向量与三角综合题类型及解法
2025届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第06讲怎样用向量法解三角函数问题含解析
第06讲 怎样用向量法解三角函数问题一、学问与方法本讲主要探究平面对量与三角函数以及解三角形的综合问题的命题形式与解题思路,主要体现在以下 3 个方面。
（1）题设给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.（2）给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量表达式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,探求值域或最值或参数的取值范围等.（3) 运用向量法解三角形主要是向量的垂直与夹角问题,一对向量垂直与向量所在直线的垂直是一样的,向量的线性运算与向量的坐标运算是求解两向量关系问题的两大途径,关于夹角问题,可以把两个向量的夹角放在三角形中,利用正余弦定理. 三角形的面积公式求解.二、典型例题【例1】(1) .在锐角ABC 中,若137,8,,cos ,sin ,22a b m A n A ⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 且m ⊥n , 则ABC 的面积为().A.C. D.(2) .平面直角坐标系中,角θ满意()34sin,cos ,0,12525OA θθ=-==-,设点B 是角θ终边上一动点,则| OA OB -∣的取值范围为【分析】 第(1)问,要求三角形的面积,只需求出B ∠的正弦值,而这就要借助已知条件两个向量的垂直关系,先求出A ∠, 进而再运用正弦定理求(B ∠或其三角函数值),最终利用三角形的内角定理,找到问题的解. 第(2)问是三角函数定义、二倍角公式与用坐标运算). 两个视角各具特色,作为填空题, 从“形”的角度处理相对简捷.【解析】(1) 1,sin 02m n A A ⊥∴=, 又090,cos 0A A ∠<<∴≠则有tan A =因此60A ∠=.由正弦定理知sin sin a b A B=, 又7,8,60a b A ∠===, 843sin sin6077B ∴==又ABC 为锐角三角形,1cos 7B ∴=.()11sin sin sin cos cos sin 272714C A B A B A B =+=+=+⨯=1sin 2ABCSab C ∴==故选C . （2）【解法1】 由2247sin 2sincos,cos 2cos 12225225θθθθθ==-=-= 可得 θ 为第四象限的角,且 sin 24tan cos 7θθθ==-. ∴ 点 B 在射线 ()2407y x x =-, 即 ()24700x y x += 上运动.又 OA OB BA -=, 而点 A 到射线的距离为 725d ==, 故所求取值范围为 7,25∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭. 【解法2】设OB t =, 由2247sin 2sincos,cos 2cos 12225225θθθθθ==-=-=, 可得θ为第四象限的角, 324cos<,cos sin 225OA OB πθθ⎛⎫∴=-=-= ⎝⎭>⎪. 由2222248||212cos<,125OA OB OA OB OA OB t t OA OB t t -=+-⋅=+-=+>-224494925625625t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（当且仅当2425t =时等号成立），故OA OB -的取值范围为7,25∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.【解法3】 由 2247sin 2sincos,cos 2cos 12225225θθθθθ==-=-=设 (0)OB t t =>, 则依据三角函数定义可得点 B 坐标为 724,2525t t ⎛⎫-⎪⎝⎭.由此可得 2222227242477||012525252525OA OB t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(当且仅当 2425t = 时等号成立).故 OA OB - 的取值范围为 7,25∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.【例2】（1）已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 且()3cos cos cos 2αβαβ+-+=, 求α和β的值; (2) 求246cos cos cos 777πππ++的值. 【解析】(1) 原条件可化为()3sin sin 1cos cos cos 2αβαβα+-=-. 构造向量()()sin ,1cos ,sin ,cos m n ααββ=-=由m nm n ⋅得23cos sin 2αα-+解得211 cos 0,cos ,0,222πααα⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3πα∴=.3παββ=根据和的对称性可知(2) 如图129-所示,将边长为 1 的正七边形ABCDEFO 放人直角坐标系中,则()224466 1,0,cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,sin 777777OA AB BC CD ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8810101212cos ,sin,cos ,sin ,cos ,sin .777777DE EF FO ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0OA AB BC CD DE EF FO ++++++=故2468101224 1coscos cos cos cos cos ,0sin sin 77777777ππππππππ⎛+++++++++ ⎝()681012sinsin sin sin 0,07777ππππ⎫+++=⎪⎭即246810121coscos cos cos cos cos 0777777ππππππ++++++=，① 86104122 coscos ,cos cos ,cos cos 777777ππππππ===由三角函数诱导公式可得 ∴①式可化为24612cos cos cos 0.777πππ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭2461coscos cos 7772πππ∴++=-【例3】已知()()() cos ,sin ,cos ,sin ,sin 2sin ,cos 2cos a b x x c x x αααα===++，其中0x απ<<<。
例谈用向量解与三角形的“心”有关的综合题
（ 若 ｎ＋≥口 ， 口的取值 范 围． Ⅱ） 求
改编题 目： （ 中 ｂ ＝Ｓ 一３ 将 Ｉ） ”的铺 垫 撤去， 直接求 通项公 式．
２ （ ０ ８年 四 川 卷 理 科 ２ ．２０ Ｏ题 ） 数 列 设 ｛ 的前几项 和为 Ｓ ， ｎ） 已知 ６ 。 （一１ ｎ 一２一 ６ ）
数 学教 学 研 究
２ ３
＝
号
１（ ＋ ６ 口 ）
顶 角 Ｄ， 以 ０ ＯＤ 再 Ｃ，
为邻边 作 平 行 四边 形 ， 它 的第 ４个顶 点 为 Ｈ． （ 若 一口 Ｉ） ，
一 ｂ Ｏｅ — ｃ 用 ａ， ｃ ， ， ｂ，
Ｄ
＝
２
一
÷ ， ｃ ，
一 一
＝ 一 一 ｃ ６。 ～
（－） ÷ １ ｈ＝ Ａ
消去 得 百 １十 ＝３ １： ：
．
．
髓 ＝（＋６ （－ｂ ｃ ）ｃ ）
一ｃ一ｂ 一 ｌ Ｉ一 ｌ ｌ 。 。 ｂ ｃ ．
因为 ０为△ＡＢＣ的外 心 ， 以 所
Ｓ．
３ 课 堂小节 ， 总结 出一 般性 问题 的处理 方法
１对 Ｓ 一ｋ ） ａ ＋６既 可 以通 过递 归 写 出
Ｓ ＝ｋ ＋６ 两式 相 减 ， 到关 于 ｛ 数 ａ ， 得 口｝
列的递 推关 系式 ， 可 以倒用 ａ 一Ｓ 一Ｓ一 也
转 化为关 于｛ 的数 列进行 处理． Ｓ）
２ ２
数 学教 学 研 究
第 ２ 卷 第 ３期 ９
２１ ０ ０年 ３月
例谈 用 向量解 与三角 形的“ 有关 的综 合题 心＂
佘世 庆 李 学文
（ ． 肃 省 武威 第 十 五 中学 ７ ３０ １甘 ３ ００ ・． ２ 宁夏 同心 回民 中学 ７ １０ ） ５ ３０
-三角函数三角形平面向量高考常考14种题型解题方法
三角函数三角形平面向量高考常考题型解题方法本专题要特别小心： 1.平面向量的几何意义应用 2. 平面向量与三角形的综合 3. 三角形的边角互化4.向量的数量积问题等综合问题5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题6.三角形中角的范围7.正余弦定理综合。
【题型方法】（一）考查平面向量基本定理例1. 设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是（ ） A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =-【解析】∵3BC CD = ∴AC −−AB =3(AD −−AC ) ∴AD =43AC −−13AB . 选C练习1．设四边形ABCD 为平行四边形，，.若点M ，N 满足，，则（ ）A ．20B ．15C ．9D ．6【解析】不妨设该平行四边形为矩形，以为坐标原点建立平面直角坐标系 则，故练习2. 如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3AB AC=（二）考察数形结合思想（如：向量与圆等图形的结合） 例2. 已知点A ,B ,C 在圆上运动，且ABBC ，若点P 的坐标为（2，0），则的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【解析】由题意，AC 为直径，所以当且仅当点B 为（-1，0）时，取得最大值7选B练习1. 在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足==, = = =–2，动点P ，M 满足=1，=，则的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】甴已知易得以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示则设由已知，得又，它表示圆上的点与点的距离的平方的，选B练习2. 在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为（ ） A ．3 B ．22 C ．5 D ．2 【解析】如图，建立平面直角坐标系设()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 根据等面积公式可得圆的半径是25，即圆的方程是()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=若满足AP AB AD λμ=+，即21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==- ，所以12xy λμ+=-+设12x z y =-+ ，即102xy z -+-= 点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心到直线的距离d r ≤，即221514z -≤+ ，解得13z ≤≤ 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，选A（三）．考查向量的数量积 例3. 已知向量,则ABC =（ ）A ．30B ．45C ．60D ．120 【解析】由题意，得，所以，选A【小结】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题练习1. 已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A ．B ．C ．D ．【解析】以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系则A （0，2），B （﹣2，0），C （2，0），设P （x ，y ）则=（﹣x ，2﹣y ），=（﹣2﹣x ，﹣y ），=（2﹣x ，﹣y ）所以•（+）=﹣x •（﹣2x ）+（2﹣y ）•（﹣2y ）=2x 2﹣4y +2y 2=2[x 2+（y ﹣）2﹣3]所以当x =0，y =时，•（+）取得最小值为2×（﹣3）=﹣6，选D练习2.在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为 . 【解析】因为1,9DF DC λ=12DC AB = 119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==；AE AB BE AB BC λ=+=+19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+ ()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒21172117299218921818λλλλ=++≥⋅+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918BAD C E（四）考查三角形中的边角互化例 4. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ， b ， c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A = 【解析】()sin 2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A练习1. 在中，角，，所对应的边分别为，，.已知，则（）A．一定是直角三角形B．一定是等腰三角形C．一定是等腰直角三角形D．是等腰或直角三角形【解析】由题，已知，由正弦定理可得：即又因为所以即由余弦定理：，即所以所以三角形一定是等腰三角形，选B练习2. 在中，，为边上的一点，且，若为的角平分线，则的取值范围为（）A．B．C．D．【解析】因为，为的角平分线，所以在中，，因为，所以在中，，因为，所以，所以则因为，所以所以，则即的取值范围为,选A练习3. 在锐角三角形ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知,,,则的面积（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】由题，，所以所以 又因为锐角三角形ABC ，所以 由题，即根据代入可得，，即再根据正弦定理： 面积故选D练习4. 在锐角ABC ∆中，角AB C ，，的对边分别为a b c ，，．且cos cos A B a b +=33Ca，23b =a c +的取值范围为_____．【解析】cos cos 33A B C a b a +=23cos cos sin 3b A a B C ∴+= ∴由正弦定理可得： 23sin cos sin cos sin 3B A A B BC +=，可得：23sin()sin sin A B C B C +==，3sin B ∴=， 又ABC ∆为锐角三角形，3B π∴=，∴可得：sin sin 24(sin sin )4sin 4sin sin sin 3b A b C a c A C A A B B π⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎝⎭33A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2,3A A π-均为锐角，可得：,62636A A πππππ<<-<-<，(6,43]a c ∴+∈.练习5. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos cos sin sin sin ab Ca Bb A a A b Bc C+=+-，且3a b +=，则c 的取值范围为________________． 【解析】因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ 所以由正弦定理可得cos cos a B b A c +=， 又因为sin cos cos sin sin sin ab C a B b A a A b B c C+=+-，所以由正弦定理可得222abcc a b c =+- 即222a b c ab +-=，所以222c a b =+-2()3ab a b ab =+-， 因为3a b +=，所以293c ab =-，因为29()24a b ab +≤=， 当且仅当23==b a 时取等号，所以27304ab -≤-<， 所以99394ab ≤-<，即2994c ≤<，所以332c ≤<，故c 的取值范围为3[,3)2（五）三角形与向量综合 例5. 在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.【解析】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A .练习1. 已知中，为的重心，则（）A．B．C．D．【解析】因为中，为的重心，所以，由余弦定理可得：且所以=练习2. 下列命题中，①在中，若，则为直角三角形；②若，则的最大值为；③在中，若，则；④在中，，若为锐角，则的最大值为．正确的命题的序号是______【解析】①在中，若，可得或，则为直角或钝角三角形，故①错；②若时，即，即垂直，则的最大值为，故②正确；③在中，若，，即，即，，即为，由，可得，故③正确；④在中，，即为，即为，可得，即，可得锐角，可得时，的最大值为，故④正确故答案为：②③④练习3. 在ABC 中， 60A ∠=︒， 3AB =， 2AC =. 若2BD DC =， ()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为______________. 【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ 则()1221233493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⎛⎫⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒= ⎪⎝⎭（六）向量与三角函数综合例6. 自平面上一点O 引两条射线OA ，OB ，点P 在OA 上运动，点Q 在OB 上运动且保持PQ 为定值a （点P ，Q 不与点O 重合），已知3AOB π∠=，7a =，则3||||PQ PO QP QOPO QO ⋅⋅+的取值范围为（ ）A ．1,72⎛⎤⎥⎝⎦B ．7,72⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．1,72⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．7,72⎛⎤- ⎥ ⎝⎦【解析】设OPQ α∠=，则23PQO πα∠=- 322cos 3cos 7cos 3cos 33PQ PO QP QO PQ QP POQO ππαααα⋅⋅⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭()3331337cos cos 7cos 7sin 22ααααααϕ⎫⎫=-=-+=-⎪⎪⎪⎪⎭⎭其中3tan 9ϕ=，则7sin 14ϕ=20,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴当()sin 1αϕ-=时，原式取最大值7 ()()7sin sin 0sin 14αϕϕϕ->-=-=-，∴()77sin 2αϕ->- 37,72PQ PO QP QO PO QO ⎛⎤⋅⋅+∈- ⎥ ⎝⎦∴，选D练习1. 在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．【解析】以为轴，建立直角坐标系，则， 由的模为与与的夹角为，且知，，可得，，由可得 ，（七）三角形中的最值 例7. 在中，内角所对的边分别为．已知，，，设的面积为，，则的最小值为_______． 【解析】在中，由得， 因为利用正弦定理得，再根据，可得，，，由余弦定理得，求得，所以，所以 ，所以，当且仅当，即时取等，所以 的最小值为。
用向量法解三角几何
用向量法解三角几何本文介绍了一种用向量法解决三角几何问题的方法。
向量法是一种准确且直观的解题方法，可以应用于各种三角形相关的问题。
1. 向量表示为了使用向量法解决三角几何问题，首先需要将几何图形中的点和向量表示出来。
对于三角形ABC，可以用向量AB、向量AC 和向量BC表示三个边。
2. 向量运算通过向量的加法、减法和数量乘法，可以进行各种三角形相关的运算。
例如，两个向量的和表示两个边的向量和，而两个向量的差表示两个边的向量差。
3. 向量积向量积是向量法解决三角几何问题中的重要概念。
向量积有两种形式：数量积和向量积。
数量积表示两个向量之间的夹角关系，向量积表示两个向量所构成的平行四边形的面积。
4. 应用示例下面通过一个应用示例来说明如何用向量法解决三角几何问题。
已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(1, 2)，B(3, 3)和C(2, 4)，求三角形ABC的面积。
解：首先将点A、B和C表示为向量。
向量AB = B - A = (3, 3) - (1, 2) = (2, 1)，向量AC = C - A = (2, 4) - (1, 2) = (1, 2)。
然后计算向量AB和向量AC的向量积。
向量积的大小等于向量AB和向量AC的数量积的绝对值乘以它们夹角的正弦值。
根据向量的定义，向量积的大小等于平行四边形ABCB'的面积。
平行四边形ABCB'的底边AB的长度为|AB| = √(2^2 + 1^2) = √5，高为|AC|·sin(∠BAC) = √(1^2 + 2^2)·sin(∠BAC) = √5·sin(∠BAC)。
因此，三角形ABC的面积等于平行四边形ABCB'的面积的一半，即S = (1/2)·√5·√5·sin(∠BAC) = 5·sin(∠BAC)。
5. 总结向量法是一种有效而简洁的解题方法，适用于各种三角几何问题。
专题03 三角函数与平面向量综合问题(答题指导)(解析版)
专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导）【题型解读】题型特点命题趋势▶▶题型一：三角函数的图象和性质1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sinωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【素养解读】本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养，将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数，从而便于对性质的研究，考查数学建模的核心素养．【突破训练1】 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)f (x )＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝ －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32＝sin 5π3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤sin 5π2＝1，所以－1≤f (x )≤32，即f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.▶▶题型二 解三角形1．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题． 2．用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步：找条件，寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．第二步：定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化． 第三步：求结果，根据前两步分析，代入求值得出结果．第四步：再反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性．【例2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sin Csin B ． (1)求A ；(2)若a ＝3，求b ＋2c 的最大值． 【答案】见解析【解析】(1)cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sinCsinB ＝cos2(C ＋B)－sinCsinB ，则cos(C ＋B)[cos(C －B)－cos(C ＋B)]＝－sinCsinB ，则－cosA·2sinCsinB＝－sinCsinB ，可得cosA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A＝60°.(2)由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝23，得b ＋2c ＝23(sinB ＋2sinC)＝23[sinB ＋2sin(120°－B)]＝23(2sinB＋3cosB)＝221sin(B ＋φ)，其中tanφ＝32，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3得B ＋φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，7π6，所以sin(B ＋φ)的最大值为1，所以b ＋2c 的最大值为221.【素养解读】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系，从而求得三角形的部分度量关系，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．【突破训练2】 (2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知和余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝13，所以b ＝13.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos 2A ·sin π4＝7226.▶▶题型三 三角函数与平面向量的综合1．三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．2．(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响． 【例3】 (2019·佛山调考)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值． 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.因为0＜A ＜π，所以π3＜2A ＋π3＜7π3，所以2A ＋π3＝π，即A ＝π3.因为a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①因为向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sinC ． 由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.【突破训练3】(2019·湖北八校联考) 已知△ABC 的面积为S ，且32AB →·AC →＝S ，|AC →－AB →|＝3.(1)若f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω＞0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，求△ABC 的面积S ；(2)求S ＋3 3 cos B cos C 的最大值． 【答案】见解析【解析】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为32AB →·AC →＝S ，所以32bc cos A ＝12bc sin A ， 解得tan A ＝3，所以A ＝π3.由|AC →－AB →|＝3得|BC →|＝a ＝3.(1)因为f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω>0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离T ＝2，即2πω＝2，解得ω＝π，故f (x )＝2cos(πx ＋B )．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝12.因为B 是△ABC 的内角，所以B ＝π6，从而△ABC 是直角三角形，所以b ＝3，所以S △ABC ＝12ab ＝332.(2)由题意知A ＝π3，a ＝3，设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝a sin A ＝ 332＝23，解得R ＝3，所以S＋33cos B cos C ＝12bc sin A ＋33cos B cos C ＝34bc ＋33cos B cos C ＝33sin B sin C ＋33cos B cos C ＝33cos(B －C )，故S ＋33cos B cos C 的最大值为3 3.。
向量与三角函数创新题型的解题技巧
向量与三角函数创新题型的解题技巧导言向量与三角函数是高中数学中重要的概念和工具。
在解题过程中，我们经常会遇到创新型的题目，需要我们运用向量和三角函数的知识来解决。
然而，这些题目往往较为复杂和难以直接套用常规的解题方法。
本文将介绍一些解题技巧，帮助读者更好地解答向量与三角函数创新题型。
技巧一：理解向量运算在解答向量与三角函数创新题型时，熟练掌握向量运算是非常重要的。
向量运算包括向量加法、向量减法和向量数乘。
首先，我们需要清楚地理解向量的几何意义，即向量是有方向和大小的量，并可以表示为一个有向线段。
在题目中，通常会涉及向量的平移、旋转以及投影等运算。
理解这些运算的几何意义可以帮助我们更好地理解问题，从而找到解题的关键。
技巧二：灵活运用平移与旋转许多向量与三角函数创新题型涉及到平移和旋转操作。
平移是指将向量的起点平移至其他位置，旋转是指将向量绕定点旋转一定的角度。
在解题过程中，我们可以通过平移和旋转来简化问题，使得解题更加容易。
例如，对于一个平面上的向量问题，我们可以通过平移将向量的起点设置为坐标原点，从而大大简化计算。
类似地，我们还可以通过旋转来使向量与坐标轴对齐，从而化简计算过程。
技巧三：利用三角函数的性质三角函数是向量与三角函数创新题型中经常会涉及到的概念。
在解答这类题目时，熟练掌握三角函数的性质是非常重要的。
首先，我们需要理解三角函数的定义和图像。
例如，正弦函数和余弦函数的图像是周期性的，周期为2π。
其次，我们还需要掌握三角函数的基本关系式，如正弦定理、余弦定理和正切函数的定义等。
利用这些性质和关系式，我们可以将问题转化为一些简单的代数方程或三角方程，然后再进行求解。
技巧四：巧用向量之间的关系在解决向量与三角函数创新题型时，我们经常会用到一些向量之间的关系。
例如，向量的数量积和叉积可以帮助我们求解角度和长度等问题。
在应用这些关系式时，我们需要注意向量的顺序和方向，以及向量之间的运算法则。
灵活运用这些关系式可以帮助我们简化计算，从而更快地解决问题。
向量与三角综合题类型及解法
数学爱好者２００７·６专业精心策划Ｓ高一数学爱好者名师点金ＭｉｎｇＳｈｉＤｉａｎＪｉｎ平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系．如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性．若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理，可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度．下面举例说明．一、求三角式的值例１设ａ!＝（１＋ｃｏｓα，ｓｉｎα），ｂ"＝（１－ｃｏｓβ，ｓｉｎβ），ｃ!＝（１，０），α∈（０，π），β∈（π，２π），ａ!与ｃ!的夹角为θ１，ｂ"与ｃ!的夹角为θ２，且θ１－θ２＝π６，求ｓｉｎα－β４的值．解析因为ａ!＝（１＋ｃｏｓα，ｓｉｎα）＝２（ｃｏｓ２α２，２ｓｉｎα２·ｃｏｓα２）＝２ｃｏｓα２（ｃｏｓα２，ｓｉｎα２），又因为ａ!与ｃ!的夹角为θ１，所以θ１＝α２，又ｂ"＝（１－ｃｏｓβ，ｓｉｎβ）＝（２ｓｉｎ２β２，２ｓｉｎβ２ｃｏｓβ２）＝２ｓｉｎβ２（ｓｉｎβ２，ｃｏｓβ２），而ｂ"与ｃ!的夹角为θ２，所以θ２＝β２－π２，又θ１－θ２＝π６$α２－β２＋π２＝π６，所以α－β２＝－π３，所以ｓｉｎα－β４＝ｓｉｎ（－π６）＝－１２．二、求两向量所成的角例２已知ａ!＝（ｃｏｓα，ｓｉｎα），ｂ"＝（ｃｏｓβ，ｓｉｎβ），其中０＜α＜β＜π，（１）求证：ａ!＋ｂ"与ａ!－ｂ"互相垂直；（２）若ｋａ!＋ｂ"与ｋａ!－ｂ"（ｋ≠０）的长度相等，求β－α．解析（１）因为（ａ!＋ｂ"）·（ａ!－ｂ"）＝ａ!２－ａ!·ｂ"＋ｂ"·ａ!－ｂ"２＝ａ!２－ｂ"２＝ａ!２－ｂ"２＝ｃｏｓ２α＋ｓｉｎ２α&－ｃｏｓ２β＋ｓｉｎ２β&＝１－１＝０，所以ａ!＋ｂ"与ａ!－ｂ"互相垂直．方法技巧向量与三角综合题类型及解法◇辽宁省海城市大屯镇育英学校张恩强"#$数学爱好者２００７·６专业精心策划Ｓ高一数学爱好者ＭｉｎｇＳｈｉＤｉａｎＪｉｎ名师点金Ａｐｅｃｕｌｉａｒｂｅａｕｔｙｒｅｉｇｎｓｉｎｔｈｅｒｅａｌｍｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，（ａｂｅａｕｔｙｗｈｉｃｈｒｅｓｅｍｂｌｅｓｎｏｔｓｏｍｕｃｈｔｈｅｂｅａｕｔｙｏｆａｒｔａｓｔｈｅｂｅａｕｔｙｏｆｎａｔｕｒｅ）ａｎｄｗｈｉｃｈａｆｆｅｃｔｓｔｈｅｒｅｆｌｅｃｔｉｖｅｍｉｎｄ，ｗｈｉｃｈｈａｓａｃｑｕｉｒｅｄａｎａｐｐｒｅｃｉａｔｉｏｎｏｆｉｔ，ｖｅｒｙｍｕｃｈｌｉｋｅｔｈｅｌａｔｅｒ．一种奇特的美统治着数学王国，这种美不像艺术之美而与自然之美更为类似，她深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏，与自然之美是十分相象的．———库默（２）ｋａ!＋ｂ"＝（ｋｃｏｓα＋ｃｏｓβ，ｋｓｉｎα＋ｓｉｎβ），ｋａ!－ｂ"＝（ｋｃｏｓα－ｃｏｓβ，ｋｓｉｎα－ｓｉｎβ），所以ｋａ!＋ｂ"＝ｋ２＋２ｋｃｏｓ（β－α）＋１#，ｋａ!－ｂ"＝ｋ２－２ｋｃｏｓ（β－α）＋１#，因为ｋａ!＋ｂ"＝ｋａ!－ｂ"，所以ｋ２＋２ｋｃｏｓ（β－α）＋１＝ｋ２－２ｋｃｏｓ（β－α）＋１，有２ｋｃｏｓ（β－α）＝－２ｋｃｏｓ（β－α），因为ｋ≠０，故ｃｏｓ（β－α）＝０，又因为０＜α＜β＜π，０＜β－α＜π，所以β－α＝π２．三、判断三角形的形状例３已知在△ＡＢＣ中，Ａ&’Ｂ＝Ａ&’Ｃ，且２Ａ&’Ｂ·Ｃ&’Ａ＋Ａ&’Ｂ２＝０，判断△ＡＢＣ的形状．解析因为２Ａ&’Ｂ·Ｃ&’Ａ＋Ａ&’Ｂ２＝０，所以２Ａ&’Ｂ·Ａ&’Ｃ－Ａ&’Ｂ２＝０，所以Ａ&’Ｂ·Ａ&’Ｃ＝１２Ａ&’Ｂ２，所以由向量的夹角公式，得ｃｏｓＡ＝Ａ&’Ｂ·Ａ&’ＣＡ&’Ｃ·Ａ&’Ｂ＝１２Ａ&’Ｂ２Ａ&’Ｂ２＝１２，所以Ａ＝６０°，又Ａ&’Ｂ＝Ａ&’Ｃ，所以△ＡＢＣ为等边三角形．四、求向量的模例４△ＡＢＣ中，三个内角分别是Ａ、Ｂ、Ｃ，向量ａ!＝（５#２ｃｏｓＣ２，ｃｏｓＡ－Ｂ２），当ｔａｎＡ·ｔａｎＢ＝１９时，求ａ!．解析因为ａ!＝（５#２ｃｏｓＣ２，ｃｏｓＡ－Ｂ２），则ａ!２＝５４ｃｏｓ２Ｃ２＋ｃｏｓ２Ａ－Ｂ２＝５４ｓｉｎ２Ａ＋Ｂ２＋ｃｏｓ２Ａ－Ｂ２＝５４·１－ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）２＋１＋ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）２＝１８［９＋４ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）－５ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）］＝１８（９＋４ｃｏｓＡｃｏｓＢ＋４ｓｉｎＡｓｉｎＢ－５ｃｏｓＡｃｏｓＢ＋５ｓｉｎＡｓｉｎＢ）＝１８（９＋９ｓｉｎＡｓｉｎＢ－ｃｏｓＡｃｏｓＢ），又ｔａｎＡｔａｎＢ＝１９，即ｓｉｎＡｓｉｎＢｃｏｓＡｃｏｓＢ＝１９，所以９ｓｉｎＡｓｉｎＢ＝ｃｏｓＡｃｏｓＢ．所以ａ!２＝９８，故ａ!＝３２#４．五、其他综合问题例５若向量ａ!ｎ＝（ｃｏｓ２ｎθ，ｓｉｎｎθ），ｂ"ｎ＝（１，２ｓｉｎｎθ）（ｎ∈Ｎ＊），试判断数列｛ａ!ｎ·ｂ"ｎ２－１｝是等差数列还是等比数列？解析因为ａ!ｎ＝（ｃｏｓ２ｎθ，ｓｉｎｎθ），ｂ"ｎ＝（１，２ｓｉｎｎθ）（ｎ∈Ｎ＊），所以ａ!ｎ·ｂ"ｎ２－１＝（ｃｏｓ２ｎθ，ｓｉｎｎθ）·（１，２ｓｉｎｎθ）２－１＝ｃｏｓ２ｎθ＋２ｓｉｎ２ｎθ２－１＝１－２ｓｉｎ２ｎθ＋２ｓｉｎ２ｎθ２－１＝１－１＝０，所以数列｛ａ!ｎ·ｂ"ｎ２－１｝是等差数列．ｍｉｎｇｒｅｎｍｉｎｇｙａｎ"#$。
(完整版)向量与三角,不等式等知识综合应用
第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用常熟市中学 蔡祖才一、高考要求平面向量与三角函数、不等式等知识的综合应用是高考的主要考查内容之一．掌握向量的几何表示、向量的加法与减法和实数与向量的积,掌握平面向量的坐标运算、平面向量的数量积极其几何意义，掌握向量垂直的条件,并且能熟练运用,掌握平移公式．注重等价转化、分类讨论等数学思想的渗透． 二、考点解读考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力．考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一． 三、课前训练1．把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是 （ ）(A)（1－y ）sin x +2y －3=0 (B)（y －1）sin x +2y －3=0 (C)（y +1）sin x +2y +1=0 (D) －(y +1)sin x +2y +1=02．函数y =sin x 的图象按向量a =（32π-，2）平移后与函数g （x ）的图象重合，则g （x ）的函数表达式是 （ ） （A ）cos x -2 （B ）-cos x -2 （C ）cos x +2 （D ）-cos x +23．已知向量a = (1，sin θ)，b = (1，cos θ)，则 | a - b | 的最大值为．4．如图，函数y =2sin(πx+φ),x ∈R,(其中0≤φ≤2π)的图象与y 轴交于点（0，1）． 设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，则PM PN u u u u r u u u r与的夹角余弦值为 ．四、典型例题例1 已知a =（3sin ωx ，cos ωx ），b =（cos ωx ，cos ωx ）（ω>0），记函数f (x )= a · b ，且f (x )的最小正周期是π，则ω= （ ）(A) ω=1 (B) ω=2 (C) 21=ω ( D) 32=ω 例2 在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则△OAB 的面积达到最大值时，=θ （ ）(A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π例3 设向量a r ＝(sin x ，cos x )，b r ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数f(x)＝a r ·(a r ＋b r)．使不等式f (x )≥23成立的x 的取值集合为 ．例4 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则()OA OB OC ⋅u u u r u u u r u u u r+的最小值是 ．例5 已知函数f (x )=a +b sin2x +c cos2x 的图象经过点A （0，1），B （4π，1）,且当x ∈［0, 4π］时，f (x )取得最大值22－1．（Ⅰ）求f (x )的解析式；（Ⅱ）是否存在向量m ，使得将f (x )的图象按向量m 平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个m ;若不存在，说明理由．例6 已知向量m =(cos ,sin )θθ和n =sin ,cos ),(,2)θθθππ∈，且| m + n |=,5求cos()28θπ+的值．第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 过关练习1．已知i r ，j r 为互相垂直的单位向量，2a i j =-r r r ，b i j λ=+r r r ，且||||a b r r与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ）（A ）),21(+∞ （B ）)21,2()2,(-⋃--∞ （C ）),32()32,2(+∞⋃- （D ）)21,(-∞2．在直角坐标系中，O 是原点，OQ =(－2＋cos θ，－2＋sin θ) (θ∈R)，动点P 在直线x =3上运动，若从动点P 向Q 点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为 （ ）（A ） 4 （B ） 5 （C ） 26 （D ）263．已知||2||0a b =≠r r ，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=r r r 有实根，则a r 与b r 的夹角的取值范围是 （ ）（A ）[0，6π] （B ）[,]3ππ （C ）2[,]33ππ （D ）[,]6ππ 4．设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，点P 是线段AB 上的一个动点，AP AB λ=u u u r u u u r，若OP AB PA PB ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则实数λ的取值范围是 （ ）（A ）112λ≤≤ （B ）11λ-≤≤（C ）1122λ≤≤+ （D ）1122λ-≤≤+ 5． 已知向量a r =(cos α，sin α)，b r =(cos β，sin β)，且a b ≠±r r ，那么a b +r r 与a b-r r的夹角的大小是 ．6． 已知向量].2,0[),2sin ,2(cos ),23sin,23(cos π∈-==x x x x x 且若||2)(x f +-⋅=λ的最小值为32-，则λ的值为 ．7．已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量(m =-u r(cos ,sin ),n A A =r 且 1.m n ⋅=u r r（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tanC ． 8．设函数f (x )=a b ⋅r r ，其中向量a r =(2cos x ，1)，b r=(cos x ，3sin2x )，x ∈R ．（Ⅰ）若f(x)=1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ； （Ⅱ）若函数y =2sin2x 的图象按向量c r =(m ，n )(|m |<2π)平移后得到函数y =f (x )的图象，求实数m 、n 的值．第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 参考答案课前训练部分1.C2.D3.4.1517典型例题部分例1 A例2 1111sin cos (1cos )(1sin )222ABC S θθθθ∆=----- 当2θπ=即2πθ=时,面积最大.例3 3,88x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭例4 如图,OM OA OC OB OA -≥-=⋅⋅=+⋅2)(=.222-=⋅- 即)(+⋅的最小值为:-2.例5 （Ⅰ）由题意知⎩⎨⎧=+=+,1,1b a c a ∴b =c =1－a , ∴f (x )=a +2(1－a )sin(2x +4π).∵x∈［0,4π］, ∴2x +4π∈［4π,4π3］.当1－a ＞0时，由a +2(1－a )=22－1, 解得a =－1; 当1－a ＜0时， a +2(1－a )·22=22－1,无解; 当1－a =0时，a =22－1，相矛盾. 综上可知a =－1. ∴f (x )=－1+22sin(2x +4π). (Ⅱ)∵g (x )=22sin2x 是奇函数，将g (x )的图象向左平移8π个单位，再向下平移一个单位就可以得到f (x )的图象. 因此，将f (x )的图象向右平移8π个单位，再向上平移一个单位就可以得到奇函数g(x )=22sin2x 的图象.故m u r =(8π，1)是满足条件的一个向量.例6 (cos sin sin )m n θθθθ+=-++u r rm n +=u r r由已知m n +=u r r ,得7cos()425πθ+=又2cos()2cos ()1428πθπθ+=+- 过关练习部分1.B2.C3.B4.B 5、2π6. 217（Ⅰ）∵1m n ⋅=u r r∴(()cos ,sin 1A A -⋅= cos 1A A -=12sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-= ∴3A π= （Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =8．（Ⅰ）依题设可知，函数的解析式为f (x )=a b ⋅r r ＝2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x +6π).由1+2sin(2x +6π)=1－3，可得三角方程sin(2 x +6π)=－23．∵-3π≤x ≤3π，∴-2π≤2x +6π≤65π，∴2x +6π=-3π，即x =-4π． （Ⅱ）函数y =2sin2x 的图象按向量c r=(m ，n )平移后得到函数y =2sin2(x －m )+n 的图象，即函数y =f(x)的图象.由（１）得 f(x)=2sin2(x +12π)+1. ∵|m |<2π，∴12m π=-， 1.n =。
三角与向量的综合问题
江苏真题剖析
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？
？
书山有路 勤乐径，
学海无涯 苦趣舟。
书到用时 方恨少，
事非经过 不知难。
共 勉
谢 谢
题型三 三角函数与平面向量的模的综合
此类题型主要是利用向量模的性质| |2＝ 2，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算进行求解.
【分析】 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题则可变角α＝(α－β)＋β，然后就须求sin(α－β)与cosβ即可.
【分析】 第(Ⅰ)小题从向量垂直条件入手，建立关于α的三角方程，再利用同角三角函数的基本关系可求得tanα的值；第(Ⅱ)小题根据所求得的tanα的结果，利用二倍角公式求得tan 的值，再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果．
【解】（Ⅰ）∵ ⊥ ，∴· ＝0．而 ＝（3sinα，cosα），＝(2sinα, 5sinα－4cosα)， 故 · ＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0． 由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－ ，或tanα＝ ． ∵α∈（ ，2π），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－ ．
题型五 解斜三角形与向量的综合
【分析】 第(Ⅰ)小题利用数量积公式建立关于角A的三角函数方程，再利用二倍角公式求得A角，然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于b、c的方程组求取b＋c的值；第(Ⅱ)小题利用正弦定理及三角形内角和定理建立关于B的三角函数式，进而求得b＋c的范围.
【例5】已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若 ＝(－cos ，sin )，＝(cos ，sin )，a＝2 ，且 · ＝ ． （Ⅰ）若△ABC的面积S＝ ，求b＋c的值． （Ⅱ）求b＋c的取值范围．
2021高考数学必考点解题方式秘籍 向量与三角 理(1)
2021高考理科数学必考点解题方式秘籍：向量与三角函数一．专题综述三角函数高中数学传统的内容，而平面向量那么是新添内容，此刻高考对这两部份的考查完美的表现了传统和现代的结合。
1.考纲要求三角函数：（1）能灵活运用三角函数的有关公式，对三角函数进行变形与化简；（2）明白得和把握三角函数的图像及性质；（3）能用正弦定理、余弦定明白得三角形问题。
平面向量：（1）能灵活运用向量的数量积解决有关问题；（2）明白得和把握向量的几何运算、坐标运算；（3）明白得和把握平面向量的平行和垂直关系。
2.考题设置与分值：高考对这两部份的考试一样有1-2个客观题和1个解答题（第16题），总分值20分左右；3.考试重点及难度：（1）三角函数要紧考查:①灵活运用公式的能力,专门是单项化公式;②在客观题中，突出考察三角函数的图像和性质;③解三角形也是高考的一个重点.（2）平面向量的考察偏重：①平面向量的运算，专门是数量积的运算（坐标运算）；要关注各类运算的几何意义和物理意义，要擅长在几何图形中寻求各向量的关系；②向量的平行、垂直的充要条件的运用；（3）三角函数与平面向量的综合：将三角函数和向量综合在一路进行考查是此刻高考的趋势（解答题16题），这表现了在知识的交汇点命题的原那么，由于这种题放在16题的位置，是较容易的题总之，高考对三角和向量的考查小题多数以考察大体公式、大体性质为主，解答题以基础题为主，中档题可能有所涉及，压轴题可能性不大。
二．考点选讲【考点1】三角函数的图像和性质【例1】已知函数sin()cos(),1212y x xππ=--那么以下对函数的判定正确的选项是（）A．周期为2π,其图像的一个对称中心是(,0) 12π；B．周期为π,其图象的一个对称中心是(,0) 12πC．周期为2π,其图象的一个对称中心是(,0)6π；D．周期为π,其图象的一个对称中心是(,0) 6π【解析】)12cos()12sin(ππ--=xxy=)62sin(21π-x因此ππ==22T，对称中心是(,0)12π。
高考数学二轮复习 第三课时 向量与三角的交汇的综合问题解法
高考数学二轮复习 第三课时 向量与三角的交汇的综合问题解法当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。
在此基础上，可以设计出有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题。
此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种： ①利用向量平行或垂直的充要条件， ②利用向量数量积的公式和性质.一、向量与三角函数性质的交汇 【例1】 已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则|2|a b -的最大值是 4 。
【例2】 设函数f(x)=a ·b ，其中向量a =(2cos x ，1)，b =(cos x ，3sin2x )，x∈R.(Ⅰ)若f(x)=1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ； (Ⅱ)若函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)(|m|<2π)平移后得到函数y=f(x)的图象，某某数m 、n 的值解析：（Ⅰ）依题设，f(x)=2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x +6π). 由1+2sin(2x +6π)=1－3，得sin(2 x +6π)=－23.∵-3π≤x ≤3π，∴-2π≤2x +6π≤65π，∴2x +6π=-3π，即x =-4π.（Ⅱ）函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)平移后得到函数y=2sin2(x －m)+n 的图象，即函数y=f(x)的图象.由（Ⅰ）得f(x)=2sin2(x +12π)+1.∵|m|<2π，∴m=-12π，n=1.【例3】 已知向量→a =(cos 3x 2,sin 3x 2)，→b =(cos x 2，－sin x 2)，且x ∈[0,π2]，求：①→a ·→b 及|→a ＋→b |；②若f (x )=→a ·→b －2λ|→a ＋→b |的最小值是－32，求λ的值。
解析：①→a ·→b =cos 3x 2·cos x 2－sin 3x 2·sin x 2=cos2x ；|→a ＋→b |=(cos 3x 2＋cos x 2)2＋(sin 3x 2－sin x2)2=2＋2cos2x =2cos 2x∵x ∈[0,2π]∴cos x ＞0 ∴|→a ＋→b |=2cos x②f (x )=cos2x －4λcos x 即f (x )=2(cos x －λ)2－1－2λ2∵x ∈[0,π2]∴0≤cos x ≤1⑴当λ＜0时，当且仅当cos x =0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾。
(完整版)三角函数与平面向量综合题的六种类型
第1讲 三角函数与平面向量综合题3.17题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B2的最大值.题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π2，2π)，且→a ⊥→b ．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π3)的值．题型三. 三角函数与平面向量的模的综合【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝25 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－π2＜β＜0＜α＜π2，且sinβ＝－513，求sinα的值.题型四 三角函数与平面向量数量积的综合【例4】设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例5】（山东卷）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan 37C =．（1）求cos C ；（2）若52CB CA ⋅=u u u r u u u r ，且9a b +=，求c ．题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例6】()f x a b =⋅r r ，其中向量(,cos 2)a m x =r，(1sin 2,1)b x =+r ，x R ∈，且函数()y f x =的图象经过点(,2)4π．（Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。
高三数学三角与向量试题分析及解法指导
三角与向量试题分析及解法指导我省5年自主命题以来，对三角向量的考查着重在知识的理解及知识之间的交汇点上，考查常规的三角运算与变形及三角函数的图象与性质，一般为中档题和容易题，分值约为22分。
即两个客观题和一个主观题，以下结合考纲，对高考中的三角向量大题进行分析。
—、考纲要求：考纲对三角与向量的主要要求为：掌握和、差、倍半角的三角公式，能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明，理解三角函数的图象性质，掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，理解、掌握向量的有关概念及相关运算等。
二、考题分析：04年至08年这5年高考中，考察涉及到三角函数或平面向量的大题及分布位置如下： 04年第17题为三角变换，19题为向量与三角05年第18题为三角函数（三角形、正余弦定理）06年第16题为向理与三角（变换、图象性质）07年第16题为（理）向量与三角 （文）三角函数不等式08年第16题为（理）函数与三角函数（图象性质） （文）三角函数向量作为一种解题工具，往往与其它知识综合起来考察，独立的向量大题目前还只有04年考过。
通过直角三角形考查向量的数量积及最值问题，但和三角函数的联系不大，侧重平面几何与向量的综合至今对高中平面向量的教学都还有很大的影响力，是一道考能力的经典好题。
三角函数的运算变形，本质是一种代数变形，如配方、降次、换元、因式分解等变形方法，应引起学生的重视，如04年三角题：己知6226sin sin cos 2cos 0αααα+-=. 2παπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求sin 23πα+（）的值。
若考生局限于三角函数中平方降次的思维定势中，不会在代数结构中进行因式分解变形，就会陷入泥潭，无从下手。
05年与07年的三角形都利用了三角形的结构，将正、余弦定理、面积定理贯穿在三角变形之中。
06年理科16题：设函数()()f x a b c =+,其中向量(sin ,cos )a x x =-,(sin ,3cos )b x x =-，(cos ,sin )c x x =-，x R ∈。
高中数学三角函数与向量试题及详细答案
高中数学三角函数与向量试题及详细答案一．解答题（共30小题）1．设函数f（x）=sinxcosx﹣cos（x+π）cosx，（x∈R）（I）求f（x）的最小正周期；（II）若函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在（0，]上的最大值．2．设α∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）满足，求函数f（x）在上的最大值和最小值．3．已知函数，（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）设，若，求α的大小．4．设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．（Ⅰ）若点P的坐标为，求f（θ）的值；（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．5．已知函数f（x）=（1+cotx）sin2x+msin（x+）sin（x﹣）．（1）当m=0时，求f（x）在区间上的取值范围；（2）当tana=2时，，求m的值．6．已知tanα=a，（a＞1），求的值．7．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx），x∈R．（1）请指出函数f（x）的奇偶性，并给予证明；（2）当时，求f（x）的取值范围．8．已知函数f（x）=sin2x+acos2x，a，a为常数，a∈R，且．（I）求函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．9．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点．（Ⅰ）求sin2α﹣tanα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα，求函数的最大值及对应的x的值．10．已知函数．（1）设ω＞0为常数，若上是增函数，求ω的取值范围；（2）设集合，若A⊂B恒成立，求实数m的取值范围．11．已知函数f（x）=（Ⅰ）把f（x）解析式化为f（x）=Asin（ωx+ϕ）+b的形式，并用五点法作出函数f（x）在一个周期上的简图；（Ⅱ）计算f（1）+f（2）+…+f（2012）的值．12．已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：a n+1＞a n；（3）求证：．13．已知tan2θ=﹣，且3π＜2θ＜4π．求：（1）tanθ；（2）．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足∥，，=•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值．15．已知，①若向量．且∥，求f（x）的值；②在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．16．已知O是线段AB外一点，若，．（1）设点A1、A2是线段AB的三等分点，△OAA1、△OA1A2及△OA2B的重心依次为G1、G2、G3，试用向量、表示；（2）如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．17．已知向量=（1，2），=（cosα，sinα），设=+t（t为实数）．（1）若，求当||取最小值时实数t的值；（2）若⊥，问：是否存在实数t，使得向量﹣和向量的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．18．经过A（2，0），以（2cosθ﹣2，sinθ）为方向向量的直线与经过B（﹣2，0），以（2+2cosθ，sinθ）为方向向量的直线相交于点M（x，y），其中θ≠kπ．（I）求点M（x，y）的轨迹方程；（II）设（I）中轨迹为曲线C，，若曲线C内存在动点P，使得|PF1|、|OP|、|PF2|成等比数列（O为坐标原点），求的取值范围．19．已知向量，，．（1）若，求向量、的夹角θ；（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．20．已知向量=（mcosα，msinα）（m≠0），=（﹣sinβ，cosβ．其中O为坐标原点．（I）若且m＞0，求向量与的夹角；（II）当实数α，β变化时，求实数的最大值．21．已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1和F2．（1）求椭圆方程；（2）点M在椭圆上，求△MF1F2面积的最大值；（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知△OFQ的面积为，且．（1）当时，求向量与的夹角θ的取值范围；（2）设，若以中心O为坐标原点，焦点F在x非负半轴上的双曲线经过点Q，当取得最小值时，求此双曲线的方程．23．在平行四边形ABCD中，设边AB、BC、CD的中点分别为E、F、G，设DF与AG、EG的交点分别为H、K，设=，=，试用、表示、．24．正方形ABCD的边长为1，记=（1）求作，（2）求|，|25．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°．且||=1，||=1，||=2，若+，求λ+μ的值．26．例3．已知27．设动点M的坐标为（x，y）（x、y∈R），向量=（x﹣2，y），=（x+2，y），且|a|+|b|=8，（I）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点N（0，2）作直线l与曲线C交于A、B两点，若（O为坐标原点），是否存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．28．在福建省第14届运动会（2010•莆田）开幕式上，主会场中央有一块边长为a米的正方形地面全彩LED显示屏如图所示，点E、F分虽为BC、CD边上异于点C的动点，现在顶点A处有视角∠EAF设置为45°的摄像机，正录制形如△ECF的移动区域内表演的某个文艺节目，设DF=x米，BE=y米．（Ⅰ）试将y表示为x的函数；（Ⅱ）求证：△ECF周长p为定值；（Ⅲ）求△ECF面积S的最大值．29．如图所示，ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中A TN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮PQCR，其中P是上一点．设∠TAP=θ，长方形PQCR的面积为S平方米．（1）求S关于θ的函数解析式；（2）设sinθ+cosθ=t，求S关于t的表达式以及S的最大值．30．如图，某市拟在长为16km的道路OP的一侧修建一条自行车赛道，赛道的前一部分为曲线OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0，x∈[0，8]的图象，且图象的最高点为S（6，4）．赛道的后一段为折线段MNP，为保证参赛队员的安全，限定∠MNP=120°．（1）求实数A和ω的值以及M、P两点之间的距离；（2）连接MP，设∠NPM=θ，y=MN+NP，试求出用θ表示y的解析式；（3）（理科）应如何设计，才能使折线段MNP最长？（文科）求函数y的最大值．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．设函数f（x）=sinxcosx﹣cos（x+π）cosx，（x∈R）（I）求f（x）的最小正周期；（II）若函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在（0，]上的最大值．考点：三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的最值．专题：计算题；综合题．分析：（I）先利用诱导公式，二倍角公式与和角公式将函数解析式化简整理，然后利用周期公式可求得函数的最小正周期．（II）由（I）得函数y=f（x），利用函数图象的变换可得函数y=g（x）的解析式，通过探讨角的范围，即可的函数g（x）的最大值．解答：解：（I）∵f（x）=sinxcosx﹣cos（x+π）cosx=sinxcosx+cosxcosx=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+∴f（x）的最小正周期T==π（II）∵函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，∴g（x）=sin（2x+﹣）++=sin（2x﹣）+∵0＜x≤∴＜2x﹣≤，∴y=g（x）在（0，]上的最大值为：．点评：本题考查了三角函数的周期及其求法，函数图象的变换及三角函数的最值，各公式的熟练应用是解决问题的根本，体现了整体意识，是个中档题．2．设α∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）满足，求函数f（x）在上的最大值和最小值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．专题：计算题．分析：利用二倍角公式化简函数f（x），然后，求出a的值，进一步化简为f（x）=2sin（2x ﹣），然后根据x的范围求出2x﹣，的范围，利用单调性求出函数的最大值和最小值．解答：解：f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）=asinxcosx﹣cos2x+sin2x=由得解得a=2所以f（x）=2sin（2x﹣），所以x∈[]时2x﹣，f（x）是增函数，所以x∈[]时2x﹣，f（x）是减函数，函数f（x）在上的最大值是：f（）=2；又f（）=，f（）=；所以函数f（x）在上的最小值为：f（）=；点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，二倍角公式的应用，三角函数的求值，函数的单调性、最值，考查计算能力，常考题型．3．已知函数，（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）设，若，求α的大小．考点：正切函数的周期性；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦；正切函数的定义域．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用正切函数的定义域求出函数的定义域，利用周期公式求出最小正周期；（Ⅱ）通过，化简表达式，结合α∈（0，），求出α的大小．解答：解：（Ⅰ）由2x+≠+kπ，k∈Z．所以x≠，k∈Z．所以f（x）的定义域为：f （x）的最小正周期为：．（Ⅱ）由得tan（）=2cos2α，整理得因为α∈（0，），所以sinα+cosα≠0 因此（cosα﹣sinα）2=即sin2α=因为α∈（0，），所以α=点评：本题考查两角和的正弦函数、余弦函数、正切函数公式，同角三角函数的基本关系式，二倍角公式等基本知识，考查基本运算能力．4．设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．（Ⅰ）若点P的坐标为，求f（θ）的值；（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．考点：任意角的三角函数的定义；二元一次不等式（组）与平面区域；三角函数的最值．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（I）由已知中函数f（θ）=，我们将点P的坐标代入函数解析式，即可求出结果．（II）画出满足约束条件的平面区域，数形结合易判断出θ角的取值范围，结合正弦型函数的性质我们即可求出函数f（θ）的最小值和最大值．解答：解（I）由点P的坐标和三角函数的定义可得：于是f（θ）===2（II）作出平面区域Ω（即感触区域ABC）如图所示其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）于是0≤θ≤∴f（θ）==且故当，即时，f（θ）取得最大值2当，即θ=0时，f（θ）取得最小值1点评：本题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．5．已知函数f（x）=（1+cotx）sin2x+msin（x+）sin（x﹣）．（1）当m=0时，求f（x）在区间上的取值范围；（2）当tana=2时，，求m的值．考点：弦切互化；同角三角函数间的基本关系．专题：综合题．分析：（1）把m=0代入到f（x）中，然后分别利用同角三角函数间的基本关系、二倍角的正弦、余弦函数公式以及特殊角的三角函数值把f（x）化为一个角的正弦函数，利用x的范围求出此正弦函数角的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可得到f（x）的值域；（2）把f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式及积化和差公式化简得到关于sin2x和cos2x的式子，把x换成α，根据tanα的值，利用同角三角函数间的基本关系以及二倍角的正弦函数公式化简求出sin2α和cos2α的值，把sin2α和cos2α的值代入到f（α）=中得到关于m的方程，求出m的值即可．解答：解：（1）当m=0时，=，由已知，得sin（2x﹣）∈[﹣，1]，从而得：f（x）的值域为．（2）因为=sin2x+sinxcosx+=+﹣=所以=①当tanα=2，得：，，代入①式，解得m=﹣2．点评：考查三角函数的化简、三角函数的图象和性质、已知三角函数值求值问题．依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中档题．6．已知tanα=a，（a＞1），求的值．考点：两角和与差的正弦函数；弦切互化；二倍角的正切．专题：计算题．分析：利用两角和与差的正弦函数，以及二倍角的正切，化简，代入tanα=a，求出结果即可．解答：解：原式===．即：=．点评：本题是基础题，考查弦切互化，二倍角的正切，考查计算能力，常考题型．7．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx），x∈R．（1）请指出函数f（x）的奇偶性，并给予证明；（2）当时，求f（x）的取值范围．考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）先化简函数得出的表达式，通过f（﹣）≠±f（﹣），直接证明即可．（2）先得出，然后根据正弦函数的单调性求出取值范围．解答：解：（3分）（1）∵，∴f（x）是非奇非偶函数．（3分）注：本题可分别证明非奇或非偶函数，如∵f（0）=1≠0，∴f（x）不是奇函数．（2）由，得，．（4分）所以．即．（2分）点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的奇偶性的判断，考查计算能力．8．已知函数f（x）=sin2x+acos2x，a，a为常数，a∈R，且．（I）求函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）由，代入f（x）中即可求出a的值，然后把求出a的值代入然后把求出a的值代入f（x）中，然后利用二倍角的余弦函数公式及两角差的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据公式求出结果．（II）根据x的范围求出2x﹣的范围，根据正弦函数的图象求出sin（2x﹣）的值域即可得到f（x）的最值．解答：解：（Ⅰ）由已知得即，所以a=﹣2所以f（x）=sin2x﹣2cos2x=sin2x﹣cos2x﹣1=所以函数f（x）的最小正周期为π（Ⅱ）由，得则所以所以函数y=f（x）的最大值为；最小值为点评：本题三角函数周期的求法，又考查学生会求正弦函数的在某一范围内的最值以及会求正弦函数的值域．是一道综合题．9．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点．（Ⅰ）求sin2α﹣tanα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα，求函数的最大值及对应的x的值．考点：两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用三角函数的定义求出sinα、cosα和tanα的值，利用两角和与差正弦公式化简sin2α﹣tanα并求出其值．（II）首先化简函数f（x），然后利用诱导公式以及两角和与差公式得出y=2sin（2x﹣）﹣1，进而求正弦函数的特点求出结果．解答：解：（Ⅰ）因为角α终边经过点，所以，，…（3分）（Ⅱ）∵f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα=cosx，x∈R…（7分）∴y max=2﹣1=1，…（12分）此时，即…（13分）点评：此题考查了二倍角的正弦、三角函数定义、同角三角函数间的基本关系、诱导公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．10．已知函数．（1）设ω＞0为常数，若上是增函数，求ω的取值范围；（2）设集合，若A⊂B恒成立，求实数m的取值范围．考点：二倍角的余弦；集合关系中的参数取值问题；二次函数的性质；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）利用三角函数的降幂公式将化为f（x）=2sinx，从而f （ωx）=2sinωx，利用f（ωx）在[，]是增函数，可得到，从而可求ω的取值范围；（2）由于f（x）=2sinx，将化为sin2x﹣2msinx+m2+m﹣1＞0，令sinx=t，则t2﹣2mt+m2+m﹣1＞0，t∈[，1]，记f（t）=t2﹣2mt+m2+m﹣1，问题转化为上式在t∈[，1]上恒成立问题，根据区间[，1]在对称轴t=m的左侧，右侧，对称轴穿过区间[，1]三种情况结合二次函数的单调性即可解决．解答：（本小题满分14分）解：（1）=2sinx（1+sinx）﹣2sin2x=2sinx．∵是增函数，∴，∴（2）=sin2x﹣2msinx+m2+m﹣1＞0因为，设sinx=t，则t∈[，1]上式化为t2﹣2mt+m2+m﹣1＞0由题意，上式在t∈[，1]上恒成立．记f（t）=t2﹣2mt+m2+m﹣1，这是一条开口向上抛物线，则或或解得：．点评：本题考查二倍角的余弦，二次函数的性质，难点在于转化与构造函数，利用f（t）=t2﹣2mt+m2+m﹣1＞0恒成立，t∈[，1]来解决，属于难题．11．已知函数f（x）=（Ⅰ）把f（x）解析式化为f（x）=Asin（ωx+ϕ）+b的形式，并用五点法作出函数f（x）在一个周期上的简图；（Ⅱ）计算f（1）+f（2）+…+f（2012）的值．考点：二倍角的余弦；五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．专题：综合题．分析：（Ⅰ）利用倍角公式和诱导公式对函数解析式进行化简，再利用正弦函数的五个关键点进行列表、描点、连线；（Ⅱ）根据函数解析式先求出周期，再求出一个周期内的函数值的和，进而判断出2012与周期的关系，再求出式子和的值．解答：解：（Ⅰ）由题意知，列表：x 0 1 2 3 40 π2π1 2 1 0 1描点画图，如图所示：（Ⅱ）∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4，而y=f（x）的周期为4，且2012=4×503，∴f（1）+f（2）+…+f（2012）=4×503=2012．点评：本题是关于三角函数的综合题，涉及了倍角公式、诱导公式的应用，“五点作图法”的步骤，函数周期性的应用求式子的值，考查了分析、解决问题能力和作图能力．12．已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：a n+1＞a n；（3）求证：．考点：二倍角的正切；不等式比较大小；不等式的证明．专题：综合题．分析：（1）根据二倍角的正切函数公式，由tanα的值求出tan2α的值，根据特殊角的三角函数值以及α的范围即可求出2α的值，即可求出sin（2α+）的值，把求出的tan2α和sin2α的值代入f（x）中即可确定出f（x）；（2）a n+1=f（a n），把a n代入（1）中求出的f（x）的解析式，移项后，根据a n2大于0，即可得证；（3）把a n代入（1）中求出的f（x）的解析式中化简后，求出，然后把等号右边的式子利用拆项相减的方法，得到，移项后得到，然后从n=1列举到n，抵消后得到所要证明的式子等于2﹣，根据题意分别求出a2和a3的值，根据（2）所证明的结论即可得证．解答：解：（1），又∵α为锐角，所以2α=，∴，则f（x）=x2+x；（2）∵a n+1=f（a n）=a n2+a n，∴a n+1﹣a n=a n2＞0，∴a n+1＞a n；（3）∵，且a1=，∴，则=，∵，，又n≥2时，∴a n+1＞a n，∴a n+1≥a3＞1，∴，∴．点评：此题考查学生灵活运用二倍角的正切函数公式化简求值，会利用不等式比较大小以及会进行不等式的证明，是一道综合题．13．已知tan2θ=﹣，且3π＜2θ＜4π．求：（1）tanθ；（2）．考点：二倍角的正切．专题：计算题．分析：（1）由题意，可先判断角θ的取值范围，得出其是第四象限角从而确定出角的正切值的符号，再由正切的二倍角公式得到角的正切的方程，解此方程求出正切值；（2）由题意，先化简，再将tanθ=代入计算出答案．解答：解：（1）由题意3π＜2θ＜4π，得＜θ＜2π是第四象限角又tan2θ=﹣，∴=﹣，解得tanθ=（2）由题，将tanθ=代入得=点评：本题考查二倍角的正切，二倍角的余弦，同角三角函数的基本关系等，解题的关键是利用公式灵活变形，计算求值，本题中有一易错点，即没有判断角所在的象限，导致解出的正切值有两个答案，切记！三角函数化简求值题，公式较多，要注意选择公式使得解题的过程简捷．本题考查了利用公式变形计算的能力．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足∥，，=•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值．考点：向量在几何中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；综合题；函数思想；整体思想．分析：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）并代入∥，，=•，即可求得M 点的轨迹C的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0）为C上的点，求导，写出C在P点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得O点到l距离，然后利用基本不等式求出其最小值．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）．所=（﹣x，﹣1﹣y），=（0，﹣3﹣y），=（x，﹣2）．再由题意可知（）•=0，即（﹣x，﹣4﹣2y）•（x，﹣2）=0．所以曲线C的方程式为y=﹣2．（Ⅱ）设P（x0，y0）为曲线C：y=﹣2上一点，因为y′=x，所以l的斜率为x0，因此直线l的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），即x0x﹣2y+2y0﹣x02=0．则o点到l的距离d=．又y0=﹣2，所以d==≥2，所以x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．点评：此题是个中档题．考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．15．已知，①若向量．且∥，求f（x）的值；②在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．考点：平面向量的综合题．专题：计算题．分析：①利用向量共线的充要条件，可求x的值，从而可求f（x）的值；②利用余弦定理求出B的值，确定出＜A+＜π，然后求出函数f（A）的取值范围．解答：解：①由∥，得，∴或，∴x=2kπ+π或，∴②∵（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC．∴2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，∴cosB=，B=，∴0＜A＜．∴＜A+＜π，0＜sin（A+）≤1．又∵，∴故函数f（A）的取值范围是（0，2]．点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，考查向量共线的充要条件．16．已知O是线段AB外一点，若，．（1）设点A1、A2是线段AB的三等分点，△OAA1、△OA1A2及△OA2B的重心依次为G1、G2、G3，试用向量、表示；（2）如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：（1）由题意画出图形由于点A1、A2是线段AB的三等分点，又由于△OAA1、△OA1A2及△OA2B的重心依次为G1、G2、G3，利用重心的性质及向量的三角形法则求得用向量、表示；（2）由题意若在线段AB上有若干个等分点，有（1）的证明过程及结论可以逐渐得到结论，并且利用向量的加法及减法得到证明过程．解答：解：（1）如图：点A1、A2是线段AB的三等分点，，同理可得：，，则==（2）层次1：设A1是AB的二等分点，则；；设A1、A2、A3是AB的四等分点，则；或设A1，A2，，A n﹣1是AB的n等分点，则，层次2：设A1，A2，，A n﹣1是AB的n等分点，，层次3：设A1，A2，，A n﹣1是AB的n等分点，则；证：===点评：此题考查了三角形重心的定义，向量的加法和减法，还考查了学生对于新问题逐渐分析并合理联想的能力．17．已知向量=（1，2），=（cosα，sinα），设=+t（t为实数）．（1）若，求当||取最小值时实数t的值；（2）若⊥，问：是否存在实数t，使得向量﹣和向量的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：计算题．分析：（1）先把a=代入求出向量的坐标，再把转化为=，把所求结论以及已知条件代入得到关于实数t的二次函数，利用配方法求出的最小值以及实数t的值；（2）先利用向量垂直求出以及和（）（），代入cos45°=，可得关于实数t的方程，解方程即可求出实数t．解答：解：（1）因为a=，所以=（），，则====所以当时，取到最小值，最小值为．（7分）（2）由条件得cos45°=，又因为==，==，（）（）=5﹣t，则有=，且t＜5，整理得t2+5t﹣5=0，所以存在t=满足条件．（14分）点评：本题主要考查数量积表示两个向量的夹角以及向量的模．本题的易错点在于（）（）=5﹣t中的t＜5，因为两个向量的夹角为锐角，所以向量的数量积为正得t＜5．18．经过A（2，0），以（2cosθ﹣2，sinθ）为方向向量的直线与经过B（﹣2，0），以（2+2cosθ，sinθ）为方向向量的直线相交于点M（x，y），其中θ≠kπ．（I）求点M（x，y）的轨迹方程；（II）设（I）中轨迹为曲线C，，若曲线C内存在动点P，使得|PF1|、|OP|、|PF2|成等比数列（O为坐标原点），求的取值范围．考点：向量在几何中的应用；数列与解析几何的综合．专题：计算题．分析：（I）根据题意知，∥（2cosθ﹣2，sinθ），根据共线向量定理可得⇒（x﹣2）sinθ=y （2cosθ﹣2），同理（x+2）sinθ=y（2cosθ+2），两式相乘，即可得到点M（x，y）的轨迹方程；（II）设p（x0，y0）在曲线C内，得，再由|PF1|、|OP|、|PF2|成等比数列可得并代入求得，即可求得结果．解答：解：（I），（2﹣x）sinθ+y（2cosθ﹣2）=0⇒（x﹣2）sinθ=y（2cosθ﹣2）①同理（﹣2﹣x）sinθ+y（2cosθ+2）=0⇒（x+2）sinθ=y（2cosθ+2）②①×②得x2﹣4=﹣4y2即；（II）设p（x0，y0），则③化简得：④④代入③得点评：此题是个中档题．考查向量在几何中的应用，以及数列与解析几何的综合．同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．19．已知向量，，．（1）若，求向量、的夹角θ；（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．考点：数量积表示两个向量的夹角；数量积的坐标表达式；平面向量数量积的运算．专题：计算题；综合题．分析：（1）当时，求出向量、，利用数量积的坐标运算求出向量•，从而求出向量、的夹角θ；（2）向量，，代入函数，利用三角函数的诱导公式进行化简，转化为三角函数在定区间上的最值，即可求得结果．解答：解：（1）当时，，所以，因而；（2），，因为，所以，当λ＞0时，，即，当λ＜0时，，即，所以．点评：此题是个中档题．考查向量的数量积的坐标运算以及向量的夹角，和三角函数的诱导公式和三角函数在定区间上的最值等基础知识，同时也考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．20．已知向量=（mcosα，msinα）（m≠0），=（﹣sinβ，cosβ．其中O为坐标原点．（I）若且m＞0，求向量与的夹角；（II）当实数α，β变化时，求实数的最大值．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：计算题；综合题．分析：（Ⅰ）设它们的夹角为θ，利用向量的数量积公式表示出cosθ，将已知条件代入，利用特殊角的三角函数值求出两个向量的夹角．（II）先将利用向量模的计算公式表示成，再利用三角函数的值域求出它的最大值即可．解答：解：（I）设它们的夹角为θ，则：=，故…（6分）（II）=…（10分）所以当m＞0时，原式的最大值是m﹣1；当m＜0时，原式的最大值是﹣m﹣1…（12分）点评：求向量的夹角问题，一般利用向量的数量积公式来解决；解决向量的模的最值问题，一般转化为函数的最值来解决．21．已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1和F2．（1）求椭圆方程；（2）点M在椭圆上，求△MF1F2面积的最大值；（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：向量在几何中的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；存在型；反证法．分析：（1）由题意设出椭圆标准方程，根据顶点的坐标和离心率得，根据a2=b2+c2求出a的值，即求出椭圆标准方程；（2）根据（1）求出的椭圆标准方程，求出点M纵坐标的范围，即求出三角形面积的最大值；（3）先假设存在点P满足条件，根据向量的数量积得，根据椭圆的焦距和椭圆的定义列出两个方程，求出的值，结合（2）中三角形面积的最大值，判断出是否存在点P．解答：解：（1）由题意设椭圆标准方程为．由已知得，．（2分）则，∴．解得a2=6（4分）∴所求椭圆方程为（5分）（2）令M（x1，y1），则（7分）∵点M在椭圆上，∴，故|y 1|的最大值为（8分）∴当时，的最大值为．（9分）（3）假设存在一点P，使，∵，∴，（10分）∴△PF1F2为直角三角形，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4 ①（11分）又∵②（12分）∴②2﹣①，得2|PF1|•|PF2|=20，∴，（13分）即=5，由（1）得最大值为，故矛盾，∴不存在一点P，使．（14分）点评：本题考查了椭圆方程的求法以及椭圆的性质、向量数量积的几何意义，利用a、b、c、e几何意义和a2=b2+c2求出a和b的值，根据椭圆上点的坐标范围求出相应三角形的面积最值，即根据此范围判断点P是否存在，此题综合性强，涉及的知识多，考查了分析问题和解决问题的能力．22．已知△OFQ的面积为，且．（1）当时，求向量与的夹角θ的取值范围；（2）设，若以中心O为坐标原点，焦点F在x非负半轴上的双曲线经过点Q，当取得最小值时，求此双曲线的方程．考点：数量积表示两个向量的夹角；双曲线的标准方程．专题：计算题．分析：（1）利用两个向量的数量积的定义和三角形面积公式，推出tanθ的解析式，再根据m的范围，求得tanθ的范围，进而求得θ的取值范围．（2）设出双曲线的标准方程和点Q的坐标，有三角形的面积公式求出点Q的横坐标和纵坐标（用半焦距表示），用基本不等式求出||最小时点Q的坐标，从而得到双曲线方程中的待定系数．解答：解：（1）由已知得，∴tanθ=，∵＜m＜4，∴1＜tanθ＜4，∴＜θ＜arctan4．（2）设双曲线方程为﹣=1，（a＞0，b＞0），不妨设点Q的坐标为（m，n），n＞0，则=（m﹣c，n），∵△OFQ的面积为||•n=2，∴n=．又由•=（c，0）•（m﹣c，n）=c（m﹣c）=（﹣1）c2，∴m=，||==≥，当且仅当c=4时，||有最小值，此时，点Q的坐标为（，），由此可得，解得，故所求的方程为：=1．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，三角形的面积公式以及基本不等式的应用，用待定系数法求双曲线的方程．。
1解三角形及与向量综合
解三角形【重点知识再现】1、《解三角形》知识网络2、解三角形常见类型及解法在三角形的6个元素中要知三个（除三角外）才能求解，常见类型及其解法见下表：3、三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解，两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理。
（1）利用正弦定理讨论：若已知 a 、 b 、 A ，由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin b A B a=。
若sin 1B >，无解；若sinB ＝1，一解；若sinB<1，两解。
（2）利用余弦定理讨论：已知a 、b 、A ，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，这可以看作关于c 的一元二次方程。
若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解。
4、 三角形形状的判定方法判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角（如：2sin a R A =，2223cos a b c ab C +-=等），利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断。
此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系。
如：sinA ＝sinB ⇔A ＝B ; sin （A －B ）＝0⇔A ＝B ；sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A+B ＝2π等；二是利用正弦定理、余弦定理，化角为边，如222sin ,cos 22a b c a A A R bc+-==等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断。
5、解三角形应用题的基本思路解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决，其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题（如：测量距离、高度、角度等），然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中（目的是发现已知量与未知量之间的关系），最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答。
2019高三复习强化训练向量及其应用-解三角形-综合
向量和三角函数的结合训练一．解答题（共40小题）1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值．2．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA （1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC 的面积为，求a+b的值．3．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若c2=b2+a2，求B．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=，b=5，△ABC的面积为10．（1）求a，c的值；（2）求sin（A +）的值．5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C 所对的边，，若向量=（1，sinA），=（2，sinB），且∥．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求角A的大小及△ABC的面积．6．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（Ⅰ）确定角C的大小；（Ⅱ）若c=，且△ABC 的面积为，求a2+b2的值．7．在锐角△ABC中，cosA=，sinB=．（1）求角C；（2）设AB=，求△ABC的面积．8．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积，若a=4，b=5，S=5，求c的长度．9．在△ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA．（1）求AB的值；（2）求sinA的值．10．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且a2+b2=c2+ab．（1）求C；（2）若=，求A．11．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C 的对边，，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC 的面积为，求b，c．12．△ABC的面积是4，角A，B，C的对边分别是a，b，c ，（1）求的值；（2）分别求c，a的值．13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．（1）A=60°，a=4，b=4，求B；（2）已知a=3，c=2，B=150°，求边b的长．14．在△ABC中，已知A=30°，B=120°，b=5，解三角形．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，．（1）求b的值；（2）求sinA的值．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c ，且满足．（I）求角B的大小；（II）若b是a和c的等比中项，求△ABC的面积．17．在△ABC中，已知A=45°，．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若BC=10，求△ABC的面积．18．已知△ABC中，AB=6，∠A=30°，∠B=120°，解此三角形．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c ，满足，且△ABC的面积为2．（Ⅰ）求bc的值；（Ⅱ）若b+c=6，求a的值．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若b=3，c=1，A=60°，求a；（2）若a=30，b=10，A=60°，求B，C，c．．已知函数．21（I）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（II）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）=2，b=1，△ABC 的面积为，求a的值．22．在△ABC中，A=30°，C=105°，a=10，求b，c．23．在△ABC 中，已知，b=2，C为锐角，△ABC的面积S=，求第三边c．24．已知△ABC 的面积为，且，向量和向量是共线向量．（1）求角C；（2）求△ABC的边长c．，已知25．在△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）求sinC的值（2）求b边的长．26．已知△ABC 的面积其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边（1）求角A的大小．（2）若a=2，求的最大值．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a bc 且．求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）b的值．28．已知：△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c 且．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB 成等差数列，且，求c边的长．29．根据下列条件，解三角形．（Ⅰ）已知b=4，c=8，B=30°，求C，A，a；（Ⅱ）在△ABC中，B=45°，C=75°，b=2，求a，c，A．30．已知△ABC中，A=45°，C=30°，c=10cm，解三角形．31．在△ABC中，已知a=，b=1，∠B=45°，解此三角形．32．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C 的对边，已知，sinB=cosAsinC，（I）求边AC的长度；（II）若BC=4，求角B的大小．33．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin22C+sin2C•sinC+cos2C=1，且a+b=5，c=．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．34．（1）在△ABC中，a=3，c=2，B=60°求b（2）在△ABC中，A=60°，B=45°，a=2 求c．sinC=sinA．求边长a的值．35．已知△ABC的周长为4（），且sinB+36．在△ABC中，a=1，，B=45°，求角A、C及边c．37．在锐角△ABC 中，已知，，BC=3．求△ABC的面积．38．在△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，已知CD=12，AD=5，求BD，AB，AC，BC的长．39．在△ABC中，a=5，B=45°，C=105°，解三角形．40．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c 已知，c=1，B=45°，求a，A，C．参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．（2016•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值．【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出cosB；（2）求出sinA，利用两角和的正弦函数公式计算．【解答】解：（1）∵asin2B=bsinA，∴2sinAsinBcosB=sinBsinA，∴cosB=，∴B=．（2）∵cosA=，∴sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．【点评】本题考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦函数，属于基础题．2．（2015•郑州三模）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC 的面积为，求a+b的值．【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC 的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．3．（2011•辽宁）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若c2=b2+a2，求B．【分析】（Ⅰ）先由正弦定理把题设等式中边转化成角的正弦，化简整理求得sinB和sinA的关系式，进而求得a和b的关系．（Ⅱ）把题设等式代入余弦定理中求得cosB的表达式，把（Ⅰ）中a和b的关系代入求得cosB的值，进而求得B．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=sinA∴sinB=sinA ，=（Ⅱ）由余弦定理和C2=b2+a2，得cosB=由（Ⅰ）知b2=2a2，故c2=（2+）a2，可得cos2B=，又cosB＞0，故cosB=所以B=45°【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化．4．（2015•苍梧县校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=，b=5，△ABC的面积为10．（1）求a，c的值；（2）求sin（A +）的值．【分析】（Ⅰ）利用已知条件及三角形的面积公式求得a，进而利用余弦定理求得c．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中求得的三边及余弦定理求得cosA的值，然后通过同角三角函数的基本关系求得sinA的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，，b=5，因为，即，解得a=8．由余弦定理可得：，所以c=7．（Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理有，由于A是三角形的内角，易知，所以==．【点评】本题主要考查了解三角形及正弦定理和余弦定理的应用．考查了学生利用三角函数的基本性质处理边角问题的能力．5．（2014•漳州三模）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C 所对的边，，若向量=（1，sinA），=（2，sinB），且∥．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求角A的大小及△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）通过向量平行，求出A，B的关系式，利用正弦定理求出b的值，通过余弦定理求出c的值；（Ⅱ）直接利用正弦定理求出A的正弦函数值，然后求角A的大小，结合C的值确定A的值，利用三角形的面积公式直接求解△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵=（1，sinA），=（2，sinB），，∴sinB﹣2sinA=0，由正弦定理可知b=2a=2，又∵c2=a2+b2﹣2abcosC ，，所以c2=（）2+（2）2﹣2cos=9，∴c=3；（Ⅱ）由，得，∴sinA=，A=或，又C=，∴A=，所以△ABC的面积S===．【点评】本题是中档题，考查正弦定理与余弦定理的应用，注意向量的平行条件的应用，考查计算能力．6．（2014•蚌埠一模）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，（Ⅰ）确定角C的大小；（Ⅱ）若c=，且△ABC 的面积为，求a2+b2的值．【分析】（Ⅰ）根据，利用正弦定理得，从而可求C的大小；（Ⅱ）由面积公式得=，从而可得ab=6，由余弦定理，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴由正弦定理得…（2分）∴sinC=…（4分）∵△ABC是锐角三角形，∴C=…（6分）（Ⅱ）∵c=，C=，△ABC 的面积为，∴由面积公式得=…（8分）∴ab=6 …（9分）由余弦定理得a2+b2﹣2abcos=7 …（11分）∴a2+b2=13 …（12分）【点评】本题考查正弦、余弦定理，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（2016•广东模拟）在锐角△ABC中，cosA=，sinB=．（1）求角C；（2）设AB=，求△ABC的面积．【分析】（1）根据同角的三角函数关系，利用内角和定理即可求出sinC以及角C的值；（2）由正弦定理和三角形的面积公式，即可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）锐角△ABC中，cosA=，∴sinA==；又sinB=，∴cosB==；∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=；又C∈（0，），∴C=；（2）△ABC 中，由正弦定理得=，又AB=，∴AC===；∴△ABC的面积为S△ABC=•AB•AC•sinA=×××=．【点评】本题考查了同角的三角函数关系以及正弦定理的应用问题，是基础题目．8．（2001•上海）已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC 的面积，若a=4，b=5，S=5，求c的长度．【分析】由已知a=4，b=5，S=5及S=absinC可得sinC=，于是∠C=60°，或∠C=120°，然后利用余弦定理可求c【解答】解：∵S=absinC，∴sinC=，（4分）于是∠C=60°，或∠C=120°，（6分）又c2=a2+b2﹣2abcosC（8分）当∠C=60°时，c2=a2+b2﹣ab，c=（10分）当∠C=120°时，c2=a2+b2+ab，c=．（12分）【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理等知识解三角形，属于基础试题．9．（2011春•万州区校级期中）在△ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA．（1）求AB的值；（2）求sinA的值．【分析】（1）△ABC中，由正弦定理可得，再利用SinC=2SinA，求得AB值．（2）△ABC中，由余弦定理可求得cosA 的值，利用同角三角函数的基本关系，求得SinA．【解答】解：（1）△ABC中，由正弦定理可得，=2，∴AB=2×BC=2．（2）△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA，5=20+9﹣12cosA，∴cosA=，∴SinA==．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，利用这两个定理是解题的关键．10．（2013春•西区校级期中）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且a2+b2=c2+ab．（1）求C；（2）若=，求A．【分析】（1）利用题设等式整理代入余弦定理中求得cosC的值，进而求得C．（2）利用正弦定理把题设等式中变转化为角的正弦，利用二倍角和公式和两角和公式求得cosB的值，进而求得B，最后利用三角形内角和求得A．【解答】解：（1）∵a2+b2=c2+ab ，∴=，∴cosC=，∴C=45°．（2）由正弦定理可得==，∴=∴sinBcosC=2sinAcosB﹣sinCcosB，∴sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，∴sin（B+C）=2sinAcosB，∴sinA=2sinAcosB．∵sinA≠0，∴cosB=，∴B=60°，A=180°﹣45°﹣60°=75°．【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的理解和应用．11．（2013秋•德州校级期中）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C 的对边，，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC 的面积为，求b，c．【分析】（Ⅰ）通过向量的数量积直接得到A的正切值，即可求角A的大小；（II）通过△ABC 的面积为，以及余弦定理推出b、c的关系，通过解方程即可求b，c【解答】解：（Ⅰ）因为，且，所以=cosA+sinA=0，所以tanA=，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）∵S△ABC =，且A=，，故bc=4，…①又cosA=且a=2，∴，从而b2+c2=8…②，解①②得，b=c=2．【点评】本题考查向量的数量积以及三角形的面积公式，余弦定理的应用，考查计算能力．12．（2014秋•荔湾区校级期中）△ABC的面积是4，角A，B，C的对边分别是a，b，c ，（1）求的值；（2）分别求c，a的值．【分析】（1）利用二倍角公式，化简代数式，代入计算即可求得结论；（2）利用面积公式求得c的值，再利用余弦定理，可求a的值．【解答】解：（1）==∵，∴=，∴=；（2）∵，∴∵△ABC的面积是4，b=2，∴，解得c=5由余弦定理可得a===．【点评】本题考查三角函数的化简，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．13．（2016春•阿拉善左旗校级期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．（1）A=60°，a=4，b=4，求B；（2）已知a=3，c=2，B=150°，求边b的长．【分析】（1）由正弦定理可知=，求得sinB=，a＞b，可知A＞B，求得B=；（2）由余弦定理可知b2=a2+c2﹣2accosB，代入即可求得边b的长．【解答】解：（1）由正弦定理可知：=，∴=，解得：sinB=，由a＞b，∴A＞B，∴B=；（2）由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB=27+4﹣2×3×2×（﹣）=49，∴b=7，边b的长7．【点评】本题考查解三角形的应用，考查正弦定理及余弦定理，考查计算能力，属于基础题．14．（2015秋•雷州市校级月考）在△ABC中，已知A=30°，B=120°，b=5，解三角形．【分析】由三角形的内角和可得C，可得等腰三角形，由正弦定理可得a和c．【解答】解：∵A=30°，B=120°，∴C=180°﹣（A+B）=30°．∴A=C，∴a=c．由正弦定理可得a===，综上可知，C=30°，a=c=【点评】本题考查解三角形，涉及正余弦定理的应用，属基础题．15．（2010•广州模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，．（1）求b的值；（2）求sinA的值．【分析】（1）利用余弦定理，根据题设中的a=2，c=3，求得b．（2）根据三边长利用余弦定理求得cosA的值，进而利用三角函数基本关系求得sinA．【解答】解：（1）由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB，得，∴b=3．（2）由余弦定理，得=，∵A是△ABC的内角，∴=．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成了边角问题的互化．16．（2011•绍兴一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（I）求角B的大小；（II）若b是a和c的等比中项，求△ABC的面积．【分析】（I）题设利用两角和公式整理等式求得sin（B +）的值，进而求得B．（II）根据等比中项性质可求得b2=ac，代入余弦定理中求得a与c的值，进而可推断出三角形为正三角形，进而求得三角形的面积．【解答】解：（I ）由，得，由B∈（0，π）得，故，得．（II）由b是a和c的等比中项得b2=ac又由余弦定理得b2=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2﹣2ac•cos=a2+c2﹣ac，故ac=a2+c2﹣ac，得（a﹣c）2=0，得a=c=1，∴b==1故△ABC为正三角形故．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，两角和公式的化简求值．考查了学生对基础知识点综合运用．17．（2011•佛山一模）在△ABC中，已知A=45°，．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若BC=10，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）由cosB的值和B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，然后根据三角形的内角和定理得到所求式子中C等于180°﹣A﹣B，而A=45°，得到C=135°﹣B，把所求的式子利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把sinB和cosB的值代入即可求出值；（Ⅱ）根据正弦定理，由BC，sinA和（Ⅰ）中求得的sinC，即可求出AB的长度，然后利用三角形的面积公式，由sinB，AB和BC的值即可求出三角形ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵，且B∈（0°，180°），sinC=sin（180°﹣A﹣B）=sin（135°﹣B）=；（Ⅱ）由正弦定理得，即，解得AB=14．则△ABC 的面积．【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、正弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道基础题．18．（2014秋•阿勒泰市校级期中）已知△ABC中，AB=6，∠A=30°，∠B=120°，解此三角形．【分析】利用条件，结合余弦定理，即可得出结论．【解答】解：∵AB=6，∠A=30°，∠B=120°，∴∠C=30°，BC=6，AC==6．【点评】本题考查解三角形，考查学生的计算能力，比较基础．19．（2010•南海区模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且△ABC的面积为2．（Ⅰ）求bc的值；（Ⅱ）若b+c=6，求a的值．【分析】（Ⅰ）根据同角三角函数的基本关系利用sin的值求得cos的值，进而利用二倍角公式求得sinA的值，最后利用三角形面积公式求得bc的值．（Ⅱ）利用二倍角公式和sin的值求得cosA的值，进而把bc和b+c的值代入余弦定理求得a的值．【解答】解：（Ⅰ）∵，0＜A＜π∴．∵，∴bc=5．（Ⅱ）∵，∴．∵bc=5，b+c=6，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc（1+cosA）=20∴．【点评】本题主要考查了解三角形问题，余弦定理的应用，二倍角公式的化简求值．考查了学生综合运用所学知识和基本的运算能力．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若b=3，c=1，A=60°，求a；（2）若a=30，b=10，A=60°，求B，C，c．【分析】（1）使用余弦定理解出；（2）使用正弦定理解出．【解答】解：（1）由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=9+1﹣2×=7，∴a=．（2）由正弦定理得，即，解得sinB=，∴B=150°（舍）或B=30°．∴C=180°﹣A﹣B=90°．∴c==20．【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 21．（2011•安徽模拟）已知函数．（I）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（II）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）=2，b=1，△ABC 的面积为，求a的值．【分析】（I）利用两角和正弦公式化简f（x）=sin（2x +）+3，最小正周期T==π，令2kπ+≤2x +≤2kπ+，k∈z，解出x的范围，即得单调递减区间．（II）由f（A）=2 求出sin（2A +）=，由＜2A +＜，求得A 值，余弦定理求得 a 值．【解答】解：（I）函数==sin（2x +）+．故最小正周期T==π，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．（II）由f（A）=2，可得sin（2A +）+=2，∴sin（2A+）=，又0＜A＜π，∴＜2A +＜，∴2A+=，A=．∵b=1，△ABC 的面积为=，∴c=2．又a2=b2+c2﹣2bc•cosA=3，∴a=．【点评】本题考查两角和正弦公式，正弦函数的单调性，奇偶性，根据三角函数的值求角，求出角A的值是解题的难点．22．（2014秋•清河区校级月考）在△ABC中，A=30°，C=105°，a=10，求b，c．【分析】由A与C的度数求出B的度数，再由正弦定理即可求出b，c的值．【解答】解：∵A=30°，C=105°，∴B=45°，∵，∴b==10，c==5+5．【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．23．（2014秋•思明区校级期中）在△ABC 中，已知，b=2，C为锐角，△ABC的面积S=，求第三边c．【分析】根据三角形的面积公式，可求，结合C为锐角可求C，再由由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC可求【解答】解：根据三角形的面积公式可得，∴∴∵C为锐角∴C=30°由余弦定理可得，c2=a2+b2﹣2abcosC=∴c=2【点评】本题主要考查了三角形的面积公式及正弦定理、余弦定理等公式在解题中的应用，属于基础试题．24．（2012•荆州模拟）已知△ABC 的面积为，且，向量和向量是共线向量．（1）求角C；（2）求△ABC的边长c．【分析】（1）利用向量共线的条件，建立等式，再利用和角的正弦公式化简等式，即可求得角C；（2）由得：，进而利用△ABC的面积为，及余弦定理可求△ABC的边长c．【解答】解：（1）∵，∴（tanA+tanB）cosAcosB=sin2C，即sinAcosB+cosAsinB=sin2C，∴sin（A+B）=sin2C，∴sinC=2sinCcosC∵sinC≠0，∴，∵C∈（0，π）∴…（6分）（2）由得：，∴，∴，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=54，∴…（12分）【点评】本题重点考查正弦、余弦定理的运用，考查向量知识的运用，解题的关键是正确运用正弦、余弦定理求出三角形的边．25．（2015秋•北京校级月考）在△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，已知（1）求sinC的值（2）求b边的长．【分析】（1）利用正弦定理可得sinC；（2）由条件可得△ABC是等边三角形，即可求b边的长．【解答】解：（1）由正弦定理可得sinC==；（2）由条件可得△ABC是等边三角形，∴b=2．【点评】本题考查利用正弦定理解三角形，考查学生的计算能力，属于容易题．26．（2011秋•九江县校级月考）已知△ABC 的面积其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边（1）求角A的大小．（2）若a=2，求的最大值．【分析】（1）用三角形面积公式表示出S，利用题设等式建立等式，进而利用余弦定理求得2bccosA=b2+c2﹣a2，进而整理求得sinA和cosA的关系进而求得A．（2）由余弦定理可知2bccosA=b2+c2﹣a2，结合a=2，A=45°，及基本不等式可以求出bc 的范围，结合=bc求出答案．【解答】解：（1）由三角形面积公式可知S=bcsinA，∵，∴bcsinA=由余弦定理可知2bccosA=b2+c2﹣a2∴sinA=cosA，即tana=1，又由A是三角形内角∴A=45°（2）∵由余弦定理可知2bccosA=b2+c2﹣a2，a=2，即bc=b2+c2﹣4≥2bc﹣4∴（2﹣）bc≤4∴bc ≤=4+2∴=cosA=bc≤2+2故的最大值为2+2【点评】本题考查的知识点是解三角形，平面向量的综合题，本题的突破点是利用三角形的面积公式表示出S，与已知的S相等，化简得到tanC的值．要求学生熟练掌握三角形的面积公式以及余弦定理，牢记特殊角的三角函数值． 27．（2012•迎泽区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a bc 且．求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）b的值．【分析】（Ⅰ）由正弦定理可得，==2cosA，代入即可求解（Ⅱ）由a+c=10及可求a，c然后由余弦定理可知，cosA=即可求解b【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得，==2cosA=（Ⅱ）由a+c=10及可得a=4，c=6由余弦定理可知，cosA==∴b2﹣9b+20=0∴b=4或b=5当b=4时，a=4，c=6，此时B=A，C=2A∴A=45°，与cosA=矛盾∴b=5【点评】本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题28．（2009秋•揭阳期末）已知：△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c 且．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB 成等差数列，且，求c边的长．【分析】（1）利用两角和公式和诱导公式整理题设等式求得sin（A+B）=sin2C，进而整理求得cosC的值，进而求得C．（2）利用sinA，sinC，sinB成等差数列求得三者的关系式，利用正弦定理转化成边的关系式，利用求得ab的值，进而分别代入余弦定理求得c．【解答】解：（1）由cos （﹣A）•cosB+sinB•sin （+A）=sin（π﹣2C）得sinA•cosB+sinB•cosA=sin2C∴sin（A+B）=sin2C，∵A+B=π﹣C，∴sin（A+B）sinC∴sinC=sin2C=2sinCcosC，∵0＜C＜π∴sinC＞0∴cosC=∴C=（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB，由正弦定理得2c=a+b∵，即abcosC=18，ab=36由余弦弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab，∴c2=4c2﹣3×36，c2=36，∴c=6【点评】本题主要考查了解三角形问题，三角函数恒等变换及化简求值．考查了考生分析问题的能力和基本的运算能力．29．（2016秋•兖州区校级期中）根据下列条件，解三角形．（Ⅰ）已知b=4，c=8，B=30°，求C，A，a；（Ⅱ）在△ABC中，B=45°，C=75°，b=2，求a，c，A．【分析】（Ⅰ）由条件利用正弦定理求得sinC的值，可得C为直角，求得A，再由勾股定理求得a的值．（Ⅱ）由条件利用三角形内角和公式求得A的值，再利用正弦定理求得a的值．【解答】解：（Ⅰ）已知△ABC中，∵已知b=4，c=8，B=30°，由正弦定理可，得sinC=1，可得C=90°，A=60°∴a=，（Ⅱ）∵已知△ABC中，B=45°，C=75°，b=2，由三角形内角和公式可得A=60°，由正弦定理可得=，得a=，c=【点评】本题主要考查了三角形内角和公式、正弦定理的应用，属于基础题． 30．已知△ABC中，A=45°，C=30°，c=10cm，解三角形．【分析】由三角形内角和定理，直接计算可得B=180°﹣A﹣C=105°；根据三角形的三个角的大小和边c长，结合正弦定理加以计算即可得到a和b的大小．【解答】解：∵△ABC中，A=45°，C=30°，∴根据三角形内角和定理，得B=180°﹣A﹣C=105°；由正弦定理，得，解之得a=10cm，b=5（+）cm【点评】本题给出三角形的两个角和一条边，解此三角形．着重考查了三角形内角和定理、特殊角的三角函数和正弦定理等知识，属于基础题．31．在△ABC中，已知a=，b=1，∠B=45°，解此三角形．【分析】利用正弦定理，可求得A，从而由三角形的内角和定理可求得C，由三角形特点求c．【解答】解：由正弦定理得，即，所以sinA=1，所以A=90°，所以C=180°﹣A﹣B=45°，所以△ABC是等腰直角三角形，所以c=b=1．【点评】本题考查正弦定理的运用，考查运算能力．属于基础题．32．（2010春•沙坪坝区校级期末）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知，sinB=cosAsinC，（I）求边AC的长度；（II）若BC=4，求角B的大小．【分析】（I）联立，sinB=cosAsinC，可知cbcosA=9，cosA•c=b，从而可求边AC的长度；（II）由（I），结合BC=4=a，b=3代入即得AB=5，从而三角形为直角三角形，由此可求角B的大小．【解答】解：（I ），又sinB=cosAsinC⇒cosA•c=b代入得b=3，（II ），将BC=4=a，b=3代入即得AB=5⇒【点评】本题以三角形为载体，考查向量的数量积，考查正余弦定理的运用，属于基础题．33．（2011•江西校级模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin22C+sin2C•sinC+cos2C=1，且a+b=5，c=．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）通过二倍角公式化简已知表达式，求出cosC的值，然后在三角形中求角C的大小；（2）结合（1）通过余弦定理，求出ab的值，然后直接求△ABC的面积．【解答】解：（1）因为sin22C+sin2C×sinC+cos2C=1，所以4sin2Ccos2C+2sin2CcosC+1﹣2sin2C=1，则2cos2C+cosC﹣1=0．得出cosC=所以C=60°…（6分）（2）由余弦定理可知：∴…（12分）【点评】本题是基础题，借助三角形考查二倍角公式的应用，余弦定理是解答（2）的关键，考查计算能力．34．（2016秋•陕西期中）（1）在△ABC中，a=3，c=2，B=60°求b （2）在△ABC中，A=60°，B=45°，a=2 求c．【分析】（1）利用余弦定理即可求出b的值；（2）利用三角形内角和求出C的值，再由正弦定理求出c的值．【解答】解：（1）在△ABC中，a=3，c=2，B=60°，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB=32+22﹣2×3×2×cos60°=7，∴b=；（2）在△ABC中，A=60°，B=45°，∴C=75°，∴sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=；又a=2，由正弦定理得=，∴c=×sin75°=×=+．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形内角和定理与三角恒等变换问题，是基础题．35．（2010•沈丘县校级模拟）已知△ABC的周长为4（），且sinB+sinC=sinA．求边长a的值．【分析】先根据正弦定理用角的正弦值和外接圆半径表示出边长，再由sinB+sinC=sinA可得到b+c=a，结合△ABC的周长为4（），可求得a 的值．【解答】解：设三角形的外接圆半径为R，根据正弦定理有a=2R×sinA，b=2R×sinB，c=2R×sinC因为sinB+sinC=sinA，两边同时乘以2R得：2R×sinB+2R×sinC=×2RsinA即：b+c= a ①又由题意有：a+b+c=4（+1）②；解①②得：a=4即边长a的值为4．【点评】本题主要考查正弦定理的应用．正弦定理和余弦定理在解三角形中应用比较广泛，对于定理的内容一定要熟练掌握并能够熟练应用．36．（2013春•仙桃校级期中）在△ABC中，a=1，，B=45°，求角A、C及边c．【分析】由已知中a=1，，B=45°°，代入正弦定理可得A的正弦值，结合已知中a＜b，可得A值，进而根据内角和定理求出C，再由正弦定理求出c．【解答】解：由正弦定理∴sinA=，∵a＜b，∴A=30°，C=105°，∵=2，∴c=．【点评】本题考查的知识点是正弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．37．在锐角△ABC 中，已知，，BC=3．求△ABC的面积．【分析】先利用同角三角函数基本关系求得sinA和sinC的值，进而利用正弦定理求得AB，根据sinB=sin（A+C）利用两角和公式求得sinB的值，最后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：sinA==，sinC==由正弦定理可知=∴AB=×=2sinB=sin（A+C）=×+×=∴△ABC 的面积为AB•BC•sinB=×2×3×=3【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是利用正弦定理完成边角问题的互化．38．在△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，已知CD=12，AD=5，求BD，AB，AC，BC的长．【分析】利用射影定理，即可求BD，AB，AC，BC的长．【解答】解：∵△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，∴CD2=AD•BD，∵CD=12，AD=5，∴BD=，∴AB=，∵AC2=AD•AB，BC2=BD•AB，∴AC=13，BC=．【点评】本题考查射影定理，考查学生的计算能力，正确运用射影定理是关键．39．（2016春•西秀区校级月考）在△ABC中，a=5，B=45°，C=105°，解三角形．【分析】由B与C的度数求出A的度数，利用正弦定理求出b与c的值即可．【解答】解：∵在△ABC中，a=5，B=45°，C=105°，∴A=30°，sinC=sin（45°+60°）=，由正弦定理得：b==5，c==．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．40．（2015秋•邯郸校级月考）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c 已知，c=1，B=45°，求a，A，C．【分析】利用正弦定理，即可求解．【解答】解：由正弦定理可得，∴sinC=，∵c＜b，∴C＜B，∴C=30°，∴A=′180°﹣45°﹣35°=105°，∴，∴a=．【点评】本题考查正弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．第31页（共31页）。
高三重点：解三角形与三角函数综合问题(含向量)
三角函数与解三角形结合相关综合问题(适用于理科数学)三角函数与解三角形相结合的问题，因其考察范围非常广泛、涉及知识点众多，在各省各套卷中，都是重中之重的问题，熟练掌握三角函数的基本公式、解三角形的基本方法思路是问题解决的关键。
注意以下细节问题：1、 不知道什么时候使用“边化成角，角化成边”的思路，以及不能正确进行边角互化，是必须要解决的问题，判断下面的算式进行的边角互化是否正确。
22223232cos cos ;sin cos sin cos ;sin sin sin ;sin sin sin sin ;;sin sin sin ;;sin sin sin sin sin sin ;cos ;sin sin sin cos ;cos a B b A A B B A a A b A c C A B A C a c b A C B a bc ac b A B C A C B a b c A A B C A ab A =→=+=→+=+=→+=+-=→+-=++=++=+（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、2cos sin sin cos sin sin cos sin ;b ac B a A B A A C B A +=→+=上述进行的边角互化，只有第一个和第二个是正确的，其余均是错误的；2、 在三角形中常用一些与三角形内角和有关的诱导公式，这些公式往往能够起到减少未知角数量的作用，特别是在三角形中已知一个内角求相关范围的时候一般将问题转化为三角函数中“一角一函数”的问题加以解决。
现对这些公式进行举例，希望考生务必要记住，记准，记熟。
sin()sin ;cos()cos ;sin()cos ;22cos()sin ;22A B C A B C A B C A B C +=+=-+=+=3、三角形内角角度范围：题中常说到锐角三角形或钝角三角形，这其实就是在给我们有关于内角范围的隐含条件，比如本专项第一道题，粗略认为每个内角都是(0,)2π的范围肯定是不对的，应结合题意仔细分析，考生一定要注意这一点。
专题一三角与向量的交汇题型分析及解题策略
专题一：三角与向量的交汇题型阐发及解题策略【命题趋向】三角函数与平面的向量的综合主要表达为交汇型，在高考中，主要呈此刻解答题的第一个试题位置上，其难度中等偏下，分值一般为12分，交汇性主要表达在：三角函数恒等变换公式、性质与图象与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模之间都有着不同程度的交汇，在高考中是一个热点.如08年安徽理科第5题(5分)，考查三角函数的对称性与向量平移、08年山东文第8题理第15题(5分)考查两角和与差与向量垂直、08福建文理第17题(12分)考查三角函数的求值与向量积、07的天津文理第15题(4分)考查正余弦定理与向量数量积等.按照2021年考纲预计在09年高考中解答题仍会涉及三角函数的底子恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性质、向量的数量积、共线(平行)与垂直的充要条件条件．主要考查题型：(1)考查纯三角函数函数常识，即一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式，再求三角函数的值或研究三角函数的图象及性质；(2)考查三角函数与向量的交汇，一般是先操纵向量常识成立三角函数关系式，再操纵三角函数常识求解；(3)考查三角函数常识与解三角形的交汇，也就是将三角变换公式与正余弦定理交织在一起.【测验要求】1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的底子关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．2．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．3．能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．4．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法〞画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义．5．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．6．掌握向量的加法和减法．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．7．了解平面向量的底子定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．8．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处置有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．9．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，而且能熟练运用．掌握平移公式．【考点透视】向量具有代数运算性与几何直不雅性的“双重身份〞，即可以象数一样满足“运算性质〞进行代数形式的运算，又可以操纵它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以“角〞为自变量的函数，函数值表达为实数，因此平面向量与三角函数在“角〞之间存在着密切的联系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性.主要考点如下：1．考查三角式化简、求值、证明及求角问题.2．考查三角函数的性质与图像，出格是y=Asin(ωx+ϕ)的性质和图像及其图像变换. 3．考查平面向量的底子概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.4．考查向量的坐标暗示，向量的线性运算，并能正确地进行运算.5．考查平面向量的数量积及运算律(包罗 坐标形式及非坐标形式)，两向量平行与垂直的充要条件等问题.6．考查操纵正弦定理、余弦定理解三角形问题. 【典例阐发】题型一 三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个常识系统中讲法不尽不异，但它们本色是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面确实定：(1)平移的标的目的；(2)平移的单元.这两个方面就是表达为在平移过程中对应的向量坐标.【例1】 把函数y ＝sin2x 的图象按向量→a ＝(－π6，－3)平移后，得到函数y ＝Asin(ωx＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，|ϕ|＝π2)的图象，那么ϕ和B 的值依次为〔 〕A ．π12，－3B ．π3，3C ．π3，－3D ．－π12，3【阐发】 按照 向量的坐标确定平行公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x '＋π6y ＝y '＋3，再代入解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择.【解析1】 由平移向量知向量平移公式⎩⎪⎨⎪⎧x '＝x －π6y '＝y －3，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x '＋π6y ＝y '＋3，代入y ＝sin2x 得y '＋3＝sin2(x '＋π6)，即到y ＝sin(2x ＋π3)－3，由此知ϕ＝π3，B ＝－3，应选C.【解析2】 由向量→a ＝(－π6，－3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向左平移π6个单元，再向下平移3个单元，由此可得函数的图象为y ＝sin2(x ＋π6)－3，即y ＝sin(2x ＋π3)－3，由此知ϕ＝π3，B ＝－3，应选C.【点评】 此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查阐发问题、解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想.此题解答的关键，也是易出错的处所是确定平移的标的目的及平移的大小.题型二 三角函数与平面向量平行(共线)的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再操纵三角函数的相关常识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的根底掌握情况，因此在高考中常有考查.【例2】 A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.假设向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量.〔Ⅰ〕求角A ；〔Ⅱ〕求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值.【阐发】 首先操纵向量共线的充要条件成立三角函数等式，由于可求得A 角的正弦值，再按照 角的范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题按照 第(Ⅰ)小题的成果及A 、B 、C 三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B 的表达式，再按照 B 的范围求最值.【解】 〔Ⅰ〕∵→p 、→q 共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA ＋sinA)(cosA －sinA)，那么sin 2A ＝34，又A 为锐角，所以sinA ＝32，那么A ＝π3. 〔Ⅱ〕y ＝2sin 2B ＋cos C －3B2＝2sin 2B ＋cos (π－π3－B)－3B2＝2sin 2B ＋cos(π3－2B)＝1－cos2B ＋12cos2B ＋32sin2B＝32sin2B －12cos2B ＋1＝sin(2B －π6)＋1. ∵B ∈(0，π2)，∴2B －π6∈(－π6，5π6)，∴2B －π6＝π2，解得B ＝π3，y max ＝2.【点评】 此题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.此题解答有两个关键：〔1〕操纵向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；〔2〕按照 条件确定B 角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.题型三 三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先操纵向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再操纵三角函数的相关常识进行求解.此类题型解答主要表达函数与方程的思想、转化的思想等.【例3】 向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π2，2π)，且→a ⊥→b ．〔Ⅰ〕求tanα的值； 〔Ⅱ〕求cos(α2＋π3)的值．【阐发】 第(Ⅰ)小题从向量垂直条件入手，成立关于α的三角方程，再操纵同角三角函数的底子关系可求得tanα的值；第(Ⅱ)小题按照 所求得的tanα的成果，操纵二倍角公式求得tan α2的值，再操纵两角和与差的三角公式求得最后的成果．【解】 〔Ⅰ〕∵→a ⊥→b ，∴→a ·→b ＝0．而→a ＝〔3sinα，cosα〕，→b ＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，故→a ·→b ＝6sin 2α＋5sinαcosα－4cos 2α＝0．由于cosα≠0，∴6tan 2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－43，或tanα＝12．∵α∈〔3π2，2π〕，tanα＜0，故tanα＝12〔舍去〕．∴tanα＝－43．〔Ⅱ〕∵α∈〔3π2，2π〕，∴α2∈〔3π4，π〕．由tanα＝－43，求得tan α2＝－12，tan α2＝2〔舍去〕．∴sin α2＝55，cos α2＝－255，∴cos(α2＋π3)＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510【点评】 此题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的底子关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数.同时此题两个小题的解答都涉及到角的范围确实定，再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第〔Ⅰ〕小题的解答顶用到“弦化切〞的思想方法，这是解决在一道试题中同时呈现“切函数与弦函数〞关系问题常用方法.题型四 三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是操纵向量模的性质|→a |2＝→a 2，如果涉及到向量的坐标解答时可操纵两种方法：〔1〕先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；〔2〕先将向量的坐标代入向量的坐标，再操纵向量的坐标运算进行求解.【例3】 向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝25 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)假设－π2＜β＜0＜α＜π2，且sinβ＝－513，求sinα的值.【阐发】 操纵向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题那么可变角α＝(α－β)＋β，然后就须求sin(α－β)与cos β即可.【解】 (Ⅰ)∵|→a －→b |＝255，∴→a 2－2→a ·→b ＋→b 2＝45， 将向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)代入上式得 12－2(cos αcos β＋sin αsin β)＋12＝45，∴cos(α－β)＝－35.(Ⅱ)∵－π2＜β＜0＜α＜π2，∴0＜α－β＜π，由cos(α－β)＝－35，得sin(α－β)＝45，又sin β＝－513，∴cos β＝1213，∴sin α＝sin ［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝3365.点评：此题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的底子关系.此题解答中要注意两点：(1)化|→a －→b |为向量运算|→a －→b |2＝(→a －→b )2；(2)注意解α－β的范围.整个解答过程表达方程的思想及转化的思想.题型五 三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要暗示为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)操纵三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是操纵向量首先进行转化，再操纵三角函数常识求解.【例5】 设函数f(x)＝→a ·→b .此中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.〔Ⅰ〕求实数m 的值；〔Ⅱ〕求函数f(x)的最小值.阐发：操纵向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的“数量关系〞，从而，成立函数f(x)关系式，第〔Ⅰ〕小题直接操纵条件f(π2)＝2可以求得，而第(Ⅱ)小题操纵三角函数函数的有界性就可以求解.解：〔Ⅰ〕f(x)＝→a ·→b ＝m(1＋sinx)＋cosx ， 由f(π2)＝2，得m(1＋sin π2)＋cos π2＝2，解得m ＝1.(Ⅱ)由〔Ⅰ〕得f(x)＝sinx ＋cosx ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1，当sin(x ＋π4)＝－1时，f(x)的最小值为1－ 2.点评：平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等常识都可以与三角函数进行交汇.不管是哪类向量常识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是操纵向量的常识将条件转化为三角函数中的“数量关系〞，再操纵三角函数的相关常识进行求解．六、解斜三角形与向量的综合在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是操纵向量常识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要表达为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标，要求按照 向量的关系解答相关的问题.【例6】 角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边别离为a 、b 、c ，假设→m ＝(－cos A2，sin A 2)，→n ＝(cos A 2，sin A 2)，a ＝23，且→m·→n ＝12． 〔Ⅰ〕假设△ABC 的面积S ＝3，求b ＋c 的值． 〔Ⅱ〕求b ＋c 的取值范围．【阐发】 第(Ⅰ)小题操纵数量积公式成立关于角A 的三角函数方程，再操纵二倍角公式求得A 角，然后通过三角形的面积公式及余弦定理成立关于b 、c 的方程组求取b ＋c 的值；第(Ⅱ)小题正弦定理及三角形内角和定理成立关于B 的三角函数式，进而求得b ＋c 的范围.【解】 〔Ⅰ〕∵→m ＝(－cos A 2，sin A 2)，→n ＝(cos A 2，sin A 2)，且→m ·→n ＝12， ∴－cos 2A 2＋sin 2A 2＝12，即－cosA ＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.又由S △ABC ＝12bcsinA ＝3，所以bc ＝4，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos 2π3＝b 2＋c 2＋bc ，∴16＝(b ＋c)2，故b ＋c ＝4.〔Ⅱ〕由正弦定理得：b sinB ＝c sinC ＝a sinA ＝23sin 2π3＝4，又B ＋C ＝π－A ＝π3，∴b ＋c ＝4sinB ＋4sinC ＝4sinB ＋4sin(π3－B)＝4sin(B ＋π3)，∵0＜B ＜π3，那么π3＜B ＋π3＜2π3，那么32＜sin(B ＋π3)≤1，即b ＋c 的取值范围是(23，4].[点评] 此题解答主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等.解答此题主要有两处要注意：第(Ⅰ)小题中求b ＋c 没有操纵别离求出b 、c 的值为解，而是操纵整体的思想，使问题得到简捷的解答；(2)第(Ⅱ)小题的求解中出格要注意确定角B 的范围.【专题训练】 一、选择题1．→a ＝(cos40︒，sin40︒)，→b ＝(cos20︒，sin20︒)，那么→a ·→b ＝ 〔 〕A ．1B ．32C ．12D ．222．将函数y ＝2sin2x －π2的图象按向量(π2，π2)平移后得到图象对应的解析式是〔 〕A ．2cos2xB ．－2cos2xC ．2sin2xD ．－2sin2x3．△ABC 中，AB →＝a →，AC →＝b →，假设a →·b →＜0，那么△ABC 是 〔 〕A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．任意三角形 4．设→a ＝(32,sin α)，→b ＝(cos α,13)，且→a ∥→b ，那么锐角α为〔 〕A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒5．→a ＝(sin θ，1＋cosθ)，→b ＝(1，1－cosθ)，此中θ∈(π，3π2)，那么必然有 〔 〕A ．→a ∥→bB ．→a ⊥→bC ．→a 与→b 夹角为45°D ．|→a |＝|→b |6．向量a →＝(6，－4)，b →＝(0，2),c →＝a →＋λb →，假设C 点在函数y ＝sin π12x 的图象上,实数λ＝ 〔 〕A ．52B ．32C ．－52D ．－327．由向量把函数y ＝sin(x ＋5π6)的图象按向量→a ＝(m ，0)(m ＞0)平移所得的图象关于y 轴对称，那么m 的最小值为 〔 〕 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．设0≤θ≤2π时，两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，那么向量P 1P 2→长度的最大值是〔 〕A ． 2B ． 3C ．3 2D ．2 39．假设向量→a ＝(cos α,sin α)，→b ＝(cos β,sin β)，那么→a 与→b 必然满足 〔 〕 A ．→a 与→b 的夹角等于α－β B ．→a ⊥→bC ．→a ∥→bD ．(→a ＋→b )⊥(→a －→b )10．向量→a ＝(cos25︒,sin25︒)，→b ＝(sin20︒,cos20︒)，假设t 是实数，且→u ＝→a ＋t →b ，那么|→u |的最小值为 〔 〕A ． 2B ．1C ．22D ．1211．O 是平面上必然点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：→OP＝→OA ＋λ(→AB ＋→AC)，λ∈(0,＋∞)，那么直线AP 必然通过△ABC 的 〔 〕A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心12．对于非零向量→a 我们可以用它与直角坐标轴的夹角α,β(0≤α≤π,0≤β≤π)来暗示它的标的目的，称α,β为非零向量→a 的标的目的角，称cos α,cos β为向量→a 的标的目的余弦，那么cos 2α＋cos 2β＝〔 〕 A ．1 B ．32C ．12D ．0二、填空题13．向量→m ＝(sin θ，2cos θ)，→n ＝(3,－12).假设→m ∥→n ，那么sin2θ的值为____________．14．在△OAB(O 为原点)中，→OA＝(2cos α，2sin α)，→OB ＝(5cos β，5sin β)，假设→OA·→OB ＝－5，那么S △AOB 的值为_____________.15．将函数f (x )＝tan(2x ＋π3)＋1按向量a 平移得到奇函数g(x )，要使|a |最小，那么a ＝____________.16．向量→m ＝(1，1)向量→n 与向量→m 夹角为3π4，且→m ·→n →n ＝__________．三、解答题17．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边别离为a 、b 、c ，假设→AB·→AC ＝→BA·→BC ＝k(k ∈R). 〔Ⅰ〕判断△ABC 的形状； 〔Ⅱ〕假设c ＝2，求k 的值．18．向量→m ＝(sinA,cosA)，→n ＝(3,－1)，→m ·→n ＝1，且A 为锐角.(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)求函数f(x)＝cos2x ＋4cosAsinx(x ∈R)的值域．19．在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长别离为a 、b 、c ，向量→m ＝(1，2sinA)，→n ＝(sinA ，1＋cosA)，满足→m ∥→n ，b ＋c ＝3a.(Ⅰ)求A 的大小；(Ⅱ)求sin(B ＋π6)的值．20．A 、B 、C 的坐标别离为A 〔4，0〕，B 〔0，4〕，C 〔3cosα，3sinα〕.〔Ⅰ〕假设α∈(－π，0)，且|→AC|＝|→BC|，求角α的大小； 〔Ⅱ〕假设→AC⊥→BC ，求2sin 2α＋sin2α1＋tanα的值．21．△ABC 的角A 、B 、C 的对边别离为a 、b 、c ，→m ＝(2b －c ，a)，→n ＝(cosA ，－cosC)，且→m ⊥→n ． (Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)当y ＝2sin 2B ＋sin(2B ＋6)取最大值时，求角B 的大小.22．→a ＝(cosx ＋sinx ，sinx)，→b ＝(cosx －sinx ，2cosx)，〔Ⅰ〕求证：向量→a 与向量→b 不成能平行；〔Ⅱ〕假设f(x)＝→a ·→b ，且x ∈[－π4,π4]时，求函数f(x)的最大值及最小值．【专题训练】参考答案 一、选择题1．B 解析：由数量积的坐标暗示知→a ·→b ＝cos40︒sin20︒＋sin40︒cos20︒＝sin60︒＝32. 2．D 【解析】y ＝2sin2x －π2→y ＝2sin2〔x ＋π2〕－π2＋π2，即y ＝－2sin2x.3．A 【解析】因为cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝a →·b→|a →|·|b →|＜0，∴∠BAC 为钝角.4．B 【解析】由平行的充要条件得32×13－sin αcos α＝0，sin2α＝1，2α＝90︒，α＝45︒.5．B 【解析】→a ·→b ＝sin θ＋|sin θ|，∵θ∈(π，3π2)，∴|sin θ|＝－sin θ，∴→a ·→b ＝0，∴→a ⊥→b ． 6．A 【解析】c →＝a →＋λb →＝(6，－4＋2λ)，代入y ＝sin π12x 得，－4＋2λ＝sin π2＝1，解得λ＝52. 7．B 【解析】考虑把函数y ＝sin(x ＋5π6)的图象变换为y ＝cosx 的图象，而y ＝sin(x ＋5π6)＝cos(x ＋π3)，即把y ＝cos(x ＋π3)的图象变换为y ＝cosx 的图象，只须向右平行π3个单元，所以m ＝π3，应选B.8．C 【解析】|P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2＝10－8cosθ≤3 2.9．D 【解析】→a ＋→b ＝(cos α＋cos β,sin α＋sin β)，→a －→b ＝(cos α＋cos β,sin α－sin β)，∴(→a＋→b )·(→a －→b )＝cos 2α－cos 2β＋sin 2α－sin 2β＝0，∴(→a ＋→b )⊥(→a －→b )． 10．C 【解析】|→u |2＝|→a |2＋t 2|→b |2＋2t →a ·→b ＝1＋t 2＋2t(sin20︒cos25︒＋cos20︒sin25︒)＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋22)2＋12，|→u |2 min ＝12，∴|→u |min ＝22. 11．C 【解析】设BC 的中点为D ，那么→AB＋→AC ＝2→AD ，又由→OP ＝→OA ＋λ(→AB ＋→AC)，→AP ＝2λ→AD ，所以→AP 与→AD 共线，即有直线AP 与直线AD 重合，即直线AP 必然通过△ABC 的重心．12．A 【解析】设→a ＝(x,y)，x 轴、y 轴、z 轴标的目的的单元向量别离为→i ＝(1,0)，→j ＝(0,1)，由向量常识得cos α＝→i ·→a |→i |·|→a |＝x x 2＋y 2，cos β＝→j ·→a |→j |·|→a |＝y x 2＋y 2，那么cos 2α＋cos 2β＝1.二、填空题13．－8349 【解析】由→m ∥→n ，得－12sin θ＝23cos θ,∴tan θ＝－43，∴sin2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝－8349． 14．532【解析】→OA·→OB ＝－5⇒10cos αco βs ＋10sin αsin β＝－5⇒10cos(α－β)＝－5⇒cos(α－β)＝－12，∴sin ∠AOB ＝32，又|→OA|＝2，|→OB|＝5，∴S △AOB ＝12×2×5×32＝532． 15．〔π6，－1〕 【解析】要颠末平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)＝tan(2x ＋π3)＋1的图象向下平移1个单元，再向右平移－kπ2＋π6(k ∈Z)个单元．即应按照向量→a ＝(－kπ2＋π6，－1) (k ∈Z)进行平移．要使|a|最小，16．(－1，0)或(0，－1) 【解析】设→n ＝(x ，y)，由→m·→n ＝－1，有x ＋y ＝－1 ①，由→m 与→n 夹角为3π4，有→m·→n ＝|→m |·|→n |cos 3π4，∴|→n |＝1，那么x 2＋y 2＝1 ②，由①②解得⎩⎨⎧ x=﹣1y=0或⎩⎨⎧ x ＝0y ＝－1∴即→n ＝(－1，0)或→n ＝(0，－1) ． 三、解答题17．【解】〔Ⅰ〕∵→AB·→AC ＝bccosA ，→BA·→BC ＝cacosB ， 又→AB·→AC ＝→BA·→BC ，∴bccosA ＝cacosB ， ∴由正弦定理，得sinBcosA ＝sinAcosB ，即sinAcosB －sinBcosA ＝0，∴sin(A －B)＝0 ∵－π＜A －B ＜π，∴A －B ＝0，即A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知b a =，∴→AB·→AC ＝bccosA ＝bc·b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22，∵c ＝2，∴k ＝1.18．【解】(Ⅰ)由题意得→m·→n ＝3sinA －cosA ＝1，2sin(A －π6)＝1，sin(A －π6)＝12， 由A 为锐角得A －π6＝π6，A ＝π3. (Ⅱ)由〔Ⅰ〕知cosA ＝12，所以f(x)＝cos2x ＋2sinx ＝1－2sin 2x ＋2sinx ＝－2(sinx －12)2＋32， 因为x ∈R ，所以sinx ∈[－1,1]，因此，当sinx ＝12时，f (x )有最大值32． 当sinx ＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是[－3，32]． 19．【解】(Ⅰ)由→m ∥→n ，得2sin 2A －1－cosA ＝0，即2cos 2A ＋cosA －1＝0，∴cosA ＝12或cosA ＝－1.∵A 是△ABC 内角，cosA ＝－1舍去，∴A ＝π3. (Ⅱ)∵b ＋c ＝3a ，由正弦定理，sinB ＋sinC ＝3sinA ＝32， ∵B ＋C ＝2π3，sinB ＋sin(2π3－B)＝32， ∴32cosB ＋32sinB ＝32，即sin(B ＋π6)＝32． 20．【解】〔Ⅰ〕由得：(3cosα－4)2＋9sin 2α＝9cos 2α＋(3sinα－4) 2，那么sinα＝cosα，因为α∈(－π，0)，∴α＝－3π4. 〔Ⅱ〕由(3cosα－4)·3cosα＋3sinα·(3sinα－4)＝0，得sinα＋cosα＝34，平方，得sin2α＝－716. 而2sin 2α＋sin2α1＋tanα＝2sin 2αcosα＋2sinαcos 2αsinα＋cosα＝2sinαcosα＝sin2α＝－716． 21．【解】(Ⅰ)由→m ⊥→n ，得→m·→n ＝0，从而(2b －c)cosA －acosC ＝0，由正弦定理得2sinBcosA －sinCcosA －sinAcosC ＝0∴2sinBcosA －sin(A ＋C)＝0，2sinBcosA －sinB ＝0， ∵A 、B ∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA ＝12，故A ＝π3. (Ⅱ)y ＝2sin 2B ＋2sin(2B ＋π6)＝(1－cos2B)＋sin2Bcos π6＋cos2Bsin π6＝1＋32sin2B －12 cos2B ＝1＋sin(2B －π6). 由(Ⅰ)得，0＜B ＜2π3，－π6＜2B －π6＜7π6， ∴当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，y 取最大值2. 22．【解】〔Ⅰ〕假设→a ∥→b ，那么2cosx(cosx ＋sinx)－sinx(cosx －sinx)＝0，∴2cos 2x ＋sinxcosx ＋sin 2x ＝0，2·1＋cos2x 2＋12sin2x ＋1－cos2x 2＝0，即sin2x ＋cos2x ＝－3， ∴2(sin2x ＋π4)＝－3，与|2(sin2x ＋π4)|≤2矛盾， 故向量→a 与向量→b 不成能平行．〔Ⅱ〕∵f(x)＝→a ·→b ＝(cosx ＋sinx)·(cosx －sinx)＋sinx·2cosx＝cos 2x －sin 2x ＋2sinxcosx ＝cos2x ＋sin2x＝2(22cos2x ＋22sin2x)＝2(sin2x ＋π4)， ∵－π4≤x≤π4，∴－π4≤2x ＋π4≤3π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f(x)有最大值2； 当2x ＋π4＝－π4，即x ＝－π4时，f(x)有最小值－1．。
高考数学专题：向量与三角函数创新题型的解题技巧
第五讲 向量与三角函数创新题型的解题技巧【命题趋向】综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对三角函数的考查有以下一些知识类型与特点：1.三角函数的性质、图像及其变换，主要是sin()y A x ωϕ=+的性质、图像及变换.考查三角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、有界性、图像的平移和对称等.以选择题或填空题或解答题形式出现，属中低档题，这些试题对三角函数单一的性质考查较少，一道题所涉及的三角函数性质在两个或两个以上，考查的知识点来源于教材.2.三角变换.主要考查公式的灵活运用、变换能力，一般要运用和角、差角与二倍角公式，尤其是对公式的应用与三角函数性质的综合考查.以选择题或填空题或解答题形式出现，属中档题.3.三角函数的应用.以平面向量、解析几何等为载体，或者用解三角形来考查学生对三角恒等变形及三角函数性质的应用的综合能力.特别要注意三角函数在实际问题中的应用和跨知识点的应用，注意三角函数在解答有关函数、向量、平面几何、立体几何、解析几何等问题时的工具性作用.这类题一般以解答题的形式出现，属中档题.4.在一套高考试题中，三角函数一般分别有1个选择题、1个填空题和1个解答题，或选择题与填空题1个，解答题1个，分值在17分—22分之间．5.在高考试题中，三角题多以低档或中档题目为主，一般不会出现较难题，更不会出现难题，因而三角题是高考中的得分点． 【考点透视】1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同解三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义． 3．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． 4．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．5．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ψ)的简图，理解A 、ω、ψ的物理意义．6．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x 表示．7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．8．掌握向量与三角函数综合题的解法． 常用解题思想方法1．三角函数恒等变形的基本策略。
例说平面向量与三角函数的综合性问题
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２抓 表 现 手 法 中 的 以 动 写 静 、 小 见 ． 以 大、 虚实 结 合 等 ３抓 修 辞 手 法 中 的 比 喻 、 人 、 张 、 ． 拟 夸 抒 发 了作 者 怎 样 的 思 想 感 情 或 间 接 流 露 出 作 者 怎 样 的 情 感 。 其 主 要 方 法 就 是 运 用 上 面 所 说 的 联 系 法和 诗 词 的 艺 术 手 法
…
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名师点金
ＭｉｎｇＳｈｉＤｉａｎＪｉｎ
平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系．如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性．若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理，可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度．下面举例说明．
一、求三角式的值
例１
设ａ!＝（１＋ｃｏｓα，ｓｉｎα），ｂ"＝（１－ｃｏｓβ，ｓｉｎβ），ｃ
!＝（１，０），α∈（０，π），β∈（π，２π），ａ!与ｃ!的夹角为θ１，ｂ"与ｃ!的夹角为θ２，且θ１－θ２＝
π６
，求ｓｉｎα－β４
的值．解析
因为ａ!＝（１＋ｃｏｓα，ｓｉｎα）＝２（ｃｏｓ２α２
，２ｓｉｎα
２
·ｃｏｓα２）＝２ｃｏｓα
２（ｃｏｓα２，ｓｉｎα２
），又因为ａ!与ｃ!的夹角为θ１，所以θ１＝
α２
，又ｂ"＝（１－ｃｏｓβ，ｓｉｎβ）＝（２ｓｉｎ２β２
，２ｓｉｎβ２
ｃｏｓβ２
）＝
２ｓｉｎβ
２（ｓｉｎβ２，ｃｏｓβ２
），而ｂ"与ｃ!的夹角为θ２，所以θ２＝β２
－π２
，又θ１－θ２＝
π６$α２－β２＋π２＝π６
，
所以α
－β２
＝－π３
，所以ｓｉｎα－β４
＝ｓｉｎ（－π６
）＝－１２
．
二、求两向量所成的角
例２
已知ａ!＝（ｃｏｓα，ｓｉｎα），ｂ"＝（ｃｏｓβ，ｓｉｎβ），其
中０＜α＜β＜π
，（１）求证：ａ!＋ｂ"与ａ!－ｂ"互相垂直；（２）若ｋａ!＋ｂ"与ｋａ!－ｂ"（ｋ≠０）的长度相等，求β－α．
解析（１）因为（ａ!＋ｂ"）·（ａ!－ｂ"）＝ａ!２－ａ!·ｂ"＋ｂ"·ａ!－ｂ"２＝ａ!２－ｂ"２＝ａ
!２－ｂ"２
＝ｃｏｓ２α＋ｓｉｎ２α&－ｃｏｓ２β＋ｓｉｎ２β&＝１－１＝０，所以ａ!＋ｂ
"与ａ!－ｂ"互相垂直．方法
技巧
向量与三角综合题类型及解法
◇辽宁省海城市大屯镇育英学校张恩强
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数学爱好者２００７·６
专
业精心策划
Ｓ
高一
数
学爱好者
ＭｉｎｇＳｈｉＤｉａｎＪｉｎ
名师点金
Ａｐｅｃｕｌｉａｒｂｅａｕｔｙｒｅｉｇｎｓｉｎｔｈｅｒｅａｌｍｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，（ａｂｅａｕｔｙｗｈｉｃｈｒｅｓｅｍｂｌｅｓｎｏｔｓｏｍｕｃｈｔｈｅｂｅａｕｔｙｏｆａｒｔａｓｔｈｅｂｅａｕｔｙｏｆｎａｔｕｒｅ）ａｎｄｗｈｉｃｈａｆｆｅｃｔｓｔｈｅｒｅｆｌｅｃｔｉｖｅｍｉｎｄ，ｗｈｉｃｈｈａｓａｃｑｕｉｒｅｄａｎａｐｐｒｅｃｉａｔｉｏｎｏｆｉｔ，ｖｅｒｙｍｕｃｈｌｉｋｅｔｈｅｌａｔｅｒ．
一种奇特的美统治着数学王国，这种美不像艺术之美而与自然之美更为类似，她深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏，与自然之美是十分相象的．
———库
默
（２）ｋａ!＋ｂ"＝（ｋｃｏｓα＋ｃｏｓβ，ｋｓｉｎα＋ｓｉｎβ
），ｋａ!－ｂ"＝（ｋｃｏｓα－ｃｏｓβ，ｋｓｉｎα－ｓｉｎβ
），所以ｋａ!＋ｂ"＝ｋ２＋２ｋｃｏｓ（β－α
）＋１#，ｋａ
!－ｂ"＝ｋ２－２ｋｃｏｓ
（β－α）＋１#，因为ｋａ!＋ｂ"＝ｋａ!－ｂ"，所以ｋ２＋２ｋｃｏｓ（β－α
）＋１＝ｋ２－２ｋｃｏｓ（β－α）＋１，有２ｋｃｏｓ（β－α）＝－２ｋｃｏｓ（β－α
），因为ｋ≠０，故ｃｏｓ（β－α
）＝０，又因为０＜α＜β＜π，０＜β－α＜π，所以β－α＝π２
．
三、判断三角形的形状
例３
已知在△ＡＢＣ中，Ａ&’Ｂ＝Ａ&’Ｃ，且２Ａ&’Ｂ·
Ｃ&’Ａ＋Ａ&’Ｂ２＝０，判断△ＡＢＣ的形状．
解析因为２Ａ&’Ｂ·Ｃ&’Ａ＋Ａ&’Ｂ２＝０，
所以２Ａ&’Ｂ·
Ａ&’Ｃ－Ａ&’Ｂ２＝０，所以Ａ&’Ｂ·Ａ&’Ｃ＝１２
Ａ&’Ｂ
２
，
所以由向量的夹角公式，得ｃｏｓＡ＝
Ａ&’Ｂ·Ａ&’Ｃ
Ａ&’Ｃ·Ａ
&’Ｂ＝１２Ａ&’Ｂ２
Ａ&’Ｂ
２
＝１２
，
所以Ａ＝６０°，又Ａ&’Ｂ＝Ａ&’Ｃ，所以△ＡＢＣ为等
边三角形．
四、求向量的模
例４
△ＡＢＣ中，三个内角分别是Ａ、Ｂ、Ｃ，向
量ａ!＝（５#２
ｃｏｓＣ２
，ｃｏｓＡ－Ｂ２
），当ｔａｎＡ·ｔａｎＢ＝１
９
时，求ａ
!．解析
因为ａ!＝（５#２ｃｏｓＣ２，ｃｏｓＡ－Ｂ２
），则
ａ
!２
＝５４ｃｏｓ２Ｃ２＋ｃｏｓ２Ａ－Ｂ２＝５４ｓｉｎ２Ａ＋Ｂ２
＋
ｃｏｓ２Ａ－Ｂ２
＝５４·１－ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）２＋１＋ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）
２＝１８
［９＋４ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）－５ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）］＝１８（９＋４ｃｏｓＡｃｏｓＢ＋４ｓｉｎＡｓｉｎＢ－５ｃｏｓＡｃｏｓＢ＋
５ｓｉｎＡｓｉｎＢ）
＝１８
（９＋９ｓｉｎＡｓｉｎＢ－ｃｏｓＡｃｏｓＢ），又ｔａｎＡｔａｎＢ＝１９，即ｓｉｎＡｓｉｎＢｃｏｓＡｃｏｓＢ＝１９
，
所以９ｓｉｎＡｓｉｎＢ＝ｃｏｓＡｃｏｓＢ．
所以ａ
!２＝９８
，故ａ!＝３２#４
．五、其他综合问题
例５
若向量ａ!ｎ＝（ｃｏｓ２ｎθ，ｓｉｎｎθ），ｂ"ｎ＝（１，２ｓｉｎｎθ）
（ｎ∈Ｎ＊），试判断数列｛ａ!ｎ·ｂ
"ｎ２
－１｝是等差数列还是
等比数列？
解析
因为ａ!ｎ＝（ｃｏｓ２ｎθ，ｓｉｎｎθ），
ｂ"ｎ＝（１，２ｓｉｎｎθ）（ｎ∈Ｎ＊），所以ａ!ｎ·ｂ
"ｎ２－１＝（ｃｏｓ２ｎθ
，ｓｉｎｎθ）·（１，２ｓｉｎｎθ）２－１＝ｃｏｓ２ｎθ＋２ｓｉｎ２ｎθ２－１＝１－２ｓｉｎ２ｎθ＋２ｓｉｎ２ｎ
θ２
－１
＝１－１＝０，所以数列｛ａ!ｎ·ｂ
"ｎ２
－１｝是等差数列．
ｍｉｎｇｒｅｎｍｉｎｇｙａｎ
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