第一换元积分法(凑微分法)

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凑微分法技巧口诀

凑微分法技巧口诀

凑微分法技巧口诀
这三句口诀是:换元必换限,换限不还原,换顺序必化为重积分。

“换元必换限”中限指的是上下限,也就是函数中自变量的取值范围,这句话意思是换了自变量则必须要重新确定自变量的取值范围。

“换限不还原”意思是自变量的取值范围变化了,则原来函数定义就不需要还原了。

“换顺序必化为重积分”指的是在做重积分运算时,如果要交换x,y的计算顺序则必须先化成二重积分在进行换算。

积分运算法则:
一、凑微分法(第一类换元积分)
当被积函数有一部分比较复杂时,可以通过观察把某些函数放到d的后面(放在d后面的函数会发生变化),使得d后面的函数与前面复杂的被积函数具有相似的结构,最后运用基本积分公式将其求出。

二、换元法(第二类换元积分)
当被积函数比较复杂时,可以通过换元的方法从d后面的函数放一部分到前面来,使其更容易积分。

微积分第一类换元法

微积分第一类换元法

定理1 设 f (u)具有原函数,u ( x)可导,
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式(凑微分法) 说明: 使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [(x)](x)dx f [(x)]d[(x)].
例1 求 e5xdx
例12 求 csc xdx.
解(一) csc xdx
1 sin
x
dx
2sin
1 x cos
x
dx
tan
x 2
1 cos
x 2
2
d
x 2
1 tan
x
d
2 tan
x 2
2
2
ln
tan
x 2
tan x sin
1
1
x2
dx
d (
), x
exdx d (ex ),
cosxdx d(sin x),
1 (cot
x),
1 cos2x dx d (tan x).
例7 求 sin 2xdx.
解(一)
sin
1 2
2 xdx
sin 2
xd
1 2
(2
sin 2x(2x)dx
x) 1 cos 2x 2
5
例2 求 (3 2x)3dx
解 令u 3 2x, 则du 2dx,从而dx 1 du,
2
原式
1 2
u3du
1u4 C
8
1 (3 2x)4 C.
8
例2 求 (3 2x)3dx
解 Q (3 2x)3 1 (3 2x)3 (3 2x) 2
原式 1 (3 2x)3 (3 2x)dx 2

第一换元积分法

第一换元积分法

x 2
c
.
tan
x 2
2 sin 2
x 2
2
sin
x 2
cos
x 2
1 cos sin x
x
csc
x
cot
x
.
csc x dx ln csc x cot x c . (新公式)
sec x dx
csc
2
x
d
2
x
(新公式)
ln
csc
2
x
cot
2
x
c ln sec x tan x
b)
x k dx
k
1
1
d
(
xk 1)
(k
1 1) a
d
(axk
1
b)
1 x
dx
d (ln x) d (a ln x)
1 b
d (a b ln x)
e xdx d (e x ) d (e x b)
cos x dx d (sin x) d (sin x b)
sin x dx d (cos x) d (cos x b)
dx
a
2
1
1
x a
ad 2
x a
1 a
arctan
x a
c.
例10, 例11加入基本积分表.
例12 .
x2
dx 4x
8
(
d x
(
x 2)2
2)
例 10
4
1 2
arctan (
x
2
2) c
.
在积分过程中, 适当的函数运算是必要的 .
例 13 .

第一换元积分法(凑微分法)

第一换元积分法(凑微分法)

π π 作三角变换,令 x a sin t t , 那么 2 2
求 a 2 x 2 dx.
x

2 a x 1 a 2 x 2 dx arcsin x a 2 x 2 C . 2 a 2
a2 - x 2
x π π 解 令 x a tan t t ,则dx a sec 2 tdt. 2 2 dx a sec 2 t 1 1 d t cos t d t sin t C . 所以 3 3 3 3 2 a a 2 x 2 2 a sec t a
积分
F t C
t 1 x 回代
1 F x C.
这种方法叫第二换元法.
使用第二换元法关键是恰当的选择变换函数x t , 对 于 x t , 要 求 其 单 调 可 导 , t 0, 且 其 反 函 数 t 1 x 存在.下面通过一些例子来说明.
例 2
解 注意到被积式中含有 e 项,而余下的部分恰有 微分关系: 2 xdx d( x 2 ) .于是类似于例 1,可作如下变 换和计算:
求 2 xe dx .
x2
x2

2 xe dx e d( x )
x
2
x
2
2
令u x 2
回代 x 2 e du e C e C.
2 2

设u cos x, 得 du sin xdx ,
求 cos 2 x sin xdx .
例 4

dx 求 . 2 x 1 ln x
dx x 1 ln 2 x 1 ln 2 x x arcsin ln x C . dx 1

不定积分第一类换元法

不定积分第一类换元法

不定积分第一类换元法(凑微分法)一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ,即)()('u f u F =,C u F du u f +=⎰)()(,如果U 是中间变量,)(x u ϕ=,且设)(x ϕ可微,那么根据复合函数微分法,有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理:设)(u f 具有原函数,)(x u ϕ=可导,则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见,虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号,但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分,被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待,从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。

几大类常见的凑微分形式:○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ; ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ,⎰⎰-=xd x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ,⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2,x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=; ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ,⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(; ○4n n n n x d x f ndx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ,⎰⎰-=)1()1()1(2xd x f x dx x f ,⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ;○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2;⎰⎰=+x d x f xdxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2; ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换,令()u x ϕ=,再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原,()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下:】(1)变换被积函数的积分形式:()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰(2)凑微分:()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰(3)作变量代换()u x ϕ=得:()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰(4)利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数:()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰(5)将()u x ϕ=代入上面的结果,回到原来的积分变量x 得:()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后,也可以不引入中间变量()u x ϕ=,省略(3)(4)步骤,这与复合函数的求导法则类似。

第一类换元法(凑微分法)

第一类换元法(凑微分法)
sin 2 x (1 sin 2 x ) 2 d (sin x )
例 10 求下列不定积分
(1) sin 3 x dx ;
( 2) sin 2 x cos 5 x dx .
解 (2) 原式 sin 2 x cos 4 xd (sin x )
sin 2 x (1 sin 2 x ) 2 d (sin x ) (sin 2 x 2 sin 4 x sin 6 x ) d (sin x )

1 dx . 例 2 求不定积分 3 2x 解 1 dx 1 1 ( 3 2 x )dx 3 2x 2 3 2x 1 1 d (3 2 x ) 2 3 2x 3 2x u 1 1 1 ln u C du 换元 2 u 2 u 3 2x 1 ln 3 2 x C . 回代 2
例7
求下列不定积分
1 dx ; ( 2) 2 1 dx . 2 2 x 8 x 25 a x 1 arctan x C ; 解 (1) 原式 a a 1 1 (2) 原式 dx 12 dx 2 2 ( x 4) 9 3 x 4 1 3 (1)
解法一 原式 1 sin 2 x d ( 2 x ) 1 cos 2 x C ;
2 2 解法二 原式 2 sin x cos x dx 2 sin x d (sin x )
(sin x ) 2 C ;
解法三 原式 2 sin x cos x dx 2 cos x d (cos x )
注: 一般情形: f (ln x ) 1 dx f (ln x)d (ln x) x
例 6 求下列不定积分

换元积分法

换元积分法

tan 2tdt (sec2t - 1)dt tan t - t C
x sect
2
1 cos t
1 cost , x
1 t arccos , x
1 原式 x - 1 - arccos C x
练习:
2、三角代换:被积函数型如→
(1) a 2 x 2 , 设x a sin t ; (3) x 2 a 2 , 设x a sect. (2) a 2 x 2 , 设x a tan t ;
例1:求 4 - x 2 dx
解:设x 2 sin t , 则 4 - x 2 4 - 4 sin 2 t
4(1 sin 2 t ) 2 cost
dx d (2 sin t ) (2 sin t)' dt 2 costdt
原式 2 cos t 2 cos tdt
2t sin 2t C x x 4 - x2 sin t , t arcsin , 又 cos t 2 2 2
解:设x 3 tan t , 则 x 2 9
dx d (3 tan t ) (3 tan t)' dt 3 sec2 tdt
原式 1 3 sec2 tdt 3 sect
sectdt
ln sect tan t C
x tan t , 3
sect
cosudu 求结果 sin u C
分析本例被积函数的特点:
sin x 2 C
1、被积函数能看做两函数的乘积; 2、其一为复合函数;
3、其二能看做复合函数的中间变量的导数。
此题的解法被称作第一换元法,又叫凑微分法。用公式表示为:

第一类换元积分法

第一类换元积分法

例4 求

2 x 1dx .


1 2 x 1dx 2 x 1d ( 2 x 1) 2
1 ( 2 x 1) d ( 2 x 1) 2
1 2
1 ( 2 x 1) 2 C 3
1 1 ( 2 x 1) 1 2 1 23
1 1 2
例5 求
tan 3 x(1 tan 2 x )d (tan x )
(sec 2 x 1) sec 3 xd (sec x )
1 dx. 例17 求 x 1 e 1 1 ex ex dx dx 解 x x 1 e 1 e x x e e dx dx dx 1 x x 1 e 1 e 1 dx d (1 e x ) x 1 e
§4-3
换元积分法(一) 第一类换元积分法 (凑微分法)
复习:不定积分定义,性质和公式
1. F ( x ) f ( x )
f ( x )dx F ( x ) C
2. [k1 f ( x ) k 2 g( x )]dx k1 f ( x )dx k 2 g( x )dx

1 1 1 3 2 xdx 2 3 2 x d (3 2 x ) 1 1 1 1 du ln u C ln 3 2 x C . 2 2 2 u
1 一般地 f (ax b)dx [ f ( u)du]uax b a 1 即d (ax b) adx故dx d (ax b) a
f [ ( x )] ( x)dx [ f (u)du]
F [ ( x )] C
实际上 [F [ ( x )] C ] F (u) ( x ) f [ ( x )] ( x )

微积分第一类换元法

微积分第一类换元法
[ f ( u)du]u ( x ) 由此可得换元法定理
定理1
u 设 f (u) 具有原函数, ( x ) 可导,
则有换元公式
f [ ( x )] ( x )dx [ f (u)du]u ( x )
第一类换元公式(凑微分法) 说明: 使用此公式的关键在于将
g( x )dx
1 2 a
例10 解
1 求 x 2 a 2 dx.
1 1 1 原式 ( x a x a )dx 2a
1 xa ln C. 2a x a
令:u ( x) x a 可以吗?
2 2
1 a 2 x 2 dx ?
例11 求 解
tan xdx

1 dx 2 2 ( x 1) 2
1 dx 用 2 2 x a 1 xa ln C 2a x a
1 d ( x 1) 2 2 ( x 1) 2
1 x 1 1 ( x 1) 2 C. ln C ln 4 x3 4 ( x 1) 2
ln csc x cot x C.
类似地可推出
sec xdx ln sec x tan x C.
基 本 积 分 表
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)

1 1 xa (21) 2 dx ln C; 2 x a 2a x a 1 x (22) dx arcsin C. a a2 x2
化为
f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d [ ( x)].
例1 求
e dx
5x
1 解 令u 5x, 则du 5dx, 从而dx du , 5

(完整版)5.3第一类换元积分法-凑微分

(完整版)5.3第一类换元积分法-凑微分
一、第一类换元法
问题 cos 2xdx sin 2x C,
解决方法 利用复合函数,设置中间变量.
过程 令 u 2x du udx 2dx
cos
1
2xdx
cos udu
cos

u 1 du
1
2
sin
u

C

dx

1 2
du,
2
2
u 2x
1 sin 2x C.


d(a x ax
)


d(a x) ax

1 ln a x C.
2a a x
dx 1 ln a x C
a2 x2 2a a x
小结 用第一换元积分法求不定积分的步骤是:
1.换元 若能将被积表达式化为f (x) '(x)dx的形式,
2
2
经求导验算,
即 结果正确 .
1 e x2 C xe x2 .
2




lnx x
dx.
解 将被积分式中的 1 dx 因子凑微分,即
x
1 dx d(ln x). x 则
ln x dx
ln xd ln x 1 ln2 x C.
x
2



x(1
1 2ln
cos
x
x
dx


dcos x
cos x
ln | cos x | C.
例 求 sin x cos2 xdx
解 原式 cos2 x sin xdx cos2 x(d cos x)

不定积分第一类换元法

不定积分第一类换元法

不定积分第一类换元法(凑微分法)一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ,即)()('u f u F =,C u F du u f +=⎰)()(,如果U 是中间变量,)(x u ϕ=,且设)(x ϕ可微,那么根据复合函数微分法,有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理:设)(u f 具有原函数,)(x u ϕ=可导,则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见,虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号,但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分,被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待,从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。

几大类常见的凑微分形式:○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f adx b ax f )0(≠a ; ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ,⎰⎰-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ,⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2,x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=; ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ,⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(;○4nn n n x d x f n dx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ,⎰⎰-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ,⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ; ○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2;⎰⎰=+x d x f x dxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2; ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换,令()u x ϕ=,再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原,()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下:】 (1)变换被积函数的积分形式:()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰(2)凑微分:()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ (3)作变量代换()u x ϕ=得:()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰(4)利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数:()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰(5)将()u x ϕ=代入上面的结果,回到原来的积分变量x 得:()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后,也可以不引入中间变量()u x ϕ=,省略(3)(4)步骤,这与复合函数的求导法则类似。

5.3凑微分法和分部积分法

5.3凑微分法和分部积分法
因此 A 1 , B 1 , C 2 ,
x 1 1 1 2 2 2 x x 1 ( x 1) x( x 1)
dx dx dx 原式 2 x x 1 ( x 1)2 d( x 1) d( x 1) ln x 2 x 1 ( x 1)2
1 d( x 2 1) ln x arctan x 2 2 x 1
1 ln x ln( x 2 1) arctan x C . 2
2. 当真分式分母中含有因子( x a) 时,则分解后
k
有下列k 个部分分式之和:
A1 A2 2 x a ( x a) Ak . k ( x a)
解 (1) (sin x) cos xdx (sin x) d sin x
t dt ( 令 t sin x )


ln sin x C , 1 ln t C , 1 1 1 (sin x ) t C , 1 . C , 1 1 1
1 1 1 d(a x) d (a x) 2a a x ax
1 ax 1 ln C ln a x ln a x C 2a a x 2a
1. 当真分式分母中含有因子( x 2 px q)k , p 2 4q 0 时,则分解后有下列k 个部分分式之和:
f [ ( x )] ( x )dx F [ ( x )] C [ f ( u)du]u ( x ) .
使用此公式的关键在于
(5 1)
第一换元积分公式(凑微分法)
说明

f ( x)dx 凑成 F '[ ( x)] '( x)dx.

一元函数积分学——第一类换元法

一元函数积分学——第一类换元法

⼀元函数积分学——第⼀类换元法⽬录写在前⾯昨天讲到了不定积分,属于积分学的⼊门,如果感到困难也没关系。

可以买习题书多练练题。

总之基本积分公式是基础。

这⼀步⾛好了剩下的都不会太难。

那么今天说说会了这些公式我们⼜该学习什么?显然考研数学不可能只从基本公式⾥出题,还会涉及⼀些变化,那么我来讲讲第⼀点——凑微分法。

也叫第⼀类换元积分法。

凑微分法原理在学习凑微分法之前我们得先明⽩其内在原理。

凑微分法其实就是复合函数求导的逆过程,复合函数求导后会产⽣两个部分外部函数f(...)的导数(外部函数是指原函数的最外层函数)中间变量g(x)的导数凑微分法做的就是找出被积函数的中间变量g(x)和外部函数f(...),再把g(x)放到微分符号⾥⾯,函数部分只留下f(...)的导数,这样凑微分法就完成了。

看不懂可以看看图,还是看不懂也没关系,接下来我会带⼤家看看实际的题,抽象理论不好懂,但是到了题中会好很多。

⼏种基本形式1、 e x型这是最简单的⼀种类型,在这⼀类型中,e...就代表外部函数f(...)求导后的结果(e...求导后仍然是e...),⽽指数就是中间变量g(x)也就是图中紫⾊圈出的f(x)。

这类题型的中间变量求导后的核⼼部分会和除了e...外的部分基本相同,最多系数不同要⾃⼰添加。

看⼏道例题第⼆题就是所谓的核⼼部分相同,但系数不同第三题的意思是这种情况下如果指数部分(中间变量)求导,核⼼部分不⼀样那么⼀定是题错了.XD2、三⾓函数型这⼀类的外部函数的f(...)的导数是sin.../cos...,中间变量就是x表⽰的部分.同样中间变量求导和除了sin.../cos...之外的核⼼部分最多系数不同,之后这⼀点就不会再讲了,我想应该也记住了.推⼴成⼀般形式:这⾥的f(x)也就是中间变量同样看⼏道题第⼀题就是中间变量求导核⼼变量完全相同,第⼆题就是核⼼部分原式的⼀半,需要在前⾯*23、1/x型这⼀题型外部函数的导数是1/...,中间变量是分母部分。

复合积分运算公式

复合积分运算公式

复合积分运算公式复合积分(通常指的是复合函数的积分)相关运算公式如下:一、换元积分法(第一类换元法 - 凑微分法)1. 公式形式。

- 设u = φ(x)在区间[a,b]上可导,且α≤slantφ(x)≤slantβ,函数f(u)在[α,β]上有定义且有原函数F(u),则。

∫ f[φ(x)]φ^′(x)dx=∫ f(u)du=F(u)+C = F[φ(x)]+C2. 示例。

- 计算∫ 2xcos(x^2)dx。

- 令u = x^2,则du=2xdx。

- 所以∫ 2xcos(x^2)dx=∫cos udu=sin u + C=sin(x^2)+C二、换元积分法(第二类换元法)1. 公式形式。

- 设x = φ(t)是单调的、可导的函数,并且φ^′(t)≠0,又设f[φ(t)]φ^′(t)具有原函数F(t),则。

∫ f(x)dx=∫ f[φ(t)]φ^′(t)dt=F(t)+C=F[φ^-1(x)]+C- 其中t=φ^-1(x)是x = φ(t)的反函数。

2. 示例。

- 计算∫(1)/(1 + √(x))dx。

- 令t=√(x),即x = t^2(t≥slant0),则dx = 2tdt。

- ∫(1)/(1+√(x))dx=∫(2t)/(1 + t)dt=2∫(t + 1-1)/(1 + t)dt=2∫(1-(1)/(1 + t))dt - =2(t-ln1 + t)+C = 2(√(x)-ln(1+√(x)))+C三、分部积分法。

1. 公式形式。

- ∫ u(x)v^′(x)dx=u(x)v(x)-∫ v(x)u^′(x)dx,通常简记为∫ udv = uv-∫ vdu 2. 示例。

- 计算∫ xsin xdx。

- 令u = x,dv=sin xdx,则du = dx,v =-cos x。

- 根据分部积分公式∫ xsin xdx=-xcos x-∫(-cos x)dx=-xcos x+sin x + C。

不定积分的第一换元积分法

不定积分的第一换元积分法

第一类换元法的基本定理:
如果F u 是 f u 在区间I上的一个原函数
即:F u f u

u ( x )
f (u ) du F (u ) c
则: f ( ( x )) ( x)dx f ( ( x)) d ( ( x))
f (u)ddu F (u) C
ax 2 b u
u ax 2 b
1 1 1 2 1 u c ( ax b ) c 1 2 a ( 1) 2 a ( 1) 1 1 ln u c ln ax 2 b c 1 2a 2a
x ln(1 e x ) C .
( x) u ( x ) 1 类型IV : dx du ln u c ( x) u ln ( x) c
例10: 计 算 下 列 不 定 积 分 : (1) tan xdx ( 2 ) cot xdx ( 4 ) csc xdx (3) sec xdx 1 (5) dx ax b
类型 V :
f (arctan x) u arctanx dx f (u )du 2 1 x
x 2 arctan 2 x 例11:计算不定积分: 1 x 2 dx x 2 arctan 2 x (1 x 2) 1 arctan 2 x 解: dx 2 1 x 2 dx 1 x 1 arctan 2 x dx dx dx 2 2 1 x 1 x 2 x arctan x arctan xd (arctan x )
1 ln ax b c a
(a x) (a x) ( a x )( a x ) dx

数学定积分换元积分法

数学定积分换元积分法


2
例13
sin 3 x dx = ∫ sin 2 x sin x dx ∫
1 3 = −∫ (1 − cos x) dcosx = − cosx + cos x + C . 3
2
例14
sin x ⋅ cos x dx = ∫ sin2 x ⋅ (1 − sin2 x )2 d(sin x ) ∫
2 5
1 x−2 1 1 1 +C . = ∫( − ) dx = ln 3 x +1 3 x − 2 x +1
17
x(1 − x ) dx = ∫ ( x − 1 + 1) (1 − x )6 dx 例22 ∫
6
= ∫ [(1 − x )6 − (1 − x )7 ] dx 1 1 7 8 = − (1 − x ) + (1 − x ) + C . 7 8 1 3 2 x 4 − x d x = ∫ x 2 4 − x 2 dx 2 例23 ∫ 2
= G(u) + C = G[ϕ( x)] + C .
3
常用凑微分公式: 常用凑微分公式:
1 dx = d(kx + b) k
1 dx = 2 d x x
( k ≠ 0)
1 1 dx = − d 2 x x
1 2 x dx = dx 2
1 dx = d ln | x | x
sin x dx = −d cos x
= ∫ (sin2 x − 2 sin4 x + sin6 x) d(sin x)
1 3 2 5 1 7 = sin x − sin x + sin x + C . 3 5 7

换元积分法

换元积分法

2x)
1
3
2 (1 2x) d(1 2x)
1 令u 1 2 x
3
u du
1
u4
C
2
8
回代 1 (Biblioteka 2x)4 C. 8例3求
1 3x
dx 1

解 将dx凑成 dx 1 d(3x 1) ,则 3
1 3x
dx 1
1 3
d(3x 1) 3x 1
1 令u3x1 1du 1 ln u C
t
C,
将 Q(0) 0 代入可得 C 2 ,于是有
Q(t) 2 cost 2 2 (1 cost)
二、第二类换元积分法
定理2 若 f (x) 是连续函数,x (t) 有连续的导数(t) 0 ,其反
函数 t 1(x) 存在且可导,又设 f (t)(t)dt F(t) C ,则
例11 【电路中的电量】如果导线在时刻t的电流为i(t) 2sint, 那么,流过该导线的电量 Q(t) 随时间变化的规律如何?(其 中 Q(0) 0)
解 在 [t ,t t] 时间段内,流过导线的电量为 dQ i(t)dt ,则
Q(t)
i(t)dt
2 sin
tdt
2
sin
td(t)
2
cos
高等数学
换元积分法
引例 【太阳能能量】预测太阳能的能量Q相对于太阳能接触的表 面面积s的变化率为 dQ 0.05 ,其中 Q(0) 0 。求太阳能的能
ds s 100 量Q的函数表达式

Q
0.05 ds s 100
一、第一类换元积分法(凑微分法)
例如 e2xdx ,在基本积分公式中有 exdx ex C ,比较 e2xdx 和 exdx 我们发现,只是 的幂次相差一个常数因子 ex,

定积分的换元法和分部积分法

定积分的换元法和分部积分法
2、不引入新的变量记号,积分限不变;引入新的变 量记号,积分限跟着变。
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分部积分 公式的用法类似。
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0

e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
)dx
f ( x)为偶函数;
0
0,
f ( x)为奇函数。
证毕。
例10
计算
3 3
x5 sin2 x dx.
1 x2 x4

3 3
x5 sin2 x dx 1 x2 x4
0
奇函数
例11
计算
π
2
π 2
sin2
x cos xdx

π
2
π 2
sin2 x cos xdx
π
2
2
0
sin2
x cos xdx
π
2
2
e
1
x
ln
|
1
x
|
e1 0
1
例17
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=
13 (3x +1)2 ( x + 2) + C. 5
由以上二例可以看出: 由以上二例可以看出:被积函数中含有被开方因式 可以消去根号, 为一次式的根式n ax + b 时,令n ax + b = t 可以消去根号, 从而求得积分. 从而求得积分.下面重点讨论被积函数含有被开方因式 为二次式的根式的情况. 为二次式的根式的情况.
x
∫ f (u)du = ∫ dF(u) =F(u) + C.
这个定理非常重要, 这个定理非常重要, 它表明: 它表明: 在基本积分公式中, 在基本积分公式中, 后公式仍成立. 自变量x换成任一可微函数u = ϕ(x)后公式仍成立. 这就大大扩充了基本积分公式的使用范围. 这就大大扩充了基本积分公式的使用范围.应用这一 结论,上述例题引用的方法, 结论,上述例题引用的方法, 可一般化为下列计算程 序: 令u = ϕ(x) 凑微分 ∫ f [ϕ(x)]ϕ′(x)dx ∫ f [ϕ(x)]dϕ(x)
1− (2x −1)
d(2x −1)
2
= arcsin(2x −1) + C.
二、第二换元积分法
第一换元积分方法是选择新的积分变量 u = ϕ( x), 但 x 对有些被积函数则需要作相反方式的换元, 对有些被积函数则需要作相反方式的换元, 即令 = ϕ(t ), 作为新积分变量,才能积出结果, 把 t 作为新积分变量,才能积出结果,即 x = ϕ (t )
例9
解 于是
1+ x 为了消去根式, 为了消去根式,可令 x = t 2 (t > 0), 则 dx = 2tdt.
求∫
x
dx.

t t2 ∫1+ x dx = ∫1+ t 2tdt = 2∫1+ t dt x
= 2∫
(t
2
−1) +1 1 dt = 2∫ t −1+ dt 1+ t 1+ t
例 7
(2)∫
3+ x dx x dx = 3∫ +∫ dx 2 2 2 4− x 4− x 4− x 1 − x 2 d(4 − x2 ) = 3arcsin + ∫ 2 4 − x2 x = 3arcsin − 4 − x2 + C. 2
1 1+ ex − ex ex dx =∫ dx = ∫ 1− dx (3)∫ x x x 1+ e 1+ e 1+ e
x =∫ d 2 a x 1− a x =arcsin + C. a dx 1 x = arctan + C. 类似得(2) 类似得(2) ∫ 2 2 a +x a a 1
sin x d(cos x) dx = −∫ = −ln | cos x | +C. (3) ∫ tan xdx = ∫ cos x cos x
求 ∫ a2 − x2dx. π π 作三角变换, 解 作三角变换,令 x = asin t − < t < , 那么 2 2 例 11
a2 − x2 = a cos t且dx = a cos tdt, 2 2 2 2 2 1+ cos 2t 于是 ∫ a − x dx = ∫ a cos tdt 2= a ∫ 2 dt a2 a = t + sin2t + C. 2 4 x 的函数, 为把 t 回代成 x 的函数,可根据sin t = , a 作辅助直角三角形(如右图) 作辅助直角三角形(如右图) , a a2 − x2 . 得 cost = a 所以
例 4
dx 求∫ . 2 x 1− ln x
1 dx =∫ d( ln x) ∫ x 1− ln2 x 2 2 1− ln x x 1− ln x = arcsin ( ln x) + C. dx =∫ 1
设 u = cos x,得 du = −sin xdx,

sin x dx. 例 5 求∫ x sin x dx = 2∫ sin xd x = −2cos x + C. 解 ∫ x
例 6
(1) ∫
求下列积分: 求下列积分: dx dx (a > 0); (2) ∫ 2 2; (3) ∫ tan xdx ; 2 2 a +x a −x
(4) ∫ cot xdx; (5) ∫ sec xdx; (6) ∫ csc xdx. dx 1 dx 解 (1) ∫ a2 − x2 = ∫ 2 x a 1− a
∫ f (u)du = F(u) + C.
的任一个可微函数. 其中u = ϕ(x)是 的任一个可微函数. 证 由 于 ∫ f (x)dx = F(x) + C , 所 以
x
dF(x) = f (x)dx.根据微分形式不变性,则有: 根据微分形式不变性 则有: 形式不变性, dF(u) = f (u)du .其中u = ϕ(x)是 的可微函数,由此得 的可微函数,
1 dx = ∫ (5)∫ 1+ cos x dx 1 x =∫ d 2 x 2 x 2 2cos cos 2 2 x = tan + C. 2
1 (6)∫ sin 5x cos 3xdx = ∫ (sin 8x + sin 2x)dx 2 积化和差) (积化和差)
类似得(6) 类似得(6) ∫ csc xdx = ln | csc x − cot x | +C.
本题六个积分今后经常用到,可以作为公式使用. 本题六个积分今后经常用到,可以作为公式使用.
求下列积分: 求下列积分: 1 1 3+ x dx; ∫ dx; dx; ∫ (1)∫ 2 (2) (3) 2 x 2 x −a 1+ e 4− x 1 2 dx; ∫ sin 5x cos3xdx. (4) ∫ sin xdx; (5) ∫ (6) 1+ cos x 本题积分前, 解 本题积分前,需先用代数运算或三角变换对被 积函数做适当变形. 积函数做适当变形. 1 1 1 1 (1)∫ 2 2dx = ∫ − dx x −a 2a x − a x + a 1 d( x − a) d( x + a) = [∫ −∫ ] 2a x −a x+a 1 = [ln x − a − ln x + a ] + C 2a 1 x −a = ln + C. 2a x + a
x

a2 x 1 a − x dx = arcsin + x a2 − x2 + C. 2 a 2
2 2
1 = ∫ dx − ∫ d(1+ ex ) 1+ ex
= x − ln(1+ ex ) + C.
1− cos 2x 1 1 dx = ∫ dx − ∫ cos 2xdx (4)∫ sin xdx = ∫ 2 2 2
2
1 1 = x − ∫ cos 2xd(2x) 2 4 1 1 = x − sin 2x + C. 2 4
凑微分法运用时的难点在于原题并未指明应该把 这需要解题经验, 哪一部分凑成dϕ(x),这需要解题经验,如果记熟下列一 些微分式,解题中则会给我们以启示. 些微分式,解题中则会给我们以启示. 1 dx 1 2 = 2d( x), dx = d(ax + b), xdx = d(x ), x 2 a 1 x x dx = d(ln | x |), sin xdx = −d(cos x), e dx = d(e ), x cos xdx = d(sin x), 2 xdx = d(tan x),csc2 xdx = −d(cotx), sec dx dx = d(arcsin x), = d(arctan x). 2 2 1+ x 1− x 下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧. 下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧.
dx . 2 x−x dx
=∫
解二 因为
dx ∫ x − x2 = ∫ 本题说明,选用不同的积分方法, 本题说明,选用不同的积分方法,可能得出不同形式 的积分结果. 的积分结果.
dx dx = 2d x,所以 x dx d x = 2∫ = 2arcsin x + C. 2 x(1− x) 1− ( x)
= t 2 − 2t + 2ln 1+ t + C
回代
t= x
x − 2 x + 2ln 1+ x + C.
例 10
求∫ 3
3
x +1 dx . 3x +1
1 3 代入后, 解 令 3x +1 = t, 即 x = (t −1,)则 dx = t 2dt 代入后,得 3
x +1 1 4 1 5 1 2 ∫ 3 3x +1 dx = 3 ∫( t + 2t ) dt = 15 t + 3t + C

f (u ) d u
F (u ) + C
回代
F [ϕ ( x )] + C .
这种先“凑”微分式,再作变量置换的方法,叫 这种先“ 微分式,再作变量置换的方法, 第换一元积分法,也称凑微分法. 第换一元积分法,也称凑微分法.
例 3
求 ∫ cos2 x sin xdx.

1 1 cos2 x sin xdx = −∫ u2du = − u3 + C = − cos3 x + C. ∫ 3 3 方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤, 方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤,直接凑微 分成积分公式的形式. 分成积分公式的形式.
∫ f ( x ) dx
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