第四章 量子力学密度矩阵

n
ˆψk （3）力学量 F 在任意态 Ψ 上取 F k 的概率为： C k 2 = ψ k ρ
2、混合态下密度算符的定义
ˆ = ∑ Ψk p k Ψk ， （1）混合态下密度算符的定义 ρ
k
∑p
k
k
Байду номын сангаас
=1
ˆρ ˆρ ˆ n = Tr ( F ˆ) （2）力学量平均值表为： F = ∑ n F
n
ˆ Ψk （3）力学量 F 在混合态上取 F k 的概率为： W ( Fk ) = Ψk ρ
说明：上面的动力学方程是薛定谔绘景下的方程，它与海森伯绘景一般算符的动力学方程十
−1 分相似，但相差一个负号。这是因为： FH (t ) = U S (t ) FSU S (t ) ，而
ρ (t ) = Ψ (t ) Ψ (t ) = U S (t ) Ψ (0) Ψ (0) U S−1 (t ) = U S (t ) ρ (0)U S−1 (t )
F = FA ⊗ I B I B 为单位矩阵，作用于子系统 B 的量子态空间。
（2）力学量 FA 的平均值
ˆ) ˆ AB F F = Tr AB ( ρ
在非耦合表象中
F = AB Ψ FA ⊗ I B Ψ
AB
= ∑C* jk
jk
A
j
B
k FA ⊗ I B ∑ C mn m
mn
A
n
B
进一步可表示为
62
B
= i j }；
将态矢 ψ 在表象 { i j } 中展开；
ρ AB = ψ ψ ；
利用计算表达式计算。 三、约化密度算符（矩阵）的运动方程 1、Lind-blad 主方程 对于开放系统，系统受环境和其他因素影响所以 Lind-blad 主方程可写为：
dρ 1 ˆ 1 + = [H , ρ ] + ∑ Γµ ρ Γ+ µ − {Γ µ Γ µ , ρ } 2 dt i µ >0
0 0 算符的演化： FI (t ) = U S (t )−1 FSU S (t )
算符的演化方程：
dFI (t ) ∂FI (t ) 1 FI (t ), H I0 (t ) = + ∂t dt i
0 0 0 0 其中： H Ii = U S (t ) −1 H iU S (t ) ， H I0 = U S (t ) −1 H 0U S (t )
对于密度算符
0 0 ˆ I (t ) = U S ˆ (t )U S ρ (t ) −1 ρ (t ) ， 0 ˆ0t/ )， US (t ) −1 = exp( i H
系统的动力学演化为
ˆ I (t ) 1 ˆ i dρ ˆ I (t ) ] = H I (t ), ρ dt i
0 0 0 ˆ 0 t / )。 ˆ I (t ) = U S ˆ (t )U S 说明：有些书上表达为 ρ (t ) = exp( i H (t ) ρ (t ) −1 ，此时 U S
61
ˆ (r ) 是只与系统自由度有关的力学量算符。 矢 Ψ (r , q ) 来描写。我们只关心系统的自由度。设 F
系统的状态能否由一个只与 r 有关的态矢来完全描述呢？显然仅当系统自由度和环境自由度 没有关联时才有可能。 1、复合系统的基矢（非耦合表象） 研究一个复合系统 A + B
A ；感兴趣的子系统， { m B ：大环境（系统）， { n
4、应用 （1）物理量的平均值
58
ˆ ，相当于给出系统所处的状态，各种物理量的平均值由下式计算， 给出态密度算符 ρ
ˆ ψ = tr F ˆρ ˆ F = ψ F
（2）系统动力学演化
( )
当系统处在混合态，则系统的动力学演化用密度算符描述更好。 三、密度矩阵 1、纯态的密度矩阵
ˆ 的矩阵元为 对一具体的表象，设态空间的基底为 { n } ，态矢 ψ = ∑ C n n 。密度算符 ρ
F = tr ( ρ (t ) F ) i
∂ ∂F (t ) + tr {[ H (t ), ρ (t )]F (t )} F (t ) = i ∂t ∂t
§4.3 约化密度矩阵 一、复合系统 过去我们说： “一个量子态可以用一个态矢完全描述” ，其实只适用于与环境没有关联的 孤立的系统。这是一种理想的情况，一般的实际系统或多或少总与环境有关联。 记系统的自由度为 r ，环境的自由度为 q 。系统和环境合而为一孤立的总系统，设可用态
第四章
§4.1 密度算符（矩阵） 一、纯态和混合态 1、纯态 能用一个态矢描述的态称为纯态。
密度矩阵方法
任意个态矢的线性叠加是一个态矢，故仍为纯态。 2、混合态 体系的状态不能用一个态矢描述，而需要用一组态矢及其相应的概率来描述，称为 参与态： Ψ j ←→ p j （处在 Ψ j 态的概率） 3、区别 纯态：概率幅的相干叠加，两态之间发生干涉 混合态：概率的不相干叠加。
2、相互作用绘景 复习 系统的哈密顿量为
H = H0 + Hi
0 0 态矢： Ψ I (t ) = U S (t ) −1 Ψ S (t ) = U S (t ) −1U S (t ) Ψ (0) = U I (t ) Ψ (0)
60
态矢的演化方程： i
∂ Ψ I (t ) = H I (t ) Ψ I (t ) ∂t
ˆ) ˆAF F = Tr A ( ρ ˆ A = Tr B ( ρ ˆ AB ) ρ
2、约化密度矩阵
ˆ A = Tr B ( ρ ˆ AB ) ρ
3、约化密度矩阵的性质
+ ˆA ˆA； （1） ρ =ρ
ˆ A ) = 1； （2） Tr A ( ρ
ˆ A 是非负的。 （3） ρ
说明：在很多情况下，我们用 ρ → ρ A 。 4、约化密度算符计算 （1）计算表达式
m
A
A
}构成子系统 A 的量子态完备系； }构成子系统 B 的量子态完备系；
B
B
n
B
= m A n B （即 m A 与 n
的直积） 构成复合系统 A + B 的量子态一组完备基 （称
为非耦合表象） 2、复合系统的纯态 若复合系统 A + B 处于一个量子态 Ψ
AB
2
，则可以用上面的基矢展开为
Ψ AB = ∑ C mn m
方程右边第一项为常见的薛定谔项，它是由一个幺正变换演化而来的。方程的其他项描述了 由于与环境之间的相互作用而在开放系统中出现的所有可能的跃迁。 Γµ 代表量子跃迁算符，
+ + + 每个 Γµ ρΓµ 项代表一种可能的量子跃迁。而 Γµ Γµ ρ + ρΓµ Γµ 是计如耗散后概频率守恒的要求。
3 ρ= 2 p1 + i p2
1 1+ p
p1 − i p2 1 = (1 + p iσ ) 1 − p3 2
det ρ =
1 1 − p2 ) ( 4
ρ 的本征值非负要求极化矢量的模长 p ≤ 1 。
（3）Bloch 球描述
Bloch 球：
纯态按照极化矢量的方向，必对应单位球面上的一点。 混态按照极化矢量的方向，必对应单位球内的一点。 量子比特在随时间的退相干演化过程中，由某个纯态转为混态时，相应的 Bloch 矢量将 由于径长缩短而从球面缩进球内。
3、密度算符的性质
ˆ 满足本征值方程 如果算符力学量 F
ˆψ = F ψ F k k k
当本征值无简并时，则 {ψ k }构成正交归一完备系；当本征值简并时，本征矢未必正交， 但可以要求它是归一和完备的。
ˆ 是厄米算符： ρ ˆ+ = ρ ˆ （1） ρ ˆ 的本征值是非负的。 （2） ρ ˆ （3）对于密度算符 ρ ˆ =1 Tr ρ
ˆψ = F ψ ， 则力学量 F 在任意态 Ψ 上的平均值 ˆ 满足本征值方程 F 算符。如果算符力学量 F k k k
为： ˆ Ψ F = Ψ F 任选一组正交基底 { n
n
}
n
ˆ Ψ = ˆ Ψ Ψ n F =∑ Ψ n nF ∑ nF
57
ˆ=ψ ψ （1）定义 ρ
ˆρ ˆρ ˆ n = Tr ( F ˆ) （2）力学量平均值表为： F = ∑ n F
n
* ˆ n = m ψ ψ n = CmCn ρ mn = m ρ
ˆ 的矩阵元 ρ mn 反映了态 ψ 与 m 和 n 的相干性。 只有当 ψ 在 m 和 n 因此， 密度算符 ρ
上都有投影时， ρ mn 才不为零。对角元 ρ mm 是在 ψ 中测量到本征态 m 所对应的本征值的概 率。 通过以上讨论可见，用态矢描写的状态可以等价地用一个密度算符来描写；反过来，一 个态密度算符来描写的状态却不一定能用一个态矢来描写。 2、混合态的密度矩阵
ˆ 满足本征值方程 F ˆψ = F ψ 设力学量 F k k k
当系统处在一纯态： Ψ = C1 Ψ1 + C 2 Ψ2 ：
ˆ 的取值 F 的概率为 W ( F ) = C ψ Ψ + C ψ Ψ 则力学量 F k k k k 1 1 2 2
当系统处在 Ψ1 , Ψ2 的态，处在 Ψ1 , Ψ2 态的概率分别为 p1 , p 2
= 1 ˆ2 = Tr ρ < 1 (对于态) (对于态)
（4） 0 ≤ ρ nn ≤ 1 。 ρ nn 的意义是系综处于 n 的概率。
ˆ 作用到另一态矢 ϕ 上面，得到 ϕ 在 ψ 上的投影， （5）纯态 ψ 的密度算符 ρ ˆϕ =ψ ψ ϕ ρ
ˆ2 = ρ ˆ。 因此， ρ
ˆ 像普通力学量算符一样变换。 ρ ′ = S ρ S −1 （6）表象变换时， ρ
mn
A
n
B
∑C
mn
mn
=1
3、复合系统的密度算符（纯态）
ˆ AB = Ψ ρ
AB AB
Ψ =
m n jk
∑C
* jk
Cmn m
A
n
BA
j
B
k
二、约化密度算符（矩阵） 1、子系统 A 力学量 FA 的平均值 （1）子系统 A 力学量的表示 设 FA 是子系统 A 的一个可观测的力学量（只依赖于子系统 A 的动力学变量） 此时力学量 FA 应表示为
Bloch 球心则是一个不含任何信息的完全随机的混态——垃圾态。
§4.2 密度算符的动力学演化方程 一、密度算符一般动力学方程
ˆ 和一般的算符不同，它不是一个固定的算符，而是依赖于系统所处的状态， 态密度算符 ρ
随时间演化。由薛定谔方程不难得到态密度算符的运动方程 1、薛定谔绘景
ˆ (t ) 1 ˆ dρ ˆ (t ) ] = H (t ), ρ dt i
二、矩阵元的动力学方程
ˆ 的本征态为 n ，则 选取能量表象， H 1 d ρ m n (t ) = (E m − E n ) ρ m n (t ) dt i
ρ m n (t ) = ρ m n (0) exp(−i ω m n t )
ω mn =
Em − En
非对角元以角频率 ω mn 振荡，而对角元不随时间变化。 三、力学量平均值的时间演化方程
2
ˆ 的取值 F 的概率为 W ( F ) = ψ Ψ 则力学量 F k k k 1
（混合态下，有两次平均：态平均与概率平均） 二、密度算符与密度矩阵 1、纯态下密度算符的定义 纯态下如何用态密度算符来描写。
2
p1 + ψ k Ψ2
2
p2
设 ψ 是一归一化的态矢， ψ ψ = 1 。通过 ψ 和他的对偶态矢 ψ 的外积可以构造一个
k k* ρ mn = ∑ p k m Ψk Ψk n = ∑ p k C m Cn k k
四、Bloch 球描述 1、极化矢量 p
p = σ = ψ (t ) σ ψ (t )
2、Bloch 球描述
Bloch 球主要用于双态系统纯态与混态的统一描述。
（1） 、 1/ 2 自旋粒子态的一般表示
1/ 2 自旋粒子任意混态的密度矩阵是迹为 1， 本征值非负的 2 × 2 厄米矩阵。 它总是某两个
正交的两分量态按一定概率的非相干混合。
ψ = e i γ cos

θ
2
0 + e iϕ sin
θ
1 2
其中 θ ,ϕ , γ 都是实数。我们可以省略 exp(iγ ) ，因为它没有任何观测效应。所以有效形式为
ψ = cos
θ
2
0 + e iϕ sin
θ
2
1
59
（2） 1/ 2 自旋粒子密度矩阵的一般表示 双态系统的全部态都可以用 4 个矩阵基 {σ 0 σ 1 σ 2 σ 3 } 展开，其密度矩阵表示为
ρ A = trB ( ρ AB ) = ∑ B j ρ AB j B ，
j =1 N
M
∑
j =1
M
j
B B
j = IB
ρ B = trA ( ρ AB ) = ∑ A i ρ AB i
i =1
， A
∑i
i =1
N
A A
i = IA
（2） 、计算基本步骤 确定 A, B 子系统的基矢 { i
A
} ， { j } ，进确定二体系统的基矢 { i j