数学分析9.6可积性理论补叙

第九章 定积分 6 可积性理论补叙

一、上和与下和的性质

性质1：对同一分割T ，相对于任何点集{ξi }而言，上和是所有积分和的上确界，下和是所有积分和的下确界.即 S(T)=∑=∆∈n 1

i i x )f(ξsup i △x i , s(T)=∑=∆

∈n

1

i i x )f(ξinf i

△x i . 证：由s(T)≤∑=n

1

i i )f(ξ△x i ≤S(T)，可知

相对于任何点集{ξi }，上和与下和分别是全体积分和的上界与下界. 任给ε>0，在各个△i 上有上确界M i ，可选取点ξi ∈△i ，使f(ξi )>M i -a

-b ε

. ∴∑=n

1i i )f(ξ△x i >∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛

n

1i i a -b ε-M △x i =∑=n

1

i i M △x i -∑=n 1i i x △a -b ε=S(T)-ε. ∴S(T)=∑=∆∈n

1

i i x )f(ξsup i △x i . 同理可证：s(T)=∑=∆

∈n

1

i i x )f(ξinf i

△x i .

性质2：设T ’为分割T 添加p 个新分点后所得到的分割，则有 S(T)≥S(T ’)≥S(T)-(M-m)p T ；s(T)≤s(T ’)≤s(T)+(M-m)p T . 即增加分点后，上和不增，下和不减.

证：将p 个新分点同时添加到T ，与逐个添加到T ，得到同样的T ’. 可先取p=1，则新分点将某小区间△k 分成两个小区间△k ’与△k ”. ∴S(T)-S(T 1)=M k △x k -(M ’k △x ’k +M ”k △x ”k )

=M k (△x ’k +△x ”k )-(M ’k △x ’k +M ”k △x ”k )=(M k -M ’k )△x ’k +(M k -M ”k )△x ”k . ∵m ≤M ’k (或M ”k )≤M k ≤M ，

∴0≤S(T)-S(T 1)≤(M-m)△x ’k +(M-m)△x ”k =(M-m)△x k ≤(M-m)T . 依次对T i 增加一个分点得到T i+1，可得

0≤S(T i )-S(T i+1)≤(M-m)i T ≤(M-m)0T , i=0,1,2,…, p-1，T 0=T ，T p =T ’. 将这些不等式依次相加，可得：0≤S(T)-S(T ’)≤(M-m)p T ，即 S(T)≥S(T ’)≥S(T)-(M-m)p T . 同理可证：s(T)≤s(T ’)≤s(T)+(M-m)p T .

性质3：若T ’与T ”为任意两个分割，T=T ’+T ”表示把T ’与T ”的所有分点合并而得的分割，则. S(T)≤S(T ’), s(T)≥s(T ’)；S(T)≤S(T ”), s(T)≥s(T ”). 证：将T 看作T ’或T ”添加新分点后得到的分割，由性质2可知.

性质4：对任意两个分割T ’与T ”，总有s(T ’)≤S(T ”). 证：令T=T ’+T ”，则有s(T ’)≤s(T)≤S(T)≤S(T ”).

注：由性质4可知，对[a,b]上的所有分割来说，所有下和有上界，所有上和有下界，且分别有上确界与下确界，记作S=T

inf S(T), s=T

sup s(T).

通常称S 为f 在[a,b]上的上积分，s 为f 在[a,b]上的下积分.

性质5：m(b-a)≤s ≤S ≤M(b-a).

性质6：(达布定理)上、下积分也是上和与下和在T →0时的极限，即0T lim →S(T)=S ，0

T lim →s(T)=s. 证：任给ε>0，由S 的定义，必存在某一分割T ’使得S(T ’)

ε

.

设T ’由p 个分点所构成，则对另一分割T ，T+T ’至多比T 多p 个分点， ∴S(T)-(M-m)p T ≤S(T+T ’)≤S(T ’)，即S(T)≤S(T ’)+(M-m)p T . 只要取T <

m)p -2(M ε，就有S(T)

ε

≤S+ε，

即S-ε

二、可积的充要条件

定理：(可积的第一充要条件)函数f 在[a,b]上可积的充要条件是：f 在[a,b]上的上积分与下积分相等，即S=s.

证：[必要性]设f 在[a,b]上可积，J=⎰b

a f(x )dx. 由定积分的定义知， 任给ε>0，存在δ>0，只要T <δ，就有|∑=n

1i f (ξi )△x i -J|<ε.

又S(T)与s(T)分别为积分和关于点集{ξi }的上、下确界，∴当T <δ时， 有|S(T)-J|≤ε，|s(T)-J|≤ε，即当T →0时，S(T)与s(T)都以J 为极限. 根据达布定理知，S=s=J.

[充分性]设S=s=J ，由达布定理有：0T lim →S(T)=0T lim →s(T)=J. 任给ε>0， 存在δ>0，只要T <δ，就有：J-ε

1i i )f(ξ△x i ≤S(T)

∴∑=→n

1

i 0

T f lim (ξi )△x i =J ，即f 在[a,b]上可积，且⎰b

a f(x )dx=J.

定理：(可积的第二充要条件)函数f 在[a,b]上可积的充要条件是：任给ε>0，总存在某一分割T ，使得S(T)-s(T)<ε, 即i n

1i i x △ω∑=<ε.