然后利用函数导数得到函数的单调性,求得函数的极值;(2)所给不等式含有两个变量,通过变形使两个变量12x x ，分别在不等式两侧,然后构造新函数g(x),转化为函数的单调性即可求解m 的范围.【详解】（1）()1f x ax xlnx =+-的导数为()1f x a lnx '=--，可得()f x 的图象在(1A ，f （1）)处的切线斜率为1a -，由切线与直线0x y -=平行，可得11a -=，即2a =，()21f x x xlnx =+-，()1f x lnx '=-，由()0f x '>，可得0<<x e ，由()0f x '<，可得>x e ，则()f x 在(0,)e 递增，在(,)e +∞递减，可得()f x 在x e =处取得极大值为1e +，无极小值；（2）可设12x x >，若1x ∀，2(0,)x ∈+∞，121212()()()f x f x m x x x x ->+-，可得221212()()f x f x mx mx ->-，即有221122()()f x mx f x mx ->-，设2()()g x f x mx =-在(0,)+∞为增函数，即有()120g x lnx mx '=-- 对0x >恒成立，可得12lnxm x- 在0x >恒成立，由1()lnx h x x -=的导数为22()lnx h x x -'=得：当()0h x '=，可得2x e =，()h x 在2(0,)e 递减，在2(e ，)∞+递增，即有()h x 在2x e =处取得极小值，且为最小值21e -，可得212m e - ，解得212m e -，则实数m 的取值范围是(-∞，21]2e -．【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求解参数的值和范围,属于中等难度题型,第一问解题中关键是导数几何意义的应用;第二问中关键是将不等式转化,然后构造新函数,再利用新函数的单调性求解参数m 的范围.18．(1)10y +=(2)答案见解析【分析】（1）由导数的几何意义求解，（2）由导数与单调性的关系求解，【详解】（1）当0a =时，()ln f x x x =-，()11f x x'=-，所以()11f =-，()10f '=.所以函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为10y +=.（2）因为()()21ln 12f x x a x ax =-++，定义域为()0,∞+，所以()()()()()2111111ax a x x ax f x a ax x x x-++--'=-++==.①当01a <<时，()f x 与()f x '在()0,∞+上的变化情况如下：x()0,1111,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '+-+()f x 单调递增极大值()112af =--单调递减极小值11ln 12f a a a ⎛⎫=---⎪⎝⎭单调递增所以函数()y f x =在()0,1及1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内严格增，在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭内严格减；②当1a =时，()0f x '≥恒成立，所以函数的单调增区间为()0,∞+.综上，当01a <<时，函数()y f x =的单调增区间为()0,1及1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为11,a ⎛⎫⎪⎝⎭；当1a =时，函数()y f x =单调增区间为()0,∞+.19．(1)10x y --=(2)0m <,不存在极值点;0m >,存在一个极小值点x =无极大值点(3)12a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭【分析】(1)对()y g x =求导,求出切点斜率,再根据切点求出切线方程即可;(2)令()()()2H x mf x g x =+,对()H x 进行求导,再讨论0m <及0m >时导函数的正负及极值点即可;(3)将()(),f x g x 代入,先讨论1x =时a 的取值范围,再全分离,构造新函数,求导求单调性求最值,即可得出a 的取值范围.【详解】（1）解:由题知()ln ,g x x = ()1g x x'∴=,()10,g =()1111k g ∴===',所以在点()()1,1g 的切线方程为()01y x -=-,即10x y --=;（2）设()()()222ln mH x mf x g x x x =+=+,定义域()0,∞+,()2332222m x mH x x x x -∴=-+=',当0m <时,()0H x '>恒成立,所以()()()2H x mf x g x =+在()0,∞+单调递增,所以不存在极值点,当0m >时,令()0,H x x ='∴=，当x >时,()0H x '>，当0x <<,()0H x '<，所以()()()2H x mf x g x =+在(单调递减,在)+∞单调递增,所以函数存在一个极小值点x =无极大值点,综上:0m <时,不存在极值点,0m >时,存在一个极小值点x =无极大值点;（3）由题知原不等式()()af x g x a +≥,可化为211ln 0a x x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭,当1x =时,R a ∈恒成立,当()0,1x ∈时2ln 11xa x-≥-,即2ln 11x a x≥-,由(2)知()()221ln N x x x=+在1x =有最小值()11N =,所以()2211ln x x-≤,()0,1x ∈ ,2110x ∴-<,()2211<ln 0x x∴-<,()22ln 111x x∴<-,即2ln 1121x x <-,2ln 11xa x≥- ,12a ∴≥,综上:12a a ⎧⎫≥⎨⎩⎭.【点睛】方法点睛:该题考查导数的综合应用，属于难题，关于恒成立问题的方法如下:(1)若x D ∀∈，()f x a ≥恒成立，则只需()min f x a ≥;(2)若x D ∃∈，()f x a ≥恒成立，则只需()max f x a ≥;(3)若x D ∀∈，()f x a ≤恒成立，则只需()max f x a ≤;(4)若x D ∃∈，()f x a ≤恒成立，则只需()min f x a ≤;(5)若12,x A x B ∀∈∀∈，()()12f x g x ≤恒成立，则只需()()max min f x g x ≤;(6)若12,x A x B ∀∈∃∈，()()12f x g x ≤恒成立，则只需()()max max f x g x ≤;(7)若12,x A x B ∃∈∀∈，()()12f x g x ≤恒成立，则只需()()min min f x g x ≤;(8)若12,x A x B ∃∈∃∈，()()12f x g x ≤恒成立，则只需()()min max f x g x ≤.20．(1)0a =时，()f x 为偶函数；0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数(2)5[1,]27-；(3)[]2ln 22,1-.【分析】（1）根据二次函数的性质以及奇偶函数的定义，即可判断；（2）根据极值，求出1a =，得到32()F x x x x =--，利用导数的性质，判断()F x m =有3个不同的实根时，m 的取值范围；（3）根据()g x 的单调性，问题转化为()()()()()()121221g x g x f x f x g x g x -<-<-，整理得，11221122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +<+⎧⎨->-⎩，分别判断函数()()f x g x +和函数()()f x g x -在[0,e]上的单调性，根据不等式恒成立的性质，分离参数，即可求出a 的取值范围.【详解】（1）()2f x x ax a =--，因为()f x 的对称轴为2ax =，故当0a =时，()f x 的对称轴为y 轴，此时()f x 为偶函数；0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数.（2）()()F x x f x =⋅在1x =处有极值，因为32()F x x ax ax =--，则2()32F x x ax a '=--，故(1)320F a a '=--=，得1a =；32()F x x x x =--，此时，2()321(1)(31)F x x x x x '=--=-+，故1(,3x ∈-∞-和(1,)+∞上，()F x 单调递增，1(,1)3x ∈-上，()F x 单调递减，因为关于x 的方程()F x m =有3个不同的实根，根据导数的性质，当1(1)()3F m F ≤≤-时，满足题意，得5127m -≤≤，故5[1,27m ∈-（3）()e xg x =-，()g x 单调递减，对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，21()()0g x g x ->，12()()0g x g x -<，则对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，转化为，对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，均有()()()()()()121221g x g x f x f x g x g x -<-<-成立，即11221122()()()()()()()()f xg x f x g x f x g x f x g x +<+⎧⎨->-⎩，所以，函数()()f x g x +在[0,e]上单调递减，函数()()f x g x -在[0,e]上单调递增，①函数()()f x g x +在[0,e]上单调递减，即()()0f x g x ''+≤在[0,e]上恒成立，又因为，()2f x x ax a =--，()e xg x =-，故()()2e 0x f x g x x a ''+=--≤，得2e x x a -≤在[0,e]上恒成立，令()2e x h x x =-，()2e x h x '=-，令()0h x '=，得ln 2x =，所以，()h x 在[)0,ln 2上单调递增，在(]ln 2,e 上单调递减，故max ()(ln 2)2ln 22h x h ==-，故2ln 22a ≥-；②函数()()f x g x -在[0,e]上单调递增，即()()0f x g x ''-≥在[0,e]上恒成立，又因为，()2f x x ax a =--，()e xg x =-，故()()2e 0x f x g x x a ''-=-+≥，得2e x x a +≥在[0,e]上恒成立，因为函数2e xy x =+在[0,e]上为单调递增函数，故min 1y =，此时，1a ≤；综上所述，实数a 的取值范围为：[]2ln 22,1-.21．(1)函数1lgy x=在区间()0,∞+上具有性质M ；(2)存在实数c ，使得()y g x =在区间[),c +∞上具有性质M ，c 的取值范围是()0,∞+；(3)k 的最大值为3.【分析】（1）令()1lg y f x x==，按照题目所给定义，求出()f x '和()f x ''，并判断()0f x ''>是否恒成立即可；（2）先利用()g x 为奇函数且在1x =处取得极值求出实数a ，b 的值，再按照题目所给定义，求出()g x ''，即可求出c 的取值范围；（3）分离参数得()()11ln 1x x k x+++⎡⎤⎣⎦<，构造函数()()()11ln 1x x F x x+++⎡⎤⎣⎦=，通过()F x 的最小值，即可确定正整数k 的最大值.【详解】（1）令()1lg y f x x==，()0,x ∈+∞，则()21111ln10ln10f x x x x⎛⎫'=⋅-=- ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞，()211ln1ln100f x x x ⎛⎫- ⎪⎝'=⎭''=，()0,x ∈+∞，当()0,x ∈+∞时，()210ln10f x x ''=>恒成立，∴函数1lgy x=在区间()0,∞+上具有性质M ；（2）∵()322b g x x ax x=++，∴()2262b g x x ax x '=+-，∵()g x 在1x =处取得极值，且()g x 为奇函数，∴()g x 在=1x -处也取得极值，∴()()16201620g a b g a b ⎧=+-=⎪⎨-=--=''⎪⎩，解得06a b =⎧⎨=⎩，∴()362g x x x =+，()22226666g x x x x x-'=-=-，当0x >时，令()0g x '>，解得1x >；令()0g x '<，解得01x <<；故()g x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，满足()g x 在1x =处取得极值，∴()3312121212g x x x x x -''=+=+，当()0,x ∈+∞时，()312120g x x x ''=+>恒成立，∴存在实数()0,c ∈+∞，使()0g x ''>在区间[),c +∞上恒成立，∴存在实数c ，使得()y g x =在区间[),c +∞上具有性质M ，c 的取值范围是()0,∞+；（3）∵()0,x ∈+∞，∴()1ln 11x k x x ++>+⇒()()11ln 1x x k x +++⎡⎤⎣⎦<，令()()()11ln 1x x F x x+++⎡⎤⎣⎦=，则()()2ln 11x x F x x -+-='，令()()ln 11G x x x =-+-，则()1111x G x x x '=-=++，当()0,x ∈+∞时，()0G x '>，()G x 在区间()0,∞+上单调递增，又∵()21ln 30G =-<，()32ln 40G =->，∴存在()02,3x ∈，使()()000ln 110G x x x =-+-=，∴当()00,x x ∈时，()0G x <，()0F x '<，()F x 在区间()00,x 上单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0G x >，()0F x '>，()F x 在区间()0,x +∞上单调递增，∴当()0,x ∈+∞时，()F x 的最小值为()()()000011ln 1x x F x x +++⎡⎤⎣⎦=，由()()000ln 110G x x x =-+-=，有()00ln 11x x +=-，∴()()()000001111x x F x x x ++-⎡⎤⎣⎦==+，∵()02,3x ∈，∴()()03,4F x ∈，又∵()()()11ln 1x x k F x x+++⎡⎤⎣⎦<=恒成立，∴()0k F x <，∵k ∈Z 且0k >，∴k 的最大值为3.【点睛】关键点点睛：本题中()()ln 11G x x x =-+-存在无法求解零点，使用了虚设零点0x 的方法，设()()000ln 110G x x x =-+-=，再通过()00ln 11x x +=-的代换，求得()F x 的最小值，这种方法，是解决“隐零点”的常用方法之一.。
学年高二3月质量检测数学(文)(附答案)
梁山一中2013—2014学年高二3月质量检测数学（文）一、选择题：（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.复数11i+的虚部为（ ） A ．－l B ．－12 C ． 12i -D ．－i2.设a ，b 为正实数，则“a ＜b ”是“a －1a ＜b －1b ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件 3.函数x x y ln 232-=的单调增区间为（ ）A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃-∞33,0)33,( B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃-,33)0,33( C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,0 D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,33 4. 等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知6,835==S a ，则9a =（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．24 5.若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b 有最大值4 B ．ab 有最小值14 C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值226.命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. a ≥4 B. a ≥5 C. a ≤4 D. a ≤57. 已知0x >，0y >，且21x y +=，则xy 的最大值是（ ） A.14 B. 18C. 4D. 88.车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了8次试验，数据如下：设回归方程为y ＝b x ＋a ，则点(a ，b )在直线x ＋45y －10＝0的 ( )A ．左上方B ．右上方C ．左下方D ．右下方 9.下列四个命题中正确命题的个数是( )（1）对于命题2:,10p x R x x ∃∈++<使得，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++>； （2）3=m 是直线02)3(=-++my x m 与直线056=+-y mx 互相垂直的充要条件；(3)已知回归直线的斜率的值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为ˆy＝1.23x ＋0.08(4)若实数[],1,1x y ∈-，则满足221x y +≥的概率为4π. A.1 B.2 C.3 D.410.已知,a b R +∈，若向量(2,122)m a =-与向量(1,2)n b =+的最大值为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．311.已知双曲线)0(12222>=-b by x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程 为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则1·2PF ＝( ).A. －12B. －2C. 0D. 4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
高二数学下学期3月月考试题 文新人教版
—————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————2019学年高二数学下学期3月月考试题 文分值：150分 时间：90分钟注意事项：请将I 卷（选择题）答案涂在答题卡上，第II 卷（非选择题）答案用黑色钢笔（作图除外）做在答题卡上，不得出框。
I 卷（选择题 共70分） II 卷（非选择题 共80分）一、单选题1．复数ii --113（i 是虚数单位）的虚部为（ ）A.iB. 1C. i -D.1-2．某家具厂的原材料费支出x 与销售量y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为ˆ8ˆyx b =+，则ˆb 为（ ）A. 5B. 15C. 10D. 123．下列数据中，拟合效果最好的回归直线方程，其对应的相关指数2R 为（ ） A. 0.27 B. 0.85 C. 0.96 D. 0.5根据表中数据得到()25018158927232426k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 5.059，因为p(K ≥5.024)=0.025,则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（ ）A. 97.5%B. 95%C. 90%D. 无充分根据5．已知回归方程0.8585.7y x ∧=-,则该方程在样本()165,57 处的残差为( )A. 111.55B. 54.5C. 3.45D. 2.456．淮北一中艺术节对摄影类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”；乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A，D 两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C 作品获得一等奖”. 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ）. A. A 作品 B. B 作品 C. C 作品 D. D 作品7．观察下列各式： 211=， 22343++=， 2345675++++=，2456789+107+++++=，，可以得出的一般结论是（ ）A. ()()()21232n n n n n ++++++-=B. ()()()21231n n n n n ++++++-=C. ()()()()2123221n n n n n ++++++-=-D. ()()()()2123121n n n n n ++++++-=-8．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是A. 48,49B. 62,63C. 75,76D. 84,859．设复数12i z i-=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A. 1122i + B. 1122i - C. 1122i -+ D. 1122i --10．已知i 为虚数单位，若复数z 满足()341i z -=，则z =（ ） A.225 B. 425 C. 25 D. 4511．如图所示程序框图，若输入t 的取值范围为[]2,1-，则输出S 的取值范围为（ ）A. []0,3B. [)0,+∞C. [)1,+∞D. [)0,312．执行如右图所示的程序框图.若输入3x =，则输出k 的值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 13．函数)ln()(2x x x f -=的定义域为A.)1,0(B. ]1,0(C. ),1()0,(+∞⋃-∞D. ),1[)0,(+∞⋃-∞ 14．直线1+=kx y 与曲线c bx x y ++=23相切于点)2,1(M ，则b 的值为（ ） A. 1- B.0 C.1 D.2 二、填空题15．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设为__________． 16．仔细观察右面图形：图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数是_____________ 17．已知a 是实数，2a ii-+是纯虚数，则a = ___________. 18．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为__________．19．已知z 1,z 2∈C,|z 1+z 2,|z 1|=2,|z 2|=2,则|z 1-z 2|为________. 20．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（ i 为虚数单位)，则t a n 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.三、解答题 21．某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查,并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主).(1)根据以上数据完成如下2×2列联表.(2) 能否有99％的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关?22．第31届夏季奥林匹克运动会于2016年8月5日至8月21日在巴西里约热内卢举行．如（1）根据表格中两组数据在答题卡上完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）如表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和y（从第26届算起，不包括之前已获得的金牌数）随时间x变化的数据：由图可以看出，金牌数之和y 与时间x 之间存在线性相关关系，请求出y 关于x 的线性回归方程，并预测到第32届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为多少？附：对于一组数据()11,x y ， ()22,x y ，…， (),n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()1122211ˆn ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx====---==--∑∑∑∑，23．一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①，②，③，④分别是该作品前四步时对应的图案，按照此规律，第n 步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为)(n f ．（1）求出)5(),4(),3(),2(f f f f 的值；（2）利用归纳推理，归纳出)()1(n f n f 与+的关系式； （3）猜想)(n f 的表达式，并写出推导过程．24．如图，已知四棱锥ABCD P -，是直角梯形，，底面平面ABCD ABCD PA ⊥其中AD ∥BC ，边上的中点。
四川省成都市成都2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题含答案
成都高2025届高二下学期3月月考（答案在最后）出题人､审题人：一､单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，给出以下条件，其中一定可以推出{}n a 为等比数列的条件是（）A.21n n S a =-B.21nn S =+ C.12n na a += D.{}n S 是等比数列【答案】A 【解析】【分析】用n S 与n a 的关系，求出{}n a 通项公式，根据等比数列的判定，即可判断正误.【详解】对于A ，已知21n n S a =-，所以1121n n S a ++=-，1111211a S a a ==-⇒=111111222222 n n n n n n n n n n nS S a a a a a a a a a ++++++-=-=-==所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11122n n n a --=⋅=11a = ，符合上式所以{}n a 是通项为12n n a -=的等比数列，A 选项正确；对于B ，已知21nn S =+，所以1121n n S ++=+，111213a S ==+=111122222n n n n n n n n n S S a a +++--==-==13a = ，不符合上式所以，B 选项错误；对于C ，已知12n n a a +=，当首项为零时，不符合题意，C 选项错误；对于D ，已知{}n S 是等比数列，则设{}n S 的通项公式为1111n n n S S qq a --⋅=⋅=()()11111112111n n n n n n n n a a a S S q q q q a q q a a -+-+--⋅-⋅=-⋅=-⋅=不符合等比数列的通项公式，D 选项错误；故选：A.2.椭圆2219x y m+=的焦距为2，则m 为（）A .5或13B.5C.8或10D.8【答案】C 【解析】【分析】分焦点位置进行讨论，进一步计算即可.【详解】因为椭圆2219x y m+=的焦距为2，则0m >且9m ≠，1c =，当焦点在x 轴上时，229,a b m ==，则22291c a b m =-=-=，则8m =，当焦点在y 轴上时，22,9a m b ==，则22291c a b m =-=-=，则10m =，故m 的值为8或10，故选：C .3.如图，在三棱锥-P ABC 中，点D 满足4,PB PD CD x AB y AC z AP ==++，则x y z -+=（）A.12B.32C.2D.74【解析】【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算进行求解.【详解】1313444344CD AD AC AB BP AC AB AP AC AB AC AP =-=+-=--++=，所以13,1,44x y z ==-=，故2x y z -+=．故选：C.4.从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，现从两袋各摸出一个球，记事件A ：2个球都是红球，事件B ：2个球中恰有1个红球，事件C ：2个球至少有1个红球，事件D ：2个球不都是红球，则下列说法正确的是（）A.事件A 与事件C 互斥B.()23P BC =C.事件A 与事件D 对立D.()23P CD =【答案】C 【解析】【分析】记从甲袋中摸出一个红球的事件为M ，从乙袋中摸出一个红球的事件为N ，根据互斥和对立事件的定义分析判断AC ；根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率求法分析判断BD.【详解】记从甲袋中摸出一个红球的事件为M ，从乙袋中摸出一个红球的事件为N ，可知()()11,32P M P N ==，,M N 相互独立，于是：,,,A MN B MN MN C MN MN MN D MN MN MN ==+=++=++，由此可得：,A C 可能同时发生，A 错误；,A D 互为对立事件，C 正确；因为B C ⊂，所以()()()1121132322P BC P B P MN MN ==+=⨯+⨯=，B 错误；因为CD B =，所以()()12P CD P B ==，D 错误.故选：C.5.已知等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且231n n S n T n +=+，则510a b 的值为（）A.1311B.2110C.1322D.2120【答案】D【分析】根据题意，设()23n S kn n =+，()1n T kn n =+，由554a S S =-，10109b T T =-即可求解结果．【详解】因为{}n a ，{}n b 为等差数列，且231n n S n T n +=+，所以可设()23n S kn n =+，()1n T kn n =+，则554654421a S S k k k =-=-=，10109101191020b T T k k k =-=⨯-⨯=，5102120a b ∴=.故选：D.6.若斜率为1的直线l 与曲线()ln y x a =+和圆2212x y +=都相切，则实数a 的值为（）A.0或2B.0或1- C.2D.1-【答案】A 【解析】【分析】设直线l 与曲线()ln y x a =+的切点为()00,P x y ，先根据导数的几何意义求出()ln y x a =+在切点()00,P x y 处的切线方程，再根据直线与圆相切和圆心到直线的距离关系列式求解即可.【详解】设直线l 与曲线()ln y x a =+的切点为()00,P x y ，由()1[ln ]y x a x a''=+=+，则011x a =+，则001,0x a y =-=，即切点为()1,0P a -，所以直线l 为1y x a =-+，又直线l 与圆2212x y +=都相切，2=，解得2a =或0a =．故选：A7.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数到与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列、这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23则该数列的第100项为（）A.4862B.4962C.4852D.4952【答案】D【分析】根据题意可得数列2，3，5，8，12，17，23，⋯，满足：11(2)n n n a a n -=-≥-，12a =，从而利用累加法即可求出n a ，进一步即可得到100a 的值．【详解】2，3，5，8，12，17，23，⋯后项减前项可得1，2，3，4，5，6，⋯所以()1112,2n n a a n n a --=-≥=，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ()()1212n n =-+-+++L ()()()111122,222n n n n n -+⋅--=+=+≥.所以10010099249522a ⨯=+=.故选：D8.已知等比数列{}n a 的公比为13-，其前n 项和为n S ，且1a ，243a +，3a 成等差数列，若对任意的*n ∈N ，均有2n nA SB S ≤-≤恒成立，则B A -的最小值为（）A.2B.76C.103D.53【答案】B 【解析】【分析】由已知可求得331223nn S ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，n 为奇数时，331223n nS ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，根据单调性可得：1322n S S <≤=，n 为偶数时，331223n nS ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，根据单调性可得：24332n S S =≤<，可得n S 的最大值与最小值分别为2，43，考虑到函数2y t t =-在()0+∞，上单调递增，即可得出结论．【详解】等比数列{}n a 的公比为13-，因为1a ，243a +，3a 成等差数列，所以1111413239a a a -+⨯=+，解得12a =，所以1213331122313n nn S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，331223n n S ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，易得n S 单调递减，且33132232n⎛⎫+⋅> ⎪⎝⎭，所以1322n S S <≤=；当n 为偶数时，331223n nS ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，易得n S 单调递增，且33132232n⎛⎫-⋅< ⎪⎝⎭，所以24332n S S =≤<．所以n S 的最大值与最小值分别为2，43．函数2y t t=-在()0+∞，上单调递增，所以min 24214363n n A S S ⎛⎫≤-=-=- ⎪⎝⎭．max 22212n n B S S ⎛⎫≥-=-= ⎪⎝⎭．所以B A -的最小值17166⎛⎫--= ⎪⎝⎭．故选：B ．【点睛】思路点睛：由已知条件求得等比数列的前n 项和n S ，通过分类讨论并利用函数单调性求得n S 的最大值和最小值，再由函数2y t t=-在()0+∞，上单调递增且2nn A S B S ≤-≤，可求,A B 取值范围.二､多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分）9.一家公司为了解客户对公司新产品的满意度，随机选取了m 名客户进行评分调查，根据评分数进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出的频率分布直方图如图所示，其中有8名客户的评分数落在[)40,50内，则（）A.图中的0.006a =B.200m =C.同组数据用该组区间的中点值作代表，则评分数的平均数为76.2D.该公司计划邀请评分数低于第25百分位数的客户参与产品改进会议，若客户甲的评分数为71，则甲将会被邀请参与产品改进会议【答案】ABC 【解析】【分析】由频率分布直方图数据求解.【详解】由频率分布直方图可知：()0.0040.0180.0220.0280.022101a +++++⨯=，解之得0.006a =，A 正确；评分落在[)40,50内的有8人，所以82000.00410m ==⨯，B 正确；评分的平均数为450.04550.06650.22750.28850.22950.1876.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，C 正确；0.040.060.220.320.25++=>，所以甲不会被邀请，D 错误.故答案为：ABC 10.下列说法正确的是（）A.已知函数3()2f x x x =+，则该函数在区间[]1,3上的平均变化率为30B.已知11(,)A x y ，22(,)B x y 在函数()y f x =图象上，若函数()f x 从1x 到2x ()y f x =的割线AB 的倾斜角为3πC.已知直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是221V t =-，则2t =时瞬时加速度为7D.已知函数()f x =，则(9.05) 3.008f ≈【答案】BD 【解析】【分析】根据平均变化率的概念，即可判断A 是否正确；根据导数的概念，以及导数在物理和几何中的意义，即可判断BCD 是否正确.【详解】由题意可知，()()33323121(3)(1)301531312f f +⨯-+⨯-===--，故A 错误；根据平均变化率的概念可知若函数()f x 从1x 到2x 平均变化率即为割线AB 的斜率，即AB 的斜率()()2121f x f x x x -=-AB 的倾斜角为3π，故B 正确.因为4V t '=，根据速度与加速的关系可知2t =时瞬时加速度为()28V '=，故C 错误；函数()y f x =在点0x 处的导数()00000lim lim ()()==x x f x x f x yf x x x→→'-+ ，由极限的意义可知，当x 充分小时，()0yf x x'≈ ，即()0y xf x '≈ ，从而()()()000f x x f x xf x '+≈+ ，又()f x '=，所以()()()190.0590.0580(9.39.05205)303.0f f f f '+≈+⨯≈⨯⨯=≈+，故D 正确.11.已知函数()sin cos f x x x =-，[)0,x ∈+∞，动直线l 过原点且与曲线()y f x =相切，切点的横坐标从小到大依次为1x ，2x ，3x ，，n x ，.则下列说法错误的是（）A.()1n f x = B.数列{}n x 为等差数列C.πtan 4n n x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.()22221nn nx f x x =⎡⎤⎣⎦+【答案】ABC 【解析】【分析】先依据题给条件求得πtan 4n n x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，从而得到选项BC 判断错误；再依据题给条件求得()22221nn nx f x x =⎡⎤⎣⎦+，进而得到选项A 判断错误，选项D 判断正确.【详解】()sin cos f x x x =-，[)0,x ∈+∞，则()cos +sin f x x x '=，[)0,x ∈+∞设切点坐标()()n n x f x ，，则切线斜率()cos +sin n n nk f x x x '==则sin cos 0cos +sin 0n n n n n x x x x x --=-，整理得sin cos tan 1πtan cos +sin 1tan 4n n n n n n n n x x x x x x x x --⎛⎫===- ⎪+⎝⎭则选项BC 错误；由()()222πsin cos 2sin 4n n n n f x x x x ⎛⎫=-=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭2222222ππ2sin 2tan 244πππ1sin cos 1tan 444n n n n n n n x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则选项D 判断正确；若()1n f x =，则22211nnx x =+，则1n x =，这与题意矛盾，故选项A 判断错误.故选：ABC三､填空题（本大题共3小题，每5分，共15分）12.设,A B 是随机事件，且()()()331,,842P A P B P A B === ，则()P A B ⋂=______．【答案】18##0.125【分析】求出()14P B =，从而根据事件的运算关系求出概率.【详解】因为()34P B =，所以()()114P B P B =-=，故()()()()31118428P A B P A P B P A B =+-=+-= ．故答案为：1813.已知点M 在抛物线2:4x y Γ=上运动，过点M 的两直线1l ，2l 与圆()22:34C x y +-=相切，切点分别为A ，B ，则当AB MC ⋅取最小值时，点M 的坐标为__________．【答案】()2,1±【解析】【分析】根据圆的性质及三角形等面积法，可得AB MC ⋅=故当CM 最小时，AB MC ⋅最小.根据二次函数求出CM 何时取最小值即可得解.【详解】依题意，C 点坐标为(0,3).如图，设20,4x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设AB 与MC 交于H ．根据圆的性质，有AB MC ^，且在Rt ACM 中，2AH MC AC MA MA ⋅=⋅==而2AB AH =，则2AB MC AH MC ⋅=⋅=，所以，当CM 最小时，AB MC ⋅最小．又CM ===，当且仅当204x =时，取得最小值，此时()2,1M ±．故答案为：()2,1±14.已知向量()(),1,1N AB n n *=∈ 在向量(12,5,0)CD = 上的投影向量的模为n a ，则5a =________，使n a 为整数的n 的值按照从小到大的顺序排列，得到的新数列的前n 项和n S =________．【答案】①.5②.213322n n -【解析】【分析】利用投影向量的定义可求出n a ，得到5a ；分析n a 为整数时，对应的n 的值，得到新数列，再求新数列的前n 项的和.【详解】因为||12513||n AB CD n a CD ⋅+==，所以55a =．通过计算可得，当5n <或517n <<时，n a 均不是整数，当18n =时，17n a =．由此可得新数列为5，18，31，44，……，该数列是首项为5，公差为13的等差数列，所以2(1)133513222n n n S n n n -=+⨯=-．故答案为：5；213322n n -四､解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分）15.已知曲线()3f x x x =-，求（1）曲线过点()1,0-的切线方程；（2）曲线平行于直线1110x y -+=的切线方程.【答案】（1）22y x =+或1144y x =--.（2）1116y x =-或1116y x =+【解析】【分析】（1）设出切点，写出切线方程，代入点()1,0-，即可求得切线方程.（2）设出切点，用导数求得切点处切线的斜率与已知直线斜率相等，进而求出切点，写出切线方程.【小问1详解】因为切点在曲线()3f x x x =－上，所以可设切点为()3000,x x x -，求导得()231f x x ='-，则()20031f x x ='-，则切线方程为()()23000031y x x x x x =--+-，因为切线过()1,0-，代入切向方程得：()()2300000311x x x x =---+-化简得32002310x x +-=，则()()200012101x x x +-=⇒=-或012x =所以曲线过点()1,0-的切线方程为：22y x =+或1144y x =--.【小问2详解】直线1110x y -+=的斜率为11，设切点为()3000,x x x -，则由（1）知切线方程为()()23000031y x x x x x =--+-，则由切线与直线1110x y -+=平行得202011143x x -=⇒=，即02x =或02x =-，所以切线方程为()11261116y x x =-+=-或()11261116y x x =+-=+，即1116y x =-或1116y x =+16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，点O 为AD 的中点，90APD ︒∠=且AD PB =.（1）求证：OB ⊥平面PAD ；（2）若AD PB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 所成角的余弦值；【答案】（1）证明见解析（2）12.【解析】【分析】（1）连接OP ，利用勾股定理逆定理证得OB OP ⊥，再利用线面垂直的判定推理即得.（2）建立空间直线坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.【小问1详解】连接OP ，BD ，如图：由底面ABCD 为菱形，得60BAD ︒∠=，则AD AB BD ==，又O 为AD 的中点，有OB AD ⊥，在APD △中，90APD ︒∠=，O 为AD 的中点，则12PO AD AO ==，设2AD PB a ==，则3OB a =，PO OA a ==，即22224PO OB a PB +==，于是OB OP ⊥，又OP AD O = ，OP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以OB ⊥平面PAD ；【小问2详解】由AD PB ⊥，AD OB ⊥，OB PB B = ，,OB PB ⊂平面POB ，则AD ⊥平面POB ，又PO ⊂平面POB ，于是PO AD ⊥，由（1）知直线,,OA OB OP 两两垂直，以O 为坐标原点，直线,,OA OB OP 分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图：设2AD =，则()1,0,0A ，()1,0,0D -，()3,0B ，()0,0,1P ，()3,1PB =- ，()2,0,0BC AD ==-，()3,0OB = ，由（1）知OB ⊥平面PAD ，则取与OB 平行的向量()0,1,0n =作为平面PAD 的法向量，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z = ，则2030m BC x m PB y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1y =，得3)m = ，设平平面PBC 与平面PAD 所成二面角为θ，显然θ为锐角，则||1cos |cos ,|2||||m n m n m n θ⋅=〈〉==，所以平面PBC 与平面PAD 所成二面角的余弦值为12.17.已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =+.数列{}n b 的首项112b =，且满足123n n nb b b +=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：数列11n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列；（3）设nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）2n a n =（2）证明见解析（3）1213322n n T n n n +⎛⎫=-⋅--+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用n a 与n S 的关系即可求解；（2）利用倒数法及等比数列的定义，结合等比数列的通项公式即可求解；（3）根据（1）（2）的结论，求出n c ，利用数列求和中的分组求和法、等差数列的前n 项和公式及错位相减法即可求解【小问1详解】当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦，当1n =时，1212a =⨯=依然成立，所以{}n a 的通项公式是2n a n =.【小问2详解】由123nn n b b b +=+，得123132n n n n b b b b ++==+，111131n n b b +⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭.又1113b +=.故11n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以3为首项，3为公比的等比数列，所以111333n n nb -+=⋅=.【小问3详解】由（1）（2）知，()231232n n nn na c n n nb ==⋅-=⋅-，则2123432(1)323(2462)n n n T n n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅-++++ ()21223432(1)323n n n n n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅-+ .令2123432(1)323n n n H n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅ ①，231323432(1)323n n n H n n +∴=⋅+⋅++-⋅+⋅ ②，①－②得，()23122333323nn n H n +-=++++-⋅ ，()1113623(12)3313nn n n n ++-=-⋅=-⋅--，113322n n H n +⎛⎫∴=-⋅+ ⎪⎝⎭，1213322n n T n n n +⎛⎫∴=-⋅--+ ⎪⎝⎭.18.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左、右顶点分别为1A 、2A，点)4P在C 上，2121218F F A A =．（1）求双曲线C 的标准方程．（2）若过焦点2F 且斜率存在的直线与双曲线C 的右支交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，试问2222sin sin sin sin MQF NQF QMF QNF ∠∠+∠∠是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【答案】（1）2218y x -=（2）23【解析】【分析】（1）根据题中条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线C 的方程；（2）设直线MN 的方程为()()30y k x k =-≠，设点()11,M x y ，()22,N x y ，将直线MN 的方程与双曲线C 的方程联立，列出韦达定理，写出线段MN 的垂直平分线方程，求出点Q 的坐标，求出MN 、2QF ，利用正弦定理可求得2222sin sin sin sin MQF NQF QMF QNF ∠∠+∠∠的值.【小问1详解】解：由点)4P 在双曲线C 上，可得223161a b-=．因为2121218F F A A =，所以()2236c a =．又222c a b =+，所以1a =，b =，3c =，所以双曲线C 的标准方程为2218y x -=．【小问2详解】解：2222sin sin sin sin MQF NQF QMF QNF ∠∠+∠∠为定值，理由如下：设直线MN 的方程为()()30y k x k =-≠，设点()11,M x y ，()22,N x y ，联立()22183y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，可得()222286980k x k x k -+--=，当28k =时，直线MN 与双曲线C 的渐近线平行，此时直线MN 和双曲线C只有一个交点，不合题意，故28k ≠，此时()2Δ25610k =+>，则212268k x x k +=-，2122988k x x k +=-，由已知可得212221226089808k x x k k x x k ⎧+=>⎪⎪-⎨+⎪=>⎪-⎩，可得28k >，则2122328x x k k +=-，()3121222324332288k x x y y k kk k k k ++=-=-=--，所以，线段MN 的中点坐标为222324,88k k k k ⎛⎫⎪--⎝⎭，所以线段MN 的垂直平分线的方程为222241388k k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭．令在直线222241388k k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭的方程中，令0y =得22278kx k =-，即2227,08k Q k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，所以()2222224127388k k QF k k +=-=--．又()21221618k MN x x k +=-==-，在2QMF 中，由正弦定理得2222sin sin QF MF QMF MQF =∠∠，所以2222sin sin MF MQF QMF QF ∠=∠．在2QNF △中，由正弦定理得2222sin sin QF NF QNF NQF =∠∠，所以2222sin sin NF NQF QNF QF ∠=∠，所以22222222sin sin sin sin MF NF MN MQF NQF QMF QNF QF QF +∠∠+===∠∠()()22221612832418k k k k +-=+-为定值．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值19.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列．且111a b ==，327a b +=，2322a b -=，*N n ∈（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n T 为{}n b 的前n 项和，求证：221n n n T T T ++⋅<；（3）若()21,1122n nn n n a n c n b b +⎧+⎪⎪=⎨⎛⎫⎛⎫⎪-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n S ．【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=（2）证明见解析（3）()121220413232n n n S n ++=-+--⋅【解析】【分析】（1）由已知条件列出方程组，求解出d ，q ，根据等比和等差数列的通项公式求解即可；（2）利用等比数列前n 项和公式求出n T ，求出22120n n n nT T T ++-⋅-=<，得证；（3）利用错位相减法和裂项相消法分奇偶项两组求和即可.【小问1详解】解：由已知可得32112127a b a b d q d q =++=++=+①，()()22231122212a b a d b q d q -=+-=+-=②，联立①②，得()()26320q q q q +-=+-=，解得3q =-或2q =，因为{}n b 是各项都为正数的等比数列，所以2q =，代入①式可得2d =，所以()12121n a n n =+-=-，12n n b -=；【小问2详解】11222112n n n T --⋅==--，1121n n T ++∴=-，2221n n T ++=-，则()()()222121212121n n n n n n T T T ++++-=---⋅-2222212221222120n n n n n n ++++=--+-+⨯-=-<，所以221n n n T T T ++⋅<；【小问3详解】()12111112122,33211,1111112222222222n n n n n n n n n n n a n n b c n b b ---+-++⎧+=⋅⎪⎪⨯=⎨==-⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫------⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩为奇数为偶数21234212n n n S c c c c c c -=++++++ ，令1352321n n n A c c c c c --=+++++ ()()12212162102462422n n n n --=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅ ①，则()()123122262102462422n n n A n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅ ②，-①②，得()()3134511122222222212221212n n n n n A n n ++++-⋅-=+++++--⋅=+--⋅- ()()2112822122326n n n n A n n +++∴=-+-+-⋅=-⋅+，令2462nn B c c c c =++++ 133557212111111111111111112222222222222222n n -+=-+-+-+---------11211122113412222n n ++=-=----，()()11211222203414132326232n n n n n n n A B n n S ++++∴=+==-⋅--⋅-+-+-+.。
年下学期高二3月质量检测文科数学(附答案)
梁山一中2013—2014学年高二3月质量检测数学(文)一､选择题:(本大题共12小题.每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.复数11i+的虚部为( ) A.-l B.-12 C. 12i - D.-i2.设a ,b 为正实数,则“a <b ”是“a -1a <b -1b”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件 3.函数x x y ln 232-=的单调增区间为( )A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃-∞33,0)33,(B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃-,33)0,33( C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,0 D.⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,33 4. 等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,已知6,835==S a ,则9a =( ) A.8 B.12 C.16 D .24 5.若正实数a ,b 满足a +b =1,则( )A.1a +1b 有最大值4B.ab 有最小值14 C.a +b 有最大值 2 D.a 2+b 2有最小值226.命题“∀x ∈[1,2],x 2-a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A. a ≥4 B. a ≥5 C. a ≤4 D. a ≤57. 已知0x >,0y >,且21x y +=,则xy 的最大值是( ) A.14 B. 18C. 4D. 8 8.车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了8次试验,数据如下:设回归方程为y =b x +a ,则点(a ,b )在直线x +45y -10=0的( )A.左上方B.右上方C.左下方D.右下方 9.下列四个命题中正确命题的个数是( )(1)对于命题2:,10p x R x x ∃∈++<使得,则:p x R ⌝∀∈,均有210x x ++>; (2)3=m 是直线02)3(=-++my x m 与直线056=+-y mx 互相垂直的充要条件;(3)已知回归直线的斜率的值为1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为ˆy=1.23x +0.08 (4)若实数[],1,1x y ∈-,则满足221x y +≥的概率为4π. A.1 B.2 C.3 D.410.已知,a b R +∈,若向量(2,122)m a =-与向量(1,2)n b =共线,的最大值为( )A.6B.4C.3D.311.已知双曲线)0(12222>=-b b y x 的左､右焦点分别是1F ､2F ,其一条渐近线方程 为x y =,点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF =( ). A. -12 B. -2 C. 0 D. 4二､填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分｡把答案填在答题卷的相应位置) 13.经过曲线32()21(1,(1))f x x x f =-+上点处的切线方程为 ｡14.已知双曲线中心在原点,一个焦点为)0,5(1-F ,点P 在双曲线上,且线段1PF 的中点坐标为(0,2),则此双曲线的方程是 .15.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_________. 16. 观察下列等式: 23(11)21(21)(22)213(31)(32)(33)2135+=⨯++=⨯⨯+++=⨯⨯⨯照此规律, 第n 个等式可为 . 三､解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知集合A = {y |y =x 2-32x +1,x ∈[34,2]},B ={x |x +m 2≥1);命题p :x ∈A ,命题q :x ∈B ,并且命题p 是命题q 的充分条件,求实数m 的取值范围.18.(本小题满分12分) 已函数f (x )=|x +1|+|x -3|. (1)作出函数y =f (x )的图象;(2)若对任意x ∈R,f (x )≥a 2-3a 恒成立,求实数a 的取值范围.19.(本小题满分12分)户外运动已经成为一种时尚运动,某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关,决定从本单位全体650人中采用分层抽样的办法抽取50人进行问卷调查,得到了如下列联表:已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是35.(1)请将上面的列联表补充完整;(2)求该公司男､女员工各多少名; (3)是否有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关?并说明你的理由. 下面的临界值表仅供参考:参考公式:K 2=n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）,其中n =a +b +c +d20.(本小题满分12分)已知顶点为原点O 的抛物线1C 的焦点F 与椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点重合,1C 与2C 在第一和第四象限的交点分别为A ､B .(1)若△AOB 是边长为,求抛物线1C 的方程; (2)若AF OF ⊥,求椭圆2C 的离心率e ;21.(本小题满分12分)已知数列}{n a 是公差不为0的等差数列,21=a ,且2a ,3a ,14+a 成等比数列. (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)设)2(2+=n n a n b ,求数列}{n b 的前n 项和n S ｡22.(本小题满分12分) 已知函数211()22f x x =-与函数()ln g x a x =在点(1,0)处有公共的切线,设()()()F x f x mg x =-(0)m ≠.(1) 求a 的值(2)求()F x 在区间[1,e]上的最小值.参考答案:1-5 BDDCC 6-10 BBBAA 11-12 CB13.01=-+y x 14. 1422=-y x 15. ︒120 16. )12(5312)()3)(2)(1(-⋅⋅⋅⋅=++++n n n n n n n17.化简集合A ,由y =x 2-32x +1=(x -34)2+716,∵x ∈[34,2],∴y min =716,y max =2.∴y ∈[716,2],∴A ={y |716≤y ≤2}.化简集合B ,由x +m 2≥1,∴x ≥1-m 2,B ={x |x ≥1-m 2}.∵命题p 是命题q 的充分条件,∴A ⊆B .∴1-m 2≤716,∴m ≥34或m ≤-34.∴实数m 的取值范围是(-∞,-34]∪[34,+∞).18. (1)①当x ≤-1时,f (x )=-x -1-x +3=-2x +2;②当-1<x <3时,f (x )=x +1+3-x =4; ③当x ≥3时,f (x )=x +1+x -3=2x -2. ∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x ≤－14，－1<x <32x －2，x ≥3∴y =f (x )的图象如图所示.(2)由(1)知f (x )的最小值为4,由题意可知a 2-3a ≤4, 即a 2-3a -4≤0,即(a -4)(a +1)≤0,解得-1≤a ≤4. 故实数a 的取值范围为[-1,4].19. (1)∵在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的概率是35,∴喜欢户外运动的男女员工共30,其中,男员工20人,列联表补充如下:(2)该公司男员工人数为2550×650=325,则女员工325人.(3)将2×2列联表中的数据代入公式计算,得 K 2=50×（20×15－10×5）230×20×25×25≈8.333>7.879,∴有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关.20.(1)设椭圆的右焦点为(,0)F c ,依题意得抛物线的方程为24y cx =∵△AOB 是边长为,∴点A 的坐标是,代入抛物线的方程24y cx =解得14c =,故所求抛物线1C 的方程为2y x =(2)∵AF OF ⊥, ∴ 点A 的横坐标是c 代入椭圆方程解得2b y a=±,即点A 的坐标是2(,)b c a∵ 点A 在抛物线24y cx =上,∴42224,2b c b ac a==即,将222b ac =-代入上式整理得:2()210c caa+⋅-=,即2210e e +-=,解得1e =-∵ 01e <<,故所求椭圆2C 的离心率1e =｡21. (1)设数列{}n a 的公差为d ,由21=a 和1,,432+a a a 成等比数列,得()()d d d 332)22(2++=+, 解得2=d ,或1-=d ,当1-=d 时,03=a ,与1,,432+a a a 成等比数列矛盾,舍去. 2=∴d ,()(),212211n n d n a a n =-+=-+=∴即数列{}n a 的通项公式.2n a n =(2))2(2+⋅=n n a n b =111)1(1)22(2+-=+=+n n n n n n ,1111111312121121+=+-=+-++-+-=+++=n n n n n a a a S n n 22. (1)因为(1)(1)0,f g ==所以(1,0)在函数(),()f x g x 的图象上 又'(),'()af x xg x x==,所以'(1)1,'(1)f g a == 所以1a =(2)因为211()ln 22F x x m x =--,其定义域为{|0}x x > 2'()m x mF x x x x-=-=当0m <时,2'()0m x mF x x x x-=-=>, 所以()F x 在(0,)+∞上单调递增所以()F x 在[1,e]上最小值为(1)0F =当0m >时,令2'()0m x mF x x x x-=-==,得到120,0x x =>=< (舍)1≤时,即01m <≤时,'()0F x >对(1,e)恒成立, 所以()F x 在[1,e]上单调递增,其最小值为(1)0F =e ≥时,即2e m ≥时, '()0F x <对(1,e)成立, 所以()F x 在[1,e]上单调递减, 其最小值为211(e)e 22F m =--当1e <<,即21e m <<时, '()0F x <对成立, '()0F x >对成立所以()F x 在单调递减,在上单调递增其最小值为1111ln 22222mF m m m m =--=-- 综上,当1m ≤时, ()F x 在[1,e]上的最小值为(1)0F =当21e m <<时,()F x 在[1,e]上的最小值为11ln 222mF m m =-- 当2e m ≥时, ()F x 在[1,e]上的最小值为211(e)e 22F m =--。
高二数学3月月清考试试题文试题(共6页)
2021-2021学年(xuénián)高二数学3月月清考试试题文〔无答案〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1．复数4﹣3i虚部为〔〕A.﹣3i B．﹣3 C．3i D．32．用反证法证明命题“设a，b为实数，那么方程x2+ax+b=0至少有一个实根〞时，要做的假设是〔〕A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根3．以下三句话按“三段论〞形式排列顺序正确的选项是〔〕①y=cosx〔x∈R〕是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx〔x∈R〕是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①4．一位母亲记录了儿子3—9岁的身高〔数据略〕，由此建立的身高与年龄的回归模型为x+73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，那么正确的表达是〔〕A5．复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等，那么实数a的值是〔〕A．1 B.1或者-4 C. -4 D. 0或者-46. 如右图所示的程序框图输出的结果是〔〕7．f (x )＝cos x ，且,，那么(n à me)f 2021(x )=〔 〕A ． －sin xB ．－cos xC ． sin xD ． cos x8.对具有线性相关关系的变量x ，y 测得一组数据如下表： x 2 4 5 6 8 y2040607080根据上表，利用最小二乘法得他们的回归直线方程为=10.5x+ ，据此模型来预测当x=20时，y 的估计值为〔 〕9．从所给的四个选项里面，选择最适宜的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性〔 〕10．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x ,y 之间关系最强的是( )A ．B ．C ．D ．11．类比实数的运算性质猜测复数的运算性质：①“〞类比得到“〞；A B CD②“〞类比(lèibǐ)得到“〞；③“〞类比得到“〞④“〞类比得到“〞以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是〔〕A．1 B．2 C．3 D．0 12、二选一〔只选做其中一个，把答案涂在答题卷上〕直线〔t为参数〕被曲线所截的弦长为〔〕A．B．C．D．不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤2a对任意实数x恒成立，那么实数a的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，﹣2] B．〔﹣∞，﹣2]∪[2，+∞〕C．[2，+∞〕D．a∈R二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分。
高二数学3月阶段性考试试题 文 试题
卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹高二数学3月阶段性考试试题文说明：本试题考试时间是是120分钟，总分值是150分 参考公式： 〔1〕〔2〕：,))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=其中d c b a n +++=为样本容量。
〔3〕：niii 1n22ii 1x ynx y ˆˆˆb=,a=y-bxxnx ==--∑∑ 一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，每一小题给出的4个选项里面，只有一选项是符合题目要求的)25-i 的一共轭复数是 〔〕 A ．i +2B ．i -2C ．-i -2D ．2-i 2,5,11,20,,47,x …中的x 等于〔〕A.28B.273.[)2,x ∀∈+∞，()2log 10x ->〞的否认为〔〕A.[)2,x ∀∈+∞，()2log 10x -< B.[)02,x ∃∈+∞，()20log 10x -≤ C.(),2x ∀∈-∞，()2log 10x -< D.()0,2x ∃∈-∞，()20log 10x -≤ 4.“函数()(21)xf x a =-是增函数〞是“2a >〞的〔〕 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.下面框图属于〔〕 A ．流程图 B ．构造图C ．程序框图D ．工序流程图6.假设复数z=15a ++(2a +2a -15)i 为实数,那么实数a 的值是() A.3B.-5 C.3或者-5D.-3或者5x 〔单位：cm 〕与体重y 〔单位kg 〕的数据，假设两个量间的回归直线方程为 1.16y x a =+，那么a 的值是〔〕 A ．21B ．123.2 C ．-121.04D ．- 8.在复平面内，复数2)31(1i iiz+++=对应的点位于〔〕 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9.一个几何体的三视图如下列图，其中主〔正〕视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的侧面积是〔〕 A. 4B. D.1210.函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()3(2)ln f x xf x '=+，那么(1)f '的值等于〔〕A.14B.14- C.34-D.3411.12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点,假设212||PF PF 的最小值为8a ,那么双曲线的离心率e 的取值范围是〔〕A.(B.[)3,+∞C.⎤⎦D.(]1,312.定义在R 上的函数()f x 满足：()()()1,04,f x f x f >='+那么不等式()3x x e f x e >+〔其中e 为自然对数的底数〕的解集为〔〕A.(0)+∞，B.(0)(3)-∞⋃+∞，，C.(0)(0)-∞⋃+∞，，D.(3)+∞， 二、填空题〔本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在答题卡的横线上〕13.将演绎推理“x y 2log =在),0(+∞上是增函数〞写成三段论的形式， 其中大前提是14.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，0n a >，且()136n n n S a a =+，那么数列{}n a 的通项公式为________．A 是抛物线214y x =的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PF m PA =,那么m 的最小值为． 16.假设函数()xe f x 〔 2.71828e =是自然对数的底数〕在()f x 的定义域上单调递增，那么称函数()f x 具有M M 性质的函数的序号为_______. ①()2xf x -=②()x f x -=3③()3f x x =④()22f x x =+三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共70分。
创界学校高二数学3月月考试题 文
智才艺州攀枝花市创界学校覃塘高级二零二零—二零二壹高二数学3月月考试题文试卷说明：本套试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷为试题〔选择题和客观题〕，学生自已保存，Ⅱ卷一般为答题卷，一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目的要求〕1．复数Z=的一共轭复数是()．A． B.C．D．2．按“三段论〞的推理形式，是周期函数的大前提是〔〕A．是三角函数B．三角函数是周期函数C．是周期函数D．3．某组数据采用了四种不同的回归方程进展回归分析，那么拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R的值是A．-B．-C．-D．-4.用反证法证明：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设A．三个内角都不大于60°B．三个内角至多有一个大于60°C．三个内角都大于60°D．三个内角至多有两个大于60°5．对于两个复数，，有以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论的个数为〔〕A．1 B．2 C．3 D．46．执行如图〔1〕所示的程序框图，假设输出的结果为，那么判断框中应填入〔〕A ．B ．C ．D ．（1） 〔2〕i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，那么点P 的极坐标为〔〕A.(，)B.(，)C.(3，)D.(3，)那么直线的斜率为()A. B. C. D.9．如图〔2〕，电路中有4个开关，闭合的概率是21，且是互相HY 的，那么灯亮的概率是．A ．1613B ．1316C ．41D ．4310. 在极坐标系中，直线与曲线相交于、两点，假设，那么实数的值是()A. 1或者5B.1或者-3C.3或者-1D-1或者-511．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向教师询问成语竞赛的成绩，教师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我如今给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，那么以下选项不正确的选项是〔〕 A ．乙可以知道两人的成绩 B ．丁可以知道两人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩的方程为直线的参数方程是〔为参数〕,与交于两点，那么的斜率〔〕A B C D二、填空题13．设为虚数单位，那么的虚部为________．14.在一项打鼾与患鼻窦炎关系的调查中，一共调查了2000人，经计算得K2=4.011，根据HY性检验分析，有把握认为打鼾与患鼻窦炎.〔填“有关〞或者“无关〞〕〔〔3〕〔4〕〔5〕15.如图〔3〕有面积关系，那么图〔4〕有体积关系_______________ 16．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…，这样的数称为“三角形数〞，而把1，4，9，16，…，这样的数称为“正方形数〞.如图(5)，可以发现，任何一个大于1的“正方形数〞都可以看作两个相邻的“三角形数〞之和，以下等式中，符合这一规律的表达式是.①13=3+10；②25=9+16；③36=15+21；④49=18+31；⑤64=28+36.三、解答题17.〔10分〕0,0a b>>，求证：baabba+≥+.18.〔12分〕近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为理解某心肺疾病是否与性别有关，在某随机对入院的60人进展了问卷调查得到了如下的列联表：患心肺疾病不患心肺疾病合计男m 6女12 n合计60在女病人中随机抽取一人，抽到患心肺疾病的人的概率为2 5.〔1〕求出,m n；〔2〕讨论是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明理由； 参考：① 界值表20()P k k > 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879②22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 19. 〔12分〕以平面直角坐标系xOy 的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取一样的长度单位,直线l 的参数方程为222212x ty t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,圆C 的极坐标方程为42sin 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.〔1〕求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程； 〔2〕设曲线C 与直线l 交于,A B 两点,假设P 点的直角坐标为()2,1,求PA PB-的值.20.(12分)某种产品的广告费用支出x 与销售额之间有如下的对应数据：x 2 4 5 6 8 y3040605070〔1〕求回归直线方程；〔2〕据此估计广告费用为10销售收入y 的值。
2024年成都市新津区高二数学3月份检测试卷附答案解析
2024年成都市新津区高二数学3月份检测试卷试卷满分150分．考试时间120分钟．2024.03一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知等差数列{}n a 中，14a =，512a =，则6a 等于（）A ．13B ．14C ．15D ．162．已知等比数列的前两项分别为1，－2，则该数列的第4项为（）A ．4B ．－4C ．8D ．－83．在数列{}n a 中，已知11a =，21a =，且1232n n n a a a --=++（3n ≥），则4a =（）A ．13B ．9C ．11D ．74．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且2c a =，则cos A =（）A ．24B ．24-C ．23D ．3-5．在正项等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若1010S =，2030S =，则30S 的值为（）A ．50B ．70C ．90D ．1106．“数列{}n a 和{}n b 都是等比数列”是“数列{}n n a b 是等比数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知数列{}n a 的首项13a =，且满足()12121N 23n n n a a n n n *+-=+-∈-，则{}n a 中最小的一项是（）A ．2a B ．3a C ．4a D ．5a 8．谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle ）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形，即图中的白色三角形），然后在剩下的每个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，用上面的方法可以无限操作下去．操作第1次得到图2，操作第2次得到图3．．．．．，若继续这样操作下去后得到图2024，则从图2024中挖去的白色三角形个数是（）A ．20233B ．20243C ．2023312-D ．2024312-二、多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，错选或不选得0分，少选得部份分.9．下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（）．A ．1，12，13，14，…，1n ，…B ．1-，12-，14-，18-，…，112n --，…C ．sinπ7，2πsin 7，3πsin 7，…，πsin 7n ，…D ．1……10．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列{}n a ，正方形数为数列{}n b ，则（）A ．515a =B ．520b =C ．101045b a =+D ．()12n n n a +=11．普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”（Lookandsaysequence ），该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”.例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221, ，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列{}n a ，则（）A ．若13a =，则从4a 开始出现数字2；B ．若()11,2,3,,9a k k == ，则()*N n a n ∈的最后一个数字均为k ；C ．{}n a 可能既是等差数列又是等比数列；D ．若1123a =，则()*N n a n ∈均不包含数字4.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12．在等差数列{}n a 中，1359a a a ++=，则24a a +=．13．数列{}n a 是等比数列，且前n 项和为12n n T k +=-，则实数k =．14．习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化.某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教.原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人.由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为{}n a ，在数列{}n a 的任意相邻两项k a 与()11,2,k k a += 之间插入2k 个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b .按新数列{}n b 的各项依次派遣支教学生.记70S 为派遣70批学生后支教学生的总数，则71S 的值为.四、解答题：本大题共6个小题，共计70分.15．在等比数列{}n a 中.(1)若它的前三项分别为5，－15，45，求5a ；(2)若a n ＝625，n ＝4，q ＝5，求1a ；(3)若a 4＝2，a 7＝8，求a n .16．已知数列{}n a 满足()12N n n a a n *+-=∈，且569,,a a a 成等比数列，(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值及此时n 的值.17．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2844n n n S a a =++.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若11212n n n n b a n --⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，{}n b 的前n 项和为n T ，求2n T .18．王先生今年初向银行申请个人住房贷款80万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清．银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息)．(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还12000元，最后一个还贷月应还5000元，试计算王先生该笔贷款的总利息；(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为0.3％，银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为17000元，试判断王先生该笔贷款能否获批(不考虑其他因素)．参考数据1191201211.003 1.4281.003 1.4331.003 1.437≈≈≈，，19．随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列{}n a ，规定{}Δn a 为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1ΔN n n n a a a n +=-∈，规定{}2Δn a 为数列{}n a 的二阶差分数列，其中()2*1ΔΔΔn n n a a a n +=-∈N ．(1)数列{}n a 的通项公式为()3*n a n n =∈N ，试判断数列{}{}2Δ,Δn n a a 是否为等差数列，请说明理由？(2)数列{}log a n b 是以1为公差的等差数列，且2a >，对于任意的*n ∈N ，都存在*m ∈N ，使得2Δn m b b =，求a 的值；(3)各项均为正数的数列{}n c 的前n 项和为n S ，且{}Δn c 为常数列，对满足2m n t +=，m n ≠的任意正整数,,m n t 都有m n c c ≠，且不等式m n t S S S λ+>恒成立，求实数λ的最大值．1．B 【分析】求出等差数列{}n a 的公差，即可求得6a 的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则51124244a a d --===，故61545214a a d =+=+⨯=.故选：B.2．D 【分析】由题可得数列的首项和公比，即可得答案.【详解】依题意可得该等比数列的公比为221-=-，首项为1，所以该数列的第4项为()3128⨯-=-．故选：D3．C 【分析】根据递推公式，结合12,a a ，通过赋值，即可求得4a .【详解】由题意可知32132a a a =++1326=++=，43232a a a =++631211=+⨯+=.故选：C.4．B【分析】由题目条件可得222b c =，再利用余弦定理代入求解即可.【详解】因为a ，b ，c 满足,,a b c 成等比数列，得2b ac =，且2c a =，得222b c =，由余弦定理，222222cos2b c a A bc +-===故选：B .5．B 【分析】利用等比数列的片段和性质列式计算即可.【详解】由等比数列的片段和性质得10S ，1200S S -，3020S S -成等比数列所以()()22010103020S S S S S -=-所以()()23030101030S -=-，解得3070S =.故选：B.6．A 【分析】根据等比数列的定义和通项公式可证明充分性成立，举例说明可证明必要性不成立，即可求解.【详解】若数列{},n a {}n b 都是等比数列，设其公比分别为,(,q p q p 为常数)，则1111,n n n n a a q b b p --==，所以当2n ≥时，11n nn n a bpq a b --=，为常数，由等比数列的定义知，数列{}n n a b 是以11a b 为首项，以pq 为公比的等比数列，故充分性成立；若数列{}n n a b 是等比数列，设2nn n a b =，当1,2n n a n ⎧=⎨⎩为奇数，为偶数，12,2n n n n b n -⎧=⎨⎩为奇数，为偶数时，满足2nn n a b =，但{},{}n n a b 都不是等比数列，故必要性不成立.所以“数列{}n a 、{}n b 都是等比数列”是“数列{}n n a b 为等比数列”的充分不必要条件.故选：A 7．B 【分析】根据等差数列的定义和通项公式进行求解即可.【详解】由1121211232123n n n n a a n a a n n n n ++-=+-⇒-=---，所以数列23n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1323a =--为首项，1为公差的等差数列，即()()()31123423n n an a n n n =-+-⋅⇒=---，所以有232,3a a =-=-，显然当4,N n n *≥∈时，0n a ≥，因此{}n a 中最小的一项是3a ，故选：B 8．C 【分析】根据等比数列的前n 项和公式求得正确答案.【详解】由图可知，图2024中挖去的白色三角形个数是：2202421333-++++ ()2023202311331132⨯--==-.故选：C 9．BD【分析】按已知条件逐一分析各个选项即可得解.【详解】对于A ，1，12，13，14，…，1n ，…为递减数列，故A 错误；对于B ，1-，12-，14-，18-，…，112n --，…为递增数列，且是无穷数列，故B 正确；对于C ，sinπ7，2πsin 7，3πsin 7，…，πsin 7n ，…中6π8πsin sin 77>，故不是递增数列，故C 错误；对于D ，1…，…既是无穷数列又是递增数列的，故D 正确.故选：BD.10．ACD 【分析】利用观察归纳法，结合等差数列前n 项和公式求出,n n a b ，再逐项判断即得.【详解】依题意，(1)12342n n n a n +=+++++= ，55(51)152a +==，AD 正确；2[1(21)]1357(21)2n n n b n n +-=+++++-== ，525b =，B 错误；1010(101)552a +==，1010100554545b a ==+=+，C 正确.故选：ACD 11．BCD【分析】由外观数列的定义可判断A 和②；举例子可判断③；由反证法，结合外观数列的定义可判断④.【详解】对于A ，当13a =时，由外观数列的定义可得：213a =，31113a =，43113a =，故A 错；对于B ，由外观数列的定义可知，每次都是从左向右描述，所以第一项的()1,2,3,,9k k = 始终在最右边，即最后一个数字，故B 正确；对于C ，取122a =，则42322a a a ====L ，此时{}n a 既是等差数列又是等比数列，故C 正确；对于D ，当1123a =时，由外观数列的定义可得：2111213a =，331121113a =，41321123113a =，.设()N ,5k a k k *∈≥第一次出现数字4，则1k a -中必出现了4个连续的相同数字()1,2,3,,9m m = .而2k a -的描述必须包含“m 个m ，m 个m ”，显然2k a -的描述不符合外观数列的定义.所以当1123a =时，()N n a n *∈均不包含数字4，故D 正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：本题考查数列的新定义、根据数列的递推关系式写出数列中的项及利用递推关系式研究数列的性质.解题关键在于理解数列的新定义，明确数列的递推关系式.12．6【分析】根据给定条件，利用等差数列性质计算即得.【详解】在等差数列{}n a 中，313539a a a a =++=，解得33a =，所以24326a a a +==.故答案为：613．2【分析】由11,1,2n n n T n a T T n -=⎧=⎨-≥⎩作差求出{}n a 的通项，再由{}n a 是等比数列，求出k .【详解】因为12n n T k +=-，当1n =时21124T k a k =-==-，当2n ≥时12n n T k -=-，所以11222n n nn n n a T T k k +--+==--=，则4,12,2n n k n a n -=⎧=⎨≥⎩，又数列{}n a 是等比数列，所以142k -=，解得2k =.故答案为：214．390【分析】由题可得515n a n =+，然后根据条件可得数列{}n b 的前70项含有前6项和64个3，进而得解.【详解】 数列{}n a 满足515n a n =+，12345620,25,30,35,40,45a a a a a a ∴======，在任意相邻两项k a 与()11,2,k k a += 之间插入2k 个3，∴其中12,a a 之间插入2个233,,a a 之间插入4个343,,a a 之间插入8个453,,a a 之间插入16个3，56,a a 之间插入32个673,,a a 之间插入64个3, .又624816326870,624816326470+++++=<++++++>，∴数列{}n b 的前71项含有{}n a 前6项和65个3，故71202530354045653390S =++++++⨯=.故答案为：390.15．(1)405(2)5(3)a n ＝2532n -【分析】考查等比数列的通项公式，利用通项公式进行计算即可.【详解】（1）易知15a =，1535q -==-，故()4553405a =⨯-=.（2）由315625a ⨯=⇒15a =.（3）374842a q a ===⇒232q =.所以42254334·2·22n n n n a a q ---⎛⎫=== ⎪⎝⎭.16．(1)29n a n =-(2)最小值为16-,4n =【分析】（1）{}n a 为等差数列，公差为2，根据题目条件得到方程，求出首项，得到通项公式；（2）求出2(4)16n S n =--，求出最小值及n 的值.【详解】（1）由12n n a a +-=知{}n a 为等差数列，设{}n a 的公差为d ，则2d =，569,,a a a 成等比数列，所以2659a a a =，即()()()211110816a a a +=++，解得17a =-，又2d =，所以{}n a 的通项公式为29n a n =-；（2）由(1)得()227298(4)162n n n S n n n -+-==-=--，所以当4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-17．(1)42n a n =-(2)224123n n T n n -=+-【分析】（1）根据n a 与n S 的关系化简求解即可；（2）采用分组求和的方式计算即可.【详解】（1）2844n n n S a a =++ ①2111844n n n S a a ---∴=++②①-②整理得11()(4)0,2n n n n a a a a n --+--=≥ 数列{}n a 是正项数列，14,2n n a a n -∴-=≥当1n =时，21111844, 2.S a a a =++=由可得∴数列{}n a 是以2为首项，4为公差的等差数列，42n a n ∴=-；（2）由题意知，1223n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，故()()24222122215943n n T n -=+++++++++- ()()114143142nn n ⨯-+-=+-24123n n n -=+-.18．(1)220000元(2)能，理由见解析【分析】（1）每月还款金额构成等差数列，设为{}n a ，求和得到总金额，减去本金得到利息.（2）设王先生每月还款为x 元，根据等比数列性质得到方程，解得答案.【详解】（1）每月还款金额构成等差数列，设为{}n a ，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，则112000a =，1205000a =，故()12012000500012010200002S +⨯==，故总利息为：1020000800000220000-=(元).（2）设王先生每月还款为x 元，则21191201.003 1.003 1.003800000 1.003x x x x ++++=⨯ ，即1201201 1.0038000001.0031 1.003x -=⨯-，解得7943x ≈，1700079432<，故贷款能够获批.19．(1){}Δn a 不是等差数列，{}2Δn a 是等差数列(3)2【分析】（1）理清条件的新定义，结合等差数列性质进行判断；（2）根据新定义和等差数列、等比数列的性质等进行分类讨论求解；（3）根据等差数列的性质以及新定义求解出m n S S +，运用均值不等式求解出λ的范围，从而得出λ的最值.【详解】（1）因为3n a n =，所以()3321Δ1331n n n a a a n n n n +=-=+-=++，因为17a ∆=，2Δ19a =，3Δ37a =，故21ΔΔ12a a -=，32ΔΔ18a a -=，显然2132ΔΔΔΔa a a a -≠-，所以{}Δn a 不是等差数列；因为21ΔΔΔ66n n n a a a n +=-=+，则221ΔΔ6n n a a +-=，21Δ12a =，所以{}2Δn a 是首项为12，公差为6的等差数列.（2）因为数列{}log a n b 是以1为公差的等差数列，所以1log log 1a n a n b b +-=，故1n nb a b +=，所以数列{}n b 是以公比为a 的正项等比数列，11n n b b a -=，所以()2121121ΔΔΔ2n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b ++++++=-=---=-+，且对任意的*N n ∈，都存在*N m ∈，使得2n m b b ∆=，即11111112n n n m b a b a b a b a +---+=，所以()21m n a a --=，因为2a >，所以0m n ->，①若1m n -=，则2310a a -+=，解得a =a =即当a =*N n ∈，都存在*N m ∈，使得21Δn m n b b b +==.②若2m n -≥，则()221m n a a a -≥>-，对任意的*N n ∈，不存在*N m ∈，使得2n m b b ∆=.综上所述，32a =.（3）因为{}Δn c 为常数列，则{}n c 是等差数列，设{}n c 的公差为d ，则()11n c c n d =+-，若0d =，则n m c c =，与题意不符；若0d <，所以当11c n d >-时，0n c <，与数列{}n c 的各项均为正数矛盾，所以0d >，由等差数列前n 项和公式可得2122n d d S n c n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以()()22122n m d d S S n m c n m ⎛⎫+=++-+ ⎪⎝⎭，因为2m n t +=，所以212222t d n m d n m S c ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为m n ≠，故22222n m n m ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()()()22211222222n m tn m dd d d S S n m c n m c n m S +⎛⎫⎛⎫+=++-+>⨯+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则当2λ≤时，不等式m n t S S S λ+>恒成立，另一方面，当2λ>时，令1m t =+，1n t =-，*N ,2n t ∈≥，则()2122222n m dd S S t t c ⎛⎫+=++- ⎪⎝⎭，2122t d d S t c t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()()22112222222t n m d d dd S S S t c t t t c λλλ⎛⎫⎛⎫-+=+--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2122dd t t c t d λλ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭，因为02dd λ->，20t t -≥，当()12dt c λ>-时，()0t n m S S S λ-+>，即n m t S S S λ+<，不满足不等式m n t S S S λ+>恒成立，综上，λ的最大值为2.【点睛】思路点睛：本题考查数列的新定义问题，关于新定义问题的常见思路为：（1）理解新定义，明确新定义中的条件、原理、方法与结论等；（2）新定义问题要与平时所学知识相结合运用；（3）对于不等式恒成立问题要结合均值不等式进行求解最值，把握好分类讨论的时机.。
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河南省灵宝市2016-2017学年高二数学3月月清考试试题 文（无答案）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数4﹣3i 虚部为（ ）
A.﹣3i
B ．﹣3
C ．3i
D ．3
2．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
A ．方程x 2
+ax+b=0没有实根
B ．方程x 2
+ax+b=0至多有一个实根 C ．方程x 2+ax+b=0至多有两个实根
D ．方程x 2
+ax+b=0恰好有两个实根
3．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（ ）
①y=cosx （x ∈R ）是三角函数； ②三角函数是周期函数；
③y=cosx （x ∈R ）是周期函数． A ．①②③
B ．②①③
C ．②③①
D ．③②①
4．一位母亲记录了儿子3—9岁的身高（数据略），由此建立的身高与年
龄的回归模型为y
ˆ=7.19x +73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ）
A ．身高一定是145.83cm
B ．身高在145.83cm 以上
C ．身高在145.83cm 左右
D ．身高在145.83cm 以下 5．复数4-3a -a 2
i 与复数a 2
+4ai 相等，则实数a 的值为 （ ） A ．1
B.1或-4
C. -4
D. 0或-4
6. 如右图所示的程序框图输出的结果是 （ ） A ．5
B.20
C.24
D.60
7．已知f (x )＝cos x ，且1()'()f x f x =,1()'()n n f x f x +=*
()n N ∈，则f 2017(x )=（ ）
A ． －sin x
B ．－cos x
C ． sin x
D ． cos x 8.对具有线性相关关系的变量x ，y 测得一组数据如下表： x 2 4 5 6 8 y
20
40
60
70
80
根据上表，利用最小二乘法得他们的回归直线方程为=10.5x+ ，据此模型来预测当x=20时，y 的估计值为（ ）
A ．210
B ．211.5
C ．212
D ．212.5
9．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性（ ） 10．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x ,y 之间关系最强的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
11．类比实数的运算性质猜想复数的运算性质：
①“mn nm =”类比得到“1221z z z z =”；
②“m n m n ⋅=⋅”类比得到“1212z z z z ⋅=⋅”；
③“
11x x =⇒=±”类比得到“11z z =⇒=±” ④“2
2
x x =”类比得到“2
2
z z =”
以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
12、二选一（只选做其中一个，把答案涂在答题卷上）
直线（t 为参数）被曲线所截的弦长为（ ）
A ．107
B ．514
C ．57
D ．7
5
不等式|x+3|﹣|x ﹣1|≤2a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，﹣2]
B ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
C ．[2，+∞）
D ．a ∈R
A B C D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．若复数z 满足（2﹣i ）z=4+3i （i 为虚数单位），则z=______． 14．观察下列等式
()
1
2211x x x x ++=++，
()2
223411232x x x x x x ++=++++，
()3
2234561136763x x x x x x x x ++=++++++，
()
4
2234567811410161916104x x x x x x x x x x ++=++++++++，
若
1212221062...)1x a x a x a a x x ++++=++（， 则=2a . 15、下列结论：
①若ABC ∆是锐角三角形，且A 为最大角，则60A ≥；
②已知实数,,"1,a b a >且1"b >等价于“1,a b ->且1ab >”； ③对于任意实数,a b ，式子,,1a b a b a +--中至少有一个不小于
1
2
； ④设SA 、SB 是圆锥SO 的两条母线，O 是底面中心，C 是SB 上一点，则AC 与平面SOB 不垂直。
其中正确的有 （请把所有正确结论的序号填上） 16．二选一（只选做其中一个，把答案写在答题卷上）
在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ（cos θ+sin θ）=﹣2，曲线C 2的参数方程为（t 为参数），则C 1与C 2交点
的直角坐标为______．
设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2
+b 2
=3，ma+nb=3，则 22n m +的最小值为______．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知复数22(56)(215)z m m m m i =+++--，当实数m 为何值时， （1）z 为实数； （2）z 为虚数； （3）z 为纯虚数． 18．（本小题满分12分）
某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，
采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）
（Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？
（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2],(2，4],(4，6],(6，8],(8，10],(10，12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；
（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
附：2
2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
P(K 2
≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 K
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19、（本小题12分） (1)用分析法证明：52276+>+
(2)已知a ,b ,c ∈R, a ＋b ＋c ＞0,ab ＋bc ＋ca ＞0,abc ＞0.求证: a ,b ,c ,全为正数. 20.（本小题满分12分）
(1) 在Rt ABC 中， CA CB ，斜边AB 上的高为 h ，则;111222CB CA h 类比此性质，如图，在四面
体 PABC 中，若 PA, PB, PC 两两垂直，底面ABC 上 的高为 h,可猜想得到的结论为 .
(2)证明（1）问中得到的猜想。
21. （本小题满分12分）
某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x (单位：月)与这种鱼类的平均体重y (单位：千克)得到一组观测值，如下表：
i x （月） 1 2 3 4 5
i y （千克）
0.5 0.9 1.7 2.1 2.8
(1)在给出的坐标系中，画出两个相关变量的散点图．
饲养时间x(月)
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y 关于变量x 的线性回归直线方程
ˆˆy
a bx =+． (3)预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重(单位：千克)．
（参考公式：1
2
2
1
()n
i i
i n
i
i x y b nx y
x
n x ==--=
∑∑，ˆa
y bx =-） 22.二选一（只选做其中一个，把解题过程写在答题卷上）（本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处,极轴与x 轴的正半轴重合,且长度单位相同。
直线
l 的极坐标方程为:)
3
sin(5
π
θρ-=
,点()2cos ,2sin 2P αα+,参数[]0,2απ∈。
（1）求点P 轨迹的直角坐标方程； （2）求点P 到直线l 距离的最大值。
已知函数f (x ) =|x+7|+|x －1| ，对任意实数x ，不等式f （x ）≥m 恒成立。
(1)求实数m 的取值范围； (2)当m 取最大值时，解关于x 的不等式：|x －3|－2x ≤2m －12.。